DanielFlorinSOFONEAAnalizaNumericasiTeoriaAproximariiSibiu20062Referent i stiint ici:Prof. Univ. Dr. AlexandruLupasProf. Univ. Dr. IoanGavreaCuprinsI Rezolvareaecuat iilortranscendente 71 Introducere 91.1 Interpolareapolinomial aafunct iilor . . . . . . . . . . . . 101.1.1 PolinomuldeinterpolarealluiLagrange . . . . . 101.1.2 Restul nformuladeinterpolarealuiLagrange . 121.1.3 PolinomuldeinterpolarealluiHermite . . . . . . 151.1.4 Restul nformuladeinterpolarealuiHermite . . 181.2 PolinomulluiTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1 Restul nformuladeinterpolarealuiTaylor . . . 191.3 Interpolareainvers a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Derivateledeordinsuperiorafunct ieiinverse . . . . . . 201.4.1 Cazuriparticulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Ecuat iiliniarecudiferent e . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.1 Solut iageneral a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.2 Ecuat iicucoecient iconstant i . . . . . . . . . . . 271.5.3 Comportareaasimptotic aasolut iilorecuat iilorcucoecient iconstant i. . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Metodeiterative 332.1 Ordinuldeconvergent aalmetodeloriterative . . . . . . 332.2 Criteriideconvergent a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Punctedeatract ie sipunctederepulsie. . . . . . . . . . 393 Metodeclasicederezolvareaecuat iilortranscendente 433.1 Metodacoardei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.1 Ordindeconvergent a. . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.2 Interpretaregeometrica. . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Metodasecantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4834 Cuprins3.2.1 Convergent ametodei . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.2 Ordindeconvergent a. . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.3 Interpretaregeometrica. . . . . . . . . . . . . . . 523.3 MetodaluiNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.1 Construct iametodei . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.2 Ordindeconvergent a. . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.3 Interpretaregeometrica. . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Comparat ii ntremetodacoardei simetodaNewton . . . 583.5 Metoda njumat at iriiintervalului . . . . . . . . . . . . . 593.6 Metoda lui Schroder pentru determi-narea rad acinilormultiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 Metodecuordindeconvergent asuperior 634.1 Teoremadepunctx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Metodecumaimult ipasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3 MetodaluiCebsev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3.1 Cazuriparticulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4 MetodaluiSteensen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4.1 Cazuriparticulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5 MetodaluiTraub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5.1 C atevafunct iiiterativecuunsingurpunctdestart 774.6Imbunat at ireaordinuluideconvergent a. . . . . . . . . . 784.6.1 Aplicat ie(MetodaluiRomberg) . . . . . . . . . . 80Bibliograe 82ParteaIRezolvareaecuat iilortranscendente7Capitolul1IntroducereUnul dintreobiectiveleanalizei numericel constituieg asireaunormetode aproximative pentru determinarea solut iilor unei ecuat ii de formaf(x) = 0, x J, (1.1)undef:X R, J X R, poates ae ngeneral chiarsi ofunct ietranscendent a.Pentruexplicareaacestuitermens aconsider ammult imeaecuat iilordiferent ialeliniare,deordinarbitrarM,cucoecient iia0, a1, . . . , aM,E(y; x) M

k=0ak(x)y(Mk)(x) = 0, x X,funct ii rat ionale. Dac a nuexist aoastfelde ecuat ieastfel ca E(f; x) = 0spunemcafestetranscendentape X. Exemplede astfel de funct ii suntfunct iaGamma,funct iaZetaaluiRiemann,etc.Scopul acestei lucr ari estedeaprezentaosintez aaasanumitelormetode iterativepentru rezolvareaunorastfel de ecuat ii,pe scurtacestemetodeseobt inastfel:Ecuat ia(1.1)sescriesuboform aechivalent ax = (x), x J, (1.2)unde(x) = (f; x).Deexempluputemconsidera(f; x)=x f(x)h(x)cuh(x) =0,oricare ar x J. Presupunand c a (1.1) are o singur a solut ie x, x J910 Capitolul1. Introducerevarezultac axesteunpunctxalui . Seformeaz asirul deiterat ie(xn)n0xn+1= (xn), n = 0, 1, . . . . (1.3)Adesea funct ia ind continua pe Jne intereseaza s a alegem astfelncat:termenii lui (xn)n0sasepoat aconstrui, adicaxk J, oricareark= 0, 1, . . .;(xn)n0 sa convearg a, n care caz pe baza continuitat ii limnxn= x;Rapiditatea de convergent a a lui (xn)nsa e c at mai mare.Aceastarapiditatedeconvergent asevaevaluaprinintermediulordinuluideconvergent a.1.1 Interpolareapolinomialaafunct iilor1.1.1 Polinomul deinterpolareal luiLagrangeFien + 1punctedistinctedintr-uninterval I=[a, b], I R, undeRreprezinta mult imea numerelor reale. Not amaceste puncte cuxi,i = 1, 2, . . . , n + 1,numerotate nordinecresc atoare:x1< x2< . . . < xn+1.Punctelexi, i=1, 2, . . . , n + 1senumescnoduri deinterpolare. FieEmult imeaformat adinpunctelexi,i = 1, 2, . . . , n + 1.Teorema1.1.1Fiefunct iaf : E R. Existaunsingurpolinomdegradcelmultncareiavalorilef(xi)pepunctelexi,i = 1, 2, . . . , n + 1.Demonstrat ie: Existent aunui astfel depolinomodemonstr amprininduct iecomplet a.Pentruk=1exist aunpolinomP0degradzerocaresatisfacecondit iaP0(x1) = f(x1) siestechiarconstantaf(x1).Presupunemcaexist aunpolinomPk1degradk 1carepepunctelex1, x2, . . . , xksa ia respectiv valorile f(x1), f(x2), . . . , f(xk). Atunci poli-nomul:Pk(x) = Pk1(x) + [f(xk+1) Pk1(xk1)]1.1. Interpolareapolinomial aafunct iilor 11(x x1)(x x2) . . . (x xk)(xk+1x1)(xk+1x2) . . . (xk+1xk),este de grad cel mult k si ia valorile f(xi) pe punctele xi, i = 1, 2, . . . k+1.Rezult a c a exist a un polinom de grad cel mult n care ia valorile f(xi)pepunctelexi,i = 1, 2, . . . n + 1.Presupunemprinabsurdcaexist acel put indou apolinoamePnsi Qncare pe punctele xisa ia valorile f(xi), i = 1, 2, . . . , n+1. Atunci polino-mul Hn(x) = Pn(x) Qn(x) este de grad cel mult n si are n+1 r ad acini.Rezult ac aexist aunsingurpolinomcupropriet at iledinenunt ul teore-mei.Polinomul determinatnmodunicsenumestepolinomul deinter-polareal lui Lagrangeal funct iei f pepunctelexi, i =1, 2, . . . , n + 1.Not am polinomul de interpolare al lui Lagrange al funct iei fpe punctelexi,i = 1, 2, . . . , n + 1cu:L(x1, x2, . . . , xn+1; f|x).Pentrua exprimacoecient ii polinomuluilui Lagrange n funct ie deval-orile funct iei fpe punctele xi, i = 1, 1, . . . , n+1, precum si n funct ie deacestepuncte,vomconsideraurm atorulpolinom:Pn(x) =n+1

