MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE

1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICA APLICATA IN ECONOMIE Tip curs – obligatoriu

Manualul de curs recomandat – R. Trandafir, I. Duda, A. Baciu, R. Ioan, S.Barza- Matematici pentru economisti, Ed. Fundaţiei România de Mâine Obiectivul principal al cursului – Cursul de matematici economice are ca obiect bazele matematicilor economice. Cursul este predat în semestrul I al anului universitar, cu examen la sfârşitul semestrului I. Acest curs este structurat în raport cu obiectivul dotării viitorilor economişti şi specialişti cu instrumentele matematice de operare şi gândire, pentru a fi capabil să fundamenteze deciziile adecvate, optime, în domeniile lor de activitate. Aceste capitole sunt direct orientate spre aplicarea lor în economie şi corelate cu disciplinele de bază şi de specialitate pe care le vor parcurge studenţii, conform planului de învăţământ. Întregul cuprins al programei analitice urmăreşte formarea unei gândiri logice la studenţi şi a deprinderilor de calcul cu instrumentele operaţionale necesare analizei proceselor economico-financiare, a funcţionării mecanismelor economico-financiare şi, pe această bază, fundamentării deciziilor optime. 2. Continutul tematic al cursului

Elemente de algebră superioară cu aplicaţii în economie 1.Spaţii vectoriale (vectori liniari independenţi, sistem de generatori, bază a unui spaţiu

vectorial, dimensiune a unui spaţiu finit dimensional) - Organizarea spaţiilor economice ca spaţii vectoriale - Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan - Organizarea ca spaţii metrice şi spaţii normate

2. Forme liniare - Forme biliniare (matricea ataşată formei biliniare, modificarea matricii unei funcţionale biliniare la schimbarea bazelor)

- Forme pătratice (forma canonică a unei forme pătratice, metode de aducere a unei forme pătratice la forma canonică: Metoda lui Gauss, Metoda lui Jacobi)

3. Operatori pe spaţii vectoriale - Proprietăţi. Valori proprii şi vectori proprii - Conţinut economic

Fundamentarea optimă a deciziilor prin programare liniară 4. Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma

generală, forma canonică, forma standard. Rezolvare:a prin algoritmul simplex primal - Trecerea de la o soluţie posibilă de bază la altă soluţie posibilă de bază (criteriul

de ieşire din bază) - Criteriul de intrare în bază

5. Tratarea problemelor de P.L. care nu au forma standard - Metoda bazei artificiale

6. Forma duală a PPL - Teorema de dualitate şi conţinutul economic al variabilelor duale (preţuri umbră) - Algoritmul simplex dual - Studii de caz în managementul financiar-contabil

Decizii optime de transport 7. Formularea problemei transporturilor şi a modelului matematic

- Soluţii de bază iniţiale 8. Criteriile de optimizare

- Studii de caz

Elemente de analiză matematică cu aplicaţii în fundamentarea deciziei economice optime

9. Serii numerice, criterii de convergenţă. Şiruri de funcţii. Serii de puteri. Seria Taylor - Funcţii de mai multe variabile. Mulţimi şi puncte din Rn - Continuitatea funcţiilor în spaţiul Rn: limite, limite iterate

10. Derivabilitatea funcţiilor în Rn: derivate parţiale de ordinul I şi de ordin superior - Diferenţiala de ordin I şi de ordin superior; conţinut economic - Derivata funcţiilor compuse

11. Extremele funcţiilor de mai multe variabile (punct de extrem local; punct staţionar; punct de minim local; punct de maxim local)

- Extreme cu legături (condiţionate). Conţinut economic - Aplicaţii şi studii de caz

12. Integrale

Modelul dinamicii proceselor economice 13. Dinamica proceselor economice: analiza în timp continuu şi în timp discret. Tipuri

principale de ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în economie: - ecuaţii cu variabile separabile - ecuaţii diferenţiale liniare

14. Ecuaţii omogene Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaţiile lor

BIBLIOGRAFIE

1. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., BÂRZĂ S. – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2007.

2. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., – Elemente de matematici economice, Ed. FRM, Bucureşti, 2005.

3. BACIU A. – Matematici aplicate în economie şi finanţe, Ed. FRM, Bucureşti, 2004

4. DUDA I., – Elemente de algebră pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 1999.

5. OPRESCU GH., – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 1996.

6. . IOAN R., GHICA M., COPIL V. – Matematici aplicate în economie, Curs în tehnologia ID-IFR, Editura Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2012.

7. IOAN R., GHICA M., COPIL V. – Matematici financiare şi actuariale, Curs în tehnologia ID-IFR, Editura Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2012.

8. Dedu S., Şerban F. – Matematici aplicate în economie, Ed. Teocora, 2009. 3.Prezentarea lectiilor (capitolelor) Prin structura şi conţinutul programei, studenţii vor avea baza matematică de înţelegere şi instrumentele - teorii operaţionale şi algoritmi - pentru celelalte discipline: economie, informatică, managementul firmei, statistică micro şi macroeconomică, macroeconomie, finanţe, contabilitate etc., discipline care, în condiţiile nivelului actual al ştiinţelor economice pe plan mondial - sunt puternic matematizate, în scopul fundamental al fundamentării rapide a deciziilor optime, prin instrumentele moderne ale informaticii. Astfel, capitolele studiate în semestrul I vor fi: Algebră liniară, Programare liniară şi Analiză matematică.

1. Algebră liniară Spaţii vectoriale. Organizarea spaţiilor economice ca spaţii vectoriale. Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan. Organizarea ca spaţii metrice şi spaţii normate. Forme liniare, biliniare, pătratice. Operatori pe spaţii vectoriale: valori proprii şi vectori proprii. Conţinut economic. (vezi pag. 13-41 din Matematici pentru economisti , I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)

Concepte cheie spatiu vectorial, vectori liniar independenti, sistem de generatori, bază, dimensiune, matrice de trecere, aplicatie liniară, valori proprii, vectori proprii, forma liniară, forma biliniară, formă patratică, forma canonică a unei forme pătratice

1.1. Spaţii vectoriale

Fie V o mulţime nevidă de elemente şi K un corp de scalari (de regulă K este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C). Pe mulţimea V se definesc două operaţii: – operaţia de adunare „+”, ca lege de compoziţie internă

, avem Vx y V x y

– operaţia de înmulţire „” cu scalari, ca lege de compoziţie externă; x V, K avem x V

Definiţie: Mulţimea nevidă V se numeşte spaţiu vectorial peste corpul K dacă

(V, +) este grup abelian, adică verifică: 1) x + y = y + x () x, y V 2) (x + y) + z = x + (y + z), () x, y, z V

3) () VO , elementul neutru astfel încât x + Ov = Ov + x = x, () x V

4) () x V, () x element opus, astfel încât x + (-x) = (-x) + x = Ov () x V si (V, ) verifică 1) (x + )x = x + x pentru () , K şi x V 2) (x + y) = x + y pentru () K şi x, y V 3) ( ) x = (x) pentru (), K şi x V 4. 1k x = x pentru 1K K numit element neutru, () x V

Definiţie Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Un vector v V se numeşte combinatie liniară a vectorilor v1, ...., vm V dacă există scalarii 1, 2, ...., m K astfel încât

v = 1 v1 + 2 v2 + .....+ m vm

Definiţie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vn din V se numeşte sistem de generatori ai spaţiului vectorial V dacă orice vector v V se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor v1, v2, ...., vn.

Definiţie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm din V se numeşte sistem liniar independent dacă din 1v1 + 2v2 + ....+ mvm = 0 rezultă ca scalarii

1 = 2 = ..... =m = 0 Observaţie: dacă există scalari nenuli, sistemul de valori se numeşte sistem liniar dependent.

Propoziţie. Vectorii v1, v2, ..., vn V sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă cel puţin un vector dintre ei este o combinaţie liniară de ceilalti.

Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B = v1, v2, ..., vm se numeşte bază pe spaţiul vectorial V dacă este formată dintr-un număr maxim de vectori liniari independenţi. Numărul vectorilor din bază determină dimensiunea spaţiului.

Definiţie. Coeficienţii 1, 2, ...., n ai reprezentării vectorului v V în baza B se numesc coordonatele vectorului v în baza B.

Propoziţie Sistemul de vectori unitari 1 21 0 ... 0 , 0 1 ... 0 , ..., 0 0 ... 1nb b b formează o bază a spaţiului

vectorial Rn numit bază canonică (sau unitară) Propozitie (Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei).

Fie v Rn, A = a1, a2, ... , an} şi B = {b1, b2, ..., bn} două baze din Rn şi prin abuz de notatie notăm cu A şi B matricile acestor baze. Fie 1, 2, ..., n coordonatele vectorului v în baza A şi 1, 2, ..., n coordonatele

vectorului v în baza B şi pentru fiecare i, n,1i , i1, i2, ..., in, coordonatele vectorului vi în baza B. Atunci:

nnn1n1n

n1n1111

.....

..........

.....

care scris matricial devine:

= M , unde

nn1n

n111

M

sau M se numeşte matricea de trecere de la o bază la alta.

Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete)

Metoda eliminării complete se poate folosi, printre altele, pentru:

- rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare;

- calculul inversei unei matrice nesingulare.

Etapele aplicării acestei metode sunt:

1. Se alcătuieşte un tabel care conţine matricea sistemului ce trebuie rezolvat (notată A ) sau matricea ce trebuie inversată ( A ).

2. Se alege un element nenul al matricei A , numit pivot. 3. Elementele din tabel se modifică astfel:

)a elementele de pe linia pivotului se împart la pivot;

)b coloana pivotului se completează cu zero;

)c restul elementelor se calculează după regula dreptunghiului:

- se formează un dreptunghi, având elementul ce trebuie înlocuit şi pivotul ca vârfuri;

- din produsul elementelor de pe diagonala pivotului se scade produsul elementelor celeilalte diagonale, iar rezultatul se împarte la pivot.

Schematic, regula dreptunghiului se prezintă astfel:

a ………… x

: : b

acbxx

' , unde:

: :

b ……...…. c

b pivotul;

x elementul ce trebuie înlocuit;

'x noua valoare a elementului x .

)d (facultativ) Dacă pe linia pivotului există un element egal cu zero, atunci coloana acelui element se copiază; analog, dacă pe coloana pivotului există un element egal cu zero, atunci linia acelui element se copiază.

4. Se reiau paşii 2 şi 3 până când de pe fiecare linie s-a ales câte un pivot.

1.2. Aplicaţii liniare

Definiţie: Fie V, V’ două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K de dimensiuni n respectiv m. O aplicaţie T : V V’ se numeşte aplicaţie (transformare sau operator) liniară dacă este aditiva şi omogenă, deci dacă verifică: a) T (x + y) = T(x) + T(y), () x, y V b) T(x) = T(x), () K, x V.

Teoremă Aplicaţie T : V V’ este aplicaţie liniară dacă şi numai dacă:

T(x + y) = T(x) + T(y), () , K, x, y V. Teoremă: Fie V, V’ două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K;

B = {a1, a2, ..., an} bază a spaţiului vectorial V şi B’ = {b1, b2, ..., bn} bază a spaţiului V’. Fie ai un vector oarecare din B atunci T(ai) V’ şi poate fi reprezentat în mod unic în funcţie de vectorii bazei B’: T(ai) = 1b1 + i bi+ ... + inbn. Matricea formată din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ... , T(an) în baza B’ se va numi: matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu perechea de baze {B, B’}.

nnn2n1

n22221

n11211

'B,B TM

1.3. Valori proprii şi vectori proprii asociaţi aplicaţiei liniare.

Definiţie: Fie V spaţiu vectorial n – dimensional peste corpul de scalari K şi

T : V V o aplicaţie liniară. Un scalar K se numeşte valoare proprie pentru aplicaţie liniară T dacă există cel puţin un vector nenul v V astfel încât:

T(v) = v. (1)

Definiţie: Vectorul nenul v V care verifică relaţia (1) se numeşte vector propriu pentru aplicaţia T asociată valorii proprii .

Prezentăm în continuare modul de determinare al valorilor şi vectorilor proprii pentru o aplicaţie liniară.

Fie T : V V’ o aplicaţie liniară cu matricea aplicaţiei AT definită în baze canonice. Relaţia (1) se mai scrie:

T(v) – v = 0 (1) sau

0T n vA E v (2)

Relaţia (2) reprezintă scrierea matricială a unui sistem omogen. În consecinta coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluţiile sistemului omogen (2). Soluţiile sistemului omogen (2) nu sunt toate nenule numai dacă determinantul sistemului este nul:

P() = det (AT - En) = 0

(3)

Polinomul P() se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaţiei liniare T şi ecuaţia P() = 0 se numeşte ecuaţia caracteristică a aplicaţiei T.

Teoremă: Fie T: V V’, K este o valoare proprie a aplicaţiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice.

1.4. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică.

Definiţie Fie V un spaţiu vectorial peste corpul real (R), de dimensiune n. O aplicaţie f : V R este o formă (transformare sau operator) liniară dacă este aditivă şi omogenă, adică: a) f(x + y) = f(x) +f(y) () x, y V b) f(x) = f(x), () R, x V.

Definiţie O aplicaţie f : V × V R este o formă biliniară dacă este liniară în raport cu ambele argumente, deci: 1. f(ax1 + bx2, y) = af(x1, y) + bf(x2, y) () x1, x2, y V, ()a, b R 2. f(x, ay1 + by2) = af(x, y1) + bf(x,y2), () x, y1, y2 V, ()a, b R Pentru formule biliniare vom da o modalitate de scriere a acestora sub forma matricială: Observaţie: O formă biliniară este determinată dacă se cunoaşte matricea formei A.

