prof . Cialcu Ionel

ASIMPTOTE

Termenul de asimptot provine din limba greac i se traduce n sens larg prin expresia asemntor cu. Cuvntul denumete o dreapt i se refer la faptul c n anumite situaii descrise mai jos( pe anumite vecinti), graficul unei funcii are forma unei drepte.

Fie RaRIRIf ,,: punct de acumulare pentru I.

Definiie. Dreapta x=a este asimptot vertical la stanga a lui f dac lim ( )x a

x a

f x

Observaie. Dreapta x=a este o dreapt paralel cu Oy, deci vertical.

Exemplu. Fie funcia

1,1

1,1

1

)(,:

x

xxxfRRf

Observm c 1

1

1

0xx

lim

ceea ce ne arat c x=1 este asimptot vertical la stnga

pentru f.

Analog se defineste conceptul de asimptota verticala la dreapta.

.

Exemplu. Fie funcia 3

1)(,),3(:

xxfRf . Avem

3

3

1( )

0xx

lim f x

, ceea ce arat c

dreapta x=3 este asimptot vertical la dreapta pentru f.

Observaii: a) Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca funcia s fie definit n a. b) Dac f este definit i continu n a , atunci limitele laterale n a sunt finite i egale

cu f(a), deci graficul nu are asimptot vertical n punctele de continuitate ale funciei .

c) Dintre funciile elementare studiate,admit asimptote verticale:

funciile ale cror legi de coresponden sunt exprimate prin fracii, n punctele n care se anuleaz numitorul;

funciile ale cror legi de corespondent sunt exprimate prin logaritmi, )(ln)( xgxf , n punctele pentru care g(x) are limita +0 sau ;

funcia tangent n 2 1 ,2

x k k Z

;

funcia cotangent n ,x k k Z .

Definiie. Dreapta x=a este asimptot vertical la dreapta a lui f dac lim ( )x a

x a

f x

.

Definiie. Dreapta x=a este asimptot vertical a lui f dac este asimptot vertical la stnga sau la dreapta .

Definiie. Fie funcia RIf : , astfel nct )( sau este punct de acumulare al lui

I. Spunem c dreapta y=c este asimptot orizontal a lui f spre )( sau dac

lim ( )x

f x c

, respectiv lim ( ) ,x

f x c c R

.

prof . Cialcu Ionel

Observaie : Dreapta y=c este paralel cu axa Ox, deci este o dreapt orizontal.

Nu are sens s cutm asimptote orizontale spre )( sau dac domeniul I al funciei nu

are puncte de acumulare )( sau .

Exemplu.

Funcia )2(|2|

12)(,}2{:

2

xx

xxfRRf are asimptot orizontal y=2 spre i

y= -2 spre deoarece ( ) 2xlim f x

i ( ) 2xlim f x

.

Fie RRIf : unde I conine un interval de forma (a, ), Ra .

Analog se definete conceptul de asimptot oblic la ramura spre , admind c I conine un interval de forma ( ,b), Rb .

Demonstraie.

Presupunem c nmxy este asimptot oblic spre i determinm m i n.

Avem ( ( ) ) ( ) 0x xlim f x mx lim f x mx n n n n

.

De asemenea. ( ) ( )

0x x x

f x f x mx nlim m lim lim

x x x

Cum mmx

xf

x

xf

)()( se deduce c

( ) ( )

x x

f x f xlim lim m m m

x x

.

Observaii. 1) Pentru determinarea asimptotei oblice spre se procedeaz astfel (analog spre ) :

2) O funcie nu poate admite att asimptot orizontal ct i oblic spre ( ). 3) Dac m=0 atunci funcia are asimptot orizontal spre ( ).

Definiie. Dreapta nmxy este asimptot oblic la ramura spre a funciei f dac

distana dintre dreapt i grafic, msurat pe vertical, tinde ctre 0 cnd x tinde ctre , adic dac

lim[ ( ) ] 0x

f x mx n

Teorem. Dreapta nmxy este asimptot oblic la ramura spre a lui f dac i

numai dac exist constantele nmRnm ,(, sunt finite) unde ( )

,x

f xm lim

x

[ ( ) ], 0x

n lim f x mx m

- se calculeaz x

xfm

x

)(lim

;

- dac m este finit, atunci se calculeaz ])([lim mxxfnx

;

- dac i n este finit atunci dreapta nmxy reprezint asimptota oblic a lui f

spre

prof . Cialcu Ionel

Exemplu de grafic de funcie care admite o asimptot vertical i una oblic;

Exemplu de grafic de funcie care admite o asimptot orizontal.

