179184681 84143407 Metodica Predarii Matematicii PDF

download 179184681 84143407 Metodica Predarii Matematicii PDF

of 137

description

.

Transcript of 179184681 84143407 Metodica Predarii Matematicii PDF

  • SILABUS DE CURS

    Informaii generale

    Date de contact ale titularului de curs:

    Nume: Lect. Dr. Ioana MAGDA Birou: Str. Sindicatelor, nr 7

    Telefon: 064-597000

    Fax:

    E-mail: [email protected]

    Consultaii: mari, 9-11

    Date de identificare curs i contact tutori:

    Numele cursului : METODICA PREDRII MATEMATICII

    Codul cursului: PIE 3505

    Anul, semestrul: Studenii din anul III, sem. I, de la Facultatea de Psihologie i tiine ale Educaiei, specializarea: Pedagogia nvmn-tului primar i precolar Tipul disciplinei: Disciplin obligatorie. Pagina web a cursului : http://sites.google.com/site/ioanamagdas/ Tutori: -

    Adresa e-mail tutori: -

    Condiionri i cunotine prerechizite Cursul nu este condiionat de alte discipline. Totui cursanii au nevoie de cunotine de

    matematic elementare corespunztoare claselor primare i care constau n : efectuarea de

    calcule folosind operaii matematice cu numere naturale i raionale, uniti de msur i

    elemente de geometrie.

    Descrierea cursului Cursul METODICA PREDRII MATEMATICII are dou pri componente care

    interelaioneaz. O parte teoretic n care ne propunem s familiarizm cursanii cu noile

    tendine n domeniul didacticii aplicate n matematica din nvmntul primar i

    precolar i o parte practic care se va concretiza prin realizarea unui portofoliu al

    cursului.

    Organizarea temelor n cadrul cursului

  • Cursul de fa face parte din domeniul didacticilor aplicate, mai exact didactica

    aplicat n matematica nvmntului primar i precolar. n elaborarea acestui curs, am

    inut cont de cele trei ntrebri cheie care stau permanent n faa profesorului i anume:

    a) Ce? referitor la coninuturi;

    b) Ct? referitor la structur;

    c) Cum? referitor la strategie;

    Pornind de la aceste ntrebri am structurat cursul pornind de la nivelul macro al

    documentelor oficiale (curriculum naional, planuri de nvmnt, disciplina n general,

    programe colare manuale) ctre nivelul microstructural (planificri calendaristice, uniti

    de nvare, lecii).

    Ca urmare temele atinse n partea teoretic vor fi, n ordine, urmtoarele:

    1. LOCUL MATEMATICII DIN NVMANTUL PRIMAR I PRECOLAR N

    NOUL CURRICULUM NAIONAL [1]

    2. CONINUTURI NOIONALE I METODE SPECIFICE DE PREDARE-

    NVARE A ACESTORA [1,2,3,4]

    3. STRATEGII DE PREDARE-NVARE A MATEMATICII I A ACTIVITILOR

    MATEMATICE DIN NVMANTUL PRIMAR I PRECOLAR [1,2,3]

    4. INTEGRAREA EVALURII N PROCESUL DE INSTRUIRE LA MATEMATIC

    [1]

    5. ELEMENTE DE PROIECTARE DIDACTIC LA MATEMATIC [1]

    Lucrrile practice vor viza urmtoarele aspecte :

    Aspecte organizatorice ale sistemului de nvmnt (Curriculum Naional:

    planuri cadru, organizarea nvmntului matematic primar i precolar,

    programe colare, documentele profesorului etc.);

    Coninuturile colare ale matematicii din nvmntul primar i precolar;

    Proiectarea activitii didactice la matematic pentru cl. I-IV, respectiv a

    activitilor matematice din nvmntul precolar;

    Realizarea unor documente ale profesorului.

    Lucrrile practice se vor concretiza n portofoliul disciplinei [1].

    Formatul i tipul activitilor implicate de curs

  • Cursul teoretic conine toate informaiile necesare cursanilor n activitatea de

    practica pedagogic. Ca urmare activitile pe care le presupune cursul sunt lecturarea i

    exersarea cunotinelor teoretice n cadrul practicii didactice pentru obinerea unor

    competene necesare n activitatea de predare-nvare a matematicii. Cursanii vor

    parcurge activitile practice n ritm propriu i n ordinea dorit de acetia cu precizarea

    c ele trebuie s acopere 4 ore/sptmn.

    Materiale bibliografice obligatorii

    1) Magda, I., Didactica matematicii n nvmntul primar i precolar-

    actualitate i perspective, Editura Presa Universitar Clujean, Cluj-Napoca, 2010

    Descriere: Cartea va fi principalul material ce sta la baza cursului. Lucrarea este

    structurat n cinci pri. Primul capitol se refer la principiile didacticii. Capitolul 2 este

    alocat metodelor de predare-invare-evaluare. Capitolul 3 abordeaz metodologia

    predrii continuturilor noionale matematice ale nvmntului primar i precolar.

    Capitolul 4 abordeaz metodologia rezolvrii exerciiilor i problemelor de matematic.

    Ultimul capitol, conine aspecte privind planificarea i proiectarea activitii didactice la

    matematic prin raportare la Curriculum Naional actual.

    2) Rou, M., Didactica matematicii n nvmntul precolar, PIR, 2007

    3) Rou, M., Didactica matematicii n nvmntul primar, PIR, 2007

    Descriere: Cele dou lucrri vor aprofunda partea teoretic corespunztoare temelor 2 i

    3 ale cursului cu accent sporit asupra metodelor de predare-nvare a unor coninuturi

    noionale (tema 2).

    4) Rou, M, Matematic III, PIR, 2007

    5) Vlcan, D., Metodologia rezolvrii problemelor de aritmetic, Editura Casa crii

    de tiin, Cluj-Napoca, 2005

    Descriere: Cele dou cri vor fi utile pentru aprofundarea metodelor de rezolvare a

    problemelor de aritmetic, parte component a temei 2.

    Materiale i instrumente necesare pentru curs Calculatorul va fi folosit n special pentru comunicarea cu titularul de curs, cu

    ceilali colegi i mentorul de practic didactic.

  • Calendarul cursului Verificarea parial a portofoliului cursului se va face la a doua ntlnire. Verificarea

    parial este opional. Scopul acestei verificri este de a monitoriza procesul de

    acumulare a cunotinelor i de utilizare a acestora n cadrul practicii pedagogice. Pe tot

    parcursul semestrului cursanii pot lua legtura prin e-mail cu titularul cursului n orice

    problem legat de desfurarea practicii.

    Verificarea i notarea portofoliului se va face la data fixat a examenului.

    Examenul final teoretic se va face n sesiune la data fixat de decanat.

    Politica de evaluare i notare Evaluarea urmrete: implicarea studenilor n activitile solicitate, calitatea

    sarcinilor realizate, performanele la testri i calitatea/ portofoliului de practic

    pedagogic.

    Detaliere:

    Portofoliul cursului: se va nota de la 1 la 10 i reprezint 25% din not. Criteriile

    de notare la practica didactic sunt urmtoarele:

    Componenta evaluat Punctajul acordat

    Dou proiecte de lecie (unul pentru nvmnt primar i unul pentru nvmnt precolar la matematic)

    4 pt.

    Rezolvarea a 2 probleme de aritmetic urmrind etapele metodice de rezolvare

    2 pt.

    Prezentarea unui joc didactic matematic (pt. nvmntul primar sau precolar)

    2 pt.

    Pentru o unitate de nvare se va realiza o prob de evaluare avnd minim 7 itemi de tipuri diferite specificnd: clasa, denumirea unitii de nvare, rezolvarea integral i baremul de corectare

    2 pt.

    TOTAL 10 pt.

    Not: - Studenii vor ataa portofoliului o adeverin de la unitatea de nvmnt n care

    funcioneaz din care s rezulte postul pe care sunt angajai (educatoare, nvtoare etc.)

    - Studenii care nu au activiti de predare a matematicii n nvmntul primar i precolar vor realiza 8 lecii de asisten la activiti matematice concretizate n fie de observare a leciei i care vor fi notate n cadrul portofoliului cursului.

  • Examen (E): se va nota de la 1 la 10 i reprezint 75% din not

    Examenul se va realiza printr-un test scris care va avea trei pri:

    I: cinci itemi obiectivi i semiobiectivi: cu alegere multipl, de tip pereche sau cu

    completare de rspuns;

    II: tratarea a dou subiecte teoretice din curs cu solicitarea unor exemplificri din

    matematic;

    III: rezolvarea a dou probleme de aritmetic cel puin una avnd cerine metodice.

    Calcularea notei: 0,25 x Portofoliu + 0,75 x Examen cu condiia ca fiecare din cele

    dou note componente s fie note de trecere (minim 5). n calculul notei, notele

    componente vor fi considerate cu dou zecimale prin lips, deci fr a fi rotunjite la

    ntregul cel mai apropiat. n cazul n care cursantul nu are not de trecere sau nu se

    prezint la una din componente, el va fi reevaluat ulterior, pentru acordarea notei, numai

    la acea component.

    Studeni cu dizabiliti Cursanii cu dizabiliti vor lua legtura prin e-mail sau telefonic cu titularul de

    curs pentru a stabili mpreun cu acesta specificul activitilor acestora n cadrul cursului.

    Strategii de studiu recomandate

    ntruct practica didactic se desfoar simultan cu partea teoretic cursantul va

    studia coninuturile teoretice n contextul activitii practice. Acest lucru se va realiza

    astfel: n momentul n care cursantul are de realizat un document sau de pregtit o

    activitate cu elevii, se va studia acea parte teoretic care i va fi de folos pentru ceea ce

    are de realizat. Cursanii vor parcurge temele n ritm propriu i n ordinea dorit de

    acetia cu precizarea c ele trebuie s acopere 4 ore/sptmn.

  • SUPORT

    DE

    CURS

  • Modul 1.

    LOCUL MATEMATICII DIN NVMANTUL PRIMAR I PRECOLAR N NOUL CURRICULUM NAIONAL

    Scopul i obiectivele Acest modul i propune familiarizarea cursanilor cu aspectele organizatorice ale

    sistemului de nvmnt. Pe parcursul modulului cursanii vor fi capabili:

    O1.1. s enumere elementele componente ale curriculumului naional;

    O1.2. s enumere i s defineasc conceptele cheie ale curriculumului naional;

    O1.3. s denumeasc elementele componente ale programelor colare de matematic

    pentru nvmntul primar i precolar;

    O1.4. s identifice legturile existente ntre obiectivele cadru, obiectivele de referin i

    coninuturi

    O1.4. s analizeze programele i manualele colare de matematic pentru nvmntul

    primar i precolar n scopul clasificrii i selectrii domeniilor de coninut studiate.

    Scurt recapitulare a conceptelor prezentate anterior

    Nu este cazul

    Schema logic a modului

    Paragrafele vor fi parcurse liniar n ordinea n care sunt scrise. Noiunile eseniale ale

    modulului sunt urmtoarele, n ordinea n care apar:

    Curriculum Naional (CN);

    Elemente componente ale CN: Cadru de referin, Planuri cadru de nvmnt,

    programe colare, ghiduri i norme metodologice, manuale alternative;

    Concepte cheie ale CN: arii curriculare, cicluri curriculare, trunchi comun,

    curriculum nucleu, curriculum difereniat, curriculum la decizia colii (CD) etc.

    Componentele programelor colare de matematic.