Definiţie O formă biliniară se numeşte forma biliniară simetrică dacă matricea formei este o matrice simetrică (adică matricea A este egală cu transpusa sa: T

ff AA ). Definiţie Fie V un spaţiu vectorial peste corpul de scalari R, de dimensiune n. O

aplicaţie g: V R este o formă pătratică dacă există o aplicaţie biliniară simetrică f: V × V R astfel încât g(x) = f(x, x) = xT Ax, ()x V

Valorile

nn1n

n111

n2221

12112111

aa

aa

..., ,aa

aa ,a

se numesc minorii matricei A.

Definiţie Fie g : V R o formă pătratică. g este pozitiv definită dacă toţi minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi; g este semipozitiv definită dacă minorii sunt pozitivi sau zero; g este negativ definită dacă minorii impari, 1, 3 ... 0 şi

2, 4 ... 0; g este seminegativ definită dacă minorii impari 1, 3 ... 0 şi minorii pari 2, 4 ... 0; g pentru care nu sunt îndeplinite nici una din condiţiile anterioare este o formă pătratică nedefinită.

Definiţie: Fie g : V R o formă pătratică. Într-o bază a spaţiului B V forma pătratică g are o formă canonică dacă matricea formei este o matrice diagonală.

Metoda lui Jacobi

Fie o formă pătratică g : V R, g(x) = xTAx, A – matrice simetrică. Dacă toţi minorii matricei A sunt nenuli atunci există o bază a spaţiului V, astfel încât forma pătratică să se transforme în formă canonică:

2n

n

1n22

2

121

1

y...yy1

yg

unde y = (y1 y2, ..., yn) reprezintă coordonatele vectorului x în baza B. Metoda lui Gauss constă în formarea de pătrate perfecte când conţin cel puţin un

aii 0

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale

Test de autoevaluare

1) Fie 2 vectori x, y R3 1, 2, 1 şi y 0, 1, 3 x atunci

a) 1, 3, 4x y ; b) 0, 3, 4x y ; c) 0, 2, 4x y ;

d) 1, 3, 1x y .

Raspuns corect: a) 1, 3, 4x y

Rezolvare: 1, 2, 1 + 0, 1, 3 = 1, 3, 4 x y

2) Fie vectorii v1, v2, v R3, 1 1, 2, 3v şi 2 0, 1, 1v .

Să se scrie vectorul 1, 2, 4v ca o combinaţie liniară a vectorilor v1 şi v2.

a) 1 22v v v ; b) 1 22v v v ; c) 1 2v v v ; d) v nu se poate scrie ca o combinatie

liniara a a vectorilor v1 şi v2 Raspuns corect: d) Rezolvare: Conform definiţiei trebuie să aflăm scalarii 1 şi 2 astfel încât v = 1v1 + 2 v2

1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 1 2

1, 2, 4 1, 2, 3 0, 1, 1

1, 2, 4 1, 2, 3 0, 1, 1

1, 2, 4 , 2 , 3

sau altfel scris obţinem următorul sistem cu necunoscutele 1, 2.

1 1

1 2 2

1 2 2

1 1

2 2 4

3 4 7

sistem incompatibil sau putem afirma că vectorul

v nu se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor v1 şi v2. 3) Fie vectorii 1 2 30, 2, 1 ; 1, , 1 ; , 0, 1 ; Rv v m v m m

Determinaţi parametrul m R astfel încât vectorii v1, v2, v3 să fie liniar independenţi. a) m=1; b) m= -1; c) m R ; d) m=0 Raspuns corect: c) Rezolvare: Aplicând definiţia trebuie să punem condiţia ca toţi scalarii 1, 2, 3 K să fie nuli în egalitatea: 1v1 + 2v2 + 3v3 =0 sau transformând această egalitate într-un sistem de ecuaţii liniare omogene cu solutie nula unica, atunci obligatoriu trebuie să punem conditia ca determinantul matricii formată din vectorii v1, v2, v3 să fie nenul:

det A 0

111

0m2

m10

0 0 + 0 –2m –m2 – 0 –2 0

m2 + 2m + 2 0 (m+1)2 + 1 0 () m R Aşadar vectorii sunt liniar independenţi pentru () m R. 4) Fie vectorii 1 2 31, 1, 2 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1v v v , v1, v2, v3 R3

Vectorii v1, v2, v3 formează o bază a spatiului vectorial R3 ? Raspuns corect: A Rezolvare: Pentru a demonstra că sistemul format din trei vectori v1, v2, v3 (numarul vectorilor din baza trebuie sa fie egal cu dimensiunea spatiului in care se lucreaza) formează baza este suficient să demonstrăm că este un sistem liniar independent

112

211

111

0 Vectorii v1, v2, v3 formează o bază a spatiului vectorial R3

5) Fie vectorii 1 2 31, 1, 2 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1v v v , v1, v2, v3 R3

Exprimati coordonatele vectorului 2, 1, 2 v în baza v1, v2, v3 .

a) 2, 1, 0v ; b) 0, 3, 5v ; c) 0, 3, 5v ; d) alt Raspuns corect:.

Raspuns corect: c) Rezolvare: Vom afla coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 aplicând metoda Gauss-Jordan:

B v 1 1 1 2 1 1 2 -1 2 1 1 2 1 1 1 2 0 0 1 -3 0 -1 -1 -2 1 1 0 5 0 0 1 -3 0 -1 0 -5 1 0 0 0 0 0 1 -3 0 1 0 5

Citim din ultimul tabel coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 şi anume 0, 5, 3v .

6) Exprimati vectorul 3, 1, 2v în baza unitară.

a) 1 2 33v e e e ; b) 1 2 33 2v e e e ; c); 1 2 33v e e e d) 1 2 33v e e e

Raspuns corect: b) Rezolvare: În spaţiul R3 vectorii unitari sunt 1 2 31, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1e e e

şi atunci putem scrie v = -3e1 + 1 e2 + 2 e3. 7) Exprimati vectorul 3, 1, 2v în baza v1, v2, v3 unde

1 2 31, 1, 1 ; 3, 1, 2 ; 1, 1, 1v v v

a) 1 2 30 1 1v v v v ; b) 1 2 30 1 0v v v v ; c) 1 2 31 1 0v v v v ; d) alt răspuns.

Raspuns corect: b) Rezolvare: Pentru a exprima v în baza v1, v2, v3 se rezolvă prin metoda Gauss Jordan şi obţinem

1 2 30 1 0v v v v (sau se observă având în vedere că 2v v ).

8) Fie următoarele sisteme de vectori: A = {a1, a2, a3}, unde 1 2 31, 4, 2 ; -1, 2, 0 ; 3, 1, 5a a a şi

B = {b1, b2, b3}, unde 1 2 32, 4, 5 ; -1, 1, 0 ; -2, 0, 2b b b .

Să se determine matricea de trecere de la baza A la baza B.

a)

205834

21715

14155

16

1M ; b)

5 15 141

15 17 216

34 58 20

M

; c)

5 15 141

15 17 016

34 58 20

M

;

d) alt raspuns. Raspuns corect: a) Rezolvare: Fie M matricea de trecere de la A la B Din vA = A-1 v v = A vA vB = B-1 v v = B vB

A vA = B vB vA = A-1 B vB deci MT = A-1B pe care o vom determina aplicând metoda Gauss-Jordan

20214

581715

34155

16

1MT

205834

21715

14155

16

1M

A B 1 -1 3 2 -1 -2 4 2 1 4 1 0 2 0 5 5 0 2 1 -1 3 2 -1 -2 0 6 -11 -4 5 8 0 2 -1 1 2 6 1 0 7/6 4/3 -1/6 -2/3 0 1 -11/6 -2/3 5/6 4/3 0 0 8/3 7/3 1/3 10/3 1 0 0 5/16 -5/16 -17/8 0 1 0 15/16 17/16 29/8 0 0 1 7/8 1/8 5/4

9) Aplicaţia T : R2 R3 unde T(x1, x2) = (x1 + x2, –x2, – x1–x2) este o aplicaţie liniară ? Raspuns corect: A Rezolvare: Conform teoremei vom arăta că: T(x + y) = T(x) + T(y) () , R, x, y R2 T(x1 + y1, x2+ y2) = T(x1, x2) + T(y1, y2) (x1 + y1 + x2 + y2, – x2 – y2, – x1 – y1 – x2 – y2) = = (x1 + x2, –x2, – x1 –x2) + (y1 + y2, –y2, – y1 –y2) (A). 10) Fie aplicaţia liniară T : R2 R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2) Să se determine matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu perechea de baze: B = {a1, a2} şi B’ = {b1, b2, b3}, unde

1 2

1 2 3

1, 1 , -1, 3 ;

1, 1, 1 , 1, 3, 4 , 5, -1, 0

a a

b b b

a)

8

7

8

1

8

1

8

92

5

4

10

TM 'B,B ; b) , '

10 5

4 29 1

8 81 7

8 8

B BM T

; c); , '

10 5

4 29 1

8 81 5

8 8

B BM T

d) alt Raspuns corect:. Raspuns corect: a) Rezolvare: T(a1) = T(1, 1) = (2, –1, –2) T(a2) = T(–1, 3) = (2, –3, –2). Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt: (10/4, –9/8, 1/8) şi respectiv (–5/2, 1/8, 7/8). Deci

8

7

8

1

8

1

8

92

5

4

10

TM 'B,B

11) Fie aplicaţia liniară T : R2 R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2) Să se determine matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu bazele canonice.

a) , '

1 1

0 1

1 1B BM T

; b)

11

10

1 1

TM 'B,B ; c) , '

1 1

0 1

1 0B BM T

;

d) alt raspuns.

Raspuns corect: b) Rezolvare: Bazele canonice sunt B = {e1, e2}, 1 21, 0 , 0, 1e e şi

' ' '1 2 3 1 2 3' , , , 1, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1B e e e e e e ' ' '

T(e1) = T(1, 0) = (1, 0, –1) T(e2) = T(0, 1) = (1, –1, –1). Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt (1, 0, –1) şi respectiv (1, –1, –1) şi deci

11

10

1 1

TM 'B,B

12) Fie T : R3 R3 o aplicaţie liniară a cărei matrice asociată în raport cu baza canonică este:

130

310

004

AT

Să se afle valorile proprii asociaţi acestui operator. a) 1 = 2 = 4 şi 3 = 2; b) 1 = 2 = 4 şi 3 = –2; c) 1 = 2 = –4 şi 3 = –2; d) alt raspuns. Raspuns corect: b) Rezolvare:

Polinomul caracteristic

130

310

004

EAdetP 3 şi atunci ecuaţia

caracteristică va fi: (4 –)2 (–2 –)= 0 Valorile proprii sunt soluţiile acestei ecuaţii: 1 = 2 = 4 şi 3 = –2. 13) Fie T : R3 R3 o aplicaţie liniară a cărei matrice asociată în raport cu baza canonică este:

130

310

004

AT

Să se afle vectorii proprii asociaţi acestui operator. a) v = (k, h, h), unde k, h R şi v = (0, –p, p), unde p R nenul ; b) v = (k, -h, h), unde k, h R şi v = (0, p, p), unde p R nenul; c) v = (k, -h, -h), unde k, h R şi v = (0, –p, p), unde p R nenul; d) alt Raspuns corect:.

Raspuns corect: a) Rezolvare: Vectorii proprii asociaţi valorii proprii se află rezolvând ecuaţia: T(v) = v

Cum polinomul caracteristic

130

310

004

EAdetP 3 atunci ecuaţia

caracteristică va fi: (4 –)2 (–2 –)= 0 Valorile proprii sunt soluţiile acestei ecuaţii: 1 = 2 = 4 şi 3 = –2. Aşadar, fie 1 = 2 = 4, atunci vom rezolva ecuaţia T(v) = 4v, v R3

Rvv

Rv

vv

vv

v4vv3

v4v3v

v4v4

32

1

23

11

332

232

11

Deci v = (k, h, h), unde k, h R şi nu sunt simultan nuli, este vectorul propriu căutat asociat valorii = 4. Fie 3 = –2 atunci vom rezolva ecuaţia T(v) = -2v, v R3

Rvv

0v

v2vv3

v2v3v

v2v4

32

1

332

232

11

Deci v = (0, –p, p), unde p R nenul, este vectorul propriu asociat valorii = –2. 14) Fie o formă biliniară f : R2 × R2 R f(x, y) = x1y1 – 2x2y1 + x1y2. Care este matricea formei biliniare în baza canonică?

a)1 1

3 0fA

;b)

1 1

2 0fA

;c)

1 1

2 0fA

; d) alt Raspuns corect:.

Raspuns corect: b) Rezolvare: Fie:

11 12 11 2 1 1 11 2 1 21 1 2 12 2 2 22

21 22 2

, xa a y

f x y x x y a x y a x y a x y aa a y

Această formă o identificăm cu forma biliniară dată şi se obţine matricea formei în baza

canonică: 1 1

2 0fA

15) Să se aducă la forma canonică următoarea funcţională pătratică:

f : R3 R, 2 2 21 3 1 3 2 3 22 4 6f x x x x x x x x (utilizaţi metoda lui Jacobi)

a) 2 2 21 2 3

1 1

2 12f y y y y ; b) 2 2 2

1 2 31 1

2 12f y y y y ; c) 2 2 2

1 2 31 1

2 12f y y y y d) alt

raspuns. Raspuns corect: a) Rezolvare:

132

310

202

A

Calculăm minorii 1 11 2 3

2 0 22 0

2; 2; 0 1 3 240 1

2 3 1

a

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

1 2 2 1 1

2 2 24 2 12f y y y y y y y

şi observăm că această formă pătratică este nedefinită. 16) Să se aducă la forma canonică următoarea formă pătratică

g : R3 R 2 22 3 1 2 1 34 4g x x x x x x x utilizând metoda lui Gauss.

a) 2 21 2g y y y ; b) 2 2

1 2g y y y ; c) 2 21 2g y y y ; d) alt Raspuns corect:.

