PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICA

Data: 18.februarie.2004Clasa: a VII-a AObiectul: Matematica opţionalăProfesor: Ştefan Maria LăcrămioaraUnitatea de învatare: Geometria triunghiului: Relaţii metriceTema lectiei: „Aplicaţii şi completări la teorema lui Pitagora” Tipul lectiei: Lectie de fixare si consolidare a cunostintelor.Scopul lectiei: Dezvoltarea la elevi a priceperilor si deprinderilor de

rezolvarea problemelor cu continut practic.Obiective operationale: La sfârsitul orei elevii sa stie:

O1 - să efectueze calcule cu numere reale utilizând proprietăţile operaţiilor şi formule de calcul prescurtat

O2 - să utilizeze proprietăţi calitative şi metrice ale figurilor geometrice în rezolvarea unor probleme

O3 - să construiască probleme , pornind de la un modelO4 - să identifice şi să diferenţieze etapele unui raţionament

matematic, prezentat în diverse formeO5 - Să manifeste interes pentru folosirea tehnologiilorinformaţiei

în studiul matematicii

Material didactic: planse, manual, culegere, calculator personal

Fiind o oră de matematică opţională la clasa a VII-a s-a recurs la folosirea unor programe de calculator pentru formarea deprindelor de calcul la aplicarea teoremei lui Pitagora îmbinat cu date istorice remarcabile despre viaţa şi activitatea lui Pitagora şi despre şcoala întemeiată de acesta.

Material bibliografic folosit:

1. Ioan Dăncilă: Matematica gimnaziului între profesor şi elev, Ed. Aramis, 20012. V. Bobancu: Caleidoscop matematic, Ed. Albatros,19793. Eugen Guran: Matematică recreativă, Ed. Junimea, 19854. Ioan Dăncilă : Matematică aplicată, Ed. Sigma 20005. Surse de internet: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Timelines/index.html;

www.ereferate.ro6. MATE 2000+3, culegere de probleme pentru clasa a VII-a

referat.clopotel.ro

Desfasurarea lectiei

Evenimenteleinstrutirii

Activitati ale lectiei pentru îndeplinirea functiilor Metode

Stimularea reactualizarii cunostiintelor

Intensificarea retinerii si asigurarea transferului

I. Exercitii de antrenament mintal:Recapitularea cunoştinţelor referitoare la ”Relaţii metrice”1. Triunghiul dreptunghic2. Teorema catetei3. Teorema înălţimii4. Teorema lui Pitagora

Verificarea temei pentru acasă: demonstrează relaţia lui Carnot1. Se verifică dacă au studiat ambele cazuri: M în interiorul

triunghilui ABC şi M în exteriorul triunghiului.2. Triunghiurile considerate3. Relaţia rezultă imediat din aplicarea teoremei lui Pitagora şi

insumţnd termenii obţinuţi

Elevii care au avut de pregătit documentare suplimentară prezintă date despre:- Viaţa şi activitatea lui Pitagora- Şcoala lui Pitagora- Contribuţii în geometrie- Contribuţii în aritmetică- Demonstraţii ale faimoasei teoreme- Aplicaţii în probleme - Curiozităţi

II. Recurgerea la o situaţie problemă

1. Să se demonstreze că numerele de forma ; z = m şi

formează triplete pitagoreice, adică x2+y2 = z2.

2. Demonstraţii interesannte ”fără cuvinte” bazate pe figuri echivalente, folosind că unghiurile ascuţite într+un triunghi dreptunghic sunt complementare.

Schiţele sunt prezentate în Anexă 3. Folosind modelul e demonstraţie a teoremei lui Pitagora dat de Bhaskara să se construiască un pătrat echivalent cu un dreptunghi cu lăţimea 1 şi lungimea 5.

