Cap 3 Electrotehnica

3. Chestiuni de electrostatică

CUPRINS 3. Chestiuni de electrostatică ......................................................................... 2

3.1. Caracterul potenţial al câmpului electrostatic ..................................... 2 3.2. Suprafeţe de discontinuitate în câmp electric. Condiţii de trecere ...... 4 3.3. Rigiditatea dielectrică .......................................................................... 7 3.4. Conductoare în regim electrostatic ...................................................... 9

3.4.1. Condiţia de echilibru electrostatic................................................. 9 3.4.2. Influenţa electrostatică ................................................................ 10 3.4.3. Efectul de ecran........................................................................... 11

3.5. Aplicaţii la calcului câmpului şi potenţialului electrostatic .............. 12 3.5.1. Câmpul şi potenţialul electric ale unei sarcini punctiforme........ 12 3.5.2. Câmpul şi potenţialul electric ale unei sfere metalice încărcată uniform cu sarcină electrică .................................................................. 13 3.5.3. Câmpul şi potenţialul electric ale unui conductor rectiliniu infinit, încărcat cu densitatea de sarcină ...................................................... 14 lρ3.5.4. Câmpul şi potenţialul electric ale unui plan infinit, încărcat uniform cu distribuţia de sarcină ..................................................... 15 sρ .

3.6. Condensatoare electrice..................................................................... 17 3.6.1. Condensator electric. Capacitate electrică .................................. 17 3.6.2. Calculul capacităţii electrice ....................................................... 18

3.6.2.1. Capacitatea condensatorului plan ......................................... 19 3.6.2.2. Capacitatea condensatorului sferic ....................................... 20 3.6.2.3. Capacitatea condensatorului cilindric ................................... 20

3.6.3. Capacitatea echivalentă ............................................................... 22 3.6.3.1. Condensatoare în serie .......................................................... 23 3.6.3.2. Condensatoare în paralel....................................................... 24

1

Electrotehnicǎ

3. CHESTIUNI DE ELECTROSTATICĂ

Electrostatica este o parte a electrotehnicii în care se studiază stările electrice invariabile în timp şi neînsoţite de curenţi electrici de conducţie, respectiv neînsoţite de transformări energetice. Într-un regim electrostatic câmpul electric este produs de un sistem de corpuri imobile unele în raport cu altele, încărcate cu sarcini electrice invariabile în timp. Câmpul electric corespunzător într-un punct fix în raport cu sistemul de corpuri este constant în timp, iar în conductoarele situate în câmp nu se dezvoltă căldură (J=0).

3.1. CARACTERUL POTENŢIAL AL CÂMPULUI ELECTROSTATIC

Regimul electrostatic este un caz particular al regimului staţionar (în regim staţionar mediile conductoare sunt parcurse de curenţi continui (J≠0) şi au loc transformări de energie), deci este valabilă teorema potenţialului electric (electrostatic) staţionar (rel. 1.11):

E dl 0Γ

⋅ =∫ . (3.1)

În consecinţă tensiunea electrică dintre două puncte nu depinde de traseul considerat dintre cele două puncte, fiind egală cu diferenţa potenţialelor punctelor respective:

B

AB A BAU E dl V= ⋅ = −∫ V . (3.2)

Dacă cele două puncte A şi B sunt foarte apropiate unul de celălalt, la limită se obţine diferenţiala potenţialului electric:

( )B AB AdV lim V V E dl

→= − = − ⋅ . (3.3)

Ţinând seama că potenţialul electrostatic este o funcţie de punct, V(x,y,z), diferenţiala totală a potenţialului este:

V V VdV dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

. (3.4)

Vectorii E şi dl au în coordonate carteziene expresiile:

2


x y zE E i E j E k= + + ; (3.5)

dl dx i dy j dz k= ⋅ + ⋅ + ⋅ . (3.6) Introducând relaţiile (3.4) (3.5) şi (3.6) în (3.3), se obţine:

( x y zV V Vdx dy dz E dx E dy E dzx y z

∂ ∂ ∂+ + = − + +

∂ ∂ ∂) , (3.7)

din care rezultă:

x y zV VE ; E ; Ex y

Vz

∂ ∂= − = − = −

∂ ∂∂∂

. (3.8)

Expresia vectorului intensităţii câmpului electric se obţine din relaţiile (3.5) şi (3.8):

V V VE i jx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + +⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

k ⎟ . (3.9)

Mărimea vectorială din paranteză (rel. 3.9) se numeşte gradient de potenţial şi se notează cu gradV, astfel că relaţia precedentă se poate scrie prescurtat:

E gradV V= − = −∇ , (3.10) unde

i jx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

k . (3.11)

este operatorul vectorial al lui Hamilton (nabla). Rezultă deci că un câmp electrostatic derivă dintr-un potenţial scalar. Vectorul gradient, , este orientat în sensul în care potenţialul are o creştere maximă pe unitatea de lungime. Modulul

V∇V∇ a gradientului

reprezintă variaţia maximă pe unitatea de lungime a potenţialului electric. Cu relaţiile (3.3) şi (.10) se poate calcula variaţia potenţialului după o direcţie oarecare dl , care poate diferi de direcţia vectorului gradient V∇ ,

dV E dl V dl V dl cos= − ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅ α , (3.12)

unde α este unghiul dintre vectorii dl şi V∇ . Evident că dacă vectorii dl şi sunt perpendiculari (α=900), se obţine dV=0. V∇

Suprafaţa care se obţine unind toate punctele în care potenţialul V are aceeaşi valoare se numeşte suprafaţă echipotenţială, iar într-un plan rezultă

3

Electrotehnicǎ

linia echipotenţială. Ecuaţia suprafeţei echipotenţiale este aşadar V(x,y,z)=const. Observaţii şi precizări:

- liniile de câmp electric sunt normale pe suprafeţele echipotenţiale. În adevăr dacă dl se consideră pe o suprafaţă echipotenţială, variaţia

potenţialului după direcţia dl este nulă, iar din relaţia (3.12) rezultă că vectorii E şi dl sun ortogonali. De exemplu, în cazul unei sarcini punctiforme, ale cărei linii de câmp sunt radiale, suprafeţele echipotenţiale vor fi reprezentate prin sfere concentrice cu centrul în punctul în care este situată sarcina (fig. 3.1); - în interiorul conductoarelor omogene, în regim electrostatic, câmpul electric este nul,

E 0= , (rel. 1.42), deoarece în

ţia potenţialului în sensul unei linii de câmp

caz contrar ar exista o mişcare ordonată a purtătorilor de sarcini electrice, adică un curent electric. Din relaţia (3.12) rezultă că în acest caz dV=0, respectiv V=const., deci în interiorul conductorului omogen, în regim electrostatic, potenţialul este constant. În consecinţă suprafaţă conductorului este o suprafaţă echipotenţială, iar liniile de câmp exterioare sunt perpendiculare pe suprafaţa conductorului; - dacă se calculează varia

( )E dl , din ↑↑ relaţia (3.12) se obţine: dV E dl E dl 0= − ⋅ = − ⋅ < , deci

p sau altf p potenţialul scade în sensul liniilor de câm el spus vectorul câm E este îndreptat dinspre regiunea cu potenţial mai ridicat spre regiunea cu potenţial mai scăzut; - vectorul câmp E este mai intens în regiunea unde suprafeţele

dacă distanţa dl dintre suprafeţele echip

3.2. SUPRAFEŢE DE DISCONTINUITATE ÎN CÂMP ELECTRIC.

mogeni şi izotropi cu permitivităţile ε1 şi ε2, s

echipotenţiale sunt mai dense. Urmărind două suprafeţe echipotenţiale între care dV=const., variaţia de potenţial calculată după direcţia liniei de câmp este dV E dl const.= − ⋅ = sau E dl const.⋅ = , deci intensitatea câmpului creşte otenţiale scade.

CONDIŢII DE TRECERE

Se consideră doi dielectrici oeparaţi prin suprafaţa S12, neîncărcată cu sarcină electrică (fig. 3.2, a). Fie 1D şi 2D inducţiile electrice, iar 1E şi 2E intensităţile câmpului

elec n pu a e

tric î două ncte foarte apropiate, situ te d o parte şi de cealaltă a suprafeţei S12 (pe cele două feţe ale acesteia).

Fig. 3.1

4


2

Fig. 3.2 Se aplică legea fluxului electric unei suprafeţe închise Σ de forma unui

mic

cilindru plat, cu bazele ΔS şi de înălţime foarte mică. Neglijând fluxul prin suprafaţa laterală a cilindrului şi ţinând seama că în suprafaţa de separaţie nu există sarcini electrice adevărate, se obţine:

1 21 2 12

1 12 2 12

D ds D n S D n S 0⋅ = ⋅ ⋅Δ + ⋅ ⋅Δ = ;

D n D nΣ

⋅ = ⋅

∫

şi, în final:

. (3.13)

În concluzie, la suprafaţa de separaneîn

1n 2nD D=

ţie dintre doi dielectrici diferiţi, cărcaţi cu sarcină electrică adevărată, componenta normală a inducţiei

electrice se conservă (fig. 3.2, b).Ţinând seama că D E= ε , respectiv: 1n 1 1nD E= ε şi 2n 2 2nD E= ε , din expresia (3.13) se obţine de legătură

le ale intensităţii câmpului electric: relaţia

dintre componentele norma

1n 2

2n 1

EE

ε=ε

. (3.14)

Se observă că raportul componentelor normale ale intensităţii câmpului

onentele tangenţiale ale intensităţii m

electric este egal cu raportul invers al permitivităţilor dielectricilor, deci suprafaţa S12 reprezintă o suprafaţă de discontinuitate pentru componenta normală a intensităţii câmpului electric. Pentru a stabili relaţia dintre compcâ pului electric, se aplică teorema potenţialului electrostatic (rel. 3.1) unui mic contur dreptunghiular Γ, cu laturile Δl situate în cele două medii dielectrice şi aplicate strâns pe suprafaţa de separaţie S12, înălţimea dreptunghiului fiind neglijabilă (fig. 3.3, a).

1ΔS

12n

21n

1D 2D

ε1

ε2

S12

Σ

a)

α2

ρs=0S12 D2t

D2n

12n

21n

1D2D

ε1

ε2 D1nD1t

α1

b)

5

Electrotehnicǎ

Fig. 3.3

1E

t

2

1Δl

2E

ε1

ε2

S12

Γ

a)

α1

1tE

2nE

2tE

1nE

2E

1E

t

ε1

ε2

S12

b)

α2

Notând cu t versorul tangent la suprafaţa de separaţie, se obţine:

1 2E dl E t l E t l 0Γ

⋅ = ⋅ ⋅Δ − ⋅ ⋅Δ =∫ ,

din care rezultă:

, (3.15) 1t 2tE E=

deci, la suprafaţa de separaţie, componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric se conservă (fig. 3.3 b).

Referitor la componenta tangenţială a inducţiei electrice , aceasta nu se conservă deoarece, din relaţia (3.15) rezultă:

1t 2t

1 2

D D=

ε ε

sau

1t 1

2t 2

DD

ε=ε

, (3.16)

deci suprafaţa S12 este o suprafaţă de discontinuitate pentru componenta tangenţială a inducţiei electrice. Ţinând seama de condiţiile de trecere la suprafaţa de separaţie dintre dielectrici, se pot scrie următoarele relaţii (fig. 3.2, b):

1t 2t1 2

1n 2n

D Dtg ; tg ;D D

α = α =

şi, în final:

1

2 2

tgtgα ε

=α ε

1 (3.17)

Relaţia (3.17) reprezintă teorema refracţiei liniilor de câmp electric. Se

6


observă că vectorul câmp este cu atât mai apropiat de normala la suprafaţa de separaţie cu cât permitivitatea mediului respectiv este mai mică (în figurile 3.2 şi 3.3 s-a considerat ε1>ε2). Modulul intensităţii câmpului electric în puncte din cele două medii dielectrice, situate în imediata apropiere a suprafeţei de separaţie, se poate calcula în funcţie de componentele care se conservă, astfel:

2 2

2 21n 2n1 1t 2 2t

1 2

DE E ; E E⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D . (3.18)

Din relaţia (3.18) rezultă că intensitatea câmpului electric este mai mare în mediul cu permitivitate mai mică şi invers. Referitor la inducţia electrică se pot scrie relaţiile:

( ) ( )2 21 1 1t 1n 2 2 2tD E D ; D E D= ε + = ε +

2 22n , (3.19)

din care rezultă că inducţia electrică este mai mare în mediul cu permitivitate mai mare, situaţia fiind inversă faţă de cazul precedent.

