Capitolul - 8

C O N I C E

Conicele reprezintă o clasă de curbe plane cu proprietăţi caracteristice remarcabile , întâlnite în aplicaţii din diverse domenii.

Geometrii perioadei eleniste au obţinut conicele nedegenerate ca intersecţia dintre un con de rotaţie şi un plan. In cărţile lui Apollonius (262-200 î.e.n.) apar pentru prima dată denumirile de elipsă, hiperbolă, parabolă şi numeroase proprietăţi ale lor.

Vom prezenta pe scurt conicele pe ecuaţia redusă apoi vom face clasificarea izometrică a curbelor de ordinul doi. Folosind rezultatele capitolelor precedente, obţinem că locul geometric al punctelor planului euclidian, caracterizat într-un reper ortonormat printr-o ecuaţie algebrică de gradul doi, reprezintă intersecţia unui con circular cu un plan sau mulţimea vidă.

Proprietăţile generale ale conicelor ,prcum şi conice prin condiţii iniţiale vor fi studiate în finele acestui capitol.

§1. Conice date prin ecuaţii reduse

Fie E2 spaţiul punctual euclidian bidimensional şi R (O, ) un reper cartezian ortomormat . O curbă plană este caracterizată , într-un reper cartezian,de o ecuaţie în două nedeterminate F ( x,y ) = 0. Un caz particular de curbe plane îl reprezintă conicele . Vom prezenta în acest paragraf definiţiile geometrice şi caracterizările algebrice ale conicelor într-un reper ales preferenţial de la caz la caz.

1.1 Elipsa : este locul geometric al punctelor din planul euclidian a căror sumă a distanţelor la două puncte fixe distincte F1 şi F2 este constantă.

Daca xOy este un reper ortogonal în planul euclidian E2 , a R şi punctele F1 (-c,0) , F2 (c,0) atunci, mulţimea punctelor M(x,y) E2 cu proprietatea MF1 + MF2 = 2a este caracterizată algebric de ecuaţia:

149

, c = (1.1)

y

B M(x,y)

A Ooo A x

x = - B’ x =

fig.1

Pentru elipsa (1.1) avem următoarele noţiuni uzuale (fig.1) : F1, F2 se numesc focarele elipsei ,iar F1F2 = 2 c – distanţa focală a -semiaxa mare, iar b- semiaxa mică A(a,0) , A’(-a,0) , B(b,0), B’(-b,0) – vârfurile elipsei

Dreptele x = , drepte directoare ale elipsei

e = 1 - excentricitatea elipsei

Axele Ox ,Oy ale reperului cartezian sunt axe de simetrie ale elipsei, originea reperului este centrul elipsei . Din acest motiv reperul ortonormat R(O, ) se numeşte canonic iar ecuaţia (1.1) se numeşte redusă .

Elipsa (1.1) reprezintă locul geometric al punctelor M(x,y) care satisfac una din relaţiile:

sau

Elipsa de semiaxe a , respectiv b poate fi caracterizată parametric de ecuaţiile x = a cos , y = b sin , [0,2] .

Se demonstrează fără dificultate că : perpendiculara pe tangenta într-un punct oarecare al elipsei este bisectoare a unghiului razelor focale în acest punct (proprietatea optică a elipsei) .

150

1.2 Hiperbola : este locul geometric al punctelor din planul euclidian E2

pentru care valoarea absolută a diferenţei distanţelor la două puncte fixe, distincte F1 şi F2 este constantă .

Daca xOy este un reper ortogonal în planul euclidian E2 , a R şi punctele F1 (-c,0) , F2 (c,0) atunci, mulţimea punctelor M(x,y) E2 cu

proprietatea MF1 - MF2 = 2a este caracterizată algebric de ecuaţia:

, c = (1.2)

y

F1 A’ O A F2

Fig.2 F1(-c,o), F2 (c,o) – focarele hiperbolei A’(-a,0) , A(a,0) – vârfurile hiperbolei a ,b - semiaxele hiperbolei

dreptele y = x - asimptotele hiperbolei care reprezintă

geometric diagonalele dreptunghiului cu laturile de lungimi 2a şi respectiv 2b, cu centrul în O şi laturile patralele cu axele de simetrie.

dreptele x = - directoarele hiperbolei

e = 1 - excentricitatea hiperbolei

Axele Ox , Oy ale reperului R(O, ) sunt axe de simetrie ale hiperbolei iar originea reperului este centru de simetrie al hiperbolei, deci ecuaţia (1.2) reprezintă ecuaţia redusă a hiperbolei .

