curs2 conice

download curs2 conice

of 26

Transcript of curs2 conice

I

PAGE 2

CONICE2.1. Conice pe ecuaia general. Conice pe ecuaii reduse2.2. Invariani ortogonali. Centrul unei conice2.3. Reducerea la forma canonic a conicelor cu centru (( ( 0)2.4. Clasificarea conicelor cu centru

2.5. Reducerea la forma canonic a conicelor fr centru (( = 0)

2.1. Conice pe ecuaia general. Conice pe ecuaii reduseAm vzut n cursul anterior c dreapta n plan este o curb algebric de ordinul nti.Definiie. Locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul k al distanelor la o dreapt fix (directoare) i un punct fix numit focar este constant se numete conic.

Dac k < 1 conica este de tip elips, dac k = 1 este de tip parabol, iar dac k > 1 conica este de tip hiperbol.

Fie un sistem de axe ortogonale xOy, M(x,y) un punct de pe conica (, ( : ax + by + c = 0 dreapta fix (directoarea), F(x0, y0) punctul fix (focarul) i d distana de la M la (.

innd seama de faptul c distana de la M(x, y) la dreapta ( : ax + by + c =0 este egal cu (

Dac notm cu:a11 = a2 + b2 k2a2a12 = abk2a22 = a2 + b2 k2b2a13 = a2x0 b2x0 ack2a23 = a2y0 b2y0 bck2a33 = , atunci ecuaia conicei ( este:

. (1)Conice pe ecuaii reduse

Cercul este locul geometric al punctelor egal deprtate de un punct fix numit centru C(a, b); r = raza cercului. Fie un punct M(x, y) ( C , atunci:

este ecuaia cercului de centru C(a, b) i de raz r.Observaie. NU Orice ecuaie de forma x2 + y2 + 2mx + 2ny +p = 0 reprezint un cerc.

ntr-adevr, ecuaia se mai poate scrie:

. Rezult c centrul cercului este C(m, n) i raza , dac

Conform unei definiii echivalente elipsa este locul geometric al punctelor cu proprietatea c suma distanelor la dou puncte fixe numite focare este constant.

Propoziie. ntr-un reper convenabil ales ecuaia elipsei este .

Fie punctele F(c, 0), F'(c, 0) i M(x, y).Conform definiiei elipsei avem:, adic

sau

sau

(( .Ridicnd la ptrat obinem:, adic:

.Notnd a2 c2 = b2,obinem b2x2 + a2y2 a2b2 =0 ( . Graficul se obine reprezentnd funciile .

Elipsa de ecuaie este elips imaginar. De asemenea, ntr-o definiie echivalent hiperbola este locul geometric al punctelor cu proprietatea c modulul diferenei distanelor la dou puncte fixe numite focare este constant.Propoziie. ntr-un reper convenabil ales ecuaia hiperbolei are forma:

, cu relaia: a2 + b2 = c2. Ecuaia hiperbolei se mai poate scrie: . Obinem asimptotele: .

Parabola este locul geometric al punctelor cu proprietatea c distana la un punct fix numit focar coincide cu distana la o dreapt fix numit directoare.ntr-un reper convenabil ales ecuaia este .

Transcriind avem:

,( ( y2 = 2px.

2.2. Invariani ortogonali. Centrul unei conice.Definiia 1. O expresie E(x, y) se numete invariant ortogonal dac rmne neschimbat n urma unei transformri ortogonale.Propoziie 1. Fie conica , dat de relaia (1).

Notm:

I = a11 + a22,

,

.Atunci I, (, ( sunt invariani ortogonali (la rotaii i translaii).

Demonstraie:Fie forma ptratic ((x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 i fie matricea sa n raport cu baza .Fie T : V2 V2 o transformare ortogonal. Fie matricea asociat lui ( n raport cu baza .Avem:

, adic ;

, adic .Cum pA = pA (polinomul caracteristic este invariant la schimbarea bazei), rezult c I = I', ( = ('.

De asemenea se poate arta c ( este invariant la rotaii. n plus, se poate arta c I, ( i ( sunt invariani la translaii.Definiia 2. Punctul M0(x0, y0) se numete centru de simetrie al unei conice dac orice dreapt care trece prin M0 intersecteaz conica n 2 puncte simetrice (fa de M0).

Dac un punct este pe conic i simetricul lui fa de centru este tot pe conic.