3.3. RIGIDITATEA DIELECTRICĂ

Dielectricii reali au o anumită conductanţă datorită prezenţei ionilor proprii sau a impurităţilor pe care le conţin. Din această cauză, dacă intensitatea câmpului electric stabilit într-un dielectric, respectiv tensiunea aplicată dielectricului, depăşeşte o anumită valoare, apare o descărcare electrică disruptivă numită străpungere.

Valoarea maximă a intensităţii câmpului electric la care nu se produce străpungerea acestuia se numeşte rigiditate dielectrică (Estr). Această mărime este specifică fiecărui dielectric şi se determină pe cale experimentală în condiţii specifice.

În cazul dielectricilor gazoşi străpungerea este urmare a ionizării prin şoc, fenomen care apare la valori suficient de mari ale intensităţii câmpului electric, având ca efect creşterea vitezelor pe care le au ionii din dielectricul respectiv. La depăşirea rigidităţii dielectrice apare o creştere bruscă a numărului de ioni şi implicit a conductivităţii electrice rezultând descărcarea disruptivă.

Rigiditatea dielectricilor gazoşi depinde de forma electrozilor, distanţa dintre ei şi de presiune. Creşterea presiunii şi/sau micşorarea distanţei dintre electrozi conduce la creşterea rigidităţii dielectrice. Explicaţia în ambele situaţii este aceeaşi: la presiune mai mare sau distanţă mai mică între electrozi, liberul parcurs mediu al ionilor fiind mai mic, scade energia

7

Electrotehnicǎ

câştigată de aceştia între două ciocniri succesive, deci şi posibilitatea de ioni

o presiune de 10 atm, rigiditatea diel

din juru

la regiunea în care intensitatea câmpului elec

ntru aer, în condiţii norm

lul de tensiune) pentru conductoare, la care efectul corona nu se m

te de 0,05 %. În practică se consideră o valoare medie de (50÷100) kV/

0) kV/cm; ceramică, (100÷300) kV/cm; pertinax, (100

secundă sau în câte

zare a gazului. Rigiditatea dielectrică a aerului, în condiţii normale de presiune şi

temperatură este de cca. 30 kV/cm; la ectrică a aerului va fi de 300 kV/cm. Un fenomen interesant se întâlneşte la dielectricii gazoşi în câmp

electric neuniform, corespunzător unor electrozi cu rază de curbură mică (de exemplu, conductoarele liniilor electrice aeriene de înaltă tensiune). La creşterea tensiunii, înainte de a avea loc străpungerea dielectricului (aerul din jurul conductoarelor), atunci când intensitatea câmpului electric

l conductoarelor atinge valoarea critică se manifestă efectul corona. Efectul corona reprezintă o descărcare autonomă incompletă, care apare

în jurul conductoarelor sub forma unei coroane violete (de unde şi denumirea efectului) şi se limitează

tric depăşeşte valoarea critică. Valoarea critică a intensităţii câmpului electric peale de presiune şi umiditate este Ecr=21,1 kV/cm.

Efectul corona produce perturbaţii radiofonice şi creşteri suplimentare ale pierderilor de energie; se evită prin alegerea unui diametru minim (în funcţie de nive

anifestă. În cazul dielectricilor lichizi, rigiditatea dielectrică depinde foarte mult

de prezenţa impurităţilor (apă, resturi de celuloză de la izolaţie etc.). Dacă ne referim la uleiul de transformator, rigiditatea dielectrică a acestuia scade de la (230÷250) kV/cm, când nu conţine apă, la 20 kV/cm, când conţinutul de apă es

cm. Rigiditatea dielectrică a materialelor solide variază în limite mari de la

un material la altul. Se pot menţiona următoarele valori: hârtie, (100÷200) kV/cm; mică, (350÷50

÷150) kV/cm etc. Caracteristic dielectricilor solizi este faptul că tensiunea de străpungere

scade cu cât timpul de aplicare este mai lung. La dielectricii lichizi şi gazoşi, dacă străpungerea nu se produce în fracţiuni de

va secunde după aplicarea tensiunii, ea nu mai are loc. O problemă importantă din punct de vedere tehnic privind străpungerea

dielectricilor se referă la prezenţa golurilor de aer. Acestea au permitivitatea cea mai mică (εr≈1) şi conform relaţiei (3.18) intensitate câmpului electric va fi mai mare în golul de aer decât în dielectricul înconjurător. În consecinţă, golurile de aer şi impurităţile electrolitice constituie punctele

8


slabe ale dielectricului. Prezenţa impurităţilor electrolitice constituie surse de ioni, care asigură stabilirea unui curent electric cu consecinţele nefa

le materiale izolante acest proces se realizează prin operaţia de impregnare.