Raspuns corect: c) Rezolvare:

Matricea formei este:

102

012

220

A cu minorii

0

102

012

220

,412

20 ,0 321

Metoda lui Jacobi nu se poate aplica deoarece avem minori nuli şi atunci vom aplica acest exemplu metoda lui Gauss. Metoda lui Gauss constă în formarea de pătrate perfecte când conţin cel puţin un aii 0

2 22 2 2 22 1 2 1 1 3 1 3 2 1 1 3

2 21 2

4 4 4 4 2 2g x x x x x x x x x x x x x

g y y y

are natură nedefinită.

17) Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm din V se numeşte sistem liniar independent dacă din 1v1 + 2v2 + ....+ mvm = 0 rezultă că scalarii 1 = 2 = ..... =m = 0. Raspuns corect: A. 18) Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B = v1, v2, ..., vm se numeşte bază pe spaţiul vectorial V dacă este formată dintr-un număr maxim de vectori liniari independenţi Raspuns corect: A.

19) Aplicaţie T : V V’ este aplicaţie ... dacă şi numai dacă:

T(x + y) = T(x) + T(y), () , K, x, y V. a) liniară; b) neliniară; c) biliniară; d) alt răspuns. Raspuns corect: a) 20) Fie T: V V’, K este o valoare ... a aplicaţiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice a) proprie; b) caracteristică; c) alt răspuns. Raspuns corect: a)

2. Fundamentarea optimă a deciziilor prin programare liniară. Decizii optime de transport

Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma

generală, forma canonică, forma standard. Rezolvare:a prin algoritmul simplex primal. Forma duală a PPL. Teorema de dualitate şi conţinutul economic al variabilelor duale (preţuri umbră). Algoritmul simplex dual. Studii de caz în managementul financiar-contabil.

Formularea problemei transporturilor şi a modelului matematic. Soluţii de bază iniţiale. Criteriile de optimizare. Studii de caz. (vezi pag. 45-76 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) Concepte cheie: solutie de bază, solutie optima, forma standard, pivot, variabile ecart, variabile artificiale.

2.1. Programare liniară

Diverse probleme economice şi sociale la o serie de probleme de optimizare. De exemplu:

1. probleme de planificare a investiţiilor (probleme de utilizare oprimă a unor resurse);

2. probleme de transport; 3. probleme de planificare a producţiei.

Problema utilizării optime a unor resurse O întreprindere produce articolele A1, A2, ... An utilizând materiile prime (resursele) M1, M2, ... Mm (disponibil de forţă de muncă, capital, energie). Resursele sunt în cantităţi limitate, din, de exemplu Mj dispunem de o cantitate maximă bj (cunoscută). Se cunosc, de asemenea: • consumurile tehnologice – aij (aij 0) cantitatea din Mj ce se consumă pentru a fabrica o

unitate din Ai m1,j ,n1,i

mnm2m1m

2n22212

1n12111

n21

aaaM

aaaM

aaaM

AAA

• beneficiile unitare ci (ci 0) n1,i reprezentând suma realizată prin valorificarea unei unităţi din produsul Ai.

Notăm cu xi n,1i cantitatea de produs Ai ce va fi fabricată. Cunoaşterea lui xi, reprezentând obiectivul final într-o problemă de planificare a producţiei.

Încasările totale fiind

n

1iiin21 xcxx,xf

În cazul în care unitatea dispune de materii prime, se pune problema utilizării lor astfel încât să obţină încasări totale cât mai mari.

n1,i ,0x

m,1j,bxa

xcfmax

1

i

j

n

1iiij

n

1iii

Matriceal problema se scrie

0x

BAx

cxfmax

1

Putem spune că la un model de programare liniară avem:

1. o funcţie obiectiv (liniară în toate variabilele) f = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn 2. un sistem de restricţii formate din ecuaţii şi inecuaţii liniare 3. condiţii de nenegativitate asupra variabilelor 4. un criteriu de optim – de „min” sau de „maxim”

FORMA STANDARD A PROBLEMEI DE PROGRAMARE LINIARĂ Considerând o problemă de programare liniară, având drept criteriu de optim „min” (de exemplu, minimizarea cheltuielilor) aceasta se va scrie în formă standard astfel:

0x,0x,0x

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcfmin

2

n11

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

mn2211

Sau matriceal

0x

BAx

cxfmax

2

• Definiţie 1. Un vector X0 0 ce verifică relaţia AX = B se numeşte soluţie posibilă a modelului. • Definiţie 2. O soluţie posibilă X0 pentru care numărul de componente nenule r este mai mic sau egal cu m, iar vectorii ce corespund componentelor nenule sunt liniar independenţi se numeşte soluţie de bază. • În cazul în care r m soluţia de bază se numeşte degenerată. • Definiţie 3. Soluţia posibilă X este optimă dacă pentru orice soluţie posibilă X avem: CX CX • Teoremă. Dacă X0 este o soluţie optimă de bază a problemei de programare liniară (PL) atunci vectorii ce corespund componentelor nenule ale lui X0 sunt liniari independenţi. •Fie problema de programare liniară

mA rang n,m 0X

RMA BAX

RC,RX CX f min

nm

mn

Pentru Rezolvare:a acestuia procedăm astfel: 1. se întocmeşte lista cu vectorii corespunzători coloanelor matricii

A: a1, a2, ... an

2. dintre vectorii a1, a2, ... an se alege o bază m21 iii a ,...a,aT .

3. Se calculează componentele BT ale vectorilor B în baza T.

4. Se determină componentele vectorilor n21 a ... ,a ,a în baza T şi se trec în tabelul SIMPLEX.

Cj: C1 C2 Cn

CB coeficienţii

bazici

B baza

XB soluţia

a1 a2 am

C1 1i

a

com

pone

ntel

e lu

i B în

ba

za T

C2 2i

a

⋮ ⋮ Cm

mia

Zj Z0 Z1 Zn

j = Cj – Zj

B

m

1iB0jij XC Z,aCZ

5. Dacă j 0 atunci

• baza T este optimă; • soluţia de bază BT completată cu zerourile necunoscutelor este soluţie optimă de bază • valoarea optimă a funcţiei obiectiv este Z0 şi Rezolvare:a s-a încheiat. Dacă pentru care 0, baza T nu este optimă şi se trece la punctul 6o.

6. Se va introduce în bază vectorul a (unde: indicele este dat de cea mai mare diferenţă negativă în modul) parcurgând etapele următoare: a. se împarte coloana BT la coloana componentelor lui a (numai

componentele strict pozitive); b. se alege rezultatul minim; c. vectorul a iese din bază şi intră în bază vectorul a; d. elementul aflat pe linia şi coloana se numeşte pivot).

7. Completarea tabloului simplex se va face astfel: • baza nouă se obţine prin scoaterea lui a din bază şi înlocuirea cu a; • coloana pivotului devine vector unitar; • linia pivotului se împarte la pivot, rezultatul trecându-se în total pe linia ; • se aplică regula dreptunghiului (elementul ce se calculează este dat de

produsul elementelor de pe diagonala pivotului

– produsul elementelor de pe

cealaltă diagonală pivot

• se completează liniile anexă; • se revine la punctul 5o.

OBSERVAŢII

• La ieşirea din bază dacă sunt mai multe rapoarte minime egale poate ieşi oricare din variabilele corespunzătoare.

• Dacă la căutarea variabilei ce părăseşte baza pe coloana ce intră în bază nu avem nici un element strict pozitiv (toate negative sau zero) algoritmul se va încheia cu concluzia optim infinit. Exemplu: Să se rezolve următoarea problemă de programare liniară:

1,5i ,0x

16x3xx

12xx2x

8x2xx

x2x3xx2x fmin

i

543

542

541

54321

Rezolvare:

Scriem matricea

31100

12010

21001

A

Observăm că avem o bază 321 a ,a ,aB

Cj 2 1 1 3 2 CB B XB a1 a2 a3 a4 a5 2 a1 8 1 0 0 1 2 1 a2 12 0 1 0 2 1 1 a3 16 0 0 1 1 3 Zj 28+112+116=44 2 1 2 5 8

j = Cj – Zj 0 0 0 -2 -6 soluţia nu

este optimă ( j 0)

2 a5 4 1/2 0 0 1/2 1 1 a2 8 -1/2 1 0 3/2 0 1 a3 4 -3/2 0 1 -1/2 0 Zj 20 -1 1 1 2 2

j = Cj – Zj 3 0 0 1 0 j 0 soluţia este optimă

Concluziile sunt următoarele: • baza 321 a ,a ,aB nu este optimă deoarece 4 0, 5 0;

• corespunzător lui 5 (celei mai mari diferenţe negative în modul) alegem vectorul a5 în scopul introducerii în bază; • împărţind coloana „soluţie” la coloana lui a5, găsim

3

16 ,

1

12 ,

2

8, iar

2

8

3

16 ,

1

12 ,

2

8min

, corespunzător pivotului va fi a15 = 2

a1 iese din bază, a5 intră în bază. La Pasul următor observăm că toate diferenţele j 0, soluţia este optimă • baza 325 a ,a ,a este optimă

• soluţia optimă de bază este x5 = 4, x2 = 8, x3 = 4 x1 = x4 = 0 • valoarea minimă a lui f este Z0 = 9 Algoritmul SIMPLEX pentru probleme care nu au soluţia iniţială. • Restricţiile pot fi puse (sau sunt) sub forma Ax b, b 0, x 0 indiferent dacă problema este de „max” sau de „min”. • Deoarece în cazul inegalităţii 0 astfel încât + = vom adăuga la fiecare inegalitate a problemei câte o variabilă y pozitivă astfel încât sistemul de inegalităţi al problemei devine sistem de egalităţi. Fixând x1 = x2 = ... = xn = 0 avem soluţia y1 = b1, ... ym = bm posibilă prin construcţie. În funcţia obiectiv variabilele y sunt introduse şi numite variabile de compensare sau de egalizare sau variabile ecart vor figura cu coeficient „0” Pentru problema modificată în acest fel şi adusă, deci la forma standard se aplică algoritmul simplex ca în cazul precedent.

(3)

0Y 0,X

b yIAX

y0CXfmax

0X

0b ,bAX

CXfmax

m (3’)

(3’)

m1,j ,0y ,n1,i ,0x

byxa...amxxa

b yxa...xaxa

b yxa...xaxa

y0CXfmax

j1

mmnmn211m

22nn2222121

11nn1212111

(4)

OBSERVAŢII • La determinarea algoritmului SIMPLEX soluţia optimă poate cuprinde variabile X cât şi variabile Y

0

00

y

xX

• În cazul în care există componente y în soluţia optimă, interpretarea lor economică poate fi aceea de economie de resurse în sensul că pentru componenta optimă yk de exemplu, diferită de zero, atunci resursa bk 0, nu a fost transformată în întregime. Exemplu

(4)

1,4i ,0x

15x3xx2x

12xxxx2

x5xx4x2fmax

i

4321

4321

4321

(5)

0y ,0y ,1,4i ,0x

15yx3xxx

12yxxxx2

y0y0x5xx4x2fmax

21i

24321

14321

214521

Rezolvare: Matricea corespunzătoare va fi:

103111

011112

B = {y1, y2} Întocmim tabloul simplex cj: 2 4 -1 5 0 0 CB B XB a1 a2 a3 a4 y1 y2 0 y1 12 2 1 1 1 1 0

3

15,

1

12min

0 2y 15 1 2 1 3 0 1 PIVOT 3

3

15

zj 0 0 0 0 0 0 j = cj – zj 2 4 -1 5 0 0 soluţia nu este

optimă (j 0) 0 y1 7 5/3 1/3 2/3 0 1 -1/3

3/2

5,

3/1

7min =

5 4a 5 1/3 2/3 1/3 1 0 1/3 PIVOT 3/2

3/2

5

zj 25 5/3 10/3 5/3 5 0 5/3 j = cj – zj 1/3 2/3 -8/3 0 0 -5/3 soluţia nu este

optimă (j 0) 0 y1 9/2 3/2 0 1/2 -1/2 1 -1/2 4 a2 15/2 1/2 1 1/2 3/2 0 1/2 zj 30 2 4 2 6 0 2 j = cj – zj 0 0 -3 -1 0 -2 Soluţia este optimă

(j 0) Soluţia este x1 = x3 = x4 = 0, x2 = 15/2 y1 = 9/2, y2 = 0 fmax = 30 METODA BAZEI ARTIFICIALE Constă în introducerea unui număr de m variabile artificiale ui, ui 0 câte una la fiecare restricţie astfel încât restricţiile modificate devin:

0u ,0x

buIAX m

iar funcţia obiectiv [max]f = CX – Mu sau [min]f = CX + Mu, unde M 0 foarte mare în raport cu cifrele ce apar în calcule. Scopul introducerii variabilelor artificiale este acela de a avea pentru început o soluţie de bază, constatând că aceasta este dată chiar de variabilele artificiale. La terminarea algoritmului SIMPLEX pentru o astfel de problemă putem avea următoarele situaţii: 1. soluţia optimă nu conţine variabile artificiale 2. soluţia optimă conţine variabile artificiale, dar de valoare zero. În acest caz problema are soluţie optimă degenerată 3. soluţia optimă conţine variabile artificiale nenule. În acest caz problema nu are soluţie, pentru că nu a fost corect formulată. Din punct de vedere economic prezenţa variabilelor artificiale în funcţia obiectiv înseamnă o diminuare a valorii maxime sau o creştere a valorii minime. Exemplu

