COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

PROFESOR CONSTANTIN CIOFU

Determinanți

Exerciții rezolvate

1.Calculați determinanții de ordinul 2:

a)2 3

2 6 82 1

;

b)2 1

2 3 53 2

;

c) 1 2 3 2

1 2 1 2 3 2 3 23 2 1 2

2 2 2

21 2 3 2 1 2 3 2 2

;

d)2

3

3 236 54 18

3 4 ;

e) 2 2cos sincos sin 1

sin cos

a aa a

a a

.

2. Calculați determinanții de ordinul 3:

a)

1 2 1

3 1 1 2 3 4 2 1 12 6

2 1 2

;

b)

0 1 3

2 4 1 0 6 2 24 0 2 30

2 1 1

;

c)

1 2 5

5 1 2 1 125 8 10 10 10 88

2 5 1

.

3. Folosind proprietățile determinanților, să se arate că determinanții sunt nuli:

a)1 3

3 2 1

4 1 5 0

3 2 1

L L

;

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

PROFESOR CONSTANTIN CIOFU

b)

1 0 2

3 1 6

2 2 4

Cum

1 0 21 3 2

3 1 6 02 6 4

2 2 4

c)

3 2 1 2 1 2 1

4 1 5 1 5 1 5 0

2 1 1 1 1 1 1

;

d)

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1

a x a a a x a a a a

b x b b b x b b b x b

c x c c c x c c c c

4. Calculați determinanții de tip Vandermonde sau reductibili la tipul Vandermonde:

a) 1 2

1 3

2 2

2 21 12 2 2

2 22 2 2

1 1

1 0 1 1

1 0

L L

L L

a a a aa b a b

b b a b a ba c a c

c c a c a c

1

1

a b a b a b a ba b a c a b a c c b

a c a c a c a c

;

b)

2 3 2 2

2 3 2 2

2 3 2 2

1

1

1

a a a a a a a a a a

b b b b b b b b abc b b abc a b a c c b

c c c c c c c c c c

1

1

a b a b a b a ba b a c a b a c c b

a c a c a c a c

;

5. Să se rezolve în mulțimea ecuațiile:

a)2

4 6 4 23 1

xx x

;

b) 2 22 30 2 6 3 0 4 3 0

2 1

xx x x x x

x x

1 24, 3, 1x x ;

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

PROFESOR CONSTANTIN CIOFU

c) 2 2

2 1

3 1 1 1 0 3 1 0 6 2 0

0 1

x

x x x x x x

x

25 4 1 0, 4 0x x x

d)

2 3

3 2 0

2 3

x

x

x

1 2 3

2 3 3 2 2 3 3 2 1 1 1

3 2 3 2 3 2

2 3 2 3 2 3

L L Lx x x x x x x

x x x

x x x

2 2

1 1 1

1 3 2 1 9 4 2 6 3 1 19

2 3

x x x x x x x x x

x

2

2

1 0 11 19 0 1

19 0 0

x xx x x x

x x

.