3.4. CONDUCTOARE ÎN REGIM ELECTROSTATIC

tfel, în mediilor conductoare omogene, din relaţia (1.65) rezultă ţia:

vorabile menţionate deja. Eliminarea golurilor de aer şi a apei se realizează prin vidarea şi

umplerea acestora cu un lac izolant. La une

3.4.1. Condiţia de echilibru electrostatic

În regim electrostatic conductoarele nu sunt parcurse de curent electric. Condiţia de echilibru electrostatic rezultă din legea conducţiei electrice, particularizând pentru cazul când densitatea curentului electric este nulă (J=0). Ascondi

E 0= , (3.20) ă există şi câmpuri imprimate, din relaiar dac ţia (1.67) se obţine:

iE E 0+ = . (3.21) Intensitatea câmpului electric fiind nulă în fiecare punct din interiorul unui conductor omogen în regim electrostatic, nu există sarcini electrice în interiorul conductorului. În adevăr, pentru orice suprafaţă închisă Σ situată în interiorul conductorului, aplicând teorema lui Gauss (rel. 1.50) rezultă:

qE ds0

Σ

Σ⋅ =

ε∫ , (3.22)

uctoare în regim din care se obţine q 0Σ = , respectiv v 0ρ = . În consecinţă, sarcina electrică a corpurilor condelectrostatic este repartizată numai la suprafaţa acestora. Se poate stabili o relaţie de legătură între densitatea superficială a sarcinii sρ dintr-un punct al suprafeţei şi intensitatea câmpului electric E din imediata apropiere a punctului respectiv, în exteriorul conductorului. Se consideră un conductor încărcat electric, situat în aer (vid) (fig. 3.4). În punctul P de pe suprafaţa conductorului se consideră un domeniu elementar mărginit de o suprafaţă cilindrică Σ foarte plată, având bazele de arie ΔS de

intensităţii câmpului electric prin suprafaţa laterală a cilindrului elementar şi

o parte şi de alta a suprafeţei conductorului şi înălţime neglijabilă. Se aplică teorema lui Gauss pentru suprafaţa Σ, neglijând fluxul

9

Electrotehnicǎ

ţinând seama că în interiorul conductorului câmpul electric este nul, în exterior intensitatea câmpului electric este normală la suprafaţa conductorului, iar sarcina din interiorul suprafeţei Σ este s Sρ Δ ,

Fig. 3.4

E

P

ρs ΔS

Σ

s

0

SE ds E SΣ

ρ ⋅Δ⋅ = ⋅Δ =

ε∫ ,

din care rezultă:

s

0

E ρ=ε

, (3.23)

deci intensitatea câmpului electric este direct proporţională cu valoarea locală a densităţii superficiale a sarcinii electrice. Evident că dacă corpul conductor este situat într-un mediu omogen de permitivitate ε, relaţia (3.23) se va scrie E=ρs/ε. Cu ajutorul relaţiei (3.23) se poate calcula intensitatea câmpului electric dacă se cunoaşte distribuţia sarcinii electrice sau se poate calcula distribuţia sarcinii pe suprafaţa conductorului dacă se cunoaşte intensitatea câmpului electric.

3.4.2. Influenţa electrostatică

Se introduce într-un câmp electric exterior de intensitate 0E un conductor metalic omogen şi neîncărcat electric (fig. 3.5). Asupra electroni-

lor liberi din conductor se vor exercita forţe de forma 00F q E= ( 0q 0< ), în sens invers lui 0E , aceştia deplasându-se până la suprafaţa care mărgineşte conductorul, în mod obişnuit ei neposedând energia necesară pentru a părăsi corpul. Suprafaţa opusă a conductorului se încarcă pozitiv, sarcina totală repartizată pe întreaga suprafaţă a conductorului fiind nulă.

Procesul de separare, într-un câmp electrostatic exterior, a unor sarcini egale şi de semn contrar pe suprafaţa unui conductor iniţial

neîncărcat electric se numeşte influenţă electrostatică sau inducţie electrostatică. Sarcinile astfel separate se numesc sarcini induse sau sarcini separate prin influenţă.

Fig. 3.5

E 0=

pE

1 2

0E

10


Sarcinile separate pe suprafaţa conductorului creează în interiorul acestuia un câmp electric propriu pE , de sens contrar câmpului electric exterior 0E .

Procesul tranzitoriu de separare a sarcinilor continuă până ce câmpul electric propriu ajunge să echilibreze câmpul electric iniţial. În acest moment câmpul electric rezultant în interiorul conductorului este nul,

0 pE E E 0= + = , aşa cum impune condiţia de echilibru electrostatic. Dacă corpul conductor se secţionează în două părţi, perpendicular pe

liniile de câmp şi se separă cele două jumătăţi, acestea rămân încărcate cu sarcini de semne contrare şi după suprimarea câmpului electric exterior. Cele două părţi ale corpului rezultă electrizate prin influenţă.

3.4.3. Efectul de ecran

Se consideră un conductor prevăzut cu o cavitate în care nu se găsesc sarcini electrice (fig. 3.6). Dacă se introduce acest conductor într-un câmp

electric exterior, se poate arăta că în interiorul cavităţii câmpul electric este nul, învelişul conductor având rolul de ecran electrostatic.

Se presupune prin absurd că ar exista câmp electric în cavitate. Liniile de câmp trebuie să fie deschise, de exemplu linia care pleacă din punctul 1 şi ajunge în punctul 2 de pe suprafaţa interioară a conductorului.

Calculând tensiunea electrică între punctele 1 şi 2 de-a lungul liniei de

câmp, se obţine 2

1 21E dl V V 0⋅ = − =∫ , deoarece punctele 1 şi 2 au acelaşi

potenţial. Acest rezultat este posibil numai dacă se admite că în fiecare punct din cavitate E 0= .

Fig. 3.6

1 2

dl

E

Efectul de ecranare (împotriva câmpurilor electrice exterioare) este folosit atât în construcţia aparatelor electrice de măsură cât şi în energetică. Aparatul care trebuie ecranat se introduce într-o carcasă metalică denumită ecran. Experienţa arată că pentru ecranare este suficientă numai o plasă metalică din material conductor.

Pentru a ecrana domeniul din exteriorul conductorului faţă de câmpul electric din interiorul cavităţii creat de prezenţa în cavitate a unui corp electrizat, conductorul trebuie legat la pământ pentru a neutraliza sarcina

11

Electrotehnicǎ

indusă pe suprafaţă exterioară a acestuia.