Conversatia

Problematizare

Conversatia

Problematizare

referat.clopotel.ro

Activitatea independentă

Clasa este împărţită în 2 grupe de elevi, şi câte un responsabil care supraveghează modul cum operează la calculator.Fiecare elev va face câte o aplicaţie la calculator pentru verifcarea modului cum aplica teorema lui Pitagora şi evaluarea corectitudinii calculelor.Elevii care încă au dificultăţi în rezolvare problemelor vor fi ajutaţi de către responsabili.(se foloseste un program care pune elevul in situatia de a aplica teorema pentru cazuri simple: într-un triunghi dreptunghic se cunosc 2 laturi să se afle a treia latură)

Evaluarea rezultatelor

Calculatorul afişează numărul greşelilor din setul de 10 aplicaţii.

Tema pentru acasa

1. Să se demonstreze că numerele de forma x=k(p2-q2), y = 2kpq şi z = k(p2-q2) pot fi lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

2. Demonstrază că intr-un paralelogram suma pătratelor lungimilor laturilor este egală cu suma pătratelor lungimilor diagonalelor

ANEXEAnexa 1

Pythagora din Samos aproxim. 569 (584) î.Hr. în Samos, Ionia - aprox. 475 (497) î.Hr. în Metapont

Pitagora, matematician şi filozof grec, a studiat cu Anaximandru, a călătorit şi s-a instruit în Egipt şi Chaldeea, s-a stabilit în Cretona unde a înfiinţat o şcoală filozofică ce reunea peste 300 de pitagorieni, unde a instituit o disiplină severă de viaţă şi de muncă, emblema lor era pentagonul stelat. Din studiul numerelor, pitagorienii au conceput numerele figurative, numerele perfecte, numerele amiabile, au definit numere pare şi impare, au studiat media aritmetică, geometrică şi armonică, au descoperit iraţionalitatea – utilizând teorema ce-i poartă numele, cunoşteau cele cinci poliedre regulate, tabla înmulţirii, sistemul zecimal

referat.clopotel.ro

În astronomie, ideea că Pământul se învârte în jurul unui ”foc central” apare pentru prima dată în cadrul şcolii pitagoriene. Pitagora nu a lăsat nimic scris, de aceea este greu de delimitat concepţiile şi contribuţiile ştiinţifice şi filozofice de ale discipolilor săi, mai ales că prima descriere a operei şi a şcolii sale a fost întocmită cu 13 decenii mai târziu.

Cu toate că poate ar fi fost mai corect ca alături de teorema catetei, şi a înălţimii să se numească eventual teorema ipotenuzei, Pitagora a rămas cunoscut în mod special datorită teoremei sale, deşi a fost descoperită cu mult înaintea lui Pitagora şi se presupune că doar a extins-o la triunghiuri dreptunghice ale căror laturi sunt exprimate prin orice număr pozitiv (iniţial erau numai numere naturale).

Se spune că pitagorienii au interzis divulgarea marii teoreme,

deoarece într-un pătrat ducea la relaţia , o adevărată erezie pentru

cei ce nu acceptau decât numere raţionale pentru descrierea fenomenelor naturii, deci şi a geometriei.

Vechii constructori egipteni foloseau pentru construcţia unghiului drept o funie cu 12 noduri echidistante, legată sub formă de inel şi fixată cu 3 ţăruşi şi obţineau un triunghi dreptunghic cu laturile de (3; 4; 5), utilizând astfel reciproca teoremei lui Pitagora.

De altfel, teorema aceasta face parte din categoria teoremelor la care s-au înregistrat în decursul timpului recordul demonstraţiilor (se presupune între 350 – 500 de demonstraţii).

”La început a fost numărul”

referat.clopotel.ro

Anexa 2Curiozitati – Pitagora A descoperit tabla înmulţirii, a studiat numerele pare şi numerele impare, numerele prime şi numerele compuse, numerele prime denumind numere liniare (o dimensiune), numerele compuse care se scriau ca produs de doi factori numere plane, iar numerele compuse din trei factori spaţiale.

Numere triunghiulare

Numere pătratice

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2.

