Marin Turlea-Filosofia Matematicii

MARIN ŢURLEA

FILOSOFIA MATEMATICII

Marin Ţurlea a absolv i t Facul tatea de fi losofie a Univers ităţi i d in Bucureşti în 1 965 . A obţinut tit lu l de doctor în fi losofie în 1 977. În prezent este profesor univers itar doctor la Facultatea de fi losofie a Univers ităţi i d in Bucureşti, unde predă fi losofia matematici i şi fi losofia şti inţe i .

De acelaşi autor: • Filosofia şi fundamentele matematicii, Editura Academiei Române,

Bucureşti, 1 982. • Tratatul Teoria cunoaşterii ştiinţifice, (cap . 8), Ed itura Academiei

Române, Bucureşti, 1 982. (Premiu l Academ iei „Simon Bămuţiu") •Filosofia matematicii, Editura Un iversităţ i i d in Bucureşti, 1 995 . • Existenţă şi adevăr în matematică, Editura Univers ităţ i i d in Bucu

reşti, 1 996 . • L. Wittgenstein , ant i.filosof al matematicii?, Editura Un iversităţi i d in

Bucureşt i, 1 996. • Construcţia axiomatică a matematicii, Editura Academ iei Române,

Bucureşti, 1 998 . •Introducere în filosofie, Editura Pro Humanitate, Bucureşt i, 2000. • Sens şi adevăr, antologie de texte traduse şi comentate în colaborare

cu George Lăzăroiu, Editura Institutulu i Humanus, Bucureşti, 200 I.

MARIN TURLEA '

FILOSOFIA

MATEMATICII

EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI 2002

© Editura Universităţii din Bucureşti

Şos. Panduri, 90-92, Bucureşti - 76235; Telefon/Fax: 410.23.84

E-mail: [email protected]

Internet: www.editura.unibuc.ro

Tehnoredactare computerizată: Victoria Iacob

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale ŢURLEA, MARIN Filosofia matematicii /Marin Ţurlea - Bucureşti: Editura

Universităţii din Bucureşti, 2002

33 1 p.

Bibliografie

ISBN 973-575-619-6

5 10.21(075.8)

Silviei,

Cu sentimente alese şi

profundă gratitudine

CUPRINS

CHAPTER I

PHILOSOPHY AND THE FOUNDATIONAL RESEARCH OF MATHEMATICS

1 . 1. Historical and philosophical Foundations of the fouR<lational Research . . 13

l .2. Foundational Research of Mathematics: Foundations of Mathematics and

Philosophy of Mathematics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

l .3 . Foundational Research, metamathematics and general Philosophy. . . . . . 3 1

CHAPTER II

ANCIENT HISTORY AND PHILOSOPHY OF MATHEMATICS: THEMATICAL, METHODOGICAL AND EPISTEMOLOGICAL PROFILE

OF THE GREEK MATHEMATICS

2. 1. The general Framework of the greek Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

2.2 . The Ontology of the ancient greek Mathematics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3. The greek Dialectis and Axiomatics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4. The pythagorean Mathematism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5. The Genesis and the Natura of the Number in Pythagora's view . . . . . . . . 75

2 .6. Platon. Pytagoreism and Atomism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.7. The Problem of mathematical Existence in Plato's Ontology ... .... . . .. 95

2.8 . Plato 's Philosophy of Mathematics as Dialectics or Metamathematics . . . . 106

2.9. Aristotle's Philosophy of Mathematics: Thc Problem of mathematical

Existence and that of mathematical In finity; The Nature of

Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 17

2. 1 O. Aristotle's Theory of Science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7

CHAPTER 11 1

MODERN PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

3. 1 . Stylistical profile of western Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.2. The Carthesian Approach in the Methodology of Science . . . . . . 14 1

3 .3. Descartes' View about the Nature of mathematical Reasoning.......... 145

3.4. The „Mathesis Universalis" Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1

3.5. Leibniz's general philosophical Back ground: Metaphysics and Logic. . . . 154

3.6. Leibniz and the Programme of the unified Science (Scientia universalis);

Mathesis universalis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.7. Pascal's Preliminaries: Leibniz's Logicism; Leibniz - Forerunner of the

modern Logicism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3.8. Leibniz about the Nature ofMathematics: Reason's Truths and Fact's Truths 168

CHAPTERIV

KANT'S PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

4. 1. Kant's general Theory of Knowledge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.2. Kant's Theory of mathematical Knowledge.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.3. The Nature of mathematical Arguments, of the mathematical Reasoning;

pure Mathematics and applied Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.4. Kantian Philosophy of Arithmetic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.5. Kantian Philosophy of Geometry: Kantian Ontology of Space as a

Geometry's Epistemology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.6. Post-Kant Philosophy ofGeometry: Helmholtz, Hllbert, Erdmann, Russell,

Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

CHAP TER V

THE PRESENT SITUATION IN THE PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

5. 1 . General Philosophy and Philosophy of Mathematics: Realism, Nominal-

ism, Conceptualism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

5.2. The Problem of Universals; Platonism and Nominalism; The logico-

linguistical and epistemologica! Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8

5.3. The platonist and nominalist Rc constructions of Mathematics... . . 235

5.4. The constructive Conceptualism: Han Wang. . . . . . . . . . . . . . 25 l 5.5. Logicism and intuitionism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.6. The hilbertien formalist Programme. The hilbertien Formalism. . . . . . . . . · 272

5.7. Gentzen and Hilbert's Programme............... ................ 28I

5.8. Hilbert's Programme and the Significations of God el 's Theorems. . . . . . . 283

5.9. The Formalism - contemporary Philosophy of Mathematics. . . . . . . . . . . . 286

5. I O. Where goes the Problem of Foundation?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Bibliography. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I 7

C A PI T O LU L I

FILOSOFIA ŞI CERCETAREA FUNDAŢIONALĂ A MATEMATICII

I. I. Fundamente istorice şi fundamente filosofice ale cercetării fundaţionale. . 13

I .2. Cercetarea fundaţională a matematicii: fundamentele matematicii şi filosofia

matematicii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 7

I .3. Cercetarea fundaţională, metamatematica şi filosofia generală. . . . . . . . . . 3 I

CAP I T O L U L I I

ISTORIA ŞI FILOSOFIA ANTICĂ A MATEMATICII: PROFIL TEMATIC, METODOLOGIC ŞI EPISTEMOLOGIC AL

MATEMATICII GRECEŞTI

2. I. Cadrul general al matematicii eline .... ...... ... ....... .. . ....... . 37

2 .2. Ontologia matematicii greceşti antice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2 .3 . Dialectica greacă şi axiomatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4. Matematismul pitagoreic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5. Geneza şi natura numerelor în concepţia pitagoreică. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6. Platon, pitagoreism şi atomism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2. 7. Problema existenţei matematice în ontologia platoniciană. . . . . . . . . . . . . 95

2.8. Filosofia platoniciană a matematicii ca dialectică sau metamatematică. . . I 06

2.9. Problema existenţei matematice la Aristotel: infinitul matematic şi natura

matematicii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 17

2. I O. Teoria aristotelică a ştiinţei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9

C A P IT OLUL I I I

FILOSOFIA MODERNĂ A MATEMATICII

3.1. Profil stilistic al matematicii occidentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.2. Demersul cartezian în metodologia ştiinţei. . .. .. .. ... . .. ... . .. .. .. . 141

3.3. Concepţia lui Descartes despre natura raţionamentului matematic. . . . . . . 145

3 .4 . Programul mathesis universalis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.5. Fundal filosofie general Jeibnizian: metafizica şi logica. . . . . . . . . . . . . . . 154

3 .6. Leibniz şi programul ştiinţei unificate (scientia universalis ); mathesis

universalis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.7 . Preliminarii pascaliene: logicismul leibnizian; Leibniz - precursor al

logicismului modern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3.8. Leibniz despre natura matematicii: „adevăruri de raţiune" şi „adevăruri

de fapt" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

CAPITOLUL IV

FILOSOFIA KANTIANĂ A MATEMATICII

4.1. Teoria k antiană generală a cunoaşterii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.2. Teoria k antiană a cunoaşterii matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.3. Natura argumentelor matematice, a raţionamentului matematic; matematica

pură şi matematica aplicată . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.4. Filosofia k antiană a aritmeticii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.5 . Filosofia k antiană a geometriei: ontologia k antiană a spaţiului, ca o

epistemologie a geometriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4 .6. Filosofia postk antiană a geometriei: Helmholtz, Hilbert, Ueberweg,

Erdmann, Russell, Poincare .. . .... ... ... .. .. . ..... .... ... . .. . 207

CAPITOLUL V

SITUAŢIA ACTUALĂ ÎN FILOSOFIA MATEMATICII

5 . 1 . Filosofia generală şi filosofia matematicii : realism, nominalism,

conceptualism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10

5.2. Problema universaliilor; platonism şi nominalism. abordare logico-lingvistică

şi epistemologică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.3. Reconstrucţiile platonistă şi nominalistă ale matematicii. . . . . . . . . . . . . . 235

5.4. Conceptualism constructiv: Han Wang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1

5.5. Logicismul şi intuiţionismul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.6. Programul formalist hilbertian. Formalismul hilbertian . . . . . . . . . . . . . . . 272

5.7. Gentzen şi programul lui Hilbert... . .. . . ... .. ...... .. . ......... . . 281

5.8. Programul lui Hilbert şi semnificaţia teoremelor lui Godel . . . . . . . . . . . . . 283

5.9. Formalismul - filosofie contemporană a matematicii . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

5. 1 O. „Problema fundării'', încotro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

CAPITOLUL I

FILOSOFI A ŞI CERCETA REA FUNDA TIONALĂ A MATEMATICII

'

1 . 1 . FUNDAMENTE ISTORICE ŞI FUNDAMENTE FILOSOFICE ALE CERCETĂRII FUNDATIONALE;

V '

MATEMATICA ŞI MISTICISM

Discuţi i le şi controversele d in domen iu l fi losofie i şti in ţe i sunt

marcate tot mai m ul t, în u lt ima perioadă, de nevo i a refer inţei la fundamentele istorice şi fundamentele fi losofiei , până acum incursiun i le în i storia gândir i i trecând rareori d inco lo de criti c i smul kantian. Ori ,

crede Beth [ 1, p. 2 ] , rădăcin i le u l t ime a le d ivergenţelor actuale d in

fundamentele matematic i i ş i fi losofia actuală a matematic i i trebu ie

căutate mul t mai profund, putând fi identi fi cate în opera lu i Ari stote l

şi P l aton . Se ştie că Aris tote l, sub infl uenţa fi losofie i p laton ic iene, a elaborat o so l idă şi chiar adecvată parţial teorie a şt i inţei, care a dom inat

atâtea seco le gândirea şt i inţ ifi că şi fi losofică. Multe d intre d i ferenţe le

de o p i n i e d in sfera i nvest igaţ i i l or fi losofi c e ş i fu ndaţiona le a l e

matemat i c i i se pot exp l ica ca o consec inţă a confli ctu l ui d intre

rezu ltate le actuale (tehn ico-matematice ş i metamatemat ice) ş i teze şi

postu late ale concepţiei ari stote l ice despre natura şi structura şti inţe i , în part icu l ar a matem atic i i .

13

Succint, teoria aristote l i că a şt i i nţe i poate fi condensată în definiţia termenulu i de ştiinţă deductivă, sau, fo losind term inologia Stagiritu lu i ,

apodictică . În esenţă, conţinutul acestei teorii ar putea fi rezumat în următoare le aserţiun i : orice şt i inţă b ine constru ită se caracterizează prin :

1 ) posedă o structură deductivă, o exigenţă reţ inută în aşa-numitu l postulat de deductivitate; 2) posedă princ ip i i acceptate ca autoevidente, ceea ce este formulat în postulatul evidenţei; 3) are o fundare empirică,

conform postulatului de realitate. Încă din antichitate doctrina aristotel ică a şti inţei a constituit obiect

al d i scuţ ie i criti ce, reprezentanţ i i şco l i i d in Megara (înteme ietorul aceste ia, Eucl id, afându-se într-o acerbă d i spută cu Platon) i-au făcut o

opoziţie si stematică; astăzi uni i autori, ca Prantl, apreciază că obiecţi i l e formulate de megarici la adresa doctrinei ari stotel ice au o valoare minoră.

Teoria ari stotel ică a şti inţei are o importanţă principală în domeniu l fundamentelor şti inţei, dar, oricum, com portă şi o re levanţă asupra matematicii , uneori şi explicit conturată atunci, când, incidental, Stagiritu l invoca şi princip i i le matematici i în contextul polemici i cu p itagore i i sau

p latoni cieni i . Opinia lu i Aristote l era că princ ip i i le matematici i (chiar ş i a le matematici i pure) nu oferă o fundare adecvată pentru şti i nţa fizică.

Legat de problema principiilor şt i inţe i, teoria ari stotel ică a şti inţe i

asuma ca un i ngredient fundam ental o metafizică drept ştiinţă a principiilor (Cf. Aristotel [ 1 ] ) . Ari stote l argumentează în l ucrarea m enţ ionată că metafizica o feră pr inc i p i i l e de fundare a şt i i n ţe lor

part iculare (speciale), deoarece datorită următoarelor tre i mot ive e le

nu-şi pot asigura s ingure fundamentele : a) r i scu l de a cădea în cercul

vicios, atunc i când încearcă să form ul eze defi n i ţi i ş i să producă demonstraţi i ; b) riscu l regresului la infinit ; c) intruziun i le în alte şti inţe, de unde să-şi împrumute propri i le princ ip i i de fundare.

Î n concepţia lu i Ari stote l , m etafiz ica era cons iderată un gen de

cunoaştere de ord i n u l ce l m ai îna l t , care prac t i ca i nves t i gaţ i a

fundam ente lor şt i i nţe i . Filosofia primă, ş t i i n ţa fun damenta lă ( a p r i m e l o r p r i n c i p i i ) , e ra co n s i de rată , î n pe r spec t iva doc tr i n e i

14

ari stotel ice, un domeniu a l şt i i nţei pure . Ş i cum fi losofu l grec a avut în vedere şt i i nţa fiz ică, pr inc i p i i le aceste i a, se exp l i că uşor atât des ignaţ ia termenu l u i „metafizica", care, ch i ar d i n ant ich i tate, a în locuit pe cel de , jilosofia primă ", cât ş i legit imi tatea ş i succesu l cariere i , trad i ţ ie i , pe care a făcut-o .

Trad iţ ia termenu lu i „meta.fizică" inaugurată printr-un program care i n iţ ial desemna un domeniu de cercetare a princip i i lor şti inţe i , marchează, în sens aristotel ic, o îngustare a semnificaţie i, căci înseamnă numai o investigaţie a princip i i lor fizici i , ca, u lterior, să revină, prin exten s i e , la accepţ ia i n i ţ i a lă : „Metafizica moravurilor" (Kant) , „Metafizica matematicii" (Gauss), „Me tafizi qa calculului infinitezimal"

(Cournot) . Dar, în perioade mai recente, termenul „metafizică" a fost întrebuinţat pentru a desemna o teorie a «suprasensibilului», ceea ce a reab i l itat sensul i niţ ial , dacă avem în vedere că P laton ş i Ari stote l s ituau princ ip i i le „Sensibilului" în sfera „Suprasensibilului" . În ceea ce îi priveşte pe membri i „Cerculu i de la Viena" ei au acordat termenulu i „metafizică" o semnificaţ ie exclus iv peiorat ivă şi , anume, ar desemna

„doctrine fără semn ificaţie ştiinţifică".

Dacă este evident că, de altfel, cunoaşterea şti inţifică este produsă prin intermediu l i nferenţei logice, pornind de l a principii i reduct ibi le, atunci problema care rămâne de rezo lvat este aceasta: de unde procură oamen i i aceste principii? Aristote l era conv ins că aceste princip i i se obţin printr-o viziune intuitivă, ce îşi are originea în inducţia bazată pe percepţia senzorială; o doctrină, notează Beth [ I ] , ce are un interesant fundament teologico-antropologic. Urmând, în general, anal izele lui Beth

[ 1, p. 34 ], demersul aristote l ic este acesta: fenomenele perceptibi le sunt

man ifestări ale raţiun i i cosmice ( Nous ) cu care este înrud ită m intea umană, aceasta d in urmă fiind condusă de la percepţ i i le senzoriale la

cunoaşterea cauzelor ascunse în spatele lor, t ipul acesta de inducţie ducând în final la v iziunea intu itivă a principii lor. Doctrina aristote l i că a şti i nţei nu considera că princ ip i i le şti inţei cer o investigare s istematică, fi ind sufic ientă n umai o inspecţie sumară a fenomenelor percept ib i le ş i,

15

mai m ult, fi losoful profesion ist nu are un ro l privi legiat în cadrul aceste i act ivităţi de cunoaştere, el procedând mai mult doxografic, un obicei al peripateticieni lor, admirab i l i lustrat de însuşi Aristotel .

O serie d e interpreţi a i operei ari stote l ice identifică analog i i între teoria ari stote l ică a ştri inţei ş i doctrinele m istice, metafizi ca lui Aristotel const itu ind o in i ţ iere inte lectuală, contraparte a in iţ ier i lor din cu ltele m i steri i lor, care î l e l i berează pe om de permanenta u lu i re în faţa unu i destin inconstant, oferindu- i o exp l icaţie defin it ivă ş i i revocab i lă a exper ienţelor sale (Cf. Beth [I] ) . Metafiz ica, cont inuă autoru l o landez, ca o şt i in ţă a p r i nc i p i i l or, ne oferă pr i ntr-o exp l i c aţ i e s i m i l ară înţelepci unea supremă şi fer ic irea, omul este i n i ţ iat în mi stere le v ieţ i i şi obţine nemurirea. Conform doctr ine i l u i P laton şi a l u i Ari stote l [2] omul trebu ie să fie aruncat în perplexitate în scopul de a putea obţine viziunea intuitivă a princ ip i i lor, tot aşa cum în m isteri i le antice omu l trebu ia să sufere o moarte r i tuală pentru a accede l a v iaţa eternă. Metafi z i ca era con s i de rată i n acce s i b i l ă învăţământu l u i p u b l i c , metafiz ic ianu l era u n o m in i ţi at î n m i stere l e exi stenţe i , d i spunând d e cheia enigmei v ieţi i , conchide Beth [I] . Demonstraţ ia sau anal iza logică se puteau învăţa, şi un maestru accepta să- l înveţe pe învăţăcel acestea, dar refuza abordarea „inteligibilului" pe calea contemplaţi i lor imediate, d i stingându-se aic i ferm între e lementu l (aspectu l) d idactic , profan ş i ce l in i ţ iatic, o dovadă că chiar d i n ant i ch itate a fost conştientizată analogia d intre metafizică şi misticism.

Am i lustrat nevoia conştientizări i ce lor două tipuri de fundamente -istorice şi fi losofice - făcând o scurtă incurs iune în opera lu i Aristotel, poate prin contrast cu supral icitarea mai recentă a operei lu i Kant . Desigur, în l imitele analizei fireşti am făcut referir i la platonism ş i mai vagi l a pitagoreism, cu un caracter mai mult impl ic it, î n vederea conturări i teorie i aristotel ice a şt i inţei care este, probabi l, pr ima doctrină articulată coerent nu numai gnoseologic ci şi metodologic, părţi semnificat ive ale ei fi ind astăzi preluate intact. Dar noi conştientizăm că aici am oferit doar o i lustrare a acestei abordări pe un caz, ce urmează să fie expl icitată şi detai lată u lterior, completată cu expunerea altor doctrine filosofi ce cu rezonanţe i storice.

1 6

1 .2 . CERCETAREA FUNDATIONALĂ '

A MATEMATICII: FUNDAMENTELE MATEMATICII ŞI FILOSOFIA MATEMATICII

Cercetarea fundaţională a matematicii conectează cinci domenii de gândire: l) matematica propriu-zisă; 2) fundamentele matematicii; 3) metamatematica; 4) filosofia matematicii; 5 ) filosofia generală.

Cercetarea fundaţională este considerată un gen de cunoaştere de gradul al doilea ce se exersează asupra uneia preexistente, mai exact, asupra fundamentelor teoretice ale acesteia. În acest sens spunem că cercetarea fundaţională este o întreprindere intelectuală complexă, atât analitică cât şi constructivă, incluzând, în esenţă, două tipuri de activităţi: unele critice (analiza critică a fundamentelor), altele constructive, constând în reconstrucţia explicită a acestora (M. Bunge [ I ] ) . Cercetarea fundaţională a matematicii, de asemenea, implică aceste două tipuri de activităţi: i) critice şi ii) constructive, semnificând o adaptare a acestora la profilul şi specificul acestei ştiinţe. Activităţile critice cuprind analiza critică a fundamentelor conceptuale ale cunoaşterii matematice, a chestiunilor conceptuale ale ştiinţei, ca, de exemplu, statutul conceptelor fundamentale, al formulelor de bază ca şi al procedurilor întrebuinţate, şi toate acestea sub intenţia eliminării vaguităţii şi inconsistenţei. Se remarcă uşor că aceste activităţi implică direct analiza conceptual-filosofică, conturând suficient de relevant rolul filosofiei în cercetarea fundaţională. Cel de-al doilea aspect al cercetării fundaţionale - activităţile constructive -oferă o reconstrucţie fundaţională, identifică teorii fundamentale, sau intersecţii ale acestora, apte să permită reconstrucţia unei părţi largi a matematicii efective, propriu-zise, ceea ce constituie, evident, un aspect major al oricărei cercetări fundaţionale a matematicii.

Aşa cum am arătat în altă parte (Ţurlea [ 1, p.24 ], uzul expresiei „fundamentele matematicii" este inconstant şi, chiar, ambiguu, căci uneori ea desemnează partea matematicii cu care începe construcţia ei,

„aria" pe care se edifică domeniile matematicii propriu-zise; alteori, expresia semnifică un gen de comentariu din exterior asupra matematicii, menit să ofere o explicaţie în termeni filosofiei a naturii şi semnificaţiei matematicii. Riguros vorbind, ni se pare că în a doua accepţie expresia în cauză cuprinde şi filosofia matematicii, pe care o analiză exactă trebuie să o separe ca o componentă, domeniu distinct al gândirii matematice. Poate, mai curând, trebuie să rezervăm „fundamentelor matematicii"

prima accepţie, ceea ce denotă ca relevant pentru ele în primul rând un element de construcţie matematică, aşa cum un element de analiză jilosofică caracterizează domeniul filosofiei matematicii. Oricum, putem accepta că ,fundamentele matematicii", probabil „nucleul" cerccetării fundaţionale a matematicii, pot fi definite ca un ansamblu de activităţi constructive - al căror specific, caracterizat de noi printr-o „tehnică fundaţională" (Ţurlea [2 , p. 2 1 O]" - comportă un înalt grad de „tehnicalitate", proceduri şi tehnici cu un caracter matematic sau aparţinând logicii algebrice. În acest sens, H. B. Curry [I] menţionează logica matematică ca un intrument necesar în abordarea fundamentelor matematicii, iar Henkin [ I ] descrie şi pledează în favoarea utilităţii logicii algebrice în studiile fundaţionale. În virtutea unui asemenea specific, astăzi, ,fundamentele matematicii" sunt considerate ca o ramură a matematicii, stimulând şi interesul aşa-numiţilor „matematicieni care lucrează " (working mathematicians), care, în general vorbind, ignoră problema/undării matematicii.

Aşadar, analiza fundaţională a matematicii (deci, cercetarea

fundaţională a acestei ştiinţe) comportă două componente inalienabile - „tehnicăfundaţională " şi ceea ce noi am numit „relevanţă jiloso fică. Tehnica fundaţională ( înalt relevantă pentru fundamentele matematicii) coincide cu tipul constructiv de studii metamatematice asupra matematicii, care constau în folosirea procedurilor, metodelor şi tehnicilor cu caracter matematic şi/sau logico-matematic în strânsă relaţie cu practica matematică, motiv de simpatie şi adeziune a „matematicienilor lucrători" la acest fel de activitate fundaţională, ceea ce contrastează cu atitudinea lor faţă de studiile de filosofia matematicii. Cealaltă

1 8

componentă, numită ,,relevanţăfilosojică", asumă preponderent activităţi critice, care în mod esenţial constau în analize ne formale şi aparţin filosofiei. Deşi noi distingem analizele ne formate (adică relevanţa filosofică) de activităţile constructive metamatematice, marcate de un pronunţat aspect tehnic- formal, în lucrarea noastră (Ţurlea [ I ] ) am insistat asupra ·permeabilităţii reciproce, a acestor categorii ale cercetării fundaţionale, a firmând că ele se condiţionează una pe alta, aceste domenii se „penetrează" reciproc continuu. În context putem constata efectul benefic al activităţii fundaţionale asupra ştiinţei respective ( în acest caz matematica), o caracteristică a ştiinţei în actualul stadiu de dezvoltare fiind propria ei capacitate de a participa la elaborarea propriilor ei fundamente şi clarificarea statutului entităţiJor cu care lucrează, un fel de împlinire a idealului hilbertian: „să mutăm odată pentru totdeauna fundamentele matematicii înăuntrul ei".

A. Mostowski [ I ] vorbind oarecum indistinct despre fundamentele matematicii remarca prezenţa în structura acestora a două aspecte: unul filoso fie şi altul matematic şi ilustrează acest lucru schiţând tabloul actual al problemelor fundaţionale. Astfel el distinge câteva clase şi subclase de probleme fundaţionale: A) Ce natură au noţiunile matematicii, în ce măsură ele sunt construcţii umane, în ce măsură ne sunt impuse din afară, care este izvorul cunoaşterii proprietăţilor lor?; B) Ce natură au demonstraţiile matematice şi care sunt criteriile care ne permit să deosebim pe cele adevărate de cele neadevărate? Mostowski [ I ] face observaţia că asemenea chestiuni au prin excelenţă un caracter filosofie şi este greu de imaginat că ele ar putea fi rezolvate exclusiv cu metode matematice; detectăm aici o semnificaţie contrară concepţiei hibertiene după care problema fundării trebuie să fie exclusiv de competenţa internă a matematicii, prin apel numai la metode şi proceduri matematice. Pe acest fundal fun daţional Mostowski distinge şi următoarele subclase de probleme cu un caracter mai special: A ) Metoda axiomatică, rolul ei în matematică şi limitele aplicabilităţii ei; A2) Curentele constructiviste în matematică; B1) Axiomatizarea logicii; B2) Probleme de decidabilitate. Este evident că problemele A1) şi A) -accesibile cercetării matematice

1 9

- au apărut pe baza chest iun i i A), i ar problemele 81) şi B) în legătură cu B); un fenomen fi resc, particu laritate a progresului şti inţ ific şi cultural contem poran, constând într-o „transmutare" a prob lemelor cu caracter fi losofie în domen iu l asociat, a ic i , cel al matematic i i . Dar mult dorita separare „hilbertiană" a matematic i i (mai exact a fundamentelor aceste ia) de .filosofie nu s-a putut rea l iza n ic iodată, în c iuda progresu lu i fundaţional, căci pe de o parte, aşa cum am remarcat (Ţur lea [ 1 , p . 48]), se constată o înflorire a problematic i i şt i i nţifice (matematice) în med iu l probleme lor fi losofice, ca în exemplu l de ma i sus, iar, pe de altă parte, contrar opiniei lui Hi lbert, ro lu l filosofiei în şti inţă, în speţă în matematică, în edificarea acesteia, este, aşa cum remarca Suppes [ 1 , p . 70], să clarifice problemele conceptuale şi să expl ic iteze supoziţi i le fundamentale ale fiecăre i disc ipl ine şti inţifice. C larificarea problemelor conceptuale sau construirea unor fundamente logice expl i cite sunt sarcin i care nu au un caracter intrinsec, n ic i empi ric, nici matematic. Ele pot fi cons iderate ca o sarcină fi losofică propr iu-zisă, d irect relevantă pentru şti inţă. Aceste perm anente „ i ntruzi un i" a le domen i i lor - fundamente şi fi losofia matematic i i - cunosc, deci , ambele săgeţi ale „transferu lu i": de la fundamente la fi losofia matematic i i ş i am i l ustrat prin ro lu l formal izări i şi axiomatizări i în d iscursu l fi losofie , care ne propune o înţelegere adecvată a fundamente lor matemat i c i i , mai general , a naturii ş i semnificaţiei matematicii, potenţând remarcabi l anal iza ş i dezbaterea fi losofică� de la fi losofia matematic i i la fundamentele matematic i i , ca în cazul anterior al anal izei tablou lui fundaţional al matematic i i , când se învederează ro lu l fecund al problemelor fi losofice în spaţi u l cercetări i fundaţionale metamatematice.

Deci, chiar şi d in enumerarea l i stei de probleme fundaţionale dată de Mostowski [ 1 ], putem să identificăm obiectul de investigaţie (tipul de probleme) al celor două domen i i ale gând i r i i metamatematice -fundamentele matematicii şi filosofia matematic i i . Oricum, la acest punct, putem spune ceva suficient de prec i s despre obiectul (problemele), fi losofiei matematici i : această discipl ină procedează la o analiză filosofică a naturi i şi statutului noţiuni lor, ipotezelor (axiomelor) şi demonstraţi i lor

20

matematice, sau, cu a l te cuv inte, abordează problema natur i i ş1 a sem nificaţiei ent ităţi lor matematice. (N u vrem să spunem prin aceasta că d i fer i te le s i steme axiomat i ce-fundaţ iona le a le matemat i c i i , de exemplu, de teoria numerelor, teoria mu lţ imi lor nu abordează şi e le problema statutului, dar n-am zice şi pe cea a naturii ent ităţi lor abstracte cu care operează matematica). Legat de obiectu l de invest igaţie al acestor domen i i de gândire metamatematică menţionămstructura şi profilul lor, perspectivele şi modalităţile lor de abordare ş i u ltima, care priveşte rezultatele acestor două ti puri de abordare, re laţia lor din acest punct de vedere . Î na i nte de a aborda aceste prob leme să enunţăm , după A . Robinson [ 1 ] , c lase de probleme fundaţionale relevante pentru actualul tablou al matematic i i ş i care, în fapt, aşa cum am arătat (Ţurlea, [ 1 , p . 49] ), sunt exempl ificări din l i sta formu lată de Mostowski [ 1 ] . Dacă om item dist incţia propusă de noi : fundamentele

' matematic i i şi fi losofia

matematici i , atunc i, aşa cum deja am notat, problemele (A) şi ( B) din l i sta l u i Mostowski sunt tip ic relevante pentru u ltima. Răspunsul priv ind obiectu l fundamente lor matematic i i este, credem, mai uşor de dat, deoarece în aria de investigaţ ie a acestei d i scip l ine cad toate problemele fundaţionale, inclusiv cele care sunt tip ice pentru fi losofia matematici i, sau cele care au doar o relevanţă pentru aceasta d in urmă; aşadar, în sens larg, aria fundamentelor matematici i o inc lude şi pe cea a fi losofie i matematic i i ; da, în sens larg, dar nu şi la r igoare, când trebu ie să trasăm o d istincţie între aceste două domeni i . Expunând l i sta lu i A. Robinson i l u străm spectru l prob lemat ic fundaţ ional , ad ică conturăm „ar ia" fundamentelor matemat ic i i şi în ace laş i t imp identificăm conexiuni le acestora cu domeniu l fi losofiei matematic i i . Am văzut, exam inând l i sta lu i Mostowski, ce c lase de probleme aparţin filosofiei matematici i ; iată după A. Rob inson [I] i l ustrări ale acesto ra: prob lema exi stenţe i mu lţ imi lor nenumărabi le, teorema de bună ordonare, teorema lu i Godel de incompletitudine asupra aritmetici i lui Peano, problema existenţei modelelor nonstandard ale teoriei numerelor. O clasă de probleme reţine di nam ica, mutaţi i le şi progresele în domeniu l fundaţional în esenţă şi în fapt, un transfer, „o transmutare" din sfera fi losofiei matematic i i în sfera

21

fundamente lor matemati c i i ş i anume: exp l i caţi i ale unor concepte

fundaţionale, ca de exemplu conceptu l Cantor-Frege-Russe l l de „număr cardinal", conceptu l de „deductibilitate" în calcu lul de predicate de ordin inferior, conceptu l de calculabilitate ", conceptu l de „adevăr". Există, însă, o c lasă de subiecte care au re levanţă pentru filosofia matematic i i :

iraţionalitatea lui J2 , transcendenţa lui n, exi stenţa geometrii/or neeuclideene , fundamentele calculului diferenţional şi integral, natura

conceptelor topologice şi categoriale, aplicarea legilor lui Kepler la universul fizic. În fine, există o clasă de probleme care vizează natura entităţilor matematice, care prin exce lenţă constituie nucleul filosofiei matematicii, câmpul de confruntare al celor mai influente şi de prest igiu şco l i ş i curente fi losofice: logicismul, formalismul, intuiţionismul, empirismul logic. Prin urmare, în sens larg, ansamblul problematic expus ţ ine de componenţa fundamente lor matemat ic i i ; dar, în sens riguros, identificăm probleme specifice filosofiei matematici i- este cazul c laselor A) şi B) d in l i sta lui Mostowski şi mai cu seamă c lasa de probleme ce v izează natura entităţi lor matematice, d in l i sta lu i A. Robinson. Trebuie notat că această u lt imă c lasă de prob leme conectează cercetarea fundaţ ională a matematici i de fi losofia generală, sau specu lativă, cum mai este numită de uni i autori.

Dar să revenim la grupul problematic, invocat ceva mai înainte, care ne aj ută să trasăm distincţia d intre fundamentele matematici i şi fi losofia matematici i , d in care am examinat numai problemaobiectului (sau a tipului

de probleme) al acestor domeni i . Să lăsăm pentru mai târziu problema structurii (profi lului) acestor domeni i fundaţionale şi să spunem câteva lucruri despre u ltimele două probleme: cea a perspectivelor, modalităţi lor de abordare a chestiuni lor fundaţionale şi cea referitoare la rezultatele pe care munca fundaţională le-a real izat în fundamentele matematicii şi filosofia matematicii, a relaţiei d intre aceste rezultate. Spunem că doar vom creiona aceste aspecte, deoarece aceste probleme revin, sunt atacate şi cu ocazia investigări i structuri i acestor d i sc ip l ine-componente ale cercetări i fundaţionale. Concret, în lucrarea noastră (Ţurlea [ 1 ]), am distins două metode-modal ităţi, perspective de abordare inerente acestor două

22

domeni i de investigaţie fundaţională, şi anume o abordare fundaţională,

proprie fundamentelor matematic i i, efectuată d in perspectiva unor s isteme fundaţionale de teoria numerelor, teoria mu lţimi lor, teoria categori i lor, sau a unor s isteme de geometrie etc. şi o altă abordare, fundaţionistă,

specifică fi losofiei matematic i i, re levantă mai cu seamă în ceea ce piveşte natura entităţi lor matematice, abordare de tip „abso lutist", d in perspectiva unor programe fundaţional iste ca logicismul, formalismul, intui ţionismu l . Dacă a bor da reafundaţională are un caracter „neutral" şi apelează la tehnici,

metode, proceduri logice, de teoria modelelor şi chiar matematice, este mai în acord cu/şi sens ib i l izată la practica matematică, în general fi ind mai curând descriptiv re levantă privind rezu ltate le matematici i propriuzise; abordareafundaţionistă poartă o pregnantă „încărcătură" fi losofică concentrată în semn ificative teze „absolut i ste" cu priv i re la natura matematici i , comportând în mare măsură un caracter normativ, „coercitând" entităţi le matematice să intre ca într-un „pat al lui Procust" în canaveaua s istemelor fundaţion iste, cons iderent pentru care i s-a reproşat o prea sofisticată prizare la ceea ce matematicien ii activi fac în practica lor curentă; de unde şi dezinteresul acestora pentru acest gen de studi i fundaţionale. Dar la acest lucru a contribuit şi o aşa-zisă „asimetrie" a rezultatelor

obţinute în aceste domen i i de cercetare fundaţională (fundamentele matematici i şi filosofia matematici i) . Progrese le din domen iu l fundaţional au marcat această „asimetrie" şi ca să dăm un exemplu, în virtutea teoremei de i ncompletitud ine a lu i Gode l, conceptul de deduct ib i l i tate a fost

formalizat, deven ind astfel un concept matematic, care rămâne, însă, în continuare, relevant pentru fi losofia matematic i i ; este aici observată o „deplasare" de la stud iu l fi losofie la cel matematic, o ev identă „as imetrie" între analizafilosofică şi construcţia matematică. Într-adevăr, examinarea s ituaţiei actua le a tab lou lu i problemelor fundaţionale, a progresu l u i fundaţional al matematic i i conduce l a concluzia că bogăţia de rezultate

metamatematice n-a fost însoţită, din neferic ire, de studii în care discuţia

ş i anal iza fi losofică să exp l iciteze „substanţa" lor, o excepţie const ituind celebrele lucrări ale lu i Godel [I ], [2].

23

Reven im acum la problema structurii (profi l u l u i ) celor două domen i i - fundamente le matematic i i şi fi losofia matematic i i . În ceea ce priveşte structura fundamente lor matematice, datorăm lu i Kreisel [ I ] o i nteresantă, re l evantă ş i fecundă d i st i ncţ ie : fundamente logice ş i

fundamente matematice, fiecare gen de fundamente având contribuţie specifică în anal iza şi fundarea matematic i i . Astfel, fundamente le logice au de-a face cu reconstrucţia „anteriorităţi i logice", (în sensul lui Tarski [ I ] ), a teori i lor matematice şi cu definirea conceptelor metam atematice folos ite în ana l iza fundaţ ională . Aşa cum am scri s în (Ţurlea [I] )

fundamentele logice a u ca u n concept specific „demonstraţia" ş i în acest sens problema validităţii princip i i lor matematice (axiome, postu late, regu l i ) aparţ ine, de asemenea, acestui gen de fundamente. Fundamentele log ice abordează d iscursu l în care se insta lează teoria matem atică ignorând subiectu l e i specific, căc i , aşa cum spune Nagel [ I ], matematica are un caracter abstract, ceea ce motivează definiţia ei metaforică de „arh itectură de demonstraţi i" , un argument în favoarea prezenţe i fundamentelor logice î n ansam b l u l fu ndamente lor matemat ic i i , în construcţia acestei disc ip l ine şti inţifice. Din perspect iva fundamentelor logice este mai semnificat ivă structura enunţuri lor matematic i i , sau a unei teori i matematice, decât natura specifică a subiectu lu i part icular asupra căreia aceasta poartă. Studi i l e fundaţionale abi l itează remarcabi l re levanţa conceptu l u i de „comp let itudi ne" ( incompletitud ine), care stabi leşte conexiun i demne de investigaţ i i în p lanu l fundamentelor, căci în virtutea teoremei lu i Godel, se produce separarea a două concepte de înaltă statură teoret ică - „adevăr" şi „demonstrabi l itate"; se stabi lesc în fapt vocaţi i şi competenţe oarecum complementare pentru cele două tipuri de fundamente ale matematici i : fundamente matematice şi fundamente logice; de fapt o consecinţă a „as imetriei" re laţiei propoziţie adevărată - propoziţie demonstrabilă, ştiut fi ind că nu orice propozi ţie adevărată este şi demonstrabi lă. Urmează că în t imp ce conceptul de „demonstraţie" este priv i leg iat în cercetăr i le d in perspectiva fundamentelor logice, conceptu l de „adevăr" e ste, ev ident , favo r i zat de perspect iva fundamente lor matematice.

24

Fundamentele matematice adm it conceptu l de „val iditate" ca aparţinând fundamentelor logice şi se ocupă de prob lema „organizării " teor ii lor sau, chiar a „regiuni lor" matemat ic i i . Aspectele relevante pentru acest gen de fundam ente sunt caracteru l s i stemat ic, c l ari tatea ş i i nte l ig ib i l itatea ş i , î n acest caz, abordarea d i n această perspectivă este una comprehensivă, spre deosebire de cea specifică fundamentelor logice, care este prin excelenţăformală. Oricum, proble ma conţinutului (d istinctă de cea a formei, care cade în competenţa fundamentelor logice) este preferată în fundam entele matematice, i ntenţ ia fi ind ca o serie de concepte, rezu ltate să fie prezentate în termeni i conceptelor orig inale, fundamentale ale teoriei respective, astfel teoria categorii lor favorizează abordarea în termen i i conceptelor de „funcţie" ,� „compunere" preferate unor concepte ca „mu lţ ime", „apartenenţă", remarcă Kreisel [ 1 ] .

Pentru dezvoltări ale aspectelor aflate aici în discuţie trimitem la lucrări le noastre - Ţurlea [ 1] , [ 3 ] - aici mulţum indu-ne să mai adăugăm că u neori contr i buţ ia con struct ivă a fundamentelor matematic ii (fundamente logice +fundamente matematice) în cadru l cercetări i fundaţionale v izează identificarea şi/sau edificarea anumitor teori i ş i structuri matematice, ce pot serv i reconstrucţiei fundaţionale, chiar a întregului edificiu al matematic i i ; progra mulstructuralismului matematic (N . Bourbaki) este semn ificativ în această privinţă.

Despre filosofia matematicii vom menţiona doar că nucleul ei î l constritu i� o concepţie fi losofică (platon ism, formal ism, intu iţionism etc.) „garnis ită" tehn ic cu metode, proceduri ş i tehnici care sunt în princ ipal de factură sem antică, menite să exp l iciteze, în contextele anal izelor şi exp licaţ i i lor conceptuale, neformate, substanţafilosofică a rezu ltatelor teoriei sau a ansamblu lu i de teori i matematice.

Deş i am susţ inut existenţa unui grup de d ist incţ i i teoretice ş i conceptuale, acest fapt este compatibi l c u u n fe l d e contacte rec iproce d i ntre cele două domen i i - fundamente le matemat ic i i şi fi losofia m atemat ic i i - în sensu l că men irea a ceea ce am num it „relevanţa fi losofică" (în fapt act iv i tăţi le specifice fi losofiei matematic i i ) este să expl ic iteze „substanţa" filosofică, care impregnează chiar fundamentele

25

matemat ic i i . Astfel , de exemplu, j ust ificarea „axiomei infin itu lu i", ce cade în s fera fu ndamente lor l o g ice a l e m atemat i c i i , s uge rează angajamentele „ont ice" ale teoriei mu l ţim i lor. Observăm existenţa unor zone de „ interferenţă" a fundamentelor logice (ce au de-a face cu prob lema val id ităţ i i axiomelor teor i i lor) cu asumpţii ontologice ale teori i lor m atematice, asumpţi i cu re levanţă fi losofică, pr imele fi ind adesea un „travesti" al acestora d in urmă, ceea ce sugerează că aceste d i s c i p l i ne fundaţ iona le , (fu ndam ente l e m atemat i c i i ş i fi l o sofi a m atematici i), n u sunt chiar aşa d e „pure" aşa cum, eventual s-ar pret inde în v irtutea caracteru lu i prea tranşant al menţionatelor d i st incţ i i . Dar un fapt şi mai remarcabi l este particu laritatea teori i lor matematice de a purta asupra unui univers de d iscurs, (o lume ontologică), ceea ce trim ite în mod cert la constatarea că trebu ie admis că e le asumă nişte presupoziţ i i fi losofice ( ipoteze ontologice) priv i nd problema real ităţ i i (exi stenţe i) în matematică. În lucrarea noastră (Ţurlea [ 1 , p . 67]) notăm cu privire la acest aspect : „este natural ca teori i le matematice să comporte anumite presupoziţi i fi losofice, reconstrucţia fu ndaţională a lor expl ic itându-le prezenţa în structură a unui „strat ontologic", aşa num itu l formalism „ metafizic " (ontologic), mai evident în teori i le fizice sub forma unei mu lţim i de asumpţii de interpretare". Prin urmare, putem conch ide că aceste contacte reciproce dintre fundamentele matematic i i şi fi losofia matem at ic i i au generat „ i n fi l traţi i " tac ite a le fi losofie i la n i ve l u l fundamentelor matematic i i , despre care, c u m am m a i spus, n u s e mai poate zice că sunt „pure", aşa după cum la n ivelu l fi losofie i matematic i i constatăm „împrumuturi" conceptuale şi metodologice (axiomatizarea, formal izarea, metode semantice etc.) ce v in d inspre primele cu ro l fert i l î n p lan şti inţ ific ş i chiar pedagog ic .

Ev ident că asemenea „ impurităţi" detectate la n ive lu l celor două d iscipl ine ale gândiri i matematice nu anulează specificitatea lor ş i anume programele fundaţionale, operante în ca drulfundamentelor matematicii, sunt centrate pe elemente logice şi tehnico-matematice, metamatematice, în t imp ce programele, concepţiile fundaţioniste (logicism, formal ism, intu ţionism, ca să le numim pe cele fundamentale ş i de prest ig iu în

26

domen iu) s unt bazate pe elemente fi losofice, asumând totdeauna un „nucleu doctrinar" referitor la natura şi statutu l ent ităţi lor matematice. Mari le programe fundaţ ioniste, mai sus enumerate, au ca particularitate distinctivă şi comună faptu l de a se constitu i în teze fi losofice general „abso lutiste" despre problema existenţei în matematică. Acest „absolutism" vizează un aspect real al cunoaşteri i matematice, respectiv logica (în cadrul logic ismului) , limbajul (în cazu l form al ismului) şi intuiţia, construcţia (în cazu l intuiţ ionismulu i). Însă în cadru l acestor programe trebuie să di stingem prudent între aspectu l fi losofie, la care ne-am referit, şi ce l tehnico-metodologic, metateoretic, care le-a asigurat un destin prestigios în istoria matematic i i ş i logic i i ş i le-a conferit valoare şi importanţă în contextu l contemporan al i nvestigaţ i i lor fundaţionale.

H. Meh lberg [ 1] a pledat în filosofia matematic i i pentru un punct de vedere pe care l-a numit logicism pluralist, pe care l-a văzut validat de o ser ie de rezul tate m etam atematice ş i metalogice (re laţi i de intertraducere, concepţ ia sem nat ică a l u i Tarski despre adevăru l matematic, teorema de deducţie Hebrand-Tarski , conceptu l i ntu iţionist de constructi b i l itate; pentru o expunere succ intă a acestor rezultate, vezi Tu r l e a [ 3 ] ) , şi în c o n s ec i n ţă în acord c u p ract i c a cu ren tă a

matematicieni lor care lucrează efectiv în domeniu l matematici i propriuzise. În concepţia lui H. Mehlberg [ 1] acest punct de vedere, mai curând fundaţional dec âtfundaţionist, şi poate tocmai de aceea, ar putea constitu i o bază comună ş i de convergen ţă pentru cele tre i concepţii - curente rival competitive: logicismul, fo rm al ismul , intuiţionismu l . În perspectivă fundaţională, deci din interiorul nu a l fi losofiei matematicii , ci d inăuntrul fundamentelor matematic i i, L. Henkin [ 1] a încercat o abordare care să în locuiască perspectivele logici stă, formal istă, intu iţion istă-, uni lateral absolutiste şi pregnant fi losofice, determ inaţii ce le fac inadecvate pentru o reconstrucţie re levantă a matematici i , - cu o schemă conceptuală neutră fi l o sofi e , care re ţ i ne n u m a i a s p ecte set- teoretice (contra partea fundaţ iona lă a ce l e i fundaţ ion i s te- l og i c i ste) , aspecte algebrice (corespunzătoare formal ismu lu i ) ş i aspecte constructive, care, re levând spir itu l de cercetare ce a motivat concepţia lu i Brouwer, ar putea fi un

27

substitut adecvat pentru intui ţion ism . Audienţa la practica şt i inţifică, în virtutea caracterului fam i l iar al schemei fundaţionale propuse de Henkin, ca ş i a proceselor de „tranziţie" de la fi losofie la şti i nţific, urmare a abandonări i schemelor aprior i şi chiar neces itariste, i nerente mar i lor programe fundaţioni ste ( logic ism, formal ism, intu iţ ionism) şi care le-au „frustat" de pr izare şi adecvare la matemat ica efectivă pare să fi motivat opţiunea l u i Henkin .

În ceea ce priveşte mar i le programe fundaţionale, care ţ in evident de fundamentele matematicii, se poate susţine că în principal ele au fost „focal izate" asupra teoriei mulţim i lor, teoriei structuri lor (N . Bourbaki) teoriei categori i lor, şi chiar geometriei etc. , deşi aceasta poate fi abordată în termen i i teoriei mu lţim i lor. În cele ce urmează, deoarece teoria

mulţimilor şi teoria categoriilor au profunde impl icaţ i i fi losofice, fapt ce „aruncă" noi lumin i inclusiv asupra fi losofiei matematicii, facem unele remarci general-fundaţionale, care vor contura mai pregnant ideea că fi losofia este prezentă sub fonna unor supozi ţi i , de regulă ontologice, chiar la acest n ivel, fundaţia „subm inând" d in interior ideea unei aşa-zise „purităţi" şi „exclusivităţi" a celor două domenii ale activităţi i fundaţionale.

Particularitatea distinctivă a programelor fundaţionale este continua, permanenta racordare a lor la mari le „mutaţi i" înregi strate prin progresul activ ităţi i fundaţionale şi care au m arcat „o p ierdere perţială a caracteru lu i fi losofie al investigaţi i lor fundaţionale" în favoarea unu i ma i pronunţat caracter matem at i c al aces tora, aşa cum remarca A. Mostowski [ 1 ] . Şi , totuşi, speci ficitatea marcat fundaţională a acestor programe din domeniul fundamentelor matematici i nu exclude ,ţie plano" prezenţa e lementelor fi losofice, fi i nd vorba, mai curând, de o d im inuare a rolu lu i acestora. Căci, astfel , teoria mu lţi m i lor (în diferite le ei var iante axiomat ice: Zermelo, Fraenkel, von Neumann, Godel, Bernays, Quine şi alte le) posedă o remarcabi lă re levanţă ontolog ică conectată problemei exi stenţei în matematică, un mediu autent ic care favorizează anal izele şi d iscuţi i le fi losofice. În contrast, ce le lalte două teori i - teoria structurilor (Bourbaki) ş i teoria caţegoriilor au mai cuând, am spune, o „încărcătură" epi stemo log ică, s ugerându-ne ideea une i i erarh i i a construcţ i i lor

28

conceptuale în m atematică, ce au erodat vederi le trad i ţ iona le, în majoritatea lor „substanţia l i st-platoni ste" asupra matematic i i .

Între ce le tre i mari teori i - teoria mulţimilor, teoria structurilor ş i teoria categoriilor care lansează „sti luri fundaţionale" (aşa cum mari le programe fundaţion iste - logic ismu l , formal ism ul şi i ntu i ţionismu l- au generat „sti I uri fundaţion iste")- există conexiuni istorice şi logice, încât se poate uşor constata că noţ iuni le categoriale sunt impl ic i te în teor ia structuri lor, iar în v i rtutea maturizări i conceptuale ş i metodologice a teori i lor matematice vedem manifestă ideea că unele concepte din teoria categori i lor sunt „general izări raţionale" ale celor din teoria structuri lor; morfi smele s un t general izări ale apl icaţ i i lor cont inue (d in teor ia mu lţimi lor), a homomorfismelor (teoria grupuri lor), a homeomorfismelor (teoria spaţ i i lor topo log ice), acestea d in urni'ă aparţ i nând teor ie i structuri lor. Efic ienţa ş i fructuozitatea sti I ulu i fundaţional categorial s-au învederat în capacitatea teoriei categori i lor de a soluţiona probleme în faţa cărora ce l e lalte teor i i s-au aflat în impas . Această teorie (a categoriilor) comportă pr in excelenţă un aspect structural relevant pentru „arhitectura" şi „ organizarea" universu lu i matematic, elemente ce i-au conferit posib i l i tatea de a se constitu i într-o nouă paradigmă conceptuală ş i metodologică a m atematic i i, d istinctă şi rivală în raport cu paradigma „ansamblistă" (d in teoria mul ţim i lor), d in care, paradoxal , s-a născut. Relevanţa fundaţ iona lă a teor i e i categor i i lor se învederează pr in surprinderea caracterulu i structural al matemat ic i i contemporane (în p lan matematic) ş i prin depăş irea viziun i i fi losofice pronunţat p laton i stsubstanţial i ste asoc iate, ce l puţin subiacentă, paradigmei set-teoretice, dominantă în gând irea matematică, încă de la începutu l acestui seco l şi până în deceni i le recente. Confruntarea d intre aceste sti luri fundaţionale a fost marcată de d iferite tentat ive: i) constru irea de fundamente setteoret ice (ansam b l i ste) pentru teor ia categori i lor; i i ) fundamente categoriale pentru teoria mulţim i lor; i i i) autofundarea teoriei categori i lor.

Specificitatea tehnico-matematică a cercetări i fundaţionale, mutaţie legată nu atât, am spune, de programele fundaţioniste (în general doctrinar filosofice, precum logicismul , formal ismul , oarecum, şi intuiţionismu l),

29

cât de abordăr i le fundaţionale ce emerg d in paradigmele conceptualmetodologice ed ificate din interioru l m ari lor teor i i - teoria mulţim i lor, teoria structuri lor, teor ia categor i i lor - n u a inval idat rol u l filosofiei în ansamblu l i nvest igaţ i i lor fundaţionale; şi aceasta, deoarece e lucidarea naturii matematicii rămâne de com petenţa e i, iar teh n ic i le fundaţionale, inspirate de logică, teoria modelelor, matemat ică etc., rămân cu rol de instrumente auxi l iare în acest dific i l, dar pas ionant traval iu. Apar noi conexiuni între domeni i le matemat i c i i, dar ş i între t ipuri le de cercetare fundaţională pe fundalul une i confruntări între d i recţ i i trad iţ ionale ş i direcţi i recente cu caracter novator, ce par a o rupe radical cu perspectivele prea „ortodoxe" ş i „ofic ial izate" ce au încorsetat cercetăr i le ca într-un aşa-zis pat „procustian" (ca de exemplu, schema „ log ic i sm-formal ismintu i ţ ion i sm"). Aceste perspect ive au fost tr ibutare unor concepţ i i fi l osofi ce, î n c iuda unor dec laraţ i i ant i -metafiz ice făcute de u n i i reprezentanţi ş i i-am numit pe formal işti (în frunte cu şeful acestei şcol i, Hi lbert, care a lansat provocator celebrul s logan; „să separăm odată pentru totdeauna fu ndamente le de fi l osofie ş i să le m utăm în i nter i oru l matematicii"), dar ş i pe intu iţionişt i , care începând cu Brouwer au negat orice supoziţie fi losofică cu rol de fundare a matemat ic i i .

Oricum, tentative priv ind di spensarea de fi losofie s-au făcut, cum am arătat deja, chiar recent ş i facem referire în acest sens la schema lu i Henk in [ 1 ] , al cărei nucleu este re levat de formu larea t it lu lu i stud iu lu i consacrat acesteia; este vorba de ,fundamente matematice pentru matematică", în care, cum se observă, l ipsesc din structura fundamentelor un gen de fundamente, ce s-au bucucat de atenţia lu i Kreisel [ 1], este vorba de fundamente logice (ale matematic i i), o renunţare datorită poate caracterulu i lor prea „impur" graţie „încărcături lor" lor fi losofice, despre care deja am vorbit. Expresia i ntrodusă de noi „relvanţa filosofică "

sugerează că chiar dacă fi losofia nu ar putea fi regăs ită, ca o componentă d istinctă în ansamblu l cercetări i fundaţionale, rămâne măcar o indicaţie metaforică că ea ar fi prezentă, cel puţ in d ifuz, în „masa" fundamentelor teor i i lor matematice, a matemat ic i i l uate ca întreg; ar fi reab i l itat cel puţ in un sens mai s lab şi , deci , mai vag al prezenţei fi losofiei în cuprinsul

3 0

matematici i , din care nu o poate izgoni nici ch iar maturizarea conceptuală �i metodo logică a acestei şti in ţe i ; ş i în acest caz sever fi losofia ar mai avea, încă, şansa de a se rep l ia, regăsi, recupera, sub pres iunea pract ic i i matematice, este drept cu o structură exigentă ca î n ipostaza de fi losofie nu a matematic i i ci de filosofie matematică, dacă noi interpretăm corect mesajele lu i B . Russe l l [ l ] ş i G. Kreisel [2] .

1 . 3 . CERCETAREA FUNDATIONALĂ, V ' V

METAMATEMATICA ŞI FILOSOFIA G ENERALA

D in ansamblu l problemei prezentu lu i stud iu am exam inat numai cercetarea fundaţională ş i com ponente le ei de bază - fundamentele matemat ic i i ş i fi losofia matematic i i . Au rămas neelucidate alte două com ponente (metam atematica şi fi losofia generală), conexiun i le di ntre ele şi relevanţa lor pentru ansamblu l cercetări i fundaţionale. Nu vom stărui mu lt asupra acestui subiect, l im itându-ne la formularea câtorva aserţiuni apte să ne restitu ie unele aspecte esenţiale ale metamatematic i i şi fi losofiei generale în conexiunea lor relevantă pentru întregu l cercetări i fundaţionale a matematici i .

Gonseth [ 1] a d i st ins tre i d imensiuni sau n ivele a le matematic i i : intuitiv, formal ş i metamatematic . Metamatematica este legată în destinu l ei de numele lu i D . Hi lbert, în a cărui intenţie (marcată de distincţia m ate m at i că- m etam ate m at i că) era o „teorie a demons traţ ie i" (Beweistheorie), un instrument ce i -a perm is să-ş i formuleze propria sa concepţie despre modul în care u rmează şi trebuie să fie ana l izat raţionamentu l matematic . Naşterea metamatemat ic i i s-a produs după real izarea formal izări i matematic i i , material izată şi identificată i storic ca atare în „Principia Mathematica", descoperită de Hi lbert ca o i lustrare relevantă a fenomenulu i (sau în l imbaju l lu i Gonseth, a „orizontului") formal (= matemati ca formală, form al izată). Problema ca1e se pune este : în ce re laţie stă metamatemat ica cu fundamentele matematic i i? Le leagă negreşit un element şi anume au în comun problema fundării matematic i i ,

3 1

dar în ace laşi t imp le separă mai mu lte aspecte, încât să considerăm că ele coinc id . În pr imul rând metamatem ati ca în sens modern (ad i că h i lbertian) este, istoric vorbind, de dată mai recentă decât fundam ente le matemat ic i i şi anume se constitu ie prin opera matematic ianulu i german c itat, în secolul nostru între ani i 1 9 1 7- 1 93 9, primu l an marchează apariţia l ucrăr i i lui Hi lbert [ 1 ] , ult imu l an este cel al apariţ iei l ucrări i mature e laborată cu unu l din d isc ipo l i i săi (Hi lbert-Bernays) [2] . Ş i , cum am mai spus, se constituie u l terior formal izări i m atematic i i real izate de A. N. Whitehead şi B. Russel l [ 1 ] în ani i 1 9 1 0- 1 9 1 3 cu alte cuvi nte, fără raportare la or izontu l forma l , exi stenţa metam atematic i i nu se poate legitima.

Cum observa S . C. K leene [ 1 ] exi stă conexi un i d irecte între problema fundării matematicii ş i apariţ ia metamatematicii, deoarece această problemă urma să fie asigurată printr-o demonstraţie finitist metamatematică a consistenţei matematicii clasice, ceea ce în concepţia lui H i lbert se poate real iza prin următori i paş i procedural i : mai întî i , se proceda la redactarea matematici i (clas ice) într-un s istem axiomatic formal, ş i apoi se apl ica direct defin iţia consistenţei (în sens sintactic), adică teoria formal izată, s istemul formal nu trebu ia să adm ită două teoreme contradi ctor i i . Astăzi noi şt im că acest t ip de demonstraţie, num ită „absolută", (contra-dist inctă de cea re lativă, ce constă în „traducerea"

în alt s i stem, dar cons i stent) urma să ape leze exc lus iv şi intern la m ij loacele specifice s i stemulu i formal în cauză. Să remarcăm profunda conexiune istori că dar şi de „mediu" relevant între conceptu l de sistem

formal şi metamatematică şi că ceea ce întemeietorul ei (Hi lbert) avea în vedere când discuta despre demonstraţ i i , erau, de fapt, derivări formale sau demonstraţii formale, pe care le-a făcut obiect central al unui nou tip de i nvestigaţie - metamatematica. Metamatematica h i lbert iană, sau „teor i a demonstraţ ie i", form u la condiţ i i perceptuale (aici sesizăm o influenţă kantiană) de anal iză, şi deci necesitatea ape lu lu i la m ij loace fin it iste în traval iu l demonstraţiei cons istenţe i matematic i i; exigenţa fin itistă era necesară, observă ş i Gonseth [ 1 ], procurăr i i unor conv ingeri intu it ive. Aşadar, dacă fundamente le matematic i i se p ierd în i s toria

3 2

matematici i ele fi ind pract icate şi în legătură cu orizontu l intuitiv (creativ) al matemat ic i i (conform ierarh iei semnalate de Gonseth), i lustrare stau eucl idian ismul , cantorian ismul etc ., în sens strict despre metamatematică vorb im în secolu l nostru (al XX- iea), odată cu cercetări l e întreprinse de D. Hi lbert. G. Kreisel observa că metamatemat ica h i lbertiană a fost prea restr ict ivă, deoarece punerea ei de acord cu progresu l cunoaşteri i învederează că semnificaţia ei este astăzi diferită; o teor ie a demonstraţiei adecvată ar trebui, ş i în fapt se face astăzi, să investigheze demonstraţi i le for m a l e î n l e gătu ră cu demon straţ i i l e i n t u i t i v e ; o r i , pen t ru „Beweistheorie" a lu i Hi lbert, demonstraţia însemna numai demonstraţie

formală, un punct de vedere abandonat de cercetători i contemporani ca Prawitz [ I ] , [2], Kreisel [ 1 ] , [3 ] ş i al ţ i i .

Dar, dacă exam i năm structura i ntr i n secă a fundamente lor matematicii şi cea a metamatematicii, mai putem, identifi ca asemănări, analogi i, d iferenţe, intersecţi i etc .? Am consem nat căproblemafundării es te com ună în câm p u l l o r de i nvest i ga ţ i e , c u spec i fi carea că metamatemat i ca o anal izează numai în legătură cu, ş i pe „corpu l" s i stemelor formale a le matematic i i , sau, mai exact, a le diferitelor teor i i matematice, ş i, în consecinţă, ca „produs modern", această d isc ipl ină a gândir i i matematice benefic iază ş i apelează la ach iziţ i i le, instrumentele cunoaşteri i moderne - log ica matematică, logica algebrică, semantică, s intaxa logică, teori i recente d in matematică; i ar de a ic i caracterul pronunţat „tehn ic" al metodo logiei pe care o întrebuinţează. Aceste observ aţ i i ne introduc o trăsătură specifică metamatematici i : este o cercetare rnetateoret ică care abundă în metode, ş i, de aici, caracteru l e i „metodologic " . Fundamentele matematicii nu au un asemenea caracter reductiv, un i lateral ităţi i metodologice a metam atemat ic i i îi opun o perspect ivă complexă şi complementară, în care, des igur, se regăseşte ş i dimensiunea metodologică, dar alături de cea ontologică, ca în cazul justifi cări i axiomelor, ipotezelor, postulate lor (a infini tu lu i, continuulu i etc .), sau epistemologică ce v izează natura conceptelor, mai cu seamă cu priv ire la izvorul cunoaşteri i lor, adesea la punctu l de contact cu fi losofia matematic i i, fundamentelor matematic i i fi indu-le inerente chi ar

33

o „ ax i o l og ie" ep i stem o l o g i că. Ş i o r i cum, d i n perspec t i va unor fu n d amente mai „ c l as i c e " a le m atem at i c i i , s e p oate re proşa metamatemat ic i i moderne că prin „cantonarea" prea severă în paradigma apl i căr i i exc lus iv iste a metodelor formale de cercetare, lasă o serie de probleme fundaţionale fără un răspuns sat isfăcător, o obiecţie ce v ine d in perspect iva unor fundamente intuiţioniste ale aceste i şt i i n ţe . Cantonată prea strict metodologic, problemele ontologice ale matematic i i primesc doar parţ ial ş i un i l ateral răspuns d intr-o perspectivă, ce ţine prea exclus iv de abordarea internă, negl ijând-o sau chiar ignorând-o pe cea externă. Dacă este nej ustificată orice respingere radicală a metodelor ş i rezultatelor cercetări lor formale a fundamentelor, nu este mai puţin adevărat, arată Beth [ 1 ] , că abordarea d i n i nter ior a prob leme lor fundaţionale, centrată, am spune, pe anal iza structurii deductive a teori i lor matematice, nu poate conduce decât la concluzi i de natură metodologică şi nu ontologică, ceea ce d iminuează re levanţa (fi losofică, dar nu numai) perspectivei de investigaţie metamatematică. În context, sub l in iem un s lab racord al metamatemat ic i i l a fi losofia matematic i i, parcă în acord cu dezideratul h i lbertian al separări i fundamentelor de fi losofie, deoarece fi neţea ana l i ze i m atematice, str ic t i n ternă, sacri fi că o bogăţ ie de semnificaţi i fi losofice subiacente acestor probleme ontologice - specifice fi losofiei matemat ici i - inclusiv semn ificaţ i i ce se constituie din re laţi i le matemat ic i i cu alte domen i i ale gând ir i i şi experienţe umane.

Şi . totuşi, mult râvnita „separare hilbertiană" a fundamentelor de filosofie, prin intermediul metamatematici i, se pare că nu s-a putut împl in i . Sub influenţa lu i Kreisel [ 1 ] , dar ş i a altor autori, consem nam într-un s tud iu [3 , p . 4 7] următoare le : „Pr in ep is temologie se înţe leg a ic i concepţ i i le aparţ inând lu i P, adică princ ip i i neformate de demonstraţie care a s i gură val i d i tatea log ică i ntu i t ivă . Pr i n c i p i i l e i n tu i t ive a l e demonstraţiei prezidează construcţia s i stemelor formale, dar e lementele de natură psihologică prezente în aceste princ ip i i nu permit o anal iză exactă, astfel că trebuie să fie în locuite cu regul i formale. Dar această concluzie antifi losofică nu determ ină o renunţare integrală la t ipu l de cunoaştere impl i cat în princip i i le intu itive; după cum se ştie, s-ar putea

34

i nvoca drept argument teorema lu i Godel de incompletitudine, ca ş i rezu ltatul lu i Gentzen, care reabi l itează cunoaşterea neformală, făcând nereal izabi l idealul aristotel ic al cunoaşteri i deduct ive; relevant în această priv inţă este conceptu l de s istem semi formal i ntrodus de Schlitte [ 1 ]"; este o recuperare evidentă a vocaţ ie i fundaţionale a fi losofiei .

Dacă aceasta este re laţia d inspre fi losofie spre metamatematică, să vedem ce se poate spune despre săgeata inversă a acestei re laţ i i . În primul rând, trebuie notat că cercetarea modernă din sfera fundamentelor matematic i i inc lude, ca o parte, metamatematica, faţă de care acestea sunt evident supraextens ive pri n : a) ansamblu l problemelor fundaţionale este mai vast decât prob lematica metamatemat ic i i, cum uşor se observă d in lectura l i ste lor de c lase ale prob leme lor fu�daţionale alcătuite de A. Mostowski [ 1 ] ş i A. Robinson [ l ] ; şi, oricum, aşa cum am sub l i niat s lăb iciunea cea mai importantă a metamatemat ic i i rezidă în ignorarea problemelor ontologice, ceea ce îi dim inuează contr ibuţ ia în cadrul cercetări i fundaţionale: b) sărăcia de perspective în abordarea exclus iv metodologică, iar în acest p lan folosirea unu i cadru str ict intern si ntacti c ce este defin itor i u pent ru metamatemat i că; aşadar, fundamente „sintact ice" numai . Dar în v iziunea d inam ic i i , progresulu i act iv ităţ i i d in domen iu l cercetăr i i fundaţionale a matematic i i, metamatematica este recuperată ca o achiziţ ie uti lă ş i eficace în anumite contexte în sfera fundamentelor matemat ic i i . Această cercetare de la n ivelu l fundamentelor matematici i a avut uneori un efect „distructiv", în sensul că a „răsturnat" doctrine importante din fi losofia trad iţională, şi aşa cum vom vedea chiar teoria aristote l ică a ştii nţe i în confruntarea cu evoluţi i le şti inţelor a suferit i nfirmări semn ificative. Beth [ 1 ] notează că s it uaţ i i conceptuale ş i metodologice remarcabi le a u generat controverse dure între reprezentanţi i cercetări i moderne din fundamentele matematic i i (în care am inclus ş i metamatematica) ş i adepţi i fi losofiei generale, sau specu lative, c u m o mai numesc uni i autori . Învăţămintele ce le degajă aceste controverse, d iscuţ i i , dezbater i nu trebu ie să le receptăm negat iv i s t şi n ih i l i s t v i s-a-v is de tradiţ ia fi losofică, c i , mai curând, să folos im concepţi i l e im puse de investigaţi i le moderne ca instrumente şi scenar i i actuale de

3 5

lectură şi re i nterpretare în vederea unei mai corecte pătrunderi a sem n i fi caţi i lor ş i mesaje lo r fi los ofi e i ant ice ş i med iev ale, dar ş i moderne. Să notăm în încheierea acestu i paragraf că dacă facem ape l la d istincţia ,jundaţionist-fundaţional", exp l ic itată în anal izele produse anterior, atunci re laţ ia acestor „perspective-st i l ur i" cu fi losofia apare din ungh iuri d iferite, cu caractere d iferite, căc i în inserţ ia cu programele fundaţion iste filosofia tradiţională se man ifestă influent ş i pozit iv, mai c u seamă în legătură cu prob lema naturii entităţilor matematice, deoarece ce s unt l og i c i sm ul , form u l i sm u l şi i nt u i ţ ion i s m u l decât „special izări" ale mari lor curente fi losofice : p latonismul, nom inal ismul ş i c o n c e p t ua l i s m u l ? ; or i , în re l a ţ i a cu s t u d i i l e fu n d aţ i o n a l e metamatematice constatăm o stare d e ,.J'ecul" a fi losofie i tradiţ ionale sub impactu l acestora, fie o infirmare, fie o re interpretare, regândire a e i ş i, poate, rev igorare, ch iar potenţare a e i .

CAPI TOLU L l i

IS TORIA ŞI FILOSOFI A ANTICĂ A MATEMATICII : PROFIL TEMATIC,

METODOLOGIC ŞI EPISTl;MOLOGIC AL MATEMATICII GRECEŞTI

2 . 1 . CADRUL GENERAL AL MATEMATICII GRECEŞTI ANTICE

Este un fapt rem arcab i l că m atematic ien i i grec i , ch iar de l a începuturi le cercetări lor lor, ş i avem în vedere Ionia d in Mi let, pre luând materia lu l matematic acumu lat în vechiu l Orient, Egipt şi Babi lon, l-au as i m i lat şi transform at original, aprop i i ndu-se de idealul formulăr i i riguroase a propoziţi i lor matem atice ş i a demonstraţiei acestora. Nu este s igur că babi lon ien i i ar fi ajuns la formu larea propoziţi i lor originale, excepţie în Orientu l Antic face geometria sacră a vechi lor h induşi cu formulări le în forma tradiţională a enunţu lu i scurt dogmatic (sutra) ; iar în priv inţa demonstraţi i lor, documentele n-au păstrat ceva relevant, cu excepţia unor ver ificări de ca lcu le numerice, ceea ce nu acoperă semnificaţia «probelor demonstrative» . Greci i au meritu l incontestab i l de a fi inaugurat trad i ţia matematică a demonstraţi i lor, al cărei început istoric este marcat de Scoala lui Thales, dar o conştientizare şti inţifică a idei i de demonstraţie trebuie atribuită şi vech i lor pi tagorei . „Fără îndoială că aici se afl ă ch iar începuturi le şt i inţe i exacte , concom itent cu ale

3 7

fi losofiei şi, în consecinţă, acuma are loc pentru Europa, ceea ce se numeşte «descoperirea spiritului» (O. Becker [ 1 , p. 42]) . Cu greci i vech i matemat ica intra în faza „construcţiei deductive" edificată cu concepte prime ş i princ ip i i fundamentale. Contribuţi i semnificative au sofi stul Hipocrat din Chios, pr imul autor de "Elemente", care a trăit cu o generaţie înaintea lu i P laton, dar mai cu seamă Eucl id (cu „Elementele" sale), Eudemos din Rodos, elev al lu i Aristote l, care a scris prima istorie a geometr ie i ş i astronom ie i, şi a l ţ i i , între care trebuie să menţionăm reflecţi i le fi losofi lor (Pitagora, P laton, Aristote l) în sfera fundamente lor matematici i şi a fi losofie i matematici i . Greci lor antic i trebuie să l i se recunoască meritul de a fi întemeiat matematica ca şti in ţă, căci ei au anal izat rodnic concepte ca cele de infinit şi continuu ( investigaţi i datorate şco l i i eleate, lu i P laton ş i lu i Aristote l); şi tot lor i stor ia matemat ic i i le atribuie descoper irea «iraţionalelor>> .

Evocarea de t a l i i l or i s tor i ce , r e l evante pen t ru a n s am b l u l cons ideraţi i lor ce le-am expus, trebu ie să înceapă c u Thales. Tradiţ ia îi atribuie demonstraţia unor propoziţ i i ca: 1 . Un cerc este împărţit în două părţi egale de oricare d iametru al său; 2. Ungh iuri l e opuse la vârf sunt egale ; 3 . Ungh iur i l e de l a baza tr i u n gh i u l u i i so sce l s u nt ega le ; 4 . Diagonalele unui dreptunghi sunt egale ş i se taie în părţi egale, sau: Ungh iu l înscris într-un semicerc este drept. Propoziţi i le enunţate sunt deduse d intr-o figură formată d intr-un dreptunghi cu d iagonale, cărui a îi es te c i rc u m s c r i s un cerc, fi g u ră as i m et r i că faţă de d o uă axe perpendicu lare .

Dar, probab i l, tot l a începutu l seco l u l u i al VI- lea î . e . n . este local izată temporal aritmetica pietricelelor, care a instituit un mod de gândire matematic sui-generis, j umătate aritmetic, jumătate geometric; după Aristote l [2, ·NS ], aceasta a condus la numere le figurative ale pitagorei lor (numere triunghiu lare, n umere pătrati ce, numere oblonge ). Succint, se poate rezuma esenţa acestui mod de gândire astfe l : folos ind p ietricele de aceeaşi mărime ş i formă (rotunde, pătratice) se pot constru i diferite figur i . Aristote l în lucrarea c itată spune că p itagoreicul Eurytos determ ina numărul fiecărui obiect şi imita forma fi inţe lor cu aj utorul

3 8

p ietr ice le lor „în felu l în care un i i aşează numerele în forma de triungh i sau pătrat", ceea ce în mod cert tr im ite la numere le figurat ive, ale p itagoreici lor, deş i tradiţ ia a reţinut ca mai veros imi lă defin irea un ităţ i i ca un punct fără poziţie şi, respectiv, definirea unu i punct ca unitatea care are o poziţie.

Alt eveniment al matemat ic i i greceşti este teor ia despre par şi impar. Epiharm (500 î. e .n . ), autor de comedi i , fo loseşte prima dată noţiun i le de par şi impar şi în l ucrăr i le lu i , de asemenea, se fac aluzi i la reprezentarea numerelor pr in p ietr icele. Dar, în p lan teoretic, opoziţ ia d intre par ş i impar descinde d in fecunda dist incţie p itagor iciană infinit şi limitant (finit) . Teoria sau învăţătura despre par şi impar a fost transm isă prin i ntermediu l „Elementelor" lui Euc l id, ( indusă la sfârş itu l cărţi i a noua), chiar dacă expunerea s i stemat ică pe care marele geometru grec a dat-o aritmet ic i i nu o asuma ca imanentă. Teoria în cauză reprezintă, după aprecieri av izate, a se vedea Becker [ I , p. 59], „cel mai vechi exemplu de «mathema» grecească, fragment didacti c de deducţie, foarte interesant chiar şi d in acest motiv".

C ităm câteva fragmente referitoare la această teorie d in autori i anterior menţionaţi (apud O. Becker [ l ] , Epiharm (frag. B . Diels [ 1 ] ) : „Dacă c ineva vrea să adauge o piatră la un număr impar sau chiăr l a unul par, sau să ia o p iatră d intre cele care există, crezi oare că numărul o să mai rămână la fel?". Philolaos (fragm . 85, Diels [ I ' ] : „Numărul are într-adevăr două forme deosebite, par, impar şi o a tre ia, născută din amestecul ce lor două, par- impar. F iecare dintre cele două forme are însă multe înfăţi şări pe care orice l ucru le arată de la s ine însuşi". Ari stote l [3, I I I .4 .203 .a. 1 045 ] cu referire la re laţia dintre cup lur i le de concepte opuse fin it- infin it şi par- impar scrie: „Pitagoreici i admiteau că infin itul este identic cu parul . Căci, e l ar oferi l ucruri lor infin itul, fiind în el însuşi desprins ş i l im itat de impar. Aceasta s-ar doved i prin ceea ce se întâmplă cu numerele. Dacă gnomoni i sunt aşezaţi împrejur, mai întâi în j uru l un ităţi i şi apoi astfel încât unitatea să fie exc lusă, atunci figura care apare este într-un caz (al do i lea) totdeauna, d iferită, în celălalt caz (în primu l) este însă totdeauna aceeaş i" . Expl icaţia dată de un p itagorician

39

acestui text ari stote l ic d ifici l a fost formulată cum unnează: „Dacă în jurul un ităţ i i se aşează, ca gnomon i, numerele impare succes ive, numărul care rezu ltă este pătrat ic; dacă d in contră, numerele pare se aşează împrejur tot ca gnomon i , rezu ltă s imple numere oblonge şi de forme neegale; n ic i unul dintre ele nu este însă un număr înmulţit cu el însuşi" . Un comentariu . s intetic reţ ine part icularitatea că producerea pătratelor este asigurată ca sumă de numere impare, pe când producerea numerelor de forma „n(n+ I )" are loc ca sumă de numere pare; pătrate le sunt asemenea între ele, dreptunghiuri le nu . Demonstraţia i mpos ib i l ităţ i i de a exprima în numere întregi raportul d intre rădăcina pătrată a lu i 2 ş i unitate era cunoscută pitagorei lor aproximativ la m ij locul secolu lu i a l V-lea î.e .n .

Între problemele matematici i e l ine cu efecte în p lanul matematici i , dar ş i în plan filosofie, figurează în mod specific: problema cvadraturii cercului, conceptele de infinitate şi continuitate, paradoxele lui Zenon,

teoria proporţiilor şi fundamentarea axiomatică a matematic i i greceşti. Problema cvadraturii cercului. Deşi Eudoxos este cel care

formulează, probabi l , primul cele două axiome a le măsuri i - măsura „multiplicativă" ş i cea „divizivă", Antifon este cel care în secolu l a l V-lea le-a aplicat la problema cvadraturii cerculu i . Datorăm lu i S impl icius infonnaţi i referitoare la această problemă: „Antifon a constru it însă un cerc ş i a înscris un pol igon înăuntru l cerculu i , unul din acele pol igoane i nscriptibi le. Fie pol igonu l înscri s, de pi ldă, un pătrat. Găsind apo i m ij locu l fiecărei laturi a pătratului , el a dus drepte perpend icu lare d in aceste puncte până la arcul cerculu i care, evident, au împărţit, respect iv, fiecare segment de cerc în două părţi egale. Unind prin drepte punctele de div iziune a le arcelor de cerc cu vârfuri le pătratu lu i , au apărut patru tr iungh iuri , astfel că întreaga figură înscrisă în cerc a devenit octogon. Împărţind prin acelaşi procedeu în două părţi egale fiecare latură a octogonu lui, ducând perpendiculare d in punctele de d iv iziune ale laturi lor până la circumferinţă şi unind punctele de d iv iziune ale arcelor cu extremităţi le segmentelor împărţi te, e l a transformat pol igonul înscris într-un pol igon cu 1 6 laturi . Împărţind iarăş i laturile acestui pol igon în

40

acelaş i raport şi unind puncte le de diviziune ale arcelor respective cu vârfur i l e alăturate ale pol igonu lu i înscris, dub lând număru l latur i lor pol igonu lu i înscris ş i repetând mereu procedeu l , e l credea că, în sfârş it, la un moment dat, după epu izarea suprafeţei , se va înscrie în felu l acesta în cerc un pol igon, a le căru i laturi d in cauza mic im i i lor s-ar suprapune cu c ircumferinţa. Întrucât, însă, putem constru i pentru fiecare pol igon un pătrat egal , după cum am învăţat din ,,E,lemente" ş i pentru că pol igonu l trebuie cons iderat egal cu cercu l , cu care se suprapune, vom fi în stare astfel să construim pentru un cerc u n pătrat egal" (apud. O. Becker [ 1 ,

p . 64, 65 ] . Ş i A l exandru d i n Afrod i s i a s ub l i n i ază argum entaţ ia pitagoric ianu lu i Bryson, care afirma că nu numai pol igoanele înscrise, aşa cum a considerat Antifon, c i ş i cele c ircumscrise pot fi l uate în considerare cu priv i re la această prob lemă: „Cerctl l este mai mare decât orice pol igon înscris în el şi este mai mic decât orice pol igon circumscri s lu i„ . Dar şi figura rect i l in ie situată între o anumită figură rect i l in ie înscrisă şi o anum i tă figură recti l i n ie c ircum scrisă este mai m ică decât cea c ircumscrisă ş i mai mare decât cea înscrisă. Însă, ceea ce este în acelaşi t imp mai mare, respectiv mai mic decât acelaşi lucru, este egal cu acel lucru; cercul este aşadar egal cu pol igonu l s ituat între pol igonul înscris şi cel c ircumscri s . Noi însă avem pos ib i l i tatea de a construi pentru orice figură rect i l in ie dată un pătrat cu aceeaş i arie; aşadar, este pos ib i l să construim un pătrat de aceeaş i arie cu cercul" (apud O Becker [ I , p. 66, 67]) . Dar, o formulare mai concisă a dat Proclos, care spunea că „Bryson a efectuat cvadratura cercu lu i în felu l unnător: cercu l , spune Bryson, este mai mare decât orice pol i gon înscris, şi mai m ic decât orice pol igon c ircumscri s. Când însă în com paraţie cu ceva există «mai mre» ş i «mai m ie» faţă de acel ceva, exi stă ş i «egal» . Dar, pol igoane mai mari ş i mai m ici decât cercul există, aşadar există ş i un pol igon egal cu cercu l" (O . Becker [ l , p . 67, 68 ] ) . Platon [ I ] spune textua l : „Celu i ce are proprietatea de a fi mare şi m ic i se poate atribu i şi proprietatea de a fi egal , care este s ituată între e le" . Este o enunţare a unui principiu al continuităţii, care antic ipează o celebră axiomă a continuităţii, pe care matematica o datorează lu i Dedekind . Aristotel a fost interesat, în primul rând, de l im ite le ap l icabi l ităţi i acestu i princ ip iu de continu itate, căci

4 1

după ce în „Metafizica" susţine că „egalul este s ituat între mare şi m ic; este opoziţia privativă faţă de amândouă . . . ", afirmă că „este ev ident că tot ce este intermediar aparţ ine acel u iaşi gen, se află între contrari i ş i se compune din ele", ceea ce revine la a spune că valabi l i tatea principiu lu i în cauză depinde de faptu l că trecerea de la ma i mare la ma i m ic nu ne scoate din cadru l aceleiaşi speţe. Cercetări le lu i Antifon şi Bryson au serv it l u i Eudoxos în e laborarea „demonstraţiilor prin exhaustiune". Acesta întrebuinţând forma d iv izivă a axiomei măsurii („Elemente", X, 1 ) care apare aici ca teoremă derivată d in forma „mult iplicativă", prezentă în Cartea a V-a, def. 4, va fundamenta teoria măsurări i ari i lor mărgin ite de o l in ie curbă şi a corpuri lor mărgin ite de suprafeţe curbe.

Problema cvadraturii cercu lu i ş i consideraţi i le asupra integrări i angaj ează

"conceptul de infin it, fundam enta l , cum se şt ie , pentru

matemat ica superioară. Ari stotel , în secolu l al IV- iea, este cel care a făcut o anal iză profundă a acestu i concept, soluţia dată de el problemei infin itu lu i ş i anume exprimată în teza „infin itatea exi stă numai în potenţial itate, niciodată nu există în act" este de o remarcabi lă rezonanţă şi actual itate în fi losofia contemporană a matematic i i . Dăm în continuare câteva citate mai semnificat ive pentru concepţia aristotel ică în prob lema infinitului. În Aristote l [3 ] (apud O. Becker) este form ulată mai întâi o j ustificare a legitim ităţii conceptu lu i de infin it: „Că există ceva infin it, aceasta rezu ltă din exam inarea cel mu lt a c inci fapte : mai întâi, d in t imp, căci este infi n i t ; al doi lea, d i n d iv iz iunea mărim i l or, căc i înş i ş i matemat ic ien i i folosesc i nfin i tu l ; a l tre i l ea, deoarece deven i rea ş i dispariţia nu încetează nic iodată d in cauză că sursa d in care provine, ceea ce este în devenire este infin ită; al patru lea, deoarece lucrul l im itat are o l im ită numai în raport cu ceva, de unde rezu ltă, în mod necesar, că nu exi stă l im ită propriu-zi să, dacă un lucru trebuie neapărat să fie totdeauna l im itat de altu l ; al cinci lea, este însă faptul care în cea mai mare măsură ş i în sensul cel mai dec is iv provoacă tuturor o dificultate comună: anume din cauză că în gândire nu există sfârşit, ş i număru l ş i mărimi le matematice ş i ceea ce este dincolo de bolta cerulu i par să fie infin ite; dacă şi aceasta din urmă este infin ită, atunci se pare că există ş i un corp infin it, precum ş i o plura l itate de lum i . . . Cercetări le în legătură

42

cu i nfin itul prezi ntă însă d i ficu ltăţ i , deoarece rezu ltă mu lte l ucruri i m pos ib i le, fie spunând că exi stă infin itu l , fie susţinând că nu exi stă". Presupunerea că înfi n itu l nu există abso lut deloc angaj ează, după Aristotel , consecinţe indezirabile, imposibi le, precum: ar exi sta şi pentru t imp un început şi un sfârş it, mărim i le n-ar fi diviz ib i le şi n ic i număru l n-ar fi infin it. Adm isă fiind supoziţia că infinitul există, se pune problema genu lu i său de exi stenţă (în act sau ca potenţial itate) ş i deoarece a arătat că mărimea nu este infinită în act, dar este infinită prin diviziune, Aristotel conchide: „infinitul există În potenţialitate" . Aristotel conştientizează dificu ltăţ i le problemei infinitu lu i , analizează semnificaţi i le sau „speci i le" infinitu lu i, exam inează atent argumentele pro şi contra ide i i de infinit ş i reflectează asupra apor i i lor formulate de Zenon din

_peea (care foloseau

noţiunea de infinit „În act") şi, coroborând aceste aspecte, enunţă o soluţie „constructivă" în mult d i sputata problemă a infinitu lu i . Ari stotel notează în „Fizica I I I , 6, 206 a, 206 b: „I nfin i tu l exi stă atunci când un l ucru poate fi pus după al tu l fără sfârş i t , fiecare lucru pus fi ind fin it . . . ", „ infin itul este în potenţial itate; „ . nu trebuie să considerăm infin itu l ca un lucru concret, cum este omul sau casa, ci aşa cum se înţe lege ziua ş i lupta, pentru care exi stenţa nu este o substanţă determ inată, c i este totdeauna în generare şi în d i strugere, ch iar dacă este l im itată, dar este mereu în altu l şi altu l" .

Desigur, concepţia ari stotel ică este cea mai profundă şi adecvată, regăs ită astăzi în matematică şi filosofia intuiţionistă, dar constitu irea ide i i matematice ş i filosofice de infinit are ascendente pre-aristotel ice. Dintre acestea pot fi menţionate speculaţi i le p itagorei lor asupra limitei (peras), princip iu ce introduce structura în „cel fără l im ită, sau infinitu l". P laton va accentua o interpretare cosmologică a d ist incţ iei „perasapeiron", structura lum ii , fi ind generată de cauza cosm ică prin amestecul l im ite i (finitu lu i) cu nel im itatu l , infin itu l ; materia preexistentă (haosul , apeironu l) primea o structură (ord ine) inte l ig ib i lă ca efect al l im itei active. Ord inea raţională a lumi i reclamată de gândirea grec i lor vech i era incompat ib i lă cu o exi s tenţă fără l im ite, fără măsură, o asemenea existenţă, de neconceput, echivala cu ceva inexistent.

43

Anal i za conceptului de continuitate (anal i za „contin uului") constitu ie o a doua mare contribuţie a lui Aristotel în spaţ iul matematic i i greceşt i . O formulare categorică, ca şi în cazul problemei infin i tu lu i : cont inu itatea exi stă numai în potenţialitate, ambele ( infin itatea ş i cont i n u itatea) răm ânând totdeauna n eterm i nate. Î mpărtăş i te de majoritatea matematicien i lor, concepţ i i le aristote l ice despre conceptele în chestiune vor fi atacate de Georg Cantor în a doua jumătate a secolu lu i al XIX-iea, prin a lu i teor ie a m u lţ im i lor, în care sunt cons iderate multiplicităţi infinite în act.

Aristotel (3 ] clarifică natura şi apl icab i l itatea, ( ş i le defineşte), conceptelor de „concomitent" „separat", „în contact", „intermediar", „consecutiv", „contiguu" şi „continuu". („Concomitent" spunem despre lucruri aflate într-un loc; ,,separat" spunem despre lucruri aflate în locuri d iferite; „în contact" spunem despre lucruri ale căror capete extreme sunt împreună; „ intermediar" este ceva la care aj unge firesc lucru l care se mişcă înainte de a ajunge l a extrema spre care tinde, ceea ce se schimbă continuu, „consecutiv" spunem despre lucrul care este îndată după început, fie prin poziţie, fie prin formă, dacă nu există ceva de aceeaşi specie între acesta şi acela care urmează; iar „contiguu" este acel l ucru care fi i n d consecut iv a ltu ia este ş i în contact cu antecedentu l ) . „Continuu!" scrie Aristotel [3] (apud O. Becker [ 1 , p. 92] ) „este desigur ceva care este contiguu, dar eu folosesc termenu l „continuu" atunci când extrem ităţ i le fiecăruia din cele două lucruri, prin care ele v in în contact, dev in unul ş i acelaşi l ucru şi - după cum spune chiar cuvântu l „continuum" - ele se ţin împreună, ceea ce nu este însă pos ib i l atâta vreme cât extrem ităţ i le sunt două. Aceasta fi ind defin i ţ ia, este ev ident că aşa-zisul continuu exi stă în acele lucruri care prin legare pot deven i unu l s ingur î n mod natural ; ş i oricare ar fi calea prin care ceea c e l e ţine împreună există ca unitate, întregul va fi tot o un itate în acelaşi mod, fie că legătura se face cu aj utorul unui cu i , prin l i pire, prin ataşare sau prin creştere îm preună. Este evident că după ordine v ine întâi consecutivu l ; căci , tot ceea ce este în contact trebu ie să fie cu neces itate consecutiv, nu însă orice consecutiv trebuie să fie cu neces itate în contact. (De aceea, ş i

44

la lucrur i le care noţional sunt anterioare, ca de pi ldă la numere, exi stă mai degrabă consecutivul decât contactul). Ş i dacă un lucru este continuu, atunci trebuie să existe contact; d impotrivă, dacă există contact, aceasta nu este sufic ient pentru a garanta continu itatea. Căc i extrem ităţi le, deşi pot fi împreună din punctu l de vedere al locu lu i, nu sunt cu neces itate un si ngur lucru ; dar, dacă sunt un s ingur lucru, ele trebuie în mod necesar să fie îm preună. În consecinţă, creşterea împreună se produce u l terior, căci extremităţ i le trebuie mai întâi să fie în contact dacă urmează să crească îm preună, dar nu tot ce este în contact creşte împreună, în t imp ce lucruri le care nu sunt în contact evident că n ici nu cresc împreună. În consec inţă, chiar dacă punctu l ş i un itatea au, cum se spune, existenţe separate, totuşi nu este pos ib i l ca punctu l şi un itatea să fie acelaşi lucru, căc i punctele au contact, unităţ i le au însă numai succes iune, ş i la primele poate exista intermediar, căci orice l in ie este între doi ş i un i tatea nu este n imic. S-a spus, deci , ce este «concom itent» şi «separat» şi ce este «În contact», « intermediam, «consecutiv», «contiguu» şi «continum> şi căror

lucruri li se atribuie fiecare d in acestea". Aşadar, dacă reţ inem ca fundamenta le în p rob l emă numai

conceptele continuu, contactul şi consecutivul, atunci e le pot fi definite astfe l : „continue sunt lucruri le ale căror extrem ităţi sunt una, în contact

sunt lucruri le ale căror extremităţi sunt concom itente şi consecutive sunt ace lea între care nu există n im ic la fel cu ele". În conti nuare, Ari stotel „focalizează" anal iza sa asupra continuului, invocând în sprij inul acesteia ş i unele exemp le. Aserţiun i care expl ic i tează anal iza ari stote l ică a continuu lu i : impos ib i l i tatea ca ind iv izibi lele să constitu ie un continuu, de exemplu, l inia care este ceva continuu nu poate fi alcătuită d in puncte, care sunt indivizib i le; extrem ităţ i le punctelor nu sunt n ici una şi n ic i nu sunt împreună, în primul caz, deoarece la ind ivizibi le (şi punctele sunt aşa ceva) nu exi sta extremitate d istinctă de restu l lucru lu i indivizib i l , în al doi lea caz, indivizibi le le fi ind ceva fără părţi , nu au părţ i extreme, extrem itatea trebu ind să fie dist inctă de lucrul căreia îi aparţine. Punctele care ar alcătu i continuu! ar trebui să fie sau continue sau în contact. S-a arătat până acum că nu pot fi continue, urmează să arătăm acum că nu

45

pot fi în contact. Contactu l are loc între întreg ş i întreg sau între parte ş i parte, sau între o parte ş i un întreg, oricum indivizib i lu l nu posedă părţi , întregul poate fi în contact cu alt întreg; „dacă, însă, un întreg este în contact cu alt întreg, atunci nu se const itu ie un continuu, căc i continuu! conţine părţi d iferite între ele ş i este d iv izat în părţ i separate în acest sens ş i separate ca loc". Punctu l , ca şi cl i pa, nu pot fi consecutive altora, astfel încât să alcătuiască o lungime sau un t imp, deoarece nu satisfac cerinţa ca între ele să nu exi ste i ntermediar; în real i tate, între puncte există o l i n ie, iar între cl i pe este întotdeauna un t imp. Dacă adm item că o l in ie şi un tim p (durata) pot fi d iv izate în părţi l e lor componente, apoi fiecare d intre acestea două ar fi împărţite în indivizibi le . Dar, deja am constatat că cont inuuul nu este d i v izi b i l în părţi fără componente (= indivizibi le), iar punctele ş i cl i pe le nu pot avea între e le ceva d iferit de ele; în cazul în care ar exi sta un i ntermed iar, sunt două pos ib i l ităţi ca să fie sau ceva indivizib i l , sau ceva div izibi l , iar în cazu l al doi lea, ar trebuie să fie împărţit fie în indivizibi le, fie în d iv izib i le la infinit (s .n . în text) . Ari stotel conch ide că tocmai acest din urmă caz este continuu!: „Este evident că orice continuu este d iv izibi l la infinit; dacă ar fi d iv izib i l în indivizibi le, atunci un indivizibi l ar fi în contact cu un indiv izib i l , căci extremităţi le continuu lui sunt una ş i sunt în contact" (Aristotel [3 ] ) . Stagiritu l dezvoltă s imi lar un raţionament pentru mărime, t imp ş i m işcare, a cărui conc luzie ar fi, credem, ideea următoare: , , În acelaşi mod ca la lungimi şi m işcări, exi stă neces itatea ca şi tim pul să fie indivizib i l sau să fie compus din c l ipe indivizib i le; căci , dacă fiecare distanţă este d iv izibi lă ş i dacă un lucru mişcându-se cu aceeaş i v iteză străbate o d i stanţă mai m ică într-un t imp mai mic, atunci ş i t impu l va fi div iz ib i l ş i invers, dacă timpul în care un lucru se mişcă pe d i stanţa A este div iz ib i l , atunci ş i A va fi divizibi lă". Corelând aspectele m işcare şi t imp (întrucât m işcarea se produce în t imp, după cum şi în orice t imp este pos ib i l ca ceva să se mişte), Aristote l afirma că dacă „tot ce este în m işcare poate să se m işte şi mai repede şi mai încet, atunci m işcarea se va face în orice t imp, mai repede şi mai încet" . Concluzia ari stotel ică este directă: „dacă lucruri le stau astfel, atunci trebuie să admitem că ş i tim pul trebuie să fie continuu".

46

, , P rin cont inuu eu înţe leg ceva ce este totdeauna divizib i l în d iv iz ib i le la "?finit (conexiune relevantă infinitate-continu itate, s .n . M. Ţ.) şi dacă punem la bază acest continuu, atunci este necesar ca ş i t impul să fie continuu" (Aristotel [3] cf. Becker [ 1 , p. 96]) .

Aj unşi în acest punct al anal izei făcute de Ari stote l, avem deja conturată o perspectivă care conduce la o altă problemă semn ificativă în tabloul matematic i i e l ine, cea a paradoxelor, ş i în care fi losoful grec s-a d ist ins prin contri buţi i importante înregistrate în istoria matematic i i ş i fi losofie. Problema paradoxelor, clas ică în vremea în care a trăit Aristote l , este legată de opera lui Zenon din Eleea care, vrând să apere concepţia dascălu lu i său, Parmen ide, despre unitatea întregi i exi stenţe, a procedat la o exam inare a conceptu lu i de m işcare în vederea reduceri i la absurd a acestu ia.

,,

Lu i Henri Lebesque îi aparţin memorabi lele cuvinte care invocă semnificaţia paradoxelor l u i Zenon pentru colaborarea di ntre oamen i i d e şti inţă ş i filosofi: „După primele mari progrese real izate d e teoria mul ţi m i lor, fi losofii ş i matematic ien i i au crezut că ven i se momentu l să-ş i întindă mâna peste larga prăpast ie ce- i despărţea. Dialogu l pe care l-au angajat părea să fie la început un fel de joc al cuvintelor întrerupte; se părea că, iată, încă câteva c l ipe, încă un m ic efort ş i un i i îi vor înţelege pe cei lal ţi . C ineva l-a invocat însă pe Zenon d in Eleea şi paradoxur i le lu i . Ş i atunci , la apariţ ia lu i Zenon, matematicien i i au înţeles că trebu iau să se retragă".

Argumentele l u i Zenon se înscriu într-o polem ică care are încă valoare actuală. Anal iza aristotel ică precedentă a continuităţi i şi infinităţi i îşi învederează reale valenţe expl icative în critica paradoxelor lu i Zenon. P. Costabel [ l , p. 1 1 2- 1 1 8] sistematizează, după Aristotel [3 ] , pe categori i , celebrele argumente ale lu i Zenon: 1) „Nu poţi ajunge până la capătu l unui stadion, pentru că nu poţi străbate într-un t imp finit un număr infin it de puncte. Înainte de a străbate d istanţa întreagă eşti nevoit să străbaţi jumătate din ea, şi înainte de a parcurge prima jumătate trebuie să parcurgi jumătate d in ea. Şi aşa mai departe, până la infinit . Şi fi indcă în orice spaţiu dat există un număr infinit de puncte, nu poţi străbate într-un

47

interval fin it, unul după altu l , un număr infin it de puncte; 2) Al doi lea argument poate fi enunţat cum urmează: „Plecând în urmărirea unei broaşte ţestoase, Ah i le n-o va întrece n iciodată. El trebuie să ajungă mai întâi la locul de unde a plecat broasca. Dar, în t impul acesta ea va continua să înainteze. Ahile va trebu i să parcurgă şi această d in urmă distanţă, iar broasca va profita de t imp ca să mai facă o bucăţică de drum. Ahi le se va apropia mereu de broască, dar n-o va aj unge n ic iodată" .

Ambele argumente aparţ in acele iaş i categori i ş i se referă la problema dacă o di stanţă poate fi străbătută fie printr-o m işcare absolută, fi e pr i ntr-o m i şcare re l at ivă . Zenon s pecu l ează asupra ipoteze i adversaru lu i , după care orice dep lasare se compune d in e lemente succesive şi distincte, avert izând că această ipoteză conduce la rezultate absurde. Apl icarea imprudentă a acestei ipoteze rezidă în aserţiunea, după care, distanţa este d iv iz ibi lă la infinit, adică este alcătu ită d intr-un număr infinit de elemente, în t imp ce, duratele corespunzătoare, observă P. Costabel [ I ] , sunt concepute ca având o mărime măsurabi lă. Ari stotel a înţeles intenţia raţ ionamentulu i l u i Zenon ş i , în rep l ică, acceptând-o, î i dă dreptate parţ ial , ca în final să i ndice propria sa opinie care face ca absurditatea la care conduce argumentu l lui Zenon, să intre în „disoluţie": „Fără îndoială, dacă ne referim la o cantitate infin ită de elemente, nu este pos ib i lă atingerea e i într-un t imp fin it, dar dacă ne referim la un număr infinit de divizări , atunci imposib i l itatea d ispare, căc i în acest caz, şi t impul este infinit". Pe scurt, absurditatea, la care conduc argumentele lu i Zenon, se datorează faptulu i că ipoteza compoziţ iei d intr-un număr infinit de elemente este apl icată numai spaţiului , dar nu şi timpului . Dacă ipoteza este apl icată atâţt spaţiu lu i , cât ş i t impului , legate prin aceeaşi structură, aporia este evitată.

Expunem celelalte două argumente: 3 ) „Săgeata care zboară este în stare de repaos când ocupă un spaţiu egal cu ea însăşi ş i dacă ceea ce zboară ocupă totdeauna ş i în orice moment un spaţiu egal cu e l însuşi, lucrul acela nu se poate mişca". Aristotel [3] demonstrează ş i acest s i logism al lui Zenon, care foloseşte asumpţia că t impu l este compus din părţi indivizib i le care nu mai permit să d istingem între „instantaneu" şi „durata

4 8

' l 1 · 1 1 1 c 1 1 tară". Această concepţie acreditează ideea că „fiecăru i moment i. 1 1 rnrL:spunde atât o poziţie spaţială a obiectu lui mobi l , cât şi o „bucată i i 1 1 1 1 1 1 i�care" (P. Costabel [ I ] , p. 1 1 4) . Aceste observaţ i i datorate autorulu i I 1 ; 1 1 1cez sunt consecinţe a le textului aristotel ic : „E consecinţa presupuneri i

' . 1 I impui este compus din momente. Dacă respingem această ipoteză, „ i logismul cade". 4) „Cel de-al patrulea argument, spune Aristotel, se referă l . 1 1 1 1 ase (puncte materiale indivizibi le) care se mişcă pe stadion în ş iruri 1 · 1 •,a le, paralele şi de sens invers, unele plecând de la capetele stadionului , 1 ; 1 r a l tele de la m ij loc şi având toate o v iteză egală. Pretinsa consecinţă ar I î aceea că jumătatea t impulu i este egală cu dublul ei". Argumentele 3) şi · I ) au comun in troducerea m işcăr i i re l at ive . Conform concepţ ie i p i tagoricieni lor, l in i i le sunt reprezentate a ic i prin ş iruri de elemente, o reprezentare care în cazul argumentului 4) explicitează pentru spaţiu ipoteza c lementelor indivizibi le, oferindu-ne o imagine a absurdităţi i generate de ideea structurii corpusculare a spaţiu lu i . Comentariu l l u i P. Costabel expl ic itează consecinţele unei asemenea asumpţi i care a funcţionat ca o prejudecată: „Măsurarea t im pu lu i prin număru l un ităţ i lor de spaţiu străbătute (consecinţa directă a ipotezei unei compoziţi i di screte comune) conduce în acelaşi caz la concluzia absurdă că unu este egal cu doi, concluzie la care, de altfel, ducea în fond şi al trei lea argument. «Grăuntele» de timp, cons iderat concomitent drept «moment>> şi «durata elementară>>, ar urm a să fie, în acelaşi tim p, şi unu şi doi . Morala paradoxurilor lu i Zenon este aceasta: m işcarea impune ca spaţiu l şi t impul să aibă aceeaşi structură şi anume, de continuu divizibi l la infinit, conceptele subl in iate având rol central acreditat de aceste antinom i i .