i=1lif(xi),undeli(x),i = 1, 2, . . . , n + 1suntpolinoamedegradn. Dac aimpunemcondit iiledeinterpolaredate nteorema1.1.1obt inempentruli(x),i =1, 2, . . . , n+1 urm atoarele condit ii pe care acestea trebuie n mod necesarsaleverice:li(xi) =_1 dac a i = j0 dac a i = j, i, j= 1, 2, . . . , n + 1Fiepolinomul denitprin(x) =n+1

i=1(x xi). Atunci li(x)sepoateexprimacuajutorulluiastfel:li(x) =Ki(x)x xi, i = 1, 2, . . . , n + 1, (1.4)undeKi, i=1, 2, . . . , n + 1suntnumererealediferitedezero. Pentruj = iavemli(xj) = 0. Pentrui = javem:li(xi) = Kilimxxi(x)x xi= Ki

(xi) = 1,12 Capitolul1. Introduceredeunderezultac a:Ki=1

(xi), i = 1, 2, . . . , n + 1. (1.5)Dinrelat iile(1.4)si (1.5)rezultac apolinomul lui Lagrangeareurm a-toareaform a:L(x1, x2, . . . , xn+1; f|x) =n+1

i=1f(xi)(x)(x xi)

(xi),cu(x) =n+1

i=1(x xi). SauL(x1, x2, . . . , xn+1; f|x) =n+1

i=1li(x)f(xi),undeli(x) =(x x1) . . . (x xk1)(x xk+1) . . . (x xn+1)(xkx1) . . . (xkxk1)(xkxk+1) . . . (xkxn+1).Observat ia1.1.1Daca funct ia feste denit a pe tot intervalul Iatuncirestrict iafunct ieiflaoricaren + 1punctedinintervalul Icoincidecurestrict iapolinomului lui Lagrangeal funct iei f peaceeasi mult imedepuncte.Observat ia1.1.2Dacafesteunpolinomdegradcelmultn,atunciL(x1, x2, . . . , xn+1; f|x) = f(x)pentruoricex R.1.1.2 Restul n formula de interpolare a lui La-grangeConsideramofunct ief denit apeintervalul I R, carecont inepunctele mult imii E. Not am cu Rn+1(x) diferent a dintre valoarea funct iei1.1. Interpolareapolinomial aafunct iilor 13fpe un punct x I si valoarea polinomului lui Lagrange pe acelasi punct,adica:Rn+1(x) = f(x) L(x1, x2, . . . , xn+1; f|x), x I. (1.6)Funct iaRn+1senumesterestul nformuladeinterpolarealui La-grange, iaregalitatea(1.6)senumesteformuladeinterpolarealui La-grange.Teorema1.1.2Funct ia Rn+1din formula (1.6) se poate scrie subforma:Rn+1= [x, x1, . . . , xn+1; f](x x1)(x x2) . . . (x xn+1) (1.7)undeprin[x, x1, . . . , xn+1; f] amnotatdiferent adivizat aafunct ieifpepunctelex,x1,. . .,xn+1.Demonstrat ie: (Prininduct iematematica).Pentrun = 0din(1.6)avem:R1(x) = f(x) L(x1; f|x) = f(x) f(x1) = [x, x1; f](x x1),adev arat apentrun = 0.Presupunem ca egalitatea (1.9) are loc pentru n = k 1, unde k 1 esteunnumarnatural. Consider ampolinomulluiLagrangesubforma:f(x) = f(x1) + [x1, x2; f] + . . . + [x1, x2, . . . ; f](x x1) . . . (x xk1)++[x, x1, . . . , xk; f](x x1) . . . (x xk).Folosind formula de recurent a pe care o veric a diferent ele divizate atunciobt inem:[x, x1, . . . , xk; f] = [x, x1, . . . , xk+1; f] + [x, x1, . . . , xk+1; f](x xk+1)care nlocuit a nrelat iademai susnearat ac ateoremaesteadev arat apentruoricennatural.Teorema1.1.3Daca funct iafeste derivabil a de n+1ori pe intervalulIsidacax I,atunciexistacelput inunpunct Iastfel nc at:Rn+1(x) =f(n+1)()(n + 1)! (x x1)(x x2) . . . (x xn+1). (1.8)14 Capitolul1. IntroducereDemonstrat ie: Observ amc aaulocegalit at ile:Rn+1(xi) = 0; i = 1, 2, . . . , n + 1.Fie z un punct oarecare din intervalul I si x I un punct x. Consideramfunct ia:(z) = Rn+1(z) K(z z1) . . . (z xn+1), z I (1.9)cu(xi) = 0, i = 1, 2, . . . , n + 1.Presupunemx =xi, i=1, 2, . . . , n + 1si punemcondit iaca(x)=0obt inem:K=Rn+1(x)(x x1)(x x2) . . . (x xn+1).Deoarece funct ia festederivabil ade n +1 ori pe intervalul I, rezultac asifunct iaRn+1estederivabil aden +1 ori pe intervalulIsifunct ia seanuleaza nn + 2punctedinintervalul I. AplicandteaoremaluiRolle,rezultac afunct ia(n+1)seanuleazapecel put inunpunct I,adic a(n+1)= 0.Deriv andden + 1oriegalitatea(1.9)rezult aegalitatea(1.8).Observat ia1.1.3Din relat iile (1.7) si (1.8) rezult a imediat pentrudiferent adivizat aurm atoareareprezentare:[x1, x2, . . . , xn+1, Xn+2; f] =f(n+1)()(n + 1)! ,cufderivabil aden + 1oripecel maimicinterval cecont inepunctelexi,i = 1, 2, . . . , n + 2,iaresteunpunctdinacestinterval.Altfel spus forma restului polinomului de interpolare al lui Lagrangeeste:Rn+1(x) =f(n+1)()(n + 1)!n+1

i=1(x xi)cu I.1.1. Interpolareapolinomial aafunct iilor 151.1.3 Polinomul deinterpolareal luiHermiteFie numerele naturale 1, 2, . . . , n+1, unde m+1 = 1 +2+. . . +n+1sinumerelerealeyji,i = 1, 2, . . . , n + 1;j= 0, 1, . . . , i1.Teorema1.1.4Dacaexist aunpolinom degradcel multmcare s aver-icecondit iile:P(j)m(xi) = yji, i = 1, 2, . . . , n + 1; j= 0, 1, . . . , i1, (1.10)atunciacestpolinomesteunic.Demonstrat ie: Presupunemcaexist adou apolinoamePm(x) siQm(x)careveric arelat iile(1.10)si nplusaugradul cel multm. PolinomulHm(x) =Pm(x) Qm(x)aregradul msi m + 1r ad acini. Rezultac apolinomulHm(x)estepolinomulidenticnul, sauPm(x)=Qm(x),adic ateoremaestedemonstrat a.Teorema1.1.5Existacel put inunpolinomde gradcel mult mcareveric acondit iile(1.10).Considerampolinomulhm(x)subforma:Hm(x) = a0xm+ a1xm1+ . . . + am1x + am, (1.11)ai R, i = 0, 1, . . . , m,care are m+1 coecient i care veric a condit iile (1.10), adica un sistem dem + 1ecuat iicum + 1necunoscute,cudeterminantulsistemuluidiferitde zero. Rezut ac a determinareacoecient ilor se face n mod unic, adicateoremaestedemonstrat a.Pentruadeterminaformageneral aapolinomului degradcel multmcareveric acondit iile(1.10),cosider ampolinomul:Hm(x) =n+1