  • Schematic avem:

    Coninutul informaional detaliat Coninuturi:

    1.1. Curriculum Naional actual. Componente

    1.2. Principiile de generare a planurilor cadru de nvmnt

    1.3. Caracteristicile programelor colare de matematic pentru cls. I-IV i a

    activitilor matematice din nvmntul precolar

    1.4. Manualul colar

    1.5. Moduri de prezentare a coninutului matematicii n programe i manuale

    Macro (MEC) CN

    Cadru de

    referin

    Planuri cadru

    Modul de

    structurare al

    nvmntului

    nvmnt precolar nvmnt primar nvmnt gimnazial

    nvmnt liceal (filiere, profiluri,

    specializri) AM Cicluri

    curriculare

    Arii curriculare Discipline

    Trunchi comun Curriculum

    nucleu

    Curriculum difereniat

    CD, CDL

    Ghiduri, norme

    metodologice

    Programe colare Manuale alternative

  • 1.1. Curriculum Naional actual. Componente

    ntrebare. Ce este Curriculum Naional i care sunt componentele acestuia?

    Anul 1998 este anul de nceput al reformei curriculare n Romnia. Fructul de

    prim instan al reformei este elaborarea noului Curriculum Naional al colilor i

    liceelor. Pentru prima oar planurile i programele de nvmnt se flexibilizeaz i se d

    o anume autonomie fiecrei uniti de nvmnt.

    Curriculum Naional este un set de documente oficiale care planific coninutul

    educaiei. El cuprinde:

    Curriculum Naional. Cadru de referin este un document reglator care asigur

    coerena, la nivel naional, n ce privete finalitile educaionale ale sistemului n

    ansamblul su, finalitile etapelor de colarizare, reperele generale, principiile i

    standardele de elaborare i aplicare ale curriculum-ului;

    Planurile cadru de nvmnt reprezint un document reglator esenial prin care se

    stabilesc ariile curriculare i obiectele de studiu cu resursele de timp necesare

    abordrii acestora;

    Programele colare descriu oferta educaional a unei anumite discipline pentru un

    parcurs colar determinat;

    Ghiduri, norme metodologice i materiale suport care descriu condiiile de aplicare i

    monitorizare ale procesului curricular;

    Manualele alternative care reflect programele colare i prevd ceea ce este comun

    pentru toi elevii.

  • 1.2. Principiile de generare a planurilor cadru de nvmnt

    ntrebare. Ce a stat la baza elaborrii planurilor cadru de nvmnt?

    Elaborarea planurilor cadru de nvmnt s-a fcut innd cont de anumite principii,

    care, la rndul lor, au dus la apariia unor concepte cheie.

    Pentru a vizualiza mai clar principiile de generare a planurilor cadru, am preferat

    aezarea lor n urmtorul tabel:

    Principiul Ce vizeaz? Ce genereaz?

    (1) Seleciei i al

    ierarhizrii culturale

    Decuparea din

    domeniile cunoaterii a

    domeniilor

    curriculumului colar

    Ariile curriculare

    (2)Funcionalitii Racordarea diverselor

    discipline, precum i a

    ariilor curriculare

    Ciclurile curriculare

    (3) Coerenei Caracterul omogen al

    parcursului colar

    Raporturile procentuale, pe orizontal i

    vertical, ntre ariile curriculare, iar n

    cadrul ariilor, ntre discipline

    (4) Egalitii anselor Dreptul fiecrui elev de

    a descoperi i valorifica

    la maximum potenialul

    de care dispune

    Obligativitatea nvmntului general de

    zece clase;

    Trunchiul comun (TC); Curriculum-nucleu

    (5) Flexibilitii i

    parcursului individual

    Trecerea de la

    nvmntul pentru toi

    la nvmntul pentru

    fiecare

    Curriculum difereniat (CD)

    Curriculum la decizia colii (CD)

    Curriculum n dezvoltare local (CDL)

    (6) Racordrii la social Tipuri variate de ieiri Structurarea liceelor pe filiere, profiluri i

  • din sistem:

    - ctre pregtire

    universitar

    - ctre pregtire

    postliceal

    - ctre piaa muncii

    specializri

    Posibilitatea schimbrii traseului

    educaional

    n cele ce urmeaz vom explica fiecare concept cheie din tabelul de mai sus.

    Aria curricular reprezint un grupaj de discipline colare care au n comun anumite

    obiective i metodologii i care ofer o viziune multi i/sau interdisciplinar asupra

    obiectelor de studiu. Ariile curriculare existente n nvmntul romnesc sunt: Limb i

    comunicare; Matematic i tiine ale naturii; Om i societate; Arte; Educaie fizic i

    sport; Tehnologii; Consiliere i Orientare. Cele apte arii curriculare au fost selectate n

    conformitate cu finalitile nvmntului i sunt compatibile cu cele opt domenii de

    competene-cheie stabilite la nivel european: comunicare n limba matern; comunicare n

    limbi strine; matematic, tiine i tehnologii; tehnologia informaiei i comunicaiilor

    (TIC); competene interpersonale, interculturale, sociale i civice; cultur antreprenorial;

    sensibilizarea la cultur; i a nva s nvei. Ariile curriculare rmn aceleai pe ntreaga

    durat a colaritii obligatorii i a liceului, dar ponderea lor este variabil n cadrul

    ciclurilor curriculare i de-a lungul anilor de studiu.

    Ciclurile curriculare reprezint periodizri ale colaritii care au n comun obiective

    specifice. Ele grupeaz mai muli ani de studiu, care aparin uneori de niveluri colare

    diferite, i care se suprapun peste structura formal a sistemului de nvmnt cu scopul

    de a focaliza obiectivul major al fiecrei etape colare i de a regla procesul de

    nvmnt prin intervenii de natur curricular. Fiecare ciclu curricular ofer un set coe-

    rent de obiective de nvare care consemneaz ceea ce ar trebui s dobndeasc elevii la

    terminarea unei anumite etape a parcursului colar. Prin aceste obiective, ciclurile

    curriculare confer diferitelor etape ale colaritii o serie de dominante care se reflect n

    alctuirea programelor colare. Ciclurile curriculare sunt:

    - Ciclul achiziiilor fundamentale (grupa pregtitoare a grdiniei, clasele I i a II-a)

    - Ciclul de dezvoltare (cl. a III-a a VI-a)

  • - Ciclul de observare i orientare (cl. a VII-a a IX-a)

    - Ciclul de aprofundare (cl. a X-a i a XI-a)

    - Ciclul de specializare (cl. a XII-a i a XIII-a)

    Peste aceste cicluri se suprapune ciclul inferior al liceului (cl. a IX-a i a X-a) i ciclul

    superior al liceului (cl. a XI-a i a XII-a).

    Trunchiul comun (TC) reprezint oferta educaional constnd din aceleai

    discipline, cu acelai numr de ore pentru toate filierele, profilurile i specializrile din

    cadrul nvmntului liceal. Viznd competenele-cheie, trunchiul comun va fi parcurs n

    mod obligatoriu de toi elevii, indiferent de profilul de formare. Numrul de ore din

    trunchiul comun este alocat prin planurile-cadru de nvmnt i asigur egalitatea

    anselor n educaie. Prin gruparea disciplinelor din structura trunchiului comun n cele 7

    arii curriculare prevzute n actualul curriculum naional, se asigur continuitatea dintre

    planurile cadru de nvmnt pentru clasele I-VIII i planurile cadru de nvmnt

    pentru liceu sau pentru coala de arte i meserii. Oferta de trunchi comun contribuie la:

    - finalizarea educaiei de baz, prin continuarea dezvoltrii competenelor cheie urmrite

    n cadrul nvmntului obligatoriu condiie pentru asigurarea egalitii de anse pentru

    toi elevii, oricare ar fi specificul liceului (filier, profil);

    - asigurarea continuitii ntre nvmntul gimnazial i cel liceal;

    - formarea pentru nvarea pe parcursul ntregii viei.

    Curriculum nucleu este expresia curricular a trunchiului comun, care cuprinde acel

    set de documente eseniale pentru orientarea nvrii la o anumit disciplin, i

    reprezint unicul sistem de referin pentru diversele tipuri de evaluri i examinri

    externe (naionale) din sistem i pentru elaborarea standardelor curriculare de

    performan.

    Curriculum difereniat (CD) reprezint oferta educaional stabilit la nivel central,

    constnd dintr-un pachet de discipline cu alocrile orare asociate acestora, difereniat pe

    profiluri (n cazul filierelor teoretic i tehnologic) i pe specializri (n cazul filierei

    vocaionale). Aceast ofert educaional asigur o baz comun pentru pregtirea de

    profil (n cazul filierelor teoretic i tehnologic) i rspunde nevoii de a iniia elevul n

    trasee de formare specializate, oferindu-i o baz suficient de diversificat pentru a se

    putea orienta n privina studiilor ulterioare sau pentru a se putea integra social i

  • profesional, n cazul finalizrii studiilor. Orele din curriculum difereniat sunt ore pe care

    elevii din profilul sau specializarea respectiv le efectueaz n mod obligatoriu.

    Curriculum la decizia colii (CD) reprezint ansamblul proceselor educative i al

    experienelor de nvare pe care fiecare coal le propune n mod direct elevilor si n

    cadrul ofertei curriculare proprii. La nivelul planurilor de nvmnt, CD reprezint

    numrul de ore alocate pentru dezvoltarea ofertei curriculare proprii fiecrei uniti de

    nvmnt. CD este o component a planurilor-cadru pentru ciclul inferior al liceului i

    pentru ciclul superior al liceului, filierele teoretic i vocaional. O detaliere a acestor

    aspecte se va face n paragraful 5.4.

    Curriculum n dezvoltare local (CDL) reprezint orele alocate pentru dezvoltarea

    ofertei curriculare specifice fiecrei uniti de nvmnt, ofert realizat n parteneriat

    cu ageni economici. CDL este o component a planurilor-cadru pentru ciclul superior al

    liceului, filiera tehnologic.

    Filierele, profilurile i specializrile reprezint modul de structurare a liceului, dup

    cum arat tabelul urmtor:

    Filier Profil Specializare

    Teoretic Real Matematic-Informatic

    tiinele Naturii

    Uman Filologie

    tiine sociale

    Tehnologic

    Tehnic Electronic i automatizri,

    Electrotehnic, Telecomunicaii,

    Mecanic etc.

    Resurse naturale i

    protecia mediului

    Chimie industrial, Protecia

    mediului, Silvic, Veterinar, Agricol,

    Industrie alimentar

    Servicii Turism i alimentaie public,

    Economic, administrativ, Pot

    Vocaional Sportiv

    Arte vizuale Arte plastice, Arhitectur

  • Arte muzicale i

    dramatice

    Muzic, Teatru, Coregrafie

    Militar Matematic-Informatic, tiine

    sociale, Muzici militare

    Teologic Ortodox, Catolic etc.

    1.3. Caracteristicile programelor colare de matematic pentru cls. I-IV i a

    activitilor matematice din nvmntul precolar

    ntrebare. Care este structura programelor colare de matematic la nivel precolar i

    primar?

    Idealul educaional i finalitile sistemului reprezint un set de aseriuni de

    politic educaional, care consemneaz, la nivelul Legii nvmntului, profilul de

    personalitate dezirabil la absolvenii sistemului de nvmnt, n perspectiva evoluiei

    societii romneti. Acestea au un rol reglator, ele constituind un sistem de referin n

    elaborarea curriculumului naional.

    Finalitile pe niveluri de colarizare constituie o concretizare a finalitilor

    sistemului de nvmnt pe diverse niveluri ale acestuia. Ele descriu specificul fiecrui

    nivel de colaritate din perspectiva politicii educaionale, reprezint un sistem de referin

    att pentru elaborarea programelor colare ct i pentru orientarea demersului didactic la

    clas. (fig.)