Proporţiile (teoria proporţiilor) erau cunoscute încă din epoca preelenă a matematic i i , fi ind folosite în consideraţ i i despre tr iunghi uri asemenea. Babilon ien i i posedau chiar noţiunea de raport în general . (Cf. Iambl ichos [ I ] (apud. O Becker [ 1 , p. 1 O 1 ] ), „proporţ ia perfectă ar aparţine babi lon ien i lor ş i ar fi aj uns la greci mai întâi prin Pitagora. Se mai ştie că mu lţi p itagoreic i au făcut uz de ea, caAristaios din Crotona, Timaios din Locra, Philolaos, Archytas din Tarent ş i mu lţi alţi i , apoi Platon în „Timaios".

49

Pitagore ic i i cunoşteau în secolu l al V- lea trei fe luri de med i i proporţionale şi proporţi i le corespunzătoare, fapt atestat de une le fragmente ale lu i Archytas : „Există tre i medi i proporţionale în muzică: mai întâi cea aritmetică, apo i cea geometrică, în al trei lea rând, cea reciprocă care se numeşte armonică. Media aritmetică este cea în care între cei trei termeni numerici d in proporţie există următoarea diferenţă: cu cât depăşeşte primul termen pe al doi lea, cu atât depăşeşte al doi lea pe al trei lea. Şi la această proporţ ie se întâmplă că raportu l termeni lor numerici mai mari este mai m ic, iar al celor mai m ic i este mai mare . Medie geometrică avem atunci când primu l termen este faţă de al doi lea, aşa cum al doi lea termen este faţă de al trei lea. Termeni i mai mari sunt în acelaşi raport ca cei mai m ic i . Proporţie reciprocă (care se numeşte armonică) avem dacă termeni i se compară astfel : cu a câta parte a mărim i i propri i depăşeşte pr imul termen pe al doi l ea, cu aceeaşi parte din a l tre i lea termen depăşeşte termenu l med iu pe a l tre i l ea . La această proporţie, raportul termeni lor mai mari este mai mare, raportul termeni lor mai m ic i este mai m ic". (Pasaje asemănătoare găsim în Platon [2] , [3 ] . Metoda babi lonică folosea aceste medii în aproximarea rădăc inii pătrate.

Luăm două numere - a, b - media lor geometrică este fiili. Vom avea

Jb dacă a = 1 ; med ia aritmetică a acestor numere a, b este _!_ (a + b) ş i 2

este mai mare decât J;b , iar med ia lor annonică 2ab: (a+b) este mai

m i că decât M. Obţinem med i a arm on ică dacă pătratu l med ie i

geometrice, ad ică ab se div ide prin media aritmet ică _!_ (a + b) procedeu 2

folosit în aproximarea rădăcini i pătrate . „Căci media geometrică între a şi b şi media geometrică între media lor armon ică şi aritmetică este acelaşi număr şi astfel prin repetarea continuă a procesului de inserare a celorlalte două medi i se poate aproxima la infinit media geometr ică, în particu lar rădăcina pătrată. Această inserare dă proporţia „muzicală" sau „perfectă:

50

a : 2ab

= a + b

: b de ex. 1 : ± = � : 2[ a = 1, b = 2] a + b 2 3 2

(O. Becker [ 1 , p. 1 00]) . Dar, dacă teoria proporţi i lor geometrice a fost iniţial aplicată în

mod naiv la orice, odată cu Euclid dispunem de o fundamentare riguroasă şi pentru numere le întregi. În ,,F,lementele", Cartea a VII-a, Euc l id formulează o definiţie (definiţia 20) fundamentală: „Numerele sunt proporţionale dacă primul număr este faţă de al doilea număr un mu ltip lu de un număr egal de ori sau este aceeaşi parte sau aceeaşi mulţime de părţi, aşa cum al treilea număr este faţă de al patru lea" .

Referiri la domeniu l rapoarte lor raţionale (în numere întregi) găsim în P laton şi Aristote l . P laton [ 4] descrie limita astfe l : „Oare nu vom socoti noi pe bună dreptate ca ţinând de limită lucru l care nu e un suport pentru infinit, ci închide în sine, toate contrariile - mai întâi egalul ş i egalitatea, după egal dublul ş i tot ce se comportă ca număr faţă de număr sau măsură faţă de măsură?". Infin itu l este descris de Platon în aceeaşi lucrare ca „mai mu lt sau mai puţin", ceva care nu adm ite ca un lucru particu lar să fie un „cât"; infin itu l este în mişcare, câtu l în repaos .

Aristote l [2] scrie: „Relativ" („faţă de ceva") se spune într-un sens că este ca jumătatea faţă de dublu şi tr iplul faţă de a treia parte şi, în genere, multiplu l faţă de cutare parte, ca şi ceea ce depăşeşte faţă de depăşit. . . În acest prim sens, avem în vedere relaţia (raportu l) după număr, fie în mod nedeterm inat („doar aşa"), fie în mod determinat, în raport cu număru l sau cu unitatea. Astfel, raportu l d intre dublu şi unitate (2: 1 ) reprezintă un anumit n umăr, raportul d intre număr şi un itate (n: I ) reprezintă un număr nedeterminat (cutare) (n). Raportu l dintre unu şi

jumătate şi două treimi d in e l (% : I) este un raport determ inat între

numere (3 : 2) ; raportu l dintre I + _.!_ şi I este un raport numeric n

nedeterminat (n+ 1 : n), întocmai ca raportul dintre mu ltiplu şi unitate (n :

5 1

1 ). Relaţia d intre ceea ce depăşeşte şi ceea ce este depăş it este complet nedeterm inată ca număr; căci numerele sunt între ele comensurabi le, dar ace l raport este incomensurabi l ca număr. Ceea ce prisoseşte este tot atât cât ş i l i pseşte ş i încă ceva mai mu lt; însă, acest ceva nu este determ inat . Toate aceste re laţi i sunt enunţate şi ca valori numerice şi ca proprietăţi" .

Textele platonic iene ş i aristote l ic iene dovedesc cu prisosinţă că referiri le sunt făcute la rapoartele raţionale, cons iderate determ inate, numeric şi cant itat iv. Descoperirea incomensurabilităţii l aturi i cu d iagona la pătratu l u i ş i po l i gonu l u i regu lat va prod uce o «criză fundaţională» în matematică, infirmând concepţia p itagoreică conform căreia număru l face „totul cognoscibil", o cred inţă afirmată în special de Ph i lolaos. Informaţi i le pe care le expunem în continuare Ie datorăm comentari i l or lu i O. Becker [ 1 , p. 1 03- 1 1 O]) .

D ificu l tăţi le indezirabi le pri l eju i te de acest fenomen au fost manevrate prin două proceduri : prin prima s-a încercat ev itarea în general a proporţi i lor în consideraţi i le geometrice, prin înlocuirea lor prin egal ităţi de ari i , ştiut fi ind că a:b = c:d este echivalentă cu ecuaţia produselor ad = bc; aceasta exprimă echivalenţa dreptunghiuri lor cu laturi le a, d, respect iv b, c. Demonstraţia dată de Eucl id teoremei l u i P itagora în „Elemente" I , 47 este o i lustrare e locventă a acestei proceduri. Cea de-a doua procedură a v izat e laborarea unei teori i a proporţ i i lor, valab i lă pentru numere raţionale, dar ş i numere iraţionale, teoria c las ică aparţinând lui Eudoxos în secolu l al IV- iea î.e .n . Însă, încă în secolu l al V- lea, o teorie în domeniu caracteriza ega l itatea a două rapoarte prin aşa-num ita antanairesis sau anthyphairesis, conform lucrări i lui van der Waerden [ 1 , p . 208, 288] şi N. Bourbaki [ 1 , p. 1 1 O] , pentru determinarea celei mai mari măsuri comune a două măr imi comensurabi le se scade cea mai m ică d in cea mai mare, apo i se scade cea care a rămas mai m ică din cea mai mare şi se continuă până rămân două mărimi egale care constitu ie măsura comună. Procedeu l este cunoscut în teoria e lementară

a numere l or sub numele „procedeul împărţirilor succes ive" sau „algoritmul lui Euclid'' ş i a fost enunţat pentru numere în Cartea

5 2

; 1 V I I -a ( I , 2), i ar pentru mărimi în Cartea a X-a (2, 3 ) din „Elemente" în , ·cderea construcţiei cel u i mai mare d iv izor comun şi celei mai mari 1 1 1 ăsuri comune. Forma este a dezvoltăr i i unui raport în fracţie continuă u 1 numărători i I , iar raportu l este raţional sau iraţional, după cum această dezvoltare este finită sau infinită.

Înaintea formei aritmetice a procedeului din „Elemente" (VI I, 1 , 2 ), Theodoros din Cirene (::::; 43 0 î .e .n . ) a demonstrat i raţional i tatea rădăcinilor păstrate d in 3, 5, 7, . . „ 1 7 pentru fiecare caz în parte, lucru consemnat şi în P laton [5, 1 4 7 d] , o demonstraţie inuti lă, dacă el ar fi cunoscut teoria numerelor d in „Elemente". Form a c lasică a teor ie i generale a proporţi i lor a dat-o Eudoxos, matematic ian contem poran cu P laton . Teoria antifairet ică a proporţ i i lor („procedeu l de îm părţiri succesive") era valabi lă universal numai cu privire la rapoarte de orice fe l , raţionale sau i raţionale, dar cu priv ire la obiecte le matem atice ( n u m ere , d repte , s u prafeţe , c o r p u r i , t i m p u r i e tc . ) î nvedera o inapl icab i l itate, căci cerea demonstraţi i separate pentru fiecare gen de asemenea entităţ i . Eudoxos construieşte o teorie în care acest aspect nu mai are relevanţă, căci se apl i că la mărimi în genere, singura cond iţie sat i sfăcută fiind cea stipulată în axioma măsuri i , u l terior num ită ş i „axioma arhimedică a măsurii" . Contribuţia l u i Eudoxos este comentată de Ari stote l [ 1 , p. 7] cum urmează : „Mai înainte se obişnu ia să se demonstreze permutab i l i tatea mezi lor unei proporţii separat pentru numere, drepte, solide, intervale de t imp, deşi acest lucru se poate dovedi printr-o s ingură dem onstraţie pentru toate. Însă, pentru că toate acestea, adică numere, lungimi , intervale de t imp şi so l ide nu aveau o denumire un itară, iar după forma lor specifică se deosebesc unele de altele, e le au fost tratate fiecare separat. Acum, însă, demonstraţia este efectuată în general; căci e le nu posedă acea proprietate ca lungimea sau numere, c i întrucât e le posedă o determinare pe care no i o cons iderăm ca universală".

Heath [ I ] expune teoria lu i Eudoxos� noi reţinem aic i numai pr imele trei defin i ţi i ş i menţionăm că sunt enunţate ş i demonstrate 22 propoziţ i i . Prima defin i ţ ie având sem n ificaţ ia axiomei arh imed ice a m ăsur i i spune: „două mărim i au un raport între e le, dacă înmul ţite una

53

poate întrece în mărime pe cealaltă"; a doua defin iţie afirmă: „mărimi le se află în acelaşi raport, pr ima faţă de a doua ş i a tre ia faţă de-a patra, dacă mu ltip l i i egal i ai primei şi ai celei de-a tre ia în ace laşi t imp sau întrec în mărime, respectiv mu lt ip l i i egal i a i celei de-a doua şi a celei de-a patra, pentru orice mu lt ip lu , sau sunt ega l i sau mai m ic i , l uaţi în ord inea corespunzătoare"; i ar a tre ia defin iţ ie : „Dacă între mu lt ip l i i ega l i (menţionaţi î n definiţia anterioară) multip lu l primei mărimi întrece în mărime mult ip lu l celei de-a doua şi dacă mu lti p l u l mărim i i a tre ia nu întrece în mărime m u lt ip lu l ce le i de- a patra mărimi , atunc i prima mărime către a doua are un raport mai mare decât a tre ia către a patra". (Expunerea lui Heath urmează „Elementele" l u i Euc l id) .

Euclid: Axiomatica geometriei. Lui Hipocrat din Ch ios i se atribuie primele „Elemente", ulterior s-au înscris în aceeaş i direcţie lucrări le lu i Leon şi Theudios d in epoca lu i Platon, opera acestuia din urmă constitu ind baza predări i matematici i în academia platon ică şi u lterior în şcoala peripatetică. Dar documente păstrate avem numai despre „Elementele" lu i Eucl id, opera c lasică, cu o circulaţie largă, a doua după „Biblie". Construcţia axiomatică a geometriei d in „Elemente" are tre i ingred ienţi esenţial i : definiţii, axiome şi postulate, pe care le prezentăm în cele ce urmează după O. Becker [ 1 , p . 1 1 1 - 1 1 3 ] .

Definiţii

1 . Punctul este ceea ce nu are părţ i . 2. Linia este o lungime faţă l ăţime. 3. Extremităţi le unei l in i i sunt puncte. 4 . O l in ie dreaptă (o dreaptă) este aceea care faţă de punctele de pe

ea este la fel s ituată. 5 . O suprafaţă este ceea ce are numai lungime şi lăţime. 6. Extrem ităţi le unei suprafeţe sunt l i n i i . 7 . O suprafaţă plană este aceea care faţă de drepte le de pe ea este

la fel s ituată. 8. Un unghi plan este încl inarea a două l i n i i într-un plan una faţă

de alta, care se întâlnesc fără să fie s ituate pe aceeaşi dreaptă.

54

9. Dacă l in i i le care cuprind între ele unghiu l sunt drepte se numeşte

, ., ·1 ·1 i lin iu.

1 O. Dacă o l in ie dreaptă, ridi cată pe altă l in ie dreaptă, formează

1 1 1 1 preună unghiuri alăturate egale, atunci fiecare din aceste unghiuri egale

L'slc un unghi drept; şi l in ia dreaptă rid icată se numeşte perpendiculară

I le aceea pe care stă.

1 1 . Obtuz se numeşte u ngh i u l care este mai mare decât un

unghi drept.

1 2 . Ascuţit, dacă este mai m ic decât un unghi drept.

1 3 . Margine este ceva unde se termină.

1 4 . O figură este ceva ce este cuprins de una sau mai mu lte margin i .

1 5 . Cercul este o figură p lană, cuprinsă de o singură l in ie numită

c i rcumferinţă (arc), care are proprietatea ca toate dreptele duse de la un punct s ituat înăuntru figuri i până la l in ie (circumferinţa cerculu i) sunt

egale între ele.

1 6 . Şi centrul cercu lu i se numeşte acel punct .

1 7 . Diametrul cercu lu i este orice dreaptă dusă prin centru l mărginit

de ambele părţi de c i rcumferinţă; această dreaptă are proprietatea că

împarte în două părţi egale cercu l .

1 8 . Semicerc este figura mărgin ită d e diametru ş i d e arcul tăiat de d iametru (şi centru l la sem icerc este acelaşi punct ca şi la semicerc).

1 9. (20-23 ). Figuri rectilinii sunt acelea care sunt mărgin ite de

drepte; trilaterale, de tre i drepte; patrulatere , de patru drepte ;

multilaterale, de mai mu lt de patru drepte.

20. (24-26). Dintre figuri le tri laterale, triunghiul echilateral este

figura cu tre i laturi egale :

triunghiul isoscel este figura cu numai doupă laturi egale; triunghiul

scalen este figura cu tre i laturi neegale.

2 1 . (27-29). Mai departe, d intre figuri le tr i laterale, triunghiul

dreptunghic este figura cu un unghi drept; triunghiul obtuzunghie are un

ungh i obtuz; triunghiul ascuţitunghic are tre i ungh iuri ascuţite.

5 5

22. (3 0-3 4). Dintre figuri le patru latere, pătratul este figura care este ech i laterală şi dreptungh iu lară;

dreptunghiul este figura care are unghiuri le drepte, dar nu este

ech i laterală; rombul este figura care este echi laterală, dar nu are unghiuri drepte; romboidul este figura în care laturi le opuse, ca şi unghiuri le (opuse),

sunt egale între ele ş i care nu este echi laterală, n ic i dreptunghică. Celelalte figuri patru latere se numesc trapeze.

23 . (3 5 ) . Paralele sunt l i n i i l e drepte care sunt s ituate în acelaşi plan ş i care, dacă sunt pre lungite în am bele părţi la infinit, nu se întâlnesc

în mcmna.

Postulate

Se cere : 1 . Să se poată duce de la orice punct o dreaptă la orice

. punct.

2 . Să se poată prelungi în continuare orice l in ie dreaptă, l imitată tot printr-o l in ie dreaptă.

3 . Să se poată descrie un cerc din orice centru şi cu orice distanţă. 4 . (Axioma 1 O). Ca toate ungh iuri le drepte să fie egale între e le. 5. (Axioma 1 1 ) . Dacă o l in ie dreaptă tăind două l in i i drepte formează

unghiuri interne de aceeaşi parte mai m ic i decât două unghiuri drepte, cele două l in i i drepte prelungite la infinit să se întâlnească de acea parte în care sunt s ituate ungh iuri le mai mici decât două ungh iuri drepte.

Axiome

1 . Cele egale cu acelaşi sunt egale între ele.

2. Dacă Ia egal se adună egale, sumele (întregi ) sunt egale. 3 . Dacă din egale se scad egale, resturi le sunt egale.

4 . Cele care coincid sunt egale. 5 . Întregul este mai mare decât partea. Aceste propoziţi i se referă, în primul rând, la mărim i geometrice

(drepte, unghiuri, ari i etc.) .

5 6

2.2 . ONTOLOGIA MATEMATICII ELINE CLASICE

I . Toth [ I , p. 253] surprinde admirabi l specificul ontologiei matemat ic i i greceşti, arătând că dom inantele acesteia sunt pronunţat platon iciene, �i am adăuga şi pitagoriciene, „capturate fericit" în s intagma „refuzul creaţiei", descoperirea, mai curând, şi nu construcţia entităţi lor matematice, fi ind activitatea autentică a matematicianulu i . În lucrarea c itată, I . Toth l l ] scrie textual : „Refuzu l creaţiei caracterizează nu numai fi losofia platon ică, ci toate fi losofii le greceşti , indiferent de coloratura lor; ea iradiază cu o neobişnu ită intens itate şi din filosofia lu i Ari stote l şi constitu ie una din componentele esenţiale ale spiritu lu i elin în toate aspectele şi sub toate laturile sale. La greci nici măcar zei i nu creează, ideea creaţiei este ignorată complet de întreaga m itologie populară e l i nă. Acest refuz al creaţiei -conşt i inţa nefericită a creaţiei , contemplarea conşt ientă a actulu i creator, asociat de refuzul său conştient - izbucneşte pentru prima dată cu forţa e lementară a unu i fenomen natural în fi losofia e leată".

Poate că ce l mai izbitor fenomen al începuturi lor matematic i i greceşti 1 -a reprezentat aritmetica computaţională, prelungită în v iaţa pract ică z i ln ică în aşa-num itu l folc lor computaţional, amplu teoretizată în re laţie cu aritmet ica teoret i că de fi losofia p i tagore ică. Succesele aritmetic i i computaţionale au sugerat pos ib i l itatea în locuiri i operaţi i l or practice cu diversele mărim i materiale pri n numere ş i calcule, fapt i nterpretat ca „ invadarea ş i cucerirea oarbă a l um i i exterioare de către aritmetica computaţională". Impresia puternică a acestei s ituaţi i a condus la aserţiunea, centrală în fi losofia p i tagoreică: „lucrurile sunt numere", dev in inte l ig ib i le prin intermed iul număru lu i, încât s-a conchis că ceea ce nu poate fi exprimat prin număr rămâne in inte l igib i l , i naccesib i l pe veci cunoaşteri i (DielsKranz [ I ] ) . F i losofia p itagoreică a cons iderat că numărul reprezintă substanţa comună, princip iu l tuturor lucruri lor, şi chiar relaţi i le d intre lucruri sunt exprimab i le în raporturi d intre numere . Dacă în mod obişnuit cons iderăm că obiectul este aspectu l relevant pentru o ontologie „substanţialistă", care „ipostaziază" în man iera p laton iciană, atunc i ontologia matemat ic i i p itagoreice nu are această înfăţişare, căc i ea inc lude şi noţiunea de raport ş i teoria raporturilor.

5 7

În plan onto logic există o d iferenţă-d i st incţie între aritmetica computaţională şi cea teoretică, aceasta d in urmă refuzând, cum remarca J. Klein [ 1 , p. 45-52] , existenţa conceptu lu i de fracţie numerică drept entitate matematică, numerică; cum folclorul computaţional grecesc a consacrat uti l izarea fracţi i lor numerice, matematicien i i p itagoreic i au recurs la un „substitut" al acestora, tocmai în vederea evitări i lor, ş i aceasta au făcut-o cu aj utoru l une i ingenioase construcţi i art ificiale -raportu l - şi , prin urmare, au e laborat o teorie a rapoartelor. Putem afirma că ontologia matemat ic i i p itagoreice este suficient de complexă, lumea entităţi lor matematice nefi ind reduct ib i lă la numere, căci pe lângă acestea mai exi stă şi rapoarte. La acest n ivel de dezvoltare a matemat ic i i greceşt i anti ce, universu l matemat ic (a l obiectelor matematice) conţine două subuniversuri : subun iversul logosului (rapoartelor) şi subuniversu l numerelor, ş i care sunt, totuş i , de naturi d iferite, chiar ş i operaţi i le cu aceste două genuri de entităţi fi ind, de asemenea, d iferite, deoarece în m u l ţ i rea n u mere l or es te d i fer i tă de compunerea rapoarte lor. I ntroducerea numerelor raţionale a putut fi ev itată încă o perioadă; (excepţie face, două secole mai târziu, Arhimede care a făcut uz de calculu l cu numere fracţionare, dar numai ocazional). Tendinţa constantă a perioadei la care ne referim a fost cea a refuzări i dreptu lu i la exi stenţă a unor concepte numerice care n u respectă legi le fu ndamentale ale universu lu i de numere. Şi totuş i , aşa cum remarca I . Toth [ 1 , p . 258 ] , „teoria logosu lu i constitu ie fructu l pozitiv ce l ma i important a l unei conşt i inţe scindate de imposib i l itatea de a renunţa la numerele raţionale ş i de impos ib i l itatea de a le accepta, cel puţin de a le accepta în mod desch is". F i losofia pitagoreică afirma că oricărui raport de numere (p, q) îi putem face să corespundă un raport între două măr imi omogene, să spunem două segmente A ş i B; M fiind un itatea de măsură convenţională, se poate constru i un segment A = p .M ş i a lt segment B = q .M, caz în care avem (A,B) = (p .q); dar ş i rec iproca este adevărată, că fi i nd date două segmente A ş i B luate arbitrar, va exi sta o pereche de numere (p,q) . Exi stă, dec i, o structură izomorfă între un iversu l logosu lu i ş i un iversu l numerelor raţionale, dar aceste universuri nu sunt identice, deoarece e le

5 8

posedă naturi d iferite. Într-adevăr, re laţia d intre cei doi , „locuitori" ai 1 1 n iversu lu i matematic, număr şi raport, poate fi c larificată ş i mai convingător, dacă vom observa că „teoria pitagoreică a rapoartelor este 1 1 1 esenţă identică cu teoria actuală a c laselor de perech i de numere ordonate, perech i supuse unor regu l i formale de calcul" (I . Toth); însă, matemat ic ieni i e leni n u au dat numele de număr unei c lase de rapoarte echivalente, deoarece în viziunea lor raportu l a două numere nu se supune defin iţ ie i număru lu i . Totuş i , în lum ina teoremei de ind ivizibi l itate a monasulu i se marchează efortul de a reduce întreaga teorie a rapoarte lor la un iversul numerelor naturale, deoarece rapoarte le sunt cons iderate relaţ i i între două numere naturale şi nu entităţi matematice dist incte; legi le care guvernează universul numerelor întregi rămân re levante ş i în stud iu l un iversu lu i rapoarte lor.

,,

Subuniversuri lor de numere şi rapoarte l i se adaugă în cursul evol uţie i matematic i i antice greceşti un iversul entităţilor geometrice ale p lanu lu i , care inc lude un „intrus straniu" - numărul iraţional. Problema existenţei matematice dobândeşte treptat o mai pregnantă d imens i une geometrică, şti inţa geometrie i contribu ind la „expans iunea ontologică" a un iversu l u i de ent i tăţi matem at ice, în acest sens , teoremele de impos ib i l itate având un rol semnificant; într-adevăr, ceea ce este imposib i l în universul rapoartelor este realizabi l în domen iu l geometric a l planu lu i , deoarece fi ind date două segmente oarecare, de exemplu l 2 ş i 6, se poate constru i , cu aj utoru l r iglei şi al compasulu i , într-un număr finit de paş i , segmentul X care reprezintă med ia lor geometrică, num ită aşa pentru că nu este rea l izată cu operaţ i i aritmetice, ci geometr ice; media aritmetică

A = _!_ (M + N), iar cea armonică H = 2.M.N./(M+N), (I Toth [ l , p. 26 1 ]) . 2

Aceste teoreme de non-existenţă au în plan efectu l c las i ficări i segmentelor planu lu i în două clase d isjuncte, ambele având statut de existenţă, cu d iferenţa că unor argumente li se poate asocia un raport, logos, în t imp ce altora nu, ad ică nu au raţie, sunt alogos, ad ică l ips ite de raţie ( iraţionale) .

59

Un excelent comentariu al relaţiei dintre un iversu l logosu lu i şi un iversul segmentelor din plan, din contactul acestor universuri rezultând conceptu l de segment iraţional găs im în cartea l u i I . Toth [ 1 , p. 262-263 ] : „Teorema de imposib i l itate rămâne închisă în interiorul un iversului logosulu i , ca o lege pur interioară a acestu ia. Teorema de impos ib i l itate d in domeni u l universu lu i logosu l u i nu constitu ie o demonstraţie de exi stenţă a segmente lor i ncomens urab i l e . . . în epoca l u i Arch itas, incomensurabi l itatea era încă necunoscută, contestând astfel valabi l itatea mărturi i l or care atribuie descoperirea incomensurabi le lor pitagoreici lor de la mij locul seco lu lu i al V- lea (cu j umătate de seco l înai ntea lu i Arch itas). Dar, la Platon [2] , [ 3 ] , e lev ş i contemporan ma i tânăr al lu i Architas, apare de acum, în mod evident, cunoaşterea preci să şi c lară a faptu lu i că ceea ce este impos ib i l în domen iul rapoarte lor - construi rea mediei geometrice care descompune octava în două consonanţe omonime - este pos ib i l în p lan, prin construcţi i l e spec ifice p lanu lu i" . I . Toth aprec iază ca un fapt surprinzător că Architas nu a sesizat conexiunea di ntre constru irea medie i geometrice ş i teorema de i m pos i b i l itate . Descoperirea segmentelor care nu se pot expr ima cu aj utorul logosulu i a două numere, de exemplu, cazul mediei geometrice a segmentelor 2 ş i 1 , semnifică o reducere la absurd a fi losofiei pitagore ice şi probabi l de a ic i tend inţa de ignorare a specificulu i acestor segmente, a importanţei lor pentru matemat ică . Onto log ia matemat i c i i greceşt i ant ice e incompatib i lă cu creaţia, ori numărul iraţional este o entitate care nu se conforma princip i i lor aceste i teor i i a existenţe i . Expl ic itarea acestei entităţi matematice cu aj utorul defi n iţiei date de Dedekind (cu aj utorul „tăieturilor" Dedekind) ev idenţiază faptul că geneza ei a antrenat o metamorfoză a non-existenţei în existenţă, „o creaţie săvârşită de Spirit" (I. Toth [ l , p . 1 1 6] ) .

Incomensurabilitatea a subminat „intuiţionismul aritmetic" integral, propriu fi losofiei pitagoreice: care considera fundamentale intu iţia primară a numărului natural şi operaţi i le finite cu acesta. Acum „intuiţia primară a dreptei indefinit divizib ile" stă l a baza matem at ic i i , finitismul

constructivist rămâne şi în no i le cond iţ i i fundamentu l fi losofi e a l

60

1 1 1 atematici i el ine. „Există segmente incomensurabi le inexprimab i le cu ; 1j u torul l ogosu l u i a două n umere, dar aceste segmente sunt toate rnnstruct ib i le în plan cu ajutorul riglei ş i al compasu lu i , apl icate de un număr fin it de ori . . . , cu alte cuvinte, în acest univers p itagoreic au exi stat 1 1umai acele segmente care pot fi construite cu ajutorul următoarelor operaţi i geometrice: îm părţirea segmentu lu i unitar într-un număr finit de q părţi egale şi l ipirea cap la cap a unu i număr, de asemena fin it, de p asemenea părţi" (I. Toth [ 1 , p. 286]) . Dacă fi losofia pitagore ică fonnula ca a.xiomă -

criteriul de existenţă - fiecărei perechi arbitrare de segmente îi corespunde un logos a două numere întregi, acum noua matematică el ină sub impactul descoperir i i segmentelor incomensurabi le, pentru a le accepta ca entităţi legitime în ontologia, ext insă, fonnulează ca a.xiomă de existenţă: au exi stenţă numai acele segmente, raţionale sau ifaţionale, care pot fi construite în manierăfinitistă, într-un număr finit de paşi cu ajutorul riglei şi compasu lui , plecând de la segmentu l unitar convenţional considerat.

Matematica el ină s-a identificat în p lan onto logic cu fi losofia platonic iană a idei lor, în sensul că obiecte le matematice preexistă raţiun i i umane ş i nu sunt introduse pe calea unu i act creator care rezidă, cum spune I . Toth [ l , p. 303] , într-o operaţie „prin intennediul i nfin itu lu i în act, care consta mereu în transformarea non-exi stenţei în exi stenţă". Intuiţionismul vechi lor greci în sfera matematic i i s-a manifestat prin constructivism ş i.finitism .

În ontologia matematic i i el ine infinitul actual nu are legitim itate, el poate fi înlocuit prin infinitul potenţial, care este

finitul nedeterminat, arbitrar de mare sau de mic. Ori, modalitatea indicată de Zenon pentru definirea lungim i i constitu ie un infinit în act, ca ş i defin i rea lung im i i d iagona le i pătratu l u i cu aj utoru l unu i a lgoritm eucl idi an infin it, ceea ce generează paradoxu l ; o cale ce poate fi evitată în practica matemat ică.

Ax ioma care leg i t i m ează onto log ia ent i tăţ i lor matemat ice recunoaşte ca exi stenţă efectivă numai ceea ce este raţional, ad ică ceea ce poate fi exprimat. într-un di scurs efectiv construct ibi l , o concepţie care reduce «aporia Ahile» la cea a Di hotom ie i . Deci , a exi sta poate fi defin i t într- un d i scurs fi n i t, iar pentru a fi defin i t nu este necesară

6 1

succes iunea infin i tă, nesfârş ită . Aristote l [3] credea în pos ib i l itatea reduceri i aporiei Ahile la cazu l Dihotom iei . F i losoful Aristote l era conv ins că exi stă o demarcaţie netă între infinitul în potenţă şi infinitul

În act, distincţie ce pennite evitarea paradoxulu i nu numai în matematică, ci ş i în universul gândiri i . De acord cu Zenon, Stagiritul afirmă că infin itul în act conţine contradicţi i . Spre deosebire de Zenon, Ari stote l crede că m işcarea poate fi descri să fără a recurge la i nfin itu l în act, prin apel numai la fin itu l arbitrar de mare. Evitat în cazuri part iculare, infin itu l actual nu poate fi e l im inat d in universul gândiri i , infin itu l în act este acceptat odată cu ideea m işcăr i i de-a lungul unei traiector i i continue .

2.3. DIALECTICA G REACĂ ŞI AXIOMATICĂ

Cuvântu l „dialectica" a avut înţe lesuri diferite în diferite perioade ale fi losofie i . La început „dialectică" desemna metoda de argumentare proprie metafizic i i şi este derivat d in verbul „a discuta". Aristote l [ 4] considera prem isa dialecti că ca una aleasă de unul din part ic ipanţi i la d iscuţie . Platon [5 ] postulează teza: cunoaşterea este percepere, din care Socrate trage concluzia ce- l determ ină pe Teetet să părăsească această teză� de fapt, d ialoguri le p laton ic iene excelează în apelu l la această metodă, care procedează la exam inarea i poteze lor pr in der ivarea· consec inţe lor d in e le, aproximativ după schema: „dacă P, atunci Q; dar

nu Q, deci nu P", model t ip ic de argumentare pentru resp ingere folosit de Socrate împotriva op in i i lor necritice susţinute, în dezbatere, d i scuţie, de contemporani , dar ş i în raţionamentele metafizice prin reductio ad

impossibile de către Zenon d in Eleea. De fapt Zernon (vezi şi P laton [ 1 ] ) este considerat inventatorul dia lectici i , el însuşi influenţat de folosirea

ei în matematica pitagoreică; în fapt, incomensurabi l itatea d iagonalei

cu latura pătratu lu i (respectiv i raţional itatea lui J2 ) a fost o descoperire a p i tagore i lor, iar demonstraţ ia propozi ţ ie i respect ive se face pr in „Înaintarea la imposibil".

62

Aşadar, primul înţeles al termenulu i „dialectică" a fost reductio wl impossibile în metafizică. Spre deosebire de vers iunea l u i Zenon, nu este obl igatoriu ca d in ipoteze să fie trase consecinţe autocontrad ictori i , c i numai false. Astfel , P laton [ 6] susţine că orice resp ingere a ipoteze lor trebu ie să procedeze prin deducerea unor consecinţe autocontrad ictori i , dar nu este obl igatoriu ca toate argumentele să respecte această schemă. P laton [7] va înţe lege prin d ialectică o metodă de argumentare ce impl ică respingerea, dar care conduce în cele din urmă la rezultate pozitive de mare general i tate . . . interpretarea pasaje lor în cauză este extrem de controversată (W. ş i M. Kneale [ 1, p. 1 8] ) . Mai târziu, constată aceiaş i autori, P laton [8] , [ 4 ] , [9] , [ 1 O] transferă numele de d ialectică asupra metodei d iv iziun i i şi reun iri i .

,0

General izarea sensu lu i termenu lu i d ialectică aparţine lu i Aristotel - numele şti inţei argumentări i din premise, mergând până la cuprinderea cercetări i raţionamentu lu i val id, în genera l .

Transformarea matematici i empirice şi practice în şti i nţă deductivă, bazată pe definiţ i i şi axiome, este un fenomen care a avut loc în Grecia ant ică ş i constituie un capito l de seamă în istoria matematic i i . Orientul antic nu a cunoscut conceptul de ştiinţă deductivă, în consecinţă nu se opera cu teoreme şi demonstraţi i, în fapt conceptele de deducţie, definiţie, axiomă nefi ind constitu ite.

Matematicien i i e l i n i sunt prim i i care fo losesc aceste concepte, e i nemaifi ind satisfăcuţi de cunoaşterea matematică practică, em pir ică; în v iziunea lor, matematica nu trebu ie concepută ca o

'colecţie de prescripţi i

matematice, ci ca o şt i inţă, teorie deductivă. Cunoştinţe le matematice achiziţ ionate sunt legit imate în noua concepţie prin invocarea de raţiuni teoret ice, ceea ce semnifică o schimbare de criteriu al adevăru lu i , o tranziţie de la justificarea prin pract ică la cea teoretică; această mutaţie în câmpul matematic i i , cu impl i caţi i şi rezonanţe ep istemologice ş i metodologice, a fost apreciată ca fiind în mare măsură datorată impactulu i fi losofiei , în speţă a l d ia lectici i e leate asupra acestei şti inţe . Matematica datorează enorm adaptări i d i a lect ic i i e l eate l a genul de cunoaştere practicat de această şt i inţă. A. Szabo [ 1 ] a făcut un expozeu interesant

63

asupra conexiuni lor istorice dintre fi losofie şi axiomatică, invocând în spec ial re laţia dintre dialectica e leată şi axiomatica lui Euc l id . Teza centrală a expuneri i sale este următoarea: „«princ ip i i le» matematice ale lui Eucl id au fost o adaptare a « ipotezelor» dialectic i i , iar demonstraţia indirectă, uti l izată frecvent în textele matematice, îş i are originea în dialectică" .

El a re levat, în acest context, că maturitatea matematic i i marcată prin trecerea de la „j ustificarea prin pract ică sau experienţă" - proprie începuturi lor matematici i , chiar demonstraţ i i le matematice ale lu i Thales erau foarte aproape de un caracter empirico- intu itiv - la „j ustificarea prin raţiuni teoretice", precum şi organizarea ei deductiv-axiomatică a as imi lat o putern ică influenţă a fi losofiei greceşti antice, îndeosebi a dialectic i i e leate. Matematica a împrumutat de la d ialectică (în primul rând, cea e leată) term inologia şi metodele (demonstraţ i i le indirecte) ; în fapt, principiile matematice : defin iţi i , postul ate, noţiuni comune sau axiome sunt echivalentul term inologic al ipotezelor asumate de parteneri i „dezbaterii dialectice". Opinia lu i P. Bernays [ 1 ] este contrară, susţinând că trebuie separată tenninologia de metode, deoarece prima este variabi lă, ceea ce nu poate expl ica cum metodele geometri lor au fost aceleaşi ca ale fi losofi lor, numai în virtutea tenninologiei adoptate de la aceştia din u rmă . Dar, A. S zabo [2] în re p l i că, a arătat că ş i „ d i s t i nc ţ i a epistemologică" dintre cele tre i t ipuri de asumpţi i in iţiale - definiţ i i , postu late şi noţiuni comune - care fondează „Elementele" lu i Eucl id -poate fi conturată suficient de clar d in perspectiva dialectic i i e leate . După cum se ştie, demonstraţia indirectă a fost de importanţă centrală, având rolu l unui instrument de ,justificare teoretică" a tezelor pe care l e promovau, relevând contradicţi i le prezente î n propoziţi i le opuse tezelor e leatice. În consecinţă, A. Szabo [ 1 , p . 24] scrie expres: „Ş i acum deoarece întreaga tenninologie şi metoda demonstraţiei i ndirecte în matematică sunt exact identice cu term inologia şi metoda demonstraţ iei i ndirecte d in d ia lect ica e leată, no i putem cu greu rez i sta argum entul u i că dezvo ltarea matemat ic i i deductive are să fie exp l i cată în term en i i influenţei fi losofiei eleate".

64

Referitor la analogia de term inologie exi stentă între uti l i zarea l "i losofică şi cea matematică, Proclus [ I , p. 1 23] scrie: „Deoarece noi ; 1 ri rmăm că această şt i i n ţă, geom etr ia , se bazează pe i poteze ş i demonstrează consecinţe le deduse d i n anumite princ ip i i - căci numai o � t i inţă este fără ipoteze, celelalte însă primesc princ ip i i le lor de la aceasta - atunci autorul unei cărţi e lementare de geometrie trebu ie neapărat să expună separat principi i l e şti inţe i , dar trebuie să j ustifice conseci nţe le deduse din princip i i . Căci , n ici o şt i i nţă nu-şi demonstrează propri i le sale principi i şi nu le pune în discuţie".

Matematica pleacă de la princ ip i i (01wn:c;1c;) care sunt de tre i tipuri : defin i ţi i , postu late, axiome, admise fără demonstraţie şi d in care deduce teoreme, de aceea ea este cons iderată o „ştiinţă ipotetică". Atunci apar, în mod normal, remarcă A. Szabo [ l ] , următoarefe chest iun i : 1 ) cum au ştiut matematicien i i d in Grecia Antică că şti i nţa lor este una ipotetică şi că ei trebu ie să p lece de la enunţuri care nu trebu ie să fie demonstrate? 2) cum „au descoperit" ei care sunt acele „enunţuri prime" privi legiate care nu trebu ie demonstrate? Infl uenţa fi losofiei asupra matematic i i ne apare acum d irect re levantă. Socrate ( cf. P laton [7]) pare să răspundă la prima întrebare, atunci când spune că matematicianul ia conceptele sale „egal", „par", ,figuri", „unghiuri" ca bază, punct de p lecare în invest igaţie ş i nu se s imte constrâns să l e exp l ice, adică pleacă de la princ ip i i - concepte le menţionate, ca ş i a l te concepte matematice, formând ceea ce numim „ ipotezel e" matematici i . Trebu ie operată o d istincţie priv ind semnificaţia termenu lu i „ipoteză", căci semn ificaţia originară a lui 07ton:c;1c; era diferită de cea asumată de moderni în cuvântul ipoteză (azi desemnând o teorie ce urmează să fie confirmată) . Grec i i vechi înţelegeau prin ipoteză, baza sau punctul de plecare într-o dezbatere asupra căru ia part ic i panţ i i la conversaţie, d iscuţ ie, cădeau de acord . Răspunsul l a a doua întrebare pare sugerat de practica d ia lectic i i (conversaţ ie desfăşurată după u n anumi t m o d d e argumentare ş i demonstrare a tezei l a grec i i vech i) . Parteneri i l a dezbatere trebuiau să conceadă că trebu ie adm isă ca adevărată o anum ită „aserţiune mai puternică", urmând ca tot ce trebu ie acceptat u l terior să fie în „acord

6 5

logic" cu această asumpţie fundamentală tare . Î n cazul conceptelor matematice invocate în P laton [6] , defin iţ i i le lor aveau ro lu l de ipoteze, aserţ iuni acceptate fără demonstraţie.

Metoda supral ic itată în matematica greacă a fost „demonstraţia

indirectă" şi a fost împrumutată d in fi losofie . Înţelegerea semnificaţiei demonstraţ ie i indirecte trim ite la înţe legerea uti l i zăr i i ipoteze lor în d ialect ică şi matemat ică. P laton [6 ] , pri n i ntermed iu l l u i Socrate, caracter izează metoda în cauză astfel : „Eu întotdeauna p lec în gândirea mea de la o aserţiune, judecată de m i ne să fie mai tare (s .n . M. Ţ.). Această aserţiune este ipoteza mea; şi ce pare să se armonizeze cu această aserţ iune, eu cons ider adevărat. Dacă eu văd oricum că ceva nu este în armonie cu aserţ iunea tare precedentă, eu î l privesc ca neadevărat".

Comentariu l pasajulu i din „Phaedon" relevă mai întâi că ipotezele sunt puncte de plecare (ş i în d ia lectică ş i în matematică, cf. Szabo [ I ] ) ş i , în al doi lea rând, Socrate doreşte să stabi lească ce este în acord cu asumpţia i niţ ială ( ipoteza). Dar cum se determ ină acest lucru este tocmai sarcina demonstraţiei . În acest cadru se poate elucida ideea demonstraţiei indirecte, dar mai ales este necesară o remarcă pre l im inară : uneori, termenul „ ipoteză" a avut ş i ro lu l de „tentative assertion" făcută pentru a invest iga propri ul ei adevăr (semn ificaţie aproape identică cu cea i ntrodusă de modern i , observa Szabo [ I ] ) . Următorul exemp lu de demonstraţie indirectă, datorat lui P laton [7] , este revelator pentru cea de-a doua semnificaţie a termenu lu i „ ipoteză": „cunoaşterea şi percepţia senzoria lă sunt i dentice" este enunţu l ce urmează să- l i nvest igăm, examinând consecinţele deduse din el . A vedea şi a cunoaşte sunt identice în v i rtutea acestu i enunţ- ipoteză, ad ică o persoană care vede ceva, cunoaşte ceva şi o persoană care nu vede ceva, nu cunoaşte ce nu vede . Presupunem că o persoană vede un lucru ş i , conform ipotezei , cunoaşte acel l ucru şi când închide ochi i ; însă când închide och i i , nu vede acel l ucru şi conform ipotezei, nu poate cunoaşte acel lucru . Dar, în mod clar, persoana va cunoaşte, chiar cînd înch ide och i i ceea ce a văzut când avea ochi i deschiş i . Deci, din ipoteza noastră - cunoaşterea şi percepţia senzorială sunt identice - am derivat o contradicţie : persoana nu cunoaşte

66

acel lucru şi că persoana cunoaşte acel lucru, ceea ce asertează că ipoteza noastră in iţială nu este adevărată şi că, prin urmare, este adevărată negaţia ei: „cunoaşterea nu este identică cu percepţia senzorială" - teza centra lă a epistemologiei p latonic iene.

A. Szabo [ l , p . 26] enunţă u rmătoarele două caracterist ic i ale demonstraţiei indirecte: i) în demonstraţ ia indirectă nu încercăm să demonstrăm aserţ iunea pe care o apreciem ca adevărată, ci, mai curând, încercăm să respingem aserţiunea contrară; dar, a respinge aserţiunea opusă echivalează cu a demonstra aserţiunea care ne interesează, căci sau A este adevărat sau opusul lui A, a tre ia pos ibi l itate nu exi stă; respingând una din cele două aserţiuni , cealaltă unnează în mod necesar să fie adevărată; i i) în demonstraţia indirectă noi respingem o aserţiune arătând că ne conduce la o contradicţie. P laton cons ideră demonstraţia indirectă o formă specială de demonstraţie matematică; ea este găs ită în Eucl id. După Ari stote l, pitagorei i au folosit-o în demonstraţia incomensurabilităţii.

Fi lozofia greacă, în special cea e leată (doctrinele lui Parmen ide şi ale lu i Zenon) abundă în demonstraţ i i indirecte, care relevă contradicţii în cadru l propoziţiei contrare tezelor susţinute.

W. C. Kneale [ 1 ] contestă prioritatea folosir i i metodelor reductio ad absurdum în fi lozofie, afirmând că, cu mult înainte ca Zenon e leatul să-ş i dezvolte „teor ia sa metafizică" bazată pe demonstraţia reduceri i la absurd, a c i rcu lat, pr i ntre p i tagor i c i en i , o vers iune ma i veche a d em o n straţ i e i p r i n red uc t io ad absurdum , a enun ţu l u i p r i v i nd „incomensurabilitatea diagonalei cu latura unui pătrat" şi care a fost păstrată în secret, numai d in motive rel igioase, fi ind în incompatib i l itate cu „structura raţională" a universulu i . În consecinţă, W. C. Kneale [ l ] pledează pentru o distincţie „mai fină" între uzul metafizic a l metodei reductio ad absurdum identificat cu dialectica şi metoda însăşi a reducerii l a absurd .

J. R. Lucas [ 1 ] afi rmă că dacă e leaţi i au produs argumentu l reductio ad absurdum, l u i P laton, însă, îi aparţine meritu l de a fi form ulat exp l ic it „idealul axiomatizării" ca ceva de real izat în mod conştient, încât cartea a şaptea a „Republicii" pare să anunţe „the programme of

67

studies for the Institute of Advanced Studies at Athens", iar d iscipolu l său, Eudoxus, a dus suficient de departe programul p laton ician.

Într-adevăr P laton [7] e l aborează o adevărată metodologie a „argumentului deductiv ", pe care îl schiţase deja în „Phaedon", marcând m utaţi i esenţiale în fi lozofia sa generală ca şi în sti lu l său, revelate de trecerea de la „dialoguri" la „monologuri" şi depăş ind „faza neformată a d ialectic i i " prin formularea de ipoteze bine defin ite d in care decurg prin „dianoia" alte enunţuri . Ipoteza, în viziunea de acum a lu i Platon, nu mai este doar o asumpţie care serveşte unui caz particular, ci o axiomă fundamentală, care nu mai poate fi chestionată de n imeni , n ic i chiar de sofişti, matematica urmând să fie expusă ca dedusă d in astfel de princ ip i i , ce nu pot fi puse în discuţie.

Comentatori i ş i i storic i i fi lozofiei ş i matematic i i greceşti antice nu susţin unanim, sau mai precis , nu atribuie un rol decis iv lu i P laton în dezvoltarea matematic i i antice. În timp ce H. G. Zeuthen în „Sur Ies connaissances geometriques des Grecs avant la reforme platonicienne" consideră că Platon este cel care a in i ţiat matematica greacă deductivă ax iomatică pr in lan sarea unu i program de · stud i i avansate asupra matematic i i , cum afonnă şi Lucas [ I ] , alţi autori, precum Szabo [ l ] , susţin că „axiomatizarea" şi „deductivizarea" matematic i i s-au constitu it ca un proces i ndependent de idea l u l formu l at de P l aton pentru matematică. Oricum, cei mai m u lţi autori , inc lus iv Szabo, recunosc influenţa fi losofiei în const itui rea metodo logiei deductiv-axiomatice pentru matematică, numai că ult imul autor susţine că atât matematica deductivă a lui Eucl id cât şi opera lu i P laton succed fi losofiei e leate; în p lus, Platon a avertizat asupra faptulu i că gândirea matematică poate serv i drept „parad igmă" pentru întreaga cunoaştere şti inţifică.

Se cuvine, în consens cu Szabo, să observăm că fi losofia e leată a fost fecundă şi influentă în spaţiu l culturi i antice greceşt i ; se recunoaşte că una d in axiomele lu i Eucl id („întregul este mai mare decât partea") s-a constitu it genetic ca răspuns la unul d intre paradoxuri le lu i Zenon, d isc ipol al lui Parmenide, ş i reprezentant al şco l i i din Eleea. Unul dintre paradoxele lui Zenon, ci tat de Aristote l , este aserţiunea: „j umătatea

6 8

t i mpului este egală cu dublu l e i" ; dacă aici „whole time" (t imp întreg) ş i „half time" (t imp j umătate) sunt luate ca mulţ imi infin ite, ceea ce se pare că este cazu l , atunci chiar dacă nu sunt egale în întregime, sunt măcar echivalente în sens „Set teoretic" (în sensul teoriei mu lţim i lor) ş i , prin urmare, aserţiunea „half time is equal to its double" nu poate fi respinsă. Atunci Zenon a avut dreptate, dar trebuie să operăm dist incţia:

Zenon s-a referit l a mulţ imi infin ite, în t imp ce Euc l id a avut în vedere mulţimi fin ite. Rolu l axiomelor în matematica e l ină era acela de a fixa o bază pentru curmarea neînţe legeri lor, dezacorduri lor.

Se impun în încheiere unele remarci de ord in metodologic; 1 ) care era statutu l demonstraţ i i lor la vechi i greci? 2) cunoşteau vech i i greci faptul că nu există o distincţie esenţială între lucruri (enunţuri) pe care le demonstrăm şi lucruri (enunţuri) pe care le asu'măm fără demonstraţie, fapt rel evat de axiomatica modernă?

Referitor la prob lema 1 ) L. Kalmar [ 1 ] menţionează exi stenţa a două t ipuri de demonstraţ i i prin reducere l a absurd : a) o demonstraţie a teoremei p prin asumarea negaţiei aceste ia, - p, ş i derivarea d in aceasta a propozi ţie i q a cărei negaţie dej a a fost demonstrată; această demonstraţ ie are la bază pr incip i u l terţiu lu i exclus ; al do i l ea tip de d emon straţ i e : b) o demonstraţ i e în care se v i zează resp i ngerea (disproof) unei aserţ iun i p, asumând-o şi derivând din p o propoziţ ie q a cărei negaţi e a fost dej a demonstrată ş i care nu cere, ch iar în conform itate cu exigenţe le standard ale logic i i matematice, princ ip iu l terţiu l ui exc lus .

Dacă este ani storic să pretindem vech i lor greci să fi fost atenţi la o asemenea distincţie subti lă, lucru cu care este de acord L. Kalmar, putem totuşi preciza ce tip de demonstraţi e au pract icat dacă examinăm textele matematice transmise . Remarca lu i A. Robinson [2 ] se înscrie potrivit în acest context evocat: „când Euc l id arată că orice număr com pus are un divizor pri m, el foloseşte metoda descreşter i i infin ite (the method of infin i te descent) concluzionând ceea ce este imposibi l pentru numere . . . Un intuiţion ist contemporan va respinge această demonstraţie deoarece încearcă să stabi lească demonstraţia unui enunţ existenţial pozitiv". Este

69

evident că demonstraţ i i le i ndirecte fo losite de greci i antic i se bazau pe terţ iu l exclus .

Problema 2) cere o precizare care nu impl ică un răspuns cert; exam inarea unor texte d in opera l u i Ari stotel relevă faptul că pot exista aserţiun i în mod natural „mai s imp le" ş i al căror adevăr nu poate fi chestionat, putând servi ca punct de plecare. Este d iscutabi l însă, conchide A. Szabo [ 1 ] , că vederi le aristote l ice au fost împărtăşite de matematicien i i contemporan i fi losofulu i d i n Stag i ra; dar o ana l iză a conceptu lu i ari stotel ic despre şti inţă (vezi 2 . 1 O) prezintă relevanţe semnificative pentru subiectu l abordat aic i .

2.4. MATEMATIS M U L PITAGOREIC

Aristote l consemnează că pitagorei i ş i-au consacrat v iaţa studiu lu i matematici i , ei crezând că princip i i le acestei şti inţe sunt princ ip i i le tuturor l ucruri lor. În contrast cu „materialitatea" princ ip i i lor m i les ien i lor (apa, aeru l , apeironul etc .) , p itagore i i au susţ inut că „toate lucruri le sunt numere'', un enunţ care interpretat modern logic n-are sens, dar pentru Pythagoras şi d i sc ipo l i i săi avea totuş i , dacă l uăm în cons iderare descoper ir i le remarcabi le ale aceste i şcol i , ca de p i ldă, cuantificarea fenom enu lu i muzica l . Şi de a ic i conexi un i le ce se pot stabi l i între matematică şi muzică ş i nu numai atât, căci apl icaţi i l e- i lustrări a le concepţie i p itagoreice sunt prezente ş i în câmpul medic in i i , legat de fenomenul de sănătate şi altele. Şi sunt i nerente supoziţi i „atom i ste", conform cărora lumea poate fi gândi tă „atomar", corpur i l e fi i nd constru ite d i n mo lecu l e a lcătu ite d i n atom i organ izaţi în d ifer i te configuraţ i i ; putem conch ide că Pitagora a sperat să facă din aritmetică un stud iu fundamental relevant nu numai pentru estetică ş i pentru fizică, în sens larg, incluzând şi o anum ită v iziune astronom ică, dar chiar ş i pentru etică, ale cărei conexiuni profunde cu rel igia sunt transparente nu numai la n ivelul doctrine i ci şi al modulu i de viaţă adoptat de membri i confrerie i . Proclus [ I ] relatează: „Adăugând la strădan i i le acestora ( i . e .

70

Thales şi Mamercos) studi i le sale, Pythagoras a transformat fi losofia referitoare la geometr ie, pentru a- i da configuraţia unei educaţi i l iberale, examinând princ ip i i le ei de bază, cercetând raţional şi abstract teorem ele aceste i şti inţe . El , de fapt, descoperi se şi teoria numere lor iraţionale (sau a proporţ i i lor) ca şi construcţia figuri lor cosm ice. Cercetări le teoret ice fondamentale i n sp i rate ş i propu l sate de geom etria dezvo ltată de Pythagoras erau men ite, după uni i interpreţi, să fundeze un tip de educaţie umani stă l iberală, în contextu l căreia menţionata disc ip l ină şti i nţifică statua locul şi, poate, rol u l indiv idu lui în univers, modelându-l ca om l i ber. În concepţia şco l i i p itagoreice şt i inţele matematice încorporau aritmetica, geometria, astronom ia şi armon ia (m uzica).

Tradiţia p i tagoreică consemnează o tr ip lă sursă de inspiraţie şi documentare în domeniu l cunoşt i inţelor de t ip matematico-astronom ic cu poziţ ie central ă în ansamblu l doctr ine i : ca lcu le de geodezie ş i arh itectură orientate astral datorate culturi i egiptene; trad iţi i de aritmetica socoti tu lui pre luate de la comercianţ i i feniceni ; comput astral şi descrieri ale fenomenelor astronom ice prezente în docum entele chaldei lor.

Dar mot ive l e ş i i nteresu l pentru preocupări a le domen i u l u i matematic sunt d e natură com plexă, î n care componenta rel igioasă pare a fi determ i nantă, căci p itagorei i, în frunte cu maestrul lor, făcuseră din problema purificării sufletulu i ş i a nemuriri i un ţe l al v ieţi i . Ei considerau stud iu l matematic i i ca cel mai bun purificator al sufletulu i . Iată de ce Pythagora este totodată întemeietor al unei secte re l igioase şi al unei şco l i de matematică, constructor sau cel puţin apărător al unei rel igi i profunde spiritual, purificatoare a sufletu lu i ş i garanţie a nemuriri i în serv ic iu l căreia se aflau şt i i nţe le matematice.

I nteresat şi preocupat de prob leme m i st ice a le pur ificăr i i ş i nemurir i i , Pythagora s-a îndreptat spre şti inţă, î n mod deosebit spre matematică al cărei stud iu era destinat obţineri i „purgări i sufletu lu i", gândirea şti inţifică şi matematică fi ind considerată cel mai autentic ş i pur mod de v iaţă. Gând irea teoretică, proprie şti in ţe i pure ş i , pr in exce l en ţă, spec i fică matemat ic i i pure, pur ifică sufletu l , deoarece e l iberează omu l de a gândi despre l ucruri particulare, conducându-i gândirea şi reflecţia spre lumea permanentă ş i ordonată a numerelor.

7 1

De fapt, doctrinele mistice, ca şi re laţia t impu lu i cu etern itatea, sunt fortificate prin studiul matematic i i pure. B. Russe l l [3 , p . 56] notează în context următoarea reflecţie: „Combinaţia matematică şi teologie, care a început cu Pythagora, a caracterizat fi losofia re l igioasă în Grec ia, în Evul Med iu şi în t impuri le moderne până la Kant. Orfismu l anterior lui Pythagora era analogu l rel igi i lor mister i i lor asiatice. Însă Platon, St. Augustin, Thomas Aquinas, Descartes, Sp inoza şi Leibniz există un amestec intim de re l igie ş i raţionament, de aspiraţie morală cu adm iraţie logică a ceea ce este atemporal, care v ine din Pythagora, ş i d i stinge teologia intelectual izată a Europei de misticismul rudimentar necompl icat al Asiei".

Dar la ideea că „toate lucrurile sunt numere" au condus şi succesele aritmetic i i computaţionale, fixate tradiţional în folc lorul computaţional , ş i care degajau morala: numerele şi calculele oferă posib i l itatea înlocuiri i mânuirii practice a lucruri lor; deci, numărul reprezintă substanţa comună, princip iu l tuturor l ucruri lor, iar re laţ i i le d intre lucruri se pot exprima prin relaţi i le dintre numere. S-a produs un fe l de invadare a lum i i exterioare d e către această aritmetică computaţională şi fenomenul a condus l a aserţi unea „ l ucrur i le sunt numere" , centrală în doctr ina pitagoreică. Lucruri le dev in inte l ig ib i le pentru om prin intermediu l numărulu i pe care- l poartă, iar cunoaşterea lor rezidă în determ inarea numărulu i lor propriu. Ceea ce nu poate fi exprimat prin număr rămâne neinteligib i l , i nacces ib i l ( cf. Diels-Krantz [2] ).

Matematismul pitagoreic este în mod esenţial aritmetism, căci între şti inţele matematice (mathema) aritmetica are o poziţie priv i legiată, căci, pe de o parte, aceasta din urmă, în virtutea corelaţiei d intre numere şi m ări m i - care pot fi eventual ş i geometr ice - med iază acce s u l aritmetismulu i l a o concepţie despre existenţă şi chiar despre un ivers, evidenţiind principiul structuri i ş i ordin i i în univers ; iar, pe de altă parte, geometria, în evoluţia matematici i , va „detrona" aritmetica ş i , odată cu ea, intuiţia aritmetică, marcând, în final , eşecul aritmetismului, a l filosofiei pitagoreice, pr in instaurarea euclidianismului care va domina până în epoca cartezian ismului când se va produce, prin geometria

72

anal i t i că ( a coordonate lor) o „rea bi I itare" a ar itmetic i i . Tratarea geometr ie i independent de ar i tmet ică, provocată de d i ficu l tăţi l e „ incomensurabi lelor", este conştientizată şi în unele dialoguri a le lu i Platon ş i executată cu perfecţiune în „Elementele" lu i Euc l id . Doctrina p itagoreică a fost faci l itată în demersul ei constitutiv de practica adepţi lor numărări i şi a scrieri i numere lor, asemănătoare actualei pract ic i a reprezentăr i i numerelor pe zar pr in folos irea punctelor, (în virtutea princ ip iu lu i că numerele erau constituite din unităţi indiv iduale marcate prin puncte: numărul unu era un s ingur punct, iar celelalte numere erau create pr in ad i ţ ia punctelor ) . D i n această perspect ivă dobând i m înţel egerea unui aspect semnificativ, cel a l relaţiei dintre aritmetică şi geometrie ca ş i configurarea rolu lu i lor în doctrin� p itagoreică ca o concepţie despre lume. Astfel . un s ingur pebble ca un punct este unu, doi este făcut din doi pebbles sau două puncte, iar aceste două puncte fac o l in ie. Trei puncte, precum vârfuri le, colţuri le unui triunghi creează un p lan, sau o suprafaţă ş i , în fine, patru puncte pot reprezenta un sol id . Faptul descris a sugerat lu i Pythagora ideea corelaţiei d intre numere ş i mărim i , (eventua l , configuraţ i i geom etr ice : segmente, suprafeţe, tri ungh i ur i , cuburi) între aspecte rămânând sem n i ficat ivă teorem a care-i poartă numele: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătrate lor celorlalte două laturi (catete) ale unu i triungh i dreptunghic.

În v i rtutea relaţie i dintre numere şi mărim i, p itagorei i puteau spune, deci , că numerele înseamnă anum ite figuri : triunghi , pătrat, dreptunghi , cub, piram idă etc. Numerele triungh iulare, numerele pătrate, numerele dreptungh ice, numerele cubice, numerele p i ram idale, numerele sferice etc . , erau diferenţiate de p itagorei ca fi ind im pare ş i pare, în fapt un nou mod de abordare a fenomenului conflictului opuşilor. În toate aceste forme numerele sunt mai mu lt decât abstracţi i , e le sunt feluri specifice de ent i tăţ i : „A spune ca p i tagorei i că toate l ucruri le sunt numere, înţelegem că există o bază numerică pentru toate lucrur i le care posedă configuraţ ie ş i măr ime ( d i m en s i une ) ; ast fe l , vedem m ed i aţ i i l e raţionamenu lui pitagoreic : ei trec de la aritmetică la geometrie şi prin intermediu l acesteia la studiu l structuri i real ităţi i . Toate lucrur i le posedă

73

numere, şi valori le lor par şi impar exp l ică opoziţi i le în lucruri ca unu şi mult ip lu, pătrat şi oblong, drept ş i curb, ch iar lum ină ş i întuneric, sunt opoziţi i numerice ca şi mascu l in şi femin in, bun şi rău" (S . E. Stumpf [ l , p . 1 1 ] ) .

P i tagorei i î i depăşesc pe m i les ien i pr in conceptu l de formă,

contribuţia lor im portantă în fi losofie şi care va fi preluată de P laton. Mi lesien i i s-au oprit la ideea de materie primară, precum apa, aerul , apeironul etc . , d in care este constitui t orice lucru. Pitagorei i înţeleg/arma ca limită, iar aceasta este acces ib i lă înţelegeri i noastre în termeni numeric i . Muzica ş i medic ina i l ustrează cele mai relevante domeni i a le formei, graţie armoniei, care rezidă în proporţi i ş i l im ite. Pr in intermediu l formei - ca armonie muzicală sau/ş i sănătate - numerele „cuceresc" regiuni ale existentulu i al căror spec ific nu-l mai reprezintă cantitativul, oricum esenţial re levant pentru număr, ci calitativul, care îş i anexează fenomene-abstracţiun i .

A s erţ i unea c e ntra l ă a doc tr i n e i c are rez u m ă c o n ţ i n u t u l pitagoreismu lui , şi deci al matematismului pitagoreic, „toate lucrurile sunt numere" sau, poate, într-o formă mai s labă: „toate lucrurile posedă

numere", a v izat întregul univers, astronomia aducându-şi propria- şi contribuţie la fundarea unui asemenea enunţ. Într-adevăr, acest gen de cercetări astronom ice, stabi leau cu priv ire la tablou l constelaţ i i lor două caracterist ic i : numărul aştri lor constitu ienţi şi figura geometrică pe care aceşt ia o desenează pe cer. Acestea au statutul unor date im uab i le ş i obiective ş i asociaţia d intre ele ne relevă neces itatea naturală, ce poate servi ca bază a unei concepţii generale despre univers. Constelaţi i le au un număr care le este propr iu, toate l ucruri le au un număr, care este condiţia cunoaşteri i esenţei lor.

Investigaţia aj unsă în acest stad iu se confruntă cu o prob lemă legitimă: Cum este pos ibi lă o geneză constitutiv numerică, dacă numărul este un concept iar lucrur i le sunt obiecte sau substanţe? L. Brunshv icg [ 1 , p . 34-3 5] propune o exp l icaţie, respectând sp i r i tu l concepţ ie i pitagoreice, care inversează demersu l natural . El spune aproape textual : în loc de a cerceta transformarea unei noţiuni abstracte - numărul - într-o

74

real itate concretă - lucrurile - ar fi mai convenabi l de a priva (destitu i) noţiunea de număr de semnificaţia abstractă pe care suntem obişnuiţi să i-o atribuim şi de a- l reintegra printr-un fel de ap l icaţie intuitivă în statutul de „inseparabil lucrurilor"; astfel încât să vedem un punct atunci când se vorbeşte de o unitate, iar atunci când se vorbeşte de un număr să vedem o grupă de puncte care desenează figura, aşa cum stelele desenează o constelaţie. Pe scurt, conchide L. Brunschv icg, înainte de a spune că lucrurile sunt numere, pitagoreii au început prin a concepe numerele ca lucruri, iar expresi i le „numere pătrate" sau „numere triunghiulare" nu sunt s imple metafore, căci ele sunt, graţie „aritmeticii geometrice" p itagoreice, efect iv în faţa och i lor ş i a sp i r itu lu i nostru . Intu i ţ ia pitagoreică, poate pe nedrept considerată aritmetic�, era mai curând una „integrală" şi oferea, într-o interpretare carteziană, un ob iect care era totodată al imag inaţie i ş i al i ntelectu l u i . Ce le două e lemente, idee algebrică şi obiect întins, reun ite în s inteza originală datorată geometrie i anal i tice, au fost date în conexiunea lor naturală, poate naivă la pitagorei, cu aj utorul intu iţiei aritmetico-geometrice integrală despărţite ulterior până la naşterea geometriei anal itice. Numărul este prezentat conform acestei intu iţ i i p itagoreice ca o sumă de puncte, figuri în spaţiu, iar figur i le - l in i i , suprafeţe sau volume trasate prin aceste puncte - sunt date ca numere.

2.5 . G E N EZA ŞI NATU RA N U MĂRULUI ŞI F U N CTIA LUI „ D E M I U RG I CĂ"

'

În Diogene Laert [ I ] (apud*) putem citi următoarele : „Princip iu l tuturor l ucruri lor este unitatea, iar din această unitate prov ine doimea nedefin ită servind ca suport materia l unităţ i i care este cauza. Din unitate şi din doimea nedefinită se trag numerele, din numere punctele, din puncte l i n i i le, d in l in i i figurile p lane, din figuri le p lane, figuri le sol ide, corpuri le so l ide ale căror el emente sunt patru la număr: focu l , apa, aeru l ş i pământu l . Acestea se transformă şi trec pe rând prin toate lucruri le. Astfel,

75

se naşte din ele Universu l (Kosmos) însufleţit, înzestrat cu raţiune, sferic şi cuprinzând la m ij loc pământu l . . . " .

Acest text cu relevanţă spec ială pentru filosofia pitagoreică a numărului i-a pri leju it lu i A. Fraenkian [ I ] (apud*) construcţia unei scheme despre unu, mai bine zis Unitate, dualitate şi cosmogeneză al cărei esenţial constă în câteva aserţ iuni . Unitatea este principiu l . Doimea ca o tendinţă spre infinit şi matrice a divizibilităţii este substitut al materiei, idee prezentă şi în dialoguri le de maturitate ale lui P laton [2] , [ 4] . Unitatea prin intermediul doimei (jumătăţi i) generează numărul . Linia se naşte prin flexiune d in punct. Lini i le decupează spaţiu l cu figuri p lane sau suprafeţe şi ca volume - proiecţi i le spaţiale num ite figuri sau corpuri „solide". Şi acum iată schema lui A . Fraenkian :

Unitate - .J.. � doimea nedefinită Număru l

.J,. Punctul

.J,. Linia

.J,. Suprafaţa p lană

.J,. Sol idul (volumul)

.J,. Corpuri sensibi le (cele 4 elemente)

.J,. Universul

Ş i acum iată un comentar iu care surprinde sp iritu l matematic i i ş i fi losofiei greceşti , dar care credem că este adecvat şi pentru concepţia p itagoreică: ,,Însăşi noţiunea de număr nu mai este generată prin abstracţie pornind de la contemplarea unor colecţi i de ob iecte d in lumea exter ioară a sens ib i l ităţ i i empirice, pentru că spiritu l dev ine conştient de faptu l că un ivers u l de n um ere este dotat c u o l ege i n ter i oară de geneză reproductivă: construirea oricărui număr N prin recurenţă, pornind de la

76

« I » Unitatea nu este un număr, ci strămoşu l abso l ut, princ ipiul tuturor nu merelor: el generează toate celelalte numere prin copulaţie cu s ine însuş i, el însuşi însă este negenerat. Operaţia de recurenţă este pur noetică, deoarece numai gândirea poate obţine mereu un număr dintr-un alt număr, adăugându- i acestuia unitatea; în lumea exterioară această operaţie are o l im ită superioară, deoarece la un moment dat se aj unge la un grup care conţine absolut toate obiecte le exi stente. Număru l este astfel definit ca o mulţime arbitrară de unităţi . N imic ce nu satisface această definiţie nu poate fi numit număr, decât prin abuz. Întreaga fi losofie ş i întreaga aritmetică şti inţifică e l ină sunt dominate de ideea că «unitatea nu este un n u m ăr» . Ea este p r i nc i p i u l d i n care este a l cătu i t num ăru l " ( I . Toth [ 1 , p . 2 4 7]) .

Aşadar, num ăru l este o m u l ţime de un ităţC un itatea nefi ind o mulţime de unităţi nu sat isface exigenţa stipulată în definiţia număru lu i . Prin această proprietate se „instalează" o opoziţie între unitate şi celelalte numere. Aritmetica greacă a avut la bază această teză : unitatea nu este un număr; ea nu este o mu lţime; unitatea nu are părţi sau e lemente, un itatea este indiv izib i lă. „Dacă unitatea în s ine, unitatea abstractă ar fi div izibi lă, de exemplu în N părţi egale, atunci ea ar fi compusă d in N părţ i ; o parte, a N-a parte, fi ind N*, am avea N N* = I . Este ev ident, teza indiv izib i l ităţi i un ităţi i abstracte d in aritmetica şi fi losofia e l ină exprimă conşti inţa exi stenţei unei l egi de con servare a un iversu lu i numeric, exprimată printr-o teoremă de imposib i l i tate" (I . Toth [ l , p . 248]) .

După Aristote l [2] , pitagore i i cons ideră că Unitatea constă din amândouă (pereche şi nepereche) ş i că numărul provine din unitate. Acest text este comentat de D. Bădărău [ I ] în termeni i următori :„ pentru filosofii greci unitatea nu este un număr, numai mu ltip lu l este număr, astfel că primul număr este 2, fi ind cel mai dintâi număr pereche, iar primul număr nepereche este 3. Numerele prov in toate din unu l care este totodată pereche şi nepereche". D. Bădărău ins istă în comentariul său asupra diferenţei dintre dubl u şi doi, căc i 6 este dublul lu i 3 dar nu este 2. În concepţia pitagorei lor infin itu l part ic ipă la l im itat (sau Unul), iar această participare, principiu al l umi i , este ceea ce se numeşte Dyada infinitu lui

77

şi a unităţi i . Termenul Dyada desemnează altceva decât dublul, deşi dublu l ca orice număr este o Dyadă, fi ind joncţiunea mult ip lu lu i cu unitatea, mu ltiplu l având i l im itatu l ca esenţă . Pe de altă parte, dacă dub lu l ar fi identic cu Dyada acesta ar fi un mult ip lu şi un itatea ar fi identică cu dual itatea. Dual itatea indefinită ş i dupl icativă este în concepţia lu i P laton, princip iu l mater ial opus Unu lu i . Cuplu l Unulu i şi al dual ităţi i (d iadei) este o reminiscenţă la Platon care îş i are originea în fi losofia pitagoreică, unde Numărul, «esenţă a lucruri lor» , devine un princip iu de expl icare a lumi i , dar numai dacă îl completăm cu noţiunea de infin it, care l a rândul ei nu este n imic fără part ic iparea un ităţi i . De aic i derivă diada unităţi i ş i a infinitu lu i la p itagore i, căci aceştia susţ in, spune Ari stotel [2, p . 4 1 4] , „ c ă U n u l e pr inc i p i u , substanţă ş i e lement a l tuturor l ucrur i lor, considerând numărul ca proven ind d in această Unitate primordială şi d intr-un al doi lea e lement indefinit (D iada indefin ită)".

Spre deoseb ire de alţi fi losofi (p latonicien i i ) p itagorei i nu admit mai mu l te fe l ur i de numere : numere ideale (form ate din un ităţi neadiţionale sau adiţionale numai în cadru l acestor entităţi, gen diada, triada etc . ), numerele matematice (ale căror Un ităţi sunt adiţionale). P itagorei i adm it numai numărul matematic, care, conform si stemu lu i lor de gândire, nu este separat de l ucrur i le sens ibi le, ci l e este inerent, fi ind chiar substanţa lor. Spre deosebire de această reprezentare concretă, promovată de pitagoreism, Aristotel consideră că ambele tipuri de numere exi stă în afara sens ib i l u l u i . O concepţie - fază intermediară între pitagoreism şi concepţia aristotelică - ar reprezenta uni i p laton icieni care descriu numărul matematic ca o real itate foarte abstractă, „exi stând ca primă fi inţă separat de lucruri le mater iale". P itagorei i au susţinut că numere le matem at ice, s ingurul fe l de numere adm is , sunt inerente lucruri lor materiale, imanente lucruri lor sensibi le, alcătui nd fi inţa lor. Iată textul integral din „Metafizica" lu i Aristorel [2, p. 4 1 5 ] cu privire la concepţia pitagoreică despre numere: „Iar pitagorei i susţin că s inguru l număr este cel matematic, numai că în doctrina lor nu este separat de lucruri, ci substanţele sensibi le sunt alcătu ite din acestea. Constru iesc Un iversul întreg din numere - dar nu din unităţi (monades) abstracte -

78

c:tc i aşa cum presupun ei , unităţi le au înt indere (mărime spaţială). Pe cât \e pare nu găsesc o ieş ire pentru a expl ica în ce fel s-a alcătuit Unul primordial înzestrat cu mărime. Alt gînditor susţine că număru l primord ial ar fi Unul ideal , iar alţi i că număru l ideal este identic cu cel matematic. Tot aşa de împărţite sunt ş i părer i le privitoate la lungimi , suprafeţe şi figuri solide. Uni i socot mărim i le matematice ca fi ind deosebite de cele

care vin după idei . Dintre cei care susţin astfel _de teor i i , un i i recunosc mărimi le matematice, dar considerate numai sub raport matematic . Aşa procedează cei care fac d in numere Ide i şi, de altfel , n ic i nu admit exi stenţa ide i lor. Alţi i adm it mărim i le matemat ice, dar nu le iau în sens matematic . Căci după ei nu orice mărime se d iv ide în mărimi ş i nu orice fel de unităţi pot fi o dual itate ( dyas ) . Aşadar, pleacă de, la postu latul că numere le se alcătuiesc d in un ităţi toţi cei care afirmă că unul este e lement şi principiu al celor exi stente, în afară de pitagorei , care după cum spuneam înainte, atr ibuie numerelor mărime".

În text se menţionează că numerele sunt alcătu ite din monades (unităţi) ş i că Unul este element şi principiu al celor exi stente. Uni i autori, ca de exemp lu Raven, înc l ină să adm ită că vech iu l p i tagoreism era „dualist". Pare p lauzi b i lă şi ipoteza că acesta asuma mai curând o concepţie monistă (sau monad ică, în sensu l fi losofiei leibn iziene). În ipoteza corelaţiei dintre monadă şi dyadă, oricum, vech i i p itagorei nu considerau unităţi le noţiuni abstracte, desprinse de rea l i tatea sens ib i lă, deoarece, afirmă Raven, aceşti fi losofi „ca ş i restu l presocratici lor nu

izbuteau să stabi lească o del im itare între corporal ş i incorporal" (apud.

M. Nasta [ I , p. 1 06]) . Concluzia este că pitagorei i nu adm iteau teza că numerele sunt alcătuite d in unităţi abstracte - monades. În text este vizată

teoria p latonic ien i lor despre Unul primordial; toţi fi losofi i care se

deosebesc de pitagorei (deci şi p latonicieni i) stabi lesc o echivalenţă între unu ca element primordial (hen) şi un itate (monas) ca element constitutiv al număru lu i . După opinia lui Ari stote l, deoarece unitatea pitagorei lor este înţeleasă ca o mărime nu poate fi un element constitutiv al numărulu i matematic şi n ic i al numărulu i idea l .

79

Aristote l menţ ionează avantaje le dar şi d i ficu ltăţ i le poziţ ie i pitagoreice în problema orig in i i ş i natur i i numere lor. Ream i ntim că doctrina pitagoreică postulează participarea Infinitului (apeiron) la Finitul reprezentat pri n Unitate pentru obţ inerea „principiului lumii" (al Universului) num it Diada infinitului şi a Unităţii. Se observă că în acest caz D iada este identificată cu mult ip lu l ş i cu Infinitul ş i astfel dobândeşte esenţa plural i tăţ i i . Dificu ltatea apare în anal iza dublu lu i generat prin ad iţionarea un ităţi lor prin dublare, dupl icare, căci noţiunea pitagoreică de dual itate (dyada) având esenţa p lural ităţ i i ( infin itu lu i ) nu poate fi anal izată în termeni de unităţi . „Inevitabi l se aj unge la un rezultat aberant, atunci când se d iscută această «doime» (unitatea s implă fiind conjugată cu alta infinită, de natura pl ural ităţ i i ) . Pe de a ltă parte, chiar altfel, proprietatea «dub lu lu i» constatată printr-o s implă inducţie poate fi echivalată de-a dreptul cu număru l doi , întrucât trebuie prec izată natura elementelor care află în această re laţie de «dupl icare» . Se pot număra două elemente cu totul inegale, suma lor nemaiavând în felu l acesta n im ic de-a face cu dubl u l . Ambiguitatea s-ar putea rezolva dacă se deosebesc trei concepte: dyada ( 1 + x), numărul 2( I + I ) şi dublu l (2x)" (M. Nasta [ l , p . 1 0 1 ] ) .

Pitagoreii admit că numărul ca principiu constitu ie nu numai natura lucruri lor, ci îl identifică şi cu acc identele şi stări le lucruri lor. Numerele sunt considerate modele pe care lucruri le le im ită, analog ideilor lu i Platon, care are în pitagoreici o evidentă sursă de inspiraţie. Elementele constitutive ale număru lui sunt perechea şi neperechea, primul considerat infinit, al doilea finit. Procedeul greci lor de a reprezenta numerele prin puncte a fost absolutizat în reprezentări le geometrice (gnomoni i geometrici) ale pitagorei lor (gruparea numerelor în grupe de puncte). Numerele nepereche erau reprezentate cu aj utorul gnomonului geometric astfel :

2J i ar numerele pereche erau reprezentate geometric astfel :

80

Aceste reprezentări geometrice sugerau următoare le aserţiun i : Suma numerelor nepereche a r fi fin ită; gnomon i i eare inc lud numere nepereche ne reprezintă un pătrat, iar acesta este o figură perfectă şi fi nită. Suma numerelor pereche este infinită, gnomon i r incluzând numere perech i configurează un dreptunghi care este o figură imperfectă şi nedefin ită. Unitatea după pitagorei constă d in pereche şi nepereche, iar număru l prov ine d in unitate; întregul univers este redus la numere.

Să reţ inem une le remarc i cr i t ice a le l u i Ari stote l la ad resa pitagoreismu lu i . Dacă adm item că există numai f'lumăru l matematic, (s inguru l fel de numere acceptat de pitagorei), atunci princ ip iu l său nu va fi unul, căci în acest caz un astfel de Unul ar trebui să se deosebească de celel alte un ităţi şi tot astfel Diada primă ar trebu i să se deosebească de celelalte d iade, fapt ce s-ar întâmpla cu toate numerele următoare. „Dacă punem Unul ca principiu, e neapărat mai logic să ne însuşim punctul de vedere al lu i P laton asupra numerelor, afirmând că există o d iadă primă şi o triadă primă şi că Numerele ideale nu se pot aduna între e le. Dar am arătat că, chiar dacă adoptăm această teorie, consecinţele absurde care decurg d in ea sunt mu lte" (Ari stotel [2 , p. 424 ] ) . Deşi Ari stotel apreciază că d ificu ltăţ i le pitagoreismulu i sunt mai mici decît cele inerente p laton ismu lu i, sau poziţiei susţinute de Xenocrate, care identifică număru l ideal cu cel matematic, el remarcă drept semnificative următoarele: „Să concepi număru l ca fiind neseparat «de lucruri» suprimă mu lte d in consecinţele imposib i le. Pe de altă parte, a considera corpuri le compuse din numer�, iar număru l acesta ca fi ind matematic este ceva imposib i l . Căci nu este adevărată afirmaţia că exi stă mărimi spaţiale indiv izibi le (atoma) şi ch iar dacă s-ar întâlni cît mai multe mărim i de acest fel, măcar un ităţi le în mod cert nu au mări me. Cum ar fi atunci pos ib i lă exi stenţa unei mărimi compuse din (elemente) indivizibi le? Cel puţin număru l ar itmetic luat ca atare im pl ică un ităţ i abstracte".

8 1

Co ncepţ i i l e p l aton ic i ene postu l a u numere le idea le ş i numere l e matematice ca separate de lucruri , de real itatea sens ib i lă, în t imp ce nume re le pitagore ice fi ind „concret- s paţ i ale" şi dec i într- un sens „materiale", căc i pentru pitagorei numerele înseamnă lucruri cu exi stenţă reală; ei numesc număr cele exi stente ori real itatea ontică este cea materială. Ori, unităţi le d in text sunt monadele în accepţia greci lor vechi , ş i de aceea numărul format din unităţi abstracte este num it arithmos monadikos . Deoarece un ităţi le sunt concepute ca unităţi abstracte, nu pot fi cons iderate mărimi elementare .

Raven cons ideră ca semnificat ivă definiţ ia dată în „Metafizica" lu i Ari stote l , conform căreia numerele funcţionează ca materia din lucruri . O astfel de defin i ţ ie sugerează interpretarea potriv it căre ia U niversul alcătuit d in numere semn ifică fapul că obiecte le d in natură sunt alcătuite prin «agregarea unităţilor-puncte de tipul atomilor» . Identificăm d in această perspect ivă o concepţie despre „materialitatea" i postazei primordiale a număru lu i ; dev ine i nte l ig ib i lă teoria despre numerele const itutive ale st ih i i lor Universulu i : corpul întreg are numărul 2 I O, focul are număru l 1 1 , aeru l are număru l 1 3 , iar apa numărul 9 .

Coere nt c u această v i z i un e E k p h anto s , reprezentant a l p i tagore i smulu i mediu (secol u l al IV- iea), va susţine că pr inc ip i i l e lucruri lor sunt corpuri le indivizib i l e şi v idu l . Ekphantos este primul pitagoreu care a vorbit despre natura corporală a unităţi lor p i tagoreice, încât Raven [ 1 ] a spus despre el că a elaborat o teorie «corporal-atomistă» despre numerele-unităţi . Nu se şt ie sigur dacă până Ia Ekphantos unităţi le se mai numeau ş i corpuri . Ş i , oricum, Aristotel nu adm itea unităţi atomare sau corporale; ch iar numerele compuse d in mai mu lte unităţi erau pentru Stagirit s imple abstracţi i , fără mărime sau greutate, adică fără proprietăţi fizice ale corpuri lor.

Cercetător i i doctrinei p itagoreice a numărulu i susţin că decada este natura numărulu i , dar v i rtual itatea (dynamis) numărulu i se găseşte în număru l patru ş i în tetradă. Porn ind de Ia unitate ş i punând pe rând toate numerele până la patru şi apoi însumându-Ie obţi nem număru l zece (unităţ i ) ; pr in depăş irea tetradei se trece d incolo de număru l zece.

82

I ·, xpl ic i t, decada este considerată un ansam blu rezu ltat d i n tetraktys sau rvaternar, ad ică din suma primelor patru numere ( I + 2 + 3 + 4 = 1 O), care reprezintă în acelaş i t imp al patrulea număr triungh iu lar, dacă privim orânduirea, d ispunerea un ităţi lor sub forma figur i i regu l ate:

Componenţi i tetraktys-u lu i se caracterizează pr in proprietăţi remarcabi le: 1 reprezintă un itatea; 2 este primul număr par; 3 este primul număr impar; iar 4 este pr imul pătrat perfect.

Iar decada s intet izează aceste proprietăţ i şi proporţ i i l e numerelor inc luse în conţinutu l ei, raporturi le care se pot stab i l i între ele pentru a genera pe de o parte figur i le geom etrice şi armon i i l e sunetelor, pe de altă parte, seria numerelor naturale, ambele concepte fii nd core late în cadrul numerelor figurate (cf. M. Nasta [ I , p. 1 08) .

Poate că asemenea virtuţi demiurgice ale tetraktys-ului , care constitu ie însăşi forma decadei , i-au detenn inat pe matematicieni i şi filosofii greci (îndeosebi pe cei aparţinând tradiţiei pitagoreice) să- l numească număr pur sau divin şi simbolul universului. Poate din această cauză pitagorei i invocau tetrada ca fiind cel mai mare jurământ: tetrakys-ul, număr ce cuprinde izvorul şi rădăcina veşnic curgătoarei naturi.

2.6 . P LATO N , PITAG OR EISM ŞI ATOM ISM

Popper [ 1 ] susţine că doctrina centrală a lu i P laton, cunoscută sub numele de „teorie a/armelor" sau „teorie a ideilor" îş i are sorgintea în contextul s i tuaţiei problematice, critice a şti i nţei din Grec ia antică, ad ică într-un context extra-fi losofie .

În afara acestei s i tuaţ i i problematice a şt i inţe i, la care vom face referiri , part icu laritatea şi i nfluenţa p latonismul ui în istor ia cu ltur i i umane, în spec ial a şti inţei ş i fi losofiei, nu pot fi înţelese.

83

, ,Teoria formelor" a l u i P laton, t intim conectată concepţi i lor lu i Pitagora ş i Democrit, acestea e le însele impl icate în am intita s i tuaţie critică, „criză'' a ştiinţei antice greceşti, îşi are rădăcina în vulnerabil itatea acestor doctrine filosofice v i s-a-v is de fenomenul dramatic al şt i i nţei provocat de „iraţional e".

A fost meritul fi losofiei p laton iciene de a fi conştientizat acest remarcab i l fenomen şi de a fi înţe les în contextul de avanscenă ce îi revenea geometr iei comparat iv cu aritmetica, Ia aceasta din urmă fi ind prea ataşate doctrinele pitagoreică şi atomistă.

„Emanciparea geometriei", la care platoni smul a contribu it enorm, se va cri stal iza" în final la forma s i stemulu i lu i Euc l id d in „Elementele"

sale, cea mai importantă, prima şi cea mai influentă teorie deductivă, axiomatică pe care omul a constru it-o vreodată.

Geometria va deveni de acum înainte o „componentă-cadru" a teoriei noastre asupra lumii, faci l itând progresele realizate de Aristarh, Newton sau Einstein, şi va influenţa, în cal itatea ei de teorie geometrică a lumii, construcţia marilor „Weltbild-uri", tablouri şti inţifice fizice asupra universului.

Eşecul pitagoreismului , atomismulu i s-a convertit, pe această cale, într-o m are rea l izare inte lectua lă de ţ inută i storică, dar, conch ide Popper [ 1 ] , s ituaţia prob lematică care a dat naştere unei filosofii profunde a fost u i tată, iar problemele fi losofice n-au fost d in acest motiv înţelese decît superfic ial .

Spuneam mai la început că teoria p latoniciană a formelor este intim conectată de teoria pitagoric iană, atât prin origine cât ş i prin conţinut, aceasta d in urmă avînd ca nucleu doctrinar teza că „toate lucrurile sunt în esenţă numere". Pitagora a făcut această general izare - toate lucrur i le sunt în esenţă numere sau raporturi, proporţi i numerice - impres ionat fi ind de două mari descoperir i : prima este în legătură cu un fenomen calitativ, armonia, care e bazată pe raporturi (ratios) pure ca 1 : 2 ; 2 : 3 ; 3 : 4 ; a doua s e referă l a unghiu l drept obţinut prin îndoirea, împăturirea de două ori a hârtiei , astfel că cele două cute formează o d iagonală care, de asemenea, este legată de raporturi numerice: 3 : 4 : 5 sau 5 : 1 2 : 1 3 care reprezintă latur i le triungh iu l u i dreptungh ic . Ideea s-a doved it

84

fructuoasă, remarca K. R. Popper [ 1 ], priv ind d iferite figur i geometrice pătrate, triungh iuri dreptungh ice şi i soscele, sol ide s imple ca piramide, t ratarea prob lemelor respective fi i nd bazată pe „gnomon".

Cu aj utoru l d iagrame lor punctuale p i tagore ice înţelegem ce este un gnomon, dar şi cum se constru iesc numeric d iferitele figuri geometrice - pătrate, triungh iuri , dreptungh i u ri , sol ide (în fapt numere pătrate, triungh iuri, oblonge etc . ) . Dar nu numai formele sunt numere sau raporturi de numere, deci nu numai configuraţ i i l e lucruri lor, ci şi proprietăţi abstracte ca armon ia, j ustiţia, d i recţ ia etc . Pe această cale pitagorei i au constru it teoria lor generală, conform căreia numerele sunt „esenţele raţionale" ale tuturor lucruri lor.

K. R. Popper face i poteza că dezvoltarea copcepţiei pitagoreiciene a fost influenţată de s im i laritatea d i agramelor punctuale cu d iagramele constelaţi i lor ca Leu, Scorpion etc . „Dacă «Leu» este un aranjament de puncte, trebuie să aibă un număr. În acest mod pitagoreismul pare să fie conectat cu cred inţa că numerele sau «formele», sunt configuraţi i cereşti ale lucruri lor" (Popper [ 1 , p. 78]) .

Să vedem construcţ ia bazată pe gnomon, fo losind d iagramele punctuale, ale d iferitelor figuri (configuraţi i , forme) geometrice. În cele ce urmează reproducem această construcţie după K. R. Popper [ 1 , p. 76] ) .

Un pătrat poate fi reprezentat pr in patru puncte în felul următor:

această construcţie poate fi interpretată ca un rezultat a l adăugiri i a tre i puncte la un punct d in partea stângă de sus pe care îl marcăm astfel :

_J · Cele trei puncte formează gnomonul . Putem adăuga un nou gno

mon format acum d in c inci sau mai multe puncte:

=:J :

85

Fie şiru l de numere impare : I , 3 , 5, 7, . . . ; se constată uşor că fiecare dintre numerele şiru lu i constitu ie un gnomon al unui pătrat şi că sumele: I , I+ 3 ; 1 + 3 + 5 ; I + 3 + 5 + 7 ; . . . sunt numere pătrate; iar dacă n este numărul punctelor de pe o latură a unui pătrat, atunc i aria (suma tuturor punctelor) este n2, egală cu suma primelor n numere pare .

Abordarea în cazu l triunghi uri lor ech i laterale este sugerată de un tr iunghi , care creşte în jos prin adăugarea a încă unei noi l i n i i orizontale de puncte,

unde de data aceasta gnomonul este reprezentat de u lt ima l in ie orizontală, iar fiecare element al ş irului I , 2, 3 , 4 . . . este un gnomon. N umerele tri ungh iu lare sunt numerele I + 2; I + 2 + 3; 1 + 2 + 3 + 4; etc . , deci sume ale primelor n numere naturale.

Dacă aşezăm două asemenea triungh iuri latură lângă latură ca în diagrama următoare obţinem paralelogram ul cu latura orizontal ă n + I ; iar cealaltă n ş i care conţine n( I + 1 ) puncte, fi ind format d in două triunghiuri i soscele :

\ „N umerele ob long" se obţin conform diagramei :

Deci numerele dreptunghice (al figuri lor dreptungh iu l are) au gnomon un număr par, e le fi ind sume de numere pare : 2 + 4 + 6 . . . ;

86

cons ideraţi i le se extind şi la sol ide şi obţinem numere cubice, p iram idale etc. Teoria pitagor ic iană veche conţine un element interesant, stran iu ch iar, dar re levant pentru modul de gând ire al autori lor ş i adepţi lor e i � este vorba de tabelul opuşilor ş i care are la bază o d i st incţie de ord in aritmetic : numere pare ş i numere impare :

unu r n u lt iplu

impar par mascu l in fem in in existenţă deven ire

determ inat indeterm inat pătrat oblong

rest i l i n i u curb drept stâng

lumină întuneric bun rău

Lectura şi interpretarea tab lou lu i ne arată că numere sunt nu numai figuri le geometrice, ci ş i ideile abstracte ca dreptate, armon ie, sănătate, frumuseţe, cunoaştere. Teoria t impurie p latonic iană a idei lor pre ia acest tabel al opuşi lor aproape nemodificat, ş i cons ideră că latura „bună" a acestu i a este re levantă pentru „un un ivers i nv izib i l al unei rea l i tăţi mai înalte, al nesch imbări i ş i formelor determ inate ale tuturor lucruri lor . . . cunoaşterea adevărată ş i certă ( episteme = sc ientia = sc ience) poate fi numai despre acest un ivers real ş i etern" (Popper [ 1 ] ), în t imp ce „ lumea v iz ib i lă a sch imbări i ş i fluxului în care noi trăim şi murim, lumea generări i ş i d i strucţ ie i , l umea exper ienţe i este numai u n fe l d e reflecţie sau copie a acele i l umi reale, este numai o lume a aparenţe i" (Popper[ 1 ] ) . Acestei l umi î i este asociată cunaoşterea ca doxa (opin ie), cunoştinţe plauz ib i le, dar i ncerte, ale muritori lor supuşi greşe l i i .

Dar P l ato n v a i nterpreta „tabloul op uş ilor" p r i n p r i s m ă

parmen id iană, o provocare care va conduce la doctr ina atom istă. Recunoaşterea i nfluenţei p i tagore i smu lu i asupra l u i P laton nu

trebu ie să ducă Ia o „ identitate" de v iz iun i ale celor doi gând itori greci

87

referitor la re laţia numere şi lucruri . Un i i exegeţi compară concepţi i le lu i Platon ş i Pitagora cu aj utoru l d i st incţ ie i : imitaţie ş i participare . Pitagorei i afirmă „lucrurile imită numere", în t imp ce platonicien i i susţin teza că , ,lucrurile participă la n umere" . Aceste enunţur i par să concentreze „nucleele" celor două filosofii - pitagoreismul şi platonismul - am be ie fi losofi i de t ip matemat ic . Imitaţia presupune separarea originalu lu i şi cop iei ; ceea ce în context p laton ic ian semnifica faptul că idei le platon icien sunt „paradigme", „modele", iar lucruri le sens ib i le, percept ib i le sun im itaţi i , (P laton [2] este sufic ient de expl ic it asupra acestui as pect . ) Î n context p i tagoric ian, sem n i ficaţ ia este rad ica l sch im bată, d iferenţa de n ivele (ontologice) de real itate, prezentă în platon ism, este a ic i , ,dizolvată", căc i enunţul „ lucruri le im ită numere" sugerează că pitagorei i pun pe acelaş i plan real itatea numerică şi real itatea naturală, de fapt o asemănare între mulţ imea număru lu i şi mu lţimea lucru l u i . Să mai observăm că după M . J ackon [ I ] trebuie făc ută o d i st incţ ie rad icală între P laton [6] [7 ] (teoria partic ipări i la ide i ) ş i d ialoguri le lu i Platon [5 ] , [ 4 ] , [ I O ] , unde ide i le sunt în locu ite cu t ipuri naturale; şi să adăugăm că noţ iunea de "participare" pre luată d i n vocabu laru l lu i Anaxagoras are o sem nificaţie, sens mater ial , care ar trebu i rest itu ită pi tagoreismulu i , în v irtutea conţinutulu i doctrinei , deş i, paradoxal, este „favorizată" de contexte de vorb ire platon ic iană.

Oricum, asemănări le sau neasemănăr i le verbale nu par să fie conv i ngătoare, i ar i ntervert ir i le termen i lor în cauză „imitaţie" şi „participare" pot fi i ndezirabi le şi chiar nej ustificate. Opoziţia profundă d intre pitagoreism şi platonism ar putea fi re levată pri n termen i i : „imanenţă p itagoric iană" ş i „transcendenţă p laton ic iană", ceea ce semni fică (în prim u l caz) un acelaş i plan onto logic al l ucruri lor ş i numerelor, respect iv (în a l doi lea caz) o d iferenţă, separare d e n ivele ontologice cu caracteristic i d ist incte ş i marcat opuse, ca în interpretarea platonic iană a tabloului pitagore ic al opuş i lor. Urmându- l pe P laton, şt i i nţa numerelor poartă nu asupra lucruri lor luate în s ine, c i asupra caracterelor, determ inaţi lor acestora. În P laton [ 4] pri ncip iu l acestor determ inaţi i este formulat expl icit ş i prec i s : „egal ul ş i ega l itatea şi după

8 8

l·gal dublul şi tot ceea ce ar fi raportu l număru lu i cu număru l şi al măsuri i c u măsura" . Ca etalon al măsurări i (măsuri i) ş i numărăr i i se apl ică t ipuri de determ inare, ti puri ideale, luate în s ine, real ităţi autonome, ce se con st itu ie ca un p lan s uperior al adevăru l u i sau ex istenţe i la care procedează part ic iparea: „Marele" şi „Micul" sunt asemenea t ipuri .

Platon ş i platonismul au rădăcin i com plexe în trad iţia fi losofică ş i �t i i nţifică, iar pitagoreismul este numai una . O a doua este teoria atomistă a lu i Democrit, l a rându l ei influenţată de pitagoreism, cel puţin este neîndoielnic că acesta a sugerat, prefigurat un atom ism foarte prim itiv. Şcoal a lu i Democrit a suferit influenţe indubitab i l e ale şco l i i e leate (Parmenide şi Zenon). Democrit a fost preocupat de obţi nerea unei înţelegeri raţionale a sch imbări i , m işcări i , o problemă derivată în mod cert d in fi losofia lu i Herac l it, deci d in gândirea ''ion iană mai curând decât d i n cea p itagoreică; această idee este văd it compatibi lă cu filosofia naturală, sau a naturi i , pe care o pract icau gânditori i d in Ionia .

Paradoxal este faptul că deşi Parmen ide nu a fost „fizic ian" -des igur, în sensul antic al tennenulu i atribuit preocupări lor presocratici lor d in Ionia - el a fost cons iderat aproape un întemeietor al fizic i i teoretice, ed ificând, cum remarca Ari stote l , în spirit ant ifizical , pr imul s i stem ipotetico-deductiv ce a inaugurat o lungă serie de si steme ale teori i lor fizice, d in ce în ce mai perfecţionate, urmare a conştientizări i că sistemu l mai vechi (d in serie) a fost falsificat de fapte a le experienţei , consecinţele derivate din ipoteze fiind respinse empiric; ar m ai fi aici de dezvoltat meritele lu i Parmenide în p lanul metodologicei şt i i nţei ca şi rezonanţa actuală a construcţ ie i sale teoret i ce, dacă avem în vedere că azi se consideră că natura şt i i nţei contemporane este re levant ,,capturată" de noţi unea de s istem ipoteti co-deductiv.

După parafrazarea dată de Popper [ I , p . 80, 8 1 ] teoria (deductivă) a lu Parmenide conţin următoarele :

1 ) Numai ceea ce este, este . 2) Ceea ce nu este, nu există. 3 ) Non-existenţa (nefi inţa), ad ică vidul , nu există. 4) Lumea este p l ină.

89

5 ) Lumea (un iversul) nu are părţi; ea este un bloc imens (deoarece este p l ină);

6) Mişcarea este impos ib i lă (deoarece nu exi stă spaţiu v id) în care ceva s-ar putea m işca;

5) şi 6) au fost falsificate de fapte ş i Democrit a argumentat d in falsitatea concluziei următoarele premise:

6 ' ) Există m işcarea (astfel m i şcarea este pos ib i lă); 5 ' ) Lumea are părţi ; 4 ' ) Lumea nu poate fi p l ină. Dar concl ictu l d intre teoria lui Parmenide ş i observaţ i i a condus la

apariţia pr imei teor i i fizice a mater ie i , teoria atomi stă a lu i Democrit. Problema centrală, am spune, în teoria lui Parmen ide este cea a m işcări i intim legată cu prob lema paradoxelor. El vedea o sol uţie a problemei paradoxelor în declararea mişcări i ca aparenţă; d in faptul că este impos ibi l să înţelegem în mod raţional mişcarea, Parmenide conchidea că nu există realmente sch im bare, m işcare . Raţionamentul lu i Parmen ide priv ind impos ib i l itatea m işcări i este parafrazat de K. R. Popper [ I , p. 80] astfe l : „Dacă un lucru X se sch imbă, atunci în mod clar n u mai este acelaşi lucru X. Pe de altă parte, nu putem spune că X se sch imbă fără impl icarea că X pers istă în t impul schimbări i , că este acelaşi lucru X, la începutul ş i sfârş itu l schimbării . Am aj uns la o contradicţie ş i că ideea unui l ucru care se sch imbă ş i deci ideea sch imbări i este imposib i lă". Şt im astăzi că Hegel , Marx ş i Engels considerau fi losofi i le care neagă contradicţi i le ca fi ind metafizice, în t imp ce e i vedeau contradi cţi i le ca omniprezente".

Să urmărim acum une le aspecte ale genezei atom ismu l u i l a Democrit . În primul rând, Vidul (sau non-. existenţa) există ( 3 ' ), o aserţiune fundamentală în doctr ina atom istă se obţine astfel : inferenţa din existenţa m işcăr i i la cea a vidul u i nu este val idă deoarece inferenţa lu i Parmenide d in cea a „pl inu lu i" lum i i la impos ib i l itatea mişcări i n u este val idă.

În al doi lea rând, cu priv i re la lucruri (fi inţa, existenţa), opuse vidulu i , Democrit a împărtăşit concepţia l u i Parmen ide şi anume, că şi acesta, a afirmat că nu au părţ i , sunt ind iv izib ile, neavând vidul înăuntru.

