Cap. 3 scan

Elemente de dinamicd

3ELEMENTE DE DINAMICA

3.1 ASPECTE GENERALE

Dinamica este ramura mecanicii care studiazd legile migcdrii corpurilor in raport cu

fo(ele care se exercitd asupra lor.

Fo(a dinamicd este o fo(a a cdrei intensitate, sens gi direc[ie (sau punct de aplica[ie)

variazdin timp.

Evaluarea rispunsului unui sistem la o ac[iune dinamici poate fi:

- deterministi - dacd acliunea dinamicd este cunoscutd;

- nedeterministd (statistica)- dacd acliunea dinamicd este aleatorie.

Actiunile periodice sunt constituite din fo(e ce se repetd in timp cu aceleagi

caracteristici. Un exemplu reprezentativ este dat de oscila{iile produse de un utiliaj, cum

ar fi cel de producerea hArtiei la care cilindri in migcare, printre care se deplaseazd

h6rtia, in procesul de uscare, produc vibra[ii longitudinale DH gi vibra{ii verticale Dv,

fig.3.1. Vibra[iile longitudinale sunt mai mari decit cele verticale 9i sunt funclie de viteza

de functionare a maginii.

of

t' hartie

,w ,,ffi4$},', .W'',

iii$is:r"F=i=':: lil

cilindri

,ffi.

w' 'w

tiitfltltiiWiilyjlr,

Fig.3.1 Vibralii produse de cilindriiin migcare la un utilaj de produs hArtie

79

lnginerie serbmhd

Actiunile neperiodice pot fi sub forma impulsurilor de scurti duratd cum sunt gocurile gi

exploziile gi cele de lungi duratd cum sunt seismele, fig.3,2.

seism

Fig.3.2 Oscila[ii ale clddirilor din acliuni neperiodice

3.2 GRADE DE LIBERTATE DINAMICA

lntr-o analizd pe un model de calcul, spre deosebire de gradele de libertate statici care

sunt unice, gradele de liberate dinamicd in cazul unui model considerat discret (cu mase

concentrate) sunt situate in dreptul maselor (iner[iilor) gi pot fi sau nu luate inconsideratie. In principiu putem stabili numdrul gradelor de libertate dinamicd ca fiind

egal cu numirul legdturilor necesare ca un sistem sd nu oscileze,

De cele mai multe ori definirea gradelor de libertate dinamicd corespunde cu directiaac[iunii, pe aceastd direclie efectele fiind mai importante. Spre exemplu, in cazul maginii

de facut hdrtie din fi9.3.1, un garad de libertate dinamicd important este cel longitudinal

maginii, gradul de libertate dinamicd vertical putind fi neglijat intrucit perturbatiile pe

aceastd direclie sunt mult mai mici.

De ce prin modelare definim numdrul gradelor de libertate? Pentru cd func[ie de

complexitatea modelului adoptat 9i de modul in care considerdm ine(iile, acestea pot

sau nu sd fie acordate. Exemplul cel mai semnificativ este cel al castelului de api din

fig.3.3.a. Un prim model poate fi cel in care lichidul este considerat ,,inghetat" gi masa

structurii dispusd discret in diverse puncte ale structurii, fig.3.3.b. Modelul poate fi mai

exact daci o parte din lichid se consideri ca masd adilionali atagatd la nivelul

rezervorului, masa turnului de sis[inere putdnd fi distribuitd in diverse puncte, fig.3.3.c,d,

sau concentratd la nivelul rezervorului, fig.3.3,e. Modelul poate fi ,,rafinat" prin

80


considerarea gi a interac[iunii cu terenul de fundare prin acordarea unor grade de

libertate suplimentare. Astfel in fig.3.3.f se ia in consideratie numai gradul de libertate de

translalie al funda[iei pe teren, iar in fig.3.3.g gi al celui de rotalie sau balansare a

fundafiei. Modelul in cazul interac[iunii poate fi 9i mai complex dacd sunt adiugate grade

de libertate de translafie gi ale unei porliuni din terenul de fundare, fig.3.3.h.

Fig.3.3 Modelarea discretd a unui castel de apa (a.)

b. model cu mase concentrate, c.,d,, e. modele cu considerarea lichidului ca masd

adilionald, f., 9., h. modele cu considerarea interacliunii cu terenul de fundare

Pentru analiza seismicd a castelului de api prezentat anterior se vor acorda gradele de

libertate corespunzdtor migcirilor posibile ale maselor considerate pentru fiecare din

modelele prezentate. Pentru un astfel de sistem gradele de libertate de translalieorizontali sunt reprezentative, dar pot fi aplicate gi grade de libertate de rotalie ale

maselor prin considerarea momentului de ine(ie masic, dacd efectele acestora pot fiimportante.

%I\

$a. d.c.b.

g.f.e.

lnginerie serbmicd

In cazul modeldrii cu elemente finite, modelele pot fi mai rafinate, masele corespunzindfiecirui element finit cu o distribulie in nodurile de legiturd iar direc[iile gradelor de

libertate vor corespunde gradelor de libertate acordate nodurilor modelului.

In fig.3.4 este prezentat un model cu elemente finite tridimensionale utilizat la analiza la

ac[iuni seismice a Turnului incintei de la intrarea Mdndstirii de la Dobrovdl, care este

declarat monument istoric din secolul XVl.

Fig.3.4 Modelarea prin element finit a Turnului incintei Mdnistirii de la Dorovdla. vedere din afara incintei, b. vedere din incintd, c. secliune

3.3 RIGIDITATE SI FLEXIBILITATE

Aga cum s-a ardtat anterior, la modelarea dinamicd a sistemlor sunt utilizate diferiteelemente de tip bari sau resort caracterizate prin caracteristica lor de rigiditate sau

flexibilitate.

