Aplic indicatorii variatiei

8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei

1/27

Aplicaia 1 Calculul indicatorilor variaiei i indicatorilor deasimetrie

Pentru lucrtorii unei fabrici se cunosc urmtoarele date cuprivire la numrul de piese executate de fiecare ntr-o perioad detimp. (date convenionale)

Tabelul 1

Grupe de muncitori dupnumrul de piese lucrate

Numr lucrtori

Sub 30 7

30-40 5

40-50 12

50-60 20

60-70 26

70-80 17

Peste 80 13

Total 100

Se cere:1. S se reprezinte grafic seria de date folosind frecvenele

reale i cele cumulate.2. Numrul mediu de piese realizat de muncitorii fabricii.3. Indicatorii simpli i sintetici ai variaiei.4. Indicatorii de asimetrie5. Media i dispersia pentru muncitorii care fac mai multe

piese dect media.

Rezolvare

1. Reprezentarea grafic a seriei se face cu :- histograma i poligonul frecvenelor;

- ogiva sau diagrama frecvenelor cumulate;

1


2/27

Astfel vom avea:

Histograma

0

5

10

15

20

25

30

20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

Numr piese lucrat

Numrmuncitori

Poligonul frecvenelo

0

5

10

15

20

25

30

20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

Numr piese lucrat

Numrmuncitori

2


3/27

Diagrama frecvenelor cumulate

0

20

40

60

80

100

120

20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

Numr piese lucrate

Frecvenecumulate

2. Calculul numrului mediu de piese lucrate

Pentru acesta se folosete fomula mediei aritmetice cu frecveneabsolute.

.6,60100

6060buc

n

nxx

i

ii==

=

Tabelul 2

Grupe demuncitori dup

numrul de pieselucrate

ix

in ii nx in

cumulat

Sub 30 25 7 175 7

30-40 35 5 175 12

40-50 45 12 540 24

50-60 55 20 1100 44

60-70 65 26 1690 70

70-80 75 17 1275 87

Peste 80 85 13 1105 100

Total - 100 6060

3


4/27

3. Calculul indicatorilor de variaie

Indicatorii simpli ai variaiei:

1) Amplitudinea

- n mrimi absolutebucXXAx 602585minmax ===

- n mrimi relative

%991006,60

2585100minmax% =

=

=X

XXAx

2) Abaterile individuale de la medie

- n mrimi absolutexxd ii = (vezi tabelul 3)

- n mrimi relative

100%

=x

xxd ii (vezi tabelul 3)

3) Abaterile individuale de la medianPentru aceasta este necesar s calculm mai nti valoarea

medianei. Astfel vom avea:

- se stabilete locul medianei, dat de intervalul corespunztor primei

frecvene cumulate care depete 5,502

100

2

1==

+ in

70 > 50,5 [ ]70,60Me

4


5/27


6/27

25 7 -35,6 -58,7459 -37,5 -60

35 5 -25,6 -42,2442 -27,5 -44

45 12 -15,6 -25,7426 -17,5 -28

55 20 -5,6 -9,24092 -7,5 -12

65 26 4,4 7,260726 2,5 4

75 17 14,4 23,76238 12,5 20

85 13 24,4 40,26403 22,5 36- 100 -39,2 -64,6865 -52,5 -84

4) Abaterea maxim- n mrimi absolute

4,246,6085maxmax === xxd

- n mrimi relative

%26,401006,60

6,6085100max

%max=

=

=

x

xxd

5) Abaterea minim

- n mrimi absolute

6,356,6025minmin === xxd

- n mrimi relative

%74,581006,60

6,6025100min

%min =

=

=x

xxd

Indicatorii sintetici ai variaiei

Tabelul 4

6


7/27

ix

in ii nxx

iinMex

( ) ii nxx 2

ii nx 2

25 7 249,2 262,5 8871,52 4375

35 5 128 137,5 3276,8 6125

45 12 187,2 210 2920,32 24300

55 20 112 150 627,2 60500

65 26 114,4 65 503,36 109850

75 17 244,8 212,5 3525,12 95625

85 13 317,2 292,5 7739,68 93925- 100 1352,8 1330 27464 394700

1) Abaterea medie liniar de la medie (vezi tabelul 4)

