Arhitectura matematicii

8/18/2019 Arhitectura matematicii

http://slidepdf.com/reader/full/arhitectura-matematicii 1/11

Matematici speciale şi metode numerice

ARHITECTURA MATEMATICII

În loc de moto: Matematica este de două feluri.

Matematica scrisă şi matematica vorbită. Cea vorbită este

aşezată între spontaneitate şi rigoare. Cea scrisă este rigoare

deschisă dedesubt şi deasupra spre intuiţie. În toate ale eimatematica are, înainte de toate, farmec. Fără accesul la

acest farmec, matematica nu are viaţă.

1. Structuri liniare, ordonate şi topologice

Spunem că mulţimile pot fi organizate ca structuri dacă pe ele suntintroduse operaţii algebrice, relaţii de ordine sau obiecte de topologizare. Se

obţin astfel trei tipuri de structuri, numite generic structuri simple.

Stabilind diferite compatibilităţi între structuri se vor obţine de asemenea

structuri numite multiple.

1.1. Structuri simple

i! "paţii liniare

Spaţii liniare not #, lin!! sunt structurile simple cel mai des întâlnite.

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca structura de spaţiu liniar să existe este:

!,x,",,!x ∈∀∈βα∀∈β+α

unde " # corpul scalarilor.

$




Definiţie. +nsamblul format din mulţimea şi topologia τ not

&,% τ & se numeşte spaţiu topologic.

1.2. Structuri duble

Se obţin din două structuri simple între care se stabilesc condiţii de

compatibilitate.

i! "paţii liniare ordonate

ie % #, lin& un spaţiu liniar şi &,% + un spaţiu ordonatDefiniţie. Spunem că cele două structuri definesc un spaţiu liniar

ordonat %not , lin, + && dacă în plus este satisfăcută şi următoarea condiţie

de compatibilitate.

∈α∀α≤α

∈∀+≤+

⇒≤ + !x

u!,x, u!ux

!x

ii! "paţii liniar topologice

ie %.lin& un spaţiu liniar şi &,% τ un spaţiu topologic.

Definiţie. Spunem că cele două structuri simple definesc un spaţiu liniar

topologic %not %, lin, τ && dacă aplicaţiile:

x&x%

!x&!,x%

α→α

+→

sunt continue.

1.3. Structură triplă

3



Elemente de algebră, geometrie şi calcul tensorial

ie % , lin, τ & 7 un spaţiu liniar topologic şi %, ≤ & 7 un spaţiu

ordonat.

Definiţie. Spunem că %, lin, τ & şi % +, & definesc o structură de

spaţiu liniar ordonat topologic %not %, lin, τ+, && dacă pe lângă condiţiile

fiecărei structuri în parte există o bază de vecinătăţi ale originii formată din

mulţimi pline.

Definiţie. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o mulţime + din

&,%+ să fie plină este următoarea:

[ ] + b,a+ b,a 8 ⊂⇒∈∀

unde [ ] { } bxx9a def b,a 8 ≤≤=

.

2. Tipuri de convergenţă

n funcţie de structura pe care lucrăm avem următoarele tipuri de

convergenţă:

convergenţă în sens topologic %căreia i se va spune simplu 7

convergenţă& structura pe care se lucrează în acest caz fiind evident cea de

spaţiu liniar topologic, &,%lin τ

convergenţă în sensul ordinii în cazul în care este vorba de spaţiu liniar

ordinar, &,%lin + .

n funcţie de şirurile cărora li se studiază convergenţa avem următoarea

clasificare:

• convergenţă ordinară, când se lucrează cu şiruri ordinare 6nn&x%∈

• convergenţă generalizată, când se au în vedere şiruri generalizate

;




<&x% ∈δδ , unde cu < s#a notat mulţimea diri=ată.

Definiţie. Se numeşte mulţime diri=ată % < & o mulţime ordonată cu proprietatea că oricare a,b din < există c în < astfel încât

c b ,ca ≤≤

%mai exact în acest caz se va spune despre mulţimea < că este diri=ată la

dreapta&.

$bservaţie. *efiniţia de mai sus este ec5ivalentă cu a spune că orice

mulţime formată din două puncte din < este ma=orată.

) altă definiţie a mulţimii diri=ate se poate da folosind noţiunea de con

pozitiv.