In accepliunea noliunilor din mecanica construc(iilor cele doud no[iuni au urmdtoarele

defini[ii:

- rigiditatea este fo(a necesard producerii unei deplasiri egale cu unitatea,

fig.3.5.a;

- flexibilitatea este deplasarea produsd de o for[a egald cu unitatea, fig.3,5.b.

c.b,a.

82


Fig.3.5 Rigiditatea (a.)giflexibilitatea (b.) pentru o bari gi un resort

Sunt situa[ii cAnd la modelarea structurilor doud sau mai multe resorturi se pot lega inserie sau in paralel, astfel ca rigiditifile gi respectiv flexibilitd(ile acestor sisteme sunt

diferite. In fig.3.6...3.9 sunt prezentate caracteristicile unor astfel de sisteme.

Fig.3.6 Rigiditatea a doud resorturi dispuse in paralel

83

M'Fig.3.7 Flexibilitatea a doud resorturi dispuse in paralel

Fig.3.8 Rigiditatea a doud resorturi dispuse in serie

lnginerie sesmici

u=to.ln,

6-6r+Q

Fig.3.9 Flexibilitatea a doud resorturi dispuse in serie


3.4 STSTEMUL CU UN GRAD DE LTBERTATE D|NAMTCA (1 GLD)

Pentru sistemele cu 1 GLD pot fi de diverse tipuri de modele func[ie de direclia pe

care se poate produce oscilafia. Astfel putem avea grade de libertate de translalie pe

diverse directii, fig.3.10.a, de torsiune, fig.3.10,b, sau de rota[ie, fig.3.10.c.

I

c.0Fig.3.10 Modele cu lGLD cu diferite direc[ii ale gradelor de libertate dinamici

a, transla[ie orizontal5, b. translatie verticald,. c. torsiune, d rotafie

Indiferent de model, acesta trebuie sd reflecte proprietdlile esentiale ale construc[ieiinmigcare: ine(ia, disiparea energiei de vibralie (amortizarea) 9i rigiditatea sau

flexibilitatea structurii. Aceste propriet6[i sunt eviden[iate in modelele cu grade delibertate de translatie prin masa m aferentd gradului de libertate sau prin momentul de

ine(ie masic J pentru cele de rotire, un amortizor de regulS v6scos, caracterizat prin

constanta de amortizare c Ai un suport structural caracterizat prin rigiditatea k.

1

@t?

1ft= h

-

lnginerie ser.smrcd

Pentru scrierea ecuatiei de migcare a unui sistem cu un grad de libertate dinamicd,fig.3.11, format dintr-o masd, un element de legdturd tip resort cu o anumita rigiditate gi

o amortizare se pot utiliza urmdtoarele metode:

- principiul lui d'Alembert;

- ecuafia Lagrange;

- principiul lui Hamilton;

- principiul lucrului mecanic virtual.

h(t)

. Fo(t)

r u(t)

a. b.

Fig.3.11 Sistemul cu un grad de libertate dinamicd supus unei fo(e perturbatoare F(t)

a. elementele modelului, b. fo(ele ce apar in sistem

3.4.1 Oscilatii libere neamortizate

Sistemul cu un grad de libertate dinamici in cazul vibraliilor libere neamortizate se mai

numegte 9i sistem conservativ intrucAt la orice moment de timp t este indeplinitd relalia:

E. (t) + E, (t) : constant (3 1)

in care Ec(t) este energia cineticd gi Ep(t) energia poten{iali la timpul t din durata de

oscilatie a sistemului.

Dacd scoatem din pozi{ia de echilibru sistemul cu un grad de libertate dinamicd din

fi9,3.12.a. 9i il blocim conform fi9.3.12.c. in sistem se acumuleaza o cantitate de

energie potenliali prin deformarea sistemului elastic (in cazul nostru bara incastrata).Prin indepdrtarea legdturii sistemul va incepe sd oscileze prin transformarea energieipotenliale in energie cineticd, fig.3,12.d., pAnd c6nd in pozi[ia cu bara nedeformatd,

fi9.3.12,e., energia cineticd este maxima 9i egald cu energia potenlialS acumultd inilial.

In felul acesta oscilalia va continua printr-un schimb permanent intre energii cu

86


respectarea condi[iei (3.1). Oscila[ia in timp a sistemului conservativ se va produce la

infinit 9i este prezentatd in fig.3.12.i cu punctarea extremelor energetice.

Fig.3.12Varialia energiei potenliale gi cinetice intr-un sistem conservativ?., b., c. Scoaterea sistemului din pozitia de echilibru, d., e., f., 9., h.

oscilalia sistemului, i. varia[ia in timp a energiei cinetice 9i potentiale

v,cootlo-

IJJ

(Jul

IIi

i

/

I+

d.

xag

Ello-

uJ

l-rv-

atco(Jllc

uJ+(,l!

-1 \

i

II+

II.

ErLrlJ

I

e.

?I

I

I+

x.EEllc

UJ

.-.-:l-

ii\l

-?I

+a.

E

r-€

III

g.c.