1,4i ,0x

15x3xx2x

10xxxx2

x5xx4x2fmax

i

4321

4321

4321

Rezolvare:

Matricea sistemului

1121

1112:A

Problema se va rescrie

0u ,0u ,1,4i ,0

1532

102

542max

21

24321

14321

214321

ix

uxxxx

uxxxx

MuMuxxxxf

Matricea se rescrie corespunzător

103121

011112A

B = {u1, u2} cj 2 4 -1 5 -M -M CB B XB x1 x2 x3 x4 u1 u2 -M u1 10 2 1 1 1 1 0

3

15,

1

10min

-M 2u 15 1 2 1 3 0 1 PIVOT 3

3

15

zj -3M -3M -2M -4M -M -M j = cj – zj 2-3M 3M+4 2M-1 4M+5 0 0 soluţia nu este

optimă (j 0) -M u1 5 5/3 1/3 2/3 0 1 -1/3 5 x4 5 1/3 2/3 1/3 1 0 1/3

3/1

5 ,

3/5

5min

zj 5/3-

5/3M 10/3-M/3

5/3-2M/3

5 -M M/3+5/3 PIVOT 3/5

3/5

5

j = cj – zj 5/3M+1

/3 M/3+2/3

2M/3-8/3

0 0 -4M/3-5/3 soluţia nu este optimă (j 0)

2 x1 3 1 1/5 2/5 0 3/5 -1/5

5 x4 4 0 3/5 1/5 1 -1/5 2/5

3/5

4 ,

5/1

3min

zj 26 2 17/5 9/5 5 1/5 8/5

PIVOT 5/35/3

4

j = cj – zj 0 3/5 -14/5 0 -M-

1/5 -M-8/5 soluţia nu este

optimă (j 0) 2 x1 5/3 1 0 1/3 -1/3 2/3 -1/3 4 x2 20/3 0 1 1/3 5/3 -1/3 2/3 zj 80/3 2 4 2 6 0 2 j = cj – zj 0 0 -3 -1 -M -M-2 soluţia este

optimă (toate diferenţe j 0)

Soluţia max f = 80/3 x1 = 5/3 u1 = u2 = 0 x2 = 20/3 x3 = x4 = 0 OBSERVAŢII Pentru o problemă ce nu are soluţie iniţială procedăm astfel: 1. restricţiile de forma devin egalităţi introducând variabilele de compensare; 2. pentru restricţiile = introducem variabilele artificiale; 3. pentru restricţiile introducem variabilele de compensare şi artificiale. Formal putem scrie: • + = • = + u = • – + u = În funcţia obiectiv sunt introduse variabilele de compensare ca în cazul 1 şi variabilele artificiale ca în cazul 2. Exemplu

1,6i ,0x

8xxxx2xx

24xx3xxx2x

8xxxxxx2

x4x3x2xxxfmin

i

654321

654321

654321

654321

Rezolvare: Problema se va rescrie introducând variabilele de compensare şi artificiale corespunzătoare

0u ;0u ;0y ,0y ,1,6i ,0x

8uyxxxx2xx

24uxx3xxx2x

8yxxxxxx2

MuMuy0y0x4x3x2xxxfmin

2121i

22654321

1654321

1654321

2121654321

Matricea sistemului va fi:

1010111211

0100131121

0001111112

:A

Observăm că B = {y1, u1, u2} cj 1 1 1 2 3 4 0 0 M M CB B XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 u1 u2 0 y1 8 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 M u1 24 1 2 1 1 3 1 0 0 1 0 M u2 8 1 1 2 1 1 1 0 -1 0 1 zj 2M 3M 3M 2M 4M 2M 0 -M M M j = cj – zj 1-

2M 1-3M

1-3M

2-2M

3-4M

4-2M

0 M 0 0 soluţia nu este optimă (j 0)

3 x5 8 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 M u1 0 -5 -1 -2 -2 0 -2 -3 0 1 0 M u2 0 -1 0 1 0 0 0 -1 -1 0 1 zj 24 6-

6M 3-M

3-M

3-2M

3 3-2M

3-4M

-M M M

j = cj – zj 6M-5

M-2

M-2

2M-1

0 2M+1

4M-3

M 0 0 0 soluţia este optimă degenerată

Soluţia [min]f = 24 u1 = u2 = 0 y1 = y2 = 0 x1 = x2 = x3 = x4 = x6 = 0 x5 = 8

2.2. Probleme de transport

Concepte cheie surse, destinatii, forma echilibrată , soluţie realizabilă, metoda diagonalei (metoda colţului nord-vest), metoda costurilor minime

Problemele de transport sunt o formă particulară a problemelor de programare

liniară pentru care metoda simplex poate fi adaptată condiţiilor particulare, având ca rezultat un procedeu de Rezolvare: în principiu identic celui utilizat în cazul general. Primele rezultate au fost obţinute de Hitchcock, Kantorovici şi Koopmans şi ulterior de Dantzig. În practică o asemenea problemă poate fi întâlnită, de exemplu, sub forma următoare: un anumit produs se află în cantităţile maaa ,...,, 21 în punctele mAAA ,...,, 21

numite şi surse. El trebuie transportat în punctele nBBB ,...,, 21 numite destinaţii, în

cantităţile nbbb ,...,, 21 , urmărind minimizarea cheltuielilor de transport, cunoscând

preţurile unitare de transport ijc de la sursa i către destinaţia j .

Formularea matematică a problemei este

i

n

jij ax

1

, mi ,...,1 (2.1)

j

m

iij bx

1

, nj ,...,1

(2.2.)

0ijx , mi ,...,1 , nj ,...,1 (2.3.)

m

i

n

jijij xcf

1 1

min (2.4.)

0ia , mi ,...,1

0jb , nj ,...,1

0ijc , ni ,...,1 , mj ,...,1

n

jj

m

ii ba

11

(2.5.)

unde am notat prin ijx cantităţile transportate de la sursa i către destinaţia j .

Relaţiile (2.1) sunt impuse de faptul că totalul transportat de la fiecare sursă să nu depăşească cantitatea existentă, condiţiile (2.2) impun satisfacerea cererii iar (2.5.) apar naturale în contextul concret al problemei.

Prin transformări elementare acest tip de problemă poate fi adus la forma echilibrată

i

n

jij ax

1

, mi ,...,1 (2.1'.)

j

m

iij bx

1

, nj ,...,1 (2.2'.)

0ijx , mi ,...,1 , nj ,...,1 (2.3'.)

m

i

n

jijij xcf

1 1

min (2.4'.)

0ia , mi ,...,1

0jb , nj ,...,1

0ijc , ni ,...,1 , mj ,...,1

n

jj

m

ii ba

11

(2.5'.)

ultima egalitate (2.5’) se poate realiza prin introducerea unei destinaţii fictive căreia să-i fie destinat surplusul de produs existent pe ansamblul surselor.

Datele problemei se prezintă sub forma unui tabel:

1B 2B jB nB Disponibil

1A 11c 12c jc1 nc1 1a

2A 21c 22c jc2 nc2 2a

iA 1ic 2ic ijc inc ia

mA 1mc 2mc mjc mnc ma

Necesar 1b 2b jb nb

Propoziţia 1. Orice problemă de transport are totdeauna o soluţie realizabilă de

forma s

bax ji

ij ,

n

jj

m

ii bas

11

.

Demonstraţie: s

bax ji

ij satisfac restricţiile (2.1'.) şi (2.2'.)

i

n

jj

in

j

jin

jij ab

s

a

s

bax

111

, mi ,...,1

j

m

ii

jm

i

jim

iij ba

s

b

s

bax

111

, nj ,...,1

şi condiţiile de nenegativitate (2.9.3'.). În general această soluţie nu este optimă, dar ţinând seama de faptul că un program

liniar sau nu are soluţii posibile, sau admite soluţii posibile cu optim infinit sau are soluţie optimă finită şi ţinând seama de propoziţia anterioară rezultă că orice problemă de transport admite o soluţie optimă finită deoarece

jiij bax ,min

şi deci situaţia optimului infinit se exclude. Propoziţia 2. Rangul matricii A a coeficienţilor restricţiilor liniare (2.1’), (2.2’)

este 1 nm . Rezultă că o soluţie realizabilă de bază într-o problemă de transport are cel mult

1 nm componente nenule; ea este nedegenerată dacă are exact 1 nm componente nenule şi degenerată dacă are mai puţin de 1 nm componente nenule.

Forma matriceală a problemei de transport T este:

T

CXf

X

dAX

min

0

unde A este matricea de ordin mnnm ,

nnn EEE

A

100

010

001

unde 1 este vectorul linie 1,...,1,1 cu n componente, 0 vectorul nul 0,...,0,0 cu n

componente, nE matricea unitate de ordin n , d vectorul coloană de componente

nm bbbaaa ,...,,,,...,, 2121 ; X vectorul coloană de componente

mnmmn xxxxxx ,...,,,...,,...,, 2111211 .

Pentru Rezolvare:a problemelor de transport ca şi în cazul problemelor generale de programare liniară, algoritmul de Rezolvare: are două etape:

a) aflarea unei soluţii iniţiale realizabile de bază; b) îmbunătăţirea soluţiei iniţiale până la obţinerea soluţiei optime.

Vom da în continuare două procedee de obţinere a unei soluţii iniţiale realizabile de bază.

1) Metoda diagonalei (metoda colţului nord-vest). Cantităţile disponibile maa ,...,1 şi cererile corespunzătoare nbb ,...,1 se dispun pe

laturile unui tabel iar celulele din interiorul tabelului se rezervă pentru necunoscutele ijx

( mi ,...,1 ; nj ,...,1 ) care trebuie determinate.

1a

2a

ia

ma

1b 2b jb nb s

Componentele bazice ijx ale soluţiei se determină pe rând, începând cu 11x şi

anume: Se alege 1111 ,min bax şi vor fi considerate nebazice (deci vor fi egali cu zero)

toate variabilele de pe aceiaşi linie (sau coloană) cu 11x conform următoarelor situaţii:

a) dacă 11 ba , atunci 111 ax şi 01 jx , ( nj ,...,3,2 );

b) dacă 11 ba , atunci 111 bx şi 01 ix , ( mi ,...,3,2 );

c) dacă 11 ba , atunci 1111 bax şi la alegere 012 x sau 021 x , toate celelalte componente de pe linia 1 şi coloana 1 fiind considerate nebazice, deci, nule.

Concomitent se modifică şi valorile lui 1a sau 1b înlocuindu-se cu 1111 xaa şi

1111 xbb . În pasul următor procedeul se repetă pentru celulele rămase necompletate şi se

termină după 1 nm paşi, în fiecare pas completând o linie (situaţia a) sau o coloană (situaţia b) sau o linie şi o coloană (situaţia c).

De regulă componentele bazice nu se trec în tabel ci se haşurează căsuţa respectivă. Exemplu 1.. 651 a , 152 a , 203 a , 401 b , 352 b , 153 b , 104 b .

1b 2b 3b 4b

1a 3

40 2

25 1 4 65 ,

25

2a 1 3

10 2

5 2 15 , 5

3a 3 4 1

10 3

10 20

40 35 , 10 15 , 10 10 100s

Pasul I 40,min 11111 bbax , am haşurat celulele corespunzătoare variabilelor

nebazice (pentru 21x , 31x ). Se recalculează 1a care devine

2540651 a .

Pasul II 25,min 12112 abax şi haşurăm celulele corespunzătoare variabilelor

nebazice (pentru 13x , 14x ). Se recalculează 2b care devine 1025352 b .

Pasul III 10,min 22222 bbax şi haşurăm celula corespunzătoare lui 32x care e

nul. Recalculăm 2a care devine 510152 a .

Pasul IV 5,min 23223 abax , haşurăm celula lui 23x care e nul şi recalculăm

3b , 105153 b .

Pasul V 10,min 33333 bbax şi este evident că 1034 x .

Ţinând seama de costurile trecute în colţurile de sus ale celulelor avem pentru f valoarea

25010310152103252403 f .

Am obţinut o soluţie de bază nedegenerată 4011 x , 2512 x , 1022 x , 523 x ,

1023 x , 1034 x , 0323124211413 xxxxxx

2. Metoda costurilor minime

Pentru determinarea soluţiei de bază se iau în considerare costurile care ne indică ordinea de alegere a componentelor în fiecare pas.

În primul pas se determină componenta khx pentru care ijkh cc min şi se ia

hkkh bax ,min cu cele trei alternative ca la metoda diagonalei. Se repetă procedeul

urmărind costurile minime pentru celulele necompletate. Exemplu 2. Reluăm datele din exemplul 1.

Pasul I Pe prima linie a tabloului cel mai mic cost este 113 c deci luăm

15,min 33113 bbax ; se haşurează restul de celule din coloana lui 3b şi

se recalculează 1a care devine 5015651 a '

1b 2b 3b 4b

1a 3 15

2 35

1 15

4 65 , 50 , 15

2a 1 15

3 2 2 15

3a 3 10

4 1 3 10

20

40 , 25 35 15 10

Pasul II căutăm 1min 21 ccij , 15,min 21221 abax şi haşurăm celulele

liniei doi. Recalculăm 1b , care devine 2515401 b .

Pasul III 12min ccij deci 35,min 22112 bbax . Haşurăm coloana lui 2b şi

avem 153511 aa .

Pasul IV 343111min ccccij , 15,min 11111 bbax şi 1b devine

101511 bb . Este evident acum că 1013 x şi 1034 x .

Avem 215f pentru 1511 x , 3512 x 1513 x , 1521 x , 1031 x , 1034 x ,

0333224232214 xxxxxx .

