1

Binomul lui Newton Clasa: a X-a Profesor: Blaga Mirela-Gabriela Tema lecţiei: Binomul lui Newton Tipul lecţiei: de însuşire de noi cunoştinţe Competenţe specifice: C1. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv. C2. Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare. Obiective operaţionale: Până la sfârşitul lecţiei elevii vor fi capabili: O1. Să demonstreze egalităţi şi inegalităţi utilizând binomul lui Newton. O2. Să ştie care este formula binomului lui Newton şi cum să o utilizeze. O3. Să aplice formula binomului lui Newton în calcule. O4. Să cunoască şi să aplice formula termenului general din dezvoltarea binomului lui Newton. Metode şi procedee de instruire: conversaţia, exemplificarea, problematizarea, expunerea, explicaţia, exerciţiul Mijloace de învăţământ: manualul, culegeri, fişe, creta, tabla, laptop Bibliografie: manualul de matematică pentru clasa a X-a (Ed. Mathpress, M. Ganga)

Evenimentele instruirii Activitatea profesorului Activitatea elevilor

Resurse şi strategii didactice

Evaluare

1. Organizarea clasei

Profesorul notează absenţele, face observaţii şi recomandări, dacă este cazul.

Elevii răspund la întrebările puse de profesor, îşi însuşesc observaţiile şi recomandările primite.

2. Verificarea temei

Verifică tema pentru acasă Elevii răspund la întrebările profesorului. Manual, culegeri, conversaţia, exerciţiul, problematizarea, descoperirea

Observarea sistematică a elevilor şi aprecierea verbală

3. Comunicarea titlului lecţiei şi a

Profesorul anunţă titlul lecţiei: „Binomul lui Newton” şi obiectivele ei

Elevii notează titlul lecţiei în caiete. Expunerea

2

obiectivelor operaţionale ale acesteia

4. Desfăşurarea lecţiei

Se trec în revistă formulele permutărilor, aranjamentelor şi combinărilor, precum şi proprietăţile lor. Profesorul propune elevilor să scrie formula pentru 32 )(,)( baba şi li se cere să găsească o modalitate de a calcula 54 )()( basiba . Pe baza a ceea ce au demonstrat, elevii răspund la următoarele întrebări: - ce puteţi spune despre coeficienţii literelor? - ce puteţi spune despre numărul termenilor din fiecare dezvoltare? - ce puteţi spune despre exponenţii literelor? Coeficienţii termenilor extremi şi ai celor egal depărtaţi de extremi sunt egali. Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0. Exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la cel mai mare. Exponentul cel mai mare pentru a şi b este exponentul la care se ridică binomul. În fiecare termen, suma exponenţilor lui a şi b este n. Numărul total de termeni din dezvoltare este de n+1.

Elevii prezintă formulele permutărilor, aranjamentelor şi combinărilor. Răspund întrebărilor profesorului

222 2)( bababa 32233 33)( babbaaba

432234224 464]}[()( babbabaababa 543223455 510105)( babbababaaba

Elevii notează în caiete concluziile:

3

Are loc următoarea Teoremă Fie, *,, NnRba . Atunci:

nnn

kknkn

nn

n

baC

baCbaCba0

00 .........)(

cunoscută sub denumirea de „Binomul lui Newton”. Demonstraţia prin metoda inducţiei matematice le revine elevilor. Profesorul face câteva precizări privind formula lui Newton: Coeficienţii nkC k

n ,...,2,1, se numesc coeficienţi binomiali ai dezvoltării şi sunt în număr de n+1. A se face distincţie între coeficientul binomial al unui termen şi coeficientul numeric al acestuia. Un rol important în rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton îl are termenul general:

kknknk baCT

1 Profesorul propune spre rezolvare următoarea aplicaţie: Calculaţi 6)21( x folosind formula lui Newton. După ce aţi dezvoltat binomul completaţi: a) ..........4 T

Demonstraţie: Verificarea s-a realizat prin exemplele anterioare. )1()( nPnP

1011

11

0101 .........)(:)1(

nn

n

kknkn

nn

n

baC

baCbaCbanP

1011

11

0101

11

2110011

0100

00

.....

