Bazele Fizicii Teoretice

De ce Mecanica Analitica ?Descrierea unificata a tuturor fizicilor clasice (necuantice), a chimiei, ingineriei etc.

- mecanica cereasca (miscarea stelelor, planetelor, satelitilor)

- fizica plasmei

- dinamica moleculara

- mecanica (& electricitate) ing.

Este o infrastructura puternica pentru dezvoltarea Mecanicii CuanticeEste o infrastructura puternica pentru dezvoltarea Mecanicii Cuantice

CONŢINUTUL CURSULUI

1.SISTEME DE PUNCTE MATERIALE: Legături, Principiul II al dinamicii pentru SPM, Teoreme de variaţie ale cantităţii de mişcare, moment cinetic, energie cinetică.2.ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ:Coordonate generalizate, Principiul lui d’Alambert, Ecuaţiile lui Lagrange (mişcarea liniară, mişcarea unei particule incărcate electric in câmpuri electrice şi magnetice staţionare, funcţia lui Lagrange pentru un sistem de referinţă neinerţial).3.ECUAŢIILE HAMILTON: Expresia ecuaţiilor Hamilton, Proprietăţile funcţiei Hamilton, Parantezele Poisson.4.ECUAŢIA HAMILTON-JACOBI:. Expresia ecuaţiei Hamilton-Jacobi, Transformări canonice, Ecuaţia Hamilton-Jacobi pentru sisteme conservative. 5.APLICAŢII ALE SISTEMULUI LAGRANGIAN IN MECANICA SISTEMELOR DISCRETE DE PUNCTE MATERIALE: Problema celor două corpuri, Mişcarea in câmp central, Problema lui Kepler, Mişcarea in câmp gravitaţional 6.CIOCNIRILE PARTICULELOR, OSCILAŢII:: Dezintegrarea particulelor, Ciocniri elestice ale particulelor, Imprăştierea particulelor, Formula lui Rutherford, Teoria micilor oscilaţii, Oscilaţii amortizate, Oscilaţii forţate, Micile oscilaţii ale sistemelor cu mai multe grade de libertate, oscilaţii anarmonice, Rezonanţa parametrică.

7. SOLIDUL RIGID: Mişcarea de translaţie şi de rotaţie a solidului rigid,

Mişcarea solidului rigid cu punct fix.

Bibliografia obligatorie:Bibliografia obligatorie:

“Mecanica” L.D. Landau, E.M. Lifşiţ, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1966“Mecanica teoretica” C. Iacob, Ed. Did. si Ped. Bucure;ti, 1971“Mecanica analitica si a mediilor deformabile” Merches, L. Burlacu, Ed. Did. si Ped. Bucure;ti, 1983“Mecanică analitică şi aplicaţii” S. Filip, A. Marcu, Ed. Univ. Oradea, 2002”Problems in Theoretical Physics”L.G. Sugakov, MIR, Moscow 1977.“Problems in Theoretical Physics” L.G. Grechko, MIR, Moscow, 1977 “Culegere de probleme de Mecanica Analitică” L. Burlacu, D.G. David, Univ.Bucuresti, 1988“ Introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics “,A.J. Brizard, Saint Michael’s College,Colchester, 2003

Bibliografia opţională:

‘Advanced Classical Mechanics’, S.G. Rajeev, Univ.Rochester Spring, 2000.‘Classsical Mechanics’, Haret C. Rosu, Leon, Guajanato, Mexico,1999 http://arXiv.physics/9909035 v1 19 sept.1999Los Alamos Electronic Archives : physics/9909035‘Calculus of Variations and Applications’, Lecture Notes, A. Cherkaev, 2002‘Lecture Notes on the Dynamics and Particles and Rigid Bodies’, Oliver M. Reilly, Berkeley, California 97420-1740, 2004 oreilly@me.berkely.edu‘Methodsof mathematical physics I’, Michael Stone, Univ. of Illiois, 1110 West Green Str. Urbana, IL 61801, USA, 2004‘Mechanics of Manipulation’, Mat Mason, 2004 http://www.cs.cmu.edu/~mason

Istoric

Sec.16,17 GalileoGalileo NewtoNewton n LeibnitzLeibnitz

BernoulliBernoulli

Cinematica particulelorCinematica particulelorVectorii forta si impulsVectorii forta si impuls GravitatiaGravitatia Calculul variationalCalculul variational