Metoda costurile minime dă în general o soluţie iniţială de bază mai bună decât metoda diagonalei, realizând o valoare a cheltuielilor de transport mai mică. Acest lucru este util deoarece numărul iteraţiilor necesare pentru atingerea optimului va fi mai mic.

Pentru determinarea soluţiei optime a unei probleme de transport se utilizează algoritmul bazat pe adoptarea metodei simplex la condiţiile particulare ale problemei de transport. Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare 1. Fie urmatoarea problema de transport: B1 B2 B3 B4

Disponibil

A1 80

A2 10 A3 20 Necesar 50 35 15 10

unde costurile sunt

.10,3,8,6,4,1,2,2,3,2,6,5 343332312423222114131211 cccccccccccc

Determinati o solutie initiala cu metoda diagonalei (sau coltului de nord-vest). Rezolvare:

a) 3050)50,80min(),min( 11111

abax si .03121 xx

530)35,30min(),min( 22112

bbax si .01413 xx

55)5,10min(),min( 22222

abax si .032 x

.105)15,5min(),min( 33223

bbax

.1010)10,20min(),min( 33333

abax

.1034 x

B1 B2 B3 B4

Disponibil

A1 50 30 /// /// 80,30

A2 /// 5 5 /// 10,5 A3 /// /// 10 10 20,10 Necesar 50 35,5 15,10 10

2. Fie urmatoarea problema de transport: B1 B2 B3 B4

Disponibil

A1 80 A2 10

A3 20 Necesar 50 35 15 10 unde costurile sunt

.10,3,8,6,4,1,2,2,3,2,6,5 343332312423222114131211 cccccccccccc

Optimizati urmatoarea solutia initiala: 10,10,5,5,30,50 343323221211 xxxxxx

cu 0ijx in rest.

Rezolvare:: Asadar, punand si costurile in tabel avem urmatoarea solutie initiala:

50 5 30 6 /// 2 /// 3 /// 2 5 2 5 1 /// 4 /// 6 /// 8 10 3 10 10 . Costul total in acest moment este: .57510030510180250 f

Calculam dij corespunzatori casutelor nebazice (hasurate). ,362121222231313 ccccd

,9621310312222333341414 ccccccd

,156221112222121 ccccd

,4131042333342424 ccccd

,356213611212223333131 ccccccd

421382223333232 ccccd

Criteriul de optim este: 0ijd ? Raspuns corect:: Nu.

Avem ca 149min dd ij . Asadar, in ciclul lui corespunzator celulei )4,1( punem in

celula )4,1( o valoare pozitiva t iar la celelalte adaugam si scadem alternativ numarul

t, adica:

tt

tt

tt

1010

55

30

In acest moment vom cauta cea mai mare valoare 0t pentru care toate numerele din schema de mai sus sa fie pozitive. Obtinem 5t si vom avea solutia imbunatatita:

50 5 25 6 /// 2 5 3 /// 2 10 2 5 1 /// 4 /// 6 /// 8 15 3 5 10 Costul total in acest moment este: .53050452015150250 f

Calculam dij corespunzatori casutelor nebazice (hasurate). ,6310323334141313 ccccd

,156221112222121 ccccd

,9263103122121434332223 ccccccd

,526342212142424 ccccd

,11563103611121434333131 ccccccd

.16263103822121434333232 ccccccd

Criteriul de optim este: 0ijd ? Raspuns corect:: Da.

Deci costul total minim este .530f 3. Aduceti la forma standard urmatoarea problema de programare liniara. [max] ,46 21 xxf

0,

73

92

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare:: Forma standard a problemei este: [max] ,0046 4321 xxxxf

0,,,

73

92

4321

421

321

xxxx

xxx

xxx

4. Scrieti matricea corespunzatoare formei standard pentru urmatoarea problema de programare liniara si stabiliti daca problema are solutie initiala. [max] ,46 21 xxf

0,

73

92

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Matricea corespunzatoare formei standard este:

4321

1021

0112aaaa

A

si deci baza initiala este }.,{ 43 aaB

5. Alcatuiti tabelul simplex al urmatoarei probleme de programare liniara si optimizati solutia acesteia. [max] ,46 21 xxf

0,

73

92

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Tabelul simplex este: 6 4 0 0

B CB XB a1 a2 a3 a4 i

a3 0 9 )2( 1 1 0 ,42:9

a4 0 7 1 2 0 1 71:7

f i 0 0 0 0 0 i 6 4 0 0

.

Verificam criteriul de optim pentru o problema de maxim: ,0 j 4,1j ?

Observam ca Raspuns corect:ul este nu si deci, va trebui sa schimbam baza.

Intra in baza vectorul ak corespunzator celei mai mari diferente ,j adica

16max aj intra in baza.

Iese din baza vectorul ak corespunzator celui mai mic raport ,i adica

317

29 5,4},min{ a iese din baza.

Trecem la o noua iteratie a tabelului simplex folosind algoritmul Gauss-Jordan si avem: 6 4 0 0

B CB XC a1 a2 a3 a4 i

a1 6 92 1

12 2

1 0 9: 21

29

a4 0 52 0 )( 2

3 21 1

35

23

25 :

f i 27 6 3 3 0 i 0 1 0 0

.

0 j ? Raspuns corect:: Nu. Schimbam baza: a2 intra in baza, a4 iese din

baza. 6 4 0 0

B CB XB a1 a2 a3 a4 i

a1 6 113 1 0

23 3

1

a2 4 53 0 1 3

1 25

f i 863 6 4 3

8 23

i 0 0 38

23

0 j ? Raspuns corect:: Da.

Atunci 386max f si se realizeaza pentru ,3

111 x .0, 433

52 xxx

6. Aduceti la forma standard urmatoarea problema de programare liniara. [max] ,25 21 xxf

0,

1

632

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Aducem problema la forma standard. [max] ,0025 4321 xxxxf

0,,,

13

62

4321

421

321

xxxx

xxx

xxx

7. Scrieti matricea asociata urmatoarei problema de programare liniara si stabiliti o solutie initiala. [max] ,25 21 xxf

0,

1

632

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare:: Scriem matricea sistemului de egalitati pentru a verifica daca problema are solutie initiala de baza.

Avem

4321

1031

0112aaaa

A

si observa ca nu putem alege in acest moment baza initiala.

Pentru aceasta introducem o variabila artificiala, y, in ecuatia a doua, care va aparea cu coeficientul 0, MM suficient de mare, si avem:

[max] ,0025 4321 Myxxxxf

.

0,,,,

13

62

4321

421

321

yxxxx

yxxx

xxx

Avem ca

54321

11031

00112aaaaa

A

si baza initiala artificiala va fi }.,{ 53 aaB

8. Scrieti tabelul simplex pentru urmatoarea problema de programare liniara si optimizati solutia. [max] ,25 21 xxf

0,

1

632

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Tabelul simplex este: 5 2 0 0 M

B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 i

a3 0 6 2 1 1 0 0 32:6

a5 M 1 )1( 2 0 1 1 11:1

f i M M M 0 M M i M5 M2 0 M 0

.

Verificam criteriul de optim pentru o problema de maxim: ,0 j 4,1j ?

Obsevam ca Raspuns corect:ul este nu si deci, va trebui sa schimbam baza.

Intra in baza vectorul ak corespunzator celei mai mari diferente ,j adica

15max aMj intra in baza.

Iese din baza vectorul ak corespunzator celui mai mic raport ,i adica

51}1,3min{ a iese din baza.

Trecem la o noua iteratie a tabelului simplex folosind algoritmul Gauss-Jordan si avem: 5 2 0 0 M

B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 i

a3 0 4 0 1 1 )2( 2 22:4

a1 5 1 1 1 0 1 1 nu se face

f i 5 5 5 0 5 5

i 0 3 0 5 5 M

0 j ? Raspuns corect:: Nu. Schimbam baza: a4 intra in baza, a3 iese din

baza. 5 2 0 0 M

B CB XB a1 a2 a3 a4 a5 i

a4 0 2 0 12

12 1 1

a1 5 3 1 32

12 0 0

f i 15 5 152

52 0 0

i 0 211 2

5 0 M

.

0 j ? Raspuns corect:: Da.

Atunci 15max f si se realizeaza pentru ,31 x .0,2 324 xxx

9. Scrieti duala urmatoarei probleme primale. [min] ,21 xxf

)(P

0,

6

184

2043

12

21

1

21

21

21

xx

x

xx

xx

xx

Rezolvare: Duala problemei este: [max] ,6182012 4321 yyyyg

)(D

0,,,

1643

13

4321

321

4321

yyyy

yyy

yyyy

10. Scrieti duala urmatoarei probleme primale. [min] ,53 21 xxf

)(P

0,

743

32

21

21

21

xx

xx

xx

Rezolvare: Duala problemei este: [max] ,73 21 yyg

)(D

0,

543

33

21

21

21

yy

yy

yy

4. Elemente de analiză matematică cu aplicaţii în fundamentarea

deciziei economice optime. Modelul dinamicii proceselor economice. Modelul dinamicii proceselor economice

Serii numerice, criterii de convergenţă. Şiruri de funcţii. Serii de puteri. Seria Taylor pentru funcţii de o variabilă reală. Funcţii de mai multe variabile.Continuitatea funcţiilor în spaţiul Rn: limite, limite iterate. Derivabilitatea funcţiilor în Rn: derivate parţiale de ordinul I şi de ordin superior. Diferenţiala de ordin I şi de ordin superior; conţinut economic. Derivata funcţiilor compuse. Extremele funcţiilor de mai multe variabile, extreme cu legături. Conţinut economic. Aplicaţii şi studii de caz. Integrale. Dinamica proceselor economice: analiza în timp continuu şi în timp discret. Tipuri principale de ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în economie: ecuaţii cu variabile separabile, ecuaţii omogene, ecuaţii diferenţiale liniare, ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaţiile lor.

(vezi pag. 45-76 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) Concepte cheie: vecinătate a unui punct, punct de acumulare, limite iterate, funcţie diferenţiabilă, funcţie derivabilă parţial, funcţie diferenţiabilă, punct staţionar,punct de extrem, punct de minim, punct de maxim,puncte de extrem conditionat, multiplicatorul lui Lagrange

3.1 Funcţii de mai multe variabile

Funcţiile de mai multe variabile sunt întâlnite în modelarea activităţilor economice. De exemplu: o firmă exportă 3 produse în cantităţile 1 2 3, ,x x x la preţul pieţii 1 2 3, ,p p p .

Să se scrie funcţia care cuantifică nivelul încasărilor dacă: a) indiferent de cantităţile cumpărate preţurile rămân 1 2 3, ,p p p ;

b) se face o reducere de preţ de 1% pentru produsele 2 şi 3 şi de 1,5% pentru produsul 1 în raport cu cantităţile cumpărate. Avem în cele două cazuri răspunsurile: a) 1 1 2 2 3 3Y p x p x p x

b) 1 1 1 2 2 2 3 3 30,015 0,01 0,01Y p p x p p x p p x .

În ambele cazuri avem y ca funcţie de variabilele 1 2 3, ,x x x .

Pentru studiul continuităţii şi a derivabilităţii funcţiilor de mai multe variabile sunt necesare câteva noţiuni importante în spaţiul Rn.

Definiţie. Se numeşte sferă sau bilă deschisă cu centrul în punctul a Rn şi de rază r, mulţimea

}),(,|{)( raxdRxxaB nr , cu d distanţa din Rn

Dacă distanţa d (x, a) r bila este închisă. 1) Dacă n = 2 bila este un cerc cu centrul în punctul a = (a1, a2) şi rază r. 2) Dacă n = 3 bila este o sferă cu centrul în punctul a = (a1, a2, a3) şi de rază r.

Definiţie: Numim vecinătate a unui punct a Rn orice mulţime care conţine o bilă deschisă cu centrul în a şi o vom nota prin Vr(a). sau

Definiţie: Numim vecinătate a punctului a Rn orice mulţime V care conţine un interval n – dimensional I care conţine punctul a. Deci a I V. Fie A Rn

Definiţie. Numim funcţie reală de o variabilă vectorială o funcţie f: A R şi se notează y = f(x), x A sau y = f(x1, x2, ..., xn).

Observaţie: Mulţimea Rn e un spaţiu vectorial faţă de operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari, deci punctele din Rn le vom numi vectori, iar x1, x2, ..., xn coordonatele sau componentele vectorului x. În continuare ne vom ocupa de funcţiile reale de două variabile reale. În acest caz numim intervalul bidimensional, simetric deschis al punctului P(a, b): I = {(x, y) Rn x - a , y- b , 0, 0}

Limita unei funcţii într-un punct

Definiţie: Fie D R2. Un punct M0(a, b) se numeşte punct de acumulare pentru

D dacă orice vecinătate a lui conţine cel puţin un punct din D diferit de M0.

Definiţie.Un şir de puncte din D : {xn, yn}n N* este convergent dacă şirurile de numere reale {xn} n N* şi {yn } n N* sunt convergente. Fie f : D R, D R2 şi M0(a, b) punct de acumulare pentru D.

Definiţie: Numărul m R (finit sau nu) se numeşte limita funcţiei f(x, y) în punctul M0 (a, b) dacă pentru orice şir convergent de puncte din D \ M0 cu

)b,a(M)yx(P 0R în

nnn

2

rezultă .)( R mPf înn

Limite iterate

Fie 2RD şi M0(a, b) punct de acumulare pentru D şi f: D R. Fixăm y şi presupunem că există

x alim , (y)f x y

şi y b y b x alim y lim lim ,f x y

(1)

În mod analog, dacă fixăm x şi dacă există

lim ,y b

f x y x

şi lim lim lim ,x a x a y b

x f x y

(2)

acestea se numesc limite iterate ale lui f în M0. Observaţia 1: Existenţa lor nu influenţează egalitatea lor

exemplu: , , x y

f x y x yx y

.