Propoziia 2. Fie f(x, y) = 0 conica dat de relaia (1). Originea O(0, 0) este centru de simetrie ( a13 = a23 = 0.Demonstraie:

M ( conicei ( , ( x, y (.M' ( conicei ( , ( x, y (.Atunci f(x, y) f(x, y) = 4a13x + 4a23y = 0, ( x, y ( a13 = 0, a23 = 0.

Propoziia 3. Fie conica f(x, y) = 0, dat de relaia (1). Atunci ( C(x0, y0) centru de simetrie ( ( ( 0, deci adic .

Facem translaia:

,adic .Dac f(x, y) = 0, s calculm f(x', y').Scriem formula Taylor pentru f(x, y) n C(x0, y0) (f este polinomial, deci indefinit derivabil):

.Dar f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a33y + a33 (

,

,

,

,

.Atunci:

Conform propoziiei 2, ntruct x' = 0, y' = 0 este centru de simetrie ( ,( (

.

(*)Sunt dou cazuri:

1. sistemul (*) are soluie unic.2. ( = 0, atunci avem fie:

rang = rang, deci atunci avem un sistem compatibil nedeterminat (conica are o infinitate de centre), fie: rang ( rang i atunci avem un sistem incompatibil (conica nu are centru de simetrie).

2.3. Reducerea la forma canonic a conicelor cu centru (( ( 0)Definiia 1. Fie conica f(x, y) = 0, dat de relaia (1), cu centrul ( ( 0. Conica este redus la forma sa canonic dac exist un reper cartezian n care conica are forma:(1X2 + (2Y2 + (3 = 0,

(2)cu (i ( , .Teorema 1 (Reducerea la forma canonic a conicelor cu centru). Fie conica f(x, y) = 0, dat de relaia (1), cu centrul n punctul C. Atunci dac a12 ( 0, exist o schimbare ortogonal de coordonate n plan, constnd dintr-o rotaie i translaie, n urma creia conica are forma canonic:

,unde (1 i (2 sunt rdinile ecuaiei:

(2 I( + ( = 0,

(3)iar I, (, ( sunt invarianii conicei. Cnd rdcinile sunt distincte, ele se aleg astfel nct:

((1 (2)a12 > 0 (rotaie a sistemului de coordonate de unghi , cu ).

Demonstraie: n centrul C(x0, y0) al conicei efectum o translaie a axelor de coordonate:

(vezi fig. 12.1)iar .

Fig. 2.1

ntruct C(x0, y0) este centrul conicei, conform Propoziiei 1, paragraful 2, obinem:

.

Pe de alt parte,

Rezult:

.Deci (x0, y0) verific sistemul:

.Conform teoremei lui Rouch, ntruct acest sistem este compatibil rezult c determinantul su caracteristic este nul:

(

( .Acum scopul nostru este de a anula coeficientul lui x'y'. Fie aplicaia liniar T : V2 V2 a crei matrice asociat n baza este:

;

matricea fiind simetric, rezult c T este autoadjunct i deci exist o baz ortonormat n spaiul euclidian V2, format din vectorii proprii ai lui T, deci

i ,

unde (1 i (2 sunt valorile proprii reale ai lui T, rdcinile ecuaiei caracteristice:

.

Fie forma ptratic definit prin :

.S gsim acum un sistem de coordonate Cx'y' n care s eliminm termenul x'y' n vederea oninerii formei canonice f1(X, Y) = (1X2 + (2Y2,unde , iar (1, (2 sunt rdcinile ecuaiei caracteristice.

Baza ortonormat este obinut din baza canonic printr-o rotaie de unghi

n jurul lui C astfel:

,

adic:

,sau

.Adunnd ecuatiile de mai sus obinem: ((1 (2)sin( cos( = a12 ( ((1 (2)a12 > 0 pentru (1 ( (2, ntruct .

2.4. Clasificarea conicelor cu centru

Fie ecuaia canonic a conicei:

.

(1)

Avem urmtoarele cazuri:

1) Dac ( > 0, conica este o elips. ntr-adevr, deoarece ( = (1 (2 , numerele (1 i (2 au acelai semn ntruct ( = (1 (2 > 0 . Mai mult, dac:

i) ( ( 0 conica este fie o elips (real), fie o elips imaginar.

ii) ( = 0 conica este o elips degenerat ntr-un punct (numai punctul X = 0, Y = 0 verific (1)).

2) Dac ( < 0, conica este o hiperbol, deoarece n acest caz numerele (1 i (2 au semne diferite ntruct ( = (1 (2 < 0. Mai mult, dac:

iii) ( ( 0 conica este o hiperbol.

iv) ( = 0 2X2 (2Y2 = 0, , ( ( , deci conica este o hiperbol degenerat n dou drepte ce trec prin originea axelor de coordonate, asimptotele hiperbolei.