Hiperbola caracterizată de ecuaţia (1.2) reprezintă şi locul geometric al punctelor M(x,y) E2 , care satisfac una din relaţiile :

151

sau ,

unde dreptele d1 şi d2 sunt directoarele hiperbolei.Ecuaţiile parametrice ale hiperebolei sunt date de : x = a ch t ,

y = b sh t , t RTangenta la hiperbolă , într-un punct al ei ,este bisectoarea

unghiului razelor focale ( proprietratea optică a hiperbolei )

1.3 Parabola : este locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix F (focar) şi o dreaptă fixă (directoare) .

Daca xOy este un reper ortogonal în planul euclidian E2 , p R +

punctul F ( ,0) şi dreapta (): x = - atunci, mulţimea punctelor M(x,y) cu proprietatea (M,F) = (M, ) este caracterizată algebric de ecuaţia:

y2 = 2px , ( p 0 ) (1.3)

y

M(x,y)

O F( ,0) x

Fig.3Definim următoarele noţiuni asociate unei parabole :

F( ,0) – focarul parabolei, iar cantitatea - distanţa focală

O(0,0) - vârful parablei Ox - axa transversală a parabolei,axa de simertie Oy - axa tangentă la parabolă

dreapta de ecuaţie x = - , este directoarea parabolei

152

Este clar că excentricitatea parabolei este e = 1.

§2. Curbe de ordinul al doilea în planul euclidian

Fie în spaţul punctual euclidian, referit la un reper afin, funcţia polinomială ( forma afină ) f :R2 R , dată de

f (x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 , a112+ a12

2+ a2220.

In cele ce urmează vom demonstra că, mulţimea punctelor planului E2 , ale căror coordonate (x,y) anulează funcţia f, reprzintă din punct de vedere geometric o conică sau mulţimea vidă ,cea ce justifică următoarea definiţie:Definiţia.2.1 Se numeşte conică sau curbă algebrică de ordinul doi ,

mulţimea punctelor planului E2 ale căror coordonate satisfac ecuaţia:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 , a112+ a12

2+ a2220. (2.1)

Dacă considerăm coordonatele omogene (x1,x2,x3) ale unui punct M(x,y) ,legate de coordonatele (x,y) ,numite coordonate neomogene,prin

relaţiile : x = , y = , obţinem

f(x1,x2,x3) a11x 12 + 2a12x1x2 + a22x22

2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 + a33x32 = 0

sau , în care aij = aji (2.2)

Matricea simetrică A = (aij) o vom numii matricea conicei ( ) Să considerăm numerele :

= det.A , , I = a11 + a22 .

Dacă efectuăm transformarea ortogonală T : V2 V2 , T ( ) = , T( )= , adică o transformare izometrică în spaţiul punctual euclidian E2, trecând de la reperul ortonormat R (O, ) la reperul ortonormat R (O, ) - conica ( ) va fi caracterizată analitic de ecuaţia

, cu , , I - calculate în noul reper .

Teorema 2.2 Cantităţile , , I sunt invarianţi ortogonali ai conicei( ), adică : = , = , I= I .

153

Aceşti invarianţi vor fi numiţi: -invariantul cubic, - invariantul pătratic, I – invariantul liniar .Demonstraţie. Demonstrăm mai întâi invarianţa lui şi I . Fie forma pătratică

(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 (2.3)Formei biliniare simetrice, asociată formei pătratice , îi corespunde în mod unic o transformate liniară simetrică T : E2 E2 având aceeaşi matrice asociată ca şi forma pătratică (2.3). Ecuaţia caracteristică a transformării T

2 – I + = 0,

este invariantă la o schimbare de bază şi deci = , I= I . Folosind scrierea conicei ( ) în coordonate omogene (2.2) şi repetând raţionamentul pentru forma pătratică f(x1,x2,x3) ,avem invarianţa ecuaţiei caracteristice

3- J12 + J2 - = 0,

ceea ce ne conduce la invarianţa lui .Locul geometric al punctelor din plan de pe conica ( ) poate avea

sau nu un centru de simetrie. Definiţia 2.3 Se numeşte centru al conicei ( ) un centru de simetrie al

mulţimii punctelr de pe conica ( ) .

Dacă conica ( ) ar fi caracterizată analitic de o ecuaţie de forma a11x2 + 2a12xy + a22y2+ k = 0, atunci originea reperului ar fi centru de simetrie al conicei, f(x,y) = f (-x,-y) . Să determimnăm condiţiile în care conica ( ) admite centru şi ,în caz afirmativ, să găsim acest centru.Efectuând translaţia reperului R (O, ) în punctul C(xo,yo), adică:

(2.4)

ecuaţia (2.1) se exprimă sub forma a11x’2 + 2a12x’y’ + a22y’2 + 2(a11xo + a12yo + a13)x’ +

+ 2(a21xo + a22yo + a23 )y’ + f(xo,yo) = 0 Impunând condiţia de simetrie, f(x’,y’) = f(-x’,-y’) obţinem:

sau (2.5)

Ecuaţiile (2.5) reprezintă ecuaţiile centrului unei conice,dacă acesta există.Avem cazurile:

154

a) , sistemul (2.5) are soluţie unică ,punctul

C(xo,yo) este centrul conicei ( ).

b) , sistemul (2.5) nu are soluţie sau admite o

infinitate de soluţii, cea ce înseamnă că, conica ( ) nu are centru unic la distanţă finită.