    Din explicitarea finalitilor pentru disciplinele colare se formuleaz la nivelul

    nvmntului precolar, primar i gimnazial:

    Obiectivele cadru: sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate i complexitate.

    Ele se refer la formarea unor capaciti i atitudini generate de specificul disciplinei

    i sunt urmrite de-a lungul mai multor ani de studiu. Obiectivele cadru au o structur

  • comun pentru toate disciplinele aparinnd unei arii curriculare i au rolul de a

    asigura coerena n cadrul acesteia.

    Obiectivele de referin: sunt obiective care specific rezultatele ateptate ale

    nvrii la finalul unui an de studiu i urmresc progresul n formarea de capaciti i

    achiziia de cunotine ale elevului de la un an de studiu la altul.

    1.3.1. Obiectivele cadru i de referin ale activitilor matematice pentru

    nvmntul precolar

    Activitate practic. Identificai n programa colar obiectivele cadru, obiectivele de

    referin i cele 6 mari teme din nvmntul precolar la matematic?

    Politica educaional Finaliti Cerinele societii fa de educaie

    Ariile curriculare

    Domeniul tiine Matematica

    Programe colare

    Grdini Not de prezentare Obiective cadru

    Obiective de referin Comportamente

    Sugestii de coninuturi

    Cl. I-IV

    Not de prezentare Obiective cadru

    Obiective Exemple de de referin activiti de nvare Coninuturile nvrii Standarde curriculare de performan

    Domenii

    experieniale

    nvmnt precolar Clasele I-XII

    defalcate pe 6

    mari teme

  • OBIECTIVELE CADRU ale Domeniului tiine pentru nvmntul precolar,

    extrase din programa colar, sunt:

    - Dezvoltarea operaiilor intelectuale prematematice;

    - Dezvoltarea capacitii de a nelege i utiliza numere, cifre, uniti de msur,

    ntrebuinnd un vocabular adecvat;

    - Dezvoltarea capacitii de recunoatere, denumire, construire i utilizare a formelor

    geometrice;

    - Stimularea curiozitii privind explicarea i nelegerea lumii nconjurtoare;

    - Dezvoltarea capacitii de rezolvare de situaii problematice, prin achiziia de strategii

    adecvate;

    - Dezvoltarea capacitii de cunoatere i nelegere a mediului nconjurtor, precum i

    stimularea curiozitii pentru investigarea acestuia;

    - Dezvoltarea capacitii de observare i stabilire de relaii cauzale, spaiale, temporale;

    - Utilizarea unui limbaj adecvat n prezentarea unor fenomene din natur i din mediul

    nconjurtor;

    - Formarea i exersarea unor deprinderi de ngrijire i ocrotire a mediului nconjurtor,

    n vederea educrii unei atitudini pozitive fa de acesta.

    OBIECTIVE DE REFERIN:

    - S-i mbogeasc experiena senzorial, ca baz a cunotinelor matematice

    referitoare la recunoaterea, denumirea obiectelor, cantitatea lor, clasificarea,

    constituirea de grupuri / mulimi, pe baza unor nsuiri comune (form, mrime,

    culoare) luate n considerare separat sau mai multe simultan;

    - S efectueze operaii cu grupele de obiecte constituite n funcie de diferite criterii

    date ori gsite de el nsui: triere, grupare / regrupare, comparare, clasificare,

    ordonare, apreciere a cantitii prin punere n coresponden;

    - S neleag i s numeasc relaiile spaiale relative, s plaseze obiecte ntr-un

    spaiu dat ori s se plaseze corect el nsui n raport cu un reper dat;

    - S neleag raporturi cauzale ntre aciuni, fenomene (dac...atunci) prin

    observare i realizare de experimente;

    - S recunoasc, s denumeasc, s construiasc i s utilizeze forma geometric:

    cerc, ptrat, triunghi, dreptunghi n jocuri;

  • - S efectueze operaii i deducii logice, n cadrul jocurilor cu piesele geometrice;

    - S numere de la 1 la 10 recunoscnd grupele cu 1-10 obiecte i cifrele

    corespunztoare;

    - S efectueze operaii de adunare i scdere cu 1-2 uniti, n limitele 1-10;

    - S identifice poziia unui obiect ntr-un ir utiliznd numeralul ordinal;

    - S realizeze serieri de obiecte pe baza unor criterii date ori gsite de el nsui;

    - S compun i s rezolve probleme simple, implicnd adunarea / scderea n

    limitele 1-10;

    - S gseasc soluii diverse pentru situaii problematice reale sau imaginare

    ntlnite n viaa de zi cu zi sau n poveti, povestiri;

    - S cunoasc unele elemente componente ale lumii nconjurtoare (obiecte, aerul,

    apa, solul, vegetaia, fauna, fiina uman ca parte integrant a mediului, fenomene

    ale naturii), precum i interdependena dintre ele;

    - S recunoasc i s descrie verbal i /sau grafic anumite schimbri i transformri

    din mediul apropiat;

    - S cunoasc elemente ale mediului social i cultural, poziionnd elementul uman

    ca parte integrant a mediului;

    - S cunoasc existena corpurilor cereti, a vehiculelor cosmice;

    - S comunice impresii, idei pe baza observrilor efectuate;

    - S manifeste disponibilitate n a participa la aciuni de ngrijire i protejare a

    mediului, aplicnd cunotinele dobndite;

    - S aplice norme de comportare specifice asigurrii sntii i proteciei omului i

    naturii.

    Cele 6 mari teme sunt centralizate n tabelul urmtor:

    TEMA DESCRIEREA TEMEI

    Cine sunt/

    suntem?

    O exprimare a naturii umane, a convingerilor i valorilor noastre, a

    corpului uman, a strii de sntate proprii i a familiilor noastre, a

    prietenilor, comunitilor i culturilor cu care venim n contact

    (material, fizic, sufleteasc, cultural i spiritual), a drepturilor i

    a responsabilitilor noastre, a ceea ce nseamn s fii om.

  • Cnd, cum i de

    ce se ntmpl?

    O explorare a lumii fizice i materiale, a universului apropiat sau

    ndeprtat, a relaiei cauz-efect, a fenomenelor naturale i a celor

    produse de om, a anotimpurilor, a domeniului tiinei i tehnologiei

    Cum este, a fost

    i va fi aici pe

    pmnt?

    O explorare a Sistemului solar, a evoluiei vieii pe Pmnt, cu

    identificarea factorilor care ntrein viaa, a problemelor lumii

    contemporane: poluarea, nclzirea global, suprapopularea etc.

    O explorare a orientrii noastre n spaiu i timp, a istoriilor noastre

    personale, a istoriei i geografiei din perspectiv local i global, a

    cminelor i a cltoriilor noastre, a descoperirilor, explorrilor, a

    contribuiei indivizilor i a civilizaiilor la evoluia noastr n timp i

    spaiu.

    Cine i cum

    planific/

    organizeaz o

    activitate?

    O explorare a modalitilor n care comunitatea/individul i

    planific i organizeaz activitile, precum i a universului

    produselor muncii i, implicit, a drumului pe care acestea l parcurg .

    O incursiune n lumea sistemelor i a comunitilor umane, a

    fenomenelor de utilizare/ neutilizare a forei de munc i a

    impactului acestora asupra evoluiei comunitilor umane, n

    contextul formrii unor capaciti antreprenoriale.

    Cu ce i cum

    exprimm ceea

    ce simim?

    O explorare a felurilor n care ne descoperim i ne exprimm ideile,

    sentimentele, convingerile i valorile, ndeosebi prin limbaj i prin

    arte.

    O incursiune n lumea patrimoniului cultural naional i universal.

    Ce i cum vreau

    s fiu?

    O explorare a drepturilor i a responsabilitilor noastre, a gndurilor

    i nzuinelor noastre de dezvoltare personal.

    O incursiune n universul muncii, a naturii i a valorii sociale a

    acesteia (Munca - activitatea uman cea mai important, care

    transform nzuinele n realizri). O incursiune n lumea

    meseriilor, a activitii umane n genere, n vederea descoperirii

    aptitudinilor i abilitilor proprii, a propriei valori i a ncurajrii

    stimei de sine.

  • 1.3.2. Obiectivele cadru ale matematicii pentru nvmntul primar

    ntrebare. Care sunt obiectivele cadru n nvmntul primar la matematic?

    Ciclul achiziiilor fundamentale este considerat o perioad pregtitoare pentru

    studiul matematicii. Deoarece exist diferene ntre competenele matematice ale copiilor,

    chiar dac au frecventat sau nu grdinia, programa ofer o mai mare flexibilitate i

    posibilitatea de a se lucra difereniat.

    Studiul matematicii n coala primar i propune s asigure pentru toi elevii

    formarea competenelor de baz viznd: calculul aritmetic, noiuni intuitive de geometrie,

    msurare i msuri.

    n ansamblul su, concepia n care a fost construit noua program de matematic

    vizeaz urmtoarele:

    - schimbri n abordarea coninuturilor: nlocuirea coninuturilor teoretice cu o

    varietate de contexte problematice care s dezvolte capacitile matematice ale elevilor;

    - schimbri n ceea ce se ateapt de la elev: aplicarea mecanic a unor algoritmi se

    va nlocui cu elaborarea i folosirea de strategii n rezolvarea de probleme;

    - schimbri n nvare:

    * schimbarea accentului de la activiti de memorare i repetare la activiti de

    explorare-investigare;

    * stimularea atitudinii de cooperare;

    - schimbri n predare: schimbarea rolului nvtorului de la transmitor de

    informaii la cea de organizator de activiti variate de nvare pentru toi copiii,

    indiferent de nivelul i ritmul propriu de dezvoltare al fiecruia;

    Acestea impun ca nvtorul s-i schimbe n mod fundamental orientarea n

    activitatea la clas.

  • Are mai puin

    importan:

    Devine mult mai important:

    memorarea mecanic

    de reguli;

    matematica fcut cu

    creionul i hrtia,

    respectiv creta i

    tabla;

    problemele/exerciiile

    cu soluii sau

    rspunsuri unice;

    activitatea frontal;

    evaluarea cu scopul

    catalogrii copilului.

    activitatea de rezolvare de probleme prin ncercri,

    implicare activ n situaii practice, cutare de

    soluii din experiena de via a elevilor;

    crearea de situaii de nvare diferite prin

    utilizarea unei varieti de obiecte analiza pailor

    de rezolvare a unei probleme, formularea de

    ntrebri, argumentarea deciziilor luate n

    rezolvare;

    activitatea nvtorului n calitate de persoan care

    faciliteaz nvarea i i stimuleaz pe copii s

    lucreze n echip;

    evaluarea are ca scop surprinderea progresului

    competenelor matematice individuale ale elevului.

    Obiectivele cadru ale matematicii pentru nvmntul primar, extrase din

    programele colare, sunt:

    OC1-M. Cunoaterea i utilizarea conceptelor specifice matematicii;

    OC2-M. Dezvoltarea capacitilor de explorare/investigare i rezolvare de probleme;

    OC3-M. Formarea i dezvoltarea capacitii de a comunica utiliznd limbajul

    matematic;

    OC4-M. Dezvoltarea interesului i a motivaiei pentru studiul i aplicarea matematicii n

    contexte variate.

    La nivelul nvmntului primar prin parcurgerea programelor colare pe

    vertical (de la clasa I-IV) se poate observa progresul cognitiv pe care trebuie s-l fac

    elevul.

