Anexa_A1 Valori Proprii Si Valori Singulare
-
Upload
dorcioman-andrei -
Category
Documents
-
view
222 -
download
1
Transcript of Anexa_A1 Valori Proprii Si Valori Singulare
Anexa 1 VALORI PROPRII I VALORI SINGULAREA1.1. Valori i vectori propriiValorile i vectorii proprii joac un rol fundamental n descrierea matematic a unor categorii largi de procese tehnice, economice, biologice etc. De exemplu, proprieti eseniale cum sunt cele referitoare la stabilitatea sistemelor dinamice autonome modelate printr-un sistem de ecuaii difereniale liniare:
dx dt = [ A][ x ] T
(A1.1)
n care [ x ] = [ x1 , x2 ,..., xi ,...x n ] este vectorul variabilelor de stare, se exprim prin
intermediul valorilor proprii ale matricei [ A] , numit matrice de stare. Astfel, valorile proprii pot corespunde unor valori critice ale unor parametrii ai sistemului dinamic, unor frecvene de oscilaie atunci cnd sunt complex conjugate etc. n spaiul euclidian cu n dimensiuni transformarea, vectorului
[ x ] = [ x1 , x2 ,..., xi ,...x n ]T n
vectorul
[ y ] = [ y1 , y2 ,..., yi ,... y n ]T ,
prin intermediul (A.1.2)
matricei [A], se definete cu relaia:
[ y ] = [ A][ x ]n care
n general, cei doi vectori [ x ] i [ y ] sunt diferii (fig. A1.1,a), iar cnd acetia sunt coliniari (fig. A1.1,b), ei verific relaia :
[ A] R nn
este o matricea ptrat real cu dimensiunea n x n.
[ y ] = [ x]n care este un scalar.[y]=[A][x] [x] [x] [y]=[x]=[A][x]
(A.1.3)
a
b
Fig. A1.1. Transformrile liniare ale vectorului [x] n vectorul [y]
432
Dinamica sistemelor electroenergetice
definite de matricea [A] innd seama de relaia (A1.3), relaia (A1.2) devine:
[ A][ x] = [ x ]
(A1.4)
Scalarii i vectorii [x], definii cu relaia (A1.4), reprezint valorile proprii respectiv vectorii proprii ai matricei [A]. Ecuaia (A1.4) se poate scrie sub forma:
( [ A] [ I ] ) [ x ] = 0sau dezvoltat :
(A1.5,a)
a12 ... a1n x1 0 a11 a a22 ... a2 n x2 0 = 21 (A1.5,b) ... ... ... ... ... ... an 2 ... ann xn 0 an1 n care [ I ] este matricea unitate de ordinul n. Sistemul de ecuaii (A1.5), fiind un sistem omogen, admite soluii nebanale numai dac : det ([ A] [ I ]) = 0 (A1.6)
Dezvoltnd determinantul din relaia (A1.6), dup puterile lui , se obine ecuaia polinomial de ordinul n: b0 n + b1 n 1 + ... + bn 1 + bn = 0
(A1.7)
numit ecuaia caracteristic ale crei rdcini 1,2,...,n sunt cele n valori proprii ale matricei [ A] . Valorile proprii pot fi reale, complexe, distincte sau multiple. Soluia [ Ri ] = [ R1i , R2i ,..., Rni ] a sistemului de ecuaii (A1.5), corespunztoareT
unei valori proprii i , se numete vector propriu dreapta al matricei [ A] asociat valorii proprii i . Acesta este un vector coloan care satisface relaia:
[ A][ Ri ] = i [ Ri ]
(A1.8)
Deoarece sistemul de ecuaii (A1.5) este omogen, iar vectorul [ Ri ] este o soluie a acestuia, atunci i vectorul K [ Ri ] este o soluie. Prin urmare, exist o infinitate de vectori proprii dreapta corespunztori valorii proprii i care difer ntre ei doar prin scalarul multiplicator K . n mod similar, vectorul linie [ Li ] = [ Li1 , Li 2 ,...Lin ] care satisface relaia:
[ Li ][ A] = i [ Li ]
(A1.9)
Anexa 1 Valori proprii i valori singulare
433
se numete vector propriu stnga al matricei [ A] asociat valorii proprii i . Aplicnd operaia de transpunere relaiei (A1.9) rezult:
[ A]T [ Li ]T = i [ Li ]TT T
(A1.10)
Deoarece matricele [ A] i [ A] au aceleai valori proprii rezult c vectorul propriu stnga [ Li ] este vectorul propriu dreapta al matricei [ A] corespunztor valorii proprii i . Vectorii proprii dreapta Ri i stnga L j , corespunztori la dou valori proprii
i i j diferite, sunt ortogonali, adic: L j [ Ri ] = 0 (A1.11)
n schimb, vectorii proprii corespunztori aceleiai valori proprii i satisfac relaia:
[ Li ][ Ri ] = Ci
(A1.12)
n care Ci este o constant diferit de zero. Deoarece, aa cum s-a menionat mai sus, vectorii proprii difer ntre ei printr-o constant multiplicativ, n practic se alege aceast constant astfel nct cei doi vectori proprii s fie normalizai, adic:
[ Li ][ Ri ] = 1
(A1.13)
Pentru a exprima n mod succint proprietile referitoare la vectorii i valorile proprii ale matricei [ A] , se definesc urmtoarele matrice:
R11 L R1n matricea modal [ R ] = M O M = [ R1...Rn ] ale crei coloane sunt Rn1 L Rnnvectorii proprii dreapta;
L11 L L1n L1 matricea modal [ L ] = M O M = M ale crei linii sunt vectorii Ln Ln1 L Lnn proprii stnga; 1 L 0 matricea spectral [ ] = M O M = diag {1 ,... n } ale crei 0 L nelemente diagonale sunt valorile proprii.
434
Dinamica sistemelor electroenergetice
n ipoteza c valorile proprii sunt distincte, innd seama de relaiile (A1.9), (A1.11) i (A1.13), rezult c:
[ A][ R ] = [ R ][ ] [ L ][ R ] = [ R ][ L ] = [ I ][ R ]1 [ A][ R ] = [ L ][ A][ R ] = [ ]respectiv
(A1.14)
n continuare, pe baza relaiilor (A1.14) se demonstreaz cu uurin c: (A1.15) (A1.16)
[ A] = [ R ][ ][ L ] = i [ Ri ][ Li ]i =1
n
Relaia (A1.16) definete descompunerea matricei
vectorii proprii. n plus, dac matricea [ A] nu este singular, adic dac valorile proprii sunt distincte i nenule, atunci inversa acesteia se obine cu relaia:
[ A]
dup valorile i
[ A] = [ R ][ ]1
1
[ L] =
[ R ][ L ]1 i i i i =1
n
(A1.17)
A1.2. Analiza modal
Analiza modal este o metod de studiu a stabilitii sistemelor dinamice bazat pe calculul valorilor i vectorilor proprii. Utilizarea sistemului de ecuaii difereniale (A1.1), sub forma rezultat prin aplicarea legilor fizice, pentru a investiga comportamentul sistemului dinamic modelat, este inadecvat deoarece matricea de stare [ A] este, n majoritatea cazurilor, o matrice nediagonal. Prin urmare, ntre variabilele de stare exist un cuplaj care face imposibil identificarea parametrilor cu o influen semnificativ asupra comportamentului sistemului dinamic. Pentru a elimina acest dezavantaj se utilizeaz schimbarea de variabil: x ( t ) = [ R ] z ( t ) = [ R1 ,..., Ri ,..., Rn ] z ( t ) (A1.18,a) respectiv L1 M 1 z ( t ) = [ R ] x ( t ) = [ L ] x ( t ) = Li x ( t ) M Ln
(A1.18,b)
n care: [ R ] i [ L ] sunt matricele modale ale matricei de stare [ A] ; [ z (t )] vectorul variabilelor de stare transformate, numite variabile modale de stare.
