Geometria sacră într-o abordare modernă.

"Geometria" înseamnă "măsură a pământului". În Egiptul antic, Nilul inunda în fiecare an pământul şi distrugea ordinea şi marcajele zonelor agricole. Acest ciclu anual de inundaţii simboliza pentru egipteni întoarcerea periodică la haosul primar reprezentat de apele primordiale. Când apele se retrăgeau se trasau noi limite şi marcaje datorită modificării suprafeţei terenului. Acest fapt foarte important numit ulterior geometrie a fost văzut ca o re-stabilirea a principiului ordinii şi legităţii pe pământ.

Platon considera geometria şi numărul drept cărămizi esenţiale, atribute ale unui limbaj ideal, filosofic. Dar numai în virtutea funcţionării la un anumit "nivel" al realităţii numărul şi geometria pot deveni unelte pentru contemplare filozofică. Conform gândirii antice greceşti geometria este studiul ordinii spaţiului prin intermediul măsurii şi relaţiilor dintre Forme.

Pentru Platon (în „Republica”) Realitatea consta din idei arhetipale, iar fenomenele pe care noi le percepem ca fiind real sunt doar reflecţii palide. "Idee" în limba greacă se poate traduce şi ca “Formă”, iar aceste idei nu pot fi perceput prin simţuri, ci pot fi interpretate ca o cauză sau un motiv. Geometria a fost limbajul recomandat de către Platon ca cel mai clar model prin care se poate descrie acest tărâm metafizic. Matematicienii şi filosofii din antichitatea greacă foloseau forme vizibile şi vorbeau despre ele, le analizau, dar ele foloseau pentru stabilirea unor relaţii şi raporturi importante lumea înconjurătoare. De exemplu cercetau pătratul şi diagonala dar nu de dragul imaginii pe care le reprezintă ci pentru a găsi relaţiile dintre acestea şi macrocosmos. Ceea ce căutau ei era să arunce o privire asupra realităţilor pe care numai mintea le poate cuprinde.

În lucrarea sa "Filosofia socială a vechilor greci", Constantin Tsatsos arată că, în sensul filosofiei greceşti, forma este ceea ce "alcătuieşte, ordonează, armonizează, leagă, defineşte, este legea. Iar legea nu este altceva decât ordine logica, necesară şi universală, este Logos.

“Numerele sunt sursa din care răsar formele şi energia în lume. Ele sunt active şi dinamice până şi în relaţiile dintre ele, aproape umane în capacitatea de influenţare reciprocă.” (Teon din Smirna)

Pentru Pitagora Numărul şi Forma la nivel ideal sunt unul şi acelaşi lucru. Când Pitagora spune :”Totul este aranjat conform Numărului „ el nu se gândea la simpla proprietate de calcul, de enumerare, ci la faptul că ele posedă şi o calitate sau mai multe. Aşa se face că „doimea” , „treimea” , „pătrimea” nu sunt formate numai din 2 , 3 respectiv 4 elemente ci reprezintă ele însele unităţi sau întreguri, fiecare cu proprietăţi specifice. „Doi” de exemplu este privit ca esenţa primară prin care se manifestă puterea dualităţii.

R.A. Schwaller de Lubicz prezintă o analogie prin care se poate înţelege acest sens universal şi arhetipal al Numărului. O sferă care se roteşte ne prezintă idea unui ax. Ne gândim la acest ax

ca la o linie imaginară ce trece prin sferă iar existenţa ei este rezultatul subiectivismului nostru. Nu putem spune că axul există acolo dacă noi nu ne gândim la el că există. Şi totuşi nu putem face niciun calcul referitor la viteza de rotaţie sau la înclinaţia sferei fără a ţine seama de acest ax. Numărul , în sens enumerativ, corespunde măsurătorilor şi calculelor efectuate pe suprafaţa sferei, în timp ce aspectul lui universal este mai strâns legat de principiul axului imaginar.