Exemple

1) S se reduc la forma canonic i s se reprezinte grafic conica:

2x2 6xy + 10y2 8x + 12y + 2 = 0.

I. Invarianii

I = 12,

> 0 (conica este elips)

II. Centrul conicei C(x0, y0). Coordonatele acestuia se afl din:

sau

( .

Avem ( = 11 (

,

y0 = 0,

deci C(2, 0).

Avem .

(f(x0, y0) se obine din linia a 3-a a lui () (

( ( = ( f(x0, y0) = 11 6 = 66 ( 0 ( elipsa este nedegenerat.

ntruct I ( < 0, elipsa este real.

III. Translaia:

.

IV. Rotaia

Ecuaia caracteristic:

(2 I( + ( = 0, adic:

(2 12( + 11 = 0

( (1 = 11, (2 = 1 sau (1 = 1, (2 = 11.

Dar ( (1 (2 < 0 ( (1 = 1 i (2 = 11.Avem

( .

n formulele de rotaie:

avem de calculat sin i cos.

Calculul se face fie cu formulele:i,considerd,

fie din triunghiul dreptunghic:

n care cunoatem catetele (din) i aflm:

.

Formulele de rotaie devin:

V. Forma canonic este:

(1X2 + (2Y2 + = 0,

deci 1 X2 + 11Y2 6 = 0 | : 6 (

.

Avem semiaxele:

a2 = 6 (

(

Rototranslaia este dat de:

VI. Axele conicei (CX, CY) au respectiv ecuaiile:

(CX): y y0 = tg((x x0)

(CY): y y0 =

(

VII. Intersecia cu axele Ox, Oy

:y = 0 i obinem:

2x2 8x + 2 = 0 ( x2 4x + 1 = 0 (

Obinem deci punctele de intersecie:

.

:x = 0 i obinem:

10y2 + 12y + 2 = 0 ( 5y2 + 6y + 1 = 0 (

y1 = 1

i obinem punctele de intersecie:

D(0, 1),

.

2) S se reduc la forma canonic i s se reprezinte grafic conica.

6xy + 8y2 12x 26y + 11 = 0

I. Invarianii

I = 8,

< 0 (conica este o hiperbol)

II. Centrul conicei C(x0, y0)

(

( C(1, 2)

f(x', y') = 6x'y' + 8y'2 9 = 0 (hiperbola este nedegenerat)III. Rotaia

Ecuaia caracteristic:

(2 I( + = 0, adic:

(2 8( 9 = 0, deci

(1,2 = 9, 1

( (1 (2 > 0 ( (1 = 9 i (2 = 1.

Avem

(

Calculm .

IV. Rototranslaia:

V. Axele conicei (CX, CY)

(X): y 2 = tg((x + 1)

y 2 = 3(x + 1)

(Y): y 2 =

VI. Forma canonic

9X2 1Y2 9 = 0 | : 9

(

Semiaxele sunt:

a2 = 1( a = 1,

b2 = 9( b = 3.

:y = 0 (

12x2 + 11 = 0 (

i obinem punctul de intersecie:

.

:x = 0(

8y2 26y + 11 = 0 ( ( = 262 4 8 11 = 4(132 88) = 4 81

y1 =

i obinem punctele de intersecie:

,

2.5 Reducerea la forma canonic a conicelor fr centru

Definiia 1. Fie conica de ecuaie f(x) = 0, fr centru, (( = 0) dat de relaia (1), Cursul 11, paragraful 1. Conica este redus la forma canonic dac exist un reper cartezian n care conica are forma:

(1Y2 + (2X = 0 cu (1, (2 ( .

Teorema 1. (reducerea la forma canonic a conicelor fr centru).

Exist o schimbare de coordonate n plan n care conica are forma canonic:

.

Aceast ecuaie definete fie o parabol, fie o pereche de drepte (parabol degenerat).

Demonstraie: Fie forma ptratic , definit prin:

f(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2.

Fie rotaia de unghi ( n jurul originii, n urma creia forma ptratic ia forma:

,

unde (1 i (2 sunt rdcinile ecuaiei caracteristice:

(2 I( + ( = 0. (3)

Formulele de schimbarea a coordonatelor sunt:

ntruct ( = (1(2 = 0 ( (1 = 0 sau (2 = 0.