528,13100

8,1352==

=

i

ii

n

nxxd

2) Abaterea medie liniar de la median (vezi tabelul 4)

3,13100

1330==

=

i

iiMe

n

nMexd

3) Dispersia sau variana

(vezi tabelul 4)

( )64,274

100

274642

2==

=

i

ii

xn

nxx

Calculul dispersiei prin metoda momentelor iniiale(vezi tabelul 4)

64,2746,60100

394700 222

2==

=

xn

nx

i

ii

x

7


8/27

Calculul simplificat al dispersiei(vezi tabelul 5)

Tabelul 5

ix

in

k

axx i

=

' ii nx 2'

25 7 -4 112

35 5 -3 45

45 12 -2 48

55 20 -1 20

65 26 0 075 17 1 17

85 13 2 52- 100 - 294

( ) ( )

64,27436,19294

656,6010100

294 22222'

==

==

=

axkn

nx

i

iii

x

unde: a este centrul intervalului cu frecvena maxim, iar kmrimea intervalului de grupare;

4) Abaterea medie ptratic

57,1664,2742 === xx

5) Coeficientul de variaie

%32,221006,60

528,13100 ===x

dv

x

x

8


9/27

%34,271006,60

57,16100 ===x

v xx

Observaie:Deoarece coeficientul de variaie are o valoare mai mic dect

35% se consider distribuia ca fiind omogen. De asemenea cu ctacest coeficient are o valoare mai mic cu att distribuia este maiomogen.

4. Calculul indicatorilor de asimetrie

Momente centrate i necentrate

Momentul de ordinul p n raport cu o valoare cunoscuta :

=

=m

i

i

p

i

i

p naxn

am1

*)(*1

)(

Momentul necentrat de ordinul p este momentul deordinul p pentru care originea a = 0 :

===

i

m

i

i

p

i

pp

n

nx

mm 1*

)0(

pentru : p = 0 , m0 = 1 ;p = 1 , m1 = x ;

p = 2 , m2 =22)(xx +

.

Momentul centrat de ordinul p pentru care originea aeste egal cu media aritmetic a seriei ( x ) :

=

==

i

i

m

i

i

p

i

ppn

nxx

xm 1*)(

)(

9


10/27

pentru : p = 0 , 0 = 1 ;p = 1 , 1 = 0 ;

p = 2 , 2 = x2 .

Tabelul 6

ix

in ( ) ii nxx

3 ( ) ii nxx 4

25 7 -315826 11243410

35 5 -83886,1 2147484

45 12 -45557 710689,1

55 20 -3512,32 19668,99

65 26 2214,784 9745,05

75 17 50761,73 730968,9

85 13 188848,2 4607896

- 100 -206957 19469861

1) Momentul centrat de ordinul 3 (vezi tabelul 6)

57,2069100

206957*)(

3

3 =

=

=

i

i

ii

n

nxx

2) Coeficienii de asimetrie propui de Karl Pearson

11,

= aso

as CMx

C

33,)(*3

= ase

as CMx

C

unde )(*3 eeo MxMM =

3) Coeficienii lui Pearson pentru exces i boltire

10


11/27

2

2

3

2

3

2

2

3

1 *1

==

2

2

4

2

=

unde :

=

i

i

ii

n

nxx *)(2

2 momentul centrat de ordinul 2

= i

i

ii

n

nxx *)(3


=

i

i

ii

n

nxx *)(4


4. Coeficientul de simetrie al lui Fisher (CaF)

4548,054,4549

57,2069

57,16

57,206933

3 =

=

==

aFC

5. Coeficientul de asimetrie al lui Yulle (CaY)

12

12

qq

qqCaY

+

=

unde : q1 = Me Q1q2 = Q3 Me 1 CaY 1

6. Coeficientul de asimetrie al lui Bawley (CasB)

11


12/27

''

''

12

12

qq

qqCasB +

=

unde : q1 = Me D1q2 = D9 Me

Pentru calculul celorlali coeficieni de asimetrie vor trebuicalculate valorile pentru modul, cuartile i decile conformexplicaiilor din capitolul anterior.