Sec.18 EulerEuler

LagrangeLagrange

Descrierea Spatiului ConfiguratiilorDescrierea Spatiului Configuratiilor

EnergiaEnergiaPrincipii variationalPrincipii variationalee

Sec.19 HamiltonHamilton

MaxwellMaxwell

BoltzmannBoltzmann

GibbsGibbs

Descrierea Spatiului FazelorDescrierea Spatiului Fazelor

ElectrodinamicaElectrodinamica

SimetrieSimetrie

Sec.20PoincarePoincare

EinsteinEinstein

NoetherNoether

LandauLandau

KolmogorovKolmogorov

IntegrabilitateIntegrabilitate

Mecanica StatisticaMecanica Statistica

Teoria sistemelor DinamiceTeoria sistemelor Dinamice

HaosHaos

Sec.21 Se pare ca este randul vostru!!!Se pare ca este randul vostru!!!

-SimulareSimulare

-VizualizareVizualizare -ComplexitateComplexitate

-BiodinamiciBiodinamici

?

Leonhard Euler 1707 Basel – 1783 St.PetesburgLeonhard Euler 1707 Basel – 1783 St.PetesburgMechanica Mechanica 1736-37 pentru 1736-37 pentru prima data se face o prima data se face o prezentare a dinamicii prezentare a dinamicii Newtoniene in for-malismul Newtoniene in for-malismul analizei matematiceanalizei matematice

Contributii importanteContributii importante

1.1.Mecanica mediilor Mecanica mediilor continuecontinue2.Teoria miscarii Lunii 2.Teoria miscarii Lunii (Clairaut)(Clairaut)

3.Elasticitate, Acustica, Hdraulica3.Elasticitate, Acustica, Hdraulica

4.Teoria ondulatorie a luminii4.Teoria ondulatorie a luminii

Theory of the Motions of Theory of the Motions of Rigid BodiesRigid Bodies 1765 1765

Joseph-Louis Lagrange 1736-1813Joseph-Louis Lagrange 1736-1813

1788 Mecanique Analytique1788 Mecanique Analytique

Contributii importanteContributii importante

1. Calculul variatiilorCalculul variatiilor

2. Calculul probabilitatilor2. Calculul probabilitatilor 3. Propagarea 3. Propagarea sunetuluisunetului

4. Studiul corzilor vibrante4. Studiul corzilor vibrante

6.Teoria orbitelor6.Teoria orbitelor

7.Teoria numerelor7.Teoria numerelor

5. Integrarea ecuatiilor diferentiale5. Integrarea ecuatiilor diferentiale

Sisteme simpleSisteme simpleTeorie perfectaTeorie perfecta NewtonNewton

Sisteme realeSisteme reale Cresterea ComplexitatiiCresterea Complexitatii

•Ecuatii vectoriale care sunt dificil de controlatEcuatii vectoriale care sunt dificil de controlat•ConstrangeriConstrangeri•Inexistenta unor proceduri generaleInexistenta unor proceduri generale

• Eliminarea constrangerilorEliminarea constrangerilor• Utilizarea energiilor cinetice si potentiale Utilizarea energiilor cinetice si potentiale in rezolvarea miscariiin rezolvarea miscarii• Standardizarea formei ecuatiilorStandardizarea formei ecuatiilor

Propunerea LagrangePropunerea Lagrange

Mecanica AnaliticaMecanica Analitica

Teorema cantitatii de miscare pentru un SPMTeorema cantitatii de miscare pentru un SPM

P1

P2P3

Pn

Pi

FFjiji

FFijij j

ijF rezultanta tuturor forţelor interioare

iR rezultanta forţelor exterioare ce acţionează asupra fiecărui punct material

j

ijii

i FRdt

rdm

2

2

i i j

ijii

ii FR

dt

rdm

2

2

i

i

i dt

rdmP

Rdt

Pd

i

iRR

.constvmdt

rdmP i

ii

i

ii 0R

Teorema momentului cinetic pentru un SPMTeorema momentului cinetic pentru un SPM

i i j

ijiii

i

i

ii FrRrdt

vdmr

0i j

iji Fv conform principiului acţiunii şi reactiuniiconform principiului acţiunii şi reactiunii

i

iii vmrL momentul cinetic total al sistemului de puncte materialemomentul cinetic total al sistemului de puncte materiale

i

ii RrM vectorul moment rezultant al forţelor exterioarevectorul moment rezultant al forţelor exterioare