În planul bidimensional, luăm un cerc şi un pătrat şi dăm valoarea 1 atât diametrului cât şi laturii. Calculând diagonala pătratului va rezulta întotdeauna un număr iraţional „nemăsurabil” =1.4142.....denumit rădăcina pătrată a lui 2. Pentru cerc, circumferinţa va fi întotdeauna „nemăsurabilă” şi egală cu 3.14159=π. Principiul se păstrează şi dacă inversăm relaţia : dăm

diagonalei şi circumferinţei valoarea 1 iar latura pătratului va fi şi raza cercului . Cam în acest

punct matematica consacrată şi geometria se despart, în sensul următor : matematic nu putem calcula exact diagonala pătratului şi circumferinţa cercului. Putem aproxima aceste numere până la un număr convenabil de zecimale şi să prelucrăm mai departe aceste numere tratându-le ca oricare alt număr, dar nu le putem reduce niciodată la o cantitate. În geometrie, considerăm diagonala şi circumferinţa aflându-se într-o relaţie formală (diagonala pentru latură ; circumferinţa

pentru diametru); sunt realităţi evidente uşor cognoscibile ( şi ). Aceste numere sunt

considerate relaţii formale şi sunt numite funcţii. este numărul funcţional pentru pătrat.

este numărul funcţional al cercului. Aceste funcţii demonstează că Numărul este deasupra oricărei relaţii. Indiferent de valorile date laturii sau diametrului relaţia rămâne neschimbată; în esentă acest aspect funcţional al Numărului nefiind nici mic nici mare, nici finit nici infinit : este universal.

Uitându-ne la primele patru numere în această manieră, putem spune următoarele :UNU poate defini o cantitate, de exemplu – un caiet. Totodată, reprezintă cu claritate

principiul absolut al unităţii, şi a fost adeseori folosit ca un simbol reprezentând-ul pe Dumnezeu. Formal, este reprezentat printr-un punct sau un cerc.

DOI este o cantitate dar simbolic reprezintă pricipiul Dualităţii, puterea de multiplicare. Formal este reprezentat prin două puncte prin care trece o linie.

TREI este o cantitate, dar este şi principiul Trinităţii, al Dumnezeirii celei în trei Firi. Formal este reprezentat prin trei puncte care delimitează un triunghi. Prin trei, se face o tranziţie de la punct şi linie (elemente abstracte) la ceva tangibil numit suprafaţă.

PATRU reprezintă „primul-născut” al Naturii, este produsul procesului de procreaţie care

este procesul de multiplicare:

Ca reprezentare grafică, după cum v-aţi aşteptat, este pătratul, şi reprezintă materializarea. Dacă Unitatea nemanifestă încă este reprezentată de cerc, Unitatea manifestată în plan material este pătratul, ce conţine colţurile asociate celor 4 coordonate spaţiale N,S,E,V.

Dintre cele mai cunoscute elemente din geometria sacră, corpurile solide ale lui Pitagora, descrise foarte bine de către Platon, sunt poate cel mai des citate şi discutate. Aceste corpuri sunt în număr de 5 : tetraedrul, cubul (hexaedrul), octaedrul, dodecaedrul şi icosaedrul (hedra înseamnă faţă ) şi reprezintă expresia volumetrică a triunghiului, pătratului şi pentagonului. Sunt doar cinci pentru că numai ele respectă simultan următoarele reguli:

- Toate laturile egale- Toate unghiurile interne (unghiuri diedre) egale- Se înscriu perfect într-o sferă- Au feţele exterioare poligoane regulate- Toate vârfurile sunt înconjurate de acelaşi număr de feţe

Se numesc „platonice” pentru că despre acestea discută Platon în opera sa „Timeus sau Timaios” scrisă pe la 350 î.Hr. În acest dialog, cu o bogată încărcătură provenind din şcoala pitagoreică, descrie o cosmologie metaforică între geometria plană şi cea solidă. El precizează dealtfel că există 5 elemente ce stau la baza univesului: pământ, apa, aer, foc şi eter iar fiecăruia îi este asociat unul din aceste solide. Tradiţia a păstrat următoarele asocieri :

Cubul – pământ Tetraedru – foc Octaedru – aer Icosaedru – apă Dodecaedru – eter, elementul folosit de Dumnezeu la crearea universului

Euclid (300 î.Hr) şi alţi filosofi şi matematicieni ai Antichităţii au numit aceste corpuri geometrice atomii Universului. La fel cum astăzi noi credem că materia este organizată din atomi, aşa ei credeau că lumea fizică este organizată din atomi formaţi din solide Platonice. Totodată ei asociau materiei şi un înţeles mistic reprezentat de legătura descrisă mai sus. Similar modelului atomic actual în care nucleul este înconjurat de un nor de electroni aşezaţi pe diferite orbite, grecii credeau într-un model în care solidele perfecte se înscriu într-o sferă, care se înscrie într-un alt corp, care la rândul lui se înscrie într-o altă sferă, care la rândul ei se înscrie într-un alt corp, etc

Mai există o proprietate asociată acestor corpuri, numită stelare. Aceast proces rezultă prin alungirea feţelor adiacente unei muchii până când se intersectează. Se crează astfel un nou set de poliedre regulate. Tetraedrul şi cubul nu au un astfel de corp asociat, octaedrul are unul singur numit stella octangula (termen echivalent cu Mer-Ka-Bah); dodecaedrul are trei forme stelate iar icosaedrul unul singur.