Pentru a recunoaşte ce reprezintă geometric ecuaţia (2.1) , printr-o transformare izometrică, vom determina reperul în raport cu care această ecuaţie să aibă cea mai simplă formă. Această formă va fi numită forma canonică a conicei ( ).Demonstrăm astfel că ecuaţia (2.1) este echivalentă cu una din ecuaţiile reduse descrise în paragraful precedent sau mulţimea vidă. Vom trata diferit această problemă după cum 0 sau = 0 .

2.1 Reducerea la formă canonică a conicelor cu centru , 0

Fie o conică ( ) ,reprezentată analitic de ecuaţia (2.1) cu centrul în punctul C(xo,yo).Efectuând translaţia reperului R (O, ) în punctul C(xo,yo) ,dată de ecuaţiile (2.4),se obţine

a11x’2 + 2a12x’y’ + a22y’2 + k = 0 , k = f(xo,yo) (2.6)

Să considerăm forma pătratică a11x’2 + 2a12x’y’ + a22y’2

şi transformatea asociată T : E2 E2 având aceeaşi matrice ca forma pătratică . Se cunoaşte faptul că, există un reper ortonormat,format din vectorii proprii {e1,e2} ai transformării T, în raport cu care forma pătratică poate fi scrisă ca o sumă de pătrate :

1X2 + 2 Y2, (2.7)

unde 1 şi 2 sunt valorile proprii ale transformării T ,soluţii ale ecuaţiei caracteristice :

sau 2 –I + = 0 (2.8)

Ecuaţia (2.8) o vom numii ecuaţia seculară, aceasta va avea întotdeauna rădăcini reale întrucât matricea (aij), i,j=1,2 este simetrică .

Ambele repere fiind ortonormate - trecerea de la reperul R (C, )cu axele Cx şi Cy la reperul R (C, ) cu axele CX şi CY – se face printr-o transformare izometrică cu C punct fix.

Notând (1,2) şi (1,2) coordonatele vectorilor proprii şi în reperul R (C, ) , transformarea de coordonate este dată de

155

, (2.9)

în care matricea transformării R = este ortogonală ,det.R = 1,

adică trecerea de la reperul R la reperul R se face printr-o rotaţie, când det,R = 1,urmată eventual de o simetrie dacă det.R = - 1 .

In reperul determinat de vectorii proprii şi , având centrul conicei ca origine, ecuaţia conicei (2.1) se scrie

1X2 + 2 Y2 + k = 0 (2.10)

Dacă ţinem seama de invarianţa lui la transformările ortogonale şi îl calculăm pentru sistemul cartezian XCY, obţinem = k 12 = k

( =12 din ecuaţia seculară) din care rezultă k = . Astfel, în reperul

R (C, ) ecuaţia conicei ( ) se scrie

( ): 1X2 + 2 Y2 + = 0 (2.11)

şi este numită forma canonică a ecuaţiei conicei .Observaţii :

1. In cazul conicelor cu centru, forma canonică (2.11) se poate scrie cunoscând numai învarianţii ortogonali ai acesteia: , şi I .

2. In reducerea la formă canonică a ecuaţiei unei conice cu centru nu contează ordinea efectuării izometriilor : translaţiei în centrul conicei şi respectiv a izometriei cu un punct fix .

3. Axele de coordonate CX şi CY sunt axe de simetrie pentruconica (), adică reperul R (C, ) este reperul în care conica este caracterizată printr-o ecuaţie redusă , deci conica poate fi recunoscută.

Pantele acestor axe de simetrie pot fi determinate folosind exprimarea în coordonate a vectorilor proprii. De observat că, dacă şi

sunt vectorii proprii normaţi,corespunzători valorilor proprii 1 şi 2

atunci reperul R (C, ) se obţine printr-o rotaţie de unghi [0,2],din reperul R (O, ) , dacă şi numai dacă , pentru = (1,2) avem

. Tinând cont de acest fapt, scriem ecuaţiile care ne determină aceşti vectori proprii :

156

şi

şi notând cu m = tg = obţinem

, ecuaţie echivalentă cu

a11 m2 + (a11 – a22 ) m – a12 = 0 , (2.12)

numită ecuaţia pantelor axelor de simetrie ale unei conice nedegenerate cu centru la distană finită . Pot fi scrise ecuaţiile axelor conicei ,ca drepte care trec prin centrul C(xo,yo) şi au pantele m1 şi m2 ,soluţii ale ecuaţiei (2.12) .