    Activitate practic. Comparai progresul cognitiv pe care trebuie sa-l fac elevii de la

    clasa I pn la clasa a IV-a, pentru fiecare obiectiv cadru. Se va completa un tabel ca cel

  • de mai jos pentru fiecare obiectiv cadru.

    Tabelul urmtor evideniaz acest progres pentru obiectivul cadru OC1-M.

    Clasa Obiective de referin

    I - s neleag sistemul zecimal de formare a numerelor (din zeci i

    uniti), utiliznd obiecte pentru justificri;

    - s scrie, s citeasc, s compare i s ordoneze numerele naturale de la

    0 la 100;

    -

    II - s neleag sistemul zecimal de formare a numerelor (din sute, zeci i

    uniti), utiliznd obiecte pentru justificri;

    -

    III - s cunoasc i s utilizeze semnificaia poziiei cifrelor n formarea

    unui numr mai mic dect 1000;

    -

    IV - s cunoasc i s utilizeze semnificaia poziiei cifrelor

    1.4. Manualul colar

    ntrebri. Ce i propun manualele colare? Care sunt diferenele dintre manualul

    tradiional i cel modern?

    Concretizarea coninutului procesului de nvmnt reprezint aciunea de

    elaborare a manualelor colare. Ele au valoarea unui document oficial care asigur

    concretizarea programei colare ntr-o form care vizeaz prezentarea cunotinelor i

  • capacitilor la nivel sistemic, prin diferite uniti didactice operaionalizabile n special

    din perspectiva elevului: capitole, subcapitole, lecii, exerciii rezolvate i propuse etc.

    Manualul colar ndeplinete patru funcii pedagogice destinate elevilor:

    funcia de informare, care evideniaz dimensiunea stabil a programei colare;

    funcia de formare, care evideniaz dimensiunea flexibil a programei prin care se

    disting unele manuale colare de altele;

    funcia de antrenare, care evideniaz importana resurselor metodologice ale

    programei i asigur activarea i meninerea interesului pentru nvare;

    funcia de autoinstruire, prin care se d posibilitatea elevului de a-i monitoriza

    nivelul de cunotine.

    Cele patru funcii pedagogice ale manualului colar trebuie s stea la baza seleciei

    unui manual alternativ n detrimentul altuia.

    Manualele alternative sunt un semn al normalizrii colii n direcia democratizrii

    nvrii. Prezentm n tabelul urmtor diferenele eseniale ntre manualele tradiionale i

    cele moderne:

    Aspecte vizate Manualul tradiional Manualul modern

    Selecia

    coninuturilor

    Opereaz o selecie rigid a

    coninuturilor, din care

    rezult un ansamblu fix de

    informaii, tratate amplu,

    academic.

    O selecie permisiv a

    coninuturilor, din care rezult

    un ansamblu variabil de

    informaii n care elevul i

    profesorul au spaiu de creaie.

    Prezentarea

    coninuturilor

    Se face: standardizat,

    nchis, concis, coninuturi

    universal valabile i

    suficiente.

    Informaia constituie un

    scop n sine.

    Se face astfel nct stimuleaz

    interpretri alternative i

    deschise.

    Informaiile constituie un

    mijloc pentru formarea unor

    competene, valori i atitudini.

    Mod de nvare Presupune memorare i

    reproducere.

    Presupune nelegere i

    explicare.

    Mod de gndire Reprezint un mecanism de Reprezint un mecanism de

  • formare a unei cunoateri

    de tip ideologic.

    stimulare a gndirii critice.

    1.5. Moduri de prezentare a coninutului matematicii n programe i manuale

    ntrebare. Cum sunt prezentate coninuturile matematice n programe i manuale?

    Stabilirea structurii tematice a unei discipline colare presupune asumarea unei

    duble perspective de abordare a coninutului instruirii:

    Perspectiva tiinific care presupune includerea celor mai importante aspecte

    tiinifice ale disciplinei;

    Perspectiva pedagogic care adapteaz coninutul tiinific la nevoile elevilor, la

    nivelul fiecrei trepte de colarizare. Din aceast a doua perspectiv, structura tematic

    a unei programe colare ine cont de urmtoarele criterii:

    - accesibilitatea cunotinelor i capacitilor ce urmeaz s fie dobndite de elevi n

    diferite etape ale colaritii;

    - gradarea corect a cunotinelor i capacitilor n raport cu resursele de spaiu i

    timp existente;

    - deschiderea cunotinelor i capacitilor spre diferite tipuri de corelaii

    disciplinare, interdisciplinare, transdisciplinare.

    Programele colare la matematic sunt structurate liniar sau concentric:

    Prezentarea liniar presupune o nlnuire succesiv a noiunilor de la o unitate de

    nvare la alta i de la un an colar la altul. Noiunile se nsuesc n form definitiv, n

    ntreaga lor sfer de cuprindere, fr a mai fi reluate. Aceste noiuni se definesc complet,

    riguros de la prima ntlnire a elevului cu noiunea. Revenirea n clasele urmtoare se

    face numai cu scopul de a uura nelegerea altor noiuni, sau pentru aplicaii, rezolvri de

    probleme.

  • Prezentarea concentric (n spiral) presupune reluarea acelorai noiuni,

    cunotine, deprinderi, ntr-o form amplificat pe diferite trepte ale sistemului colar.

    Revenirea se face din dou motive:

    1. La prima ntlnire a elevului cu noiunea, acesta nu o poate cuprinde n toat

    rigoarea. Vorbim astfel de o prezentare concentric calitativ, cnd nsuirea complet,

    riguroas se face prin restructurri, reinterpretri pe diferite trepte de colaritate.

    2. La prima ntlnire a elevului cu noiunea, acesta este n msur s asimileze definiia

    noiunii aa cum apare n tiin, dar nu poate cuprinde toate proprietile, toate variantele

    echivalente de prezentare a ei. Vorbim astfel de o prezentare concentric cantitativ,

    cnd revenirea la noiune se face pentru adugiri, detalii sau definirea noiunii n situaii

    noi.

    Activitate practic. Dai exemple de coninuturi matematice ale nvmntului

    precolar i primar, care se trateaz liniar, concentric calitativ respectiv concentric

    cantitativ.

    Sumar

    n acest modul sunt prezentate documentele oficiale ale MEC, i conceptele

    fundamentale care se gsesc n acestea.

    Sarcini i teme ce vor fi notate

    Nu au fost formulate explicit sarcini de lucru pentru acest modul, ci ele fac parte

    integrant din realizarea portofoliului. ntrebrile i activitile practice au rolul de a

    orienta atenia cititorului spre cele mai importante aspecte teoretice. Ca urmare nu vor fi

    date teme care s fie notate separat ci doar n contextul realizrii portofoliului.

    Coninuturile acestui modul vor fi verificate la examen.

  • Bibliografie modul

    Magda, I., Didactica matematicii n nvmntul primar i precolar- actualitate i

    perspective, Editura Presa Universitar Clujean, Cluj-Napoca, 2010

    Modul 2.

    CONINUTURI NOIONALE I METODE SPECIFICE DE PREDARE-NVARE A ACESTORA

    Scopul i obiectivele

    Acest modul i propune prezentarea i analizarea din punct de vedere metodic a

    celor mai importante coninuturi noionale matematice din nvmntul primar i

    precolar. Pe parcursul modulului cursanii vor fi capabili:

  • O2.1. s defineasc tiinific conceptele matematice ntlnite n nvmntul primar i

    precolar;

    O2.2. s prelucreze concepte tiinifice matematice la nivelul nvmntului primar i

    precolar;

    O2.3. s proiecteze i s experimenteze situaii de nvare n care se utilizeaz metode

    specifice de predare-nvare a matematicii

    O2.4. s integreze ntr-un sistem conceptele matematice din nvmntul primar i

    precolar i s contientizeze ca acest sistem este incomplet;

    Scurt recapitulare a conceptelor prezentate anterior

    Coninuturile noionale ale programelor colare de matematic pentru

    nvmntul primar i precolar i modul lor de abordare n programe i manuale: liniar

    i concentric.

    Activitate practic. Analiznd programele colare identificai coninuturile noionale

    matematice abordate n nvmntul precolar i primar.

    Schema logic a modului

    Paragrafele vor fi parcurse liniar n ordinea n care sunt scrise. Noiunile eseniale ale

    modulului sunt urmtoarele, n ordinea n care apar:

    Numr natural

    Operaii cu numere naturale

    Numr raional pozitiv

    Uniti de msur

    Elemente de geometrie

    Tipuri de probleme de aritmetic

  • Schematic

    avem:

    Coninutul informaional detaliat

    Coninuturi:

    2.1. Mulimea numerelor naturale. Aspecte tiinifice

    2.1.1. Numrul natural ca numr cardinal

    2.1.2. Axiomatica lui Peano

    2.2. Predarea- nvarea conceptului de numr natural

    Coninuturi noionale ale matematicii n nvmntul precolar i primar

    Aritmetic

    Numere

    naturale

    Numere

    raionale (fracii)

    Probleme de

    aritmetic

    Operaii cu numere: adunarea, scderea, nmulirea, mprirea

    Geometrie

    Elemente de baz: punct, dreapt, segment, semidreapt etc.

    Figuri geometrice fundamentale:

    triunghi, paralelogram i paralelograme particulare, cerc

    Aplicaiile matematicii

    Mrimi i uni-ti de msur

    lungime

    volum

    mas

    valoare

    timp

    Corpuri geometrice:cub,

    paralelipiped dreptunghic etc.

    per

    imet

    re

  • 2.2.1. Formarea la precolari a conceptului de numr natural

    2.2.2. Specificul procesului de predare-nvare a numerelor din concernul 0-10, la

    clasa I

    2.2.3. Predarea-nvarea numerelor n concentrul 10-100

    2.2.4. Predarea-nvarea numerelor n concentrul 100-1000

    2.2.5. Predarea-nvarea numerelor cu mai mult de trei cifre

    2.3. Predarea-nvarea operaiilor cu numere naturale

    2.3.1. Adunarea i scderea numerelor n concentrul 0-10

    2.3.2. Adunarea i scderea numerelor n concentrul 0-30

    2.3.3. Adunarea i scderea numerelor n celelalte concentre: 0-100, 0-1000, 0-

    10000 i 0-1000000

    2.3.4. nmulirea i mprirea n concentrul 0-100

    2.3.5. nmulirea i mprirea numerelor mai mici sau egale cu 1000

    2.4. Predarea-nvarea numerelor raionale

    2.4.1. Mulimea numerelor raionale. Aspecte tiinifice

    2.4.2. Formarea noiunii de fracie i a operaiilor cu fracii n nvmntul primar

    2.5. Predarea-nvarea mrimilor i a unitilor de msur

    2.5.1. Msurare. Uniti de msur. Generaliti

    2.5.2. Msurarea lungimilor. Uniti de msur

    2.5.3. Msurarea volumului. Uniti de msur

    2.5.4. Noiunea de valoare. Uniti de msur

    2.5.5. Noiunea de mas. Uniti de msur

    2.5.6. Timpul. Uniti de msur

    2.6. Predarea-nvarea elementelor de geometrie

    2.6.1. Specificul raionamentului geometric

    2.6.2. Comparaie ntre abordarea intuitiv i cea riguroas a conceptelor de

    geometrie studiate n nvmntul precolar si primar

    2.7. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetic

    2.7.1. Etapele rezolvrii metodice a unei probleme

  • 2.7.2. Metode specifice de rezolvare a unor tipuri de probleme de aritmetic:

    metoda direct, reducerii la unitate, comparaiei, figurativ, falsei ipoteze,

    mersului invers, regula de trei simpl, regula de trei compus

    2.1. Mulimea numerelor naturale. Aspecte tiinifice

    ntrebare. Care a fost primul matematician care a pus bazele axiomatice ale

    mulimii numerelor naturale?