În M0(0, 0) avem 0 0

lim lim 1y x

x y

x y

şi 0 0

lim lim 1x y

x y

x y

.

Observaţia 2: Existenţa şi egalitatea lor nu implică existenţa limitei în acel punct

Exemplu: 2 2,

xyf x y

x y

(x, y) (0, 0).

Avem: 2 20 0

lim lim 0x y

xy

x y

2 20 0lim lim 0y x

xy

x y

dar am demonstrat anterior că această funcţie nu are limită în origine.

Continuitatea într-un punct Fie 2

0: , R şi M ( , )f D R D a b D

Definiţie Funcţia f este continuă în punctul M0 dacă pentru 0 nnP un şir de

puncte din D cu n 0P în D M să avem: 0

R )( MPf înn

sau

Definiţie: f este continuă în M0 dacă pentru 0, ( ) 0 > > aşa încât pentru

P D cu 0d(P,M ) ( ) să avem )(),( 0MfPfd .

Observaţie: Proprietatea de continuitate se defineşte în raport cu ansamblul variabilelor (x,y) şi în particular o funcţie continuă într-un punct e continuă în raport cu fiecare variabilă în parte. Reciproc NU. Derivate parţiale Definiţie: 2D R , 2: RDf , şi (a,b) un punct interior lui D Funcţia f este derivabilă parţial în raport cu x în punctul (a,b) dacă

ax

bafbxfax

),(),(lim există şi este finită

Vom nota această limită cu

x

bafbaf x

),(

),( şi o vom numi derivată parţială de ordinul 1 a funcţiei f în punctul

(a,b) Definiţie Funcţia f e derivabilă parţial în raport cu y în punctul (a,b) interior lui A dacă

),(),(lim

by

bafyafby

şi este finită

Vom nota această limită cu

y

bafbaf y

),(

),(

Definiţie

Fie 2:f D R R , derivabilă parţial în raport cu x, respectiv cu y, ( , )x y D

Dacă derivatele parţiale ),(),,( yxfyxf yx definite pe D sunt la rândul lor derivabile

parţial în raport cu x,y, atunci derivatele lor parţiale sunt derivate parţiale de ordinul 2 ale lui f şi se notează:

),(),(),(

22

2

yxfyxfx

yxf

x

f

x xxx

),(),(),(

22

2

yxfyxfy

yxf

y

f

y yyy

),(),(2

yxfyx

yxf

y

f

x xy

),(),(2

yxfxy

yxf

x

f

y yx

Criteriul lui Schwartz Dacă funcţia f: RRE 2 are derivate parţiale mixte de ordinul 2 într-o vecinătate V a lui (a,b) E şi dacă sunt continue în (a,b) atunci: ),(),( bafbaf yxxy

3.2. Diferenţiale

Fie f o funcţtie reală de două variabile, RREf 2: şi fie ),( 00 yx un punct interior

lui E. Definiţie. Funcţia f(x,y) e diferenţiabilă în punctul ),( 00 yx dacă există două

numere reale şi şi o funcţie RREyx 2:),( , continuă în ),( 00 yx şi nulă în

acest punct: 0yxy,xlim 00

yyxx

0

0

astfel încât pentru orice punct Eyx ),( , atunci:

.)()(),()()(),(),( 20

200000 yyxxyxyyxxyxfyxf

Proprietăţi:

1) Dacă funcţia f e diferenţiabilă în punctul ),( 00 yx , atunci ea are derivate parţiale în

),( 00 yx şi

),( 00' yxf x şi ),( 00

' yxf y

Egalitatea de definiţie a diferenţiabilităţii se scrie: 2

02

0000'

000'

00 )()(),())(,())(,(),(),( yyxxyxyyyxfxxyxfyxfyxf yx 2) Dacă funcţia f este diferenţiabilă în ),( 00 yx atunci ea este continuă în acest punct.

3) Dacă funcţia f are derivate parţiale '' , yx ff într-o vecinătate V a lui ),( 00 yx şi dacă

aceste derivate parţiale sunt continue în ),( 00 yx atunci funcţia f este diferenţiabilă în

),( 00 yx .

Definiţie. Funcţia liniară de două variabile: ))(,())(,(),( 000

'000

'00 yyyxfxxyxfyxdf yx se numeşte diferenţiala funcţiei

),( yxf în punctul ),( 00 yx .

Diferenţiala funcţiei f se mai notează dyyxfdxyxfyxdf yx ),(),(),( ''

Definiţie. Funcţia f admite diferenţială de ordin 2 în ),( 00 yx dacă toate

derivatele parţiale de ordinul întâi există într-o vecinătate a punctului ),( 00 yx şi sunt

diferenţiabile în ),( 00 yx 2

00''

00''2

00''

002 ),(),(2),(),( 22 dyyxfdxdyyxfdxyxfyxfd

yxyx .

Exemplu 1 Să se calculeze diferenţialele de ordinul întâi şi doi pentru următoarele funcţii:

a) f (x, y) = cos xy definită pe R2

b) 22 yxy,xf definită pe R2

c) f (x, y) = x ln y definită pe Rx(0, ) d) f (x, y) = ex+2y definită pe R2.

Rezolvare:: Deoarece funcţia admite derivate parţiale de orice ordin.

a) Avem:

sin xy xy

y,xf sin xy, y

x

y,xf

Deci df (x, y) = - sin xy [ydx + xdy]

Apoi xycosysin xy y

xx

y,xf 22

2

xycosxysin xy xdxyx

y,xf2

xycosxxysinxyy

y,xf 22

2

prin urmare: d2f(x,y) = - cos xy[y2dx2 + 2xy dxdy + x2dy2] b) Am văzut în exemplul precedent că în origine funcţia nu este diferenţiabilă. În orice alt punt, funcţia admite derivate parţiale continue:

22 yx

x

x

y,xf

şi

22 yx

y

x

y,xf

deci este diferenţiabilă şi avem:

ydyxdxyx

1y,xdf

22

2

322

2

222

2

yx

y

yx

x

xx

y,xf

2

322

2

222

2

yx

x

yx

y

yy

y,xf

2

322

2

yx

xy

yx

y,xf

Deoarece derivatele parţiale de ordinul al doilea sunt continue în tot planul exceptând originea, rezultă că în orice punct diferit de origine diferenţială a doua există şi este:

2222

2

322

2 dyxxydxdy2dxyyx

1y,xfd

c) Pe domeniul dat funcţia admite derivate parţiale de orice ordin continue în tot planul, deci funcţia admite diferenţiale de orice ordin:

yln

x

y,xf

şi

y

x

x

y,xf

Aşadar dyy

xydxlny,xdf

0ylnxx

y,xf2

2

22

2

y

x

y

x

xx

y,xf

y

1

yx

y,xf2

Aşadar dxdyy

2dy

y

xy,xfd 2

22

d) Deoarece y2xe

x

y,xf

şi

y2xe2y

y,xf

şi atunci dy2dxey,xdf y2x

y2xy2x2

2

eexx

y,xf

y2xy2x2

2

e4e2yy

y,xf

y2xy2x2

e2e2xyx

y,xf

şi atunci 22y2x2 dy4dxdy4dxey,xfd

3.3. Extremele funcţiilor de două variabile

Definiţie Fie f o funcţie reală, de două variabile, definite pe o mulţime E R2. Un punct (a, b) E se numeşte punct de maxim local (respectiv de minim local) al funcţiei

f(x, y), dacă există o vecinătate V a lui (a, b) astfel încât, pentru orice (x, y) V E să avem: f(x, y) f(a, b) (respectiv f(x, y) f(a, b)).

Teoremă Dacă funcţia f are derivate parţiale într-un punct de extrem (a, b) din interiorul mulţimii E, atunci derivatele parţiale ale funcţiei se anuleaza în acest punct:

f’x(a, b) = 0 şi f’y(a, b) = 0

Definiţie Un punct interior (a, b) E se numeşte punct staţionar al funcţiei f(x, y) dacă funcţia f( x, y) e diferenţiabilă în punctul (a, b) şi dacă diferenţiala sa e nulă.

Teoremă Dacă (a, b) este punct staţionar al funcţiei f(x, y) şi dacă funcţia f(x, y) are derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate V a punctului (a, b) atunci:

1) Dacă 2 2

2'' '' '', , , 0xyx yf a b f a b f a b > , atunci (a, b) e punct extrem local al

funcţiei f(x,y) şi anume:

– dacă 2'' , 0xf a b > atunci (a, b) e punct de minim

– dacă 2'' , 0xf a b < atunci (a, b) e punct de maxim.

2) Dacă 0 atunci (a, b) nu este punct de extrem 3) Dacă = 0 atunci nu se poate afirma nimic despre punctul (a, b). Exemplu: Să se găsească extremele următoare funcţie: f(x, y) = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 (x, y) R2

Rezolvare:

Conform teoriei generale, extremele funcţiei sunt soluţii ale sistemului:

(2)

,2 4 0

,2 2 0

f x yx

xf x y

xy

Punctul staţionar, adică soluţia sistemului (2) este (2, 1). Calculăm derivatele parţiale în punctul (2, 1):

2 2

2 2

(2,1) (2,1)2, 2

f f

x y

şi

2 (2,1)0

f

x y

( 2 ,1)/ 4 0 > şi 2

2

(2,1)2 0

f

x

aşadar punctul (2,1) este punctul de minim şi

valoare functiei este f(2,1) = 4+1-8-2+5 = 0

3.4. Extreme cu legături condiţionate Se consideră funcţia cu două variabile f:ER2 R (3.4.1) şi condiţia

F(x,y) = 0, (3.4.2)

unde F are acelaşi domeniu de definiţie ca şi funcţia f.

Definiţie: Extremele funcţiei (3.4.1) care satisfac şi condiţia (3.4.2) se numesc

extreme condiţionate ale funcţiei (3.4.1) de condiţia (3.4.2), sau extremele funcţiei (3.4.1) supuse la legăturile (3.4.2).

Definiţie: Punctele staţionare ale funcţiei (3.4.1) când (x,y) parcurge mulţimea a soluţiilor condiţiei (3.4.2) se numesc puncte staţionare legate sau puncte staţionare condiţionate ale funcţiei f. Dacă punctul M (a,b) este punctul de extrem căutat atunci considerăm funcţia:

(x,y) (x,y) λF(x,y)f ,

unde se numeşte multiplicatorul lui Lagrange. Pentru aflarea coordonatelor punctului M(a,b) rezolvăm următorul sistem de derivate parţiale:

0)y,x(F

0y

0x

1) Dacă d2(a,b) 0 atunci punctul M(a,b) este punct de minim 2) Dacă d2(a,b) 0 atunci punctul M (a,b) este punct de maxim Altfel nu putem preciza natura punctului M. Exemplu: Determinaţi punctele de extrem pentru:

1 1( , )f x y

x y cu condiţia x+y=1 definit pe R2\{(0,0)

Rezolvare:

Considerăm )1(11

),( yxyx

yx

Rezolvăm sistemul

1

01),(

01),(

2

2

yx

yy

yxxx

yx

Soluţia sistemului este 4

1pentru

2

1,

2

1

P

322

2 21),(

xxxx

yx

322

2 21),(

yyyy

yx

01),(

2

2

yxyx

yx

2

32

32 11

2 dyy

dxx

d

2

1,

2

1P astfel 0)(16

2

1,

2

1 222 dydxd e punct de minim.

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare

1) Funcţia f(x, y) = (x – 1)2 + y2 este diferenţiabilă în punctul A(1, 1). Raspuns corect: A Rezolvare: Va trebui să arătăm că are loc egalitatea:

(1) 2 20 0

(1,1) (1,1)( , ) (1,1) ( 1) ( 1) ,

f ff x y f x y x y x x y y

x y

cu 0y,xlim1y1x

.

Deoarece (1,1)

0f

x

şi

(1,1)2

f

y

şi f(1, 1) = 1 atunci egalitatea (1) devine:

2 2 221 1 2 1 , 1 1x y y x y x y cu 0y,xlim1y1x

sau

2 2 2 21 1 , 1 1 ,x y x y x y x y

De aici deducem

2 2, 1 1x y x y şi 2 2

11

lim 1 1 0xy

x y

2. Este funcţia 2 2,f x y x y diferenţiabilă în origine?

Raspuns corect: F Rezolvare:

Dacă funcţia ar fi diferenţaibilă în origine, conform unei teoreme enunţate la începutul capitolului Analiză Matematică,(Matematici pentru economişti, R. Trandafir, I. Duda, A. Baciu, R. Ioan) ar trebui să admită derivate parţiale în acest punct. Însă

2

0 0 00 0 0

,0 0,0lim lim lim 1x x xx x x

xf x x

x x x

2

0 0 00 0 0

,0 0,0lim lim lim 1x x xx x x

xf x x

x x x

.

Analog procedăm pentru y

)0,0(f

.

În origine, funcţia nu admite derivate parţiale, deci nu este diferenţiabilă.

3. Calculaţi derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei , 2 3 1f x y x y

a) ( , ) 2; ( , ) 3x yf x y f x y / / ;

b) ( , ) 3; ( , ) 3x yf x y f x y / / ;

c) ( , ) 3; ( , ) 3x yf x y f x y / / ;

d) alt răspuns. Răspuns corect: a) Rezolvare:

( , ) 2; ( , ) 3x yf x y f x y / /

4. Calculaţi derivatele parţiale în punctul M (1,0) ale funcţiei xyyxyxf 4),( 22

a) (1,0) 2xf , (1,0) 4yf ;

b) (1,0) 4xf , (1,0) 4yf ;

c) (1,0) 2xf , (1,0) 2yf ;

d) alt răspuns.