*

Ep= ffiax

87

Inginerie sermicd

Considerind cd deplasarea se produce pe o direcfiea u gi aplicAnd principiul lui

d'Alembert, in echilibru static fictiv vom considera numai fo(a de rezistenfd Fn(t)=k.u(t),care in cazul sistemelor liniar elastice mai poarti gi denumirea de fo(a elasticd sau fo(6de legdturd 9i se mai noteazd Fe(t), 9i fo(a de ine(ie Fr(t)=p.i11r), astfel cd rezultd

urmdtoarea ecualie diferenliald de migcare:

i(t)+ Fn(t) - 0 (3 2)

unde:

m.ii(t)+k.u(t) =0 (3 3)

sau:

kLi(t)+:u(t) -0 (3.3.a)

m

sau:

ii(t)+ ur2 .u(t) - Q (3.3,b)

in care to este pulsatia proprie sau frecvenfa naturald.

Solufiile ecua{iei (3.3.a) sunt de forma:

u(t) = C, .sin of + C, .cos tlrt (3.4.a)

u(t) = o .C, .cos of - o .C, . sin ult (3.4.b)

ii(g = -o2 .Cr .sin ult - w2 .C2 .cos tot : -ul2 .u(t) (3'a'c)

In care C,,gi C, sunt constante care depind de condiliile ini[iale de punere in vibrafie.

Dacd considerdm la timpul t=0 deplasarea u(O)=Q din (3.a) rezultd:

0 : Cz sau C, :0 (3.5)

Pentru acelagi timp inlocuind in (3.4,b) viteza u(01 = u0 se obtine:

uo = t,^l .cr sau c,, - uo (3.6)

u)

88


In aceste conditii solutiile (3.4)devin:

ilu(t) - Ir'sin ot

u)

u(0 : uo 'cos tlt

ii(t) = - 0'to 'sin ot

(3.7,a)

(3 7.b)

(3.7.c)

In fig.3.13 s-a reprezentat rdspunsul in deplasdri, viteze gi acceleralii ale unui sistem cu

un grad de libertate dinamicd nemaortizat (conservativ) cu pulsalie uJ = 5 pentru o

vitezd iniliali egald cu 10 cm/s.

Fig.3.13 Rdspunsul in deplasdri, viteze gi acceleralii ale unui sistem

cu un grad de libertate dinamicd nemaortizat

Solutia (3.7.a) definegte o migcare armonicd simpli la care dupd un interval de timp Tamplitudinea este aceeagi:

60

40

[email protected]€ -2o

=-g -+oo

-60

0n u^:q.sin [rJt = ].sin ul (t + T)(r)u) (3 8)

2.n(3 e)

sau:

ur .(t + T)- t t .t -2.n sau T -

lnginerie seismicd

Inlocuind pulsatia in (3.9) rezultd:

Cz:uo

Astfel cd solu[iile (3.4) devin 9i au reprezentarea din fig.3,11:

in care T este perioada gi f frecventa proprie de vibratie a sistemului. In dinamica

construcliilor, pentru a se evita confuzia dintre frecven[a naturald gi frecvenld, se

folosesc termenii de pulsa[ie proprie ro respectiv frecven[5 proprie f.

In conditia in care la timpul t = 0 $i deplasarea u(0) = us din (3.4) rezultd:

(3.10)

(3 11)

u(0 : !q sin of + un 'cos tltu)

u(0 = uo 'cos tlt - tl'uo 'sin tlt

ii(t) - - 0J .uo .sin rrrt - w2 .us .cos of : - o2 .u(t)

(312.a)

(3 12 b)

(3.12.c)

(3.13.a)sau:

Solufiile (3,12) mai pot fi scrise 9i sub forma:

a. deplasarea:

u(t) : Ao 'sin (ot + q)

u(t) : Ao .cos (t^tt - <p)

b. viteza:

u(0 = Ao 'o'cos (ot + q) - Au 'cos (trtt + cp)

sau:

0(t) - Ao .o.sin (trrt - q) : -Au .sin (ult - <p)

c. acceleratia:

ii(t) = -Ad .t l2 .sin (ult + q) : -A,sau:

ii(t) = -Ad .tl' .cos (tlt - 0) = -Au

90

.sin (ult + rp)

.cos (trlt - <p)

(3 13.b)

(3.13.c)


Ag= c''rzA6

u{t+T) i

t,p= tr/a"r itp= F/tr : 1

Fig.3. 1 4 Oscilalii libere neamortizatea. deplasarea, b. viteza, c. acceleratia

a.

b.

c.

M. r.li , : i

T=2nlr,.t =1/f , Tt2

91

Inginerie sersmicd

unde: A6 este amplitudinea deplasdrii (valoarea maximd a deplasdrii) iar <p sau rp

defazajul 9i sunt date de expresiile:

. C^ nU^'0)g=?rctgf=tg- "-L,1 U0

, C. ,-1 un

Q=alct9 q= q ,*

Solufiile se mai pot scrie:

(3 14)

(3 15)

(3 16)

(3 17)

(!q)u(t) -

^, lfr

.os r,rrt. fr

sin,rtj

unde:

Inlocuind (3.16)in (3.15) rezultd solutia:

u(0 : Ao '(sin q'cos trtt + cos rp'sin ult)

Intre amplitudinea deplasirii Aa, a vitezei A, gi a acceleraliei A" existd rela[iile:

Aa : arl2 .AO : cu.Au

Au =o'Ao

Uni[alile de mdsurd pentru caracteristicile dinamice ale unui sitem cu un

libertate dinamicd sunt:

2.n ?!t=- tSJu)

!q,Unsinq- -u-:cosq cosq--ID -sinq'A6"Ad

grad de


f=1T

$ =2.TT.f =

Inmul[ind ecuatia (3.3) cu u(t) rezultd:

lsl-1

lHz

2.nT

I sau [s]-1

[rad/s] sau

m. ii(t) .u(t)+ k .u(t) .u(t) - s (3 18)

(3 1e)

(3.21)

lar prin integrare:

|m u(t)'z .|r u(t)2 :6

ceea ce reprezintd:

E,(t)+E,(0:C

3.4.2 Oscilatii libere amortizate

AplicAnd principiul lui d'Alembert sistemului cu un grad de libertate dinamicd aflat inoscilatii libere amortizate, fig.3.15, ecuatia diferen[iali de migcare este (3.20).

