C3-CPpMA-2014

UPB-IMST Controlul Produselor prin Msurare Asistat notie de curs 2014

1

Fig. 2.11 Calibrare palpator

2. CONTROLUL PRODUSELOR UTILIZND TEHNOLOGIA DE MSURARE N COORDONATE (cont.)

2.2.3 Definirea punctului msurat

n momentul n care palpatorul ia contact cu suprafaa msurat, cu ajutorul traductoarelor de deplasare aflate pe fiecare din cele trei ghidaje ortogonale rectilinii ale mainii se realizeaz nregistrarea poziiei centrului sferei de palpare n volumul de lucru al mainii, n raport cu un sistem de referin main XmZmYm definit de cele trei ghidaje ortogonale ale echipamentului (fig. 2.10).

Fig. 2.10. Diagrama vectorial asociat procesului de msurare pe MMC

Pentru a localiza poziia unui punct particular al palpatorului, acesta fiind de regul centrul sferei de palpare, se utilizeaz o operaie de calibrare. Aceast procedur permite definirea unui punct de referin n raport cu sistemul de coordonate main, prin msurarea unei sfere etalon al crei centru este definit n mod unic (fig. 2.11).

Fiecrui punct capturat i sunt asociate dou informaii suplimentare: raza dinamic a sferei palpatorului utilizat i vectorul direciei de palpare. Aceste dou informaii suplimentare permit estimarea coordonatelor punctului de contact dintre palpator i suprafaa real a piesei.

Valoarea razei dinamice a sferei palpatorului este definit printr-o operaie de calificare realizat prin msurarea unui etalon a crui dimensiune este cunoscut, etalon care poate fi o cal plan-paralel, calibru circular de tip inel sau sfer calibrat. Procedura de calificare este utilizat de fiecare dat cnd orientarea palpatorului este modificat sau cnd configuraia sistemului de palpare include mai muli palpatori, maxim 5, n cazul configuraiei de tip stea. Atunci cnd se utilizeaz un singur palpator a crui orientare este unic pe tot parcursul procesului de msurare, procedura de calibrare realizeaz i calificarea palpatorului, obinndu-se att translatarea originii sistemului de referin main n centrul sferei de palpare, ct i determinarea razei dinamice a acesteia.

Sistemul de Referin Main

Sistemul de Referin Pies

Sistemul de Referin al Sistemului de Palpare

brrr prm )(


2

Datorit faptului c suprafaa real nu are o form ideal, punctul real de contact dintre sfera de palpare i suprafaa real msurat este necunoscut. Acesta este estimat printr-un punct calculat denumit punct msurat, punct determinat pe baza coordonatelor cunoscute ale centrului sferei de palpare, direcia vectorului de palpare i raza dinamic a sferei de palpare. Calculul este realizat pornind de la ipoteza c punctul msurat (calculat) Mi se gsete la intersecia dintre dreapta normal la suprafaa ideal asociat mulimii punctelor msurate i sfera de palpare, normala trecnd prin centrul sferei Cj (fig. 2.12). Procedura de calcul a coordonatelor unui punct msurat prezint urmtoarele etape:

1) Asocierea unei suprafee ideale, de form predefinit, care estimeaz cel mai bine punctele capturate prin palparea suprafeei, puncte care reprezint poziii succesive ale centrului sferei de palpare.

2) Calculul versorului in

normal la suprafaa asociat, direcia acestuia fiind ctre

exteriorul materialului. 3) Calculul coordonatelor punctului msurat (estimat) conform relaiei vectoriale:

ijji nrOCOM (2.1)

unde iOM este vectorul de poziie al punctului msurat n raport cu sistemul de

referin definit, jOC este vectorul de poziie al centrului sferei de palpare, iar rj este

valoarea dinamic a razei sferei de palpare.