i=1i1

j=0yjiHij(x), (1.12)undeHijsuntpolinoamedegradm. PentrucaHmsavericecondit iile(1.10)estenecesarsi suecientcapolinoameleHij, i=1, 2, . . . , n + 1;j= 1, 2, . . . , i1,s avericeurmatoarelecondit ii:Hij(xk) = H

ij(xk) = . . . = H(k1)ij(xk) = 0pentrui = k;Hij(xi) = H

ij(xi) = . . . = H(j1)ij(xi) = H(j+1)ij(xi) = . . . == H(i1)ij(xi) = 0;Hij(j)(xi) = 1, i = 1, 2, . . . , n + 1; j= 0, 1, . . . , i1.(1.13)16 Capitolul1. IntroducereDin(1.13)rezult ac apolinoameleHijauurm atoareaform a:Hij(x) = (x x1)1 (x x2)2. . . (x xi1)i1(x xi)j+1 (x xi+1)j+1. . . (x xn+1)n+1 Qij(x),(1.14)unde Qijeste un polinom de grad ij 1 care are r ad acin a pe x = xi.FieQijsubforma:Qij= a(0)ij+ a(1)ij(x xi) + . . . + a(ij1)ij(x xi)ij1(1.15)sinot amcuurmatorulpolinom:(x) = (x x1)1(x x2)2. . . (x xn+1)n+1(1.16)Polinoamelescrisesubforma(1.14)veric acondit iile:Hij(xk) = H

ij(xk) = . . . = H(k1)ij(xk) = 0pentrui = k;Hij(xi) = H

ij(xi) = . . . = H(j1)ij(xi) = 0;i = 1, 2, . . . , n + 1; j= 0, 1, . . . , i1. (1.17)Trebuie sa determin am polinoamele Qijastfel ncat ele s a verice si restulcondit iilordin(1.13)adic a:H(j+1)ij(xi) = . . . = H(i1)ij(xi) = 0; Hij(j)(xi) = 1. (1.18)PolinoameleQijsepotscriesuburm atoareaform a:Qij=(x xi)ij(x)Hij(x) (1.19)Din relat iile (1.19), n care facem pe x satind a c atre xisi (1.15) rezult a:Q(0)ij=limxxi(x xi)ijHij(x)(x)=limxxi(x xi)i(x)Hij(x)(x xi)j.Avem:limxxi(x xi)i(x)=_(x xi)i(x)_x=xi,iarlimxxiHij(x)(x xi)j=limxxiH(j)ij(x)j!=1j!.Rezult a:Q(0)ij=1j!_(x xi)i(x)_x=xi. (1.20)1.1. Interpolareapolinomial aafunct iilor 17Deriv andegalitatea(1.19)si t inandcontdeformalui Qijg asim nur-m atoareaegalitate:Q(k)ij(x) =1k!limxxidkdxk_(x xi)i(x)Hij(x)(x xi)j_. (1.21)FolosindformulaluiLeibnitzcalcul amderivatadeordinkaprodusuluidemaisus:dkdxk_(x xi)i(x)Hij(x)(x xi)j_ ==k

p=0_kn__(x xi)i(x)_(p)_Hij(x)(x xi)j_(kp). (1.22)undecu_kp_amnotatnum arulcombinarilordekelementeluatec atep.Funct ia:_(x xi)i(x)_(p)estecontinu a npunctulx = xi,rezult a:limxxi_(x xi)i(x)_(p)=_(x xi)i(x)_(p)x=xi.Pentrucealalt alimit aavem:Hij(x) = B(0)ij(x xi)j+ B(1)ij(x xi)j+1+ . . .. . . + B(mj)ij(x xi)m(1.23)deunderezulta:limxxi_Hij(x)(x xi)j_(kp)= (k p)!B(kp)ij,dardin(1.23)rezult a:B(kp)ij=H(j+kp)ij(xi)(j + k p)! . (1.24)Rezult a c a tot i coecient ii b(kp)ijsunt nuli n afara de unul si anume acelapentrucarek= p,deoarecej + k p i1,adic aB(0)ij=1j!sia(k)ij=1k!j!_(x xi)i(x)_(k)x=xi. (1.25)18 Capitolul1. IntroducereAtunciHijareurm atoareaform a:Hij=1j!(x)(x xi)i1ij1

k=01k!_(x xi)i(x)_(k)x=xi (x xi)kcarene conducelaurm atoarea form apentrupolinomul deinterpolare alluiHermite.Hm(x) ==n+1

i=1i1

j=0ij1

k=0yji1k!1j!_(x xi)i(x)_(k)x=xi(x)(x xi)ijk.(1.26)1.1.4 Restul n formula de interpolare a lui HermitePresupunemcafunct iafadmitederivatep an alaordinul m + 1peintervalulI. Fiex Iunpunctoarecare.Fiefunct ia:(z) = f(z) H(x1, 1; . . . ; xn+1, n+1; f|z) K(z). (1.27)carearecazerouripunctelexi,i=1, 2, . . . , n + 1,respectivordineledemultiplicitatei;i = 1, 2, . . . , n + 1. Consider andpeKsubforma:K=f(x) H(x1, 1; . . . ; xn+1, n+1; f|x)(x),atunci funct iaseanuleazasi pentruz=x. Funct iaseanuleazapem + 2punctedinintervalul I. Aplicandteoremalui Rollerezult ac aexist acel put inunpunctcuprins ncel mai micinterval carecont inepunctelex, x1, . . . , xn+1,astfel ncat,(m+1)() = 0.Rezult a:K=f(m+1)()(m + 1)! ,sauf(z) H(x1, 1; . . . ; xn+1, n+1: f|z) =f(m+1)()(m+ 1)! (x). (1.28)Relat ia(1.28)reprezint aformuladeinterpolarealui Hermitecurestulcorespunzator.1.2. PolinomulluiTaylor 191.2 PolinomulluiTaylorConsideramformulapolinomului deinterpolarealui Hermitesauformulapolinomuluideinterpolarecunodurimultiple:Hm(x) =n+1

i=1i1

j=0jji1

k=0yji1k!1j!_(x xi)i(x)_(k)x=xi(x)(x xi)ijk,ncarelu amn = 0 si1= p,undepesteunnum arnatural.Obt inemurmatoareaformul a:H(x1, p : f|x) =p1