    2.1.1 Numrul natural ca numr cardinal

    Utiliznd mulimea vid , se consider irul:

    , {}, {, { }}, {, { }, {, { }}},...

    n care fiecare termen, ncepnd cu al doilea, este mulimea termenilor anteriori.

    Definiie. Se numesc numere naturale, numerele cardinale ale mulimilor din irul de mai

    sus. Notm numerele naturale cu:

    0 = Card , 1 = Card {}, 2 = Card {, { }}etc.

    iar mulimea numerelor naturale cu N.

    Observaie. Numrul natural introdus pe aceast cale arat aspectul cardinal al

    numerelor naturale (cte sunt?).

    2.1.2. Axiomatica lui Peano

    Giuseppe Peano (1858-1932) a pus bazele axiomatice ale mulimii numerelor naturale

    prin axiomele care i poart numele.

    Axiomele lui Peano (1891) sunt:

    Se numete mulimea numerelor naturale o mulime N pe care se definete o funcie

    NNs : numit funcie succesor i care satisface proprietile:

  • P1) n N exist un element (numit zero i notat cu 0) care nu este succesorul nici unui

    element;

    P2) Funcia succesor s este injectiv (adic dou elemente diferite din N au succesorii

    diferii);

    P3) Dac o submulime P a lui N are proprietatea c dac P0 i Pn implic

    Pns )( , atunci P=N.

    Observaii.

    1) Se poate arta c exist un singur triplet (N, 0, s) care satisface proprietile de mai sus.

    2) Funcia succesor este: s(0)=1, s(1)=2, s(2)=3 etc.

    3) Proprietatea P3) se numete axioma sau principiul induciei matematice i pe baza ei

    se fac demonstraiile prin inducie matematic.

    4) Numrul natural introdus astfel arat aspectul ordinal al numerelor naturale (al

    ctelea este?).

    2.2. Predarea- nvarea conceptului de numr natural

    2.2.1. Formarea la precolari a conceptului de numr natural

    ntrebri. Care este obiectivul cadru din programa de nvmnt precolar care

    acoper formarea la precolari a conceptului de numr natural? n ce obiective de

    referin se defalc acesta?

    Obiectivul cadru care acoper formarea la precolari a conceptului de numr

    natural este: Dezvoltarea capacitii de a nelege i utiliza numerele i cifrele.

    Elementele pregtitoare introducerii numerelor naturale sunt:

    - sesizarea mulimilor i a relaiilor dintre acestea n realitatea obiectiv (mulimi de

    obiecte din mediul nconjurtor, experiena de via a copiilor, imagini ale unor obiecte i

    mulimi de obiecte concrete);

  • - operaii cu mulimi de obiecte concrete: reuniunea (punerea la un loc a elementelor a

    dou mulimi), intersecia (observarea elementelor comune a dou mulimi) i diferena a

    dou mulimi (observarea elementelor care sunt ntr-o mulime i nu sunt n cealalt

    mulime).

    - stabilirea corespondenei ntre elementele a dou mulimi fcnd corespondene element

    cu element. Rezultatul se va exprima prin cuvintele : mai mult, mai puin sau tot attea

    (obiecte, elemente).

    n ceea ce privete materialul didactic folosit, acesta respect regulile obinuite

    impuse de particularitile de vrst: se lucreaz nti cu obiecte concrete (etapa

    acional), apoi cu imagini, reprezentri grafice (etapa iconic) i n final cu simboluri

    (etapa simbolic).

    Specific pentru mijloacele materiale concrete sunt trusele cu piese geometrice.

    De exemplu piesele trusei Dienes sunt definite prin patru variabile, fiecare avnd o serie

    de valori distincte:

    a) mrime cu dou valori: mare, mic;

    b) culoare avnd trei valori: rou, galben, albastru;

    c) form avnd patru valori: ptrat, triunghi, dreptunghi, cerc;

    d) grosime avnd dou valori: gros, subire.

    Caietele speciale au un rol extrem de important n etapa reprezentrilor grafice i

    cea simbolic, am putea spune chiar c fr acestea rolul educatorului ar fi cu mult mai

    dificil.

    Etapele metodice ale introducerii unui numr natural n sunt:

    Numrul natural unu apare firesc considernd mulimi cu un element ca:

    mulimea uilor unei clase. Copii vor da exemple diverse de mulimi cu un element din

    mediul nconjurtor. Toate aceste mulimi au proprietatea comun de a avea acelai

    numr de elemente pe care l vom numi unu i l vom nota cu simbolul grafic (cifra) 1.

    Numerele naturale ntre 2 i 10 se introduc urmnd calea istoric de introducere a

    numerelor, respectiv pe baza mulimilor echipotente i a succesorului unui numr astfel:

  • - se construiete o mulime de obiecte avnd n-1 elemente (deci att ct este ultimul

    numr cunoscut). Dac de exemplu se introduce numrul cinci se construiete o mulime

    cu patru elemente (din bile, beioare, jetoane, figuri geometrice etc.).

    - se construiete alt mulime echipotent cu prima (deci cu acelai numr de elemente,

    lucru constatat prin punere n coresponden unu la unu);

    - se adaug nc un obiect n cea de a doua mulime;

    - se constat c noua mulime are cu un obiect mai mult dect prima mulime (elementul

    adugat nu corespunde nici unui element din prima mulime);

    - se afirm c noua mulime, format din n-1 obiecte i nc un obiect are n obiecte (deci,

    patru obiecte i nc un obiect nseamn cinci obiecte);

    - se construiesc alte mulimi, echipotente cu noua mulime, formate cu alte obiecte,

    pentru a sublinia independena de alegerea reprezentanilor;

    - se prezint cifra (semnul grafic) corespunztoare noului numr introdus.

    Conceptul de numr ridic de cele mai multe ori dificulti de ordin psihologic

    pentru copil datorit celor trei elemente care stau la baza numrului: conceptul numeric

    (cu dublu caracter: cardinal i ordinal), exprimarea sa verbal (numrul) i simbolul

    grafic (sau exprimarea sa scris). Ca urmare, pentru exersare se vor face exerciii care

    acoper toate cele trei aspecte precizate anterior.

    Astfel obiectivele leciilor viznd numerele naturale de la 1 la 10 se refer la

    urmtoarele capaciti ale copilului:

    - s fac corelaii ntre cantitate, numr i simbol grafic (cifra) corespunztoare;

    - s stabileasc vecinii unui numr dat n secvena nvat;

    - s descopere care cifr (numr) lipsete ntr-un ir dat de cifre (numere);

    - s ordoneze cresctor (descresctor) irul numerelor cunoscute;

    - s compare numere naturale, preciznd care este mai mare, respectiv mai mic;

    - s identifice i s numeasc primul, ultimul sau elementul din mijlocul unui ir de

    numere;

  • - stabilirea locului unui numr ntr-un ir prin utilizarea adecvat a numeralelor ordinale:

    primul, al doilea etc.

    - s compun i s descompun mulimi cu un numr dat de elemente;

    - s estimeze numrul de obiecte dintr-o mulime dat i s verifice prin numrare.

    2.2.2. Specificul procesului de predare-nvare a numerelor din concentrul 0-10, la

    clasa I

    ntrebare. Exist vreo diferen n introducerea numerelor naturale din concentrul

    0-10 la clasa I fa de grdini?

    n clasa I se reiau pe o treapt superioar numerele naturale de la 1 la 10 prin

    completarea irului acestora pn la 100 i cu primul numr natural, numrul zero.

    Numrul natural zero se introduce identificnd mulimi din lumea nconjurtoare

    care nu au elemente ca: mulimea copacilor din sala de clas. Aceste mulimi se numesc

    mulimi vide. Numrul de elemente ale unei mulimi vide este zero, i l vom nota cu

    simbolul (cifra) 0.

    Numrul natural unu se introduce ca la grdini.

    Numerele naturale de la 2 la 10 pot fi introduse la fel ca la grdini. Un alt

    procedeu care poate fi utilizat valorific procedeul de compunere i descompunere a unui

    numr i pregtete adunarea i scderea. Acest procedeu l-am exemplificat pentru

    introducerea numrului cinci i se desfoar astfel:

    - profesorul ncepe activitatea de la numrul anterior nsuit, respectiv patru, punnd

    pe tabla magnetic, iar elevii pe banc patru jetoane (bile, cercuri etc.);

  • - prin aciuni pe tabla magnetic se arat c dac un alt jeton vine spre cele patru

    existente se obin cinci jetoane. Elevii vor executa i ei n banc aceeai aciune. n

    acest fel elevii vor contientiza c numrul cinci se compune din unu i patru;

    - elevii sunt pui apoi n situaia de a gsi alte posibiliti de compunere i

    descompunere a numrului cinci: din doi i trei, din trei i doi, din patru i unu;

    - n etapa urmtoare elevii sunt pui s deseneze pe caiete ceea ce au executat anterior,

    deci se trece de la etapa acional la cea iconic. Aceste reprezentri vor arta astfel:

    =

    =

    =

    =

    - asigurndu-se c toi elevii au realizat saltul calitativ de la reprezentarea n aciune la

    cea iconic, profesorul trece la nvarea simbolului grafic: cifra 5;

    - apoi se va cere copiilor s rescrie reprezentrile anterioare fcute prin desene cu ajutorul

    cifrelor. Aceste reprezentri simbolice vor arta astfel:

    1 4 = 5

    2 3 = 5

    3 2 = 5

    4 1 = 5

    sau

    1 4 ; 2 3 ; 3 2 ; 4 1

    \ / \ / \ / \ /

    5 5 5 5

    Toate aceste exerciii au ca scop pregtirea operaiilor cu numere naturale n

    concentrul 0 10.

  • - urmtoarea etap const n evidenierea relaiei de ordine n care se gsete numrul

    natural patru fa de numerele naturale nvate pn n acel moment. Pentru realizarea

    acestui lucru se prezint elevilor dou mulimi, una cu patru elemente iar cealalt cu cinci

    elemente. Prin corespondena unu la unu se observ c mulimea cu patru elemente are cu

    un element mai puin dect cea cu cinci elemente. n acest moment, dac nu s-au introdus

    pn atunci, se introduce simbolul care se citete mai mare dect. Apoi, folosind cele dou simboluri

    nvate se scriu numerele n ordine cresctoare i descresctoare astfel:

    543210 respectiv 012345

    Urmeaz apoi exerciii de fixare a cunotinelor, de stabilire a relaiei de ordine ntre dou

    numere, scrierea cresctoare, descresctoare a unui ir de numere dintre cele nvate,

    identificarea numerelor care lipsesc dintr-un ir dat.

    Obiectivele leciilor viznd numerele naturale de la 0 la 10 sunt asemntoare

    celor din nvmntul precolar ns cu o mai accentuat prezen a simbolurilor

    matematice (cifre, semnele etc.)

    2.2.3. Predarea - nvarea numerelor n concentrul 10 - 100

    ntrebri. Cum se introduc numerele din acest concentru? Care este diferena n

    introducerea numerelor naturale din concentrul 10-100 fa de concentrul 0-10?

    Trecerea de la concentrul 1- 10 la concentrul 10-100 este pasul esenial n

    nelegerea sistemului nostru de numeraie.

    nelegerea procesului de formare a numerelor mai mari dect 10 i mai mici dect

    20 este esenial pentru extrapolarea n urmtoarele concentre numerice. Studiul

  • concentrului 10-20 i ajut pe elevi s-i consolideze cunotinele anterioare i s le

    transfere n contexte noi. Este util s se considere zecea ca unitate de numeraie i s se

    utilizeze ca unitate compact (de exemplu se leag 10 beioare ca un mnunchi).