90

Teoria atom istă susţine, deci , că lumea, este formată d in atomi (un iversuri bloc indivizibi le), care nu se sch imbă, şi vid. Mişcarea poate fi exp l icată raţional în cadrul teoriei atomiste, ea este produsă de rearanjarea atom i lor în spaţiu şi , deci, orice sch imbare este mişcare. Deoarece noutatea ţ ine de acest aranjament, sch imbări le vi itoare pot fi prezise.

Teoria lui Democrit a fost parţial acceptată de Platon , care a reţinut mu lte din doctri na atomistă, dar crit icată de Ari stote l, care concepea sch imbarea, mi şcarea, ca desfăşurare a potenţial ităţi lor inerente ale substanţelor (esenţial) nesch imbătoare. , ,A tomii", un fel de „forme" care nu constitu ie subiect la n ici o sch imbare, contraveneau teoriei lu i Ari stotel a substanţelor ca subi ecte ale sch imbări i ; totuş i teoria lu i Democrit, conform cărei orice sch imbare trebu ie să fie expl i cată prin mi şcare, a fost adm isă tac it ca program de lucru în fizică, cadru l teoretic al expl icaţiei propr ietăţ i l or mater ie i empir ic cunoscute şi d i sc utate de ion ien i : compres ibi I itate, refracţie, conden sare, coerenţă, dezintegrare . Dar a oferit nu numai o expl icaţie a fenomenelor observate în experienţă ci ş i un princ ipiu metodo logic, ş i anume că o teorie deductivă, sau o expl icaţie, trebuie „să salveze fenomenele'', ceea ce semn ifică un acord al e i cu experienţa. O altă raţiune profundă pentru care teoria lui Democrit trebu ie aprec iată este următoarea: „a arătat că o teorie poate fi specu lativă şi bazată pe princ ip iu l fundamental parmen id ian că lumea trebuie să fie înţeleasă prin gândire argumentat i vă, d iferită de, lumea primafacie, a experienţei, văzută, auzită, pipăită etc. , şi că o asemenea teorie speculativă poate accepta criter iu l empirist, că «v iz ib i l u l » este cel care decide acceptatrea sau respingerea unei teor i i a «invizi b i lu lui» (astfel ca atom i i ) . Această filosofie a rămas fundamentală pentru întreaga dezvol tare a fizic i i ş i a cont inuat să intre în confl ict cu tend inţele fi losofice relat iv iste ş i pozit ivi ste" (K . R. Popper [ I , p. 82] ) .

Atom ismul democrit ian s-a constitu it în mare măsură ca un «punct de vedere-replică» la fi losofia lu i Parmenide şi Zenon, pri n respingerea conc luzi i lor acestuia d in urmă.

Nu se ştie când descoperirea (ş i demonstraţia) „iraţionalităţii

rădăcinii pătrate a lui doi au fost cunoscute publ ic, în consecinţă este

9 1

nesigur dacă Democrit a avut cunoştinţă de problema iraţionalelor, deoarece, altfel, ar fi trasat o strategie de apărare împotriva „loviturii" care venea din această direcţie şi care a marcat eşecul pitagoreismului . Cum ştim, ambele doctrine, pitagoreismul şi atom ismul, s-au bazat pe ideea că orice măsurare este calculare, numărare, socotire cu unităţi naturale, deci , orice măsurare trebuie să fie reductib i lă la numere pure� distanţa d intre orice două puncte ato m are trebu ie să fi e com ens urab i l ă, ori se în tâm p l ă să avem incomensurabi l itate în cazuri s imple, ca cele dintre colţurile unui pătrat, d in cauza incomensurabi l ităţi i d iagonalei d cu latura a.

Incomensurabil itatea semn ifică nonexistenţa raportului de numere naturale, dar nu semnifică incomensurabil itatea prin metode geometrice sau prin măsurare, ci doar incomparabil itate prin metode aritmetice de numărare (calcul) sau prin numere naturale, inclusiv metoda pitagoreică a comparări i rapoarte lor numerelor naturale. Pitagoricieni i au iniţiat măsura şti inţifică numerică; era mai curând „counting" decât „measuring" pentru pitagoric ien i .

Descoperirea „incomensurabilităţii", . , iraţionalităţii" a subminat credinţa ordinului pitagoreic, a distrus speranţa derivării cosmologiei şi chiar a geometriei din aritmetica numerelor naturale, constată Popper [ 1 ] .

Platon, spune Popper [ 1 ] , a fost aproape de şcoala eleată, şi deci antipat ic faţă de Democrit, dar, paradoxa l , era un fel de atom i st . Contribuţia lu i P laton la dezvoltarea şti inţe i v ine, afirma Popper, d in conş t i en t i zarea „pro blemei iraţ ionalelor" ş i d i n m o d i fi c area pitagoreismului şi atomismului cu scopul de <<a salva ştiinţa» de la situaţia catastrofală. În acest sens se poate spune că P laton „a conştientizat epistemologic" că „teoria pur aritmetică a naturii" a eşuat şi că se impune o nouă metodă matemat ică în descrierea şi exp l icarea naturi i, metodă geometrică autonomă, care îş i va găs i „împl in irea ei în «Elementele» l u i Euc l id platonic ianul" (K . R . Popper [ 1 , p. 87]) .

Nucleul fi losofi e al p laton i smulu i este im pregnat de o înaltă încărcătură şti inţi fică, a cărei rădăcină se aşează în s ituaţia problemat ică, de criză, a şti i nţe i antich ităţi i greceşt i . P laton a preluat o idee de sorginte teo logică, şi anume ideea exp l icări i lumi i reale „vizibile", adică sens ibi lă, percept ib i lă printr-o lume „ inv izibi lă", adică i ntel ig ib i lă postu lată şi a

92

transformat-o printr-un instrument al şti inţei teoretice; ideea se regăseşte, remarcă Popper [ I ] , ca pr inc ip iu de investigare a naturi i materiei la Democrit şi Anaxagoras, sub formă de ipoteze despre structura inv izib i lă a lumi i . Meritu l lu i Platon este acceptarea conşt ientă a aceste i idei şi general i zarea e i , în fapt, l umea l ucruri lor sens ib i le, „v iz ib i lă" şi în

sch imbare este exp l icată, în u lt ima anal iză, printr-o lumea „invizibi lă",

intel ig ib i lă a forme lor nesch imbătoare, eterne („esenţe", „substanţe",

„natur i", adică configuraţ i i sau figuri geometrice) .

Şi Popper [ I ] se întreabă dacă ideea despre structura invizibi lă a mater ie i este o idee fizică ( fiz ica lă?) sau fi losofică. Dacă c i neva confruntat cu ea produce o nouă teorie spec ifică asupra structuri i materiei , atunci el nu este un fi losof; dar dacă o respinge, atunci când meditează as upra statutu l u i ei ca Berke ley sau Mac h, care preferă o „ fiz ică fenomenologică" sau pozitiv istă abordăr i i teoretice şi, oarecum, teologice în cauză, atunci el este un fi losof.

Această teorie platonic iană poate fi găs ită în Platon [2] şi are, după K. R. Popper [ 1 ], o sim i laritate superfic ială cu teoria modernă a sol idelor,

interpretate ca cristale, ideea acesteia fi i nd că part iculele elementare de d iferite configuraţi i sunt „răspunzătoare" de proprietăţi le nacroscopice ale materiei „vizibile"; „aceste configuraţi i sunt alcătuite d in figuri, plane, care la rândul lor sunt formate d in două tr iungh iuri e lementare : isoscel rectangu lar, care incorporează rădăcina pătrată a lui doi şi tri unghi rectangu lar jumătate ech i latera l (half-equ i lateral rectangular triangle ),

care încorporează rădăc i na pătrată a lui tre i , ambele alcătu ite d i n

iraţ iona l i" . Este o întrebare autentică ş i re levantă pentru sacr ific iu l fi losofiei matematice a lu i Platon de ce el a ales aceste triungh iuri . Pentru

că toate celelalte iraţioanale pot fi obţinute adăugând la raţional i mul tipl i

ai rădăcin i lor pătrate ale l u i doi şi tre i ; e l , P laton, a asumat cele două tri ungh iuri ca princ ip i i , Euc l id a arătat greşeala lu i Platon referitor la derivarea tuturor triungh iur i lor din acestea două, o concepţie care este ech ivalentă cu teoria greş i tă a comensurab i l i tăţi i re lat ive a tuturor · iraţ ionalelor cu sume de raţionale şi rădăcin i pătrate ale lu i doi şi tre i .

9 3

Prin alegerea tr iunghiurilor respective se spune că Platon a introdus „raţionalele" în lumea formelor, motiv pentru care Aristote l a văzut teoria p latonic iană a formelor ca fi i nd aceeaş i ca teoria p itagoric iană a „numerelor-forme", iar atom ism ul p laton ician ca „o variaţie m inoră a cel u i democritian" (K. R. Popper [ 1 ] ) .

După Popper [ 1 ], Aristote l , deşi a adm is asoc ierea aritmet ic i i cu „ impar ş i par" şi a geometr iei cu „ iraţionalele" nu a luat problema în serios, dar a luat ca gata adm is program ul lu i Platon pentru o „reformă" a matematic i i în favoarea geometrie i .

«Programul-reformă» platonician pentru ( sau în favoarea) geometriei poate fi schiţat ca bazat pe următoarele fapte remarcabi le, s i stematizate de K. R. Popper [ 1 ] :

1 ) Aritmetica era subiacentă pitagoreismulu i ş i atom ism u lu i lu i Democrit.

2) P laton conştientizează „criza" şti inţei (în spec ial a matematic i i ) greceşti generată de descoperirea iraţionalelor.

3 ) Geometria (d upă Aristote l şi Euc l id) tratează t ip i c despre „ incomensurabi le" sau „ iraţionale", spre deosebire de aceasta, aritmetica tratează despre „ impar şi par", astfe l spus, despre întregi şi re laţi i le lor.

4) „Elementele " lui Euc l id propun o matematică l iberă de asumpţia „aritmetică" (a comensurabi l ităţ i i ş i raţional ităţ i i ) .

5) Contri buţ ia lu i P laton la dezvoltarea geometrie i este marcată, ep istemo logic, dar şi pract ic ; însă contr ibuţ ia l u i este efect i vă în „geometria solidelor ".

6) Versi unea geometri co- p l aton ici ană d in Timaios " a teor ie i atom i ste care anter ior era pur aritmetică se modifică (este vorba de corpuri le p laton iciene din triungh iuri care au încorporat, cum deja am văzut, rădăc i n i pătrate i raţi onale a le lu i doi ş i tre i ) . A păstrat idei p itagoreice dar şi atomiste; a vrut să renunţe la v id, de care n-a avut nevoie în prob lema mişcări i (într-o „lume plină " paramen id iană) ; m i şcarea circulară este pos ib i lă, cu condiţia ca să exi ste un mediu -quasi l ichid - baza cartezian ismulu i şi a teor iei eterulu i ; şi deş i a fost şi paramen id ian a fost obl igat să reţ ină ş i v i dul în cazu l part icu le lor

94

elementare, alte le decât cubul ş i piram ida, care au spaţ iu între ele atunci când sunt împachetate .

2.7. PROB LEMA EXI STENTEI MATEMATI C E A ' V

I N O NTO LOGIA P LATO N I C IANA

Ontologia p laton i c iană a fost centrată pe d i st i ncţia aparenţăreal i tate (sens ib i l- i nte l ig ib i l), importantă în orice activ itate intelectuală, ce v i zează real i zarea une i ord in i teoret ice sau pract ice în lumea aparenţe lor supusă fluxu lu i sch imbări i . Platon a îndemnat la identificarea şi cunoaşterea real ităţ i i , ca un referenţial în dominarea lum i i aparente înconjurătoare. Sus-menţionata distincţie i s-a părutTelevantă fi losofu lu i în stud iu l matemat ic i i pure ş i ap i icate, o investigaţie care o lum inează retroact iv.

Prob lema existenţei matematice a fost ev idenţ iată de un i i interpreţi ai mare lu i fi losof grec în legătură cu ceea ce s-a numit o „a tre ia structură a sistemulu i" , o schemă conceptuală sugerată de unele texte ari stote l ice. Inst itu irea numerelor matematice şi a figuri lor geometrice, ca un„ oficiu" de intermediar între sfera intelig ib i lu lu i şi sfera sens ib i lu lu i , a dublat lumea inte l igib i l u lu i , căc i d incolo de Ideile ca esenţe generatoare ale d ivers i tăţi i cal itative a lum i i apar numerele ideale ( 1 - 1 O) şi figurile geometrice ideale (punctul , l in ia, suprafaţa, volumul) ce ar asigura o fundare aritmetico-geometrică pentru determ inaţi i le cantitat ive ale un iversu lu i .

Admiţând drept cunoscută teoria platon ic iană a formelor ( idei lor), en t i tăţ i abso lut rea l e, concepute ca i ndependente de percepţ ie , suscept ib i le de a fi defin ite, descrise exact ş i ca fi ind permanente, ad ică atemporale, eterne, teorie care identifică, dec i , real itatea (autentică) ca ş i criteri i le cărora aceasta se conformează, vom cita un fragment, din păcate prea lung din Proc los [ I ] (apud. O. Becker ( I , p. 1 46- 1 47]) . Proc los [ I ] scr ie textual despre exi stenţa matem at ică în v i z iunea p laton ic iană, argumentând în favoarea aserţiun i i anterioare despre ro lul

95

„ intermediar" al formelor m atem at i ce în an sam b l u l genur i lor de existenţă, postu late de această concepţie : „Existenţa matematică nu aparţine, d in punct de vedere al necesităţi i , n ic i ce lor mai înalte genuri de exi stenţă, n ic i celor mai joase genuri care sunt supuse împărţ iri i , în opoziţie cu existenţa s implă . Dimpotrivă, existenţa matematică ocupă locul de mijloc (s .n . M. Ţ. ) între entităţ i le nediv izate, s im ple, necompuse şi neseparabi le, pe de o parte, şi entităţi le divizate, caracterizate prin compoziţi i var iate şi mu lt ip le separări . Caracteru l de invariab i l itate, perm anenţă şi irefutabi l ite a propoziţi i lor, care se ocupă de ea dovedeşte superioritatea sa faţă de genurile de existenţă materială; dar d iscursiv itatea metodelor sale de cunoaştere, uti l izarea obiectelor exens ive de cercetare şi trecerea progresivă de la supoziţi i d in ce în ce mai noi la consec inţe tot mereu mai noi , toate acestea î i as igură e i un ro l mai m ic decât i se acordă lum i i exi stenţiale ned iv izate ş i perfect fundamentale în s ine însăş i . De aceea, eu cred că ş i Platon a d i str ibuit spec i i le de cunoaştere a existentulu i la ent ităţi superioare, i ntermediare şi inferioare . El atr ibu ia spec ia inte lectua lă lum i i ned ivizatu lu i ; specia intelectuală de cunoaştere distinge d intr-o priv i re în ch ip s imp lu intel ig ib i lu l şi depăşeşte celelalte moduri de cunoaştere prin caracterul său imaterial şi pur, ca şi prin faptul că îş i însuşeşte prin intu iţie obiecte le existenţe i . Lum i i div izatu lu i , care are cel mai coborât grad de existenţă ş i aparţ ine în întregime domen iu lu i simţuri lor, el î i atribu ie opinia care prinde numai o rază s labă a adevărului . Î n sfârş it , lumii de mijloc ( s . n . M. Ţ . ) , dec i genur i lor exi stenţe i matematice, care nu posedă esenţă nediv izibi lă ş i sunt superioare lum i i d iv izibi le, Platon î i atribuie gând irea mediantă (discurs ivă) . . . După cum genuri le de cunoaştere se deosebesc între ele, tot astfel se deosebesc prin natura lor şi obiecte le cunoaşteri i ş i

. anume lumea iotei ig ib i lă

depăşeşte pe toate celelalte prin imuabi l itatea substanţe lor sale, lumea s imţuri lor rămâne însă, în toate, în urma existenţei celei mai înalte. Obiectele matematice fi ind până la urmă ş i în genere ob iecte le gând ir i i med iante îş i susţ in situaţia lor intermediară (s .n . M . Ţ . ) . Faţă de ce le ce sunt intel igibi le, datorită separări i lor une le de altele, sunt superioare din punct de vedere numeric: faţă de lumea s imţuri lor, e le au avantaj u l

96

imateri al ităţi i . Faţă de primele, sunt inferioare d i n punctu l de vedere al s impl ităţi i , faţă de celelalte, sunt superioare prin exacti tatea lor ş i prin faptu l că oferă imagin i mai clare ale existentu lui intel igib i l decât lucruri le sens ib i le . . . Pentru a conchide spunem că obiectele matemat ice sunt expuse în anticamera forme lor existenţiale cele mai înalte ş i dezvălu ie exi stenţa unitară, nediv izată ş i creatoare a acelor forme . . . " .

Succint, ream int im că numai formele, esenţele, ide ile ( e idos), termen i aproxi m at iv in terşanjabi l i în vocabu laru l p l aton ic ian, se conformează criteri i lor de real itate absol ută; formele includ mode le (arhet ipuri ontologice) ale obiectelor fizice, dar ş i stări ideale de lucruri pentru care oamen i i merită să l upte, în să conex iun i cu fi losofi a matemat ic i i au numai primele. Core late formelor·(mese ideale, scaune idea le, este vorba de form e corespunzătoare lucrur i lor ob i şnu ite percept ib i le - „locuitori" ai lum i i fizice, ai sferei sensibilului) sunt un gen de entităţi ce se conformează exigenţelor de real i tate, ş i repetăm aici că real în accepţie platon ic iană înseamnă forma, precum numerele ar itm eti c i i sau ob iecte le geometr ie i pure (punct, l i n ie, suprafaţă, tr iungh iuri etc. ) . Dacă urmăm un i i interpreţi, ca Komer [ 1 , p. 2 1 ] , „în etapa finală a evo luţiei gîndiri i sale, Platon adm itea numai două t ipuri de forme: cele matematice ş i cele morale". Dar înainte de a ne angaja într-o di scuţie despre spec ificul , statutul ş i l im ite le fonnelor matemat ice să conch idem că în v iz i unea fi l osofică p laton ic iană aparenţa este caracteristica Imn ii sens ib i le (a percepţiei senzoriale), iar lumea.formelor - obiecte defi n ite, atem pora le, aspaţiale, independente de sp ir i t -const itu ie „marca ontologică " re levantă a realului (realităţii), referenţial al ori cărei act ivităţi intelectuale ce urmăreşte o ordine teoretică sau pract ică în vâ l toarea aparenţe lor atît de derutante . (Le i tmot ivu l platon ic ian al d i st incţiei real ş i aparent se expl ică, după Ari stotel [2] , prin aceea că Platon a fost influenţat de consideraţ i i l e fi losofice ale lui Heracl it despre adevăr v i s-a-vis de reflecţia acestuia din urmă că toate lucruri le se află într-o continuă c urgere (Pantha re i) . Ş i Stagi ritu l desfăşoară raţionamentul dacă lu lu l său - Platon - despre adevăr ş i pos ib i l itatea noetică a şt i i nţei astfe l : „Dar dacă e vorba să exi ste o şt i inţă

97

şi o cunoaştere a vreunui lucru trebuie să exi ste în afara lucruri lor sens ib i le, al te real ităţi permenente, căci nu poate exista o şt i i nţă a lucruri lor ce sunt într-un veşn ic flux".

Ch iar dacă nu adm item o p i n i a că în u l t ima fază a gând i r i i p laton ic iene formele sunt red use l a formele matematice ş i forme morale, oricum, platon ismul nu lasă dub i i cu priv ire la teza că această lume aformelor, cognosc ib i lă nu prin s imţuri, c i prin raţi une, conţine ş i formele matematice, în princ ipal acestea fi ind de două tipuri : aritmet ice şi geometrice şi care, în ansamblu l lor, formează obiectul matematic i i . P laton considera că exi stă asemenea ob iecte eterne independente de mi ntea umană ca „unu", „doi", „tre i", „patru", „cinci" . . . num ite forme aritmetice precum ş i obiecte eterne, la fe l i ndependente de gândirea noastră, ca „punct", „ l i n ie", „tri ungh i", „cerc" etc . , num ite forme geometrice . Propoziţ i i l e matemat i c i i descriu aceste forme şi re laţ i i l e d intre ele, ca în exemplele : „2 + 2 = 4" ; „cea mai scurtă di stanţă între două puncte este o l in ie dreaptă". Ş i cum aceste fonne au o multip l ic itate de reprezentanţi, natura acestora a generat controverse şi discuţi i . Komer [ 1 , p. 2 1 ] scrie referitor la acest aspect: „S-a ridicat problema la ce anume se referă teoria lui Platon ; de exemp lu, se referă ea la dubla apari ţ ie a lu i a lu i „do i" în enunţul «doi şi cu doi fac patru» , sau la dub la apariţ ie a „ l in iei drepte" în : «două l i n i i drepte care nu au toate punctele comune, au cel mult un punct comun»? Aceşti reprezentanţi ai lu i «doi» , adică aceşti numeroş i doi cu care oprează aritmeticiano! , sunt entităţi separate şi e le trebuie să fie deosebite de forma binarităţi i ; sau trebuie să spunem că orice se afirmă în aparenţă despre numeroşi doi, se afirmă în fond despre forma unică? O s ituaţie cu totul asemănătoare, au şi reprezentanţi i aparenţi ai « l in ie i» . După Aristote l , (spre deosebire de toţi comentatori i u lteriori ), Platon distingea: (a) formele aritmetice şi geometrice; şi (b) aşa-num itele entităţi matematice fiecare d intre ele fi ind reprezentantul une iforme un ice, fiecare formă având mai m ulţi reprezentanţi de acest fel". Obiectivitatea şi adevărul propoziţi i lor sau, al tfel fonnulat, răspunsul la întrebarea ce este acel ceva, în caz că există, care face aceste propoziţi i adevărate rezidă, după Platon, în cons iderarea acestora ca aserţ iuni despre

98

form e l e matem at ice . Exact i tatea, atem pora l i tatea propoz i ţ i i l or matematice sugerează p lauzib i l itatea concepţiei (p laton iciene) conform căre ia entităţ i le aritmet ice şi geometrice au o exi stenţă ob iecti vă, eventual inter-sub iect ivă. Concepţia lu i P laton pare să fie în acord cu înc l inarea firească a matematicienilor „lucrători" care se consideră mai curând n işte descoperitori de adevăruri noi, ad ică, parafrazând pe Frege, sunt geografi şi nu arheologi .

Geneza „lumii inteligibile matematice" es te exp l i cată pr in intervenţia, cuplului princ ip i i lor suprasens ib i le „ Unu-Diada" considerat mai curând cauza act ivă, uneori înţe leasă numai ca , ,Unu l" căru ia i se adaugă principi i le care guvernează tot domen iu l exi stenţei, am numit finitul şi infinitul. Exi stenţa inte l igibi lă, precum ş i exi stenţa matematică, parte a ei, este generată de „Unu l'', „fin itu l'' şi , , infin itu l", căc i, cum spune Proclos [ I , p. 1 4 8] , „genuri le de exi stenţă inte l igib i l ă part icipă prin s impl itatea lor mai întâi de toate la fin it şi infin it, datorită un ităţ i i ş i identităţi i lor, capac ităţ i i lor de permanentizare ş i durabi l i tate, e le sunt impregnate cu fin i t; datorită distr ibuir i i pe o mul ţ ime întinsă, datorită puteri i generat ive, alter ităţi i d iv i ne ş i procesu lu i de generare, e le sunt subordonate ş i acţiun i i infin i tu lu i . Exi stenţa matematică provine şi d in fin it ş i d in infin it. . ." .Domen iu l esenţelor inte l ig ib i le este guvernat de aceste principi i (fin itu l ş i infinitul), căci sunt dominate de cauza l im itativă dar se revarsă la infin it şi tot astfel este număru l începând cu unitatea, care totdeauna este fi nit, dar în ace laşi t imp are pos ibi l itatea să crească la infin it . Lucruri le stau identic când exam inăm mărim i le, deoarece mărimi le d iv izate sunt fin ite, însă procesul div izări i se derulează Ia infinit . „Supr imarea" infin i tu l u i ar sem n i fica exc lus iv comensurabi l itatea mări m i lor ş i în consecinţă d ispar i ţ ia proprietăţ i i ,, i raţional i tăţ i i", a entităţ i lor i raţionale şi cu aceasta şi a „gran iţe i" d intre aritmetică ş i geometrie, în fapt un „co lpas" al capacităţ i i creatoare a unităţi i . Pe de a l tă p arte , desfi inţarea " fi n i t u l u i , ar ech i v a l a cu e l i m i narea comensurabi l ităţ i i d in matematică (elementul comun a l rapoarte lor), a ident ităţ i i formelor, a egal ităţ i i ş i a tot ce impl ică o bună ord ine în lumea ob iectelor matematice.

99

Din cele afirmate putem formula două aserţ iun i-concl uzi i: a) este evident că matematica este subordonată ace loraş i princip i i ca orice altă existenţă; b) matematica, ca şi al te genuri de existenţă, nu se poate d ispensa de cele două princ ip i i - finitul şi infinitul.

Dar dacă expunerea noastră a putut fi conv ingătoare pri v i nd princi p i i le „Unul" , „fin itul ", „ infinitul ", nu tot aşa de clar apare ro lu l diadei (dual ităţ i i ) . Diada este un aspect fundamenta l ş i re levant al procesu lu i „demiurgic" al lum i i inte l ig ib i le, matematice. După un i i i nterpreţi, î l m enţ ionăm a ic i pe D . Bădărău [ l , p . 4 1 2] , dual itatea indefin ită ş i dupl icativă este în fi losofia lu i P laton princip iu l material, opus Unu lu i . „Cuplul Unulu i şi al Dual ităţ i i (Diadei)" - scrie autorul român - „este o rem iniscenţă la P laton care îşi are orig inea în fi losofia pitagoreiciană, unde Numărul, esenţă a lucruri lor, dev ine un princ ip iu de exp l icare a lum i i numai dacă îl completăm cu noţiunea de infin i t, care la rând ul e i nu este n imic fără part ic iparea un ităţ i i; de aic i, la pitagoricieni , d iada un ităţi i ş i a infi n itu lu i" . Conc luzia ar fi că nu diada indefinită este primul e lement, ci număru l, dar adăugăm noi, ea rămâne intermediatorul, mijlocirea în actul demiurgic al genezei entităţ ilor inteligibile, de fapt, matematice. Geneza ,fiinţelor " matematice a fost soluţionată d iferit de mar i i fi losofi ant ici, dar e lementu l lor comun era referinţa la lucruri le sens ib i le . D intr-o perspect ivă s-au conturat două modal ităţ i : una consideră că exi stenţa spec i i lor şi genuri lor matem at ice prov ine prin abstracţia de la lucruri l e sensib i le (Aristotel), a doua exp l ică existenţa abstractă a entităţi lor m atematice „pr in însumarea trăsături lor particulare într-o idee generală". Din această perspectivă, atr ibuită lu i P laton se recunoaşte existenţa fi i nţelor matematice ca fi ind anterioară ş i dec i „arhetipală" î n raport c u universul fizic, spaţio-temporal perceptibi l . Dacă adm item că existenţa matematică este derivată d in cea a lum i i sens ibi le (conform primei perspect ive), sufletul „plăsm uind" aposteriori în s ine ide i-entităţi , forme matematice ca ideea de cerc sau de triungh i uri materiale, atunci rămâne problema expl icări i caracterulu i exact ce î l au propoziţ i i l e matematice. Lucruri le matemat ice aflate în fluxul deven i r i i „herac l it iene" sunt incompat ib i le cu o existenţă permanentă a idei lor

1 00

imuabi le. Dacă tot ceea ce este cauză a unei cunoşti nţe invariab i le este cu atât mai mult de aceeaşi natură, cum rem arcă Proclos [ l , p. 1 5 1 ] , ş i dacă este imposib i l s ă transpunem ,,caracteru l celei mai înalte perfecţiuni de la ceea ce este imperfect la formele perfecte şi absolute de exi stenţă", (adm iţând că formele matematice provin sau din lumea sens ibi lă, sau din suflet), atunci numai rămâne decât să susţinem în acord cu autorul citat că „sufletu l trebuie adm is ca creator al conceptelor ş i formelor existenţei matematice". Dar avem aici un teren comun pentru ambele concepţi i-p latonic iană ş i aristotel i că. Proc los [ l , p . 1 5 1 ] schiţează în acest loc com un - a l sufletului creator - o „bţfurcare Platon-Ari stotel însoţ ită de pledoaria l u i pentru concepţia primulu i dintre cei do i . „Dacă însă sufletu l concepe în s ine imagin i le in iţ iale - conform esenţei sale -conferindu- le existenţă concretă ş i dacă produsel e sunt emanaţi i a le fonnelor existenţiale care se regăsesc deja în suflet, atunci printr-o astfel de atitud ine noi ne aflăm de partea lu i P laton şi am fi putut găs i adevărata exi stenţă a şt i i nţei matematice". Proclos combate v is-a-vis de P laton concepţia lu i Aristotel căc i în ipoteza acestu ia d in urmă sufletu l n-ar poseda şi nu ş i-ar însuş i mai d inainte concepte şi ar produce doar o „ţesătură imaterială ş i extrem de subt i lă ş i creează o şt i inţă aşa de însemnată", însă, atunci dacă „sufletu l nu are existenţa acestora în s ine (este vorba de forme - s .n . M. Ţ.), cum poate crea o mult ip i l ic itate aşa de complexă de concepte?". Conc l uzia de factură p laton ic iană şi văd it anti-aristote l ică este ev identă în interpretarea propusă de Proclos [ 1 , p. 1 5 1 ] : „dacă formele existenţiale matematice îşi au provenienţa în suflet şi acesta nu posedă ide ile creaţi i lor lui din lucruri le sens ibi le, atunci el le lasă pe acestea să ia naştere din idei, şi dureri le zămis l ir i i sale creatoare sunt emanaţ i i ale formelor durabi le şi eterne".

Vech i i greci considerau că lumea este raţională ş i cum raţional itatea de t ip matematic este cea mai pregnantă, urmează un ro l spec ific al aritmetic i i şi geometrie i în ansamblu l arh itecton ic al realu lu i . Ş i cum aritmetica stud iază ş i raporturi între numere, iar geometr ia cercetează re laţi i le (geometrice) deducem uşor că universul ontic al grec i lor antici nu era redus la substanţă, obiect. Abel Rey (apud. Platon - ,,Opere" -

1 0 1

vo i . I, p. XL) notează: „Să-i mu lţumim lu i P laton pentru că a văzut şi nu a subaprec iat importanţa relaţiei şi n ic i faptul că cea mai prec isă formă a acesteia este relaţ ia matemat ică". Aşadar lumea obiecte lor matematice este complexă, ireduct ib i lă Ia ipostazierea substanţei, obiectului,· de fapt, relaţia ( raportul) - „locuitor" important al acestuia subun ivers de entităţi (ale m atemat ic i i ) - a cond us, în unele cazuri spec ifice la straneităţi tu lburătoare v is-a-vis de raţional itatea ce conferea atâta ech i l ibru ş i s imetr ie în p lan nu numai i nte l ectual c i ş i moral, po l i t ic ş i estet ic, construcţ i a m etafi z ică p lato n i c iană asumând, în mod ev ident, o arhitectonică a valorilor, a axiologie. Aceste stranietăţi, sfidând puterea raţională a omulu i , au fost furnizate de matematici şi au fost datorate celebru lu i fenomen al incomensurabilităţii l atur i i ş i d iagonalei unui pătrat, ceea ce semnifică absenţa unui număr calculab i l, raţional care să exprime raportul d intre cele două lungim i ; în universul matematic al grec i lor din antichitate apărea un „ intrus" straniu cu un comportament aberant de Ia ex igenţe le raţional ităţi i - este vorba de numărul iraţional. Fenomenul incomensurabilităţii (conex re laţii lor matematice) a trasat „graniţe" între sfera aritmetic i i şi cea a geometriei , i ncomensurabi l itatea fi ind depăş ită în cadrul u l t ime i . Într-adevăr, în cazul în care constru im pătratu l d iagonalei , acesta ne dă raportul căutat, ca raport (de egal itate) între acest pătrat ş i suma pătrate lor geometrice ale celor două latur i . P laton a văzut în aceasta „raţionalizarea" geometrică a iraţionalului. E l im inarea , ,iraţionalizării" se poate face pr in ape l la geom etrie ş i, în acest caz, este vorba de rădăc ina pătrată a l u i 2. În geometrie se poate constru i un pătrat a cărui latură să fie d iagonala altui pătrat cu latura 1 , pătratul constru it fi ind egal cu 2. Î n lum ina acestor even imente s-au înregi strat profunde semnificaţi i atât în p lan matematic, cât şi în p lan ep istemolog ic, d intre care am int im: numerele, care până Ia aceste even i mente deţineau poz iţia centrală pe scena matematricii, s-au doved it reductib ile (în cazu l iraţionale lor) la figuri geometrice, ş i pri n aceasta geometria dobândeşte , ,o întâietate" v i s-a-v is de ari tmetică� epistemologic, se produce o „erodare" şi deci o „detronare a intuiţiei ar itmetice" în favoarea intuiţiei geometrice.

1 02

Matematicul are, în ontologia platoniciană, funcţia de intermediar între cele două sfere (ale ide i lor şi ale lucruri lor) şi eforturi le fi losofului grec de a menţine „separaţia" între cele două lum i - intel igib i lă ş i sens i b i l ă - par răsp lăt i te . I de i l e matemat ice ad uc o j ust ificare a autonomiei lumi i intel igibi le, deoarece ele au o particularitate remarcabi lă fi ind si ngure le idei care nu au statutu l de esenţe ce ar corespunde unor lucruri sens ibi le; în lumea sens ib i lă nu exi stă n ic i numere, nici figuri geometrice în s ine, ca forme matematice.

Cultura matematică a produs în viziunea lu i Platon o axiologie cu re levanţă cosm ică. Platon [ 1 1 , VI I , 8 l 8c] spune că omul este o fi inţă d iv ină deoarece posedă şti i nţa numerelor şi astronom ia, iar acest fapt semn ifică după el (Platon [2, 47, AC] ) a fi fi losof. Organ izarea cetăţi i este v iab i lă dacă respectă princ ip i i l e comensur�bi l ităţi i ş i proporţi i lor matematice, iar privind meşteşuguri le, po l itica, econom ia le posedă numai cei in i ţ iaţi şi exersaţi în şt i i n ţa numere lor ( P l aton [ 1 ]). Suprema înţelepc iune nu se poate dobând i decât prin stud iu l matematici i , căc i înţelept este cel care a pătruns unitatea Un iversu lu i , ori aceasta este acces ib i lă matematic i i, şt i i nţa care dezvălu ie acordul exi stent în orice figură geometrică, în orice combinaţie ordonată de numere, în orice compoziţie muzicală, ca şi armonia m işcăr i lor siderale". Caracteru l de real al natur i i ş i v ieţ i i soc iale nu poate fi identi ficat, expl icat ş i j ustificat fără invocarea stud i i l or matematice, pare să fie concl uzia fundamentală a v iziun i i onto logice a lu i Platon .

După unele interpretări, matematica i-a servit lu i Platon în dialogurile de bătrâneţe să-şi reconsidere întrucâtva opin ia faţă de real itatea sensibi lă, deoarece ind iv idual itatea oricăru i l ucru, „ locuitor" al acestu i gen de existenţă, este produsul unui „amestec" între anumite infinitudini cal itative şi fin itud in i ind iv i dual izante, amestec reglat de măsură (cuantumul presupus de acel ind iv idual ). I . Banu [ 1 ] notează: „Ori măsura, cuantumul sunt determ inări matematice. Un lucru este ceea ce este printr-o dublă cuant ificare (matematică): a) e l , prin ident ificarea lui , este un agregat al unui număr detenn inat de cal ităţi ideale (Socrate este Raţiune + Virtute + Bunătate+ Spirit Civ ic+ Simţ estet ic etc .); b) din fiecare cal itate el posedă

1 03

o cantitate determ inată, care poate fi exprimată numeric" formulări platon ice parafrazate, apud. Platon l3 , p. XLIV]). Asemenea formulări, în c iuda caracterulu i lor vechi , sugerează că Platon a depăş it princip iu l p i tagore ic , ,orice lucru este număr" care condensa o prea d irectă semn ificaţie , ,substanţială'', în sensul „capturării" acestuia într-un principiu

mai modern, dialectic, al calităţii şi cantităţii. Platon are o viziune matematică astotcuprinzătoare, astfel că în Platon

[2] sugerează o geometrizare a elementelor materiei, (cele c inci t ipuri de pol iedre sunt considerate ca figuri volumetrice corespunzătoare celor 4 substanţe) şi a întregului univers după cum urmează: cubul pentru pământ, isosce lu l pentru apă, octaedru l pentru aer, tetraedru l pentru foc, iar dodecaedrul pentru un ivers. Şi, mai mult, prin ana logie cu atomismul, democrit ian, analogie care, fireşte, l -ar fi iritat profund pe Platon, deoarece suprafeţe le pol iedrelor sunt triungh iu lare (sau reductib i le la triunghiuri le echi laterale ori isoscele) se poate conchide că triunghiul drept este figura „aromară" a U niversu lu i . Geometria în filosofia lui P laton părăseşte semnificaţia originară, căci încetează, cum sugera et imologia termenulu i însuşi, de a mai fi o şt i inţă legată exclusiv de pământ, dobândind acum valenţele complexe, relevanţa dev ine cosm ică, obiectul ei este acum sfera universului, universul este un autentic obiect geometric „capturat' într-un complex ed ificiu de componente tri unghiu lare. Abel Rey (apud, I. Banu [ I ] ) apreciază că poate numai pitagoreri i pot fi comparaţi cu Platon referitor la această v iziune matematizantă asupra întregu lui univers, însă el rămâne, oricum „s ingurul savant al antichităţ i i care a văzut în ord inea matematică raţiunea ord in i i , a « legi.tăţ i i» fizice".

Dar matematismul platonician oferă cheia înţe l egeri i nu numai a Universului , sau, poate, mai corect, a n ivelu lu i sens ib i l , i lustrat de fizică, astronom ie, cosmologie, ci şi a nivel u lu i inte l ig ibi l; referitor l a n ive lu l sen s i b i l în „Epinomis" (977C) (apus P laton [3 , p . XLVI]) găs im aserţiunea care tocmai probează interpretarea de mai sus, ş i anume că cel care nu posedă şti i nţa numerelor „nu va putea să-ş i as igure asim i larea raţională a ceea ce a dobând it pe care perceptivă".

1 04

Revenind la funcţia matematismului platonician în înţel egerea sferei idei lor, observăm, în sp ir itu l acestei filosofi i , că această l ume intel igibi lă, sfera „cea mai rea lă" a Un iversu lu i, va trebu i să expl i ce ş i să j ustifice esenţa relaţi i lor cal itat ive ş i cant itat ive propri i lucruri lor din un ivers. Prin natura lor, ide i le sunt relevante pentru cal ităţi, însă sfera, extens i u nea lo r conţ i ne un aspect ce ţ i ne de cant i tate, iar între com prehens iunea (conţinutu l) ş i extensi unea (sfera) lor se stabi l eşte o proporţional itate inversă, suscept ib i l ă de ca lcul matematic cu funcţie orientat ivă în această sferă a Idei lor. „Dar terna cal itate-cantitate, cer inţa statorn ic ir i i cuantumulu i cal i tăţi i - şti ind că Ide i l e dau socoteală de cal ităţi le lucruri lor - conduce pe Platon către conturarea nivelu lu i de esenţe cantitative, Numere şi F i guri Ideale, desti nate să contureze cvas i autonomia cu care matem at icu l operează în l umea Ideală ş i guvernează funcţi i le pur cal itat ive a le acestora. De aceea - cum rezu ltă vag d in d ialoguri, dar destul de exp lic it d in re latări le orale din Academie - Princ ip i i le matemat ice (Numere şi Figuri Ideale) constitu ie un nivel aparte În structura târzie, a tre ia, a Teoriei Ideilor, suprapus n ive lu lu i acestora, (o d ist incţie structurală între ide i ş i principi i matematice pe care nu o acceptă toţi interpreţi i modern i ) . Numere le şi F iguri le Ideale au m is iunea de a statorn ic i pe planu l esenţelor gradul de mult ipl ic itate al lucrur i lor reale, guvernate de cal ităţi le ideale ş i, respect iv, geometria lor intr insecă. Sunt dec i princ i p i i aritmo-geometrice ale cal ităţi lor" ( I . Banu, [ 1 , p. XLVI ] ) . Dacă număru l Idei lor-cal ităţi este poate infin it, cel al principi i lor matematice, să le numim din con siderente de s imetrie Idei-cant ităţi, este strict determ inat: zece numere şi patru figuri ideale. Pentru Platon, princ ip i i l e, ide i le matematice sunt abstracţi i superioare Idei lor, subîntinzând o mai mare diversitate, căci sunt capab i le să exprime funcţ i i cantitative chiar ale Idei lor.

„Oficiul" de intermediar este demonstrat de un i i exegeţi, între care ş i autorul mai sus, citat, d in perspectiva ontologică şi din perspectivă gnoseologică. Ontologic, numerele sunt considerate legate de sensib i l , deoarece expri m ă m u l t ip l ic i tatea, fiecăru i ind iv id , m u lt ip l i c itatea membri lor unei spec i i , în consecinţă, seria infin ită a numerelor ar fi de

1 05

ord i nul celor sens i b i le ş i raţionamentu l se apl ică şi în cazu l figur i lor geometr ice. Î n acelaşi t imp, or ice număr este inte l ig ib i l , dec i imaterial, unic, imuab i l , atr ibute ale Ide i lor, ceea ce face d in numere entităţi ideale, după cum despre figura geometrică - pătratul - spunem d in aceleaşi raţ iun i că este un princ ip iu al cvadraturi i, o figură ideală. Î nrud irea princ ip i i lor matematice cu sens ib i l u l , dar şi cu inte l ig ib i l u l îi conferă rol u l de i ntermed iar. Gnoseologic, spunem numai că matemat ica as igură abordarea şt i inţ ifică a sens ib i l u lu i ş i - l j ust i fică ca o „punte" şi între matematica pură ş i matemat ica apl icată.

2.8. FILOSOFIA PLATONICIANĂ A MATEMATICII CA DIALECTICĂ SAU METAMATEMATICĂ

Meditaţia fi losofică (platon ic iană) asupra matematic i i a avut o profundă influenţă asupra teorie i generale a cunoaşteri i pe care fi losoful grec a constru it-o . După un i i interpreţi modern i a i fi losofiei antice, p itagorei i puneau pe ace laş i p lan şt i i nţa ş i fi losofia, Socrate îndem na la determ inarea ipoteze i prin invest igaţ ie prudentă, în t imp ce P laton se va angaja pe un drum nou: fi losofia sa a matemat ic i i va plasa matematica ca o „ştiinţă intermediară", s i tuată în regiunea otavma în sensul că adevărul e i subzistă, rezidă într-o şt i i nţă super ioară.

F i losofia matemat ic i i a l u i P laton, la n ive lu l cel mai înalt şi în forma sa defin it ivă, era „dialectica " sau „ metamatematica" pe care, însă, el nu a expus-o complet; ob iectul invest igaţie i aceste ia îl cons itu ie „numerele ideale" ş i ,,figurile", „mărimile ideale", dar despre modul în care se determ ină prec is natura acestor ent ităţi nu aflăm de la P laton .

Despre d i a lect ică în accep ţ i a ant i c i l o r am ma i spus une l e caracterist ic i, a ici s ă ream intim doar ceea ce cons iderăm esenţial ş i ca având legătură cu problema ce o tratăm . D ialect ica este o metodă de argumentare caracterist ică metafizic i i (fi losofiei) ş i derivă în l imba greacă de la verbul „a discuta ", premisa d ialectică fi ind, cum spune Ari stotel [ 4], una aleasă de un partic ipant Ia dezbatere în argumentare. D ialogur i le

106

l u i Platon exem pl i fică ap l icarea aceste i metode şi în Platon [5], aşa cum deja am mai spus, Teetet postu lează teza după care „cunoaşterea este percepere", iar d in această premisă Socrate deduce consec inţele ce- l constrâng pe acesta să o abandoneze. În perioada m ij loc ie Platon foloseşte dialectica în vederea stab i l i r i i , mai corect, a exam inări i propoziţ i i lor, denum ite „ipoteze ", prin evaluarea consec inţelor derivate d in acestea; dacă consecinţa era inacceptabi lă, i poteza trebu ie resp insă. Schema de raţionnament folos ită ducea numai la rezultate negative: „Dacă P, atunci Q; dar nu Q, dec i nu P"; argument t ipic de argumentare pentru respingere, observă W. ş i M. Kneale [I, p. 16]. Procedeul presupunea, oricum, faptul să se obţină prin derivare consec inţe empir ice, cunoscute ca false, dar m a i c u seamă m etoda s e baza pe deduce re a u n o r consec i n ţe autocontrad ictori i (P laton [ 6]).

,c

W. ş i M . Kneale op inează despre mode lu l t ip ic de argumentare angajat de metoda dialect ică, că „i-a fost probab i l sugerat l u i Platon nu numai de procedee le lu i Socrate de resp ingere a op i n i i l or necr it ic susţ inute de contem porani i să i , dar ş i de fo los i rea raţ ioname nte lor metafizice prin reductio ad impossibile de către Zenon din E leea. În ,,Parm enide" Platon îl pune pe Zenon să susţină că ar fi scris o carte în care apără mon ismu l l u i Paramenide, scoţând la iveală consec inţe le absurde ale supozi ţ ie i că „există o plural itate". Zenon ar fi cons iderat, după uni i ca D iogene Laert i us ş i Sextus E m p i r icus , inventatoru l d ialect ic i i . Dar ceea ce Aristotel i -a atr ibuit l u i Zenon, despoperirea folos ir i i l u i reductio ad impossibile în metafizică e probab i l să- i fi fost sugerat acestu ia de folos i rea ei în matemat ica p itagore ică. , , Într-adevăr, se presupune că p i tagore i c i i au descoper i t i ncomensurab i l i tatea d iagona le i cu latura pătratu l u i, respect iv, în term ino log ia modernă

iraţional i tatea l u i J2, iar demonstraţ ia aceste i propoziţ i i, care n i s-a păstrat ca o i ntercalare în textul lui Eucl id, are forma unei înai ntări spre impos ib i l". (M. ş i W.Kneale [ l , p. 16]). Eucl id d in Megara a atacat demonstraţ i i le nu prin prem ise, c i prin concluzie, iar membri i şco l i i sale erau num iţi d ialect ic ien i . Socrate însuş i a pract icat această tehn ică de

107

respingere a ipoteze lor prin indicarea consec inţe lor incompat ib i le la care acestea conduceau. Deoseb irea faţă de Zenon ar fi , (adm isă esenţa metode i ca reductio ad impossib ile), că rezu l tate le la care conduc ipoteze le nu trebu ie neapărat să fie autocontrad ictori i, este sufic ient să fie doar fal se, ceea ce am văzut d in „Fedon".

P laton [7] pare să fixeze un alt înţe les „d ialectic i i " ş i anume este metoda de argumentare ce impl ică respingerea, dar conduce, în cele d in urmă, „ la rezultate pozit ive de mare general i tate" . Î n perioada târz ie dialectica dev ine metoda d iv iz iun i i (a căutări i defin iţ i i lor pr in d ihotom ia noţi un i lor, începând cu cele generale) ş i reuni r i i .

Ep i stemo log i a ş i metodo log i a p l aton ic iană, com ponente a le fi losofie i sa le a matemat ic i i , au fost înrădăc inate în criza matematic i i el ine provocată d e i raţi onal itatea (rădăc in i i l u i 2). Prin descoperirea iraţionalelor (a incomensurab i l ităţ i i ) relaţ ia d intre gând i rea aritmetică şi real i tate s-a rupt „domnia numerelor", marcată de descoperir i le capitale ale pitagorei lor, a eşuat; aritmetica a cedat locul geometr ie i , „dinastia aritmetismului " a fost Înlocuită de cea a euclidianismului. Gândirea ş i intu iţia aritmet ică s-au dovedit vulnerab i le în faţa am intitu l u i fenomen al iraţionanelor, graniţele inte l ig ib i l i tăţ i i (pur aritmetice) au fost depăş ite de geometrie ş i construcţi i l e e i . Paralel i smu l conceptelor numerice ş i al reprezentări lor geometrice n-a mai putut fi menţinut. Situaţia conceptuală nouă a plecat de la relaţia d intre catete le şi ipotenuza unu i tr i ungh i drept, fixată ca un adevăr în celebra teoremă a l u i P i tagora; date l e sunt următoarele într-o relatare succ i ntă (datorată l u i L . Brunschc icg [ 1 ]): pătratul este figura dreptunghiu lară cea mai s implă, pătratul numeric cel mai s implu fi ind acela a căru i latură este egală cu unitatea; observaţia empir ică relevă că dacă d iagonala pătratu lu i, care are latura egală cu unitatea, este l uată drept latură a unui nou pătrat, suprafaţa acestu ia este egală cu doi. Problema care se pune acum este următoarea: care va fi l ungimea exactă a ipotenuzei unui tr iunghi dreptunghic i soscel ale cărui laturi sunt egale cu uni tatea? Încercăr i l e de a găs i o expres i e fracţionară al cărui pătrat să fie egal cu 2 au eşuat. Este defin itiv eşecul? S-ar putea descoperi rădăcina exactă a lui 2 operând cu un ităţi de măsură d in ce în

108

ce mai m ic i? Grec i i au tranşat problema printr-o demonstraţ ie . Dacă diagonala este comensurab i lă cu latura pătratu lu i , atunci raportu l ia forma

unei fracţi i i reduct ib i le �. Teorema lu i Pitagora d2 = 2c2 ne spune că d c

este par, de aic i s-ar putea conch ide, d ş i c fi i nd pr ime între e le , că c este impar. Însă caracterul par al l u i d perm ite rescrierea teoremei sub forma

4( % r = 2c' sau 2( % ) ' = c2 ceea ce antrenează pari tatea l u i c.

Presupunând d ş i c comensurab i le, rezultă că c este în acelaş i t imp impar ş i par. Concluzia raţ ionamentului este că se stab i leşte impos ib i l itatea de a face să corespundă un număr detenn inat de un ităţi diagonale i unui pătrat care are unitatea ca d imens i une a laturi i� numărul ar trebu i să fie acela care are pătratul 2 şi cum ar trebui să fie în acelaşi t imp par şi impar nu ar avea „stare civilă" fi ind în afara inte l ig ib i l ităţi i raţionale profesate de pi tagorei . Ontologic, existenţa matematică a fost echivalată de pi tagorei cu un gen de inte l igib i l itate aritmetică, ori iraţionalele transcend sfera exi sten tu l u i astfe l conceput . Dar, interesant, m ăr i mea în cauză „condamnată" în numele t ipu lu i de intel ig ib i l itate raţională adm isă de p itagorei , deşi nu este, nu poate fi măsurată în plan numeric, poate fi constru ită ş i determ inată în plan geometric. S-a produs rupturaechilibrului şi am intitu lu i mai sus paralelism aritmetico-geometric statuat în fi losofia pitagore ică a matemat ic i i . ,,Dogmatismul" pitagorician a fost inval idat de aritmetică greacă, celebrele apori i ale lu i Zenon semn ificând pentru vechi i greci impos ib i l itatea co inc idenţei d intre plural itatea discont inuă, p itagor ic iană a punctelor aritmetice (sau ch iar plural itatea democrit iană a atom i lor înt inş i) ş i real itatea continuă a concretu lu i .

O nouă concepţie despre cunoaştere ş i adevăr, în particular despre matematică şi intuiţie. Dialoguri le p latoniciene consemnează evenimentu l major, de răscruce d in istoria şti inţei antice, şi de p i ldă în Platon [ 121 se stăruie asupra acestui aspect al cunoaşteri i matemat ice, atunci când pentru demonstrarea „tezei reminiscenţei" imaginaţia numerică duce la răspunsur i

109

inexacte, mărtur is ind o epu izare a resurse lor cunoaşteri i aritmet i ce dogmatice. Ext i nderea inte l igib i l ităţ i i s-a produs sub impactu l cunoaşter i i geometr ice, de a c u m dogma prea naivă a p itagore i sm u l u i despre identificarea lucruri lor cu numerele devine insutenabi lă.

Cunoaşterea matemat ică nu trebu i e i zo lată de întregu l s i stem platon ic ian al şt i i nţe lor, de doctr ina p latonic iană a şt i i nţei ş i care tri m it în u lt imă anal iză la d i st i ncţia „sens i b i l - inte l ig ib i l ", centra lă în onto logia ş i gnoseologia mare l u i fi losof. Este valorificată remarcab i l contr ibuţia lu i°Socrate priv ind degajarea noţiuni i ş i sprij in i rea gând ir i i part ic ipanţi lor la d iscuţie pe ipotezele iniţ iale (de pornire), de fapt cerinţe ale d ialect ic i i socrat ice pe care doctr ina p latonic iană a şt i i nţe i calch iază.

Şt i inţa matematic i i invită la contemp larea naturi i propri i a entităţi lor cu care operează: numere, figuri, mărim i etc . Aritmet ica, de exemplu, parv ine la ipoteze fundamentale, cum ar fi cele refer itoare la d iv iziunea numerelor pare ş i impare şi, pornind de aici, formu lează propozi ţi i pe care încearcă să le demonstreze. Geometria operează cu figuri v izibi le, mai prec is se serveşte de acestea, dar obiectul gândi r i i geometrice îl const itu ie o rea l itate mai profundă cu care acestea se aseamănă. Demonstraţi i le geometrice îşi au raţ iunea lor adâncă în exi stenţa unor ent ităţi de genul „pătratul în sine", „diagonala în s ine" etc. ş i nu în corespondenţa lor plast ică în reprezentări grafice uzuale, ce nu sunt decât s imple imagin i, la care matemat icien i i recurg pentru a sugera aceste realităţi care sunt accesib i le numai prin intermed iu l gândiri i pure.

Activ itatea matematicianul u i constă esenţialmente în demonstraţ i i , acestea trebu ie să fundeze propoziţ ia enunţată pe principii elementare. Diogene Laert iu şi Proc lus ne-au transm is că P laton (îndeoseb i prin Cartea a VII-a a „Republ ic i i") este ce l care a i ntrodus în geometrie metoda anal it ică, a căre i caracterist ică constă în aceea că duce propoziţ ia până la un princ ip iu adm is. Uzu l metodic al anal izei rezidă nu în descoperi rea adevăruri lor (matem atice), ci în descoperi rea propoziţ i i lor ( lemele) care ar perm ite verificarea. De fapt, Pi tagora, generaţi i le ce i-au urmat ş i însuş i P laton au avut preocupăr i metodo log ice ce v i zau degajarea metodelor de demonstraţ ie, o act iv i tate care nu îi era stră ină lu i Socrate.

1 1 0

Regresia anal i t ică p leacă de la observaţia asupra sens ib i lu lu i ş i a pract ic i i pentru a aj unge la i poteze le fundam entale pe care se bazează matemat ic ianu l, în t imp ce şt i i nţa procedează de la aceste ipoteze la consec inţe.

Anal iza este re lat ivă la deducţ ia progres ivă, înaintează d i ncolo de i poteze, încearcă să le fundeze pe princi p i i .

Raţionamente le au ca punct de plecare i potezele, pe care, dacă sunt sufic ient de clare, nu le j ustifică. Aceasta este munca pe care o fac „tehnicienii", dar dacă nu se merge d incolo de supoziţ i i , atunci această matematică (de n ivel „tehnic") nu merită numele de şt i inţă (autent ică).

Am văzut at i tud i nea p i tagore i lor faţă de raportu l „şt i inţă ş i fi losofie", ş i anume aceştia l e consideră pe ace laş i pl�n. Ori , Platon [7] face o d ist incţie netă între fi losofie şi şti i nţă, cons iderând fi losofia ca autonomă.

Dialectica (metamatematica) are menirea în v izi unea platonic iană de a întemeia i poteze le („tehnic i lor part iculare") pe princ ip i i , de a lua în poses ie regiunea necondiţionatului. Este un demers transcendent anal izei , care forţează un lanţ neîntrerupt de ide i până at inge princ ip iu l absolut, zona lum i i independente de sensi b i l .

F i l o sofi a p l ato n i c i a nă a matemat i c i i va f i d i a lec t i c ă sau metamatemat ică ş i ob iectu l e i este, deci , format d i n numere ideale ş i figuri ideale .

În Platon [6] este invocată „teoria participării" pentru expl icarea naturi i numerelor; astfel ses i zăm o ezitare în a se consi dera că ad iţ ia lu i „ unu" este sufi c i e ntă să producă „do i " , de aceea este i nvocată „part ic i parea" la esenţa proprie a d iade i . Textu l din „Fedon" susţine concepţia că i deea de număr este nu numai d i ncolo de număru l sensibil, ci ş i d incolo de numărul aritmetic. Există o mu lt itud ine de numere asemănătoare între e le, neavând decât o unitate spec ifică, dar ideea este priv i leg iu l unităţi i veritabile, care este unitatea numerică ea însăş i . Fiecare d intre numerele până la zece are o idee corespunzătoare, fiecare asemenea idee având o structură proprie . Locul acestor numere ideale ar fi între ide i şi princ i p i i .

I I I

Princ ip i i le numere lor sunt „unul" şi d iada „Marelu i" şi „Miculu i". Ari stote l spune că „unul" este forma, iar „d iada" este materia, o opoziţ ie fundam entală conformă trad i ţ i e i genera le a cosmolog ie i greceşti ş i rataşată profund opozi ţi i lor pitagoreic iene, c u d i ferenţa c ă aici „ l im itatul" a devenit „unu l", în t imp ce „ne l im i tatul", opusul l u i „unu", ş i -a p ierdut unitatea sa stat ică în favoarea une i d iv izări generatoare a unei duble m i şcări a măr iri i ş i m i cşorăr i i . În P laton [ 4] infi n itu l este caracterizat astfel: „Tot ceea ce dev ine mai mu lt sau mai puţin, care comportă puterea ş i dulce le, excesu l şi orice alt l ucru asemănător trebu ie să- l raportăm la genul de infi n it ca un sort de unitate" . Unu l este identicul , gen suprem, pe când infi n itu l com portă eterogen itate perpetuă.

Princ ip i i le numerelor ideale sunt princ ip iu l fi losofiei matematice la Platon; d in combinarea lui ,,unu" cu „ infin itul" se produce dezvoltarea fi losofiei p laton ic iene şi spre deosebire de predecesor i i l u i P laton, care operau o „săritură" în acest interval „unu- infin it", el obţine, graţie acestei combinări, etapele intermediare pentru a putea domina d iversu l şi mobi lu l cu un princ ip iu a l „ l im ităr i i" , ce face să înceteze contrad icţi i le ş i să apară măsura şi armonia.

Concepte le de număr ş i proporţ ie nu au doar un caracter pur matemat ic, căci posedă ş i o frumuseţe internă, de ord in i nte lectua l, dar şi o valoare afect ivă, morală.

Graţie dialectic i i , matematica încetează de a mai fi o s implă şt i inţă strict pozit ivă, ea acum part ic ipă la ideea de B i ne (am adăuga şi de Frumos) sau prin intenned iu l acesteia d in urmă part ic ipă la prima), dev ine o autent ică şt i i nţă a măsur i i , cu un nou or izont de apl i caţ ie ş i orientată spre un ideal de final i tate; conex iunea matematic i i cu „umanităţile" este pe dep l in asigurată.

Panmatematismul platonician este excelent i l ustrat în P laton [ 1]: corpuri le elementare au forma pol i edre lor regu late (tetraedre, octaedre, i soscaed ru, cub etc .) proven i te, der ivate d in form e l e s i m p le a l e tri u ngh iu lu i (tr iungh i dreptungh ic, i sosce l , ech i lateral). Ce le patru elemente prin d ispunerea lor formează o proporţie geometrică, şi căre i membri i sunt ,,numerele solide" (produse de tre i numere prime). Pământul

1 12

şi focul sunt extrem i iar apa şi aeru l in termed iari (mezi) ş i cond i ţ ia conex iun i i, e l ement pentru înţel egerea unu- infi n i t, este îndep l i n i tă, cond iţ ie a şti i nţe i platonic iene, dar şi a intervenţiei Dem iurgu lu i , cond iţ ie a frumuseţ i i , care este frumuseţea l i n i i lor ş i a legături i fenomenelor. Cosmogon ia aritmetrică în Platon [2] include şt i i nţe ca astronomie ş i până l a pato logie . Panmatemat ismul platonic ian a matemat izat natura, ant ic ipare a şt i i nţe i moderne - reducerea fenomene lor la comb inaţi i aritmetice sau geometrice. Pretenţia p itagoreismulu i şi platonismului este nu numai identificarea raporturi lor ci şi stab i l i rea corespondenţei termen cu tennen; odată stabi l i te proprietăţi le unei „esenţe numerice", aceste proprietăţi vor fi regăs ite într-o real i tate oarecare de ord i n d iferit pe ca lea analog ie i .

Dar princ ip i i l e „unul" ş i „ infin itu l" ca num�re determ inante ale sufletu lu i şi corpul u i au o încărcătură d inco lo de caracteru l şi puritatea spec ifică aritmeti c i i ; cum comunică pr i ncip i i l e o v i rtute u ltra-cant i tat ivă numere lor? Punctu l centra l al metamatemati c i i platon ic iene rămâne determ inarea numere lor ideale care sunt plasate d i ncolo de numerele matematice propri i ; dar, în d ialoguri Platon păstrează tăcerea asupra acestu i aspect, tot ce m a i aflăm datorăm note lor de la s fârş i t u l „Metafizic i i " l u i Ari stote l . Ceea ce aflăm despre doctri na academ ică a numere lor ideale sunt următoare le: tetrada este compusă d in d iada primă ş i d iada nel im itată. Operaţia de compunere presupune un element pas iv ş i element act iv, d iada indefinită are ro l de mult ip l icator, mai prec is de dupl i cator, ceea ce î i conferă putere nel imi tată, ea produce octada. Diada determ inată este „acaparată"; se naşte oare prin ap l icaţia un ităţ i i la d iada i ndeterm inată? În şcoala p latonic iană ş i p i tagoreic iană uni tatea nu este număr. Î n cartea M a „Metafiz ic i i " deducţ ia numere lor idea le nu i nclude generarea un ităţ i i . Matematica nu porneşte de la număru l unu, ci de la „egal", sub forma egal ităţi i în care uni tatea se ap l ică d iade i „marelui" şi „m icului"; egal izarea termen i lor inegal i ai marelui ş i micului produce d iada determ inată, protot i pu l număru lu i do i .

Dacă aceasta este relaţia d i ntre „doi- ideal" ş i ro lul d iade i, cum are loc deducţia numerelor impare? d iada ca matrice ,,zămislitoare" a

1 1 3

numere lor nu produce şi pe cele im pare. Cartea M a , ,Metafizicii" sugerează că în număru l im par, „unul" este mijlocitor, intervenţia în unic a lu i „unu" în ad iţ ia un ităţ i i fi ecăruia din num ere le pare, dar aceasta ar subm ina caracteru l specific al numerelor ideale: inadiţionalitatea un ităţi lor lor, ceea ce le dist inge de numerele aritmet ice. Interpretarea d in Cartea M atestă incoerenţa expozeu lu i transm is despre teoria „ ide i lor-numere", sau a num erelor ideale, ca ş i impos ib i l i tatea unei reconstitu ir i ob iect ive a entităţ i lor cu care operează metamatematica lui Platon.

F i losofia lui Platon ar fi trebuit, plasată i n iţ ial la nivelul aritmetici i , să e luc ideze relaţ ia d i ntre triada nedeterm inată ş i triada determ inată, ca ş i în cazul relaţ ie i , stab i l i tă de unitate, între diada nedeterm inată ş i d iada determ inată, ori o asemenea abordare angaja la i ntroducerea triade lor ş i pentade lor ca pr inci p i i pr ime ca ş i d iada, o supoziţ ie ce ar fi afectat dual ismu l p laton ic ian, observă L. Brunschv icg [ 1 ] .

După Rob in ar fi mai p lauzi b i l să luăm ca punct de p l ecare generalizarea acţ iun i i egalizatoare pe care o avem în vedere în consti tu irea primei d iade şi să atr ibu im unităţii capac itatea de a fixa dubla m i şcare a progres ie i şi regres ie i care exprimă natura „diadei mare lu i şi m icu lu i" ce produce stări astfel: porn ind m işcarea progres ivă de la 2, dacă cea regres ivă p leacă de la 4, punctul de echi l i bru m utual este la j umătatea drumulu i , stabi l itatea produce prima triadă. În c iuda eterogen ităţ i i d iadei este greu de admis ca ea să i nterv ină într-un si stem de generare în acelaş i t imp ca princ ip iu al dupl icăr i i (operaţie) numerice, ş i ca pr inc ip iu . al figur i lor ideale . Sunt de asemenea unele ob iecţ i i la reconstrucţia propusă de Rob in, căc i determ inarea punctu lu i de ech i l i bru nu se ext inde la dubla m işcare inversă, care ar obl iga să se fixeze între 2 ş i 3 , între 3 ş i 4 .

Un alt aspect al metamatemat ic i i lu i P laton este separarea generăr i i numerelor ideale de cea a mărimilor ideale.

Platon renunţă la identificarea p itagoric iană a numărului cu punctul şi păstrează punctul numai ca o convenţie geometrică. Punctu l ar fi s imetr icul unităţi i, care semnifică princ ip iu l număru lu i mai curând decât număru l însuş i .

La p latonic ieni corespondenţa se stab i leşte între d iadă ş i l ungi me, între triadă ş i suprafaţă, între tr iadă ş i so l id.

1 1 4

Care este re laţia d i ntre numerele ideale şi figuri le (mărim i le) ideale? ex istă o identitate sau un paralel ism între ele? Un i i p laton icien i con s ideră că " l i n ia în s i ne" nu este al tceva decât „d iada'', după alţ i i ex istă o ident itate de formă, ş i s-ar separa în s ine. Cu aceasta se constată că p laton ismul este străbătut de o dual itate de tend inţe . Dual itatea numerelor � i i de i lor reţ inută d i n colo de num ăru l se ns i b i l ma i m u l t în p lanu l transcendenţe i , dar efectu l negat iv este cel al am bigu ităţi i fundamentale a metamatematic i i p latoni ciene. Se cere o re levan ţă a numere lor ideale mai extinsă asupra întregu lu i un ivers (morală, re l i g ie, geometrie, fizică etc .)? Apelu l la entităţi supranaturale, monada ş i d iada ca d iv in ităţ i . Cu Speus ipp se separă cant itat ivu l ş i ca l i tativu l, dacă acestea sunt num ere aritmetice, le rid ică la identitate, se reconci l iază concepţia pozit ivă că şt i i nţa se face cu numere, ro lu l pozitiv în comb inaţ i i ale aritmetici i . Atunci dev ine însă inuti I ape lu l la d ialectică pentru a funda „natura calitativă" a fi ecăru i num ăr, esenţa par i tăţ i i sau im par ită ţ i i . Rep rezentanţ i i pitagore ismulu i observând că un i tăţi i i se opune princi p iu l general al mu lt ip l ic ităţi i au făcut d in acest pr inc ip iu, prin procedeul un iform al adiţiei, dem iurgu l unei seri i de numere omogene raportate unele la altele.

Şcoala p laton ic iană, remarcă L. Brunschv icg [ I ] , nu poate scăpa de alternat iva: sau matemat ica d ialectică se va regăs i şi va fi refortificată ca m i st ică si mbol ică a pitagore ismulu i pentru a se pierde în ocu lt ism ş i în teozofie; sau ea trebu ie să se l im i teze l a princ ip i i riguros detenn inate ale unei şt i inţe pozit ive şi atunci nu ar mai exista raţi uni pentru a le transforma în rea l i tăţi separate, însă atunci nu mai răspunde speranţei de a fi i nstrument u n iversa l . Ş i autoru l francez come ntează part i cu larităţi le platon ismu lui ca fi losofie matematică astfe l : (a) aritm etica şi geometria insp i ră doctrina lu i P laton despre cunoaştere; între el emente sem nificat ive sunt menţionate proporţional i tatea numerică şi „dozaju l cantitativ" în v iaţă, po l i t ică, morală etc . ; (b) un iversal i tatea raţionamentelor matematice este conferită de un iversal i tatea princ ip i i lor care le fundează; justificarea acestor pri ncip i i se poate face pe calea une i v iz iuni d i recte a genuri lor supreme ale ex istenţe i . Ex istă o „circularitate" product ivă î n platon ism, deoarece, pe de o parte, el der ivă, extrage

1 15

fi losofia din matematică, iar, pe de a ltă parte, fundează matematica pe fi losofie. Aprec ieri le fi losofiei p latonic iene, judecăţ i le istorice pronunţate asupra dest inu lu i ei îşi află sursa în grandoarea sa durabi lă; căci, cunoaşte imediat o decadenţă şi reapare odată cu Renaşterea, mai exact, „a doua zi după Renaştere", devenind pri n opera lui Gal i le i , Descartes, Newton şi a lţi i substanţa cu lturii occidentale moderne; răspunzătoare de această distincţie este part icu laritatea p laton ismulu i de a fi o doctri nă constitu ită prin intermediu l şt i i nţei numerelor şi figuri lor (mărim i lor) graţ ie căre ia va intui în ţesătura fenomenelor lum i i ord inea re laţi i lor matematice. Acest dest in al fi losofie i se confundă cu adevăru l însuş i al fi losofie i , iar dezvălu irea acestu i adevăr a avut nevoie de 20 de seco le de reflecţie pentru degajarea şi relevarea purităţi i acestu ia; metoda anal izei regresive i nt rod u să de P l aton în p ract i ca refl ex i e i s p e c u lat i v e , c r i t i c a dogmat ism u l u i a u influenţat progresu l şti in ţ i fic modern, a u ind icat metodologia prin care sp iritu l îşi poate apropia natura, o operă pozitivă de rezo lvare a prob leme lor, defini torie pentru orice demers veritab i l al cunoaşter i i umane; d ialectica platoniciană audiată de pri m i i să i discipo l i , deş i , într-un sens stră ină, ma i curând exterioară, pr in autonom ia e i , şt i i nţe i , a înnobi lat şt i i nţa pr in adăugarea unu i demers preparator a l cunoaşteri i num ită „superioară", ce „ati nge" princ ip i i le existenţe i ş i cunoaşteri i . Partea tehn ică a matematic i i , domen iu l ei strict de şti inţă îş i află la acest n ivel dialect ic, sau metamatematic, surse le ipotezelor iniţiale

necesare comb inări i calculatoare şi a re laţ i i lor m etrice. Eclipsa seculară a filosofiei cu baza matematică, am num it

platonismul, s-a întâm plat într-un c l imat inte lectual ş i cu ltural în care prevalenţa „tehnicului" a umbrit „teoreticul" ştiinţei. Revigorarea aceste i fi losofi i în t impuri le mai recente se exp l ică prin marcata maturizare conceptuală şi metodo logică pe care a străbătut-o ş t i inţa, în speţă matematica, care, începând cu sfârş itul de secol al XIX- iea ş i , mai ev ident în seco lu l nostru ş i-a asumat, adj udecat, consec i nţă a fenomenu lu i teoret ic amintit, ş i instanţe de natură autoreflex ivă, în vederea legit imări i statutu lui e i , prob lemă în cadru l căreia ,fundarea" este aspectu l centra l .

116

2.9. PROBLEMA EXISTENTEI MATEMATICE '

LA ARISTOTEL: INFINITUL MATEMATIC ŞI NATURA MATEMATICII

Pentru Ari stotel prob lema este nu aceea dacă ex istă ob iecte le matematice, dec i Stag i r i tu l adm itea ex istenţa entităţi lor matematice, c i autent ică este doar prob lema gen u lu i lor de ex istenţă. Ari stotel [2, p . 1 00] scr ie : „Obiecte le matematice dacă ex istă (sunt în act nu numai în potenţă) sunt în ch ip necesar sau în lucruri le sens ib i le, după părerea unor gânditori , sau ex istă despărţite de lucrur i l e sens ib i le, căci sunt ş i part izan i a i unei asemenea păreri . Dar ele nu sălăş lu iesc n ic i î n lucrur i le sens ib i le, nici în afara lor, atunci una din două: e le nu ex istă, sau există în alt fe l, aşa că controversa noastră nu va avea ca obiect existenţa lor, c i felul lor de a exista (s .n . M .Ţ.)" .

Care este acest gen de exi stenţă (al obiecte lor matemat ice) ş i ce are propriu? Aristote l afirmă că Platon a pretins că obiecte le matematice sunt separate de lucruri le sens ib i le, afându-se la jumătatea drum ului d intre „idei" şi „lumea sensibilă ". Stagir i tu l com bate teza platonic iană după care entităţi le matematice există separat de lucruri le sens ib i le, fizice, folos ind argumentu l că axiomele generale stabi l ite de matematicien i , ar trebtJ i să constituie o altă esenţă, care există între idei şi obiecte matematice, deci ar avea funcţia, rol u l de intermediar, fără să fie n ic i num ăr, nici punct, n ic i mărime, n ic i durată. Aristotel [2, p. 403 ] scrie: ,, Însă dacă este peste puti nţă să ne imag inăm o asemenea esenţă matematică va fi, ev ident, imposib i l ca obiecte matematice să ex iste separat de lucruri le sensib i le (s .n . M.Ţ.)". Axiomele matematice nu pot ex ista deoarece ceea ce nu are n ic i număr, n ic i mări me, n ic i durată nu ex istă, ş i dacă ax iomele nu există, atunci nici conţinutu l lor (obiecte le matematice com une lor) nu există. Des igur, Ari stote l el aborează o concepţie propr ie despre ex istenţa ob iecte lor matematice, (elaborare prin raportare crit ică la platonism ş i pitagoreism), conform căreia obiectele matematice au la bază un ,,rnbstrat" material (sens ibi I), deş i ele constitu ie un orizont noetic, sui generis fiind noţiuni abstracte, dar având ş i caracterul de substanţă, d iferit de cel al

1 17

lum i i fizice, percept ib i le; să cons iderăm că ceea ce este specific pentru statutu l obiecte lor matemat ice este „natura lorabstractivă" (abstracţi i ale lucruri lor materiale). Ari stote l consideră că adm iterea tezei platoniciene, după care obiecte le matematice au statutul de „realităţi" separate de lucrur i le sens ib i le, antrenează d ificu ltăţi indezirabi le, consec inţe în văd it dezacord cu adevăru l, dar ş i cu părerea comună. Iată propria s inteză a concepţiei fi losofulu i Ari stotel: „Am arătat, aşadar, îndeaj uns că obiectele matematice au caracterul de substanţă într-o măsură mai m ică decât corpur i le, apo i e le nu sunt anterioare lucrurilor sensibile in ordinea existenţei, că ele nu posedă decât o anterioritate logică faţă de lucruri le sens ib i le materiale ş i , în sfârş it, că ele nu pot să existe nicăieri ca ceva separat. Şi deoarece nu se poate admite că ele ar exista ca inerente lucruri lor sensib i le e l impede că ele nu ex istă nic idecum sau că e le au un fel al lor anume de a ex ista şi de aceea, prin urmare, ele nu există în chip absolut, căci noi şt im că F i inţa are mai mu lte înţelesuri" (Aristotel [2, p. 405]) . Anal i ze le ar i stote l i ce operează c u conce pte le de anter io ritate ş i posterioritate luate în sensuri le: în ord inea devenir i i ş i în ord inea substanţei ; în ordinea esenţei şi în ordinea logică, perspective ce nu coincid. Prioritatea în ordinea substanţei rev ine, după Aristotel, l ucrur i lor care există separat „au caracterul de fi inţă într-o măsură mai mare", pe cândprioritatea logică este caracterist ică acelor lucruri „a căror noţi une este impl icată în altă noţiune", cele două priorităţi neputând coexi sta. Î n lum ina anal izelor ari stotel i ce existenţa abstractă - pe care el o atribu ie în primu l rând entităţi lor matemat ice, deşi cum deja am văzut, nu o rupe de obiecte le sensib i le - nu are anterioritate (substanţială) dar are anterioritate logică. Proprietatea anter iorităţi i logice, combinată cu caracterul de s impl itate, are o remarcabi lă re levanţă expl icat ivă priv ind exactitatea unei şt i inţe; în acest sens aritmetica este, după Stagir it, mai exactă decât geometria ş i aceasta mai exactă decât mecan ica, căci aceasta d in urmă este o şt i i nţă despre un obiect supus m işcări i , ceea ce îi afectează atributul exactităţi i (cf. Aristote l, [2, p. 407]) . Î n l um ina raportului ari stote l ic act-potenţă, fi losoful grec a susţinut referitor la statutul obiectelor, fi inţelor matematice, că acestea nu ex istă în act, nici separat de universul sensibi l (al lucruri lor fizice, perceptibi le) ci numai în potenţă.

1 1 8

Să mai subliniem puţin ideea natur i i „abstract ive" a obiecte lor matematice ş i anume să reţi nem d ist incţia pe care Ari stote l o face între po s i b i l i tatea de a abs t rage ( a „scoat e" ) , să s p u n e m u n i tatea, tr i unghi u l ar i tatea, dreptungh i u lar i tatea, în genere patru lar i tatea, c ircular i tatea etc . ş i ex istenţa independentă a caractere lor IT!atemat ice menţionate , ca ş i a altora. incl us iv a reprezentanţ i lor acestora: un ităţ i , triungh iur i , dreptungh iur i , cercuri . „El subl in iază deseori" - comentează S. Korner [ l, p. 24] - „că posib i l itatea de abstracţie nu impl ică de loc exi stenţa independentă a ceea ce este sau poate fi abstras . Conţi nutul matemat ic i i este alcătu it d in acele rezu ltate ale abstracţ ie i matemat ice pe care Ari stote l le numeşte «ob iecte matematice». Acestea, în concepţia lui Ari stotel , luând naştere prin abstracţie (aphaireş is), sunt incompat ib i le cu teza p latonic iană despre autonom ia ş i substanţia l i tatea lor.

Ob iecte le matemat ice ar fi, după o i nterpretare, în lucruri le d in care sunt abstrase ş i ar ex ista o mult ipl ic itate de obiecte (unităţi aritmetice, cercur i , l i n i i drepte etc . ) câte sunt necesare în demonstraţi i le matematice.

O interpretare ş i var ianta ei, afirmă autoru l eng lez c itat, „măru l empir ic este un u în sensu l că el este un reprezentant al „unităţ i i " matematice, aşa c u m roşu este u n reprezentant a l cu lori i un iversale „roşu", sau „măru l empir ic" este unu în sensu l că e l este un mem bru al clase i un ităţ i lor matemat ice, aşa cum e l este roşu în sensul că este un mem bru al c lase i lucrur i lor roş i i " . Conform une i a doua interpretăr i , acceptată ş i de Korner [ 1 , p . 2 5 ] , „măru l empir ic este unu pentru că e l aprox imează un itatea matemat ică pe care am abstras-o d in acest ob iect şi poate ş i d in a lte ob iecte". În v i rtutea cele i de-a doua interpretăr i i dentificăm natura aceste i abstracţii matematice care asigură geneza ş i statutul ob iecte lor matemat ice; nu este o abstracţie pur şi s imp lu c i o abstracţ ie idealizantă sau o i dea l i zare. După P l aton ob i e ctu l matemat ic i i îl const itu ie formele sau ide i le, ex i stente i ndependent de matemat ic ian, pentru Ari stote l matemat ica se ocupă cu idea l i zăr i l e efectuate de matematic ian, iar d i ferenţa d i ntre concepţ i i le lo r referi toare la statutu l ent i tăţ i lor matemati ce s-ar d im inua în lumina unei asemenea i nterpretări propuse.

1 1 9

Concepţia l u i Ari stotel despre natura matematicii poate fi derivată d in concepţia sa despre statutul obiectelor matematice, astfel propoziţ i i le m atemat ic i i ap l i cate aprox imează pe cal e a l e m atemat i c i i pure, propozi ţ i i le despre cercuri le desenate fi ind o bună aproximaţie a celor despre cercuri le matemat ice, obiecte ale acestei şt i i nţe.

Ar istotel a respins concepţia l u i Platon după care matemat ica este şt i inţa ale cărei propoziţ i i poartă asupra (sunt descrieri ale)fenomenelor eterne şi independent ex i stente, ceea ce duce la o anumită expl icaţ ie a neces ităţii propozi ţ i i lor aceste i şt i inţe, ş i nu numai , deoarece obţinem o expl icaţie ş i a adevărului şi a raţ ionamentului matematic. Astfel Platon [7 ] , [9] , [ 12] cons ideră că gând i rea corectă, val idă se conformează conex iun i i d i ntre forme, iar conex i un i le necesare au loc numai între forme; urmând în gândi re conex iun i le d intre forme real izăm inferenţe val ide. Legătura aceste i concepţ i i cu teoria despre adevăr în opera l u i Platon se face astfe l . E l susţ ine că o propoziţ ie este adevărată dacă d ispunerea părţ i lor sale reflectă conex iun i le d intre forme, pos ib i l itatea d i scursulu i este garantată de ipoteza că ex istă o conex iune (necesară) între forme, şi d i scursu l adevărat vorbeşte despre real itate aşa cum este. În mod esenţial d i scursul este cel care poate fi adevărat sau fals . Şi cum vech i i grec i au descoperit relaţia m isterioară d intre negaţie şi fals i tate, în contextul problemei noastre aceasta înseamnă a spune că n ic i o aserţ i une nu are sens fără ca şi negaţia e i să a ibe sens.

Odată respinsă de Stag irit concepţia platon ic iană asupra formelor matematice, în v iziunea lu i Aristotel operându-se cu ideal izări,problema adevărului ( ideal izarea adevărată sau falsă) nu se poate pune, ea fiind înlocuită cu cea a adecvării relat iv la un scop. Dar matemat ica ca ,.,5istem de idealizări" comportă abordarea problemei necesităţ i i văzută nu izolat, ad ică cu p r i v i re la fiecare propoz i ţ i e categor i că despre ob i ecte l e matematice, c i la n ive l global (al s i stemulu i) al ansamblu lu i propozi ţ i i lor i potet i ce; dacă o anum ită propoz i ţ ie este adevărată, atunc i o altă propoziţ ie anum ită este o neces itate adevărată. S i r Thomas Heath [2, p. 1 00] afi rmă că necesitatea matemat i c i i era aceea a propozi ţ i i lor ipotet ice, logic necesare. Autoru l englez, pe baza unor texte d in ,,Fizica "

1 20

şi „Metafizica", afirmă despre concepţia lu i Ari stote l că ar fi „un fe l de idee profet ică despre o geometrie bazată pe alte princ ipi i decât ce le eucl id ienc" . I ar I. Toth [ 1 , p . 266] scrie : Geometria euc l id iană nu numai că a fost precedată de cea contra-eucl id iană, ci d in punct de vedere fenomenologic condiţionată ch iar de aceasta. La Aristote l apare v i itoarea geometrie ne-euc l id iană, dar într-o formă resp insă. Ea este şti inţa de pe acum dar în starea negativă a unei conşti inţe nefericite".

Am văzut că principala conc luzie a concepţie i aristote l i ce despre statutul obiecte lor matemat ice este că acestea nu exi stă în act, ci în potenţă. P lecând de la acest „nucleu" al concepţie i lu i Aristote l putem înţelege abordarea aristote l ică a ace le i „tu lburătoare probleme" a gândir i i şti inţifice, cum a numit-o David Hilbert, este vorba deproblema infinitului (în matematică) . ,

Ari stote l i nvocă c inc i fapte în favoarea c�nv i ngeri i că exi stă i n fi n i tu l: i n fi n i t u l t i m pu lu i , d iv i z i unea ne l i m itată a m ări m i l o r, inepu izab i l itatea generări i şi d i strugeri i , l im itatu l este totdeauna l im itat faţă de ceva şi infin itatea număru lu i .

Conform tradiţ ie i fi losofice „infinitul" a fost cons iderat în două sensuri : a) i nfin itu l ca substanţă; ş i b) infinitu l ca princ ip iu . Referitor la prima accepţie găs im în Ari stote l [3, 4, 203a - 203 b] următoru l pasaj : „Un i i , cum sunt pitagore i i ş i P laton, susţin că infinitu l este un lucru în ş i pentru s ine, neexistând ca acc ident al a ltui l ucru, c i ca fi ind o substanţă în şi prin s ine . Dar pitagore i i susţin că infinitu l există în l ucruri le sens ib i le - pentru că e i susţin că număru l nu este separab i l - şi că infin itul este ceea ce se află în afara cerulu i . P laton susţine că în afara ceru lu i nu exi stă nici un corp, n ic i ide i, pentru că e le nu există nicăieri, dar că infin itu l este în lucrur i le sens ib i le ş i în ide i„. P laton însă susţine că sunt două infi n ituri : infin itu l mare şi infin itu l mic„." .

Infi n i tu l ca princ ip iu este descris de Ari stote l [ 3 ] în termen i i următori : „toate lucruri le sunt sau princ ip iu, sau rezultă d i n princ ip iu, dar infin i tu l nu are pr inc ip iu, pentru că atunc i ar exi sta o l im ită a infi n itu lu i . Tot aşa, infin itu l este negenerat ş i nedestruct ib i l , ca fi ind un principiu : Infin itul nu are princip iu, ci este e l, după cât se pare, princ ip iu l altor lucruri pe care le conţine pe toate ş i le guvernează pe toate".

1 2 1

Ş i Ari stote l propune o s i stemat izare a „spec i i lor'' infin itu l u i : infin itul extens iv, cu privire la ad iţie, pe care nu-l poate adm ite substanţa

_ sens i b i lă; infin itu l intensiv, cu priv ire la d iv iziune� infinitul potenţial; infin itul actual, acesta nefi ind adm is nic i pentru mărimi şi n ic i pentru numere . Aristote l spune expl ic it acest lucru : „în acest fel numărul este infinit potenţial, dar nu în act; însă numărul poate întrece întotdeauna canti tatea determi nată a oricăre i mărim i . Dar acest număr al d ihotomie i nu este separat, iar infi n itatea nu rămâne în perm anenţă, ci dev ine c u t impul ş i numărul t impulu i" ( ib idem) .

Dist incţ i i le conceptuale expuse i -au servit lu i Aristote l în abordarea „aporiilor" lui Zenon refer itoare la multiplicitate ş i mişcare, ş i care operau în formulare cu infinitul în act. Iar sol uţia pe care Ari stote l o avansează în „Fizica" cu privire la problema infin itulu i este aceasta: „I nfin itu l exi stă atunci când un l ucru poate fi pus după altu l fără sfârş i t, fiecare lucru pus fi ind fin it"; infi n itu l este, deci, potenţial „nu trebuie să considerăm infin itul ca un lucru concret, cum este omul sau casa, c i aşa cum se înţelege z iua sau lupta, pentru care ex istenţa nu este o substanţă determ inată, ci este întotdeauna în generare, ş i în d istrugere dacă este l im itată, dar este mereu altul ş i altul" . Şir infinit sau l inie infinit d iv izibi lă, ad ică constând d in infinit de multe părţi, primu l prin pos ib i l itatea de a adăuga o un itate la u l t imu l e lement al oricărui ş ir, exem p lu ce l al numerelor naturale, în al do i lea caz pos ib i l itatea de a face oricând o subd iviziune a unei l in i i .

Hintikka [ 1 ] propune o reconstrucţie a princip iu lu i ari stote l i c a l p len itud i n i i , d in care degaj ă câteva consec inţe pr iv i nd concepţ ia aristote l ică de spre infinit, cu relevanţă pentru filosofia matemat ic i i a Stag iritulu i : „Ari stotel a adm is exi stenţa mulţim i lor actual infin ite de obiecte (în sensul modern al infin ităţ i i actuale), deş i n u ex i stenţa mulţ imi lor infin ite ai căror membri i există cu toţi i s imu ltan . În mod obişnuit se spune că pentru Aristote l infi n itul exi stă potenţial dar nu actual. Totuşi, în sensul prec is în care am găs it că infin itu l există potenţial pentru Aristotel , el există de asemenea ş i actual" . Princ ip iu l p len itud i n i i î i perm ite lui Aristotel s ă deducă inexi stenţa une i mărim i potenţial infi-

122

nite d in aserţ iunea despre inex istenţa une i mărimi actual infin ite . Textul aristote l ic d in „Fizica", I II , 207b este acesta: , , Într-adevăr, pe cât se admite că este potenţial , pe atît se admite că este în act. În acest fe l , de vreme ce nu există o mărime sensib i l ă infin ită (adică în act) nu se admite că există o mărime defin ită, căc i în acest fe l ar exista ceva mai mare decât ceru l" . Aserţiunea despre fin i tudinea universu lu i fiz ic, spec ifică concepţie i greci lor antici , intră în contrad icţie cu act ivitatea matematicien i lor, iar Ari stote l ses izează imed iat d ificultăţ i le ce emerg di n această situaţie conceptuală. El încearcă să arate că opera matematic ieni lor nu este „subminată" de teza „fin itudin i i" universu lui fizic: „de fapt e i n-au nevoie de infinit ş i nu- l ut i l izează . Ei doar postu lează că un segment finit de dreaptă poate fi produs în orice măsură ar dori . Este pos ib i l să se d iv idă în ace laş i raport ca ş i mărimea cea mai înaltă ş i o altă mărime de orice d imens iune am dori . De aceea, pentru demonstraţie, nu va apărea nic i o d iferenţă pentru ei dacă ar avea un asemenea infi n it, întrucât existenţa va fi sfera mărim i lor reale". (Ari stotel [3 , I I I , 7, 207b ]). Î n consecinţă, în demonstraţi i le mat�mat ice extensi i le infin ite sunt necesare şi au rolu l de invers al d iviziunii infin ite, ceea ce ar susţine compatibi l itatea filosofie i ari stote l i ce a natur i i şi a cunoaşteri i cu practica matematicien i lor, o idee asupra căreia găs im şi în Th . Heath [ 1 , p. 344] argumente potrivnice; alţ i autori ins istă asupra neasim i lări i d istincţi i lor conceptuale aristote l ice (ca de pi ldă, i nfin it actual - infinit potenţial) în practica matematicien i lor (S. Bochner [ I ] ) . În controversata problemă: „fin itud inea spaţi u lu i fizic şi matematica, identică cu geometria", J . Lear [ 1 ] susţi ne că nu avem dea face cu o contradicţie : „Geometria nu se referă la spaţi u l v id, ci la figuri geometrice defi n ite pri n indicaţ i i de construcţie; aici i nfin itu l are sensu l pos i b i l ităţi i de a cont inua o construcţie" , afi rmă C . F. von Weizsăcker [ l , p. 1 25 ] . După S. Korner [ 1 , p. 27] Aristote l era categoric în favoarea infi n i tăţi i potenţ ia le şi, în consec in ţă, el credea că în demonstraţi i le lor matematicien i i nu aveau nevo ie decât de acest gen de infin it . Dar, după reconstrucţia propusă de Hint ikka [ I ] , acest lucru nu pare s igur, deoarece în demonstraţi i le unor teoreme referitoare la figuri geometri ce interv i n construcţ i i auxi l i are, amp lu exem p l i ficate ş i

1 23

comentate în „Metafizica" l u i Ari stote l ş i în legătură cu care nu se poate dec ide, în princ ip iu, dacă aceste construcţi i nu cer exi stenţa unor l i n i i oricât de mar i . Punctul de vedere a l l u i Ari stotel este că matemat ic ianu l nu are nevoie de extens i i potenţial arbitrar de mari, c i numai de existenţa unor mărim i potenţial oricât de m ic i , deoarece „pentru orice demonstraţi e a unor teorem e, în care i nterv i ne o figură dată, ex i stă o fi gură asemănătoare sufi c i ent de m i că pentru care demonstraţia poate fi efectuată" (Hintikka [ 1 ] ) . Dar în contextul geometriei eucl id iene, exi stă une le aserţ i un i geom etrice, este cazul ax iome i , .paralelelor", care neces ită extensiuni arbitrar de mari, ceea ce semnifică faptul că princip i i le ari stote l ice nu garantează „eucl id ic i tatea" spaţ iu lu i , doctrina infi n i tă a Stagiritu lu i nu j ust i fică integral practica geometrie i . Am invocat în al tă parte a l ucrăr i i noastre faptul că Th . Heath [ 1 , p. I 00- 1 O 1 ] cons ideră punctul de vedere al l u i Ari stotel ca „un fel de idee profet ică despre o geometrie bazată pe alte princ ip i i decât cele euc l id iene", însă, aşa cum observă ş i I . Pârvu [ 1 , p. 54 ] , pare mai convingătoare sugest ia lu i Hint ikka deoarece geometria nu at insese în t i mpul fi losofulu i grec organ izarea deduct ivă care să- i perm ită să eval ueze ro lu l axiomei (postulatu lu i ) în determ inarea esenţe i drepte i şi în cunoaşterea geometrică. Tens i unea d intre concepţia ari stote l ică despre infin it şi pract ica geometrică este exp l icată de uni i autori prin d iscutarea sensulu i abstracţ ie i matemat ice ş i al naturi i ob iecte lor de la care ea p leacă : „Pr in teoria abstracţ ie i Aristotel ar f i încercat să demonstreze pos ib i l itatea ş i adevărul cunoaşteri i matematice fără a ape la la metafiz ica platon ic iană a formelor ca ent i tăţi i ndependente, dar şi fără a reduce matemat ica la o cercetare a obiectelor de t ipul şt i inţelor naturi i fizice" ( I . Pârvu [ l , p. 54]) . F in itudinea spaţ iu lu i sau a u n i v e rs u l u i nu cons t i t u i e o d i fi c u l t ate pen t ru p rac t i c a matematicianu lu i , deoarece, aşa cum remarcă H . G. Apost ie [ 1 , p . 79] „este sarci na fizicianulu i să cerceteze forma şi mărimea un iversu lu i" ş i , cum observă ş i I . Pârvu [ I ] , deş i Aristotel [3 , I I , 1 , 1 93 b- l 94a] spunea că „matemat icianul studiază l i n i i le fiz ice, dar nu ca fizice . . . " „abstracţia pos ib i lă de unele trăsături ale l in i i lor imp l icată aici , nu rezolvă încă problema existenţei ş i mărim i i acestor l i n i i" .

1 24

Prob lema infin i tu lu i este abordată de Ari stote l şi d in perspect iva rel aţ ie i d intre concept ib i l i tate ş i real i zab i l i tate, reformulată în , ,De Anima" ( I I I , 6 , 43 1 a) prin enunţu l : , . cunoaşterea efectivă este identică cu obiectul ei " (Ari stotel [5 ]) , şi care exprimă o v iziune despre percepţ ie, gândire şi cunoaştere în general, dar şi despre pos ib i l , real şi necesar. Mai concis, „a gândi reprezintă o actual izare" pentru Aristotel , sau cum reformulează Hintikka [ I ] în interpretarea propusă: „Din această cauză, conceptibi l itatea unei forme impl i că faptu l că într-un anum it sens această formă este actual i zată". Aristotel va apl i ca această idee şi cu priv i re la natura cunoaşter i i matem at ice : „ Pr in act i v i tate sunt descoper i te construcţ i i l e (sau teoremele), deoarece le descoperim pr in efectu l unei d iv iz iun i . Dacă figuri le ar fi date deja d iv izate, construcţi i le (teoremele) ar fi ev idente. Dar aceste d iv iz iuni exi stă doar potenţial . „ Este deci c lar că numai pr in trecerea în actual i tate dev i n ev idente construcţi i l e (teoremele) ce există doar potenţial . Cauza constă în aceea că gândirea unui geometru reprezintă o actua l izare (Aristotel [2, IX, 9]) . Concepţia aristotel ică despre statutu l obiectelor matemat ice dobândeşte din această perspect ivă, introdusă de re laţia d intre conceptib i l i tate şi real izabi l itate, o nouă d imensiune cu re levanţă ş i pentru problema infin i tu lu i : ent ităţ i le matematice deş i există numai în gând ire, deoarece gând irea unui obiect impl i că actual i zarea sui generis, nu înseamnă că e le sunt mai puţin reale. Concept i b i l i tatea este i dent i că cu real i zab i l i tatea numa i în cazu l d imens iun i lor relative ş i nu absol ute. Infin itu l ca nemărgin ire, în sens abso l ut, (vezi t ipo logia d i n i ntroducerea l u i I . Pârvu [ I ] ) , nu este concept ib i l în v iz iunea lui Ar istotel ; rezu ltă că în acelaş i sens în care infin itul nu este actual izab i l nu este n ic i conceptib i l şi invers, în acelaş i sens în care infin itu l poate fi conceptual izat este şi actual izabi l . Ari stotel consideă că adm iterea procesu lu i de devenire la infin it face impos ib i lă şt i i nţa ş i cu priv i re la matematică se susţine, d in această perspect ivă, că n ic i în cazu l l in ie i drepte împărţ irea la infinit, deşi pos ib i lă, nu poate fi real izată în gândire, căci în acest caz nu poţi înţe lege acest proces dacă nu te opreşt i cu d iv iz iunea aidoma faptu lu i că în lumea externă infin itu l nu poate fi rea l izat.

1 25

Timpul ş i m işcarea sunt actual i nfinite adică există un număr infinit de momente ale t impulu i ş i m işcări i ob iecte lor, ceea ce nu înseam nă o „actual izare" a tuturor „termeni lor" procesulu i ; enunţuri d in Metafizica" ca „o m işcare infi n ită nu poate să existe"; „în acest act nu există un corp infin it" nu imp l i că un sens abso lut al existenţe i infin itu lu i . Exi stenţa infinitului ca potenţă ind ică un mod de a- l conceptual iza, de a- 1 reprezenta prin forme infi n ite : infin itul nu exi stă în real i tate şi n ic i în gândire, ca indiv idual : „ Infin itul nu există potenţ ial în sensul că mai târziu, el va exista actual şi separat; el exi stă numai în gândi re. Existenţa potenţială a aceste i act iv ităţ i ne as igură că procesul d iv iz iun i i nu va aj unge n ic iodată la un sfârş it, dar nu că infini tu l exi stă separat" („Metafiz ica", IX, 6 , 1 048b ). După i nterpretarea l u i H int ikka [ 1 ] infi n itul are o exi stenţă neseparată, „dep inde în existenţa sa de fi i nţel e fin ite, care i ntră în existenţă una după alta" . Exi stenţa potenţială a act iv ităţ i i de d iv izare as i gură procesul infin i t al d iv iziun i i ; potenţial i tatea autentică dacă se continuă se actual izează, potenţ ial i tatea infi n i tu lu i poate fi expr imată prin ideea că infin itul există într-un sens „necomun" al existenţe i , nu că este potenţ ia l într- un sens nou : „ Infi n i tu l , v idu l şi toate l ucrur i l e asemănătoare cu acestea se spune că există potenţial ş i actual într-un sens d iferit de cel în care aceşti termeni se apl ică pentru multe alte lucruri" (Aristotel [2, I X, 6, 1 048b ] ) .

Relevanţa problemei şi soluţie i infin itu lu i pentru filosofie şi şti inţa demonstrat ivă, matematica fi ind prototipu l aceste ia d i n urmă, este comentată de I . Pârvu [ I , p . 58] astfel : „Impos ib i l itatea «străbateri i raţionale a infinitulu i» corespunzând, onto logic, impos ib i l i tăţi i actual izări i l u i (a unei succes i un i infinite de cauze) reprezintă astfel atât fundamentul metafizici i cât ş i al teoriei aristotel ice a cunoaşterii demonstrative, a şti inţe i . În metafizică, această idee impl ică neces itatea unu i «princip iu suprem» care să înfrângă «regresul ontologic la infin it» („cauzele celor exietente nu sunt infinite, n ici în ordinea unei succesiuni temporale, n ic i considerate ca gen" - , ,Metafizica", I I , 2, 994a)" . F in itud i nea ontică datori tă „realismului sui generis al anticilor impl ică fin itudinea ca o caracteri st i că esenţ ială a cunoaşter i i existenţe i : „Cei care admit procesul de devenire la

1 26

infin it e l im ină şt i inţa„ . Spunem doar că noi cunoaştem un l ucru când îi cunoaştem cauzele. Dar atunci ar fi peste putinţă ca, într-un t imp mărgin it, să parcurgem o infinitate de cauze care se leagă una de alta la nesfârş it" (Ari stotel [2, I I , 2, 994b ]) . F initud inea existenţei şi a gând iri i raţionale (un .finitism justificat transcendental ist) este admisă pentru că face pos ib i l ă cunoaşterea cauzelor ş i a structur i i demonstrative a şt i inţe i . Fin it ismul aristotel ic are rang de princip iu metateoret ic valab i l în etică (căc i numai postu larea unui scop ultim o face pos ib i lă) ş i în .filosofie (întrucât exi stă un început determinat şi cauzele existenţei nu sunt infin ite ca număr)". Regresul la infinit este respins de Aristotel, căru ia îi opune un început (trebu ie să ne oprim undeva, de unde trebui e să porn im), întreruperea acestu i regres constituind un merit al metodologiei aristotel ice în edificarea unei şt i inţe. H. Scholz [ 1, p. 32] scrie, evaluând acest finitism ar i stotel ic, următoarele despre organizarea cunoaşteri i deductive la greci i ant ic i : „Prin acest fin it ism inexorabi l a devenit Aristotel teoret ic ianu l şti inţei . . . Atâta vreme cât există o şti inţă strictă ş i o ax iomat ică a ei rămâne valab i lă afirmaţia lu i Aristotel d in ,Analiticele secunde": «Propoziţi i le pentru a căror demonstraţie sunt necesare infinit de multe alte propoziţ i i anterioare sunt absolut nedemonstrabi le; demonstrabi le sunt numai atunci când un număr finit de propoziţi i anterioare sunt suficiente pentru aceasta". Soluţia aristotel ică este veritabi lul drum de m ij loc între cele două i nfin ităţi , (cea a concretulu i ş i cea a princip iului), prin care s-a întemeiat conşti inţa filosofică a metode i şti inţifice ce a putut perm ite înţelegerea şi expl icarea raţ ională a lum i i . Paragraful următor exp lorează alte aspecte ad iacente ale gândiri i epistemologice ş i mai ales metodologice a marelu i fi losof antic .

Revenim cu unele consi deraţ i i referi toare la statutul matematicii ca şti inţă în concepţia l u i Ari stotel .

În primul rând, aşa cum arată Ari stotel în ,,Metafizică ", matematica se află în d i rectă corelaţie cu onto logia generală (metafizica) în sensu l c ă aceasta î i serveşte matemat ic ianu lu i î n cercetarea fundamente lor princ ip i i lor pe care le foloseşte. Ari stotel [2, K4, I 06 1 b] scrie: „Proporţ ia că mărim i l e egale scăzute d in mări m i egale dau resturi egale, este o lege fundamentală comună pentru toate mărim i le; matematica îşi ia de a ic i în

1 27

consideraţi i le e i un caz part icular, potriv it pentru meseria e i , ap l icându-1 la l i n i i sau ungh iuri sau numere sau alte mărim i nu întrucât acestea «sunt» ci întrucât e le sunt un cont inuu cu una, două sau trei d im ensiun i . F i losofia, d in contră, nu se preocupă de cazuri particulare, după care fiecăruia d in aceste obiecte i se atribu ie ceva, ci ea stud iază felu l în care fiecare dintre aceste obiecte «exi stă» . F i losofia tratează despre ce este dat întrucât exi stă, pe când şti i nţe le , inclus iv matematica, pot fi considerate «cel mu lt ca domeni i parţ iale ale înţe lepciun i i»" .

