ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE BUCURETI CATEDRA DE MONED INGINERIE FINANCIAR APLICAII Bucureti 20102 CUPRINS I. Opiuni i strategii pe baz de opiuni ....................................................... 3 II. Noiuni elementare ................................................................................... 5 III. Modelul Binomial.................................................................................. 11 IV. Procese Stohastice ................................................................................. 15 V. Martingale i Integrala stohastic.......................................................... 20 VI. Ecuaia Black-Merton-Scholes i Modelul Black-Scholes.................. 23 VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit .... 29 VIII. Operaiuni de hedging utiliznd opiuni PUT-Protective................. 38 IX. Evaluarea firmei utiliznd modelul Black Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)................................................................................. 41 X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate....................................... 48 XI. Obligaiuni zero-cupon cazul stocastic. Preul de pia al riscului.. 54 BIBLIOGRAFIE.......................................................................................... 56 I. Opiuni i strategii pe baz de opiuni 3I. Opiuni i strategii pe baz de opiuni 1.Funciaprofitului(tG )lascadenpentruocombinaiedemaimulteopiuniavnd aceeaiscadent ,nfunciedepreullascadenalactivului-suport(tS )idepatru preuri de exercitare, 1, 4iE i = , este dat n tabelul urmtor: tS 1E 2E3E4EPanta: ttGScc 0 5 -25 0 DeterminaidoucombinaiidiferitedeopiuniCALLiPUTcepermitobinerea profiluluirezultatuluidatntabel.Reprezentaigraficprofilulrezultatuluiideterminai punctele moarte. (test seminar 2006) 2.i. Funcia profitului (tG ) la scaden pentru o combinaie de mai multe opiuni avnd aceeaiscadent ,nfunciedepreullascadenalactivului-suport(tS )idepatru preuri de exercitare, 1, 4iE i =i 1 i iE E+< , este dat n tabelul urmtor: tS 1E 2E3E4EPanta: ttGScc 0 2 -12 0 DeterminaidoucombinaiidiferitedeopiuniCALLiPUTcepermitobinerea profiluluirezultatuluidatntabel.Reprezentaigraficprofilulrezultatuluiideterminai punctele moarte. ii.Determinaiprofilulrezultatelorpentrustrategiaurmtoare:cumprareauneiopiuni put avnd prima 1pi preul de exercitare 1E , vnzarea a dou opiuni put avnd prima 2p ipreuldeexercitare 2E ,cumprareauneiopiuniputavndprima 3p ipreulde exercitare 3E .Spresupunemc 1 2 3E E E < < .Opiunileauaceeaiduratdeviai acelai activ suport. tiind c 2 1 3 2E E E E = , artai c( )2 1 30, 5 p p p + . (test seminar 2007) 3.Spresupunemc 1 2 3, , C C C reprezintpreurileatreiopiunicalleuropeneavnd preuriledeexercitare: 1 2 3, , K K K .OpiunileauaceeaimaturitateT iacelaiactiv suport,respectivoaciunecenudistribuiedividende.tiindc 3 2 1K K K > > i 3 2 2 1K K K K = , artai c( )2 1 30, 5 C C C s + . (examen Inginerie fin. 2009) I. Opiuni i strategii pe baz de opiuni 4 4.Este posibil s construim o opiune CALL sintetic, poziie long, pe cursul de schimb euro-dolar utiliznd dou opiuni, una pe cursul dolar-RON i alta euro-RON?a)da,lundpoziieshortpeopiuniCALLdolar-RONipoziielongpeopiuniCALL euro-RON; b)da,lundpoziielongpeopiuniPUTdolar-RONipoziielongpeopiuniCALL euro-RON; c) da, lund poziie long pe opiuni PUT dolar-RON i poziie short pe opiuni PUT euro-RON; d) sunt viabile toate cele 3 strategii de mai sus; e) nu putem clona opiunea dat deoarece e posibil ca una din cele dou opiuni pe RON s fie n bani iar alta n afara banilor la exercitare. (Hull) 5.Funciaprofituluibrutalunuiinstrumentfinanciardenumithappycalleste 1max ,2T TS S K| | |\ .,unde TS estepreulaciuniisuportlamomentulT ,iarK unpre (deexerciiu)fix.Fie tS preulaciuniisuportlamomentult i 1C ,respectiv 2C , preurileopiunilorobinuitecupreuriledeexerciiuK ,respectiv2K .Preulcorect (fair price) al opiunii happy call este de forma: 1 2 H tC S C C o | = + + , unde o ,|isunt constante. a.S se reprezinte grafic profitul brut al opiunii happy call. b.S se determine constantele o ,|i . (degaard) II. Noiuni elementare 5II. Noiuni elementare 1.Un investitor depune o sum 0Sntr-un depozit bancar cu capitalizare, care pltete o dobndlaratar ,nprocentepean.Determinaisumafinaldecarevadispune investitorul duptani, dac capitalizarea se face: a) anual; b) semestrial; c) trimestrial; d) lunar; e) zilnic; f) n timp continuu. (***) 2.a) O aciune Coca Cola este cotat simultan pe piaele bursiere NYSE la preul de 10$ peoaciuneiLSElapreulde9peoaciune,ncondiiilencarepepiaavalutar cursul de schimb ntre cele dou monede este 1 1, 45$ = . Propunei o strategie de arbitraj i explicai mecanismele prin care preurile pe cele trei piee se vor corecta. b) Presupunem c ratele de schimb spot i forward pentru cursul de schimb /$ sunt: spot 01,6080 S = ,forwardpeste90zile(0, 90 ) 1, 6056 F zile = iforwardpeste180zile (0,180 ) 1, 6018 F zile = . Ce oportuniti are un arbitrajor n urmtoarele situaii: i)pe pia mai exist o opiune european CALL cu maturitatea peste 180 zile, cu preul de exercitare1, 57$ / E =i care cost 00, 02$ C = ; ii)pepiamaiexistoopiuneeuropeanPUTmaturitateapeste90zile,cupreulde exercitare1, 64$ / E =i care cost 00, 02$ C = . Presupunem c valoarea timp a banilor este 0. (Hull) 3.Aplicaii ale ipotezei absenei oportunitilor de arbitraj (notaie AOA): i)ValoareauneiopiuniCALLdetipeuropean(tC )vafintotdeaunamaimicdect valoarea activului suport (tS ) i mai mare dect valoarea activului suport mai puin preul de exercitareEactualizat: ( ) r T tt t tS C S E e > > . ii)ValoareauneiopiuniPUTdetipeuropean(tP )vafintotdeaunamaimicdect preul de exercitareEactualizat i mai mare dect preul de exercitareEactualizat mai puin valoarea activului suport (tS ): ( ) ( ) r T t r T tt tE e P E e S > > . iii) Demonstrai urmtoarea relaie care are loc ntre preurile opiunilor CALL i PUT de tipeuropean,careauaceleaicaracteristici(acelaiactivsuport,acelaiprede exercitare,aceeaiscadeniaceeaipiadetranzacionare): ( ), .r T tt t tC E e P S t T + = + s(***) 4.Primelecall,respectivput,avndaceleaicaracteristicisunt:17, 2808 C = i 12, 9118 P = . Se tie c105 S E = = , iar6 luni T t = . S se calculeze rata dobnziir . (Hull) II. Noiuni elementare 65.Seiaopoziielongpeuncontractforwardcusuportoaciuneex-dividend(fr dividend)lamomentul 00 t = .Cursulspotalaciuniilamomentul 0t este 040 S = $ iar rata dobnzii n timp continuu10% r = . a)Determinaipreulforwardalcontractuluiemislamomentul 0t cuscadenala 1 T an =i valoarea iniial a acestui contract. b)Dup6luni(16 t luni = ): 145tS = $ ,10% r = .Determinaipreulforwardal contractului emis la momentul 1tcu scadena la1 T an =i valoarea contractului forward emis la 0t . (Hull) 6.Artai c rata de cretere a preului futures (cu suport un indice bursier de exemplu) este egal cu excesul de rentabilitate al indicelui peste rata fr risc (rata dobnzii i cea a dividendului sunt considerate constante). (Hull) 7.Primelecall,respectivput(opiunicuaceleaicaracteristici),sunt:23, 4530 C = i 8, 8750 P = . Se tie c185 S = ,190 E =iar15% r = . S se calculeze intervalul de timp ( ) T t rmas pn la scadena opiunilor. (Hull) 8.Careesteratadobnziicucompunerecontinuechivalentcuoratadobnziide 15% procente pe an, cu compunere lunar? (degaard) 9. Un investitor din Romnia are de fcut plipeste9luninvaloarede6,6milioane RON iar n acest scop el va primi 1 milion EUR i 1 milioan USD. Cursurile de schimb nprezentsunt1EUR=3,6RONi1USD=3RON.Rateledobnzilorsunt 5%, 4%, 6%.eur usd leur r r = = = Cercetaidacinvestitorulpoateutilizaoschemde hedgingutilizndcontracteforward(cusuportEURiUSD)astfelnctsobino acoperire complet. (test seminar 2007) 10. La 0t aciunileABCsetranzacioneazlacursul250 = S .Uninvestitorvinde forward o aciune, cu scadena peste 6 luni, la preul forward curent de37 . 260 = F . Rata dobnziifrriscesteconstantlanivelul% 121=Mr peancucompunerelunari aciunile genereaz dividende cu o rata anual instantanee a dividendului% 2 = o . Dup trei luni de la iniierea contractului forward (momentul 1t ) cursul aciunii este211 = S . a.Calculairatadobnziifrrisccucompunerecontinu.