Interpretarea coeficienilor de asimetrie

Dac avem:- coeficienii > 0 seria prezint asimetrie la stnga;- coeficienii = 0 seria este perfect simetric;- coeficienii


13/27

Pentru aceasta problem coeficientul este mai mare dect 3,aadar distribuia este alungit.

3= apPapF CC

Interpretare:- dac acest coeficient este mai mic de 0 seria este aplatizat;- dac acest coeficient este egal cu 0 seria prezint distribuie

normal;- dac acest coeficient este mai mare dect 0 distribuia este

alungit;

5. Media i dispersia caracteristicii alternativeMedia

56,0100

56===

N

Mp

unde:M = numrul muncitorilor care realizeaz mai multe piese dectmedia;N = numrul total al muncitorilor

Dispersia( ) 2464,0)56,01(56,012 === ppp

Aplicaia 2 Calculul indicatorilor statistici pentru o seriede frecvene relative i pe intervale neegale

Despre veniturile realizate de angajaii unei companii se cunoscurmtoarele date:

Tabelul 1

Grupe de angajai dup venituri Structura angajailor n funcie

13


14/27

(zeci mii lei) de venituri (%)

250-300 20

300-400 28

400-600 24

600-1000 16

1000-2000 12

Total 100%

Se cere:

S se caracterizeze statistic seria folosind metoda grafic,indicatorii tendinei centrale, mediile de structur i indicatoriide variaie.

Rezolvare:

Seria privind repartiia angajailor dup venituri este peintervale neegale i cu frecvene relative.

Pentru reprezentarea grafic sunt necesare urmtoarele calculepentru a determina frecvenele reduse i cele cumulate.

Tabelul 2

Grupe dupvenituri

Structuraangajailor

( )%i

n

Mrimeaintervalului

(hi)

Raportul fa deprimul interval

1h

hK ii =

250-300 20 50 1

300-400 28 100 2

400-600 24 200 4

600-1000 16 400 8

1000-2000 12 1000 20

Total 100% - 35

14


15/27

Tabelul 3

Frecvene reduse

i

i

K

n (%)*

Frecvee relative cumulate

cresctor descresctor

20 20 100

14 48 80

6 72 52

2 88 28

0,6 100 12

- - -

Folosind datele din tabelul 3 se costruiesc histograma, poligonulfrecvenelor i diagrama frecveelor cumulate.

Astfel vom avea:

Reprezentrile grafice n SPSSAvnd n vedere c seria este un pe intervale neegale, pentru a

calcula indicatorii ce o caracterizeaz trebuie calculate centrele deinterval i apoi se va aplica formula de calcul simplificat.

Astfel vom avea:

Tabelul 4

Intervale devariaie

Frecvenarelativ

( )(% )*i

n

Centrulintervalului

( )ix

axi

250-300 20 275 -75300-400 28 350 0400-600 24 500 150600-1000 16 800 450

1000-2000 12 1500 1150

15


16/27

Total 100% - -

Tabelul 5axi ( ) *ii nax ( )

*2

ii nax Frecvenerelative

cumulate

-75 -1500 112500 20

0 0 0 48

150 3600 540000 72

450 7200 3240000 88

1150 13800 15870000 100- 23100 19762500 -

( )581350231350

100

23100

100

*

=+=+=+

= anax

x ii zeci mii lei

( )( ) =

= 2

*2

2

100ax

nax iix

( ) 14426453361197625350581100

19762500 2===

82,3791442642 ===xx zeci mii lei/angajat

%52,71100531

82,379100 ===xv x

Observaie: Distribuia angajailor dup venituri nu este omogendeoarece v>35%.