Fie de exemplu, (1 = 0 i (2 = I (vezi relaia (3)).

innd seama de formulele de schimbare a coordonatelor n ecuaia conicei, obinem:

(4)

unde:

(5)

ntruct

(1 = 0 ( tg( =

(6)

i rang A = 2 ( (dac ( a11a23 = a12a13 ( rang A = 1).

n aceste condiii (4) se rescrie:

(7)

cu .

Considerm translaia:

Ecuaia conicei devine:

(8)

Din relaia (6) obinem:

.

Avem, de asemenea:

ntruct ( = 0 ( a11a22 = , avem:

a11( = (a11a23 a12a13)2 (( .

n aceste condiii (8) devine:

,

ceea ce reprezint forma canonic a conicei fr centru.

Dac , ecuaia (4) devine:

care reprezint fie dou drepte paralele, fie dou drepte confundate sau nu definesc nici o figur geometric n plan.

Deci dac , (adic ( = 0), ecuaia (4) definete o parabol degenerat.

Exemple

3) S se reduc la forma canonic i s se reprezinte grafic conica:

4x2 4xy + y2 2x 14y + 7 = 0.

I. Invarianii

I = 5,

(conica este o parabol)

II. Rotaia

Ecuaiile caracteristice:

(

(

III. Translaia

Avem vrful: V(x0, y0),

axa: ,

adic 4(8x 4y 2) 2(4x + 2y 14) = 0 (

40x 20y + 20 = 0 (

2x y +1 = 0.

IV. Intersecia axei cu parabola ( vrful parabolei V(x0, y0)

Introducem ecuaia axei: y = 2x + 1 n ecuaia parabolei i obinem:

4x2 4x(2x + 1) + (2x + 1)2 2x 14(2x + 1) + 7 = 0 (

30x 6 = 0.

Obinem deci coordonatele vrfului:

y0 = 2 x0 + 1

,

deci .

V. Rototranslaia:

VI. Forma canonic:

y2 = 2pxcu

(

VII. Intersecia cu axele:

:y = 0 (

4x2 2x + 7 = 0 ( nu intersecteaz axa Ox.

:x = 0 (

y2 14y + 7 = 0 ( ( = 142 4 7 = 4(49 7) = 42

y1 =

Axa (Y) are ecuaia: ,

iar ecuaia canonica a parabolei devine pentru p > 0

.

4) S se reduc la forma canonic i s se reprezinte grafic conica:

(x + 3y)2 + 2x + 6y 3 = 0

I = 10,

(conica este o parabol)

Ecuaia se mai scrie: (x + 3y)2 + 2(x + 3y) 3 = 0.

Notm t = x + 3y i obinem:

t2 + 2t 3 = 0 (

(

t1 = 3, t2 = 1.

Deci (t 1)(t + 3) = 0, adic

(x + 3y 1)(x + 3y + 3) = 0

ceea ce reprezint o parabol degenerat n dou drepte confundate.x

x

x

M(x0,y0)

x

y

(()

F(x0,y0)

M(x,y)

d

x

y

x

y

M2

M1

O(0,0)

M'(x,y)

M(x,y)

C(x0,y0)

x'

x0

y'

O(0,0)

y0

x

x

M(x,y)

x

y

(

(

x'

y'

X

Y

C

x

y

O

F '

F

M

x

y

x

x

(a,0)

x

(a,0)

(a,0)

(0,b)

(0,b)

O

y

(a,0)

F(c,0)

F(c,0)

O

x

y

M(x,y)

x

F(p/2,0)

F(p/2,0)

O

x

y

1

3

(

EMBED Equation.DSMT4

x

y

X

Y

y'

C(2,0)

B(2+ EMBED Equation.DSMT4 ,0)

D(0,1)

(0,3/2)

M(0,1/5)

(0,5)

1

3

(

EMBED Equation.DSMT4

x'

y'

x

y

X

Y

O

E'(0,5)

B(0,11/4)

F'(0,5/3)

D(0,1/2)

2

1

C(1,2)

E(5/3,0)

A(11/12,0)

F(5,0)

0

X

x

y

Y

-1/5

3/5

V

A(2- EMBED Equation.DSMT4 ,0)