Răspuns corect: a) Rezolvare: Fie 0 0,M x y unde 0 01, 0x y , atunci

0 0 0 0( , ) 2 4 (1,0) 2x xf x y x y f

0 0 0 0( , ) 2 4 (1,0) 4y yf x y y x f

5. Calculaţi derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei xyyxyxf 3),( 33

a) 2 ( , ) 6xf x y x ,

2 ( , ) 6yf x y y ,

( , ) 3xyf x y ;

b) 2 ( , ) 6xf x y y ,

2 ( , ) 6yf x y x ,

( , ) 3xyf x y ;

c) 2 ( , ) 6xf x y x ,

2 ( , ) 6yf x y y ,

( , ) 3xyf x y ;

d) alt răspuns. Răspuns corect: c) Rezolvare:

3 3 2( , ) ( 3 ) 3 3x xf x y x y xy x y / 3 3 2( , ) ( 3 ) 3 3y yf x y x y xy y x /

22( , ) (3 3 ) 6xxf x y x y x /

22( , ) (3 3 ) 6yyf x y y x y /

2( , ) (3 3 ) 3yx xf x y x y / 2( , ) (3 3 ) 3xy yf x y y x /

6.Calculaţi derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei f(x,y) = ex-y

a) 2 ( , ) x yxf x y e

2 ( , ) x y

yf x y e

( . ) x yyxf x y e

b) 2 ( , ) x yxf x y e

2 ( , ) x yyf x y e

( . ) x yyxf x y e

c) 2 ( , ) x yxf x y e

2 ( , ) x yyf x y e

( . ) x yyxf x y e

d) alt răspuns. Răspuns corect: b) Rezolvare:

( , ) x y x yx x

f x y e e /

( , ) x y x yy y

f x y e e /

2 ( , ) x y x yx x

f x y e e /

2 ( , ) x y x yy y

f x y e e /

( . ) x y x yyx x

f x y e e /

( , ) x y x yxy y

f x y e e /

7. Să se calculeze diferenţiala de ordinul întâi pentru următoarea funcţie:

f (x, y) = ex+2y definită pe R2.

a) 2, 2x ydf x y e dx dy

b) 2, 2x ydf x y e dx dy

c) 2, 2x ydf x y e dx dy

d) alt răspuns. Răspuns corect: b)

Rezolvare::

Deoarece 2, x yxf x y e / şi 2, 2 x y

yf x y e /

şi atunci 2, 2x ydf x y e dx dy

8. Să se calculeze diferenţiala de ordinul al doilea pentru următoarea funcţie:

f (x, y) = ex+2y definită pe R2.

a) 2 2 2 2, 4x yd f x y e dx dxdy dy

b) 2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy

c) 2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy

d) alt răspuns. Răspuns corect: c) Rezolvare:

22 2, x y x y

x xf x y e e

///

22 2, 2 4x y x y

y yf x y e e

///

2 2, 2 2x y x yxy y

f x y e e ///

şi atunci 2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy

9. Să se găsească extremele următoarei funcţii:

50 20, , , > 0f x y xy x y

x y

a) M(5,2) punct şa b) M(5,2) punct de minim c) M(5,2 )punct de maxim d) alt răspuns. Răspuns corect: b)

Rezolvare::

Conform teoriei generale, extremele funcţiei sunt soluţii ale sistemului:

(1)

2

2

50, 0

20, 0

x

y

f x y yx

f x y xy

/

/

Soluţia sistemului (1) este x = 5 şi y = 2. Atunci numim punctul M(5,2) punct staţionar:

Avem 2 23 3

100 40, , , şi , 1xyx y

f x y f x y f x yx y

// // //

2 2

2

5,25, 2 5, 2 5,2 3xyx yf f f

// // //

Deoarece 2 5,2 > 0xf// , funcţia f admite în punctul (5,2) un minim având valoarea f(5, 2)

= 30. 10. Determinaţi punctele de extrem pentru: f(x,y) = x+3y cu condiţia x2+y2=5 definită pe R2

a)

2

3,

2

11P este punct de minim,

2

3,

2

12P este punct de maxim

b)

2

3,

2

11P este punct de maxim,

2

3,

2

12P este punct de maxim

c)

2

3,

2

11P este punct de minim,

2

3,

2

12P este punct de minim

d) alt răspuns. Răspuns corect: a)

Rezolvare:

Considerăm (x,y) = x+3y+(x2+y2-5)

2 2

, 1 2 0

(1) , 3 2 0

5

x

y

x y x

x y y

x y

/

/

Soluţia sistemului (1) este 11 3

P ,2 2

pentru 1/ 2

şi

2

3,

2

1P2 pentru 2/1

Calculăm derivatele parţiale de ordinul II

2

2

, (1 2 ) 2

, (3 2 ) 2

xx

yy

x y x

x y y

// /

// /

, (3 2 ) 0xy xx y y // /

2 2 21 3, 2 2 0

2 2d dx dy

astfel concluzia este că punctul

2

3,

2

11P este punct de minim

2 2 21 3, 2 2 0

2 2d dx dy

şi în acest caz

2

3,

2

12P este punct de maxim

4. Modelul dinamicii proceselor economice

Dinamica proceselor economice: analiza în timp continuu şi în timp discret. Tipuri

principale de ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în economie: - ecuaţii cu variabile separabile - ecuaţii diferenţiale liniare

Ecuaţii omogene Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaţiile lor

4.1. Ecuatii diferentiale

Concepte cheie ecuaţie diferenţială de ordin n, curbă integrală, solutia generală sau integrala generală, solutie particulară, problemă Cauchy, condiţie iniţială

Definiţie Numim ecuaţie diferenţială de ordin n o ecuaţie de forma

= 0/

nF x, y, y , ..., y (3.5.1)

cu x variabila independentă ,x a b , y y x , 1, , nF a b Y Y R : ,

dacă se cere sa se determine functia y y x , ,x a b având derivate până la ordinul n

inclusiv în orice punct din ,a b si care verifică (3.5.1).

Definiie Functiile y y x se numesc solutii ale ecuatiei (3.5.1).

Graficul unei solutii ale ecuatiei (3.5.1) este o curbă în plan numită si curbă integrală. În general o ecuatie diferentială se exprimă sub formă diferentială-fie legea unui fenomen fizic determinat, fie o proprietate comună a curbelor unei familii. Multimea tuturor solutiilor unei ecuatii diferentiale date constituie solutia generală sau integrala generală. Ea depinde de un număr de constante arbitrare egal cu ordinul ecuatiei. Numim solutie particulară solutia obtinută din solutia generală pentru valori particulare date constante. Exemplul 1 Ecuatia fundamentală a dinamicii punctului material se scrie

m F , (3.5.2)

unde este acceleratia punctului de masă m, F este rezultanta fortelor care lucrează asupra punctului. Dacă punctul material descrie o dreaptă luată ca axă Ox, atunci ecuatia de miscare (3.5.2) se scrie

2

2, ,

d x dxm X x t

dtdt

(3.5.3)

Componenta X a fortei F după Ox, depinzînd în general de pozisia mobilului, de viteza lui si de timp. Dacă X nu depinde de pozitia punctului avem

2

2,

d x dxm X t

dtdt

, (3.5.4)

care cu substitutia dx

vdt

, ecuatia (4) devine

1,

dvX v t

dt m ,

(3.5.5)

o ecuatie diferentială de ordinul întâi. De aici rezultă si reciproc, orice ecuatie diferentială de ordinul întâi reprezintă o anumită miscare a unui punct material. Exemplul 2 Fiind dată familia de curbe de ecuatie

1, , ,..., 0mF x y C C (3.5.6)

care depinde de m parametri constanti, puem forma ecuatia diferentială a acestei familii. Se elimină cei m parametrii 1,..., mC C între ecuatia dată si primele m derivate în raport cu x. Rezultatul eliminării este o ecuatie diferentială de ordin m. Deci, asa cum am spus la început o ecuatie diferentială exprimă o o proprietate comună a curbelor unei familii. Exemplu Să se determine ecuatia diferentială a cercurilor tangente axei Oy cu centrul pe Ox, ,0C a .

Ecuatia familiei de cercuri este

2 2 2x a y a (3.5.7)

Derivăm în raport cu x si găsim 2 0x a yy (3.5.8)

de unde 2a yy x (3.5.9)

iar ecuatia diferentială a cercurilor devine

22 2( ) 2yy y yy x 2 22 0yy x x y

(3.5.10)

Definiţie Se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul întâi o ecuaţie de forma

, , 0F x y y / (3.5.11)

sau explicit se poate scrie

,y f x y/ (3.5.12)

Conditii initiale. Problema lui Cauchy pentru ecuatia ,y f x y/ , f continuă în 2D R

Problema determinării soluţiei ecuaţiei (3.5.12), al cărei grafic trece printr-un punct dat 0 0,x y se numeşte problemă Cauchy, deci pentru

0 0,x x y y , (3.5.13)

se numeste probemă Cauchy, iar conditia (13) se numeste condiţie iniţială. Cea mai simplă ecuatie diferentială este

, ,f a b/y = f x : continuă (3.5.14)

soluţia generală

0

x

x

y f u du C (3.5.15)

Impunând conditia initială pentru 0 0,x x y y , deci 0C y si solutia ecuatiei care satiface această conditie este

0

0 0

x

x

y f x dx y

Interpretarea geometrică a ecuatiei 2, f D R/y = f x : .

Fie 0 0,x y D . Fiecărui punct îi corespunde o directie de coeficient unghiular

0 0 0,y f x y/ si fiecărei directii îi corespunde o dreaptă ce trece prin 0 0,x y si anume

0 0 0y y y x x

Deci ecuatia diferentială (3.5.14) asociază fiecărui punct din D o directie. Avem astfel un câmp de directii . Dacă y x este o soluţie a ecuaţiei, graficul soluţiei este o curbă plană din D care are

proprietatea că în fiecare punct al curbei, tangenta la curbă are direcţia câmpului , care trece prin punctul considerat. Deci, problema integrării ecuaţiei (3.5.14) revine la determinarea curbelor integrale, care au proprietatea că în fiecare punct al lor sunt tangente la direcţia câmpului . 4.1.1. Ecuatii integrabile prin cuadraturi 1. Să rezolvăm o ecuaţie de forma

, f/y = f x continuă pe ,a b (3.5.16)

care se scrie

dyf x

dx

dy f x dx

si

0

0

0 0

x

x

y f x dx y , 0x fixat în ,a b

Problema Cauchy 0 0,x x y y , deci 0C y , de unde

0

0 0

x

x

y f x dx y ,

solutie unică. Exemplu Să se rezolve ecuatia diferentială

xy xe/ ,

cu conditia intială 0 01, 0x y .

Solutia ecuatiei va fi xy xe dx C , cu solutia generală

1 xy x e C ,

Impunând conditia initială 0 01, 0x y , găsim 0C , iar solutia va fi

1 xy x e ,

solutie unică.

2. Să se determine solutia ecuaţiei de forma

, ,f a b/y = f y : continuă

Scriem ecuatia: dyf y

dx

sau

dy

dxf y

Integrând obtinem

0

y

y

dyC x

f y

Problema Cauchy 0 0,x x y y , deci 0C x , de unde

0

0

y

y

dyx x

f y ,

solutie unică. Exemplu Să se rezolve ecuatia diferentială

y y/ ,

Ecuatia se rescrie dy

dxy , sau ln ln lnxy e C , solutia ecuatiei va fi

xy Ce .

3. Să se determine solutia ecuaţiei de forma

,/ f xy =

g yf continuă pe ,a b , g continuă pe ,c d

Separăm variabilele g y dy f x dx

atunci

g y dy f x dx C

Găsim soluţia generală în formă implicită F x G y C

Exemplu Să se rezolve ecuatia diferentială

yy

x/ ,

Ecuatia se rescrie dy dx

y x , sau ln ln lny x C , solutia ecuatiei va fi

y Cx ,

o familie de drepte ce trec prin origine.

4.1.2. Ecuaţii omogene

O ecuatie omogenă este de forma

, ,P Q/ P x, yy =

Q x, y funcţii omogene de grad m în x şi y,

(3.5.17)

scriind , 1, , , 1,m my yP x y x P Q x y x Q

x x

ecuatia devine

1,

1,

m

m

yx P

dy xy

ydxx Q

x

.

(3.5.18)

Facem schimbarea de funcţie ,

y xu x y xu x

x ;

derivam y x u x xu x / /

(3.5.20)

si ecuatia devine

1,

1,

P uu x xu x f u

Q u /

(3.5.21)

sau

dux f u u

dx

(3.5.22)

de unde

,

du dx

f u u x

(3.5.23)

a) Dacă 0f u u

Integrând obţinem

du dx

f u u x

(3.5.24)

sau ln x C u (3.5.25)

dar y x

u xx

, atunci putem scrie soluţia ecuaţiei sub forma generală

lny

x Cx

(3.5.26)

b) Dacă există 0u u pentru care 0f u u ,atunci 0y xu este o soluţie a ecuatiei, care

nu intră în solutia generală. Dar prin fiecare punct al acestei drepte trece o curbă din ecuatia generală. O astfel de soluţie se numeste soluţie singulară. Exemplu Să se rezolve ecuatia diferentială

x yy

x y

/

Soluţie

Facem schimbarea de funcţie y x

u xx

; y x u x xu x / / .