3.5. APLICAŢII LA CALCULUI CÂMPULUI ŞI POTENŢIALULUI ELECTROSTATIC

3.5.1. Câmpul şi potenţialul electric ale unei sarcini punctiforme

Se consideră două sarcini punctiforme 1q şi 2q situate în vid, la distanţa

r unul de celălalt (fig. 3.7). Fie r vectorul de poziţie al sarcinii 2q faţă de

punctul în care se găseşte sarcina 1q şi ru r / r= versorul lui r . În figura (3.7) s-a considerat că

sarcinile şi sunt de acelaşi semn. Potrivit relaţiei lui Coulomb, expresiile forţelor de interacţiune dintre cele două

sarcini punctiforme sunt:

1q 2q

1 2 1 21 2r2

0 0

q q q qF u ; F4 r 4 r

= − =πε πε

r2 u . (3.24)

Grupând corespunzător factorii din expresia lui 2F şi comparând relaţia obţinută cu expresia generală a forţei în câmp electric (rel. 1.6), se obţine:

12 r2 2

0

qF q u q E4 r

= ⋅ =πε

12 , (3.25)

în care

11 r2

0

qE4 r

=πε

u (3.26)

reprezintă intensitatea câmpului electric creat de sarcina punctiformă . 1q Expresia intensităţii câmpului electric corespunzător unei sarcini electrice punctiforme q, la distanţa r faţă de aceasta este de forma:

r20 0

q qE u4 r 4 r

= =πε πε 3 r . (3.27)

Intensitatea câmpului electric este proporţională cu sarcina electrică şi invers proporţională cu pătratul distanţei r. În orice punct M, situat la distanţa r de sarcina punctiformă q, intensitatea câmpului electric E este orientată pe direcţie radială (fig. 3.8). Evident că dacă sarcina ar fi negativă, sensul lui E ar fi înspre sarcină.

Fig. 3.7

q1

1F 2F r ru q2

12


Potenţialul electric în punctul M se calculează cu relaţia (1.15):

r2 2M r r0 0

q q drV E dl u dr4 r 4 r 4 r

∞ ∞ ∞= ⋅ = ⋅ = =

πε πε πε∫ ∫ ∫0

q , (3.28)

unde s-au înlocuit dl dr= , ru dr dr⋅ = şi s-a considerat nul potenţialul punctelor de la infinit. Potenţialul electric este proporţional cu sarcina electrică şi invers proporţional cu distanţa r.

3.5.2. Câmpul şi potenţialul electric ale unei sfere metalice încărcată uniform cu sarcină electrică

Dacă q este sarcina totală a sferei de rază R, densitatea de suprafaţă a

sarcinii este s 2

q4 R

ρ =π

.

Pentru calculul câmpului electric eE în exteriorul sferei de rază R se consideră o suprafaţă închisă sferică , de rază r>R, concentrică cu sfera conductoare (fig. 3.9). Din motive de simetrie, liniile de câmp sunt radiale şi

intensitatea câmpului electric este constantă în orice punct de pe suprafaţa sferei de rază r. Aplicând teorema lui Gauss referitor la suprafaţa Σ , se obţine:

eΣ

e

e

2e e

0

qE ds 4 r EΣ

⋅ = π ⋅ =ε∫ ,

din care rezultă:

e 20

qE4 r

=πε

(3.19)

sau vectorial:

e 30

qE4 r

=πε

r

, (3.20)

identică cu relaţia (3.27). Se constată că sfera metalică încărcată cu sarcină produce în exteriorul său un câmp identic cu al unei sarcini punctiforme ( de aceeaşi valoare), situată în centrul sferei.

Fig. 3.8

Fig. 3.9

q>0

E r ru M

R eE

Σ

r

e

13

Electrotehnicǎ

Câmpul electric din interiorul sferei este nul, iE 0= . Potenţialul unui punct din exteriorul sferei aflat la distanţa r>R de centrul acesteia se determină cu relaţia (1. 15), considerând punctul de la infinit de potenţial nul:

ee r0

qV E dr4 r

∞= ⋅ =

πε∫ . (3.31)

În interiorul sferei metalice potenţialul este constant şi egal cu cel de pe suprafaţa acesteia , eV (R)

Fig. 3.10

Vi

Ve

r R

Ee

Ei

E V

i e0

qV V (R)4 R

= =πε

. (3.32)

În figura (3.10) este reprezentată variaţia câmpului şi potenţialului electric în funcţie de distanţa r faţă de centrul sferei.

3.5.3. Câmpul şi potenţialul electric ale unui conductor rectiliniu infinit, încărcat cu densitatea de sarcină lρ

Câmpul electric corespunzător conductorului prezintă simetrie cilindrică: liniile de câmp sunt radiale, iar modulul vectorului câmp electric este acelaşi în toate punctele situate la aceeaşi distanţă faţă de conductor.

Pentru calculul intensităţii câmpului electric se aplică teorema lui Gauss pentru suprafaţa a unui cilindru circular drept a cărui axă coincide cu axa conductorului (fig. 3.11). Prin suprafaţa bazelor cilindrului fluxul fiind nul,

iar pe suprafaţa laterală

Σ

E ds↑↑ , se obţine:

Fig. 3.11

ds

ds

h

E

Σ

ρl r

l

lS

0

hE ds E ds 2 rh EΣ

ρ ⋅⋅ = ⋅ = π ⋅ =

ε∫ ∫

din care rezultă:

l

0

E2 rρ

=πε

(3.33)

sau vectorial:

14


l2

0

rE2 rρ

= ⋅πε

. (3.34)

În cazul conductorului rectiliniu infinit, încărcat cu sarcină electrică, nu se poate alege ca punct de referinţă pentru potenţiale punctul de la infinit. Presupunând că potenţialul este nul în punctul , la distanţa de fir, cu relaţia (1.15) se obţine:

0M 0r

0 0r r 0l lr r

0 0

rdrV E dr ln2 r 2ρ ρ

= ⋅ = =πε πε∫ ∫ r

1

. (3.35)

Acest potenţial se numeşte potenţial logaritmic. Dacă se alege V=0 pentru , expresia potenţialului logaritmic devine: 0r =

l l

0 0

1V ln l2 r 2ρ ρ

= = −πε πε

n r . (3.36)

3.5.4. Câmpul şi potenţialul electric ale unui plan infinit, încărcat uniform cu distribuţia de sarcină sρ

Din motive de simetrie liniile câmpului electric sunt drepte perpendiculare pe plan.