4. Pentru a ajunge la reperul canonic printr-o translaţie urmată de o rotaţie vom alege convenabil ordinea vectorilor proprii sau semnele acestora aşa încât det.R = 1.

Pentru determinarea unghiului de rotaţie, în trecerea de la reperul R (C, ) la reperul R (C, ), vom scrie ecuaţiile ce determină vectorii proprii :

şi .

(2.13)

Notând cu (0, ) unghiul dintre , alegem sensul lui astfel

ca unghiul dintre şi să fie , avem

şi

Din releţiile (2.12) obţinem :

şi , din care rezultă

, adică

tg 2 = (2.14)

Din aceleaşi relaţii obţinem : , adică

sign(1-2) = sign (a12) .

157

5. Tinând cont de caracterizările analitice ale transformărilor izometrice (cap.6,§5), reducerea la forma canonică a ecuaţiei unei conice poate fi făcută folosind metoda roto-translaţiilor. Se efectuiază rotaţia

(2.15)

şi determinăm unghiul , impunând condiţia de nulitate a coeficientului monomul xy,după care grupând termenii în sumă de pătrate determinăm translaţia în centrul conicei .

6. Pentru a reprezenta grafic conica () parcurgem etapele:- se reduce conica () la forma canonică (2.11)- reprezentăm, in planul raportat la reperul cartezian xOy, centrul

C(xo,yo) şi axele reperului canonic , CX şi CY (cu direcţe şi sens), determinate de reprezentanţii în punctul C ai vectorilor proprii şi .

- în reperul cartezian XCY desenăm conica () dată de forma canonică (2.11)

Revenind la forma canonică (2.11), să analizăm următoarele cazuri:

Cazul 1 o 0a) 0 12 = 0 , ecuaţia (2.11) poate fi pusă sub una

din formele :

sau , (2.16)

adică suntem în prezenţa unei elipse reale sau mulţimea vidă.

b) 0 12 = 0 , ecuaţia (2.11) poate fi pusă sub una din formele :

sau , (2.17)

adică conica () reprezintă o hiperbolă. Dacă I = a11 + a22 = 0 1 = -2 ,adică a = b şi hiperbola (2.16) este echilateră .

Cazul 2 o = 0 a) 0 12 = 0 , ecuaţia se scrie sub forma

2 X2 + 2Y2 = 0 , (2.18)

caz în care conica se reduce la un punct, centrul C(xo,yo) .

158

b) 0 12 = 0 , ecuaţia (2.11) poate fi pusă sub forma

2 X2 - 2Y2 = 0 ( X - Y) ( X + Y) = 0 , (2.19)

deci conica reprezintă două drepte concurente .

Prin urmare , invariantul cubic ne oferă informaţii despre natura conicei , iar invariantul pătratic ne dă informaţii despre genul conicei (). Astfel,vom spune:

dacă 0 - avem o conică nedegenerată = 0 - avem o conică degenerată ,

iar pentru 0 - conica () este de gen elipsă 0 - conica () este de gen hiperbolă .

2.2 Reducerea la forma canonică a conicelor fără centru (unic) , = 0

Reamintim că în cazul = 0 sistemul (2.5) este incompatibil sau admite o infinitate de soluţii, adică conica (2.1) nu admite un unic punct de simetrie (conica admite o dreaptă de centre). In acest caz, nu există o translaţie care să ne conducă la o ecuaţe de gradul al doilea fără termeni de gradul întâi. Astfel,vom efectua mai înâi o transformare izometrică cu originea O ca punct fix (de preferat o rotaţie) după care efectuăm o translaţie , convenabil aleasă.

Pentru = 0 , ecuaţia seculară se scrie sub forma 2 - I = 0 cu rădăcinile 1 = 0 şi 2 = I . Dacă versorii : şi

, sunt vectorii proprii corespunzători acestei transformări , atunci în noul reper R (O, ), efectuând schimbările de coordonate :

(2.20)

ecuaţia (2.1) se scrie sub forma

2 y2 + 2 a13x + 2a23y + a33 = 0 , 2 = I . (2.21)

Deoarece trecerea la noul reper s-a făcut printr-o transformare ortogonală, este un invariant şi are valoarea = - 2 (a13)2 , dată de matricea asociată formei (2.20) , din care obţinem

159

a13 = = (2.22)

Să considerăm cazurile :

Cazul 1o 0 a13 0 şi efectuăm translaţia :

, (2.23)

alegând punctul (xo,yo) astfel încât ecuaţia conicei să aibă forma cea mai simplă. Se obţine

2Y2 + 2a13X + 2(2yo + a23)Y + + 2yo

2 + 2a13 xo + 2 a23 yo + a33 = 0 (2.24)

Determinăm (xo,yo) impunând condiţiile :

(2.25)

Sistemul (2.25) are soluţie unică ,iar ecuaţia (2.24) se scrie sub forma

Y2 =2pX , p = (2.26)

Conica (2.26) ,raportată la reperul R(V, ) , este o parabolă cu vârful în punctul V(xo,yo) ,având axa de simetrie axa VX şi tangenta în vârful ei ,axa VY .