Din procedura prezentat, se observ c n urma palprii suprafeei reale se obin coordonatele unui punct care exprim centrul sferei de palpare, i nu punctul de contact real cu suprafaa msurat, pentru acesta fiind necesar o operaie de compensare a razei sferei palpatorului. Pentru a reduce erorile de msurare datorate compensrii, conform relaiei (2.1) sunt posibile dou variante: prima const n utilizarea unei sfere de palpare cu diametru ct mai mic posibil. Aceast variant implic dezavantaje legate de rigiditate, de accesul la suprafa i de durabilitatea palpatorului. Cea de-a doua variant const n determinarea cu precizie a normalei la suprafa (fig. 2.13).

Pentru elementele geometrice standard (dreapt, cerc, plan, cilindru, sfer, con), procedura de compensare se realizeaz prin determinarea unui element geometric echidistant cu cel care trece prin poziiile succesive ale centrului sferei palpatorului. n cazul suprafeelor complexe, nedefinite analitic, direcia normalei la suprafa nu se poate calcula n mod direct, corecia razei palpatorului realizndu-se local pentru fiecare punct msurat i

XmYmZm sistemul de referin main XpYpZp sistemul de referin al sistemului de

palpare XwYwZw sistemul de referin pies Cj centrul sferei de palpare j Pj Punct de contact al palpatorului j cu

suprafaa msurat Mi Punct aparinnd suprafeei msurate i

Cj centrul sferei de palpare: punct obinut

prin msurare

Pi punct real de contact: necunoscut

Mi punct msurat = punct calculat de contact:

punct obinut prin compensarea razei sferei

de palpare

ni normala la EG asociat

Pozi-2 Pozi-1

Pozi+1

Element geometric nominal EGN

Element geometric real EGR

Pozi

Element geometric de substituie EGS

Element geometric adiacent EGAd

Fig. 2.12. Definirea punctului msurat i a caracteristicilor asociate

ni

Y

Z

O

rj Mi

Cj

Element geometric ideal asociat EGAs

X


3

nu global, pe baza suprafeei ideale asociate. Direcia normalei se poate estima local prin msurarea suplimentar a nc dou puncte apropiate punctului msurat, cele trei puncte definind astfel un plan a crui normal se poate stabili. Precizia rezultatului este influenat de raza sferei de palpare, care trebuie s fie ct mai mic, i de curbura suprafeei, pentru o curbur ridicat punctele trebuind s fie foarte apropiate.

2.3 Determinarea elementelor geometrice asociate mulimii punctelor msurate

n urma fabricaiei unui reper se obine un model fizic real, bazat pe un model geometric nominal cunoscut. Obiectivul principal al metrologiei tridimensionale const n determinarea parametrilor independeni ai modelului geometric care aproximeaz (substituie) cel mai bine modelul real (efectiv), definit de mulimea punctelor palpate Pi (fig. 2.12). Determinarea modelului geometric asociat mulimii punctelor msurate poate fi privit ca un proces invers fabricrii, deoarece se pleac de la un model fizic real i se dorete obinerea unui model geometric ideal, scopul controlului dimensional i geometric constnd n a evalua abaterile dintre cele dou modele.

Comparativ cu metodele clasice de inspecie, n cazul metrologiei tridimensionale parametrii definitorii ai elementelor geometrice (poziie, orientare, i dimensiune - pentru elementele care posed aceast proprietate) nu sunt determinai n mod direct pe baza coordonatelor punctelor considerate, ci numai n urma unui proces de prelucrare matematic. n urma procesului de prelucrare matematic a punctelor msurate, modelul geometric asociat modelului real este alctuit din elemente geometrice ideale a cror form este identic cu cea a elementului geometric nominal (fig. 2.14).