Fig.3.15 Sistemul cu un grad de libertate dinamicd in oscilalii libere amortizate

i(t)+Fa(t)+Fn(t) -0 (320)

sau considerAnd fo(a de amortizare propo(ionald cu viteza, Fa(t)=s.u1t), rezultd:

m. ii(t) + c .i(t) + k. u(t) - 0

Parametrul c se mai numegte coeficient de amortizare v0scoasd gi se determind pe cale

experimentalS.

93

Solutia ecua[iei poate fi scrisd sub forma:

u(0 : G 'e't

lnlocuind (3.22) in (3.21) se ob[ine:

(m.r'+c.r+k).G.e't =0

Din care rezultd:

m.r'+c.r+k:0

lmpa(ind prin m oblinem:

12 +2.9.r+o2 -o

unde:

Inginerie ser.smicd

(3.22)

(3.23)

(3.24)

,'-!m

c sau B-m 2.m

(3 25)

(3.26)

(3.27)

(3 28)

(3 2e)

2'9 =

Solu{ia ecua[iei (3.25) este:

t1,2:-Brf'?-r,l1

In raport cu termenul de sub radical A = 92 - ur2 se pot defini trei tipuri de migciri:

a. Amortizarea critici, care se ob[ine atunci cind:

A:0 = 9:t^l:*:9.,:*

Unde solulia in deplasdri este:

94

u(0 = [ro (t+t^l. t)+ us .t].s-ur't (3 30)


O reprezentare a rdspunsului dat de solufia (3.30) este prezentati in fig.3.16, pentru

doui valori ale deplasarii ini[iale Uo = d (0 9i 1), doui valori ale vitezei ini[iale vo = v (0

9i 10)gi opulsaliede o=5rad/sec.

Se definegte fractiunea din amortizarea critici:

y _ c _2.n.8 _ Bt - a., 2.m.o u)

care se exprimd de obicei procentual:

(3 31)

(3.31')\o/o - I roo

u)

1.8

h 1.6

E 1.2

E1€ 0.8

E 0.6

3 0.4- 0.2

0

Fig. 3.16 Oscila[ie critici in deplasdri

b. Amortizarea supracritici se obtine atunci cdnd:

A>0 + B>trl, c)c.,, e>1

Inlocuind termenii (3.32)in solutia (3.28) se obtine:

l,z:-9t - -('trt +

(3 32)

(3 33)

(€.r)' -,,)'

- -\.trt * trt. - -\.tll * t,rla

95

Din (3.33) se poate defini:

0a= w ffJUnde solutia in deplasid este:

u(t) = s-€ut l*,r,

+ q.o uo).shtrr.t + uo cr,ur,tl

Inginerie seismr'cd

(3 34)

(3 35)

(3 36)

(3 37)

(3.37')

In fig.3.17 este reprezentati variatia deplasdrii, datd de solutia (3.35), pentru aceleagi

valori ale deplasirii, vitezei iniliale gi pulsaliei ca in cazul amortizdrii critice.

:=Looat,

.c)Eoo

==EEo

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Fig. 3.17 Oscilatie supracriticd in deplasdril=2

c. Amortizarea subcritici atunci cAnd:

B<ut, c<ccr, \<1

gi are solu{ia (3.37).

r,,, - -('trl * (€ r)' - r'

96

\,2=-f.o+i.trla unde 0a =rJt-€' iar (i=.,/r)

Elemente de dinamici

Solu[ia in deplasiri este datd de rela[ia (3.38), iarin fig.3.18 este reprezentati varia[ia

deplasdrii pentru c0teva valori ale vitezei gi deplasdrii ini[iale (uo = d 9i viteza ini[iala

Vo = V ), pentru o pulsalie proprie a sistemuluicu lGLD de 5 rad/sec:

U(t) : G1 .g-€'r't*i'o,'t * G, .g-E'r't-i'or,{ - g-6'r't .(G,, .ai'ra't * G, .e-Lr,'t ) 1S.aAy

sau:

u(t) : s-€'o't '(C,r 'sin o,t +Cr'cos oat)

2.5

2:= 1.5(!81E 0.5

E0E -o.s:to_

F -1 5-2

-2.5

Fig. 3.18 Oscila[ie subcriticd in deplasiri pentru 1=10/o

In fig.3.19 este reprezentati varia[ia deplasdrilor sistemului la care deplasarea ini[iala

este 1 iar viteza ini[iala 0, pentru diferite fracliuni ale amortizirii critice.

ln tabelul 3.1 sunt prezentate valorile fracliunii din amortizarea criticd pentru cdteva

tipuri de construc[ii. Pentru aceste valori putem considera valabile rela[iile (3.40), carepun egalitate intre caracteristicile dinamice ale unui sistem neconservativ 9i unul

conservativ.