Re laţia d intre matematică ş i fi l osofie este văzută de Aristote l astfe l : matematica este şt i inţa teoretică, parte a şti inţe �, în t imp ce fi losofia cupri nde total i tatea şt i inţe i . Ari stote l [2] precizează competenţele şti inţelor, în particular competenţa matematic i i, ş i ro lul fi losofiei ca şti inţă primă fundamentală: „S-ar mai putea pune întrebarea dacă cea mai înaltă şt i inţă nu este şi genera lă şi dacă nu cumva şi ea tratează despre un anum it gen şi o anum ită esenţă. Dar n ici în matematică nu este peste tot la fe l , geometria şi astronom ia stud i ind fiecare mai degrabă câte un domeniu special , dar matematica generală este fundamentu l comun al tuturor. Dacă n-ar exista nici o altă substanţă decât aceea pe care o întâ ln im în natură, atunc i fizica ar fi cea mai înaltă şt i inţă. Dar exi stă însă o şti inţă primă despre ea, şi aceasta este generală tocmai pentru că este cea mai înaltă. Şi ei îi rev ine să trateze despre existent ca atare, despre natura sa şi despre ceea ce decurge d in faptul că «există»" .

2.1 0. TEORIA ARISTOTELICĂ A ŞTl lNTEI '

Aristotel a avut o concepţie elaborată şi cons istentă despre şti inţă, remarcă Hintikka [2], ş i care nu poate fi d isociată de teoria sa s i logistică, cunoscut fi ind faptul că pentru Stagirit si logismul era instrumentul universal producător de şti inţă.

Exam inarea structuri i teor iei ari stotel ice se dovedeşte relevantă pentru concepţia sa despre şt i inţă. Pare conv ingător să crezi că remarc i le ari stotel ice despre şt i inţă se obţin ca n işte consecinţe ale propriei sale

1 2 8

teori i s i log istice. Esenţialul teor ie i s i logistice constă în reducerea tuturor figuri lor la figura întâ i , considerată de Patzig [ l ] conformă conceptulu i ari stote l i c de s i logism perfect, ceea ce se întemeiază pe tranzitivitatea

incluziunilor, fapt m enţionat expres de Aristotel [ 1 ] : „prem isele d in care tragem concluzia stau între e le în raport de la întreg la parte" . În acest sens, expl i caţi i le ari stote l i ce (în şt i i nţă) se red uc la ev idenţ i erea incluziuni lor în clase, uti l_izându-se tranzitiv itatea acestor re laţ i i . Hintikka [2] notează că procedeu l constă în inserarea termeni lor intermediari între ce i ai căror conexiune urm ează să fie exp l icată. Form ularea lu i Aristote l [ I ] este : „o concluzie este demonstrată prin i nterpunerea unu i termen, nu prin adăugarea unu i termen extern". Inferenţele şti i nţi fice iau forma unu i ş i r suprapus de term en i , fi ecare d i ntre aceş

.t i a apl i cându-se

predecesoru lu i său imediat formând o premisă s i logistică, cf. H int ikka [2] . Se obţine în acest mod rezu ltatu l : „în demonstraţ ie nu putem trece de la un gen la altul" (Ari stotel [ 1 ] ), pentru că termen i i care se interpun, cum am văzut, vor avea sfera mai îngustă decât cea a termenului pred icat care figurează în ult ima premisă s i log ist ică care caracter izează „genul" ş i la care se referă s i log ismele şt i i nţe i respective. Modelul s i log ist ic produce rep l ic i în teor ia şt i inţe i , ad ică clase de ingredienţi (presupoziţ i i ) . Întrucât interpo larea de termen i , am intită mai sus, „nu se poate extinde la infin it, exi stă o clasă de prem ise ce asertează despre legături imediate între termen i ; aceste presupoziţ i i fundamentale sunt num ite de Hint ikka premise despre legăturile atomare, ş i ne dau caracteri stica d ist inctivă a subiectu lu i lor, sau, altfel spus, defin i ţ ia termenu lu i subiect . Ari stotel [ 1 ] afirmă că „princ ip i i l e demonstraţ ie i sunt definiţ i i" . Legături le atomare sunt bazate pe defi n i ţ i i , ceea ce, în i nterpretarea lu i H int ikka [2] , m archează un e l em e nt putern ic co nceptua l , în structu ra şt i i nţ e i aristote l ice, căci ş iru l crescător de s i logisme şti inţ ifice imed iate au valoarea unor „relatări despre ce ar trebu i definit un termen în vederea obţineri i unei .cunoaşteri exhaustive a faptelor relevante' ' . Mai exp l ic it, această c lasă de presupozi ţ i i relevă semnificaţia atri butelor aparţinând genulu i care const itu ie obiectu l şt i i nţe i .

1 29

O a doua clasă de presupoziţi i fundamentale ale unei şt i i nţe sugerate de teor i a s i l og i s t i că ari stote l i că, der i vate d i n în se ş i p r in c i p i i l e demonstraţiei s i logi stice (apode ix is), cu care operează orice şt i inţă ş i despre care d iscută Aristote l l l , ] i nc lude principii logice, cum sunt legi le contrad icţiei ş i tert iu lu i exc lus (num ite de e l princ ip i i ale s i logism ulu i ) ş i pri nc ip i i matematice (ca de exemplu : „cantităţi egale scăzute d in canti tăţi egale dau resturi ega le" - vezi Aristotel [ 1 ] ş i despre ele a spus Ari stotel [2] că ţin de competenţa ,�rimei filosofii " (metafizica). Hintikka propune să le numim „axiome comune ".

Aristote l d iscutând despre acest t ip de presupoziţ i i afirmă că „există necesar prin s ine şi trebu ie crezute cu necesitate ca adevărate". Beth [ 1, p. 3 3 ] scrie că metafizica sau „Prima filosofie" în concepţia lu i Aristote l desemna ceea ce azi e cunoscut ca ,, cerce tarea fundaţ ională " .

Invest igaţi i le au arătat că tennenul a avut la Aristote l o accepţie restrânsă - neacoperind programul anunţat i n i ţial - metafizica deven ind cercetare a princ ip i i lor fizic i i . Fami l iarizat cu cercetări le matematicieni lor Eudoxus şi Theatet (elevi ai l u i P laton), Aristotel considera că era greu să se spună ceva nou în acest domen iu (al matematic i i ) . F i ind de acord cu rezultate le celor doi d i sc ipo l i ai l u i P laton, el era mu l ţu m it să dea matematica ca exemplu t ip ic de şt i inţă deductivă ş i atunci a abordat fundamentele fizic i i , despre care Parmeni de şi P laton afirmau că nu va fi nic iodată pos ib i lă o şti inţă deductivă a m i şcăr i i şi a sch imbări i . Oricum, Ari stote l era conv ins de i mportanţa impactul u i matemat ic i i asupra fi losofie i , încât în „Metafizica" arată că ideea metafizic i i ca o ontologie generală i-a fost sugerată de „teor ia proporţ i i l or" a lui Eudoxus pe care o numea „matematica universală ".

Dist ingem, după Aristote l , în structura şti i nţei ş i o a tre ia c lasă de presupoziţ i i fundamentale, num ite de Hintikka în stud iu l c i tat premise generice (sau cele mai generale prem ise ale unei şt i inţe part icu lare) ş i care sunt re lative (vezi Aristote l [ 1]) l a ceea ce şti i nţa respectivă pune de la început ca exi stent (adică genul ale cărui atr ibute esenţiale ea le exam inează) . Aceste prem ise înalte din cadrul ş iruri lor de s i logisme şti inţ ifice nu expl ică termen i i mai restrânşi pe care îi conţin, c i ne oferă

13 0

o defin i ţ ie a termeni lor lor subiect, care fi ind foarte largi definesc genul sau ob iectu I la care se referă şti i nţe le respective; prem isele generice transportă sensu l existen ţ ia l a l şt i i nţe i . Des igu r. nu se formu lează presupozi ţia exi stenţială în mod separat pentru fiecare premisă imediată, transportu l exi stenţia l făcându-se de la termen i i mai larg i la cei mai restrânş i într-un şir de s i logisme şti inţ ifice. Se formulează o singură presupoziţie existenţia lă care se referă la exi stenţa membri lor genu lu i ce constituie obiectu l şt i i nţe i respective; demonstraţia s i logistică este vehicu lu l care transportă sem ni ficaţia exi stenţială în jos de la prem isele generice. Ari stote l [ I ] scrie : „susţi nem că prin demonstraţie (apodexis) trebuie să doved im exi stenţa a orice - afară de exi stenţa substanţei . . . Urmează că exi stenţa va fi obiect de demonstraţi'e . Aşa procedează de fapt ş t i i nţe l e" . Sem n i ficaţ ia pre m i se l or gener ice este centra lă în epi stemologia ari stotel ică, căci orice şt i inţă trebuie să poarte asupra unui obiect, şi, dacă înţe legem bine interpretarea l u i H intikka [2, p. 264] , importanţa forţei existenţiale a prem ise lor s i logist ice, insufic ient expl icată prin apel u l la concepţia aristote l ică despre s i logism, îş i are rădăc in i în gând irea sa epistemo logică, (ch iar dacă a fost centrată pe un rea l i sm s i stematic ş i stat ic ş i pentru care Piaget [ 1 , p. 80] a form u lat critic i ) , exprimată suficient de clar în pasaj u l : „di strugerea a ceea ce este cunoscut duce cunoaşterea la d i strugere . . . Pentru că dacă nu ar fi ceva cunoscut nu ar fi n ic i o cunoaştere, n-ar mai fi n im ic despre care să cunoaştem" (Aristote l [6] ) .

Definiţiile nominale constitu ie a patra c lasă de presupoziţi i a le unei şt i inţe anum ite . Semn ificaţia acestor presupoziţ i i nu pare suficient de clară comentatori lor lui Aristote l . Poate că interpretarea lor ca fi ind teze sau precizări ale conţinutu lu i , dar nu i poteze (deoarece trebu ie să d i st ingem între definiţia unităţii pe care o dă matematic ianu l şi existenţa unităţii), pare adecvată textu lu i aristote l ic; definiţ i i le n-au forţa asert ivă ş i dec i l i se contestă or ice conţinut existenţial.

Î n Ar i stote l [ 1 ] găs i m urm ătoarea form u lare dată ,..şt iinţei demonstraţive" ( cf. Hintikka [2, p. 270-27 1 ] ) : „Orice şti inţă demonstrativă presupune trei e lemente: 1 ) ceea ce se pune la început ca existent (adică

1 3 1

genul ale cărui atr ibute esenţiale ea le examinează)(tipu l II de presupoziţi i ) ; 2) aşa-num itele axiome, care sunt premisele prime ale demonstraţiei sale (t ipu l I de presupoziţ i i îl constitu ie axiomele comune); 3) atribute le al căror înţeles îl acceptă şti inţa (atribute le presupuse că fonnează presupoziţi i de t ipu l III); defin iţ i i le - adică cele care nu exprimă că ceva este ori nu este - nu sunt ipoteze (presupoziţ i i IV).

Beth [ 1 , p. 3 1 -3 2] arată că aspectele esenţiale ale teorie i ari stotel ice a şti i nţe i pot fi sumarizate în următoarea definiţ ie a termenu lu i de ştiinţă deductivă (apod ict ica, în term ino logia lu i Ari stotel) . O şt i inţă deductivă se defineşte ca fi ind un s istem de prepoziţ i i S ce sat i sfac postu latele următoare :

I (postulatul de realitate). Orice propoziţ ie care aparţ ine l u i S trebu ie să se refere la un domen i u anum i t de ent i tăţi reale ;

II (postulatul de adevăr). orice propoziţ ie a s istem ulu i S trebuie să fie adevărată.

I I I (postulatul de deductivitate). Dacă anumite propoziţ i i aparţ in s i stemu lu i S, atunc i orice consec i nţă log ică a acestora aparţ ine , de asemenea s istemu lu i S .

Următoarele două postulate form ulează împreună ceea ce s-a num it postulatul evidenţei:

IV. Ex istă în S un număr (fi n it) de termen i ş i a) semn ifi caţia acestor term en i este ev identă, d i rect com pre

hens i b i lă, fără n ici o exp l i caţie (termen i nedefiniţi, primitivi); b) orice alt termen care apare în s istemul S este defin i b i l i nvocând

aceşti termeni d in grupa termen i lor prim it iv i ; termen i i astfel i ntroduş i se numesc termeni definiţi.

V. Există în s istemul S un număr finit de propozi ţ i i astfe l că a) adevărul lor fi ind aşa de ev ident nu cere demonstraţie; b) adevărul oricărei alte propoziţ i i din s i stemul S se stab i leşte cu

aj utorul inferenţe i logice din aceste propoziţi i . Structura teor i i lor d i n matematică a benefic iat, cum s e vede, d e o

atenţie remarcabi lă d in partea l u i Aristotel , comparativ cu opera l u i P laton, î n această priv inţă; s e poate spune c ă Ari stote l a produs enorm

1 32

în p lanu l metodologie i constru ir i i teori i l or matematice, opera sa având sub acest aspect o pregnantă actua l i tate . Într-o reform ulare sintetică a unor l ucruri spuse aic i şi adaptate matematic i i observăm : o d i st incţie între principii comune tuturor şt i i nţe lor (în term i no log ie actuală, princ ip i i le logic i i formale pe care l e pres upun form ularea şi dezvoltarea deductivă a oricărei şti inţe) şi principii speciale presupuse de matematică în demonstraţie; definiţii care nu angajează existenţa a ceea ce este definit (vezi defin iţia euc l id iană a punctu lu i ) ; ipoteze existenţiale care presupun că ceea ce a fost definit exi stă independent de percepţia ş i gândirea noastră, i poteze, se pare, de care matematica pură se poate d ispensa.

Remarci

Teoria şti i nţei a lu i Aristote l poate fi rezumafa astfe l : orice şti i nţă bine constru ită se caracterizează pri n : i) o structură deductivă (ceea ce a fost reţ inut în postulatul de deductivitate); i i ) posedă principii acceptate ca autoevidente, ceea ce a fost fonn ulat ca postulatul evidenţei; i i i) are o fundare empirică (conform postulatului de realitate) .

Dezvoltarea şti inţei a pus în ev idenţă neconfonnarea ei la exigenţe le teoriei aristote l ice a şti inţe i . Evo luţia modernă a şti inţe i a generat cele două tipuri de şt i inţe : raţionale ş i empir ice, cărora l i s-au asoc iat două doctrine - curente rivale, raţional ism u l (Descartes) ş i empirism u l (Locke), primu l susţinînd primul tip de şti i nţă, întrucât acestea din urmă satisfăceau postu late le de fundare ( i ) ş i ( i i ) , în t imp ce a doua orientare a preferat şti inţa empirică care este comformă postu latu l fundări i empirice. Încercări de reconc i l iere a raţ ional ismu lu i şi empir ism u l u i au făcut Nieuwentyt ş i Leibniz. După Beth [ 1 ] tentat iva kantiană a „reabilitării" sau, poate, a „restaurării " teoriei unitare a ştiinţei, aşa cum a e laborat-o Aristote l (o şti inţă care să îndep l inească s i mu ltan cerinţe le ( i), ( i i), ( i i i), anterior enunţate) a eşuat, căc i şti inţa modernă s-a îndepărtat tot mai m u lt de postu latu l ev idenţe i , centra l în concepţia aristote l ică ş i re levant pentru axiomatica vechi lor grec i . Această mi şcare a şti inţe i - îndepărtarea de cerinţa ev idenţei - a fost profund marcată de apariţ ia geometri i lor neeuc l id iene; u lter ior, şco l i de prest ig iu în domen iu l fundamentelor

1 3 3

logic i i şi matematic i i - log ic ismul , formal ismul şi intu i ţ ion i sm ul - au eşuat în perseverenţa lor de a menţ ine postu late le deduct iv i tăţ i i ş i ev idenţe i . Ma i ales în fizică s-au încercat rect i ficări drast ice pentru a obţ ine o „atenuare" a postu lat u l u i de realitate, rec urgându-se la constru irea unor teori i deduct ive adecvate . Teori i le fizice moderne nu mai respectă postu latul existenţe i (se foloseşte un alt t ip de axiomatizare al cărei nucleu constă în axiome- ipoteze (vezi şi Gonseth [2] ) ; iar fizica cuantică a revi zuit sufic ient de semn ificativ, observă Beth [ 1 ], postu latu l deduct i v i t ăţ i i , d e s i g ur, „ c o n fl i c te l e c o nceptua l e" ( m a i exact , fundaţ ionale) d i ntre dezvo l tarea m odernă a şt i i nţe i (m arcată de geometr i i l e ne-euc l ideene, teor ia relat iv i tăţi i „fizica cuant ică, fizica modernă) ş i teoria ar i stote l ică a şt i inţe i au provocat proteste le aşanum iţ i lor fi losofi „speculat iv i" care au crezut în i nfai l i b i l itatea doctr ine i ari stotel ice. Dacă coerenţa aceste i doctrine a fost afectată de ineditele s i tuaţ i i conceptuale apărute în evo luţ ia i storică a cunoaşteri i , oricum valoarea e i se regăseşte în tradi ţ ia creată, în inspiraţi i le ş i st imu lări l e cunoaşteri i şti inţ ifice, cum şi în rezonanţa actuală în d iscuţi i le filosofice, curente d in domen iu l fu ndamente lor generale ale aceste i cunoaşteri .

Critica operei lu i Aristotel în acest domeni u a făcut-o însăşi evoluţia soc ial- i storică a cunoaşteri i , faptu l că fi losoful antic n-a aj uns la un constructiv i sm d ialectic în cunoaştere (vezi P iaget [ 1 , p . 80] ) const i tu ie o l im ită generală a perioadei fi losofiei ş i gând iri i greceşt i d in i storia cu lturi i umane .

CAPITOLUL I I I

FI LOS O F IA M O D E RNĂ A MATEMATIC I I

3.1 . PROFIL STILISTIC A L MATEMATICII OCCIDENTA LE

I storic, matemat ica a apărut sub forma ei nat ivă ca ,,ştiinţă a numerelor" (aritmetică) şi ca studiu aljigurilor percepute intu itiv (puncte, segmente, drepte, p lane în spaţiu, ungh iuri , tr iunghi uri , cercuri etc .) , ceea ce num im geometrie. Aşadar, entităţile matematice fundamentale spec ifice matemat ic i i vechi , practicată încă de babi lon ieni ş i egi pten i , erau numărul ş i figura, ale căror domen i i s-au dezvoltat în d irectă conex iune cu conceptul de măsurare, cu efecte pract ice remarcabi le în astronomie - la popoare le am int ite - este vorba de calcu lu l ecl ipse lor de l ună şi alte le .

Dezvo ltarea matemat ic i i cunoaşte o înflorire la vech i i grec i care real izează saltul de la empiric la intelectual (deductiv), contribu ind, astfel, la ceea ce s-a spus, că matemati ca a devenit o şt i inţă în sens ul acceptat al zi le lor noastre ş i acest fapt s-a datorat, cum observa Hans Re ichardt [ 1 , p . 9 ] , ident ificări i acestor do i ingred ienţi semnificat iv i în actu l de a face matematică: stab i l i rea unor realităţi fundamentale (ex. : prin două puncte trece o dreaptă şi numai una) şi a unor fundamente (conexiuni) logice ;

graţie acestor două e lemente, geometr ia a fost constru ită s istematic ş i deuct iv, devenind model a l şt i inţe i .

1 3 5

Este , dacă n u st ran i u , atun c i ce l pu ţ in de neîn ţe les , de ce matematic ien i i d in Grec ia antică nu au depus eforturi asemănătoare în d irecţia constru ir i i în aceeaş i măsură a algebrei ş i , u lterior, a anal ize i -fi i ce le m oşten i toare a l e aritmet ic i i numerelor. Au rămas l a fracţ i i ob i şnuite, dar nu au introdus numerele negat ive, i ar în stud iu l re laţ ie i d intre catetă ş i i potenuză s-au mulţum it să constate că nu este exprimabi lă printr-o fracţie . În loc să procedeze la extinderea domen iu lu i fracţi i l or, pentru a- l face apt să exprime asemenea ş i alte re laţi i geometrice, e i au procedat invers şi anume „au geometrizat algebra", rezultat as im i lat drept o teor ie ech ivalentă cu teoria numere lor reale, dar prin geometr izare, însoţit de enorme compl icaţi i , observă autorul german c i tat. Un rezultat cert s-a obţinut totuş i : b locarea dezvoltăr i i matematic i i .

Dar, calculele tr igonometrice impuse de astronomie ş i nav igaţie au propul sat trecerea matematic i i de la fracţi i ord inare la fracţi i zec imale, acestea cu un număr fin it de zec imale s-au doved it mai adecvate decât cele ord inare. Îş i făcea loc sentimentul „că printr-un număr sufic ient de zec imale se poate obţine orice exactitate d inainte stabi l ită. Prin aceasta, s-a pătruns adânc în însăş i esenţa numerelor reale şi s-a putut vorb i ch iar despre fracţi i zec imale cu un număr infinit de zecimale. Dacă teoria acestor numere s-ar fi constru it în mod consecvent, s-ar fi putut obţine chiar atunci o teorie consi stentă a numerelor reale" (Hans Reichardt [ 1 , p. 9] ) . O asemenea interpretare o ident ificăm la Arhimede - el a reuşit prin celebra sa metodă exhaustivă să calculeze exact aria mărgin ită de o porţ iune de parabolă şi de o coardă, numărul fi ind l /3 , dar nu a găs it un rezultat asemănător pentru aria cercului (rrr2), caz în care a trebuit să calculeze numărul n, l ucru pe care nu-l putea face numai cu fracţi i le. Oricum, el era conşt ient că n putea fi s ituat între l im ite d in ce în ce mai strânse şi că putea fi calculat cu o exactitate dinainte dată, dacă numărul laturi lor pol igoanelor înscr ise şi c i rc umscrise este sufi c ient de mare. Şi Hans Reichardt comentează: „Această pos ibi l itate de a exprima cu o exactitate dată un număr prin fracţi i constituie însăş i esenţa numerelor reale".

Matem at ica grec i l or (vec h i ) es te d e s i gur premisă pentru matematica occ identală modernă, dar în i nterpretarea noastră nu am

1 3 6

inclus-o în aceasta d in urmă, şi asta numai d in punct de vedere crono logic, ş i poate că ce i care au creat matematica modernă aparţ in ş i ei geografie i occidentu lu i . Am evocat-o, însă, pentru ca să vedem stad i u l evo luţi ei matemat ic i i la sfârş itu l ant ich ităţ i i ş i apoi pentru faptu l că trăsături le sti l ist ice ale matemat ic i i europene occ identale dobândesc pregnanţă, atunc i când procedăm la un stud iu comparat iv, în care luăm ca referinţă matemat ica e l ină antică.

Aşadar, e quas i-unan im admi s că în esenţă actul matemat ic are de-a face cu numere şi figuri (geometrice). Sfârşitu l antich ităţ i i a fost marcat de şocanta antisimetrie «număr- fi gură geometrică» , intu i ţ ie aritmet ică (p i tagore ică)- intu i ţ ie geometrică (euc l id iano-platon ic iană), care a culm inat cu „detronarea" pr imeia şi tri umful celei de-a doua. Poate că. aceasta este cea mai marcantă caracteri st ică sti l ist ică („tehnic" ş i i nte lectual-fi l osofică) spec i fică matemat ic i i greceşti ant i ce . Stud iu l i stor ie i matematic i i induce observaţia, reţ inută în fi losofia matemat ic i i, că evoluţia şi progresu l matematic i i au subiacentă această alternanţă număr-figură (geometrică), propu l s i i l le intr inseci domen i i lor acestora având efecte semnificat ive şi adesea revoluţionare - tehnic şi inte lectual - asupra dezvoltări i matemat ic i i şi nu numa i ; aceasta deoarece au influenţat în ch ip major şi fi losofia matemat ic i i , un aspect evident atunc i când se poartă d iscuţia nu atât asupra problemei constru iri i ed ific iu lu i matematic i i , c i mai curând când este vizată problema naturi i matematic i i . În fi losofia matematic i i , sfârşi tu l ant ich ităţi i greceşt i a stat sub semnul „ v i c to r i e i " ş i „ t r i u m fu l u i " p l ato n i s m u l u i , d ar ş i a l eşe c u l u i pitagore ismu lu i , deşi paradoxal, acesta a reprezentat, cum se ştie, un „ ingred ient- izvor" al platon ismulu i . Această observaţie o bazăm pe o anume interpretare, uşor restr ict ivă, a p laton ismulu i , ş i anume, dacă ident ificăm termenul „figură" (geometrică) cu „esenţă" platonic iană ş i lăsăm tac ită asumpţia că într-un domen iu al realu lu i matemat ic (în sens platonician) figurează şi numerele ( lu i P itagora) .

Alternanţa am inti tă număr-figură (geometrică) ne dă seamă de întregu l contur st i l i st i c a l matemat i c i i occ i denta l e . Matemat ica occ identală a stat in i ţ ia l sub impactul datorat ofensivei numerelor, prin

1 3 7

trecerea treptată de la cunoaşterea intuitivă a esenţei numerelor reale

(î ntâmplată cu mu l t înaintea fundamentări i calcu lu lu i d iferenţial şi i ntegral de către Le ibn iz şi Newton şi ch iar a reprezentăr i i prin coordonate a puncte lor planu lu i şi spaţ iu lu i în geometria d i ferenţ ială (ana l itică) a l ui Descartes, cunoaştere continuată de Bernou l l i , Euler, Fermat, Cauchy, Gauss şi a lţ i i , când, de fapt, toţi aceşti matematic ien i deşi se ocupau de fundamentele teor ie i numerelor reale nu conştientizau acest fapt) , la fundamentarea ei teoretică. Amint im câteva even imente care au împins intrinsec ş i i revocabi 1 spre autentice clarificări fundaţ ionale în teoria

numerelor. Mai întâ i , expres ia �' aparent l ips ită de semnificaţie, obţinută în tentative de rezolvare a ecuaţ ie i de gradul tre i ; dar s-a observat

repede rostu l ei leg i t im în calcule, la fe l cu cel al expres i i lor .J2, J3 ş i

h, care duc la rezultate rezonabi le, ad ică legit ime matematic, fapt ce a condus la întăr irea conv ingeri i în „cetăţenia matematicii" a s imbo lu lu i i . Gauss, peste 3 00 de an i , are i ntu iţ ia că numerele reale trebui e să-ş i extindă domen iu l pentru a- l putea cupr inde pe acest „locuitor ciudat",

am zice noi , ş i l-am numit pe i, ad ică �' a( cărui pătrat este, dec i , - 1 . Dar, ch iar ş i Gauss proceda ca în epocă, ad ică opera cu numere reale, ca şi cum e le ar fi n işte entităţi matematice cu statut c lar defin it . Ş i , în consec inţă, matemat i cien i i nu-ş i puneau în mod exp l ic it problema

fundării teoriei numerelor reale. Î nsă alte evenimente, precum cele legate de d ificultăţ i le cu care s-a confruntat Cauchy priv ind c lari ficarea noţ iun i i d e l i m ită, au generat o problematică care punea l a ordinea z i le i „fundarea teoret ică" a numerelor reale.

S intetic vorb ind, (deoarece în capito le le anterioare consacrate acestu i subiect ne-am referit in extenso ), s-a observat că toate moduri le de fundamentare trim it la fracţi i care, în u lt imă instanţă, sunt reduct ib i l e la numere naturale. Urma că este suficient să studiem mulţimea numerelor naturale, ale căror proprietăţ i sunt fixate în ceea ce este cunoscut ca fi ind axiomele lui Peano. Reducerea la numere naturale a însem nat

1 3 8

punerea bazelor teoretice ale numerelor rea le ş i complexe, în u l t imă instanţă bazele anal ize i rea le ş i comp lexe (calcu l u l d i ferenţ ial , ecuaţi i le d i ferenţiale, calcu l u l variaţional , teoria funcţ i i lor şi a lte le) şi ch iar ale geometr ie i , deoarece geometria ana l i t ică reprezentând noţiun i le sale fu ndamentale (în primul rând puncte le) în termen i i coordonate lor ( iar acestea sunt numere rea le), confirma ideea că geometr ia are ca fundament teoria numere lor rea le .

O descoper ire s i ngu lară, care a i naugurat o perspect ivă, de asemenea, s i ngu lară ş i revo lu ţ ionară în matemat i că, a fost teoria

grupurilor (E. Galois), care are ca prem ise ingred ienţ i com plexi - care v i n d inspre teoria numerelor (reguli ale operaţiilor cu numere), dar ş i d inspre logică, deoarece angajează ş i procese logice apl icate acestor proprietăţi fundamentale ale operaţi i lor cu numere, însă şi a altor operaţ i i matematice, c a d e exemplu, compunerea mişcări lor ş i/sau a penn utăr i lor. Pe această cale s-a produs obţinerea unor proprietăţi mai complexe ş i m a i profunde, r id icând astfe l abstracţia matematică l a u n n ivel superior. Oricum, prin impactu l produs de opera lu i Ga lois , algebra a intrat într-o autentică fază modernă a evoluţ ie i sale, doved ind că este o d isc ip l ină care stud iază ceea ce numim structuri algebrice . Se acred itează, în acest context, că ideea de grup are un loc de onoare, fiind cea mai universală

d in întreaga matematică contemporană; se recunoaşte, de asemenea, rolu l superior ş i fecund pe care grupurile î l joacă în toate teor i i le matematice; astăzi , cele mai spectaculare cucerir i-ap l icaţi i le poartă algebra modernă în topologie (algebrică) ş i în geometria algebrică ş i care au făcut ca matemat ica să iasă d in făgaşu l ei tradiţ ional .

Dar, perspectiva rad ica lă- intern matematică, introdusă de noţiunea de grup, ad ică ceea ce num im matematica structurilor relevant reţinută ca idee centrală în man i festu l şco l i i Bourbaki [ 1 ] [2] , s-a constituit în conex iune d irectă cu modul axiomatic de gândire, prin exce lenţă un fecund mod de gândire matemat i că, o part i cu lar i tate s t i l i s t i că a matemat ici i occ i dentale a seco lu lu i XX.

1 3 9

Modul structural de gândire matematic - inextricab i l conexat modu lui de gândire matematic, deşi se orig inează în matemat ica detradiţie

numerică, dar care asumă, însă, şi procese logice (ce v in expl ic it d inspre logică! ) - aduce noutăţi rad icale în ontologia matematici i . Printre locuitori i domeniu lu i matemat ic vom găs i a lături de numere şi figuri, acestea d in urmă reduct ib i le, în analiza finală, l a numere, „ intruşi" ca relaţii şi/sau structuri noutatea remarcabi lă constând în „tranziţia" de la cantitativ

(matemat ica aritmetică, în sens general, ca şt i inţă a cantităţi lor)' la calitativ

(matematica structuri lor algebrice, de ordine, topologice). Am prenta ax i o m at ică a m odului de gândire matematic se

învederează nu numai în prezenţa teoriei structurilor, ci ş i în apar iţia, const itu irea geometri i l or neeucl id i ene, despre care s-a spus, comparat iv cu teoria funcţi i l or cu variab i le com plexe, că „dacă aceasta reprezintă d in punct de vedere „tehnic" cea mai semnificativă creaţie în matematică, ele (geometri i l e neeucl id iene) const itu ie d in punct de vedere intelectual

cea mai importantă descoperire", cu efecte revoluţionare refer itor la natura matematic i i . Aşadar, iarăşi numere şi jiguri cu ro l dom inant în aceste două teori i şi cu semn ifi caţ i i fundamenta le pentru dest i nu l matemat ic i i .

Tendi nţa axiomatică s-a dovedit fecundă ş i într-o celebră teorie, cea a mulţimilor, unde a condus la constitu irea unei u ltrarăspând ite paradigme de gândire, cea set-teoretică sau ansambl i stă, cea mai fecundă ş i efic ientă perspectivă de fundare a matematic i i ş i care a conferit o aură sui gentris profi l ul u i st i l i st ic al matematic i i contemporane.

În fine, o notă caracteri stică a profi lu lu i sti l i stic a l matematic i i actua l e o reprez intă matematica comp uterială, încât i m pactu l revoluţionar al computere lor asupra matemat ic i i a condus la un nou st i l de gând ire în matematică ş i ch iar la o nouă parad igmă în această şt i inţă, o nouă re l aţ ie intuitiv şi s imbol ic, o relansare a idei lor l u i Leibniz despre matematica computaţională, o nouă noţi une de demonstraţie, o regândire a statutu lu i matematici i .

1 40

3.2. DEMERSUL CARTEZIAN ÎN METODOLOGIA ŞTl lNTEI '

Programu l euc l id ian antic sau c lasic în metodo logia cunoaşteri i şti inţ ifice a avut în mod esenţial un caracter anti-empir ist, propoziţi i le indub itab i le fi ind garantate de o intu iţ ie infai l i b i lă a inte lectu lui . Faptele vor fi demonstrate invocând principi i le indubitab i le şi defin iţi i . Cu aceste „componente" se constituie cadru l de funcţionare al metodei anal izei şi s intezei .

Şt i i nţa modernă a adăugat la schema euc l i d i ană doi factori : i )faptele raţionate (reasoned facts) şi i i ) ipotezele oculte, ca de exemplu : toate corpuri l e se atrag reciproc, un fel de propoziţie-.dub itabi lă. Metoda ana l i ze i şi s i nteze i l eagă într-un c i rcu i t ded uct i v cu noscutu l ş i necunoscutul , u n c ircuit a l transmiteri i adevărul u i ş i /sau falsu lu i , u n fel de sistem „circulator" care veh iculează adevărul sau falsu l „ injectate" la i n trarea în acest cadru . D i fi cu l tăţi l e „c i rcu lator i i " în s i stem u l metodo logic ant ic a l cunoaşteri i , num it ş i circuitul poppusian, sunt generate la nivelul şt i i nţe i moderne de prezenţa celor doi ingred ienţ i : fapte le raţ ionate şi ipotezele oculte. Astfel , faptele ş i faptele raţionate nu sunt conectate deduct iv, iar fapte le raţionate nu impl ică d irect ipoteze oculte, deşi i mpl icaţia în d irecţi e opusă, de la ipoteze ocu lte la fapte raţionate, poate fi autent ică.

Idea lul infai l ibismulu i şti inţific presupune circu laţia l iberă a valori i de adevăr de la fapte la fapte raţionate, de la fapte raţionate la ipoteze ocu lte, de la ipoteze oculte la primele principi i, ca ş i restitu irea viceverse i .

Circuitul cartezian, m a i compo lex decât cel pappus ian , căc i comportă trei fe lur i de enunţuri care au certitudine, introduce un gen de inferenţă inductivă care transferă adevărul . Acest c i rcu it s-a constituit din încercarea lui Descartes de a adapta anal iza şi s inteza c las ică la şti inţa modernă, rezu ltatu l fi ind , ev ident, o vers i une ext insă a c i rcu itu l u i pappus ian, d e care s e distinge prin unele aspecte precum: conţine enunţuri fu ndamentale quasi-empirice, inferenţe deductive, dar şi inferenţe inductive prin care valoarea de adevăr este „ injectată" şi veh icu lată în

1 4 1

circuit ca într-un autentic „sistem circulator", fără ca unul d intre aceşti ingred ienţi să fie pr ivi leg iat ca rol şi mai ales să aibe com petenţă l uat în mod izo lat. Concepţia carteziană este incompatibi lă cu abso lutizări le, ind iferent cine le-ar form ula, c i rcuitul modern nefi ind nici empir ist, n ic i raţional ist, căc i nu trebu ie acceptată în exclusiv itate· autoritatea simţurilor, care situează „injectarea" valor i i de adevăr la nivelul enunţurilor factuale, dar n ici autoritatea intelectu lu i care ar plasa inserţia adevărulu i în c ircuit l a n ivelu l primelor princ ip i i . Descartes, Newton, Lei bn iz sunt pr im i i care au ses izat că nu se poate vorbi despre enunţuri factuale adevărate sau princ ip i i prime adevărate luate izolat, ci trebu ie cons iderate doar candi daţi pentru adevăr şi fals şi numai încorporate în s istem ul c i rcu lator al ana l ize i şi sintezei, „în afara acestu ia orice enunţ, ch iar fundamental, este l ipsit de semnificaţ ie, interpretează Lakatos [2] sp iritu l no i i s ituaţi i conceptual-metodologice la care au contribuit menţ ionaţi i cori fe i ai şt i inţe i moderne.

D iagrama următoare reprez intă ceea ce s-a num it ,+;ircuitul cartez ian": � inductie deducţie (experienţa 1 - - :._ - .....------. senzorială) f:'. f;

, iapte apte .

' raţ10nate deducţie L - - - -

deductie ,� ipoteze - - - ..: -

1 oculte principii

- - - J ---- - - - -1 prime induct, ie deductie inductie 1 ' ' I

Descartes şi Newton au respins antic iparea neînteme iată a primelor princ ip i i, care negl ijează sau ignoră faptele, sub l in i ind exp licit neces itatea anal ize i laborioase care să pornească de la fapte şi prin cauze mediatoare să parvină la principi i . S loganul newton ian : „hypothesis nonfingo" era un averti sment îm potriva extravaganţelor construcţ i i lor fi losofice speculative şi încorporarea ipotezelor în c i rcuitul cartezian le dest itu ie de aura specu lativă peiorat ivă, făcându- le să-ş i modifice fundamental statutu l lor. căc i, scopul circuitului cartezian este să poarte adevăru l în toate punctele lu i „noda le", iar efectul este tocmai, între alte le, transformarea i potezelor în fapte, să j ust ifi ce i deal u l ari stote l i c al une i şt i i nţe cu

1 42

cert itudine apodictică, de fapt să ferească demnitatea şt i i nţei infai l ibi le de fantezi i indez irab i le .

Descartes ş i Newton au statuat ca o regu lă absolută faptu l că lanţu l deduct i v porneşte de l a fapte . N ewton [ 1 ] spune textua l : „Ca în matemat ică aşa şi în fi losofia naturală investigarea lucruri lor d ific i le prin metoda anal ize i trebuie să preceadă metoda compuneri i" . O atitudine s im i lară condensează regu l i le a ci ncea ş i a patra d in Descartes [ 1 ] . Dar, dacă atât Descartes, cât şi Newton contestă uzu l princ ip i i lor prime, când sunt izo late de c ircu it, ei le concep. însă, ca o parte esenţială a circuitu lu i , ca o structură epistemo logică re levantă, la a cărei securitate contribuie, în absenţa cărora s-ar proceda la o „construire fără/undare", ca în cazul l u i Gal i le i , criticat pentru om iterea princip i i lor prime.

Inducţia ş i deducţia sunt ambele prezente în c i rcuitu l cartezian ş i sunt bazate pe intu i ţ ie , transm iţând adevăru l de la premise la conc luzi i şi falsul de la concluz i i la prem ise ; inferenţa induct ivă este d i stinctă de s i m p la conj ecturare fai l i b i l ă şi are un ro l important în obţi nerea propozi ţ i i lor generale . Newton [2] scrie: „Orice care nu este dedus d in fenomene trebu ie să fie numit o i poteză, ş i i poteze le de acest fe l , metafizice, sau fizice, despre cal ităţi oculte sau mecanice, n-au ce căuta în fi losofia experimentală. În această fi losofie propoziţ i i le sunt deduse d in fenomene şi făcute generale prin inducţie". Descartes substitu ie deducţ i e i s i l og i s t i ce deducţ ia i ntu i t ivă , a căre i i n fa i l i b i l i tate ş i comp lex itate este garantată de D umnezeu. Dar atunc i , se întreabă Descartes [ 1 ], de ce nu ar garanta Dumnezeu ş i i nferenţa inductivă? I ar în v i rtutea aceste i argu m entăr i , i nducţ ia ş i deducţ ia sunt p lasate epistemologic la acelaşi n ive l .

Astăzi , atât c ircu itul pappus i an, cât ş i ce l cartezian au fost date u ităr i i ; Lakatos [2] notează că ult imul fi losof care a luat în serios circuitul pappusian a fost J . M. C . Duhamel ş i care a cons iderat metoda ant ic i lor ca fi ind depăş ită, raportată la evoluţ i i le recente ale şt i i nţe i . Metoda şti inţei moderne nu mai este cea a ana l ize i , c i cea reduct ivă, care asi gură invest igaţia propoziţ ie i în d i scuţie, înaintând spre propozi ţi i l e din care aceasta decurge, până ident ificăm o propozi ţie indubitab i l adevărată;

1 43

dar, procedând astfel , Duhamel rămâne încă un cartezian . În acest pattern , s i nteza este dată odată cu anal i za, or ice anal iză putând fi convert ib i lă în s inteză. Metoda ant i că ş i-o mai amintesc studenţ i i cu ocazia stud ieri i istorie i geometrie i . Cornford argumentează că anal iza pappus iană este i dent i că cu ceea ce Duhamel a numit anal iză reductivă modernă ş i a conch is că oricine a interpretat deduct iv pe Pappus a greş it lamentab i l .

Pentru Descartes, oricum, nu numai s inteza, c i ş i anal iza a avut re levanţă epistemologică şi el a gândit că sursa şi garanţia adevăru lu i este circuitu l ca întreg (cf. Lakatos [2] ) . Cont inuitatea d intre Pappus ş i Descartes î i sugerează lu i Lakatos [2 1 o anal iză centrată pe câteva întrebări : 1 ) anal iza- s inteză cartez iană îş i are or i g i n i le în c i rcu i tu l pappus ian? Sau această conexiune este numai o reconstrucţ ie raţională?; 2) Este c ircuitu l cartezian o descriere factuală a ide i l or carteziene sau, iarăş i , numai o reconstrucţ ie raţională a acestor i de i?

Prezentarea lu i Lakatos este, după cum e l însuşi declară, una raţional reconstru ită, căc i a observat conexiunea ob iect ivă ş i dezvoltarea ide i lor şi nu a investigat modu l neîndemânatic în care ele au deven it conştientizate sau sem i-conştientizate de m inţi subiective. Descartes ş i contemporan i i lu i au fost conşt ienţi că e i au revizuit tradi ţ ia pappusiană prin tentat iva adaptăr i i e i la şt i i nţa modernă.

Intenţia lui Desca11es era să gândească o metodă de descoperire a cunoaşter i i infa i l i b i le, o eurist ică i nfai l i b i lă; ori , pentru e l model u l cunoaşteri i infai l ib i le era geometria euc l i d iană, iar s ingura metodă d isponib i l relevantă de descoperire era oferită de c ircuitul pappusian. Programul cartezian ţintea să real izeze logica descoperi ri i matem atic i i eucl idiene în toate domen i i le cunoaşteri i umane ş i regula a IV-a (Descartes [ 1 ] ) enunţa necesitatea eurist ic i i ca şi conv ingerea sa în rolu l i ntu i ţ ie i ş i deducţiei, ce ne direcţionează spre cunoaşterea infai l ibi lă, quasi-div ină; ş i în căutarea predecesori lor metodei apreciată de el dezi rabi lă, i ncurs iunea aj unge în spaţ iu l matematic i i ş i fi losofie i e lene, un pri lej în care e l subapreciază man ifest logica l u i Ari stote l care, cum vom vedea ulterior, o va găs i inoperantă în analiza naturi i raţionamentulu i matematic.

144

Descartes [2] se referă la geometri i ant ic i care au făcut uz de o anum ită anal iză, pe care au ext ins-o la rezo lvarea tuturor prob leme lor, apoi arată că în vremea l u i se dezvolta „un fel de aritmet ică numită algebră", având de-a face cu numere, întocmai cum antic i i aveau de-a face cu figuri geometri ce, ceea ce este fructul spontan născut d in princip i i le d i sc ip l inelor în cauză - ari tmetica ş i geometria. Referitor la algebră, el spune că nu este o ram ură a matemat ic i i , c i o metodă înrudită cu anal iza, algebra fi ind prin excelenţă anal it ică ( cf. Descartes [ 1 )] . Dar, pattemul cartezian este mai curând unul al rezolvări i problemelor decât al demonstraţ ie i .

Descartes a mărturis it că el a fost preocupat de tainele un iversului , nu l-au interesat triv ial ităţ i le geometrie i , stud iu l nuiţematic i i procurândui doar standardele de auto-ev idenţă ş i cert i tud ine ş i , mai mu lt, a crit icat st i l u l s intet i c propriu eucl id ian i smu lu i , cu efecte sufocante pentru gând i re , contrazicând în această pri v in ţă ceri nţa l u i P laton ca „în «Academie» să nu intre cei care nu ştiu geometrie".

3.3 . CONCEPTIA LU I DESCARTES DESPRE '

NATURA RATI ONAMENTULUI MATEMATIC '

Dacă în fi losofia matematic i i a lu i Aristotel raţionamentul d iscurs iv deţinea ro lu l central în cunoaşterea matem atică, intu iţ ia având un rol oarecum subordonat, începând cu Descartes şi Kant, se produce o sch imbare de accent priv ind ro luri le acestora în favoarea, priv i legierea aceste ia d in urmă.

În concepţ i a cartez i ană, noţ i un i l e defin i b i le şi adevărur i l e demonstrab i l e sunt der ivate d i rect d i n i ntu i ţ i e, fără vreun apel la raţ ionamentu l formal . Demonstraţ i i le matematice sunt identificate mai curând cu procese actuale de gândire decât cu scheme datorate logic i i formale, considerent pentru care Beth [2, p . 12 ] vorbeşte de intuiţionismul l u i Descartes. O versi une modernă a „Elementelor" lu i Euc l id nu poate fi redactată sub forma unei succes iun i de s i logisme ari stotel ice, i ar o

1 45

asemenea aserţ iune conduce legit im, după Beth [2, p. 6 ] , la două doctrine incompat ib i le : i ) conform prime i doctri ne, teor ia ari stote l ică a s i l o g i s m u l u i n u po ate o fe r i o ana l i ză adecvată ş i c o m p l etă a raţionamentu l u i matematic, o astfel de anal iză rămânând pos i b i lă atunci când teoria lui Aristote l este în locu ită cu o teorie s im i lară lărgită; i i ) după a doua doctr ină, anal iza raţionamentul u i matemat ic cere proceduri care d i feră esenţ ia l de s i l og i sm , încât o an al iză l og i că a acestu i raţionament nu este pos ib i l ă n ic i în cazu l că o teorie logică extinsă este d i spon ib i l ă . Confruntat cu ambe le concepţ i i -doctr ine , ob i ect iv u l exam inăr i i natur i i raţionamentul u i matematic perm ite s ă conch idem i m pos i b i l i tatea ana l i zăr i i raţ i onam entu l u i matemat i c în term en i i s i logistic i i tradiţ ionale .

Concepţi i le contemporane au reţinut ca fi ind corectă prima doctrină despre raportul d intre s i logism şi raţionamentu l matemat ic, deşi mu lt t imp logicien i i şi matematicien i i au sperat că şi cea de-a doua poate fi acceptată.

R. Descartes [ 1 , p. 3 8] este cel care a pus expl i c i t problema d i ferenţe i d i ntre raţi onam entu l matemat ic ş i s i logism u l trad iţ ional , ari stote l ic, re levând faptul că acesta d i n urmă p leacă de l a prem ise universale şi deduce o conc l uzie, de asemenea, universală, în t imp ce raţionamentu l matematic are part icu laritatea d i st inctivă de a i ntercala în structura sa i nternă o fază intermediară, constând în contemplarea unu i obiect ind iv idual : „ . . . propoZ;i ţ i i le generale sunt formate d in cunoaşterea part iculari lor". (Reply to the second objection) . Această fază d i st inctivă, specifică raţionamentulu i matematic, este produsă, real izată de intu i ţie . Descartes [ 1 ] consemnează acest aspect al inferenţei matematice în regula a IV-a: „ . . . această idee comună este transferată de la un subiect la altul , pur ş i s implu prin i ntermed iu l comparări i s imple prin care noi afirmăm că obiectu l căutat este în această sau în acea priv inţă asemănător, sau ident ic, sau egal cu un dat part icu lar. În consecinţă, în orice l anţ al raţionamentu lu i prin comparare pur ş i s implu aj ungem la cunoaşterea precisă a adevăru lu i . Un exem plu : toţi A sunt B, toţi B sunt C şi deci toţi A sunt C. Aic i comparăm unul cu altu l , un quaesitum şi un datum, v iz. A

1 46

şi C în priv inţa faptu lui că fiecare este B, şi aşa mai departe. Însă deoarece, cum adeseori am anunţat, formele s i l ogistice nu ne aj ută în perceperea adevărulu i despre obiecte, va fi pentru profitu l cititoru l u i să le respingem cu desăvârş ire ş i să concepem că toată cunoaşterea oarecare, alta decât aceea care constă în intu i ţ ia s im p lă ş i goală a ob iecte lor s i ngu lare independente, este o chestiune de comparare a două sau mai mu lte lucruri unele cu alte le".

Ş i vorbind despre intu i ţie, Descartes [3 ] , în meditaţia a V-a, afinn ă că trebu ie s ă fie centrată p e u n obiect concret. deş i nemater ial : „De exem plu, când noi imaginăm un triungh i , deş i poate să nu exi ste n icăieri în un ivers o asemenea figură în afara minţi i mele, sau n-a exi stat vreodată, exi stă totuş i în această figură o anum ită natură, formă sau esenţă determ inată, care este imuabi lă şi eternă, pe care n�am inventat-o, ş i care în n ic i un mod nu depinde de m intea mea, aşa cum apare d in faptul că d iverse proprietăţi ale acestui tr iunghi pot fi demonstrate, viz. ca cele tre i unghiuri ale lui sunt egale cu două ungh iuri drepte, că cea mai mare latură este subîntinsă de ce l mai mare ungh i , şi alte le asemnătoare, care acum ind i ferent dacă eu doresc sau nu eu recunosc foarte c lar că aparţ in lu i , deş i eu n ic iodată totuş i n-am gândit conţ inutu l când am imaginat prima dată triungh iu l".

Concepţia carteziană, considerată predom inant-intu iţ ion istă, asumă subiacent un gen de platonism, termen i i „natură", ,formă", „esenţă", cu caracteri st ic i le „ imuab i l i tăţ i i" şi „eterni tăţ i i " asoc iate, sunt relevanţi în acest se�s . Însă ceea ce este im portant pentru anal iza raţionamentulu i matemat ic răm âne d i ficu l tatea cu care se confruntă concepţ ia lu i Descartes pe care, se pare, cum observă Beth [2 ] , e l însuş i nu a conşt ientizat-o: dacă raţionamentu l trebuie să poarte asupra unui obiect concret, în cazul anterior de exemplu un triungh i , atunci cum vom putea raţ iona despre orice obiect (matemat ic) oarecare în vedera obţineri i general i zări i cerute, care legit imează orice demonstraţ ie matemat ică veritabi lă? Conform concepţiei lu i Descartes, obiectul intuiţiei este esenţa triunghiului şi nu orice triunghi oarecare . Conceptu l de obiect al intu iţ ie i (matemat ice , ai c i geometr ice) - esenţa tr i ungh i u l u i în concepţ i a

1 47

cartez iană - va fi reformulat de John Locke [ I ] apelând la ideea de triunghi în general, căc i nu se are În vedere n ici tr iungh iu l obtuz, n ic i tri unghiu l dreptungh i c; n ic i tr iungh iu l ech i lateral, n ic i triungh iu l isoscel sau tri unghiu l scalen . Conceptu l cartezian de esenţa triunghiului este de insp iraţie platoni stă, În t imp ce cel de triunghi în general al lu i Locke este incompatibi l cu doctrina ide i l or Înăscute împărtăş i tă de fi losoful francez şi în acord, mai curând cu ontolog ia de t ip conceptual i st, remarcă Beth [2, p. 8] .

Soluţ ia l u i Locke a fost găs i tă nesat isfăcătoare de Berke ley [ 1 ] , care se întreabă : „ . . . cum putem ş t i despre or ice propozi ţ ie că este adevărată, despre toate tri unghiur i le part iculare, excepţ ie faptul când am demonstrat-o despre ideea abstractă de tri ungh i cu care toate triunghiuri l e sunt în acord? Pentru că, deoarece o proprietate poate fi demonstrată pentru un triungh i part icular, nu urmează că aparţ ine oricăru i alt triungh i , care în toate priv in ţe le nu este identic cu e l . De exem plu, având că tre i ungh iuri ale unui tr iunghi dreptunghiu lar isoscel sunt egale cu două unghi uri drepte, nu pot infera aceasta ca valab i lă pentru toate celela lte triungh iuri , care nu au n ic i un unghi drept. n ic i două laturi egale. Pentru a fi s iguri că această propoziţie este universal adevărată, noi trebu ie să facem o demonstraţie part iculară pentru orice triunghi part icular, ceea ce este impos ib i l , sau s-o demonstrăm odată pentru totdeauna despre ideea abstractă de triunghi, la care part ic ipă toate triungh iuri le part iculare şi prin care e le sunt în mod egal reprezentate . La care eu răspund că deşi ideea pe care o am în vedere, în timp ce eu fac demonstraţia, va fi aceea a unui tri unghi dreptunghi u lar isosce l , ale cărui laturi sunt de o lungime determ inată, eu pot totuşi să fiu si gur că ea se ext inde la toate celelalte tri ungh iuri , de orice fel şi mărime . . . Este adevărat, d iagrama pe care o am în vedere incl ude toţi aceşti part iculari , dar nu există n ic i o u l t imă menţ iune făcută despre ele în demonstraţ ia propoziţ ie i" .

Beth [2, p. 8] găseşte acceptabi lă expl icaţia formulată de Berkeley şi, chiar mai mult, o vede un răspuns posibi l satisfăcător la cea de-a doua chest iune d in următoarele două care formează problema în d iscuţie: I ) de ce introducem în demonstraţia unei propoziţi i matematice universale o

148

fază intermed iară conexată unui ob iect part i cu lar (de exemp lu, un tri ungh i)?; 2) cum poate un argument care introduce o asemenea fază să prod ucă o conc luz ie un iversală? Dacă Berke ley produce o rep l i că conv ingătoare la a doua chest iune d in cele l istate anterior, Descartes a oferit un răspuns plauzib i l la prima chest iune. Meritu l lu i Descartes este că el a observat că raţionamentu l matematic are o structură curioasă, care îl d istinge clar de si logi sm, însă expl icaţ i i le date de fi losoful francez rămân parţ ial e, valabi l i tatea lor circumscri indu-se numai în legătură cu prima problemă din l i stă. Expresia standard a matematicianului ,,Fie ABC un triunghi oarecare" serveşte i l ustrăr i i raţionamentulu i prin ape lu l la o d iagramă concretă. Beth observă că aceasta nu const itu ie o expl icaţie corectă, satisfăcătoare, deoarece această manieră es_te prezentă ch iar în tratate le de matematică contemporană abstractă, care prin raţiunea lor nuşi propun asemenea obiective ca i lustrarea prin intennediu l d iagramelor. Beth crede că Descartes a surprins corect ro lul «fazei intermediare» în deru larea raţionamentu lu i matematic şi anume, stimularea intu iţie i (am adăuga creatoare), ceea ce nu se poate executa decât legat de obiectele part icu lare; un răspuns acceptabil la pri ma chestiune. O remarcă d in „Med itaţia a cincea" ar sugera că Descartes a intenţionat prin identificarea triunghiului particular corelat contemplări i intu itive cu esenţa triunghiului (triunghiul general, în tenn ino logia lu i Lockey) să ofere un răspuns şi la cea de-a doua chestiune. Interpreţi i lu i Descartes (între care Beth se distinge) au constatat d ificultăţ i le inerente doctrine i carteziene în confruntarea cu stări le de fapt d in matematică, căci este d ific i l să justifici o concluzie un iversal ap l icab i lă plecând de la contemplarea intu itivă a unui anumit triungh i part icular mai curând decât a altuia. Prem isele unei asemenea conchideri sunt rezultate d in „demontarea" demersului cartezian, căci dacă este totuşi d ific i l să pui de acord rolul unui tri unghi particular cu esenţa triungh iu lu i , odată fi ind admis acest lucru, dacă acceptăm însă acest concept, unnează că esenţa tr iungh iu lui fi ind un tri ungh i individual, să fie sau scalenă, sau dreptunghiulară etc. Dar, resp ingerea concepţie i despre esenţa triungh iu lu i ca un triungh i particu lar antrenează faptu l că prima chestiune rămâne desch isă.

1 49

Răspunsu l l u i Berkel ey la a doua chest i une este mai degrabă negat iv, căci d in moment ce proprietăţi le tr iungh iu l u i ind iv idual nu au ro l în demonstraţ ie, ce raţ i une mai are introducerea lor?

O asemenea perspect ivă a fost aprofundată mai exp l ic it şi cu mai mu ltă claritate de D. Hume [ 1 , part. I ] , observaţi i l e lu i ţ inând de domen iu l ma i curând al ps ihologie i decât al logic i i , cu relevanţă pentru ceea ce este num it gândirea d ialect ică. Fenomenul descri s de Hume aparţine n ivelu l u i pre-critic al d i scuţie i , ad i că al d iscuţie i neformale d intre, să spunem , doi matematic ien i angajaţ i într-o d ispută când unu l d intre e i avansează o aserţi une, să spunem, „cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale", pe care celălalt o resp inge constru ind, de exemplu, un triunghi dreptunghic . Fenomenu l este semn ificat iv pentru ant ic iparea contraexemplelor care ev ită general izăr i l e nefundate. Observaţ ia l u i Hume, d in ci tatul pe care îl vom da mai jos, este exp l ic itată de Beth [2, p. l O] în termen i i următori : „Să notăm că structura une i asemenea ant ic ipări este transferată de la n ive l u l d i scuţ ie i la ace la a l raţ i onamentu l u i formal . Dacă noi introducem u n argument deductiv cu cuvinte le : «Fie ABC orice tr iunghi» ' sau «Fie ABC un tr iungh i arb itram, aceasta se întâmplă deoarece alegerea acestu i tr iungh i este lăsată unui oponent i magi nar" . Beth cons ideră că observaţ ia l u i Hume anal i zată a ic i , ş i conţ inută î n c i tatul care urmează, constitu i e o rep l ică l a prima chest iune . Ş i acum iată ce spune textu l l u i Hume [ 1 , Voi . I , Book I] în contextu l relevant pentru metodologia matematic i i pe care l-am sch i ţat anter ior : „Aceasta este una d intre cele mai extraordinare împrejurăr i în afacerea prezentă, ca după ce m intea (gând i rea) a produs o idee i nd iv i duală pe care no i raţ ionăm, ob i ectu l care serveşte, reînv iat pr i n termen genera l sau ab stract s u gerează u ş o r o r i ce a l t i n d i v i d ua l , p r i n întâmplare ( chance) formăm orice raţ ionament care nu este de acord cu . . . Astfel noi ar trebui să menţionăm cuvântu l tri unghi şi să formăm ideea unu i tri ungh i particular ech i latera l care îi corespunde şi după aceea ar trebui să asertărn că cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale fiecare unul cu altul, cei lalţ i ind i v idual i ai tri ungh i ur i lor scalene ş i i sosce le, pe care i-am negl ijat, transm it imed iat asupra noastră percepţia fals i tăţ i i aceste i propozi ţ i i" .

1 5 0

3.4. PROGRAMUL „MATHESIS U NIVERSA LIS"

Aşadar, i ntenţ ia l u i Descartes nu a fost un stud iu în s i ne a l matermatic i i , c i cercetarea secrete lor, ta ine lor universu l u i căre ia l -a subordonat . E l dorea ca se i f-ev idenţa ş i cert i tud i nea - cal ităţi a le cu noaşteri i matematice, în part icu lar ale ce le i geometri ce, exce lent statuate în program ul euc l id ian, să le vadă prezente în toate domen i i le cunoaşteri i re levante despre aceste pomen ite m istere ale lum i i . Devine i nte l ig ib i l ă intenţia carteziană, centra lă în program ul fi losofu lu i şi matematicianului francez, găs irea ş i cult ivarea unei metode utile ş i eficace nu atât în demonstraţ i i , fie şi matem atice, cât în rezo lvarea probleme lor, fie ele mai re levante despre tai nele un iversu lu i . l at� de ce l-a preocupat circu itu l pappusian şi de ce punctu l de plecare al constitu ir i i metodei lu i Descartes l -au constitu it anal iza pappus iană (geometri i grec i au folosit o anum ită ana l iză, pe care au ext ins-o u lter ior la rezo lvarea tuturor problemeior, cf. Descartes [2 ] ) şi a lgebra pe care e l n-a conceput-o ca ramură a matemat ic i i , c i numai ca o metodă strâns înrud ită cu metoda anal izei, aşa cum este consem nat expres în regula XVII, când algebra este considerată pr in exce lenţă anal it ică în sens pappusian . Log ica (metoda deducţiei s i logistice) a fost găsită de Descartes nefolositoare scopuri lor sa le, căc i este operantă numai pentru exp l icarea a ceea ce c ineva deja ştie.

Nesatisfăcut de sursele metode i sale (anal iza geoemtrică ş i algebră), Descartes le va îm bina (geometria anal itică), ev itând defecte le lor ş i pr in aceasta erori le lor. Lectura atentă a „Discursului" ş i a „Regulilor" ( Descartes [2 ] , [ 1 ] ) ne dezvălu ie o identitate a preocupări lor sale m etodo logice, încât, dacă mai adăugăm interesu l său faţă de opera lui Arh imede ş i Appo l l on iu s (am b i i fo los i nd metoda ş i term ino logia pappus iană), înţe legem mai dep l i n rostu l «circuitului pappusian» în ansamblu l demersului metodologic cartezian, relevanţa euristică a acestu i c i rcu it, atât de comentat în d i scuţi i l e ş i conversaţi i le eurist ice d i n cuprinsul secolu lu i a l XVII- iea.

1 5 1

Lakatos [2] opinează că dacă se ignoră c ircu itu l pappu s ian, o prem isă de la care a p lecat fi losoful francez, riscăm să nu înţe legem istoria intelectuală a cartezianismulu i . «Circuitul cartezian» este, în acest caz, o dezvo ltare a celui pappusian sau o reconstrucţie raţională a istoriei ( i ntelectuale)? Lakatos [2, p. 87] afirmă că, în fapt, este o reconstrucţie raţională a problemei în chestiune ş i că istoria nu poate fi raţional înţeleasă decât în lumina unor astfel de reconstrucţi i , autentice exp l icaţi i re levante.

Circuitul cartezian în matematică. Ace i gând itori care, asemenea lu i Descartes, au identificat matematica cu geometria eucl idiană şi a lgebra elementară, au considerat că fapte le în matematică sunt „fapte raţionate" şi că „ipoteze oculte" nu există. În secole le 1 7 şi 1 8 matematica a fost „i nvadată" de fapte, iar cum să fie acestea „raţionalizate", ad ică cum să fie ridicate la n ive lu l fapte lor „raţionate" a devenit o problemă centrală. Cauchy ş i urmaş i i săi au rezo lvat problema prin procedura „trans lări i", ceea ce în circuitu l cartezian corespunde treceri i inductive de la fapte la fapte raţionate . Dar, în ace laşi t imp, au apărut ş i ipoteze oculte, astfel expl i carea unor fapte despre l i n ia realelor folosind teoria funcţi i lor complexe este analoagă invocări i ipoteze lor transcendentale în fizică, cf. Lakatos [2] . Deducerea acestor ipoteze d in pr imele princ ip i i a fost una d i n probleme le pe care procedura aritmetizării ş i logicizării matematic i i a încercat să l e sol uţioneze. Anal iza aprofundată a c ircu itu lu i cartezian matematic ar putea aduce la sl.1prafaţă aspecte până acum greşit înţelese.

Evo luţia şti inţe i în secolele 1 7 , 1 8 , 1 9 a marcat dec l inu l c ircu itu lu i cartezian. Tre i d irecţi i de atac au urmat critic i le la adresa circu itu l u i cartezian: i ) inducţia (componentă a circuitului) n u transferă adevărul. Sub atac s-a aflat una d in treceri le (paş i i ) inductive şi anume, cea de la fapte raţionate la ipoteze oculte (a se vedea diagrama circu itu lui cartezian care figurează pe una d in pagin i le anterioare). Dacă pasu l respect iv este considerat i zolat, atunci crit ic i i au negat că valoarea de adevăr injectată fapte lor raţionate se poate transm ite ipotezelor ocu lte . Acceptarea critic i i impl ică: a) abandonăm infailabi l i smul ş i adm item caracteru l conjectural al ipoteze lor şti i nţifice; b) sau înlocu im acest pas induct iv, ţinta ataculu i ,

1 52

prin aşa-num ita metodă infai l ib i lă a d iv izări i ca o metodă a demonstrăr i i i poteze lor oc u lte, fără să ma i cădem pe inducţ ie , care con stă în enumerarea ipotezelor ocu lte (conjecturi pos ibi le) din care să fie derivate (exp l icate) fapte le . Fals ificăm pe rând ipoteze le, deducând d in ele propoziţi i factuale false, până rămâne una, care va fi declarată conjectura nefalsificată. În esenţă, această metodă, observa Lakatos [2], se bazează pe „ infailib ilitatea absolută a intuiţiei care i nventariază această enumerare completă şi pe constructibilitatea efectivă a experimentelor cruciale"; c) mai există o cale neutră, cea a introducer i i unei teori i a probab i l ităţ i i ipotezelor şti inţifice, dar care în final conduce la teori i logic in sutenabi l e ale confirmări i , ce încearcă să re introducă, afirmă autoru l anterior citat, infa i l ib i l itatea pe uşa d in dos. Să ma i adăugăm că infai l ib i l itatea metodei d iv izăr i i a fost criti cată de logicien i i catol ici de la Papa Urban VII I la Duhem, iar teori i le probabi l i ste au fost criticate de K. R. Popper. Ş i chiar dacă am intim faptu l că aceste critici ignoră complet un detal iu , poate sem nificativ, şi anume, că pasul în discuţie nu este în tota l i tatea l u i i nduct iv, conţi nând o parte cons iderab i lă de natură deductivă num ită «pas deductiv newtonian» , trebu ie, oricum, să se accepte eşecu l euristic i i infai l ib i l iste centrate pe deducerea teor i i lor d in fapte . Inducţia larg răspândită în matematică ş i şti i nţa seco le lor 1 7, 1 8 a fost sever criticată de matematic ieni ca Abe l , Cauchy, iar ulterior de „rigorişti ' ' . i i ) Deducfiile perfecţionate transferă adecvat şi relevant adevărul. Treceri le deductive (paş i i deduct iv i ), deşi criticate uneori, nu au fost n i c i odată abandonate, încercându-se desăvârş i rea lor pr in proceduri de translaţie, cum ar fi «aritmetizarea», <<Set-teoretizarea» etc., care au contribu it semnificativ la creşterea rigori i în cunoaştere, fenomen marcat, relevant, prin reducerea număru lu i de constante quasi- logice ş i , în final, de demonstraţi i executate cu maşini Turing. Lakatos [2] observă că nu a fost aprec iat sufic ient impactul (negativ) datorat unor „translaţ i i" fail ib i le . i i i ) Nu exista principii pure, şi nu există.fapte raţionate. Decl inul logic i i inductive dacă nu a distrus, cel puţin, a trunchiat circuitu l ca1iezian şi The Zi pfastener-u l braithwaitian i-a l uat locu l, valoarea lor de adevăr c ircu lând într-o s ingură d i recţie . , ,Fermoarul" braithwaitian poate

1 5 3

transm ite valoarea de adevăr, cu cond iţia ca să fie admise primele principii, dar dacă nu sunt admise, noi nu putem decât infirma şi nu demonstra. C i rc u itul cartezian trunchiat în forma ,fermoarului braithwaitian" a suferit un al doi lea atac ac um, nu priv ind s iguranţa «canalelor» de transm itere a valori i de adevăr, c i referitor la puncte le nodale ale „ injecţi i lor" adevăru lui în circu it : principiile prime ş i fapte raţionate. Cunoaştem d in istoria şt i inţei câţi gând itori reputaţi a mobi l izat căutarea, (aflarea opt im i stă) a primelor princ ip i i (în mecan ica Bernou l l i , Eu ler, în etică Sp inoza şi Kant, în fi losofia pol i t ică Hobbes etc . ) . Astăzi se cons ideră riscant să admiţi ca re levant acest circuit trunch iat cu injectarea valori i de adevăr la nivel u l princ ipi i lor intuit iv indubitab i le; numai un i i neokant ien i mai împărtăşesc acest punct de vedere. Pr in Duhem ş i Popper, at itudi nea critică a fost extinsă ş i asupra fapte lor ş i să observăm că această tendinţă-doctrină este consonantă cu l i n i i le d i rectoare ale crit ic ismu lu i elen antic, ce v iza re levanţa epistemologică a experienţei senzoriale . Vom reţine d i n această perspect ivă d istincţia d i ntre the Zipfastener-ul popperian ş i cel al pozitiv ismului logic, acesta din urmă priv i l eg i ind statutul l u i Protoko l satze, re levante pentru experienţa senzorială; este controversa d intre deductivism şi inductivism. O discuţie asupra contribuţi i lor şti inţifice ale l u i Kepler ş i Nev.rt:on, după care legi le lui Kep ler ne apar drept conjecturi prim itive, iar corecţia newton iană ca o teoremă, ar argumenta în favoarea unui model euristic în care nu există fapte perfect raţionate .

3.5. FU N DALUL FILOSOFIC GENERAL LEIBNIZIA N : METAFIZICA ŞI LOGICA

F i losofu l de la Hanovra - Le ibniz - a rămas celebru în istoria cu l tur i i pentru descoperirea calcu l u l u i i n fi n itezimal ş i doctri na sa metafizică, conform căre ia «lumea aceasta este mai bună dintre toate

lumile posibile» . El şi-a preţu it teoria sa metafizică despre monade ş i logică; pe prima, pentru că lega mu l te lucruri, care altfe l ar fi rămas

1 54

nelegate, precum teo logia şi mecan ic ismul , substan ţa ş i energia, spir itu l ş i materia, calcu lu l infin itezimal şi m icrobio logia.

Gottfried Wi l he lm Le ibn iz s-a născut în 1 646 ş i a murit în 1 7 1 6, aprec iat ca unu l d in mari i logicieni ai lum i i , recunoscut dar şi contestat de d i sc ipol i i l ui Newton, ca autor al descoperir i i calcu lu lu i i nfin itezimal ş i al monado logiei (Theod icea şi Monadologia). Gen iu universa l , autoru l a mai mu lte pro iecte ş i in iţ iative, a dus puţine la final izare. A funcţionat ca istoric al b ib l iotec i i d in Hanovra, cons i l ier şt i i nţific şi expert în dreptu l internaţional al electoru lu i . S i stemul său n-a fost n iciodată expus complet, în acest sens s-a spus că seamănă mai mult cu P laton decât cu Aristotel .

Le ibn iz a adm irat enorm opera l u i Ari stote l , pe care o cons idera una d in cele mai frumoase descoperiri ale sp ir ituJui uman, adevărată artă a infai l i b i l ităţ i i , concept ib i lă ca un fel de matematică universală. Dar, el n-a fost un aristotelician purist, căc i nu credea că toate raţ i onamente le pot fi „turnate" în formă s i l o g i st ică , ce l pu ţ i n raţionamente le cond iţionale ş i d isjunctive fi ind ireductib i le la acest tipar. A conştientizat necesitatea unei teori i ext inse a deducţie i care să fie întemeiată pe princ ipiu l comun - i nerent tuturor formelor de deducţie : substituţia ech ivalente lor.

Stud i u l log ic i i ari stote l ice I -a condus l a ideea fructuoasă de demonstraţie formală, fără formal i sm nefi ind pos ib i lă obţi nerea ri gori i dezirabi l e în raţionamente le, inferenţe le noastre şt i i nţifice, necesară expuneri i dezvo ltări lor, progrese lor prin matemat ică, atenţia noastră fiind concentrată exclus iv asupra formei lor.

Preocupări le pentru logică a le l u i Leibniz au fost t impuri i ş i par a fi subordonate ambiţioase lor sale proi ecte ca cele priv ind o lingua

philosophica, celebru l său program al unei scientia universalis . El era conv i n s că lingua philosophica sau characteristica universalis, pre l im inar i i la instaurarea păc i i , ord in i i şi progresu lu i şt i inţi fic, de care dep inde cooperarea inte lectuală d intre oamen i i la care o characteristica

universalis contribu ie în ce l mai îna lt grad . Spuneam că asem enea preocupări ale fi losofu lu i au fost t impuri i , căc i chiar încă între 1 3 an i ş i 1 9 an i e l a conceput ideea unu i a(fabet al gând iri i umane. Pe baza acestu i

1 5 5

alfabet, Leibniz [ 1 , p. 1 85 ) considera că orice lucru care poate să fie gândit, trebu ie să fie construit d in combinaţi i convenab i le şi orice raţionament să poată fi redus la operaţia cvas imecanică a parcurgeri i unei l i ste . Ars Ma

gna a lu i Raymond Lu l l us şi Computatio sive Logica a lu i Hobbes au stat l a baza unor asemenea i d e i ( cf. W. ş i M . Knea l e [ I , p. 346)). Prima încercare a lu i Leibniz a vizat înfăţişarea fonnări i noţi uni lor geometr ice complexe cu aj utorul unui cod în care numere le întregi ţin locul de termeni primi, de exemplu : „ I " în loc de punctum şi „2" în loc de spatium, iar fracţi i le ţin locul altor termeni care au fost introduş i prin definiţie şi aranjaţi în d iferite clase, de exemplu: „ 1 /2" în loc de primul termen d in cea de-a doua clasă, care s-a nimerit să fie quantitas. W. ş i M. Kneale [ 1 ] observă insuficienţa anal izei, deoarece l ista celor 27 de termeni pentru geometrie nu are la bază vreun pri ncip iu inte l ig ib i l , căc i în t imp ce unele elemente ca punctum, dimensio sunt specifice geometriei , altele ca unum, possibile, omne nu au această cal i tate. Un astfel de program nu d i st inge sem nele generale a le s i n taxe i logice de sem nele spec ifice geometriei ş i ar fi trebu it să stab i lească genuri le de complexitatea care interv in în definiţi i şi ce trebuie să se înţeleagă prin „combinaţia" unor noţ iuni geometrice s imple. I deea le ibn iziană, că şi complexitatea se dezvoltă d in conjuncţia atr ibutelor (el are în vedere, când vorbeşte de combinaţi i , complexe pe care le exprimăm prin juxtapunerea adject ive lor sau a substant ivelor comune ca în defin iţia „un triunghi este o figură cu tre i laturi drepte") este răspunzătoare de eşecul programulu i său; lumea nu poate fi înţeleasă în acest mod.

Teoria le ibniziană a fost bazată pe princ ip iu l : expresi i le noastre să oglindească structu ra l um i i . S e m n e l e de bază cores punzătoare elemente lor s imple pot fi alese arbitrar, dar trebu ie să exi ste o analogie între re laţi i le lor ş i relaţi i le elemente lor pe care l e semn ifică. Importanţa semnelor a fost învederată de matematică în contrast cu s istemele noastre obişnu ite de semne care generează dificu ltăţi în act iv i tatea intelectuală. Leibniz [2] era preocupat de ext inderea unui simbol ism adecvat în regiuni mai vaste ale cercetări i . Aşa cum consemnam în altă parte (Ţurlea [ 1 , p. 7 1 ]) , „Majoritatea şti i nţelor part icu lare apărute la începutu l perioade i

1 56

moderne i-au părut lu i Leibniz nu numai deconcertante, dar şi ca un obstaco l în calea progresu l u i şti inţific. Le ibn iz a i ntuit nu numai ideea unei şti inţe un ificate, ci şi a m ij loace lor ei de rea l i zare, ce lebru l program al unei scientia universalis constând într-un l imbaj universal al şti inţei (characteristica universalis) . El re leva pos ib i l ităţi le şi avantaje le une i s imbo l i zări adecvate pentru progresu l şti i nţe lor şi recomanda o metodă efic ientă de inferenţă, concepută după modelu l calcu lu lu i d in aritmetică ş i algebră, ş i care va perm ite să dobândim ceea ce e l a num it adevăruri de raţiune" .

Vom încheia această parte a expuneri i sch i ţând une le rem arc i generale asupra concepţiei de ansamblu a l u i Le ibn_iz:

i ) Cei mai mu lţ i comentatori şi i nterpreţi ai opere i le ibn iziene au constatat că autoru l e i este un fi losof în sensu l larg a l cuvântu l u i . Korner [ 1 , p . 28) notează: „E l este autoru I unu i s i stem metafizic de mare frumuseţe ş i profunz ime . Le ibn iz a fost ş i matematic ian, fiz ic ian , teoret ic ian ş i mu lte altele. Mai mu l t, toate act ivităţi le ş i real izări le sal e intelectuale a u fost legate între e le Î n mod s istem atic".

i i) Ex istă o conexiune strânsă, ch iar un parale l ism, între concepţi i le sal e logice ş i ce le metafizice. În esenţă, e l a adoptat logica l u i Aristote l , iar concepţia acestu ia despre reducerea oricăre i propoz i ţi i la forma subiect-pred icat ş i -a găsit analog în metafizica le ibniziană în concepţia că l umea constă d in substanţe cu atr ibute. „Poziţia logică mai radicală a l u i Le i bn iz", scrie Korner [ 1 , p. 29] „după care predicatu l fi ecăre i propoziţ i i este «conţ i nut în» subi ect, îş i are analogu l în cunoscuta concepţie metafizică a sa, după care lumea constă d in subiecte care se conţin pe e le înse l e - substanţe sau monade care nu interacţionează". Un i tatea gând i r i i l u i L e i b n i z e ste demon strată şi de d i s pute l e comentatori lor l u i c u pr iv i re la locu l ş i ro l u l metafizic i i ş i a l logic i i în ansamb lu l concepţi i l or sa le .

i i i ) Idea lu l une i şt i in ţe un i ficate (scientia universali.\·) a fost configurat, deodată, cu menirea, pentru care era intenţionat, şi m ij loacele de rea l izare : characteristica universalis, un simbo l ism universal adecvat calculus ratiocinator (o teorie formală a deducţie i) şi o ars combinatoria

1 5 7

(o teorie formală a defin i ţ iei) . Să observăm statutu l privi legiat al celor două di sc ip l ine ale cunoaşteri i umane: logica şi matematica, din al căror impact rec iproc s-au născut logica modernă matematică (s imbol ică) ş i program ul fundaţionist al matemat ic i i - logicismul, care î l are pe Le ibn iz ca cel mai însemnat precursor.

3.6. LEIBNIZ ŞI PROG RAMUL ŞTl l NTEI UNIFICATE '

(SCIENTIA U NIVERSALIS) ; „MATHESIS U NIVERSALIS"

Opera leibniziană are un ev ident „un iversal ism" care nu este izolat istoric, căci i se poate identifica o fi l iaţie istorică ce desc inde d in epoca baroc u l u i şi cu ecour i în form al i s m u l m odern . M u l t i p l i c i tatea deconcertantă a şti i nţe lor era în v izi unea lu i Leibn iz un autent ic obstacol în calea progresu lu i intelectual şi şti i nţ ific; un l imbaj fi losofie ( l i ngua phi losoph ica) ar permite o cooperare inte lectuală fructuoasă şi o mai bună înţe legere între oamen i . Rea l izarea programulu i său presupunea simboluri pentru toate noţ iunile luate ca u ltime, neanalizabile şi un aparat adecvat exprimări i unor noţ iuni formale ca predicaţie, conj uncţie, d isjuncţie, negaţie, conexiune cond iţională, un iversal i tate ş i existenţă; ş i noţ i un i l e neformale pot fi exprimate s i mbol ic . Characteristica

universalis este concepută de Leibniz uneori ca un l imbaj algebric, alteori ca o versiune perfecţionată a si stem ulu i ideografic al l imbi i chineze. E l intenţiona să asigure o gramaticăfilosofică acestui l im baj s imbo l ic universal, ca o caracteristică di stinctă, ce re leva forma logică a propoziţi i lor d in d iscurs, s implu şi regulat, cum nu se întâmpla în l imbaj u l natura l .

Ideografia sau scrierea conceptuală leibniziană trebuia să fie în concepţia lui Le ibniz o metodă care să contribu ie la real izarea programului şt i inţei unificate şi care consta într-o man ieră de „fomrnre şi aranjare a caractere lor şi sem nelor încât ele să reprezinte gânduri, adică ele să fie legate între ele aşa cum sunt gânduri le corespunzătoare" (Leibniz). Ecouri le doctrinei le ibn iziene se găsesc în secolu l nostru în Wittgenstein [ 1 ] :

1 5 8

„Semnul reprezintă ceea ce este perceptibi l senzorial în simbol . Dec i, două s imboluri d iferite pot fi redate prin ace laşi sem n (scris sau rostit etc . ) - e le semnifică atunci în moduri diferite. Nu putem indica niciodată proprietatea comună a două obiecte pe care le notăm cu ace laşi sem n, dar le atribuie două moduri diferite de sem nificare. Căci, sem nu l este într-adevăr arbitrar. Se pot alege deci şi două semne diferite, şi unde ar rămâne ceea ce este comun în semnificare? În l imbaj ul comun apare foarte frecvent faptu l că ace laş i cuvânt semnifică în moduri d iferite - deci aparţine unor moduri diferite - sau faptul că două cuvinte care s imbol izează în mod diferit, sunt uti l izate în propoziţi i aparent în ace laşi mod. Astfel, cuvântu l «este» apare drept copulă, ca semn de egal itate şi ca expresie a existenţei ; «a exista» ca verb intranzitiv şi ca «a merge»; «identie» ca adject iv; noi vorbim despre ceva, dar şi despre faptu l că se întâmplă ceva. În propoziţia «Verde este verde» în care primul cuvânt este un nume propriu, iar al doilea un adjectiv - aceste cuvinte nu au pur şi s implu semnificaţii d iferite, c i sunt simboluri d iferite . În felu l acesta iau naştere cu uşurinţă cele mai fundamentale confuzi i de care este p l ină toată fi losofia. Pentru a scăpa de aceste erori trebu ie să folosim un l imbaj de semne care le exclude, în care nu util izăm ace laşi semn pentru simboluri diferite, nici semne care simbol izează în mod diferit, ca semnificând aparent în acelaşi mod. Deci, un l imbaj de semne supus gramatici i logice - sintaxei logice. Scrierea conceptuală a lu i Frege şi Russel l este un astfel de l imbaj care, fără îndoială, nu exclude încă toate eror i le".

,Alfabetul gândurilor umane" înzestrat cu o gramatică logică ar putea oferi, graţie sem nelor şi regu l i lor, o caracterizare univocă a conceptelor ş i a relaţi i lor d intre e le . Gânduri le umane se exprimă prin judecăţi, care au forma subiect-pred icat, ( influenţa aristote l ică), sunt reduct ibi le la concepte, acestea fiind construite, la rândul lor, din concepte mai s imple, cărora Leibn iz le asociază semne întru caracterizarea lor. Des igur, şi alţi fi losofi , precum Platon, au folosit d iagrame şi procedee notaţ iona le , dar cu caracter de aux i l iare acc identa le . Le i bn iz va conştientiza că fără un s imbol ism adecvat dev ine imposib i lă stăpân irea unor deducţ i i , lanţuri inferenţiale mai com pl icate . „E l t rebuie să fi

1 59

descoperit - în part icular, în cercetări le sale despre pos ib i l ităţ i le unei matematici a « infin itezimalelor» - că inventarea unui s imbo l i sm pentru reprezentarea enunţuri lor şi demonstraţ i i lor, pe de o parte, şi cunoaşterea structur i i lor logice, pe de altă parte, deşi separabi le în gând ire, sunt în real itate foarte rar separabi le" (Korner [ I , p. 3 3]) . Reprezentarea deducţiei în s imbol uri adecvate - fir al Ariadnei în conducerea spiritulu i - faci l ita deru larea raţionamentu lu i formal, oferea cadru l unui calculus ratioci

nator, un gen de metodă quasi-mecan ică de der ivare a concluzi i lor, calculare inferenţială pur fonnală aidoma calculu lu i algebr ic. Celebru l Calcule mus le ibn izian (Leibniz [ 1 ] ) putea în acest mediu intel ectual să decidă asupra controverse lor priv ind d iverse subiecte.

E. W. Beth [3 ] intc:rpretează characteristica universalis - prim ul aspect a l program ului şti inţe i unificate - în sensuri le următoare : i ) un l im baj natura l , ca de exem p lu ce l l at i n ; i i ) l i m baj natural parţ ia l formal izat, formal izarea fixând doar sem nificaţia unor termeni care de obicei variază în anum ite contexte în cadru l l imbi i naturale; ex. l imbaj ul fizic i i e lementare; i i i) l imbaj parţial formal izat ca în cazul i i ), sup l imentat cu unele s imboluri introduse expres : l imbaju l matematic; ş i , în fine, l imbaj u l complet formal izat care conţine şi unele cuvinte d in l imbaj ul natura l . Conc luzia unei asemenea i nterpretări este : character ist ica un iversal is nu este neapărat un l i mbaj s imbol ic . W. ş i M . Kneale [ 1 ]

s istematizează o l i stă de două cauze ale nereuş itei program ului , v izând d i rect characteris t ica un iversal i s ; i ) era impos ib i l ă a lcătu i rea unu i d icţionar pentru noul l im baj precon izat de Leibn iz, atâta t imp cât cercetări le şt i i nţei m oderne se aflau în p l i n proces de desfăşurare; i i ) construcţia l imbaju lu i ideal neces itat de programul lu i Leibniz a fost obstrucţionată de un al doi lea factor: dogma sub iect-pred icat a logic i i tradiţ ionale (ari stote l ice), pe care şi-a însuş it-o ş i de care nu s-a „el iberat" gânditorul de la Hanovra.

Ştim că proiectul unei „Enciclopedii" - ansamblu s i stematic al cunoştinţelor vrem i i - 1-a preocupat pe Le ibn iz încă din t inereţe. Exegeţi i operei sale au observat că, în această perioadă, matematica juca un rol m inor în construcţia fundamentu lui şti inţei un ificate via characteristica

1 60

universalis . Logica este dominanta gând iri i sale în prima fază a evo luţiei sale inte lectuale, urmând ca u lterior idealul matematic să devină dominant, acestei şt i inţe (matematica) acordându- i un spaţiu larg în schema sa metodologică, căci dorea ca totu l să fie expus în forma demonstrativă a „Elementelor" lui Eucl id .

Dar, l imbaju l conceptual le ibn izian nu avea un sens în s ine, c i trebu ia să faci l iteze inferenţe le, raţionamente le ch iar sub forma unu i calcu l a lgebric. În fapt, calculus ratiocinator reprezintă un «sistem de forme de demonstraţie», incluzând operaţi i care ap l icate prem iselor produceau conc luz i i fără n ic i o refer ire l a conţ inutu l concret a l constituenţi lor (enunţuri lor). Beth [3 ] interpretează în sens modern acest calcu l , cum am mai afi rmat, ca o teorie formală a deducţiei.

Ars combinatoria era un si stem comp let de <iforme-definiţie» ce dau operaţi i l e care, ap l icate unor concepte, perm it constru irea unor concepte noi , de asemenea independent de conţinutu l concepte lor impl icate . În sens modern, ea ar corespunde, spune Beth [3 ] , unei teorii

formale a definiţiei. Aşadar, characteristica universalis era un sistem fundamental de

sem ne, calculus ratiocinator era un sistem de regu l i de deducţie, iar ars

combinatori, o teorie a defin i ţ i e i , care controlează ş i legit imează introducerea semnelor noi ce stau în fapt pentru conceptele noi .

S i m i l i tud in i le găsite de Le ibn iz în tre termen i i , propoziţ i i l e ş i s i logismele logic i i trad i ţionale cu l i terele, ecuaţi i le şi transformări le d in algebră, în fapt o asemănare formală frapantă, l-au inspirat ş i provocat să prezinte logica ca un calcul, numindu-şi noua sa şti i nţă „matematică

universală". Intenţiona Leibniz prin noua sa , ,ştiinţă-metodă" să absoarbă log ica în matemat ica ob i şnu ită? o matemat ică pr in exce len ţă a cantitativu lu i , deşi Descartes dezvoltase a lgebra lu i i Viete, făcând-o capabi lă să abordeze ş i noţiuni din geometrie? Aşa cum remarcă W. şi M. Kneale [ 1 ] , acest tip de matemat ică nu era însă ce l mai profund mod de existenţă al acestei şti i nţe, căci puteau fi certe calcu lele care transcend cantitativu l , care abordează relaţi i abstracte sau formale de natură necant i tativă, cum ar fi s im i laritatea şi d i s im i l ari tatea, congruenţa,

1 6 1

incl uziunea. Aceşti autori opinează că Leibn iz [2, p. 525 ] avea în vedere o teorie generală a structurilor ce ar fi putut oferi o s intaxă pentru characLeristica universalis. Doctrina Formarum Continent Logicam et Combinatoriam a lu i Leibn iz înfăţi şează această teorie ce trebu ia să cuprindă teoria şiruri lor, a tabelelor şi a tuturor formelor de ord ine, ea urmând să constituie fundamentul cel orlalte ramuri ale matematic i i (ca geomet r i a , a l geb ra, ca l c u l u l p ro bab i l i tă ţ i l or ) şi ins trumen tul descoperiri lor şt i inţ ifice. După declaraţia lu i Leibn iz, Ars Combinatoria făcuse posib i le real izări le sale d i n matemat ică şi ing inerie: calcu lu l infinitezimal, dezvoltarea în serie a lui n/4; maşina de calcu l . Dacă, aşa cum am mai spus, o operă îşi dă propria sa măsură şi prin anticipări le postume, atunci nu sunt hazardate asoc iaţi i şi conexiun i între t ipul de generalitate ş iformalitate urmărit de Leibn iz şi teoria grupurilor a lu i Galois, algebra abstractă modernă. D intre infin itele moduri de calculare (calcu l ) , el a dezvoltat un calcul al identităţi i şi incluziuni i şi un calcu l geometric al asemănări i şi congruenţe i , prin ul tim ul urmărind o tratare a structurilor geometrice fără întrebuinţarea coordonatelor, anticipând două mari real izări : Grassmann : ,,A usdehnungslehre" - 1 844 şi Boo l e : „Mathematicul Analysis of Logic" - 1 847 . Se poate spune că Leibn iz (prin ambele calcu le) avea în vedere o teorie generală a formelor, de aici nota de formal itate pregnantă în structura operei sale, la care am făcut mai înainte al uzie. El este negreşit un precursor al logic i i matematice, com parativ cu Hume şi Kant, care au avut în medi i le culturale mai curând o influenţă ost i lă logic i i matematice, căreia i s-au adăugat alte condiţ i i nefavorabi le acestei şt i inţe. W. şi M. Kneale [ l , p . 40 1 -3 02] comentează pe marg inea acestu i even im ent important în i stor ia i n te lectua lă occidentală: „Deşi Leibn iz a formulat un ş ir de sugest i i stră luc ite, nu era pos ib i l să se realizeze un progres s igur atâta t imp cât matematica nu se dezvoltase suficient pentru ca genu l de abstracţie dorit de Leibniz să pară fi resc mai uşor. Când log ica a reînviat Ia m ij l ocul seco lu lui a l nouăsprezecelea (prin lucrarea lu i Boole [ 1 ] , nota autorulu i), noua vigoare ce i s-a insuflat a provenit mai curând de la matematicieni , care erau fam i l iarizaţi cu progresele propriei lor spec ial ităţi, decât de la fi losofi preocupaţi de controversele d intre ideal ism şi empirism".

1 62

Dezvoltarea abstracţiei matematice marcată putern ic prin trecerea de la cantitativ la calitativ (formal, structural), fenomen datorat evol uţiei matematic ii de la sfârş itu l seco lu lu i al 1 9- lea ş i îndeosebi în secolu l nostru, avea să dovedească fecund itatea mu ltor ide i ş i teori i le ibn iziene. Relevanţa ide i lor lu i Le ibniz în constitu irea logic ismu lu i modern este certă, iar ideea unei şt i i nţe unificate (în spirit red ucţion ist) a devenit centrală în preocupăr i le membri lor Cercu lu i de la Viena; mu lte d in observaţi i l e adânc i şi derutante ale lu i Wittgensten [ I ] sunt prel ungiri ale l i n i i lor de forţă ale gând iri i le ibn iziene.

Ca o concluzie, cităm unele observaţi i pe care le-am form ulat în lucrarea noastră (Ţurlea, [ 1 , p. 73 ]) : „ Ideea le ibn iziană de mathesis universalis (uni ficarea logic i i şi matematic i i ) constă, aşadar, nu numai în s i stemu l de semne ( ideografie), c i ş i în logicp inventia sau ars inveniendi, căci , pornind de la re laţi i s imple ca ident ităţi şi fapte prim itive, ne oferă toate adevărurile. Avantajele erau demn de preţuit: un l imbaj exact superior celu i obişnu it, valabi l pentru toate şt i i nţe le, fac i l itând stabi l i rea re laţ i i lor generale, între care conceptele şt i inţifice ş i obţinerea de noi adevăruri în şti inţele exacte; în sfârşit, mathesis universalis urma să j oace ro lu l de ars iudicandi în d isputele priv ind problemele metafizice sau etice, căci oferea, în intenţia autorulu i ei , o procedură de decizie pur formală ş i complet exactă; caracteru l cvasimecan ic al acestei proceduri perm itea să detectăm ş i să e l im inăm eror i le, s luj ind drept un adevărat «fir al Ariadnei» în compl icate le procese mentale ale di ferite lor şti inţe".

3.7. PRELIMINA RI I PASCA LIENE. LOGICISMU L LEI BNIZIAN; LEIBNIZ -

PRECU RSOR A L LOG ICISMU LU I MODERN

Concepţia trad iţională despre şti inţa deductivă a fost elaborată de Aristotel şi întrucâtva expl icitată şi expusă coerent în unele articulaţ i i metodologice de Pascal . După Beth [2 , p. 3 8 ] , Pascal are tre i merite : i) a descoperit principiul inducţiei complete; i i ) a formu lat un criteriu după

1 63

care se dist ing defin i ţ i i l e nom inale de orice t ip de defin iţie, criter iul autorizând substituţia defin iţ iei în locul definiendumului; i i i) a dat o expunere clară a aspecte lor esenţiale ale metodologiei şt i i nţelor deduct ive, aşa cum aceasta a fost formulată de Ari stote l ( cf. Pascal [ 1 ] ) .

Pascal face referire expresă la postu latu l se i f-ev idenţei , căci , cum se şt ie, Ari stote l este prim u l gând itor care a demonstrat într-o man ieră deven ită clas ică, şi nu mai puţin ce lebră, că nu este pos ib i l să defin im orice concept sau să demonstrăm orice adevăr; Stagiritu l , cum am văzut într-o secţiune anterioară, a exp l icat acest lucru invocând doctrina sa a intu i ţiei care ne procură cunoaşterea d irectă a conceptelor prim itive şi a adevăruri lor pr imit ive. Pascal [ 1 ] scrie textual : „Eu rev in la exp l icaţia ord in i i adevărate care constă, cum eu am spus, în a defin i orice lucru şi a demonstra orice lucru . Aceasta va fi o metodă perfectă, însă este absolut impos ib i lă; pentru că este evident că termen i i prim i pe care c ineva va vrea să- i definească vor asuma în exp l icaţie termen i care îi preced, ş i s im i lar, propoziţi i le prime pe care c ineva vrea să le demonstreze vor presupune pe celelalte care le preced; ş i astfel este clar că cineva nu va aj unge niciodată la primele propoziţi i" . Ş i Pascal se referă, în continuare, expl icit la postu latele ari stote l ice ale şt i inţe i deductive: „„ .nu urmează că cineva ar trebu i să abandoneze orice fel de ord ine. Pentru că exi sta un fel de ordine, acela al geometriei" . „Aristote l da acelaşi exemplu de şti inţă demonstrat ivă, care este inferior, în adevăr, în măsura în care este mai puţin conv ingător, însă nu deoarece este mai puţin cert; nu defineşte orice, nu demonstrează orice; aceasta este unde este inferior; dar asumă numai lucruri care sunt clare şi constante în lum ina naturală (postulatul seif-evidenţei) şi ce este p l in de adevăr (postulatul realităţii), natura sprij in indu- I în l ipsa demonstraţie i . Această ord ine este cea mai perfectă, constă nu în definirea a orice, n ici în demonstrarea a orice, n ici însă în a nu defini n imic şi a nu demonstra n im ic, ci în l im itarea Ia cursu l mediu a nu defini lucruri care sunt clare şi înţe lese de toţi oamen i i ş i a defini pe cele lalte, şi a nu demonstra lucruri cunoscute oameni lor ş i a demonstra pe ce lelalte (postulatul deducţiei)".

Rezu ltă d in acest ci tat că Pascal , ca şi Aristote l , a sesizat ideea structurii duale a şt i inţe i deductive; i ) pe de o parte, noţiun i prim itive ş i

1 64

adevăruri prim itive (princ ip i i le); i i ) pe de altă parte, concepte defin ib i l e şi adevăruri demonstrab i l e, pornind de la prime le form ulate cu aj utoru l lu i ( i ) . Această structură duală as igura ideea de ordine, am spune deductivă, care l-a preocupat pe Pascal . Descartes ş i Kant concepeau structura unitară a şt i inţe i ca bazată pe sursa infai l i b i lă a cunoaşteri i : intuiţia ( l a Descartes una intelectuală, l a Kant una empirică ş i alta a priori), cea care procura d i rect, fără ajutoru l unui proces d iscursiv de raţ ionare, concepte defin ib i le şi adevăruri le demonstrab i l e. Poziţia lu i Descartes ş i Kant rămâne „cantonată" la n ive lu l principiilor, punctu l ( i ) d in descrierea concepţie i ari stotel ice ş i pascal iene despre structura duală a şt i inţe i deductive, am intind însă de termenul ari stotel ic intu iţie ( Nous ) care, cum am văzut, la Stagirit „faci l ita" inducţia care discerne princip i i le în masa datelor percepţiei (senzoriale, sens ib i le) .

Le ibn iz [3 ] se inspiră d in două categori i de idei-doctr ine: prima aparţ ine (şi este legată de numele) lu i Thales, Apol lon ius, Proc lus ş i Arnau ld, care au făcut tentat ive de demon strarea unor adevărur i geometrice pe care Euc l id le-a acceptat ca axiome; a doua categorie urmează l in ia de gândire a lui Aristote l ş i Pascal , conform căreia nu se poate e l im ina absolut orice asumpţie axiomatică. Leibniz conch ide că este necesară o reducţie absolută a bazei axiomatice a şt ii nţelor organizate astfel , în sensul că trebu ie acceptate numai axiome identice sau pri m itive. „Mai mu lt, eu am spus publ ic şi în particu lar că va fi important să demonstrăm toate axiomele secundare pe care noi le întrebuinţăm în mod ob işnu it, prin reducerea lor la axiome prim itive sau imediate şi indemonstrab i l e, pe care eu recent le-am num it identităţi " .

Noi , modern i i , numim astăzi aceste identităţi leibniziene ca fi ind tautologii sau identităţi logice, log icianul d in Hanovra defin indu-le în termen i i următori : „Adevăruri le prim itive de raţiune sunt ace lea pe care eu le denumesc cu numele general de identităţi, d in cauză că ele repetă acelaşi lucru fără să ne înveţe n im ic". Importanţa adevăruri lor de această natură (tautologi i le) este sch i ţată de Leibniz aste i : „nu toate adevăruri le identice sunt nefolositoare . . . Consec inţe le logic i i (de exemplu) sunt demonstrate pr in (cu) princ ip i i i dentice; ş i geometri i au nevo ie de

1 65

princ ip iu l contrad icţ iei în demonstraţ i i le lor care reduc ad absurdum . . . Ceea ce face c lar că cele mai pure propoziţi i identice care par cele mai nefolos itoare sunt de un uz considerab i l în astract ş i în general ; ş i aceasta ne învaţă că c ineva nu ar trebui să d i spreţu iască orice adevăr".

Ca şi H obbes, Le ibn iz [2 , p . 5 1 8 , p . 1 8 8] cons idera că toate adevăruri le necesare sunt garantate de defin iţi i le termeni lor care i ntervin în formularea lor ş i că nu exi stă, cu excepţia princ ip iu lu i identităţ i i , axiome absol ut i ndemonstrabi l e. Găs im a ic i , in nuce, logicismul l u i Leibniz. Logicianul ş i matemat ic ianul german era conv ins că natura şi structura demonstraţ ie i rezidă în faptu l că trebuie arătat că şi conceptu l pred icatu l u i propozi ţ i e i de dem on strat este conţ inut în conceptul subiectu lui , iar pentru real izarea acestu i lucru trebu ie anal izate cele două concepte şi ev idenţ iate re laţi i l e d intre e l e . „Procedeul esenţ ia l în constru irea unei demonstraţi i" - arată W. şi M. Kneale [ 1 , p . 3 54] , constă în a enunţa un lanţ de defin iţi i în raport cu care putem observa că propoziţia ce trebuie demonstrată este o identitate virtuală". Leibniz [3 ] i l ust rează i n tenţ ia centra lă a program u l u i său l o g i c i st pe cazu l demonstrări i unui adevăr matematic, în construcţia aceste i demonstraţi i adm iţând numai axiome- identităţi ( logice), care nu angajează n ici un concept cu spec i fi c matemat ic . Şi acum prezentăm demonstraţia respect ivă:

Enunţu l : Nu este pe depl i n un adevăr ev ident că 2 + 2 � 4, asumând că 4 = 3 + 1 ;

Definiţii: 1 ) 2 = 1 + 1 2) 3 = 2 + 1 3) 4 = 3 + 1

Axiome: axioma identităţi i , punând egal în locul ega l i lor, egal i tatea rămâne valabi lă, se conservă;

Demonstraţie (cf. Leibn iz [3 ] ) : Conform princip iu lu i i dent ităţi i 2 + 2 = 2 + 2; conform defin i ţiei I ) avem 2 + 2 = 2 + ( 1 + l ) ; mai avem 2 + 2 = (2 + I ) + 1 ; conform defin iţ iei 2): 2 + 2 = 3 + 1 ; şi conform defin iţiei 3 ) : 2 + 2 = 4 .

1 66

Demonstraţia lu i Leibniz are, aşa cum au arătat Frege [ 1 , p. 7] (şi Bolzano ), o carenţă, deoarece pasul de la rândul al doi lea: 2 + 2 = 2 + ( 1 + 1 ) ( cf. def. 1 ) la rândul al tre i lea: 2 + 2 = (2 + I ) + I cere legi le asociat iv ităţi i : x + (y + z ) = (x + y) + z , care necesită demonstraţ ie.

W. ş i M. Kneale [ l , p . 3 54] comentează natura şi structura acestu i t ip de demonstraţie în termen i i următori : „Dacă toate raţionamente le, s i logist ice şi nesi logistice, sunt doar în locuirea unor expres i i prin alte expresi i cu care sunt ech ivalente prin defin iţie, atunci este indiferent ·

dacă începem cu o identitate şi trecem în mod sintetic de la aceasta, prin paşi succes ivi , la teza de demonstrat, ca în exemplu l dat mai sus, sau începem cu teza de demonstrat şi o reducem în mod anal itic, prin paşi succesiv i la o identitate . Deosebirea de ord i ne nu se va rid ica Ia o deosebire de metodă, căci în fiecare caz putem apl ica un lanţ de defin iţi i , descoperirea constând în ordonarea acestora sau, la un n ivel mai profund, în cercetarea com binaţi i lor pos ib i le ale pred icate lor". Autori i c itaţi consideră nesat isfăcătoare demonstraţia, mai exact concepţia care stă la baza ei , deoarece se întemeiază pe supoziţia că în orice adevăr afirmativ predicatum inest subiecto Leibniz vede complexitatea ca generată de conjuncţia atributelor, defin i ţia unu i termen având ceva asemănător descompuneri i unui număr de factori prim i, şi conexiunea necesară fi ind analoagă div iz ib i l ităţ i i unui număr ce corespunde subiectu lu i printr-un număr corespunzător predicatu lu i (cf. Leibniz [ l ] . Ori , complexitatea apare şi în alte moduri , şi în consecinţă dem onstraţ ia nu urmează i nexorabi l un drum aşa sîm plu ş i l inear. Kneale [ l , p. 3 5 5] continuă: „Fiecare termen are o un ică defin iţie adecvată, care este d�scompunerea sa în noţiuni prime, dar pentru scopuri le demonstraţiei nu este întotdeauna necesar să mergem atât de departe şi dacă ne oprim la o anum ită etapă, putem avea mai multe defin iţi i echivalente ale unui termen, una adecvată într-un anumit context, alta în altu l, în funcţie de acea proprietate a defin iendumulu i care trebuie demonstrată".