Mi

n

Suprafa complex

n

Mi

Mi+1

n

rj

rj

Plan Cerc

Mi

Mi+1

Mi+2

Mi+3

Ci Ci

Ci+1

Ci+1

Ci+2

Fig. 2.13. Compensarea razei sferei de palpare pentru diferite elemente geometrice

Element geometric derivat

Element geometric nominal


extras


asociat

Element geometric

real

Element geometric

extras

Element geometric

asociat

Fig. 2.14. Fluxul procesrii datelor n metrologia tridimensional


4

Aceste elemente geometrice poart denumirea de elemente geometrice asociate sau elemente geometrice de substituie i din punct de vedere matematic aproximeaz cel mai bine mulimea punctelor palpate pe o suprafa, funcie de un anumit criteriu de optimizare. Procesul de optimizare necesit crearea unui model matematic, care pe de o parte, trebuie s descrie criteriul de optimizare, iar pe de alt parte, trebuie s exprime i condiiile de variaie a modelului. Criteriul ales pentru optimizare poart denumirea de funcie obiectiv, iar condiiile se numesc restricii sau constrngerile modelului. Modelul astfel obinut se rezolv cu ajutorul a diferite metode de cutare a soluiei, procesul fiind realizat cu ajutorul unor algoritmi de calcul specifici (fig. 2.15).

Rezultatul asocierii unui element geometric ideal unei mulimi de puncte obinute la msurare depinde de urmtorii factori:

numrul parametrilor independeni, sau grade de libertate, care permit elementului geometric s se adapteze mulimii de puncte msurate;

constrngerile suplimentare care se pot impune parametrilor. De exemplu, dac se impune ca orientarea unui cilindru care aproximeaz o mulime de puncte s fie restricionat, iar axa cilindrului s fie perpendicular pe un plan, se va obine un alt rezultat;

algoritmii utilizai i precizia de calcul utilizat, avnd n vedere c modelele matematice pot fi neliniare, obinerea unei soluii necesitnd o liniarizare a modelului, ceea ce introduce erori de aproximare.

2.3.1 Criterii matematice utilizate la determinarea elementelor geometrice de substituie

Conform fig. 2.15, procedura de calcul a elementului geometric de substituie const n utilizarea unei metode de optimizare aplicat unei funcii obiectiv. n cadrul metrologiei n coordonate, forma general a funciei obiectiv const n determinarea parametrilor care minimizeaz norma Lp definit de relaia:

pN

i

p

ip eN

L

1

1

1

(2.2)

unde

p - exponent care poate lua valori n intervalul (1, ); N - numrul de puncte msurate; ei abaterea (distana) dintre punctul msurat Pi i elementul de substituie.

Elementul geometric de substituie este elementul geometric care minimizeaz norma Lp. Ct timp numrul de puncte N este constant, iar exponentul p rmne fixat, se pot omite cei doi parametri, noua funcie obiectiv devenind:

N

i

p

ip eL1

* (2.3)

Puncte msurate

Funcie obiectiv

Metoda de optimizare

x

y

Procedur de calcul a elementului geometric

de substituie

y

x

Element geometric de

substituie

Abatere de form

Fig. 2.15. Procesul de asociere a unui element geometric ideal mulimii de puncte msurate


5

Funcie de valoarea exponentului p, problema de determinare a elementului geometric de substituie se clasific n:

p = 1

problema minimizrii sumei abaterilor absolute dintre punctele msurate i elementul de substituie. n acest caz funcia obiectiv devine:

min1

*

1

N

iieL (2.4)

Elementul geometric ideal rezultat n urma optimizrii acestei funcii obiectiv este cel mai puin influenat de puncte nereprezentative ale suprafeei (defecte minore ale suprafeei) n comparaie cu celelalte criterii.

p = 2

criteriul

Gauss

problema minimizrii sumei ptratelor abaterilor dintre punctele msurate i elementul de substituie. n acest caz problema este cunoscut i ca metoda celor mai mici ptrate sau criteriul Gauss. Funcia obiectiv este:

min1

2*

2

N

iieL (2.5)