(1pct)Calculaipreul forwardlamomentul 1t pentruuncontractcuaceeaimaturitatecaceliniial(timpul rmas pn la scaden este de 3 luni). (1 pct) II. Noiuni elementare 7b.Calculai valoarea la 1ta contractului short forward n care s-a angajat investitorul la momentul 0t . (1 pct) (test seminar 2008) 11. SeconsideroopiunePUTioopiuneCALLavndacelaiactivsuport,acelai pre de exerciiu i aceeai scaden. Activul suport pltete un dividend n valoare deD umcuolunnaintedescaden.Primelecelordouopiunisuntegaledac:a)activul suportarevolatilitatemare;b)activulsuportarevolatilitatemic;c)preuldeexerciiu esteegalcupreulforwardalactivuluisuport;d)preuldeexerciiuesteegalcucursul bursieralactivuluisuport;e)preuldeexerciiuesteegalcuvaloareafructificata cursului bursier al activului suport. (admitere DOFIN 2006) 12. Un contract forward ofer un hedging complet al expunerii la activul suport. Astfel, de exemplu, un long forward acoper o poziie short pe activul suport, eliminnd complet riscul de pierdere n cazul creterii cursului aciunii, dar elimin complet i potenialul de ctigncazulscderiicursuluiaciunii.Peuniiinvestitoriideranjeazpierderea potenialuluidectigodatcurisculdepierdere,astfelnctunelebncioferun contract forward exotic, denumit participation forward, cu urmtoarele proprieti: -ncheiat cu o scaden prestabilit, T, la preul participation forward PF ; -opoziielongparticipationforwardacopercompletrisculdepierderealunei poziii short pe activul suport n cazul creterii cursului acestuia peste PF , pltind la fel ca un contract forward obinuit P TF S ; -ncazulscderiicursuluiactivuluisuportsub PF ,opoziielongparticipation forwardilasinvestitoruluicupoziieshortpeactivulsuportjumtatedin profitul obinut, acesta trebuind s plteasc acum doar jumtate din plata aferent unui contract forward echivalent:0.5 ( )P TF S - ; -preul PFeste stabilit astfel nct la iniierea contractului ntre cele dou pri nu sefacenicioplat(valoareainiialestezero,lafelcalacontractulforward obinuit). P T P T TF S dac F S Payoff > = ,0.5 ( ) ,T T P T PPayoff S F dac S F = - a.Desenaifunciadepayofficalculaiderivatapayoff-uluinfunciedepreul activuluisuportlascaden.Determinaiunportofoliuformatdinactivulsuport, depozite/mprumuturilaratafrriscr ,contracteforwardstandardi/sauopiuni europenepeactivulsuport(pepiasuntdisponibileopiunipentruoriceprede exercitare) care s replice exact contractul participation forward. (1 pct) b.CalculaidiferenadintrepreulforwardstandardF i PF pentruafindeplinite condiiile de mai sus. (1 pct) (test seminar 2008) II. Noiuni elementare 813. Seconsideroaciunecarenupltetedividende,avndcursulspot100 = S .Rata instantanee a dobnzii fr risc este% 10 = r .1. Sa se determine preul forward pentru contractul forward cu scadenta peste 6 luni; 2. Presupunem c un investitor a intrat long pe contractul forward de la punctul 1. Dup 3 luni constat c valoarea contractului forward este 0. S se determine cursul spot n acest moment, tiind c rata dobnzii a crescut cu 50 bp. 3. Presupunem c un investitor a intrat long pe contractul forward de la punctul 1. Dup 3 lunicursulspotdevine101 = S .Ssedeterminevaloareacontractuluiforwardnacest moment. Interpretare. (parial Inginerie fin.2009) 14. Rateledobnzilor(compunerentimpdiscret)pentrudiversescadenesuntdatede ctre urmtoarea structur la termen a ratelor dobnzii: Scaden1M2M4M6M1Y Dobnd5%5,25%5,5%5,5%6% La momentul 0, un investitor intr pepoziie LONG pe un contract forward cu scadena 6 luni avnd ca activ suport o aciune care pltete un dividend de 2 u.m. peste 1 lun i un dividend de 3 u.m. peste 9 luni. Preul forward la momentul 0 este 28,7785 u.m. 1.Calculai cursul aciunii n momentul ncheierii contractului forward. 2.Calculai valoarea peste 2 luni a contractului forward ncheiat la momentul iniial, tiind c ntre timp preul activului suport a sczut cu 5% iar structura la termen s-a deplasat n jos cu 25 bp (1bp = 0,01 pp). Interpretare. (parial Inginerie fin.2010) 15. Setiecnintervalul( ) 0, t ratadobnziifrrisceste 1r ,iarnintervalul( ) , t Tdevine 2r .1.Ssedeterminepreulforwardlamomentul0pentruuncontractforwardcu scadenTi avnd activ suport o aciune care nu pltete dividende. 2.Se consider o opiune call i o opiune put avnd activ suport o aciune care nu pltete dividende, scadenTi pre de exerciiuK . S se determine relaia de paritate, la momentul 0, dintre opiunea call i opiunea put. (parial Inginerie fin.2010) 16. Seconsideroaciunefrdividend:1000 = S u.m.i% 10 = r (ratainstantaneea dobnzii). Se consider urmtoarele opiuni, care au ca suport aceeai opiune: a.Call, cu pre de exerciiu 100, maturitatea peste 3 luni i preul2209 , 7 = c ; b.Call, cu pre de exerciiu 105, maturitatea peste 3 luni i preul9225 , 4 = c ; c.Put, cu pre de exerciiu 105, maturitatea peste 6 luni i preul3816 , 8 = p ; d.Put, cu pre de exerciiu 100, maturitatea peste 3 luni i preul7519 , 4 = p ; e.Call, cu pre de exerciiu 105, maturitatea peste 6 luni i preul6431 , 8 = c ; f.Call, cu pre de exerciiu 110, maturitatea peste 6 luni i preul5208 , 6 = c . S se construiasc, dac se poate, un portofoliu de arbitraj. (admitere DOFIN 2006) II. Noiuni elementare 917. Pe pia se tranzacioneaz urmtoarele active financiare: -o obligaiune zero cupon cu scadenta peste 6 luni, avnd cursul 0.9512; -o obligaiune zero cupon cu scadenta peste 9 luni, avnd cursul 0.9277; -un bull spread cu scadena 6 luni, cu preuri de exerciiu 100 i 120, avnd prima 11.4562; -o opiune call cu scaden 9 luni, cu pre de exerciiu 110 avnd prima 11.9646; -un bear spread cu scadena 6 luni, cu preuri de exerciiu 100 i 120, avnd prima 7.4647. S se construiasc, dac se poate, un portofoliu de arbitraj. (parial Inginerie fin.2009) 18. Horror forward cu preuri de exerciiu 1 2iK Keste un activ financiar cu valoare zero (n momentul ncheierii acestuia) avnd un payoff la scaden:1 11 22 2,0,,T TTT TS K dac S Kdac K S KS K dac S K < < < >. Horrorstranglecupreurideexerciiu 1 2iK K esteunactivfinanciarcuvaloare zero (n momentul ncheierii acestuia) avnd un payoff la scaden:2 12 1 1 21 2,,,T TTT TK S dac S KK K dac K S KS K dac S K < < < >. La momentul 0, pe pia se tranzacioneaz urmtoarele active financiare: -obligaiunea zero cupon cu scadena peste 6 luni, avnd cursul 0,9512 u.m.; -aciunea ABC care nu pltete dividende, avnd cursul spot 100 u.m.; -o opiune put cu pre de exerciiu 110, activ suport aciunea ABC, scadena peste 6 luni, avnd prima 4 u.m.; -un horror strangle cu preuri de exerciiu 90 i 110, activ suport aciunea ABC, scadena peste 6 luni, avnd prima 18 u.m.; -un horro forward cu preuri de exerciiu 90 i 110, activ suport aciunea ABC i scadena peste 6 luni; S se construiasc, dac se poate, un portofoliu de arbitraj. (parial Inginerie fin.2010) 19. ConsidermoaciuneAAAalcreipreesteazi40$.Suntobservatedeasemenea urmtoarele preuri pentru opiuni europene pe aciunea AAA cu scadena peste 6 luni: Pre de exercitare Prima CALL 2521 501 Sunt preurile n echilibru sau exist posibilitate de arbitraj? Explicai. (examen DOFIN 2005) II. Noiuni elementare 1020. OpiunileCALLcuscadenapesteunanipredeexercitare50$aupreul2$,iar celecupredeexercitare55$aupreul1,5$.OpiunilePUTcuscadenapesteunani predeexercitare50$aupreul1,22$,iarcelecupredeexercitare55$aupreul3$. Preul activului suport este 49$. Exist oportuniti de arbitraj? (examen DOFIN 2006) 21. Presupunemcexist2striposibile{ }1 2, e e O = .Piaafinanciarestecompus dintr-o obligaiune cu rata de dobndr(i preul iniial( ) 0 1 B = ) i o aciune( ) S cu preul iniial( ) 0 Si preurile viitoare posibile: ( )11,dS S e = ;( )21,uS S e = , astfel nct d uS S < . a.S se arate c lipsa oportunitilor de arbitraj este echivalent cu: ( ) 01 1d uS SSr r< Fie( ) ( )bY t X t = .Cttrebuiesfieparametrulb astfelnct dinamica lui( ) Y ts aib coeficientul de difuzie constant? Care este dinamica lui( ) Y t ? (examen Inginerie fin.2010) 17. Fie( ) ( ) ( )( )i YB tX t t B t t e = = ,unde( ) B t esteomicarebrownianstandard. Determinai dinamica( )( )X tdY t| | | |\ .. (examen Inginerie fin.2010) IV. Procese Stohastice 1818. Rentabilitateamedieanualauneiaciuniestede4,5%,iarvolatilitateaanualde 30%.Cursulaciuniiestede120um.Probabilitateacapesteoluncursulaciuniis scad este: a) strict mai mare dect 0,5; b) 0,5; c) strict mai mic dect 0,5; d) 1; e) 0. (admitere DOFIN 2006) 19. Se consider procesul: dx adt bdW = + ; 05 x = , unde1, 75 a = ;2 b =idWeste un proces Wiener fundamental. S se determine media i abaterea standard dup 3 perioade( ) 3 dt =pentru variabiladx . (***) 20. Preul unei aciuni urmeaz procesul: dS Sdt SdW o = + . S se deduc procesul urmat de ctre urmtoarele funcii: a.() f S S o = ; o e; b.()nf S S = ; c.()Sf S eo= ; o e; d.( )2, f S t S t = ; e.( ) , f S t S tSoo = ;0 = ; f.( )212,S tf S t eo o = ;0 = ; g.() () cos f S S = . (***) 21. Fie procesul Ito:( ) ( )t tdX t dt t dB m s = + . Determinai dinamica lui tXtY e = . (***)

22. Fieecuaiadedinamicstocastic:( )t t tdX X t dB q = ,unde 01 X = i( ) t q esteo funcie determinist. Determinai procesul urmat de TX . (***) 23. tiind c: , dW dt dQQ Qo + =IV. Procese Stohastice 19s se determine ecuaia de dinamic pentru ()() QQ dexpexp. (***) 24. tiind c: dW dt dXX Xo + =idW dt dYY Yo + = , s se deduc ecuaia de dinamic pentru |.|

\||.|

\|YXYXd i ( )( ) XYXY d. (***) 25. n cadrul modelului binomial: ( )1r tu e t oA= + A ; ( )1r td e t oA= A . S se demonstreze c pe msur centinde la, tSconverge ctre micarea brownian geometricisseexprimemediaivariana(lalimit),calculatenfunciede probabilitatea neutr la risc, pentru tS . (Cairns) V. Martingale i Integrala stohastic 20V. Martingale i Integrala stohastic 1. tBeste o martingal. (***) 2. 2tB t este o martingal. (***) 3. 22tB teoo este o martingal. (***) 4.Calculai 4[ ]tE B . (Bjrk) 5.Calculai integrala stocastic: 0.ts sB dB} (Bjrk) 6.Procesul Ornstein-Uhlenbeck: 0, ; , .t t tdx kx dt dB x y k cons o o = + = =Determinai | | | |, ,t t tx E x Var xi valoarea mediei pe termen lung a variabileix . (***) 7.ParticularizareaprocesuluiOrnstein-UhlenbeckmodelulVasicekpentrudinamica ratei dobnzii: 0( ) , , , , constantetdr k r dt dB cu r k u o u o = + . Determinai:() () , ,t t tr E r Var ri valoarea mediei pe termen lung a variabileir . (test seminar 2008) 8.Se consider un proces stocastic tXa crui dinamic este dat de urmtoarea relaie: ( )t t t tdX k X dt X dB q s = - + ,unde, k i q s suntconstante.Ssecalculeze ( ), ( )T t T tE X X VAR X X imediapetermenlungavariabilei tX .