1

Problema 17.

Fie triunghiul ABC cu AB=52cm, AC=41cm i BC=15cm. Un cerc cu centrul C este tangent la

latura AB. Calculai raza cercului.

Rezolvare:

Fie T punctul de tangena al laturii (AB)

cu cercul. Atunci CT AB, CT=R

este nlimea dusa din C la AB. Calculam

aria ABC cu ajutorul formulei Heron:

p= p-b= 54-41= 13,

p-c= 54-52= 2.

Avem , S= = =1318=234( ).

Dar S= , R=

Problema 18.

Fie triunghiul ABC cu m( = ), m( )= i AB= cm. Punctul E este situat n

exteriorul astfel inct patrulaterul ACDE este un paralelogram. Calculai lungimea

segmentului BE.

Rezolvare:

Fie CDAB, CDAEAEAB,

BAE dreptunghic cu m( )= i AE=CD.

Vom arta c CD =

Fie O(AB), AO=BO=CO

BOC isoscel cu m( )=m( )=

Cum m( )= m( )= CD= CO=

Avem AE=CD= AB= (cm).

Din BAE conform teoremei Pitagora

2

Problema 19.

Fie ABC cu m( )= ,

E, F (AB), BE=EF=FA, CE=p, CF=q.

Aflai lungimea ipotenuzei AB.

Rezolvare:

Fie BCF, AFC, BE=EF=FA=x, BC=a,

AC=b; CE- median n BCF, CF- median n ACE.

Aplicm teorema Pitagora i formula medianei.

Avem

, AB=3 .

Problema 20.

Fie triunghiul dreptunghic ABC cu m( )= , AB =a. Bisectoarea unghiului A taie latura

(BC) n punctul E astfel nct AE= . Aflai msura unghiului B i lungimile laturilor AC i BC.

Rezolvare:

n ABE : AB= a, AE= .

Notm m( )= m( )=

m( )= x.

Teorema SIN: ABE: =

=

Ecuaia trigonometric reductibil la ecuaia de gradul II n raport cu , are forma:

=

3

=25.

Cum

Rezult m( B)= AC= , BC=

Problema 21.

S se arate c dac patrulaterul ABCD este un dreptunghi, atunci pentru orice punct M (din plan

sau spaiu) are loc relaia:

Rezolvare:

Fie ABCD dreptunghi.

AC BD =

AC = BD, AO = CO = BO = DO.

Formula medianei aplicata n ACM i BDM:

ACM: (1)

BDM: (2)

Cum , prin scdere avem ( )-( ) = 0

.

Problema 22.

Fie trapezul ABCD cu AB DC, M(DA), AM = DM, DC =2, BC=10, AD=8,

S se afle aria trapezului

Rezolvare:

Fie N(BC), BN=NC=5,

MN-linie mijlocie a trapezului

m( )=m( )=m( )

4

MN=BN=5.

AB+CD=2MN AB=8

Ducem CP DA. Cum DC AP, P(AB) Patrulaterul APCD este paralelogram .

CP=8, BP=6, BC=10.

Din BCP dreptunghic cu m( )=

CPABDAAB, adic trapezul ABCD este dreptunghic.

A(ABCD)=

Problema 23.

Fie triunghiul dreptunghic ABC cu m( .

nlimea CM i bisectoarea CN (M, N (AB)) au lungimile egale cu 3 i respectiv 4. Aflai aria

triunghiului ABC.

Rezolvare:

Fie AC=b, BC=a Ducem NP BC, NQAC.

NP=NQ i m( )=

Patrulaterul PCQN- ptrat PN=NQ= .

Avem = , = CMAB= n acelai timp

= + = PNBC+ NQAC= (a+b) .

Fie =S, atunci:

-72S=0S(S-72)=0S=72(u.p.)

Problema 24.

n trapezul ABCD cu ADBC, ABAD, m( )= , este trasat un cerc de raz R cu

centrul situat pe baza AD i tangent la laturile AB, BC i CD. S se afle aria trapezului ABCD.

Rezolvare:

5

Fie C(O,R)BC= , C(O,R)DC=

C(O,R)AB= BAOP- ptrat.

AB=BP=PO=AO=OQ=R, OQDC.

n DOQ, m( )= , m( )= .

DO=2R AD=3R

Ducem CEAD, E(AD) CE=R,

CED, m( )= , m( )=

CD=2R. Cum PC=QC, DQ=R PC=CQ=(2- )R. Obinem

BC=BP+PC=R+(2- )R=(3- )R .

Atunci A(ABCD)= = (u.p.)

Problema 25.

Fie triunghiul ABC cu m( )= .