Intensitatea câmpului electric se poate determina aplicând teorema lui Gauss pentru suprafaţa paralelipipedică Σ (fig. 3.12). Este evident că fluxul

prin feţele laterale ale suprafeţei Σ este nul deoarece pe aceste feţe E ds⊥ . În consecinţă, fluxul se va calcula prin suprafeţele celor două baze ale paralelipipedului (S şi S’), având ariile egale cu

: SΔ

Fig. 3.12

z

Σ ρs>0

ΔS

ds E

S ds

S′

E′

k

sS S

0

SE ds E ds E ds 2E S′Σ

ρ ⋅Δ′⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅Δ =ε∫ ∫ ∫ ,

din care rezultă:

s

0

E2ρ

=ε

. (3.37)

Expresiile vectorilor E şi E′ sunt:

15

Electrotehnicǎ

s

0 0

E k; E2 2ρ ′= = −ε ε

s kρ , (3.38)

unde k este versorul axei 0z, perpendiculară pe planul electrizat. Relaţia (3.38) arată că intensitatea câmpului electric produs de un plan infinit, încărcat cu sarcină electrică distribuită uniform, este constant (nu depinde de distanţa de la plan) şi este dirijat normal la plan. Vectorul câmp este orientat de la plan spre infinit dacă sarcina e pozitivă şi către plan, dacă sarcina este negativă. Pentru calculul potenţialului electric se alege punctul de potenţial nul chiar în plan (z=0). Potenţialul într-un punct situat la distanţa z (z>0) faţă de plan se calculează cu relaţia (1,15):

0 0 sz z

0 0

V E dl dz z2 2ρ ρ

= ⋅ = = − s

ε ε∫ ∫ , (3.39)

în care s-a înlocuit dl k dz= ⋅ . În partea stângă a planului (z<0) expresia potenţialului va fi:

0 0 sz z

0 0

V E dl dz z2 2

⎛ ⎞ρ ρ′= ⋅ = − =⎜ ⎟ s

ε ε⎝ ⎠∫ ∫ . (3.40)

În figura (3.13) sunt reprezentate variaţia potenţialului V şi variaţia câmpului electric Ez (proiecţia lui E pe axa 0z) în funcţie de distanţa z de la plan. Se observă că de fiecare parte a planului electrizat câmpul este uniform. În cazul a două plane paralele, încărcate uniform cu sarcini egale şi de semne opuse, respectiv cu densităţile superficiale ρs şi –ρs,

pentru calculul câmpului se aplică principiul superpoziţiei. Considerând iniţial situaţia separată a celor două plane (fig. 3.14, a şi b), modulul intensităţii câmpului electric este acelaşi în toate punctele situate de-o parte şi de cealaltă parte a celor două plane, iar orientarea vectorului E este cea indicată în figură. Suprapunând câmpurile produse de cele două plane (fig. 3.14, c), se observă că în domeniile din exteriorul lor, câmpurile fiind opuse, rezultanta lor este nulă, iar în domeniul dintre plane câmpurile au aceeaşi orientare, de

E,V

E=ρs/2ε0

z

Fig. 3.13

E=–

V=(ρ

ρs/2ε0

s/2ε )·z V=–(ρ0 s/2ε )·z 0

16


la planul încărcat cu sarcină pozitivă spre cel încărcat cu sarcină negativă, modulul vectorului câmp fiind:

s

0

E ρ=ε

. (3.41)

Fig. 3.314

s

0

E2ρ

=ε

s

0

E2ρ

=ε

ρs>0

a)

s

0

E2ρ

=ε

ρs<0

s

0

E2ρ

=ε

b)

–––––

–+++++

+

E=0 E=0

ρs>0 ρs<0

E=ρs/ε0

c)

În concluzie, un strat dublu de sarcini stabileşte un câmp electric numai în interiorul stratului, în exteriorul acestuia câmpul fiind nul. Această situaţie se întâlneşte în cazul condensatorului plan.

3.6. CONDENSATOARE ELECTRICE

3.6.1. Condensator electric. Capacitate electrică

Se numeşte condensator un dispozitiv format din două conductoare omogene (numite armături), încărcate cu sarcini egale şi de semne contrare, separate de un dielectric, fără polarizaţie permanentă şi neîncărcat electric

( )pP 0= ρv; 0= .

Capacitatea electrică a condensatorului se defineşte prin raportul dintre sarcina electrică a unei armături şi tensiunea electrică dintre armături:

1 1 2

1 2 12 2 1 21

q q q qC ; CV V U V V U

= = = =− −

2 . ( 3.42)

Mărimea inversă capacităţii S=1/C se numeşte elastanţă capacitivă a condensatorului. Unitatea de măsură a capacităţii în sistemul internaţional este faradul (F). Un condensator electric are capacitatea de un farad (1F), dacă la o tensiune aplicată de 1V se încarcă cu o sarcină electrică de 1C. Deoarece faradul este o unitate de măsură prea mare, în practică se utilizează submultiplii acestei unităţi: milifaradul (1mF=10–3F), microfaradul (1μF=10–6F), nanofaradul (1nF=10–9F) şi picofaradul (1pF=10–12F).

17

Electrotehnicǎ

În figura (3.15) este reprezentat semnul convenţional al condensatorului electric utilizat în schemele electrice. În unele situaţii se vorbeşte de capacitatea unui conductor. În acord cu relaţia (3.42) de definiţie a capacităţii,

în aceste cazuri se consideră cea de-a doua armătură, de potenţial 0 (V2=0), amplasată la infinit sau că această armătură este pământul, considerat ca un conductor ideal, de întindere foarte mare şi potenţial zero. În ultima situaţie se defineşte capacitatea conductorului în raport cu pământul sau în prezenţa pământului.

