Capitol 2

Turbomaşini

3

2. LEGI ŞI NOŢIUNI FUNDAMENTALE UTILIZATE ÎN

STUDIUL TURBOMA ŞINILOR Procesul de conversie a energiei din turbomaşini este descris prin

circulaţia continuă a agentului motor (fluidul de lucru) prin secţiunile interne de curgere ale acestora, fapt pentru care este necesară revederea unor legi fundamentale ale Mecanicii Fluidelor şi Termotehnicii. Aceste legi sunt descrise în realitate de ecuaţii complicate, care pot fi însă afectate de ipoteze simplificatoare precum unidimensionalitatea fluxului de fluid, staţionaritatea curgerii, omogenitatea şi starea inertă a fluidului.

2.1. Ecuaţii de stare şi de transformare ale gazului perfect

Pentru o cantitate dată de substanţă corespunzătoare unui gaz, parametrii

de stare presiune, volum şi temperatură absolută (p, v şi T) sunt legaţi între ei printr-o ecuaţie care sub forma implicită are expresia ( ) 0,, =Tvpf , denumită ecuaţie de stare. Pentru gazul ideal, această ecuaţie se determină pe baza teoriei cinetico-moleculare, ea având forma:

mRTpv= (2.1)

unde m - masa gazului, exprimată în kg,

R este constanta generală a gazului respectiv, determinată cu relaţia

M

RR M= ( kgK/J8315=MR , iar M este masa molară exprimată în kg/kmol).

Pentru turbomaşinile termice este primordială transformarea adiabată,

caracterizată de lipsa transferului de căldură cu exteriorul şi de variaţia tuturor parametrilor fizici ai fluidului, mai puţin entropia. Ecuaţia acestei transformări este:

ct.=kpv (2.2)

unde k - exponentul adiabatic al gazului.

2.2. Ecuaţia de debit

Prin definiţie, debitul masic este cantitatea de fluid care străbate o secţiune de curgere dată în unitatea de timp:

Capitolul 2. Legi şi noţiuni fundamentale utilizate în studiul turbomaşinilor

4

[ ]kg/sτd

dmm=& (2.3)

Întrucât în practică se utilizează şi alte unităţi de măsură, între acestea

există următoarele legături:

[ ] [ ] [ ]6,3

t/h

3600

kg/hkg/s

mmm

&&

& ==

Pe lângă debitul masic, în proiectare şi exploatare este folosit şi debitul volumic:

[ ]/sm3

τd

dVV =& (2.4)

Parametrul termofizic la fluidului care corelează cele două tipuri de debite este densitatea: Vm &

& ρ= (2.5) Ecuaţia de debit exprimă legătura dintre debit şi secţiunea de curgere străbătută (fig. 2.1):

Debitul volumic este produsul scalar dintre aria secţiunii S, vectorul viteză c

r

şi normala la suprafaţă n

r

.

ncScScSV ⋅=⋅⋅=⋅= αcosr

r

& (2.6) Debitul masic rezultă conform (2.5)

v

cScSm n

n

⋅=⋅⋅= ρ& (2.7)

2.3. Ecuaţia continuităţii

Această ecuaţie reprezintă aplicarea principiului conservării materiei în cazul curgerii fluidelor. În funcţie de factorul timp, curgerea fluidului printr-o secţiune poate avea loc în: • regim permanent (staţionar); • regim nepermanent (variabil, tranzitoriu, dinamic).

cn

c

nS

Figura 2.1 Elementele ecuaţiei de debit

Turbomaşini

5

Regimul staţionar reprezintă elementul de bază în proiectarea turbomaşinilor, pe când regimurile tranzitorii se petrec în exploatarea acestora, fiind necesară cunoaşterea acestora. Ipotezele simplificatoare de care ţinem seama în aplicarea ecuaţiei continuităţii sunt: a) fenomenele de curgere sunt

fenomene fizice, iar fluidul nu se transformă chimic;

b) fluidul este continuu, fără goluri interne. Fie o porţiune fixă din tubul de curent, delimitată de curgerea fluidului în

timpul τd : Diferenţa dintre cantitatea de fluid intrată în domeniul de analiză şi cea

ieşită este egală cu masa de fluid acumulată în interior într-un interval de timp. În formă diferenţială, ecuaţia este continuităţii este următoarea:

( ) τρτ

ττ ddlSddll

mmdm ⋅⋅

∂∂=⋅

∂∂+−⋅&

&& (2.8)

sau ( )Sl

m ⋅∂∂=

∂∂− ρ

τ&

(2.9)