1. Tetraedrul : Figura 1 Figura 2 Figura 3

Se numeşte tetraedru cazul particular de piramidă în care baza este reprezentată de un triunghi. În figurile 1,2,3 este prezentat tetraedrul regulat în care feţele sunt triunghiuri echilaterale. Totodată este poliedrul cu numărul cel mai mic de feţe la fel cum şi triunghiul este poligonul cu cel mai mic număr de laturi.Tetraedrul regulat este corpul în care toate vârfurile sunt echidistante între ele. Este singurul poliedru cu această proprietate, aplicabilă unui spaţiu cu 3 dimensiuni.

Tetraedrul regulat este solidul perfect format din : 6 muchii 4 colţuri 4 feţe

Desfăşurat în plan arată aşa Figura 4 Figura 5 Figura6

Forma de tetraedru este adoptată de foarte multe cristale, cu precădere grupul silicaţilor. Siliciul ocupă împreună cu oxigenul mai mult de o treime din totalul materialului solid al Pământului. Complexul cel mai des întâlnit este SiO4. În tetraedru fiecare colţ este ocupat de către un atom de O iar în centrul geometric se află Si.

O caracteristică importantă o reprezintă faptul că tetraedrul este solidul cu cea mai mare suprafaţă raportată la volum. Tetraedrul reprezintă structura de bază de la care toate lucrurile materiale sunt alcătuite. Un exemplu îl reprezintă ADN-ul care are structura spaţială de dublu-

helix aranjată sub forma unor tetraedre etajate ca în figurile alăturate:

Figura 7 Figura 8 Figura 9

Clasic, se cunoştea că tetraedrele sunt singurele solide care umplu un spaţiu finit (o cutie)

lăsând mai puţin loc liber decât ar lasă sferele care ar umple acel spaţiu. „Tetraedrele sunt cele mai simple poliedre regulate, în timp ce cvasicristalele se situează printre cele mai complexe şi interesante structuri găsite în natură” (Sharon Glotzer – Universitatea Michigan). La această universitate s-a studiat acest lucru folosind simularea computerizată. Rezultatele au arătat că în timpul „stivuirii”, tetraedrele se pot organiza spontan în cvasicristale în momentul în care depăşesc cu puţin jumătate din spaţiul incintei imaginare utilizate. În experimentul computerizat s-au luat în calcul numai legile termodinamicii şi ale mecanicii statistice. Structurile apărute au fost de formă dodecagonală, inele şi dipiramide pentagonale (o astfel de structură conţine 5 tetraedre aranjate sub forma unui disc). Dipiramida pentagonală deţine cheia procesului general de stivuire.

Acest studiu a dovedit că este permisă mărirea gradului de ocupare de la 77% la 85%, saltul fiind atribuit cvasicristalelor organizate spontan în forme geometrice regulate.

2. Cubul (Hexaedrul regulat): Figura 10 Figura 11 Figura 12

Este format din : 8 colţuri 12 muchii 6 feţe de forma unui pătrat

Dacă anticii considerau pătratul ca forma ce reprezintă lumea materială, universul creat, ei au asociat cubului elementul pământ – stabilitatea, calmul, forţa regenerării şi a procreării.

„Să conferim pământului figura cubică. Căci, dintre cele patru elemente, pământul este cel mai greu de mişcat şi , dintre corpuri, cel mai uşor de modelat.“(Timaios)

Cubul este corpul geometric cel mai des folosit în domeniul construcţiilor civile în societatea modernă. Astăzi se construiesc clădiri având la bază cubul sau paralelipipedul (derivat tot din cub prin dublarea acestuia).

Până în prezent au fost descrise şapte sisteme de cristalizare. Ele poartă următoarele denumiri: triclinică, monoclinică, rombică (cu simetrie joasă), trigonală, tetragonală, hexagonală (cu simetrie medie), şi cubică (cu simetrie superioară). Sistemul cubic are cele trei axe de simetrie egale, perpendiculare între ele. Cele mai simple corpuri ce aparţin acestui sistem sunt cubul şi octaedrul. În acest sistem cristalizează următoarele substanţe : C (diamantul) , Cu, Ag, Au, Pb, Fe, NaCl, FeS (pirita), PbS(galena), ZnS (blenda.