Anexa 1 Valori proprii i valori singulare
435
n aceste condiii sistemul de ecuaii (A1.1) devine:
[ R] sau
dz = [ A][ R ][ z ] dt
(A1.19)
1 dz dt = [ R ] [ A][ R ][ z ] = [ ][ z ]
(A1.20)
dx dz Dac = = 0 , atunci sistemul dinamic se afl n echilibru. n cazul dt dt sistemelor liniare punctul de echilibru l constituie originea spaiului euclidian ndimensional. Dac sistemul dinamic este perturbat, adic la momentul t = t0 = 0 [ x0 ] = x1 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) [ 0,...,0] , atunci evoluia acestuia se obine
prin integrarea numeric a sistemului de ecuaii difereniale (A1.1). n acest sens, mai nti se integreaz sistemul transformat de ecuaii (A1.20). innd cont c matricea spectral [ ] este o matrice diagonal, acest sistem este constituit din n ecuaii difereniale liniare independente de forma:dzi = i zi dt avnd soluia dat de: zi ( t ) = zi ( 0 ) ei t i = 1, 2,..., n (A1.22) i = 1, 2,..., n (A1.21)
n care zi ( 0 ) este valoarea iniial a lui zi . Avnd n vedere relaiile (A1.18) i (A1.22) rezult c: x ( t ) = [ R ] z ( t ) =
[ R ]z ( 0 ) ei i i =1
n
i t
(A1.23) (A1.24) (A1.25)
respectiv Conform relaiei (A1.24):
zi ( t ) = [ Li ] x ( t ) zi ( 0 ) = [ Li ][ x0 ] = Ci
Prin urmare, soluia general (A1.23) a sistemului de ecuaii difereniale (A1.1) devine: x ( t ) = [ R ] z ( t ) =
[ R i ]zi ( 0 ) e t = [ R i ]Ci e ti i
n
n
(A1.26,a)
i =1
i =1
respectivxi ( t ) = Ri1C1e1t + ... + Rik Ck e k t + .... + Rin Cn e nt
(A1.26,b)
436
Dinamica sistemelor electroenergetice
Se observ c rspunsul sistemului la condiiile iniiale reprezentate de vectorul [ x0 ] este dat de combinaia liniar a celor n moduri dinamice de variaie reprezentate de zi ( t ) , numite i moduri modale de variaie, corespunztoare valorilor proprii ale matricei de stare [ A] . Analiznd relaiile (A1.26) rezult urmtoarea condiie de stabilitate:pentru ca sistemul dinamic liniar (A1.1) s fie stabil (soluiile x ( t ) 0 cnd t ) este necesar i suficient ca toate valorile proprii [ i ] i = 1, 2,..., n ale matricei [A] s aib partea real negativ.
relaiilor (A1.11), [ Li ][ x0 ] = [ Li ] R j = 0 i j . Prin urmare, va fi activat doar modul j de variaie. Din relaia (A1.18,a) rezult c elementele R ji ale vectorului propriu dreapta
Constanta Ci , definit de relaia (A1.25), reprezint amplitudinea excitaiei modului de variaie i rezultat din condiiile iniiale. Dac vectorul condiiilor iniiale este proporional cu vectorul propriu dreapta R j , atunci conform
[ Ri ] dau forma modului de variaie i indicnd gradul de implicare sau activitatearelativ a fiecrei variabile de stare x j n modul de variaie i comparativ cu celelalte variabile de stare. n mod similar, din relaia (A1.18,b), rezult c elementele Lij ale vectorului propriu stnga [ Li ] definesc combinaia liniar a variabilelor de stare variaie i. Din cele prezentate anterior rezult c vectorii proprii dreapta [ Ri ] i stnga
[ x]
n cadrul modului de variaie i. Astfel, valoarea
elementului Lij este o msur a activitii variabilei de stare x j n cadrul modului de
[ Li ]
ofer informaii pariale viznd contribuia unei variabile de stare x j n modul
de variaie i i viceversa. Pentru a obine o informaie net a influenelor reciproce dintre o variabil de stare j i un mod de variaie modal i se definete matricea factorilor de participare:
[ P ] = [ P1 ,..., Pi ,..., Pn ]n care:
(A1.27)
Anexa 1 Valori proprii i valori singulare
437
P i R1i Li1 1 M M [ Pi ] = Pji = R ji Lij i = 1, 2,..., n M M Pni Rni Lin