(modelulCIRpentru dinamica ratei dobnzii). (test seminar 2007) V. Martingale i Integrala stohastic 219.Determinaiprocesulurmatdevariabilastochastic( ) Z t (ecuaiadiferenial stochastic) pentru urmtoarele situaii: a) ( )( )x tZ t eo=unde 0( ) , (0) .tdx t dt dB x x o = + =b) 2( ) ( ) Z t x t =unde( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB o o = +1( )( )Z tx t= unde( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB o o = + Determinainaceastsituaieexpresia pentru( ) Z tca funcie de,i( ) B t o o(test seminar 2007) 10. S considerm c ntr-un nivers neutru la risc preul unei aciuni urmeaz o micare browniangeometric: t t t tdS rS dt S dB s = + .Fie 1,TutS S du t u TT t= " -.Sreprezint media temporal a preurilor viitoare ce se realizeaz n intervalulT t - , unde treprezint data curent. DeterminaiE S . (examen Inginerie fin.2009) 11. Fieprocesulstocastic:( ) ( ) ( )t t tdX X t dt t dB m s = + .Determinaidinamicalui 0( )ts dst tY X em -= . Deducei c ( )Tts dst T tX E X em - = F . (***) 12. Determinai soluia urmtoarei ecuaii difereniale stocastice: ( )t t t tdX X dt a t B dB = +tiind c( ) ( )01 iexp . X a t t = = (examen Inginerie fin.2010) 13.( ) x u estefunciadedensitatenormalcentratstandard.Artaic,pentru0 T > , procesul ( ) 1, 0 ,B tt TT t T t| | u s s | \ . este o martingal. (examen Inginerie fin.2010) 14. Se consider un proces stocastic tXa crui dinamic este dat de urmtoarea relaie: t t t tdX X dt X dB a b =- + ,undei a b suntconstanteiar 01 X = .Ssedetermine media 0( )TE X X , variana 0( )TVAR X Xi media pe termen lung a variabilei tX . (reexaminare Inginerie fin.2010) V. Martingale i Integrala stohastic 2215. Senoteazcu tB micareageometricbrownianicu( ) , 2.kkt tE B k b = Sse arate c:( )2011 .2tk kt sk k ds b b-= - S se calculeze:( )2tE B i( )6tE B . (***) VI. Ecuaia Black-Merton-Scholes i Modelul Black-Scholes 23VI. Ecuaia Black-Merton-Scholes i Modelul Black-Scholes 1.Uncontractforwardcusuportoaciuneex-dividendesteuninstrumentfinanciar derivatacruivaloaredepindedevaloareaactivuluisuport.Verificaiaceastafirmaie folosind ecuaia Black-Merton-Scholes. (Hull) 2.Cursulcurentaluneiaciunieste100 . .tS u m = ,volatilitateasaeste20% o = ,rata dobnzii fr risc pe pia este10% r = . Se emit opiuni CALL i PUT de tip european, cuscadenapeste6luniicareauunpredeexercitare100 . . E u m = Determinai valuarea curent a opiunilor CALL i PUT emise. (Hull) 3.Determinai valoarea unei opiuni de tip european care d dreptul la cumprarea peste 9 luni a unui dolar canadian la preul de 0,75 USD. Cursul spot este 1CAD= 0,75USD iarvolatilitateacursuluideschimbCAD/USDeste4%pean.Ratelededobndn procente pe an n Canada i SUA sunt 9% i respectiv 7%.(Hull) 4.Un activ are un curs de pia 0100 . . S u m =Pentru acest activ se emit contracte futures cuscadenapeste9 . T luni = Ratadobnziipepiaeste10%. r = Pentrucontractele futuresseemitopiuniCALLiPUTcuscadenatotpeste9luni,preuldeexercitare fiind egal cu preul la termen pentru ambele tipuri de opiuni. Volatilitatea preulu futures este20%. o =Determinai prima opiunilor emise. (Hull) 5.Un investitor dispune de o sum de baniA cu care poate cumpra exact 100 aciuni ale firmei M&N. n cazul n care suma este depus la banc cu dobnd continu, dup 9 lunieadevineB .CusumaAinvestitorulpoatecumpraexact1000opiuniCALLcu scadenapeste9luni,avndpreuldeexercitare0, 01 E B = iavndcasuportaceast aciune. S se calculeze volatilitatea oa aciunii (volatilitatea implicit). (examen Inginerie fin. 2003) 6.a)SsestabileascrelaiadeparitatePUT-CALLtiindclamomentul 1T T . (examen Inginerie fin. 2000) VI. Ecuaia Black-Merton-Scholes i Modelul Black-Scholes 247. Au fost emise opiuni CALL i PUT de tip european, avnd aceei aciune suport i aceeai scaden. tiind c ambele tipuri de opiuni au aceeai prim, s se precizeze care dintre afirmaiile de mai jos este corect: a) volatilitatea aciunii suport este foarte mare; b) preul de exerciiu este mai mare dect preul aciunii; c) opiunile sunt at the money, respectiv preul de exrciiu este egal cu preul aciunii; d) volatilitatea aciunii suport este foarte mic; e) preul de exerciiu este mai mic dect preul aciunii. (examen licen 2001) 8.Se consider o opiune CALL de tip european pe francul elveian cu scadena peste 6 luni i cu preul de exerciiu6 E = . Cursul actual este6 S =iar volatilitatea cursului de schimbeste15% o = .SetiecprimaopiuniiCALLeste0, 357 C = ,indicatorul NABLAeste0,5736iarprobabilitatea 1( ) 0, 649 N d = .Determinairatadobnziin Elveia: a) 7,42%; b) 12%; c) 4,96%; d) 9%; e) 6,12%. (examen licen 2003) 9.Pentru o opiune PUT i o opiune CALL se pltete n total 14,32 um. Opiunile au acelai activ suport, pre de exercitare egal cu82 E =um i scadena peste 6 luni. Activul suportareuncursegalcu80 S = umivolatilitatea32% o = .Setiecratadobnzii este10% r = . Costul opiunii CALL ( C ), respectiv al opiunii PUT ( P ) este: a)9, 56 4, 76; C i P = = b)7, 20 7,12; C i P = = c)10,12 4, 20; C i P = = d) 8,16 6,16; C i P = =e)10, 92 3, 40. C i P = =(examen licen 2003) 10. PentruoopiuneCALLipentruoopiunePUTcuacelaiactivsuportsetiec: 100, 115, 20, 6%, S E r = = = iarduratapnlascadenpeste1 T an = .tiindcprima CALL este14, 787021 C = , iar prima PUT este14, 208088 P = , rata dividendului este: a) 5%; q =b)3%; q =c)4%; q =d)0%; q =e)6%. q =(examen licen 2006) 11. Deducei teorema de paritate put call pentru cazul n care suportul n contractele pe opiuni este: a)o valut; b)un contract futures; (***) 12. Se cunosc caracteristicile unei opiuni call de tip european, astfel:100 S = ;110 E = ; 6 luni T t = ;10% r =i prima CALL7, 9263 C = . Aplicnd relaia de paritate put-call, s se calculeze prima put. (examen IDD 2007) VI. Ecuaia Black-Merton-Scholes i Modelul Black-Scholes 2513. SsecalculezevaloareaunuiPUTeuropean,cupreuldeexerciiu0,50icu scadenapeste8luni.Suportulesteovalutalcreicursdeschimbcurenteste0,47, volatilitatea 12%, rata fr risc intern este 8% iar rata fr risc extern este 4%. (Hull) 14. Seconsideruncontractdecumpraredefrancielveieni(CHF)ncheiatnSUA. cursulspoteste52 , 0 = S USD/CHF,iarscadenaluni 4 = T .Volatilitateacursului USD/CHF este18 , 0 = o . Rata dobnzii n SUA este 5%, iar n Elveia este de 7%. Preul de exerciiu este56 , 0 = EUSD/CHF. S se calculeze prima opiunii CALL. (examen IDD 2005) 15. Un investitor are un portofoliu de opiuni avnd urmtoarea structur: i.o opiune CALL poziie long cu preul de exercitare95 E = ; ii.o opiune CALL, tot poziie long cu preul de exercitare105 E = ; iii.2 opiuni CALL, poziie short cu preul de exercitare100 E = ; Aciuneasuportaacestoropiuniprezinturmtoarelecaracteristici:100; 30% S s = = , scadena opiunilor este aceeai:3 T luni =iar10%. r =Se cere: a)Valoarea portofoliului, respectiv suma investit de investitor la momentul iniial; b)Notndcu TV ctigulnetalinvestitorului,careestefunciedecursulaciunii suport la scaden, respectiv( )T T TV V S = , s se completeze urmtorul tabel: TS 90959698100102104105110115 ( )T TV S(examen IDD 2006) 16. Se tie c S = 78.000, E = 60.000, T = 5 ani, r = 12%, q = 4% . Pentru aceste date se tie c valoarea opiunilor CALL e mai mare dect valoarea opiunilor PUT cu 30.932,3 u.m. a) S se calculeze diferena dintre C i P pentru cazul n care T = 3 ani. b) S se calculeze diferena dintre P i C pentru cazul n care r = 8%. (examen IDD 2005) 17. Explicaideceraionamenteleaplicatepentruadeducerelaiadeparitateputcall pentruopiunieuropenenupotfiaplicatenmodsimilarpentruopiunileamericane, pentru deducerea unei relaii similare. (Hull) 18. Ecuaiadedinamicacursuluiuneiaciunieste t t t tdS S dt S dz m s = + .Fie 2( , ) ln ( )2t t tD t S S S r T ts = + + - , undereste data dobnzii. VI. Ecuaia Black-Merton-Scholes i Modelul Black-Scholes 26i) S se arate c( , )tD t S este preul la momentultal derivativului care la scaden (T ) are un payoff( ) ln( )T T Tf S S S = ; ii)UtilizndlemaluiItosasedetermineecuaiadedinamicalui( , )tD t S ,precumi volatilitatea acestuia. S se arate c acest derivativ este mai riscant dect activul suport. (examen Inginerie fin. 2007) 19. Sepresupunec1EUR=S USD,iarvolatilitateacursuluideschimbS esteo . CeledouratealedobnziisuntiEUR USDr r .Ssedeterminerelaiadintreprimaunei opiuniCALLavndcaactivsuportEUR,scadenaT ,predeexerciiuK iprima opiunii PUT avnd ca activ suport USD, scadenaT , pre de exerciiu 1K. (reexaminare Inginerie fin. 2010) 20. S considerm c piaa este perfect descris de modelul Black-Scholes. S se arate c 22rSs- poate fi preul unui activ financiar derivat. (examen Inginerie fin. 2007) 21. Oopiunecalleuropeancusuportoaciunecarenudistribuiedividendeare scadenapeste3luni.Preulcurentalaciuniisuportesteegalcupreuldeexercitare actualizat cu rata dobnzii fr risc. n prezent preul aciunii este 15 euro iar analitii au estimatc 2[ ( ) ( )] [ ( )]Pr { } 16%.r T t T t r T tTob S e S S eo s s = Careestepreulcurental opiunii? (examen Inginerie fin. 2008) 22. Sconsidermunputeuropeanpeoaciunecenudistribuiedividende.Preul aciunii ( S ) este egal cu 85 la data curent. Se cunosc urmtoarele date de pia: preul deexercitarealopiunii( K )esteegalcu90;duratadeviaaopiuniiestede50de zile; rata dobnzii fr risc anual i continu ( r ) este de 5%. Probabilitatea ca opiunea s fie executat la scaden este de 73,76%. 1o Determinai prima opiunii put la data curent utiliznd modelul Black-Scholes. 2o Determinaicuceprobabilitaterandamentulaciuniicumedia0ivariana1la scadenaopiuniiestecuprinsntre 2d - i 2d .nacestecondiii,careesteintervalulde ncredere al preului aciunii, TS ? 