Acest criteriu a fost primul implementat n programele mainilor de msurat n coordonate i este nc utilizat, dei nu este n concordan cu standardele de definire a abaterilor geometrice care stabilesc un alt tip de element geometric de referin. n cazul criteriului Gauss, elementul geometric ideal obinut trece prin mijlocul mulimii de puncte, nefiind tangent exterior la profilul sau suprafaa efectiv. Motivul pentru care a fost i este utilizat const n stabilitatea rezultatului obinut. De exemplu, n cazul elementului geometric de tip cerc, soluia este ntotdeauna unic, indiferent de tipul abaterii de la circularitate.

p = criteriul

Cebev

problema

zonei

minime

problema minimizrii abaterii maxime dintre punctele msurate i elementul de substituie. Funcia obiectiv are relaia:

minmaxlim1

iNi

pp

eL (2.6)

Aceast problem este cunoscut i sub denumirea minmax, sau a zonei minime i permite determinarea abaterilor efective de form ale unei suprafee sau profil efectiv n conformitate cu prevederile ISO 1101 i STAS 7384/85 (rectilinitate, forma dat a profilului sau a suprafeei). Problema poate fi transformat ntr-un model matematic cu restricii, ale crui funcii sunt continuu derivabile conform formulrii urmtoare:

Nies

s

i ,...,1,0

)(min (2.7)

unde s = max |ei|, i = 1, ..., N, este schimbarea de variabil utilizat. Determinarea direct a elementului geometric de substituie care definete una din

cele dou frontiere ale zonei de toleran se poate realiza utiliznd urmtoarele dou modele, funcie de poziia elementului n raport cu profilul (suprafaa) efectiv piesei, astfel:

Ni

e

ei

iNi

,...,1,0

)max(min1 (2.8)

dac este tangent exterior sau

Ni

e

ei

iNi

,...,1,0

)max(min1 (2.9)

dac este tangent interior.

problema

elementelor

geometrice

minim

circumcrise

sau maxim

nscrise

n cazul determinrii elementelor geometrice adiacente pentru elementele de tip cerc, cilindru, sfer, modelele matematice a cror rezolvare permit obinerea parametrilor definitorii ai acestor elemente sunt cazuri particulare ale criteriului Cebev. Astfel, fie ri, i = 1,..., N distana de la punctul msurat Mi la axa de simetrie a elementului geometric de substituie. nlocuind n relaiile anterioare abaterea cu raza cercului, cilindrului sau sferei cutate, noile modele matematice pentru problemele de maxim nscris i minim circumscris au urmtoarea formulare: element geometric de substituie maxim nscris, specific pieselor de tip alezaj, conform

modelului:

)min(max1

riNi

(2.10)

sau ca model cu constrngeri


6

Nirs i

s

,...,1,0

)(min (2.11)

unde s = -min |ri|, i = 1, ..., N, este schimbarea de variabil utilizat. Valoarea variabilei (-s) ca soluie a modelului (5.11) corespunde razei elementului geometric de substituie maxim nscris;

element geometric minim circumscris, specific pieselor de tip arbore, conform relaiei:

)max(min,...,1

riNi

(2.12)

sau ca model cu constrngeri

Nirs i

s

,...,1,0

)(min (2.13)

unde s = max |ri|, i = 1, ..., N, este schimbarea de variabil utilizat. Valoarea variabilei s ca soluie a modelului (5.13) corespunde razei elementului geometric de substituie minim circumscris.

Elementele geometrice de substituie obinute pe baza criteriului Cebev, fiind determinate doar n raport cu cteva puncte din mulimea total a punctelor msurate (fig. 2.17), sunt influenate de existena erorilor de msurare aleatoare ntr-o msur mult mai mare comparativ cu criteriul Gauss. De exemplu, pentru determinarea abaterii de la rectilinitate pe baza criteriului Cebev sunt necesare doar 3 puncte din mulimea punctelor iniiale, iar dac fiecare punct msurat are asociat o elips a erorilor soluia final nu va fi unic, se observ n fig. 2.16 dou soluii posibile, deoarece cele trei puncte care contribuie la obinerea soluiei pot diferii de la o msurare la alta. Astfel, precizia rezultatului depinde de numrul de puncte palpate i de distribuia acestora pe suprafa.