Ch iar dacă programul logicist al l u i Leibniz a fost prematur în raport cu dezvoltarea matematici i , încercări le lui de a- 1 real iza prezentând astăzi mai mult un interes istoric, observă Beth [3 ] , (ch iar demonstraţia

1 67

pe care i-am reprodus-o a fost corect crit icată şi respinsă ch iar de întemeietoru l însuşi al logicismu lu i modern - Frege), trebu ie să i se recunoască lu i Le ibniz precizia cu care el a identificat paş i i acestu i program (cf. Beth [3] : 1 ) Construcţia unei teor i i pe care s-o num im «logica pură» , cupr inzând toate ent i tăţ i l e , această construcţ ie conformă princip i i lor metodo logice ale lu i Ar istote l ; 2) defin i rea conceptelor matematice prin intermediu l log ic i i pure; 3) demonstraţ ia axiomelor specifice matematici i , p lecând de l a mul ţimea identităţi lor logice şi de la defin iţi i l e d iverse lor concepte matematice; 4) pentru obţinerea unui înalt standard de r igoare este necesar încă un pre l im inar şi anume, construcţia unui l imbaj fonnalizat capabi l să servească ca mod de expresie pentru logica pură.

Este indub itab i lă influenţa l u i Leibn iz asupra logicismulu i modern, în particu lar asupra lui Frege. Logici smul fi losofie fregean reţine d in fi losofia le ibn iziană idei le : mathesis universalis anticipa un ificarea logici i cu matematica, reducţia abso lută a asumpţi i lor axiomatice până at ingem princ ip i i logice, s ingurele nedemonstrabi le; şi instrumentul de rea l izare a l program u lu i l e ibn izian a fost <<Scrierea conceptuală» ,

împărtăş ită pe dep l in de gând itorul de la Iena (Frege).

3.8. LEIBNIZ DESPRE NATU RA MATEMATICI I : „A DEVĂRU RI DE RATIUNE"

V '

ŞI „A DEVA RU RI DE FA PT"

Leibniz a respins convenţional ismul lu i Hobbes . Cons idera că toate adevăruri le necesare depind de defin i ţi i le noastre, dar, spre deosebire de Hobbes, nu considera aceste definiţ i i complet arbitrare. O defin iţie rea lă, contrad i st i nctă de una nom ina lă , conţ ine o aserţ iune i m p l ic i tă a pos ib i l i tăţi i a ceea ce este defin it, pos ib i l itate care nu depi nde de convenţi i le care reglează întrebu inţarea cuvinte lor. Leibn iz [ 1 ] a observat că în absenţa acestei pos ib i l ităţi nu pot exi sta demonstraţi i ş i , în acord cu concepţia scolast ici lor, a susţinut că o axiomă este ev identă pentru

1 68

cei care îi înţeleg termen i i , iar a înţelege termeni i presupune recunoaşterea posi b i l i tăţ i i a ceea ce este semn ificat, (apud, W. şi M . Kneale [ 1 , p . 3 5 5 ] ) . Este evidentă cer inţa ca expres i i le care figurează în ansam blu l unei demonstraţi i să semnifice ceva posib i l . Adevăr necesar este definit ca fiind un adevăr, a căru i negaţie este formal contrad ictoriu cu s ine (Leibn iz [I , III , p . 40] , iar „posib i l" ar însemna a fi „scutit" de contrad icţi i formale cu sine .

Le ibn i z [ 4 ] a cons iderat d i s t incţ ia adevăruri de raţiune şi adevăruri de fapt un fel de «chintesenţă» a fi l osofiei sal e : „Există, de asemenea, două fe l uri de adevăruri, ce le de raţ ionament şi ce l e de fapt. Adevărurile de raţionament sunt necesare, iar opusul l or este imposibi l ; adevărurile defapt sunt contingente şi opusu l lor este pos ib i l . Când un adevăr este necesar, raţiunea sa poat� fi găs ită pr in ana l iză, descompunându-l în idei ş i adevăruri mai s imp le, până când aj ungem la ce le ce sunt primare . . . ' ' . Adevărurile raţiunii sunt bazate pe princip iu l contrad icţ iei în care sunt cupr inse ş i pr inc ip iu l identităţi i ş i cel a l terţ i u l u i exc l u s . Ax iome l e , postu l ate l e , defi n i ţ i i l e ş i teorem e l e matemat ice au statutul d e adevăruri d e raţiune, propoziţi i identice ale căror opuse impl ică o contrad icţie expresă.

Leibn iz împărtăşeşte concepţia l u i Ari stote l , după care orice propoziţ ie are, în u lt ima anal iză, o structură de forma subiect-pred icat, dar va adăuga că subiectul „conţine" predicatu l, această aserţiune trebuind să fie adevărată, credea filosoful germ an, despre toate adevărurile de

raţiune . O situaţie cu totu l di ferită au adevărurile de fapt, căci pentru a exp l ica sensul aserţiun i i că sub iectul conţine pred icatu l , Leibniz trebu ie să apeleze la noţiuni le de Dumnezeu şi infinitate. Numai Dumnezeu poate real iza reducţia unei propoziţi i contingente (adevăr de fapt), care să re leve predicatul ca fi ind conţinut în subiect; ş i pentru a fi conv ingător, Leibn iz [5 , p . 62] face comparaţ ie cu rapoartele raţionale, caz în care : „reducţia impl ică un proces infinit şi totuşi aproximează o măsură comună, aşa încât se obţine o serie defin ită, dar care nu se term ină, tot astfe l şi ad evărur i l e cont in gente rec lamă o anal iză i nfin i tă pe care num a i Dumnezeu o poate real iza" . .

1 69

Dacă adevărurile raţiunii sunt valabi le pentru toate lum i le posibi le, cele lalte, adevărurile defapt, care sunt, într-un sens, contingente, deoarece depind de vo inţa lui Dumnezeu, sunt valabi le numai pentru lumea reală. Principiul raţiunii suficiente ar as igura şi acestor propoziţi i (adevăruri de fapt) un caracter necesar, adică şi acestea sunt necesare, deoarece nimic nu se întâmplă fără un temei . Acestprincipiu (al raţiunii suficiente) afinnă: „ . . . n imic nu are loc fără raţiune suficientă, ad ică nimic nu se întâmplă fără a fi posib i l , pentru cel care ar cunoaşte în mod suficient, să indice un temei care să fie suficient să determi ne de ce lucruri le sunt aşa şi nu altfel" (Leibniz [6]) . Acest principiu (cel al raţiuni i suficiente) are, ca şi princip iu l contradicţiei , rolu l unui principiu de analiză şi inferenţă, numai că în cele mai multe cazuri, Dumnezeu este ce l care poate să cunoască lucrurile suficient să se poată apl ica principiul în cauză.

Relevanţa distincţiei adevăruri de raţiune şi adevăruri de fapt (propoziţii necesare ş i propoziţii contingente) pr iv ind fi losofia matematic i i a lu i Leibniz este conexată d istincţiei matematica pură -

matematica aplicată, deoarece m atemat ica ap l i cată ev iden ţ iază conexiunea d i ntre propoziţi i l e m atemat ice ş i propoziţi i l e emp irice . Korner [ l , p . 3 ] observă că: „ „ . o părere greş ită sau necl ară despre propoziţi i le empirice, sau chiar inexistenţa vreunei păreri asupra acestor propoziţi i , ar putea afecta foarte mult modul în care este concepută matematica ap l icată" este o remarcă ce se ap l ică cu s iguranţă modu lui în care Leibniz şi succesorii săi modern i au gând it natura matematic i i .

F i losofia lui Le ibniz despre natura şi conţinutul matematici i este rad ical d ist inctă şi di ferită de cea a antic i lor - Platon şi Aristotel . Spre deoseb ire de aceşt ia, care concepeau matematica ca purtând asupra unor obiecte ideal izate, obţinute prin abstracţie, pentru Leibniz propoziţi i l e matematice sunt asemenea propoziţ i i lor logice, deoarece sunt adevărate pentru că negarea lor ar fi logic imposib i lă. Korner [ 1 , p. 3 1 ] scrie: „Deşi orice aparenţă primafacie ar atesta contrariul , o propoziţie matematică este tot atât de mult sau tot atât de puţin «despre» un obiect particu lar sau «despre » o c lasă de obiecte, după cum propoziţia: «dacă ceva este un toc acesta este un toc„ .» este despre tocul meu particular, sau despre

1 70

c lasa tocuri lor, sau despre c lasa obiecte lor fizice, sau orice altă c lasă de obiecte. Am putea spune că am bele propozi ţ i i sunt necesar adevărate despre toate obiectele pos ibi le, despre toate stări l e de lucruri pos ib i le, sau, folosind faimoasa expresie le ibniziană, ele sunt adevărate «În toate

lumile posibile» . Trebu ie considerat că oricare d intre aceste formulări impl ică teza că propoziţi i le matematice sunt adevărate ş i necesare pentru că negarea lor ar fi logic impos ib i lă".

Considerăm, ca ş i Korner, două propoziţi i ; „ 1 + 1 = 2" şi „un măr cu un măr fac două mere"; prima aparţine matemat ic i i pure, a doua aparţ ine matemat ic i i apl icate, cel puţin printr-o decizie a noastră. Ce spune fi losofia lu i Le ibn iz despre aceste propoziţ i i ? Enunţul de matematică pură „ 1 + 1 = 2" este cons iderat adevărat în v irtutea leg i i contrad icţiei ş i , în consec inţă, este adevărat în orice lume pos ib i lă . Afirmaţia „un măr ş i cu un măr fac două mere", ca enunţ a l fizici i , „este adevărată în această lume pe care Dumnezeu a trebu it s-o creeze, dacă în conform itate cu principiul raţiun i i suficiente el a avut temeiuri s-o creeze, ad ică dacă aceasta a trebuit să fie cea mai bună d intre lumi le posibi le" (Korner [ l , p . 32-3 3 ] ) .

Se observă că maniera în care Leibniz a încercat să e lucideze natura m atemat ic i i ap l icate, şi în part i cu lar concepţia sa despre statutu l propoziţi i lor empirice comportă o man ifestă «Încărcătură teologică» , ceea ce face fi losofia leibniziană a matematic i i puţin veros imi lă cu privire la acest aspect.

C A P I T O L U L IV

F I LOS O F IA KA NTIANĂ A MArEMATIC l l

4.1 . TEORIA KA NTIA NĂ GENERA LĂ A CU NOAŞTERI I

Kant se aşează într-o re laţie de contu itatea cu opera mari lor săi predecesori Ar i store l (şi poate c h iar P l aton) , Euc l id , Descartes, Newton, Le ibn iz. Î l leagă de Platon, un gen de realism matematic, de Aristorel încercarea de a restaura teoria unitară aristotel ică a şti inţe i . Lui Eucl id îi datorează convingerea sa, cu poziţie centrală în marea sinteză fi losofică asupra ştiinţei c las ice pe care a real izat-o, că spaţiul perceptual este euclid ian şi este descris de geometria eucl id iană trid imensională; aprioritatea relativă a structuri i spaţio-tem porale faţă de legi le spec ifice ale fizic i i , caracterul absolut al reprezentări i eucl id iene a spaţ iu lu i , raportul specific dintre geometrie ş i fizică, fonnal ismul matem atic ş i conţinutu l fizic, s ituaţia conceptuală a infinitu lu i etc. - presupozi ţ i i conceptuale ale structur i i mari i s inteze newtoniene (fizica c lasică) emerg d in eucl id ianism şi aristotel ism. Dar, astfel am spus ce datorează Kant lui Newton. De fapt, Kant şi-a dezvoltat concepţ ia sa asupra cunoaşteri i , i n c l u s iv a ce l e i matematice, în contextu l ana l ize i , reconst i tu i r i i pos ib i l ităţ i i mari i s inteze ştiinţifice newton iene d e a exista c a o construcţie, entitate conceptuală. Afinitatea pentru Descartes este marcată de concepţia lor intu iţ ion istă, după care o ana l i ză a raţ ionam entu lu i

1 72

matematic în termen i i s i logismu lu i rămâne ire levantă pentru natura acestu i tip de inferenţă în cunoaştere . Concepţi i le lui Leibniz referitoare la metoda logic i i şi matematic i i l-au influenţat în descrierea metodei s intetice; asemenea expres i i d in vocabularu l kantian ca „substituţia semnelor conform regu l i lor"; sau „ introducerea semnelor în locu l lucruri lor înseş i" sunt ev ident le ibn iziene.

Teoria generală a cunoaşteri i a lui Kant este structurată, am spune, s ingular în peisaju l fi losofiei universale, prin statuarea unor cuplurid istincţi i conceptuale ca analitic-sintetic, a priori - a posteriori cu re levanţă în fi losoia sa a matemat ic i i ; prima d ist incţie se referă la natura cunoşt i inţe lor, cea de-a doua vizează originea cunoşt i i nţelor.

Astfel observă cei mai importanţi exegeţi ai operei kantiene este meritu l fi losofului de la Konigsberg de a fi adus, în prim plan al fi losofiei, d isti ncţia anal it ic şi s intet ic. (A se vedea „Prolegomene" § 3 , 5 ) . Dar înainte ca să folosească aceste adjective, Kant a folosit termenii „anal iză" şi „sinteză" as igurând cont inuitatea tradiţiei de la antici la moderni .

Termenul „anal itic" are o mu ltitudine de sensuri, dintre care numai unele „acoperă" intenţia lui Kant (Cf. Hintikka [3 ] ) . Oricum, Hintikka [3 ] remarca, însă, corect că „anal it icitatea a fost strâns asociată de Kant cu adevărurile logice şi cu definiţi i le", unele aserţiuni din „Critica raţiunii

pure" consemnînd, expres, că un adevăr este anal it ic, dacă el poate fi stab i l it cu aj utoru l princip i i lor contrad icţiei şi identităţi i , care aparţin logic i i , fără a se raporta la un conţinut determinat; sau, o aserţiune ca aceasta „ceea ce eu gândesc în conceptul meu de triunghi nu este altceva decât defin iţ ia", ar conduce la aprecierea că Imm. Kant identifica adevărul analitic cu adevăru l întemeiat în v i rtutea definiţ i i lor. H intikka [3 ] observă că „or icât de vagă şi de echivocă ar putea fi noţiunea de analiticitate a lui Kant, intenţia era departe de a cuprinde toate adevăruri le conceptuale"; Kant a susţ inut că adevărurile analitice nu trebu ie identificate cu adevărurile conceptuale, a căror specie sunt, căci există adevăruri conceptuale şi care sunt, totuşi , s intetice, este cazul adevăruri lor matematice, care au statutul de propoziţii sintetice a priori. Într-o judecată

1 73

si ntet ică adesea ni se cere să unim în gând ire un pred icat anumit cu un concept dat şi această neces itate este inerentă în conceptele însele; aceasta nu face j udecata anal it ică pentru că întrebarea decis ivă „nu este ce ar trebui să unim în gând ire cu un concept dat, ci ce anume noi gândim realmente în e l , ch iar dacă numai în mod obscur".

Să rămânem, în continuare, l a configurarea termeni lor analitic şi sintetic la n ivelu l teoriei generale a cunoaşterii a lui Kant. Kant discută aceste concepte cu priv ire la definiţii şi demonstraţii.

Defin iţia s intetică pleacă de la noţiuni existente ş i din combinarea lor produce o noţiune nouă, cu alte cuvinte operează cu noţ iuni gata construite. Definiţia anal itică p leacă de la o noţiune ce urmează să fie definită, al cărei statut pare confuz, sau, oricum, ind ist inct, şi se încearcă o conturare exp l icită a ei; se notează despre definiţi i le sintetice caracterul lor, oarecum, arbitrar, ceea ce nu este cazul celor anal itice.

Dist incţia se păstrează ş i l a n ivelul demonstraţi i lor, sau, poate mai adecvat spus, al metodelor de demonstraţie. Astfel, se disting inferenţe sintetice şi inferenţe anal itice. Se întrebu inţează s imboluri adecvate pentru noţiuni defin ite s intetic şi „care, prin compunerea lor, arată ostensiv man iera în care aceste noţi uni au fost defi nite" (Beth [ 1 , p . 44] ) . În i nferenţa s intetică se poate opera cu aceste s imboluri ca reprezentând noţiun i le. În cazul demonstraţiei anal itice păstrăm în m intea noastră noţiun i le, căci nu suntem s iguri de adecvarea definiţ i i lor lor. Specificul celor două metode este formulat de Kant astfel : metoda sintezei consideră un iversalu l (noţiunea) in concreto, iar metoda anal izei î l considera in abstracto . El crede că metoda anal izei este ap l icab i lă în fizica newtoniană, iar cea a s intezei în matematică; de asemenea, metoda anal itică este apl icabi lă în fi losofie.

Kant a introdus cunoscuta div iziune a judecăţi lor în „analitice" ş i „sintetice", cum spune el , „ indispensab i lă pentru critica inte lectu lu i omenesc şi menită să devină c lasică în această critică". Kant num eşte analitice acele j udecăţi al căror pred icat este cuprins în noţiunea de „subiect" ca de pi ldă: „Orice corp este înt ins", deoarece nu poţi gândi un corp care să nu fie întins. Sursa „judecăţi lor anal itice" este legea

1 74

contrad icţie i , căci pred icatu l nu poate fi negat fără contrad icţie despre subiect. Judecăţi le anal itice au o valoare un iversală şi necesară, însă pur logică, dar nu extind cunoaşterea. Beth [ l , p . 46] ; consideră că observaţia lui Kant de mai sus cu priv ire la principiul contradicţiei ca sursă a

judecăţilor analitice a generat interpretarea curentă, dar fundamental

incorectă a analiticităţii, care identifică metoda anal it ică cu o procedură pur formală, logică ş i care a stab i l it , în final , identitatea d intre adevăru l analitic şi adevărul logic, d intre adevărul analitic şi adevărul concep

tual. Oricum, să reţinem aceste obiecţi i, aduse interpeetări i anal itic ităţ i i d in fi losofia kant iană şi să amânăm, pentru moment, enunţarea unor rem arc i pri v i nd recon strucţia ana l i t ic ităţ i i d i n perspectiva log ic i i cuantificăr i i , care, după H intikka, n-ar fi _fost considerată log ică de fi losofu l german. Judecăţi le anal itice expl icitează conţinutul conceptelor cu ro l de „subiect" (în exemplu l lui Kant expl ic itarea a ceea ce este impl icat în noţiunea de „corp"), motiv pentru care el le-a numit „judecăţi exp l icative". Evaluarea j udecăţi lor anal itice, cere numai anal iza pur logică, fără nici un ape l l a experienţă, considerent pentru care se spune că sunt judecăţi a priori . D impotrivă, „judecăţ i le s intetice" ext ind, îmbogăţesc cunoaşterea, căci ele prin afirmarea predicatului adaugă ceva la conţinutul ce subzistă în conceptul subiectulu i . Există două fe luri de „j udecăţi s intet ice" : a posteriori şi a priori, primele au origine empir ică, u l t ime le izvorăsc d i n i nte l ectul pur ş i raţ iunea pură . C hest iunea j udecăţi lor a poste�ior i era rezo lvată încă de Hume: au valab i l itate probabi lă, căci prov in d in experienţă, care nu poate niciodată să le confere universal itate şi necesitate, adică valab i l itate, obiectiv itate, motiv pentru care nu sunt considerate valab i le . N. Bagdasar [ l , LXXII I ] comentează astfel punctul de răscruce în care s-a aflat Kant: „Dacă nu ar exista decât j udecăţi s i ntet ice a posteriori şi j udecăţi anal itice, atunci nic i o şti inţă nu ar fi pos ib i l ă, fi i ndcă judecăţi le s intet ice a posteriori nu conţin universal itate ş i necesitate, iar judecăţi l e anal itice care sunt ce- i drept apriorice, sunt în real itate tauto logice. Atât matematica pură cât ş i fiz ica matematică pură operează însă cu judecăţi a căror aprioritate nu este pusă la îndoială, dar pe care cei ce le-au anal izat le-au interpretat ca

1 75

fi ind de natură anal i t ică, ca fiind bazate pe princ ip iu l contrad icţiei -ceea ce era cu totu l eronat. Căci toate judecăţi le matematice şi princ ip i i le fizici i matematice sunt j udecăţi s intetice, şi fi indcă impl ică neces itatea, sunt, pe lângă s intetice şi a priori . Ş i Kant pune întrebarea, devenită ce lebră în cadru l teor ie i sale ep istemologice : «Cum sunt pos ib i l e judecăţi le s intetice a priori?»".

Înainte de a urmări demersul kant ian în anal iza naturi i şi structuri i propoziţ i i l or U udecăţ i lor) sintetice a priori, şi care rec lamă şi a l te concepte spec i fi ce „criticii raţiun ii p ure", precu m „ i n tu i ţ i e" , „ intuitivitate", „construcţie" ş i alte le ; să ma i stăru im puţin asupra semnificaţiei aprioriului kantian ceea ce poate să aducă elucidări , sau, cel puţin, c larificări parţiale, priv i nd un alt termen, «transcendental», care desemnează un cuprins ireductib i l , poate, o nouă metodă, cadru, sau perspectivă de abordare introduse de fi losoful german în or izontu l fi losofiei .

După uni i comentatori, de exemplu N. Bagdasar [ 1 , p . LXX], metoda folosită de Kant este numită transcendentală sau critică. (Se ştie că filosoful german ş i -a num it opera fundamenta lă „Tratat despre m eto dă" ) . N. Bagdasar [ l , p . LXX] scrie: „Termenul «transcendental» are la Kant un sens cu totu l propriu. Spre deosebire de termenul «transcendent» care are un sens metafizic, şi înseamnă „ceea ce depăşeşte experienţa", „ceea ce se află dincolo de orice experienţă", termenul «transcendental» are un sens epistemologic şi se referă nu direct la obiectele cunoaşteri i noastre, ci la cunoaşterea obiectelor. Dar nu la orice cunoaştere a obiecte lor, ci numai l a cunoaşterea lor a priori. Termenu l a priori are însă la Kant un sens cu totul propriu. A priori nu are la Kant sensul tradiţional de cunoaştere a ceva cu ajutorul cauzelor lui, ci are sensul de: neprovenind din experienţă, nebazându-se pe experienţă, înaintea experienţei, dar care o face posibi lă, constitu ie forma experienţei". A priori nu înseamnă însă «Înnăscut» . Dacă factori i pe care metoda transcendentală îi determină ca fiind de natură apriorică, ar fi înnăscuţi, ei ar trebui să fie mereu, pennanent activi, ceea ce nu e cazul".

După cum se observă, c ircumscrierea semn ificaţiei „a priori "-u lu i kantian, central în perspectiva transcendentală introdusă de fi losofia

1 76

critică, se face prin raportarea l a experienţă şi la psiho logie, căci priv ind cel din urmă aspect, metoda transcendentală nu-şi pune problema genezei ps iholog ice a cunoşt i inţe lor noastre, exp l icaţ ia genetic-ps iho log ică rămânând irelevantă pentru valoarea lor epistemologică, o problemă care l-a preocupat pe filosoful german. Contribuţi i le lui Locke, Leibniz, Hume în problema genezei psihologice a cunoşt i inţe lor nu au fost recunoscute de Kant ca soluţi i la problema valorii obiective a cunoştiinţelor şi, de altfel , a posibilităţii ştiinţei.

Aprioricu l kant i an determ inat pe calea transcendentală este constituit d in "elemente originale, ireductib i le, u lt ime ale cunoşti inţe i care constituie fundamentele şi condiţi i le oricărei şti inţe şi a le căror atr i bute esenţ i a le ş i i n d i spensab i l e su rrt n eces i tatea abs o l ută ş i un iversal itatea riguroasă" (Cf.N. Bagdasar [ 1 , p . LXXI]) ; ori valoarea cunoşt i inţe i nu poate cădea în competenţa ps iho logiei descriptive, ci a teoriei cunoaşter i i . "Metoda transcendentală procedează critic, fi indcă examinează cunoaşterea prin separarea elementelor ei, şi anal iza lor, pr i n d i st i ngerea funcţ i i lor cogn i t ive în act i v i tatea lor pură, p r in examinarea rolului fiecăreia d in ele" (N. Bagdasar [ 1 , p . LXXI]) . Fi losofia critică se opune, pe de o parte, raţional ismului ş i empirismului , care vor să cunoască lucruri le, dar fără ca în prealabi l să cerceteze m ij loacele de cunoaştere, de a ic i neces itatea res imţită de Kant a unei cr i t ic i a întrebu inţări i facu ltăţi lor cognit ive - intelect, raţiune, dar şi sens ib i l itate - iar pe de altă parte, se opune sceptic ism u lu i, care se îndo ieşte de capacitatea umană de cunoaştere .

4.2. TEORIA KA NTIA NĂ A CU NOA ŞTERI I MATEMATICE

Un fi losof de tal i a lu i Kant are o operă complexă, ş i, poate, controversată nu numai prin orig in i le e i nobi le în cultura greacă antică, fi losofică şi matemat ică şi cea modernă, ci şi prin rezonanţa şi impactul e i postum . Acest i m pact îl găs im l a orig inea unor mari programe

1 77

fundaţional iste ale matematic i i d ivergente şi r ivale: logicismul fregean, formali smul h i lbertian şi intuiţion ismul brouwerian . Kantianismul a provocat şi reflecţi i ce au condus la concepţi i opuse apriorism ul ui , al căror reprezentant important a fost J. S. M i l l . Este îndeobşte acceptat că, de la vech i i greci încoace, matematica a fost considerată aproape unanim o ştiinţă a priori, deci o d isc ip l ină şti inţifică ale cărei propoziţi i se pot stab i l i fără a apela la experienţă, fără a invoca informaţi i asupra unor obiecte part icu lare. J . S . Mi l l a susţinut, îm potriva acestei trad iţi i care l-a inclus şi pe Kant, că aritmetica este fundată pe inducţi i pornind de la fapte referitoare la anum ite grupe de lucruri . În concepţia lui J. S . M i l l demonstraţia egal ităţ i i "5 + 2 = 7" face apel la axioma „ceea ce este compus d in părţi, este compus din părţi le acestor părţi", şi la definiţi i le „ 7 = 6 + l " şi „6 = 5 + l " . J . S. M i l l [ l , XXIV, § 5 ] afi rmă că axioma, fi ind evidentă s imţuri lor în toate cazur i le care pot fi supuse deciziei lor şi atât de generală încât este coextensivă cu natura însăş i , trebuie considerată un adevăr inductiv sau o lege a naturi i de n ivel superior: chiar. mai mult, el argumenta că şi definiţ i i le impl ică asertarea unor colecţ i i decompozabi le într-un anum e fel . Consecinţa unei asemenea concepţii inductiv ist-empiriste este contestarea şi negarea caracteru lui aprioric a l matematici i , în particular al aritmetic i i .

Dacă aceasta a fosr reacţia faţă de a priori în perioada imediat următoare, mai târziu, acest concept va fi as imi lat cu cel de tautologie de Wittgenste in [ 1 (via opera lui Russel l )] : „certitudinea apr iori se re levă ca ceva pur logic", " logica precede orice experienţă a faptului că ceva este aşa", „aşa numita lege a inducţ ie i nu poate fi în nici un caz o lege logică, căci ea este în mod evident o propoziţie cu sens. Ş i de aceea ea nu poate fi n ic i o lege a priori", „ logica este apriori datorită faptulu i că nu se putea gândi i logic". ,;Tauto logia decurge din orice propoziţie; ea nu spune n imic"; „Tautologia şi contrad icţia nu sunt imagini ale real ităţ i i . E le nu reprezintă n ic i o s ituaţie pos ib i lă . Căci una admite orice s ituaţie pos ib i lă, cealaltă nic i una. În tauto logie cond iţi i le concordanţe i cu real itatea - relaţi i le de reprezentare - se anulează reciproc, aşa încât ea nu se găseşte în nici o relaţie de reprezentare cu real itatea" . Matematica,

1 78

ca ş i logica, a fo st dec larată în v i rtutea concepţi e i russe l l i ene ş i wittgenstein iene, o disciplină tautologică, nu l informativă despre real itate, ale căre i structuri pot doar satura schemele conceptuale proprii şti inţe lor empirice, factuale. Empirismul logic al membri lor <Cercului de la Viena»

nu numai că va as imi la asemenea concepţi i , dar va statua cunoscutele dogme a le empirismului despre apriori-aposteori, anal itic ş i s intetic (vezi Quine [ l ] ) ş i va pune în c irculaţie, cu v iză critică la Kantianism, teza «dizolvării sinteticului a priori» şi care, cum se ştie, cf. lu i Hintikka [ 3 ] a fost doved ită incorectă, urmare a cercetări lor d in di;>meniul log ic i i cuantificări i . I nvestigaţ i i le d in log ica cuantificări i corectează concepţia kant iană despre logică, j ustifică inferenţele m atematic i i ca inferenţe s intetice ş i - l reab i l itează pe fi losoful german.

Dej a am ant ic ipat câte ceva din dest inu l mult mai s i nuos al celorla lte dist incţi i conceptuale marcante : anal it ic ş i s intetic. Frege l-a considerat pe Kant exponentul principal al punctulu i de vedere, după care propoziţi i le m atematici i sunt s intetice, dar nu a acceptat d ist incţia kantiană între cele două t ipuri de judecăţ i . Frege [ 1 ] spune că un adevăr este analitic dacă pentru demonstrarea lui facem ape l numai la leg i le logic i i generale şi la definiţ i i , iar sintetic este un adevăr pentru a cărui demonstraţie folosim premise care nu sunt de natură general logică. Se şt ie că Imm. Kant [2] a legat adevărul judecăţi lor anal itice de princip iu l noncontrad icţiei , ş i pr in aceasta el era aproape de punctu l de vedere al logicianului de la I ena. Ob iecţia adusă concepţiei kantiene derivă d in faptu l că fi losoful de la Kon igsberg a operat cu un concept de logică inadecvat, în sensu l de prea restrâns, căci , atunci cînd e l se întreba dacă conceptul predicat era sau nu conţinut în conceptul subiect al unei judecăţi, opera cu un criteriu valab i l numai pentru j udecăţi le universal-afirmat ive din cunoscuta schemă a l u i Ar istote l . Kneale, W. ş i M. [ 1 , p . 7 5 ] comentează atitud inea lu i F rege faţă d e d ist incţia kantiană amintită, (analitic-sintetic) , în fe l u l următor: , , Î n j udecăţi l e s i ngu l are sau existenţiale conceptul de subiect nu apare . Se pare că el (Kant) concepea definiţia unui concept complex doar ca o l istă de note, în timp ce definiţi i le cu adevărat importante d in matemat ică, de exemplu aceea a continu ităţi i

1 79

une i funcţ i i , nu sunt de acest t ip. Aic i Frege pune degetu l pe o carenţă a logicii tradiţionale care nu fusese observată nici măcar de acei predecesori ai săi care s-au interesat cel mai îndeaproape de această chestiune. Leibn iz, de exemplu, cons idera conceptele ş i defin iţi i l e în man iera propusă de anal iza adevăruri lor anal it ice la Kant; după cum am văzut, acesta a şi fost motivu l principal pentru care el nu a reuşit n ic iodată să dea un exemplu convingător al mari i dezvo ltări pe care a proclamat-o în scrieri le sale de logică". Este evident că defin iţia frageeană a anal iticulu i are în vedere proprietatea sa logică, mult mai compl exă decât cea tradiţională, pe care o avea în vedere Kant.

O evaluare mai corectă a atitudin i i l u i Frege faţă de Kant şi formulare a sa a distincţiei analitic-sintetic ne obl igă, ca înainte de a ne referi la evoluţi i le post-fregeene ale investigaţi i lor în domen iu, să- l c ităm cu un pasaj semnificativ, căci dacă critică d i stincţia kantiană dintre adevăruri le anal it ice şi cele s intetice, relevanţa ei pentru aritmetică, atitudinea lui nu se reduce la aceste aspecte : „Pentru a nu-mi atrage reproşul de a fi căutat să şicanez un geniu pe care toţi nu- l putem privi decât cu adm iraţie recunoscătoare, cred că este cazul să re l iefez ş i acordul de idei, care au o pondere cu mult mai mare. Pentru a vorbi numai despre ceea ce este imediat re levant, văd un mare merit al lu i Kant în dist incţia d intre judecăţi l e anal i t ice ş i cele s intet ice . Arătând că adevăruri le geometriei sunt sintetice a priori, e l ne-a re levat adevărata lor natură. Acest lucru merită să fie repetat ş i astăzi, deoarece adesea el nu este recunoscut. Deşi Kant a greşit în ce priveşte aritmet ica, aceasta, cred eu, nu poate micşora în mod serios valoarea opere i sale. El a vrut să arate că există judecăţi s intet ice a priori ; dacă ele apar numai în geometrie sau se găsesc şi în aritmet ica, aceasta este un lucru de mai mică im portanţă" (Frege ( 1 , p. 89]) . Şi chiar mai mult, Frege [ l ] , recunoaşte lui Kant meritu l de a fi identificat în propoziţiile sintetice a priori natura geometriei (în această privinţă el însuşi este justificat de cercetări le fundaţionale, în contrast cu reprezentanţi i empirismului logic) . Geometria se înteme iază pe intuiţie cum a afirmat Kant, recunoaşte Frege, axiomele ei rămânând relevante pentru orice este intu ib i l spaţia l : „Pentru ţe luri l e gândiri i

1 80

conceptuale putem întotdeauna presupune contrariul une ia sau alteia d intre axiomele geometrice, fără a ajunge la o autocontradicţie, atunci când ajungem la astfel de concluzii care contravin intui ţiei noastre . Faptu l că aceasta este pos ib i lă arată că axiomele geometriei sunt independente una de alta ş i de leg i le prim itive ale logic i i şi că, deci , e le sunt s intetice". Frege însă nu a îm părtăş i t concepţ ia l u i Kant despre ar i tmetică, cons iderând că „ invocăm prea uşor intui ţia noastră lăuntrică atunci când nu putem ind ica vreun alt temei" ( cf. Frege [ l , 1 2]) . Aserţ iuni le kantiene despre natura aritmetic i i sunt mai puţin inte l igib i le în optica lui Frege şi e l face referitre la celebru l exemplu d in Kant [ 1 , 2] „ 7 + 5 = 1 2". Kant spune că atunci când efectuăm adunarea acestor numere trebuie să chemăm în ajutor intuiţia corespunzătoarte pentru unul d intre e le, de exemplu 5 degete ale noastre, fapte ce îi permite să conchidă că j udecăţ i le aritmetice sunt totdeuna s intetice, lucru cu atât mai valab i l când este vorba de numere mari . Este totuşi absurd să stab i leşti cu ajutorul intu iţiei a 1 73 . 527 degete egal itatea „ 1 3 . 5 664 + 3 7 .863 = 1 73 .5 27". Ori, acest fapt vine în contradicţie cu aserţiunea exp l ic ită a lui Kant deoarece ar urma să doctrina kantiană este apl icabi lă numai numere lor m ic i ş i nu ş i celor mari; dacă demonstrarea formulelor cu numere d incolo de 1 O se poate real iza fără intuiţie, atunci de ce nu s-ar putea întâmp la acest lucru şi pentru numere mai m ici? Aritmetica nu se referă la, şi nu se bazează pe, degete, după cum nu se poate afirma că geometria se referă la (chiar dacă operează cu) puncte, l i n i i şi p lane; n ic i o intuiţie nu poate garanta apl icab i l itatea adevăruri lor aritmetice la toate lucruri le care se numără. Frege [ I ] a resp ins doctrina kantiană după care adevăruri le aritmetice sunt derivate din intuiţie. Raţionamentul fregeean este următorul : dacă adevăruri le ar itmetice sunt derivate prin intuiţie, atunci aceste adevăruri sunt independente între ele şi de legi le logic i i , aşa cum este cazul axiomelor lui Euc l id ; însă dacă negăm vreuna d in propoziţi i le aritmetici i , rezu ltatul nu va fi un nou s istem de aritmetică. În v iziunea lu i Frege, aritmetica este mai adâncă decât şt i inţe le empirice şi geometria, căci domen iu l numărabilului este mai întins decât toate şi nu poate fi intuit ci numai gândit, concluzie care trim ite la conexiunea legi lor aritmetice

1 8 1

cu ce l e a l e gând i r i i , re l evate de log ica care poate oferi fundaţia matematici i .

Dar, dacă Frege a contesta ro lu l intu iţiei î n fundarea aritmetic i i , Brouwer, întemeietoru l intu iţionismulu i matematic contem poran, coautor, alături de Kant, al „m itu lu i doctrinei generale a intu iţiei ca sursă infai l ib i l ă a cunoaşteri i", susţine un punct de vedere diferit, dacă nu, chiar, opus celui al logicianului german, Brouwer considera că mai curând doctrina kantiană asupra intu iţie i pure a spaţiu lu i poate fi supusă critic i i şi corecţie i în lumina geometr i i lor neeucl id iene şi chiar abandonată. K. R. Popper [2, p . 3 5 3 ] scrie: „Nu avem nevoie de ea ( intu i ţia pură a spaţiu lu i ) întrucât noi putem aritmetiza geometria: putem lua ca fundament teoria aritm et ic i i a l u i Kant ş i doctr ina sa că aritmet ica este întemeiată pe i ntu iţia pură a t impulu i" . Oricum, reţinem că ambele fe luri de intuiţie ce au stat la baza celor două d iscip l ine matematice - aritmetica şi geometria - au fost subminate de evoluţi i le metodo logice şi conceptual -teoret i ce a le cunoaşter i i . Dar, pentru Kant intuiţ ia era o sursă i n fa i l i b i lă a cunoaşteri i , îndeosebi , matemat ice, ş i avea veritab i l e antecedente i storice. Cum am arătat ş i î n Ţurlea [ 1 ] , Kant urmează în această privinţă pe Plotin (de la care preia dihotomia „intuiţie" şi „gândire

discursivă"), şi va accentua contrastul dintre acestea. Ş i, deş i observă că geometria lui Euc l id foloseşte „ intuiţia pură", d iscursul „Elementelor" înain tează pr in demers d i scurs i v, adică deducţie log ică . Kant [2 ] subl in iază ideea că axiomele matematici i se bazează pe intuiţia pură, prezentă în „ori ce pas al demonstraţiei geometrice" şi consideraţi i analoage face şi pentru aritmetică.

Termenul „intuiţie" este central în teoria kantiană a cunoaşteri i matemat ice (Kant [ 1 ], [2] ) . Kant spune că „cunoaşterea matemat ică este cunoaşterea obţinută de raţiune prin constru irea concepte lor". Pentru Imm. Kant „a construi un concept înseamnă a prezenta a priori o intuiţie care corespunde conceptului". J . Hintikka [3, p. 1 62] interpretează aceste aserţiun i kantiene re levante pentru epistemologia sa a matematici i în maniera următoare : „Construcţia este ech ivalentă cu trecerea de la un concept genc:ral l a o intuiţie care reprezi ntă conceptu l cu condiţia ca

1 82

aceasta să se real izeze fără apel la experienţă" . I ntuiţ ia are la Kant în această parte sensul de „ceva care reprezintă sau stă pentru un obiect indiv idual", „de idee particulară în opoziţie cu concepte le generale", de „obiect s ingular"; în intuiţ ie , ,nu se ia în cons ideraţie decât actul construiri i conceptulu i"; pe scurt, „intuitiv itate înseamnă ind ividual itate". În expunerea trancendentală d in „Estetica transcendentală" („Critica raţiuni i pure") Kant a identificat intu iţia cu facultatea umană a percepţiei, iar pentru el legătura d intre intu iţie şi sens ib i l itate nu are ceva evident, c i care trebuie demonstrat, deoarece se pot concepe alte fi inţe care pot să aibe intuiţ i i , ş i pe alte căi decât s imţuri le . Prob lema care i-a reţinut atenţia lui Kant a fost: cum se exp l ică faptu l că cunoaşterea obţinută d in intuiţi i este apl i cabilă întregi i experienţe? Cred inţa lui Kant era că facu ltatea sensib i l ităţi i ca sursă a legăturii dintrţ reprezentanţi i individual i şi conceptele generale as igura apl icab i l itatea argumente lor matematice la întreaga experienţă, iar modal itatea concretă ar fi adm iterea faptului că «noi am pus» proprietăţi le şi relaţi i le cu care au de-a face aceste argumente ori ,aceste argumente au de-a face cu proprietăţi ş i relaţ i i ale obiectelor individuale. S ingura cale prin care noi putem pune proprietăţi le ş i re laţi i le matematice cerute în toate obiecte le indiv iduale este prin s imţuri l e noastre . Aristote l [ 1 ] , cu m ulte seco le înai ntea lui Kant, susţinuse că percepţia sensib i lă este capabi lă să prindă particu lari i" . Ş i Hintikka [3 , p . 1 3 1 - 1 3 2] conch ide: „De aici decurge, pare să fi gândit Kant, că întreaga noastră cunoaştere a obiecte lor indiv iduale care li se apl ică acestora un iversal ş i necesar este într-adevăr asupra proprietăţi lor şi re laţi i lor pe care noi înş ine « le-am pus» în obiecte în actul senzaţie i . După cum am văzut aceasta este tocmai concl izia principală a lu i Kant priv ind cunoaşterea m atematică". O concluzie care î i apare lui H intikka nej ustificată, căci el continuă: „Mi se pare că veriga cea mai s labă în argumentarea lui Kant este supoziţia ari stote l ică d upă care noi putem avea cunoaşterea part iculari lor numai în percepţia sensibi lă. Acesta este un lucru natural adm is numai atâta vreme cât noi concepem cunoaşterea umană ca o afacere mai degrabă pas ivă, ca o înregistrare a informaţiei pe care noi o prim im din afară. Această supoziţie ari stote l ică ignoră

1 83

complet activ ităţi le pe care noi în real itate le real izăm pentru a obţine cunoaşterea asupra obiecte lor indiv iduale. Mi se pare că Imm . Kant ar fi trebuit să se concentreze asupra acestor activităţi mai degrabă decât asupra înregi strări i senzaţi i lor. Este instruct iv de notat că realmente Kant vorbeşte despre «obiecte ce ne sunt date în senzaţi i» . . . Dacă am dreptate, atunci eşecul real al lu i Kant în teoria sa a matemat ic i i i se datorează, ironic spus, neîncrederi i în propri i l e sale princ ip i i . Deoarece noi şt im că intu iţia sa generală a fost aceea de a sub l in ia aspecte le active ş i constructive ale cunoaşteri i noastre; iar într-un fe l aceasta este tocmai ceea ce el a neg l ijat să facă aici; pare un compl iment indirect să se spună că Imm. Kant a eşuat în teoria sa a m atematic i i în măsura în care punctu l său de vedere a fost ne-kantian" (Hint ikka [ 4 ] ) .

Pare paradoxal să se repro şeze lu i Kant un anu m i t gen de neconstructivism (fi losofu l care înaintea oricărui a l t gânditor a teoretizat despre cunoaştere şi adevăr ca fi ind «construcţie» ) , de care este responsabi l acest «reziduu comtemplativ» - natura pas ivă a percepţi i lor, e lement al epi stemologiei kant iene, pe de o parte, inspirat de doctrina ari stocrat ică a cunoaşteri i e i i nductive şi empiriste, iar, pe de altă parte, datorat anumitor prem ise teoretice şi conceptual e inerente şti inţe i contemporane lu i .

Dacă a vorbi despre un eşec al teoriei kant iene a cunoaşter i i matematice, aşa face Hintikka, este prea mult, oricum, se poate recunoaşte faptul că teoria lu i Kant despre sursele cunoaşteri i matematice a generat dificultăţi în spaţiul problematic şi metodologic al fi losofiei matematici i , la unele deja ne-am referit. Dacă d imens iunea veritab i lă a unei opere se învederează şi prin influenţa ei, atunci trebuie să recunoaştem că ce le tre i programe fundaţioniste ( logicismul, formal ismul , intuiţion ismu l), pe care le-a insp i rat, au produ s rezu l tate spectacu loase în p l anu l investigaţi i lor fundaţional-metamatematice. Dar, intu iţia rămâne, în continuare, partea vulnerabi lă a teoriei kantiene a cunoaşteri i matematice. Frege a contestat-o pentru fundarea aritmetici i , dar a adm is-o pentru geometrie; Brouwer a considerat superfluă intuiţia pură a spaţiului , d in moment ce geometria poate fi aritmetizată; după „detronarea eucl id iană"

1 84

i ntuiţiei aritmetice (p itagore ice) ca urmare a descoperir i i « i raţionalelor» , pr in Brouwer, as i stăm la «reab i l itarea» ro lu l u i aceste ia d in urmă . Geometri i l e neeuc l id iene au inval idat certitud inea oferită de intu iţia geometrică (sau a spaţiu lu i), iar re lat ivitatea specială din teoria l u i E inste in a subm inat ideea unui t imp un i c ş i a une i s imultaneităţi absol ute pentru in tu i ţ i a t i m pu l u i . Dest i n u l i de i i de „intuiţie" a fost contorsionat, antecedentele i storice se află în opera lu i Aristote l , P lotin, Sf. Thomas, Descartes, fi ind considerată percepţie (sens ib i lă), dar ş i vizi une la Aristorel , la următori i doi calea divină de cunoaştere (gândirea discursivă rămânând o cale umană de cunoaştere), ca la Descartes să fie considerată o facul tate raţională . K. R. Popper [2, p. 365 ] a descris s intetic ş i re levant doctrina kantiană a intu iţie i spunând că noţiun i le noastre rămân goale, sau analitice, până când nu' sunt apl icate la materialu l care ne este dat de s imţuri ( intu iţ ia sens ib i lă), sau dacă se apl ică acestu i material sunt «concepte construite în intuiţia noastră pură a spaţiu lu i ş i t impului» . Intuiţi i le de spaţiu ş i t imp sunt anterioare ş i fundează pe cele sens ibi le . Dar s istemul invariabi l a l intu iţiei de t ip kant ian, convertit în m itul infai l ibi l ităţi i intuiţie i ca sursă de cunoaştere, a fost puternic infirmat de progresul şti inţific. Doctrina lu i Kant, după care geometria determină proprietăţi le spaţiu lu i în mod s intetic ş i totuşi a priori ş i că există un s ingur spaţiu empiric real ş i o s ingură geometrie, iar matematicien i lor le revine menirea să explice şi să justifice unicitatea şi natura s intetic apr iori a propoziţ i i lor geometriei , a fost inval idată de evoluţia şti inţe i cu privire la unic itatea geometriei şi (deci) la legitim itatea intu iţie i . În Ţurlea [ I ] am expus mutaţ i i le la n ive lu l intu iţ ie i geometrice, set-teoreti ce etc. , datorate unor fenomene remarcabi le d in ştiinţă: geometr i i le neeucl id iene, independenţa ipoteze i continuumului , teorema Lowenheim Skolem. Să conchidem, urmând observaţi i ale lui Charles Parsons [ 1 , p . 1 4 7], că la Descartes „percepţia clară şi distinctă" exprimă ev ident o alitudin<! propoziţională (propos itional attitude ), în t imp ce la Kant aceasta n u

joacă u n ro l central , c e l puţin în m o d expl ic it . Charles Parsons [ 1 1 face referire expresă la ceea ce s-a numit concepţiafilosojică de.\pre i1 1111i(ia matematică şi care în l i n i i le ei generale a expus-o pentru prima dam cu

1 85

sufiecientă c laritate K. Godel [ I , p. 3 3 2] : „Dar, în ciuda îndepărtării lor de experienţa sensibi l ă, noi trebu ie să avem ceva asem ănător unei percepţii a obiecte lor teorie i mulţim i lor, după cum re iese din faptul că adevărul axiome lor ne constrânge prin e l însuşi . Nu văd nic i o raţiune pentru care ar trebu i să avem mai puţină încredere în acest gen de percepţie, ad ică în intuiţia matematică, decât în percepţia sensibi lă, care ne induce să construim teori i fizice şi să aşteptăm ca v i itoare le percepţ i i sens ib i l e să concorde cu e le şi , de altfe l , să credem că o chestiune nedecidabi lă acum are sens şi poate fi decisă în v i itor". Şi Godel continuă să caracterizeze intuiţia matematică, într-un mod diferit de ce l ari stote l ic, cartezian şi ch iar kant ian, afirmând că „ intuiţia matematică nu trebuie concepută ca o facultate care ar oferi o cunoaştere imediată a ob iecte lor cons iderate", c i , mai curând, aşa cum în experienţa fizică ne formulăm ide i l e noastre asupra obiecte lor pe baza a ceva dat imediat, tot astfel şi în matematică, trebuie să presupunem acest dat care nu trebuie identificat sau confundat cu senzaţi i le . „Dat"-u l subiacent matematic i i este legat de e lementele abstracte conţinute în idei le empirice. Să observăm că o atare concepţie despre intuiţia matematică concordă cu p latonismu l ş i are o re levanţă deoseb ită în d iscuţia de faţă referitoare la Kant. . Să- l cităm d in nou pe Godel [ l , p. 3 3 3 ] : „Nu decurge deloc, totuşi , că date le de acest gen, deoarece nu pot fi asociate cu acţiunea unor anum ite lucruri asupra organelor noastre de s imţ, ar fi ceva pur subiectiv, cum a afirmat Kant. Mai degrabă ele pot reprezenta, de asemenea, un aspect al real ităţi i obiective . . . prezenţa lu i în no i se poate datora unui alt gen de re laţie d intre noi ş i real itate".

Am citat in extenso din Godel, poate cel mai de seamă reprezentant al platonismului din seco lu l nostru (vezi şi Godel [2] ), pentru că modu l de concepere a intu iţie i matematice fac i l itează înţelegerea multor aspecte ale fi losofie i kantiene a matemat ic i i : matematica pură - matematica ap l icată, real ismul matematic transcendental ; real ismul transcedental vs . ideal ismu l onto logic ş i alte le . Să reţinem, oricum, analogia pe care K. Godel o face între percepţia senzorială, ca o relaţie cognitivă cu lumea fizică şi intu iţia (ca ceva asemănător percepţie i), care produce o re laţie

1 86

-, 1 1 11 i lară cu obiecte le matemat ice şi , poate, cu alte entităţi abstracte . < ' h . Parsons [ I , p. 1 45 ] comentează textu l godel ian în termen i i : „Dacă ca ( i ntu iţia matematică) este centrală în fi losofia matematici i , ea ar trebu i <>{1 j oace un ro l asemănător ce lu i al percepţiei senzoriale în cunoaşterea 1 1 oastră a lumi i cotid iene şi a fizici i" . Examinarea d iscursului godel i an, ( K . Godel [ I ] ), relevă că intuiţia matematică are cert un caracter de re, imp l icând o re laţie a unei persoane cu ob iecte matematice. Aşa cum în vocabularul percepţiei senzoriale sunt prezente expres i i ca „A vede pe x"; „A aude pe x" etc . , ar urma, mutatis mutandis, să le transferăm în legătură cu conceptu l de „ intuiţie matematică". Verbele perceptuale mai s u s - m e n ţ i o n ate i n d u c u n a n u m i t u z (o bject-re lational uses ) . Complementar acestu i uz existăpropositional attitude uses şi care d intre acestea două este mai fundamental este încă o problemă controversată, dar, oricum, existenţa lu i object-re lational use este evidentă. Problema stă d iferit, atunci când ne referim la intuiţia matematică şi autori, precum Parsons, recunosc că fi losofi i nu s-au exprimat c lar asupra acestu i aspect . Parsons propune să d i st ingem uzuri le complementare, anterior descri se, prin expres i i le „ i ntu it ion of' ş i „ i ntuit ion that" ş i această d istincţie îi ajută lu i Parsons [ l , p. 1 46] să identifice o anum ită neclaritate în pasaj u l godel i an c itat, şi anume: Godel afi rma că există „ceva asemănător unei percepţi i a ob iectelor teoriei mulţ imi lor" ş i acest lucru este „ văzut d in faptu l că adevăru l ax iomelor ne constrânge prin e le însele". Aşadar, se conchide de la caracterul ev ident al anum itor enunţuri care pot exprima intuiţi i „that" la exi stenţa intuiţi i lor „of'. Prem isa poate fi d i sputată, chiar dacă inferenţa este admisă, pare să fie o non sequitur. „Intu ition that" este o temă tradiţională subsumată oricărei concepţ i i despre ev idenţă sau auto-evidenţă a adevăruri lor de raţiune, unde aceasta nu este derivată d in obicei , pract ică sau convenţie". Şi exact pentru acest mot iv analogia cu percepţ ia nu adm ite i l ustrarea fo los ită pentru o expl icaţie a unei astfel de ev idenţe raţionale, sau poate să marcheze d istincţia d intre exi stenţa propoziţiei autentic evidentă şi aparenţa ei pur şi s implu ca fi ind adevărată. La acest punct urmează ca analogia să fie dezvo ltată în d i recţia „ intuition of', simp lu, d in cauza prezenţe i unui obiect central pentru percepţie.

1 87

Dacă atitud inea lu i Descartes condensată în a lu i „percepţie c lară şi d i st inctă" este în principal cert o „propositional attitude", Kant ş i Husserl promovează o concepţie despre intuiţie ca fi ind angajaţi priv ind „ intuition of' ş i unde obiecte le pot fi chiar matematice; ce l puţin, aşa cum am mai spus, la Kant „proposit ional atitude" nu are un ro l expl icit . „Intu ition of' decurge, însă, chiar d in defin iţie, deoarece o intuiţie este o reprezentare s ingulară care, ev ident, este o reprezentare a unui ob iect s ingu lar. Kant [2] spune că prin i ntu iţie cunoaşterea are o „re laţie imediată" cu ob iecte le , iar aceasta înseamnă o prezenţă d i rectă a obiectu lu i în gândire, ca în percepţie. Intuiţia fum izează o evidenţă imed iată propoziţi i lor, ca de exemp lu, celor a le geometrie i . Parsons [2] acreditează ideea că nu se justifică controversa priv ind faptul că după Kant „ intuiţ ia" (în particular „ intu iţia a priori"), conferă ev idenţă care este imed iată. Caracterul imediat al ev idenţe i, desigur, nu ar trebui redus la s ingu laritate, cum propune Hintikka.

Intu iţie la Kant are c lar caracterul de „ intuition of', iar Husserl [ 1 ] operează în fenomenologia sa cu o „intuiţie categorială", adică o intui ţie a esenţelor, şi în Jdeen (Husserl [2]) încearcă să dezvolte o teorie a ev idenţei raţionale bazată pe analogia cu percepţia, percepţia fi i nd a unui ob iect, constitu ind, o trăsătură d istinctivă a concepţie i sale. Şi , deoarece Husserl a înţeles evidenţa raţională ca intuiţie, e l a întreprins un demers expl icativ un itar a l celor două feluri de intu iţ ie : „ intu ition of' ş i „ i ntu it ion that" . Dacă ide i le husser l iene au avut im pact asupra concepţi i lor lu i Weyl şi Godel , fi losofia kantiană a fost cons iderab i l mai influentă în sfera fundamentelor matematic i i , ca ş i a fi losofiei actuale a matematic i i . Caracteru l intu it iv a l matematicii finitare, descrisă de concepţia lui Hi lbert, s-a bazat pe fi losofia kantiană, în part icu lar pe intuiţia pură, aşa cum a fost aceasta configurată în teoria lu i Kant despre geometrie şi, poate, mai puţin pe teoria lui a aritmetici i ; în ceea ce priveşte intuiţion ismul, acesta a reţinut noţiunea kantiană de t imp ca formă a s imţulu i intern. Gode l [3] spune textual că, ceea ce Hi lbert înţe lege prin , ,Anschaung" ( intu iţie) este, în mod esenţial, intuiţia spaţio-temporală a lui Kant, l im itată la configuraţ i i de un număr fin it de obiecte d iscrete : acest fe l de intu iţ ie, în contradicţie cu noţiunea de intu iţie d in Gode l [ 1 ] , este numită intuiţie concretă.

1 88

4.3. NATU RA A RGUMENTELOR MATEMATICE, A RATIONAMENTULU I MATEMATIC;

' W V W W MATEMATICA PURA ŞI MATEMATICA A PLICATA

Sensuri le III (c)-(d) ale analit ic ităţi i d in l i sta lu i Hint ikka [3 ] , în fapt, sunt, consideră însuşi autorul , variaţiuni pe ideea fundamentală III şi oferă o reconstrucţie adecvată a noţiun i i kantiene de anal it icitate cu care a operat fi losoful german în fi losofia matemat ic i i . Kant considera că esenţa metodei matemat ice constă în folos irea ind ividua l i lor, di stincţi de conceptele generale, şi care confereau caracter s intet ic argumente lor matematice. Un termen re levant în fi losofia matematic i i , dar specific kant ian, este cel de construcţie, pe care e l îl definea în „Critica raţiunii pure" ca „introducere" sau „exp unere" li' priori a unei intuiţii ce corespunde conceptului general. Pr in i ntu i ţ ie la Kant se înţe lege reprezentantul unui ind ividua l . Prin urmare, refăcând caracterizarea de mai sus, o construcţie (matematica constru ieşte concepte) în sens kantian este introducerea (a priori) a unui reprezentant al unui indiv idual pentru a i l u st ra u n concept genera l , i d ee, dej a p rezentă în Kant [ 1 ] ; matematicien i i consideră concepte le generale in concreto, adică prin instantele lor individuale. Ş i, cum deja am reţinut că în altă parte, Hintikka [ 4] propune interpretarea „intuitivitate = individualitate", înţelegem analogia de concepţie asupra naturi i raţionamentulu i matematic între Descartes şi Kant.

Sensul l l l (d in l i sta lu i Hintikka) are legătură d i rectă cu fi losofia matematic i i a lui Kant. D intre întrebări le interesante, provocatoare şi ferti le în invest igaţia fi losofie i kant iene a m atem at i c i i , H int ikka menţionează următoarele : „Sunt moduri le de argumentare pe care Kant le cons idera a fi t ip ic matematice, dar pe care noi astăzi le c las ificăm ca aparţinând teoriei cuant ificări i , realmente s intet ice în sensul III , cum credea Kant?". Hint ikka amână răspunsul la această întrebare, dar ştim că în alte pre legeri el l-a justificat pe Kant cu ajutorul logici i cuantificăr i i .

Grupu l a l I i - lea a l sen sur i lor ana l i t ic ităţi i , remarcă Hintikka, reprezintă o foarte bună reconstrucţie a noţiuni i kantiene de analiticitate,

1 89

aşa cum fi losoful german a folos i t-o în fi losofia matemat ic i i . lată acum prezentarea acestu i grup : (Cf. H int ikka [3 , p . 1 62 ] ) : „ I I I" . Un pas argumentativ este anal it ic dacă e l nu introduce noi individual i în d iscuţie; I I I( a) Un argument anal it ic nu poate conduce de la existenţa unu i i nd i v idual la existenţa unui ind iv idual d iferit; I I I(b) Un pas argumentativ este anal i t ic dacă e l nu sporeşte n umăru l ind iv idual i lor cons ideraţi în relaţia lor reciprocă; I Il(c) Un pas argumentativ este anal i t ic dacă gradu l concluziei nu este mai mare decât gradu l a cel puţin uneia d intre prem ise; I I I(d) Un argument este anal itic dacă toţi paş i i lui sunt anal i t ic i în sensu l I I I(c); I Il(e) O demonstraţie a enunţu lu i S 1 d i n S0 este anal i t ică dacă n ic i un enunţ care apare ca stadiu intermed iar al acestei demonsfraţ i i nu are grad mai înalt decât S0 şi S 1 • (Prezentăm, fi i nd necesar în d i scuţie ş i ) Sensu l IV: Un pas argumentativ este anal it ic dacă informaţia adusă de concluzie nu este mai mare decât i nformaţia adusă de premi se (Adevărul ana l it ic este adevărul tautologic)". Aşadar, ceea ce este esenţial de notat pentru întregu l grup I I I este următorul aspect: „o inferenţă este anal it ică dacă în ea se anal izează doar interrelaţi i le indiv idual i lor care au fost deja menţionaţ i în prem ise, fără a «trece d incolo» de ei, în sensu l considerăr i i altor ind ividual i".

Anal iza unui enunţ relevă că gradul lui este dat de numărul max im a l individual i lor cons ideraţi împreună în re laţia lor rec iprocă, în orice parte a enunţu lu i . Formal, gradul unui enunţ cuantificaţional este alcătu it din suma a doi membri - numărul termeni lor s i ngulari l i beri conţinuţi în e l ş i numărul d i feritelor straturi de cuant ifi catori pe care îi conţine şi care constitu ie adâncimea lui (Cf. Hintikka [3 ] ) .

Prezentăm, după Hintikka [3, p . 1 63-1 85] , unele rezultate d in logica cuantificări i care reab i l itează noţiunea de sintetic a priori, centrală în fi losofia kant iană a matematici i , relevantă despre natura inferenţe lor, în general spus, a propoziţi i lor matematici i , noţiune despre care un i i membri ai C ercu l u i de la Viena, l ansând d i hotom ia „ana l i t i c - s i n tet i c" , supranum ită de Quine [ I ] o „dogmă a empiri smulu i", au vorbit în term en i i „dizolvării" e i .

Or i ce enunţ cuant ificaţ iona l cons istent are o formă normală d i stributivă, o disjuncţie a anum itor conjuncţi i num ite „constituenţ i",

1 90

formă normală ce este o general izare a ceea ce este cunoscut ca fi ind formă normală d i sj unctivă completă a logic i i propoziţionale; fiecare constituent care nu are nici un termen singular posedă structura:

1) (Ex)C /x) /\ (Ex)C/x) /\ . . . /\ (Ex)Cn(x) /\ (Ux) [C1 (x) V C/x) V . . . V Cn(x)]

în care C (x), dacă constituentul respect iv nu are adâncimea unu, are I

iarăşi o asemenea structură, care este reprezentativă pentru structura consti tuienţi lor, în general . , , În cazu l general, membr i i adiţional i înş iş i a i construcţiei ( 1 ) sunt conj uncţi i de enunţuri atom are negate şi nenegate. Î n p lus, în cazul general pot fi prezenţi în enunţur i le C1(x) termen i singulari l iberi . Diferenţa principală d intre formele normale distr ibutive ale logici i propoziţionale şi ale teoriei cuantificări i monad ice ( I -ară), pe de o parte, ş i cazul general (constituenţi de adâncimea doi sau mai mult), pe de alta, este aceea că, în cazu l general, un i i d intre constituenţi sunt inconsistenţi . Acest fapt se vede imediat că este relevant pentru unul d in sensuri le anal it icităţi i . Dacă ( 1) este incons i stent, negaţia sa este logic adevărată. Această negaţie se observă repede că este echivalentă cu enunţul următor:

2) [(Ex)C /x) /\ (Ex)C/x) /\ . . . /\ (Ex)Cn(x) � � (Ex) � C 1 (x) /\ � C2(x) /\ . . . /\ � Cn(x)]

Enunţul (2) oferă posib i l itatea de a infera existenţa unui i nd iv idual de un gen anumit d in existenţa unui număr de ind ividual i d iferiţi de el , având proprietăţi d iferite, adică autorizează o inferenţă inter- ind iv iduală. Această inferenţă ş i enunţul (2) sunt s intetice în sensu l III( a), sens caracterist ic pentru filosofia lu i Kant. Un adevăr este s intet ic în sensul III( a) dacă e l apare prin e l im inarea constituenţi lor inconsistenţi şi , d in acest punct de vedere, se poate spune că m ulte d intre adevăruri le logic i i cuant ificăr i i sunt s intetice. Inconsi stenţa lu i ( 1 ) este independentă de inconsistenţa posib i lă a enunţuri lor C1(x) care apar în ( 1 ), deci rn 1 datorită tr ivial incons istenţei unuia d intre constituenţi . Cazur i le triv iale apar ca „paraziţi" ai cazuri lor netriv iale, conchide Hintikka, ş i de aceea ca t ip ice . Imp l icaţia (2) este uneori logic adevărată, numai deoarece conj unc ţ ia sa

antecedentă este logic falsă, şi atunci un număr de enunţur i de forma

19 1

(Ex)C 1(x) care apar în ( 1 ) vor fi incom pati b i l e . „Să ad m i tem că (Ex)C1(x) . . . (Ex)Cm(x) nu sunt i ncom pat ib i le, dar că dev in incompat ib i le dacă (Ex)Cm+ 1 (x) le este adăugat. Atunci imp l icaţ ia:

3) [(Ex)C1(x) /\ .. . /\ (Ex)Cm(x)] � - (Ex)Cm+ J (x) este logic adevărată, deşi antecedentul e i nu este inconsi stent". (Hintikka [3, p. 1 65 ] ) .

Imp l icaţia (3) se dovedeşte, conform expuneri i lui Kant, o instanţă a adevărulu i s intetic, adică de fapt un argument anal it ic nu poate conch ide de la existenţa unui ind ividual sau a unui număr de individual i la existenţa sau non-existenţa unui individual diferit. Se obţine rel iefarea unei conexiuni între sensul III( a) al analiticului ş i s inteticului, pe de o parte, şi i nconsi stenţa unor anum iţi constituenţi, pe de altă parte. Hintikka a descr is procesul prin care fiecare constituent inconsistent se poate arăta că este inconsistent, procedeul constând în „expans iunea" constituentulu i dat într-o disjuncţie de constituenţi cu aceleaşi simboluri predicative ş i aceiaşi termeni s ingulari l iberi, însă cu adâncimi care cresc; constituenţi i care apar în cadrnl acestui proces sunt subordonaţi celui orig inal în cadrul procesu lui de expansiune. Dar, mu lţi paşi ai procesului sunt inofensivi ; folosim regul i de convertire a unui enunţ în forma sa d istri butivă şi regul i care produc creşterea în adâncime a constituenţi lor, adăugându-se un nou strat de cuantificatori , pe când termen i i s ingulari rămân aceiaş i . Adăugând orice parte trivială redundantă unui constituent este serv it acest scop în măsura în care adâncimea constituentului creşte cu 1 . Hintikka observă că această triv ialitate ne-ar sugera, să spunem, că fiecare stadiu diferă de predecesorul său numai prin faptul că are o adâncime mai mare şi deci un grad mai înalt. Ori, creşterea gradului înseamnă creşterea numărulu i individuali lor cons ideraţi în relaţ ia lor, ceea ce conform cu I I I (b) ş i I I I( d) ind ică o procedură sintetică şi deci , procesul expansiun i i, prin care consti tuenţi i inconsistenţi sunt arătaţi a fi incons istenţi este o procedură s intet ică în aceste sensuri; urmează că această m etodă de demonstraţie în termen i i formelor normale d i stributive ş i a l e expans iuni i lor este s intet ică î n sensul I I l(e). Procedura operează în această manieră: pentru a deriva S2 din S 1 le transformăm în formele lor normale distribut ive; se poate adm ite că fiecare

1 92

d in ele conţin toţi termeni i s ingulari l iberi care apar în S 1 sau în S2• Putem demonstra s2 din s l dacă şi numai dacă expans iunea formei normale a lui S2 va conţine la o anum ită adâncime expans iunea fonnei normale a lui S1 , atunci când sunt omiş i constituenţi i i nconsistenţi d in expansiune prin criteri i le adm ise. Proceduri le de demonstraţie sau de respingere sunt sintetice atunci când o demonstraţie nu se realizează prin e l im inarea n ic i unui constituent inconsistent, sau când o demonstraţie nu se realizează prin e l im inarea constituenţi lor inconsistenţi cu ajutoru l primei rid icări a adâncim i i . Sinteticitatea este apreciată de Hintikka ca o caracteri stică a demonstraţi i lor cuantificaţionale. Existenţa unei form e normale distributive - raţ iunea pentru care adevăruri le logice ale teoriei cunat ificări i sunt analit ice în sensul IV -este legată cu raţiunea pentru care aceleaşi adevăruri sunt s intetice în alt sens, adică nu sunt „capturate" de reguli le naturale de inferenţa în sensul I I I( e ). Şi Hintikka [3 , p. 1 70-- 1 7 1 ] formulează următoarea concluzie : „Putem acum să- l justificăm pe Kant. Ceea ce înţelegea el când considera că argumentele matematice sunt normal s intetice era perfect just. Prin argumente matematice el înţelegea, în primul rând, modurile de aserţionare care sunt astăzi tratate în teoria cuantificării . Dar, tocmai s-a văzut că multe moduri de raţionare cuantificaţionale sunt inevitabil s intetice într-un sens natural al cuvântului . Acest sens este, de altminteri, strâns legat de intenţi i le lui Kant, deoarece s-a arătat în prima mea expunere că grupul III al sensurilor anal it icităţii poate fi cons iderată ca o foarte bună reconstrucţie a noţiuni i kantiene a anal iticităţi i , aşa cum a utilizat-o Kant în filosofia matematic i i" .

Î n l um ina d i st incţ ie i tautologie de suprafaţă ş i tautologie de

adâncime se poate răspunde la întrebarea, dacă adevărurile logice sunt tautolog i i . Luând teoria cuant ificăr i i cu un caz-test, atunci adevărur i le logice ale acestei teor i i sunt toate tautologi i de adâncime, dar nu sunt tautolog i i de suprafaţă. Coerent cu o asemenea afirmaţie avem rezu l tatu l după care „concepţia acelor fi losofi care cons ideră că argumenkle matematice nu sunt analitice în sensul de a fi doar «exp l i cat ive» es te astfe l cel puţ in parţ ia l j ust i fi cată . Deoarece nici ch iar toa t e ace l e argumente matematice care pot fi formal izate î n teoria cuant i fică r i i m 1

1 93

sunt tautologi i în sensu l de a fi tauto log i i de suprafaţă" (Hintikka [3 , p. 1 77]) . Ş i deoarece exi stă între informaţia de adâncime şi cea de suprafaţă re laţia: când pri ma t inde către infinit, cea de suprafaţă o aproximează la l im ită (este vorba de informaţia unui enunţ) se arată că în teoria monad ică a cuantificări i cele două noţiuni coincid. Exem plele de adevăruri log ice date de fi losofi d inaintea lu i Frege aparţineau teoriei monad ice a cuanti ficări i ş i din faptul că noţiun i le de tautolog ie de suprafaţă şi tauto logie de adâncime coincid, s-a dedus că adevăruri le logice ar fi tauto logice, neinformat ive, într-un sens mai tare decât IV. Uni i fi losofi au real i zat că exi stă m odur i de argumentare val ide ne-tauto logice în sensu l informaţiei de suprafaţă şi Kant este unu l d intre e i . Poziţia i lustrată de Kant a constat în restrângerea adevăruri lor logice la teoria monadică a cuantificării - s ilogistica tradiţională şi în catalogarea celorla lte m odur i de raţionare cuanti fi caţ iona le ca matematice . Ş i Hinti kka [3 , p . 1 78] exp l icitează impl icaţia fi losofică ş i istorică, care îl vizează direct pe Kant în termen i i : „Dacă se face astfel, atunci se poate spune, des igur, că adevăruri le logice sunt doar expl icative (tauto logice), pe când raţionamentul matematic este normal informativ, cu condiţia, desigur, ca termen i i «exp l icativ», „tautologic» ş i « informativ» să se admită că se referă la informaţia de suprafaţă".

O asemenea interpretare, ca cea propusă de Hintikka, înregistrează contrastu l d intre idei le de mai sus şi sensuri l e moderne I(b )-{ d) ale anal iticităţi i ş i sub l in iază că este vorba doar de o asemănare, aparentă, între concepţia lui Kant şi concepţ ii le modeme bazată pe conexiunea d intre noţiunea de adevăr anal itic ş i cea de adevăr logic, u i tându-se că de fapt fi losoful german înţelegea prin „logică" ceva d iferit de ceea ce înţeleg autorii moderni . Peirce, apud Hint ikka [3 ], a făcut o interesantă remarcă după care, dacă Imm . Kant ar fi fost contemporan cu logica contemporană a relaţ i i lor, ş i-ar fi schimbat concepţia referitor la relaţia d i ntre matematică şi logică. Indist incţia «tautologie de adâncime» şi «ta utologie de s uprafaţă» a i n s p i rat doc t r i n a e ronat ă a supra raţ ionam entu l u i logic , demonstraţ ie i matemat ice ş i a adevăru l u i matematic. Cons iderând raţionamentu l logic tautologic în ambele sensuri - de adâncime şi de suprafaţă - C. G. Hem pel [2] formulează unele

1 94

re marci eronate despre natura adevăru lu i matemat ic : , , Î ntrucât toate demonstraţi i l e matematice se bazează exc lus iv pe deducţ i i log ice d in anum ite postu late, decurge că o teoremă matematică, cum ar fi teorema lu i P i tagora în geometrie, nu asertează n imic obiectiv sau teoretic nou în comparaţie cu postulatele d in care este derivată, deşi conţinutu l ei poate fi foarte bine să fie psihologic nou în sensul că no i nu am avut cunoştinţa cunoaşteri i ei imp l i c ite în postulate" .

Cercetări le d i n log ica modernă a cuantificări i au produs mutaţi i i storice priv i nd statutul adevăruri lor logice ca legi ale gând ir i i , căci majoritatea lor s-au dovedit a fi sintetice în sensul III; pare a fi o conexiune istorică, remarcă Hintikka, între ideea caracteru lui necesar al conexiuni lor logice şi i deea că e le sunt anal itice în sensul I I I . De exemplu, există o mare asemănare între maniera în care Kant expl ică noţiunea sa de adevăr anal it ic ş i modal itatea în care Descartes exp l ică noţiunea sa a conexiunii necesare. În ambe le cazuri, o concluzie decurge d in prem ise în man iera dorită, dacă şi num ai dacă ea este imp licată în conceptul premi se i în aşa fel încât u l t imu l nu poate fi conceput dist inct fără a gândi de asemenea şi pe pr imul . Unele d intre exemple le lu i Descartes sunt de asemenea foarte apropiate de cele ale lu i Kant. Să încheiem cu o succintă referire la faptul că conceptul problematic şi d ifici l al intuiţiei cu tot cortegi u l am b i g u i tăţ i l or care î l î n so ţeşt e e s te u n c o m ponent centra l a l raţionamentulu i matematic î n concepţia amb i lor gânditori . Kant a pretins că matematicien i i cons ideră conceptel e generale in concreto, deci prin instanţele lor individuale, cu alte cuvinte, că e i fo losesc în mod t ip ic intuiţi i le pentru a reprezenta conceptele generale, construcţia matematică a conceptelor în absenţa lor fiind imposib i lă.

4.4. FI LOSOFIA KANTIANĂ A ARITMETICI I

Fi losofia kantiană a matematici i a inspirat programe fundaţioniste ale matematici i d ivergente şi chiar rivale: logic ismul fregean, formal ism u l h i lbert ian sau intuiţionismul brouwerian, ceea c e indică fecunditatea apriori sm ulu i , înrădăcinată într-o trad i ţie, ce emerge de la greci i vechi ş i

1 95

până încoace, ce a considerat, cum deja am notat, că matematica este o şt i i nţă apriori, ale cărei propoziţi i nu cer pentru stabi l i rea lor referi nţă la experienţă. Caracterul apr iori al matematic i i a fost contestat de concepţia i nductiv ist-empiristă, de J. S. Mi l l .

Des igur, trăsătura caracteri st ică de a priori ce o posedă matematica pură (aritmetica pură ş i geometria pură), deşi este relevantă, s ingură nu ne poate da o expl icaţie satisfăcătoare a naturi i matematic i i . Răspunsul lu i Kant la întrebarea despre natura matematici i pure a fost în esenţă acesta: propoziţi i le aritmetici i pure ş i a le geometrie i pure sunt propoziţi i necesare, dar n u anal it ice, c i s intet ice a priori . P e scurt, c i tându-l pe Kărner [ 1 , p. 39], „ele sunt s intet ice pentru că sunt despre structura spaţiu lu i ş i t impului , structură care se dezvăluie prin ceea ce poate fi construi t în e le, ş i sunt a priori pentru că spaţ iu l ş i t impul sunt cond iţi i invariante ale oricărei percepţiei a ob iecte lor fizice". Ş i cum aici avem în vedere matemat ica pură (aritmetica pură ş i geometria pură), să notăm că aceasta are ca obiect structura spaţiu lu i şi t impu lu i independent de materialu l empiric.

Kant nu d i sociază în abordare între propoziţi i le aritmet ic i i pure şi cele ale geometriei pure. Aşa cum însuşi Kant [ 1 , § 1 O] spunea, propoziţia dacă adăugăm 5 un ităţi la 7 unităţi producem 1 2 unităţi descrie în mod s intet ic ş i a priori ceva construit în t imp şi spaţiu, anume succesiunea de unităţi ş i co lecţia lor. S i stemele de propoziţi i ari tmetice ş i geometr ice nu sunt descrieri ale t impu lu i perceptual ş i ale spaţiu lu i perceptual ş i deci , pos ib i l i tatea logică a aritmetici lor alternative nu este negată .

F i losofia kant iană a aritmet i c i i poate fi derivată d i n fi losofia gând i torul u i german despre natura matemat ic i i . În acest ansam b lu ep istemologic s e decelează două aserţ iun i : a) toate j udecăţi le matematice sunt s intet ice; b) j udecăţi le matematice autent ice sunt j udecăţi a priori şi nu empirice (cf. Kant [2, p. 5 1 , 52]). Kant observă că anal işt i i raţiun i i omeneşti n-au sesizat valoarea ş i relevanţa primei aserţiun i : „Căci găs i ndu-se că raţionamentele matematicien i lor procedează toate conform princip iu lu i non-contradicţiei (ceea ce e cerut de natura oricărei cert i tudin i apod i ctice) s-a aj uns la convingerea că şi pr inc ip i i le ar fi

1 96

cunoscute pe baza princip iu lu i non-contradicţie i ; în aceasta ei se înşeală, căc i o j udecată s intet ică poate fi cunoscută fără îndo ia lă potr i v it princ ip iu lu i non-contradi cţ ie i , dar numai cu cond iţia de a se presupune o altă j udecată s intetică d in care să poată fi dedusă, dar niciodată în s i ne". În ceea ce priveşte aserţ iunea (b), argumentu l l u i Kant este următorul : judecăţi l e matemat ice sunt a priori şi nu empirice „deoarece conţin în s ine necesi tate, care nu poate fi scoasă d in experienţă . Dacă însă nu se va adm ite aceasta, ei b ine, atunci restrîng judecata mea la matematica pură, a l căre i concept cere ca ea să nu conţină cunoştinţă empir ică, ci numai cunoştinţă pură a priori".

Dar, concpţia lui Kant despre natura matematic i i pure şi a statutulu i propoziţi i lor acesteri şti inţe suferă o „special izare" convingătoare, atunci când este ancorată pe terenu l aritmetic i i _, pure . Este cazul ana l i ze i celebrulu i exempl u „7 + 5 " (Kant [ I , p . 32] , [2, p . 5 2, 53 ] ) . Kant [2, p . 52, 53 ] scr ie : „ S-ar putea crede fără îndoială la început că judecata „ 7 + 5" este o j udecată pur anal it ică, care rezultă d in conceptu l sumei de şapte ş i c inc i în v irtutea princip iu lu i contradicţ ie i . Totuş i , dacă o priv im mai îndeaproape, găs im că conceptu l sumei de 7 ş i 5 nu conţine n im ic mai mu lt decât unirea celor două numere într-unul s ingur, pr in care nu se gândeşte câtuş i de puţ in care este acel număr un ic care le cuprinde pe amândouă. Conceptu l de doisprezece nu este câtuşi de puţin gândit, prin faptu l că eu gândesc pur ş i s implu acea reun ire de şapte ş i cinci, ş i oricât de mult aş anal iza conceptul pe care îl am despre o astfe l de sumă pos ib i lă, totuş i nu voi găs i în e l pe cel de doisprezece. Trebu ie să depăşim aceste concepte, l uând în ajutor intui ţia care corespunde unuia dintre cele două concepte, de exemp lu, cele cinci degete ale mâini i noastre sau (ca Segner în aritmetica lu i) c inci puncte şi adăugând astfel una câte una unităţ i le l u i c inci date în i ntuiţ ie la conceptul de şapte. Eu iau mai întâi număru l 7, şi aj utându-mă, pentru conceptul de 5 , de degetel e mâin i i mele ca i ntu iţ ie, adaug, atunci una câte una la numărul 7 cu ace l procedeu figurativ, un ităţ i le pe care mai înainte le reunisem pentru a forma numărul 5 , şi văd astfel rezultând număru l 1 2 . Că 5 trebu ie să fie adăugat la 7, am gândit ce- i drept în conceptu l de sumă: 7 + 5 , dar nu că această sumă

1 97

este egală cu numărul 1 2 1 1 • Ş i argumentarea lu i Kant conchide în termen i i că j udecata aritmetică este deci totdeauna s inteti că, convingându-ne de acest lucru ma i c lar când operăm cu numere ma i mari ; „atunci este ev ident" - scrie Kant [2] - „că oricum am învârti şi răsuci conceptel e noastre, nu am putea n ic iodată găs i suma cu aj utorul s im plei anal ize, a conceptelor noastre, fără a recurge la intu iţ ie".

Am văzut, într-un paragraf anterior, care a fost at itudinea lui Frege faţă de epi stemo logia kant iană a aritmet ic i i ş i anume, logic ianul de la Jena nu a împărtăşit concepţia lui Kant despre natura aritmet ic i i , ş i , în mod expl icit, i-a reproşat fi losofulu i german că a invocat prea uşor intu iţia aco l o unde nu a putut i nd ica un teme i autent ic . Frege a observat inapl i cab i lt iatea intui ţ ie i atunc i când se operează cu numere mar i , întrebându-se de ce nu s-ar putea demonstra formule cu numere mai m ici decât 1 O (numărul degetelor mâini lor noastre suport al apl icări i intu i ţ ie i ) fără apel la i ntu iţie, convingerea lu i , oarecum ironică, fi ind că „aritmetica nu se bazează pe degete".

În contrast cu atitud inea lui Frege, de contestare a rolu lu i i ntu iţ ie i în fundarea aritmetic i i , o landezul Brouwer se va s itua a lături de Kant (în susţinerea că intuiţia este o sursă infai l ibi lă a cunoaşteri i (matematice). Acesta a adm is mai curând că i ntuiţ ia spaţi u l u i trebuie crit icată şi corectată în lumina relevanţei geometri i lor neeucl id iene şi, în consecinţă, se poate doved i chiar d i spensabi lă în v irtutea aritmet izăr i i geometr ie i . Astfel, se poate accepta numai intuiţia t impu lu i din doctrina kant iană, pe care o putem aşeza drept fundament al aritmet ic i i , un t ip de i ntu iţie, supus ş i el, cum se ştie, unor semnificative subm inări datorate recentelor evoluţi i conceptuale şi metodologice ale cunoaşteri i matemat ice.

În ceea ce î l priveşte pe Hi lbert, acesta va folosi sui generis intu iţ ia ca o percepţie (în sens kant ian) a semnelor pe hârtie, restrângând cons ideraţ i i l e metamatemat ice asupra ansamb lur i lor perceptuale cu caracter fin i tar. Dar, acest aspect tr im ite la problema infin itu l u i în matematică, problemă tulburătoare pentru gândirea umană, cum spunea însuşi O. Hilbert, şi radicală, căci a contribuit la d iv izarea şco l i lor d in cadru l fi losofie i matematic i i .

1 98

Analiza kantiană a problemei infinităţii aminteşte de influenţe a le doctrinei aristotel ice despre d istincţia dintre infinitatea actuală şi cea potenţială. Comentând concepţia lui Kant despre infinitul matematic, Korner [ 1, p. 40] scrie : , , Într-un ş ir sau progresie matematică, o regulă ne spune cum să facem fiecare pas, după ce am tăcut pasul precedent. Kant nu va tolera însă supoziţia că atunci când este dată o astfel de regulă, este dată în mod necesar şi total itatea paşi lor într-un anumit sens. Problema este deoseb it de importantă pentru cazuri le când nu există un ultim pas şi nu există nici un prim pas. Să considerăm, de exemplu, ş irul numerelor naturale, care are ca prim e lement pe O şi în care fiecare e lem ent e ste produs pr in adăugarea l u i l la predecesoru l său , presupunându-se că nu exi stă a lte e lemente în ş ir. Ş irul crescător conform regul i i este cu totul altceva decât _şiru l complet; afirmaţia că procesul de producere a e lementelor şirulu i poate fi continuat în mod indefinit, nu atrage după sine ideea că şiru l poate fi terminat sau că şirul term inat poate fi considerat în acest sens dat".

Dacă între concepţi i le lui Kant şi Aristotel referitoare la infinitatea potenţială sau în devenire identificăm evidente sim i l itud ini, cu priv ire la infinitatea actuală, aceste concepţi i d iverg semnificativ. Aristotel a susţinut că un reprezentant al infinităţi i actuale nu este identificabi l în experienţa senzorială şi, chiar mai mult, existenţa acestuia este imposibi lă logic. Stagiritul (ca şi Toma din Aquino) va încerca să demonstreze existenţa unei cauze prime, argumentând „că altfel ar trebui să existe un şir actual, ceea ce, susţine e l , ar fi absurd din punct de vedere log ic". Ori, fi losoful german consideră că noţiunea de infinitate actuală nu este imposib i lă din punct de vedere logic. Această noţiune este pentru Kant o idee a raţiun i i „adică o noţiune coerentă d in punct de vedere intern, care totuşi nu se poate apl ica experienţei senzoriale, deoaree nici un reprezentant al e i nu poate fi perceput, nici construit. Opinia lui Kant este că putem construi număru l 2 şi putem percepe 2 lucruri; că putem

constru i număru l 101010, chiar dacă nu suntem în stare să percepem un

grup aşa de mare de obiecte separate şi că, în fine, noi nu putem percepe, nici construi o colecţie actuală infinită" (Kărner [ l, p. 41 ]).

1 99

Oricum, rămâne un merit al fi losofie i kantiene subl in ierea contrastulu i dintre cele două tipuri de infinitate, acordarea atributu lui de folos itor infinitului actual . În Kant [3, p . 1 3 3- 1 34] scrie: „căci în aprecierea matematică a mărim ii , intelectul este tot atât de bine servit şi satisfăcut, fie că puterea de imaginaţie alege ca unitate o mărime pe care o putem prinde într-o privire, de exemplu un picior sau prăj ină, sau că alege o mi lă germană sau chiar un d iametru al pământu lui . În amândouă cazuri le, aprec ierea log ică de mărime merge neîmpiedicat la infin it". „Dar mintea înăuntrul ei ascu ltă de glasul raţiun ii care cere totalitate„ . pentru toate mărimi le date„. neexceptând de la acest postulat nici chiar infin itul. . . , ci impunându-se d impotrivă, în mod inev itab i l , de a ni- l gândi . . . ca dat în întregime (după total itatea sa)".

4.5. FILOSOFIA KANTIANĂ A GEOMETRIEI: ONTOLOGIA KANTIANĂ A SPATIULUI

'

CA O EPISTEMOLOGIE A GEOMETRIEI

Kant implicit a fost de acord cu Leibn iz şi Descartes că spaţiul este conti nuu, infinit, trid imensional, omogen ş i izotrop; omogen înseamnă, în acest context, că nu exi stă puncte privi legiate în spaţiu, iar spaţiul izotrop că nu are direcţi i privilegiate . Credinţa lu i Kant era că punctele conţinute în spaţiu satisfac teoremele geometriei euc l id iene.

Problema spaţiulu i a avut un rol important în dezvoltarea fi losofiei critice a lui Imm. Kant. De fapt, aşa cum observă R. Torretti [ l] şi alţi autori, în dezvoltarea concepţi ilor lui Kant se disting două perioade : o primă perioadă, num ită „pre-critică", conţine lucrări le t impurii ale filosofului (Kant [ 4], [5]) şi a doua, „perioada critică", este caracterizată de celebra sa „revoluţie copemicană în fi losofie" încorporată în Kant [2 ] ş i , în spec i a l , în cap i to l u l ace ste i capodopere, „Estet i ca transcendentală", ediţia 1787, în care a fost elaborată o nouă concepţie despre spaţiu sub impactul unor probleme generate de concepţia din perioada pre-critică.

200

Kant a respins şi a abandonat concepţia despre spaţiu real infinit subzistând în sine, o entitate himerică, şi a susţinut o teorie relaţionistă asemănătoare celei a lu i Le ibniz. Astfel, deja Kant (4, p. 23] scria: "fără forţă nu există conexiune, fără conexiune nu există ordine şi fără ord ine nu există spaţiu". Această idee spune expl ic it că proprietăţi le structurale a le spaţiului sunt determinate de interacţiunea dinamică dintre particule, c.g. spaţiu l are trei d imensiuni decurge din faptul că forţele de interacţiune sunt invers proporţionale cu pătratu l d istanţei d intre particule le care interacţionează. În acest context, Kant, ca şi Leibniz, a considerat distanţa ca proprietate a materiei , aceasta având rol determ inant în constituţia spaţiu lu i . Prin urmare, legi d iferite de interacţiune "produc" spaţiu l care are mai mult sau mai puţin de trei d imensiun i . Kant [ 4, p. 24] continuă ideea anterioară în termenii : "O ştiinţă a tuturqr variate lor feluri posibi le de spaţiu va fi în mod cert cea mai înaltă geometrie pe care un inte lect (understand ing) finit o poate construi".

Mai târziu, Kant a considerat că teoria sa re laţionistă asupra spaţi ului nu poate fi susţinută în v irtutea considerentulu i că spaţiul nu este un atribut al materiei, sau un concept. Din punct de vedere ontologic în relaţia spaţiu- lucruri, primul termen deţine prioritatea, proprietăţi le lucruri lor depinzând de spaţiu. ,,Nucleul absolutist" al teoriei relaţioniste, împărtăş ită temporar de Kant, a generat impl icaţi i indezirabi le şi în Kant (5] el a fost descris ca fi ind datorat unei teori i platonice a princip i i lor cunoaşteri i umane. Kant va propune o nouă interpretare a statutulu i onto logic a l spaţiu lu i (şi t impului) .

În Kant [5] este expusă .filoso.fiaprecritică a spaţiului şi geometriei care a fost generată de o anumită i nterpretare a statutului ontologic al spaţiului: perspectiva pre-transcendentală. Kant a acceptat ideea că epistemologia geometriei depinde de maniera în care noi concepem onto logia spaţiu lu i . Dar, un nou şi remarcab i l aspect al concepţ ie i mature a lu i Kant despre matematică - filosofia critică a matematic i i -este i ntrodus în Kant [2 ] ş i anume, este vorba de înţe l egerea transcendentală a ontologiei spaţiu lu i . Exigenţa une i teori i adecvate a cunoaşteri i matematice este intim conectată cu unica sursă a cunoaşteri i

201

d irecte a obiectulu i indiv idual şi pe care Kant a num it-o intuiţie . Intu iţia este un aspect-cheie, relevant referitor la natura cunoaşteri i matematice, deoarece spaţiul nu este un atribut al materiei sau un concept, c i este o intuiţie, o intuiţie pură, a priori a sens ib i l ităţi i . A ici se află punctul de plecare în construirea perspectivei de abordare transcendentală in iţiată de Kant în i nvestigarea naturi i matematici i .

Kant a respins d ihotomia veche a propoziţi i lor: propoziţii anal itice şi propoziţi i s intet ice, aspect central în filosofia lui Leibniz şi Hume, şi a propus trichotomia: propoziţii anal itice, propoziţ i i s intetice şi propoziţi i sintetice a priori . Acestea din urmă au rol constitutiv fundamental, deoarece sunt cond iţi i necesare ale posib i l ităţ i i experienţei obiect ive. Propoziţi ile sintetice sunt divizate în două clase: propoziţi i intuitive şi propoziţi i d iscursive; primele sunt intim legate de structura percepţiei, în timp ce ultimele sunt legate de funcţia de ordonare a noţiuni lor generale.

Propoziţi i le s intetice intuitive au o relevanţă remarcabilă pentru filosofia kant iană a geometriei şi a aritmetic i i . Ele sunt pos ib i l e, spune Kărner [ 1 , p . 3 7]; deoarece: a) descri ind spaţiul ş i t impu l, noi descr iem part icularul ş i astfel, producem propoziţi i s intetice; b) descri i nd spaţiul şi timpul, noi nu descr iem percepţi i senzoriale ( impresi i le), descripţi i le noastre sunt independente de percepţii senzoriale, adică ele sunt propoziţi i a priori care descriu ceva care este imuab i l .

Aceste aserţiuni v izează în special matematica pură, care nu este o cunoaştere anal itică, ci o cunoaştere sintetică a priori, deoarece poartă asupra spaţiului ş i t impulu i .

Influenţa kantiană asupra adepţilor fi losofiei criticiste se expl ică prin ro lu l şi statutul propoziţi i lor matematice ca descripţi i ale spaţiu lu i ş i t impu lu i . Kant a sugerat suficient de exp l icit că întreaga descriere a structuri i spaţiului şi timpului cere nu numai o contemplare pas ivă, ci ş i o construcţie. Kărner [ l , p. 38 ] scrie referitor la acest aspect: „A construi un concept înseamnă mai mult decât a propune şi consemna definiţia sa; înseamnă a- l dota cu un obiect a priori. Ce vrea să spună Kant prin aceasta e foarte dificil de înţeles, dar deloc obscur sau confuz. Este foarte clar ce decurge şi ce nu, din construirea unui concept. Nu înseamnă să postulezi obiecte pentru el".

202

Elementu l a priori este un i ngred ient esenţial al construcţ1e1 . l'osibi l itatea construcţiei fizice se bazează pe posibilitatea construcţiei a pr ior i , e.g. , consemnează Kărner [ 1 ], construcţia sferei metal ice este bazată pc posibi l itatea unei sfere în spaţiu, aşa cum imposibi l itatea construcţiei l'izice a unei sfere cu 1 5 d imensiun i este bazată pe impos ib i l itatea construcţiei a priori corespunzătoare. Cunoaşterea umană a unui obiect este produsă prin combinarea senzaţii lor care apar din prezenţa obiectului 'intr-o prezentare coerentă a obiectului însuş i, o idee cu re levanţă deosebită pentru cunoaşterea geometrică, ce este imtim conectată cu intu iţia spaţiului . Combinaţia senzaţ i i lor este guvernată de o ,, lege inerentă a m inţi i umane", a cărei manifestare este spaţi u l , i ntu iţ ia pură, a priori. Perspectiva transcendentală este introdusă în această ma�ieră, deoarece „spaţiul nu este ceva ob iectiv ş i real , nici o substanţă, nici un atribut, nici o relaţie, c i o schemă subiectivă şi ideală pentru coordonarea oricărui lucru care este extern s imţit în orice mod, care apare d in natura minţi i conform unei legi stabile". Dacă această aserţiune este adevărată, urmează că obiecte externe sensibile sunt spaţiale când sunt prezentate în intuiţia sensibi lă; proprietăţi şi relaţi i spaţiale nu există în ele însele, independent de prezentarea lor în gândire, mintea umană. Deci , Kant a susţinut prioritate ontologică a spaţiului în raport cu corpurile, dar nu a acceptat o reală autofiinţare a spaţiulu i infinit vid ca Newton.

Ideea de spaţ iu un iversal nu este un concept general, ci o intuiţie şi anume, o intuiţie pură, deoarece nu depinde de senzaţii le coordonate în spaţi u. Această idee ne-conceptuală, adică reprezentare singulară, care subordonează spaţ i i particulare ca părţi, nu este complet acoperită de concepte, deoarece relaţ i i le spaţiale pot fi s imţite şi nu pot fi gând ite ; această idee ne-conceptuală este prezentă în axiomele geometrie i şi în orice construcţie mentală a postu latelor şi problemelor geometrice. Kant [4] scrie : „Că spaţiul are numai trei d imens iuni , că există însă o l in ie dreaptă care uneşte două puncte date, că un cerc poarte fi tras pe un plan

dintr-un punct dat cu orice rază dată etc . , aceste fapte nu pot fi inferate

d intr-o noţiune un iversală de spaţiu, ci pot fi numai percepute concret în

spaţiu l însuşi".

203

Torretti [ l ] spune că este greu să înţe legem ce pot vedea och i i , ch iar „ochii minţii" în intuiţia pură, l iberă de senzaţi i , până ce aceasta nu este determinată prin concepte.

Concepţia lui Kant despre cunoaşterea geometrică a fost foarte influentă; Hintikka [3 ] a încercat recent să facă o analogie între apelul lui Kant la „ intuiţia s ingulară" ş i uzul instanţieri i ex istenţiale, care este ind ispensabi lă în majoritatea demonstraţi i lor matematice .

Caracteristica propoziţi i lor geometrice este că sunt logic adecvate şi pot fi negate fără teama contrad icţie i . Kant (apud. Torretti [ 1 ] ) spune: „cel ce exersează să născocească în m intea lui orice relaţi i d iferite de ace lea prescrise de spaţiu l însuşi , lucrează în van pentru că el este constrâns să întrebuinţeze această idee adevărată în spaţiu l ficţiuni i sale". Kant a asumat că relaţi i le prescrise de spaţiul însuş i sunt acelea enunţate în „Elementele" lu i Eucl id şi el a pretins că noua sa teorie a spaţiu lu i garantează şi expl ică validit�tea obiectivă a geometr iei eucl id iene. i .e . , o şti inţă care este adevărată despre orice obiect fizic. Kant (apud. Torretti [ 1 ] ) scrie: „Nimic totuşi nu poate fi dat s imţuri lor dacă nu este în acord cu ax iome le pr im it ive a le spaţi u l u i ş i consec inţele l or conform prescripţi i lor geometriei, chiar deşi principiul lor este pur subiectiv. Deci, orice care este astfel dat va fi, dacă eşte seif-consistent, în mod necesar consi stent cu u lt imul şi legi le sens ib i l ităţi i vor fi legile natur i i în măsura în care ea poate fi percepută prin s imţuri ( quatenus în sensus cadere potest). Deci, natura se conformează exact (ad amuss im) preceptelor geometriei priv ind toate proprietăţ i le spaţiului demonstrate în această şti inţă, nu pe forţa unei presupoziţii născocite, ci a uneia care este intu itiv dată, ca o condiţie sub iectivă a tuturor fenomenelor, pe care natura le poate manifesta s imţuri lor".

R. Torretti [ 1 ] crede că pentru a încorpora această doctrină în fi losofia critică a lui Kant sunt necesare următoarele ajustăr i :

i ) mai întâi, schema metafizică d i n 1 770 nu mai poate fi susţinută, deoarece cunoaşterea umană era restricţionată la ob iectele s imţuri lor (sens ib i l ităţi i), aşa cum ele ne apar în spaţiu şi t imp; în afara acestu i context, n ici o proprietate sau relaţie nu poate fi pred icată cognitiv despre

204

ceva şi deci , spaţiul nu poate fi considerat ca un atr ibut al unei substanţe, gândirea (m intea) modificare coordonatoare a acestei substanţe. Conform cu Kant [3 ] , fi losofia spaţiu lu i şi t impului trebuie fundată pe o anal iză a experienţe i umane şi pe presupoziţi i le ei ca relevate d in interior. Din această anal iză trebu ie să presupunem percepţia obiectelor în spaţiu, deci, spaţiul nu depinde de ps ih icul uman prin manifestarea lu i fenomenală . Spaţ iu l ob i ect i v este z i s încă sub iect iv d in cauza caracteristic i lor ,,egotistice" ale procesului prin care spaţiul însuşi dev ine evident, manifest.

i i ) a doua, este în spec ial rel evantă pentru geometrie, deoarece orice conexiune, orice ordonare a d iversului date lor senzoriale este lucrarea intelectului (raţiuni i ) şi trebuie coordonată prin concepte . O mutaţie foarte importantă este evidentă şi r'elevantă pentru perspectiva transcendentală: tranziţia de la spaţiul intu itiv preconceptual descris ca „ceea ce creează d iversu l aparenţei să fie intuit ca ordonat în anumite relaţ i i" la maniera „care face posib i l ca diversul aparenţei să fie ordonat în anumite relaţi i" . Kant [2] trage concluzia că forma intuiţiei externe prin ea însăş i nu posedă structura descr isă de propoziţi i le geometrie i deoarece, spune el , „spaţiu l prezentat ca ob iect (cum cerem actual în geometrie) conţine mai mult decât s impla formă de intuiţie".

Rolul intelectului este cons iderat acum înalt relevant pentru statutul spaţiului , deoarece as igură unitatea obiectelor. Kant [ 1 , §3 8] scrie:

„Aici este, aşadar, natură, care se întemeiază pe legi, pe care intelectul le cunoaşte a priori, şi anume, mai ales prin m ij loc irea principi i lor universale ale determinări i spaţiu lu i . Mă întreb atunci : aceste legi ale naturi i se află oare în spaţiu, iar inte lectul le descoperă căutând doar să cerceteze înţe lesul bogat ce se află în acesta, sau se găsesc ele în intelect şi în felul acesta determi nă spaţiu l după condiţ i i le s intet ice spre care tind toate conceptele sale? Spaţiu l este ceva atât de uniform şi ceva atât de nedeterm inat în ceea ce priveşte proprietăţile particu lare, încât

n imeni nu va căuta în el o comoară de legi ale natur i i . Intelectul este, în schimb, ce l care determ ină spaţiu l să se configureze în cerc, î n con �i în sferă, în măsura în care e l conţine temeiul unităţi i construcţ iei acelor

205

figuri . S impla formă un iversală a intu iţ iei care se cheamă spaţiu este, prin urmare, într-adevăr substratul tuturor intui ţ i i lor care pot fi determ inate în toate obiectele part icu lare şi tot în spaţi u se află şi condiţ ia pos ib ilităţ i i şi d iversităţ i i intuiţi i lor, dar unitatea obiectelor nu este totuşi dată decât prin intelect, ş i anume, după cond iţi i care se află în propria sa natură. Şi astfel, intelectul este originea ordini i un iversale a natur i i pentru că subsumează toate fenomene le propri i lor sale legi, producând abia în felul acesta apriori exper ienţă . . . ".

Intuiţia apriori a multiplului, diversului (manifold) numită spaţiu este concepută nu ca o simplă mulţime de puncte (point set), ci ca un continuum, de presupus tridimensional. „S impla formă a intui ţ ie i" constrânge intelectul să acorde o structură topologică definită unui obiect al geometriei , pe care intelectul o poate determ ina în mod l iber în conformitate cu legi le natur i i . Deoarece propoziţi i le geometr iei clasice nu sunt logic necesare, n imic nu poate evita pos ib i l itatea i ntelectulu i de a dezvolta o varietate de geometri i a lternative (compatib i le cu topologia prescri să) ş i fo los irea lor în fizică. Această concluzie este impl icată de scr ier i le kant iene anter ioare, însă este ev identă dacă noi suntem fami l i arizaţi cu mu ltipl ic itatea sistemelor geometrice şi acest fapt înainte şi nu după ce citim pe Kant. Atitudinea ortodoxă kant iană este pregnantă în d iscuţi i l e fi losofice despre geometri i l e ne-eucl id iene . Oponenţi i geometri i lor ne-euc l id iene le tratează sumar, dacă nu superfic ia l , considerându- le exerciţ i i inte lectuale interesante, ce nu privesc şti inţa autentică a spaţiului , re levată numai prin intu iţia pură şi în dep l in acord cu „Elementele" lu i Eucl id, sau cel puţin cu spiritu l acestora.