3o Determinai preul opiunii put la data curent utiliznd modelul Cox-Ross-Rubinstein cu 4 perioade. (examen Inginerie fin. 2009) 23. Preuluneiaciuni tS urmeaz,ntr-ununiversneutrularisc,omicarebrownian geometricdeforma: t t t tdS rS dt S dB s = + .Fie 2lnttSXK = unde0 K > esteo constant. VI. Ecuaia Black-Merton-Scholes i Modelul Black-Scholes 27a)Poate fi tXpreul unui instrument financiar derivat la momentult ? b)Poate fi tXo martingal? c)Poate fi tXpayoff-ul unui instrument financiar derivat la scadenaT ? (examen Inginerie fin. 2009) 24. S considerm c piaa financiar este descris perfect de modelul Black-Scholes. Pe aceastpiaexistoaciunecenudistribuiedividendeioopiuneCalleuropean. Opiunea este tranzacionat cu un pre de exercitare egal cu ( )2TE SS. Pe durata de via a opiunii,randamentulaciuniiestezero.Probabilitateacapreulaciuniilascadena opiunii(TS )sfiemaimaredectmediasaestede48%.tiindcpreulcurental aciunii( S )estede35,duratadeviaaopiuniiestede3luni,determinaipreul opiunii Call europene. (examen Inginerie fin. 2010) 25. Preuluneiaciuni tS urmeazomicarebrowniangeometricdeforma: t t t tdS S dt S dW m s = + ,unde i o suntconstanteiar tW esteomicarebrownian standard.Fie tB ,preuluneiobligaiunidestatacruidinamicestedescrisde urmtoareaecuaiededinamicstocastic: t tdB rB dt = .Preuluneiopiuniputdetip european(tP )poatefiperfectreplicatprinintermediulurmtoruluiportofoliudeactive financiare: t t tP S B a b = + . Determinai valoarea parametrilor io |astfel nct preul tPs fie perfect determinat n cadrul modelului Black-Scholes. (reexaminare Inginerie fin. 2010) 26. Pentru aciunea& H Sse cunosc urmtoarele elemente: 050; 15%; 30%. S o = = =a.Ssecalculezeintervalulmaximncaresepoateaflacursuldup6lunicuo probabilitate de 99%. b.tiind c10% r = , s se calculeze preul unei opiuni CALL avnd preul de exerciiu egalcucaptuldinstngaalintervaluluidelapunctula,precumipreuluneiopiuni PUT avnd preul de exerciiu egal cu captul din dreapta al intervalului de la punctul a. Pentru ambele opiuni6 T luni = . (examen Inginerie fin. 2003) 27. Rentabilitatea unui activ financiar urmeaz urmtorul proces Ito: ( )((

+ = tntntttdZ S dt S n nSdS1 21 , VI. Ecuaia Black-Merton-Scholes i Modelul Black-Scholes 28unde tZeste proces Wiener fundamental. S se arate c preul acestui activ financiar la momentulteste nnt tS Z S||.|

\|+ =10. (Howison) 28. Formula ( )2( , ) 10 ( )r T tV S t e N d = oferpreuluneiopiunieuropenecuscadena T ,unde 22ln ( ) ( )40 2( )tSr T tdT too| |+ |\ .= .Careestepayoff-ul(valoarea)opiuniila scadenaTi n ce condiii posesorul opiunii primete banii? (examen DOFIN 2006) 29. Un broker dorete s vnd un nou tip de opiune pe un anumit indice i pretinde c este cea mai sigur investiie de pe pia. Brokerul chiar ofer formula de calcul a preului opiunii: 2( )( )2( , )T tr T tV S t S e X e = , undeS estepreulaciunii,T t esteperioadapnlascaden,r esteratadobnzii. Poate fi preul de mai sus preul unei opiuni? (examen DOFIN 2006) 30. Fie( ) , c S ti( ) , p S tvalorile opiunilor call i put de tip european, cu acelai pre de exerciiuiaceeaimaturitate.Ssearatecc p satisfaceecuaiaBlack-Scholes,cu condiiafinalc p S K = ,lamomentult T = .Ssededuc,astfel,c ( ) r T tS Ke este o soluie a ecuaiei Black-Scholes i s se interpreteze rezultatele. (Howison) VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 29VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 1.Oaciunearenprezentuncursdepia 0180 S = ,volatilitateaestimatestede 32% o =iar rata dobnzii fr risc pe pia este9, 5% r = . Se emit opiuni CALL i PUT avndcasuportaceastaciune,preuldeexercitare190 E = iscadenapeste9luni. Determinai: a.Prima opiunilor put i call la momentul curent. b.Pentru cele dou opiuni s se determine indicatorii de senzitivitate: (Delta);(Gamma);(Nabla); i (Vega). u A I Vc.Determinainouavaloareaopiuniicalldacvaloareaaciuniisuportdevine 1181. S =d.Determinainouavaloareaopiuniiputnsituaiancarevaloareaaciuniisuport devine 2177. S =e.tiindcuninvestitorareunportofoliuformatdin 12.500 N = opiunicall,poziie longi 23.200 N = opiuniput,poziieshort,ssecalculezesumainvestit,precumi indicatorii (Delta);(Gamma);(Nabla); i (Vega) u A I Vai portofoliului. f.Cu ct se modific valoarea acestui portofoliu dac cursul aciunii suport scade cu o unitate? g.Sseprecizezenumruldeaciunicaretrebuiecumpratesauvndute,astfelnct portofoliul s devinneutral A . h.Cepoziiitrebuiesiaacestinvestitorpeceledouopiuniexistentepepiaipe activul suport a.. portofoliul su s devinneutral AI . (***) 2.PentruaciunilefirmeiM&Nsecunosc:87, 28%, 0 S q o = = = iarratadobnziipe piaeste10% r = .PentruoopiunedetipCALLcusuportaciuneaM&Niscadena peste 9 luni se cunosc urmtorii indicatori de senzitivitate:0, 5199 A = ,0, 016846 I =i 19, 4486 u = . Determinai prima opiunii CALL. (Examen Inginerie fin. 2002) 3.Calculaivolatilitateaimplicitpentrupreulfuturestiindcpreulpepiaalunei opiuni PUT cu suport contractul futures este 20 u.m. Preul curent al contractului futures este525 . . F u m = iarpreuldeexercitarealopiuniieste525 . . E u m = Scadenaopiunii este peste 5 luni iar rata dobnzii pe pia este 6%.Obs. Volatilitatea implicit reprezint acea valoare a volatilitii care egalizeaz preul opiunii obinut din model cu preul opiunii observabil pe pia. (Hull) VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 304.Determinaivolatilitateaimplicitpentruoaciunealcreicursprezenteste 0500 S = ,tiindcpreuluneiopiuniCALLcusuportaceastaciune,cuprede exercitare500 E =i scadena peste 6 luni este 29,2514.10%. r =(Hull) 5.a) S se calculeze prima opiunilor put i call avnd ca suport o aciune. Se cunosc urmtoarele elemente: 100; 125; 3 luni;10%; 25%. S E T t r o = = = = =b) Pentru cele dou opiuni s se determine indicatorii de senzitivitate: (Delta);(Gamma);(Nabla);(Vega) i(Rho). u A I Vc)tiindcuninvestitorareunportofoliuformatdin 13.500 N = opiunicall,poziie longi 21.200 N = opiuniput,poziieshort,ssecalculezesumainvestit,precumi indicatorii (Delta);(Gamma);(Nabla);(Vega) i(Rho) u A I Vai portofoliului. d)Sseprecizezenumruldeaciunicaretrebuiecumpratesauvndute,astfelnct portofoliul s devinneutral A . (***) 6.SeconsideropiunileAiBdetipCALL,avndaceleaiactivesuportiaceeai scaden. Preurile de exerciiu sunt103 100A BK i K = = . Se noteaz cu AAi respectiv BAraportul de acoperire (de hedging) corespunztor celor dou opiuni. S se precizeze care dintre afirmaiile de mai jos este adevrat: a) A BA = A ; b) A BA > A ; c) A AB BKKA=A; d) A BA < A ; e) A A B BK K A = A . (examen licen 2001) 7.Care este valoarea unei opiuni CALL at-the money cu scadena peste 6 luni tiind c indicatorulDELTAeste0,6248,indicatorulNABLAeste-0,489,iarcursulactivului suport este 100?a) 10,34; b) 9,72; c) 10,5793; d) 12,4172; e) 13,58. (examen licen 2004) 8.Au fost emise mai multe tipuri de opiuni de tip european, toate avnd aceeai aciune suport.Cursulaciuniisuporteste90 . . S u m = ,iarrisculeste30% o = .Ratadobnzii este10% r = .Pentruportofoliuldeopiunisecunoscurmtoriiindicatori:DELTA= 0,634; GAMA = 0,02; THETA = -11,906; VEGA = 25,152. Valoarea portofoliului este: a) 12,48 u.m.; b) 1,09 u.m.; c) 10,9 u.m.; d) 1,248 u.m.; e) 1,845 u.m. (examen licen 2003) 9.Secunoatecncazulncarecursulactivuluisuporteste120 S = ,preulde exerciiueste110 E = ,perioadapnlascadeneste9 T luni = ,iarratadobnziifr VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 31risceste12% r = ,primaCALLeste28, 4696 C = ,indicatorulDELTAeste0,7418,iar indicatorulVEGAeste33,5846.ncazulncarevolatilitateacretedela45%la46%, prima CALL se va comporta astfel: a) crete cu 0,7418; b) scade cu 0,7418; c) crete cu 0,133272; d) scade cu 0,335846; e) crete cu 0,335846. (examen licen 2006) 10. ValoareauneiopiuniPUTeste4, 8253 P um = ,cursulaciuniisuporteste 80 S um = , iar preul de exerciiu este85 E um = . Rata dobnzii este10% r = . Se tie c n cazul n care preul de exerciiu ar crete la86 E um = , valoarea opiunii ar crete cu 0,4175um.IndicatorulDELTAalopiuniieste:a)-0,4175;b)-0,5825;c)0,4563;d) 0,5825; e) -0,3833. (examen licen 2005) 11. PrimaopiuniiCALrespectivPUTpecursuldeschimbUSD/GBPcuurmtoarele caracteristici:1, 8 / i 6 S E USD GBP T luni = = = este0, 0976 C USD = respectiv 0, 0814 P USD = . S se precizeze care din urmtoarele afirmaii este corect. a) rata dobnzii este mai mare n Anglia dect n SUA; b) indicatorul VEGA al opiunii PUT este mai mare dect cel al opiunii CALL; c) rata dobnzii este aceeai n Anglia i n SUA; d) preul spot al GBP fa de USD este egal cu preul forward; e) rata dobnzii este mai mare n SUA dect n Anglia. (examen licen 2005) 12. Cursulunuiactivsuporteste100u.m.Uninvestitoracumpratunportofoliude opiunipeacestactivsuport,careesteformatdinurmtoarelepoziii:i)LONG100 opiuni CALL cu prima 5,2954 u.m. i indicatorul DELTA 0,6179; ii) LONG 100 opiuni PUTcuprima3,4007u.m. i indicatorul DELTA -0,3357. Pentru a forma un portofoliu DELTA neutru investitorul trebuie: a) s cumpere activ suport n valoare de 2822 u.m.; b) svndactivsuportnvaloarede200u.m.;c)scumpereactivsuportnvaloarede 869,6 u.m.; d) s vnd activ suport n valoare de 869,6 u.m.; e) s vnd activ suport n valoare de 2822 u.m. (examen licen 2007) 13. AfostemisoopiuneCALLavndpreuldeexerciiuactualizategalcupreul aciunii suport. Actualizarea s-a fcut pe baza ratei dobnzii practicate pe pia. Se tie c mrimeaindicatoruluideacoperire(hedging)este0,52.PrimaopiuniiCALLva reprezenta urmtorul procent din preul aciunii suport: a) 14%; b) 2%; c) 52%; d) 4%; e) 10%. (examen licen 2002) 14. Se tie S = 87, r = 10%, q = 2%. O opiune de tip CALL cu E = 84 i scadena T = 9 luni are prima C = 13,4257 i indicatorul0, 6748 C A = . a) S se determine mrimea opiunii put cu acelai E i aceeai scaden T. b) S se determine p A . (examen IDD 2004) VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 3215. Se consider c S = 100, r = 9%,25% o = . Fie o opiune de tip CALL i una PUT cu E = 97 i scadena T = 6 luni. Un investitor are un portofoliu format din o poziie long pe 300 opiuni PUT i o poziie short pe 100 opiuni CALL. a) S se determine primele celor dou opiuni. b) S se determine valoarea portofoliului. c) Cu ct se modific valoarea portofoliului dacSscade cu o unitate monetar?