Din punct de vedere a valorii abaterii de form efective obinute n urma utilizrii criteriilor prezentate, criteriul Gauss va supraestima aceste abateri n raport cu criteriul Cebev, ntre 15-20%, pentru aceleai condiii de msurare, deoarece ntre cele dou norme exist urmtoarea inegalitate matematic:

LpLL 2 (2.14)

Interpretarea geometric a modele matematice bazate pe criteriul Gauss i Cebev sunt prezentate n fig. 2.17.

AFr1

Fig. 2.16 Influena erorilor de msurare aleatoare asupra determinrii

elementelor geometrice de substituie pe baza criteriului Cebev

AFr2

Criteriul Gauss (metoda celor mai mici ptrate)

Criteriul Cebev (minimax sau zonei minime)

Criteriul celui mai mic element circumscris

Criteriul celui mai

mare element nscris

Fig. 2.17. Criteriile utilizate la determinarea elementele geometrice de substituie (cazul unui element geometric de tip cerc)


7

2.3.2 Determinarea elementelor geometrice de substituie pe baza criteriului Gauss

Algoritmul de obinere a elementelor geometrice de substituie pe baza criteriului Gauss este relativ simpl, comparativ cu utilizarea criteriului Cebev, dar soluia exact nu poate fi obinut n mod direct dac abaterile sunt tratate ca distan euclidian ntre punctul msurat i elementul geometric de substituie. n acest caz, problema celor mai mici ptrate genereaz ecuaii neliniare a cror rezolvare necesit utilizarea unor metode numerice iterative. Pentru a se evita aceast situaie, de obicei se introduc ipoteze simplificatoare elementul este aliniat cu sistemul de coordonate sau aproximri care liniarizeaz problema, cea mai uzual fiind considerarea algebric a distanei datorit rototranslaiei mulimii de puncte msurate.

Dreapta: Ecuaia cartezian a unei drepte n plan poate fi exprimat conform ecuaiei: y = mx + y0 (2.15)

unde m reprezint panta dreptei, iar y0 ordonata n origine.

Obinerea ecuaiei dreptei de regresie care estimeaz cel mai bine mulimea punctelor msurate se poate obine minimiznd urmtoarea funcie obiectiv:

2

1

0,

),(min0

n

i

iiym

ymxyEE (2.16)

Obinerea parametrilor definitorii ai dreptei, m i y0, se realizeaz prin egalarea cu zero a derivatelor pariale ale funciei obiectiv n raport cu cele dou necunoscute. Se obin astfel urmtoarele relaii:

y

n x y x y

n x x

i i ii

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n0

1 11

2

1 1

2

(2.17) sau matricial: 1

2

0

x

x x

y

m

y

x y

i

i i

i

i i

(2.18)

mn

y yn

xi ii

n

i

n

1 1

011

Dndu-se un punct msurat Pi(xi, yi), i = 1, ..., N i distana euclidian di de la acest punct la elementul geometric de substituie, elementul geometric de tip dreapt care estimeaz cel mai bine mulimea de puncte, se poate determina conform relaiei:

2

0

1 m

ymxy iiie

(2.19)

Astfel, conform metodei celor mai mici ptrate, pentru a obine elementul geometric de substituie de tip dreapt trebuie minimizat urmtoarea funcie obiectiv:

2

12

0

, 1),(min

0

n

i

ii

ym m

ymxyEE (2.20)

Y

X

y=c

y=mx+y0

xi, yi

xi, yi

Y X

Fig. 2.18. Estimarea dreptei prin metoda CMMP (LSQ)

n acest caz, se observ c sistemul format de cele dou derivate pariale n raport cu parametrul m