    Introducerea numrului 11 se poate realiza astfel:

    - se formeaz o mulime cu 10 elemente (o zece);

    - se formeaz o mulime cu 1 element;

    - se reunesc cele dou mulimi, obinndu-se o mulime format din zece elemente i nc

    un element;

    - se spune c aceast mulime are unsprezece elemente i c scrierea acestui numr este

    11, adic dou cifre 1, prima reprezentnd zecea i cea de a doua unitatea. Trebuie

    insistat c o cifr poate avea valori diferite n funcie de poziia pe care o are n numr.

    Numrul 20, se construiete din o zece i zece uniti, adic dou zeci. Numrul format

    numai din zeci apare ca o punere mpreun a mai multor mnunchiuri astfel formate.

    Analog se introduc toate numerele de tipul 0z .

    Pentru introducerea tuturor numerelor de tipul ,zu u>0 se procedeaz ca la introducerea

    numrului 11 i anume ca reuniune ntre o mulime de zeci i o mulime format din

    uniti. Explicaia este aceea c n aceast etap a introducerii numerelor naturale dorim

    ca elevii s perceap numerele naturale ca fiind formate din zeci i uniti i deci s

    neleag sistemul zecimal de formare a numerelor. Astfel elevul l va privi de exemplu

    pe 46 nu n comparaie cu 45 ci ca fiind alctuit din 4 zeci i 6 uniti. Trebuie totodat

    insistat asupra faptului c o cifr poate avea semnificaii diferite n cadrul unui numr n

    funcie de poziia pe care aceasta o ocup. De exemplu cifra 3 din numrul 33 are dou

    semnificaii diferite: primul 3 din dreapta semnific unitile simple, iar al doilea 3 din

    stnga semnific zecile.

    Numrul 100 este primul numr de trei cifre ntlnit de elevi i n acest context el

    trebuie privit ca reprezentnd 10 zeci.

    Dac aceste etape vor fi corect parcurse, nu vor fi ntmpinate dificulti n

    nelegerea numerelor pn la 100. Pentru prima dat elevii dau o nou semnificaie

    cifrelor, semnificaie dat de locul pe care acestea l ocup n scrierea numerelor.

  • Obiectivele leciilor viznd numerele naturale ntre 10 i 100 (cl. I) se refer la

    urmtoarele capaciti ale copilului:

    - s neleag sistemul zecimal de formare a numerelor (din zeci i uniti), utiliznd

    obiecte pentru justificri;

    - s scrie, s citeasc, s compare i s ordoneze numerele naturale de la 0 la 100.

    2.2.4. Predarea - nvarea numerelor n concernul 100 1000

    n predarea-nvarea numerelor naturale n concernul 100-1000 se utilizeaz

    procedee analoage celor utilizate n concernul anterior nvat. n acest concern elevii

    adaug o nou unitate suta compus din zece zeci, iar zece sute formeaz o mie.

    Formarea unui numr nou mai mare dect 100 se realizeaz dup algoritmul cunoscut, de

    exemplu 452 se formeaz din patru sute, cinci zeci i dou uniti. Dificulti pot apare

    atunci cnd avem numere ce conin cifra 0. Este necesar ca elevii s fac deosebire ntre

    101 i 110 (de exemplu), n care 0 arat lipsa zecilor, respectiv lipsa unitilor.

    Obiectivele leciilor viznd numerele naturale ntre 100 i 1000 (cl. a II-a) se

    refer la urmtoarele capaciti ale copilului:

    - s neleag sistemul zecimal de formare a numerelor (din sute, zeci i uniti), utiliznd

    obiecte pentru justificri;

    - s scrie, s citeasc, s compare i s ordoneze numerele naturale mai mici dect 1000,

    utiliznd simbolurile: , =

    2.2.5. Predarea - nvarea numerelor cu mai mult de trei cifre

    La baza introducerii acestor numere stau noiunile de ordin i clas. Pn acum

    elevii au cunoscut trei uniti de calcul: unitatea, zecea i suta. Pentru a ordona i

    sistematiza secvenele numerice urmtoare, fiecrei uniti de calcul i va fi ataat un

    ordin ce reprezint poziia ocupat de cifr n cadrul numrului, poziie numrat de la

    dreapta spre stnga. Pe msur ce se cunosc ordinele, elevii constat c grupuri de trei

  • ordine consecutive vor forma o grup numit clas dup cum se arat n tabelul de mai

    jos:

    Sute

    de

    mili-

    oane

    Zeci

    de

    mili-

    oane

    Uniti

    de

    mili-

    oane

    Sute

    de

    mii

    Zeci

    de

    mii

    Mii Sute Zeci Uniti

    9 8 7 6 5 4 3 2 1 Ordin

    Clasa milioanelor Clasa miilor Clasa unitilor Clas

    Procedeul se poate continua cu uniti de miliarde, zeci de miliarde, sute de

    miliarde care formeaz clasa miliardelor, i n principiu acest proces se poate continua.

    Concluzionnd, obiectivele leciilor viznd numerele cu mai mult de trei cifre (cl.

    a III-a i a IV-a) se refer la urmtoarele capaciti ale elevilor:

    - s cunoasc caracteristicile sistemului de numeraie: zecimal (zece uniti de un anumit

    ordin formeaz o unitate de ordin imediat superior) i poziional (o cifr poate reprezenta

    diferite valori n funcie de locul pe care l ocup n scrierea unui numr);

    - s scrie, s citeasc, s compare i s ordoneze numere naturale.

    2.3. Predarea-nvarea operaiilor cu numere naturale

    ntrebri. Care sunt operaiile cu numere naturale studiate n nvmntul

    precolar i primar i pe ce se pune accentul?

    nvarea operaiilor cu numere naturale ncepe la grdini i constituie

    activitatea cu ponderea cea mai mare din nvmntul primar. Obiectivul cadru care

    acoper formarea la precolari a operaiilor cu numere naturale este: Dezvoltarea

  • capacitii de a nelege i utiliza numerele i cifrele. La acest obiectiv se revine pe o

    treapt superioar n clasele primare, unde n toate cele patru obiective cadru vom regsi

    referiri spre operaiile cu numere naturale. Adunarea, scderea, nmulirea i mprirea

    numerelor naturale reprezint aadar baza pe care se pot cldi noi cunotine. nainte de a

    intra n detalii am dori s evideniem c formarea deprinderilor de operare cu numere

    naturale are ca etape necesare:

    - nelegerea raionamentului care st la baza aflrii rezultatului;

    - cunoaterea algoritmului de calcul;

    - exersarea, i n final

    - aplicarea n contexte variate.

    2.3.1. Adunarea i scderea numerelor n concentrul 0-10

    ntrebare. Care sunt etapele care se vor parcurge n predarea-nvarea adunrii i

    scderii numerelor n concentrul 0-10?

    Adunarea i scderea numerelor n concentrul 0-10 corespunde att programei din

    nvmntul precolar ct i programei de clasa I, diferena fiind c la grdini se

    efectueaz adunri i scderi numai cu 1-2 uniti i n concernul 1-10. n acest context se

    vor introduce operaiile de adunare i scdere utiliznd mulimile i operaiile cu acestea:

    reuniunea i diferena.

    Se va trece prin urmtoarele etape:

    1. n etapa acional copiii vor manipula obiecte (jucrii, jetoane) i vor

    verbaliza ceea ce observ.

    2. n etapa iconic, a reprezentrilor, copiii transpun pe hrtie situaiile

    utiliznd semnele + i - calcule matematice. Aceste reprezentri pot fi diverse.

    3. n etapa abstract copiii utilizeaz simbolurile grafice ale numerelor, precum

    i semnele +, - i = verbalizate de copii. Copiii vor scrie: 3+2=5 i vor citi trei plus doi

  • este egal cu cinci. Aceast scriere se poate face i la grdini. Ceea ce aduce nou etapa

    abstract, n clasa I, sunt denumirile: termeni, adunare, sum sau total precum i

    identificarea i scrierea primelor proprieti ale adunrii: comutativitatea, asociativitatea,

    elementul neutru 0 pe exemple concrete (pentru detalii tiinifice vezi paragraful 4.2.3.).

    La nceput nu se va utiliza terminologia dar pe msur ce se trece la un nou concern,

    treptat elevii vor fi obinuii s le utilizeze. De asemenea elevii vor fi obinuii cu expresii

    ca: cu mai mult/mai puin, mrind/micornd cu , adugnd/scznd la

    etc. care semnific adunri/scderi.

    Legtura dintre adunare i scdere apare ca o cerin a programei de clasa I, dar fr

    efectuarea probei. Efectuarea probelor se va face ncepnd cu clasa a II-a astfel:

    - Proba adunrii T1+T2=S se poate face prin adunare sau scdere astfel:

    Proba 1. T2+T1=S

    Proba 2. S-T1=T2

    Proba 3. S-T2=T1

    - Proba scderii D-S=R se poate face prin adunare sau scdere astfel;

    Proba 1. S+R=D

    Proba 2. D-R=S

    Este foarte important ca elevii s verbalizeze modul de efectuare al aceste probe.

    n acest fel pregtim aflarea unui termen necunoscut n cadrul unei relaii de tipul: ?+a=b

    sau a+?=b, ncepnd cu clasa a II-a. Pentru rezolvarea acestor prime ecuaii (fr a le

    denumi n acest fel) elevii trebuie s fie capabili s rspund la ntrebri ca:

    - Cum se determin un termen cunoscnd cellalt termen i totalul?

    - Cum se determin desczutul cunoscnd scztorul i diferena?

    - Cum se determin scztorul cunoscnd desczutul i diferena?

    2.3.2. Adunarea i scderea numerelor n concentrul 0-30

    ntrebare. Care sunt tipurile de exerciii ntlnite n acest concern i cum se abordeaz

    ele din punct de vedere metodic?

  • Dei crile de metodic, n mod tradiional, consider ca prim extindere a

    operaiilor de adunare i scdere din concentrul 0-10 n concentrul 0-20, programele

    colare de matematic propun ca urmtor concentru pe 0-30. Acest concentru d

    posibilitatea unei mai mari varieti de exerciii i ca urmare decizia de modificare a

    concernului tradiional a fost bine aleas. Adunarea i scderea numerelor n concentrul

    0-30 se face fr trecere peste ordin n clasa I, completndu-se cu adunri i scderi cu

    trecere peste ordin la clasa a II-a. n cele ce urmeaz vom prezenta cteva tipuri de

    exerciii din acest concentru:

    1. Adunri i scderi fr trecere peste ordin:

    Exemplificri

    Consideraii metodice

    3+5=8 Este o reactualizare. S-a discutat n concernul anterior 0-10

    10+5=15

    20+4=24

    Se face direct, elevii recunosc modul de formare al unui numr

    mai mic dect 100

    10+10=20

    10+20=30

    Se face direct.

    12+4=(10+2)+4=

    10+(2+4)=10+6=16

    Se introduce scrierea

    vertical a numerelor:

    12+

    4

    16

    Se descompune primul numr n zeci i uniti, unitile se adun

    cu celelalte uniti i apoi cu zecile.

    Se introduce primul algoritm de adunare a dou numere i anume:

    Se aeaz numerele unul sub altul, unitile sub uniti, zecile sub

    zeci i se adun unitile de acelai ordin ncepnd de la dreapta

    spre stnga.

    Not. Deocamdat algoritmul este incomplet el va fi completat la

    adunrile cu trecere peste ordin.