_1243057754.unknown

_1245562321.unknown

_1265199817.unknown

_1265214770.unknown

_1330412903.unknown

_1330414411.unknown

_1353826935.unknown

_1330415733.unknown

_1330414390.unknown

_1329813574.unknown

_1330249288.unknown

_1330406005.unknown

_1329815424.unknown

_1265216163.unknown

_1265216526.unknown

_1265216547.unknown

_1265216471.unknown

_1265214845.unknown

_1265200211.unknown

_1265210994.unknown

_1265211445.unknown

_1265210898.unknown

_1265199875.unknown

_1265199969.unknown

_1265199833.unknown

_1245563168.unknown

_1255241369.unknown

_1258364874.unknown

_1259526045.unknown

_1261569399.unknown

_1258372024.unknown

_1258372063.unknown

_1258365445.unknown

_1255241589.unknown

_1255241601.unknown

_1255241490.unknown

_1245563295.unknown

_1246342502.unknown

_1255241237.unknown

_1245571053.unknown

_1245563223.unknown

_1245562466.unknown

_1245562710.unknown

_1245562982.unknown

_1245562610.unknown

_1245562351.unknown

_1245562409.unknown

_1245562330.unknown

_1243059327.unknown

_1244355197.unknown

_1244355705.unknown

_1245561980.unknown

_1245562103.unknown

_1245562235.unknown

_1244356161.unknown

_1244356235.unknown

_1244356019.unknown

_1244355239.unknown

_1244355433.unknown

_1244355213.unknown

_1243070299.unknown

_1244354457.unknown

_1244354761.unknown

_1244355111.unknown

_1244354465.unknown

_1243070659.unknown

_1243070870.unknown

_1243071033.unknown

_1243071185.unknown

_1244354352.unknown

_1243071236.unknown

_1243071099.unknown

_1243070926.unknown

_1243070774.unknown

_1243070794.unknown

_1243070703.unknown

_1243070423.unknown

_1243070551.unknown

_1243070352.unknown

_1243061866.unknown

_1243069830.unknown

_1243070161.unknown

_1243070257.unknown

_1243070112.unknown

_1243069619.unknown

_1243069717.unknown

_1243062144.unknown

_1243059425.unknown

_1243059701.unknown

_1243059790.unknown

_1243059544.unknown

_1243059667.unknown

_1243059373.unknown

_1243058842.unknown

_1243059089.unknown

_1243059208.unknown

_1243059268.unknown

_1243059171.unknown

_1243058980.unknown

_1243059065.unknown

_1243058935.unknown

_1243058208.unknown

_1243058647.unknown

_1243058702.unknown

_1243058429.unknown

_1243057907.unknown

_1243058161.unknown

_1243057767.unknown

_1242200798.unknown

_1242202293.unknown

_1242453527.unknown

_1242454390.unknown

_1242813988.unknown

_1242814392.unknown

_1242816010.unknown

_1242814311.unknown

_1242454874.unknown

_1242455016.unknown

_1242455353.unknown

_1242810991.unknown

_1242455468.unknown

_1242455180.unknown

_1242454932.unknown

_1242454982.unknown

_1242454901.unknown

_1242454561.unknown

_1242454846.unknown

_1242454524.unknown

_1242453876.unknown

_1242454316.unknown

_1242454335.unknown

_1242454270.unknown

_1242453597.unknown

_1242453690.unknown

_1242453567.unknown

_1242452731.unknown

_1242452805.unknown

_1242453254.unknown

_1242452748.unknown

_1242452534.unknown

_1242452700.unknown

_1242452505.unknown

_1242201505.unknown

_1242201821.unknown

_1242202074.unknown

_1242202180.unknown

_1242202044.unknown

_1242201558.unknown

_1242201629.unknown

_1242201528.unknown

_1242201008.unknown

_1242201042.unknown

_1242201320.unknown

_1242201342.unknown

_1242201088.unknown

_1242200860.unknown

_1242200877.unknown

_1242200930.unknown

_1242200835.unknown

_1242199090.unknown

_1242200074.unknown

_1242200452.unknown

_1242200645.unknown

_1242200739.unknown

_1242200617.unknown

_1242200393.unknown

_1242200406.unknown

_1242200359.unknown

_1242199938.unknown

_1242200019.unknown

_1242200057.unknown

_1242199997.unknown

_1242199814.unknown

_1242199885.unknown

_1242199180.unknown

_1241505626.unknown

_1241505774.unknown

_1242195757.unknown

_1242198960.unknown

_1242195635.unknown

_1241505740.unknown

_1241505756.unknown

_1241505726.unknown

_1236419127.unknown

_1236489089.unknown

_1241503258.unknown

_1241503276.unknown

_1241504810.unknown

_1236489239.unknown

_1236489720.unknown

_1236489542.unknown

_1236489147.unknown

_1236488058.unknown

_1236488090.unknown

_1236419673.unknown

_1236417855.unknown

_1236418726.unknown

_1236419042.unknown

_1236417769.unknown