8

i y0 prezint o ecuaie neliniar i una liniar i necesit o metod de cutare iterativ a celor doi parametri. Liniarizarea modelului se poate obine prin schimbarea sistemului de coordonate, rotind

sistemul de coordonate (X, Y) cu unghiul (fig. 2.18). Astfel, noua ecuaie a dreptei va fi: y = c, unde c este o variabil ce cuantific distana fa de axa OX. Transformarea de coordonate din sistemul (X,

Y) n sistemul de coordonate (X, Y) prin rotirea cu unghiul fa de axa Z se realizeaz prin utilizarea urmtoarei relaii matriciale:

x

y

x

y

x y

x y

i

i

i

i

i i

i i

'

'

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

(2.21)

Prin transformarea de coordonate, noua funcie obiectiv ce trebuie minimizat va avea urmtoare form:

n

iii cyx

1

2)cossinmin( (2.22)

care mai poate fi exprimat astfel:

cos

sin

1

)(min

221

2

,,

s

r

sr

csyrxn

iii

csr

(2.23)

Planul: Ecuaia cartezian explicit a unui plan are urmtoarea form: z = z0 + lx + my (2.24)

unde z0 este ordonata n origine fa de axa Z, iar l i m reprezint panta n raport cu cele dou axe X i Y. Determinarea parametrilor l, m i z0, utiliznd metoda celor mai mici ptrate, const n minimizarea sumei ptratelor distanelor dintre punctele msurate i planul de regresie, funcia obiectiv avnd urmtoarea form:

2

1

0

0

),(min,,

n

i

iii mylxzzEEzml

(2.25)

Difereniind (2.25) n raport cu l, m i z0 i egalnd derivatele pariale cu zero se obin trei ecuaii a cror soluie n firm matricial este:

x y

x x y x

x y y y

l

m

z

z

x z

y z

i i

i i i i

i i i i

i

i i

i i

12

2

0

(2.26)

Ca i n cazul elementului geometric de tip dreapt, regresia liniar conform relaiei (5.25) s-a bazat pe calculul distanei pe direcia Z, mrime care difer de calculul distanei ca perpendiculara de la un punct la plan. n acest caz, funcia obiectiv ce trebuie minimizat pentru a obine parametrii care definesc planul de substituie este:

n

i

iii

lm

zmylxzEE

zml 1

2

22

0

01

),(min,,

(2.27)

Difereniind (2.27) n raport cu l, m i z0 i egalnd derivatele pariale cu zero se obin 2 ecuaii liniare i una liniar a cror rezolvare se poate realiza cu metode numerice algoritmul Levenberg-Marquardt.

Cercul: Un cerc aflat n planul XY poate fi definit implicit prin ecuaia: (x-x0)

2 + (y-y0)

2 -r

2=0 (2.29)

unde (x0, y0) este centrul, iar r0 este raza. Abaterea efectiv de la un punct Pi(xi, yi) la cercul estimat, considerat ca distan euclidian, este definit astfel:


9

rrre yyxx iiii 02

0

2

00 )()( (2.30)

Funcia obiectiv ce trebuie minimizat pe baza criteriului celor mai mici ptrate este:

2

1

2

0

2

0

0,

0,

0

0)()(),(min

n

i

iiryx

ryyxxEE (2.31)

Prin egalarea cu zero a derivatelor pariale ale funciei obiectiv (2.31) se obin dou ecuaii neliniare n raport cu parametrii x0, y0 i una liniar n raport cu r0, a cror soluii se pot determina cu ajutorul metodelor iterative de calcul numeric. Aceast problem poate fi simplificat prin introducerea unor aproximri n cadrul modelului matematic. Astfel, prin scrierea ecuaiei cercului n

coordonate polare (fig. 2.19), xi=ri*cosi i yi=ri*sini, funcia obiectiv (2.31) devine:

2

1

0

2200

2

0,

0,

0

sin2cos2),(min

n

i

iiiiryx

ryixiryrxriEE (2.32)

Pe baza ipotezei conform creia centrul cercului estimat (x0, y0) este aproape de originea sistemului de coordonate astfel nct abaterea ei poate fi considerat n sens euclidian (fig. 2.19), pe direcia normalei la cercul de substituie, funcia obiectiv (2.32) se reduce prin aproximri succesive la urmtoarea form liniar:

2

1

000

0,

0,

0

sincos),(min

n

i

iiiryx

ryxrEE (2.33)

Minimizarea funciei obiectiv conduce la urmtoarea soluie matricial:

cos sin cos cos

sin cos cos sin

cos sin

cos

sin

2

2

0

0

1

i i i i

i i i i

i i

i i

i i

i

x

y

R

r

r

r

(2.34)

Cilindrul: Pentru un cilindru sunt definitorii poziia i orientarea, caracterizate de axa de simetrie care trece prin punctul de coordonate (xo, yo, zo) i care are orientarea dat de cosinuii directori (u, v, w) ai axei n raport cu sistemul de coordonate, i raza cilindrului R. Astfel, ecuaia axei de simetrie este:

w

zz

v

yy

u

xx 000

(2.35)

n ipoteza c cilindrul este aliniat cu sistemul de coordonate, se poate considera c z0 = 0 i w = 1. Pentru un punct Pi = (xi, yi, zi), distana euclidian de la acesta la elementul geometric ideal de tip cilindru va fi dat de relaia:

Fig. 2.19 - Estimarea cercului prin metoda celor mai mici

ptrate

cercul celor mai

mici ptrate


10

d

x x uz y y vz v x x u y y

u vRi

i i i i i i

( ) ( )02

0

2

0 0

2

2 21 (2.36)

Pentru a obine ecuaia elementului de substituie de tip cilindru pe baza criteriului celor mai mici ptrate, funcia obiectiv ce trebuie minimizat are urmtoarea form:

2

1,,,0,

0

),(min

n

i

iRvuyx

dEE (2.37)

Difereniind (1.48) n raport cu x0, y0, u, v i R i egalnd derivatele pariale cu zero se obine un sistem de 5 ecuaii, 4 neliniare i una liniar. Pentru a obine liniarizarea problemei se poate scrie ecuaia cilindrului n coordonate polare (fig. 2.20). Astfel, funcia obiectiv devine:

2

1

00,,,

0,

0

sin)(cos)(),(min

n

i

iiiiiRmlyx

mzylzxRrEE (2.37)

axa

cilindrului

cilindrul de substituie

Fig. 2.20. Estimarea cilindrului prin metoda celor mai mici ptrate

Derivnd n raport cu R, x0, y0, l i m se obin trei ecuaii care egalate cu zero conduc la obinerea soluiei generale pentru cilindru: (2.38)

i

iii

iii

ii

ii

iiiiii

iiiiiiiiiiii

iiiiiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

r

zr

zr

r

r

R

m

l

y

x

zz

zzzzz

zzzzz

zz

zz

sin

cos

sin

cos

1sincossincos

sinsincossinsincossin

coscossincoscossincos

sinsincossinsincossin

coscossincoscossincos

0

0

2222

2222

22

22

Sfera: Pentru o mulime de puncte msurate pe un element geometric de tip sfer, definite n

coordonate sferice {Pi(ri, i, i), i=1, 2, ..., n}, funcia obiectiv n raport cu care se estimeaz elementul geometric de substituie pe baza metodei celor mai mici ptrate este:

2

1

000,,

0,

0

)sinsincoscoscos(),(min0

n

i

iiiiiiRzyx

zyxRrEE (2.39)

unde (x0, y0, z0) sunt coordonatele centrului sferei, iar R raza acesteia.