Definiţie. >ulţimea &,%+ se numeşte diri=ată dacă şi numai dacă

v.#u x8(vu, ,x =≥∃∈∀

$bservaţie. )rdinea diri=ată se întâlneşte şi sub denumirea de con pozitiv

generator.

++ −=

4xemple de mulţimi diri=ate: mulţimea numerelor naturale %6&,

intervalul [ ]$,8 .

Definiţie (convergenţa ordinară. Spunem că şirul 6nn&x%∈

converge la 8x şi scriem: ,xx

8n → dacă şi numai dacă oricare ar fi

vecinătatea lui 8x ,8x? , există

8x?

6 astfel încât pentru orice8x

? 6n ≥

avem8xn

?x ∈ .

Definiţie (convergenţa generali!ată. Spunem că şirul <&x% ∈δδ

converge la 8x astfel încât 8n

xx → dacă şi numai dacă oricare ar fi

@




vecinătatea lui 8x ,8x? , există

8x?δ astfel încât pentru orice

8x?δ≥δ

avem8x

?x ∈δ .

%otaţii

nn

8

nxlim&o%x%xx

∞→−= → & 7 convergenţa ordinară în sensul ordinii,

numită %o& 7 convergenţa

δ∞→δ

ω

δ −ω= → xlim&%x%xx # convergenţa generalizată în sensul ordinii,

numită %ω & 7 convergenţa.

Definiţie. ie na şi n

b două şiruri astfel încât na monoton

crescător, iar n b monoton descrescător, mărginite superior % xasup

nn = &,

respectiv inferior % x binf nn = &. Spunem că n

x o converge la x dacă şi

numai dacă există şirurile nn b,a monotone şi mărginite ca mai sus astfel

încât

6n , bxann ∈∀≤≤

$bservaţie. %o& 7 convergenţa într#un spaţiu ordonat repetă într#un fel

criteriul cleştelui din , mai mult cele două tipuri de convergenţă în real

coincid.

( )≤,, spaţiu de tip %o&Spaţiile în care cele două tipuri de convergenţă coincid se numesc spaţii de tip

%o&, respectiv %ω &.

Definiţie. ie δδ b,a două şiruri generalizate, monotone crescător,

respectiv descrescător, mărginite superior, respectiv inferior. Spunem că

&%xn ω # converge la x dacă şi numai dacă există şirurile δδ b,a ca mai sus

astfel încât

A




.< , bxa ∈δ∀≤≤ δδ

3. Tipuri de continuitate

Continuitatea repetă tipurile de convergenţă, continuitatea topologică

putând fi dată cu a=utorul şirurilor generalizate.

Definiţie. ie &B,%B ττ . Spunem că aplicaţia B:f → este

continuă în ,x,x 88 ∈ dacă pentru orice vecinătate a lui &x%f 8 , notată

,?&8x%f există o vecinătate 8x

C a lui 8x astfel încât

8x&8x%f Cx ,?&x%f ∈∀∈

Definiţii ec"ivalente. Spunem că o funcţie f continuă în 8x dacă

pentru

&8x%f ?∀ există 8x

C astfel încât &8x%f 8x?&C%f ⊂

ceea ce este ec5ivalent cu

&8f%x&8x%f $

8x? ,?f C ∀

⊂ −

$bservaţie. f continuă în 8x dacă pentru &8x%f

?∀ avem

−

&8x%f $ ?f este vecinătate a lui 8x .

Definiţie. Spunem că f este continuă în 8x dacă

8xx →∀

δ implică &x%f &x%f 8

→δ

Definiţie. ) funcţie se numeşte secvenţial continuă dacă:

8nxx →∀ implică &x%f &x%f

8n →

D




$bservaţie. )rice funcţie continuă este şi secvenţial continuă, reciproca

nefiind adevărată.

Definiţie. ie ++ B,B,, două spaţii liniare ordonate. Spunem

că o funcţie este %o& continuă dacă:

8

o

nxx → ∀ implică &x%f &x%f

8

o

n →

Definiţie. ie ++B,B,, două spaţii liniare ordonate. ) funcţie

se numeşte &%ω # continuă dacă:

8xx → ∀

ωδ implică &x%f &x%f

8 → ω

δ .

1.#. Tipuri de dualităţi. Spaţii liniare $n dualitate.

%otaţii

&B,%L

# mulţimea operatorilor liniari şi continui acţionând între şi B.l&B,.% # mulţimea operatorilor liniari definiţi pe cu valori în B.