Prin cristalizare cubică a dioxidului de zirconiu (ZrO2) se obţine un cristal cu proprietăţi asemănătoare dimantului ( printre care duritate, refracţia) fiind adesea folosit ca şi înlocuitor al acestuia în diverse domenii.

O asociere deloc lipsită de importanţă este situarea acestui corp ca simbol spiritual în centrul a două mari religii monoteiste din lume : creştinismul şi islamismul. Dacă în creştinism, găsim crucea (cubul aflat în desfăşurare plană), în islam el este prezent ca atare în cubul de la Mecca, centrul religios al lumii arabe.

3. Octaedrul : Figura 13 Figura 14 Figura 15

Este format din : 12 muchii 6 vârfuri 8 feţe triunghiulare echilaterale

Forma predominantă adoptată de cristalele brute de diamant este cea de octaedru. Unind mijlocul laturilor unui tetraedru, se formează un octaedru care are latura egală cu jumătate din cea a tetraedrului din care provine.

Octaedrul se poate construi dintr-un tetraedru ale cărui laturi sunt marcate la jumătate. Unind aceste puncte între ele se formează un octaedru cu latura egală cu jumătate din cea a tetraedrului din care provine.

Volumul octaedrului astfel format care este de patru ori cel al unui tetraedru cu aceeşi lungime a laturii.

Figura 16 Figura 17 Figura 18

Compuşi ai unor metale tranziţionale cu diferte structuri organice (amine) formează structuri octaedrice adesea numite complexe Werner. La originea fenomenului de fotoluminiscenţă al oxidului de indiu stau structurile octaedrice care apar în procesul de cristalizare prin metoda evaporării în faze. (Mukesh Kumar1, V. N. Singh1, F. Singh2, K. V. Lakshmi3, B. R. Mehta1, and J. P. Singh1)

Structuri octaedrice au fost descoperite prin microscopie electronică la interfaţa dintre un substrat siliconat şi stratul de oxid depus la suprafaţa lui (Manabu; Akiya, Hideo; Ueki, Takemi; Tomita, Masato; Yamawaki, Masataka) Se poate sintetiza o catenă de ADN, care în prezenţa unor oligodeoxinucleotide sintetice se împătureşte într-o structură de octaedru printr-un simplu proces de denaturare-renaturare. (William M. Shih1, Joel D. Quispe2 & Gerald F. Joyce1).

Stella octangula de care am menţionat mai sus în această lucrare se formează prin stelarea unui octaedru regulat precum şi din 2 tetraedre întrepătrunse şi rotite la un unghi de 90® . Numele a fost pus de Kepler în 1611, obiectul în sine fiind cunoscut cu mult înainte.

4. Icosaedrul : Figura 19 Figura 20 Figura 21

Reprezintă corpul descris de Platon ca având : 30 de muchii 12 vârfuri 20 de feţe triunghiuri echilaterale (icosi= 20 în limba greacă)

Desfăşurat în plan are forma unei flori cu 5 petale sau a unei spirale cu 5 braţe

Este corpul după care, la nivel arhetipal, toată lumea vie este alcătuită, având la bază simetria pentagonului, adică a numărului 5. Microscopul electronic a arătat că viruşii au capsula glicoproteică de forma unui icosaedru formatdin 20 de subunităţi identice triunghiulare, amănunt ce reprezintă o modalitate foarte simplă de construcţie cu folosirea unei cantităţi minime de energie. (Stefano Cozzini, Marco Ronchetti)

În procesul de răcire rapidă a unor topituri de aliaje s-au putut observa regiuni în care structurile icosaedrice erau dominante (Societatea Americană de Fizică)

Figura 22

Clusteri de atomi uniţi prin legături van der Waals sau alte forţe slabe care depind numai

distanţa dintre perecile de atomi au o stabilitate neobişnuită când în acel cluster se găseşte numărul exact de atomi care pot forma un icosaedru. (serii de 13, 55 şi 147 de atomi)

3 dreptunghiuri de aur

5. Dodecaedrul : Figur 23 Figura 24 Figura 25

Este alcătuit din : 30 de muchii 20 de vârfuri 12 feţe pentagonale

Cele 12 feţe pentagonale erau asociate semnelor zodiacale, dodecaedrul fiind simbolul Universului. Dealtfel se leagă de o nouă teorie despre forma Universului, „Spaţiul dodecaedric Poincaré”, susţinută de o echipă de astronomi şi astrofizicieni de la observatorul astronomic din Paris, condusă de J.-P. Luminet şi care explică unele observaţii făcute asupra fondului cosmic de microunde (FCM). FCM reprezintă un fond arhaic de unde rămase de la momentul Big-Bangului şi sunt observate la suprafaţa unei sfere de aprox 50 de bilioane de ani care reprezintă modelul universului actual.