(3 3e)

(3 40)

0u=0

r _2n_ T _rra - -- G)a ,ll_\,

,-1,r_Ta -1rf,-{ =1

97

Inginerie seismici

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

Fig. 3.19 Oscilatie subcritici in deplasdri pentru diferite frac[iuni ale amortizdriicritice

Tabelul 3.1 Fractiunea din amortizarea critici pentru unele tipuri de constructii

TIP DE STRUCTURA[oa

(t

Perefistructurali din beton armat : 0.10 - 0.16 0.9949 - 0.9871

Structuri din panouri mari : 0.12 - 0.18 0.9927 - 0.9836

Structuri din pereti portati din ziddrie : 0.06 - 0.18 0.9981 - 09840

Structuri din lemn : 0.15 - 0.50 0.9886 - 0.8660

Construcfii masive: 0.05 - 0.10 0.9987 - 0.9949

Structuri din beton armat gi metal : 0.05 - 0.10 0.9987 - 0.9949

Poduri din beton armat : 0.03 - 0.16 0.9995 - 0.9871

Poduri metalice : 0.02 - 0.08 0.9997 - 0.9967

3.4.3 Decrementul logaritmic

Carcteristicile de amortizare ale unei structuri sunt foarte complexe gi dificil dedeterminat, de aceea se utilizeazd la caracterizarea structurilor fracliunea din

amortizarea criticd.

in fig.3.20 este reprezentatd varia[ia deplasdrii in timp a unui sistem subcritic pentru

diferite condilii ini[iale.

.EoC)o.oEoo)-Eftso-EG

98


.r--------,', U1

A4=j!- 'w-

si n (crut+ eu )= 1

u?

GqI44

'i------;--l-r: I

AO=p"\ (1* { fi;)' u6

Fig.3.20 Rdspunsulin deplasdri a unui sistem subcritic pentru diferite

viteze gi deplasiri initiale

lnginerie ser.smicd

Daci considerim doud puncte succesiVe ur 9i respectiv uz raportul amplitudinilor ilputem scrie sub forma:

u1 _ Ao. e-6' t'r 't : o' "

''tuz Ao.e-E'''(t+Tt)

-"

Vom defini decrementul logaritmic A lograitmul naturalamplitudini succesive p.a2):

A - ln u1

- 2.nt ut -

2'"4u2 - rda ,h_e,

gi:

t\ = 2.n.8^

Dacd considerdm o serie de amplitudini succesive:

al raportului celor doud

(3 41)

(3.42)

(3.43)

rezulti:

u^ un u, u"nu _ u I n-l

[-[ ,,, ;;

tn!q - A+A+...+A = k.A =2.k n. 8,.9U1 -

LLla

n = 1.tnlqkur

lar fracliunea din amortizarea criticd poate fi scrisa sub forma:

, C B B.T A' c.,. tlJ 2.n 2.n

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

9r:

100

A = 9.7


3.4.4 Vibratii fortate armonice

Aplicdnd principiul lui d'Alembert ecua[ia diferen[iald de migcare in cazul sistemului cu

un grad de libertate dinamici din fig.3.11, devine:

i (t) + Fa (t) + Fn (t) = F(t)

Daca F(t) are o varialie armonici cu pulsa[ia 0, fi9.3.17 , rezultd

m.ii(t)+ c .u(t)+ k.u(t) - Fo .sin 0t

(3 48)

(3.4e)

sau:

"F^tl(t)+ 2.\.w.u(t)+o' .u(t) :fr.sin 0t (3 50)

F(t)=Fo sin et

f, (t)*-E{t}r-tr'

+ Fo sin st

Fig.3.21 Sistemul cu un grad de libertate dinamici in oscilatiifo(ate armonice

101

lnginerie seismicd

pentru care solu[iile sunt:

u(t) = At ' (sin 0t'cos q, - cos 0t .sin cpr )

u(t) = 0 .A, . (cos 0tcos <p, + sin 0t.sin <p, )

ti(0 = -e2 ' A, '(sin 0t'cos er - cos 0t.sin cp, )

In expresiile (3.51)s-au ficut urmdtoarele notatii:

(3 51)

tgq,=# (o<q,<n)

tr 1-.'O.k_

(3 52)

(3 53)

Af=(1-p2) . cos % +2. 6. p. sin q1

- D.t, ;- D.Fo.5:D.r!?r,,.

unde:

ep:-u)

(3 54)

tar:

,,fo - este deplasarea statici produsd de o fo(d egald cu amplitudinea fo(ei Fo;"static

D - factorul de amplificare dinaimicd, sau coeficientul dinamic ai reprezintiraportul dintre deplasarea maximd dinamicd u 9i deplasarea statici

Fnusiatic :

D:(1-p2).cos gt +2.€.p.sin tp1

(3 55),!?,,,.

sau:

102

D_Jtt - p')' + (2. \.p)'

(3 56)


ln fi9.3.22 s-a reprezentat pentru diferite valori ale frac[iunii din amortizarca criticivariatia coeficientu I u i de ampl ificare di naimicd.

10

I

8

7

6

5

4

3

2

1

00.00 0.50 1.00 1.50 2.00

P : 0/c'r

Fi1,3.22 Varia[ia coeficientu I u i de ampl ificare d i n aim icd

In cazul in care 0 = o sau p='l sistemul intrd in rezonanld gi coeficientul dinamic este:

Drrr= t =*:2'\'rf -r"' z\

Se observd cd:

- la rezonan[i pentru 6 = 0 coeficientul dinamic Dmax -) oo;

- pentru € = 1 coeficientul dinamic este D'.' =0.5;

- pentru € = 0.5 coeficientul dinamic este D'r* =1.

(3 57)

xagE

ct

2.50 3.00 3.50 4.00

- €=o'01

- €=o'05

-€=0.1-1=0.2,-E=0.5

€=l

103

lnginerie seismhd

3.5 SISTEMUL CU n GARADE DE LIBERTATE DINAMICA

3.5.1 Oscilatii libere neamortizate

Pentru sistemul cu n grade de libertate dinamicd aflat in oscilafii libere neamortizate, fig.