    12+14=

    (10+2)+(10+4)=

    (10+10)+(2+4)=

    20+6= 26

    sau

    Se descompun numerele n zeci i uniti, se adun zecile ntre ele,

    unitile ntre ele i apoi se adun zecile obinute cu unitile

    obinute.

    Se extinde i se exerseaz algoritmul prezentat mai sus ntr-un nou

    context.

  • 12+

    14

    26

    28-4=(20+8)-4=

    20+(8-4)= 20+4=24

    28-8= (20+8)-8=

    20+(8-8)= 20+0= 20

    Se introduce scrierea

    vertical a numerelor:

    28- 28-

    4 8

    24 20

    Se descompune desczutul n zeci i uniti, se scad din unitile

    desczutului unitile scztorului i rezultatul obinut se adun cu

    zecile desczutului.

    Se transpune algoritmul nvat la adunare pentru scdere astfel:

    Se aeaz numerele unul sub altul, unitile sub uniti, zecile sub

    zeci i se scad unitile de acelai ordin ncepnd de la dreapta spre

    stnga.

    2. Adunri i scderi cu trecere peste ordin:

    Exemplificri

    Consideraii metodice

    Se adun dou numere

    care au suma 10:

    3+7=10

    Astfel de exerciii este posibil s se fi fcut i anterior n

    concernul 0-10, chiar dac sunt cu trecere peste ordin.

    6+7=6+(4+3)=

    (6+4)+3= 10+3= 13

    Se caut un numr care adunat cu primul numr d o zece

    (exerciiu care s-au fcut n etapa a 2-a). Se descompune al

    doilea numr convenabil ntr-o sum de dou numere n care

    unul din termeni este numrul identificat anterior. Acesta

    adunat cu primul termen d o zece. Se adun zecea cu cellalt

    termen al celui de al doilea numr.

    Suma unitilor este 10:

    14+6= (10+4)+6 =

    10+(4+6)=10+10= 20

    Se descompune primul numr n zeci i uniti, unitile se

    adun cu unitile celui de al doilea termen, se obine o zece

    care se adun cu zecile primului termen.

  • 14+8= (10+4)+8=

    10+(4+8)= 10+12= 22

    Se introduce scrierea

    vertical a numerelor:

    + 12

    14 +

    8

    22

    Se descompune primul numr n zeci i uniti, se adun

    unitile cu unitile celui de al doilea numr, iar rezultatul se

    adun cu zecile primului numr.

    Se extinde algoritmul adunrii la noua situaie astfel: Se

    aeaz numerele unul sub altul, unitile sub uniti, zecile sub

    zeci i se adun unitile de acelai ordin ncepnd de la

    dreapta spre stnga, innd cont c zece uniti semnific o

    zece care se adun la cifra zecilor.

    30-7= (20+10)-7=

    20+(10-7)= 20+3= 23

    Se ia o zece din zecile desczutului i din ea se scad unitile,

    rezultatul se adun la zecile rmase ale desczutului.

    Not. Este pentru prima dat cnd elevii descompun un numr

    altfel dect n zeci i uniti, n acest caz ca sum de zeci.

    Se introduce scrierea

    vertical a numerelor:

    20+10

    30- -

    7

    23

    Se introduc primele

    simboluri care semnific

    luarea unei zeci de la

    desczut astfel:

    2 10 30- 30-

    7 sau 7

    23 23

    Se extinde algoritmul scderii la noua situaie i se exerseaz.

    Algoritmul scderii cu trecere peste ordin este mai dificil de

    exprimat n cuvinte, de aceea, elevii l vor exersa ct mai

    mult, reinnd ideea c pentru a putea efectua scderea

    unitilor se ia o zece care se transform n 10 uniti.

    15-8= 15- (5+3)=

    (15-5)-3= 10-3= 7

    sau

    15-8= (10+5)-8= (10-8)

    Se poate proceda n dou moduri:

    - Se descompune scztorul n dou numere dintre care unul

    reprezint unitile desczutului. Acesta se scade din

    desczut i rmne un numr exact de zeci. Din aceste zeci

  • +5= 2+5= 7 se scad unitile rmase ale scztorului.

    - Se descompune desczutul n zeci i uniti. Din zecile

    desczutului se scade scztorul, iar rezultatul se adun cu

    unitile desczutului.

    Etapa 1. (nelegere)

    23-17=(10+13)-(10+7)=

    (10-10)+(13-7)= 0+6= 6

    Etapa a 2-a. (exersare)

    10+13

    23- -

    17

    = 6

    Care se mai scrie:

    1 13

    23-

    17

    = 6

    Elevii pot veni cu mai multe idei de calcul. Profesorul ns

    trebuie s orienteze gndirea elevilor spre metoda prezentat

    n coloana din stnga pentru c aceast metod prefigureaz

    algoritmul de scdere pentru numerele mai mari dect 100.

    Se extinde algoritmul scderii la noua situaie i se exerseaz.

    2.3.3. Adunarea i scderea numerelor naturale n celelalte concentre: 0-100,0-1 000,

    0-10 000 i 0- 1 000 000

    Programele colare prevd ca urmtoare concentre pentru adunare i scdere pe: 0-

    100 n clasa I (opional, fr trecere peste ordin) i n clasa a II-a (fr i cu trecere peste

    ordin), 0-1000 n clasa a II-a, 0-10 000 n clasa a III-a i 0- 1 000 000 n clasa a IV-a.

    Extinderea adunrii i scderii numerelor naturale de la concentrul 0-30 la noile

    concentre nu ridic probleme deosebite pentru copii. Nu se adaug noi raionamente ci

    doar se extind algoritmii nvai la numere care au mai mult de dou cifre.

    Algoritmul adunrii a dou numere naturale:

    Se aeaz numerele unul sub altul, ordin sub ordin, i se adun unitile de

    acelai ordin ncepnd de la dreapta spre stnga, innd cont c zece uniti dintr-un

    ordin semnific o unitate de ordinul imediat superior.

  • Algoritmul scderii a dou numere naturale:

    Se aeaz numerele unul sub altul, ordin sub ordin, i se scad unitile de acelai

    ordin ncepnd de la dreapta spre stnga, iar n cazul n care nu se poate efectua o

    scdere dintre dou numere de un anumit ordin se ia o unitate din ordinul imediat

    superior al desczutului care se transform n zece uniti de ordinul respectiv.

    Elevii nu vor reproduce n cuvinte aceti algoritmi ci i vor exersa n exerciii i

    vor explica fiecare pas efectuat.

    Observaie. La scdere elevii nu vor folosi verbul a mprumuta care semnific a lua i

    apoi a restitui, ci vor formula lum o zece/sut/mie etc. i o transformm n 10 uniti/

    respectiv zeci/sute etc..

    Dificulti pot apare:

    - La adunare atunci cnd rezultatul adunrii a dou numere de un anumit ordin ne

    d 10, caz n care rmne 0 la ordinul respectiv i se adaug un 1 la ordinul imediat

    superior, sau n cazul unor transferuri succesive de uniti n ordinele superioare;

    - La scdere atunci cnd desczutul are mai multe zerouri sau atunci cnd este

    nevoie de mprumutri succesive. n aceste cazuri elevii trebuie obinuii s efectueze

    imediat proba scderii prin adunare.

    2.3.4. Predarea-nvarea nmulirii i mpririi n concentrul 0-100

    Operaia de nmulire a numerelor naturale se introduce n clasa a III-a dup ce

    elevii au dobndit cunotine i i-au format deprinderile de a aduna i scdea numere

    naturale. Primul concentru considerat este 0-100, obiectivul principal fiind nsuirea

    semnificaiei operaiei de nmulire i nsuirea tablei nmulirii. Se vor considera numai

    nmuliri cu factori de o cifr chiar dac acest concentru permite i nmuliri dintre factori

    unul de o cifr i celalalt de dou cifre. Proprietile nmulirii: comutativitate,

    asociativitate, element neutru, distributivitatea nmulirii fa de adunare i scdere se

    evideniaz dar nu se denumesc ca atare.

    Introducerea nmulirii se face ca adunare repetat de termeni egali. Ca urmare,

    primele exerciii trebuie s arate necesitatea efecturii unor astfel de adunri n contextul

    vieii de zi cu zi. De exemplu: 8 elevi merg la muzeu. tiind ca preul unui bilet este 5

  • lei, aflai ci lei trebuie s plteasc n total?. Elevii vor efectua:

    5+5+5+5+5+5+5+5=40. Se sugereaz un nou mod de a citi suma din membrul stng i

    anume: de 8 ori 5 sau 5 luat de 8 ori. Este foarte important introducerea unei

    convenii de notaie i anume: 5+5+5+5+5+5+5+5= 85 care se citete 8 ori 5. Se

    introduce terminologia specific pe exemplele concrete: 5 si 8 se numesc factori, operaia

    dintre cele dou numere se numete nmulire iar rezultatul nmulirii se numete produs.

    n acelai context se evideniaz urmtoarele:

    - Dac ntro nmulire unul dintre factori este 0 atunci produsul este 0;

    - nmulirea admite elementul neutru 1;

    - Comutativitatea nmulirii pe exemple concrete, n cazul nostru: 8558 .

    Introducerea comutativitii n acest moment este esenial pentru nvarea contient

    a tablei nmulirii.

    Predarea-nvarea tablei nmulirii parcurge urmtoarele etape:

    Completarea de ctre elevi a primei linii i a primei coloane a tablei nmulirii tiind c

    produsul dintre un numr i 1 este acel numr (vezi tabelul) ;

    Predarea-nvarea tablei nmulirii cu 2 se face astfel:

    - Elevii vor construi, pe baza conveniei de notaie introduse, tabelul triunghiular al

    nmulirilor cu 2 astfel:

    202222222222210

    1822222222229

    162222222228

    14222222227

    1222222226

    102222225

    8222224

    622223

    42222

    221

    - Elevii completeaz linia i coloana numrului 2 din tabla nmulirii innd cont de

    comutativitatea acesteia (vezi tabelul) ;

  • X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

    3 3 6

    4 4 8

    5 5 10

    6 6 12

    7 7 14

    8 8 16

    9 9 18

    10 10 20

    Tabel. Tabla nmulirii (incomplet)

    - Elevii observ ca rezultatele cresc din 2 n 2 pentru c la fiecare nmulire se adun

    un 2 n plus fa de precedentul calcul;

    - Elevii numr din 2 n 2 cresctor i descresctor i rein valorile: 221 , 1025

    i 20210 ;

    - Pentru a reda rezultatul oricrei alte nmuliri elevii pornesc de la una dintre cele

    trei valori reinute i numr din 2 n 2 cresctor sau descresctor, dup caz. De

    exemplu pentru a reda 27 elevii au dou posibiliti:

    - pornesc de la 1025 i numr cresctor: 12 care reprezint 26 i apoi

    14 care reprezint 27 , sau

    - pornesc de la 20210 i numr descresctor: 18, 16 i se opresc la 14.