Mdt

Ld 0M

.constvmrL i

ii

Teorema energiei cinetic epentru un SPMTeorema energiei cinetic epentru un SPM

i j

iijii

iii

ii rdFrdRrd

dt

vdm

i

iiext rdRdL

i j

iij rdFdLint

Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare

Lucrul mecanic elementar al forţelor interioare Lucrul mecanic elementar al forţelor interioare

i iiii

i

iii

i

i vmddtvdt

vdmrd

dt

vdm 2

2

1

int2

2

1dLdLvmd ext

iii

i

iivmT 2

2

1intdLdLdT ext

.0 constTdT

CONSTRANGERICONSTRANGERISistemele naturale implica existenta unor “legaturi” (constangeri) Sistemele naturale implica existenta unor “legaturi” (constangeri) prin care PM sunt obligate a se misca pe curbe sau suprafete (z=0; prin care PM sunt obligate a se misca pe curbe sau suprafete (z=0; xx22+y+y22=R=R22).).Constrangerile sunt restrictii cinematice ale posibilitatilor de Constrangerile sunt restrictii cinematice ale posibilitatilor de miscare ale particulelor unui sistem si se exprima prin intermediul miscare ale particulelor unui sistem si se exprima prin intermediul unor relatii saclare de forma:unor relatii saclare de forma:

nimjtrr iij ,...2,1;,...2,1;0),,(.

Existenta constrangerilor duce la mari complicatii in Existenta constrangerilor duce la mari complicatii in rezolvarea problemelor si de aceea :rezolvarea problemelor si de aceea :-pot fi pur si simplu eliminatepot fi pur si simplu eliminate-se lucreaza cu ele in mod direct (multiplicatorii Lagrange)se lucreaza cu ele in mod direct (multiplicatorii Lagrange)

Tipuri de constrangeri:Tipuri de constrangeri:Olonome (holos=integral) nu depind de viteze

nimjtrij ,...2,1;,...2,1;0),(

n = numarul PM din sistem

m = numarul constrangerilor

Scleronome (nu depind explicit de timp)-fixate

Reonome (depind explicit de timp)

0)( ij r

0),( trij

miscarile se efectueaza fara frecare, lucrul mecanic este nul

miscari pe curbe sau suprafete mobile, fortele de reactiune produc lucru mecanic

Exemple: Penddulul canonic

Coord. Carteziene

n =3= (x,y,z) m = 1 (x2+y2+z2=L2) NGL = n-m =2

Coord. Sferice

n = 3=(r, θ, φ)m =1 , r = L NGL = n-m =2

Pendulul dublun =6= (x1 ,y1 ,z1) (x2 ,y2 ,z2)m =4 z1=0 z2=0 x1

2+y12 = l1

2

(x2-x1)2+(y2-y1)2 =l22

NGL = n-m =2

(θ, φ)

(φ1 , φ2)

Cd. ca un sistem sa poata efectua o miscare este m<3n

Spatiul Configuratiilor (Figurativ)

Dificultati induse de prezenta constrangerilor:1. Razele vectoare nu mai sunt toate independente datorita ecuatiilor

legaturilor => Ec. de miscare nu mai sunt nici ele toate independente2. Conform legii a IIIa a mecanicii, datorita legaturilor, asupra PM constranse actioneaza si Forte de Reactiune (necunoscute apriori)

ir

Cum pot fi inlaturate asemenea dificultati ?

N puncte materiale

K legaturi independente

kjrrr Nj ,1,0,....., 21

3N coordonate carteziene dintre care

k sunt dependente (se pot exprima in functie de

restul de 3N-k)n=3N-k sunt independente =nr. Grd. Libertate Sistem

Propunerea Lagrange: - se aleg n marimi independente (q1, q2,….qn) care pot descrie in mod univoc configuratia spatiala a SPM - se renunta a se lucra cu raza vectoare sau coord. carteziene si se lucreaza direct cu qi i=1,n = coordonate generalizate

Coordonatele generalizate descriu in mod univoc, configuratia SPM in orice moment

nqqq ,..., 21

Se ne imaginam un spatiu n-dimensional Spatiul configuratiilor

Fiecare punct din acest spatiu corespunde unei configuratii a SPM

nqqq ,..., 21

Evolutia in timp asistemului Curba in Spatiul Configuratiilor

Pentru o deplasare virtuala δt=0 ≡ toate punctele sistemului sufera o deplasare spontana, ele miscandu-se sincron

DeplasariEfectul de miscare se reduce la deplasarile PM ce alcatuiesc SPM, ale unor regiuni din SPM sau ale intregului sistem ca un tot unitar Deplasari posibile, reale

),,...,,(

.................................