3.23, ecua[ia diferen[ial5 de migcare poate fi scris aseminitor ca la sistemul cu IGLDaplicind principiul lui d'Alembert. Astfel echilibru static fictiv se realizeazdprin sumareafor{elor elastice corespunzdtoare fiecirui grad de libertate dinamicd cu fo(ele de ine(ieaferente:

[tu]{uttl} * K, l{rttl} = {o} (3 58)

Prin scoaterea din pozi{ia de echilibru a sistemului, fig.3.23.a, se acumuleazd o cantitate

de energie poten[iald. Dacd se elimina legdtura sistemul va intra in oscilalie, energiapotenliald se transformd in energie cineticd, parcurgdnd succesiv toate modurile de

oscila[ie aferente.

modul 1 modul 1

b.

modul 2

Fig.3.23 Sistemul cu n GLD (a.) scos din pozilia de echilibru 9i cdteva

din oscila[iile libere ale sistemului dupd eliberare (b.)

104


Termenii ecualiei (3.58) sunt:

- tM] este matricea de ine(ie care arc

sistemului:

pe diagonala principald masele

lMl-

- Kr] este matricea

dinamice:

m1 000m20

00mn

(3.5e)

de rigiditate laterald dupi directia gradelor de libertate

K,-l:

kr r kn krn

kn kzz kzn

knt knz knn

unde un termen kx reprezintd reac[iunea de pe direclia gradului de libeftate dinamicd i

cdnd numai pe direclia gradului de libertate dinamicd j s-a impus o deplasare (cedare de

reazem) egald cu unitatea, fig, 3.24.

(3.60)

Fi1.3.24 Semnifica[ia termenilor din matricea de rigiditate laterald

105

lnginerie sercmrcd

{i;ftl} este vectorul acceleraliilor corespunzitore fiecdrui grad de libertate

dinamicd acordate sistemu lui :

{iirtl} - l

Lir (t)

Ur(t)

Un(t)

,r,={

Matricea de rigiditate laterald poate fi determinatd gi

flexibilitate laterald :

lr,l- h'l'in care matricea de flexibilitate laterald este de forma:

{tttl} este vectorul deplasirilor corespunzdtore fiecirui grad de libertate

dinamicd acordate sistemu lui :

(3 62)

(3 63)

prin inversarea matricei de

(3 64)

[^r]: K'l-' :611 6rz 6rn

6z1 6zz 6zn

dn1 dn2 dnn

(3 65)

iar semnificatia unui termen 6ii reprezintd deplasarea pe directia gradului de libertate i

cAnd numai pe direc[ia gradului de libertate j s-a aplicat o fo(a egald cu unitatea , cazincare gradele de libertate dinamicd sunt libere, fig.3.25,

106


, 6*+

>r fu

Fig.3,25 Semnificalia termenilor din matricea de flexibilitate laterald

Solu[iile ecua[iei (3.58) sunt de forma:

{rttl}- {O}sin(ur+q) (3.60)

{iittl} : - u)2{0}sin(o + cp; (3 67)

Inlocuind (3.66) 9i (3.67)in (3.58) rezultd urmitorul sistem omogen de ecua[ii:

([^,.]-r'tvl){o]sin(ur +,p) - {o}

sau, intrucdt sin(trli+<p) nu este intotdeauna nul:

([^,]-r'lnrlXo]= {o} (3 6e)

ce reprezintd un sistem omogen de ecua[ii la care pentru a avea solulii {O} diferite de

solufia banald punem condilia ca determinantul Lagrange si fie zero:

Ito'l-r'[M]l -o (370)

Daci vectorul {O} ar fi nul sistemul nu ar vibra, adicd {rttl}- 0 conform (3.66).

107

(3 68)

Inginerie seismrcd

Ecua[ia (3.70) poate fi scrisd 9i funclie de matricea de flexibilitate laterald sub forma:

,2 [Ar]tMl- t1l -0 (3 71)

Dupd dezvoltare determinantului (3.70) sau (3,71) rezultd o ecuatie de ordinul 2n de

forma:

Crn 'n +C2n-2w2n-2 +...+C2w2 +Co - 6 (3.72)

Soluliile ecualiei formeazd matricea spectrald, in care pulsatiile sunt aranjate in ordinecrescdtoare:

Ir' t]-

hl= t{ ol {o}, {oh {o}.1=

Alura primelor trei modurilor proprii

prezentatd in fig. 3.23.

108

atrti 0 0tOwi 0

'^

0 0 trtfi

Qrr Qrz

Qz, Q,

Q''' Q',

Qnt Qnz

' Qrr Qtn

' Qz* Qzn

' Qir, Q'n

' *r* ' 'r'''

pentru sistemul din

(3 73)

Prima pulsa[ie, cea mai micd, definegte modul fundamental de vibralie al sistemului 9icorespunde perioadei celei mai mari.

Inlocuind succesiv valorile pulsatiilor in sistemul (3.66) 9i impunOnd una din solu[i rezultivectorii deplasdrilor modului respectiv k:

([0,]-,n'lrv]){oh - {o}

Mulfimea vectorilor modurilor proprii formeazd matricea modald:

(3.74)

(3 75)

de vibralie fig.3.20 este


Fi9.3.28 Alura primelor trei moduri de oscila[ie pentru sistemul din fig. 3.23

In fig. 3.29 este prezentatd alura a doud moduri proprii de oscila[ie pentru turnul de laDobrovi[, ctitorie a lui Stefan cel Mare, prezentat in fig.3.4, pentru care s-a realizat o

analizd utilizdnd metoda elementului finit. Elementele finite utilizate sunt de tip 3D

(brick).