Cazul 2o = 0 a13 = 0,. iar ecuaţia (2.21) are forma

2 y2 + 2a23y + a33 = 0 , 2 = I . (2.27)

Ecuaţia (2.27) reprezintă un polinom de gradul al doilea în y cu rădăcinile k1 , k2 , reale sau comlexe .

a) dacă k1, k2 R , pentru k1k2 , forma canonică a ecuaţiei (2.27)

este

,

160

Efectuând translaţia şi notând termenul liber cu - k2 , în

noul reper conica se scrie sub forma canonică

Y2 - k2 = 0 , (2.28)adică două drepte strict paralele.Pentru k1 = k2 , după efectuarea translaţiei obţinem

Y2 = 0, (2.29)adică două drepe paralele.

b) dacă k1, k2 R , ecuaţia (2.27) este echivalentă cu mulţimea vidă, adică conica () este reprezentată în plan de către mulţimea vidă .

Vom spune că acele conice pentru care = 0 sunt de gen parabolă.

Observaţii :1. In cazul = a11a22 – (a12 )2 = 0 , grupul termenilor de gradul al doilea este un pătrat perfect şi ecuaţia (2.1) reprezintă o parabolă.

2. Pentru a reprezenta grafic o parabolă nedegenerată, parcurgem etapele:

-determinăm valorile proprii 1=0, 2= a11 + a22 şi vectorii proprii corespunzători ,

- se efectuiază rotaţia

- se restrâng pătratele şi se determină translaţia în vârful V(xo,yo)- se desenează conica dată de forma canonică Y2 =2pX în

reperul având originea vârful parabolei şi axele cu direcţia şi sensul determinate de vectorii prprii şi .

Pentru o parabolă degenerată, efectuând substituţia t = , (a11 a22 0 ) se determină rădăcinile t1 , t2 şi se reprezintă grafic, in sistemul xOy , cele două drepte (reale) .

3. Dacă este vectorul propriu corespunzător valorii proprii 1 = 0, avem

, (2.30)

şi notând cu unghiul dintre şi , obţinem

tg = , (2.31)

formulă care ne oferă panta axei parabolei .

161

In concluzie, folosind invarianţii orogonali ai unei conice suntem în măsură să dăm următoarea clasificare izometrică :

(natura) (genul) Discuţie

0conice nedegenerate

0 elipsă reală , pentru I 0 mulţimea vidă , pentru I 0

= 0 parabolă 0 hiperbolă

= 0conice degenerate

0 punct dublu = 0 pereche de drepte (paralele sau confundate)

sau mulţimea vidă 0 pereche de drepte concurente

2.3 Intersecţia dintre o dreaptă şi o conică

Fie conica

() : a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 , a112+ a12

2+ a2220,

şi dreapta prin punctul M(xo,yo) cu direcţia dată de = (l,h)

(d) : x = xo + lt , y = yo = ht , t R .

A studia poziţia relativă a dreptei (d) în raport cu conica () înseamnă a studia mulţimea soluţiilor sistemului format din ecuaţiile dreptei şi ecuaţia conicei . Inlocuind coordonatele unui punct de pe dreaptă în ecuaţia conicei ,rezultă ecuaţia de gradul al doilea în nedeterminata t R :

(l,h) t2 + 2 ( l + h ) t + = 0 (2.32)unde:

(2.33)

Este clar că o dreaptă intersectează o conică în cel mult două puncte.Avem următoarele cazuri :

Cazul 1o dacă (l,h) 0 , pentru

162

a) ( l + h )2 - (l,h) 0, ecuaţia (2.32) are două rădăcini reale t1 t2 şi dreapta intersectează conica în două puncte M1M2.

b) ( l + h )2 - (l,h) = 0, ecuaţia (2.32) are două

rădăcini reale egale ,t1=t2 şi dreapta intersectează conica în două puncte confundate M1=M2 ,adică dreapta (d) este tangentă la conică în punctul M1.

c) ( l + h )2 - (l,h) 0 , ecuaţia (2.32) nu are rădăcini reale,deci dreapta (d) nu intersectază conica () .

Cazul 20 dacă (l,h) = 0, pentru

a) ( l + h ) 0, ecuaţia (2.32) are osingură soluţie şi dreapta intersectează conica într-un singur punct.

b) ( l + h ) = 0 şi 0 , ecuaţia (2.23) nu are soluţii, deci dreapta nu intersectează conica .

c) ( l + h ) = 0 şi =0 , ecuaţia (2.23) este identic satisfăcută, deci punctele dreptei aparţin conicei, situaţie posibilă când conica degenerează în pereche de drepte . Definiţia.2.4 Se numeşte direcţie asimtotică pentru conica () direcţia

cu proprietatea (2.35)

Din cazul 2o, rezultă că o dreaptă a cărei direcţie este asimtotică intersectează conica în cel mult un punct .

Definiţia.2.5 Se numeşte asimptotă a conicei nedegenerate (), o dreaptă care nu intersectează conica şi a carei direcţie este asimptotică .

Realizantul ecuaţiei (2.35), în nedeterminata m = , este dat de

(a12)2- a11a22 = - . Astfel, dacă

0 , () este o elipsă şi nu are direcţii asimtotice

163

= 0 , () este o parabolă şi admite o direcţie asimtotică dublă iar aceasta este tocmai direcţia axei parabolei

0 , () este o hiperbolă şi admite două direcţii asimtotice ,iar dreptele cu aceste direcţii care trec prin centrul conicei sunt asimtotele hiperbolei ale căror pante sunt date de ecuaţia:

a22 m2 + 2a12 m + a11 = 0 (2.36)

2.4 Diametrul conjugat cu o direcţie dată . Pol şi polară

Fie conica () dată de ecuaţia (2.1) şi o direcţie fixă, dată de vectorul . Dreptele familiei, paralele cu direcţia (l,h), intersectează conica

() în cel mult două puncte. Dacă M1 şi M2 sunt punctele de intersecţie ale conicei cu o dreaptă de direcţie , atunci avem următoarea

Teorema 2.6 Locul geometric al mijloacelor segmentelor M1M2, determinate de dreptele secante conicei ( ), cu direcţia

, este o submulţime a unei drepte .

Demonstraţie. Considerăm dreapta (d) prin punctul Mo(xo,yo),de direcţie neasimptotică

(d) : ,

care intersectează conica în punctele M1(t1) şi M2(t2) . Valorile t1 şi t2

corespunzătoare punctelor de intersecţie M1 şi M2 sunt soluţiile ecuaţiei (2.23).Fără a restrânge generalitatea, considerăm punctul Mod ca fiind mijlocul segmentului M1M2 . Coordonatele punctului Mo sunt

respectiv , ceea ce înseamnă că

t1 + t2 = 0 , adică .Dacă Mo este mijlocul coardei arbitrare de direcţie , coordonatele mijloacelor segmentelor M1M2 satisfac ecuaţia :

(2.37)sau , (2.37)’

adică o dreaptă,c.c.t.d.

164

Definiţia.2.7 Se numeşte diametru conicei () conjugat direcţiei neasimptotice , dreapta dată de ecuaţia (2.38)

Dacă 0 şi arbitrar,ecuaţia (2.38) reprezintă fascicolul de drepte prin centrul conicei (),deci diametrul conjugat unei direcţii date este o dreaptă prin centrul conicei .

Dacă = 0 şi 0, ecuaţia (2.38) se scrie fx+ = 0, R, care reprezintă o familie de prepte paralele cu direcţia , adică direcţia axei de simetrie a parabolei. Astfel , axa parabolei este un diametru conjugat direcţiei perpendiculare pe axă, .

Diametrul conjugat direcţiei m= , din ecuaţia (2.38) , poate fi

scris sub forma :

(2.39)

şi are panta m dată de

, sau (2.40)

(2.40)’numită relaţia de conjugare .

Două drepte cu direcţii neasimptotice, prin centrul conicei () , (0) ale căror pante m respectiv m satisfac ecuaţia (2.40) se numesc diametri conjugaţi unul altuia.

Observaţii: 1. Diametrii conjugaţi ortogonali definesc axele de simetrie ale unei

conice cu centru. Impunând condiţia mm = - 1, în ecuaţia (2.40), obţinem ecuaţia pantelor axelor de simetrie ale conicei ()

,adică regăsim ecuaţia (2.12) .

2. Diametrii autoconjugaţi , m = m, definesc asimptotele conicei ()Din ecuaţia ecuaţia (2.40) obţinem ecuaţia pantelor asimptotelor unei conice (hiperbolă), , adică ecuaţia (2.36) .

Să considerăm,în cele ce urmează, un punct fix Mo(xo,yo) şi (d) o

165

dreaptă de direcţie variabilă ,prin punctul Mo: x=xo+lt, y=yo+ht.Fie punctele Mo , M1, M2 şi M pe dreapta (d) , caracterizate de

coordonatele paramatrice to, t1, t2 şi respectiv t .

Definiţia.2.8 Spunem că punctul M este conjugatul armonic al punctului Mo în raport cu M1 şi M2 dacă

, (2.41)

MiMj desemnând un segment orientat.

Relaţia (2.41) se scrie în coordonate parametrice sub forma:

sau (2.42)

Dacă punctele M1 şi M2 sunt punctele de intersecţie ale dreptei (d) cu conica () ,atunci are loc următoarea teoremă:

Teorema 2.9 Locul geometric al punctului M ,conjugatul armonic al punctului Mo în raport cu punctele M1 şi M2 , este o submulţime a dreptei de ecuaţie

, (2.43)

Demonstraţie. Folosind relaţiile (2.42) şi (2.32) obţinem

(2.44)

Eliminând parametrii t, l , h între ecuaţiile (2.44) şi ecuaţiile dreptei (d) se obţine: , din care rezultă (2.43) .

Ecuaţia (2.43) se obţine din ecuaţia generală a unei conice (2.1) prin următoarele substituţii ,numite dedublări :

şi

Definiţia2.10 Dreapta de ecuaţie (2.43) se numeşte polara punctului Mo

în raport cu conica () sau dedublata conicei () .

Dacă avem o dreaptă (d), punctul Mo a cărei polară în raport cu conica () este dreapta (d) se numeşte polul dreptei (d) .Observaţia 3.

166

Dacă punctul Mo(xo,yo) aparţine conicei () , atunci f(xo,yo) = 0 şi ţinând cont că direcţia tangentei în punctul Mo este dată de , ecuaţia este echivalentă cu ecuaţia (2.43) ,adică ecuaţia tangentei în punctul Mo .

2.5 Conice prin condiţii iniţiale

Fie conica () dată prin ecuaţia generală (2.1)f (x,y) a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0, a11

2+ a122+ a22

20. Cei şase coeficienţi din ecuaţia conicei nu pot fi toţi nuli,deci această ecuaţieeste echivalentă cu o ecuaţie care depinde numai de cinci coeficienţi ,numiţi parametrii esenţiali , obţinuţi prin împărţirea celor şase coeficienţi cu unul dintre ei nenul . Deci pentru a determina în mod unic o conică avem nevoie de cinci condiţii .De exemplu conica prin cinci puncte este dată de:

(2.45)

Să considerăm conicele (1) : f(x,y) = 0 şi (2) : g(x,y) = 0 . Definiţia2.11 Mulţimea conicelor caracterizate de ecuaţia generală

( ) , (2.46)

se numeşte fascicol de conice, determinat de conicele fundamentale (1) şi (2) .

Conicele (1) şi (2) aparţin fascicolului ( ) ,dar ecuaţia (2.46) nu reprezintă întotdeauna o conică (cazul dreptelor şi punctelor simple). Cum şi nu sunt simultan nule putem scrie ecuaţia (2.46) sub forma

( ) , mR ,fascicol care nu conţine conica (2) .

Dacă (1) şi (2) se intersectează,atunci intersecţia acestora este formată din cel mult patru puncte. Din consideraţiile anterioare rezultă că prin patru puncte necoliniare trec o infinitate de conice. Dacă conicele distincte (1) şi (2) sunt conice degenerate în câte două drepte, atunci punctele de intersecţie determină în plan un patrulater sau un triunghi.

167

Notând cu (AB) membrul stâng al ecuaţiei dreptei prin A şi B avem următoarele rezultate :

a) Fascicolul de conice circumscrise patrulaterului ABCD este dat de ecuaţia

(AB) (CD) + (BC) (AD) = 0 (2.47)

In particular, ecuaţia generală a conicelor care trec prin intersecţia unei conice f(x,y) = 0 cu două dreapte 1 = 0 , 2 = 0 este

f(x,y) + 12 = 0 (2.48)

Dacă dreapta = 0 intersectează conica f(x,y) = 0 în două puncte aceste puncte le putem gândi ca intersecţia dintre conica degenerată 2 = 0 şi conica f(x,y) = 0 , caz în care conicele fascicolului (2.47) devin bitangente conicei f(x,y) = 0 , în punctele de intersecţie ale acesteia cu dreapta = 0 şi avem

f(x,y) + 2 = 0 (2.48)

In particular, ecuaţia conicelor tangente dreptelor 1 = 0 , 2 = 0 în punctele în care aceste drepte sunt intersectate de dreapta = 0 , adică cele trei drepte fomează un triunghi, este

12 + 2 = 0 (2.49)

b) Dacă avem date conicele (1) : f(x,y) = 0 , (2) : g(x,y) = 0 şi (3) : h(x,y) = 0, atunci mulţimea conicelor date de ecuaţia

f(x,y) + g(x,y) + h(x,y) = 0

se numeşte fascicolul de conice determinat de conicele (1) , (2) şi (3) .Astfel, fascicolul de conice circumscrise triunghiului ABC este dat de

(AB)(AC)+ (BA)(BC) +(CA)(CB) = 0 . (2.50)

Probleme propuse

1. Să se scrie ecuaţia cercului cu centrul pe dreapta x- 2y + 1 = 0 , tangent axei Ox şi care trece prin punctul A(o,-1) .