[ ]400,300Mo corespunztor frecvenei maxime

16


17/27

( )

( ) ( )66,366

12

800300

24282028

2028100300

21

1 =+=+

+=

+

+= hxMo o

zeci mii lei

[ ]600,4005,502

101

2

1==

+=

Men

Li

Me

85,417

28

485,50200400

2

1

*

1

1

*

*

inf =

+=

+

+=

=

m

m

i

i

i

n

nn

kxMe

[ ]400,30025,254

10111== QLQ

=

+=28

2025,25100300

1Q 318,75

MeQ =2

[ ]1000,60075,7510143

33 == QLQ

75,69316

7275,754006003 =

+=Q

43,082,379

66,366531=

=

=

x

as

MoxC

, ceea ce indic asimetrie

uoar la stnga;

( )8937,0

82,379

85,41753133=

=

=

x

as

MexC

17


18/27

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

47.082.374

62.176

1.9972.275

1.9972.275

75.31885.41785.41757.693

75.31885.41785.41757.693

13

13

==+

=

=+

=

+

=

QMeMeQ

QMeMeQCas

Valoarea 0.47 pentru coeficientul de asimetrie ne indic uoarasimetrie la stnga.

Analiznd rezultatele se constat c seria are caracter neomogen

deoarece coeficientul de variaie total este de 71,52%. Aceastsituaie era de ateptat deoarece seria are intervale neegale devariaie, iar frecvenele nu sunt distribuite uniform.

Aplicaia 3 Calculul mrimilor medii, a indicatorilor devariaie i asimetrie, interpretarea gradului de omogenitate,verificarea regulii de adunare a dispersiilor

Se cunosc urmtoarele date cu privire la distribuia magazinelordintr-un complex comercial n funcie de cifra de afaceri realizatntr-o sptmn i suprafaa comercial:

Tabelul 1

Grupe demagazine dup

suprafaa

Subgrupe de magazine dup cifra deafaceri (mil. lei) Total

Sub 100 100-200 200-300 300-400Peste400

18


19/27

comercial(mp)

Sub 60 5 2 1 - - 8

60-120 - 6 8 3 - 17

Peste 120 - - 1 2 2 5

Total 5 8 10 5 2 30

Se cere:1. Poligonul frecvenelor privind repartiia magazinelor dup cifra

de afaceri pe total i pe grupe dup suprafaa comercial;2. Calculul mediilor pe grupe i pe total;

3. Indicatorii sintetici ai variaiei pe fiecare grup i pe total;4. Interpretarea gradului de omogenitate pe grupe i pe total;5. Verificarea regulii de adunare a dispersiilor;6. Ce indicatori statistici se pot calcula pe baza regulii de adunare

a dispersiilor i cum se interpreteaz statistic aceti indicatori.

1.Reprezentarea grafic se face:

- pe total

- pe grupe

19


20/27

Repartiia magazinelor dup cifra de afaceri

0

2

4

6

8

10

12

0-100 100-200 200-300 300-400 400-500

Cifra de afaceri (mil. lei )

Numrmagazine

Repartiia magazinelor dup cifra de afaceri

0

2

4

6

8

10

12

0-100 100-200 200-300 300-400 400-500

Cifra de a faceri (mil lei)

Numrmagazine

Total

Gr I

Gr II

Gr III

2. Calculul mediilor

Mediile de grup

=

ij

ijj

i n

nyy

20


21/27

1008

125021505501 =

++=y mil lei

35.23217

3350825061502 =

++=y mil lei

3705

2450235012503 =

++=y mil lei

Media general ( 0y )

=j

jj

n

nyy0

22030

245053501025081505500 =

++++=y

sau pe baza mediilor de grup, media general este:

22030

53701735.23281000

0

=++

=

=

y

n

nyy

i

ii

3. Calculul indicatorilor sintetici ai variaiei

Dispersiile de grup

( )

=

ij

ijij

i

n

nyy2

2

21


22/27

( ) ( ) ( )5000

8

11002502100150510050222

2

1 =++

=

( ) ( ) ( )

41.498217

098.84701

17

335.232350835.232250635.232150222

2

2

==

=++

=

( ) ( ) ( )5600

5

237045023703501370250222

2

3 =++

=

Dispersia total

( )