(examen IDD 2004) 16. Un investitor i formeaz un portofoliu constituit dintr-o opiune CALL i o opiune PUT, ambele poziie long. Activul suport, comun pentru ambele opiuni are urmtoarele caracteristici:80; 25% S E o = = = .Pentruambeleopiuniscadenaestepeste6luni. Rata dobnzii este8% r = . Se cere: a) Costul portofoliului; b) Valoarea indicatorului DELTA al portofoliului; c)Ssestabileascintervalulncaretrebuiesseaflecursulaciuniilascaden,a.. investitorul s aib un profit net pozitiv. (examen IDD 2005) 17. SeconsideruncontractdecumpraredefrancielveienincheiatnSUA.Cursul spot este de0, 52 S = USD/CHF, iar scadena4 T = luni. Volatilitatea cursului USD/CHF este0,18 o = .RatadobnziinSUAeste5%,iarnElveiaestede7%.Preulde exerciiu este E=0,56. S se calculeze prima opiunii CALL. (examen IDD 2005) 18. AufosttranzacionateopiuniCALLiopiuniPUT.Ambeletipurideopiuniau scadena peste 8 luni i preul de exerciiu78 E = . Se tie c volatilitatea activului suport este25% o =iar9% r = . Mrimea primelor este:6,83655; 5, 29419 C P = = . Se cere: a) Valoarea cursului spot al aciunii suport; b) Mrimea indicatorului DELTA pentru cele dou tipuri de opiuni. (examen IDD 2005) 19. Uninvestitordeineunportofoliuformatdintr-opoziielong100opiuniCALLcu preul de exercitare 120 u.m. i o poziie short 100 opiuni CALL cu preul de exercitare 130u.m.OpiunileCALLauaceeaiscaden9 T t luni -= iacelaiactivsuport ( 125, 15% S s = = ).Ratafrrisceste10% r = .SsecalculezeindicatorulDpentru acestportofoliuirezultatulinvestitorului,dacpreulactivuluisuportlascadeneste 127 u.m. (examen IDD 2006) 20. PentruoopiuneCALLsecunoate:90; 94; 9 ; 9%; S E T luni r = = = =13, 3259; C = 0, 5958CD= . Se cere: a) Preul opiunii PUT corespunztoare, precum i PD ; b) Care ar fi fost preul CALL i preul PUT dac89 S = . (examen IDD 2006) VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 3321. Pentrudouopiunicalliputdetipeuropeancuacelaiactivsuportiaceeai scadensecunosc:primacall7099 , 6 = c ;primaput2010 , 3 = p ;deltaput 3596 , 0 = Ap;nablacall5481 , 0 = Vc;maturitatealuni 9 = T .Ratadedobndfr risc este% 10 = r , iar activul suport nu genereaz venit. S se determine preul curent al activului suport( ) S , precum i preul de exerciiu al celor dou opiuni() E . (examen IDD 2006) 22. UninvestitorareunportofoliuformatdinoopiuneCallpoziielongcupreulde exercitare 1100 E = i o opiune Put poziie long cu preul de exercitare 290 E = , ambele detipeuropean,cusuportoaciunecupreulcurent 095 S = ivolatilitatea10% o = . Scadena opiunilor este peste6 luni T =luni iar rata dobnzii fr risc este% 10 = r .a) Determinai valoarea acestui portofoliu la momentul curent0 t = . b) Reprezentai profilul rezultatului la scaden i determinai intervalul n care trebuie s se afle cursul aciunii suport astfel nct investitorul s obin un profit strict pozitiv. Pe ceamizatinvestitorul,pecretereasauscdereavolatilitiicursuluisuportpnla scadenaT ? c) Cum se modific costul acestui portofoliu cnd volatilitatea oa cursului suport scade? Explicai innd cont de rezultatul de la punctul b). (examen IDD 2010) 23. Se consider c S = 100, r = 9%,25% o = . Fie o opiune de tip CALL i una PUT cu E = 97 i scadena T = 6 luni. Un investitor are un portofoliu format din o poziie long pe 300 opiuni PUT i o poziie short pe 100 opiuni CALL. a) S se determine primele celor dou opiuni. (1p) b) S se determine valoarea portofoliului. (1p) c) Cu ct se modific valoarea portofoliului dac E scade cu o unitate monetar? (1p) (test seminar 2006) 24. Preul unui contract futures este 19 USD, rata de dobnd fr risc (exprimat anual) este 12%, iar volatilitatea preului futures (exprimat anual) este 20%. a.Ssecalculezevaloareauneiopiuniputdetipeuropean,ceexpirpeste5lunii care are ca suport acest contract futures. Preul de exerciiu este 20 USD. b.Ssecalculezevaloareopiuniicallemisnaceleaicondiiicaopiuneaputdela punctul a). c.S se calculeze noul pre al opiunii put de la punctul a), dac preul futures crete cu 0,5 USD. d.Ssecalculezenoulprealopiuniicalldelapunctulb),dacvolatilitateapreului futures scade cu 1 punct procentual. (test seminar 2007) 25. Se consider o opiune CALL de tip european avnd ca activ suport o aciune care nu pltezedividendepeduratadeexistenaopiunii.PreulacesteiopiuniCALLcrete VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 34dac:a)scadecursulbursieralaciuniisuport;b)scadeindicatorulBETAalactivului suport;c)scadevolatilitateaactivuluisuport;d)scaderatadobnzii;e)scadepreulde exerciiu. (admitere Masterat 2010) 26. Se consider o opiune CALL de tip european avnd ca activ suport o valut pentru careratadobnziieste2%fr = .ncazulncareattcursulactivuluisuport( S ),cti preul de exerciiu ( E ) scad cu 3% s se precizeze care dintre urmtoarele afirmaii este adevrat:a)primaopiuniinusemodific;b)primaopiuniicretecu3%;c)prima opiunii crete cu 2%; d) prima opiunii scade cu 3%; e) prima opiunii scade cu 2%. (admitere Masterat 2010) 27. FiecursulEURRON3.6125.Rateledobnzilorcucompunerecontinusunt 9.5% r = pentruleii4%fr = pentrueuro,iarvolatilitateacursuluiestede20%.Se emit opiuni europene pe cursul EURRON cu scadena de 3 luni la preul de exercitare K = 3.6125. a.(1 pct) S se calculeze prima call. b.(1 pct) S se calculeze prima put. c.(1 pct) S se calculeze indicatorii SDcc= Ai 22SDcc= Ipentru call i put. d.(1 pct) Dac cursul valutar crete la 3.6500 s se calculeze prima call prin aproximare Taylor de ordinul I ( A) i de ordinul II ( I A ). (test seminar 2008) 28. Se consider c S = 100, r = 9%,25% o = . Fie o opiune de tip CALL i una PUT cu E = 97 i scadena T = 6 luni. Un investitor are un portofoliu format din o poziie long pe 300 opiuni PUT i o poziie short pe 100 opiuni CALL. a) S se determine valoarea portofoliului. b) Cu ct se modific valoarea portofoliului dac E scade cu o unitate monetar? (test seminar 2008) 29. UnactivsuportarenprezentavaloareaS=200.Ratadobnziifrrisc este 10% r = ,iarvolatilitateaactivuluisuporteste30% s = .Uninvestitorareun portofoliu format din opiuni pe acest activ suport: -long 1000 opiuni A cu6 . 0 = A ,05 . 0 = Ii4 . 0 = u-short700 opiuni B cu2 . 0 = A ,04 . 0 = Ii6 . 0 = uunde SDcc= A , 22SDcc= Ii oucc=D. a.(1.5pct)SsecalculezeindicatoriiO I A , , pentruportofoliu,tiindcvaloarea portofoliului este n prezent de 8000, iar tDcc= O . b.(0.5 pct) S se formeze un portofoliuA neutru pornind de la portofoliul dat. c.(1 pct) S se formeze un portofoliuI A,neutru pornind de la portofoliul dat. VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 35d.(1 pct) S se formeze un portofoliuu , ,I Aneutru pornind de la portofoliul dat. (test seminar 2008) 30. Se consider un contract CALL de tip european pentru a cumpra lire sterline. Se tie cscadenacontractuluieste6 T luni = ,cursulspoteste1, 9803 S = ,preuldeexerciiu este2, 0114 E = ,volatilitateacursuluieste25% o = ,ratadobnziiestenSUAeste 5,2% iar rata de dobnd n Anglia este 6,8%. a) S se determine prima opiunii CALL; b)SseprecizezemodificareaprimeiopiuniiCALLncazulncareratadobnziin SUA crete cu 1Ap.p. iar n Anglia cu 2Ap.p. (examen Inginerie fin. 2008) 31. Se consider o opiunePUTdetipeuropean.n cazul n care att activul suportS , ct i preul de exerciiuEcresc cu 20% s se precizeze care dintre urmtoarele afirmaii este adevrat: a)primaopiuniinusemodific;b)primaopiuniicretecu9,54%;c)indicatorul DELTA crte cu 9,54%; d) prima opiunii scade cu 9,54%; e) indicatorul DELTA nu se modific. (admitere DOFIN 2006) 32. Pentruoaciunesecunoscurmtoareledate: 080, 35% S s = = .Ratadobnziieste 10% r =i ea coincide cu media rentabilitii aciunii. a) S se calculeze intervalul n care se poate afla cursul aciunii dup o perioad de 6 luni cu o probabilitate de 95%. b)Uninvestitoriformeazunportofoliuformatdintr-oopiuneCALLcupreulde exerciiu80CE = ioopiunePUTcupreuldeexerciiu80PE = ,ambelecusuport aceastaciune,scadena6 T luni = ,ipoziielong.Sseprecizezecostulinvestiiei, indicatorulD al portofoliului, precum i funcia de payoff.c) S se precizeze ctigul net al investitorului pentru cazul n care TSse afl la unul din capetele intervalului calculat la punctul a).(examen Inginerie fin. 2002)