Derivatele pariale, n raport cu x0, y0, z0 i R, egalate cu zero conduc la un sistem de 4 ecuaii a crui soluie n form matricial este: (2.39)

cos cos cos sin cos sin cos cos cos cos

cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin

sin cos cos sin cos sin sin sin

cos cos cos sin sin

2 2 2

2 2 2

2

0

0

0

1

i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i

i i i i i i i i

i i i i i

x

y

z

R

r

r

r

r

i i i

i i i

i i

i

cos cos

cos sin

sin


11

2.3.3 Filtrarea punctelor prin msurare

n general, filtrarea are ca scop diminuarea efectului zgomotului n eantionul de date achiziionat, fiind un proces utilizat frecvent n procesarea semnalelor i a imaginilor. Exist o multitudine de metodologii de filtrare, utilizate n diferite domenii tehnice, i care pot fi aplicate i n cazul metrologiei n coordonate, n cazul msurrii prin scanare.

Un exemplu simplu are fi urmtorul, n care aplicm un filtru asupra unei mulimi de puncte dispuse echidistant pe un profil palpat (msurat).

De exemplu, se consider o mulime de puncte (xi, yi) echidistant dispuse n raport cu axa X. Aplicarea unui filtru simplu, nu neaprat cel optim, prin care se va nlocui valoarea coordonatei Y cu media coordonatelor yi a 3 puncte, punctul final avnd coordonatele (xi+1, yavg(i, i+1, i+2)), va conduce la obinerea unui nou profil cu doar 6 puncte din cele 8 iniiale. Se observ aplatizarea profilului final.

Un alt tip de filtru este cel Gaussian prin care valoarea obinut este calculat statistic cu ajutorul curbei Gauss.

n metrologia n coordonate, utilizarea unui

palpator acioneaz asupra profilului msurat ca un filtru de coordonate. Cu ct diametrul sferei de palpare este mai mare cu att profilul este mai aplatizat.

Funcie de tipul elementului geometric se poate aplica practic fie un filtru de tip linear pentru elemente geometrice liniare (dreapt, plan), sau filtru de tip circular pentru elemente geometrice de tip cerc, cilindru, sfer, con. Dac numrul de puncte msurate nu este suficient de mare atunci aplicarea filtrului va conduce la rezultate mai puin precise. Cu ct mai multe puncte achiziionate cu att mai bun va fi aproximarea profilului.

Setarea filtrului liniar se realizeaz n raport cu parametrul lungime de und (wavelength), parametru care definete numrul de ondulaii de-a lungul lungimii profilului / suprafeei. Frecvenele mai mari dect cea selectat vor fi astfel filtrate. Astfel o valoare mare a acestui parametru, de exemplu 25, va filtra din punctele msurate cele care ar permite definirea rugozitii suprafeei sau a unor ondulaii mici ale suprafeei. n schimb o valoare mic, de exemplu 2.5, va permite evaluarea rugozitii suprafeei.

Setarea filtrului circular se realizeaz n raport cu parametrul UPR ondulaii per rotaie, parametru care definete numrul de ondulaii de-a lungul circumferinei profilului / suprafeei. De exemplu, o valoare selectat egal cu 5 UPR permite evaluarea poziiei entitii i o evaluare relativ bun a abaterii de la circularitate. O valoare de 15 UPR permite o bun evaluare a abaterii de form a elementului geometric. O valoare mai mare sau egal cu 50 UPR permite evaluarea rugozitii suprafeei. Totui alegerea valorii parametrului trebuie corelat cu dimensiuniea acestuia. Un cerc de diametru mare va necesita un filtru cu valoare mare de tip UPR pentru a permite o bun aproxinare a formei profilului.

Ca regul general, numrul minim de puncte trebuie s fie de 10 ori mai mare dect valoarea parametrului utilizat pentru filtru.

Fig. 2.21. Filtru de tipul media a 3

puncte are ca efect aplatizarea profilului (linia punctat)

C3-CPpMA-2014

Documents

Transcript of C3-CPpMA-2014