R. Torretti , ale cărui gânduri şi reflecţii asupra operei lu i Kant le-am expus anterior, consideră că geometri i le ne-eucl idiene n-au infirmat concepţia lui Kant, în special fantezi i le de tinereţe din 1 746 ale filosofului german . Într-adevăr, însuşi Lobacewski, unul d intre întemeietori i acestu i tip de geometrie, scria „că forţe şi numai forţe, s ingurele generează orice: mişcare, v iteză, timp, masă chiar d i stanţe şi ungh iuri". R. Torretti [ 1, p. 3 3 ] consemnează în acest context: „Dacă Kant are dreptate că forţe( le) determină geometria fizică, atunci aceeaşi geometrie nu este pretutindeni

206

aplicabi lă, deoarece geometria trebu ie să reflecte comportamentul forţe lor care acţionează la fiecare nivel al real ităţi i".

Dar, indeterm inarea este inerentă în conceptul de intuiţie a priori a spaţiu lu i eucl id ian, ceea ce este cauzat de imposibi l itatea vizual izări i întregu lu i spaţiu . F i losofii, de la Platon la Kant, nu au contribuit în mod esenţial la fundamentele geometriei, mulţumindu-se să d iscute despre natura obiectelor geometrice şi sursa cunoaşteri i geometrice, în rest acceptând principi i le lui Euc l id . Numai incidental vom găsi tentative ale filosofi lor care vizează justificarea unui principiu particular al geometriei, sau relaţi i le principi i lor cu corpul propoziţi i lor geometrice. Singurul filosof care s-a impl icat înpartea de fundamente ale geometriei este Hegel care a afirmat că dacă se admite că axiomele matematice nu sunt simple tautologi i , atunc i e le ar trebui demonstrate l a nive lu l ,unei şti inţe fi losofice� în consecinţă, Hegel a arătat că încercarea lui Euclid de a demonstra postulatul 5 nu este justificată, deoarece enunţu l lu i conţine conceptul de „ lin i i paralele" care reclamă în mod esenţial o investigaţie filosofică, dar filosoful german nu a întreprins o asemenea anal iză.

4.6. FILOSOFIA POSTKANTIANĂ A GEOMETRIEI: HELM HOLTZ , HILBERT, UEBERWEG ,

ERDMAN N , RUSSELL, POINCARE

Helmholtz [ 1 ] a interpretat descoperiri le lu i Bolyai , Lobacewski, Gauss, Riemann şi propria sa descoperire ca o bază şt i inţifică pentru o

filosofie empiristă a matematicii, opusă apriorismu lu i kantian. Conform acestei filosofii empiriste a matematic i i, e l formulează ideea unei/undări factuale a geometriei. Dar, concepţia lu i Helmholtz nu este aşa diferită de cea a lui Kant, observa R. Torretti [ 1 ] , deoarece în realitate el «a pavat drumul» spre un sort special de apriorism. Pe scurt, teza empir istă despre geometrie drept cunoaştere a structuri i spaţiale, afirma Helmholtz, conţine un set ordonat de adevăruri inferate logic d in câteva princ ip i i (axiome) ce se referă la lumea materială, dator ită experienţe i noastre,

207

concepută ca un proces de manipu lare, observare, comparare şi inferenţă. Este probabi l ca existenţa s istemelor consistente alternative de axiome geometr ice să- l fi influenţat î n direcţia formulări i tezei empiriste despre natura şi structura geometriei; ş i un element relevant al constru iri i acestei concepţi i a fost, desigur, propria sa descoperire după care existenţa corpuri lor rig ide, „un fapt de observaţie", determ ină structura spaţiu lu i .

Concepţia lu i Helmholtz se constitu ie pr in raportare permanentă la concepţia kantiană. Astfel, Helmholtz a crezut că, remarcă Torretti [ 1 ], pretenţia lu i Kant, conform căreia cunoaşterea geometrică este neemp ir ică, se bazează pe un fapt, pret ins , al acordu lu i nostru cu geometr ia lu i Eucl id ; este invocată v izual i zarea, ca gen de reprezentare imaginat ivă a figuri lor spaţiale, ce o avem în t imp ce încercăm să rezo lvăm o problemă de geometr i e elementară „cu och i i înch i ş i" . Pretenţia lu i Kant nu ar fi susţinută deoarece : a ) stabi l irea inevitabi l ităţi i axiomelor lu i Eucl id reclamă faptul ca v izual izarea interioară să fie perfect exactă, ori imaginilor noastre ale ob iectelor geometrice, în pr imul rând, ace lea referitoare la proprietăţi le metr ice, l e l i pseşte precizia necesară; b) noi suntem capabi l i să vizual izăm starea de lucruri într-un spaţiu neeucl id ian.

Nu urmează din faptul că axiomele geometrice nu pot fi cunoscute a priori, că noi nu avem o cunoştinţă neemp irică intuitivă a spaţiu lu i , iar teoria kantiană a formelor de intui ţie date a priori este expresia unei asemenea situaţi i . Referinţa helmoltziană la o intuiţie transcendentală pare surprinzătoare d in perspectivă empir istă, dar benefică în plan epistemolog ic, deoarece anticipează o concepţie actuală, conform căreia conceptele şi teor i i le şti inţifice sunt creaţi i l ibere ale minţi i umane, ce nu-şi au originea în experienţă, însă care trebu ie să fie testate de aceasta. Helmholtz nu poate ev ita perspectiva transcendentală în sens kantian, dar d istincţi i le ce- l separă de Kant se impun. Într-adevăr, He lmholtz introduce conceptu l de corp rigid, constitutiv experienţe i fizice, ca un concept transcendental, dar spre deosebire de categoria kant iană, proces pur mental de organizare a datelor senzoriale, aici rolul aceste i noţiuni v izează reglarea folosir i i instrumentelor materiale de măsurare.

208

Helm ho l tz observă faptu l că ge ometria fiz ică comportă indeterm inare, dar că adăugând la axiomele geometrie i propoziţ i i relevante pr iv ind propr ietăţi mecan ice a le corpur i lor naturale , ca princip iu l inerţiei , de exemplu, şi alte le, constatăm fie confirmarea, fie respingerea ei de experienţă. Acesta ar fi în interpretarea lui R. Torretti un argument foarte putern ic împotriva fi losofiei kantiene a goometriei şi poate raţiunea principală de ce aceasta nu poate suprav ieţu i descoperiri i fenomenului geometrii/or neeuclidiene, deoarece o cunoaştere a priori a spaţiu lui fizic, fără conţinuturi fizice, nu poate să- i determine structura lu i metr ică cu exactitatea pe care o pret ind apl icaţi i le fizice.

Hilbert ş i-a constituit concepţia asupra natur i i geometr ie i , de asemenea, prin raportare la concepţia lu i _Kant. După cum se ştie, e l c itează cu un gen de veneraţie pentru Kant,' celebra frază a acestuia d in „Critica raţiunii pure": „Toată cunoaşterea umană începe cu intuiţi i , procedează pr in concepte şi sfârşeşte cu idei".

Dar, idei le lu i H i lbert d iverg în mod neaşteptat de concepţia kantiană care este invocată prin sloganul mai sus c itat, mai curând, ca un pretext pentru a-şi expune propriul său punct de vedere . Într-adevăr, după enunţarea l i stei de axiome ale geometriei , Hi lbert consideră că activitatea meritorie şi relevantă meta-matematic este „analiza logică a intuiţiei noastre spaţiale", un act destul de anti-kantian, dacă scrutăm problema în spiritu l filosofiei l u i Kant. Demersul h i lbertian procedează de la intu iţia spaţială la cea logică, sau mai precis la o anal iză conceptuală a axiome lor geometrie i , o act iv itate pe care Kant a considerat-o nereal izab i lă. Concluzia lui Hi lbert ar putea fi formulată în termen i i : dacă intuiţia spaţială este reflectată numai î n grupele I-II I de axiome, ea nu este în întregime determ inată şi nu poate fi manifestarea unu i ind ividual unic, defin it, cum unele pasaje din Kant sugerează.

Aşadar, în ce sens Hi lbert este un kantian în fi losofia geometriei devine problematic în lumina unei interpretări mai puţin standard a acestui aspect. Referitor la Hi lbert, Gădel [ 1 ] a scris următoarele, privind aspectul intuiţi e i : „Ceea ce Hi lbert înţelege prin «Anschaung» este în mod substanţial intuiţ ia spaţio-temporală a lu i Kant, l im itată,or icurn, la

209

configuraţi i le unui număr finit de obiecte discrete". Diferenţa priv ind noţiunea godel iană de intuiţie (K. Godel [ 1 ] ) este aceasta: termenul «Anschaung" este tradus ca fiind o intuiţie concretă. Poate fi vorba aici de un aspect intuiţion istic în concepţia lui Hilbert despre matematică? Da, dar s-a întâmplat ca în unele d iscuţii recente asupra fundamentelor intu iţionismului , când conceptu l veritabil de intuiţie - constând în aceea că semnificaţia unui enunţ matematic este constituită de ceea ce va fi o demonstraţie a lui - să fie omis ( cf. Ch. Parsons [ 1 , p. 1 66] ) .

Friederich Ueberweg [ 1 ] dezvoltă o concepţie empiristă, asemenea celei a lui Mi l l , asupra naturii şi fundamentelor geometrie i , şi în acest sens a susţinut că trebuie propuse princ ip i i noi din care cele de până atunc i să fie inferate; de fapt, să fie propuse fapte noi ca o fundare a geometriei , ceea ce în real itate a constituit o anticipare a axiome lor lu i He lmho ltz d in 1 866 . R . Torretti [ 1 ] a d istins două pozi ţi i a le lu i F. Ueberweg referitoare la apriorism : una conciliator ie şi a lta polemică, căc i el accepta concepţia kantiană după care geometria este o ştiinţă apodictică, dar nu vedea de ce acest lucru ar impl ica faptul că spaţiul este cunoscut apriori . Mai exact, afirma că încercarea lui Kant de a arăta că natura a priori a spaţiu lui asigura, conferea, val id itatea princ �pi i lor geometriei, nu reuşea să le derive din această natură; Kant nu a demonstrat că nu poate exista o şti inţă apodictică refer itoare la un obiect empiric, Kant a admis d i lema „empiric sau a priori", fi i ndu- i necunoscută alternativa „elaborări i raţionale a celor empiric date în acord cu norme logice, fără conţinturi a priori de cunoaştere", notează F. Ueberwg [ 1 , p . 3 1 4] . Distingând între certitudine apodictică ş i certitudine asertorică sau factuală, prima aparţinând sistemului geometr iei, cea de-a doua d iferite lor principi i considerate izo lat, Ueberweg reproşează lui Kant că nu a observat că teoremele derivate d i n pr inc ip i i le fort ifică, le conso l idează pe acestea din urmă; ad i că consecinţe le în acord cu experienţa confirmă presupoziţi i le, le conferă o creştere a certitud in i i , care devine absolută.

În Ueberweg [l, p. 268] expune un aspect esenţial al concepţiei sale epistemologice foarte moderne, şi anume face afirmaţia că chiar

2 1 0

dacă cineva ar reuşi să deducă geometria din conceptul „esenţa spaţiului", cu aceasta nu ar doved i fundarea va l id ităţ i i cred inţe lor sale geometrice. El nu este preocupat să determ ine în ce rezidă certitud ine princip i i lor indemonstrabile ale geometr ie i , ci mai curând el doreşte să aducă o contribuţie l a c larificarea re l aţ i i lor fami l i are dintre axiome, postu late şi conceptele fundamentale a le lu i Eucl id, încercând să le deducă d intr-o sursă comună identificată în ana l izarea conştientizări i noastre senzoriale globale, în vederea obţiner i i conceptelor generale ş i apoi ideal izarea acestora din urmă, atr ibu indu- le o prec izie absolută. În Ueberweg [ 1 , p. 3 1 5 ] îş i expr ima credi nţa că dacă vom arăta că geometr ia poate fi constru ită pe această bază, atunci am pavat calea pentru „opin ia corectă privind caracteru l logic al axiomelor euc l id iene şi pentru recunoaşterea geometriei ca o şt i inţă naturală" .

B. Erdmann [ 1 ] a considerat că noua geometrie a spaţiului construită de Riemann şi Helmholtz confirmă concepţia empiristă a intuiţiei spaţiale şi infim1ă fi losofia lui Kant despre spaţiu şi geometrie. Noua teorie a spaţiu lui oferă o definiţie a spaţiului de fapt în termeni i axiomelor lui Helmholtz, şi Erdmaim propune s-o numim un sort, ramură de ,ţmpirism-apriorism", a cărui esenţă rezidă în aceea că toate reprezentările noastre sunt, pe de o parte, complet diferite de constitu irea şi relaţii le lucruri lor, iar, pe de altă parte, le corespund în orice parte. În mod expl icit, dar într-un cadru ontologic mai curând primitiv, cum observă R. Torretti [ l ] , Erdmann [ l , p. 92 şi urm.] scrie: „Toate intu iţi i le noastre ale lucrurilor şi relaţii lor externe sunt produsul interacţiuni i, ale cărei condiţi i depind_parţial de constituirea lucrurilor, parţial de esenţa evenimentelor fizice. Noi suntem în totală ignoranţă despre maniera în care are loc interacţiunea, dar.noi putem deriva următoarele concluzi i din faptul existenţei aceste ia. În primul rând constituirea oricărui element al intu iţie i noastre trebuie să depindă în parte de natura produselor care stimulează, în parte de modul în care aceşti stimul i sunt primiţi (receptaţi) şi elaboraţi de activitatăţile psihice. În consecinţă ( . . . ) întregu l material al senzaţi i lor noastre este pur şi simplu un sistem de semne pentru lucruri, deoarece proprietăţi le pe care le atribuim ultimelor nu sunt n im ic decât rezu ltate le interacţ iun i i , d i ntre care un termen, anume, constitu irea

2 1 1

activităţi lor noastre mentale, îl luăm admis ( . . . ). De asemenea, formele în care acel material al senzaţi i lor este ordonat - formele spaţiale nu mai mult ·şi nu altfel decât intelectuale - pot numai să fie un sistem de semne pentru relaţi i şi situaţi i ale lucrurilor". Următoarele distincţii sunt uti le pentru a contura spec ificu l acestui «brand» de empir ism num it de Erdmann „apriorism". Astfel, teoria cunoaşteri i afirmă că empirismul consideră că reprezentările noastre dep ind în întregime de l ucruri, iar că raţionalismul susţine că reprezentări le noastre sunt independende de lucruri . După R. Torretti [ 1 ] se mai pot distinge două varietăţi ale empirismului : empirismul senzualist, conform căruia reprezentări le se află într-un acord depl in cu lucrurile; şi empirism formalist care pretinde numai un acord parţial al reprezentări lor cu lucruri le şi anume cu aspectul relaţi i lor cal itative. În ceea ce priveşte raţionalismul, acest curent afirma că deşi reprezentări le noastre nu sunt cauzate de lucrurile externe, sunt în acord cu acestea în virtutea a ceea ce s-a num it armonie prestabilită; ca o varietate a acestei concepţii gnoseologice distingem raţionalismul formal, conform căruia acordul amintit este numai parţial şi vizează aspectul fundamental că formele gând irii sunt identice cu formele existenţei.

P lecînd de la specificul cunoaşteri i geometrice - acela ce v izează proprietăţi le metr ice ale reprezentări i noastre de spaţiu - Erdmann [ 1 , p . 1 1 6] scrie : „rezu ltate le matematice ne forţează să conc ludem că reporezentarea noastră de spaţiu trebuie să fie neambiguu cond iţionată de efectele lucruri lor actual experimentate asupra conşti inţe i noastre" (a pud R. Torretti [ 1 ] ) . Ar urma să conchidem, remarcă R. Torretti , că o fi losofie raţionalistă (al cărei specific epistemologic l-am prezentat sumar în rânduri le precedente) să fie incompat ib i lă cu rezultate le investigaţiei şti inţifice în câmpul geometrie i . Argumente le acestei poziţi i fi losofice cu priv ire la cunoaşterea geometrică, extrase de R. Rorrett i [ I ] ş i comentate cu referire expresă la fi losofia kantiană a geometrie i , care, se pare, i-a fost sursa, sunt următoarte le în sistematizarea oferită de autoru l c itat: i) posibi l itatea varietăţi lor (manifolds) „n"-dimensionale (n> 3 ) arată că influenţa experienţei, i .e. a lucruri lor care ne afectează din exterior, determină în mod actual reprezentarea noastră particulară de spaţiu. Acest

2 1 2

punct de vedere exprimat în Erdmann [ 1 , p. 1 46] i se pare nesemnificativ din punctul de vedere al fi losofiei kantiene a geometriei , deoarece aserţiunea fundamentală a acesteia - natura a priori a intuiţiei noastre de spaţi u este compatibi lă cu existenţa logică a altor spaţii având o structură d iferită; i i) Erdmann [ l , 59, 9 1 , 1 46] opinează că fundamentele geometriei impl ică concepte empirice, ca de exemplu, corp rigid, mişcare, un punct de vedere susţinut, cum am văzut dej a, şi de Helmho ltz, dar se ştie că nu există corpuri perfect rigide, pr in urmare un asemenea concept nu este extras din experienţă; i i i) reprezentarea de spaţiu a fost generată independent de experienţă, prin forţa spontană a spiritu lu i ; dacă este numai forma intuitivă universală de receptivitate a lucruri lor externe, în sens kantian, atunc i nu este posibi l să formăm reprezentăr i intu itive ale altor varietăţi tr idimensionale cu proprietăţi metrice diferite . Erdmann [ 1 ] afirmă că Helmholtz a tratat acest l ucru. Deoare;ce suntem incapab i l i să imaginăm un spaţ iu cu mai mu lt de tre i dimensiuni, prin inversarea argumentu lu i , spune Torretti, se poate concl ude că trid imensional itatea nu este o caracteristică empirică a spaţiu lu i . În conc luzie, geometria ar respinge raţional ismu l, psihofiziologia percepţiei respinge senzual ismul , oamen i i de şti inţă împărtăşescformalismul empirist, după care percepţii le senzuale reţ in structura re laţional ă a l ucruri lor, mai a les când este concepută cantitat iv şi care, de fapt, exprimă structura lucruri lor. În ceea ce- l p r i v eş te pe Erdmann , e l e s te nevo it , dato r i tă resp i nge r i i senzual ismu lui , să adopte un apriorism empirist în filosofia geometr ie i .

Fi losofia geometriei, e laborată de Erdmann, a fost însă conv ingător exp l ic itată de uni i autori, între care R. Torretti [ 1 ] . Acest autor d iscută câteva aserţiuni tari ale nucleulu i acestei fi losofii a geometriei. Astfe l, o primă aserţiune peric l itează întregu l sistem al empirismu lui geometr ic, căci , spune Erdmann [ 1 , p . 1 5 8] (a pud R. Torretti), „noi nu putem recunoaşte ace le iregularităţi (faptul că suprafeţele şi corpuri le actual percepute arată iregularităţi care sunt ignorate de geometria elementară), până ce nu avem un concept de regulă de la care ele d iverg"; am putea spune că este aici stabi l ită o seif- inconsistenţă internă a empir i smului geometric . O altă aserţi une, a se vedea Erdmann [ 1 , p. 1591 (aptul

213

R. Torrett i), este aceasta: „ ideal itatea concepte lor de construcţ ie nu excl ude originea lor empirică", argumentul aceste i teze fi ind faptu l că invocă, nu specificitatea surse i , ci omogenitatea e lemente lor spaţiale de care ar dep inde. Dar n ic i prin această aserţiune nu se obţine o fortificare a poziţ iei empir iste în fi losofia geometriei , ci mai curând o subm inare a e i . Geometria nu poate fi tratată ca o d iscipl ină şt i inţ ifică emp ir ică, aidoma celor care investighează calitatea, ci operează cu defin iţ i i , postu late, axiome, apelează la metode deductive, ceea ce conferă rezu ltate lor ei - teoremele - o generalitate ş i necesitate ca ce le pretinse de princ ip i i le care o fondează. Demersu l geometr ic nu constă într-o s implă anal iză a intens iun i i conceptelor ei , ci este o autentică şti inţă s intetică, axiomele apl icându-se la noi concepte ale construcţiei geometrice. Erdrnann este în favoarea raţional ismu lu i prin afirmaţia că geometr ia se dezvoltă independent de orice experienţă particulară, deoarece „ea presupune că reprezentarea spaţiu lu i , ale căru i re laţi i de construcţie sunt studiate de ea, este la fel de val idă pentru orice experienţă" (Erdmann [ 1 , p. 176]), un pasaj în stil şi conţinut prin excelenţă kantian. Ceea ce este surprinzător este că pe aceeaşi pagină Erdmann scrie în st i l riemannian, remarcă Torretti [ 1 ]; într-adevăr, textul lu i Erdmann [ 1 , p. 1 70] este re levant pentru interpretarea dată de Torretti căci susţine asemenea ide i : „O investigaţie exactă a cazuri lor l im ită a le re laţ i i lor metrice poate re leva o divergenţă de la constantă sau de la valoarea nulă a curbur i i . . . . această reprezentare corectată de spaţiu va deveni subiect specific al cercetări i geometrice, până când noi suntem eventual i conduşi prin progresul următor, în cazu l acestu i nou rezu ltat dev i ne nesat i sfăcător să facem o rev izu i re a proprietăţi lor de congruenţă şi suprafaţă plată".

Pentru B. Russel!, problema centrală a fi losofiei geometriei constă în a determ i na statutu l aceste i d i sc i p l i ne şt i i n ţ i fice , ad ică dacă cunoaşterea geometrică este necesară, apodictică sau a priori. O atenţie specială el acordă conceptulu i de a priori, pe care îl consideră în sens kantian - cunoaştere a cond iţi i lor cerute de or ice experienţă, sau un gen de experienţă - şi resp inge accepţia psihologică a tenneI].ului ca i relevantă

2 1 4

pentru o cunoaştere ce se vrea necesară; de aceea el va lua termenul de cunoaştere a priori într-un sens kantian ver itabi l , ad ică într-un sens logic, ob iectiv transcendental . Intenţia pr inc i pa lă a preocupăr i lor sale de filosofia geometriei a fost să arate că geometria proiectivă şi geometria metrică generală a spaţi i lor „n"-dimens ionale maximal simetrice au o natură a priori . În concepţia lu i Russe l l , spaţiul fizic are tre i dimens iuni, iar curbura lui , aproximativ egală cu zero, este un fapt contingent.

Aşadar, programul russellian în domeniul fi losofiei geometr iei a v izat stabi l irea naturii a priori a geometriei şi , în acest scop gând itorul britanic şi-a propus: a) identificarea axiomelor d in care prin intermediu l deducţiei log ice să poată fi derivată or ice propoziţie a geometr ie i ; b) e laborarea unei deducţi i transcendentale a axiomelor, care, în fapt, în concepţia sa sunt aserţiuni despre (sau ale) G,ondiţi(i lor) generale ale pos ib i l ităţii experienţei , sau ale unui gen anumit de experienţă.

El enunţă două l iste de câte tre i axiome pentru geometria proiectivă (PG), respectiv pentru geometria metrică generală (GMG). Asumă un „principiu al diferenţierii", conform căruia orice este experimentat este distins ca divers, principiu cerut de particularitatea remarcabilă a oricărui gen de experienţă care angajează o conştientizare a „diversităţii în unitate". R. Torretti [ 1 ] , invocând Russel l [ 4, p. 1 3 6] , care spune că „acest e l ement, l u at izo lat, ş i abstras d i n conţ inuturi pe care l e d iferenţiază, no i î l putem numi o formă de external itate", remarcă în context specificul celor două l i ste de ax iome enunţate pentru PG, respectiv GMG, subl ini ind că prima l i stă enunţă p roprietăţi comune oricrei forme de extemal itate conceptibilă, pe când a doua, mai restrictivă, are de-a face numai cu condiţi i cerute de determinarea cantitativă a formei de extemalitate. De aici particu laritatea axiomelor pentru GMG, de a nu fi în mod necesar adevărate , de spre or ice experienţă, căc i au în componenţa lor numai determ inarea cantitativă a experienţe i acred itată de măsurare, ş i , în consecinţă, ele sunt mai curând demne de crezare ca o fundare a şt i inţe i naturale.

Comparare a i nterpretă r i i kant i ene , p r i v i nd „exp unerea transcendentală a noţiunii de spaţiu" , cu cea russel l iană privind deducţia

2 1 5

axiomelor geometriei îl avantajează, după R. Torretti [ l , p. 302-303 ] , în mod c lar pe gând itoru l eng lez . Î ntr-adevăr, Kant a pret ins că reprezentarea noastră intu itivă, obişnuită a spaţiu lu i este i ndependentă de experienţă, deoarece reprezintă însăşi sursa geometrie i euc l id iene, despre al căre i statut împărtăşea credinţa că oferă o cunoaştere în mod necesar adevărată. Kant [2] nu s-a interogat asupra statu lu i axiome lor eucl idiene în v i rtutea cred inţei că noi nu putem expl ica de ce spaţiu l cu care operăm în experienţa noastră are structura stab i l ită de Eucl id şi, în conseci nţă, el n-a procedat la o demonstraţ ie că orice ax iomă a „Elementelor" expr ima o condi ţ ie necesară a or icăre i exper ienţe conceptibi le sau a oricărei experienţe cantitative conceptib i le. Argumentul (demonstraţia) transcedental(ă) kantian(ă) priv ind natura a priori a geometriei se confruntă cu d ificultăţi în relaţia cu dezvoltări le d in studi i le fundaţionale de geometrie, dacă avem în vedere că sunt azi d isponibi le şi curente s isteme consistente ale geometriei d iferite de cel eucl id ian ş i ch iar de cele prezentate de Russe l l în PG ş i GMG.

Aşadar, necesitatea unui sistem axiomatic al geometriei cere un argument transcendental pentru axiomele alese. Trebuie remarcat că eşecul tentativei lu i Russel l de a oferi o demonstraţie pentru neces itatea axiomelor PG şi GMG, este astăzi apreciat ca o discreditare a apriorismului în domeniul fi losofiei geometriei, conclude în final R. Torretti [ l ] . Se acceptă că numai teoria mulţimi lor ar putea constitu i o presupoziţie a oricărei experienţe, dar opinia lu i Russel l [5] este că avem în acest caz de-a face cu o aprioritate în sens triv ia l , derivată din statutu l acestei d iscip l ine matematice ca ramură a logici i; teza poate fi susţinută numai dacă extindem logica dincolo de l imitele ei tradiţionale fixate.

Esenţa epi stemologiei lui Poincare o constituie convenţionalismul, p iesă centrală în simţu l comun sănătos. Î n fond, acest convenţionalism poate fi rezumat prin câteva aserţiun i de bază, care angajează d ificu ltăţi în d ispute şi polem ici pentru oponenţi i lu i , tocmai pentru că aceştia cu greu nu pot fi de acord, în publ icul prizat la simţu l comun, cu tezele sale principale: şti inţa are de-a face cu fapte crude şi re laţ i i le lor care există independent de voinţa oameni lor de şti inţă şi sunt cunoscute prin simţuri;

216

pentru a raţiona despre aceste fapte şi re laţi i dintre ele, în vederea stabi l ir i i caracteristici lor şi conexiuni lor lor comune, savanţi i recurg la convenţi i , trebuie să cadă de acord asupra unor convenţi i privind maniera de folosire :1 metodei de descriere; dar, multe dintre convenţi i sunt vechi şi din această cauză acordu l este uneori difici l. O prob lemă este însă următoarea: la nive lu l enunţuri lor şt i inţe i este destu l de d ific i l să trag i o l in ie de demarcaţie între e lementele (aspecte le) convenţionale şi cele factuale.

Elemente le convenţionale în cunoaşterea umană i-au atras atenţia încă lui Hobbes, în secolu l al XVII- iea; prob lema a fosr re luată în secolu l a l XIX- iea legat de definirea şi identificarea sistemelor inerţiale în mecanică.

Convenţionalismul filosofiei geometriei a lui Poincare a fost studiat de Rougier ( 1 920) şi de Max B lack ( 1 942) . Max B lack a observat, în i nterpretarea pe care e l a propus-o, că doctr ina convenţi ona l i stă a gânditoru lui francez v izează d istinct geometria pură (în ansamblu l de teorii axiomatice formale) şi geometr ia aplicată (s ituaţia când una dintre aceste teori i formale a prim it o interpretare fizică) . Convenţionalismul geometric susţinut de Poincare nu este cel în sensul tare al termenu lu i , Poincare susţine un convenţ ional ism în sensul s lab al cuvântulu i, căci tot ceea ce el afirmă este teza traductibilităţii teori i lor axiomatice formale în teori i deductive contrare lor ş i nu în orice teori i ; referitor la caracteru l convenţional al geometriei ap l icate, acesta decurge din convenţionalitatea geometr ie i ap l i cate. Dar l u i R. Torretti i se pare d iscutab i lă teza caracterulu i convenţional al geometriei pure şi reia în context punctul de vedere exprimat de Sk lar [ 1 , p. 45 ] , conform căru ia, deoarece propoziţi i le geometriei pure nu sunt nici adevărate nici false, e le nu pot fi convenţional adevărate sau false. Poincare, însă, a susţinut că geometria este convenţională deoarece ea nu este nici adevărată nici falsă, iar el na folosit expresia „adevărat prin convenţie" pe care ar fi considerat-o l ipsită de semnificaţie. Punctu l de vedere al lu i R. Torretti [ 1 ] este următorul : „o d iscipl ină şti inţifică este convenţională când enunţuri le sunt adoptate sau resp inse pe alte raţiuni decât adevăru l sau falsu l". În teor i i le axiomatice, deci şi în geometria pură, se iau asemenea decizi i?

2 1 7

S ituaţia nu este de loc aceasta, deoarece aceste teorii coexi stă având drepturi epistemice egale, iar o alegere, sau preferinţă, interv ine numai pentru o invest igare mai atentă a teoriei în cauză şi aceasta numai temporar. Numai dacă fiecare teorie axiomatică este traductibi lă în oricare din contrarele ei , atunci geometria ap l icată, matematica ap l icată, sunt convenţionale. Dacă o teorie T, ce descrie adecvat fenomenele unui domeniu, este traductib i lă numai în unele dintre contrare, dar nu în toate, atunci s ituaţia este ev ident d iferită şi nu mai putem susţine că geometria ap l icată, matematica ap l i cată, sunt convenţionale. (Geometria p lană euc l id i ană nu este traductib i lă în geometr ia p lană BL - BolyaiLobacewski - căc i pr ima introduce termeni noi adăugaţi axiomelor, defin i ţi i l or la teoria (aticelor).

Contraexemplele citate de R. Torretti [ 1] constitu ie o bază suficientă pentru respingerea versiun i i interpretative a convenţional ismului geometric propuse de M. Black [ I ] . În s inteză, reţinem că deşi d ist incţia d intre geometr ia pură şi geometria aplicată ci rcu la în epocă, în mod curios, Poincare n-a folosit-o. Dar, ceea ce este mai esenţial , abordarea lui B lack ext inde caracterul convenţional al geometr iei la scara întregi i matematici ap l icate, ceea ce ar angaja pos ib i l itatea ca orice teorie în fizica matematică să fie înlocuită cu negaţia ei , cu condiţiasa/va veritate, să reinterpretăm adecvat, convenabi l, uni i dintre termenii ei, consideraţ i i care nu sunt prezente în ansamblul doctrinei convenţional iste a savantu lu i francez, care s-a mulţumit să afirme numai că ingredientul geometric al teori i lor fizice, re levant pentru descrierea caracteristic i lor spaţiale a le fenomenelor, nu este impus de experienţă, ci poate fi a les l iber de omul de şt i i n ţă . Po i ncare face o d i s t inc ţ i e re levantă între ap l i carea convenţional ismu lui geometric pe care îl profesează: „spaţiul geometric", de care depind caracteristici le spaţiale (dintre, direcţie, continuitate, număr de dimensiuni, relaţia de conţinere, contiguu, separat, interior, exterior etc.) şi „spaţiul sensibil", ansamblul caracteristic i lor spaţiale ale fenomenelor, aşa cum acestea apar s imţuri lor noastre, ş i afirmă că teza convenţional istă se apl ică numai primulu i gen de spaţiu (geometric). Pentru fi inţe umane cu o altă educaţie intelectuală, geometrică,

2 1 8

decât cea euc l id iană, va fi valab i lă o altă geometr ie în care acestea vor local iza fenomene le lumi i externe - vor construi un spaţ iu neeucl id ian, sau, poate, un spaţ iu cu patru d imensiuni ş i , în consecinţă, vor conecta fenomenele într-un spaţiu neeuc l id ian, a susţinut în Poincare [ I ] .

Poincare a susţinut intersanjab i l itatea a două geometr i i d iferite metric, însă în acord d in punct de vedere topo logic, şi , mai mu lt, nu a negat posib i l itatea folosi r i i în fizică a geometr i i lor topo logic neuzuale, afirmând expl icit că proprietatea topo logică - număru l de d imensiun i -este stipu lată convenţional, dar sugerată de experienţă; Poincare [2, p . 93] afirma că experienţa ne arată că spaţ iu l cu tre i d imens iun i este mai comod. Iar în Po incare [3, p. 1 5 7] el spune şi mai exp l ic it că „ lumea externă, experienţa ne determ ină să alegem �n mode l potenţial cu tre i d imens iuni".

Deoarece după Poincare apriorismul ş i empirismul sunt false, convenţionalismul rămâne singura alternativă v iabi lă. E l contestă natura a priori a geometriei, afirmând că dacă orice s istem geometric ar fi adevărat a priori, atunci nu ar fi de conceput un s istem contrar, la fel de raţional, adică un sistem care neagă, în mod consistent, un principiu al sistemului anterior; ori, experienţa şti i nţifică a infirmat acest lucru, sistemele de geometrie neeucl idiene raportate la cel euc l idian fi ind o probă concludentă. Dar critica aprior ismului făcută de Poincare i se pare lu i Torretti insuficient (de) întemeiată, deoarece relevanţa ei s-ar proba numai dacă s-ar menţine în p lanu l geometri e i pure, unde cunoaşterea a priori a relaţi i lor de consecinţă logică dintre axiome şi teoreme, re lativ la un sistem geometric, nu este incompatib i lă cu cunoaşterea a priori a altor sisteme de geometrie pură. Demonstraţia lu i Poincare respinge numai teza conform căreia structura geometrică actuală a lum i i fizice, aşa cum aceasta a fost expusă în „Elementele" lui Euclid, este logic necesară. Ş i deoarece în „Critica raţiunii pure" neces itatea geometriei nu este logică, absolută, ci contingentă, depinzând de constituţia minţi i umane, se poate afirma că Poincare nu l-a înţeles pe Kant atunci când formulează critica apriorismului geometric în termeni i arătaţi . Într-un studiu din 1 89 1 asupra geometriei neeuclidiene, inc lus în Poincare [ 1 , p. 74], argumentul matematicianului

2 1 9

francez, este enunţat în propoziţ i i le : „Sunt axiomele geometrice j udecăţi sintetice a pri orice, cum a spus Kant? Ele se vor impune nouă cu o asemenea forţă că noi nu vom putea concepe propoziţia contrară sau să construim o teorie pe aceasta. There would not be non-euclidian geometry''. Iar într-un alt studiu ( 1 895), inclus de asemenea în „Ştiinţă şi ipoteză", argumentul lui Poincare va viza mai direct şi mai specific concepţia kantiană: „Dacă spaţiul geometric este un cadru impus asupra fiecăreia dintre reprezentările noastre considerate individuale, va fi impos ibil să reprezentăm o imagine demontată din acest cadru şi noi nu putem sch imba nimic în geometria noastră" (Poincare [ l , p . 88]) .

Adresa argumentări i lu i Poincare este oricum greşită, văd ind neînţe legerea doctrinei filosofice a lui Kant despre geometrie. Pentru filosoful german spaţiul nu este conceput ca un cadru impus asupra fiecărei percepţi i senzoriale a noastră luată individual, ci asupra tuturor percepţi ilor senzoriale considerate ca multip l ic itate.

Dar în Poincare [3, p. 1 5 7] avem expusă o concepţie care asumă asemănător unui kantianism modificat, consonant cu spiritul original al aceste i filosofi i . Dacă Imm. Kant [6, voi. XVII , p. 639] scria că intuiţ ia a priori a spaţiului poate fi descr isă ca o conşt i inţă (Bewusstsein) a unei apt itud in i a noastre de a percepe lucruri le conform anum itor relaţ i i , Po incare, în lucrarea citată, scrie expres următoarele: „Eu voi conclude că noi toţi avem în noi intuiţ ia continuului de un număr arb itrar de dimensiun i , deoarece noi avem facultatea construiri i unui continuu fizic şi matematic. Această facultate precede orice experienţă, deoarece fără ea aşa-numita experienţă va fi impos ibi lă şi se va reduce la senzaţii crude, incapab ile de a fi organ izate în nic i un mod; această intuiţie nu este n imic decât conşti inţa acestei facultăţi" .

Se observă, deci, o evoluţie a concepţilor epistemologice despre geometr ie ale savantului francez,_în sensul stab i l i r i i une i strategi i d in ce în ce mai adecvate . El a negat că posedăm o conştiinţă neempirică a

spaţiului ca un cadru universal în care este localizată orice percepţie senzorială, sau, în terminologie kantiană, că avem o intuiţie a priori a spaţiului ca o formă a spaţiului extern şi a încercat să arate că spaţiul şi

220

geometr ia se nasc dintr-o activ itate i ntelectuală a comparări i şi reflectări i asupra percepţi i lor senzoriale. Dar spre sfârş itul v ieţi i, notează R . Torretti 11] , Poincare a susţinut că există intuiţie geometrică identificată, de pi ldă, ca sursă a axiomelor de ordine ale lui D. Hi lbert. Însă o asemenea intuiţie nu este nimic altceva decât facultatea de a constru i un continuum n-d imensional şi decizia de a pune n = 3 ca ş i defin iţia metric i i trebuie să urmeze experienţa. Pe de altă parte, combaterea empirismului geomefric îl va conduce pe Poincare la o formă mai rafinată de empirism, parcă antici pând evo luţ ia acestuia, ce avea să- l facă dominanf în ep istemologia secolului a l XX- iea. Interpreţi i opere i epistemologice a lu i Poincare invocă cu precădere două aserţiuni relevante euristic dar ş i semnificative pentru epistemologia geometriei lu i . Prima: Geometria nu poate fi o şti inţă empir ică, deoarece ea nu po�te const itu i un subiect susceptib i l de revizuire în lumina creşterii experienţei ; a doua: Geometria este o şti inţă exactă, în t imp ce şti inţe le empir ice sunt totdeauna aproximative . Prima aserţiune sugerează că Poincare pare să fi avut în vedere geometria pură, dar, în fapt, el a d iscutat despre fundamenfele geometrice ale mecanicii. A doua aserţiune este revelatoare pentru un anum it gen de înţelegere a teor i i lor fizici i matematice, şi anume, Poincare a crezut că acestea, în ciuda exactităţi i lor matematice, pot fi comparate cu, coroborate şi respinse de fapte fumizate de observaţi i şi experiemnte. De la această condiţie face excepţie geometria aplicată sau fizică, deoarece trebuie să medieze între teor i i şi fapte, ad ică, mai precis , descripţia geometrică, geocronometrică oferă pos ib i l itatea am intite i comparări a teor i i lor cu faptele. Traducerea „cărţii naturii" se face cu aj utorul mai mu ltor s isteme de geometrie, exigenţa care este formulată este că respectivele conţinuturi predictive ale teor iei fizice să rămână nealterate . Aceasta ar fi interpretarea pe care o propune R. Torretti , care crede că deşi nu a găs it dovezi d i recte şi re levante pentru ea în opera lui Poincare, a considerat-o verosim i lă în v irtutea manierei, în care savantul francez a exp l icat noţiunea de „spaţiu geometric", care pentru acesta nu era decât spaţiul mecanicii. În l um ina interpretări i propusă de R. Torretti [I] devine inte l igibi lă credinţa că geometria fizică este exactă şi nu poate fi rev izuită în lum ina experienţe i . Respingerea empirismu lui

221

de către Poincare pare să rezide În raportul as imetric dintre structura geometrică a spaţiului şi informaţia empirică, manevrab i l i tatea unor sisteme de geometrie fi ind datorată, În primul rând structurii lor propri i , ş i numai În al doi lea rând, unor caracteristici a le materialu lui empiric asupra căru i a poartă . Î n Po i ncare ( 1 , p . 1 0 1 ] el scr ie textual : „Experimente le ne Învaţă numai re laţi i le corpuri lor; nici unul nu are re levanţă asupra corpuri lor cu spaţi u l sau asupra re laţi i lor mutuale, reciproce d intre d iferite le părţi ale spaţi ulu i". Legea re lativ ităţi i pe care el a formulat-o, verificată de experienţă conform geometriei eucl id iene, enunţă că starea corpur i lor ş i distanţelor lor reciproce depinde de cea de la momentul iniţial şi nu de re laţ i i le lor cu spaţiul absolut.

Legea relativităţi i cere În apl icaţie considerarea un iversu lui ca un Întreg. Dar, dacă sistemul nostru mater ial este universul ca Întreg, atunci experienţa nu ne poate spune ceva relevant despre poziţia lui abso lută şi orientarea lui În spaţiu. Instrumentele ne relevă numai starea părţi lor universu lui ş i a distanţelor reciproce dintre ele. În „Ştiinţă şi ipoteză" (p . 99) Poincare formulează următoru l enunţ al leg i i re l ativ ităţi i : „Lecturi le (interpretări le) pe care l e putem face asupra instrumentelor noastre la un moment dat, vor depinde de lecturi le pe care noi le-am putut face asupra aceloraşi instrumente la momentul iniţial".

Acest enunţ fi ind independent de interpretarea geometrică a lecturi lor, legea re lativ ităţ i i nu ne poate autoriza să decidem Între geometria eucl idiană şi cea neeucl id iană.

Experienţa nu ne poate Învăţa n imic despre relaţi i le materiale dintre diferitele părţi ale spaţiului , fapt adevărat şi despre spaţiu l absolut, aşa cum a fost conceput În mecanica clasică. Dacă fenomenele nu exprimă nimic decât relaţi i mutuale d intre corpuri, atunci este difici l să Înţelegi de ce descripţia lor geometrică ar trebui re levată de experienţă. Poincare, notează Torretti [ 1 ], se pare că a ajuns la o concepţie diferită despre spaţiu, pe care Însă, nu a reuşit să o c larifice. Dacă presupunem că Înţelegem geometria.fizică ca o structură matematică, a cărei mu lţime fundamentală este alcătuită din corpuri materiale („particule", fenomeneeven imente), atunci experienţa relevă relaţi i mutuale dintre d iferitele părţ i ale spaţiului , iar enunţul lui Poincare devine tr ivial fals .

222

CAP ITOL U L V

S ITUA TIA ACTUALĂ ÎN F I LOS OFIA '

MAT E MAT I C I I

5.1 . FILOSOFIA G EN ERALĂ Ş I FILOSOFIA MATEMATICII: REALISM , N OMINALIS M ,

CONCEPTUALISM

Orice d icţionar fi losofie respectab i l (a se vedea şi „Dicţionar filosofie" (EP. 1 978)) consemnează în dreptul acestor termeni următoarele (aspecte) lucruri : realismul, curent specific fi losofiei medievale (ca de altfel şi celelalte două - nominalismul şi chiar conceptualismul ! ) afirmă că „noţiun i le generale, abstracte constitu ie „realităţi " de sine stătotoare, cu caracter spiritual, anterioare lucruri lor individuale, independente de acestea, ca şi de activitatea inte lectu lu i uman. S intagma re levantă (arh icunoscută) pentru esenţa acestui curent fi losofie este : Universalia sunt realia", ad ică universalele au realitate, idee care expl ică şi numele de real ism . Real ismul reprezintă l inia de gând ire p laton iciană ş i are ca reprezentanţi de seamă pe Anse lm de Canterbury, Gu i l l aume de Champeux, Toma D' Aquino; nominalismul a fost susţinut de adepţii sco lastici ai lu i Aristotel ş i a reprezentat punctul de vedere fi losofie opus (în problema existenţei universal i i lor). Nom inal işt i i susţin că „numai lucruri le indiv iduale au existenţă reală, generalul nu există nici separat, nici în lucruri, iar noţiuni le generale (un iversale) (în latină univcrsalia)

223

nu sunt decât s imple cuvinte, nume ale lucruri lor" . Expres ia care rezumă esenţa nominal ismului este „universalia sunt nomina ", ceea ce ne expl ică ş i numele curentu lu i . Dintre cei mai de seamă reprezentanţi am intim pe Rosce l in din Compiegne. Duns Scot şi W. Occam .

În scolastica med ievală s-a constitu it şi o a tre ia concepţie-curent num ită conceptualism, poziţie filosofică inaugurată de Abelard şi ai cărei reprezentanţi au făcut tentativa de a (re)conc i l ia nom inal i smul ş i real ismu l . Conceptual ismul are în comun cu nom inal ismul negarea existenţei generalului în lucruri le indiv iduale, însă, în contrast cu acesta, adm ite că avem posib i l itatea de a forma noţiuni generale, num ite de adepţi i lui concepte ş i care ne oferă o cunoaştere autentică relevantă despre un număr ch iar infinit de indivizi . Uneori termenul conceptualism este în locuit cu cel de constructivism, dar nu în sensu l special al termenulu i de constructivism matematic, care a cunoscut mai mu lte variante în filosofia contemporană a matematici i : intuiţionismul (olandez) a lui Brouwer şi Heyting,finitismul lu i D. Hi lbert şi constructivismul lui A. A. Markov. Constructivismul, concepţie despre natura matematici i , pune accent pe rolul intuiţiei şi al construcţiei în matematică şi formulează restricţii în folosirea regul i lor clas ice de raţionament şi definiţie, restricţi i care v izează în special legea terţiului exclus şi definiţiile impredicative. Dar, revenind la conceptual ism, d ictonul său specific este „universalia post rem", care expl icit ne spune că un iversalul nu este în lucruri, ci după lucruri , adică în minte. Aşadar, universalele, după conceptual ism, sunt i nvenţ i i ale m i nţ i i umane . S - a spus că dacă con s i de răm conceptual ismul ca o „teorie psihologică", atunci programul său nu poate fi real izat, însă, colapsul conceptualismului psihologic", ca să folosim sintagma lui Stegmti l ler [ 1 ] , nu înseamnă colapsu l conceptual ismului în general . Se are în vedere comceptualismul constructiv, (care are în Hao Wang pe unul dintre cei mai importanţi reprezentanţi), ce numai poate fi tratat ca o poziţie ontologică intermediară, între realism (platonism, termeni i sunt aproape intersubstitu ib i l i) şi nominalism; cu o expresie p l ast ică stegm ti l l e r iană, acest conceptua l i sm este o „mlădiţă" a platonismului , care atunci când ne l im ităm laplatonismul extensional i

224

se adaugă anum ite exigenţe de construcţie, de exemplu, , ,condiţiile care definesc"; urmează să se conformeze unor anum ite principii de construcţie, încât structura conceptual i smu lu i constructiv îmbi nă asumpţi i platoniciene cu asumpţi i constructiviste .

Adaptând problema la contextu l matematic i i , vom observa că realismul, nominalismul, conceptualismul se revendică dreptprograme

direcţii de reconstrucţie a ontologiei matematicii, analoagele mari lor curente fi losofice (cu ace laşi nume) d in evu l mediu constitu ite în problema universal i lor. În reformulări adaptate la contextul problemei existenţei matematice şi în legătură cu redefinirea „statutului ontologic" al obiectelor matematice dar şi reconstituirea unor criterii adecvate ale existenţe i în matematică, realismul este o filosofie a matematicii care cons ideră că ob iecte le matematice au o .,exi stenţă în s ine complet autonomă, nelocalizabi lă spaţio-temporal ş i , evident, independentă de construcţi i le umane, conceptuale şi l ingvistice; conceptualismul afirmă că ent ităţ i le matematice au statutul unor construcţi i mentale, sunt creaţii ale activ ităţii umane conceptuale, prin urmare sunt abstracţi i care nu au real itate ca atare; nominalismul este o concepţie metafizică veche şi care niciodată nu a avut o audienţă populară, apreciată ca prea „îngustă " ontologic, încât s-a spus despre ea în această privinţă „că există mai mult în cer şi pe pământ decât este v i sat în ontologia nominal i stă" , apud R. M. Martin [ 1 ]; prin urmare, este acred itată ideea că ontologia nom inalistă nu este adecvată pentru matematica ş i şti inţa teoret ică. În real itate, se întâmplă ceva mai mult şi anume se consideră că nominal işt i i au eşuat în tentativa lor de a oferi o semantică adecvată pentru scopur i le ana l ize i fi losofice. B . van Frassen remarcă în termeni drastici că nom inal ismul contemporan, pentru aceste motive arătate şi alte le, este văzut ca un eşec tota l . În viziunea nom inal ismului existenţa matematică este redusă la l imbaj , la configuraţi i finite de semne real izabi le spaţiotemporal şi, în consecinţă, se neagă existenţa unor obiecte abstracte non-spaţia-temporale.

Cititorul care se fami l iarizează cu l iteratura problemei în discuţie poate fi derutat în p lanul terminologie i : pe de o parte, avem realism,

225

conceptualism, nominalism, pe de altă parte logicism, formalism, intuiţionism, i ar suficient de frecvent întâlnim şi termen i i platonism, constructivism. Se consideră că primul triplet aparţine filosofiei generale, în timp ce al doi lea este semnificativ pentru fi losofia matematric i i . Prima facie, aşa pare să fie ş i , mai mult, suntem tentaţi să- i urmăm pe ace i autori care consideră că logicismul , intuiţionismul şi formal ismul ar reprezenta variante le moderne (în filosofia matematici i ) corespunzătoare, în această ord ine, real ismului , conceptual ismului şi nominal ismulu i , concepţi i cu îndelugată trad iţ ie în fi losofia generală. Numai că la o scrutare atentă acestea d in urmă sunt d irecţ i i de gândire construite prioritar în legătură cu problema existenţei universaliil01� în timp ce logicismul, formal ismul, intuiţion ismul, în cal itatea lor de mariprograme

fundaţioniste, conţin două aspecte importante: i) asumă o bază fi losofică despre natura matematicii, în mod esenţial fiind centrate pe problema existenţei matematice ş i , în această privinţă, ne apar ca „specializări ", moduri spec ifice în câmpul filosofiei matematici i ale celor trei concepţi i : real ismul , nom inalismul şi conceptual ismul ; i i) a l doi lea aspect se referă la statutul de programe metateoretice ce îl au logicismul, formalismul şi intuiţionismul, prin care ele exced „substanţafilosofică „acoperită" de real ism, nominal ism, conceptual ism . (Pentru deta l i i vezi ş i M. Ţurlea [ 1 ]). Dar d ificultăţi în „al iniere" apar din s ituaţia că uneori „substanţa comp lexă" a unuia d intre mar i le programe fundaţioni ste nu poate fi expl icată (acoperită) prin apel l a varianta clas ică corespunzătoare d in fi losofia generală. De exemplu, formalismul se revendică d in nom inal ism, dar presupune şi concepţi i kantiene (a exista = a fi „on paper", i n tu i ţ i a fi i nd luată drept percep ţ i e în st i l kant ian ) şi asum pţ i i instrumental i ste, după cum dificultăţi emerg din anal iza log icismului (fragean) unde „obiectivul nereal" transcende v iziun i i platoni ste, iar o expl icaţie re levantă a intu iţionismului angajează în d iscuţie şi aspecte specifice kantian ismulu i şi constructiv ismulu i , ult imul revenit şi el în contemporaneitate, în urma „co lapsului" ce l-a marcat ca teorie psihologică a constructe lor; rev ine ca ceea ce se numeşte conceptualism constructiv, vezi cel profesat de Hao Wang. În fine, mai derutează faptu l

226

că în l iteratura de fi losofia şti inţei în general, a matematic i i în special , sunt tot mai mu l t prezente studi i ş i cărţ i consacrate real ismu lu i , platon ismului , nom inal ismului , conceptual ismului construct iv (vezi : N . Goodman [ I ] ) , Quine [2] [5] [6] [7] , Henkin [2] , Bernays P. [2], On Platonism, în Benacerraf P. and Putnam H. (eds) [2] , R. M. Martin [ l ] , H. Putnam [ I ] , S. Barker [ I ] , Hao Wang [ l ] etc . ), unde de această dată acestea nu mai sunt tratate nici măcar numai ca o„ reconstrucţie raţională actuală" a lor, ci ca perspective actuale, chiar recente, de abordare, să spunem, a l imbaju lui matemat ic (L. Henk in [2]) , a reconstrucţi e i matematici i ş i logici i ş i alte le (vezi aproape toţi autorii menţionaţi , la care adăugăm numele lui Stegmti l l er). Riscăm afirmaţi a că s-a produs chiar o „tranziţ ie" de la aspectul fundaţion istJfilosofic) la cel fundaţional (tehn i co-metateoret i c) şi ch i ar dacă în une le cazuri „am bi ţ i i l e" reconstrucţioniste s-au dovedit vane, este de remarcat că autori i luştri au lucrat în această d i recţ ie şi este sufic ient să rostim numele lu i B . Russe l l , Quine, Goodman, Henkin şi alţi i . În ceea ce priveşte termeni i platonism ş i constructiv ism, cum se ştie, sunt de sorginte filosofică, primul , evident, desemnând concepţia fi losofului grec Platon; cel de-al doi lea, deşi are rădăcini în fi losofie, însemnând o concepţie care susţine caracaterul activ şi creator al gândiri i abstracte în cunoaştere (vezi kantianismul , neokantian ismul şi hege l ian ismul) , şi-a găsit autentica legitim itate pe terenul matematici i , aşa cum deja am schiţat; despre acesta d in urmă observăm că circulă şi ca ,�ubstantiv ": constructivismul matematic dar, mai recent, în scopu l „revigorări i" conceptual ismului „epuizat", şi ca adjectiv, ca în sintagma lu i Hao Wang; conceptualism constructiv; constructivismul în varianta finit istă h i lbert iană ş i cea intuiţion istă sacrifică drastic părţi ale ontologiei matematic i i . Prestigiul d irecţiei constructive, cu audienţă în anum ite medi i , a fost susţinut ş i de adepţi i nom inal ismului ş i ai formal ismului , după cum s-a încercat să se formuleze consideraţii nominal iste porn ind de la real izări construct ive şi formal iste. Ar rămâne în discuţie numai relaţ ia d intre , , real ism şi platonism" . Cercetarea bibl iografiei acestei probleme „induce", cel puţin, impresia că extensiunea termenului real ism este mai vastă, e l fi ind folosit

227

la n ive lul întregii şt i inţe teoretice, în timp ce numai ,.realismul matematic" ar fi suficient să acopere ceea ce referă platonismul; cu alte cuvinte, platonismul (ontologic, extensional , intensional) ar părea să aibe uzanţă şi leg i t im itate în sfera matematic i i , mai corect în cea a fi losofi e i matematici i . Poate că lucruri le vor deveni mai clare pe parcursu l deru lări i cons ideraţi i lor noastre şi al acestor remarci pre l im inare care urmează imed iat. Tennenul „real ism" este folos it în fi losofia şti i nţei în mai multe accepţi i . După P. Maddy [ 1 ] am putea s istematiza tre i sensuri : i ) primu l, şi am zice ce l mai ori ginar (or iginal ! ) , este cel prezent în discuţi i le referitoare l a prob lema un iversale lor, unde are ca partener i -r ival i nom inal ismul ş i conceptual ismul ; i i) a l doi lea sens, priveşte angajarea în discuţ i i asupra exi stenţe i lum i i exterioare şi în care rolul real ismului contrastează cu ce l al fenomenal i smulu i , ş i mai general , cu ce l a l ideal ismului ; i i i ) ce l de-al tre i lea sens al termenu lu i este re levant în discuţ i i ş i confruntări ce privesc statutu l entităţ i lor teoretice având ca oponenţi operaţional ismul şi instrumental ismul . În cele ce urmează ne interesează pr imul şi al tre i lea sens al termenului, dar numai ind i rect, sau dacă vom înţe lege pr in rea l i sm , realism matematic, a căru i semnificaţie fiind după opinia noastră, acoperită, ech ivalată de platonism, ş i deci intersubstituib i l itatea acestor doi termeni fi ind perm isă noi vom întrebuinţa preponderent tennenul platonism (matematic) .

5.2. PROBLEMA U NIVERSALILOR; P LATONISM ŞI NOMINALISM , ABORDARE

LOGICO-LINGVISTICĂ ŞI EPISTEMOLOGICĂ

Prob lema universal i i lor are o lungă trad iţie străbătută de d ispute şi controverse ce au angajat cele mai d iverse şi contradictori i poziţi i fi losofice : p laton ism, nom ina l i sm, conceptual ism, ca şi variantele specifice a le acestora: logicism, formal ism, constructivism, acesta din urmă inclusiv în forma sa „tare", ca intuiţion ism . Această problemă se „despică" într-o „gamă" de suprobleme: există universal i i? un iversa l i i l e

228

exi stă numai În m intea noastră? sau , în real itate? şi dacă au o existenţă independentă, universal i i l e exi stă în şi prin lucruri part iculare, sau au o existenţă separată? W. Stegmti l ler [ 1 , p. 1 ] observă „că n ic i azi nu avem un răspuns satisfăcător dacă d inco lo de lucruri le lum i i reale trebuie să acceptăm obiecte de un fel În Întregime diferite, de exemplu forme ideale, pos ib i l ităşi nereal izate ş i valori". Adversari i ce i mai intransigenţi ai aceste i probleme sunt empirişt i i , care o cal ifică drept pseudo-problemă, cons iderând că nu există nici un temei pentru adm iterea, acceptarea acestor entităţi - universal i i - în general as imi late sortulu i de ent ităţi -ide i le platonic iene, declarate, prin invocarea „bric iu lu i lui Occam", ca superflue. Dar procedeul renunţării la acest gen de obiecte contrastează flagrant cu legitim itatea unor forme ideale, obiecte, structuri ca mu lţim i , c lase, re laţ i i , numere, funcţi i din câmpul matematici i . Dacă nom inal işti i cons ideră confuză fi losofie concepţia care presupune această referinţă la ob iecte metafizice, d i scipo l i i lu i P laton iau în serios problema ob iecte lor abstracte, susţ inând o conexiune d i rectă între prob lema universal i i lor şi cea a expresi i lor gel).erale. Aceste expres ii sunt În l imbajul ob i şnuit substant ive , verbe, adjective care interv in în formu larea enunţuri lor despre proprietăţi şi relaţii şi care Într-un l imbaj formal izat sunt desemnate prin simboluri ca de exemplu „P" sau „Q". Aceasta trim ite în mod firesc la întrebarea, în legătură cu aceste cuvinte anterior menţionate, pentru ce fel de obiecte stau, ce denumesc e le? Răspunsu l în legătură cu un asemenea predicat, ca, de exemplu, „verde" nu v izează în mod ev ident obiecte concrete, ci obiecte abstracte.

În t imp ce p latonismul operează cu o asemenea presupoziţ ie imp l i cită, care acred itează ideea că pred icatele sunt nume a ceva, nom inal ismul , respingând această teză, atribuie predicate lor generale numai un rol , ,sincategorematic ", construindu- le ca propoziţii deschise, ca de exemplu „x este verde" unde „x" este o v.ar iab i lă l iberă. Concepţia nom inalistă susţine că propoziţ i i le deschise nu au semn ificaţie de sine stătătoare, dar ach iziţionează semnificaţii , atunci când asupra lor se efectuează unele operaţi i ca: înlocuirea variab i lei cu numele unu i ob iect concret indiv idual (în exemplu l anterior punând „iarbă" În locul lui „x"

229

obţinem „ Iarba este verde") ; l egarea variab i le l or pr in ap l i carea cuantificatori lor: (x) (cuantificator universal - citiţi „pentru orice x") şi (E(x) (cuantificator existenţial care se citeşte „există un x"); apl icând aceste procedee obţinem propoziţi i un iversale, respectiv existenţiale: (x) (x este un om): orice lucru e un om" şi care este, ev ident, o propoziţie generală falsă; „(Ex) (x este un om): există un x şi x este om, sau simplu, există oameni şi care este o propoziţie adevărată. Nom inal işti i consideră propoziţ i i l e comp lete ca având semnificaţi e, în t imp ce conced că pred icatel e sunt numai fragmente de propoziţi i, ce au o semnificaţie numai în mod ind irect, derivat. „ Viciul" platonismului rezidă, conform poziţiei nom inal iste, în faptul că atribuie pred icate lor o semnificaţie proprie, indiferent de ipostaza lor ca fragmente propozi ţionale, cu alte cuv inte l e cons ideră ca nume a ceva, în speţă nume ale entităţi lor abstracte . Nom inal ismul refuză să identifice a avea semnifi caţie cu a fi nume a ceva, ad ică as imi larea semnificaţiei complete cu funcţia denumirii în contexte spaţio-temporale 4-dimensionale. Presupoziţia onto logică nom inal istă este mai restrictivă, în sensul că dacă variabi la legată (aflată, deci, în sfera de acţiune a unuia dintre cuantori - universal sau existenţial) este considerată aici aspectul l ingvistic relevant, atunci sunt admise numai variabi le care parcurg exclusiv obiecte concrete. De îndată ce variabi le le legate parcurg obiecte abstracte de genul clase, proprietăţi, relaţi i, numere, propoziţii etc. , depăşim frontiera nominal ismului şi ne aflăm, cum spune Stegmti l ler [ 1 , p. 3 ] , pe teritoriul p latonismului . Acest punct de vedere cu privire la relevanţa onto logică a variab i lelor legate ale unui sistem (formal) l-a enunţat expl icit W. V. Quine prin celebru l său slogan : „a.fi înseamnă a fi valoare a unei variabile legate ". Din punct de vedere ontologic variabi le le ca enti tăţi abstracte ( logice) au semnificaţie, iar nu forma lor l ingvistică. Identific�m o conexiune directă între ontologie şi adevăr, căci un obiect este presupus să exi ste, dacă este inc lus printre valori le variabi le lor şi aserţiuni le făcute devin adevărate.

Din punct de vedere logico- l ingvi stic, o comparaţie a sistemelor nom ina l i ste şi p l aton iste învederează, după Stegm ti l ler [ 1 , p. 5 ] , următoarele două aspecte: a) nominal ismul n u este u n sistem complet

230

diferit de platonism, ci doar mai sărac; platon ismul (mai exact sistemul acestuia) apare ca o „expansiune" a celui nom inalist, deoarece adm ite ş i variab i l e pentru obiectele abstracte; b) nu există situaţia intermediară, alternativa platonism-nom inal ism, formând o disjuncţie, un sistem (formal) putând fi platoni st sau nom inal ist. Caracterizarea, oarecum vagă, a conceptului de individual concret, relevant pentru nom inal ism, introduce un gen de indeterm inare referitor la nominal ism, rămânând cert faptul că numai individual i i qmcreţi sunt admişi ca valori ale variabi le lor.

Log ic ş i l i ngv istic structura unui s i stem formal în v iz iunea platonistă d iferă de cea a unui s istem formal nom inal ist numai prin adm iterea variab i le lor, cu cuant ificatori i asoc iaţi , care parcurg un domen iu de ob i ecte abstracte ; aceasta ar fi d iferenţa spec i fi că, „expansiunea" atribuită unui sistem formal platonist relativ la unul nominalist, deoarece în rest urmează „partea comună" formată d in următoarel e grupe de ingred ienţi : I ) variabi le le individuale : „x" ş i „y"; 2 ) expres i ipred icat generale: „P". „Q"„ . monare sau pol iadice ş i care fac posibi lă construcţia enunţuri lor despre proprietăţi şi relaţi i ; remarcă: I) şi 2) s ingularizează nom inal ismul prin invocarea exigenţe i ca domen i i l e variabi lelor, respectiv cele indiv iduale ş i pentru predicate să fie l imitate excl usiv la ind ividual i concreţi, proprietăţi şi relaţ i i concrete; 3) toate tipuri le de constante logice cunoscute („nu", „şi", „sau", „dacă „. atunci" etc.) care perm it formularea de compuş i propoziţional i verificaţional i ; 4) cuantificatori i (x) şi (Ex) cu ajutorul cărora construim enunţuri generale şi existenţiale despre indiv idual i i domeniu lu i (în l imbaju l nominal ist) despre entităţi le domeniului de di scurs, care pot fi obiecte abstracte, precum clase, numere, proprietăţi, funcţi i etc., în l imbajul p latonismulu i .

În d iscuţia despre natura ş i structura s i steme lor p laton iste ş i nom inal i ste, după Stegmti l ler [ 1 , p. 5] , sunt fundamentale următoarel e aspecte: în primul rând, dist incţia „concret-abstract care nu poate fi redusă la ceva mai primitiv, şi care poate fi înţe leasă prin apel la exemple; concrete sunt moleculele, celule le, ste le le etc. ; abstracte sunt clasele, mulţim i le, numerele, relaţi i le, funcţi i le, propoziţi i le etc . Nu este aşa importantă, cum s-ar credea, indeterminarea conceptului de individual

23 1

concret, căci se poate opera sufic ient de precis cu e l , dacă admitem că aproape toate d isc ip l inele şt i inţifice, am adăuga noi cele cu relevanţă factuală, empirică, pot fi expuse în manieră nom inal istă. Astfel, acest domeniu de ind iv idual i constă pentru fizic ianu l teoret ic ian în punctele spaţio-temporale ale un iversului , i ar pentru b io log este reprezentat de total itatea organismelor v i i . S ingurul lucru semnificat iv şi cu adevărat important rămâne, apreciază Stegmti l ler, faptul dacă se poate transcende acestu i domen iu de ind iv idua l i , ad ică dacă sunt adm i se c lase de individual i , şi, în conseci nţă, în plan logic-formal se uti l izează atunci un stil bisortat " de variab i le : pentru individuali şi respect iv pentru clase. Dar se poate întâmpla ca d iscursul şti inţific să fie cantonat sever şi exclusiv în regimul unui s ingur fel de variab i le, ce le pentru ind ivizi . Aşadar, subzistă o controversă serioasă, şti inţifică (teoretică) şi valabi lă, aceea în jurul prob lemei dacă dincolo de obiecte concrete există şi obiecte abstracte. Poziţia care cons ideră justificată legitim itatea acestui tip de obiecte, este vorba de cele abstracte, a fost numită platonism şi poate nu în sensul că susţinători i ei pretind o fidelitate exhaustivă faţă de doctrina fi losofică a gând itoru lu i grec, c i doar în sensul că ei valor ifică o contribuţie fundamentală a acestuia la cunoaşterea şi gândirea universală: descoperirea obiectelor abstracte. Corespunzător unei ierarh i i onto logice a obiectelor abstracte (clase, proprietăţi , relaţi i , funcţ i i , propoziţi i etc . ) identi ficăm o multitud ine de forme ale platonismulu i asociate acestu ia: p laton ism al c laselor, platonism al proprietăţi lor, p laton ism al relaţi i lor, platonism al funcţ i i lor şi propoziţi i lor, platonism al numerelor, platonism al mulţ imi lor, s istemele respective conţinând variabi le pentru clase şi relaţ i i , sau variab i le pentru numere ş i funcţi i acest lucru depinzând de bogăţia specifică a si stemului în cauză. Deoarece se ştie că numerele şi re laţi i le sunt reductib i le la clase, prin intermed iu l defin iţ iei , rezu ltă că variabi le le care stau pentru numere ş i relaţi i dev in superfluu şi deci pot fi suprimate în sistemul formal constru it dintr-o asemenea perspectivă.

Au însă re levanţă în contextul d iscuţiei prezente două concepte (ca şi d ist incţia di ntre e le) : extens iunea (pred icatu lu i , pred icate lor generale) care desemnează c lasa obiecte lor care sat i sfac pred icatu l

232

respectiv; intensiunea predicatului (adică proprietatea exprimată de acel pred icat) . În consecinţă, logicien i i şi epistemologii d isting două variante importante de platonism : platonism extensional şi platonism intensional, � i stabi lesc următoru l rezultat semn ificativ ontologic, care ni se pare că l-a formulat prima dată Russe l l : numărul de obiecte ideale admise de platonismul extensional este mai m ic decât număru l ob iecte lor ideale acceptate de platonismul intens ional, întrucât totdeauna se pot specifica proprietăţi d iferite pentru orice clasă ce o detenn ină, nu însă şi v iceversa. Acest rezu ltat poate fi convingător i lustrat dacă cons iderăm un s istem , l imbaju l pentru propoziţ i i , caz în care am intita diferenţă d intre cel e două variante-tipuri de p laton ism este chiar mai frapantă, deoarece număru l extensiuni lor va fi constru it de cele două valori de adevăr, adevărul ş i falsul , î n t imp c e numărul intensiun i lor este chiar infin it, exi stând, întradevăr, infinit de multe propoziţi i ce pot fi luate ca valori ale variabi lelor propoziţionale.

P laton ismul extensional are o re levanţă remarcab i lă în fi losofia matematici i , având conceptul de c lasă drept pivot central întrucât, aşa cum s-a arătat în logica matematică modernă, extensiuni le relaţi i lor, numerelor şi expres i i lor funcţionale pot fi reduse fără d i ficu ltate la conceptul de clasă. Deoarece nu s-a putut trasa o distincţie fermă între conceptele de clasă şi întreg concret (complex, agregat, grămadă), u ltimul fi ind specific ş i rel evant pentru nominal ism, s-a considerat că primu l concept (cel de c lasă) nu conduce inevi tab i l l a platonism . Dar, în t imp ce doi întregi sunt identici , două c lase sunt d i ferite referitor la numărul elementelor lor şi prin urmare conceptele de c lasă şi întreg concret trebu ie di stinse. Cu ajutorul conceptelor mai tehnice: termeni general i concreţi (al bastru, tată, uman etc.) termeni singul ari concreţi (umanitate etc .) putem aduce noi c larificări priv ind re laţia platonism-nominal ism, căci aceşti termen i pot fi constru i ţ i ca nume a le extens iun i lor sau a le i ntens iun i l or. Într-un s i stem nomina l i st termen i i genera l i concreţi construiţ i ca propoziţi i desch ise, expres i i ce slujesc, în acest context, unor scopuri de abrev iere, iar propoziţi i le care vorbesc despre l ibertatea persoanei, curaju l omului (termeni s ingulari concreţi) au semn ificaţ ie

233

numai traduse în expres ii adm isibi le din punct de vedere norn inalistic. S impla prezenţă a acestor expres i i nu conduce la platonism. Astfel, un enunţ ca acesta: „Tinerii sunt atraşi de frumos", poate fi interpretat platon istic sau nominal istic în funcţie de criteri ul relevanţei variabi le lor legate, dacă acestea stau pentru obiecte abstracte sau, dimpotrivă, pentru obiecte concrete, în particu lar dacă frumosul , frumuseţea, este acel ceva către care sunt atraşi tinerii sau această expresie poate fi reformulată în man iera nom inal i stă.

Teza p latonismului despre existenţa obiecte lor abstracte face ca această concepţie să fie mai complexă sub raportul presupoziţi i lor şi l imbaju l la care apelează să fie mai bogat. „Traducerea platoni stă" a enunţuri lor nom inal iste este la în<;iemână, căci un enunţ ca „Pa" devine în l imbaju l platonismului „a E P"; dacă în primul caz „P" avea un ro l sincategorematic, în al do i lea caz, în formularea platonistă, el devine numele unei clase. Stegmti l ler [ l ] remarcă o anumită ,.µsimetrie " priv ind traducerea din contexte platoniste în contexte nominal iste. Platon ismul poate accepta un context nominal ist ca atare, sau poate converti expresia sincategorematică într-un termen singular concret. Nominalismul poate accepta un context platonist numai dacă acesta poate fi tradus într-un mod de vorbire nominal ist; dacă reuşeşte acest lucru, atunci p laton ismul este considerat un mod de a vorb i (,jm;on de parler ") care serveşte abrevieri i ; dacă nu poate face acest lucru, el va respinge ace l context ca fi ind l ipsit de semnificaţie . Incluziunea clase lor oferă exemple care i lustrează aceste remarci . Quine a introdus universa l i i prin identificarea indiscernabilelor, căci asigură introducerea obiecte lor abstracte ca valori ale variabi lelor.

Aşadar, anal iza decelează câteva probleme importante care îşi au relevanţa lor, prin „aplicare specifică" în fi losofia matematic i i . Există anumiţi factori l i ngvistici care ne rel evă t ipul de ent ităţi asumate? Răspunsul este afirmativ, dar în inferenţa de la limbaj la ontologie nu ne ajută n ic i numele , nici predicate l e . Cri teri u l re levant, sub l i n i ază W. Stegmti l ler [ l ] , care îl separă pe platonist de nominal ist constă în ceea ce el admite ca valori ale variabilelor legate ş i anume platonismul

234

va folosi variabi le pentru obiecte abstracte de genul clase, numere, funcţi i � i altele, iar, dimpotrivă, nominal ismul nu va accepta în sistem asemenea variabi le ; raportu l platonism-nominalism este descris de o disjuncţie completă, conch ide Stegmli l ler, şi, mai mult, sistemul platonist este totdeauna „mai bogat" în baza motivului anterior. Nominal istu l conchide, cum am mai spus deja, că orice poate fi spus într-un sistem platon ist poate fi spus şi într-un s istem nominal ist, şi deci platon ismul este „taxat" drept un ,jar;on de parler", contextele platon iste care nu satisfac această exigenţă nom inal istă sunt resp inse. Teza nom inal istă în cauză comportă di scuţi i , deoarece în pract ică numai un număr l im itat de contexte platoni ste au trecut „testul traductibilităţii nominaliste". O ultimă idee are un marcat caracter epistemologic şi contestă definitiv orice conexiune între antitezele „nominalism-platonism " şi ,.,,,cunoaştere particulară -cunoaştere generală ", „ţinta metafizică" autentic-semnificativă urmărită de platoni şti fi ind formulată în întrebarea: existe obiecte non-concrete, ad ică abstracte? Paragrafu l următor este consacrat reconstrucţ i i lor de t ip platon ist ş i nom inal ist a le matematicii , pri lej cu care tezele expuse în acest paragraf vor fi văzute concret „la lucru", unde inev itab i l unele idei vor deven i mai clare, dar alte le îşi vor păstra caracterul lor mai „obscur" .

5.3. RECONSTRUCTl lLE P LATONISTĂ .., '

ŞI NOMINALISTA ALE MATEMATICII

Se afirmă că se poate real iza o construcţie nominalistă a sintaxei s istemelor matematice formal izate, inclusiv a celor care au caracter p laton ist, ştiut fi ind că ceea ce în mod obişnuit num im „semne", „cuvinte", „propoziţi i", „formule" nu sunt obiecte concrete, ceea ce ar fi dezirabi l pentru nominal işti, c i ,forme" platoniciene. În viziunea nominal istă obiecte concrete sunt „ apariţii" (occurences) individuale ale cuv intelor, propoziţii lor (în sens l ingvistic) ca fenomene local izate spaţio-temporal . Platon ismul extens ional operează cu „clase" de astfel

235

de „ apariţii" (ale cuv inte lor, propoziţi i lor etc .) care se află în re laţia de simi laritate. În si ntaxa formală (adică în metateorie) atunci când figurează semne, expresi i , pentru platonist ele nu sunt obiecte concrete ci abstracte. Construcţia nominalistă a s intaxei angajează „traducerea" nominal istă a enunţuri lor despre semne şi expres ii „platoniciene" într-un limbaj în care figurează numai „inscripţii concrete". În esenţă, ne aflăm în faţa problemei interpretăr i i nom inal i ste a l imbaj ului matematic. Analiza nominalistă a limbajului matematic, comparativ cu trad iţia nom inal istă în fi losofia generală, este de dată mai recentă şi după un i i autori (de exemplu Henkin [2] ) , începe cu activitatea şcolii de logică poloneză legată de opera lui Lesniewski, T. Kotarbinski, Chwistek, Tarski . „Teoria reismulu i", (orice exi stă este o persoană sau un obiect), asociată numelui lui Kotarb inski , ca şi efortur i l e, preocupări l e l u i pentru stab i l irea consistenţei matematicii, printr-o interpretare în cadru l căreia toate aserţiun i le acestei şti inţe sunt demonstrate ca fi ind adevăruri fizice, sunt meritorii şi remarcabi le în acest context. Dar ecoul activ ităţi i acestei şcol i nu a trecut graniţele poloneze, excepţie fericită făcând doar scri sori le lui Russel l, ca ş i cele lui Tarski, după emigrare ( 1 938 ) în S .U.A. După 1 940 apare o serie de publ icaţii în aria tematică a nominalismului, ş i ne referim la lucrările lui Quine, Goodman, Martin, Woodger, Church, Wang, G. Bergmann, Lejewski, Scheffier şi L. Henkin. Aceste cercetări au fost conexe edificări i unui punct de vedere constructivist în fundamentele matematicii, iar în context cons ideraţi i nominal iste au fost formulate de pe poziţi i constructive şi formal iste .

L. Henkin [2] , porn ind de l a l ucrăr i le lui Quine şi Goodman, încearcă să exp l i ci teze „substanţa" spec i fică unei re in terpretări nominal iste a l imbajului matematic sub un dublu aspect: în primul rând, semnalăm intenţia de a da o descriere a cond iţi i lor sub care propoziţi i le matematice să fie afirmate/ără apel la entităţi abstracte de orice fel ; in al doilea rând, a evita orice asumpţie, ca cea a , ,finitudinii ", sau a „ infinitudinii" lucrurilor fizice, chestiunea nefi ind definitiv cunoscută nu ar trebui să constitu ie baza semnificaţiei l imbaju lu i . Şi Henkin scrutează atent prima dintre problemele lui Quine - Goodman [ 1 ] care a

236

fost aceea de a da o semnificaţie nom inal istic acceptabi lă propozi ţiei „A este un strămoş al lui B", soluţia propusă de aceşti autori constând într-un procedeu de „alterare" a formulării în termeni i teoriei mul ţim i lor a acestu i concept de „strămoş" ( ancestor), prin în locu irea relaţiei de „membru al unei mulţimi" cu relaţia „parte-întreg", care este specific re l evantă pentru ob i ecte l e fiz ice . Rezu l tatu l acestu i demers este construi rea unei propoziţi i , enunţ de forma „A este un strămoş al lui B" care semnifică: A şi B sunt persoane şi orice lucru care conţine A ca o parte (astfel că toţi copi i i oricărei persoane care este o parte a ei sunt de asemenea părţi ale ei) are B ca o parte. Anal iza este validă în funcţie de modul în care sunt concepute obiecte le fizice ca răspând ite spaţio-temporal , astfe l că cineva poate vorbi de obiectu l �are este „suma - în sensul teoriei despre parte-întreg - unui om şi stră-strănepot. Această formă a anal izei, arată Quine, Goodman, nu este adecvată să exp l ice conexiunea d intre o relaţie binară arb itrară - care are loc între obiecte fiz ice - ş i relaţia ancestrală care este de ace laşi t ip ; eficacitatea anal izei depinde de faptu l că nici un strămoş (ascendent) a l unei persoane nu poate avea o parte în comun cu persoana. Qu ine şi Goodman ş i- au decl inat competenţa privind soluţionarea problemei mai generale.

Interpretarea propusă de Henkin a constat în formularea unei liste de inscripţii, conform căreia propoziţia „A este un strămoş al lu i B" are următorul corespondent nom inal ist: prima inscripţie este nume pentru A, iar u lt ima reprezintă un nume al lu i B; mai concret, având x şi y ca inscripţi i succesive d in l ista formulată, atunci x denotă o persoană, iar y denotă unul d intre copi i i săi . Ordinea naşteri i se dovedeşte relevantă în interpretarea propusă, însă exigenţa poate fi slăbită şi să avem de-a face, în loc de o l i stă spaţio-temporală cu o l istă „posibilă " sau „potenţială", un concept de existenţa posibilă figurând şi în lucrări le lui Chwistek. Interpretarea propusă de Henkin se confruntă şi cu dificultatea generată de referinţă la conceptul semantic de denotare, al căru i uz, după cum este ştiut, generează paradoxuri . Remed iul propus de Henkin constă în limitarea felului de nume ce pot apare în l i sta de inscripţi i , astfel încât să se opereze numai cu o porţiune limitată a „re laţie i de denotare", ceea

237

ce va evita orice derivare a unui paradox. Henkin am inteşte că însuşi Quine a recunoscut, deşi nu sufic ient de exp l ic it, că poate fi aprobat uzul concepte l or semantice în vederea acordări i de semn ificaţ ie enunţuri lor matematice. Fie G o variabi lă-pred icat; Quine a cons iderat o interpretare a propoziţi i lor de ordinul doi de forma „pentru toţi G, A ", unde A este o inscri pţie - din care propozi ţi i pot fi formate înlocuind G cu o inscripţie-predicat cum urmează şi anume: pentru orice pred icat P, rezul tatu l în locu i r i i l u i G cu P în A este adevărat. E l a resp ins interpretarea, dar nu a oferit o critică a acestei interpretări bazată pe conceptul semantic de adevăr. Pentru Henkin este evident că nu se poate exprima această interpretare în forma: pentru toţi G, A dacă şi numai dacă„ . unde spaţiu l este umplut fără uzul termeni lor semantici .

Interpretarea în termenii „ listelor de inscripţii'' oferă o expl icaţie a relaţiei ancestrale pentru care cineva poate formula o listă de nume care „guvernează" de la orice indiv idual la ceva, la oricare dintre strămoşii (ascendenţi ); nu mai apare în nici un mod cerinţa că nici un individual nu are o parte comună cu un strămoş. Anal iza lui Quine-Goodman vizează şi propoziţia: „Există mai mulţi câini decât pis ici". Ei definesc un „bit" ca orice care are mărimea (s ize) celui mai mic d intre toate pisici le şi câinii şi apoi vorbesc despre un b it al lui x (x poate fi orice) ca o parte a lui x care este un „bit" . Interpretarea Quine - Goodman pentru propoziţ i i : există mai mulţi câini decât pisici - este acum reformulată: Orice lucru care conţine un bit al fiecărui câine ca o parte a lui, este mai mare decât ceva care are un bit al fiecărei pisici ca o parte a ei .

Principala obiecţie adusă interpretării propuse ar fi că violează interd icţia împotriva atr ibu i r i i de semn i ficaţ i i bazate pe asumpţia

finitudinii sau infinitudinii lucrurilor, ceea ce antrenează dificultăţi privind real izarea conceptului de „bit" . Şi, în spiritu l anal izelor întreprinse de Quine ş i Goodman, Leon Henkin arată că ch iar dacă l im ităm analiza propoziţi i lor la forma „există mai mulţi A decât B" la cazuri unde există finit de mulţi A şi B, aceşti autori nu fac o anal iză concretă, în general, dacă un i i A sunt părţi ale altora.

Interpretarea alternativă oferită de Henkin nu depinde n ic i de asumpţia fi nitud ini i nici de cea a separări i (disjointness) : nu exi stă l i sta

23 8

de inscripţi i care conţine exact un nume al fiecărui A şi fiecărui B şi în care fiecare nume al unui A este urmat de un nume al lu i B. Si ngura l im ită a ap l icab i l ităţi i acestei i nterpretări constă în pos ib i l itatea că în anum ite cazuri putem obţine o l istă completă a numelor.

Revenim la limitarea impusă de Quine şi Goodman; e i operează cu o lume cu fi nit de multe lucruri; însă inevitab i l vor fi mu lte lucruri care n-au nume (multe lucruri vor fi folosite ca s imbo luri care nu sunt nume şi mu lte lucruri d i ferite sunt adesea nume ale acelu iaşi lucru). Constru ind l ista de inscripţi i, i nscripţii asemenea au ca materiale anumite configuraţi i , iar pentru absenţa obiectelor nu suntem în stare să folosim sau să găsim o l istă despre ce putem concepe, ch iar dacă toate obiecte le l istate au nume. Henkin afirmă că o l istă o v izual izăm ca fi i nd compusă din obiecte care sunt aşezate pe un p lan; iar ÎI} cazul l istelor enorme ne confundăm cu dificultăţi . În continuare, el expune cerinţele formale pe care trebuie să le îndep l inească un sistem de inscripţii prin care depăşeşte dificultăţi le enunţate. În contextu l schiţat concluzia finală a stud iului lui Henkin este enunţată astfe l : , ,În ciuda dificultăţi lor evidente în furnizarea unei interpretări nominal iste pentru propoziţi i particulare ca cele discutate este dezirabi l să investigăm ce pos ib i l ităţi există pentru un nom inal ist să ofere o interpretare s istematică pentru toate propoziţi i l e unui l imbaj matematic bine definit de un fel adecvat pentru majoritatea d iscursuri lor matematice. Dacă, în fapt, exi stă un sistem infinit de multe inscripţi i , atunci aceasta este într-adevăr posi b ilă, în t imp ce dacă există numai finit de multe lucruri, atunci acest lucru este în mod cert impos ib i l , cum am schiţat în altă parte" (Henkin [2] ) .

Să încercăm une le expl icitări , dar ş i une le c larificări sup l imentare semnificative pentru puterea de expresie proprie limbajului nominalist în relaţie cu platon ismul . De p i ldă, urmând expunerea lu i Stegmil l ler [ l ] , ne vom referi la predicatele „strămoş al " (ancestor of) şi „părinte al " (parent of) care pot fi introduse într-un l imbaj nom inal ist ca expres i i re laţionale d iad ice ş i anume astfe l : „x este un strămoş a l l u i y" ş i „ x este un părinte al lui y". Scopul cercetări i este o reducere a unu i pred icat la altu l , în cazul nostru reducerea cel ui de-al do i lea la primu l . În concepţ ia

239

lu i Frege reducerea este pos ib i lă, în acest sens se introduce conceptu l de clasă închisă în raport cu o relaţie R, în v irtutea căreia un obiect care stă în relaţia R cu un e lement din clasa respectivă, aparţine el însuşi acelei c lase (exemplu clasa numerelor pare este închisă cu privire la relaţia ,jumătatea lui" (half of). Stegmil l l er ia ca exemplu : Beethowen aparţine la infinit de multe clase, care sunt închise cu priv ire la „relaţia-pări nte", cum ar fi clasa organismelor v i i , cea a organismelor născute înainte de 1 900 sau 1 870, 1 820; se pot forma clase mai restrânse, ca cele care exclud din c lasa creaturi lor v i i pe esch imoşi etc . Caracteristica logică comună lui Beethowen şi strămoşi lor săi faţă de restu l Universu lui , ş i care î l distinge, rezidă în faptul că e i constitu ie intersecţia a tuturor infinit de multe c lase care îl conţi n pe Beethowen şi sunt închise cu priv ire la relaţia-părinte. Obţinem rezultatul următor, ş i anume, acum putem defin i conceptul de strămoş (ascendent) în termenii conceptului de părinte (tata): „x este un strămoş al lui y" înseamnă „x aparţine oricărei clase care conţine y" şi este închisă cu privire la «relaţia părinte» . Conceptele noastre de părinte (tată) şi strămoş au putut fi încorporate în l imbajul unui si stem nominal ist, dar, numai via „platonistic detour", vădind clar l im itele puteri i de expres ie a nom inal ismulu i . S-a încercat depăş irea acestui defect al nom i na l i smu lu i , ad i că o fort i fi care a m ij l oace lor de expre s i e a nominal ismului , prin modalitatea extinderi i conceptului de lucru concret. Astfel, exigenţa ca şi componentel e unui lucru să fie conectate spaţiotemporal nu este obl igatorie, nimic nu ne împiedică să credem că lucruri le sunt formate d in „biţ i" distribuiţi întâmplător în universul spaţio-temporal ; de exemplu, spune Stegmil l l er, toate lucruril e roş i i care au existat cândva, existente în prezent, sau care vor exi sta în vi itor ar putea fi considerate componente ale unui s ingur cel mai mare lucru roşu în universul spaţio-temporal, iar cuvântul roşu ar putea fi întrebuinţat ca nume al acestui obiect concret. Dacă acceptăm această interpretare, atunci ne modificăm atitud inea faţă de enunţu l că nominalismul nu poate construi predicate ca nume. Până acum acceptam că pred icate le când sunt constru ite ca nume, e le sunt nume ale obiectelor abstracte, care, după nom inal ism, nu exi stă, însă prin extinderea conceptului de lucru,

240

putem acum să constru im expres i i-pred icat ca nume ale anum itor lucruri cu 4 d imensiun i ch iar în interiorul acestei concepţi i . S im i lar, se poate proceda şi în alte cazuri, atunci când operăm cu acest nou statut, de exemplu predicatul vacă nu mai desemnează o spec ie mamiferă, adică o esenţă (în termino log ie p latonoc iană) c i un obiect real, a le căru i componente sunt vac i le individuale exact ca în ipoteza celulelor în cadrul organ ismu lu i . Şi Stegmi.il ler comentează acest truc nominalist că esenţa lu i rezidă în în locu irea universalilor prin întregi concreţi adecvat aleşi , ad ică tehnic vorbind, în înlocu irea relaţiei platoniste de apartenenţă (sau membru al unei c l ase) cu re laţ ia parte- întreg, compat ib i l ă cu concepţia nomina li stă. „Detour-u l p laton ist ic" poate fi acum ocol it înlocuind expresia „este un element al" cu e*presia „este o parte a ".

Avem acum contextu l definir i i propoziţiei „x este un strămoş al lui y" expl icit cum urmează: (P): „x este un părinte al unui individual ş i un individual este un părinte al lu i y"; la aceasta adăugăm propoziţia: „orice indiv idual concret z care conţine y ca o parte ş i , de asemenea, care conţine toţi păr inţi i părţi lor lui z ca părţi are, de asemenea, x ca o parte"; aceste propoziţ i i l uate în conjuncţi e alcătu iesc definiensul propoziţiei „x este un strămoş al l u i y". În vederea reconcl ieri i cu uzul obişnuit introducem ş i adiţionalul : „x nu este identic cu y", aşa cum am procedat în cazu l defi n iţ ie i p latoniste; in iţ ial , variab i l a-clasă apărea legată, acum este destituită d in acest statut, deturu l p laton i st doved i ndu-se ev itab i l . P rocedura-Frege nu este ap l icab i lă în cazul de finiţiei relaţ iei ancestrale în termeni i relaţiei-părinte al, ea este apl icabi lă într-un mod mai general, remarcă Stegmi.il ler [ 1 , p. 36] , ca o defin iţ ie a or icărei aşa_ num ite re laţ i i d iad ice R, în part icu lar în construcţia matemat ic i i , unde oferă defin irea conceptu lu i de număr natural în termen i i concepte lor de zero ş i succesor imediat, ş i unde nu mai avem la d ispoziţie amintitu l truc nom inal ist.

Eşecul în cazul general îş i are rădăcina în defectul ascuns în ceea ce este numit conceptul extins nominalist de lucru, conv ingător i l ustrat pe un exemplu geometr ic dat de Quine: imaginăm un pătrat d iv izat de două l i n i i perpendiculare în patru pătrate m ic i şi în care trasăm şi două

24 1

diagonale, rezu ltatu l fi ind un univers de discurs constând d in toate domen i i l e convexe ale acestei figuri, în total 3 3 . Dacă interesul nostru este orientat asupra figurilor geometrice şi nu asupra formelor individuale concrete, atunci avem de-a face cu 5 figuri : triungh i dreptungh ic isoscel, pătrat, dreptungh i cu lungim i de latură 2 : I; doi trapezo izi , reducţia de faţă fi ind perm i să ş i as igurată de metoda identificări i indiscernabilelor, aceste cinci obiecte sunt universalii. Este productivă şi fructuoasă metodq nominalistă în acest caz? Cum am văzut am avut succes în apl icarea e i l a anumnite cazuri (vezi predicate le „roşu", „vacă") în intenţia nostră de a construi un iversal i i ca lucruri concrete. Astfel identificăm „pătrat" cu toate cele cinci pătrate ale domeniului nostru luate ca un obiect; şi procedăm la fel cu celelalte figuri din un iversul de discurs. Consecinţa dezagreabi lă a proceduri i, observă Stegmi.i l l er, este următoarea: „toate cele 5 figuri trebuie făcute egale cu un domen iu şi atunci nu mai putem să le dist ingem una de alta. Cusurul în cauză este apreciat ca mai „recalcitrant" ş i indezirab i l decât unu l ce emerge d in platonismul extensional, atunci când pe acesta îl comparăm cu platonismul intensional. În locul exemplului geometric, unnând pe Stegmi.il ler [ 1 , p. 3 7, 3 8], luăm două pred icate „P", „Q" având aceeaşi extensiune, unde P este pred icatu l „roşu", iar Q este predicatul „tare" şi facem ipoteza că lucruri l e roş i i sunt tari ş i , via interpretarea nominal istă a celor două proprietăţi roşu ca cel mai mare lucru ce constă în toţi ind idual i i roş i i , iar tare ca obiectu l spaţio-temporal constând în toate lucruri le tari, vom obţine o identificare; dar, şi conform platonismului extensional, în v irtutea ipotezei - clasa lucruri lor roşi i este identică cu c lasa lucruri lor tari , avem aceeaş i identificare. Să remarcăm că, în exemplul geometr ic dat de Quine, i nterpretarea nominalistă duce la o identifi care, fapt contra-d istinct de platonismul exentional care nu obţinea acest lucru . (Se întâmplă ca două domeni i concrete să coincidă, dar c lasa triunghiuri lor şi c lasa pătratelor, d i n care sunt fo rmate, nu sunt i den t i ce ) . Acest even iment a l nominal ismului s e expl ică astfel : unul ş i acelaşi întreg poate fi corelat cu clase neidentice, în timp ce întregul nu poate fi identificat cu agregate concrete care nu sunt identice unul cu altu l . (Cf. Stegmi.i l ler [ 1 , p. 3 8]) .

242

I ·. xemple: perete le (zidul) este alcătu it din cărăm izi, pe de o parte, şi din molecule, pe de altă parte, fapt responsabi l de eşecul definiţiei nominaliste a strămoşului (ancestor) pentru o re laţie arb itrară diad ică. Apl icând definiensul nominalist, anterior expus, al conceptului ancestral la cazul oricărei relaţi i R obţinem: „orice ind ividual concret z care conţine y ca o parte şi care, de asemenea, conţine ca părţi toţ i acei individual i care stau în relaţia R cu părţi le lui z, are, de asemenea, x ca o parte", procedură care este ineficientă în cazuri când anum iţi individual i , care satisfac condiţ i i l e predicatu lui R, deja au fost complet acoperiţi de cei la l ţ i indiv idual i .

Pr in fort i ficarea nomina l i smu lu i se urmăreşte interpretarea nominal istă a formulări lor platoniste, un procedeu fiind cel al conceptului extins de lucru, dar nu se obţine totuşi un succes deplin în rea l izarea programului nominal ist privind enunţuri şti inţifice şi extraşti inţifice. Atitud inea nom inal istă în faţa contextelor în care valori le variabi le lor legate sunt entităţi abstracte este fie cea de a capitula în faţa platonismului, fie de a Ie declara ca l ips ite de semnificaţie, lucru care se întâmplă când nom ina l işt i i abandonează cons ideraţ i i l e pragmat ice în favoarea respectări i unui „principiu". Fisura nominal ismului rezidă în ceea ce priveşte distincţia în (de) conţinut, în virtutea căreia putem distinge lucrur i le, unul de altu l . Întrucât două obiecte d iferite nu posedă acelaşi conţinut, este impos ib i l să distingem o c lasă de ob iecte concrete - clasa satelor unei ţări de obiectul în cauză, aici ţara, şi nci de orice altă c lasă care acoperă acelaşi întreg, de exemplu clasa tuturor hectarelor de pământ al unei ţări . Nu trebuie, cum s-a văzut, confundate conceptele de clasă şi întreg, desigur, d iscuţia având sens dacă este acceptat conceptul de clasă, lucru respins de nominal işti pe considerentul că nu se poate stabi l i o distincţie între o clasă şi un agregat. Maniera nom inal istă ar fi un fel de argumentare a priori a incorectitudin i i platon ismului .

Între obiecţi i l e la adresa nominal ismului se menţ ionează situaţia, frecventă, că în şti inţă şi în v iaţa de toate zi le le suntem nevoiţi să apelăm 1aformulări platoniste, care „rezistă" traduceri i într-un l imbaj conform reţetei nom inal iste; sacrificiul este prea mare, o serie de d i sc ipl ine fi ind

243

excluse, între acestea fi ind şi una foarte importantă - teorie mu lţim i lor. Ant iteza nominal ism-p latonism, în cazul demonstraţiei în matematică, ar putea fi văzută în termen i i următori, conchide Stegmtil ler: d iferenţa rezidă în faptul că în cazu l nominal ismulu i reducem presupoziţiile ontologice, iar în cazul platonismului slăbim metodele de demonstraţie.

Nelson Goodman [2] [3] afirmă că exigenţa pe care trebu ie s-o sat i s facă un s i s tem no m i na l i s t este conformarea l a pr i n c i p i u l nominal ismului , care presupune o relaţie generatoare ş i noţi unea de atom relativ la această relaţie, descrisă astfe l : „x este un atom dacă ş i numai dacă n imic nu stă în relaţia de generare cu x"; uneori re laţia de generare comportă o anume complexitate în cazul unor sisteme, astfel fie „Gxy" care afirmă că x este un atom a l s i stemu lui relativ la re laţia generatoare G şi x poartă G la y.

Aşadar, un si stem este nom inal ist numai dacă satisface principiul nominal ismulu i :

( 1 ) (y)(z)(x)(Axy = Axz) � (y = z) Semnificaţia principiului nom inal ismu lu i rezidă în faptu l că în

sistem nu există n ic i o distincţie între entităţi fără d istincţie de conţinut. După R. M . Mart i n [ I ] , deş i Goodman vorbeşte de p r i nc i p i u l nomina l ismului ca un criteriu după care sunt distinse sistemele, n u este suficient de clar ce înseamnă că un si stem „satisface" acest principiu . Principiul mai cere două noţiun i primare - adevăr şi demonstrabilitate, în context mai cere să nu avem de-a face cu propoziţi i indecidab i le, adică adevărate dar nu demonstrab i le, prin urmare însuşi principiul să fie demonstrabi l . Principiul apelează la relaţia generatoare ancestrală, care conform „Principiei Mathematica" este acceptab i lă pe baze nom i na l i s te . Conex i unea d i nt re p r i nc i p i u l nom ina l i s m u l u i ş i demonstrab i l itate angajează une le d i ficultăţi referitoare l a statutul s istemelor nom inal iste. Într-adevăr, dacă noţiunea de ancestral este i ntern i ntr insecă oricăru i s i stem nom ina l i st, trebu ie ca pri nc ip iu l nominalismului să fie demonstrabi l , atunci demonstraţia lu i apelază la resurse ce transcend cadru l nominal ist.

Formula ( I ) poate fi înlocu ită cu o schemă de genul următor:

244

(2) (y)(z)((x)(Atom x � (Gxy) = (Gxz)) � (y = z) G stă pentru sau relaţia G sau (G/G) sau ((G/G)/G) etc. Formulele

de această formă au semnificaţie în s i stem, indiferent dacă sistemul este sau nu acceptabi l nom inal istic.

Se cons ideră că sistemele violează principiul nominalismului dacă cel puţin una din negaţi i le formulelor de forma (2) este demonstrabi lă. După cum se observă discuţia despre demonstrabi l itate constitu ie un aspect esenţ ial în abordarea principiului nominalismului, mutând, p lasând anal iza criter i u l u i de d i scernere a s i steme lor nom inal i ste de ce le nenominal iste în cadrul intern al sistemului în cauză, făcându-L expl icit, dependent de axiomele lui . N. Goodman [3] oferă axiome pentru ceea ce astăzi este numit „calculul individualilor" sau mereo logie. R. M. Martin [ 1] remarca faptul că N . Goodman nu spune n imic despre axiome asumate în „guvernarea lui „E ". O formulă de forma negaţiei schemei (2) angajează ingred ienţ i în demonstraţie care depăşesc princ ip i i le referitoare l a „ancestralul propriu" EP0 a l lu i E .

Principiul nominalismului cere, cu priv ire la o relaţie care conduce la o relaţie generatoare, şi un principiu de compunere. „O cond iţie necesară, dar nu suficientă pentru relaţia de generare a s istemului este că dacă şi numai dacă x este un element non-atomar al s istemulu i va fi un e lement y care stă în acea relaţie cu x". Dec i :

( 3 ) (x) (- Atom x � (Ey\PPP0x) generează un s istem cu re laţia care generează şi un alt princip iu :

(4) (x)(- Atom X . - X = /\) � (Ey)(yE x) po

R. M. Martin comentează [ I ] : „(3) este valab i l pentru formularea Goodman a calcu lu lu i indiv idual i lor, unde atomii sunt entităţi care nu au părţ i , iar ( 4) este semnificat iv pentru teori i a le mulţim i lor în care atom i i sunt ind iv idual i sau e lemente şi desemnează c lasa v idă; PP şi E sunt re l aţ i i care pentru Goodman produc relaţ i i l e care generează PPP0 şi E � Goodman deşi vorbeşte de PP ş i E ca re lat i i generatoare pe pagina po po po '

1 3 2 (Goodman [2] ) dă o s ingură relaţie generatoare şi cinci elemente. G reprezintă o relaţie generatoare a unui s istem ca fi ind re laţia care se const ituie între două e lemente x şi y ale sistemulu i dacă ş i numa i dacă x

245

şi y sunt conectaţi printr-un şir de perechi astfel încât primul e lement al fiecărei perech i este sau o parte proprie sau un membru al ce lui de-al do i l ea e lement. Această s ingură re laţie care generează este notată (PP LJ E\0 ancestralul sumei logice a relaţiei parte proprie şi re laţiei de membru (apartenenţă); relaţi i generatoare, riguros vorbind, este numai (PP l_J E) şi (PP l_J E) ; dacă una sau cealaltă nu apare în sistem ca po

primitiv sau prin definiţie, este prezummată relaţia di adică nulă /\, caz în care sau (PP l_J /\) sau (/\ l_J E) devine re latie generatoare. po po • Concluzia anal izei lui R. M. Martin [ 1 ] este că, oricum, enunţuri le lui Goodman despre relaţi i l e generatoare nu sunt scutite de ambiguitate. Se mai poate face o altă alegere, de p i ldă (PP Ucr) să fie o sub-relaţie a lui (PP LJ E) . po

Pagini le 1 52, 1 56, 1 7 1 şi alte le d in Goodman [3] conţin formulări mai explicite ale crezului nominal ist. Astfel cităm: „nominal ismul admite ce poate fi făcut din individual i fundamentali selectaţi şi neagă că toate clasele pot fi făcute din ei" . . . „nominal ismu l pentru mine constă în mod spec ific în refuzul de a recunoaşte clasele (s .n . M. Ţurl ea), ad ică nominal ismul poate admite orice ca un individual (s.n. M. Ţurlea); . . . „Orice poate fi construit ca o clasă, poate într-adevăr să fie construit ca un ind ividual (ca în formularea de ordinul întâi a unei teori i a mulţimi lor) şi încă o clasă nu poate fi constru ită - nu toate din ele, ad ică, - ca un ind ividual . . . P e scurt, în timp c e nominal istu l poate construi orice c a un ind ividual el refuză a construi orice ca o clasă" . Tonul mai to lerant sub supoziţia restricţi i lor severe este prezent doar în Goodman [3, p. 1 7 l ]: „C ineva poate folosi semnul E şi să vorbească despre clase şi încă să aibe un sistem nominal ist dacă restricţii severe asupra claselor au fost observate", când se are în vedere, se poate presupune, ideea că există diferite moduri de formulare a unei teorii a claselor, care nu încalcă principiul nominal ist. R. M. Martin [ 1 ] se întreabă dacă o teorie interesantă matematic ar putea fi formulată, respectând canoanele impuse de principiul nominal ismului, o asemenea teorie putând fi aritmetica numerelor întregi, situată axiomatic în termenii postulatelor lui Peano, la care se adaugă ecuaţii adecvate pentru adunare (adiţie) şi înmul ţire (multipl icativ).