33. PepiaexistoopiuneCALLacreiprimcretecu0,4u.m.cndpreulde exerciiuscadecu1u.msicu0,5u.m.candpreulactivuluisuportcretecu1u.m.Pe piaamaiaprutoopiunecarepltete10u.m.dacopiuneaCALLrespectivse exerciti0ncazcontrar.Uninvestitorevalueazaceastopiunebinarnprezent, ntr-un mediu neutru la risc la o valoare:a) de 5 u.m.; b) de 10 u.m.; c) de 4 u.m.; d) de 0,4 u.m.; e) incert, dar nu mai mare de 10 u.m.(admitere Dofin 2005) 34. O firm din Aliteria, n care moneda naional este A, are de fcut peste 1 an pli n valoaretotalde7,9milioaneA.nacestscopeavaprimi1milionUSDi1milion VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 36EUR.Cursuriledeschimb,nprezentsunt:4A=1USDi3,7A=1EUR.Volatilitile cursului de schimb sunt: A/USD: 115% s= ; A/EUR: 220% s = ; EUR/USD: 310% s=.Ratele dobnzilor sunt: zona EURO:28% r = ; SUA:16% r= ; Aliteria: 310% r= .a)Sseprezinteoschemdehedgingutilizndopiunicaresasigurecelpuin7,9 milioaneAicaresaibuncostctmairedus.Sevaprecizatipuldeopiuniutilizat, preurile de exerciiu, precum i dac s-au utilizat scheme de tip cross.b) S se prezinte i o schem utiliznd contracte forward.(examen Inginerie fin. 2002) 35. PentruoopiuneCALLsecunosc:0, 663872; 0, 426465;C CS E D= = = =- 9 ; T luni = 59, 74848; 31, 047577CCqm= =- =.SeceremrimealuiS imrimea luiE . (examen Inginerie fin. 2004) 36. SeconsiderformulaBLACK-SCHOLESpentruoopiuneCALL,activulsuport avnd rata instantanee a dividendului egal cuq . Se noteaz cu EhS= . S se calculeze formula ChcaremsoarsenzitivitateacostuluiopiuniiCALLnraportcuh .Sse interpreteze economic formula dedus. (examen Inginerie fin. 2002) 37. PentruoopiuneCALLdetipeuropeanavndcasuportoaciunesecunosc urmtorii indicatori de senzitivitate: 1( ) N d D= ; ( )2( )r T te N d- - =- ; 2121 12deS T t s p-G = - Se definesc suplimentar urmtorii indicatori: ESa =i( )CfSa= . i)tiind c0, 85 a = ;0,81401 D=i0, 69349 =- . S se calculeze( ) f a . ii)S se calculeze expresiile pentru indicatorii de senzitivitate 22( ) ( ) f fia aa a . iii) Pentrucazulnumericdelapunctuli,tiindc0, 00789 G = i10 S = sse calculeze 22(0, 85) fa. (examen Inginerie fin. 2007) 38. Se consider un portofoliuH format dintr-o opiune CALL, poziie long i o opiune PUT, poziie short. Ambele opiuni au acelai activ suport, al crui pre de pia esteSiar volatilitateao , acelai pre de exerciiuEi aceeai scadenT . Rata de dobnd pe piaa monetar ester . Se cere: VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static i volatilitatea implicit 37(a)S se arate c sunt ndeplinite relaiile:r TT rcH cHc c=i0.ocH =c

(b) nipotezacvaloareaportofoliuluiHesteegalcuzero,ssecalculezeindicatorii Vega i Rho ai opiunii CALL: cVegaoc=c i cRhorc=c. (c)Aplicaie.Pentrucazuldelapunctul(b)ssecalculezevaloareaopiuniiCALL, tiind c120, 45% 6 . S i T luni o = = =(examen Inginerie fin. 2009) 39. Cursul unui activ suport este 100 u.m. Un straddle pe acest activ suport cu scadena peste 9 luni i cu preul de exercitare egal cu preul forward la 9 luni valoreaz 11,5 u.m. Calculai indicatorul DELTA al acestui straddle. (admitere DOFIN 2006) 40. Preul unei aciuni este egal cu preul de exercitare actualizat al unei opiuni call de tipeuropeancarearecasuportaciunearespectiv.Determinaiprimaacesteiopiunin funcie de cursul aciunii suport i de raportul de hedging (indicatorul delta). (examen licen 2003) 41. Uninvestitoremite100.000opiunicallcupreuldeexerciiu82 E = ipreul 8, 5183 c = ,ncondiiile:82 S = ;30% o = ;0, 5 T = i8% r = .Presupunemcacest investitorigestioneazportofoliuldinamic,iarpentrusimplificarecairevizuiete portofoliullunar.Ssereprezintestrategiainvestitorului i ssecomparerezultatulsu n urma operaiunilor de hedging cu cel n lipsa operaiunilor de hedging, tiind c preul Sal activului suport a evoluat conform cu urmtorul tabel: LunaTP 00,582 10,416783,6 20,333383 30,2584,9 40,166787,4 50,083390,1 6094 (***) VIII. Operaiuni de hedging utiliznd opiuni PUT-Protective 38VIII. Operaiuni de hedging utiliznd opiuni PUT-Protective 1.Uninvestitordispunedeosum 010 . W mil = u.m.pecaredoretesoinvesteasc pentruoperioad2 T ani = ntr-unportofoliudiversificatconinndobligaiunizero cuponnsumdeB u.m.iportofoliiprotectiveputnvaloarede 0W B a..la scaden valoarea portofoliului su s fie cel puin egal cu valoarea11, 5 .TA mil =u.m. Rata dobnzii fr risc pe pia este10% r =iar aciunile din portofoliile protective put au un curs 01000 S =u.m. i o volatilitate15%. o = a) Determinai costul de cumprare al unui portofoli protective put (0PP )i numrul de portofolii cumprate. b)Valoarealascadenainvestiiei,dacvaloareaaciunilorlascadenestede1200 u.m. (Examen Inginerie fin. 2004) 2.UninvestitordoretesinvesteascA=1milionu.m.naciuniavndurmtoarele caracteristici:S0=76,16% = ,28% o = peoperioaddeT=9luni.Pentrufiecare aciune cumpr o opiune PUT cu preul de exerciiu E, formnd un numr de portofolii protective put. Fie V(E) nivelul minim, cert al acestei investiii dup 9 luni. Rata dobnzii ester=10%.SsededucocondiiedemaximpentruV(E)isseprecizezedac punctul de maxim e atins. (Examen Inginerie fin. 2004) 3.Uninvestitordeineunportofoliuformatdin100aciuniXi100aciuniYceau cursurilecurente 0 04 u.m. i Y 5 u.m. X = = iarvolatilitile15%X Yo o = = .Pentru conservarea valoarii portofoliului pe un orizont de 1 an (astfel nct valoarea portofoliului sfiecelpuinlanivelulceleicurente),investitorulcumpr100opiuniputcusuport aciunea X i 100 opiuni put cu suport aciunea Y, cu scadenele peste 1 an. Determinai preurile de exercitare ale acestor opiuni astfel nct costul lor (i deci al proteciei) s fie minim.Investitorulseputeaprotejautilizndcontracteforward?Comentaidiferenele dintre cele dou tipuri de protecie prin prisma valorii finale a portofoliului. (Test seminar 2007) 4.Un investitor deine un portofoliu de 400 mil. USD la fel de diversificat ca S&P500. ValoarealuiS&P500este1350.Volatilitateaportofoliuluieste28% o = ,iarrata dividendului4% q = . Aceleai caracteristici are i S&P500. Rata dobnzii este10% r = . Investitoruldoretesseasigurecvaloareaportofoliuluinuvascadenurmtoarele6 lunicumaimultde5%dinvaloareasa.nacestscopcumpropiuniPUTcares-l protejeze. a) S se calculeze costul asigurrii cu opiuni PUT. b)FolosindparitateaPUT-CALL,sseprezinteschemacareasigurproteciaprin cumprarea de opiuni CALL. VIII. Operaiuni de hedging utiliznd opiuni PUT-Protective 39c) n cazul n care investitorul decide s-i asigure protecia investind o parte din valoarea portofoliului n obligaiuni, care este poziia sa iniial? (examen Inginerie fin. 2001) 5.Ratadobnziiesteder 12% = .Uninvestitordispunede15.000.000umii propunecapeste2anicapitalulsusfiedecelpuin16.912.452um.Sumadecare dispunepoatefiinvestitfienunitideportofoliudiversificat,fiedepusnconturi bancare.Valoareauneiunitideportofoliueste2.500umiarrisculsueste14% s = . S se calculeze suma ce va fi depus n conturi bancare, precum i numrul de uniti de portofoliu diversificat ce vor fi achiziionate de investitor astfel nct s-i asigure scopul propus. (examen Inginerie fin. 2002) 6.Un investitor dispune de suma W = 5.000 u.m. Rata dobnzii este r = 9%. Investitorul i elaboreaz un plan de investiii astfel nct dup 3 ani el s dispun de o sum de cel puin A3 = 5.722,6839 u.m. n acest scop el va investi o parte din sum n obligaiuni, iar opartenportofoliidiversificateavndpreulunitar10 H = u.m.iriscul15% s = . PentrufiecareunitatedeportofoliuinvestitorulcumprcteunPUTprotectiv.Sse precizeze mrimea sumei investite n obligaiuni i numrul de opiuni PUT cumprate. (examen Inginerie fin. 2004) 7.Uninvestitordeineunportofoliunvaloarede1.000.000 . . u m P = format50%din aciuniABCi50%dinaciuniXYZ.CursulaciuniiABCeste 1100 . . S S u m = = ,iar volatilitatea acesteia este 120% s s = = . Cursul aciunii XYZ este 2100 . . S S u m = = , iar volatilitateaacesteiaeste 220% s s = = .Cursurilecelordouaciuninusuntcorelate. Rata dobnzii este10% r = . Investitorul dorete s utilizeze o strategie cu opiuni astfel nct dup 1 an s nu piard mai mult de 5% din valoarea portofoliului. Pentru aceasta are la dispoziie dou variante: Varianta A: s apeleze la o banc pe piaa OTC pentru a-i oferi o opiune care s aib ca activsuportportofoliulconsiderat.Specialitiibnciiajunglaconcluziacecuaiade dinamicaportofoliuluiinvestitouluieste t P t P t td dt dz m s = + ,unde,P Pm sreprezint rentabilitatea ateptat, respectiv volatilitatea portofoliului; VariantaB:sutilizezeopiunitranzacionatelaburscareauactivsuportaciunea ABC, respectiv aciunea XYZ. i)S se determine costul operaiunii n cazul n care se utilizeaz varianta A; ii)S se arate c ntotdeauna varianta A este mai avantajoas pentru investitor dect varianta B. (examen Inginerie fin. 2007) 8.CursulspotEURUSDeste1,42,iarvolatilitateaacestuiaeste% 15 = o .Celedou ratededobndsunt% 1 =EURr i% 9 , 0 =USDr .UnexportatordinSUAtrebuies primeasc, peste 3 luni, suma de 100.000 EUR. VIII. Operaiuni de hedging utiliznd opiuni PUT-Protective 401.S se determine costul unei strategii de hedging de tip protective put care s i asigure exportatorului, peste 3 luni, cel puin 140.000 USD; 2.Utilizndeventualiopiuneacallcuaceleaicaracteristici,sseconstruiasco strategie de hedging cu cost zero care s i asigure exportatorului, peste 3 luni, cel puin 140.000 USD; 3.S se determine cu ct se modific valoarea portofoliului de la punctul 2 dac cursul deschimbcretecu10pips.SeconsidercindicatorulTHETAalportofoliuluieste aproximativ egal cu zero.