Astfel ecuaţia devine

2

1 1

1 2 1

u dx uxu u du

u x u u

/ ,

integrând obţinem

21ln ln 2 1 ln

2x u u C ,

adică

2

1

2 1Cx

u u

,

a) Dacă 2 2 1 0u u , atunci găsim 1 2

1

2 1

C xy yx x

,

b)Dacă 2 2 1 0u u 2 01 2 1 2u u , avem

1 2y x si 1 2y x sunt solutii singulare

4.1.3. Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene

1 1 1

dy ax + by + c= f

dx a x + b y + c

(3.6.1)

Dacă a) 1c c , ecuaţia (3.6.1) devine o ecuaţie omogenă.

b) 1 2 0 0, ,d d P P x y , unde 1 2 1 1 1. 0; 0d ax by c d a x b y c : : . Facem schimbarea

de variabilă 0t x x şi schimbarea de funcţie 0u y y , atunci ecuaţia (3.6.1) devine

0 0

1 0 1 0 1 1 1

ax by c at buduf

dt a x b y c a t b u

1 1

du at buf

dt a t b u

, o ecuaţie omogenă.

(3.6.2)

b) 1 21 1

a bd d

a b | | , ecuaţia (3.6.1) devine

1

dy ax by cf

dx ax by c

(3.6.3)

Facem schimbarea de funcţie ax by u , atunci (3.6.3) devine

1

11u c

u a fb u c

/ , o ecuaţie omogenă.

(3.6.4)

Exemplu Rezolvati ecuaţia 2 1 2 1 0x y dx y x .

Rezolvare: Rescriem ecuatia

2 1

2 1

dy x y

dx x y

,

Rezolvăm sistemul 2 1 0 1

2 1 0 1

x y x

x y y

, deci 1 2 , 1, 1d d P P , unde

1 2. 2 1 0; 2 1 0d x y d x y : : . Facem schimbarea de variabilă 1t x şi schimbarea de funcţie 1u y , ecuaţia devine

2

2

du t u

dt u t

, ecuaţie omogenă.

(3.6.5)

2

1 2

udu t

udtt

(3.6.6)

Facem schimbarea de funcţie,

uz t

t ,

(3.6.7)

Cu ajutorul relaţiei (3.6.7) ecuaţia (3.6.6) se rescrie

22 2 2

1 1

z z zz tz tz

z z

/ /

2

1,

2 2

z dtdv

tz z

Integrând membru cu membru avem

2 22 2

ln 2 2 ln 2 2 ,C C

z z z zt t

Astfel, găsim soluţia generală a ecuaţiei

2

2

1 1 12 2

1 1 1

y yC

x x x

Rezolvati ecuatia 2 9 3 6 19 0x y dx x y

Rezolvare: b) Observăm că 1 2d d| | , unde 1 2: 2 9 0; 3 6 19 0d x y d x y : . Facem schimbarea de funcţie,

2

1 2 .

x y u x

u x y x

/ / , (3.6.8)

Ecuaţia devine 1 9 1

2 3 19 3 19

u u du u

u dx u

/

163 ,

1du dx

u

,

(3.6.9)

Integrând membru cu membru avem 3 16ln 1 ,u u x C , (3.6.8)

Astfel, găsim soluţia generală a ecuaţiei

3 2 16ln 2 1x y x y x C , (3.6.9)

4.1.4. Ecuaţia diferentială liniară de ordinul întâi

Fie ecuatia

,0/y + P x y + Q x = (3.7.1)

cu P,Q definite si continue pe un interval ,a b .

Dacă Q x 0 ecuatia se numeste liniară si neomogenă.

Dacă 0Q x ecuatia se numeste liniară si omogenă.

Teoremă Solutia generală a ecuatiei liniare si neomogene (3.7.1) este

P x dx P x dxy e C Q x e dx

, ,x a b

(3.7.2)

Demonstratie Vom determina mai întâi solutia ecuaţiei omogene

0,y P x y / (3.7.3)

Separând variabilele avem

dyP x dx

y

De unde prin integrare rezultă

ln lny P x dx C

sau

P x dxy Ce

, ,x a b (3.7.4)

Care este solutia generală a ecuatiei omogene. Pentru determinarea solutia ecuatiei neomogene vom utiliza metoda variatiei constantelor si anume pentru ecuatia neomogenă (3.7.1) vom determina o solutie de forma (3.7.4), unde considerăm pe C ca functie de x, deci de forma

P x dxy C x e

, (3.7.5)

unde C x este o functie diferentiabilă de x, care trebuie determinată, punând conditia ca

(3.7.55) să verifice ecuatia (3.7.1), tinând cont de faptul că 1

P x dxy e

este o solutie

particulară a ecuatiei omogene. Derivând (3.7.5) si înlocuind în ecuatia (3.7.1) rezultă

P x dxC x e Q x

, (3.7.5)

de unde

1

P x dxC x Q x e dx C , (3.7.6)

cu 1C constantă arbitrară.

Introducând C x astfel determinat în (3.7.5) rezultă solutia generală a ecuatiei

neomogene

1P x dx P x dx

y e Q x e dx C ,

deci (3.7.2).

Exemple 1. Să se determine solutia ecuatiei

2

2 xy xy xe ,

Ecuatia omogenă este 2 0y xy ,

Separăm variabilele

2dy

xdxy ,

Integrăm 2ln lny x C ,

sau 2xy Ce ,

care este solutia generală a ecuatiei omogene. Pentru ecuatia neomogenă căutăm solutii de forma

2xy C x e ,

Avem

2 2

2x xy C x e xC x e ,

Înlocuind în ecuatia neomogenă rezultă

2 2

2x xC x e xC x e 2

2 xxC x e2xxe ,

de unde C x x ,

sau

2

1,2

xC x C 1C const.

Înlocuind C x în (10) obtinem solutia generală a ecuatiei neomogene

2 22

12x xx

y e C e .

Observatie Solutia generală a ecuatiei neomogene este o sumă de două solutii solutia generală a ecuatiei omogene si o solutie particulară a ecuatiei neomogene (În cazul nostru este

22

2x

Px

y e )

4.1.5. Ecuatia lui Bernoulli

0, 0,1,y P x y Q x y / (3.7.7)

Împărtim ecuatia (1) prin y si găsim

110y P x y Q x

y

/

Prin schimbarea de functie 1z x y , ecuatia lui Bernoulli poate fi adusă întotdeauna

la ecuatia liniară de ordinul întâi

1 1dz

P x z Q xdx

.

Exemplu 1

Să se rezolve ecuatia 2 2

1yy

x x y /

Pentru această ecuatie 2 , iar schimbarea de functie pe care o vom face va fi

3 23z x y y y z ,

si obtinem si obtinem

2

1 1 1,

3

dzz

dx x x

unde (3) este o ecuatie liniară neomogenă . 1. Rezolvăm ecuatia omogenă

1 10

3 3

3 ,

z dz uz

x dx xdz dx

z x

integrând găsim 3z Cx , solutia ecuatiei 1

03

zz

x

.

Aplicăm metoda variatiei constantelor, căutăm solutia ecuatiei 2

1 1 1,

3

dzz

dx x x de forma

3z C x x si găsim solutia ecuatiei liniare neomogene 3

3

2

Cz x

x x ,

iar cea a ecuatiei diferentiale date va fi 2

33

2 3

2

C xy x

x

.

4.1.6. Ecuatia Riccati

2 0,y P x y Q x y R x / (3.7.8)

Ecuatia lui Riccati nu se poate integra prin cuadraturi. Dacă se cunoaste o solutie particulară 1y x a ecuatiei, făcând schimbarea de

functie 11

y x y xz x

obtinem o ecuatie liniară pentru noua functie necunoscută .

Exemplu 1

Să se rezolve ecuatia 2 42

1 30y y y x

xx / , ce are solutia particulară 3

1y x x .

Rezolvare: Facem schimbarea de functie

3 1

y x xz x

,

si

22

3z x

y x xz x

.

Introducem relatiile anterioare în ecuatia dată obtinem 2

2 3 3 42 2

1 1 3 13 0

zx x x x

x x xz x

După calcule vom obtine ecuatia liniară neomogenă

2

3 12 0z z x

x x

cu solutia 2

2

3

1

2

xx e

z x e Kx

, asadar solutia ecuatiei date va fi

22

3

3

1

1

2

xx

y x xe

e Kx

.

Exemplul 2

Să se rezolve ecuatia 2 2 1y y x / , ce are solutia particulară 1y x x .

Rezolvare: Facem schimbarea de functie

1

y x xz x

Obtinem ecuatia liniară pentru functia necunoscută z x

2 22 2

1 21 1

z xx x

zz z

sau 2 1z xz

cu solutia 2 2 2x x xz x Ce e e dx , asadar solutia ecuatiei date va fi

2

2

x

x

ey x x

C e dx

.

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale

Test de autoevaluare

1. Soluţia ecuaţiei 2 1y x / va fi

a) 2y x x C ;

b) 22y x x C ;

c) 3

23

xy x C ;

d) alt răspuns. Răspuns a) 2. Soluţia ecuaţiei y y/ va fi a) ln y x C ;

b) 2ln y x C ;

c) 2

ln2

xy C ;

d) alt răspuns. Răspuns a)

3. Soluţia ecuaţiei 2 1

2 1

xy

y

/ va fi

a) 2 22 2y y x x C ;

b) 2 2 2y y x x C ;

c) 2 2y y x x C ; d) alt răspuns. Răspuns c) 4. Soluţia ecuaţiei xy x y / va fi a) 2x x y C ;

b) 2x y x C ;

c) 2x y x C ;

d) alt răspuns. Raspuns corect: b) Rezolvare:

1y

xy x y yx

/ /

Facem schimbarea de funcţie

y xu x

x ;

y x u x xu x / / . Astfel ecuaţia devine

1 2 ,1 2

du dxxu u

u x

/ integrând obţinem

2 1 2x u C , adică 2x y x C , soluţia generală a ecuaţiei.

5. Soluţia ecuaţiei 2 5

2 4

dy x y

dx x y

va fi

a) 2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C xy y

x x

;

b) 2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C xy y

x x

;

c) 2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C xy y

x x

;

d) alt răspuns. Raspuns corect: c) Rezolvare: Rezolvăm sistemul

2 5 0 1

2 4 0 2

x y x

x y y

, deci 1 2 , 1, 2d d M M , unde

1 2. 2 5 0; 2 4 0d x y d x y : : . Facem schimbarea de variabilă 1t x şi schimbarea de funcţie 2u y , ecuaţia devine

2

2

du t u

dt u t

, ecuaţie omogenă. (1)

1 2

2

udu t

udtt

(2)

Facem schimbarea de funcţie,

uv t

t (3)

Cu ajutorul relaţiei (3) ecuaţia (2) se rescrie 21 2 1

2 2

v vv tv tv

v v

/ /

2

2,

1

v dtdv

tv

Integrând membru cu membru avem

2 2

1 1 1 1ln ln ,

1 11 1

v vtC tC

v vv v

Astfel, găsim soluţia generală a ecuaţiei

2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C xy y

x x

6. Soluţia ecuaţiei 1 3 3

1

x yy

x y

/ va fi

a) 2ln 1x y x y x C ;

b) 2ln 1x y x y x C ;

c) 2ln 1x y x y x C ;

d) alt răspuns. Raspuns corect: a) Rezolvare: b) Observăm că 1 2d d| | , unde 1 2:1- 3 3 0; 1 0d x y d x y : . Facem schimbarea de funcţie,

1 .

x y u x

u x y x

/ / (1)

Ecuaţia devine

2 11 31

1 1

uu duu

u dx u

/

21 ,

1du dx

u

(2)

Integrând membru cu membru avem

2ln 1 ,u u x C

Astfel, găsim soluţia generală a ecuaţiei 2ln 1x y x y x C

7. Soluţia ecuaţiei 0xy y x / va fi a) lny x K x ;

b) lny x K x ;

c) 2lny x K x ;

d) alt răspuns. Raspuns corect: b)

Rezolvare: 1. Rezolvăm ecuaţia omogenă

0dy dx

xy yy x

/ (1)

Integrând membru cu membru avem ln ln ln ,y x C

Găsim soluţia ecuaţiei omogene .y Cx (2)

2. Aplicăm „Metoda variaţiei constantelor”, căutăm soluţia ecuaţiei 0xy y x / , de forma

.y C x x (3)

Ecuaţia 0xy y x / , cu relaţia (3) devine

2

0

0.

x C x x C x xC x x

x C x xC x xC x x

/

/

(4)

Astfel

1lnC x C x x K

x / (5)

Atunci ecuaţia 0xy y x / are soluţia lny x K x .

8. Soluţia ecuaţiei x yy

x

/ va fi

a) lny Cx ;

b) 2 lny x Cx ; c) lny x Cx ; d) alt răspuns. Raspuns corect: c) Rezolvare:

1x y y

y yx x

/ /

Facem schimbarea de funcţie

y xu x

x ;

y x u x xu x / / . Astfel ecuaţia devine

1 1

.

duxu u u x

dxdx

dux

/

Integrând obţinem lnu Cx , adică ln .y x Cx , soluţia generală a ecuaţiei.

9. Soluţia ecuaţiei 2

4 1

4

yy

x

/ va fi

a) 214 1

4y C x

;

b) 214 1

4y C x

;

c) 214 1

4y C x

;

d) alt răspuns. Raspuns corect: a) Rezolvare:

2 2

4 1 4 4

4 14 4

y y dxy dy

yx x

/ , integrând obţinem

2ln 4 1 ln 4y C x , găsim soluţia ecuaţiei

214 1

4y C x

.

10. Soluţia ecuaţiei 4

yy

x

/ va fi

a) 2 4y C x ;

b) 4y C x ;

c) 22 4y C x ;

d) alt răspuns. Raspuns corect: b) Rezolvare:

4 4

y dy dxy

x y x

/ , integrând obţinem

ln ln 4y C x , găsim soluţia ecuaţiei