246

Cons iderăm (urmărind expunerea lui R. M . Martin [ 1 ] ), s istemul generat de (PP I:_}:), puter i l e l u i E irelevante, deoarece sistemul conţine numai clase de indiv idual i şi nu clase ş i perechi ordonate. „Atomi i" s istemulu i sunt întregi pozitiv i , iar PP semnifică „<" (re laţia „a fi mai m ic"). Se introduc următoare le definiţ i i ş i princ ip i i :

0 1 „Int x" pentru (Ey)(x < y v y < x)" 02 „x = Int y" prescurtează „(Int x. Int y · - x < y · - y < x)" Pr 1 I- (Ex) (lnt x. - (Ey)y < x. (z)(- (Ey)y < z � z = In1x)) 02 „x Suc y" abreviază „(y < x. (z)(y < z � - z < x))"

Pr2 I- (x)(lnt x � (Ey)y Suc x) Pr3 I- (x)(y)(z) ((x Suc y.z Suc y) � x = In1y) Pr4 I- - (Ey)(x) (- (Ez)z < x � x Suc y) Pr5 I- (w)((x) ))lnt x. - (Ey)y < x) � x � w) · (x)(y)(z)((x E w · y

Suc x) � y E w)) � (x) (lnt x � x E w)) 03 „C ls" pentru „((- Int x. - (Ey)(y E x) v (Ey) (y E z)"

Pr6 I- - (Ex)(Cls x. Int x) Pr7 I- (x)( cls x v Int x) Pr8 I- (x)(y)(x E y � (lnt x. cls y)). Pr9 I- (Ex)(y)(y E x) = - - y - -), unde „- - y - -" este orice

forma propoziţională a s istemului care nu conţine apariţ i i ale lu i E .

Pr1 0 I- (x)((Int x · - (- (Ey)(y E x · (z)(- (Ey)y < z � z = lnt(x)) �

� (Ey)y < x) Pr 1 1 I- (x) ((cls x - - (Ey)y E x) � (Ey)y E x). Pr 1 2 I- (x) (y) ((lnt x · Int y(z)(z < x = z < y)) � x = Int y

04 „xcls = y" abreviază „(cls x · cls y)(z)z E x = z E y))" Pr 1 stipulează existenţa ş i unicitatea întregului 1 Pr2 semnifică orice întreg are un succesor Pr3 succesorul este unic Pr4 I are proprietatea de a nu succede Pr5 formulează principiu l inducţie i matematice Aceste 5 princ ip i i constituie o adaptare a postu latelor lui Peano. Pr6 enunţă că nici o clasă nu este întreg

247

Pr7 afirmă că orice lucru este sau o c lasă (de întregi) sau un întreg. Aceste principi i enunţă că c lasele şi întregii sunt mutual i exclus ivi Pr8 enunţă că întregii poartă „ E " la clase şi numai c lasele sunt

generate de întregi . Pr9 stipulează existenţa clasei , principiul formulează restr icţia că

este admi să numai exi stenţa c laselor de întregi . Pr 1 0, Pr , 1 : orice întreg diferit de 1 are un întreg mai mic; orice

c lasă, alta decât c lasa vidă (nulă), are un membru. Pr1 2 formulează princ ipiul nom inal ismului pentru re laţia „<", iar

principiul pentru „ E " derivă din D4 • Luând s imboluri le „+", „x" ca factori primitivi pentru adunarea şi

înmulţirea întregi lor putem formula axiome corespunzătoare, rezu ltatul fiind elaborarea unui sistem puternic pentru aritmetică şi suficient pentru teoria numerelor raţionale şi chiar pentru o teorie constructivă a numerelor reale şi complexe. Şi, deşi infinit, în v irtutea lui P2, P3, P9 acest sistem se dovedeşte acceptabi l nom inal istic, Goodman [3 , p . i 66], nerespingându-1, ad ică „unele sisteme cu ontologi i infinite sunt nom inal iste", . condiţia este să satisfacă criteriul fundamental al nominal ismului .

Se pot constru i sisteme înrudite aritmetici i cu un singur atom, numărul l , care satisfac cerinţele Goodman, o altă posibi l itate constă în apelul la clase şi relaţii diad ice dintre individuali admise ca valori pentru variabi le, dar nu relaţii de ord in înalt. Ancestral i i relaţi i lor diadice d intre întregi sunt defin ibi l i în sistem şi dacă relaţii de ordin mai înalt sunt admise, atunci „+" şi „x" devin definibi le; sistemul va presupune o logică de ordinul do i cu variab i l e-re laţi i cuantificate care ad iţ ionează şi axioneme extralogice, o bază puternică ch iar ş i pentru o teorie a numerelor reale şi complexe. O direcţie interesantă v ine din considerarea infinitezimalelor admise ca atomi ai sistemului, o posibi l itate de dezvoltare a sistemelor în acord cu analiza non-standard; număru l atom i lor devine nenumărabi l , iar principii adecvate ale nominal ismului şi compuneri i devin demonstrabile; în fine există şi posibi l itatea oferită de o teorie de ord inul al trei lea;

(x) (y) I (z) (z(EIE) x = z (EI E)y) � x = y) v izând o l im itare severă a fundamentelor de teoria mulţim i lor.

248

Doctrina semantică a „numelor comune" şi cea a „naturilor comune", care sunt înrud ite, permit un nominal ism autentic, care cere o formulare a calculului individualilor şi o formulare adecvată a teoriei mulţim ilor ZermeloSkolem-Fraenkel; se adaugă la principi i le logico-matematice şi unele principi i empirice sau postulate de semnificaţie, acestea din urmă necesare „guvernării predicatelor non-logice". Desigur, este necesară o discuţie despre semantica teoriei (d iscutarea relaţi ilor semantice - designarea şi denotarea, formularea unor regul i de designare şi denotare · ca principii semantice). Comentariul semantic priveşte relaţia ,Jnst. " ca primitiv, dar care nu conduce la o relaţie care generează, ea facilitând discursul matematic despre individuali; fiind o sub-relaţie a relaţiei parte-întreg, deci nu prezintă interes onto logic, domeniul lui ,Jnst. " fiind inclus în domeniul lui P, prin urmare nu introduce individual i noi. Care este statutul acestui primitiv? Este o relaţie logică sau matematică? După opinia lui R. M. Martin relaţia ,Jnst. " (de la instance = exemplu, instanţiere) este una matematică, iar relaţia Inst. Eq, a echivalenţei instanţiale nu este una de identitate, ci o relaţie teoretică specială care conectează entităţi în anumite moduri înăuntrul teoriei instanţierii". Concepţia în cauză este una finitistă, în sensul următor: cardinal itatea entităţi lor întregii teorii este cardinal itatea individual ilor admişi, enunţată în tennenii identităţilor mereologice şi nu ai egalităţii instanţiale. Dar în termeni i egalităţii instanţiale este avansată o procedură a colecţii lor transfinite care includ o parte suficient de vastă a teoriei cardinali lor şi ordinal i lor transfiniţi . Concepţia prezentată refuză clasele ca valori ale variabi lelor, deci clasele nu sunt necesare în matematică, eventual le admite ca individuali în contexte adecvate ce conţin ,Jnst ". Sunt demonstrate principii referitoare la numere, spaţii topologice etc. Importante sunt legile, şi nu entităţile, atunci când discuţia este purtată în plan şti inţific, după cum din punct de vedere filosofie natura entităţi lor prezintă interes fundamental . De aici irelevanţa ind iv idual i lor aleşi ca fundamentali, R, M. Martin afirmă în context : individual i i pot fi luaţi drept obiecte fizice (în acord cu reismul), sau ca obiecte fizice (în spiritulfizicialismului), sau ca evenimente (cum sugerează o filosofie a procesului), în fine drept quali, când împărtăşimfenomenalismul lui Goodman. Este evident atunci că axiomele ad iţionale sa u post u latele de

249

semnificaţie sunt intenţionate să guverneze indiv idual i i particulari aleşi şi predicatele adiţionale destinate să-i caracterizeze. Se înţelege că nom inalismul impl ică dificu ltăţi semnificative în fundamentele matematic i i . Calculul individualilor reprezintă „corelatul nominalist' al calculului claselor specific platonismului . O problemă apare în legătură cu postu latele adiţionale şi predicatele primitive adiţionale. Dar, se întreabă Stegmi.il ler [ 1 ], care este criteriul ce detennină alegerea postulatelor şi predicatelor adiţionale? Desigur, nominal ismul nu va accepta un sistem care rezultă din adăugarea la calcu lul indivizilor elaborat de N. Goodman a teoriei mulţimilor în varianta Zer mel o. Dinco lo de domeniul de individuali concreţi contează, deci, (d incolo de variabi lele individuale), ce alte tipuri de variabi le de ordin mai înalt sunt admise; în cazu l sistemelor Zennelo-von Neumann sunt admise variabi le de un singur tip; este important să cercetăm dacă variabi lele sistemului acceptă clase ca valori, ceea ce revine la diferenţa dintre concret-abstract. Distincţia dintre nominalism-platonism este una mai puţin ,,sharp" (fermă) decât cea dintre cele două poziţi i platoniste, formulabi le cu aj utoru l cons ideraţi i lor în tenneni cantitativ i ; numărabil-nenumărabil. Se poate atribui un corelat cantitativ conceptului nominal ist dejinitudine în această priv inţă? Pozitiv, dacă infinitul nu este exprimabi l în nominal ism, ceea ce nu este cazul, întrucât dacă „a � b" reprezintă enunţul relaţional „a este o parte autentică a lui b", atunci avem în interiorul nominal ismului o axiomă a infinitului de fonna: (x) (Ey) (y � x) şi care exprimă faptul că orice indiv idual are o parte autentică. Şi în ipostaza că domeniul individualilor (domeniul de discurs) este fonnat dintr-un singur obiect, întrucât acest obiect are o parte diferită de el însuşi, autentică, care la rândul ei posedă o parte autentică, ş .a.m .d., ne-am angajat într-un demers ad infinitum în virtutea căruia obţinem un domeniu de lucruri diferite infinit de multe.

Este ştiută avers iunea nom inal işt i lor faţă de obiecte abstracte, motivată pr in „antipatia " lor faţă de domenii infin ite,· ei resp ing cuant ifi carea un iversa l ă ş i exi sten ţ i a l ă peste numere natural e , argumentând că domeniul acestor entităţi este infin it. Quine a arătat că teoria clase lor este „ traductibilă" într-un l imbaj nominal ist având la bază un domen iu fin it, semnul L:, de asemenea, cuantificarea restricţionată

250

peste clase („x 1 )(k") poate fi e l iminată din context drept o prescurtare l i ngv istică „pentru toate clasele de ord inu l întâi de la 1 la k". Dar, dacă adm item domen i i infin ite tr iv ial i zarea teoriei c laselor în man iera nom inal istă nu se mai produce. Concluzia semnificativă care se degaj ă este următoarea: în spatele avers iun i i nominaliste faţă de obiecte abstracte se află respingerea infinitului. În absenţa infinitul ui orice discuţie despre clase este neproductivă, orice context platonist putând fi reformulat nom inalistic ca pur şi simplu fa<;on de parler, pentru că esenţa relevantă a nominalism ului rămâne finitismul. Diferenţa d intre nom inalism ş i platonism rezidă în d i st incţia d intre finit şi infinit. Diferenţa d intre platonism şi nominal ism dacă poate fi făcută clară în lum ina distincţiei dintre abstract şi concret, este evidentă, însă, în termeni i recunoaşteri i sau respingerii unui univers infinit de lucruri . Înţelegem acum dificultăţile traducerii autentice a contextelor platoniste în contextele nominaliste . Construcţia nominalistă a logic i i şi matemat ic i i, dacă se vrea consi stentă, va „ expedia" orice referire la infin ităţi, indiferent dacă numărabi le sau nenumărab i le, ca s imp lu fac;on de parler, un mod de abrev iere a enunţuri lor despre fin it de mu lte obiecte. Revizuirea nominalistă a matematic i i este mai drast ică decât cea constructivă, aceasta din urmă „se retrage în faţa domeniilor nenumărabile, dar nu oricum de la cele infinite ". O construcţie nominal istă a matematic i i , conchide Stegmti l ler, pare o ficţiune nereal izabi lă .

5.4. CONCEPTUALISMUL CONSTRUCTIV: HAO WANG

Alternativa l a „colapsul" conceptualismului ontologic o reprezintă conceptualismul constructiv care, contra-dictinct faţă de platonismul extensional, asumă exigenţa: „condiţiile care definesc" pentru clase trebuie să se conformeze anum itor princ ipi i de construcţie, cond iţ i i îndeplin ite numai de elemente le c lasei în cauză, o metodă inspirată de geometrie. Nu se mai operează cu o c lasă infinit accesibilă, acum avem

25 1

de-a face cu „condiţii care definesc", exprimate logico-matemat ic pr in propoziţ i i desch ise de forma Gx, în care x are ro l de variabi lă l i beră. Prin urmare, clasa f3 este determ inată cu ajutorul condiţiei Gx, dacă şi numai dacă următoru l enunţ este valab i l :

l ) (x)(x E f3 = Gx) Mai expl icit, ind iferent de condiţia Gx aleasă, există o clasă care

are relaţia descr isă anterior. Prin urmare, trebuie să considerăm valab i l enunţu l :

2 ) (Ef3)(x)(x E f3 = Gx) pentru orice substituţ i i ale variabi le i x în locul lu i Gx.

Acesta este principiul abstracţiei presupus tacit sau expl ic it în teoria clasică a mulţimilor.

„Condiţia care defineşte" o c lasă ne angajează la o term inologie constructiv istă. Punctu l de vedere platon ist susţine că ş i cond iţia şi ap l icarea principiu lu i (2). nu sugerează faptul că o clasă a fost „creată", ci mai curând „aleasă", din total itatea claselor care există independent, cu aj utoru l condiţie i Gx. Stegmi.il ler propune s-o num im în loc de „condiţie care defineşte", „condiţie de alegere". „Metafora pescarului" care prinde în năvod o mulţime de peşti este relevantă pentru concepţia str ict platoni stă, activ itatea teoretic ianului c laselor nefiind comparabilă cu aceea a unui ing iner care pe baza planului r idică construcţi i .

Alternat iva l a platonismul strict este construcţionalismul, care presupune că, intu itiv, c lasele sunt constru ite succes iv confonn unor principi i de ordine, astfel că individual i i au ordinul O, clasele primesc ord inul 1 , iar clasele de clase de indiv idua l i au ord inu l 2 ş.a.m .d . , în fapt o construcţie a unei ierarhii a claselor, în lumina căreia se impune o mod ificare a principiului abstracţiei clasei (2): clasa f3 trebu ie să fie de un ordin superior ordinului lui x şi toate variabi lele legate care apar în Gx au un ordin mai coborât decât f3; prin urmare, ord inele vor parcurge un sens ascendent cumulativ, încât orice var iabi lă care reprezintă clase de ord in n are toate ordinele mai mari decât n. În lum ina acestor consideraţi iprincipiul abstracţiei clasei este suplimentat cu restricţia impusă axiomei care permite inferenţa de la toţi ( all) la orice caz particular:

252

(3 ) (x) Gx � Gy unde ordinul lu i y nu depăşeşte pe cel al lu i x. Variabi lele d in cadrul formulei Gx pot să nu aibă ordinul lu i 13. Putem acum înţelege conexiunea dintre aceste fapte şi definiţiile impredicative care, în esenţă, înseamnă introducerea unei clase prin referinţă la o total itate căreia clasa în cauză îi aparţine. Gândirea logico-matematică constructivă taxează această procedură ca responsabi lă de „cercul vicios". P latonismul strict nu vede atacabil cercul vicios, deoarece consideră că noua clasă nu este „creată", ci a leasă dintr-o total itate deja d ispon ibi lă. Constructivistul va acuza platon ismul str ict ( impl icit def)niţi i l e im pred icative) ca fi ind o poziţie care dă naştere antinomii lor şi de aceea va formula prohibiţia defin iţi i lor im predicative prin stipulări adiţionale asupra v_�lori lor legate, astfel dacă în Gx apare variabi la legată (a) de acelaşi ord in cu 13 care este construită, valori le cuant ificabi le ale lu i (a) vor include toate obiectele de ord in n, în particular clasa 13. Cercul este evitat.

Teoria constructivistă evită cunoscuta antinomie russe ll iană, cineva putând construi pentru orice ord in n c lase ale tuturor claselor de ordin n care nu se conţin pe ele însele ca membru:

(4) (E13n+ l )(Xn)[Xn E 13n+ I = l(Xn E xn] clasa stipu lată este de oridnul n+ 1 şi problema dacă este un membru al ei însăşi sau nu, nu conduce la paradox. Din ( 4) nu se poate deriva enunţu l contrad ictoriu, corespunzător antinomiei lui Russel l .

(5) (E13n+ I ) [13"+ 1 E 13"+1 =: j (l3n+ I E 13n+ I )] Ca să avem această derivare fo losim formula: ( 6) (Xn)[X" E pn+1 =I (X" E xn)] � [13"+1 E pn+ 1 =I wn+ I E pn+ 1 )]

un enunţ care vio lează restricţia asupra regulei (x) Gx � Gy; validitatea enunţu lui pentru toţi a de ordin n, nu impl ică val iditatea pentru un obiect particular de ordin n + 1 . Modificarea principiului abstracţiei clasei şi restricţia formulată în (3) alcătuiesc teza conceptualistă conform căreia entităţile abstracte (să spunem clasele) nu există (poate preexistă), ci sunt produse ale activităţi i mentale, devine clar că ceea ce conceptual ismu l psihologic a formulat vag drept o teorie a abstracţiei, în conceptualismul constructiv, acelaşi lucru se exprimă cu exactitate logică.

253

Deoarece cr iteriu l pentru platonism îl reprezintă uti l izarea, în sistemul constru it, a variabilelor pentru obiecte abstracte - clase -

conceptualismul constructiv poate fi abordat de pe poziţia platon ismulu i; va fi distins de platon ismul strict, conform căruia c lase le nu trebuie să satisfacă princ ipi i constructive, fi ind suficientă procedura fixată în ceea ce s-a numit „metafora pescarului" .

Constructivismul presupune renunţarea la teoria transfiniţiilor cu ierarhia lor, căci pentru a construi această teorie este nevoie de teorema lui Cantor care afirmă că, c lasa subclaselor unei clase date este de o putere mai mare decât a clasei însăş i ; dacă clasa în chestiune este infin ită, atunci clasa subc laselor reprezintă o infinitate de o putere mai mare . Dar, teorema l u i Cantor presupune în demonstraţ ie o defin i ţ i e impred icat ivă . Se poate i l u stra pr intr-un exemp l u part i cu lar a l demonstraţiei lui Cantor, că mulţimea tuturor numerelor întregi pozitive nu este numărabilă, ceea ce este identic cu demonstraţia nenumărabilităţii numerelor reale, deoarece orice număr real individual poate fi constru it ca o mulţime de numere pozitive.

Ştim că G. Cantor, plecând de la faptul că nici o enumerare nu acoperă toate mulţim i le de numere întregi pozitive, a tras concluzia că mulţimea tuturor mulţim i lor de numere întregi pozitive este absolut nenumărab ilă. Construct i v i smu l resp i nge această i n ferenţă a nenumărab i l ităţ i i mulţimi i tuturor mulţim i lor, care ar fi justificată doar în prezenţa asumpţiei, că există o mulţime care cuprinde toate mulţim i le de întregi pozitive, sau o lege care ar defin i această mulţime, un argument consonant cu l inia de gând ire proprie p latonismului , postularea infinităţi i complete, încheiate fi ind dec larată, în consec inţă, drept o ficţiune; lăsăm la o parte implicaţi i l e indezirabi le antrenate de defin iţia impredicativă a lui P - mulţimea întregi lor pozitiv i . A determ ina dacă un număr întreg pozitiv n aparţine mulţimi i P trebuie să exam inăm toate elementele mulţim i i tuturor mulţim i lor, notată MM, inclusiv mulţimea P. Numai cons iderarea mulţim i lor ca fi ind independente, înainte de introducerea lor prin defin i ţ i e ş i enunţur i despre e le ar d izo lva absurditatea, însă atare supoziţie conduce la paradoxu l lu i Russel ! , bazat

254

pe metoda diagonalei a lu i Cantor ş i definiţia im predicativă; regul i le (3) şi (4) restricţionând ordinul variabi lelor legate în „Gx", ca şi ord inul lu i x ş i y în (x) Gx � Gy formulează prohibiţi i în ap l icarea proceduri i ş i s imi lar a procedurii de constru ire a c laselor.

Hao Wang a oferit, după op inia lu i Stegmtil ler, cele mai bune fundamente constructiviste ale matematicii, care conţin intrinsec avantaje deosebite din perspectivă metamatematică. Urmăm şi aici, ca în întregu l cuprins al acestei părţi a cărţii noastre, idei le lu i Stegmill ler.

S istemu l L are următoarele proprietăţi : a) este o teorie constructiv istă, în sensul descris, al construcţiei cumulative a conceptului de ordin; b) ierarhia ordinelor este continuată în transfinit; c) nu este un sistem de sort uzual, ci reuniunea unui şir infinit de sisteme mai bogate.

Teoria este construită constructiv, în sensul următor: domeniul de obiecte de ordin O constă într-o totalitate numărabilă, cum ar fi total itatea numerelor întregi pozitive; obiectele de ordinul 1 sunt acelea de ordin O (aici se vede cumulative construal a conceptulu i de ordin) p lus toate mu lţ im i l e de obiecte de ord in O care pot fi defin ite în termen i i proprietăţilor care s e referă cel mult l a tota l itatea tuturor obiectelor de ordin O, ceea ce corespunde restricţiei formulată asupra schemei (2); proprietăţi le menţionate în ultima noastră propoziţie trebuie să fie descrise prin formule care nu conţin variabi le legate de un ordin mai înalt decât 1 . Analog, pentru orice număr pozitiv n, mulţimi le de ordin n + 1 incl ud toate mulţim i le de ord in n, precum şi acele mu lţimi care sunt defin ite prin formule în care apar variabi le legate de cel mult ord inul n (adică definite în termeni i acelor proprietăţi care referă cel mult la totalitatea tuturor mulţim i lor de ordinul n); mulţimi le co cuprind toate, şi numai, mulţimi le de ordin finit. Analog legăturii d intre mulţimi de ordin n + 1 şi ace lea de ordin n, tot aşa pentru orice ordinal a, mulţimi le de ordin a + 1 sunt legate de cele de ordin a; deci , raporturi s imi lare . Mulţim i le de ordin 13, dacă 13 este un număr limită al unui şir monoton crescător de ord ine a 1 , a2 „ . de numere ord i na l e sunt l egate (p r i n raportur i asemănătoare, descrise anterior) de mulţimi de ord in a 1 ,a2, tot aşa cum mulţimi le de ord in co sunt legate cu mulţim i de ord in fi n it . Rezultatul

255

este remarcab i l : evitarea construcţiilor conceptelor impredicative dubioase care s-ar putea introduce, eventual, la orice ord in cons iderat. Refer irea la aşa-num ita clasă a doua de numere a lui Cantor, un „împrumut suspect" d in teoria transfin itu lu i , uti l izat în descrierea ord inelor, nu este de interpretat peiorativ, întrucât se operează cu aşanum ite numere ord inale constructive, care prin intermediul funcţi i lor recursive, pot fi introduse de o man ieră acceptab i lă din punct de vedere constructivist.

Trecem peste detal i i ale construcţiei sistemului L (al lui Hao Wang) şi ne oprim asupra unor cons ideraţi i generale, mai în acord cu interesul nostru filosofie. Sistemul reprezintă o formalizare a matematicii pe baze constructiviste ; ca un rezu l tat remarcab il, una d i ntre ce le ma i controversate axiome ale teoriei mulţimi lor, am num it axioma alegerii, este demonstrabilă în sistemul L şi astfel este ev itat statutul" ei incomod de axiomă. Deşi „Principia Mathematica" a fost intenţionată de autori i ei să fie o teorie constructivistă, ea conţinea pe lângă mult controversata axiomă a alegeri i , alte două axiome dezagreabile - cea a infinitului şi cea a reducerii - care în sistemul lu i Hao Wang dev ine superflue şi tot aşa recursu l la concepte neconstructive. Majoritatea metodelor propuse de Quine [3 ] , sau cele bazate pe teoria non-elementelor, au operat cu un concept de mulţime care, din punct de vedere intuitiv, se vădea obscur şi complicat ca instrument în abordare. Coincidenţa operaţii lor efectuate în L: cu cele din gândirea intuitivă proprie matematicii clasice determ ină opţiunea pentru sistemul lui Wang, privind construirea în acesta a unor demonstraţii matematice clasice. Sistemul lui Wang nu conţine propoziţii formal indecidabile, un deziderat interesant şi surprinzător, ştiut fi ind că în real itate toate sistemele suficient de bogate posedă asemenea propoziţ i i . Raţiunea profundă a acestui rezultat pozitiv trebuie căutată în faptul că sistemul L reprezi ntă o reuniune a seri i lor de sisteme mai bogate ( ever richer systems ), La, unde a este un ordinal constructiv. Pentru un a arb itrar, G este o propoziţie formal indecidabi lă în La. Teorema lui i Godel, în acest context, poate fi reformulată astfel ca enunţ metateoretic: „«La este consistent impl ică», «G este indemonstrabi lă

256

(în La)»". ,,Aritmetizarea metamatematicii" faci l itează obţinerea acestui rezultat. Enunţul G când este � , interpretat material" asertează propria sa indemonstrabi l itate, propoziţia „G este indemonstrabi lă" fi ind restituită în sistemul formal prin propoziţia G. Pe de altă parte, enunţu l „L:a este consistent" poate fi formal izat în moduri d iferite în La, de exemplu prin formula C . Dar, ş i enunţul „C � G" este demonstrabi l în La. Din demonstraţia formulei „C", în fapt a consistenţei lu i La, formula G poate fi inferată prin ap l icarea regu lei modus ponens� avem demonstrată propoziţia formal indecidabi lă a sistemului La, din care Godel a obţinut a doua sa teoremă celebră care afirmă „consistenţa unui sistem, nu poate fi demonstrată cu mij loace d isponibi le ale sistemului însuşi". Acum avem o situaţie d iferită, deoarece S reprezintă sisteme reunite şi cons istenţa unu i s istem La poate fi efectiv demonstrată

-,într-un s istem La + 2 . Decurge logic că propoziţi i formal indecidab i le a l e lui L a construite conform proceduri i godel iene pot fi demonstrate în La + 2.

Remarcă: Acest rezultat pozitiv remarcabi l nu trebuie înţe les în sensu l că în sistemul L nu există propoziţi i formal indecidabi le, deci atunci când considerăm sisteme indiv iduale din L l ucrul rămâne pos ib i l , adică acestea conţin asemenea propoziţi i . Se produce a ic i următoarea „metamorfoză" şi anume, propoziţi i care au fost indecidabi le dev in decidab i le prin „ascensiunea ordinală", ·sau poate în suita ierarhică a ord inelor. Mai concret, deoarece nu există cel mai mare a, pentru orice sistem La exista un s istem La + 2 în interiorul lui L, în cadrul căruia se poate dispune de o demonstraţie formală a consistenţei lui La, poate fi produsă în sistemul individual La + 2. Posibi l itatea acestei demonstraţi i a consistenţei l u i La în La + 2 conţine două aspecte: nu înseamnă că întregu l s istem este cons istent, constructivitatea asigurând doar garanţii pentru acest lucru� şi o prom isiune mai tentantă, anume „demonstraţii finitare" ale cons istenţei pot fi oferite pentru orice La part icular, aşa cum se poate vedea în l ucrări le lu i Lorenzen şi Schiitte; o conexiune ev identă cu „teoria ramificată a tipurilor" şi structura fiecăru ia din sistemele La face apl icabi le aceste demonstraţii de consistenţă sistemelor La. Iar o „consecinţă senzaţională" este evidentă; întrucât L: reprezintă

257

reun iune sistemelor La decurge imed iat şi consistenţa lui L; „programul lui Hilbert" îşi poate găs i real izarea în contexte constructiviste, deoarece se obţine o demonstraţie de consistenţă pentru un sistem (L) care în fapt reprezintă o formal izare a întregi i matematici .

Relevanţa set-teoretică (în termeni i teoriei mulţim i lor) a sistemului L elaborat de Hao Wang este, de asemenea, remarcabi lă şi anume, nu conţine „mulţimi absolut ne-numărabile"; într-adevăr, dacă cons iderăm toate mulţimi le qe ordin a, atunci există o funcţie de ordinul La + 2 care enumără toate aceste mulţim i de ordin a. Mai mult, nu numai că nu ex i stă mu l ţ im i abso lu t ne- numărab i l e , n u ex i stă n i c i m u l ţ im i nenumărabi le în interiorul teoriei L. Se poate, totuşi, identifica un corelat al „ne-numărabilităţii clas ice" în ceea ce aici este num it «quas ine-numărabi l itatea» defin ită astfel : „pentru orice ord in 13 există mulţimi care nu pot fi numărate (counted) prin intermediu l mulţ imi lor sau funcţii lor de acelaş i ordin 13". Divergenţa dintre constructivist şi platonist în problemă rezidă în interpretări le : platonistul plecând de la faptul că nu există o enumerare a totalităţii tuturor mulţimilor de numere întregi pozitive conch ide că există mulţimi ne-numărabile; constructivistul, să spunem că avem teoria constructivistăL, afirmă, în contrast cu platonistu l, că nu existenţa mulţimilor ne-numărab ile este responsab i l ă de imposibi l itatea enumerării total ităţii tuturor mulţimi lor de numere întregi, ci, aceasta mai curând, rezidă în „incapacitatea noastră mentală" de a formula o idee clară şi precisă a total ităţi i tuturor mulţim i lor (funcţi i lor, legi lor) care definesc enumerarea; deci, cu atât mai mult este l ipsită de semnificaţie noţiunea de mulţimi absolut ne-numărabile.

Hao Wang [2] a făcut următoarea remarcă: total ităţi le nenumărabi le (de exemplu: mulţimea tuturor mul ţim i lor, mulţimea tuturor mulţim i lor de numere naturale) sunt conexate mulţimilor constructibile, aşa cum în sens kantian „lucrul în sine" este legat de experienţa posibi lă. În acest spirit intrăm în „sfera transcendentală" unde investigăm total ităţi transcendentale, zona unde posibi l ităţi le de construcţi i ş i descoperiri noi sunt nel im itate.

Stegmti l l er, în studiul folosit de noi în acest paragraf, observă temeri tatea teoriei clasice înzestrată cu ierarhia transfin iţilor :

25 8

proclamarea ideilor în sens kantian ca forme ideale în sens platonician, un gen de „absolutism" care este incompatibi l cu gândirea constructivă, o temeritate „plătită" cu apariţ ia antinomiilor; so luţia este numai înlocuirea platonismului strict cu conceptualismul constructiv care prin reprezentantul său marcant, Hao Wang, a făcut o conexiune profundă între problema universalelor şi domeniul fundamentelor logicomatematice, în alte cuvinte, adăugăm noi, conexiunea între filosofia generală ş i jilosojia matematicii.

5.5. LOGIC ISMUL Ş I I NTUIŢION ISMUL

Frege şi Russel l au aprofundat remarcabi l programul euclidian, e i vor scruta zonele mai adânci a l e acestuia, pentru a obţine o fundare satisfăcătoare a matematicii . Demersul fundaţionist logicist a fost inspirat de c l imatul intelectual-matematic d in a doua jumătate a secolu lui al XIX- lea, când în matematică se producea un eveniment cu semnificaţi i fund aţi ona le neob i şnu i te : ar itmetizarea ana l izei şi a lgebrizarea geometr ie i , rezu l tat al activ ităţ i i unor matemat ic ieni ca Gauss , Weierstrass, Dedekind , Cantor ş i Kle in , care continuau opera lu i Descartes. Î ntr-un asemenea context, devenea ev ident că /undarea analizei ş i geometriei depinde de fundarea aritmeticii. Programul euc l id ian al lu i Frege ş i Russe l l ţ i ntea o aşezare mai adâncă a fundamentelor, ei căutau princ ip i i (termeni primitiv i , axiome) mai fundamentale decât cele stabi l ite de Peano; principi i lor aritmetice ale lu i Peano le sunt preferate principi i logice, euclidianismul matematic, o adevărată istor ie „a detronării s urselor intuitive ale cunoaşterii matematice", restabi lea în secolu l al XIX- lea intuiţia aritmetică care fusese abandonată, odată cu descoperirea numere lor iraţionale, în favoarea intuiţiei geometrice; paradoxal, clarificarea conceptu lu i de numere iraţionale va trim ite în secolu l al XIX- lea înapoi la intuiţia aritmetică, care devine dom inantă, remarca Lakatos [ I ] , [2] .

Dar, aproape imediat, vor intra în competiţie şi alte tipuri de intuiţie, având caracter paradigmatic şi înalt relevant pentru mutaţi i le ce se produc

259

în modul de gândire matematic: intuiţia set-teoretică ( imanentă teoriei cantoriene a mulţimi lor), intuiţia logică (Russel l ), intuiţia „globală " h i lbertiană şi intuiţia constructivistă sau constructivă Brouwer) .

În contextu l abordării noastre este, în mod natural , de interes deosebit intuiţia logică, care a avut un statut special şi controversat. În viziunea logicişt i lor, euc l id ian ismul ca program „dogmatic" necesita intu iţia logică, trivială şi infai l ib i lă pentru fundarea matematici i . Părea un imens câştig teoretic şi metodologic să se poată arăta că întreaga matematică poate fi întemeiată pe intuiţia logică, un ica sursă a certitud in i i e i , atât în ceea ce priveşte axiomele, cât ş i în ceea ce priveşte transmiterea adevăru lu i . Dar, s-a obiectat imed iat că autoev idenţa este un element subiectiv care „împietează" asupra rigori i logice, iar „epurarea" intuiţiei logice de orice element străin de ea cerea manevre compl icate, în sensu l unei ierarh i i de construcţi i quasi-sistemice, căci logica devenind un supra-sistem deductiv euclidian trivial, o logică supra-trivială este necesară ca instanţa de legitimare.

Oricum, Russel l rezuma programul în cuvintele următoare : „toată matematica pură - aritmetica, anal i za şi geoemtria - este construită prin combinaţii de idei prim itive ale logicii ş i propoziţi i l e ei sunt deduse din axiome generale ale logicii, astfel ca silogismul şi alte regu l i de inferenţă. Aceste axiome vor fi acum realmente trivial adevărate, strălucind d incolo de dubiu în lumina naturală a raţiun ii pur logice, corectitud inea, fiind fixată într-o fundare eternă, de atins . . . " .

S-a văzut, însă, că aşa-numita logico-trivial izare, intenţionată prin programul logicist, al matematici i , a degenerat în fapt, cum remarca Lakatos, în unul din cele mai complicate labirinturi conceptuale ale minţi i umane. Într-adevăr, ,,Principia" s-a dezvă luit investigaţi i lor fundaţionale ca sistem logic sofisticat, conţinând axiome ca cea a reducerii, a infinitului şi a alegerii, precum şi compl icata teorie ramificată a tipurilor. (În terminologia metamatematici i , teoria tipuri lor este considerată ca parte a regu li lor de formare a formulelor bine formate şi nu a axiomelor. Kemeny apăra logicismul, considerând că matematica nu este ceva mai mult decât logica înalt dezvoltată (highly developed logic)). Russel l a

260

conştientizat că pentru programu l său eucl id ian triv ial itatea teorie i t ipur i lor era v ital ă, observa Putnam [2 ] , e l sperând că ap l icarea „principiului cercului vicios", în fapt l ipsa de semnificaţie a enunţuri lor autoreferenţiale, va conduce la e l im inarea incons istenţei logici i naive. Axiomele respective aveau un caracter problematic şi nu sati sfăceau cerinţa anal itic ităţi i , în sensu l specific de a avea loc în toate cazuri le ( lumi le ! ) posibi le, şi deci să nu aibe conţinut factual . În ceea ce priveşte axioma reducerii, folosită în „Principia", studi i le fundaţionale întreprinse de F. P. Ramsey, arătând inuti l itatea teoriei ram ificate a tipuri lor, au învederat faptul că ax ioma nu este indispensab i lă în sistem. Se cunoaşte simpatia intelectuală a membri lor Cercului de la Viena pentru concepţia logicistă, sursă autentică a empir ismu lu i logic . Iată de ce aceştia, îndeosebi Camap, au depus eforturi considerabi le pentru a arăta caracterul anal itic al celorlalte două axiome: axioma infinitu lu i şi axioma alegeri i . Î n acest sens, Camap mărturiseşte că el a fost înc l inat să admită caracteru l lor anal itic, cerinţă a considerări i lor ca princip i i ale matematic i i . Dacă în t impul şederii sale la Viena nu obţinuse o c laritate completă şi defin itivă asupra caracterului anal itic al axiomelor respective, mai târziu a afirmat că axioma alegeri i nu este anal itică, dacă acceptăm conceptul de c lasă, uti l izat în matematica c las ică, în contrast cu cel restrictiv-constructiv ist ; iar axioma infinitu lu i poate fi considerată anal it ică, afirma Carnap, dacă vom lua ca ind ividual i nu lucruri, ci poziţi i .

Teza centrală a programului logicist este că matematica este logică. Pentru a înţe lege demersu l fundaţional a l logic ismu lu i rea l izat în „Principia" sunt necesare c larifi cări a le aspectelor- ingred iente a le programului ş i care nu sunt numai de interes istorc, ştiut fi ind că se încearcă reab il itări, revigorări ale lui , prin operarea unor mod ificări � i interpretări ale prem ise lor. Dintre încercări le recente, cea întreprinsă de H. Putnam [2] ni se pare cea mai convingătoare.

Aspectele fundaţionale ale „Principiei" au constitu it obiectu l preocupărilor lui Russel l încă înainte de a co labora cu Whitehead, între ide i l e fundaţionale mai importante fi ind teoria tipurilor şi axioma reducerii, Russel l a înţeles prin log ică = teoria cuantificării şi funcţii propoziţionale.

26 1

Logica lui Russel l presupune un un ivers multisortat cuprinzând : colecţia tuturor indiv idua l i lor (nive lu l zero), colecţia tuturor funcţi i lor propoziţionale care au indiv idual i i ca argumente (nivelu l unu) , co lecţia tuturor funcţi i lor propozi ţ iona le care iau ca argumente funcţ i i l e propoziţionale de nivelu l unu (nivelu l doi) etc.

Intenţia lui Russel l a fost să reducă teoria numerelor la teoria mulţimilor, iar teoria mulţim i lor la logică, concepută de el ca fi ind în mod esenţial teoriafuncţiilor propoziţionale. Putnam consideră procedura lui Russe l l sofisticată şi consideră că unele s impl ificări şi reinterpretări ale abordări i prezente în „Principia" ne-ar arăta că există diferenţe între ceea ce Russel l a intenţionat şi ceea ce s-a întâmplat în fapt. În acest sens, Putnam consideră că pot fi operate două simpl ificări în abordarea russel l i ană a logic i i :

i) funcţi i le propoziţionale pot fi identificate ca fiind î n fapt pred icate, căc i x în expresia F(x) nu semnifică „funcţia propoziţională F(x) are valoarea adevărat pentru argumentu l x", ad ică are o propoziţie adevărată ca valoare pentru argumentul x; ci în expresia F(x), simbolul F trebuie gândit ca stând pentru un predicat arbitrar de un nivel adecvat şi expresia F(x) o vom interpreta „x are proprietatea F";

i i) vom asuma că două predicate sunt identice dacă au aceeaş i extensiune (axioma extensionalităţii) . Această asumpţie devine falsă în virtutea interpretări i clasice a predicatelor care le considera „un iversal luate in intension".

Cele două simpl ificări, odată adm ise,predicat înseamnă acum pur şi simplu mulţime, efectul lor condensat unitar fiind : F(x) înseamnă „x aparţine mulţimi i F". În general, funcţi i le propoziţionale, reinterpretate în lum ina simpl ificări lor propuse, devin: mulţim i de indiv idual i, mulţim i de mulţimi de individual i, mulţimi de mu lţim i de mulţim i etc. Universul de discurs al logicii russe l l iene devine, în virtutea acestei reinterpretări, sistemul tuturor mulţimilor (de tip arbitrar finit), iar logica este în fapt teoria mulţimilor, o concluzie pe care Russel l nu numai că nu a voit s-o adm ită, dar a respi ns-o expl icit.

Logica russelliană, capartefundaţională a matematici i, devine în lum ina consideraţi i lor expuse un subiect controversat. Putnam [2] se

262

întreabă dacă nu era mai just ificat să extindem semn ificaţia cuvântu lui logică, încât să includă direct teoria mulţimi lor şi teoria numere lor, decât să se manevreze compl icat în modul în care s-a făcut şi anume, reducând teoria numerelor la teoria mulţim i lor, iar aceasta, la rândul ei, la logica înţeleasă ca teoriafuncţiilor propoziţionale.

S-a obiectat că formulări le l u i Russel l refer itoare la funcţi i l e propoziţionale nu au fost suficient de clare.

O funcţie propoziţ ională este o funcţie a le căre i valori (nu argumente ! ) sunt propoziţi i . Deci, funcţi i le propoziţionale pot fi corelate biun ivoc predicatelor în sensu l de universals taken in intension. Dacă această defin iţie operează fără d ificu ltate în unele cazuri, de exemplu considerăm predicatul „roşu", corespunzător acestui a există funcţia propoziţională „x" este roşu", ad ică funcţia care apl icată oricărui x are ca valoare propoziţ ia „x este roşu", în alte cazuri apar d ificu ltăţi conceptuale. Putnam dă exemplu l funcţiei propoziţionale „x a scris Waverley". În acest caz, care este valoarea funcţie i propoziţionale „x a scri s Waverley", ştiut fi ind că individualul Walter Scott este autorul lu i „ Waverley"? Se poate răspunde că valoarea funcţie i propoziţionale în chewstiune este propoziţ ia : „ Walter Scott a scri s Waver ley", sau propoziţia: „Autoru l lui Waverley a scris Waverley". Dificultatea poate fi rezolvată adm iţând numai prima simpl ificare a abordării russe l l iene a logici i, dar nu pe cea de-a doua, conchide Putnam [2] , adică considerând funcţia propoziţională identică cu predicatu l corespunzător. Se poate argumenta în favoarea considerării logic i i ca teoria predicatelor luate în intensiune ori de câte ori se poate aegumenta pentru admiterea logici i ca teoria funcţi i lor propoziţionale.

Frege este considerat ca fiind primul logician care a elaborat un l imbaj formal şi logica formală în sens modern, dar ideea construir i i unui l imbaj specia l unic matematic şi logic îi aparţine lu i Leibn iz. Limbajul lui Frege a fost un calcul al semnelor, un sistem algebric defin it matematic, care se deosebea de l imbaju l natural intu itiv, în sensu l că gramatica este descrisă şi definită în termeni prec iş i, orice ambigu itate fi ind e l im inată.

263

Concepţia lui Frege asupra fundări i matematici i se bazează pe unele asumpţi i , la care a contribuit şi evoluţia matematic ii din seco lu l al XIX- iea, având în vedere constitu irea geometrii lor neeucl idiene. Aceste asumpţi i se referă la natura matematicii şi d intre acestea, mai importante sunt: 1 ) matematica este o şti inţă independentă (nu există o real itate fizică care să servească ca o bază ult imă pentru matematică) şi 2) un tip de independenţă a matematici i ar poseda matematica chiar faţă de celelalte şti inţe, urmând că 3) intuiţ ia matematică vizează direct structura abstractă a obiectelor matematice; 4) adevăruri le matematici i ar fi, în consecinţă, independente de real itate şi experienţă, stabi l ite în virtutea mod u l u i în care sunt fo l o s i te cuv i nt e l e , ad i că an a l i t i c e ; 5) matematica este derivată dintr-o mulţime de principi i fundamentale, principi i logice, adevăruri anal itice, derivarea are loc într-un l imbaj formal în care regu l i le logice de derivare ( inferenţă) sunt enunţate expl ic it. Se introduce conceptu l de demonstraţie ca fi ind o secvenţă de expresi i s imbol ice, în care fiecare membru din secvenţă este sau un principiu universal, sau urmează din membrii anteriori în secvenţă în virtutea regul i lor logice de inferenţă: teorema este un adevăr matematic care figurează ca linia ultimă în demonstraţia formală.

Concepţia filosofică derivată d in abordarea fundaţională a lui Frege este numită logicism şi, în ·esenţă, susţine teza că adevărurile matematice sunt analitice, derivabi le d in logica pură.

Sistemul lui Frege exprimă formal une le adevăruri ale teor iei mulţimi lor. Însă, sistemul nu este consistent, Russe l l reuşind să derive în interioru l lui o contradicţie, anumite princ ipii intuitiv naturale, ca principiul abstracţiei, au fost considerate false.

Logicismul fundat de Frege şi dezvoltat de Russel l şi Whitehead a avut ca obiectiv major reducerea matematicii la logică. Teza centrală a logicismului - matematica este o ramură a logici i - are două aspecte fundamentale: a) definirea concepte lor matematice pe baza conceptelor logice, sau în formularea lui A. Church [ l ] , „vocabu laru l matematic este parte a vocabularu lui logic" şi b) toate asumpţi i le matematice (axiome, postulate etc. ) să fie derivate din principi i sau legi pur logice.

264

În ceea ce priveşte punctu l a), se poate aprecia, după Church, că, într-un anum it sens, cercetări le fundaţionale au sugerat real izabi l itatea lu i . Într-adevăr, examinarea vocabularului matematic a ev idenţiat că uni i termeni aparţ in logic i i , iar ce i la l ţ i pot fi defi niţ i cu aj utorul unor combinaţi i adecvate de termeni logici . Ş i întrucât semnificaţia termeni lor şi enunţuri lor matematice este contro l ată pr in corespondenţă cu semnificaţi i le termen i lor logici , în t imp ce conversa nu are loc, Church crede că avem probată aserţiunea: „ logica este anterioară matematici i" [ l , p. 405 ] . Admiterea valab i l ităţi i primei teze logiciste şi infirmarea celei de-a doua de către evo luţia cercetări lor fundaţionale au condus la formularea unei variante a logic ismului num ită „logicism moderat", succesele în general izarea numărului natural ca număr întreg, număr raţional, număr complex, ca şi genera l izăr i le succesive ale funcţiei numerice, confirmând definibilitatea noţiuni lor matematice în l imbajul teoriei numerelor naturale. Ar urma reducerea teoriei numerelor la teoria mu lţim i lor şi aceasta la logică. Esenţa prob lemei rezidă în elucidarea naturi i conceptului de mulţ ime, foarte controversat în l iteratura de spec ial itate : după un i i , este concept intrinsec logici i , în timp ce după alţi i , nu există suficiente motive pentru o atare susţinere . E. J. Lemmon [ l ] face distincţie între clasă şi mu lţime, şi nu numai el; o abordare extensivă este prezentă în Quine [ 4] . Oricum, o decizie asupra statutului logic al conceptu lui de mulţime ar încl ina controversa d intre logicism şi intuiţionism înfavoarea logicismului.

Argumentele-obiecţ i i împotriva logicismului moderat vizează următoarele aspecte : a) sisteme le logice ale calcu lu lu i propoziţional şi calculul predicatelor conţin şi o parte nespecific logică, ce aparţine teoriei mulţ imi lor, atunci când se definesc în termen i i teoriei numărului unele concepte matematice mai puţin e lementare; b) enunţarea l i stelor care preced construcţia sistemelor logice nu este dată în l imbajul-obiect, ci în metal imbaj, al cărui vocabular nu este parte a vocabu larului logic; c) existenţa unor axiomatizări incompatibile ale teoriei abstracte a mulţimilor, dintre care unele admit un concept de mu lţime care îşi este sieşi element; a ltele îl resping; sau în unele axiomatizări , conceptul de

265

mulţime a tuturor mulţimilor este prezent, în timp ce în altele nu are sens. Oricum, remarcă H. Meh lberg [ I ] , adm iterea conceptu lu i de mulţime ca având statut logic ar transforma logica într-o „d iscipl ină speculativă şi controversată", ceea ce ar afecta caracteru l ei fundaţional .

H. Meh lberg a propus o nouă variantă de logicism, logicismul pluralistic (sintagma „pluralistic" fi ind tot mai prezentă în cercetări le fundaţionale, de pi ldă, la L. Aposte l [ I ]) , intenţionat ca o bază comună convergentă pentru cele trei mari curente rivale: logicismul.formalismul, intuiţionismul, confirmată de următoarele rezu ltate metamatematice semnificative (şi aici observăm că aspectu lfundaţional prevalează_asupra celuifundaţionist, fi ind decisiv în judecăţi le ce se emit în spaţiul filosofiei matematici i ) : a) relaţii de intertraducere - care se referă la matematica intui ţ ion i stă şi log ică, matemat ica c l asică şi logică; b) concepţia semantică a lui A. Tarski despre adevărul matematic, aspect în care S . C. Kleene a ind icat apl i caţi i a le acesteia la matematica intuiţion istă; c) teorema de deducţie Herbrand- Tarski (o apl icare a lui „dictum de omni et nul lo", teorema făcând trecerea de la logică - clasa legi lor logic demonstrabi le la matematică - clasa teoremelor demonstrabi le într-o teorie particulară); d) conceptul intu iţionist de constructib i l itate, central în intuiţionism, enunţat de Heyting [ I ] : „Exigenţa că numai obiectele constructib ile pot fi menţionate este suficientă să exp l ice particularităţi le intuiţionismului . . . " ; „Printr-o teorie constructivă înţeleg o teorie în care un obiect este considerat numai după ce a fost construit. Cu alte acuv inte, într-o teorie constructivă nu se menţionează alte obiecte decât cele constructibi le". Ambiguitatea conceptului de constructibi l itate, în absenţa unei distincţi i exp l icite între construcţie actual posibilă şi construcţie (efectivă) , este răspunzătoare de d i ficu ltăţi cu care se confruntă intuiţionismul, dificultăţi ce ar putea fi depăşite prin toleranţă, valorificată prin în locuirea acestui curent (drastic, intransigent şi into lerant) cu o varietate a logicismului pluralistic.

Sub inspiraţia unor idei datorate lui H. Mehlberg [ I ] am notat într-un studiu al nostru (Ţurlea [3 , p. 44] ) : „Logicismul plural istic nu privi legiază nici o logică, ind iferent că este vorba de logica „Principiei

266

Mathematica", logica lui J. von Neumann sau logica modală etc ., şi în aceată privinţă, există unele sim i l itud ini între acest curent şi principiul toleranţei ; logicismul pluralistic aderă la punctul de vedere real ist, în timp ce princ ip iu l to l eranţei are impl ic it o at itud ine nom inal istă. Logicismul plural istic nu consideră conceptu l de mulţime ca fi ind concept logic ; caracter ist ica esenţ ia lă a log ic ismu l u i p lura l i s t ic este postu larea logicii ca instrumentul unic în demonstraţ i i şi dec lararea intuiţiei extralogice ca superfluă". Ş i tot în acest context, în cartea noastră (M. Ţurlea [ 1 , p. 24 1 ] ) scriam: „Complementaritatea programelor fundaţioniste este relevată doctrinar în ceea ce se numeşte logicism pluralistic şi care este apt să surprindă mai adecvat profilul epistemologic impus de noul spirit şti inţific în cunoaşterea matematică; dar este relevată şi de tendinţa de cooperare ş i convergenţă, şi ch iar de unificare, a rezultate lor impuse de tehnicile fundaţionale ale acestor programe . . . "; iar Kleene [ 1 ] scrie : „metodele metamatematice se ap l ică, în prezent, la studiul sistematizări lor matematic i i care apar în şcoala logicistă şi în cea intu iţionistă . . . reciproc, metamatematica datorează multe e lemente legate de apariţia ei cercetări lor logiciste şi intuiţion iste".

Marile programe-curente fundaţioniste (logicismul, formalismul, intuiţionismul) ş i-au deru lat activitatea sub „cupola" euclidianismului matematic, inextricabi l conexat unei autentice istori i a „detronări lor" surselor intuitive ale cunoaşteri i matematice, ca şijustifzcării axiomelor aritmeticii şi geometriei. Se ştie că descoperi rea numerelor iraţionale a condus la „abandonarea" intuiţiei aritmetice pitagoreice în favoarea celei geometrice. O geometrie „clară ca cristalul" a devenit teoria

fundamentală (având ca teorie p ivot - teoria proporţiilor) în care urma să fie „tradusă" această aritmetică recalcitrantă „iraţională", dar în seco lul al XIX- iea c l ar ificarea statutu lu i numere lor iraţionale a reab i l itat intuiţia aritmetică. Ulterior am as istat la competiţia d intre intuiţiile set-teoretică (Cantor), logică (Russel l), „globală" (Hi lbert) şi constructivistă (Brouwer) . Nu mai ins istăm aici asupra mutaţiilor înregistrate de concepţia despre intuiţia set teoretică şi, corespunzător, despre realitatea matematică, „impactul" ven ind dinspre unele rezultate

267

metamatematice remarcab i le : demonstraţia de independenţă (sau rezu ltatul de independenţă stab i l it de P. Cohen, analogii cu demonstraţia şi independenţa postu latului paralelelor) , teorema Lowenheim-Skolem etc .

Desigur, intuiţia logică în cadru l programului eucl id ian împărtăşit de logicişti devenea sursa autentică a rigorii logice, sursă ş i garanţie a certitudinii axiome lor, dar şi a transmiteri i adevărului.

Ciudat şi consternant a fost că însuşi Russe l l şi-a pierdut încrederea în caracteru l evident al eucl idianismului şi a fost nevoit, „împins" de statutul axiomei reducerii, să opteze pentru un anumit sort de inductivism, care a afectat acurateţea logicismu lui pe care l-a îmbrăţi şat şi profesat cu atâta, poate, candoare. El a admis că unele axiome, ca şi cea a reduceri i , pot fi acceptate şi justificate inductiv, adică în virtutea evidenţei lor inductiv derivate din consecinţele val ide produse de raţionamente. Dacă matematica este organizată ca un sistem deductiv, atunci când noi credem în matematica pură, lucru l acesta nu este datorat exclusiv adevăru lui prem iselor, unele dintre acestea pot fi, chiar mai mult sau mai puţin ev idente decât consecinţele lor (aproape că Russel l formulează ideea că propoziţi i le care sunt cele mai evidente „nu sunt logic cele mai ev idente", un fenomen mai pregnant în şti inţele empirice) . În domeniul logic ii pure, se întâmplă, observă Russel l , ca primele principii logic pure, cel puţin unele dintre ele să fie admise nu pe propria lor socoteală, ci a consecinţelor lor. Aşadar, motivele noastre pentru care avem încredere în logică (şi în matematica pură) sunt în parte inductive şi probabile, în ciuda faptulu i că în ordine logică, propoziţi i le logicii şi matematici i pure sunt deduse din prem isele logici i prin deducţie pură. Russe l l marchează, în acest context, o distincţie importantă care surmontează confuzii şi d ificu ltăţi : chestiunea epistemologică şi chestiunea logică. Şi , paradoxal, observăm un fenomen straniu, acefa cum logicien i i matematici (în primul rând logic işt i i ) „obsedaţi" de rigoare şi certitudine abso l ută aj ung la inductivism; ceva, desigur, ce nu a fost intenţionat în demersu l lor iniţial . Ş i A. Fraenkel ( 1 929) nota că unele axiome îşi primesc , ,fu l l we ight" din ev idenţa consecinţelor lor. Rosser ( 1 953 ) observa că termenul de „axiomă" folosit de Euclid desemna un „adevăr auto-evident", în t imp

268

ce astăzi axiomele formează o mulţime de enunţuri care, împreună cu regula modus ponens, constitu ie o bază suficientă ca să derivăm toate enunţuri le, pe care dorim să le deducem . Problema legitimă este care sunt acele enunţuri pe care vrem să le derivăm? Sunt ele autoev ident adevărate?, caz în care constatăm că Rosser p lasează discuţia problemei autoevidenţei de la nivelul axiomelor la cel al enunţurilor ce dorim să le derivăm. Dar, acest mod de „postulare" în care sunt axiomatizate mulţim i de enunţuri arbitrare, indiferent de adevărul sau/şi fals itatea lor, se învederează ca ire levant privind atât adevărul, cât şi transmiterea lui , iar caracterul lui dezagreabi l 1-a împins întru d i sperare (pe Russel l ) spre inductivism ; dezorientat de confuzii , el pare a nu mai avea speranţa găsiri i splendidei certitudini ce-i animase ideal u l deductivist şi logicist, văzându-se nevoit să renunţe la euclidianism ca paradigmă a rigorii, a certitudinii şi adevărului în pei saju l dezo lant al unei matemat ic i recalcitrante, acestea fi ind de neatins nicăieri; un scepticism izvorât d in neîmplin irea unui ideal care vedea matematica ca paradigmă a cunoaşterii umane; logica poate doar să explice matematica, nu şi s-o demonstreze, un eşec al justificării certitudini i matematice. Deşi Hempel ( 1 945) a considerat că propoziţi i le matematici i au o cert itudine nechestionabi lă, asemenea propoziţi i l or de genul „toţi cel ibatari i sunt necăsătoriţi", sceptic i i au acuzat matematica că nu oferă cunoaştere autentică, ci numai „sofisticărie". Intuiţionismul reprezintă în filosofia matematicii o ramură a scepticilor distructivi care au speculat d ificul tăţ i le logicişti lor. După Weyl ( 1 949) „Principia Mathematica" fundează matematica nu pe logica s ingură, ci pe un fel de paradis al logicianului care crede într-o lume transcendentală. Intu iţionişti i acuză logica russel l iană pe considerentu l că ea are un caracter contra- intuitiv. Re laţ ia d i ntre log ic ism ş i intu iţion ism (de fapt ş i formalism) a cunoscut o evoluţie d e l a 193 I (Congresu l de la Konigsberg), unde logicismul a fost reprezentat de

R. Carnap [ l ] , formal ismul a fost reprezentat de J . von Neumann [ I ] , iar intuiţion ismul a fost reprezentat de Heyting [2] şi până astăzi . Dacă tonu l competitiv şi polemic era semnificativ pentru rival itatea acestor curente în 1 93 1 , deja la al doi lea Congres - 1 960, Stanford, California - s-a

269

putut constata, cu stupoare, că acest ton deven ise moderat. Heyting [3] spunea în 1 960: „Aş vrea să compar situaţ ia d in 1 930 cu cea de astăz i . Spiritul cooperării (subt . ns. ) paşnice a învins controversele implacab i le. Nici o direcţie de cercetare nu mai are pretenţia să reprezinte unica matematică adevărată".

Evoluţi i le recente din sfera cercetări lor fundaţionale au constrâns aceste curente ( logicismul , formal ismul , intuiţionismul) la «mutaţii de tranziţie» de la aspectul lor doctrinar-filosofie l a cel metateoretic, în speţă meta-matematic; constatăm proem inenţa şi preeminenta aspectului ,fundaţional" ş i o „disoluţie" a celui ,fundaţionist", primul fi ind un e lement mai profund racordat la ce face „working mathematician", mai relevant pentru practica matematică şi meta-matematică. Referitor la „ elementul- ingredient" doctr i n ar fi losofi e al acestor programe fundaţioniste (curente în fi losofia matematic i i ) , observăm că logicismul a devenit pe rând „moderat", apoi „pluralistic" şi o metamorfoză simi lară au parcurs şi celelalte două curente (rivale), programul lui Hi lbert din formal ism a devenit „programul modificat" în vers iunea Gentzen, ca mai recent, după 1 964 (vezi şi Rob inson [3 ] ), să exceleze printr-o abundenţă de in_vest igaţi i şi rezultate metamatematice, între care un loc de seamă deţin cele descoperite ş i/sau stab i l ite de P. Cohen [ I ] ; în cazul intu iţ ion ismulu i s-au constituit cunoscutel e d i recţi i constructiviste reprezentate cu prest ig iu de A . A . Marcov, P: Lorenzen, ca ş i conceptual ismul constructiv e laborat de Hao Wang, orientări î n care se statuează expl ic it părăs irea unor premise intuiţion iste (brouweriene) ca cele ce vizează ontologia subiectivistă: metalismul şi idealismul subiectiv.

Orientarea, în maniera marcatfundaţională şi deci nefundaţionistă, a intuiţionişti lor spre cercetări le metamatematice efective a gravitat, din punct de vedere fi losofie, în jurul conceptulu i fundamental de intuiţie. Astfel , Lawrence Pozgany [ I ] propune ceea ce el numeşte intuiţionism liberal ca o bază pentru teoria mulţimi lor, al cărui nucleu este aserţiunea fundamentală de a priv i mulţimile ca ficţiuni mentale, constructe ; intuiţion ismul l i beral se distinge de cel obişnuit, prin aceea că permite construcţia mulţimilor actual infinite de cardinalitate arbitrar de înaltă

270

(mare). În examinarea intuiţionismului l i beral disociem două principi i : Principiul A care conservă sui generis aspectul intuiţionist formulat astfel : o mulţime este un construct mental care rezu ltă din operaţia mentală de a gândi o colecţie de ob iecte care au fost anter ior descoperite sau construite şi apoi privind întreaga colecţie de obiecte ca un singur obiect nou, numit „mulţimea" obiectelor date. Principiul B care marchează aspectul liberal: Orice proces mental bine definit pentru construirea mulţimi lor care a fost envisioned fără ambiguităţi sau contradicţi i , poate fi privit ca deja complet, ind iferent de orice dificultăţi pur practice care pot preveni pe c ineva de a- l executa actual . Comentariul principiu lui formulat de Lawrence Pozgany ne expl icitează enunţarea unei definiţi i a unei mulţim i foarte apropiată de noţiunea de n;rnlţime a lui G. Cantor [ I ] . Autorul insistă asupra remarci i că obiecte!�, care sunt „colectate" într-un întreg (în vederea formări i unei mulţimi), trebuie (neapărat) să fie date anterior construcţiei mulţimi i în cauză. Prin urmare, nu este p lasată nici o restricţie cu privire la obiectele ce vor forma o mulţime, ci se formulează doar cond iţia ca ele să ne fie date anterior acesteia. De altfel, ni se pare că această idee a autorulu i este consonantă cu concepţi i ale lui Cantor expuse în scrisori către Dedekind şi anume, că nu orice colecţii se pot constitui ca o singură total itate (a single total ity), pe acestea el numindu- le colecţii absolut infinite sau inconsistente;_ deci, Cantor a negat că orice colecţie de obiecte date se constitu ie ca o mulţime. Pe aceeaşi l in ie de gândire este consemnată d istincţia colecţii şi mulţimi formulată de T. Sko lem [ l ].

Examinarea princ ip iu lu i (A) mai comportă următoare le trei clarificări :

A 1 • Orice colecţie oarecare de obiecte anterior date prin descoperire sau construcţie poate fi considerată ca formând o singură total itate sau mulţime.

A2• Dacă S este orice mulţime ş i x este un membru al lui S, atunci x trebuie să fie dat anterior construcţiei lui S.

Obiectele furnizate, date prin descoperire, mai curând decât prin construcţie, sunt num ite, în mod uzual, individuali. Edificarea teoriei

27 1

mulţimi lor este un proces mental care se face pas cu pas, începând cu anum iţ i ind iv idual i şi cont inuând cu formarea mu l ţim i lor de aceşti ind ividual i , apoi de mulţim i care conţin posib i l indiv iduali şi mulţimi ş .a .m.d .

A3 • Orice mulţime S este distinctă de toate obiectele x care sunt, în mod esenţial, în S .

Acum, este evidentă relevanţa principiului asumat de intuiţionismul liberal referitor la paradoxuri, să spunem că vorbim de cel al lu i Cantor, bazat pe conceptul de mulţimea Ma tuturor mulţumi/or; deoarece această noţiune nu este legitimă, construcţia respectivei mulţim i M nu este autorizată. Într-adevăr, pentru a construi mulţimea M noi trebu ie să presupunem că toate mulţim i le, inclusiv M, au fost deja construite, o contradicţie cu presupoziţi i le cerute în construirea lui M. Hao Wang [ 1 ] a vorbit de aspectul genetic al noţiuni i de mulţime a lui Cantor. Paradoxul lui Cantor emerge d irect dintr-o atitudine ontologică platonistă, care asumă că toate mu lţim i le sunt „date", „există" prin ele însele şi ne aşteaptă să le examinăm . Asemănător, deoarece nici o mulţime nu poate să fie propriul ei membru (membru al ei însăşi) eşuăm în încercarea de a construi mulţimea tuturor mulţimilor care nu sunt membri ale lor însele; trebuie o altă încercare ca să construim o mulţime a tututor mulţimi lor, deci , cade şi paradoxul lui Russel l odată cu cel al lui Cantor.

Intuiţionismul l iberal se dovedeşte fructuos în expunerea tuturor axiomelor s i stemulu i Zerme lo-Fraenkel , a legi i terţ iu lu i exc lus, a paradoxului lui Skolem, ca şi a ipotezei conţinutu lu i etc.

5.6. PROGRAMUL FORMALIST H ILBERTIAN. FORMALISMUL H ILBERTIAN

Programul formal ist hi lbertian a situat în centrul anal izei fi losofice conceptul de limbaj matematic şi, ca program metateoretic s-a constitu it ca „metamatematică" sau „teoria demonstraţiei" . Hilbert, întemeietorul formalismului , a intenţ ionat ca prin metamatematică să ofere o/undare

272

a matematicii clasice, sperând astfel să salveze „programul eucl id ian" (al fundări i matematice) de scept icismul dezo lant care se configura sub influenţa paradoxelor în matematică; în acest sens, se poate spune că scopul formal işti lor a fost identic cu cel al logicişti lor.

Într-adevăr, Hi lbert afirma expres că nu trebuie să ne lăsăm izgoniţi ·de nimen i şi de nimic d in „paradisul" creat de G. Cantor. Unde este de sperat să găsitn certitud inea, dacă nu în matematică, aceastăparadigmă recunoscută a devărului şi certitudinii? lată că ş i a ic i formaţ i i le conceptuale şi inferenţe le doved ite legitime până acum, conduc la absurdităţi . S ituaţia creată în matematică pr in apariţia paradoxurilor, dacă nu descuraja, oricum, provoca.

P lecând de la prestigiul şi efic ienţa axiomatic i i formale la care constr ibui seră atâtea nume celebre în epocă, precum Frege, Peano, Russel l etc . , Hi lbert îşi formulează idei le sale, care vor constitu i nucleu l metamatematici i sale, programul metateoretic poate cel mai fecund lansat de mari le programe fundaţioniste: logicism,formalism, intuiţionism. Hilbert va pleca de la o situaţie remacabi lă în epocă, cea a „ aritmetizării matematicii", şi în context va formula următoarele idei : 1 ) axiomatizarea ş i expunerea matemat i c i i c l as i ce în cadru l unu i l imbaj forma l , reprezentarea e i sub forma unui calcul ; 2 ) toate adevăruri le aritmetice (ş i , deci , via aritmetizare, toate sorturi le de adevăr matematic) pot fi formal demonstrate; 3 ) toate propoziţi i le aritmetice care sunt formal demonstrate (teoremele aritmetici i) vor fi cert adevărate dacă sistemul formal este consistent, adică nu se întâmplă ca atât A cât ş i Ă să fie ambele teoreme; 4) metamatematica urmează să. asigure demonstraţia consi stenţe i şi completitudini i sistemelor formale prin cercetări asupra calculelor. În scopul evitări i �ricărei c ircularităţi, demonstraţia noncontrad icţiei (consistenţe i) se va conforma unor exigenţe „ tari " de constructivitate, adică va fi e laborată în „cadrul punctului de vedere finitist" (matematica fi ind, în concepţia lui Hi lbert, o „teorie un itară" care conţine numai termeni perfect de bine cunoscuţi ş i inferenţe trivial corecte). La această exigenţă s-a referit şi Ramsey [ 1, p. 63] când afirma că principi i le folosite în demonstraţia matematică ş i axiomele matematici i

273

nu conduc la contrad icţ i i . În acel aş i sens, J. von Neumann [2] caracterizează argumentu l matematic ca „o în lănţu ire de inferenţe intu itive autoevidente", iar Hi lbert conchidea că adevărul matematic şi, care urmare a aritmetizări i , toate adevăruri le matematice vor fi întemeiate pe o intuiţie „globală", devenind adevăr absolut.

Obiectivu l programului h i l bert ian era justificarea certitudin i i cunoaşterii matematice, „de a stabi l i o dată pentru totdeauna certitud inea metodelor ei" (Hilbert), de a funda acest „model de certitudine şi adevăr". Căci convingerea lui Hi lbert era că paradoxele din teoria mulţimi lor sunt generate de folosirea abuzivă a unor metode demne de încredere, ş i nu de natura matematici i . Numai prin separarea uti l izării corecte de cea abuzivă se poate salva matematica de paradoxe şi se poate asigura certitudinea ei .

Programul lui Hilbert formu la între cer inţe le semn i ficat ive următoare l e : 1 ) păstrarea i ntectă a matemat ic i i c las i ce, i nc lus iv „paradis ul cantorian", ad ică teor ia mu l ţ im i lo r creată de acest matematician celebru, care a contribuit cel mai mu lt la crearea no i i paradigme a matematicii de la sfârşitu l seco lului a l XIX-iea şi începutu l secolului al XX- iea („vom depista cu atenţie, vom cultiva, vom întări ş i vom face uti l izabi le defin iţi i l e ş i căi le de raţionament fecunde, chiar acolo unde se oferă cea mai slabă perspectivă. Din paradisul pe care ni la creat Cantor numeni nu ne va alunga") (Hilbert [3 ] ); 2) Întemeierea matematic i i c las ice printr-o demonstraţie de cons istenţă care va stab i l i imposibi litatea apariţiei paradoxelor ş i , în consecinţă, „va produce aceeaşi certitudine pentru raţionament aşa cum există în aritmetica elementară, de care nimeni nu se îndo ieşte şi unde contradicţi i le şi paradoxele apar numai datorită neatenţiei noastre".

Pentru real izarea acestui obiectiv Hi lbert a e laborat, impl icit şi expl icit o concepţie epistemologică despre natura matematicii, obiectu l , demersul şi valoarea ei, concepţie care asuma o bază logică laborios construită. În mod explicit în Hi l bert [3 ] se afirmă că „atingerea acestor ţeluri este, evident, posibi lă numai dacă reuşim să e lucidăm comp let natura infinitului"; după cum se ştie conceptul de infinit a fost funda-

274

mental , dacă nu chiar dominant în gândirea matematici i c lasice, pe care vrea s-o apere întemeietorul formalismului de „ invazia antinom i i lor". l ată de ce Hi lbert procedează la un examen atât de atent al conceptu lui de infinit, căutând să răspundă la întrebarea: Ce sens are acest concept ln contextul gând iri i matematice? de pe poziţia finiti smului - exigenţă expres asumată în metamatematica sa, Hi l bert scria: „infin itul nu este n icăieri de găsit în real itate, oricare ar fi experienţele, observaţi i le la care am apela şi orice şti inţă am uti l iza . . . "; „ infinitul nu ne-a fost nicidecum dat în real itate, ci doar interpolat sau extrapolat prin intermediul unui proces intelectual", Hi lbert [3 ] . Despre totalităţile infinite se poate spune că nu există, sunt simple ficţiuni care conferă eleganţă construcţi i lor noastre matemat ice şi s imp l i tate raţionamentel or noastre asupra mulţ imi lor finite. I nfluenţa lui Kant asupra concepţiei epistemologice h i lbertiene este evidentă: „Operarea cu infinitul nu poate fi asigurată d�cât prin finit. Rolul care-i rămâne infinitului este numai acela al unei idei - după Kant vom înţelege printr-o idee un concept al raţiun i i care depăşeşte întreaga experienţă şi care întregeşte concretul ca total itate" (Hi lbert [3 ] ) . Ş i , deşi, cum am afirmat, scopu l formal ismu lu i este identic cu cel al logicismulu i , urmând pe Kant, Hi lbert se desparte de Frege şi Russel configurându-şi într-un mod specific concepţia epistemologică şi programul metodologic, afirmând că şi conţinutul real al matematici i „nu depinde de nici un fel de log ică şi de aceea . . . nu poate avea ca fundament numai logica" (Hi l bert [3 ] ) . Conţinutul matematicii ne este dat în reprezentare (se observă limbajul kantian împrumutat! ) ca „obiecte extralogice, concrete, care există intuitiv ca trăire efectivă nem ij locită înainte de orice gând ire) . ( ibidem, p. 1 42). Hi lbert consideră că teza acestui conţinut ireductib i l al matematici i este „atitudinea filosofică fundamentală" „necesară pentru matematică ca ş i în genere pentru orice gând ire, comprehensiune şi comunicare şti inţifică, şi fără de care o manifestare sp ir ituală n ic i măcar nu este posi b i lă", (Hi l bert [ 3 ] ) . Relevante pentru stud iu l întreprins asupra natur i i matematici i şi în vederea fundări i ei sunt în concepţia h i lbert iană „înseşi semnele concrete" . . . obiecte le studiu lu i nostru, a căror formă, ca urmare a atitudin i i

275

noastre, este imed iat clară şi se poate recunoaşte" (Hilbert [3 ] ) . În acest mod Hi lbert a fost condus la o concepţie formalistă asupra matematic i i , după care obiectul matematic, conţinutu l ei ireductibi l este constitu it din configuraţi i le finite de semne concrete şi reprezintă, în term inologia lui, domeniul „ real " al acestei ştiinţe. Acest domeniu este întregit în matematica clas ică prin adăugarea aşa-num itului domeniu „ideal" al matematici i , structuri ideale", ca elementele ideale din algebra (de ex.

� ), şi care asigură valab i l itatea generală a regul i lor şi legi lor logici i . Dar, întrucât punctul de vedere fi losofie acceptat este cel ,jinitist", Hilbert formulează teza că existenţă în matematică au numai elementele finite, construcţi i le conceptuale finite care aparţin domeniului real ş i dintr-o asemenea perspect ivă urmează să fie reinterpretate enunţuri l e generale ş i existenţiale d in matematică, încât acestea să dobândească o semnificaţiefinitistă; evident, vor fi admise numai raţionamente finitiste. În acest sens o construcţie conceptuală finită este o definiţie care se menţine „în cadrul reprezentabi l ităţi i fundamentale a obiectelor ca şi a real izab i l ităţi i fundamentale a proceselor şi prin aceasta se înfăptu ieşte în cadrul modului de considerare concret". (D. Hi lbert şi P. Bernays [2]) . Raţionamentul finit este, .după Hi lbert şi Bemays, „raţionamentul concret, direct, real izabi l în experimente ideale asupra obiectelor prezente intuitiv şi l iber de supoziţi i axiomatice" (D. Hilbert şi P. Bernays [2] ) . Asemenea aserţiuni relevante pentru punctul de vedere finitist adoptat în formal ism i-au determinat pe H. Scholz [ I ] şi G. Hasenjaeger să afirme că „acest punct de vedere se man ifestă în negarea tuturor supoziţi i lor sau proceselor de raţionare extinse din finit asupra infinitulu i , ş i care nu sunt certificate prin caracterul lor constructiv".

Dar Hi lbert a observat că multe din raţionamentele şi moduri le de construcţie conceptuală practicate în matematică, îndeosebi în aritmetică, anal iză, teoria mulţimi lor nu satisfac exigenţa finitismului : „în anal iză . . . modal itatea nefinită de formare a conceptelor ş i de demonstraţie aparţine însăşi metodei teoriei" (D. Hilbert, P. Bemays [2] ); iar în teoria mulţimilor acest fapt este şi mai evident în urma introducerii de către Cantor a

276

numerelor transfinite. Fascinat de creaţia lu i Cantor, Hi lbert scria că ea ne-a oferit cea mai adâncă înţelegere a naturii infinitu lui „constitu ind" produsul cel mai m inunat al spiritu lui matematic şi în general una d in real izări le cele mai înalte a le activităţi i umane pur raţionale" (Hilbert [3 ] ) . Avea, deci , motive profunde când scria că nu trebuie să se renunţe la „paradisul lui Cantor", idee consonantă cu una d in tezele fundamentale ale programului său, şi anume păstrarea intactă a matematicii c lasice. Aj unşi aici t rebu ie să remarcăm că d i fi cu ltatea în care s-a aflat întemeietoru l formal ismului era esenţială şi provocativă: Hi lbert vrea, pe de o parte, să salveze întreaga matematică c lasică, inclusiv creaţia cantoriană, şi să nu renunţe la folosirea principi i lor generale ale logici i , iar, pe de altă parte, anunţase ca atitudinefilosoficăfundamentală punctul de vederefinitist, incompatibi l cu menţinerea întregi i matematici clas ice, dar şi cu ap l icarea nerestrictivă a principi i lor logice. Convins de menirea noţiuni lor abstracte -simpl ificarea şi completarea teorii lor - el vrea să le introducă în matematică şi în acelaşi timp vrea să evite paradoxuri le inerente acestui proces . Soluţia problemei, Hi lbert o găseşte operând distincţia „domen iul «real» şi domeniul «ideal»" al matematic i i ş i general izând metoda elementelor ideale inspirată chiar d e experienţa matematică. Numai enunţuri le finite, aparţin părţi i reale a matematic i i , posedă semnificaţie, în t imp ce, enunţur i le ideale au numai un rol operaţional (întregesc formal i smul dar nu extind ontologia teoriei matematice respective). Rolu l operaţional al e lementelor ideale rezidă în menţinerea „regul i lor simple formale ale logicii aristotel ice obişnuite", deoarece „enunţuri l e ideale şi anume formulele, în măsura în care ele nu exprimă afirmaţi i finite, nu semnifică nimic, operaţi i le logice nu pot fi ap l icate faţă de e le concret ca în cazul propoziţi i lor fin ite . Este, deci , necesar să forma l i zăm operaţi i l e l og i ce ş i ch iar demonstraţi i l e matematice" . ( D . H i l bert [4] ) . Formal izarea teori i lor matematice, reprezentarea lor sub forma unor calcule, este prem isa fundamentală a e laborării demonstraţiei de consistenţă a matematici i c lasice - idealul major al metamatematicii sale.

Din constatarea lu i Hi lbert că „existenţa unor domenii infinite de indivizi" nu poate fi legitimată prin apel la experienţă sau la o real itate

277

în s ine, aşadar nu poate fi justificată d irect, urmează că adm iterea lor în matematică cere o demonstraţie de noncontradicţie a unu i s istem de axiome care să caracterizeze asemenea entităţ i . Noncontradicţia devine în concepţia lu i Hi lbert criteriul fundamental al adm iteri i entităţi lor matematice, punct de vedere general izat cu privire la întreaga cunoaştere şt i in ţ i fi că . Construcţiile conceptuale idealizate, proven ite din extrapo larea unu i anum it domen i u de experienţă, şi care perm it o reprezentare simp l ificatoare a real i tăţi i , trebuie să satisfacă condiţ i i le : a) o corespondenţă aproximativă cu real itatea; şi b) extrapolarea înfăptuită prin ele să fie noncontradictorie. D. Hi lbert, P. Bemays [2, p. 2] scriu în această privinţă: „ideal izăr i le întreprinse în teorie, adică extrapo larea prin care construcţi i le conceptuale şi principi i le teoriei depăşesc domeniu l fie al ev idenţei intuitive, fie al datelor de observaţie, vor fi recunoscute ca l i ps i te de contrad i c ţ i i „ . Suntem astfe l nevo i ţ i s ă cercetăm noncontrad icţia si stemelor teoretice independent de cons iderarea stări lor factuale, ş i prin aceasta no i ne aflăm deja pe punctul de vedere al axiomaticiiformale" (subt . ns .) .

Aşadar, vrând să just ifice matematica clasică, Hilbert este preocupat să ofere o demonstraţ ie a consistenţei absolute a aceste ia, ad ică o demonstraţie directă, înăuntrul s istemului formal . Reamintim că acest sistem formal care să „captureze" întreaga matematică avea un caracter sui generis, căci considerând, cum am văzut, că logica nu poate construi un fundament pentru matematică, întemeietorul formalismului a propus edificarea formală simultană a logicii şi matematicii. Demonstraţ ia absolută de consistenţă urma să aibă un caracter intern sintactic şi deci matematic, o modal itate relevantă pentru celebrul enunţ h i lbertian ,,să mutăm odată pentru totdeauna fundamentele matematicii înăuntrul matematicii"; este ceea ce s-a num it separarea fundamentelor de epistemologie . S-a vorbit în acest sens de faptu l că în problema fundamentării, el a oferit un gen de fundamente sintactice, numite de uni i autori „combinatoriale", ceea ce este sugestiv pentru natura argumentelor matematice, i dee reţinută şi în formularea, anterior citată, a unui discipol remarcabi l al lui Hi lbert, este vorba de John von Neumann.

278

Nucleul metamatematicii hilbertiene a constat în următoarea idee: (A ) Fie un si stem S consistent. Dacă S este extins conservativ şi necreativ ln S 1 , atunci S 1 va fi de asemeni un sistem consistent. (Asupra ide i lor care urmează, vezi şi I . Pârvu [2, p . 230-23 1 ] ) . În legătură cu această l eză centrală se pot formula 2 observaţi i, una de ordin logic, iar alta de ord in metodologic. Ideea logică corectă ar fi nu (A) ci (B) : Dacă un sistem matematic S consistent ş i complet va fi extins conservativ şi necreativ, atunci şi extens ia sa S 1 de acest tip va fi de asemenea cons i stentă . Observaţ ia a doua se referă la ce r i n ţa de n atură operaţionalistă: un sistem matematic întregit cu structuri ideale este uti l izab i l dacă şi numai dacă orice demonstraţ ie a unei teoreme care are un core l at fin i t al matematic i i fin ite poate fi transformată într-o demonstraţie în care nu sunt folosite elemente ideale; altfel spus, propoziţiile ideale nu generează, în mod independent, teoreme aparţinând părţii finite a matematicii, rezultă că în urma unei asemenea demonstraţi i, propoziţi i le ideale pot fi e l iminate. Urmează că în terminologia lui Quine [ 1 ] caracterul necreator şi conservativ al extinderi i domeniu lu i real al matematic i i cu propoz iţi i ideale generează „inocenţa esenţială" a conceptelor teoretice, învederând faptul că ele sunt şti inţific dispensabi le, având statutul de abstracţi i fără corespondent în existenţa matematică.

Acordând un asemenea statut propoziţi i lor ideale, Hi lbert adoptă o variantă a instrumentalismului: propoziţi i le şi conceptele teoretice au numai un rol operaţional, asigurând o s impl ificare (eventual o eleganţă) a raţionamentelor noastre efectuate asupra obiectelor fin ite, fondatorul formal i smu lu i ch iar exp l i cit corelează at itud inea sa fi losofică cu instrumental ismul fizic. Amintim că instrumental ismu l ş i nominal ismul lui Hi lbert au o natură specifică, căci , de exemplu, în ceea ce priveşte atitud inea lu i nom inal istă exi stă o d iferenţă faţă de poziţ ia unor nom inal işti ca N . Goodman, L. Henkin etc. , deoarece e l nu a cerut, ca aceşt ia, eliminarea idealizărilor d in toate contexte l e la n i ve l u l enunţuri l or, nu a cerut e l im inarea tuturor propoziţ i i l or ideale ş i a conceptelor ideale luate individual prin traduceri şi definiţ i i exp l icite în propoziţi i, respectiv concepte reale" ( cf. I . Pârvu [2, p. 23 1 ] ; exigenţa h i lbertiană are în vedere contextul g lobal, cf. S. C. Kleene [ 1 ] .

279

Programul lui Hi lbert a fost centrat pe demonstraţia directă sau, absolută („sintactică") a consistenţei şi completitudinii. Teoremele lui Godel au infirmat obiectivul formal i smulu i h i lbert ian . Teorema de incompletitudine a lu i Godel poate fi enunţată astfel : dacă un s istem de axiome este noncontradictoriu, atunci se poate construi un enunţ adevărat al aritmetici i elementare, cu proprietatea că nu este nic i demonstrabi l ş i nici refutabi l în s istemul axiomatic respectiv. Altfel spus, acest rezultat stabi leşte că este imposibilă chiar o a:xiometrizare completă a aritmeticii. Teorema a doua a lui Godel: dacă un s istem este clasic necontradictoriu, atunci necontradicţia acestui s i stem nu se poate demonstra cu metodele interne ale s istemului . A rezultat că deoarece şi metodele finite aparţin metodelor formalizabi le în sistemul formal, obiectivul formali st nu este real izabi l , adică nu este as igurată demonstraţia consi stenţei matematic i i clas ice prin metode fin ite. Godel însuşi a afirmat că o demonstraţie de cons i stenţă fin ită (adi că intu i ţion i st i reproşab i lă) pe care o caută formal işt i i este imposib i lă în general .

Consecinţele teoremelor godel iene trebuie analizate în p lanjilosojic şi în p lan metodologic. Din punct de vedere .filosojic, formalismul este o concepţie nominalistă şi instrumentalistă. Eşecul formal ismului, datorat rezultatelor gode l iene, a învederat incapac itatea epistemologică ş i metodologică a nom inal ismulu i de a expl ica adecvat natura cunoaşteri i matematice, reducând-o la limbaj, reducând esenţa matematici i sau/ş i a metamatematic i i la un ansamblu de consideraţii s intactice sau intern matematice. Problematica fi losofică a matematici i nu poate fi redusă la aceste aspecte şi ea nu poate fi rezolvată exclusiv cu instrumentaţia logic formală a metamatematici i . I . Pârvu [2, p. 232] observa că fraza lu i Kripke [ 1 , p. 46 1 ] „nu există un substitut matematic pentru filosofie" ar putea fi invocată în evaluarea globală a formal ismului , pentru stabi l irea valori i ş i l im itelor cercetări i pur şi intern matematice a particularităţi lor ş i fundamentelor cunoaşteri i matematice. În continuarea acestui gând merită evocat un pasaj concludent pentru problema în d iscuţie, aparţi nând lu i E. Brieskorn [ 1 , p. 228-229] : „ele (programele fundaţioniste) au încercat să rezo lve problema semnificaţie i propoziţi i lor matemat ice intern

280

matematic sau pe o bazăfilosofică insuficientă, fără a raporta matematica la acţi unea umană, la practică. Ca urmare, însăş i pract ica matematică internă a fost de ambele orientări prescurtată şi deformată".

Dacă intenţiile fundaţioniste ale formalismului n-au fost real izate, în p lan metodo logic se poate vorbi de o fert i l itate remarcab i l ă a metamatematici i . În primul rând trebuie reţinută contribuţia şco l i i de metamatemat ică a l u i H i l bert la : 1 ) stuciiu l eficace a l aspectelor constructive ale s i stemelor axiomatice, fapt în atenţia unor autori ca G. Kreisel [ 1 ]; 2) studiu l fundamentelor matematic i i , domeniu în care, remarca autoru l c itat, formal i smul a impus „o tehn ică matemat ică riguroasă pentru cercetarea bogatei varietăţ i a problemelor fundării matematicii şi logicii", studiu care abundă în probleme dar şi rezultate; ş i , poate, faptu l ce l mai semn ifi cativ îl constitu ie ch iar teoremele godel iene care au fost reabordate recent din perspectivă constructivist-fundaţională de W. S. Hatcher [ l ] , Hao Wang [ l ] şi la care ne vom referi în cont inuare, dar nu înainte de a menţiona unele contri buţi i majore la ş i în tradiţia formal ismulu i , ne gând im în primul rând la Gentzen.

5.7. G ENTZEN ŞI PROGRAMU L LUI H I LBERT

Gentzen revine în 1 936 la programu l lu i Hi lbert consacrându-ş i eforturi le cercetărilor metamatematice. Principala lu i contribuţie în această privinţă este ideea că s-ar putea folosi în locul procedurii originale hilbertiene o formă restricţionată de inducţie transfinilă, care, deşi nu este formalizabilă în teoria numerelor, este, totuşi, consonantă cu principii de demonstraţie admise din punct de vedere finitist. „O demonstraţie de cons istenţă" - scrie Gentzen [ 1 , p. 23] - „este o demonstraţie matematică în care anumite inferenţe şi concepte derivate trebuie să fie derivate; l ipsa lor de contrad icţie trebuie deja să fie presupusă. Nu se poate să fie o demonstraţie absolută de consistenţă. O demonstraţie de cons istenţă reduce corecti tud i nea anum itor forme de inferenţă l a corect i tudinea a l tor forme de i nferenţă. Este dec i c lar că într-o

28 1

demonstraţie de consi stenţă no i putem folosi numai forme de inferenţă pe care le apreciem considerab i l mai sigure decât formele de inferenţă ale teoriei a cărei consistenţă este să fie demonstrată".

Atitudinea lui Gentzen o vedem confirmată în atitudinea explicită a formaliştilor: „Examinarea noastră a începuturilor teoriei numerelor ş i algebrei a servit scopul elucidării raţionamentului neformat în apl icaţia şi uzul lui direct, l iber de asumpţi i axiomatice, cum este purtat în experimente mentale în termeni i obiectelor intuitiv concepute. Acest fel de raţionament noi îl vom num i, în scopul de a avea o expresie concisă pentru el , raţionament .finitist, şi de asemenea vom desemna ca atitudine .finitistă, sau punct de vedere finitist, atitudinea metodologică care întemeiază acest raţionament. În acelaşi sens noi vom vorbi de concepte şi aserţiuni specifice «finitist» , exprimând cu cuvântu l «fin it ist» în fiecare caz faptul că de l i berarea, aserţ iunea sau definiţ ia procedează înăuntrul l im ite lor conceptibi l ităţi i în principiu a obiectelor ca şi a realizabi l ităţi i în principiu a proceselor şi astfel acestea au loc în interiorul domeniului consideraţi i lor concrete" (Hilbert, Bemays [2]). Tot ceea ce a spus Gentzen despre tehnicile sale de demonstraţie este că sunt în acord cu intenţi i le fin itiste.

Inducţia trans.finită restricţionată a lu i Genzen a provocat mu lte comentari i şi atitudin i . De p i ldă, aceasta este o metodă finitară în funcţie de i nterpretarea ei. B lack scrie că este îndreptăţită expl icaţia lui Bernays, după care „ insuccesul anterior al programului formal ist este datorat restricţi i lor exces ive asupra moduri lor perm is ib i le de cercetare". În esenţă, acest comentariu al lu i B lack ne spune că inducţia trans.finită restricţionată a lui Gentzen este elementară şi intuitivă deşi nu este strict finitistă. Comparând metodele finitare cu cele intu iţion iste, Gentzen a spus despre primele că sunt mai restrictive, fapt ce l-a determ inat să ofere o demonstraţie de consistenţă, în sens intu iţionist, afirmând ch iar că intuiţionismului lui Brouwer este compatibil cu uzuri mai liberale ale formelor conceptului de infinit.

Referindu-se la relaţia existentă între demonstraţi i le de consistenţă şi regu la inducţiei tranfinite restricţionate, Gentzen scrie: „în demonstraţia mea, «demonstraţi i le» de teoria numerelor, a căror cons istenţă este să fie demonstrată, sunt angaj ate într-o secvenţă care urmează d i n

282

consistenţa «demonstraţi i lor» care o precede. Această secvenţă (şir) poate fi pusă într-o corespondenţă biunivocă cu numerele ord inale transfi n i te până la E0 • Este d i n acest mot iv că ş i cons i stenţa tuturor «demonstraţi i lor» urmează d intr-o inducţie transfinită până laE0".

Anal izând structura numerelor ordinale până la E0, Gentzen a conchis asupra naturii lor constructive, ca şi asupra tipului de inducţie restricţionată practicată de el, afirmând că este în acord cu punctul de vedere finitist. El spera, chiar, că o extensiune a inducţiei transfinite, peste un segment mai mare al clasei a doua de numere a lui G. Cantor, ar face posibilă o demonstraţie a anal izei, dar moartea sa tragică survenită în 1 945 a lăsat în proiect toate acestea, însă Ackermann, Fitch, Lorenzen, Schtitte, Takeuti l-au continuat.

În ceea ce priveşte incompletitudinea sist�melor formale, Gentzen a afirmat că deşi este un fenomen i nteresant nu este totuşi alarmant. Nu se poate spune că pentru teoria numerelor se poate specifica odată pentru totdeauna un si stem suficient de forme de inferenţă, deoarece pentru teoreme noi sunt cerute forme noi de inferenţă, ceea ce nu se poate ant i c i p a d i ntr- un început . De ş i teoreme l e l u i Gode l de spre incompletitudine au indi cat o slăbic iune a metodei axiomatice, Gentzen a văzut în acest fenomen doar un obstacol minor în investigaţi i le metamatematice „minimizat" prin „procedura lui de reducţie" .

Evaluând global contribuţia lu i Gentzen suntem obl igaţi să operăm distincţia dintre metodefinitiste şi metode constructive. Gentzen a afirmat despre inducţia sa restricţionată că deşi nu este în acorddepl in cu finitismul este totuşi constructivă, iar metodele intuiţioniste şi fin itare sunt în fapt cazuri , variante ale punctului de vedere constructiv în matematică.

5.8. PROGRAMUL LUI H I LBERT ŞI SEMNI FICATIA . . '

TEOREMELOR LUI GODEL

Se consideră un si stem de ordinul întâi, F, (sau de ord in mai înalt în care egal i tatea este defin ib i lă) sufic ient de bogat, dacă cel puţin aritmetica de ordinul întâi poate fi expusă în cadru l lu i .

283

Rezultate le stabi l ite de Godel sunt următoarele: ( I ) Dacă cerem ca mulţimea axiomelor proprii ale unui si stem să fie o mulţime decidabi lă (să decidem prin mij loace pur constructive dacă o formulă bine (corect) formată este sau nu o axiomă), atunci nu există un mod de a construi un s istem formal de ordinul întâi sau de ord in mai înalt în care toate enunţurile adevărate ale matematicii , exprimabile în interiorul s istemului, săfie demonstrabile ca teoremele .

(2) Consistenţa unui si stem F de ordinul întâi, suficient de bogat, nu poate fi demonstrată prin metode care pot fi exprimate în F. În particular, dacă S este consistent, atunci nu putem demonstra consistenţa lui înăuntrul său; a face acest lucru trebuie să folosim metode care depăşesc s istemul (cf. W. S. Hatcher [ l ] ) .

Rezultatul ( 1) a demonstrat imposibilitatea formalizării tuturor adevărurilor matematici i . Atunci este firească întrebarea pe care o pune Hatcher, despre ce fel de consi stenţă se poate vorbi când ştim că există adevăruri ale matematici i exprimabile în interiorul s istemului , dar care nu pot fi demonstrate. Rămâne atunci pos i b i l itatea să obţi nem o demonstraţ ie de consi stenţă dacă apelăm la mijloace «mai tari» decât cele exprimabi le în s istemul respectiv; după cum am văzut, Gentzen a real izat acest lucru (a demonstrat consi stenţa lu i S) folosind metoda inducţiei tranfinite impl icând metode ale teorie i generale a mulţimi lor, numai că această demonstraţie n-a avut un caracter finitar.

În ultima perioadă, metoda de demonstraţie a lui GOdel a fost abordată cu ajutorul funcţi i lor recurs ive. Se uti l izează numărarea gădeliană, adică se construieşte o funcţie care stabi leşte o corespondenţă biunivocă între semne f.b.f. * , secvenţe de f.b.f. ale unui sistem formal şi numere naturale. Aşadar semnele fundamentale ale teoriei de ordinul întâi sunt numărabi le . F i ind dat un semn, f.b.f. sau secvenţa de f.b.f. , noi putem calcula numărul lui Gădel asociat şi, v iceversa, putem decide dacă un întreg dat este un număr Godel al unei configuraţi i s imbol ice şi să identificăm configuraţia respectivă. Structura sistemului este astfel expl icitată că se poate distinge între un semn şi un element al unei secvenţe, având asociate numere

* formule bine formate

284

godel iene d iferite. După ce se stabi leşte corespondenţa d intre aritmetică şi l imbajul formal, se poate uşor remarca faptu l că orice proprietate a sistemului dă naştere la o proprietate aritmetică şi v iceversa. Această atribuire de numere, prin funcţia biunivocă, este numită aritmetizarea metamatematicii, în sensul că enunţuri le despre sistemul formal devin, via numărarea gădeliană, enunţuri în teoria numerelor. Această reprezentare a numerelor naturale în interiorul sistemului, devine mai clară cu ajutorul noţiuni lor de funcţie recursivă şi mulţime recursivă, ale căror definiţi i le presupunem cunoscute. În virtutea corespondenţei biunivoce dintre obiectele lingvistice ale unui sistem formal şi numerele naturale, corespondenţă stabi l ită prin numărarea godeliană, putem vorbi de mulţimea f.b .f. ca recursivă, dacă mulţimea corespunzătoare ei a numerelor Godel este recurs ivă. S im i lar, o relaţie între f. b.f. este recurs ivă dacă relaţia corespunzătoare asupra numerelor naturale este de asemenea recursivă. Urmează că cerinţa ca mulţimea de axiome ale unui sistem formal să fie „mecanic decidabilă" poate să fie acum riguros definită cu ajutorul recursivităţii: anume, mu lţimea ei , a numere lor Godel trebui e să fie recurs ivă. Din acest punct de vedere recursiv putem defini noţiunea de sistem axiomatic: un sistem a cărui mulţime de axiome este recursivă va fi numit axiomatic. Noţiunea de recursivitate poartă de la numerele naturale la semnele şi expres i i le sistemului formal. O problemă importantă este cea a relaţiei d intre funcţi i le calculab i le şi recursive. Noi avem o noţiune intuitivă de calculabilitate, independent de definiţia formală a recursivităţii, fapt evident cu privire la numărarea godel iană. Funcţia G care ne dă «numărarea Godel» a semnelor şi expresi i lor este calculab i lă, în sensul că putem identifica o expresie, plecând de la numărul ei godel ian şi se poate calcula numărul godel ian, al unei expresi i . Noi apelăm la recursiv itatea lui G, deoarece numai prin G noţiunea de recursivitate este definită pentru expresi i formale. Pentru a vorbi de recursivitatea unei mulţimi de obiecte, cu ajutorul unei funcţi i b iunivoce care le pune în corespondenţă cu numerele naturale, este necesar ca funcţia să fie intuitiv efectivă.

Următoarea teză - toate funcţiile calculabile sunt recursive -

este teza lui A. Church. Această teză poate fi formulată prin mai multe moduri de a defini calculabi l itatea (cu ajutoru l maşin i i Turing, algoritm

285

Marcov), moduri echivalente , ceea ce sugerează că intuiţ ia care le-a fundat este aceeaş i .

Formularea rezultatului ( 1 ) prezentată aici este atribuită l u i Godel ş i Rosser şi este numită teorema Gădel-Rosser, rezultatul original a l lui Gădel fiind mai s lab şi impl ică noţiunea de co-consi stenţă (vezi Rosser [ 1 ] ) .

5.9. FORMALISMUL - F ILOSOFIE CO NTEMPORANĂ A MATEMATICI I

Formalismul ca fi losofie contemporană a matematic i i a devenit predom inant la m ij locul seco lului nostru şi, deşi desci nde din opera lu i D. Hi lbert, nu se identifică i ntegral cu atitudinea fi losofică a acestuia care emerge din meta-matematica sa . N. D. Goodman [ l , p . 542] invocând scrier i le lu i H i lbert [3] ş i G. Kreise l [3 ] afirmă că trebuie d istinse că concepţi i le h i lbertiene, adesea numite ,formalism", de poziţia formalistă pe care o avem în vedere, deoarece matematicianul german a adm is că matematica fin ită, combinatorie, posedăsemnificaţie şi adevăr, ceea ce, evident, excede definiţiei formaliste a matematicii: matematica este manipulare guvernată de regul i , sau formală, a s imboluri lor şi n imic altceva. D. Hi lbert a inventat metamatematica d in anum ite raţiun i ş i pentru anumite rosturi fundaţionale ce vizau justificarea matematic i i infinitulu i . S-ar putea spune că fi losofia h i lbertiană are o substanţă mai complexă decât cea a formal ismulu i contemporan, pe care îl avem în vedere, fi ind mai curând caracterizată ca o combinaţie specifică de «realism al finitului» şi «formalism pentru infinit» . Poziţ ia formal i stă prezentată aici este identificată în stud i i le şi art icolele lui H. Curry [2] , [3 ] , A. Robinson [2] şi P. Cohen [2] . Oameni i de şti inţă, i nteresaţi în domeniul computerelor şi inte l igenţe i artificiale, care nu găsesc d iferenţe semnificative între intel igenţă umană şi computere, tinzând s-o as imi leze pe prima cele i de-a doua, aderă şi ei la un asemenea punct de vedere formal ist pe care l-am descris mai sus, ajungând în final la întrebarearăspuns : „puteţi dvs. imagina un matematician care lucrează în orice alt mod decât prin manipularea s imbo luri lor?".

286

Fi losofia formal istă defineşte matematica ca şti inţă a demonstraţiei r iguroase, poate, mai complet, o «arhitectură de demonstraţii» formale, logice. Desigur, o asemenea demonstraţie (formală, logică) are un punct de plecare : termeni nedefiniţi şi enunţuri nedemonstrate despre termeni, numite „asumpţii" sau „axiome", ca de exemplu, în geometrie unde „punct", „ l inie" etc. , au rolu l de termeni nedefiniţi , iar enunţul : „prin orice două puncte distincte trece exact o singură l in ie dreaptă" este o axiomă. Formal istul nu asociază enunţului un tablou ( imagine) mental(ă) şi numai în urma unei interpretări oferite termeni lor „punct", „ l in ie" al tor termen i , axiome l e dev i n adevărate sau fal se ş i , ev ident, se prezumează că există o interpretare în care ele sunt adevărate . Oricum, pentru fo rm al i s t i nterpretarea rămâne i re l evantă, in teresu l l u i concentrându-se asupra deducţiei logice, ale cărei rezultate sunt teoremele despre care, de asemenea, el nu afirmă că sunt adevărate sau false, ca şi în cazul axiomelor. Tot ceea ce el afirmă, este că teoremele urmează logic din axiome, enunţuri le teoremelor neavând conţinut, căci nu poartă asupra a ceva, nu sunt despre ceva; procesul logic al deducţiei teoremelor le conferă consi stenţă, evitând orice „fisură" log ică. Pe scurt, din punct de vedere formalist, matematica este ştiinţa deducţiilor formale, de l a axiome l a teoreme, termenii e i definiţi, enunţuri le e i neavând conţinut până ce o interpretare i-a fost asociată. Un exemplu concret va oferi un suport intuitiv acestor cons ideraţi i general-abstracte. Presupunem că un formal ist este întrebat care este conţinutul teoremei fundamentale a aritmeticii. Dacă adoptămformalismul strict, răspunsul său va fi negativ, teorema fi ind considerată de el o secvenţă de simboluri . Formal istul afirmă că această teoremă nu are o semnificaţie separată, distinctă de ro l u l ei în angaj area ei în d i fe r i te l e act i v i tăţ i s imbo l i ce a l e matematicieni lor. Dacă părăsim poziţia formal istă ş i vom da o descriere mai precisă a activităţi lor s imbol ice, luând în considerare, de exemplu, un sistem formal care codifică o parte a matematici i , atunci vom fi în stare să dăm o expl icaţie a rolului teoremei fundamentale; mai mult, vom fi în măsură să specificăm una sau mai multe demonstraţi i formale ale teoremei în s istemul pe care l-am ales şi să dăm exemple în care

287

folos im această teoremă în demonstraţia altor teoreme, ceea ce va contura semnificaţia e i . Înainte de a prezenta unele observaţii critice la adresa fi losofiei formal iste, am int im că în mod curent, concepţia „oficială" în învăţământ o adoptă ca o chestiune de fapt, în timp ce se remarcă un sort de implauzab i l itate a ei atunci când este confruntată cu experienţa matematică obişnuită sau standard, în acord cu care profesorul de şcoală e lementară predă matematica despre „fapte ale aritmetici i", „fapte ale geometriei" etc., iar în şcoala superioară teorema lui Pitagora sau teorema factorizării prime sunt în fapt enunţuri despre triunghiuri sau despre întregi, o atitudine neîmpărtăşită de aşa-num ita concepţie „oficială", dominată de formal ism, sau, mai b ine spus de acesta de urmă.