(examen Inginerie fin. 2009) 9.Cursul spot USDRON este 3,4116, iar volatilitatea acestuia este25% s = . Cele dou ratealedobnziisunt0, 5%i 6, 5%USD RONr r = = .UninvestitordinRomniaa achiziionat suma de 100.000 USD. i)S se determine costul unei strategii de hedging de tip protective put care s i asigure investitorului,peste3luni,celpuin335.000RON;secunoatefaptulcindicatorul Gamma al opiunii utilizate este 0,8853, iar indicatorul Vega este 0,6440; ii)Utilizndiopiuneacallcuaceleaicaracteristici,sseconstruiascostrategiede hedgingcucostzerocaresiasigureinvestitorului,peste3luni,celpuibn335.000 RON; iii) S se determine cu ct se modific valoarea portofoliului de la punctul ii) dac, peste o lun, cursul de schimb crete cu 150 pips iar volatilitatea crete cu 1pp. (examen Inginerie fin. 2010) 10. Preul aciunii companiei X este azi 40$. De asemenea60$ 30$u dS iar S = = , fiecare cu probabilitate 0,5 iar1, 25r Te = . Un broker ofer o opiune european PUT cu scadena Ti pre de exercitare 45$.a) Ct este indicatorulA pentru aceast opiune. b) Care este preul opiunii? c)Unbrokervinde100.000deastfeldeopiuniiprimetecu10cenipestepreul determinatlapunctulb.Eldoretesseprotejezeprinhedging.Cteaciunitrebuies vnd sau s cumpere i care va fi profitul la final? (examen DOFIN 2006) 11. Uninvestitoremite100.000deopiunicallcuurmtoarelecaracteristici: 80 S E = = ;30% s = ;10% r = ;0 q = i6 T luni = .Pentruafaceooperaiunede hedging static, el cumpr 100.000 aciuni, utiliznd bani mprumutai.a) S se precizeze profitul net maxim ce se poate obine prin aceast schem de hedging. S se precizeze n ce condiii operatorul este perfect acoperit.b)Ssecalculeze,cuoprobabilitatede99%pierdereamaximpecarepoatesoaib operatorul. (examen Inginerie fin. 2002) IX. Evaluarea firmei utiliznd modelul Black Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) 41IX. Evaluarea firmei utiliznd modelul Black Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) 1.a)ValoareaactiveloruneifirmeesteA0,iarvolatilitateaA o .Firmaareluatun mprumutsubformdebondzerocuponcuvaloareanominalFiscadenaT.Sse determine volatilitatea datoriei, a aciunilor firmei i coeficientul de corelaie ntre aciuni i debit. b) A0 = 110.000, F = 90.000,78% A o= , T = 6 ani, r = 12%. S se calculezeD o , E oi DE , precum i prima de risc aplicat creditului. c)Determinaivaloareamediederecuperareacredituluincazdefaliment.Careeste probabilitatea de nerambursare a creditului? d) Presupunem c S JF60.000,F30.000 = =(datoria firmei este format dintr-un credit senioriunuljunior).Ssecalculezeprimaaplicatcredituluisenior,credituluijunior, precum i prima medie corespunztoare ntregului credit. e) S se deduc pentru cazul general (A0 , FS , FJ, A o , r i T se dau) formula de calcul a volatilitiidebituluijuniorDJ o .Aplicaie:ssecalculezevolatilitateacredituluijunior de la punctul d). f)Ssedemonstrezepentrucazulgeneralcvaloareamedieaprimeipltiteprecumi valoareacapitaluluipropriu,ncazulunuicreditjuniorFJiaunuicreditseniorFS,nu depind de structura creditului, respectiv de raportul JSFF. (Examen Inginerie fin. 2004) 2.Valoareaactiveloruneifirmeeste100.000u.m.iarvolatilitateaacestoraeste 65%Ao= . Firma a beneficiat de un credit luat sub forma unei obligaiuni zero cupon cu valoareanominal80.000u.m.iscadenapeste6ani.Ratadobnziipepiaeste r = 10%. Determinai: a)Valoarea iniial a datoriei firmei i volatilitile datoriei respectiv aciunilor firmei. b)La sfritul anului 3, firma decide s-i refinaneze creditul, n situaia n care activele sale n acest moment valorau 125.000 u.m. Calculai ce prim de risc va fi aplicat firmei de ctre noii creditori. (Examen Inginerie fin. 2005) 3.Valoareadepiaaactiveloruneifirmeeste89.000 A = ,eaavnduncredit (obligaiune 0-cupon) cu valoarea nominal70.000, 5 , 60%, 12%. F T ani r o = = = =a)S se calculeze valoarea debitului 0D , precum i prima de risc aplicat. IX. Evaluarea firmei utiliznd modelul Black Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) 42b)Ssecalculezeurmtoriiindicatoridesenzitivitate: 0 0 0 0; ; ; ,AD D D DA F T oc c c cc c c c menionndu-se monotonia funciei 0 0( , , , ).AD D A F T o =(Examen Inginerie fin. 2005) 4.Valoarea activelor unei firme este2000 A =iar volatilitatea45% o = . Rata dobnzii pepiaeste10% r = .Obancacorduneifirmedoucredite,primulsenior,iaral doileajunior,subformdeobligaiunizero-cuponcuscadena5 T ani = .Valorile nominalesunt1000 500S JF i F = = .Setieclamomentuliniialaufostemisedou tipurideopiunipentrucumprareaactivelorfirmei.Primultipdeopiuniarepreulde exercitare1000 E = iprima1452 C = iaraldoileatiparepreuldeexercitareegalcu1500 E =i prima1246 C = . Prima de risc aplicat pentru creditul junior este: a) 4,31%; b) 8,85%; c) 2,81%; d) 7,73%; e) 10%. (examen licen 2003) 5.O firm a luat un credit sub form de obligaiuni zero-cupon n valoare de 4.500 um iscadenapeste4 T ani = .Volatilitateafirmeieste32% o = ,iarratadobnziieste 10% r = . Se tie c valoarea de pia a firmei este6.000 A = , iar valoarea aciunilor este 3.173, 59 C =um. Prima de risc aplicat la acordarea creditului este:a) 2,53%; b) 1,12%; c) 0,84 %; d) 2,04%; e) 1,62%. (examen licen 2003) 6.ValoareaactiveloruneifirmeesteA=80.000,iarvolatilitateaacestoraeste 65%As = .Ratadobnziipepiaeste10% r = .Firmaaluatuncreditsubformde bligaiune zero-cupon cu valoarea nominal15.000 F =i scadena5 T ani = .a) S se determine mrimea capitalului firmei; b) S se determine valoarea creditului i prima de risc aplicat de creditor; c) S se determine riscul creditului. (examen IDD 2004) 7.Valoareaactiveloruneifirmeeste 0500.000 A = ,iarvolatilitateaeste85%Ao= . Valoarea nominal a creditului este300.000 F = , cu scadena15 ani T = . Rata dobnzii este5% r = . S se calculeze: a) Valoarea 0Da creditului; b) Valoarea 0Ea capitalului propriu; c) Prima de risctperceput de creditor; d) Volatilitatea( ) 0Dodebitului n momentul iniial. (examen IDD 2007) IX. Evaluarea firmei utiliznd modelul Black Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) 438.ValoareaactiveloruneifirmeesteA=120.000,iarvolatilitateaacestoraeste 45%As = .Firmaaluatuncreditsubformdebligaiunezero-cuponcuvaloarea nominal90.000 F =i scadena12 T ani = . Rata dobnzii pe pia este7% r = . a) S se calculeze prima de risc aplicat la credit de ctre banc; b)Ssecalculezeprimelederiscpentrucazulncarefirmaarfiluatdoucredite, respctiv unul senior i unul junior, fiecare avnd valoarea nominal de45.000 . c)Sepresupunecfirmapoateluadoucredite,respectivunulsenioriunuljunior, avndvalorilenominale SF i JF ,cu90.000S JF F + = .Senoteazcu SJFxF= ,se noteazcu 0SDi 0JD valorilecelordou crediteicu 0 0 0 0( )S JD D D D x = + = .Sse calculeze '0( ) D x(derivata lui 0( ) D xn raport cux ). (examen Inginerie fin. 2007) 9.Valoarea de pia a activelor unei firme este 0150.000 A = . Firma a luat un credit sub formdeobligaiunezero-cuponavndvaloareanominal84.000 F = iduratapnla scaden de 5 ani. tiind c rata de dobnd fr risc este10% r = , s se determine: a) valoarea iniial a debitului 0D ; b) prima de risc aplicat de ctre creditor; c) s se precizeze creterea lui 0D(0D A ), dacFcrete cuF A . (examen Inginerie fin. 2008) 10. Valoareadepiaauneifirme, tA este: t t tA D E = + ,notaiilefiindcelecunoscute. Firmaanegociatcuobancdoumprumuturi,subformdeobligaiunizero-cupon, ambeleavndscadenapeste54deluni.Primul,avndvaloareanominalde800SF =este un credit senior (principal), iar cel de-al doilea avnd valoarea nominal de500JF =este un credit junior (subordonat). Dup obinerea creditelor, valoarea de pia a firmei a devenit 01500 A = iarriscul50%Ao= .Setiec9% r = .Ssestabileasccucte procente a sczut cursul aciunilor firmei, tiind c firma are pe pia un numr de 100 de aciuni,iarcursuleranaintedeobinereacrediteloregalcu10.Ssestabileascrata dobnzii(rentabilitatealascaden)cucareafostacordatfiecaredinceledoucredite, prima de risc, precum i riscul jDo a creditului senior.(examen Inginerie fin. 2000) 11. Valoarea activelor unei firme este de 80.000, iar volatilitatea lor este de 33%. Firma contracteaz un credit sub form de obligaiuni zero-cupon. Suma ce trebuie rambursat la scaden este de 65.000. Scadena creditului este peste 4,5 ani. Rata dobnzii fr risc este de 11%. IX. Evaluarea firmei utiliznd modelul Black Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) 44a)Determinai valoarea creditului la data iniial i valoarea capitalurilor proprii. b)Determinai primele de risc de faliment. c)Determinai riscul creditului. d)Spresupunemcinvestitoruliimunizeazpoziiadecreditor.Determinai mediaderecuperareacredituluincazdefaliment.Careesteprobabilitateade nerambursare a creditului? (examen Inginerie fin. 2006) 12. Valoareaactiveloruneifirmeeste 010.000 A = ,iarvolatilitateaeste42%As = . Firmaaluatuncredit,subformdeobligaiunezero-cuponavndvaloareanominal 8000 F =i10 T ani = . Rata dobnzii fr risc este 10%. a) S se calculeze valoarea aciunilor, valoarea i volatilitatea debitului, precum i prima de risc aplicat de bnc; b)Sserecalculezeindicatoriidelapunctulapentrucazulncarefirmaacord dividende cu2% q = . (examen Inginerie fin. 2003) 13. Valoareaactivuluiuneifirmeeste10.000 A= ,iarvolatilitateaacestoraeste 50% s = .Firmaaluatuncreditavndvaloareanominal7.500 F = iscadena 15 T ani = . Rata dobnzii este10% r = . Firma a emis 1.000 de aciuni. i)Ssecalculezevaloareacapitaluluipropriu,cursulbursieraluneiaciuni,valoareai volatilitatea creditului, precum i prima de risc aplicat de bnc; ii)Ssedetrminecteaciunialefirmeitrebuiescumperesausvndbancaastfel nct valoarea expunerii bncii fa de firm s nu se modifice atunci cnd activul firmei se modific cu o unitate. (examen Inginerie fin. 2007) 14. Valoareaactiveloruneifirmeeste 025.000 A = iarvolatilitateaeste67% A o= . Valoareanominalacredituluieste18.000 F = fiindsubformauneiobligaiunizero cupon,cuscadena5T ani = ,iar 9% r = .Capitalulpropriualfirmeiestecompusdintr-un numr de 1.000 aciuni. a)S se calculeze valoarea unei aciuni, valoarea creditului, prima de risc perceput de creditor i volatilitatea datoriilor. b)Se tie c dup un numr de 2 ani, valoarea unei aciuni a firmei a crescut de 2 ori. S se calculeze valoarea creditului n anul t = 2. (test seminar 2006) IX. Evaluarea firmei utiliznd modelul Black Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) 4515. Pentru o firm se tie c valoarea activelor este A=20.000,45% A o= . Firma a luat uncreditsubformdeobligaiunizero-cuponcu16.000 F = ,8 T ani = .Setiec 9% r = . a)S se calculeze valoarea activelor, volatilitatea i valoarea debitului, precum i prima de risc perceput de creditor; b)Sseprecizezecarearfifostprimaderiscncazulncarevolatilitateafirmeiarfi fost50% A o= , toate celelalte elemente fiind neschimbate. (examen Inginerie fin. 2003) 16. ValoareaactiveloruneifirmeesteA=1200,iarvolatilitatea30%.Ratadobnzii este9% r = .Obancacordfirmeiuncredit,subformdeobligaiunezero-cupon, avnd valoarea nominal800 F =i scadena3 . T ani =a) S se calculeze valoarea iniial a debitului 0D , precum i prima de risc aplicat. b)Dupunanbancaconstatcactivelefirmeiaucrescutnumaicu5%,iarriscula crescutla32%.nacelaitimp,ratadobnziiacrescutla10%.nacestecondiiibanca hotrtesvndcreditul,iarsumaobinutoinvesteteintegralpentrutimpulrmas ntr-o obligaiune zero-cupon emis de o firm a crei valoare a activelor esteA = 1000. nacestmod,lascadenbancavancasaosumcu6,25%maimaredectdacarfi pstratprimaobligaiune.Ssecalculeze:i)Risculceleideadouafirme;ii)Primade risc aplicat acesteia. (examen Inginerie fin. 2002) 17. Valoarea de pia tAa unei firme este t t tA D E = + , 0Deste valoarea actual a unei obligaiuni zero-cupon, avnd valoarea nominal1200 F =i scadena peste 42 de luni. 0600 E =reprezint valoarea actual a tuturor aciunilor emise de firm. Se cunoate c 55%Ao= ,iar10% r = .Ssecalculezevaloareadeemisiune 0D aobligaiunii, rentabilitatea la scaden, prima de risc, precum i riscul Doal obligaiunii. (examen Inginerie fin. 2000) 18. Valoareaactiveloruneifirmeestelamomentul0 t = egalcu 010000 A= .Rata dobnzii este10% r = . Firma a luat un credit sub forma unei obligaiuni zero-cupon cu valoarea nominal6000 F =i scadena peste 66 luni. Prima de risc aplicat creditului a fost de3, 007% p = . Se cere: a) volatilitatea activelor firmei, As ; b) volatilitatea creditului, Ds ; (examen Inginerie fin. 2006) 19. Valoareadepiaaactiveloruneifirmeeste120.000. A = Firmaareuncreditsub formauneiobligaiuni0-cuponcu80.000, 5 . F T ani = = Setie55%, 12%.Ar o= =IX. Evaluarea firmei utiliznd modelul Black Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) 46Capitalulpropriuestesubformdeaciunifiindemisepepiaunnumrde1.000 aciuni. a)Ssespecificevaloareadepiaauneiaciuniprecumiprimaderiscaplicat creditului. b)Ssededucformulacaredvolatilitateadebituluiissecalculezevolatilitatea pentru firma considerat. c) Se tie c 3150.000. A =Firma dorete s-i sting creditul contractat. Ce sum trebuie s returneze bncii? (examen Inginerie fin. 2005) 20. Valoareaactiveloruneifirmeeste000 . 10 = A ,iarvolatilitateaacestoraeste % 40 = o .Firmaaemisoobligaiunezerocuponcuvaloareanominal500 . 7 = F i scaden15 = Tani. Rata dobnzii fr risc este% 10 = r . De asemenea, firma are emise 1.000 de aciuni. 1.S se calculeze valoarea capitalului propriu, cursul bursier al unei aciuni, precum i valoarea, volatilitatea i spread-ul obligaiunii; 2.Cumsepoateprotejacumprtorulobligaiuniiastfelnctvaloareaportofoliuluipe care l construiete s nu se modifice atunci cnd activul firmei variaz cu o unitate; 3.Ssedeterminevolatilitateacapitaluluipropriu.Careesterelaiadintrevolatilitatea activelor, volatilitatea capitalului i volatilitatea obligaiunii? (examen Inginerie fin. 2009) 21. Pe piaa de capital s-au emis dou obligaiuni zero-cupon: una de ctre o firm i una frrisc,dectrestat.Valoareaprezentaobligaiuniiemisedestateste5.000u.m. Obligaiunea corporatist are aceeai scaden i aceeai valoare nominal ca i cea emis de stat. Activele firmei sunt egale cu valoarea prezent a obligaiunii emise de stat (adic 5.000u.m.)iarvolatilitateaanualaactivelorfirmeieste42%.Evaluairiscul mprumutului contractat de firm prin emisiunea obligaiunii zero-cupon. (examen Inginerie fin. 2009) 22. Valoareadepiaauneifirmeeste 01.600 A = iardatoriilesalectrecreditoride 819,62.Firmaanegociatcuobancdoumprumuturipentrurefinanareaacestor datorii,subformdeobligaiunizero-cupon,ambeleavndscadenapeste60deluni. Primul, avnd valoarea nominal1.100SF =este un credit senior (principal), iar cel de-al doileaavndvaloareanominal910JF = esteuncreditjunior(subordonat).Dup obinerea creditelor, valoarea de pia a firmei a devenit1.650tA =iar riscul51%Ao= . Se tie c9% r = .a)Ssestabileasccucteprocentes-amodificatcursulaciunilorfirmei,tiindc firma are pe pia un numr de 100 de aciuni.b)Ssestabileascratadobnzii(rentabilitatealascaden)cucareafostacordat fiecare din cele dou credite i prima de risc medie a mprumutului. IX. Evaluarea firmei utiliznd modelul Black Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) 47c)Careesteprobabilitateacabancasnurecuperezeintegralvaloareanominala creditului junior? (examen Inginerie fin. 2010) 23. Seconsider2010firmecucaracteristicifinanciareidentice.Valoareaactivelor fiecreifirmeeste10.000 A = u.m.,iarvolatilitateaacestoraeste47% o = .Activele firmelornusuntcorelate.Fiecarefirmaemis7.500 F = obligaiunizerocuponcu valoarea nominal 1 u.m. i scaden10 T ani = . Rata dobnzii fr risc este5% r = . De asemenea,fiecarefirmareemise10.000deaciuni.Uninvestitoracumpratcteo unitate din fiecare din cele 2010 obligaiuni. i)S se calculeze (pentru fiecare firm) cursul bursier, precum i valoarea, volatilitatea i spread-ul obligaiunii; ii)S se determine volatilitatea portofoliului investitorului; iii) Cumsepoateprotejainvestitorulastfelnctvaloareaportofoliuluisnufie influenat de modificarea valorii activelor firmelor? (examen Inginerie fin. 2010) 24. Valoareaactiveloruneifirmeeste10.000u.m.,iarvolatilitateaanualeste45%.O banc a acordat un mprumut acestei firme 6.547,21 u.m. sub forma unei obligaiuni zero-cupon. Obligaiunea zero-cupon fr risc cu aceleai caracteristici valoreaz 10.000 u.m. Riscul mprumutului este: a) 25,5%; b) 22,5%; c) 15,5%; d) 17,48%; e) 21,82%.(admitere DOFIN 2006) 25. Singurul activ al firmei AM este un proiect de investiii RD, a crui valoare curent este 100 mil. EUR. Valorile viitoare posibile ale proiectului RD sunt 120 mil. EUR i 80 mil. EUR. Firma are o datorie cu valoare nominal 100 mil. EUR. Rata de dobnd fr risc curent (pentru o perioad) este 5%. S se calculeze valorile curente pentru capitalul i datoria firmei AM. (degaard) X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate 48X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate 1.S se evalueze un activ financiar derivat (contingent claim) al crui payoff este: , ( )( )0, ( )c dac Y T cX Tdac Y T cs = >unde( ) Y t estesoluiaecuaiei: t tdY dt dB o | = + iar , , (0) c i Y o |sunt nite constante. (Examen Inginerie fin. 2007) 2.Se consider procesele stocastice( ) X ti( ) Y tale cror ecuaii de dinamic sunt: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )dX t X t dt Y t dB tdY t Y t dt X t dB taa= - = + Se cere: a.Demonstrai c procesul 2 2( ) ( ) X t Y t +este determinist. b.Determinai procesul( ) X ti calculai[ ( )] E X t . (Test seminar 2007) 3.Seconsideroaciunecarenupltetedividendeavndecuaiadedinamica cursului:t t t tdS S dt S dB m s = + . FieunderivativalacesteiaciunicarearelascadenaT unpayoffegalcu 2T TS S . Determinai preul la momentult T undec esteoconstant.Ssedeterminepreulcurent( ) D t ,t T < ,alactivului financiar derivat. (examen Inginerie fin. 2009) 14. Unfonddeinvestiiievalueazoaciunenmediuneutrularisc,acreivaloare prezent este 0S =100i ajunge la concluzia c preul acesteia urmeaz un proces Ito de forma:0,1 0, 2t t t tdS S dt S dB = + .Fondulifundamenteazinvestiiaporninddela valoareaateptatpeste1 T = anaacesteiaciuni:( )0/TE S S .Pentruaseacoperi mpotriva nregistrrii unor valori ale cursului acestei aciuni, la scadenaT , sub valoarea ateptat,fondulcumprdepepiaaOTCoopiunecarepltetevaloarea( )0/TE S Sdac ( )0/T TS E S S s . a)Ct cost n prezent o astfel de opiune? X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate 51b)Ctcostlaunmoment( ) 0; t T e oarecareaceastopiune?Aplicaienumeric: 3 ; 105.tt luni S = =(examen Inginerie fin. 2010) 15. Dinamica preului unui activ financiar este descris de urmtoarea ecuaie stocastic: t t t tdX X dt X dB o = + , unde i osunt constante i 0. X X =Pe pia este tranzacionat un activ derivat a crui valoare la scadenaTeste definit de relaia: ()( )2,0,T TRX dac X cD Tdac nu< = undelnTXRX| |= |\ ., iarceste o constant. Determinai preul derivativului( ) 0 D . (examen Inginerie fin. 2010) 16. Preul unui activ financiar este descris de urmtoarea ecuaie de dinamic stocastic: t t t tdX X dt X dB o = + , unde i osunt constante i 0. X X =Pe pia este tranzacionat un activ derivat a crui valoare la scadenaTeste definit de relaia: ()21,20,T TR dac X cD Tdac nu u = < ntimpceoopiuneAsset-or-Nothing(AoN)detipputesteoopiunecarepltetela scaden payoff-ul: ( )0,dac ,,dac TTT TS XSS S X> u = < undeTS este preul la scaden al activului suport, iar X este preul de exercitare. a.Ssereprezintegraficpayoff-ullascadenpentruopiunileAoNdetipcall, respectiv put. b.SsededucrelaiadeparitatentreoopiuneAoNdetipcalliopiuneaput corespunztoare. c.S se refac punctele (a) i (b) n cazul n care suma pltit la scaden nu esteTS ci1TS . (degaard) 19. S se arate c dac( ) , V S teste soluie e ecuaie Black-Scholes, pentruBconstant, ( ) ( ) ( )22, , U S t S B V B S to=Satisface ( ) ( )22 2 2 221 12 1 1 2 02 2U U US r S r Ut S So o o o ooc c c | | ( + + + = | c c c\ .. (Howison)

20. S considerm un derivativ care are la scaden payoff-ul 2TS .Ratadobnziireste constant.a) Presupunem c activul suport evolueaz dup legea: t t t tdS S dt S dB m s = +undei m ssunt constante. S se arate c n aceste condiii preul acestui derivativ (preul Black-Scholes) este: 22 ( ) ( )( , )r T tBS t tD t S S es + -= . S se determine volatilitatea acestui derivativ. b) Presupunem c activul suport evolueaz dup modelul de tip Hull-White (model cu volatilitate stocastic): 2 2, 0.t t t t tt tt V t tdS S dt S dBdW dBd dWm ss ss= + == Presupunem c densitatea de repartiie a luiu este: X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate 532( )21,( )1 ( )0,ehNu auuau-- =- -