Fig. 3.15

C

Capacitatea unui conductor se determină cu relaţia:

1

1

qCV

= . (3.43)

Din condiţia impusă sarcinilor electrice ale armăturilor de a fi egale şi de semne contrare (q1+q2=0), rezultă că în cazul unui condensator câmpul electric este complet, adică toate liniile de câmp care încep pe armătura pozitivă se termină pe cea negativă. În general, dielectricul dinte armături poate fi liniar sau neliniar, izotrop sau anizotrop, omogen sau neomogen, însă neîncărcat electric şi fără polarizaţie permanentă. Dacă dielectricul dintre armături este liniar, conform teoremei superpoziţiei, sarcina de pe armături variază direct proporţional cu potenţialele, respectiv cu diferenţa de potenţial dintre armături. În acest caz, capacitatea electrică este independentă de sarcina armăturilor, respectiv de diferenţa de potenţial dintre acestea, fiind o mărime caracteristică a condensatorului respectiv. Capacitatea condensatorului cu dielectric liniar (permitivitatea ε este independentă de câmp) depinde numai de forma, dimensiunile şi poziţia relativă a armăturilor şi de permitivitatea dielectricului.

3.6.2. Calculul capacităţii electrice

Pentru calculul capacităţii unui condensator se procedează în modul următor: se presupune condensatorul încărcat cu sarcinile q şi –q; se determină intensitatea câmpului electric în dielectricul dintre armături sau potenţialul celor două armături; se calculează tensiunea electrică dintre armături prin efectuarea integralei de linie a intensităţii câmpului electric,

2

12 1U E= ⋅∫ dl (în mod obişnuit de-a lungul unei linii de câmp), sau cu

relaţia ; se calculează capacitatea electrică cu relaţia (3.42). 12 1 2U V V= −

18


3.6.2.1. Capacitatea condensatorului plan Condensatorul plan are armături egale, plane şi paralele, între care se

găseşte un dielectric liniar şi omogen, de permitivitate ε. Dacă distanţa d dintre armăturile de suprafaţă S este foarte mică faţă de

dimensiunile suprafeţei armăturilor, câmpul dintre armături poate fi considerat uniform, liniile de câmp fiind perpendiculare pe suprafaţa acestora (fig. 3.16, a).

Fig. 3.16

1

–q

qq

2

b)

1

–q

q q

2

d

a)

c)

În aceste condiţii sarcina de pe armături este distribuită uniform, iar intensitatea câmpului electric în dielectricul dintre armături se calculează cu relaţia (3.41), corespunzătoare unui strat dublu de sarcini:

s qES

ρ= =ε ε

. (3.44)

Tensiunea între cele două armături în lungul unei linii de câmp este:

2

12 1

qdU E dlS

= ⋅ =ε∫ ,

iar capacitatea condensatorului plan (rel. 3.42) rezultă:

SCdε

= . (3.45)

Din relaţia (3.45) se poate deduce unitatea de măsură a permitivităţii electrice: farad pe metru (F/m). Relaţia de calcul a capacităţii condensatorului plan (rel. 3.45) este valabilă în ipoteza existenţei unui câmp electric uniform între armăturile

19

Electrotehnicǎ

acestuia, care corespunde unor armături de extensie infinită. În cazul condensatorului real, cu armături de dimensiuni finite, la

ar

fere concentrice, de raze R1 ş

n cond

m ginea armăturilor liniile de câmp se curbează (fig. 3.16, b), iar sarcina electrică nu mai este distribuită uniform pe armături. Pentru eliminarea efectului de margine se prevede câte un inel metalic de gardă în jurul fiecărei armături, fiecare legat de armătura respectivă (fig. 3.16, c). În aceste condiţii câmpul electric dintre armăturile condensatorului este uniform.

3.6.2.2. Capacitatea condensatorului sferic Armăturile condensatorului sferic sunt două si R2, între care există un dielectric liniar şi omogen de permitivitate ε

(fig. 3.17). În cazul condensatorului sferic câmpul electric dintre armături este simetric şi nu există efect de margine.

Intensitatea câmpului electric diensator se calculează cu relaţia (3.29):

( )1 22

qE ; R r R4 r

= ≤ ≤πε

. (3.46)

Tensiunea electrică calculată de-a lungul unei

linii de câmp este:

2

1

2 Rq dr12 21 R

1 2

q 1 1U E dl4 r 4 R R

⎛ ⎞= ⋅ = = −⎜ ⎟πε πε ⎝ ⎠∫ ∫ , (3.47)

iar capacitatea condensatorului sferic rezultă:

1 2

2 1

C 4R R

= πε−

. (3.48)

Dacă în relaţia (3.48) se consideră , se obţine expresia

R= πε . (3.49)

3.6.2.3. Capacitatea condensatorului cilindric axiali de raze R1 şi

R2>

rgine (lungimea conductoarelor este mult mai mar

R R

2R →∞capacităţii unei sfere de rază R1,

C 4 1

Armăturile condensatorului sunt doi cilindri coR1 şi de lungime l, între care există un dielectric liniar şi omogen de

permitivitate ε (fig. 3.18, a). Neglijând efectul de mae faţă razele lor) şi ţinând seama de simetria câmpului electric dintre

armături, intensitatea câmpului electric se calculează aplicând teorema lui Gauss pentru suprafaţa cilindrică Σ.

Fig. 3.17

12r R1

R2 q

–q

20


Deoarece fluxul intensităţii electric prin bazele suprafeţei cilin

câmpuluidrice Σ este nul, se obţine:

qE ds E 2 rlΣ

⋅ = ⋅ π =ε∫ , (3.50)

din care rezultă:

qE2 rl

=πε

. (3.51)

Tensiunea electrică dintre cele două armături calculată de-a lungul unei

linii de câmp este:

2

1

2 R2

12 1 R1

Rq dr qU E dr ln2 l r 2 l R

= ⋅ = =πε πε∫ ∫ , (3.52)

iar capacitatea condensatorului cilindric rezultă:

Fig. 3.18

2

r

1

Σ

l

R2

–q

ε R1

q r

a)

r

E

E1m

R R1 2

b)

21

Electrotehnicǎ

2

1

2 lC RlnR

πε= . (3.53)

În figura 3.18, b este reprezentată variaţia intensităţii câmpului electric între armăturile condensatorului cilindric. O problemă tehnică importantă legată de condensatorul cilindric se referă la solicitarea dielectricului dintre armăturile unui cablu coaxial, pentru realizarea unei construcţii economice. Din figura 3.18, b se observă că solicitarea dielectricului dintre armăturile condensatorului cilindric este neuniformă, aceasta fiind maximă la suprafaţa armăturii interioare. Din relaţiile (3.51) şi (3.52) rezultă:

1 21m

21

1

V V 1E RR lnR

−= ⋅ . (3.54)

Intensitatea câmpului electric E1m nu poate depăşi rigiditatea dielectrică a dielectricului considerat (E1m<Estr).