j=0f(j)(x1)j!(x x1)j,care reprezint apolinomul de interpolare alui Taylor al funct iei f pepunctulx1.1.2.1 Restul nformuladeinterpolarealuiTaylorRestul nformuladeinterpolarealui Taylorestecazparticularalrestului dinformuladeinterpolarealui Hermite,si anume nlocuimpexcua sipe= a + (z a),0 < < 1 nformula(1.27) siobt inem:f(z) H(a, p : f|z) =f(p)()p!(z a)p(1.29)sauf(z) H(a, p : f|z) =f(p)(a + (z a))p!(z a)p, 0 < < 1. (1.30)Not amcuRn+1(z) egalitateaRn+1(z) =f(z) H(a, p: f|z), caresenumesterestul nformuladeinterpolarealuiTaylor.1.3 InterpolareainversaFie I Runinterval al axei reale si e f : I Rofunct iedat acareadmiteofunct ieinversapeintervalul I, adic aexist afunct iaf1: F I, undeF=f(I), astfel ncatf1(f(x))=x, pentruoricex I. Presupunemcaecuat iaf(x) = 0admiteor ad acin ax I,adic a20 Capitolul1. Introducerex= f1(0).Fieofunct iecareaproximeaz afunct iaf1celput in ntr-ovecinatateapunctuluiy= 0,atunciarelocoformul adeaproximaredeforma:f1(y) = (y) + R[f1; y]. (1.31)Punemy =0nformula (1.31) si neglijamfunct ia R[f1; y] atunciobt inempentruxurmatoareaaproximare:x = (0). (1.32)Eroareadeaproximareaformulei(1.32)sepoateevaluaastfel:|x(0)| |R[f1; 0]|.Asuprafunct ieiseimpundouacerint e:a) funct iasaaproximezecatmai binefunct iaf1adicavaloareafunct ieiR[f1; y] npunctuly= 0s aec atmaimic a;b) funct iasaprezinteanumitepropriet at i desimplitate nceeaceprivestecalcululvalorilorsale.Funct iilecarerespectaceade-adouacerint acelmaibine, suntevi-dent, polinoamele, deoarece calculul valorilor sale se reduce la efectuareacelorpatruoperat iiaritmeticeelementare.1.4 Derivateledeordinsuperiorafunct ieiinverseConsideramfunct iaf : I Rsi x0 I unpunct dininteriorulintervalului I. Not amcuVx0ovecin atateapunctuluix0,Vx0 I. Pre-supunemcarestrict iafunct iei f laVx0admiteofunct ieinversa, adic adaca not amcu =f|Vx0, atunci exist a o funct ie 1, astfel ncat1((x)) = x,pentruoricex Vx0.Presupunemcasunt ndepliniteurm atoarelecondit ii(i) restrict iafunct iei f laovecin atatealui x0, Vx0admiteoinvers af1;(ii) funct ia fadmite derivate pe punctul x0pan a la ordinul n inclusiv;1.4. Derivateledeordinsuperiorafunct ieiinverse 21(iii) f

(x0) = 0,si ar at amc a nacestecondit ii derivatadeunordinoarecarek nseexprim acuajutorulurm atoareiformule:dk1(y0)dyk=

(2k 2 i1)!(1)k1+i1i2! . . . ik!(y

0)2k1_y

01!_i1 _y

02!_i2 _y(k)0k!_ik,(1.33)unde sumade mai sus se extinde asupratuturor solut iilornnumerentregi sinenegativealesistemuluideecuat ii.i2 + 2i3 + . . . + (k 1)ik= k 1;i2 + i3 + i4 + . . . + ik + i1= k 1.(1.34)In formula (1.33) cu y(i)0, i = 1, 2, . . . , k amnotat derivatele core-spunzatoarealefunct iei fpex0. Vomdemonstraaceast aformul aprininduct iecomplet a.Deducemcaarelocurm atoareaformul a:dk1dyk= (1)k1Pk(y

0)2k1, (1.35)undePkesteunpolinomcaredepindedevariabileley

0, y

0, . . . , y(k)0.Polinoamele Pk, k = 1, 2, . . . , n verica urm atoarea relat ie derecurent aPk+1= (2k 1)y

0Pky

0P

k, P1= 1, k = 1, 2, . . . , (1.36)Dac aderiv am nraportcuxegalitatea(1.35)avemdk+11dyk+1= (1)k1P

k(y

0)2k1(2k 1)Pk(y

0)2k2y

0(y

0)4k2== (1)k(2k 1)Pky

0y

0 (y

0)2P

k(y

0)2k+2,deundededucemurmatoareaegalitate:dk+11dyk+1= (1)k(2k 1)Pky

0 y

0P

k(y

0)2k+1= (1)kPk+1(y

0)2k+1ceeacetrebuiademonstrat.FiePksuburmatoareaform aPk=

Ak(i1, i2, . . . , ik)(y

0)i1(y

0)i2. . . (y(k)0)ik. (1.37)22 Capitolul1. IntroducereFormula(1.36)nearat ac apentruk 2,Pknuaredec atunsingurtermen ce cont ine pe y(k)0si acest termen este (1)k(y

0)k2(y(k)0).In acestcaznuavemdec atdou aposibilit at i sianume:a) ik= 1 si atunci Ak(i1, i2, . . . , ik) = Ak(k 2, 0, 0, . . . , 0, 1) = (1)k,saub) ik= 0 siatunciAk(i1, i2, . . . , ik) = Ak(i1, i2, . . . , ik1, 0).Pentrucoecient ii Ak(i1, i2, . . . , ik), care sunt denit i pentru i1, i2, . . . , ikntregi si nenegativi, vomstabili oformulade recurent a. Dinformalui Pksi dinrelat iaderecurent a(1.36)rezult ac adac aunul dinindicii(i1, i2, . . . , ik)estenegativ, atunci trebuies aconsider am nmodobliga-toriuAk(i1, i2, . . . , ik) = 0.Din formula de recurent a (1.36) se obt ine termenul care cont ine pro-dusul(y