Într-adevăr, „detronarea" geometriei eucl id iene, care pretindea că p leacă de la „adevăruri seif-evidente", prin descoperirea geometriei noneuc l idi ene, inspirată tocmai de tentaţia demonstrări i postulatu lu i paralele lor, datorate insufic iente i lu i auto-evidenţe, a părut drept o pledoarie în favoarea fi losofiei formal iste. Această situaţie metodologică inedită în câmpul investigaţi i lor fundaţioniste ale matematicii a avut unele consecinţe ce au favorizat punctul de vedere formalist asupra naturii şi statutului matematicii ca şti inţă. La întrebarea dacă postulatul paralelelor şi negaţia lui sunt ambele adevărate, fi losoful formal ist apărând dreptu l matematicianului de a studia ambele tipuri de geometr ie - eucl idiană şi neeucl id iană - propune ca răspuns renunţarea la noţiunea de adevăr (adică, faptul că sunt adevărate) şi invocă drept suficientă noţiunea de consistenţă, apl icabi lă disciplinelor matematice în cauză. Conflictul între cele două geometri i are la bază credinţa că această discipl ină matematică poartă asupra spaţiului fizic obiectiv, guvernat de un anumit set de legi, pe care aceste două teori i geometrice încearcă să le descrie; dacă renunţăm la o astfel de credinţă, atunci aceste teori i matemat ice - am numit geometria euc l idiană ş i geometria neeucl idiană - nu mai sunt rivale, ci doar două teori i d iferite, postulatele paralelelor în acestea fi ind valab i le şi deci adevărate cu privire la linia dreaptă euclidiană, respect iv la linia neeuclidiană. Rămân teoremele geometriei semnificative independent de i nterpretăr i l e fiz ice, are sens să atr ibu im „adevărat" şi „fals" enunţuri lor aparţinând matematic i i (respectiv geometriei) pure? Dacă

288

platoni stu l răspunde afirmativ în v irtutea tezei centrale a concepţiei sale că există obiecte matematice configurate într-un univers distinct de cel al obiectelor fizice; un punct de vedere cu care formal i stul nu poate fi de acord cu acest răspuns în v i rtutea aserţiuni i centrale, în doctrina pe care o împărtăşeşte, conform căreia enunţuri le matematice (ale geometrie i , aici) nu pot fi nici adveărate n ic i false, deoarece e le nu semnifică nim ic, nu spun nimic despre ceva. Formal istul operează o distincţie tranşantă între geometria matematică configurată ca o autentică structură deductivă şi geometria fizică concepută ca o ştiinţă descriptivă, rezervând numai pentru prima un loc în domeniul matematic i i ; apelul la d iagrame sau imagin i mentale este irelevant şi deci superfluu în sfera matematici i pure şi, mai mult, când examinăm edificiul deductiv al acestei şti inţe riguroase, a ne întreba de ce am ales cutare sau cutare axioqie ca prem ise ale lui , rămâne pentru formal ist o chestiune de natură pre-matematică; pentru formalist nu este demnă de interes n ic i problema aplicaţiilor aceste i structuri deductive care configurează o disc ip l ină matematică, în cazul de aici, geometria; s ingura activitate matematică relevantă este enunţarea i poteze lor (axiomelor) ş i derivarea concluziilor prin mecanismul demonstraţiilor formale, r iguroase, mediul autentic a l manipulării formale a simbolurilor.

Aşadar, pentru forma l i sm această „manipulare" forma lă a simboluri lor contează, în această viziune nu există obiecte matematice, aşa cum susţine platonismul . Matematica, în esenţă, rezidă în formule, adică axiome, definiţii ş i teoreme. Formalismul extrem susţine că există regul i în virtutea cărora matematicianul derivă o formulă din alte formule, dar care nu sunt despre n imic, sunt doar secvenţe, ş iruri de s imboluri . În v iziunea formalişti lor o formulă matematică autentică nu are semnificaţie şi nici valoare de adevăr, iar când sunt nevoiţi să se refere la apl icaţi i la probleme fizice, e i conced că formula în cauză a primit o interpretare fizică, în virtutea căreia primeşte o semnificaţie, putând fi adevărată sau fa l să. Adevăru l (sau falsu l ) cu care se operează în acest context, formal istul îl atr ibuie exclusiv acelei interpretări fizice particulare, continuând să rămână ire levant de îndată ce p lasăm discuţia în planul matematici i pure.

289

Ne întoarcem la anunţatele observaţii critice privind unele teze alefilosofieiformaliste a matematici i . Putem fi de acord că matematica imp l ică manipularea formală a s imbo lur i lo r, cu a l te cuv inte un matematician în mod obişnuit lucrează în interiorul unui sistem formal, un aspect important al activităţ i i matematice, subiect de investigaţie al teoriei funcţi i lor recursive, ramură a logici i matematice. Această teorie a relevat aspecte ale naturii matematici i , în primul rând a contribuit la aprofundarea înţe legeri i noastre a l im itelor inerente acestei şti inţe : matematicienii nu vor putea calcula vreodată o funcţie nerecursivă, sau vor rezolva o problemă recursiv insolubilă, sau, vor putea lucra într-o teorie care nu este recurs iv axiomatizab ilă. De aic i nu urmează justificarea de tip formal ist să adm item că m intea umană funcţionează asemănător procedeelor algoritm ice, în sensul în care discută despre aceste teorii ale funcţi i lor recursive. Formal ismu l apare aici ca o teză absolutistă doctrinar, căci transgresează un plan metodo logic, cel al accentu lu i pus pe s imbol ism şi formal isme matematice, în d i recţia evidentă a unei absolutizări căreia îi scapă reconstituirea integrală a

naturii cunoaşterii matematice. Dificu ltăţi le formal ismului sunt mai marcante, atunci când este

confruntat cu problema fundamentelor matematicii, direct conectată cu cea a existenţei entităţilor matematice; să ne imaginăm difucultăţi le unui matematician formal ist creator, ad ică să scrutăm mai atent re laţia dintre creativitate şi rolul exterior al simbolurilor în interiorul unei activităţi matematice reale, autent ice în t impu l so l uţ ionăr i i unei prob l eme . Mărtu r i i l e matemat i c i an u l u i care l ucrează c reat i v, consemnează că el în procesul căutări i soluţiei nu are de-a face atât cu simboluri, cât mai curând cu idei şi construcţii (cf. N. D. Goodman [ l , p. 543 ] ) ; este ev identă dificu ltatea, când încearcă să-şi exprime ideea într-un mod formal, care la început este pregnant însoţită de imagini v izuale. Progresul în clarificarea ide i i este relevat de modul formal din ce în ce mai adecvat care o exprimă, structura ei internă fi ind încă necod ificată simbol ic. Ch iar dacă avem aici o împletire a categoriilor psihologice cu cele epistemologice în investigaţie, lucru greu de evitat,

290

oricum pare conv ingător să susţinem prioritatea ideilor, construcţiilor, demonstraţiilor, ca veritabi le entităţi matematice,faţă de simboluri, care într-un anumit sens au un rol exterior. Această u lt imă parte a ide i i s ub l i n iate poate f i uşor ev idenţ iată pr i n refer i re la d i scu ţ i i l e matematicieni lor despre idei, construcţii şi demonstraţi i . Matematicieni i d iscută curent despre, dacă două studii exprimă aceeaşi idee, dacă două şiruri de simboluri d istincte exprimă aceeaşi construcţie, sau dacă două conferinţe expun aceeaşi demonstraţie, conchide N. D . Goodman [ 1 , p. 543 ] ; şi, chiar mai mult, ei fac distincţia între o demonstraţie nouă şi una veche a unei teoreme, criteriu l nefiind unul de ordinul formei . Esenţa formalismului o constituie negarea realităţii ob iective a construcţiilor matematice luate ca intuiţie, ad ică, care nu sunt nici formale şi nici simbolice şi care sunt v itale pentru practica matemf:l.tic i i ; intuitiv are aici sensul de opusformalui, supral icitat în formal ism, un argument putând fi considerat intuitiv dacă este natural şi decurge uşor. Demonstraţia, ca specie a genericului construcţii (matematice) are statutul de a fi intu itivă, atunci când există independent de s imboluri, ad ică este neformal izată; în v irtutea structur i i sale interne, demonstraţia ( intu itivă) produce rezultate şi nu datorită s imbol ismului care o codifică şi prin acest spec ific al ei îş i dă măsura ei de productivitate creativă în sfera matematic i i .

De la realitatea matematică (ca problemă) se ajunge, aproape, direct la prob le ma fundamentelor matematicii în viziunea formal istă care declară aproape tot ansamblul matematici i pure drept un «joc simbolic fără semnificaţ ie» , o teză drast ic sancţ ionată de in tuiţ ionism (constructivism) care nu a admis ca această „bijuterie a spiritului uman" să fie tratată ca un joc de semne vid de orice semnificaţie. Diferenţa d intre formal işti şi p l aton işti este c lară în problema fundamente lor matematic i i , în context cel mai adesea fi ind invocat cazu l ipotezei continuului a lu i G. Cantor. Pe scurt, Cantor a făcut ipoteza că nu există număr cardinal infinit mai mare decât Xo (cardinalul întregilor) şi mai m ic decât c (cardinalul numerelor reale). Se ştie că K. God el şi P. Cohen au obţinut rezultate remarcabi le, referitoare la această prob lemă, ce au marcat situaţia din fundamentele matematicii; primul a demonstrat

29 1

consistenţa axiomei în cauză cu restu l axiomelor teoriei mulţimi lor, cel de-al doi lea a demonstrat independenţa acestei axiome (am nurn it ipoteza continuului) faţă de celelalte axiome ale teoriei mu lţim ilor. Problema a fost pusă în următoru l cadru : Gădel [ 1 ]- 1 947 a reuşit să arate că ipoteza continuului a lui Cantor nu poate fi demonstrată pe baza axiomelor teorie i formale a mu l ţim i lor; Cohen [ l ]- 1 964, a arătat în ace laşi context menţionat că ipoteza lui Cantor nu poate fi infirmată. Am făcut referire la aceşti doi autori din două motive: 1 ) amândoi au numele legat de două mari rezul tate ce au marcat destinul cercetărilor fundaţionale ale matematicii; 2) reprezintă cele două fi losofii rivale ale matematic i i -platonismul şi formalismul - acesta din urmă fi ind d in punct de vedere fi losofie de sorginte nominal istă şi instrumental istă, curente adversare realismului, a cărui specie marcantă este platonismul. Acum, fără să detal iem concepţia fundaţională a autori lor invocaţi, ne l im ităm să spunem numai că pentru un p laton ist, ş i Godel este poate cel mai reprezentativ pentru această direcţie fi losofică, orientare din fi losofia matematici i a secolu lu i XX, rezu ltatul godel ian semnifica faptu l că axiomele noastre sunt incomplete pentru a ne oferi o descriere adecvată a mulţimii numerelor reale, regiune a realităţii matematice; aceste axiome nu ar fi, în spiritu l concepţiei gădel iene, suficient de puternice ca să ne releve complet întregul adevăr. Ipoteza continuului este sau adevărată sau falsă, dar noi nu dispunem de o înţelegere satisfăcătoare a mulţim i i numerelor reale pentru a găsi răspunsul acestei probleme, ad ică pentru a putea decide asupra statutului ipoteze i continuulu i , cunoscută şi ca problemă a continuului a lui Cantor. Pentru alte deta l i i a se vedea Godel [ l ] şi unele observaţii d in expunerea noastră din cap. 5 . § 3 . În ceea ce îl priveşte pe P. Cohen, el însuşi a declarat (Cohen [2, p. 1 3 ] ) că a ales poziţ ia forma l istă, fi ind putern i c infl uenţat de A. Robinson [2 ] , respingând într-o formă sau alta orice formă de real ism (platon ism, când ne referim la matematică). Să am intim că reprezentanţ i i fi losofie i formal iste a matematicii , şi num im cel puţin pe A. Robinson şi P. Cohen, îş i revendică rădăcini le punctu lui lor de vedere fi losofie ca fi ind aşezate în opera lu i D. Hi lbert, deşi noi am ţinut să remarcăm specificul distinct

292

al concepţiei h i lbertiene. A. Robinson [2, p. 5 56] declară expres: „După cum o ind ică tit lul , poziţia mea este în principi� sol idară cu cea a lu i Hi lbert şi a şco l i i sale. Am adăugat anu l 1 964, nu numai pentru că astăzi se ştie (dar nu se ştia în 1 925) că programul lui Hi lbert este sortit eşecului, ci şi pentru că actualul tablou al bazelor matematic i i a fost modificat de către dezvoltări importante în alte direcţi i, d iferite de formal ism . Mai vreau să adaug că nu pot subscrie la nici una d in afirmaţi i le lui Hi lbert pe acest tărâm. De fapt, intervenţia mea nu trebuie priv ită n ici ea ca o descriere a unei situaţi i i storice, nici ca un man ifest care încearcă să stabi lească o lege, ci mai degrabă ca o confesiune, ca o confirmare a unui punct de vedere personal , dobândit după un îndestulător număr de an i . Cât priveşte acest punct de vedere, nu pretind n ic i adeziunea cu fidel itate la vreo şcoală exi stentă, n ic i nu- i revend ic statutu l une i original ităţi fundamentale". Aşadar acest sort de formalism contemporan, deşi solidar în principiu cu poziţia hilbertiană în filosofia matematicii, nu se reclamă ca aparţinând unei şcol i sau direcţ i i în fundamentele matematicii , fi ind mai degrabă un ansamblu quasicoerent de reflecţi i , credinţe inspirate de experienţa în domeniu a autorulu i, având, cum spune însuşi Robinson, statutul unei alegeri al cărei „resort" este de „natură empirică", ceea ce în interpretarea noastră are caracterul unei concepţii cu caracter pragmatic, într-un sens l iberal izat de conotaţi i i storice; receptiv la „rezultate tehn ice", Robinson declară că nu împărtăşeşte n ici un crez fi l osofie . Poziţia adoptată de A. Rob inson se bazează pe următoarele două principi i : 1 ) mulţim i le infinite nu există în n ic i un sens al cuvântulu i (adică n ici în sens real, nici în sens ideal), orice referire sau aluzie la mulţimi le infinite este l ipsită de înţeles; după cum se observă, poziţia lu i Robinson e diferită de cea h i lbertiană, aceasta d in urmă lăsând un loc şi un statut pentru infin it în „partea ideală" a matematic i i, aşadar, poziţia lu i Robinson faţă de infinitul matematic este una extremă, drastică, contestându-i orice legitim itate onto logică, metodologică şi poate chiar ep istemologică; 2) a doua aserţiune centrală a poziţiei lu i A. Robinson ne pare a fi o atenuare a caracteru lu i prea tranşant a primei aserţiuni şi pare a «introduce infinitul pe uşa din dos» în matematică, cu toate acestea

291

vom continua să practicăm matematica «În mod obişnuit», ad ică vom acţiona ca şi cum mulţim i le infinite ar exista realmente". Primul principiu are un caracter descriptiv, al doi lea pare a fi o prescripţie demnă de urmat. Oricum, abordând problema infinitului Robinson atacă în fapt o prob lemă care o subordonează, aceea a existenţei în matematică, direct conexată «fundaţiilor» (ax iom e lor, po stu late l or) m atemat i c i i . „Nominaliştii declară exi stenţa mulţimii numerelor naturale drept o i luzie, în timp ce realiştii platonicieni cred, în genere, în existenţa ideală a en ităţ i lor matemat ice, afirmă A . Rob inson, inc lus iv în exi stenţa mulţimi lor transfinite de numere card inale, oricât de mari, în măsura în care ele pot fi introduse cu ajutorul unor axiome adevărate". Şi continuă, autorul citat, cu aserţiuni relevante pentru platonism dar şi cu precizări ce ar nuanţa concepţia în cauză: „platon icieni i cred în adevăru l ob iectiv al teoremelor matematice deoarece cred în existenţa obiectivă a entităţilor matematice" . Este menţionat Găde l , considerat cel ma i marcant platon ician contemporan, pentru analogia pe care acesta a relevat-o privind investigarea obiectelor fizice şi a celor matematice, din care a extras o concluzie care a şocat pe formalişti , şi anume marele logician al secolului nostru a declarat că nu vede nici un motiv pentru a admite existenţa obiectivă a celor dintâi şi pentru a nega ex istenţa celor din urmă. Rob inson declară că noţiunea de clasă particulară de cinci elemente, de exemplu, de cinci scaune, se prezintă m inţi i noastre tot atât de l impede ca noţiunea de element izolat, un anum it scaun, prin aceasta el se îndepărtează de nom inal işti i care realizează noţiunea de indiv idual, dar nu sunt capabi l i să o conceapă pe cea de clasă. Vom înţelege mai bine particularităţi le poziţiei formaliste a lui A. Rob inson, dacă urmărim acest pasaj din studiul din 1 964 : „Prin contrast, mă simt absolut incapabi l să real izez ideea de mulţime infin ită reală. După părerea mea, există o prăpastie de netrecut între mulţim i le sau structuri le de unul, două sau cinci elemente, pe de o parte, şi structuri le infinite, pe de alta, ori mai precis, între termenii care denotează mulţimi sau structuri de unul, două sau c inci elemente şi termeni i men iţi să denoteze mulţ imi sau structuri alcătuite din elemente infinit de numeroase. Aşa cum e enunţat aici ,

294

acest punct de vedere priveşte noţiunea de infinit în teoria mulţ im i lor abstracte cu referire specială la infinitu l card inal . Totuşi , alte tipuri de infinit pot fi semnificative pentru d iscuţia noastră, îndeosebi infinitul ordinal, ca în teoria numerelor ord inale, sau infin itu l d in geometrie, cum ar fi lungimea infin ită. Deşi acestea pot fi reduse prin considerente matematice la infinitul cardinal, se poate aduce argumentul că, din pounct de vedere fi losofie, infinitu l ord inal sau infinitu l geometric sunt mu lt mai esenţiale decât infinitu l card inal ş i perm it înţelegerea noţiuni i de infinit în toal itatea sa. Trebuie prin urmare să adaug că sunt de asemene incapabi l să surprind infinitu l ordinal sau infinitu l geometric. Rezultă că trebuie să consider că o teorie care se referă la o mulţime infin ită este l ipsită de înţeles în sensu l că termen i i şi propoziţ i i le nu pot avea acea corespondenţă cu o structură reală pe care am aşJepta să o aibă în analogie cu s ituaţi i le concrete (de pi ldă empirice) . Aceasta nu vrea să spună însă că o asemenea teorie e absurdă sau l ips ită de semnificaţie". Iar în 1 969 scria: � ,Eu nu pot să-mi imaginez să mă întorc la credoul p latonistu lu i autentic care vede lumea infinitu lu i actual desfăşurată în faţa lu i ş i care crede că poate înţe lege incomprehens ib i lu l" . Ceea ce ne interesează aici este mai cu seamă referirea lu i A. Rob inson la rezulatele lu i Godel şi Cohen, relevanţa lor set-teoretică, ca şi la impl icaţi i le lor fi losofice. Robinson [2, p . 5 8 1 ] spune : „ În vreme ce acest l ucru sugerează formal işti lor că întreaga noţiune de univers al mulţimi lor e l ipsită de înţeles (în sensul indicat de principiul nostru prim), platonicieni i conch id numai că propoziţi i le de bază şi unanim acceptate ale un iversului de mulţimi cunoscute nouă, până astăzi sunt suficiente pentru a rezolva într-un fel sau altu l ipoteza continuului . Ei vor menţine afirmaţia, atât în acest caz cât ş i în cele s imi lare, că oricum una din a lternativele avansate de ei este corectă, ad ică în concordanţă cu adevărul. Ajunşi aici, au de înfruntat prob lema dacă în acest domeniu adevărul este sau nu cu neces itate discernabil pentru gând irea umană. După câte ştiu, doar o slabă m inoritate de matematicieni, chiar dintre cei cu vederi platoniciene, acceptă ideea că pot ex i sta fapte m atemat ice adevărate dar incognoscib i le . Dacă, dimpotrivă, un p latonician susţine că orice adevăr

295

matematic despre un iversu l mu lţim i lor sau despre o structură specifică, este cu necesitate discernabi l, atunci i se cere să-şi anal izeze propria sa modal itate de a se exprima. În speţă, trebuie să reflecteze la întrebarea dacă un adevăr este d i scernab i l numai dacă va fi (cu neces itate) discernabi l cândva, şi lucruri le stând aşa, dacă aceasta impl ică obligatoriu descoperirea unor no i supoz i ţ i i «naturale» sau a unor forme de argumentare acceptab i l e pentru to ţ i , sau pentru aproape toţ i matematicieni i . În orice caz, ni se pare că situaţia actuală d in teoria mulţimi lor îi favorizează pe formal işti".

Dacă situaţia din teoria mulţimilor î i favorizează pe formal işti, situaţia din teoria numerelor este d iferită, deoarece incompletitudinea oricărui sistem de axiome în această teorie, exemplele invocate pentru demonstrarea acestu i fenomen şi mai precis faptu l că enunţul gădelian care afirmă propria sa nedemonstrabilitate, afirmă totodată şi adevărul său îi favorizează pe platonicieni. Problema „bifurcării" din teoria mulţimi lor şi teoria numerelor este i luzorie din punctul de vedere al platonicien i lor, deoarece numai una dintre alternative, cea care conţine ipoteza continuu lui este adevărată, o problemă irelevantă d in punct de vedere formal ist care nu asimi lează teoria mulţim i lor şi teoria numerelor ca o parte esenţială proprie. Considerând ambele alternative ca posib i le, formal işti i nu văd în situaţiafundaţională a „ bifurcării " un test definitiv împotriva sau în favoarea platonismului. Interpretarea platonistă nu are sens din punct de vedere formalist, deoarece adepţi i acestei concepţi i nu recunosc existenţa sistemului de numere reale, cu excepţia faptu lui că îl creăm pentru a- l descrie. Schimbarea unui sistem de axiome o facem dacă noi o dorim din considerente de convenanţă, uti l itate sau pe alte criter i i , dar în nici un caz d in motive pentru o mai bună corespondenţă cu real itatea matematică (asupra căreia ar purta discursu l matematic, aici set-teoretic, sau de teoria numerelor), o exigenţă cu sens dezirabi lă din perspectiva p latonismulu i matematic.

Completăm acest tablou al consideraţii lor formal iste cu unele remarci metamatematice datorate sau inspirate din studiul lui P. Cohen [2] . Ideea fundamentală a comentarii lor formaliste asupra fundamentelor

296

teoriei mulţimi lor din Cohen [2] este aceea că matematica este «Un joc formal» confruntat cu chestiuni ale consistenţei şi pentru care problema adevărului nu are sens atâta timp cât discursul l ingv istico-matematic nu presupune semnificaţia şi referinţa, adică o realitate matematică, n işte obiecte matematice. Cohen recunoaşte că fi losofia real istă a metmatici i , ad ică p latonismul, susţine ideea că toate probl emele, ca de exemplu ipoteza continuului şi altele, sunt adevărate sau false în domeniul postulat al entităţi lor matematice, în ciuda independenţei lor în raport cu restu l axiomelor, sau cu diferitele sisteme de axiome. El opinează că majoritatea matematicieni lor împărtăşesc o poziţie reali stă, pe care o chestionează doar când începe confruntarea cu d ificu ltăţi ce emerg din adoptarea ei , şi atunci o părăsesc îndreptându-se spre adăpostu l oferit de formal ism. Dar, oricum, se concede că poziţia real istă (platonismul) are avantajul că se dispensează de justificarea axiomelor; nu este nevoie să expl icăm, în perspectiva p latonică, consistenţa axiomelor teoriei ml_!lţim i lor şi n ici de ce aceste axiome particu lare alese se dovedesc fructuoase teoretic. O s lăbiciune a poziţiei formal iste, care renunţă la orice supoziţie, privind o real itate (matematică) subiacentă teoriei mulţimi lor, . este obl igaţia de a expl ica de ce axiomele acestei teori i sunt capabi le să demonstreze enunţuri aritmetice nedemonstrabi le prin m ij loace fin itare (fin itiste), o slăbiciune compensată de inab i l itatea realistu lu i de a expl ica sursa şiru lu i nefârş it de axiome mai înalte, cum sunt axiomele infinitului ş i , mai a les, „reculul" lui în faţa comtemplării cardinalilor de un tip suficient de inaccesib il, la care poate adăuga exemp l u l axiomei cardinalilor măsurab ili, s ituaţ i i în care nu d i spunem de o exi stenţă intu i t iv conv ingătoare în favoarea (acceptarea) sau respingerea axiomelor respect ive. Ş i Cohen, ca ş i Rob inson, opinează că rezultatele de independenţă au constituit o veritabi lă provocare a poziţiei real iste în matematică, după cum unele propoziţi i insolubi le, sau nerezolvate încă, d in teoria numerelor, dezavantajează poziţia formalistă. Platonicien i i par să susţină despre consis (ZF + Cardinalul Măsurabi l ) că poat� fi redusă la consistenţa enunţuri lor putern ice adecvate considerate ca axiomele infinitulu i . Optim işt i i cred că orice problemă de teoria numerelor poate

29 7

fi decisă invocând o axiomă adecvată a infin itu lu i . După Cohen multe lucrări asupra problemei independenţei au lăsat impres ia stran ie că teoria mulţim i lor se referă la obiecte matematice „reale". Deşi observaţi i le lu i Cohen despre re l aţ i a d in tre ipo teza con tin uului ş i postulatul constructibilităţii sunt interesante ş i converg spre rezultatul că acesta din urmă ar putea contribui la deciderea problemei continuului, fapt ce îi aparţine chiar lui şi este datorat inventăr i i metodei forcingului, ne grăb im să spunem despre cum, prin metoda modelelor (semantica s istemelor formale), asistăm la „infiltraţii" realiste (platoniciene) în investigaţ i i le fundaţionale ale matematici i . Într-adevăr, în mod curent, matematicianul activ (working mathematician) preferă să d iscute nu despre sisteme formale şi modul de formare al formulelor acestora, c i despre modelele unui sistem de axiome; aşadar, este mai interesat de modele decât de mulţimea tuturor formulelor demonstrabile, deşi, în v irtutea teoremei de completitudine cele două puncte de vedere (perspective de anal iză), abordare (semantic şi s intactic) sunt ech ivalente. Dar, acest mod de a privi lucruri le pare să instaleze ş i să facă confortab i lă poziţia realistă, deoarece d iscuţia despre metode şi enunţuri (în plan logic- l ingv istic) este în locu ită cu d iscuţia despre modele, care fi ind abstracţi i adecvate unui sau unor formal ism(e) sunt, în mod aproape natural, ipostaziate ca „obiecte", un termen favorit al platonismului, un sort de „substanţializare" ce este inerentă unei asemenea maniere de abordare. Această „substanţia l izare", convertire a unui proces, relaţie în entitate distinctă, eventual independentă, a fost remarcată şi în dezvoltarea anal izei reale în legătură cu conceptul de funcţie, care gândită, iniţ ial , ca o regulă de asociere de numere la numere, a fost ulterior tratată ca o entitate independentă. Preferinţa pentru entităţi abstracte (ex. mulţim i abstracte), v is-a-vis d e construcţii specifice, a avantajat ascensiunea teoriei lui Cantor, fenomen constatat şi în teoria categoriilor unde o formulare de genul „G aparţine categoriei grupuri lor" este adoptată mai natural decât formularea „G este un grup"; motivul rezidă în faci l ităţi teoretice datorate transferului de metode de la o categorie la alta, a teoremelor generale, ceea ce permite demonstrarea unor teoreme generale

298

despre categori i . U ltimele sub iecte ale stud iu lu i lu i Cohen sunt despre axioma cardinalilor inaccesib ili - pe care o d i scută sub aspectu l justificării, l in ia de forţă a raţionamentului fi ind analogia cu distincţia finit-infinit, aici de ce nu accesibi l ş i inaccesibi l , ş i motivul că experienţa a arătat că acceptarea cardinali lor inaccesib i l i nu conduce la contradicţi i , consistenţa fiind obiectivul legitim al oricărui demers formalist autentic; subiect major este şi problema impredicativităţii (definiţi i le impredicative) care, nerestricţionată, a condus la paradoxuri, de care se face vinovat realismul, cel puţin în varianta de platonism ontologic.

* * *

Ca şi platonişti i, formal iştii adm it că teorii le matematice au modele, atunci când li se asociază o interpretare, b ineînţeles că nu luăm aici în consideraţie varianta strictă de formalism, care nu consideră matematica o teorie matematică formală interpretată. Deosebirea d intre formal işti şi p latonişti este că, prim i i neagă că ar exista un model determ inat pentru o teorie matematică dată. Mai mult, asemenea formal işti sunt de acord cu p latonişti i cu privire la faptul că valoarea de adevăr a unei propoziţi i , a unei teori i , este determ inată rel ativ la un model dat. Ca şi p latonişt i i , şi formal iştii susţin că valoarea de adevăr a unei propoziţi i nu depi nde de cunoaşterea noastră pe care o avem despre ea, c i derivă din postulatul realităţii matematice, existentă independent de matematician şi pe care act iv itatea sa are ro lu l de a o descrie. Dar, în t imp ce platonistul lucrează cu un model unic, cel intenţionat, avut fn minte, a cărui structură axiomele o determină până la izomorfism, formal istul afirmă că interesu l lui se îndreaptă, probab i l «echidistant» , către toate mode le le s i stemu lu i respectiv. Din perspectivă formal istă, problema determinări i propoziţii lor unei teorii ca adevărate sau false este legată de cea a existenţei unor astfel de modele, ca şi de modul în care propoziţi i l e le descriu . După M . Dummett [ 1 ], în perspectiva formalismului (ev ident „nu avem în vedere versiunea strictă), conţinutul unei asemenea aserţiuni matematice este totdeauna condiţional: „dacă există o structură care sat isface axiomele anal izei sau teoriei numerelor, sau teoriei mulţim ilor, atunci cutare teoremă este valabi lă despre acea structură". O problemă legată

299

de aceasta este cea a aplicaţiilor unei teori i matematice în interioru l unor regiuni ale matematic i i , ap l icaţia constând în ceea ce este numit realizare sau instanţiere, adică identificarea unei structuri particulare ( inel , corp etc.) justifică apl icarea la acea structură a teoremelor pentru inele în general, corpuri în general, remarcă M. Dummett [ l ] . Sau, demonstraţia unei teoreme despre numere raţionale invocând teoria numerelor reale, ca un auxi l iar va depinde, continuă M. Dummett, de existenţa unui model pentru teoria numerelor reale, ceea ce se exprimă în planul conţinutu lui nu: „Pentru orice model Q de raţionale, teorema T este valabilă in Q", ci mai curând: „Dacă există un model R de reale, atunci pentru orice model Q de raţionale T (teorema), are loc in, este valabilă in, Q". Totuşi, interpretarea acestui fapt este, în concepţia lui Dummett, următoarea: acceptăm teorema despre raţionale, deoarece suntem conv inşi de exi stenţa numerelor reale; aici nu avem în vedere formalismul extrem, care nu adm ite existenţa numerelor reale, ceea ce aici am făcut-o chiar necritic, considerând această existenţă ca un fapt şi nu ca o ipoteză. Cu atât mai mult, trebuie să înţelegem aici un acord între constructivişti ş iformalişti (extremişti), care nu admit tratarea existenţei continuului clasic ca o ipoteză neverificată. Varietatea extremistă de formal ism eşuează în domen iul investigaţ i i lor fundaţionale, deoarece negând existenţa structurilor din teoria mulţim i lor, teoria numerelor, analiză, care au un rol fundamental în toate ramurile matematicii, îşi barează accesul la examinarea totalităţilor crescătoare, a căror sursă sunt tocmai structuri le în cauză. Astfel, odată adm isă existenţa numerelor naturale (ceea ce formal ismul în varianta extremă nu face), existenţa unei structuri cu un domeniu numărabil încetează de a mai fi problematică, s istemul de numere naturale fiind sursa conceptului „infinit de mulţi" ( infinitely many). În mod sim i lar, continuu! de numere reale constituie sursa conceptu lui de „infinităţi mai înalte" (higher infinities). Ştim că în cadrul logici i de ordinul întâi, anal iza şi teoria mulţimi lor pot fi axiomatizate în vederea produceri i de demonstraţi i adecvate, iar celebra teoremă a lui Lăwenheim-Skolem ne as igură de existenţa modelelor numărabi le. Dacă urmăm remarci le lu i H. Putnam [ l ] referitoare la relevanţa acestei teoreme pentru cele trei poziţi i princi pale asupra referinţei şi adevărului - poziţia platonistă

300

extremă care postulează „puteri mentale nenaturale" de a „surprinde" formele, aic i „înţelegere" sau „surprindere", este după Putnam, o noţiune ireduct ib i lă şi de neexpiicat; poziţia verificaţionistă, care în locuieşte noţiunea de adevăr cu noţi unea de verificare sau demonstraţie ; poziţia moderată, realistă, care încearcă să menţină poziţia centrală a noţiun i lor de adevăr şi referinţă, dar renunţă la postularea unor puteri mentale nenaturale - constatăm că teorema Lowenhein-Skolem, împreună cu rezu ltate d in teoria modelelor, afectează poziţia realistă moderată. Fără să intrăm aici în detal i i , expuse de altfel şi în alte paragrafe, ne mulţumim să spunem, referitor la relevanţa teoremei pentru formalism , că oricum este inevitabi lă o problemă filosofică, plecând de la rezul tatul conţinut în teoremă, şi anume, „ că noţiunea intuitivă de mulţime nu este «capturată» de sistemul formal . Dacă teoria axiomatică a mulţimi lor nu capturează noţi unea intuitivă de mulţime, ce altceva ar putea s-o facă?" Putnam conchide că pare natural să ne gând im că ceea ce o captează este ceva diferit - „înţelegerea" noastră. P latonismul ar găsi răspunsul în faptul că mintea are facultăţi m isterioase de a „surprinde", „percepe" obiectele matematice . Oricum, teorema poate fi interpretată în sensul limitării puterii şi „autonomiei" formalului şi în direcţia unei poziţii realiste şi chiar platoniste, care acreditează ceva „transcendent", accesib i l unei facultăţi mentale misterioase .

* * *

Se apreciază c ă 30% d in numărul matematicieni lor sunt formal işti, pentru că în rânduri le matematicieni lor activi care lucrează creativ dom ină platonismul, o poziţie realistă în domeniu l fundamentelor matematici i . J . A. Dieudonne ( 1 970, p . 1 45 ) scria: „Asupra fundamentelor dom ină p latonismul, o poziţie real istă în domeniu l fundamentelor matematici i ; noi credem în real itatea matematică, însă, desigur, atunci când spunem : «matematica este exact o combinaţiei , de simboluri o facem până ce fi losofii ne atacă cu paradoxuri le lor şi, apo i, noi fugim în spatele formal ismului fără semnificaţie» ; apoi punem în scenă cap ito lele I şi 2 asupra teoriei mu lţim i lor. În final, suntem lăsaţi în pace să mergem înapoi

3 0 1

la matematica noastră pentru a o face cum am făcut-o totdeauna, cu sentimentul că fiecare matematician lucrează cu ceva real . Acest sentiment (senzaţie) este probabi l o i l uzie, dar una foarte convenabi lă. Aceasta este atitudinea lui Bourbaki despre fundamente" .

După Phi l ip J. Davis şi Reuben Hersh [ 1 , p. 342] , un motiv pentru care formalismul a dom inat în fundamentele şi filosofia matematic i i sar datora conexiun i i lui cu pozitivismul logic, un curent dominant în fi losofia şti inţei în an ii 1 940- 1 950 . „Şcoala de la Viena" (pozitiv iştii logici) a l ansat manifestul unei şti inţe unificate, codificată în calculu l logic formal bazat pe metoda deductivă. Idealu l formal izări i tuturor şti inţe lor a fost obiectivul principal al acestui curent (vocabular de bază al termen i lor, enunţarea legilor fundamentale folosind aceşti termeni şi dezvoltarea logică a teoriei p lecând de la aceste legi fundamentale); mecanica clas ică şi cea cuantică au oferit primul exemplu de urmat de celelalte şti inţe. Teoria formală este legată, în concepţia pozitivişti lor, de date experimenta l e prin i ntermed i u l aşa-num ite lor regu l i de interpretare şi care nu constituie o parte componentă a teoriei fonnale (ex. de regul i de interpretare în mecanica clas ică: regul i de măsurare fizică a mărim i lor ca masă, l ung ime, t imp etc. ) . Matematica este considerată, în această v iziune, doar un instrument pentru formu larea ş i dezvoltarea teoriei, legi le fundamentale apărând ca formule matematice, de exemplu: în mecanică în forma ecuaţi i lor fundamentale; prin apel la raţi onamentu l matematic, porn ind de la aceste legi sunt derivate consecinţele lor. Matematica nu este cons iderată o şti inţă propriu-zi să, ea neavând un subiect specific; ea este numai, susţin pozitiv işt i i logici , o structură formală şi prin această aserţiune, centrală, pozitiv ismul logic a dus în domeniul filosofiei şti inţei la această concepţie specifică despre natura şi statutul matematic i i -formalismul.

Deoarece matematica este considerată o ramură a cunoaşterii, a cărei structură este cel mai bine aprofundată, se consideră că.filosofia matematicii este cea mai avansată ramură a.filosofiei, şi un model pentru celelalte domeni i ale filosofiei . Filosofia anglo-americană identifică filosofia matematicii cu logica şi studiul sistemelor formale . Stilul

302

formalist în matematică este i lustrat de Şcoala, grupul Nicolas Bourbaki, despre care am spus câteva cuv inte la început. Să remarcăm că există reacţii recente la formalism, ce vin sub impactul rodnic al cercetări lor matematice, care vizează concretul şi aplicabilul. Oricum, stilul formalist de a face matematica îş i găseşte sursa în fi losofia formal i stă a matematici i ; chiar dacă aceasta este marcată de l im ite, impasuri sau chiar eşecuri , ult imul caz atunci când ea cunoaşte forme şi variante extreme.

5. 1 O. „PROBLEMA F U N DĂRI I " , ÎNCOTRO?

Pentru un fi losof, cea mai „provocativă" s ituaţie din fi losofia actuală a matematic i i este aserţiunea că filosofia matematici i se află, după aprec ierea lu i S . MacLane [ 1 ] , într-o stare de „somnolenţă", începând cu anul 1 93 1 (teoremele lui Godel) . Aprecierea lui S. MacLane este susţinută de unele remarci ale lu i K. Godel [ 1 ], care au relevat că bogăţia de rezultate metamatematice nu a fost însoţită de anal ize filosofice substanţiale, sau de observaţia lu i G. Kreisel [2] despre existenţa unei „as imetri i" între analizafilosofică şi construcţia matematică în teoria fundamentelor matemat ic i i : (vez i , de asemenea: A. Robinson [ I ] , A. Mostowski [ I ] , [2] ) . Această stare a fi losofiei este, oarecum, bizară şi paradoxală, dacă avem în vedere ce sursă fecundă pentru reflecţi a fi losofică a constituit „substanţa" teoremelor godel i ene: schimbarea v iziuni i noastre asupra naturi i şi posi b i l ităţilor logici i şi matematici i, asupra raţional ităţi i umane, în genera l . Apar ca probleme leg it ime întrebări le : care este statutul fi losofiei la nive lu l actual a l investigaţi i lor fundaţionale ale matematici i? Ce mai poate aştepta, astăzi , cercetarea fundaţională a matematic i i de la fi losofie? Care sunt modalităţi le de impl icare a fi losofiei în acest tip de cercetare? Dar, la fel de legitimă este ş i întrebarea: ce relevanţă comportă cercetarea fundaţională pentru potenţarea anal izei fi losofice? Prob lema care urmează a fi cercetată este dacă relevanţa cercetări i fundaţionale a matematici i nu ar excede l imitele domeniu lu i spec ific al acestei şti i nţe, plecând de la câteva premise:

3 03

fenomenul matematizării generale a şti inţei ; poziţia singu larăsui generis a matematici i în ansamblul culturi i , în special ca matematică ap l icată, o şt i inţă de un gen special, aflată la graniţa dintre şti inţele exacte, umaniste şi experimentale, care foloseşte metode şi procedee, elaborate în fiecare d i ntre aceste grupuri de şt i i nţe, aj unse la matur i tate teoreti că ş i metodologică; rezultate ş i sugesti i epistemologice şi metodo logice ca cele datorate l u i H. Weyl priv ind ro lu l problemelor d in şt i i nţe pentru dezvoltarea matematici i (vezi şi J. von Neumann [3 ] care anal izează problema relevanţei empirice, a interpretăr i i fizice a matematici i , a infuziei de idei empirice mai mult sau mai puţin exp l icite); „revoluţia calculatoarelor", în esenţă, impactul calculatoarelor asupra cunoaşteri i matematice, care a generat probleme filosofice serioase şi grave, precum anal iza demonstraţiei teoremei celor patru culori ( 4 CT), care constată introducerea experimentelor empirice în matematică. Deci , p lecând de la aceste premise care sugerează o s ituaţie conceptual-metodo logică complexă, în mare măsură inedită, pentru epistemologia matematicii „pure", suprasol icitată ca dimensiune a filosofiei matematici i , până acum câteva deceni i , se poate formula un răspuns afirmativ la întrebarea, dacă cercetarea fundaţională a matematici i serveşte unui demers s imi lar în alte şti inţe . O relevanţă „paradigmatică", „exemp lară" a cercetări i fundaţionale a matematic i i, pentru alte d iscipl ine, matemat ice, eventual sociale şi umane, este pos ib i lă ş i este mediată de matematica aplicată în forma modele lor lor. Noul context, apreciat fecund şi promi ţător, excede epistemologiei matematic i i pure, părăseşte poziţia „absolutistă" staticstructural axiomatică, favorizată până acum, şi investighează o tematică d iferită de cea abordată până în prezent. În acest cadru, au relevanţă probleme ca cele referitoare la originea, evoluţia (progresul) ş i aplicaţiile matematici i şi , în consecinţă, locul studiu lu i structural al matematici i „pure" îl i a studiul dinamicii matematicii, al rolu lu i ş i semnificaţiei aplicării e i în şti inţe . Noua perspectivă de abordare are ca obiective centrale: statutul ontologic, epi stemo logic şi metodologic al matematici i ap l icate , deven i rea (progresu l ) cunoaşter i i matemat ice, impactu l calcu latoarelor asupra matemat ic i i . În rea l itate, este o perspectivă

304

firească, subl iniată şi de A. Mostowski, care afirma că „elucidarea naturii matematici nu revine matematicii, ci.filosofiei", dar din perspect iva unor „concepţii filosofice care nu rup matematica de restul şti inţei, c i ţin seamă de provenienţa ei d in şti inţe le naturi i , de apl icarea ei, de legături le ei cu alte şti inţe, de istoria e i". Este evident că amp loarea relevanţei cercetăr i i fundaţionale a matematicii acoperă ş i ,,săgeata implicaţiei spre.filosofie", ad ică anal iza fi losofică se ap l ică unei „substanţe'•fecunde subiacentă demersu lui fundaţional pe care urmează s-o expl ice, s-o comenteze. „Registrul" oferit de matematica „pură" este acum comp letat cu o tematică ce v izează progresul matematic i i , matemat ica aplicată ş i semnificaţiile impactului calculatoarelor asupra matematic i i , a le interacţiunii matematicii pure cu matematica aplicată.

În ceea ce priveşte prima săgeată, şi anume, „problema obiectivprincipală" a studiului, implicarea filosofiei în cercetarea fundaţională, atitudinea noastră este formulată ca o pledoarie în favoarea competenţei fi losofiei în investigaţ i i le fundaţionale. În opinia noastră, „piatra de încercare" a acestei competenţe fructuoase, eficiente, o reprezintă «the problem of foundation». Din perspectiva static-structurală care a dat seamă, în principal, de modul de gândire matematică deductiv-axiomatic, ce „s-a constituit ca o tradiţie a fi losofiei matematici i pure", prin contribuţi i le remarcabi le ale congreselor internaţionale de Logică, Metodologie şi F ilosofie a Şti inţei - Kănigsberg ( 1 93 1 ), Stanford ( 1 960) ş i cele ulterioare - şi care au abordat o tematică specifică mari lor programe fundaţioniste ( logicismul , formal ismu l, intuiţion ismul), problema fundării a fost confruntată cu d ificultăţi insurmontabi le. Eşecul programului hi lbertian -demonstraţia finitist-metamatematică a consistenţei matematici i clasice program condensat în formu la „să mutăm odată pentru totdeauna fundamentele matematicii în interiorul matematici i", a marcat incapacitatea abordăr i i s i ntact i ce , i n tern-matemat ice a problemei fundării . Fundaţional ismul a fost părăsit, interesul cercetători lor îndreptându-se nu spre studiu l programelor fundaţioniste, ci spre problematica apl icării matematicii, a modalităţilor matematizării diferitelor discipline, a evoluţiei teorii lor şi programelor în cunoaşterea matematicii , a calculatoarelor, en

305

vogue: „rolul şi l im itele matematizări i şti inţei (vezi Congrese 1 975, 1 978, 1 979, 1 983). S-a considrat legitimă abandonarea completă a problemei fundării matematici i . „Fundamentele încetează de a mai fi metafora potrivită" (Quine); idei asemănătoare susţin N. Martin [ l ] şi I . Lakatos [2] . Eşecul fundaţionalismului, în forma lui „tare", ca formal ism hi lbertian, a avut însă mai curând o semnificaţie care argumentează menirea filosofiei în cercetarea fundaţională a matematicii şi anume, a indicat l imitele cercetări i „pur matematice" ale temeiuri lor cunoaşteri i matematice, insuficienţa instrumentelor formale ale matematici i în abordarea problemei fundăr i i ; această situaţie ep istemologic-metodologică argumentează relevant o aserţiune citată, deja, a lui S. Kripke [ 1 ] : „Nu există un substitut matematic pentru filosofie". Nici în celelalte programe fundaţioniste -logicismul şi intuiţionismul - destinul problemei fundării nu a fost mai fericit (bun): logicismul este primul curent în filosofia matematicii , care a iniţiat studiul modem al fundamentelor matematicii, dar el nu şi-a realizat intenţia sa originară, întemeierea (fundarea) matematicii prin reducerea e i la logică; intuiţionismul - o filosofie a matematici i profundă şi originală, a continuat concepţia unor matematicieni ca Kronecker, Weierstrass, Lebesque, Barei, Po incare, iar fi losofie se revendică, ca şi formalismul, din kantian ism ş i este esenţial mente reducti bi l la „mentalism" şi „metafizică'' (H. B. Curry [ 1 ]). El a oferit o bază ontologică şi metodologică insuficientă pentru problema fundării, pentru construirea şi justificarea matematici i; este o filosofie incapabi lă să ofere o structură care să se substituie matematici i clasice.

Eşecur i l e fundaţ iona l i sm u l u i , în ipostaze le l og i c i smu l u i , formal i smu l u i ş i intuiţ ion i smu lu i nu a u fost interpretate corect, semnificaţia lor generală a fost pusă în serv iciul concluziei că, o fundare filosofică a matematici i , dacă nu este impos ibi l ă, rămâne, oricum, i r e l evantă . Rezu l tate l e găde l i ene a căror semn i fi caţ ie l og i că, epistemologică este, cum am mai afirmat, o schimbare profundă de viziune asupra raţionalităţii umane, concluzia formulată de Kripke la anal iza valori i şi l imitelor cercetări i pur matematice a problemei fundări i, ca şi aserţiunea lui Mostowski (elucidarea naturii matematici i aparţine

306

fi losofiei şi nu matematici i), argumentează ideea căfundareajilusqfică a matematic i i rămâne fascinantă şi provocatoare .

Pentru a contura statutul fi losofiei , ca o componentă a cercetări i fundaţionale a matematici i , ca şi modal ităţi le ei de impl icare în acest demers, este necesar să- l descriem sumar.

Cercetarea fundaţională a matematici i reprezintă o cunoaştere de ordinu l doi, care se exercită asupra matematic i i preexistente şi are ca prob l eme spec ifice : un ificarea l im baj u l u i teor i i lor matemat ice; reconstrucţ i a concepte lor ş i teo r i i lor matemat ice ; exp l ic itarea presupoziţii lor sistemelor matematice, formularea exactă a tipuri lor de raţionament şi a construcţi i lor matematice intuit ive; identificarea „anteriorităţi i" teoret ice şi fi losofice a d iferite lor structuri şi teor i i matematice, stabi l irea re laţi i lor interteoretice, defin irea riguroasă a ·conceptelor metateoretice impl icate în evaluarea r-ezultatelor matematice. După G. Kreisel [ 1 ] , cercetarea fundaţională include trei aspecte: logice (fundamentele logice au ca obiect demonstraţia, structura logică a teoriei matematice ca discurs independent de „substanţa" sa particulară) ; matematice (fundamentele matematice depăşesc abordarea formală proprie fundamentelor logice, asigurând o abordare comprehensivă a teorii lor ş i conceptelor matematice, ce vizează semnificaţia lor; aici interesează construcţia conceptelor şi teori i lor de bază cu funcţie de fundare a întregii arhitectonici a matematicii); filosofice (fundamentele fi losofice au ca obiectiv relevarea „prealabilului"filosofic, epistemologic şi metodologic, în fapt explicitarea supoziţi i lor epistemologice şi a„angajări lor" ontologice ale teoriei matematice investigate . Aici cercetarea metateoretică ia forma unei anal ize critice, filosofi ce). Dacă adaptăm la matematică consideraţiile lui M. Bunge [ 1 ] ) despre cercetarea fundaţională ca demers complex anal itic şi constructiv (activităţi critice şi activ ităţi constructive), atunci primele acoperă prezenţa elementu lu i fi losofie în forma anal ize lor, expl icaţi i lor şi comentarii lor neformale, re levante în principal în sfera „semnificaţiilor", iar cele constructive sunt relevante pentru fundamentele matematicii ş i fundamentele logice. Noi (vezi M. Ţurlea [ 1 ] ) am distins în sfera activ ităţii fundaţionale două componente: „relevanţă filosofică" ş i

:1 07

„tehnică fundaţională" pe care le-am descris mai specificat în vederea obţineri i unui plus de claritate care, însă, restituie noţiuni le folos ite de Kreisel şi Bunge în context. Cum activ ităţi le constructive, ca aspect al cercetării fundaţionale oferă o reconstrucţie fundaţională a matematicii efective, constând în expl icitarea „the source theories" ale porţiuni i , regiunii matematice investigate, pe scurt ,fundamentele matematicii", noi concludem că într-o primă aproximaţie cercetarea fundaţională reprezintă o „reuniune" a.filosofiei şi fundamentelor matematicii (activ ităţi critice -conceptualfilosofice - şi cele constructive, care au un pronunţat caracter tehnic fundaţional logico-matematic); deşi sunt distincte, comportă relaţi i specifice permeab i l e : de exemplu , după P. Suppes, axiomatizarea, fonnalizarea potenţează analiza filosofică prin producerea unei c larităţi dezirabi le a rezultatelor; după cum clarificările filosofice se dovedesc un pre l im inar l a analiza fundaţională. De fapt, s-a şi spus că analiza fundaţională (H. Wang [3 ] ), ca reducţie a conceptelor noi în tenneni i unora mai e lementare, şi justificare a principi i lor unor teorii matematice, în aceeaşi manieră, constituie o variantă a metodei analizei conceptuale, relevantă pentru logica şti inţei (vezi R. Camap [2] ) . Pentru o identificare mai adecvată a modal ităţi lor de implicare a fi losofiei în cercetarea fundaţională a matematicii, noi credem că o analiză mai detal iată a cercetări i fundaţionale arată că ea conectează următoarele domeni i de gândire : matematica propriu-zisă, fundamente le matematici i , metamatematica, filosofia matematici i şi filosofia generală, o reprezentare care ni se pare mai productivă în investigaţi i, schiţată de noi în cap. I. Facem aici doar observaţia că, în această „schemă'' conexiuni le d intre.filosofia matematicii şi.filosofia generală sunt mai uşor de identificat. Astfel, cele trei programeperspective fundaţioniste (logicismul, intuiţionismul,formalismul) au reluat în domeniul filosofiei matematici i mari le soluţii fi losofice la problema existenţei universalului (problema universalii/or), realismul, nominalismul şi conceptualismul (vezi W. v. O. Quine [ 4, p. 1 28]) .

„Dosarul" problemei fundării matematici i poate fi „redeschis", iar rolu l fi losofiei în procesul fundări i , reab i l itat. Acest rol poate fi reexaminat chiar în cadrul.filosofiei matematicii „pure", care a acumulat

308

o tradiţ ie impresionantă; ne referim la l iteratura legată de ceea ce num im mari programe fundaţioniste (logicism, formalism, intuiţionism) ş i programele fundaţionale (teorii axiomatice ale m ulţimii, teoria structurilor - Bourbaki, şi teoria categoriilor - cathegory theory) . A doua modalitate de abordare a implicării filosofiei în demersul fundaţional vizează o nouă paradigmă a matematicii, un nou context fundaţional în care ingredienţi i principal i vor fi: dinamica cunoaşteri i matematice, matematica aplicată ş i impactul computerelor asupra matematicii. Problema fundări i reprezintă problema „fundamentală" a cercetări i fundaţionale şi de aceea constitu ie un test re levant pentru rolu l fundaţional a l fi losofiei .

* * *

A bordăm sumar problema fundării în fpostaza filosofiei matematicii pure".

Noţiunea de fundare, degajată de conotaţi i metaforice uzuale, are menirea să avanseze fundamente pentru o clasă de concepte şi principi i pr in i ntermediul anal izei în termeni „mai fundamentali" (Kreisel [2]) prin operaţi i le reducţiei conceptelor ş i justificării principi i lor. Problema fundării comportă două aspecte: obiectivitatea matematici i (entităţi l e matematice sunt obiect ive?) şi certitudinea matematici i , justificarea certitud ini i cunoaşteri i matematice (Hi lbert a vrut să stabi lească odată pentru totdeauna „certitud inea metodelor ei", fundarea unui „model de certitudine şi adevăr") ; mai sintetic, aspectul certitudini i vrea să spună: aserţiuni le noastre despre entităţ i le matematice sunt certe? Cele două aspecte - obiectivitatea şi certitudinea - alcătuiesc problema generală : Ce este matematica? Exp l icitarea acestor ingredienţi ai problemei fundării conduc la „bifurcarea" ei în problema naturii matematic i i ş i problema structurii matematic i i cu interconexiuni profunde şi fcrt i I c p� care abordarea trebuie să le identifice şi să le distingă. Această dist i nc ţ i e dintre natura matematicii (o problemă fi losofică esenţială în fi loso fia matematic i i) ş i structura matematicii , (o problemă „tehnică" în domen iul fundaţional, ţinând de competenţa fundamentelor logice, dar mai cu

3 09

seamă a fundamentelor matematice pentru matematică), întemeiază coerent diviziunea cercetări i fundaţionale în componentele: fi losofică şi tehnic-fundaţională (= fundamente logice şi fundamente matematice), care nu au un statut aşa „pur" şi distinct. Aceste expl icitări ale aspectelor problemei fundăr i i ne-au condus la formu larea unei d i st i ncţ i i de perspectivă în abordarea prob lemei, după şti inţa noastră neidentificată în l iteratura de special itate şi extrem de eficientă, cel puţin prin e l iminarea confuzi i lor, amb igu ităţi lor. Este vorba de d ist incţia ,fundaţionist-fundaţional" (vezi M. Ţurlea [ I ] ) . În consecinţă, am distins în sfera cercetăr i i fundaţ iona le între abordări fundaţion iste ş i abordări fundaţionale, respectiv programe fundaţioniste (care cercetează problema naturii esenţiale a matematic i i , a statutulu i entităţi lor matematice, pe scurt problema existenţei, în matematică, o problemă prin excelenţă fi losofică şi deci, de competenţa fi losofiei) şi programe fundaţionale care vizează studiul structurii, organizării, „ arhitecturii" matematic i i . Distincţia urmează criter iu l prevalenţei aspecte lor: ,filosofie" sau „tehnico-matematic", primu l dom inant în structura programe lor fundaţioniste, al doi lea prezent prin excelenţă în programele fundaţionale. Credem că şi problema statutului obiectelor matematice ţine de abordarea fundaţională. Repetăm, aceste perspective nu sunt aşa ,.pure"; într-adevăr, programele fundaţionale au de-a face cu reconstrucţia fundaţională a ed ific iu lu i matematici i , a l unor teor i i matematice, având sarc i na expl icitări i «teoriilor-sursă» ale acestora, dar ş i ale angajamentelor ontologice, epistemologice. Urmează că în această reconstrucţie vom distinge un „strat", nivel ontologic, şi deci un formalism meta.fizic, alături de formalismele logic şi matematic . Să adăugăm că, ma i a l es fundamentele logice ale matemat ic i i nu sunt aşa „pure". Detectăm infi ltraţi i la acest n ivel , deoarece problema justificării şi validităţii

fundamentelor (axiomatice) are o încărcătură fi losofică, de exemplu justificarea axiomei infinitului face referire la angajamentele „ontice" ale teoriei respective, locuri de interferenţă ale fundamente lor logice cu asumpţi i ontologice, în care primele sunt un „travesti" ale acestora d in urmă. Avem aici o modal itate de exp l icitare a ceea ce num im „relevanţă

3 1 0

jilosojică" a anal izei fundaţionale, o activitate specifică programelor fundaţionale. Deşi mari le programe fundaţioni ste vizează problema realităţii în matematică, apreciate esenţial ca teze jilosofice generale absolutiste, ele au ca particularitate distinctivă faptul de a fi şi programe metateoretice (v-ezi St. Korner [ 1 ] ), ipoteză în care procedează la un stud iu exact intern matematic şi log ico-matematic al cunoaşteri i matematice. Bogăţia de rezultate metamatematice neînsoţite de o analiză filosofică corespunzătoare la care se referă Godel [ 1 ] sunt datorate cercetărilor metateoretice pe care marile curente - logicismul, formal ismul şi intu iţionismul - le-au produs.

Concepţ ia fi l o s o fică s ub i acentă ace stor m ar i programe fundaţioni ste generează un „absolutism" metodologic, accentuând un aspect : logica ( l og ic i smu l ) , lim bajul (forma l ismu l ) , construcţia ( i ntu i ţ ion i smu l ) . În v irtutea acestu i absolutism, aceste programe fundaţioniste rămân (sunt) reconstrucţii complementare, dar care ar putea fi valorificate într-o perspectivă integrativă.

Referitor la mari l e programe fundaţionale a le matemati ci i , observăm că programul axiomatic set-teoretic (Zermelo, ZermeloFraenkel , von Neumann, Godel , Bemays, Quine, Wang etc.), deşi centrat pe structura matematici i, nu evită prezenţa elementelor filosofice, având o remarcab iş lă relevanţă ontologică, ce derivă d in conexiun i le cu problema existenţei în matematică şi a stud iului obiectelor pe care le man ipulează aceste sisteme axiomatice ale teoriei mulţim i lor. Teorii ale structuri lor (programu l Bourbaki) şi categori i lor au mai curând impl icaţii epistemologice conectate ierarhiei de construcţ i i conceptuale, pe care e le le produc şi sugerează o „erodare crescândă a concepţiilor platonistsubstanţialiste asupra matematic i i . În plan strict fundaţional pent ru asigurarea unei eficienţe în reconstrucţ i i le matematicii s-au făcut m a i

mu lte tentative: a ) fundaţi i le set-teoret ice pentru teoria categor i i l or ( Feferman S ) ; b ) fundaţ i i l e categor ia l e a l e teor ie i m u lţ i m i l or

(S . MacLane) ; chiar încercarea de auto-fundare a teoriei categori ilor

(Engler E. şi -Rohrl M.) . S. MacLane crede că situaţia fundaţiona lă atestă

că fundaţi i le set-teoretice şi fundaţi i le categoriale sunt ech iva lente . El

3 1 1

formulează concluzia că trebuie părăsită)deea fundări i unice şi universale a matematici i în favoarea adoptăr i i unei perspective pluraliste, a unor ,fundamente multiple", a unor „sisteme multiple pentru fundamente", în real itate un „omolog-replică" al logicismului pluralistic, cu o bază de convergenţă a celor trei mari curente d in filosofia matematici i -logicismu l, intuiţion ismul - convergenţă şi cooperare în detrimentu l d ivergenţe lor şi competit iv ităţi i , un aspect sub presiunea datelor fundaţionale, a rezu ltatelor metateoretice, în particular metamatematice. Matematica efectivă (practica ei) impune şi favorizează azi structurile şi categoriile în care mu lţi cercetători văd un „optimum" alternativ ( la „bătrâna" teorie a mulţimi lor) în clarificăr i le fundaţionale şi o mai mare „sensibi l izare" şi „prizare" a matematicianului care lucrează (working mathematician) , care ignoră problema fundamentului. Preţu l plătit prin renunţare la locul priv i legiat atribuit teoriei mulţim i lor este sacrificarea celei mai complexe şi semnificative substanţe fi losofice încorporată ch iar în noţiunea fundamentală de mulţime, care a stimulat enorm fi losofia matematici i .

Consonant cu remarca l u i Mostowsk i despre „p i erderea caracterului fi losofie al cercetări lor fundaţionale", dar şi cu evo luţi i l e d in cadrul marilor programe fundaţioniste aflate sub impactu l practicii matematice (încorporate în rezultate metamatematice semnificative pe care nu le comentăm aici), L. Henkin [ 1 ] a propus înlocuirea schemei fundaţioniste „logicism-formalism-intuiţionism" cu schema fundaţională „aspecte set teoretice - aspecte algebrice - aspecte constructive", o schemă care reflectă „în v iziunea autoru lui ei, „tranziţia" accelerată de la.filosofie la matematică; deci , o schemă mai re levantă pentru actualu l stadiu al cercetări i fundaţionale. Irelevenţa schemei fundaţioni ste s-ar expl ica prin caracterul filosofie al noţiunilor lor, inoperante în activ itatea fundaţională, care ar deveni esenţia lmente matematică. El ind ică o continuitate între cele două scheme (noţiun i le set teoretice formează o parte a logicismului, cele algebrice sunt legate de abordarea formalistă, iar elementele constructive se nasc din sp iritul care l-a determ inat pe Brouwer să constru iască intuiţionismul), dar arată şi diferenţe le care le

3 1 2

separă. Marile programe fundaţioniste s-au construit ca „ viziuni competitive" asupra fundamentelor matematic i i , în t imp ce elemente le schemei Henk in favor izează „cooperarea" în descrierea activ ităţ i i fundaţionale. Dar, schema lu i Henk in, adept al nom inal ismului, nu spune ceva semnificativ despre natura entităţilor pe care le manipulează. Deşi caracterul competitiv al curentelor fundaţioniste din filosofia matematici i s-a mai atenuat, nu se constată o tendinţă de unificare a fi losofi lor matematici i într-o unică direcţie interpretativă, la care firesc ar fi obl igat progresele din matematică şi d in sfera activ ităţii fundaţionale. Se observă aici, ca şi în investigaţi i le făcute în programele fundaţionale, un gen de pluralismfundaţionist, el im inarea şcol i lor fi losofice nu se produce, dar n ici ideea „egalităţii lor ontologice" (Robinson) nu câştigă teren, căci nu se întâmp lă ca c i neva să adere, s imu l tan, l a două fi l osofi i i ncom pati bi l e , c um este cazu l p l aton i sm- fo-rma l i sm , care sunt incompatibi le din punct de vedere al credinţelor fi losofice, sau formalism şi constructivism, opuse din punctul de vedere al practici lor.

Concluzia finală impusă de exam inarea statutu l u i onto logic, epistemologic şi metodologic al matematici i „pure" este că fi losofia participă la fundarea matematicii într-un sens „tare", aproape în sens „strict" . Sperăm că anal iza noastră a decelat elemente le necesare ale argumentări i aceste i poziţi i . Numim ofundare .filoso.fică a matematici i în sens „tare", când fi losofia este impl icată în ambele sub-probleme expl ic itate prin „bifurcarea" problemei fundării , şi anume, problema „naturii matematicii" şi „problema structurii matematicii" . S intetizând, toată lumea pare conv insă de competenţa fi losofiei în prima problemă, cea a naturii matematicii, autori i remarcabi l i în l iteratura de specialitate subl in i ind acest aspect, care a constituit „miezul" tematici i abordate de programe le fundaţ ion iste ; este, de fapt, problema existenţe i în matematică, a statutulu i obiecte lor matematice. Referitor la cea de-a doua problemă, cea a structurii matematicii , în ce l mai bun caz constatăm reticenţe sau prezenţa unor aserţiun i izolate, unele relevante, dar care nu sunt art icu l ate coerent într- un punct de vedere . Noi vedem aici posibi l itatea reprezentări i mai corecte a lucruri lor în domeniul problemei

3 1 3

fundări i v is-a-v is de fi losofie. Teori i le matematice comportă anum ite supoziţii referitoare la problema existenţei (real ităţii ) în matematică, pe care orice reconstrucţie fundaţională autentică şi completă trebuie să le expl iciteze; aceste asumpţii onto logice (,,strat" ontologic) iau forma unui formalism meta.fizic (filosofie), distinct de formal ismele matematic şi logic ale teoriei construite sau reconstruite. Mai mult, ch iar în aceste două formal isme care coincid cu ceea ce Kreisel a num itfundamente matematice şi fundamente logice şi care formează fundamente l e matematici i ( l a nive lu l cercetări i fundaţionale aparţ inând abordări i fundaţionale - tehnic formale cu instrumentaţie logică, matematică etc.), i dentificăm ceea ce metaforic am num it „infiltraţii tacite" ale fi losofiei . Putem vorbi mai spec ificat şi anume, în cadrul fundamente l or matematic i i , acest „fenomen" al penetrării fi losofiei este prezent la pal ieru lfundamentelor logice, atunci când se pune prob lemajustifzcării şi validităţii fundamentelor axiomatice (mai simplu, ale axiomelor) . O i lustrare a acestei idei este „justificarea" axiomei infinitulu i . Identificăm „locuri" de interferenţă a fundamentelor logice cu asumpţii ontologice, care au caracter pregnant fi losofie, o situaţie în care se poate aprecia că fundamentele logice constituie un „travesti" al fi losofiei în orizontu l fundamentelor matematicii, despre care putem afirma acum că nu sunt aşa „pure" ca specific matematic şi care, în man iera „ortodoxă", s-a crezut că ar fi relevante exclusiv prin „tehn ici fundaţionale", cu caracter matematic şi logico-matematic; o impl icare ev identă a fi losofiei şi în „componenta tehnică" a fundării matematici i .

* * *

Perspectiva static-structurală a dat seama de modul de gândire axiomatic . Perspectiva dinamică ins istă asupra ideii de evoluţie a cunoaşteri i matematice. Într-adevăr, de la ,.filementele" lu i Eucl id şi până la teoria catastrofelor a lu i R. Thom, gândirea matematică a parcurs câteva «moduri de gândire matematică» : axiomatic-structural, algoritmic, constructiv. Modul de gândire matematică (vezi H. Weyl [I ] ) este tipul de teoretizare, conceptual izare. Teori i le evoluţiei matematice trebuie să identifice trecerea,

3 1 4

legături le şi ordonarea acestor moduri de gândire. Mari le opere din filosofia matematici i au avut intenţia expl ic itării acestor moduri (Ari stotel în ,,Analiticele Secunde" a descris modul de gândire axiomatic intu itiv, „Comentariile" lui Proclus pe cel axiomatic-semiconstructiv, ,,Discursuf' cartezian a expus modul de gândire anal itico-s intetic, iar Kant în „Critica raţiunii pure", pe cel constructiv-clas ic. G. Frege în , ,Foundations of Arithmetics" a expus modul de gândire logicist, Hi lbert în , ,Axiomatic thinking", pe cel axiomatic formal izat şi Brouwer a formulat modul de gândire constructiv în „On Foundations of Science". Problema legitimă astăzi este, în ce mod fi losofia este utilă şi eficace în investigarea stadi i lor actuale de evoluţie a matematici i? Perspectiva de studiu asupra progresului cunoaşterii matematice introduce aspecte, inedite în cea structural-statică, cum ar fi originea, evoluţia şi aplicaţiile acestei şti inţe, prilej cu care rolul fi losofiei în <<problema fundării» suferă o modificare: de la un rol ,,tare", descris anterior, la _unul mai ,,slab", «al înţelegerii» acestei practici efective a matematici i .

Matematica aplicată se conturează ca o activ itate originală, ireductibi lă, cu obiect ive, structuri teoretice şi educaţionale distincte, probate de pract ica acestu i domeniu; interesează prior itar o anal iză epistemologică a obiectu lui matematici i apl icate, a logicii subiacente, a t ipuri lor de raţionament, a conexiuni lor ei cu matematica „pură" . Fenomenul matematizării şti inţelor, general izarea apl icări i matematic i i , ca şi poziţia „sui generis" a matematici i în ansamblul cunoaşteri i, între şt i inţele naturi i şi cele umane, induc ipoteza une i relevanţe a acestui tip de investigaţie asupra matematici i, d incolo de domeniul e i . Este deja ştiut că tipul de teoretizare în şti inţe este determ inat de modal itatea matematizării teori i lor d in acestea, şi că pe această bază se obţine expl icarea unor aspecte structural dinam ice şi metodologice ale acestora; o importanţă deosebită o prezintă modelele matematice în aceste şti inţe.

* * *

Impactul calculatoarelor asupra matematicii a dus l a constituirea unui stil nou de gândire, la rolu l deosebit al unei intuiţi i noi care ghidează

1 1 5

cercetarea, l a re l evarea ro lu l u i ide i l or matemat ic i i ca lcu lator i i , combinator iale (Lei bniz), la reconsiderarea relaţiei intuitiv-s imbol ic . Anal ize spec iale sunt necesare priv ind demonstrarea „mecanică", un i deal prezent în opere le l u i Lei bn iz, Peano, H i l bert, Herbrand, J. Robinson, M. Dav is şi H. Putnam, unde un loc specific îl are studiul procedee lor de deciz ie , a l raţionamentu lu i l inear etc . Se impune regând irea statutu l u i matemat i c i i ş i l og i c i i , a l unor concepte metateoretice : rezo lvabi l i tate, efectiv itate, demonstraţ ie, prob lemă; semnificaţi i le teoremei celor patru culori pentru demonstraţie, îmbinarea matematic i i pure cu cea computaţională; introducerea exper imentelor empirice în matematică; red iscutarea distincţiei matematică-şti inţe ale naturi i . Prima propoziţie matematică cunoscută a posteriori ; s imţim nevoia ajutoru lui fi losofiei să înţelegem «ceea ce într-adevăr există» , ce se i nclude în matematică, ce reprezintă matematica apl icată, în ansamblul interconexiuni lor ei cu matematica pură şi şti inţele naturii şi cele umane, efectele ei de rezonanţă în întregu l cunoaşteri i umane.

BIBLIOGRAFIE

APOSTLE, H. G. [ I ] : Aristotel 's Philosophy of Mathematics - University of Chicago Press, Chi

cago, I 952. APOSTEL, L .

[ I ] : The Justifica/ion of Set Theories. ARISTOTEL

[ I ] : Analitice Secunde, in Organon, voi. I I I, Editura Şti inţifică, Bucu-reşti, I 96 1 . [2] : Metafizica, Editura Academiei R.P.R., Bucureşti, I 965. [3 ] : Fizica, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1 966. [4] : Analitice Prime, în Organon, voi. II, Editura Şti inţifică, Bucure;ti, I 958 . [5] : Despre Suflet, Editura Şti inţifică, Bucureşti, 1 969 . [6] : Categoriile, în Organon, voi. I, Editura Şti inţi fică, Bucureşti, I 957 .

BAGDASAR, N. [ I ] : Studiu introductiv, la Imm Kant: Critica raţiunii pure, Editura Şti inţifică,

Bucureşti, I 969. BANU, I .

[ I ] : Platon şi platonismul, studiu introductiv l a Platon : Opere, voi . I, Editura Ştiinţifică şi Encicloped ică, Bucureşti, I 975.

BARKER, S . F. [ 1 ] : Realism as Philosophy of Mathematics, in Foundations of Mathematics -

Symposium Papers commemorating the Sixtieth Birhday of K. Gădel -Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1 969.

BĂDĂRĂU, D. [ I ] : Studiu introductiv şi Note la „Metafizica", Editura Academiei R.P. R. ,

Bucureşti, 1 965. BECKER, O.

[ 1 ] : Fundamentele matematicii, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, I 968. BENACERRAF, P. and PUTNAM, H. (eds.)

[ I ] : Philosophy of Mathematics, Prentice Hal i , I 964 . BERKELEY, G.

[ I ] : A Treatise ConcerninR th<' Princ1jJ/e of Human Knowledge, I 71 O.

3 1 7

BERNAYS, P. [ I ] : Some Doubts about the Eleatic Origin of Euclid :S Axiomatics, in Lakatos, I ,

[ 1 ] .

[2] : On Platonism, in Benacerraf, P. and Putnam, H. (eds . ) [ 1 ] .

BETH, E . W. [ 1 ] : The Foundations of Mathematics, North Ho l land. Pub l . Co, Amster

dam, 1 965.

BETH, E. W. and PIAGET, J.

[2] : Mathematical Epistemology and Psychology, D. Reidel Pub l . Co., DordrechtHol land, 1 966.

BETH, E. W. [ 3 ] : Sc ie nce a Road to Wisdom, D. R e i d e l , Pub l . , C o . Dord recht ,

Hol land, 1 968.

BLACK, M. [ I ] : Conventionalism in Geometry and the Interpretat ion of necessary State

ments, P. S. pp. 335-349. (apud Torretti, R. [ I ] )

BOOLE, G. [ l ] : Mathematical Analysis of Logic, Cambridge, 1 847.

BOURBAKI, N. [ I ] : Elements d 'histoire des mathematiques, Paris, 1 960.

[2] Arhitectura matematicii în Logică ş i fi losofie, E .P. , Bucureşti, 1 966

BOCHNER, S. [ 1 ] : Infinity, in Ch. P. Wiener (ed.) : Dictionary ofthe History ofideas. Studies of

Selected pivotai Ideas, Ch. Schreibner & Sons, New York, 1 973.

BRIESKORN, E. [ I ] : Ober die Dialektik in der Mathematik. in M. Otto (hrsg) Mathematiker ziber

die Mathematik, Springer, Berl in, I 974.

BRUNSCHVICG. L. [ I ] : Les etapes de fa philosophie mathematique, Paris, Libraire scientifique et

techn ique. A. Blanchard, 9 rue de Medicis, 1 972.

BUNGE, M. [ 1 ] : The Foundations of Physics, Springer Verlag, Berl in, Heidelberg, New York,

1 967.

CANTOR, G. [ 1 ] : Beitrăge zur Begrudung der transfiniten Mengenlehre, I. II, in Math . Ann.

46 ( 1 895) and 49 ( 1 897).

CARNAP. R. [ 1 ] : On the logicist Foundations of Mathematics, in Benacerraf, P. and Putnam,

H. (eds. ) : Philosophy of Mathematics, Prentice Hali, 1 964.

3 1 8

[2] : Logicai Foundations of Probabiiity. Univ. of Chicago, Press, Chicago, 1 95 1 .

CHURCH. A. [ l ] : Matematică şi logică, în Logică şi filosofie, Editura Politică, Bucureşti, 1 966.

COPI, I. M. and GOULD, J. A. [ I ] : (eds.) Contempormy Readings in logica! Theori, Macm il lan Company, New

York, 1 967.

COHEN, P. [ l ] : Set Theo1y and the Continuum Hypothesis, Benjamin, New York, 1 966.

[2] : Comments on the Foundations of Set Theory. in Ayiomatic Set Theory, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, I 97 1 .

COSTABEL, P. [ 1 ]: Despre câteva vechi paradoxuri, în J. L. Riga! : Timpul şi gândirea fizică

contemporană, Editura Enciclopedică Română, Bucureşti, I 972.

CURRY, H. B. [ l ] : The Fo undat ions of mat hematica! Logit;. McGraw H i ! ! , N e w

York, 1 963 .

[2] : Outline of a formalist Philosophy of Mathematics, North Hol land Publ . Co., Amsterdam, London, 1 970.

[3 ] : On the Definition and Nature of Mathematics in Benacerraf, P. and Putnam, H . [ 1 ] .

DAVIS, PH . , & HERSCH. R. [ I ] : The Mat hematica! Experience, Pengu in Books British Li brary Bucharest.

DESCARTES, R. [ I ] : Reguli utile şi clare pentru îndrumarea minţii în cercetarea adevărului, Editura

Şt i inţifică, Bucureşti, I 964 . [2] : Discurs asupra metodei, Editura Şti inţifică, Bucureşti, 1 957.

[3 ] : Meditaţii metafizice, Editura Carter, Bucureşti, 1 933 (referir i le sunt date apud Beth [2]).

DIELS-KRANZ [ I ] : Fragm ente de r Vors okratiker, 6 A u fl . Be r l i n , I 9 5 1 - 1 9 5 2 , a p u d

O. Becker [ I ] .

DIOGENE LAERT [ I ] : text c i tat după Filosofia greacă până fa Platon, vo i . I , partea a [2] :

Vorsokratiker, Philoloos, Frg. B�; l I apud O. Becker [ I ] .

DUMETT, M. [ l ] : Platonism, I 967, in , Truth and other Enigmas, Harvard University, Press,

Cambridge, Mass. 1 978. ERDMANN, B.

[ I ] : The Axioms ofGeometry, 1 877.

3 1 9

EUCLID [ l ] : Elementele.

FRAENKIAN, A. [ l ] : ci tat în Filosofia greacă până la Platon, vo i . I, Ed i tura Şti in ţ ifică şi

Enciclopedică, Bucureşti, 1 979. FREGE, G.

[ I ] : Foundations of Arithmetic, translated by J . L . Austin, Oxford, 1 950 . GENTZEN, G.

[ I ] : The Consistency of elemen tary Number The ory, i n Co l l ected Papers, North .Hol land, Publ. Co. Amsterdam, London, 1 969.

GONSETH, F. [ I ] : Despre metodologia cercetărilor în fundamentele matematicii, în logica

ştiinţei, Editura Pol itică, Bucureşti, 1 970. [2] : Commentfonder une discipline exacte, în „Dialectica'', nr. 2/ 1 966.

GOODMAN, N. D. [ 1 ] : Mathematics as an objective Science, in The American Mathematicial Month ly

7/ l 979. GOODMAN, N.

[ 1 ] : A World of individuals in Copi, J. M. and Gould. J. A. (eds.) Contemporary Readings in logica/ Theory, Mac Mil lan Company, New York, 1 967.

[2) : Problems and Projects, lndianopol is : Hacktt, 1 978 . [3 ] : The Structure of Appearance, Harvard U niversity Press 1 95 I .

GODEL, K. [ l ]: Ce este problema continuumului a lui Cantor? în Epistemologie - Orientări

contemporane, Editura Pol itică, Bucureşti, 1 974. [2] : Russel l 's mathematical Logic în Benacerraf, P. and Putnam, H. (eds. ), Phi

losophy of Mathematics, Prentice Hal ! , 1 964. [3 ] : Ober eine noch nicht beniitzte Erweiterung des finiten Standpunktes, în

„Dialectica'', 12 ( 1 958). HATCHER, W. S.

[ 1 ] : The Logica/ Foundations of Mathematics, Pergamon Press, Oxford, New York, Toronto, Sidney, Paris, Frankfurt, 1 982.

HEATH, TH. [ 1 ] : History of Creek Mathematics, 2 voi . Oxford, 1 92 1 . [2] : Mathematics in Aristotle, Oxford, 1 949.

HELMHOLTZ, H. VON [ 1 ] : On the Origin and Significance of Geometrica/ Axioms, in Ober Geometrie,

Darmstadt, Wissenschaftliche, Buchgesesel lschaft, 1 968. HEMPEL, C. G.

[ I ] : On the standard Conception of Sc ientific Theories, i n Rad e r, M. and Winokur, S . : Minnesota Studies in the Philosophy of Science, IV, menţionat pentru opinia sa opusă celei a lui P. Suppes.

320

[2] : Geometry and Empirica/ Science, in The American Mathematicaf Monthly,

vo i . 52 ( 1 946). HENKlN, L.

[ I ] : Ma thematical Fo unda tions fo r Ma thema tics , i n Th e A me rican

mathematical Monthly, 5 ( 1 97 l ) . [2] : Nominalistic Analysis of mathematical Language, în Logic, Methodology

and Philosophy of Science, Standford University Press, Cal ifornia, 1 962, (eds.) Nagel, E., Suppes, P. , Tarski, A.

HEYTING, A. [ 1 ] : Some Remarks on Intituitionism, in Constructivity in Mathematics, North

Ho l land, Amsterdam, I 954 .

[2] : The Intuitionist Foundations of Mathematics, in Benacerraf, P. and Putnam, H. (eds.) [ 1 ] , Philosophy of Mathematics, Prentice Hal i , 1 964.

[3 ] : After Thirty Years, in Logic, Methodology and Philosophy ofScience, edi ted by Ernest Nagel, Partick Suppes, Alfred Tarski, Stanford University Press, Copyright, 1 962.

HILBERT, D. [l ] : Gândirea axiomatică, în voi . Logică şi filosofie, E.P., Bucureşti, 1 966.

HILBERT, D. şi BERNAYS, P. [2] : Grundlagen der Mathematik, voi . 1 , Berlin, 1 934 . [3 ] : On the Infinite in Benacerraf, P. and Putnam, H. ( eds.) [ I ] P hilosophy of

Mathematics, Prentice Hal i, 1 964; referiri le sunt date şi după O . Becker [ l ] . HINTlKKA, J.

[ I ] : Time and Necessity, in Aristotle 's Theory of Modality, Oxford Clarendon, Press, 1 973.

[2] : Despre ingredienţii unei ştiinţe aristotelice, în Revista de referate, recenzii şi sinteze, 3/ 1 973 , CIDSP.

[3 ] : Adevăr, informaţie şi inferenţă, în Epistemologie. Orientări contemporane, Editura Pol itică, Bucureşti, 1 974.

[4] : Kant on the Mathematical Method, The Monist, 52, p. 3 52-3 75.

HUME, D. [ 1 ] : A Treatise of Human Nature, 1 739- 1 740.

HUSSERL, E. [ 1 ] : logicische Untersuchungen, Max N iemeyer, Hal le, 1 9 1 3 .

[2] : Die idee der Phănomenologie, 2, Aufl . , în Husserliana, Band I 1 , M. Nijhoff, Den Haag, 1 958 .

IAMBLICHOS [ l ] : Comentariu la aritmetica lui Nicomachos (apud O . Becker [ l ]) .

JACKON, M. [ 1 ] : On Plato 's Late Theory of Ide as.

3 2 1

KALMAR, L. [ 1 ] : On the Role ofsecond Order Theories, in Lakatos, I . (eds) [ I ] .

KANT, IMM. [ I ] : Prolegomene, Editura Şti inţifică şi Encicloped ică, Bucureşti, 1 969 .

[2] : Critica raţiunii pure, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1 969. [3 ] : Critica puterii de judecată, Editura Şti inţ ifică şi Encicloped ică, Bucu

reşti, 1 984. [4] : Gedanken von der wahren Schătzung der lebendigen Krăfte, 1 746. [5 ] : On the Form and the Principles of the sensible and inteligible World, 1 770,

second edition. [6] : Kants gesammelte Schriften, Berl in, 1 920 (apud Torretti, R. [ 1 ]) .

KLEENE, S.C. [ 1 ] : /ntroduction to Methamatematics, North Hol land Publ . Co. 1 97 1 .

KLEIN, J . [ l ] : Die Griechische logistik und die Entstehung der Algebra, Quellen u Studien

z. Gesch. der Mathematik, voi. 3 ( 1 934). KNEALE, W. C.

[ 1 ] : Priori{}' in Use of Reductio ad A bsurdum, in Lakatos, I [ 1 ] . KNEALE, W. şi M .

[ I ] : Dezvoltarea logicii, vo i. I, Ed itura Dacia, Cluj-Napoca, 1 974, vo i . I I , 1 975 . KORNER, S .

[ 1 ] : Introducere înfilosofia matematicii, Editura Şti inţifică, Bucureşti, 1 965.

KREISEL, G. [ I ] : Proof Theory, I, II , în Journal ofSymbolic logic, 3 1 1 968. [2] : Perspectives in the Philosophy of pure Mathematics, in Logic, Methodology

and Philosophy of Science, IV, Bucureşti, 1 97 1 . [3 ] : Hilbert 's Programme. in Benaceraff, P. and Putnam, H . ( eds.) [ 1 ] .

KRIPKE, S . [ I ] : Substantial Quantification, in G. Evans, J. McDowell (eds. ) „Meaning and

Truth", London, Oxford, 1 976. LAKATOS, I.

[ 1 ] : Problems in the Philosophy of Mathematics, North Holland Publ. Co„ Amsterdam, Londra, 1 972.

[2] : Mathematics, Science and Epistemology, Philosofical Papers, voi. 2, Cambridge University Press, Londra, New York, Melbourne, 1 978 .

LEAR, J. [ 1 ] : Aristotle 's Philosophy of Mathematics, în " The Philosophical Review",

Apri l , 1 982. LEIBNIZ, G.W.

[ 1 ] : Die Philosophischen Sc hnften von G. W Leibniz, ( a pud Knea le W. şi M. [ l ] ) .

322

[2) : Opuscules et fragments inedits de Leibniz, ed. L. Couturat, Pari s, Alcan, 1 900.

[3 ] : New Essays concerning human Understanding, A. G. Langeley, New York, 1 8 96.

[4) : Monadologia, in Le ibn iz, Opere filosofice, I, Ed i tura Ş t i i n ţ ifică, Bucureşti, 1 972.

[ 5 ) : De Scientia Universalis seu Calcula Philosophico, ed . Latta, Oxford, 1 898, apud Korner [ I ] .

[ 6) : Principles of Natu re and Grace founded an Reason, ed. Latta (a pud Komer [ I ]). LEMMON, E. J.

[ I ] : lntroduction to axiomatic Set Theory, London, Rouledge and K. Paul Ltd . , 1 964.

LOCKE, J. [ I ) : Eseu asupra intelectului omenesc, Editura Şti inţifică Bucureşti, 1 96 1 .

LUCAS, J . R. [ I ] : Plato and the axiomatic Method, in Lakatos, f. (ed .) [ l ] .

MacLANE, S. [ I ] : Mathematical Models: A. Ske tch for the Philosophy of Ma the

matics, in American Mathematical Monthly, 86/ 1 98 1 , Nr. 7 . MADDY, P.

[ I ) : Sets and Numbers, i n Năus , 1 98 1 . MARTIN, N .

[ I ] : Mathematics and F oundations, în K. Lorenz (Hrsg), Konstruktionen versus Positionen, Band I, Berlin, New York, W. de Gruyter, 1 979.

MARTIN, R. M. [ I ] : Pragmatics, Truth and Language, Boston Studies in the Philosophy of Sci

ence, voi . 38, D. Reidel Publ. Co. , Dordrecht, Hol land. MEHLBERG, H.

[ I ) : The present Situation in the Philosophy of Mathematics, in B . H . Kazcmcir I D. Vuysje (eds.) : Logic and Language, ©, 1 962, D. Reidcl Publ . ( 'o . , Dordrecht, Holland.

MILL, J . S. [ I ) : A System of Logic, London, 1843 .

MOSTOWSKI, A. [ I ] : Stadiul actual al cercetărilor în fundamentele matematicii, în voi . /,og1rn ş1

Filosofia, Ed itura Pol itică, Bucureşti, 1 966. [2] : Thirty Years of foundational Studies, Blackwel l, Oxford, 1 966.

NAGEL, E. şi NEWMAN J. [ I ] : Godel 's Proof in I . M. Cop şi A. J . Gou ld [ I ] .

323

N ASTA, M. [l ] : Note la Pythagoras, în Filosofia greacă până la Platon, vo i . I, partea a 2-a. ,

Ed itura Ştii nţifică şi Encicloped ică, Bucureşti, 1 979. NEUMANN, J . VON.

[ l ] : The F oundations of Mathematics, in Benacerraf, P. and Putnam, H. ( eds . ) [ 1 ] .

[2] : Zur Hilbertschen Beweistheorie, in J. von Neumann: Collected works, Oxford, London, New York, Paris, Pergamon Press, voi. I, 1 96 1 .

[3 ] : The Mathematician, in J. von Neumann, in Col lected works,Oxford, London, New York, Paris, Pergamon Press, voi. I, 1 96 l .

NEWTON, I . [ l ] : Optica, Querry, 3 I .

[2] : ( l 7 1 3 ) : Principiile matematice ale filosofiei naturale, Editura Acade-mie i , Bucureşti, 1 956 .

(Referinţe b ibl iografice apud Lakatos, I . [2]). PARSONS, CH.

[ 1 ] : Mathematical lntuition, Meeting of the Aristotelian Society, March 1 7, 1 980. [2 ] : Kant s Philosophy of Aritmetic, in S. Morgenbesser, P. Suppes and M. White

(eds .) Philosophy, Science and Method - Essays in honour of Ernest Nagel, S. Martnis's Press, New York, 1 969.

PASCAL, B, [ 1 ] : De / 'esprit geometrique et de I 'art de persuader, 1 658 .

PÂRVU, I . [ l ] : Infinitul şi infinitatea lumii, Ed itura Po l itică, Bucureşti, 1 985 . [2] : Existenţă şi realitate în ştiinţă şi filosofie, E. P. , Bucureşti, 1 974.

PATZIG [ l ] : Silogistica aristotelică, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1 970.

PIAGET, J. [ l ] : Înţelepciunea şi iluziile filosofiei, Editura Ştiinţifică Bucureşti, 1 970 .

. PLATON [ I ] : Parmenide.

[2] : Timaios.

[3 ] : Epinomis. [4] : Philebos.

[5] : Theetet.

[6] : Fedon.

[7] : Republica. [8] : Fedru. [9] : Sofistul. [ l O] : Politicul.

324

[ 1 l ] : Legile. l 1 2] : Menon.

POINCAR.f:::, H. [ l ]: la Science et I 'Hypothese, Pari s, Flammarion, 1 968. [2] : la Valeur de la Science, Paris, Flammarion, 1 970. [3 ] : Dernieres Pensees, Paris, F lammarion, 1 963 .

POPPER, K. R . [ l ] : Platon and crisis of early atomism, în Conjectures and Refutations. The

Growth of scientific Knowledge, Harper & Rows, Publi shers, New York, Hagerstown, San Francisco, London, 1 968 .

[2] : Epistemologie fără sub iect cunosc ător, în Epistemologie. Orientări contemporane, Editura Poli tică, Bucureşti, 1 974.

POZGANY, L. [ 1 ] : Liberal Intuitionism as a Basis for Set Theory, în Axiomatic Set Theory,

Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1 97 1 . PRAWITZ, D. _...,_

[ l ] : On the Idea of a general Proof Theory in Synthese, nr. 27, 1 974. [2] : ldeas and Results in Proof Theory, in The Second Scandinavian Logic

Symposyum, ed. J. E. Fenstad, North Hol land Co„ Amsterdam, 1 97 1 . PROCLUS

[ 1 ] : Comentariu la Elementele lui Euclid, fragmente în Becker, O. (ed.) [1 ] . PUTNAM, H„

[ 1 ] : Models and Realiry, Journal of Symbolic logic, vo i . 45 , nr. 3 , September, 1 980.

[2] : Mathematics Matter and Method, Philosophical Papers, volume 1, Cambridge University Press, Cambridge, London, New York, Melbourne, 1 979.

QUINE, W. [ l ] : Două dogme ale empirismului, în Epistemologie. Orientări contemporane,

Editura Pol itică, Bucureşti, 1 974. QUINE & GOODMAN, N.

[2] : Steps towards a constructive Nominalism, în J . S .L. , nr. 1 2/ I 974. [3 ] : Mathematical Logic, revised ed ition, Cambridge, Mass., 1 95 3 . [4] : Set Theory and its Logic, revised edition, Harvard Univ. Press, Cambridge,

Mass, 1 97 1 . [ 5 ] : From a logica/ Point of View, New York, Harper, second edition, 1 953 . [6] : O n what there is? in Benacerraf, P. and Putnam, H . [ l ] . [7] : Word and Object, The MIT Press Cambridge Mass. 1 960.

RAMSEY, F. P. The Foundations of Mathematics, Harcourt, Brace and Co. London, New York,

1 93 1 .

325

RA VEN, J. F. [ l ]: The presocratic Philosophers. A criticai History with a Select ion of Texts,

Cambridge, 1 973. REICHARDT, H.

[ I ] : Introducere l a Mică enciclopedie matematică, Editura Tehn ică, Bucureşti . ROBINSON, A.

[ 1 ] : Concerning Progress in the Philosophy of Mathematics, in logic Colloquium '73, edited by H. E. Rose and J. C. Sheperdson, North Hol land, Amsterdam, 1 973 .

[2] : The Greeks and the excluded third, in Lakatos, I. (ed. ) [ I ] [3 ] : Formalism '64, în logică şi filosofie, Editura Po litică, Bucureşti, 1 966.

ROSSER, J. B. [ I ] : Extension of some Theorems ofGădel and Church, în The Undecidable, M.

Davis (ed.) , Raven Press, 1 964. RUSSELL, B.

[ I ] : Introduct ion to mathematical Philosophy, L o n d o n , A l i en and Univ. 1 930.

RUSSELL, B . . and. WHITEHEAD, A. N. [2] : Principia Mathematica, (Second Edition), Cambridge University Press, 1 968. [3 ] : History of Western Philosophy, London, George Al len & Unvin LTD, C,

1 96 1 . [4] : An Essay o n the Foundations o f Geometry, New York, Dover, 1 956. [5 ] : Principles ofMathematics, Cambridge University Press, 1 903 .

SCHOLZ, H. [ l ] : Die Axiomatic der A /ten, în voi . Mathesis Universalis, Base I , Stuttgart, 1 96 l .

SCHOTTE, K. ( 1 ) : Gădel 's Theorem, în Encyclopedia of Philosophy, voi . I I .

SKLAR, L. [ 1 ) : The conventionality of geometry, în N. Rescher: Studies in the Philosophy of

Science, Oxford, Basi l Blackwell , 1 966, pp. 42-60. SKOLEM, TH.

[ I ] : Review of Ober die Grundlegung der Mengenlehre Erster Teii. Die Mengen und ihre Axiome, by P. Finsler, Math . Z. 25 ( 1 926).

STEGMOLLER, W. [ I ] : The problem of universals and now, în Collected Papers, on Epi stemology,

Phi losophy of Science and History pf Phi losophy, voi. I D. Reidel Publ . Co. Dordrecht, Hol land, 1 977.

STUMPF, S. E. [ I ] : Philosophy, History and Problems, ©, 1 983, by McGraw Hi ! ! .

SUPPES, P. [ 1 ] : Dezirab ilita tea formalizării in ştiinţă, în Epistemologie. Orientări

contemporane, Editura Politică, Bucureşti, 1 974.

3 26

SZABO, A. [ I ] : Creek Dialectic and Euclid s Axiomatic, în Lakatos, I , (ed . ) [ I ] . [2] : Reply, în Lakatos, I. (ed. ) [ 1 ] .

TARSKI, A. [ 1 ] : Jntroduction a la logique, Pari s, Gauth ier, Vi l lars Louvain, E. Nauwelaerts,

1 969. TORRETTI, R.

[ l ] : Philosophy of Geometry from Riemann to Poincare, D. Reidel Pub l . Co. Dordrecht; Holland, Boston, London, 1 978 .

TOTH, I . [ l ] : Ahile, Paradoxele eleate în fenomenologia spiritului, Editura Şti inţifică,

Bucureşti, 1 969. ŢURLEA, M.

[ l ] : Filosofia şi fundamentele matematicii, Editura Acedemiei R. S. România, Bucureşti, 1 982. .

[2] : Philosophy andfoundational Research of Mathematics, în Revue Roumaine des Sciences Sociales, Serie de Phi losophie et Logique, nr. 2-3, 1 983 .

[3 ] : logic şi epistemologic - aspecte relevante În programele fundaţioniste ale matematicii, în Espitemologie şi analiza logică a limbajului, Editura Pol itică, Bucureşti , 1 975 .

TYMOCZO, TH. [ l ] : The Four Color Problem and its Philosophical Significance, în The Journal

of Philosophy, voi . 76, 1 979. UEBERWEG, FR.

[ l ] : The Principles of Geometry, 1 8 5 1 . WAERDEN, L . VAN

[ l ] : Erwachende Wissenschaft, Base! und Stuttgart, 1 959. WANG, H.

[ 1 ] : apud W. Stegmil l ler [ l ] . [2] : Survey of mathematical Logic, North Hol land, Amsterdam, 1 963 . [3 ] : Analiză, reducere şi formalizare, în Stud i i de logică matematică, Editura

Ştiinţifică, Bucureşti, 1 972. WEYL. H.

[ I ] : The mathematical Way, in J. Newmann (ed .) , The World of Mathematics, New York, Simon and Schuster, 1 956, voi. I .

WEIZSĂCKER, C. F. VON [ I ] : Die Unendlichkeit der Welt, in Zum Weltbild, 7 Aufl. Hirzel Verlag, Stuttgart,

1 957. WHITEHEAD, A. N.

[ l ] : vezi Russel ! [2] . WITTGENSTEIN, L.

[ I ] : Tractatus logico-philosophicus, Paris, 1 96 1 .

327

R e s u m e

The book i s structured in the fo l lowing chapters: I . the phi losoph y ; ind t l i c f1 > 1 1 1 1 -

dational research of mathematics; I I . ancient hi story and ph i losophy o l ' 1 1 1 1 1 t hrn1at 1 l ' '; ,

I I I . modem philosophy of mathematics; I V. Kant's phi losophy o f mathemat ics � V t l ic

present situation in the phi losophy of mathematics. „The philosophy <f 111ntlie11wt1 c ·s " states a pi uri- and inter-d iscipl inary approach of the issue, out l in ing a , ,contact zone" i n which a series o f discip l ines (such as philosophy, logic, mathematics, nH.:tamath ematics,

history of mathematics) are in a strong and deep inter�ction with the practice of math

ematics - the so cal led effective mathematics. The ai�s of the research are both at the

levei ofthe present state ofaffairs and baffl ing vaste, but the complete read ing trip of the text i t is hoped to convince about the success of the approach used. The mutual openings of different domains and genres of the foundational research and interrelations those have with the science of mathematics are stressed in the book. The unity of mathematics' sty le (ontologica!, epistemo logica! and methodological); its remarkable characteristic to take part at the marking up of its own foundations, at the assessment of the ontologi cal , ep istemologica! methodological status of the mathematical entities are developed. The core of the script is made ofthe „ interactive relation" 's problem between phi losophy and mathematics - this being announced and especial ly approached in chapters I and V. The profitable valences for both theoretical discipl ines - mathematics and phi losophy - are identified and motivated with caut ion. In this context we show that the

differences and divergences of opinion in the sphere of phi losophical and foundationa l investigations of mathe-matics are the consequences of the „co n flict'' betwecn prcscnt

results (technical-mathematical and metamathematical), and the grcatest of ph i losop h ical thought's main trends: platonism, aristotel ism, kantianism etc. M u ch more, 1 1 w t l i

ematics' great foundational ist programmes ( logicism, formal ism, int i t u t ion ism ) i l rc t l 1 e

hypostases of the general phi losophy's trends - the real ism, the 110111 i 1 w l i s 1 1 1 , t l ic rn 1 1 -

ceptua! ism. On the one hand, if phi losophy offers to mathemat ics a rc l c v; 1 1 1re t 1hrn 1 t t l w

ultimate roots o f present divergences with in phi losophy and foundation s o f 1n ; 1 t h rn 1 i 1 t

ics, on the other hand, d ifferent philosoph ies imposed by the modern rcsearchcs rn 1 1 he used as actual too ls and scripts to read and reinterpret being able to ass ign a more rn1 I lT I

and profund understanding of the ancient, middle age and mo dern , ph i losop l ty · �

significations and messages. The first and last chapters offer exp li citly the context wl i ir l i poi nted out the approaches to that issue. The discourse retai ns, in a relevan t a n d c ol i r 1 -

329

ent way, the relations' constellation among the great domains of mathematical th inking; mathematics, the foundations of mathematics, metamathematics, phi losophy of rnathematics, general (speculative) phi losophy. A series of remarks - that are original - expressed expl ic it by enough the significant outl ine of the terms which designated the thought's domains above mentioned. The remarks, also formulated the conceptual, theoretical and methodological d istinctions - warning in th is way against the unauthorized use of them in the context of more subţie theoretical analysis (see the borders among phi losophy of mathematics, foundations of mathematics and metamathematics .) . The plea in the favour of „difference", „distinction", „separation", (but not „exclusiveness") has a counterbalance in the cautious identifications ofthe communication, the mutual ity and complementarity among those domains - this being a phenomenon produced by the great mutations due to the foundational progresses. In these chapters (I, V) the logica! and logico-mathematical approach is prevalent; in this case, the mathematical research appeals to the proceedings, methods and technics with a mathematical, logico-mathematical and metamathematical character. The Jast ones are in the service of the phi losophical analysis and exp lanations - in the author 's view th is is the legitimation of the productive role of phi losophy in the foundational research.

As regards chapters II, III and IV - these containing „historical" essence which has an actual relevance - the author not pretends (not claims) original contributions: he only states in a pertinent way the information due a vaste and up-to-date bibliography (which is subordinated to the approach used). Anyway, a series of personal notes regarding different issues can be identified, th is being alongside with the systemical synthesis- that one faci l itating the building of the research' script. This „script" is centered upon the relation between „philosophy and mathematics " and refers explicitly to the famous issue of ,;nathematics · foundation " . The last one is, accord ing to the author,forked in two sub-problems; 1 ) that of mathematics ' nature, wh ich belongs to philosophy's vocation and competence; 2) that of mathematics ' structure, that being more „technically'' approached belongs to such disciplines as foundations of mathematics and metamathematics. In such a „script", ph i losophy of mathematics (besides of foundations of mathematics and metamathematics) finds its natural place. Through phi losophy ofmathematics is identified the channel of the general, „speculative" ph ilosophy's „insertion" and „communication" in the „contact zone " ofthe significative domains of mathematics, foundational research (mathematics, foundations of mathematics, metarnatematics, philosophy of mathematics and general phi losophy). The philosophy will accompany differently the foundation's problem in the contexts of the approach, for exarnple, at the pure mathematics' levei, and at that of applied mathematics, and, final ly, at the computers' impact. The ph ilosophy's role, for which the author had also pleaded in M. Ţurlea [ 1 ] , is speaking in metaphorical way placed under the „cupola" of the conceptualmethodological distinction: ,foundationist "-,foundational " - which separates and generously assigns the competences to philosophy ofmathematics, those of mathematics' foundations and metamathematics, respectively.

330 '

Tiparul s-a executat sub c-da nr. 86 1 /200 I la Tipografia Edituri i Universităţii din Bucureşti

Marin Turlea-Filosofia Matematicii

Documents

Transcript of Marin Turlea-Filosofia Matematicii