....)(:)1(

......

.....

.....).....

....)(())(()1(

nnn

kknkn

nn

n

nnn

kknkn

nn

nn

nnn

kknkn

nn

nn

nnn

kknkn

nn

n

baC

baCbaCbanP

bCbaC

baCbaCbaCbaC

baCbaCbaCbaC

baCbababanP

Elevii notează în caiete enunţul problemei. Elevii ies la tablă şi rezolvă exerciţiul propus:

6 2 3 4 5 61 2 3 4 5 66 6 6 6 6 6

33 34 6

23 6

4 45 6

1 1+2x =1+C 2x+C 2x +C 2x +C 2x +C 2x +C 2xAstfel:

a) T=C 2x =160x

b) coeficientul binomial al termenului T este C =15

c) coeficientul termenului T este C 2 =240d) termenul liber est

1

55 5 56 6

9

e T=1

e) termenul care conţine x este T C 2x 192x

e) nu există termen care conţine x

4

b) coeficientul binomial al lui 3Teste........ c) coeficientul lui 5T este......... d) termenul liber al dezvoltării este..... e) Termenul care-l conţine pe 5x este....... f) Termenul care-l conţine pe 9x este.......

5

4

3

4

Calculaţi z= y-i folosind formula lui Newton şi răspundeţi la următoarele întrebări:a) T =..................b) coeficientul binomial al lui T este...........c) coeficientul lui T este.....

2

.....d) Re z =.......

e) Im z =............

82

3

6

1

2 Fie binomul x + . Să se determine:x

a) Termenul al treilea al dezvoltării.b) Termenul din mijloc.c) Rangul termenului ce conţine pe x .d) Termenului ce conţine pe x .e) Termenul liber din d

3

ezvoltare.

nu dezvoltaţi binomul!

5 2 3 4 55 1 4 2 3 3 2 4 55 5 5 5 5

5 5 1 4 2 3 3 2 4 55 5 5 5 5

3 44 5

23 5

2 y i =y +C y i +C y i +C y i +C y i +C i

y i =y C y i C y +C y i+C y C i

În concluzie:a) T =C y i

b) coeficientul binomial al termenului T este C =10c) coeficientul terme

34 5

5 3

4 2

nului T este C i=10id) Re z y 10y +5y

e) Im z 5y +10y 1

k8 kk 2

k+1 8 3

28 22 2 6

3 2+1 8 3

5

2 3 Temenul general este: T =C x , k 0,1,...,8x

2a)Luăm k=2 şi obţinem T =T =C x =112xx

b) Cum n=8 înseamnă că dezvoltarea are 9 termeni şi

termenul din mijloc este T

48 44 2 4

4+1 8 3

6k+1

k8 k 2 8 k2 6 3k 6

33

2=T =C x =1120x .x

c) Pentru a găsi termenul care conţine x folosim din formula lui Tfactorul x cu exponentul său:

1x =x x x =x 16 5k=6 k=2 T.x

d) Repetăm raţiona

16 5k 14

16 5k 0

mentul şi găsim x =x k=3 T 448x.

e) Analog x =x 16 5k=0 k Nu există termen liber.

�

5

5. Obţinerea performanţei

Profesorul propune spre rezolvare următorul exerciţiu, elevii având la dispoziţie 5 minute pentu a-l rezolva: Să se determine *Nn ştiind că al zecelea termen al dezvoltării binomului nn)3( este cel mai mare dintre termenii dezvoltării.

Elevii rezolvă exerciţiul propus de profesor şi discută soluţia.

6. Tema pentru acasă

Profesorul anunţă tema pentru acasă.

Elevii îşi notează tema

10

10 9 10 11

8 n 8 8 9 n 9 9n n10 n 10 10 9 n 9 9n n

4 Termenul T este cel mai mare al dezvoltării dacă T T şi T T sau echivalent cu sistemul

C 3 n C 3 n , unde n 10,n

C 3 n C 3 n

3 n n 4+ 43,n 8 9n 3

10 n 9

�

9 201 9+ 201n , 2 2

9+ 201n 4+ 43, 11 n 112

�

�

