Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

of 31 /31
Material didactic pentru lecţia: Binomul lui Newton” Prof. Cristina Ocean Colegiul National Gheorghe Sincai

Transcript of Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

Page 1: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

Material didactic pentru lecţia:

“Binomul lui Newton”

Prof. Cristina Ocean

Colegiul National Gheorghe Sincai

Page 2: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

2

cuprins

• Scopul lecţiei – Verificarea temei(1)

– Verificarea temei(2)

• Formula lui Newton – Demonstrarea teoremei

– Despre formulă (1)

– Despre formulă (2)

• Aplicaţie 1

• Răspuns 1

• Aplicaţie 2

• Răspuns 2

• Aplicaţie 3

• Răspuns 3

• Aplicaţie 4

• Răspuns 4

• Aplicaţie 5

• Răspuns 5

• Identităţi • Aplicaţie 6

• Răspuns 6

• Aplicaţie 7

• Răspuns 7

• Test

• Temă

Page 3: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

3

Binomul lui Newton

n

Scopul lecţiei:

Prezentarea formulei pentru a+b , a,b şi n .

Găsirea proprietăţilor pentru coeficienţii termenilor

din dezvoltarea acestui binom.

Aplicaţii.

Page 4: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

4

Verificarea temei:

2 3

4 5

2 2 2

3 3 2 2 3

24 2 2 2 3

4 3 2 2 3 4

1 Scrieţi formulele pentru: a+b , a+b , găsiţi

o modalitate de a calcula a+b şi calculaţi a+b .

Răspuns :

a+b =a +2ab+b

a+b =a +3a b+3ab +b

a+b a+b a+b a+b a+b a+b

a +4a b+6a b +4ab +b

a+b

5 5 4 3 2 2 3 4 5=a +5a b+10a b +10a b +5ab +b .

Page 5: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

5

Ce puteţi spune

despre

coeficienţii

literelor?

Ce puteţi spune

despre numărul

de termeni din

fiecare

dezvoltare?

Ce puteţi spune

despre

exponenţii

literelor?

Răspundeţi la

următoarele

întrebări:

Page 6: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

6

Răspunsuri:

Coeficienţii termenilor extremi şi ai celor egal

depărtaţi de termenii extremi sunt egali.

Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0.

Exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la

cel mai mare.

Exponentul cel mai mare pentru a şi pentru b este

exponentul la care se ridică binomul.

Numărul de termeni din dezvoltare depăşeşte cu 1

exponentul la care se ridică binomul.

Page 7: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

7

Verificarea temei:

k

n

k

n

k

n

2 Calculaţi numerele C în situaţiile:

a) n 1; b) n 2; c) n 3; d) n 4; e) n 5.

Răspuns :

n!Folosind formula combininărilor C n k, n,k şi

k! n k !

utilizând formula combinărilor complementare C

n k

n

0 1

1 1

0 1 2

2 2 2

0 1 2 3

3 3 3 3

0 1 2 3 4

4 4 4 4 4

1 1

1 2 1

C obţinem:

C , C

C , C , C

1 3 3 1

1

C , C , C , C

C , C 4 6 4 1, C , C , C

0 1 2 3 4 5

5 5 5 5 5 5 C , C , C ,1 5 C , 10 10 5 1C , C

Page 8: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

Elena-EugeniaCimpoeru 8

Legat de a doua problemă din temă observăm următoarele:

k

n

Coeficienţii din dezvoltare sunt chiar numerele

obţinute calculând C în situaţiile din temă:

a) n 1; b) n 2; c) n 3; d) n 4; e) n 5, anume:

a)

b)

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5

c)

d)

e)

Astfel gr

1

upate se observă o modalitate de calcul a acestor

numere din aproape în aproape ( triunghiul lui Pascal).

Page 9: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

9

Formula lui Newton

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n 1 n 1 n n

n n n n n na+b =C a +C a b+C a b +..... + C a b +.....+C ab

Are loc următoarea:

Teoremă a binomului . Fie a,b , n . Atunci :

cunoscută sub denumirea de formula lui Newton.

Isaac Newton m t

+C

a

b

ematician, astronom, fizician englez 1643-1727 .

Demonstraţie cu metoda inducţiei matematice:

Etapa I. Verificare: P 1 : ...munca independentă...

Page 10: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

10

Demonstrarea teoremei:

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n

n n n n n

1 0 1

1 1

n+1 0 n+1 1 n k n+1 k k n+1 n+1

n+1 n+1 n+1 n+1

Fie P n : a+b =C a +C a b+C a b +.....+ C a b +.....+C b ,n .

I. Verificare: P 1 : a+b =C a+C b ;

II. P n P n+1 :

P n+1 : a+b =C a +C a b+.....C a b +.....+C b

P n+1 :

A

?

0

1n+1n +1 n +1

n 0 n 1 n 1 k n k k n n

n n n n

0 n+1 1 n k n k+1 k n n 0 n 1 n 1 2

n n n n n n

k n k k+1 n n+1

n n

n+1 0 n+1 1 0 n 2 1

n n n n n

CC C

a+b a+b = a+b C a +C a b+.....+C a b +.....+C b =

=C a +C a b+....+C a b +...+C b +C a b+C a b +.....+

+C a b +.....+C b

a+b = C a + C +C a b+ C +C

n+12 n+1

n 1 2 n n n+1

n n

C

a b +....+C C b

Conform principiului inducţiei matematice rezultă că P n este adevărată n .

A .

Page 11: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

11

Precizări privind formula lui Newton:

0 1 k n

n n n n Coeficienţii C , C , ...C ,...,C se numesc

şi sunt în număr de n +1

A se face distincţie între coeficientul binomial al unui termen şi

coeficienţi binomiali

ai dezvoltării

coeficientul nu

1)

meri

.

0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n

1 n 2 n 3 n n+1 n

0 2 4

n n n

al acelui termen!

Cei n+1 termeni sunt:

T =C a , T =C a b, T =C a b ,...., ,....,T =C b .

Numerele naturale C , C , C ... se numesc

coeficienţi binomiali de rang imp

k n-k k

k+1 n

c

T =

2)

3)

a b

C

1 3 5

n n nar, iar numerele C , C , C ....

se numesc coeficienţi binomiali de rang par.

În formula lui Newton exponenţii puterilor lui a descresc

de la n la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de l

4)

a 0 la n.

Page 12: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

12

Precizări privind formula (continuare):

0 n 1 n 1 2 n 2 k n k

n n n n n n n n

Coeficienţii binomiali ai termenilor extremi şi cei ai termenilor egal depărtaţi

de termenii extremi sunt egali: C =C , C =C , C =C , .... , C =C .

Dacă exponentul puterii e

5)

6)

0 1 2 k k+1 n

n n n n n n

ste par n=2k atunci dezvoltarea are 2k+1 termeni,

iar termenul din mijlocare coeficientul binomial cel mai mare:

C C C .... C C .... C

0

n

.

Dacă exponentul puterii este impar n=2k+1 atunci dezvoltarea are 2k+2

termeni şi există doi termeni la mijlocul dezvoltării cu coeficienţii binomiali

egali şi de valoare cea mai mare: C

1 2 k k+1 k+2 n

n n n n n nC C .... C =C C .... C .

Un rol important în rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton

îl joacă de rang k+1:

7

termenul general

)

k n-k k

k+1 nT = C a b , k ∈ 0,1,2,....,n

Page 13: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

13

Aplicaţie:

Formula

6

4

3

1 Calculaţi 1+2x folosind formula lui Newton.

După ce aţi dezvoltat binoamul cu ajutorul formulei completaţi:

a) T =................

b) coeficientul binomial al lui T este..........

c) coefi 5

5

9

cientul lui T este..............

d) termenul liber al dezvoltării este..............

d) termenul care conţine x este................

e) termenul care conţine x este................

Page 14: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

14

Răspuns:

6 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6

33 3

4 6

2

3 6

4 4

5 6

1 1+2x =1+C 2x+C 2x +C 2x +C 2x +C 2x +C 2x

Astfel :

a) T =C 2x =160x

b) coeficientul binomial al termenului T este C =15

c) coeficientul termenului T este C 2 =240

d) termenul liber est

1

55 5 5

6 6

9

e T =1

e) termenul care conţine x este T C 2x 192x

e) nu există termen care conţine x

Formula

Page 15: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

15

Aplicaţie:

5

4

3

4

Calculaţi z= y-i folosind formula lui Newton

şi răspundeţi la următoarele întrebări:

a) T =..................

b) coeficientul binomial al lui T este...........

c) coeficientul lui T este.....

2

.....

d) Re z =.......

e) Im z =............

Formula

Page 16: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

16

Răspuns:

5 2 3 4 55 1 4 2 3 3 2 4 5

5 5 5 5 5

5 5 1 4 2 3 3 2 4 5

5 5 5 5 5

3 4

4 5

2

3 5

2 y i =y +C y i +C y i +C y i +C y i +C i

y i =y C y i C y +C y i+C y C i

În concluzie:

a) T =C y i

b) coeficientul binomial al termenului T este C =10

c) coeficientul terme

3

4 5

5 3

4 2

nului T este C i=10i

d) Re z y 10y +5y

e) Im z 5y +10y 1

Formula

Page 17: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

17

Aplicaţie:

8

2

3

6

1

2 Fie binomul x + . Să se determine:

x

a) Termenul al treilea al dezvoltării.

b) Termenul din mijloc.

c) Rangul termenului ce conţine pe x .

d) Termenului ce conţine pe x .

e) Termenul liber din d

3

ezvoltare.

nu dezvoltaţi binomul!

Termen general

Page 18: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

18

Răspuns:

k8 k

k 2

k+1 8 3

28 2

2 2 6

3 2+1 8 3

5

2 3 Temenul general este: T =C x , k 0,1,...,8

x

2a) Luăm k=2 şi obţinem T =T =C x =112x

x

b) Cum n=8 înseamnă că dezvoltarea are 9 termeni şi

termenul din mijloc este T

48 4

4 2 4

4+1 8 3

6

k+1

k8 k 2 8 k2 6 3k 6

33

2=T =C x =1120x .

x

c) Pentru a găsi termenul care conţine x folosim din formula lui T

factorul x cu exponentul său:

1x =x x x =x 16 5k=6 k=2 T .

x

d) Repetăm raţiona

16 5k 1

4

16 5k 0

mentul şi găsim x =x k=3 T 448x.

e) Analog x =x 16 5k=0 k Nu există termen liber.

Termen general

Page 19: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

19

Aplicaţie:

*

n

4 Să se determine n N ştiind că al zecelea termen

al dezvoltării binomului 3 + n este cel mai mare

dintre termenii dezvoltării.

Termen general

Page 20: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

20

Răspuns:

10

10 9 10 11

8 n 8 8 9 n 9 9

n n

10 n 10 10 9 n 9 9

n n

4 Termenul T este cel mai mare al dezvoltării dacă

T T şi T T sau echivalent cu sistemul

C 3 n C 3 n , unde n 10,n

C 3 n C 3 n

3 n n 4 + 43,

n 8 9

n 3

10 n 9

9 201 9 + 201n ,

2 2

9 + 201n 4 + 43, 11 n 11

2

Termen general

Page 21: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

21

Aplicaţie:

100

3Fie binomul 2 + 3 .

a) Determinaţi numărul de termeni din dezvoltare.

b) Aflaţi câţi termeni raţionali are dezvoltarea.

c) Câţi termeni iraţionali are dezvoltarea?

5

Termen general

Page 22: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

22

Răspuns:

1003

100 k kk 3

k+1 100

k+1

5 a) Binomul 2 + 3 are în dezvoltare 101 termeni.

b) Formula temenului general este:

T C 2 3 , k 0,100.

2 100 k 2 kT 6 k k 0,6,....,96

3 k 3 k

sau se mai scrie k 0,6 1 ,6 2 ,6 3 ,...

., 6 16

există 17 termeni raţionali.

c) În concluzie sunt 101 17 84 termeni iraţionali.

Termen general

Page 23: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

23

Identităţi în calculul cu combinări

n

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n 1 n 1 n n

n n n n n n

Utilizând formula lui Newton de dezvoltare a binomului a + b

a+b =C a +C a b+C a b +.....C a b +.....+C ab +C b ,

se pot deduce câteva identităţi interesante în care intervin coeficinţii

n 0 1 2 n 1 n

n n n n

n

n2 C + C + C + .

binomiali.

Particularizând în formula lui Newton a b 1 găsim:

Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării este 2

În aceeaşi formulă a lui Newto

.... + C + C

n

n0 1 2 n

n n n n0 C C

luân

+ C .....

d a 1 şi b 1 obţinem:

Suma alternantă a coeficienţilor binomiali este

1 C

0

Page 24: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

24

Identităţi în calculul cu combinări

(continuare)

n 0 1 2 n 1 n

n n n n n

n0 1 2 n

n 1 0 2 4 6

n n n n

n 0 2 4 6

n n

n

n n

n n n

Adunând cele două sume membru cu membru obţinem:

2 C + C + C + ..... + C + C

0 C C + C ..... 1 C

2 2

2

C + C + C + C + .

C

.... sau

Suma coeficienţilor

+ C + C + C + ....

n

n 1 1 3 5 7

n

1

n 1 3 5 7

n n n n

n 1

n n n

binomiali de rang impar este 2

Scăzând cele două sume obţinem:

2 2 C + C + C + C + ..... sau

Suma coeficienţilor binomiali de rang

2 C + C + C + C

par est

+ ...

e

.