0)i1(y

0)i2. . . (y(k)0)ik,prinunadinurm atoareleoperat ii:1.Inmult imcu(2k 3)y

0termenulAk1(i1, i21, i3, . . . , ik1)(y

0)i1(y

0)i21. . . (y(k1)0)ik1;2.Inmult ind cu y

0 derivatele termenilor care corespund urmatoruluisirdeindici:(i1, i21, i3, . . . , ik1); (i11, i2+1, i31, . . . , ik1);(i11, i2, i3 + 1, i4 + 1, i41), . . . , ik1); . . .. . . ; (i11, i2, . . . , in2 + 1, in11).Din condit iile de mai sus se deduce usor c a are loc urm atoarea formul aderecurent a:Ak(i1, i21, i3, . . . , ik1, 0) = (2k 3)Ak1(i1, i21, i3, . . . , ik1)i1 Ak1(i1, i21, i3, . . . , ik1)(i2 + 1)Ak1(i11, i2 + 1, i31, . . . , ik1) . . .. . . (ik1 + 1)Ak1(i11, i2, . . . , ik2 + 1, ik11),(1.38)1.4. Derivateledeordinsuperiorafunct ieiinverse 23adicaAk(i1, i21, . . . , ik1, 0) = (2k 3 i1)Ak1(i1, i21, i3, . . . , ik1)k2

j=2(ij + 1)Ak1(i11, i2, . . . , ij + 1, ij+11, . . . , ik1).(1.39)T inandcontdea)pentruik= 1avem:Ak(k 2, 0, 0, . . . , 0, 1) = Ak1(k 3, 0, . . . , 0, 1). (1.40)In continuare vom nota cu Zk; (k 2) mult imea sirurilor nite de numerentregi nenegative (i1, i2, . . . , ik) care satisfac urmatorul sistem de ecuat ii:k

j=2(j 1)ij= k 1; i1= k 1 k

j=2ij. (1.41)Demonstram ncontinuareprininduct iecompleta,c asumadinformula(1.37)seextindeasupramult imiiZk.Observ amc apentruk=1si pentruk=2proprietateaesteveri-cat a, presupunemc aaceast aproprietateestevericat apentruk=s.PentruPs+1,seefectueazaurm atoareleoperat ii:1. Se nmult estePscu(2s 1)y

, aceasta nseamn ac aindicelei2sem arestecuounitate, iarrestul indicilornuseschimb a.Inacestcazavem:i2 + 1 s

j=3(j 1)ij= 1 +s

j=2(j 1)ij= 1 + s 1 = s,iars _i2 + 1 +s

j=3ij_ = s 1 s

j=2ij= i1.2. DinderivataluiPs,rezult ac atrebuies aschimbampeipcuip1sipeip+1cuip+1 + 1siapoi nmult imtermenul obt inutcu y

0sivomobt ine:p1

j=2(j 1)ij + (p 1) + p(ip+1 + 1) +s

j=p+2(j 1)ij=24 Capitolul1. Introducere=s

j=2(j 1)ijp + 1 + p = s 1 + 1 = s;iarpentruceade-adouarelat ieavem:s p1

j=2ij(ip1) (ip+1 + 1) s

j=p+2ij= s s

j=2ij= i1 + 1.Dinceledemaisusrezultac adac auntermenalluiPscorespundelaosolut iedinZs,atuncitermenul Ps+1ceseobt inedinPscuformuladerecurent a(1.36)corespundelaZs+1.Demonstram ncontinuareprininduct ieformulaAk(i1, i2, . . . , ik) =(2k 2 i1)!(1)i1i2!i3! . . . (k!)ik. (1.42)Pentruk = 1 sik= 2aceast aformul aesteevidenta. Dac aik= 1avem(2k 2 k 2)!(1)k20!0! . . . 0!1!1(1!)k2(2!)0. . . ((k 1)!)0(k!)1= (1)kk!k!== (1)k= Ak(k 2, 0, . . . , 0, 1).Dac aik= 0,vompresupunec a(1.42)are loc pentruk = s 1 sit inandcontdeformuladerecurent a(1.39)vomavea:As(i1, i2, . . . , is1, 0) = (2s 3 i1)As1(i1, i21, i3, . . . , is1)s2

j=2(ij + 1)As1(i11, i2, . . . , ij + 1, ij+11, . . . , is1) == (2s 3 i1)(2s 4 i1)!(1)i1i22i2!i3! . . . is1!(2!)i2. . . [(s 1)!]is1s1

j=2(ij + 1)(2s 4 i1 + 1)!(1)i11ij+1(j + 1)!i2!i3! . . . is1!(2!)i2. . . [(s 1)!]is1(ij+1)j!==(2s 3 i1)(1)i1i2! . . . is1!(2!)i2. . . [(s 1)]is1_2i2 +s2

j=2(j + 1)ij+1_ ==(2s 3 i1)!(1)i1i2! . . . is1!(2!)i2. . . [(s 1)!]is1s1

j=2jij.1.4. Derivateledeordinsuperiorafunct ieiinverse 25Tin andcontderelat iile(1.41)rezult ac aarelocegalitatea:s1

j=2jij= 2s 2i1. (1.43)Deoarece amconsiderat cazul is=0adic ais! =1si t inandcont deformuladedus aanterior side(1.43), deducemAs(i1, i2, . . . , is1, 0) =(2s 2 i1)!(1)i1i2! . . . is!(2!)i2. . . (s!)is,ceeacetrebuiademonstrat(vezi[71]).1.4.1 Cazuriparticulare1. k= 2.Inacestcazsistemul(1.34)devine:_i2= 1;i1 + i2= 1,carenedasolut iaunicai2=1, i1=0. corespunz atorcuaceast asolut ie avemurm atoareaformul adecalculaderivateideordinul2ainverseifunct ieif.d21dy2= y

0[y

0]3.2. k= 3.Inacestcazavemurm atorulsistem:_i2 + 2i3= 2;i1 + i2 + i3= 2,deundeobt inemurmatoarelesolut ii i1=1, i2=0, i3=1saui1=0, i2=2, i3=0. Acestesolut ii neconduclaurmatoareaformul a:d31dy3= y

0 y

03[y

0]2[y

0]5.3. k= 4. Suntemcondusilaurm atorulsistem:_i2 + 2i3 + 3i4= 3;i1 + i2 + i3 + i4= 3,26 Capitolul1. IntroducereAcest sistemneconducelaurmatoarelesolut ii: i1=2, i2=0,i3= 0,i4= 1;i1= 1,i2= 1,i3= 1,i4= 0;i1= 0,i2= 3,i3= 0,i4=0. Corespunz atorcusolut iiledemai sus, avemurm atoareaformul a:d41dy4= (y

0)2(y(4)0) + 10y

0y

0y

0 15(y

0)3(y

0)7.4. k= 5.Inacestcazavemurm atorulsistem:_i2 + 2i3 + 3i4 + 4i5= 4;i1 + i2 + i3 + i4 + i5= 4.Solut iilesistemuluidemaisuslevomda ntabelulurmator:i1i2i3i4i50 4 0 0 01 2 1 0 02 1 0 1 02 0 2 0 03 0 0 0 1Cuajutorulsolut iilorcuprinse ntabel,seobt ineformula:d51dy5=105(y

0)4105y

0(y

0)2y

0+ 15(y

0)2y

0y(4)0(y

0)9++10(y

0)2(y

0 )2(y

0)3y(5)0(y

0)9.5. k= 6Sistemulcorespunzatoracestuicazesteurm atorul:_i2 + 2i3 + 3i4 + 4i5 + 5i6= 5;i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + i6= 5.careadmiteurm atoarelesolut ii:i1i2i3i4i5i60 5 0 0 0 01 3 1 0 0 02 2 0 1 0 02 1 2 0 0 03 0 1 1 0 03 1 0 0 1 04 0 0 0 0 1.1.5. Ecuat iiliniarecudiferent e 27Cuajutorulsolut iilorcuprinse ntabel,seobt ineformula:d61dy6= (y