Datele culese de NASA prin intermediul sondei WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) tind să fie în concordanţă cu modelul unui univers finit, de forma unui dodecaedru înscris într-o sferă, model care este dinamic în maifestare, şi care nu prezintă graniţe cu toate că este finit. Aceste date nu sunt suficiente fiind necesare continuarea cercetărilor în această direcţie, totuşi datele acumulate de sonda WMAP sunt tot mai orientate spre a explica acest model.

Ho-Mg-Zn este un cvasicristal de formă dodecaedrică, realizat prin metoda auto-generării într-un mediu saturat în Mg, şi prin răcirea lentă a acestuia de la 7000 C la 4800 C. El face parte din familia unor cvasicristale rare pe Pământ (R-Mg-Zn), acestea fiind folosite în studiul momentelor magnetice localizate într-un mediu cvasi-periodic.

După cercetările întreprinse de Karyn N. Johnson, Liang Tang, John E. Johnson, şi L. Andrew Ball, genomul unor viruşi ARN cu structură icosaedrică joacă un rol important în organizarea structurii capsidei. În cazul nadovirusului Pariacoto (VPa) , 35% din ARN monocatenar este ordonat după simetrie icosaedrică. Acest lucru se poate vedea la examenul cristalografic cu raze X de înaltă rezoluţie ca un cadru dodecaedric format din 30 de regiuni duplex (24 nucleotide) , care interacţionează puternic cu 60 de subunităţi proteice din capsulă.

O proprietate foarte importantă a celor 5 solide perfecte o reprezintă principiul dualităţii. Aceasta înseamnă un poliedru se poate construi din alt poliedru, existănd astfel cuplurile: cub-octaedru, icosaedru-dodecaedru. Centrul geometric al fiecărei feţe reprezintă un vârf pentru celălalt corp.

Luăm ca exemplu perechea icosaedru-dodecaedru, şi se vede acest proces dinamic.

Cuplul cub- octaedru : Tetraedrul este dual cu sine însuşi.

Relaţii între Solidele Platonice :1. 6 margini într-un tetraedru = 6 feţe într-un cub.2. Există două posibilităţi în care 4 din cele 8 colţuri ale cubului să corespundă cu cele 4 colţuri

ale tetraedrului. 3. 4 feţe într-un tetraedru = 4 colţuri într-un tetraedru. Aşa se explică şi dualismul tetraedrului

faţă de el însuşi. 4. 6 margini într-un tetraedru = 6 colţuri într-un octaedru. Aceasta este o consecinţă a

faptului că un octaedru poate fi înscris într-un tetraedru.5. 6 feţe într-un cub = 6 colţuri într-un octaedru .În centrul fiecăreia din cele 6 feţe ale cubului

este unul din cele 6 colţuri ale octaedrului.6. 8 colţuri într-un cub = 8 feţe într-un octaedru. În centrul fiecăreia din cele 8 feţe ale

octaedrului este unul din cele 8 colţuri ale cubului.7. 12 margini într-un cub = 12 margini într-un octaedru. Dacă cele 12 margini ale cubului şi

cele 12 margini ale octaedrului se intersectează, formează un unghi drept. 8. 12 margini într-un cub = 12 feţe într-un dodecaedru. Aceasta este o consecinţă a

faptului că un cub poate fi înscris într-un dodecaedru. Fiecare latură a cubului va deveni o diagonală în una din feţele dodecaedrului.