Numere pentagonale

Numere prietene sau amiabile au foat numite acele numere la care suma divizorilor unui număr este egală cu suma divizorilor celuilalt număr. Pitagorienii au gasit perechea 220 şi 284.

Cu ajutorul calculatorului electronic într-o universitate din S.U.A. au fost cercetate toate numerele până la milion. În rezultat s-a obţinut 42 de perechi de numere prietene: (220;284) (1184;1210) (2620;2924) (5020; 5564) (6232;6368) Există şi perechi de numere prietene impare: cum ar fi (12285; 14 595), (67095;87633).

Magia numerelor I-a fascinat pe adeptii lui Pitagora. Ei au considerat că efectuarea calculelor este un lucru nedemn, însemnând îndeletniciri zilnice ale oamenilor de rând, în schimb s+au ocupat foarte mult de proprietăţile numerelor. Considerau că numerele impare sunt nemuritoare, deoarece nu se împart la 2, numărul 7 este număr medical şi este decisiv pentru bolnavii contagioşi şi cei referat.clopotel.ro

operaţi; că 8 (octava) semnifică dragostea, prietenia, chibzuinţa, gândirea. Universul este analogat cu numărul 10, iar 10 reprezintă perfecţiunea. Pentru a demonstra că 10 este perfecţiunea şi că exprimă universul, Pythagoras avea să adauge celor nouă cercuri (planete cunoscute atunci) (cer, Soarele, Luna, Pământ, Mercur, Venus, Martie, Jupiter şi Saturn) cel al zecelea – al Anti-Pământului (o invenţie arbitrară). Deasemenea cunosteau ca Pământul are formă sferică.

O semnificaţie aparte a avut numărul 36. El i-a impresionat pe pythagorieni foarte mult datorită proprietăţilor sale. Pe de o parte, el reprezintă suma cuburilor primelor trei numere (13+23+33), pe de altă – este suma primelor patru numere pare şi impare: (2+4+6+8) + (1+3+5+7) = 36.

De aceea au considerat că jurământul cu numărul 36 este cel mai crunt. Acest ”jurământ” au depus şi pentru a nu divulga secretul teoremei lui Pitagora. Iar legenda spune mai departe că un adept al lui Pitagora care a divulgat teorema, celor neinitiaţi s-a pierdut în urma unui naufragiu, suportând răzbunarea zeilor.

Anexa 3Demonstratii ale teormei lui Pitagora:

I.Din antichitate: patrulaterul din interior se arată că este pătratSe scrie aria pătratului mare în doau feluri:

(c+b)2 = a2 + 4 .

II. Abraham Garfield (fost preşedinte SUA)- se arată că triunghiul obţinut este dreptunghic isoscel

- se scrie aria trapezului în două moduri.

b a

c c b

III. Bhaskara (sec, XII.)

- patrulaterul din interior este pătrat- aria păptratului mare:

referat.clopotel.ro

b c

c a a b

b c

a

b c

IV. Henry Perigal (a decupat cu foarfeca dintr-o hârtie)

V. Bèzout (1768)DAC DBAABC

Anexa 4

Folosind demonstratia data de Bashkara se efectuează practic următoarea problemă:Se dă un dreptunghi cu lăţimea de 1 cm şi lungimea de 5 cm. Prin patru taieturi să se decupeze figuri geometrice care să acopere un pătrat.Soluţie: Pătratul şi dreptunghiul sunt figuri echivalente, deci pătratul va avea aria 5 cm2, de unde găsim latura pătratului , putem construi acest număr folosind teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic cu catetele de 1 cm şi 2 cm.Aplicaţia practică: Dreptunghiul se poate împărţi în 5 pătrate. Căte 2 pătrate se grupează şi rămâne un pătrat care se decupează. Am folosit 2 tăieturi. Dreptunghiurile se taie pe diagonale şi obţinem , care va fi latura pătratului. Se aşază figurile obţinute ca mai sus şi se formează pătratul.

referat.clopotel.ro

A

B D C