Fig.3.29 Alura modului 1 (a.)9i modului 3 (b) pentru modelul cu element

finit al turnului incintei Mdndstirii de la Dobrovit, judelul lagi

7Lvlr/V

7IY| 2/'l//t/

b.a.

109

lnginerie seismicd

3.5.2 Proprietatea de ortogonalitate

Considerim doud moduri succesive k gi r pe care le inlocuim in sistemul omogen (3.74)

9i rezult6:

K,_l{oh - or2[v]{o}n

Krl{o}' - @,2lnltl{o},

Vom preinmul[i expresiile (3.76) cu vectorii modurilor proprii transpugi aferen[i celuilalt

mod:

{o}l K, l{o}* -,12 {o[ [u] {o}*

toll K' l{o}, - @,2t0}l tt',tl {o},

{o}l tMl {e}n = {o}l lul {o},

to)lK,l {o}* : {o}l K,_l {o},

Din diferenla celor doud expresii (3,77) rezultd:

(r*' - r,'lo)][M] {o}n(3 7e)

Pentru cd diferenla celor doud pulsalii este diferitd de zero (rf - ,?)*0 rezultd:

{O}ltM] {Q}* : o pentru orice t,rk + urr

n

Imi 'tD;1 'tD;1 - g pentru orice t,lk r t,tri=1

Aceasta este proprietatea de ortogonalitate, adici lucrul mecanic virtual produs de

fo(ele de ine(ie dintr-un mod cu deplasirile altui mod sunt nule. Acelagi lucru il putem

extinde la toate fo(ele ce apar in sistem, fie cd este vorba de fo(ele elastice sau de

amortizare (3.81)

110

(3.76)

(3.77)

intrucdt:

(3 78)

(3,80)

(3.80')


{o}]K,-l{o}n:o .uk +urr

{oiltMl{e}n - tvt*

{o}lK'l{o}n - rn

{oftrt{oh : '

poartd denumirea de mod propriu normalizat.

Expresia (3.84) poate fi scrisd gi sub forma:

n_4Imi Q''* =1i=1

Pentru determinarea formei proprii normalizate vom considera:

r-)T 'llrtrl'--{O},t-vjk - lk

care introdusi in (3.84') conduce la determinarea coeficientului sr:

(3 81)

Singurul lucru mecanic diferit de zero produs de fortele ce apar in cazul unui sistemdinamic cu mai multe grade de libertate este cel produs cu deplasdrile aceluiagimod:

valori ce poartd denumirea de masd generalizatd 9i respectiv rigiditate generalizatd

corespunzitoare modului k.

Modul propriu k ale cdrei solu{ii {A[ ,, amplitudini'. f0h ce satisfac condilia:

(3.84)

(3,84',)

(3 82)

(3.83)

(3.85)

(3.86)i'' of,i=1

111

lnginerie seismicd

Matricea dinamicd:

[D]= [Kr] [Mf' : [Ar]-' [Mf'

este o matrice nesimetricd, pentru care se pot defini urmdtoarele:

- urma matricei dinamice este egald cu urma matriceispectrale:

io, - irii=1 i=1

- determinantul matricei dinamice este egal cu determinantul matricei spectrale,

adicd produsul elementelor de pe diagonala matricei spectrale:

lDl - nl:1 t,rl

proprietafi ce se utilizeazd la verificarea termenilor matricei spectrale.

3.5.3 Generarea matricei de rigiditate laterali in cazul maselor aditionale

(3.87)

(3.88)

(3 8e)

Sunt situa[ii in care elementele componente ale modelului dinamic necesitd atagarea

unor mase aditionale. Astfel de mase pot fi date de lichidul din recipien[i, po(iuni de

teren etc. In toate aceste cazuri matricea de rigiditate lateralS se poate asambla tindndseama de rigiditatea aferentd legdturii masei adilionale.

Considerdnd masa aferenta lichidului din rezervorul castelului de apd din fig.3.3.e,

elementele componente ale matricei de rigiditate laterald sunt reprezentate in fig.3.30.

Astfel dacd vom nota cu k rigiditatea structurii, matricea de rigiditate laterali a

modelului dinamic este:

(3 e0)

Rigiditatea kr din relalia (3,90) se obtine prin sumarea rigiditatii structurii cu cea aresortului ko, cele doud rigidita{i fiind in paralel, vezi fig. 3.30.c, Pe direc[ia gradului de

libertate 2 va rezulla o reactiune kzr egald cu rigiditatea resortului, dar in sens contrarfo(ei krr, intrucAt resortul este comprimat prin impunerea deplasirii egale cu unitatea pe

directia sensului for[ei krr.

Prin impunerea unei deplasdri egale cu unitatea asupra masei adilionale mo, adicd pe

direclia gradului de libertate 2, se produce o alungire a resortului, cu rigiditatea ko, astfel

incit pe direclia gradului de libertate 1 rezultd o reactiune egald cu rigiditatea acestuia,

dar in sens contrar deplasirii impuse.

112

K,r : [l;i l^',',f:[-: -J' tr]


Fig.3.30 Elementele componente ale matricei de rigiditate laterald pentru

sistemulcu lGLD gi masd adi[ionali (a.)

b. gradele de libertate dinamice, c. rigiditalile aferente gradului 1 de

libertate dinamicd, c. rigiditalile aferente gradului 2 de libertate dinamicd

ln cazul unui sistem cu nGLD introducerea unei mase adifionale, fig.3.31, cu o legituride tip resort cu rigiditatea ke, pe un grad oarecare de libertate i conduce la adiugareaunei linii gi a unei coloane in matricea de rigiditate laterald (3.91), care au numai un

singur termen diferit de 0, egal cu -ko, pe directia gradului de libertate i. Termenul din

matricea de rigiditate laterald a structurii kii so modificd addugAndu termenul aferent

rigiditalii resortului ko, iar ultimul termen din matricea de rigiditate lateralS de pe

diagonala principald, ce corespunde gradului de libertate dinamicd a masei adilionaleeste egal cu rigiditatea resortului ko.