0)4y(5)0+ 21y(4)0y

0(y0)3+ 35y

0 y

0(y0)3(y

0)11+210y

0 (y

0)2(y0)2280(y

0)2y

0(y0)2+ 1260y

0(y

0)3y0945(y

0)(5)(y

0)11.1.5 Ecuat iiliniarecudiferent e1.5.1 Solut iageneralaVomnotacuNmult imeanumerelornaturalesicuRmult imeanu-merelorreale.Oecuat iecudiferent e,liniar adeordinulnareforma:a0(k)xn+k + a1(k)xn+k1 + . . . + an(k)xk= b(k), (1.44)unden, k N, iarai, b, i=0, . . . , nsuntfunct ii realedate, denitepeN,cucondit iaa0(k) = 0.Fiex(j), j =1, . . . , n, nsolut ii particularealeecuat iei omogene(1.44)(adicaaecuat iei(1.44) ncareb(k) 0). Atuncix =n

j=1Cjx(j), Cj R, (1.45)daca x(j)sunt liniar independente pe Natunci (1.45) este solut ia general aaecuat ieiomogene. Solut iageneral aaecuat ieineomogeneeste:x =n

j=1Cjx(j)+ x(0),undex(0)esteosolut ieparticular aalui(1.44).1.5.2 Ecuat iicucoecient iconstant iEcuat iile cu coecient i constant i suntcazuri particulare ale ecuat iilordeforma(1.44),adic aai(k) = constant nraportcuk. Punandai(k) = ai,i = 0, . . . , n, necut ia(1.44)obt inem:a0xn+k + a1xn+k1 + . . . + anxk= b(k). (1.46)28 Capitolul1. IntroducereInacestcazsepotdeterminansolut iiliniarindependentealeecuat iiloromogene,pun andxk= tk,t R.Inlocuind necuat iaomogen aobt inempentrutecuat ia:(t) a0tn+ . . . + an= 0,careesteecuat iacaracteristic a,iarpolinomulcaracteristic.Dac at1, . . . , tnr ad acini reale, distinctealui atunci x(j)(k) =tkj,j= 1, 2, . . . , n.Dac aareor ad acin amultipl adeordinul r>1(et1), atunci celensolut iiliniarindependentealeecuat ieivor:tk1, ktk1, . . . , kr1tk1, tk2, . . . , tknr+1.Dac aaredou asolut iicomplexconjugatesimple,eacestea:t1= (cos + i sin ), t2= (cos i sin ),atuncifunct iiletk1,tk2se nlocuiesccux(1)(k) = kcos k, x(2)(k) = ksin k.Deci, n toate cazurile, solut ia general a a ecuat iei omogene cucoecient iconstant iareforma(1.45),iarfunct iilex(j)sepotexplicita.1.5.3 Comportareaasimptoticaasolut iilorecuat ii-lorcucoecient iconstant iPresupunemca seria

k=0bktk, unde bk=b(k) este termenul liber alecuat iei(1.46),arerazadeconvergent anenul a.Fiefunct iaX: (a, a) R1,a ,denit adeX(t) =B(t) + Pn1(t)tn(1t), (1.47)undeB(t)estesumaseriei, iarPn1esteunpolinomoarecaredegradn 1.Observat ia1.5.1Dinrelat iatn_1t_ = a0 + a1t + . . . + antn1.5. Ecuat iiliniarecudiferent e 29sitn_1t_ = a0 = 0pentrut = 0rezult ac afunct iaXesteanalitica.Denit ia1.5.1Seria

k=0aktkesteoserie()dacaexist aoconstantapozitiv aMastfel nc at|ak| Mk, k= 0, 1, . . .(vezi[63]).Observat ia1.5.2Oserie () are ntotdeauna raza de convergent anenula,maimaresauegal acu1/.Lema1.5.1FieB(t) =

k=0bktkoserie()si e unnum arreal cucondit ia: sau || siB(1/) =0. AtunciB(t)(1 t)esteoserie().Demonstrat ie: Sa not am cu ckcoecient ii dezvolt arii n serie de puteriafunct ieiB(t)(1 t). Decick= bk + bk1 + . . . + b0k.Dac a || < ,rezult a|ck| Mk_1 + ||+ . . . + ||kk_ < kM ||= kM| |||.Dac a nsa || > siB(1/) = 0,atuncick= k_b0 +b1+ . . . +bkk_ = k_bk+1k+1+bk+2k+2+ . . ._.DeoareceB(t)esteoserie(),avem |bk| Mksideci|ck| M||k_ k+1||k+1+k+2||k+2+ . . ._ M||kk+1||k+1_1 +||+2||2+ . . ._ < kM|| = kM| |||.30 Capitolul1. IntroducereConsecint a1.5.1Fie1, . . . , n,nnumeredate,distincte,cui = 0sii =. PresupunemcaB(t) esteoserie()si caB(1/p) =0dac a|p| > . AtunciB(t)n

i=1(1 it)esteoserie().Demonstrat ie: Descompun andexpresia1n

i=1(1 it)nfract iisimple sialplicandlema1.5.1rezult ac aesteoserie().Consecint a1.5.2Fie || < si= /( ||). Atunci1(1 t)(1 t) 1 t.FieAi(t) =

k=0a(i)ktk, i =1, 2, dou aserii de puteri astfelncat|a(1)k| 0si0 < < 1,2. solut iileecuat iei caracteristicet1, . . . , tnsunt realesi distinctesisatisfacrelat iile|t1| > 1 > |t2| > . . . > |tn| > 0, |t3| < .Atunciexist aoconstantareal aaastfel nc at|xkatk1| 0, k .1.5. Ecuat iiliniarecudiferent e 31Demonstrat ie: Seconsiderafunct iaXdenit aderelat ia(1.47),scrisasubformaX(t) =B(t) + Pn1(t)n

i=1(1 tit).Fieaastfel ncatB_1t1_Pn1_1t1_a_1 t2t1_. . ._1 tnt1_ = 0.AvemX(t) a1 t1t=B(t) + Pn1(t) a(1 t2t) . . . (1 t2t)(1 t1t)(1 t2t) . . . (1 tnt).Aplicandconsecint a1.5.1alemei1.5.1,rezult aX(t) a1 t1t=C(t)1 t2t, (1.48)undeaesteoconstant areal a siC(t)esteoserie().Observ amc aX(t) a1 t1t)=

k=0xktka

k=0tk1tk=

k=0(xkatk1)tk, (1.49)unde xk sunt coecient ii dezvolt arii n serie de puteri ai funct iei X (solut iaecuat iei(1.46)).Cazul|t2| < . Conformlemei1.5.1, C(t)/(1 t2t)esteoserie() sidin(1.49)rezult ac a|xkatk1| Mk0, k .Cazul|t2| = .T inandseamac a11 t=