    Predarea-nvarea nmulirii cu un factor dat n mai mare dect 2 i mai mic dect 10 (

    de exemplu 5) parcurge mai multe etape:

    - Repetarea tablei nmulirii cu numrul sau numerele precedente insistnd asupra

    produselor care au un factor numrul dat (n cazul nostru 551 , 1052 ,

    1553 i 2054 );

    - Realizarea unui tabel triunghiular asemntor celui de la nmulirea cu 2 pentru

    nmulirile care au un factor numrul dat i apoi completarea tablei nmulirii pe

    linia i coloana corespunztoare numrului dat, eventual cu o alt culoare pentru a

    scoate n eviden noile produse;

  • - Elevii memoreaz n mod contient tabla nmulirii n felul urmtor:

    - numr din n n n cresctor i descresctor;

    - utilizeaz produse deja cunoscute pentru a reda produsele cnd un factor

    este n (n cazul nostru pentru a reda 57 elevii pot folosi rezultatul

    cunoscut deja 205445 i apoi numr cresctor din 5 n 5: 25, 30 i

    se opresc la 35;

    - rein valoarea extrem 10n pe care o pot folosi mai bine n anumite

    contexte (de exemplu n cazul nostru pentru a reda 59 este mai simplu s

    se porneasc de la 50510 i apoi numrnd descresctor cu 5 avem 45

    rezultatul final);

    Celelalte proprieti ale nmulirii: asociativitatea i distributivitatea nmulirii

    fa de adunare i scdere se vor face fie ca lecii inserate n timpul nvrii tablei

    nmulirii, fie ca lecii dup nsuirea acesteia. Depinde de profesor i de manualul

    alternativ care variant se alege.

    mprirea se introduce ca scdere repetat cu un acelai termen. La fel ca

    nmulirea i ea se introduce pornind de la exemple cotidiene. Se introduce terminologia

    specific: desczut, scztor, ct. Se va utiliza tabla nmulirii pentru reinerea rezultatelor

    mpririlor.

    2.3.5. Predarea-nvarea nmulirii i mpririi numerelor naturale mai mici sau

    egale cu 1000

    Trecerea de la concentrul 0-100 la concentrul 0-1000 se face n clasa a III-a dar

    numai prin nmuliri i mpriri cu 10 sau 100 sau la nmulirile/mpririle cu un numr

    de o cifr prin adunri/scderi repetate, grupri, reprezentri. n clasa a IV-a se efectueaz

    nmuliri cu factori mai mici sau egali cu 1000, utiliznd algoritmul nmulirii. Algoritmul

    mpririi se va considera numai pentru mpritori numere de o cifr. mprirea cu rest

    prin cuprindere i cu verificarea condiiei restului (teorema mpririi cu rest) este o alt

    cerin a programei colare de clasa a IV-a. Obiectivul urmrit este dobndirea

    competenelor de calcul prin introducerea unor procedee specifice, pe care le detaliem n

    tabelul urmtor:

  • Tipuri de exerciii

    Consideraii metodice

    15000100015

    150010015

    1501015

    Rezultatul se obine adugnd, la dreapta numrului, unul,

    doi respectiv trei de zero;

    150

    3030303030305

    sau

    150101510)35(

    )103(5305

    - se pot face nmuliri fr sau cu trecere peste ordin;

    - elevii observ procedeul de calcul: se nmulesc numere-le

    obinute prin ndeprtarea zerourilor care se adaug apoi la

    dreapta rezultatului;

    6336013203

    )120(3213

    Se introduce scrierea vertical

    a numerelor:

    21

    3

    63

    1

    24

    3

    72

    2

    24

    6

    144

    la prima egalitate s-a folosit descompunerea numrului 21 n

    sum de zeci i uniti, iar la a doua egalitate s-a utilizat

    distributivitatea nmulirii fa de adunare;

    - se identific cea mai simpl form a algoritmului de

    efectuare a nmulirii i anume: Se scriu factorii unul sub

    altul scriind sus factorul mai mare. Se nmulete pe rnd

    factorul de jos cu unitile, apoi cu zecile factorului de sus,

    cifrele obinute scriindu-se de la dreapta spre stnga.

    - se exerseaz algoritmul i pentru nmuliri cu trecere peste

    ordin;

    Not. Cerina de a scrie sus factorul mai mare nu este

    obligatorie ns conduce la calcule mai simple.

    6421230600

    431032003

    )410200(32143

    sau

    mai simplu:

    1

    214

    3

    642

    - s-a folosit descompunerea numerelor n sume de sute, zeci

    i uniti i apoi distributivitatea nmulirii fa de adunare

    Se extinde algoritmul nmulirii la noua situaie i se

    exerseaz att pentru nmuliri fr trecere ct i cu trecere

    peste ordinul zecilor i/sau sutelor

    270105060150

    25105230530

    )210()530(1235

    - s-a folosit descompunerea numerelor n sume de zeci i

    uniti i apoi distributivitatea nmulirii fa de adunare;

    - pentru a identifica algoritmul de calcul este bine s se

  • sau

    270106050300

    25230

    1051030

    2)530(10)530(

    2351035

    )210(351235

    sau

    1

    35

    12

    70 235(primul produs parial)

    35135(al doilea produs parial)

    420 suma produselor pariale

    procedeze n al doilea mod, prin descompunerea mai nti a

    celui de al doilea factor al crui uniti i zeci se nmulesc cu

    primul factor;

    - doar puini elevi vor fi capabili sa urmreasc demersul

    fcut de profesor i vor fi o excepie cei care vor putea ei

    nii s realizeze acest demers pe exemple concrete;

    - profesorul nu va insista n aceast etap ci va trece la

    explicarea algoritmului de calcul.

    - se extinde algoritmul nmulirii la noua situaie i astfel: Se

    scriu factorii unul sub altul scriind sus factorul mai mare. Se

    nmulesc unitile celui de al doilea factor cu primul factor

    i se obine primul produs parial. Apoi se nmulesc zecile

    celui de al doilea factor cu primul factor i se obine cel de al

    doilea produs parial care se va scrie sub primul produs

    parial, cu o unitate mai la stnga. Prin adunarea produselor

    pariale se obine produsul total cutat.

    - nu este necesar dictarea i notarea n cuvinte a algorit-

    mului ci doar explicarea i notarea modalitii de calcul pe

    cteva exemple;

    - elevii nu vor reproduce n cuvinte acest algoritm ci l vor

    exersa n exerciii i vor explica fiecare pas efectuat.

    2.7. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetic

    2.7.1. Etapele metodice de rezolvare a unei probleme

    ntrebare. Care sunt etapele metodice de rezolvare a unei probleme de aritmetic?

    Problemele de aritmetic se pot clasifica n:

  • PROBLEME SIMPLE: probleme care se rezolv printr-o singur operaie din cele

    nvate: adunare, scdere, nmulire sau mprire.

    Observaii.

    Aceste probleme sunt primele probleme cu care se ntlnesc copii;

    Prezentarea acestor probleme se face gradat trecnd prin etapele: probleme dup

    imagini, probleme cu imagini i text, probleme dup text;

    Etape metodice n rezolvarea unei probleme simple: oral prin descrierea unei aciuni

    executate n faa sa de un alt copil sau educatoare-nvtoare, traducere n desen,

    traducere utiliznd simbolismul elementar, rezolvarea utiliznd simboluri matematice.

    Etapele se aleg n funcie de vrsta copilului i de experiena sa.

    Exemple.

    1. Pe o ramur sunt 5 psrele, iar pe alta 2 psrele. Cte psri sunt n total n

    copac?

    2. Mihai are 8 bomboane. Dup ce mnnc 2 bomboane, ce bomboane i rmn?

    3. Dana are 2 lei, Maria de 3 ori mai muli lei. Aflai ci lei are Maria.

    PROBLEME COMPUSE: probleme care sunt compuse din mai multe probleme simple.

    Dificultatea const n gsirea legturilor care exist ntre subprobleme i problema n

    ansamblul su, deci construirea i nelegerea raionamentului de rezolvare.

    Etape n rezolvarea problemelor compuse:

    1. nsuirea enunului problemei: expunerea/citirea textului, explicarea cuvintelor,

    expresiilor necunoscute.

    2. Judecata (examinarea problemei): discuii privitoare la coninutul problemei (se

    gsesc legturi ntre datele problemei i necunoscute, se fac legturi cu probleme

    rezolvate anterior), concretizarea enunului problemei prin diferite mijloace

    intuitive, scrierea datelor problemei (ce se d i ce se cere), schematizarea

    problemei, repetarea problemei de ctre elevi.

    Finalitatea etapei de analiz a problemei o constituie schematizarea problemei,

    deci concretizarea enunului ntr-un model al problemei pe baza cruia s se

    poat face rezolvarea acesteia. Scrierea datelor problemei poate fi fcut simultan

    cu repetarea problemei de ctre elevi sau cu etapa de discuii. Datele problemei se

  • pot scrie ntr-o form iniial i apoi se trec pe modelul realizat, dar se pot trece

    direct pe acesta. Aceast variant este o alternativ la copierea datelor problemei

    i are un rol important n analiza acesteia. Alegerea modelului adecvat reprezint

    de cele mai multe ori cheia n identificarea modului de rezolvare i n rezolvarea

    propriu-zis a problemei. Aadar considerm c aceasta este etapa cea mai

    important pentru rezolvarea problemei.

    3. Alctuirea planului de rezolvare: se descompune problema n probleme simple,

    se discut modul de rezolvare al fiecrei probleme simple n parte (se pun oral

    ntrebrile care conduc la rezolvarea fiecrei probleme simple), se discut modul

    de obinere a rezultatului.

    4. Rezolvarea propriu-zis: se scriu ntrebrile, se fac calculele i se obine

    rezultatul.

    5. Extinderi (Activitatea suplimentar dup rezolvare): revederea planului de

    rezolvare, verificarea soluiei, alte ci de rezolvare, scrierea expresiei matematice

    n care const rezolvarea (dac este cazul), rezolvarea de probleme asemntoare,

    complicarea problemei, generalizarea problemei sau a metodei de rezolvare,

    compuneri de probleme de acelai tip etc.

    2.7.2. Metode specifice de rezolvare a unor tipuri de probleme de aritmetic

    METODA DIRECT:

    Tipuri de probleme: probleme a cror soluie se obine prin efectuarea unei singure

    operaii (executat o dat sau de mai multe ori) sau probleme a cror rezolvare se face n

    ordinea n care datele apar n enun.

    Observaie. Raionamentul acestor probleme este unul inductiv.

    Exerciii.

    1. O bucat de stof lung de 72 m se taie n buci de 3 m fiecare. Cte tieturi se

    vor face?

    2. O persoan vrea s fac un gard lung de 42 m. Pentru acest lucru i trebuie stlpi

    pe care s-i aeze la distana de 2 m unul de altul. De ci stlpi este nevoie?

  • 3. Dan, Virgil i Ionu colecioneaz timbre. Dan are 17 timbre iar Virgil 12 timbre.

    Ionu a adus cu 5 timbre mai mult dect Dan i Virgil mpreun. Cte timbre au n

    total cei trei copii?

    4. O gospodin a cumprat 8 kg de zahr a 3 lei kilogramul i 2 litri de ulei a 4 lei

    litrul. Ce rest a primit de la 50 lei?

    5. Cte numere de 4 cifre exist?

    6. S se determine al 13-lea termen al irului: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

    7. Se scriu numerele naturale n ordine, ncepnd cu 1. S se determine cifra de pe

    poziia 101.

    METODA REDUCERII LA UNITATE:

    Tipuri de probleme: probleme n care se d o valoare total a unei mrimi ntrun anumit

    context i se cere determinarea fie a valorii unitare a mrimii, fie a unei alte valori totale

    ntrun alt context.

    Modul de rezolvare: se determin valoarea unitar a unei mrimi, apoi celelalte mrimi

    din problem se compar cu mrimea aleas ca unitate de msur.

    Exerciii propuse:

    1. n 7 lzi de se gsesc 35 kg de cpuni. Cte kg de cpuni se gsesc n 11 lzi?

    2. Cinci muncitori pot termina o lucrare n 93 zile, lucrnd cte 8 ore pe zi. n cte

    zile vor termina aceeai lucrare 12 munc