E& ,% ==

ll # este dualul algebric

& ,% ′=L # este dualul topologic.

$bservaţie. Ftiind că operatorii cu valori scalare se numesc funcţionale

vom defini dualul topologic ca fiind mulţimea funcţionalelor liniare şi continue.

88 & ,% = # mulţimea funcţionalelor liniare şi &%ω # continui.

$bservaţie. Goate cele trei dualităţi implică liniaritate.

Definiţie. ie şi B două spaţii liniare. Spunem că şi B sunt în

dualitate liniară dacă există B:f 8

→× cu următoarele proprietăţi:

%i& 8f biliniară %liniară în şi B&

%ii& B!8x,x ∈∃≠∈∀ astfel încât 8&!,x%f 8

≠

H




%iii& x8!,B! ∈∃≠∈∀ astfel încât 8&!,x%f 8

≠ .

%otaţie. *e obicei această funcţională ><= !,xnot&!,x%f 8 .

Se observă că se poate defini o funcţională

l!,x&x%,

!!! ∈ϕ>=<ϕϕ

% datorită biliniarităţii lui Ix, !J&. +plicaţia &x%!!

ϕ→ este o bi=ecţie între B

şi o parte dinl

.$bservaţii.

• *acă două spaţii sunt în dualitate liniară fiecare spaţiu poate fi privit

ca subspaţiu din dualul algebric al celuilalt deci se poate defini şi

corespondenţa &!%xxϕ→

• *ualităţile se folosesc la studiul unor spaţii prin intermediul te5nicii

de trecere la dual( studiul se face în zonele cunoscute deci dacă trecem

de la un spaţiu la dualul său înseamnă că avem mai multe informaţii

despre dual decât despre spaţiu.

1.%. Spaţii local conve&e (slc

Spaţiul local convex ocupă o zonă de mi=loc între particular şi general.

Cea mai particulară topologie şi foarte des întâlnită este topologia de spaţiu

liniar normat, notat %, lin, KK KK&.

Condiţia ca spaţiul să fie normat este o condiţie foarte restrictivă atât de

restrictivă încât printr#un izomorfism în cazurile finit 7 dimensionale obţinem

spaţiul real.

Definiţie. Ln spaţiu liniar topologic se numeşte spaţiu local convex dacă

există o bază de vecinătăţi a originii, ,8

W formată din mulţimi convexe.

M




'ropo!iţie. ntr#un spaţiu local convex există vecinătăţi ale originii

ec5ilibrate, convexe, înc5ise.

Teoremă. *acă P este o familie de seminorme, atunci

( ) { }{ }8 pin0$

i

n,$i,&x% p9x, p,..., p, p4 W==ε<=ε∈P

reprezintă un sistem fundamental de vecinătăţi ale originii pentru o topologie

local convexă.

&eciproc. *acă W este o bază de vecinătăţi convexe, familia

NC9 pO C WW ∈=P

este o familie diri=ată de seminorme, am nota cu C p funcţionalele

>inPoQsPi.

Teoremă. Ln spaţiu este separat dacă şi numai dacă P este o familie

suficientă de seminorme.

Definiţie. ) familie F de funcţionale este suficientă dacă

F∈∃≠∀ f 8x astfel încât .8&x%f ≠

Spaţiile local convexe fiind o noţiune suficient de generală se

particularizează lucrând asupra lui W sau asupra lui P , există astfel spaţii

bornologice, tonelate, atomice etc.

) categorie cuminte de spaţii local convexe este categoria spaţiilor local

conve'e metrizabile( topologia acestor spaţii este dată de o familie numărabilăde vecinătăţi convexe ale originii ceea ce este ec5ivalent cu a spune că

topologia este definită de o cvasinormă.

Definiţie. Se numeşte o cvasinormă o funcţională x:R → cu

proprietăţile:

$& 8x 8&x%R =⇔=

0& &x%R&x%R =−

$8




3& &!%R&x%R&!x%R +≤+

;& &x%R&x%Rnn

α→α⇒α→α

@& &x%R&x%Rxxnn

α→α⇒→

Cu a=utorul cvasinormei se poate defini distanţa:

&x!%R&!,x%d −= .

$$

Arhitectura matematicii

Documents

Transcript of Arhitectura matematicii