9. 12 margini într-un octaedru sau 12 ale cubului = 12 colţuri ale icosaedrului,12 margini într-un octaedru = 12 feţe într-un dodecaedru

12 feţe ale dodecaedrului = 12 colţuri ale icosaedrului, 20 colţuri ale dodecaedrului = 20 feţe ale icosaedrului,

30 margini ale dodecahedrului = 30 margini ale icosaedrului,

Poliedrele regulate în naturăFiecare corp platonic se gaseşte într-o formă sau alta în natură. Tetraedrul, cubul şi

octaedrul apar în structurile de cristalizare ale diferitelor minerale şi minereuri (aur, platină, diamant, silicaţi, cuarţ, etc)

La începutul secolului 20 Ernst Haeckel a descris câteva specii de Radiolaria. Acestea sunt vietăţi acvatice cu pseudopode şi caracter de protozoare, având dimensiuni de 0,1-0,2mm. S-a descoperit că o parte din scheletele acestora au diverse forme de poligoane regulate. Exemplele: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus and Circorrhegma dodecahedra; formele acestor animale fiind indicate de numele lor.Exteriorul proteinei a celor mai multe virusuri au forma de poliedrul regulat.

O moleculă de carbon cunoscută cu denumirea de Fulerenc (C60) este noua membră alotropă a familiei carbonului alături de grafit, diamant şi forme amorfe. A fost descoperită în anul 1985 de Richard Smalley, Robert Curl, James Heath, Sean O'Brienşi Harold Kroto de la Universitatea Rice (Texas, SUA). Fulerenul are forma unei sfere sau a unui cilindru, cu diverse aplicaţii în electronică şi diverse nanotehnologii. În natură a fost găsit în fumul de la lumânări, în descărcările electrice din atmosferă şi în praful stelar.

Antony Garret Lisi, un renumit om de ştiinţă în domeniul fizicii teoretice descrie în lucrarea sa „Exceptionally Simple Theory of Everything” o unificare a celor două teorii folosind un tip special de algebră (algebra Lie). Această teorie unficată propune existenţa unei legături fundamentale între teoria actuală a gravitaţiei Teoria descrie, printe altele şi posibilitatea existenţei mai multor particule decât se cunosc în acest moment.

Imaginile de mai jos arată locul precis pe care fiecare particulă îl ocupă în cadrul acestui model, fiecare culoare şi formă ţinând locul unei caracteristici de genul moment de spin, forţă tare, forţă slabă, categorie (fermioni, bozon, gluon, quark).

O întrebare importantă şi care apare în mintea multor persoane care se ocupă cu studiul geometriei sacre este : Cum vedem aceste corpuri în lumea înconjurătoare, în realitatea noastră de zi cu zi? Am să încerc să dau un răspuns printr-un exemplu matematic. Dacă vrem să măsurăm ceva în jurul nostru, apelăm la nişte senzori care culeg date ce vor fi prelucrate analogic şi digital, apoi interpretate de un soft pe calculator. În analiza datelor respective vom construi grafice pe care se găsesc curbe de interpretare a diverşilor parametri măsuraţi. Aplicăm apoi funcţii matematice şi diverse operaţii de calcul matematic. Una din acestea se numeşte derivare, care simplu spus măsoară viteza variaţiei datelor pe acea curbă. Prin acest lucru se îmbogăţeşte informaţia extrasă din acele date. Acum, legătura cu subiectul nostru este tocmai faptul că Universul având la bază aceste 5 elemente, noi vedem în jurul nostru derivări ale acestora precum şi combinaţii între ele. Dacă studiem un obiect comun din preajma noastră cu destulă acurateţe ştiinţifică, cu precizie şi îndemânare matematică, descoperim aceste cărămizi şi relaţiile dintre ele.

Aceste procedee simple, împreună cu celelalte legităţi enunţate în cuprinsul acestei cărţi conduc la imensa diversitate de forme şi structuri, materiale şi texturi ce se regăsesc peste tot în jurul nostru.

Bibliografie :Robert Lawlor - Sacred Geometry - Philosophy and Practice, Thames Hudson (2002) Antony Garrett Lisi - An Exceptionally Simple Theory of EverythingMatila C. Ghyka – Le nombre D’or, ed. Gallimardhttp://mathworld.wolfram.comhttp://www.britannica.com/EBchecked/topic/122615/cluster/51984/Clusters-with-icosahedral-structureshttp://www.nature.com/nature/journal/v427/n6975/full/nature02307.htmlhttp://www.microbiologybytes.com/virology/3035Structure.htmlhttp://www.sciencedaily.com/releases/2009/12/091209134633.htmhttp://www.obspm.fr/actual/nouvelle/oct03/luminet.en.shtmlhttp://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC521806/http://apl.aip.org/resource/1/applab/v92/i17/p171907_s1?isAuthorized=no