2

Page 25: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

25

Aplicaţie:

1 2 3 n

n n n n n

k k 1

n n 1

k n k

n n

6 Să se calculeze suma:

S C + 2C + 3C +.....+ nC .

a) utilizând egalitatea kC nC

pentru n,k , n k;

b) utilizând formula combinărilor complementare:

C C pentru n,k , n k;

Suma

Page 26: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

26

Răspuns:

k

n

k 1

n 1

0 1 2 n 1

n

0 1 2 n 1 n 1

n 1 n 1 n 1 n 1

n 1 n 1 n 1 n 1

a) Demonstrarea formulei:

n n 1 !n!kC k k

k!. n k ! k k 1 ! n k !

n 1 !n nC

k 1 ! n k !

Astfel suma se rescrie:

S nC + nC + nC + .... + nC

n C + C + C + .... + C 2n

Suma

Page 27: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

27

Răspuns (continuare):

n

k n k

n n

n 1 n 2 n 3 1 0

n n n n n n

0 1 n 3 n 2 n 1

n n n n n

n

b) Rescriem suma S utilizând formula combinărilor

complementare, C C şi se obţine:

S C + 2C + 3C +.....+ n 1 C + nC

nC + n 1 C +....+ 3C + 2C + C .

Adunăm cele două sume:

S

1 2 n

0 1 2 n 2 n 1 n

n n n n n n

2 n 1 n

n n n n n

0 1 2 n 2 n 1

n n n n n n

n

n

C + 2C + ...+ n 2 C + n 1 C + nC

S nC + n 1 C + n 2 C +...........+ 2C +

C + C + C + ..............

..

+ C

.+ C

+

2S n

2S n

C + C

nn 1

nS 22 n

Suma

Page 28: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

28

Aplicaţie:

k k+1

n n+1

1 2 n

0 n n n

n n

7 Să se demonstreze egalitatea

C C pentru n,k , n k

k +1 n +1

şi apoi să se calculeze suma:

C C CS C + + + ..... +

2 3 n +1

Suma

Page 29: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

29

Răspuns:

kknn

k +1k +1 n +1n +1

1 2 n0 n n n n

n n

Demonstrarea formulei:

C 1 1 n! n! n +1C

k +1 k +1 k +1 k! n k ! k +1 ! n k ! n +1

n +1 ! 1 1 CC .

k +1 ! n k ! n +1 n +1 n +1

Cu această formulă rescriem fiecare termen al sumei

C C C CS C + + + ..... +

2 3 n +1

7

1 2 n +1

+1 n +1 n +1

1 2 3 n +1

n +1 n +1 n +1 n

0 1 2 3 n +1

n +1 n +1 n +1 n +1 n

+1

n +

+1

1

C C+ + .... +

n +1 n +1 n +1

1C + C + C + .

C + C + C + C + .... + C

... + Cn +1

1 12 1

n +1 n +1

1

Suma

Page 30: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

30

Test

14

31Fie binomul x , x 0.

x

Câţi termeni are dezvoltarea?

Care este rangul termenului din mijloc?

Care este suma coeficienţilor binomiali ai acestui binom?

Folosind formul termenului general,

1)

2)

3)

k n k k

k+1 n

2

T =C a b aflaţi:

Rangul termenului care conţine pe x .

Câţi termeni raţionali are dezvoltarea?

4)

5)

Page 31: Prezentarea lecţiei “Binomul lui Newton”

31

Temă

n

3

5

1Să se afle termenul dezvoltării binomului x x + care

x

îl conţine pe x dacă suma coeficienţilor binomiali este 128.

1)

2)

n

2 2Se consideră dezvoltarea x , x , n .

x

Să se determine n astfel încât suma coeficienţilor primilor

trei termeni

a)

4

ai dezvoltării să fie 97.

Pentru n=8 verificaţi dacă există un termen care-l conţine pe x .

Pentru n=80 aflaţi suma coefic

b)

c)

n

n

ienţilor dezvoltării.

Să se scrie numărul complex z 1+ i sub forma trigonomtrică

şi apoi să se clculeze z cu formula lui Moivre;

Să se dezvolte 1+ i după formula lui Newton;

Egalând egalităţil

3) a)

b)

c)

n n

0 2 4 6 1 3 5 7

n n n n n n n n

e de la a) şi b) să se deducă egalităţile:

n nC C + C C + ..... 2 cos şi C C + C C + ..... 2 sin

4 4