Enunţul legii continuităţii este următorul: variaţia debitului în lungul tubului de curent este determinat de variaţia în timp a densităţii fluidului sau/şi a secţiunii de curgere. În această formă (2.9) ecuaţia continuităţii permite studiul regimurilor nepermanente. În regim staţionar, debitul de fluid acumulat în interiorul domeniului de

analiză este nul, deci 21 mm && = sau 0=∂∂

l

m& (debitul se menţine constant în lungul

unui tub de curent). În această situaţie, ecuaţia continuităţii are următoarea formă:

2

22

1

11

v

cS

v

cS nn ⋅=⋅ (2.10)

2.4. Ecuaţia conservării energiei

Această ecuaţie este expresia analitică a principiului conservării energiei. Astfel, energia unui kilogram de fluid (energie specifică) este egală cu suma

m&

dll

mm

∂∂+&

dl

c1n

c2n

Figura 2.2 Elementele ecuaţiei continuităţii


6

dintre energia internă u, energia de presiune vp ⋅ , energia de poziţie zg ⋅ şi

energia cinetică 2

2c:

[ ]J/kg2

2cgzpvue +++= (2.11)

Se deosebesc două abordări, în funcţie de compresibilitatea sau

incompresibilitatea fluidului: a) la gaze apar următoarele ipoteze de lucru sau definiţii: 0=gz (densitatea este

mică) şi pvuh += (se defineşte astfel entalpia gazului), rezultând:

[ ]J/kg2

2che += (2.12)

b) la lichide energia internă este nulă ( )0=u , conducând la expresia

[ ]J/kg2

2cgz

pe ++=

ρ (2.13)

În cadrul unui proces termodinamic deschis caracterizat de curgerea

fluidului, căldura primită de fluid conduce la creşterea energiei fluidului, producerea de lucru mecanic şi acoperirea echivalentului termic al pierderilor prin frecări dhfr:

frdhdldedq ++= (2.14)

O analiză comparativă similară cu cea precedentă ne conduce la următoarele dezvoltări: a) în cazul curgerii gazelor, căldura primită de fluid are două componente,

respectiv cea schimbată cu exteriorul edq şi cea dezvoltată prin frecări ( )frfr dhdq = . Astfel, ecuaţia (2.14) devine, prin combinarea cu (2.12):

dlc

ddhdldedqe +

+=+=

2

2

(2.15)

Turbomaşini

7

Notă: Ecuaţia a fost stabilită în condiţiile luării în consideraţie a pierderilor, deci este caracteristică atât proceselor teoretice, cât şi celor reale. Ea se aplică între două puncte aflate pe traseul curgerii fluidului, fără a evidenţia transformările petrecute pe parcurs. Astfel, considerând turbomaşina termică motoare (turbina cu abur sau cea cu gaze), putem considera cele două puncte ca fiind admisia (0), respectiv evacuarea (c) agentului termic. Şi în acest caz apelăm la două ipoteze simplificatoare: • datorită curgerii rapide, timpul în care se desfăşoară procesul este foarte

scurt, nepermiţând transferul de căldură cu exteriorul ( )0≅edq şi conferind procesului un caracter adiabatic.

• în cele două puncte considerate, viteza de curgere este de acelaşi ordin de mărime ( )m/s50301 K=c , iar ( )m/s120902 K=c , astfel încât se poate

considera 02

2

≅

cd

Aceste ipoteze schimbă forma ecuaţiei (2.15) într-o relaţie care arată că lucrul mecanic se produce prin scăderea entalpiei specifice:

dhdldldh −=→+=0 (2.16)

Integrând ecuaţia între cele două puncte stabilite se obţine: [ ]J/kg0 Hhhl c =−= (2.17) Lucrul mecanic generat de turbomaşină este egal cu diferenţa de entalpie dintre admisia şi evacuarea din turbină, denumită mai pe scurt cădere termică.

Aceasta poate fi citită direct din diagrama h-s a lui Mollier pentru proprietăţile termofizice ale aburului, aşa cum se arată în figura 2.3. În cazul gazelor de ardere, pentru determinarea căderii de entalpie se folosesc ecuaţiile transformării gazului perfect:

( )

−

−=

−

−=−=

−k

k

cccp p

pRT

k

k

T

TRT

k

kTTcH

1

00

000 1

11

1 (2.18)

b) în cazul curgerii lichidelor prin turbomaşini, acestea nu schimbă de regulă căldură ( )0=dq , ceea ce schimbă ecuaţia (2.14) la forma:

H0

c

h [kJ/kg]

s [kJ/kgK]

Figura 2.3 Căderea de entalpie


8

frfrfr dhc

dgdzdp

dhdedldhdlde −

−−−=−−=→++=

20

2

ρ (2.19)

Lucrul mecanic se obţine prin scăderea energiei fluidului, diminuat fiind

de pierderi. Integrând între două puncte bine alese de pe traseul râului (1- nivelul liber al lacului de acumulare; 2- nivelul liber al apei la evacuarea din turbină, vezi fig. 2.4.) se obţine căderea brută Hb, respectiv căderea netă Hn:

1

2

barajaducţiune

conductăforţată

turbină

evacuare

Figura 2.4. Schema amenajării hidraulice

( )2

22

21

2121 cc

zzgpp

Hb−+−+−=

ρ (2.20)

frbn hHH ∆−=

şi aici se fac următoarele ipoteze simplificatoare: ( )21 pp ≅ - presiunea atmosferică este aproximativ constantă; ( )21 cc ≅ - viteza apei este comparabilă în cele două puncte. Rezultă: ( )21 zzgHb −≅ sau 21 zzYb −≅ (2.21)

[ ]m21 g

hzzY fr

n

∆−−=

În cazul turbomaşinilor generatoare, lucrul mecanic necesar este

echivalent cu înălţimea de pompare sau de compresie: • pentru compresoare:

[ ]J/kg22

**22

ara

ar

rar hhc

hc

heeH −=

+−

+=−= (2.22)

unde r-refulare; a-admisie; * - parametrii punctului frânat.

Turbomaşini

9

• pentru pompe:

( ) [ ]J/kg2

2221 ar

arar

cczzg

ppeeH

−+−+−=−=ρ

(2.23)

La curgerea fluidelor prin canale de rotaţie (cazul turbomaşinilor

centrifuge sau centripete), în funcţie de potenţial, intervine şi forţa centrifugă,

prin energia de rotaţie 2

2u. Astfel, expresiile ecuaţiilor (2.12) şi (2.13) devin:

• pentru compresoare:

022

2222

=

−+→−+= uwddh

uwhe (2.24)

• pentru pompe:

022

2222

=+

−++→−++= frdhuw

dgdzdpuw

gzp

eρρ

(2.25)

Pe baza ecuaţiei energiei se pot defini puterea şi randamentul turbomaşinilor . Astfel, dacă 1 kg fluid primeşte sau transmite o cantitate de energie He =∆ , puterea primită sau transmisă de debitul m& este dată de relaţia: [ ]kJ/kgHVHmPf ⋅⋅=⋅= ρ& (2.26)

De regulă, puterea turbomaşinilor este definită la cupla cu maşina antrenată (de antrenare). Aceasta poartă numele de putere efectivă. Definind randamentul turbomaşinii ca:

consumat

util

P

P=η (2.27)

rezultă că:

• pentru turbine

==

fconsumat

eutil

PP

PP,

iar ηρη ⋅⋅⋅=⋅⋅= HVHmPe & (2.28)


10

• pentru pompe şi compresoare

=

=

econsumat

futil

PP

PP,

iar η

ρη

HVHmPe

⋅⋅=⋅=&

(2.29)

2.5. Legea impulsului În cazul fluidelor aflate în curgere prin incinte se exercită forţe de

interacţiune fluid-perete. Aceste forţe de interacţiune se datorează presiunii şi greutăţii fluidului, respectiv variaţiei impulsului acestuia. Măsura acestor forţe este dată de ecuaţia următoare:

( ) [ ]∑∑ −++=−++= N2121 ccmGFIIGFF ppi

rr

&

rrrrrrr

(2.30)

unde cmI

r

&

r

= este impulsul fluidului în unitatea de timp, având dimensiunile unei forţe.

Pentru aplicarea teoremei impulsului se demarcă secţiunile de curgere de interes cu o suprafaţă de contur şi se iau în considerare forţele care acţionează în interiorul domeniului de analiză şi pe suprafaţa exterioară a acestuia. Pentru exemplificare, se poate vedea în fig. 2.5 modul de calcul a forţei de interacţiune pe care o exercită fluidul aflat în curgere printr-un cot de conductă la 90° asupra incintei:

1pFr

2pFr

2pFr

1pFr

1Ir

2Ir

1Ir

2Ir

−

G

iFr

iFr

G

Figura 2.5. Calculul forţei de interacţiune exercitate de fluid asupra incintei

Turbomaşini

11

Literatura de specialitate descrie trei moduri prin care un fluid în mişcare poate produce forţă asupra corpurilor cu care vine în contact:

A) Efectul de acţiune, în care forţa se produce prin acţiunea directă a

fluidului aflat în curgere cu viteză mare (lovirea) asupra corpului aflat în calea acestuia. Se ilustrează acest efect prin două exemple. În primul, jetul de fluid ieşit pe direcţie orizontală dintr-un injector loveşte un perete plan vertical (fig. 2.6). Într-al doilea caz, locul peretelui plan este luat o placă concavă (2.7). • Perete plan infinit lovit de un jet de fluid

iFr

1cr

2cr

Figura 2.6. Efect de acţiune: perete plan lovit de un jet de fluid

După impactul cu peretele, jetul se disipează simetric, conducând la

relaţia:

∫ == 022 mdcI &

rr

(2.31)

Analizând forţele la interfaţa volumului de control, se remarcă faptul că

presiunea este constantă ( )∑ = 0pFr

, iar greutatea fluidului este paralelă cu

peretele plan, ea neinteracţionând cu acesta. Aplicând teorema impulsului (2.30), se obţine:

11 cmIFir

&

rr

== (2.32)


12

• Perete curb de 180° lovit de un fluid

În acest caz fluidul curge pe suprafaţa curbă, revenind la direcţia iniţială de curgere, dar în sens contrar. Considerând lipsa pierderilor de curgere ( )12 cc

rr −= , ecuaţia (2.30) devine: ( )[ ] 11121 2 cmccmIIFi

v

&

rr

&

rrr

=−−=−= (2.33)

1cr

12 ccrr −=

iFr

iFr

2Ir

1Ir

1Ir2I

r

−

iFr

Figura 2.7. Efect de acţiune: perete Figura 2.8. Efectul de reacţiune curb lovit de un jet de la turbomaşini fluid

În concluzie, forţa de interacţiune s-a dublat, ceea ce explică şi de ce

paletele de turbomaşină au suprafaţă concavă (curbată). B) Efectul de reacţiune constă din apariţia unei forţe de interacţiune

“fluid-perete” datorat ieşirii cu viteză a fluidului din incintă. Cel mai tipic exemplu este cel al rachetei, asupra căreia se exercită o forţă în sensul de înaintare cauzată de gazele ce ies din incintă în sens contrar. În turbomaşini efectul de reacţiune apare atunci când fluidul iese din canalul interpaletar cu o viteză mai mare decât cea cu care a intrat. Exemplificarea este prezentată în fig. 2.8. În acest caz, considerând ipotezele simplificatoare ( )∑ ≅= 0;0 GFp

rr

,

rezultă: 21 IIFi

rrr

−= (2.34)

C) Efectul de aripă portantă apare la curgerea fluidului în jurul unui profil aerodinamic numit aripă portantă. Datorită formei profilului, aşa cum se poate vedea în figura 2.9, liniile de curent, orientate în prealabil după direcţia vitezei fluidului la infinit( )∞w

r

sunt perturbate în contact cu profilul, devenind mai dese pe faţa concavă (extrados) şi mai rare pe faţa convexă (intrados). În acest fel, gradientul vitezei pe extrados este mai mare decât pe intrados, iar cel al presiunii mai mare pe intrados decât pe extrados. Apare ca urmare o forţă

Turbomaşini

13

portantă Rz şi o forţă de rezistenţă la înaintare Rx, proporţionale cu suprafaţa profilului, densitatea fluidului şi energia cinetică specifică la infinit.

δ

+∆p

∞wr

∞wr

Rz

Rx

R

+∆w

Figura 2.9 Efectul de aripă portantă

2

22

2

∞

∞

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

wScR

wScR

xx

zz

ρ

ρ (2.35)

Forţa rezultantă R va acţiona asupra profilului sub un unghi λ faţă de forţa

portantă. Se defineşte coeficientul de fineţe µ, asimilabil unui coeficient de frecare:

z

x

z

x

c

c

R

R === λµ tg (2.36)

De regulă, viteza la infinit şi coarda profilului se găsesc sub un unghi

0>δ , denumit unghi de atac. Coeficienţii cz, cx (coeficientul de portanţă şi cel de rezistenţă la înaintare) şi µ depind de unghiul de atac δ, conform diagramelor din figura 2.10.

Unghiul de atac poate fi ales din ce în ce mai mare (crescând astfel coeficientul de portanţă cz), până ce apare la suprafaţa profilului un punct în care viteza fluidului atinge viteza sunetului a. Unghiul de atac corespunzător se


14

notează δcr. Dacă unghiul de atac creşte în continuare, coeficientul de portanţă creşte din ce în ce mai puţin, până îşi atinge valoarea maximă, corespunzător unghiului δd, moment în care fluidul începe să se desprindă de pe extradosul profilului. Coeficientul de portanţă scade apoi brusc concomitent cu creşterea lui µ..

δ

µcz

δcr δd

cz max

µ

Figura 2.10 Dependenţa coeficienţilor de portanţă(cz) şi fineţe (µ) de unghiul de atac

În turbomaşini există reţele de profile, mai rare sau mai dese. Dacă reţeaua este rară (număr mic n de profile), forţa de interacţiune dintre fluid şi rotor scade ( )∑ ⋅= RnR

rr

. Dacă reţeaua este deasă, depresiunea de pe extradosul

unui profil se transmite pe intradosul profilului adiacent, micşorând coeficientul de portanţă, după cum rezultă şi din figura 2.11:

Interacţiunea se cuantifică prin luarea în consideraţie a unui coeficient K:

zz cKc ⋅=' (2.36)

De regulă, optimul desimii reţelei apare

atunci când 1≅L

t .

β

C

t

Figura 2.11. Mărimile reţelei

de profile

Turbomaşini

15

2.6. Legea momentului cinetic

Momentul cinetic este momentul impulsului în raport cu un pol O. Analog cu teorema impulsului se determină şi momentul cinetic exercitat de fluid în raport cu un pol:

( ) [ ]Nm2211 crcrmMMM Gpirrrr

&

rrr

×−×++= (2.37)

Această lege se aplică la rotoarele radiale, unde fluidul circulă într-un plan

perpendicular pe axul de rotaţie (fig. 2.12).

O

c1

c1u

c2uc 2

ω

r1 r 2

Figura 2.12 Curgerea prin turbomaşina radială

Ca ipoteze simplificatoare se menţionează: • Curgerea este axial-simetrică, suprafeţele izobare fiind cilindri coaxiali cu

axul de rotaţie ( )0=pMr

.

• Densitatea gazelor este mică în raport cu cea a lichidelor ( )0=GMr

. Turbomaşinile ce vehiculează lichide au de regulă axul vertical, din nou( )0=GM

r

. Forma aplicabilă în practică pentru turbine este:

( )2211 crcrmM irrrr

&

r

×−×= (2.38)

Aplicând dezvoltarea matematică a produsului vectorial ( )urccrcr =⋅⋅=× αsin

rr

, rezultă:


16

( )uui crcrmM 2211 −= & (2.39) Puterea transmisă de fluid rotorului ( )ω⋅= iu MP se numeşte putere utilă: ( ) ( )uuuuu cucumcrcrmP 22112211 −=⋅−⋅= && ωω (2.40) Astfel, putem calcula lucrul mecanic transmis de către fluid rotorului:

[ ]J/kg2211 uuu

u cucum

pH −==

&

(2.41)

În cazul turbomaşinii generatoare (pompă sau compresor), prin

considerarea faptului că reţeaua de palete transmite moment cinetic fluidului, ecuaţia (2.41) devine [ ]J/kg11212 uuu cucuH −= (2.42)

Mai există un caz interesant de aplicare a ecuaţiei momentului cinetic la turbomaşini, şi anume curgerea fluidului în canale fixe, când momentul cinetic este nul: ct.0 2211 =→−= uuu rccrcr (2.43) În aparatul director al turbinelor radiale viteza fluidului trebuie să crească, dar, conform (2.43) raza trebuie să scadă, ceea ce obligă la o circulaţie centripetă. În difuzorul turbomaşinilor generatoare radiale trebuie să crească presiunea (prin scăderea vitezei de curgere), rezultând o circulaţie centrifugă.

Legea cuplului Euler constant se utilizează şi la profilarea paletelor lungi, în sistemul:

==⋅.

.

ctc

ctcr

a

u (2.44)

Capitol 2

Documents

Transcript of Capitol 2