=

j

jj

n

nyy2

02

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )66.12766

30

383000

30

22204505220350

30

102202508220150522050

22

222

2

0

==+

+

+++

=

4. Interpretarea gradului de omogenitate pe grupe i pe total

Pentru aceasta trebuie calculai coeficienii de variaie pegrupe i pe total, astfel:

%71.70100100

71.70100

71.705000

1

11

2

11

===

===

yv

22


23/27

%37.3010035.232

58.70100

58.7041.4982

2

22

2

22

===

===

yv

%22.20100370

83.74100

83.745600

3

33

2

33

===

===

yv

%35.51100220

98.112100

98.11266.12766

0

00

200

===

===

yv

Comparnd rezultatele obinute se constat c :

Prima grup nu este omogen deoarece coeficientul devariaie este mai mare dect 35%;

A doua, respectiv a treia grup se consider omogenedeoarece coeficientul de variaie este mai mic dect 35%;

Colectivitatea general nu este omogen deoarececoeficientul de variaie este mai mare de 35%;

Se poate concluziona c gradul de omogenitate nu esteridicat i deci mediile nu caracterizeaz corectcolectivitile.

6. Verificarea regulii de adunare a dispersiilor

222

0 +=

23


24/27

( )

( ) ( ) ( )

42.7676

30

88.230292

30

11250088.2592115200

30

52203701722035.2328220100222

2

02

==++

=

=++

=

=

=

j

ji

n

nyy

24.509030

556001741.4982850002

2=

++=

=

j

ji

n

n

12766,66 = 7676,42 + 5090,24

7. Pe baza regulii de adunare a dispersiilor se pot calculacoeficientul de determinaie i cel de nedeterminaie, astfel:

Coeficientul de determinaie

%12.6010066.12766

42.7676100

2

0

22

===

xyR

Coeficientul de nedeterminaie

%88.3910066.12766

24.5090100

2

0

22

===

xyK

24


25/27

Se poate afirma c 60,12% din variaia total estedeterminat de factorul principal de grupare, respectiv suprafaacomercial, restul de 39.88% fiind influena altor factori de grupare.

PROBLEME PROPUSE

1. Pentru un agent economic se cunosc datele:

Grupe de salariai dup valoareavnzrilor relizate (mil lei)

Numr salariai

Sub 100 4

100-140 11

140-180 15

180-220 30

220-260 18

25


26/27

260-300 12

Peste 300 10

Total 100

Se cere:1. S se reprezinte grafic distribuia salariailor dup valoarea

vnzrilor;2. S se calculeze indicatorii simpli i sintetici ai variaiei;3. S se specifice dac distribuia salariailor dup valoarea

vnzrilor este omogen;

2. Pentru 400 de elevi ai unei coli se cunosc datele:

Grupe de elevidup vrst

(ani)

Numrelevi

Bani de buzunar(mii lei)

Abaterea medieptratic pentrubanii de buzunar

(mii lei)

Sub 10 125 100 12,5

10-16 175 150 16,8

Peste 16 100 180 14,3

Se cere:1. S se reprezinte grafic structura elevilor dup vrst;2. S se verifice omogenitatea pe grupe i pe total;

3. S se determine n ce msur variaia banilor debuzunar se datoreaz vrstei.

3. Dintr-un sondaj statistic de 10% proporional stratificat s-auobinut datele:

Grupe de ag

ec dup Grupe de ageni economici dup mrimeacifrei de afaceri (mld lei)

26


27/27

numrul desalariai

TotalSub10

10-20 20-30 30-40 40-50 Peste50

Sub 20 5 8 6 1 - - 20

20-30 - 3 12 10 5 - 30

Peste 30 - - 6 24 8 2 40

Total 5 11 24 35 13 2 90

Se cere:

1. S se reprezinte grafic distribuia agenilor economici dupmrimea cifrei de afaceri pe total;

2. S se verifice regula de adunare a dispersiilor i s se aratedac factorul de grupare este semnificativ sau nu;

3. S se caracterizeze omogenitatea pe fiecare grup i pe total;4. S se msoare gradul de asimetrie pentru ultima grup;

27

Aplic indicatorii variatiei

Documents

Transcript of Aplic indicatorii variatiei