Elemente de geometrie fractala

Elevi :Ciobotaru AndreeaLungu MihaelaSima Nicoleta

Cuprins:

Introducere-Scurt istoricDefinitia fractalilorCaracteristici ale fractalilorDimensiunea fractalăElementele unui fractalCurba si fulgul lui Koch + Praful lui CantorUtilizări ale fractalilorExemple de fractaliBibliografie

Scurt istoricTeoria fractalilor si teoria haosului au format o nouă ramură a

matematicii, facând ca aceasta să devină mai interesantă din punct de vedere al aplicaţiilor. Cu o evoluţie de aproximativ 60 ani, aceste două teorii s-au infiltrat foarte repede în lumea ştiinţei, cunoscând aplicaţii în aproape toate domeniile existente, începând cu domeniile informatice şi terminând cu aplicaţii elaborate în economie, statistică, geografie, arte plastice. Aceste două noţiuni, au început să ne ofere o nouă cale de percepere a realităţii.

Istoria fractalilor are originea în anul 1975, când apare lucrarea fondatorului geometriei fractale, Benoit Mandelbrot, “O teorie a sistemelor fractale”. Această lucrare a dus la fondarea unei noi ramuri matematice, şi anume a geometriei fractale. Geometria fractală este recunoscută ca şi o nouă ramură a matematicii, având la bază articolul lui Mandelbrot “Care este lungimea ţărmului Marii Britanii?”, ca mai apoi să devină un domeniu practic al matematicii în urma apariţiei cărţii sale “Geometria fractală a naturii ” în 1982.

Cuvântul fractal (însemnând fragmentat, fracţionat, întrerupt) a fost pentru prima dată utilizat de către Mandelbrot şi ţinea să ilustreze munca multor matematicieni dinaintea sa, care au creat fractali mai mult ca un exerciţiu matematic: Helge von Koch, Georg Cantor, Waclav Sierpinski şi David Hilbert.

Definiţia fractalilor În 1982, Mandelbrot şi-a extins două eseuri anterioare,

creand lucrarea deschizătoare de drumuri "Geometria fractală a naturii". El a inventat cuvântul "fractal" (din latinescul "frangere" care înseamnă "a sparge în fragmente neregulate"), astfel încât inversele forme au putut fi unificate sub un singur nume. Pentru a fi clasificată oficial ca fractal, o formă trebuie să aibă dimensiunea Hausdorff-Besicovitch mai mare decât dimensiunea sa topologică tradiţională. Pe scurt, fractalii sunt toate acele ciudăţenii care umplu spaţiul şi pe care matematicienii le abandonaseră ca fiind dezarmant de complexe. Mandelbrot nota patetic: "deoarece cuvântul algebra derivă din cuvântul arab jabara (a lega împreună), între cuvintele fractal şi algebră este o contradicţie etimologică". 

Caracteristici ale fractalilor• 1. Autosimilitudinea

Un obiect autosimilar este acel obiect ale cărui componente se aseamănă cu întregul. Reiterarea detaliilor şi a modelelor apare pe măsură ce micşorăm scara şi poate, în cazul entităţilor pure şi abstracte, să continue indefinit, astfel că fiecare detaliu al fiecărei părţi, când e mărit, arată în principiu ca o anume parte fixată a întregului obiect.

• 2. Invarianţa la translaţiiInvarianţa la translaţii reprezintă proprietatea unui obiect fractal de a regăsi un detaliu al său prin suprapunerea acestuia peste o altă zonă a fractalului după translatarea pe o anumită direcţie.

• 3. Fragmentare la infinitFragmentarea la infinit reprezintă proprietatea unui obiect fractal de a genera figuri asemănătoare cu cea de pornire, indiferent de câte ori se fragmentează obiectul .

Dimensiunea fractală4. Dimensiunea fractală

În 1918 matematicianul F. Hausdorff a introdus o nouă dimensiune - dimensiunea fractală sau dimensiunea Hausdorff. Această dimensiune măsoară numărul de mulţimi de diametre mai mici necesare pentru a acoperi o figură. Dacă acest număr este întreg, atunci dimensiunea este topologică, altfel dimensiunea este fractală.