Fiind date raza R1 a armăturii interioare, diferenţa de potenţial aplicată şi intensitatea E1m, din relaţia (3.54) se obţine raza R2 a armăturii exterioare:

1 2

1 1m

V VR E

2 1R R e−

= ⋅ . (3.55)

Raza armăturii exterioare şi implicit volumul cablului pot fi reduse dacă în locul unui singur dielectric se folosesc mai multe straturi concentrice de dielectrici corespunzător alese.

3.6.3. Capacitatea echivalentă

În figura 3.19, a este reprezentată schema electrică a unei reţele de condensatoare, având două borne de acces (A şi B) de legătură cu exteriorul. Dacă la bornele A şi B ale reţelei, iniţial neîncărcate, se aplică tensiunea ub=VA–VB, sarcinile absorbite pe la borne sunt qA şi qB (qA+qB=0; (qA>0).

Capacitatea echivalentă a reţelei de condensatoare faţă de bornele A şi B este mărimea definită de relaţia:

Ae

A B

qCV V

=−

, (3.56)

care reprezintă de fapt capacitatea unui condensator, căruia dacă i s-ar aplica la borne aceeaşi tensiune ca şi reţelei reale de condensatoare, ar rezulta aceeaşi sarcină electrică pe armături.

22


Fig. 3.19

qA

ub

A

B

Ce

qB

qe=qA

b)

qA

ub

A

B qB

a)

În concluzie, dacă reţeaua de condensatoare s-ar înlocui prin condensatorul echivalent, nu s-ar constata nici o schimbare în exterior. În aplicaţiile referitoare la reţelele de condensatoare se pune problema determinării capacităţii echivalente în funcţie de capacităţile condensatoarelor componente.

3.6.3.1. Condensatoare în serie Se consideră trei condensatoare conectate în serie (fig. 3.20). Pentru

fiecare condensator sarcinile de pe armături sunt egale şi de semne contrare. Presupunând că

sistemul de conden-satoare este iniţial neîncărcat, prin apli-carea legii conser-vării sarcinii electrice suprafeţei Σ

din figu-ra 3.20, se obţine:

Fig. 3.20

Σu1

C1

ub

C2 –q1 q2 C3

u2 u3 Cesub

qe=q1

, 1 2q q 0− + =

de unde şi analog , deci în cazul conexiunii serie a condensatoarelor toate condensatoarele se încarcă cu aceeaşi sarcină, respectiv:

1q q= 2 32q q=

. (3.57) 1 2 3q q q q= = =

Tensiunea aplicată la bornele grupării este egală cu suma tensiunilor condensatoarelor:

b 1 2u u u u= + + 3 . (3.58)

Deoarece sarcina de pe armătura condensatorului echivalent este , ţinând seama de relaţiile (3.42) şi (3.56) expresia precedentă devine: eq q=

23

Electrotehnicǎ

31 2

es 1 2 3

qq qqC C C C

= + +

sau

es 1 3 3

1 1 1 1C C C C

= + + . (3.59)

Generalizând pentru „n” condensatoare conectate în serie, se obţine:

n

k 1es k

1C C=

=∑ 1 , (3.60)

adică, valoarea reciprocă a capacităţii echivalente a „n” condensatoare conectate în serie este egală cu suma valorilor reciproce ale capacităţilor condensatoarelor componente. În cazul capacităţilor egale ( ) , rezultă: 1 2 nC C C C= = = =

esCCn

= . (3.61)

Pentru două condensatoare conectate în serie, din relaţia (3.60) se obţine:

1 2es

1 2

C CCC C

⋅=

+. (3.62)

Presupunând că C1 este cea mai mică dintre capacităţile conectate în serie şi multiplicând relaţia (3.60) cu C1, se obţine:

1 1

es 2 n

C C1C C

= + + + 1CC

sau

1es 1

1 1

2 n

CC C C1C C

=+ + +

C< (3.63)

deci, capacitatea echivalentă a „n” condensatoare conectate în serie este mai mică decât cea mai mică dintre capacităţile condensatoarelor componente.

3.6.3.2. Condensatoare în paralel În cazul grupării în paralel, tensiunea aplicată la bornele tuturor

condensatoarelor este aceeaşi. Pentru trei condensatoare conectate în paralel (fig. 3.21), sarcinile de pe armături pot fi exprimate prin relaţiile:

24


Fig. 3.21

1 1 b 2 2 b

3 3 b

q C u ; q C u ;q C u .

= ==

C1

C2

ub C3

–q1

–q2

–q3

q1

q2

q3 –qe

Cep

qe

Sarcina totală cores-punzătoare bornei comu-ne (q1+q2+q3) este egală cu sarcina qe de pe armăturile condensatoru-lui echivalent:

, e 1 2q q q q= + + 3

C

C

respectiv:

, ep b 1 b 2 b 3 bC u C u C u C u= + +

din care rezultă

(3.64) ep 1 2 3C C C C= + +

sau, generalizând pentru „n” condensatoare, se obţine:

(3.65) n

ep kk 1

C=

= ∑adică, capacitatea echivalentă a „n” condensatoare conectate în paralel este egală cu suma capacităţilor condensatoarelor componente. Pentru capacităţi egale, respectiv , rezultă 1 2 nC C C C= = = =

. (3.66) epC n=

25

Cap 3 Electrotehnica

Documents

Transcript of Cap 3 Electrotehnica