A

B

CM

NP

ARII TRIUNGHIURI SI PATRULATERE

CLASA a VII-a Profesor V Corcalciuc Scoala nr. 146 I G Duca Bucuresti

1.Triunghiul oarecare.AM ⊥BCBN ⊥ ACCP⊥ AB

AM , BN ,CP sunt inaltimile

triunghiului Δ ABC . Se noteaza de

obicei cu ha , hb ,hc .

Laturile triunghiului se numesc baze. Avem mai multe formule pentru calculul ariei triunghiului :

SΔ ABC=b⋅h2

= BC⋅AM2

= AC⋅BN2

= AB⋅CP2

sau SΔ ABC=

a⋅ha

2=

b⋅hb

2=

c⋅hc

2Aceasta este formula de baza pentru calculul ariei unui triunghi.Vom studia tot in clasa a 7-a si urmatoarele formule:

SΔ ABC=ab sin∠C2

=bc sin∠ A2

=ac sin∠B2

2. Triunghiul dreptunghic.La triunghiul dreptunghic avem doua formule pentru calculul ariei:

- formula de baza, ca la triunghiul oarecare S=b⋅h

2 pe care

daca notam ipotenuza cu I , o putem scrie S=

I⋅hI

2 . Deoarece celelalte doua inaltimi ale triunghiului dreptunghic sunt chiar catetele , vom putea scrie

(daca notam catetele cu C1 ,C2 )

Observatii.1. Daca avem un punct D∈BC vom putea scrie aria

triunghiului ABC ca o suma de doua arii:

SΔ ABC=S Δ ABD+SΔ ADCAceasta este proprietatea de aditivitate pentru arii si este importanta in aplicatii practice, cand vrem sa calculam aria unei figuri geometrice pentru care nu avem o formula specifica pentru calculul ariei.

2. Doua triunghiuri care au ariile egale se numesc echivalente.

3. Mediana unui triunghi imparte triunghiul in doua triunghiuri echivalente.

S=C1⋅C2

2

A B

CD

h h

L

l

3.Aria unui patrulater convex.

Aria unui patrulater convex este egala cu suma ariilor triunghiurilor in care acesta se descompune.

i)Aria paralelogramului. Inaltimea paralelogramului este

distanta dintre o latura si latura opusa ei, h.

Paralelogramul ABCD se poate descompune in doua triunghiuri ABD si BCD.

Avem in acest caz:

SABCD=S Δ ABD+S ΔBCD=

¿AB⋅h2

+DC⋅h2

=h2⋅( AB+DC )=h

2⋅2 AB=h⋅AB

deoarece AB=CD

Deci SABCD=l⋅h

O alta formula pentru aria paralelogramului:Daca notam cele doua laturi cu l si L, mai putem scrie aria paralelogramului si astfel:

SABCD=L⋅l⋅sin≺(L ;l )

ii) Aria dreptunghiului.

S=L⋅l

l

l

A

B

C

D

O

B

b

h

iii) Aria patratului

S=l⋅l=l2

iv) Aria rombului. Rombul fiind un paralelogram putem folosi formula de la aria

paralelogramului. S=l⋅h Daca descompunem rombul in doua triunghiuri vom obtine o noua formula :

SABCD=S ABC+SACD =

=

AC⋅BO2

+ AC⋅DO2

=

=

AC⋅BO+ AC⋅DO2

=

=

AC⋅(BO+DO )2

= AC⋅BD2

=

=

d1⋅d2

2Deci aria rombului mai poate fi si semiprodusul diagonalelor.

Aria trapezuluiDaca notam bazele trapezului cu B si b, iar

inaltimea cu h avem:S=

( B+b )⋅h2

Stiind ca linia mijlocie a trapezului este

B+b2 putem sa scriem ca

S=liniemijlocie⋅h