Bisectoarea unghiului ascuit A taie latura (BC) n punctul D. Cercul circumscris triunghiului

ADC are raza egala cu i intersecteaz ipotenuza AB n punctul E astfel inct

AE:AB=3 : 5. Calculai aria triunghiului ABC.

Rezolvare.

Dac notm AB=5x AE=3x, BE=2x.

Fie BD=m, CD=n, AC=b, DE=DC, AC=AE,

AD=2R=2 (este diametrul cercului circumscris ADC).

Avem urmtoarele relaii:

Din ultimul sistem avem: x = , b=4 , m + n= .

Atunci A(ABC)= (m+n)b= =32 (u.p.)

6

Problema 26.

Ptratul ABCD a fost ndoit dea lungul diagonalei BD astfel nct planele (BDA) i (BDC) sunt

perpendiculare. S se afle msura unghiului CAD dup ndoire.

Rezolvare.

Fie ACBD= . Avem AOBD i AO(BDC)

AOCO. Notm AB=BC=CD=a.

Atunci AO=CO=BO=DO= .

Din AOC dreptunghic in O avem:

AC=a. Rezult c ADC este echilateralm( )= .

Problema 27.

Dreptunghiul ABCD cu dimensiunile AB=2 cm i BC=3 cm se indoaie dea lungul

diagonalei BD astfel nct planele (ABD) i (CBD) sunt perpendiculare. S se afle lungimea

segmentului AC dup ndoire.

Rezolvare:

Din ABD BD=7cm. Conform teoremei

catetei BM= cm. Fie m( )=. Din BCD, dreptunghic n C, avem:

= = .

Conform teoremei cosinusurilor n BMC avem: .

Avem +9 - 2 3 = , AM= = (cm).

Din (BAD)(BDC) i AMBD AM(BCD) AMMC. Din AMC, dreptunghic

7

n M, avem + = = AC= cm.

Rspuns: Lungimea segmentului AC dup ndoire este egal cu cm.

Problema 28.

Triunghiurile ABC i ADC cu ipotenuza comun AC i catete de lungimi 3cm i 4cm sunt

situate n plane perpendiculare. S se afle toate valorile posibile ale distanei .

Rezolvare.

Avem 2 cazuri:

1) BC=CD=3cm, AB=AD=4 cm.

2) AB=CD=3cm, AD=BC=4 cm.

Cum AC=5cm, iar DE= (cm), AE= = (cm),

atunci:

1) BE=DE= (cm), DEBE = =

BD= (cm)

2) AE= cm, AB=3cm, =

i conform teoremei cosinusurilor avem:

B = -2AEAB

B = +9 2 3 = = .

Din BED, dreptunghic n E, obinem:

= + = BD= cm.

Rspuns: = cm sau = cm.

Problema 29.

ntr-o sfer de raz R este nscris un cilindru circular drept

cu suprafaa lateral maxim.

S se afle volumul cilindrului.

8

Rezolvare:

AC=BD=2R, AO=BO=CO=DO=R,

BC=DA=H, P(AB), PA=PB= r.

AB=2r Avem

= H, =2

Din ABC: = . .

= 4 ( )= ( ).

Fie f:(0,R) , f(r)= . Avem

=4r =4r

Din . Cercetm:

-abscisa punctului de maxim al funciei f. Gsim

.

= (u.c.)

Problema 30.

Fie ABCDV - piramid patrulater regulata

cu VA=2l i m( )= ,

unde ACBD= , VO(ABC).

Calculai aria lateral i volumul piramidei.

Rezolvare.

Fie M(BC), BM=MC. Notm

AB=BC=CD=DA=a OM= , AC=a ,

9

AO=CO= .

Cum AOV este dreptunghic isoscel cu VA=2l AO=VO= = l .

a=2l , VO=H=l

VOM: VO=l , OM= .

Teorema Pitagora:

=4A(BCV)=4 2l= (u.p.)

= A(ABCD)VO= 4 l = (u.c.)

Remarc: Aria lateral a piramidei poate fi calculat cu ajutorul formulei

A(BOC)= A(VBC) .

Cum OM=l, vm= l = A(VBC)= , iar =4 (u.p.)

Problema 31.

Fie piramida patrulater regulat ABCDV.

Se tie c centrul bazei piramidei este situat

la distana p de la muchia lateral i la

distan q de la faa lateral. S se afle

volumul piramidei.

Rezolvare.

Fie PCV, OPCV distana (VC,O)=OP.

Dac M(BC), MB=MC, Q(VM), OQVM, BCOM, BCVMBC(VOM)

BCOQ (VOM), OQVM OQ(BCV) distana (O,(BCV))=OQ =p, =q.

Fie VO=H, AB=BC=CD=DA=a, OM= , OC=AO=BO=DO= . Atunci

OP= p= , OQ=

10

q= = = =

H=

= = = .