113

b.a.

d.

lnginerie seismhd

_+,kni

Fig.3.31 Modelul dinamic Ai definirea termenilor matricei de rigiditate

laterald (a.), b, modelul dinamic cu masd adilionali 9i definirea

termenilor matricei de rigiditate laterald

I

"l ---->i

1+-

kii+ ko

b.a.

Ktl=

0

-ko

knn

0-ko

I

Il-

t,, *t o ..: .:.(3 e1)

0

ko

3.5.4 Generarea matricei de rigiditate laterali in cazul grinzii forfecate

In anumite cazuri sistemele structurale pot fi modelate simplificat, ca modele dinamicede tipul grinzii forfecate. ln acest caz matricea de rigiditate laterali se genereazd simplu

intrucdt modelul de calcul este format din masele aferente structurii cuplate in serie prin

elemente de tip resort cu diferite rigiditdli. Un exemplu in acest sens, frecvent utilizat in

calculul dinamic - seismic al construcfiilor, este cel al barajelor de greutate 9i din

materiale locale, fig.3.32.

114


b.

Fig.3.32 Modelul dinamic grindd forfecatd (b.) al corpului unui baraj (a.)

Matricea de rigiditate laterald rezultati in cazul grinzii forfecate este tridiagonald (3.92)

datoritd influenlei legdturilor de tip resort adiacente fiecdrei mase ce corespundegradului de libertate dinamici acordat, fig. 3,32.

a.

Krl=

k1

-k1

0

0

0

0

-k1

k1 +k2

-k2

0

0

0

0

-k2

k2 +k3

-k3

0

0

0

0

-k3

k3 +ka

-k4

0

0

0

0

-k4

ka +k5

-k5

0

0

0

0

-k5

k5 +k6

(3 e2)

In fig.3.33 este prezentat modul de ob[inere a termenilor matricei de rigiditate lateraldpentru modelul grinziiforfecate a barajului din fig. 3,32.

Prin introducerea unor legdturi simple in dreptul fiecdrei mase se ob[ine modelul dinamic

de calcul, cu gradele de libertate dinamice impiedecate la translatie, fig.3,32.b

lmpundnd succesiv pe direclia gradelor de libertate deplasdri (ceddri de reazem) egale

cu unitatea in legdturi vor rezulta for[e ce reprezintd termenii matricei de rigiditate

laterali, vezi fig.3.32.c ...3.32.f .

115

lnginerie seismicd

Fi9.3.33 Modelul grinzii forfecate (a.) pentru generarea matricei de

rigiditate laterali (3.91), b. modelul dinamic, c. generarea termenuluikrr = k1 9i kzr = -k1, d. generarea termenului kzz=k1 +k2,ktz= - k1 9i

ktz= -k2, e. generarea termenului kss = k2 + k3, kzs = - k2 9i k+e = -k3, f.

generarea termenului koo = k5 + k6 ...

Modelul grinzii forfecate este utilizat 9i in calculul structurilor de construc[ii atunci cindplangeele utilizate sunt infinit rigide, stalpii fiind incastrati in acestea.

Avantajul modelului grinzii infinit rigide este generarea rapidd a matricei de rigiditate

laterald, iar pentru anumite aplicatii acest model este satisficitor.

116

a.

b.

d,

e.

f.


ln fig.3.34,a este prezentat modelul unei structuri etajate la care plangeele sunt

considerate infinit rigide, iar in fig.3.34.b este prezentat modelul dinamic, cu cele patru

grade de libertate dinamice impiedecate, pentru determinarea matricei de rigiditate

laterald a structurii.

' I ko'' =g

' I k31=9

"l * k21

I <- k34

b.a.

kM

'l+ k11

I k2a=0

"l k14=0

c.

Fig.3.34 Modelul grinzii forfecate aplicat uneistructuri etajate

a. modelul structurii, b. modelul dinamic cu gradele de libertate definite,

c., d. determinarea termenilor matricei de rigiditate laterald

d.

I=@

117

ln cazul determindriigradelor de libertate

aferente, fig.3.35.

matricei de flexibilitatedinamicd fo(e egale

lnginerie seismrcd

aplici succesiv pe direc[iile

9i se determind deplasirilelaterald se

cu unitatea

b.

Fig.3.35 Modelul grinzii forfecate aplicat unei structuri etajate

a., b. determinarea termenilor matricei de flexibilitate laterald

Matricea de flexibilitate laterald, aferentd modelului din fig.3.35, nu mai este o matrice

tridiagonald ci este o matrice simetricd fata de diagonala principald:

[Ar]=

6rr 6zr

6z1 6zz

6sr 6gz

6+1 6+z

6sr 6+r

6zs 6z+

6sg 6rr

6+s 6++

611 6tt

6zz 6zz

6ss 6sg

6gs 6++

(3.e3)

6rr

6rr

6rr

6rr

6rt

6zz

6zz

6zz

Prin inversarea matricei de flexibilitate laterald se ajunge la matricea de rigiditate lateralS

ca matrice tridiagonald, intrucdt efectul se propagd numai la legdturile imediat adiacentegradului de libertate dinamici pe care s-a impus deplasarea egald cu unitatea.

118

Cap. 3 scan

Documents

Transcript of Cap. 3 scan