Alexander F. Walz consideră un fractal ca fiind o schemă copiată de o infinitate de ori într-un spaţiu finit. Dacă un obiect compus din elemente asemenea cu el are dimensiunea D, poate fi împărţit în nD elemente de r ori mai mici, atunci dimensiunea sa fractală este dată de relaţia:

 

Elementele unui fractal

Un fractal conţine următoarele elemente:1. Iniţiatorul

Iniţiatorul este figura geometrică de la care se începe generarea fractalului.De regulă iniţiatorul este o figură geometrică simplă - linie, triunghi, patrat, ...

2. Legea de construcţieLegea de construcţie oferă metoda de generare a fractalului.Ea specifică ce anume se modifică la trecerea de la o iteraţie la următoarea.

3. Procesul de generare Procesul de generare este cel care construieşte efectiv iteraţiile obiectului fractal, plecând de la iteraţia curentă şi aplicând asupra ei legea de construcţie. Fiecare iteraţie defineşte o nouă generaţie a mulţimii fractale.

Curba Koch

1. Iniţiatorul este un segment.

2. În acest caz legea de transformare impune ca segmentul să fie divizat în trei părţi egale, să fie înlăturată partea centrală şi în locul ei să se pună un triunghi echilateral fără bază.

3. Procesul de generare se aplică în continuare pentru fiecare segment al figurii obţinute.

Curba KochDupă un număr mai mare de iteraţii se

obţine:

După infinit de mulţi paşi se obţine ceea ce se numeşte Fractalul lui Koch. Această curbă este de lungime infinită şi are o dimensiune proprie între 1 şi 2. Este un obiect "ciudat" pentru gândirea unui om neobişnuit să lucreze în abstract. Nu este o dreaptă, dar nici o suprafaţă, întrucât are dimensiunea fractală caracteristică între 1 şi 2:

Df = Ln(4) / Ln(3) = 1.26185........

Fulgul lui KochTrei copii ale curbei Koch puse împreună în

jurul laturilor unui triunghi echilateral formează o curbă simplă închisă, care constituie Fulgul lui Koch ( "fulgul de zăpadă" al lui Koch) sau insula lui Koch. Are aceeaşi dimensiune fractală cu linia lui Koch.

Praful lui CantorO altă variantă la fel de cunoscută în

lumea fractalilor este praful lui Cantor. Ideea de generare este aceeaşi. Se porneşte de la un iniţiator ce este şi în acest caz un segment de dreaptă. Legea de generare presupune doar îndepărtarea treimii din mijloc a segmentului.

Arbori fractali binariArborele binar fractal are cainiţiator tot un segment de lungime d (trunchiul arborelui).Legea de generare înseamnă ramificarea trunchiului cu două ramuri simetrice, de lungime d2=d/2.Procesul de generare presupune,la iteraţia k, ramificarea ultimelor ramuri de lungime dk cu două noi ramuri, dispuse simetric, de lungime dk+1=dk/2

Arborele fractal binar variabil îşi schimbă şi unghiul dintre ramuri la fiecare iteraţie:

Arbore binar fractal variabil

Utilizări ale fractalilor

Geometria fractalilor oferă un limbaj folosit pentru a descrie, modela şi analiza forme complexe găsite în natură.

Câteva categorii pe care fractalii le pot modela sunt: Plante Vremea Curgerea fluidelor Activităţile geologice Orbitele planetelor Comportamentul grupurilor de animale Tipare socio-economice Cu ajutorul fractalilor se pot măsura textura şi complexitatea

oricărui lucru, de la liniile de coastă ale oceanelor la munţi şi la norii de ploaie.

Fractalii oferă un mod deosebit de observare şi modelare a unor fenomene deosebit de complexe pe care geometria euclidiană şi matematica lui Leibnitz şi Newton nu o pot reprezenta util. De asemenea, fractalii sunt exploataţi şi în artă şi arhitectură.

Exemple de fractaliTurnul Eiffel, construit la Paris înglobează ideea de fractal în materialele folosite

Generarea elementelor de relief, munţi, râuri şi atmosferă nori, fulgere

Suprafaţa creierului

Structura plămânului

Peisaj fractal

Bibliografie:http://ro.wikipedia.org/wiki/Fractalhttps://

sites.google.com/site/teoriahaosuluighimpumihttp://

teoriahaosului11b.blogspot.ro/2014/06/elemente-de-geometrie-fractala.html