Aplicaii.

1) Se consider funcia f: D R, f(x) = 2 1

1

x

x

. S se determine asimptotele funciei .

Rezolvare:Determinm domeniul de definiie : 1 0, 1 \ 1x x D R

Determinm asimptota orizontal a funciei:

22 2

1(1 )

1lim ( ) lim lim

11(1 )

x x x

xx xf xx

xx

.

Funcia nu admite asimptot orizontal. Cutm eventuala asimptot oblic. Pentru aceasta calculm:

m = 2( ) ( 1)

lim lim 1( 1)x x

f x x

x x x

,

2 2 21 1 1lim ( ) lim lim 1

1 1 1x x x

x x x x xn x

x x x

,

Asimptota oblic este d1: y=x+1 spre + i la fel este i spre -. Cutm asimptotele verticale. Pentru aceasta calculm limitele laterale n x = 1.

2

11

1 2lim

1 0xx

x

x

,

2

11

1 2lim

1 0xx

x

x

. Dreapta d2: x = 1 este asimptot vertical la

stnga i la dreapta. Graficul funciei arat aproximativ ca n desenul urmtor:

prof . Cialcu Ionel

2) S se determine asimptotele funciei: f: D R, f(x) = 2

2

1

1

x

x

Rezolvare: Aflm domeniul de definiie: 2 21 0, 1 \ 1x x D R

Cutm asimptotele orizontale:

22 2

22

2

1(1 )

1lim ( ) lim lim 1

11(1 )

x x x

xx xf xx

xx

, dreapta d1: y=1 este

asimptot orizontal. Cutm asimptotele verticale n punctele x0=-1 i x0=1;

2

211

1 2lim

1 0xx

x

x

,

2

211

1 2lim

1 0xx

x

x

, dreapta d2: x=-1 este asimptot vertical.

2

211

1 2lim

1 0xx

x

x

2

11

1 2lim

1 0xx

x

x

dreapta d3: x=-1 este asimptot vertical.

Graficul funciei arat aproximativ ca n desenul urmtor:

3) Se consider funcia f: D R, f(x) = 2

21)3(

x

xx . S se determine asimptotele acesteia.

Rezolvare: Avem: D = R\{0}. Cutm asimptote orizontale spre + i - .

xlim f(x) = + nu exist asimptot orizontal spre + .

xlim f(x) = - nu exist asimptot orizontal spre - .

Deci cutm eventuala asimptot oblic. Pentru aceasta calculm:

m =

11)3(

lim)(

lim3

2

x

xx

x

xf

xx

x=1

y=x+1

x=-1

y=1

x=1

y

x

O

prof . Cialcu Ionel

n=3 2 3 2 3 2

2 2 2

5 3 5 3 5 3lim( ( ) ) lim lim lim 1.x x x x

x x x x x x x x xf x mx x

x x x

d1: y = x + 1 asimptot oblic spre + . Analog , y = x + 1 asimptot oblic spre - . Cutm asimptotele verticale. Pentru aceasta calculm limitele laterale n x = 0.

0 00 0

3 3lim ( ) , lim ( )

0 0x xx x

f x f x

d2: x = 0 asimptot vertical.

4) Se consider funcia f: D R, f(x) = 1

ln2

x

x

.S se determine asimptotele acesteia.

Rezolvare: Determinm D; 1

0 ,1 2,2

xx

x

.

Cutm asimptote orizontale spre + i - .

1lim ln ln1 0

2x

x

x

deci dreapta d1: y=0 este asimptot orizontal la + i - .

Deci nu are asimptot oblic. Cutm asimptotele verticale. Pentru aceasta calculm limitele laterale n x = 1 i x = 2.

1

1

1 0limln ln ln 0

2 1xx

x

x

,

22

1 1limln ln ln

2 0xx

x

x

.

Dreapta d2: x = 1 este asimptot vertical la stnga iar dreapta . d3: x = 2 este asimptot vertical la dreapta.

1 2

y

0 x

x=1

x=2

y=0

prof.Cialcu Ionel

ASIMPTOTEFie punct de acumulare pentru I.Observaie. Dreapta x=a este o dreapt paralel cu Oy, deci vertical.Exemplu. Fie funciay= -2 spre deoarece i .2) O funcie nu poate admite att asimptot orizontal ct i oblic spre ().3) Dac m=0 atunci funcia are asimptot orizontal spre ().