168

2. Fie punctele A(2,3) , B(-2,-1) , C(4,1) .a) Să se scrie ecuaţiile cercurilor : înscris, circumscris şi ecuaţia

cercul lui Euler pentru triunghiul ABC .b) Să se determine tangentele la cercul circumscris triunghiului

ABC, paralele cu latura BC şi să se scrie ecuaţia tangentei la cercul circumscris triunghiului în vârful A .

3. Se dau familiile de cercuri(C1) x2 + y2 - 2x = 0 şi (C2) 2(x2 + y2) – 2(1 + 2)x + (1-2)y +4 = 0,

a) Să se arate că pentru R , axele radicale corespunzătoare celor două cercuri trec printr-un punc fix.

b) Să determine R astfel încât cercurile să fie ortogonale.c) Să se determine locul geometric al punctelor de intersecţie.

4. Să se determine locul geometric al punctelor din plan cu proprietatea

că tangentele la elipsa , prin aceste puncte fac un unghi

constant.5. Să se arate că locul geometric al centrelor cercurilor tangente unui

cerc dat şi care trac printr-un punct fix,interior (exterior) cercului dat este o elipsă (hiperbolă).

6. Să se determine cercul cu centrul în punctul C(1,0) tangent elipsei 4x2 + 8y2 – 25 = 0.

7. Să se arate că elipsa x2 + 2y2 – 2 = 0 şi hiperbola x2 – y2 – 1= 0 au aceleaşi focare şi sunt ortogonale.

8. Se se arate că tangentele la o hiperbolă formează cu asimptotele triunghiuri de arie constantă.

9. Să se determie pe hiperbola 4x2 – 9y2 – 36 = 0 , punctul situat la cea mai mică distanţă faţă de dreapta 2x – y + 2 = 0.

10. Să se stabilească natura şi genul conicelor :a) 5x2 + 8xy + 5y2 – 18x – 18y + 9 = 0b) 7x2 – 8xy + y2 – 6x –12y – 9 = 0c) 2xy – 2x – 2y + 3 = 0d) 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = 0e) 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 4y + 10 = 0f) 5x2 + 6xy + 5y2 + 2x –2y + 2 = 0

11. Fie familia de conice : x2- (2-1)xy - y2 - (2 +1)y = 0 . Se cere :a) Să se determine natura şi genul conicelor

169

b) Să se găsească locul geometric al centrelor conicelor din familie.

12. Să se discute natura şi genul conicelor fascicoluluix2 + 4xy + y2 + 2x + 4y + = 0 , R

şi să se găsească conicele degenerate ale fascicolului .

13. Să se reducă la formă canonică şi să se reprezinte grafic conicele : a) 3x2 – 2xy + 3y2 + 4x +4y – 4 = 0b) 7x2 – 8xy –y2 – 2x – 4y – 1 = 0c) 9x2 – 6 xy + y2

+ 20x = 0d) 2xy – 2y + 1 = 0e) 3x2 – 6 xy + 2x + 2y –1 = 0f) x2 –4xy + y2 + 6 x – 12y + 8 = 0g) 4x2 + 4xy + y2 – 4x – 2y + 1 = 0.

14. Fie punctele A(0,-1) , B(0,1) , C(-2,0) şi D(2,0) . Se cere :a) Să se scrie ecuaţia fascicolului de conice care trec prin aceste

puncte.b) Să se rep[rezinte grafic locul geometric al centrelor conicelor

din fascicolului.c) Să se arate că polara punctului P(1,0), în raport cu conicele

fascicolului, trece printr-un punct fix.d) Să se discute natura şi genul conicelor din fascicol .

15. Să se determine axele, asimptotele şi diametrul conjugat direcţiei dreptei de ecuaţie x - y + 3 = 0 pentru conica

4xy – 3y2 + 4x – 14y –7 = 0 .

16. Să se scrie ecuaţia fascicolului de conice bitangente hiperbolei x2 – 4 y2 – 4 = 0 în punctele de intersecţie ale acesteia cu dreapta y =

1. Să se reprezinte grafic conicele degenerate ale fascicolului .

17. Să se scrie fascicolul de conice circumscris triunghiului determinat de punctele A(3,2) , B(-2,-1) , C(4,1) . Să se determine conicele degenerate ale acestui fascicol.

170