),,...,,(

),,...,,(

21

2122

2111

tqqqxx

tqqqxx

tqqqxx

nNN

n

n

;

;

;

dttz

dqqz

dz

dtty

dqqy

dy

dttx

dqqx

dx

dtvrd

ik

k

ii

ik

k

ii

ik

k

ii

Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile

nik

qkqiz

iz

kq

kqiy

iy

kq

kqix

ix ,...,2,1;;;

Consideram un sistem cu constrangeri:

Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile

Coordinate ordinare ),1( Niri

Coordonate generalizate ),1( njq j

),,...,,(

.................................

),,...,,(

),,...,,(

21

2122

2111

tqqqrr

tqqqrr

tqqqrr

nNN

n

n

Sa ne imaginam ca toate particulele se misca usor:

iii rrr jjj qqq

Deplasare virtuala

δri trebuie sa satisfaca constrangerile

jj j

ii q

q

rr

n coordonate independente3N coordonate dependente

Principiul lui d`AlembertDinamica Lagrangiana este capabila sa opereze cu constrangeri dependente de timp, constrangeri care efectueaza lucru mecanic real, insa nu si lucru mecanic virtual. Ne putem gandi la lucrul mec. virtual ca “un lucru mecanic care a uitat de timp”. Nu exista nici o diferenta intre cele doua tipuri de lucru mecanic atat timp cat se opereaza cu constrangeri dependente de timp.

O parte a fortei Fi se datoreaza constrangerilor

Din ecuatia de miscare a lui Newton:

Forta aplicata Forta de constrangere Forta aplicata este cunoscuta

Forta de constrangere fi (in general) nu efectueaza lucru mecanic1.Miscarea este perpendicular pe forta

0irif

2. Exceptia: frecarea

Multiplicand 0.)( ipif

aiF cu δri si summand dupa i

DeoareceForta de constrangere a fost eliminataSi nu mai are rost indicele (a)

Principiul lui d`Alembert (1743)

Pentru un sistem de puncte materiale în mişcare, supus acţiunii unor forţe date şi unor legături bilaterale fără frecare (dependente sau independente de timp), suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor date şi ale forţelor de inerţie este nulă

011

2

2

n

jj

j

iN

i

i

ii qq

r

dt

rdmF j

j j

ii q

q

rr

Conceptul de lucru mechanic virtual ne-a permis eliminarea tuturor constrangerilor din sistem si pastrarea doar a fortelor externe!!

Acest principiu trebuie sa functioneze pentru orice variatie dqj

011

2

2

n

j j

iN

i

i

iiq

r

dt

rdmF

01 1 1

j i i j

iii

j

ii

q

rrm

q

rF

j

i

j

i

in

jj

j

iiii

n

j

i

jj

ii

q

r

q

v

t

rq

q

r

dt

rdrv

dtt

rdq

q

rrd

1

1

dt

dqq j

j

N

i j

iii

N

ij

iii

N

i j

iii

N

i j

iii

N

i

i

j

ii

N

i j

iii

N

i j

iii

N

i j

iii

N

i j

ii

ii j

iii

dq

vdvm

q

rv

dt

dm

dq

vdvm

q

rv

dt

dm

t

r

dq

dvm

q

rv

dt

dm

q

r

dt

dvm

q

rv

dt

dm

q

r

dt

vdm

q

rrm

1111

1111

11

i j

iii

ij

iii

i j

ii

q

vvm

q

vv

dt

dm

q

rF

N

i j

iij q

rFQ

1

Notam componentele generalizate ale forţelor

jiii

ji j

iii

ji

ii

ji

i

j

i

ij

iii

ij

iii

q

Tvm

qq

vvm

q

T

dt

dvm

qdt

dv

qm

dt

d

q

vvm

dt

d

q

vv

dt

dm

2

22

2

1

2

1

2

1

Observăm că:

),,(; tqqTT

q

T

q

T

dt

dQ

jj

jEc. Lagrange de speţa a II-a.

În cazul forţelor potenţiale (forte conservative)

UF ii

j

jjj

jj

jj i j

i

ii j

jj

i

ii

ii qQqq

Uq

q

rUq

q

rUrU

jj

i

ij

i

i q

U

q

r

r

U

q

rU

jj q

UQ

),(;0 tqUUUTqq

T

dt

d

q

U

q

T

q

T

dt

dQ

jj

jjj

j

Intoducem notiunea de “potenţialul cinetic” tqUtqqTtqqL ,,,,,

0

jj

q

L

q

L

dt

d Ec Lagrange sau ecuaţiile diferenţiale ale mişcării unui SPM