k=0ktk,faptulcaC(t)esteoserie()sepoatescrieastfel:C(t) m1 t.32 Capitolul1. IntroducerePedealt aparte,avem11 t2t 11 |t2|tsiprin nmult irededucemX(t) a1t1t=C(t)1t2t M(1t)(1|t2|t)==M(1t)2. (1.50)Coecientulluitkdindezvoltarea nseriedeputeriafunct ieiM(1 t)2esteM_k + 1k_k= m(k + 1)kastfel ncat|xkatk1| M(k + 1)k0, k .Cazul |t2| > . Conformconsecint ei1.5.2alemei1.5.1avem1(1 t)(1 |t2|t) 1 |t2|t,unde= |t2|/(|t2| ). T inandseamade(1.50),rezult a|xkatk1| |t2|k0, k .Observat ia1.5.3Dinteorema1.5.1rezult acapentruvalori mari alelui k, funct iax: NR, solut ieaecuat iei cudiferent e(1.46), esteaproximat a de funct ia exponent iala atk1, adic a comportarea ei asimptotic aestedat adeatk1(vezi[63]).Capitolul2Metodeiterative2.1 Ordinul de convergent a al metodeloriterativeFie(xk)unsir numericoarecareconvergent lax. Vomconsiderantotdeaunaunastfel desirgeneratdeometod aiterativ adecalcul iarpexdreptsolut ieauneiecuat ii,f(x) = 0.Denit ia2.1.1Vomspunec asirul (xk) areordinul deconvergent ardacalimk|xxk+1||xxk|r= , (2.1)unde0 < < +. Constantareal asenumesteeroareaasimptotic aametodei.Numarul rconstituieomasur aavitezei deconvergent a(cuc atrestemai marecuat atiterataurm atoarexk+1trebuiesaemai aproapedesolut ie). Vomspunec aconvergent aesteliniar adac ar = 1,superliniar adaca1 < r< 2sipatraticadac ar= 2. Dac asirulsatisfaceorelat iedeforma|xxk+1| |xxk|r0,3334 Capitolul2. Metodeiterativeatunci,daca exist aun rastfel ncat (2.1) s aaib a loc, avem r r0. Dac ar < r0,rezult a|xxk+1||xxk|r0= |x xk+1|xxk|r1|xxk|r0r , k ,n contrazicere cu relat ia precedent a. Vom spune c a metoda are ordin deconvergent acelput inr0.2.2 Criteriideconvergent aConsideram[a, b]unintervalalaxeireale siconsideramecuat iaf(x) = 0undef: [a, b] R.Fie

= (xn)n=0unsirdenumererealedinintervalul[a, b]sis 2unnumarnaturaldat.Cercetam condit iile n care sirul

este convergent, av and ordinul deconvergent a num arul natural s, fat a de fsi daca not am cu x=limnxn,atuncixesteor ad acin aaecuat ieif(x) = 0.Teorema2.2.1(vezi[72]). Dacasirul

,funct iafsinum arul realsipozitivsuntastfel nc at:(i) intervalul = (x0, x0 + )estecont inut nintervalul [a, b];(ii) funct iafestederivabil ap an alaordinulsinclusivpeecarepunctal intervaluluisisupx|f(s)(x)| = M< +;(iii) exist aoconstantareal asi nenegativ a, independent adenastfelnc atpentruoricen = 0, 1, . . .,aulocinegalit at ile:s1

i=0f(i)(xn)i!(xn+1xn)i |f(xn)|s,undexn

, n = 0, 1, . . . ;2.2. Criteriideconvergent a 35(iv) exist aoconstant areal asi nenegativ aindependentadenastfelnc atpentruoricen = 0, 1, . . .,aulocinegalit at ile:|xn+1xn| |f(xn)|undexn

,n = 0, 1, . . .;(v) constantele,sinumerelerealeMsiveric arelat iile:0= v|f(x0)| < 1;0v(1 0) ,undeprinvamnotatv =_ +Ms1s!_1s1,atuncirelativlaecuat iaf(x) = 0silasirul

aulocurm atoarelepropriet at i:(j) sirul

are ordinul de convergent assi dacax=limnxn,atunci(x) = 0;(jj) x [a, b];(jjj) |xn+1xn| s0nv;(jv) |xxn| s0nv(1 s0n);(v) |f(xn)| s0nv.Demonstrat ie: Ar at amc aelementelesirului

suntcont inute nin-tervalul.Pentrux1,baz andu-nepeipoteza(iv)avem|x1x0| |f(x0)| =v|f(x0)|v=0v0v(1 0) ; (2.2)36 Capitolul2. Metodeiterativede unde rezultac a x1 . Deoarece x1 , folosim formula lui Taylor,vomdeduceurmatoareainegalitate:|f(x1)| f(x1) s1

i=0f(i)(x0)i!(x1x0)i+s1

i=0f(i)(x0)i!(x1x0)iMs!|x1x0|s+ |f(x0)|s_Mss!+ _|f(x0)|sdeundededucem|f(x1)| = vs1|f(x0)|s. (2.3)Presupunemprininduct iecaaulocurm atoarelepropriet at i:1. xi ,i = 1, 2, 3, . . . , n;2. |xixi1| s0i1v,i = 1, 2, . . . , n;3. |f(xi)| = vs1|f(xi1)|s,i = 1, 2, . . . , n.Inipotezeledemaisusar at amc aaulocurm atoarelerelat ii:xn+1 ; |xn+1xn| =s0nv, |f(xn+1)| vs1|f(xn)|s.Propriet at ile 1-3 sunt vericate pentri i = 1. Dac a nmult im ambii mem-bri ai inegalit at ilor3cuvsi dacanot ami=v|f(xi)|, i=0, 1, . . . , n,atuncideducemurmatoareleinegalitat ii s0i, i = 1, 2, . . . , n. (2.4)Din inegalit at ile (2.4) si din ipoteza (iv) deducem urmatoarea inegalitate:|xn+1xn| |f(xn)| =v|f(xn)|v=s0nv. (2.5)Dininegalitateademaisusdeduceminegalitat ile:|xn+1x0| n

i=0|xi+1xi| =vn

i=0s0i0v(1 0) .deunderezultac axn+1 . Dinrelat ia(2.5)pentrui = n + 1rezult ainegalitatea2.Pentruinegalitatea3. avem:|f(xn+1)| f(xn+1) s1

i=0f(i)(xn)i!(xn+1xn)i+2.2. Criteriideconvergent a 37+s1

i=0f(i)(xn)i!(xn+1xn)i_ +Mss!_|f(xn)|s= vs1|f(xn|s.Rezult ac apropriet at ile1.-3. aulocpentruoricen = 1, 2, . . ..Ar at amc a sirul

esteconvergent.Fie n si p doua numere naturale. Din faptul ca propriet at ile 1.-3. suntvericatepentruoricenumarnaturaln,rezult aurm atoareledelimit ari:|xn+pxn| n+p1

i=n|xi+1xi| vn+p1

i=ns0is0nv(1 s0n), (2.6)n = 1, 2, . . . .Inegalitateademaisusestevericatapentruoricenum arnaturalp. Deaici rezultac apentruorice>0num arreal exist aunnum arnaturalN()astfel ncatpentrun > N()avems0nv(1 s0n)< deoarece 0< 1. Deci sirul

este un sir fundamental, adica convergent.Dac atrecemlalimitapentrup ninegalitatea(2.6)si not amcux=limnxn,deducem|xxn| vs0nv(1 s0n), n = 1, 2, . . . .Pentrun = 0obt inemdinultimainegalitate|xx0| =0v(1 0) ceeacenearat ac ax . Trebuiesamai ar at amc axesterad acinaecuat ieif(x) = 0. Dinrelat ia(2.4)pentrui avemlimii=limis0i= 0adicalimn|f(xn)| = |f(x)| = 0.Observat ia2.2.1Dacasirul

estegeneratdeometod aiterativadetipulxn+1= g(xn); x0 (a, b], n = 0, 1, . . . , (2.7)38 Capitolul2. Metodeiterativeundeg: [a, b] Resteofunct iecareareurm atoareaform ag(x) = x + (x), (2.8)pentruorice x [a, b], iar : [a, b]R, atunci teorema2.2.1areurm atorul enunt :Teorema2.2.2Fiex0 [a, b], >0si = {x R : |x x0 }.Daca num arul real x0, numarul pozitiv si funct ia dat a de (2.8) se potalegeastefel nc ats ae ndepliniteurm atoarelecondit ii(i) intervalul estecont inut nintervalul[a, b];(ii) funct iafestederivabil ap an alaordinulsinclusivundes 2esteunnumarnaturalsisupx|f(s)(x)| M< +;(iii) aulocurm atoareleinegalit at i:s1

i=0f(i)(x)i!i(x) |f(x)|s,pentruoricex , unde 0esteoconstant areal a, indepen-dent adexsi|(x)| |f(x)|,pentruoricex , unde>0esteoconstant areal a, indepen-dent adex;(iv) numerele,,Msisuntastfel nc ataulocinegalit at ile0= v|f(x0)| < 1,undev=_ +sMs!_1s12.3. Punctedeatract ie sipunctederepulsie 39si0v(1 0) .atunciaulocurm atoarelepropriet at i:(j) sirul(xn)n=0generatdemetodaiterativa(2.7)esteconvergent;(jj) dacax=limnxn,atuncif(x) = 0six ;(jjj) |xn+1xn| s0nv,pentruoricen = 0, 1, . . .;(jv) |xxn| s0nv(1 s0n),pentruoricen = 0, 1, . . ..Aceastateorem aesteconsecint aimediat aateoremeiprecedente.2.3 Puncte de atract ie si puncte de re-pulsieFie(x)denit nJxsiex1 Jx. Form amx2= (x1), x3= (x2), . . . , x+1= (x), . . . (2.9)si se presupune ca punctele astfel obt inute sunt din Jx. Dac an particular(x1) = x1 ntreagasecvent ax(= 1, 2, . . .)const a nrepetarealuix1.Un num arcu proprietatea ca() = este un punctxdeiterat iesau un centru de iterat ie (2.9). Funct ia (x), denit a mai sus se numestefunct iedeiterat ie.Vom folosi V (0) pentru a nota o vecin atate simetrica a lui 0, de exemplu0< x < 0 + , > 0.Presupunem0= (0).40 Capitolul2. MetodeiterativeDenit ia2.3.10este numit punct de atract ie dac a oricare ar ovecin atateV0alui 0si oricarearunpunct destart x1 V0sirul(x)cutermenul generalprecizat n(2.9)satisfacelimnx= 0.Denit ia2.3.20este numit punct de repulsie dac a oricare ar ovecin atateV0alui 0si oricarearunpunct destart x1 V0sirul(x)cutermenul generalprecizat n(2.9)satisfacelimnx = 0.(nafar adecazul ncareunul dinx= 0). (vezi[71]).Teorema2.3.1Fie (x) o funct ie de iterat ie denit an Jx. Pre-supunemc a0=(0), 0(Jx) si ca()

(0). Atunci 0esteunpunctdeatract iesaurepulsiedenitdac aeste ndeplinitarelat ia|

(0)| < 1sau |

(0)| > 1.Inprimulcazavemx+1x

(0)Demonstrat ie: ParteaI.Presupunem|

(0)| < 1.Atunci, dacaalegemunpcu |

(0)| p > 1avempentruoricexdinV (0)(x) (0)x 0 p. (2.12)Caurmare,pentruunx1 V (0)obt inem|x20| p|x10|,astfel ncatx2estemai ndepartatde 0decatx1. Acelasiargumentestevalabil pentru()xat atatimpcatestedinV (0)si estediferitde0.Caurmare,x 0,cuexcept iax= 0si0esteunpunctderepulsie.Observat ia2.3.1 (a) Dacaseiauvalorinafaravecin at at ii V (0),inegalitatea(2.12) nuarelocsi esteposibil caurm atorul nostrupunct s a e 0. Este posibil s a se construiasc a o funct ie neanalitic a(x) astfel nc at n afara unei vecin atat i a lui 0funct ia sa e pestetotegalacu0. Chiar si ofunct ieanalitic aneconstant a(x)poateconstruit aastfel nc ats aeegal acu0launnum ardepunctenit nafaravecin at at iilui0.(b)Incazul |

(0)| 0,3. f(x0)f(x1) < 0.Atunciecuat iaf(x) = 0areosolut ieunicax n(x0, x1),iar sirul {xk}datdemetodacoardei(3.2)convergelax.3.1. Metodacoardei 47Demonstrat ie:Putempresupunecaf

(x)>0pe[a, b]si decif(x0)>0,f(x1) |h(x)| de-alungul luiC. Atuncifunct iileg(x)sig(x) + h(x)auacelasinum ardezerouri nsubregiunealuiG nchis adeC.Aplicamaceast ateorem alui g(x)=L(x), h(x)=T(x), nvecin atatealuiKxpentruC,siL(x) + T(x)= f(x) . Din(3.26)vedemc adoarzeroulluiL(x)estedatprinx

0=f

0.Folosindrelat ia(3.21)obt inem|x

0| = ||f

0| < r Mr22|f

0|< r,x0estedininteriorulluiKx.Inplus,avem nKxexactor ad acin aaluif(x) = .Vedem ca funct ia invers ax = () este analitic a si satisface inegalitatea(3.22).Capitolul4Metodecuordindeconvergent asuperior4.1 TeoremadepunctxDenit ia4.1.1Funct iaf: R Resteocontract iedaca()c (0, 1)astfel nc atoricarearx, y Rsaaib alocinegalitatea:|f(x) f(y)| c|x y|.Teoremadepunct xalui Banach, carest alabazaunormetodeiterative de rezolvare a ecuat iilor de forma f(x) = x, presupune ca festeocontract iepeR.Teorema4.1.1Fief: [a, b] Rsix (a, b)unpunctxal funct ieif. Presupunem c a feste contract ie pe mult imeaS(x, r) = [xr, x+r].Atunci xesteunpunct xunicnS(x, r)si fk(x0) x, k pentruoricex0dinS(x, r).Demonstrat ie: Fie, 0