(A1.28)
este vectorul de participare al variabilelor de stare [ x ] la modul de variaie i. Elementele Pji ale matricei de participare
[ P ] se
numesc factori de (A1.29)
participare i se determin cu relaia:Pji = R ji Lij i = 1,.2,..., n i j = 1,.2,..., n
Valoarea fiecrui factor de participare Pji indic participarea variabilei de starex j la modul de variaie modal i. Se precizeaz faptul c, n timp ce elementele R ji i Lij depind de unitile de msur folosite n cadrul modelului, factorii de
participare sunt adimensionali. n plus, avnd n vedere normalizarea vectorilor proprii, suma factorilor de participare asociai unui mod de variaie modal i, respectiv unei variabile de stare x j , este 1. Prin urmare, suma elementelor de pe o coloan, respectiv de pe o linie a matricei de participare [ P ] este 1, adic:
j =1
n
Pji =
Pi =1
n
ji
=1
(A1.30)
n funcie de natura valorilor proprii se disting urmtoarele dou moduri de variaie: (i) Modurile de variaie non-oscilatorie sau modurile aperiodice asociate valorilor proprii reale ale matricei de stare. n acest caz, att componentele vectorilor proprii ct i constantele Ci sunt reale. Dac valoarea proprie este negativ, atunci modul corespunztor este un mod aperiodic amortizat. n schimb, o valoare proprie pozitiv indic o instabilitate aperiodic. Trecerea unei valori proprii reale din semiplanul stng n semiplanul drept, ca urmare a variaiei unui parametru al sistemului dinamic, corespunde unei bifurcaii de tip nod a. (ii) Modurile de variaie oscilatorie asociate valorilor proprii complexe. Deoarece matricea de stare este o matrice real, valorile proprii complexe apar n perechi complex conjugate, fiecrei perechi corespunzndu-i un mod de variaie oscilatoriu. Constantele Ci i componentele vectorilor proprii corespunztori valorilor proprii complex conjugate, vor avea i valori complexe astfel nct fiecare dintre variabilele de stare s aib valori reale la orice moment de timp. Partea real a valorilor proprii complex conjugate ne d amortizarea, iar partea imaginar frecvena de oscilaie. Astfel, pentru o pereche de valori proprii complex conjugate
438
Dinamica sistemelor electroenergetice
= j
(A1.31)
frecvena de oscilaie n Hz este dat de:f = 2 + 22
(A1.32)
iar factorul de amortizare de:=
(A1.33)
Avnd n vedere condiia de stabilitate i relaia (A1.33) de definiie a factorului de amortizare, rezult c un factor de amortizare pozitiv corespunde unui mod oscilatoriu amortizat, n timp ce unul negativ corespunde unei instabiliti oscilatorii. Trecerea unei perechi de valori proprii complex conjugate din semiplanul stng n semiplanul drept, ca urmare a variaiei unui parametru al sistemului dinamic, corespunde unei bifurcaii de Hopf. n cazul unui mod oscilatoriu amortizat, constanta de timp a amortizrii 1 oscilaiilor este T = 1 . Cu alte cuvinte, amplitudinea oscilaiilor scade la sau e la 37% din valoarea iniial dup T = 1 secunde. Referitor la utilizarea practic a analizei modale trebuie remarcat faptul c valorile proprii situate n semiplanul stng al planului complex, dar apropiate de axa imaginar, corespund unor moduri de variaie oscilatorie stabile slab amortizate. Pentru a elimina apariia unor astfel de oscilaii, se definete o zon de stabilitate mai restrictiv dect axa imaginar, numit con de stabilitate (fig. A1.2). (unghiul limit al Acesta este definit de dou semiaxe care fac unghiul < 2 conului de stabilitate) cu axa real.Im 4 Zona stabil 2 1 Zona instabil Re
3
Fig. A1.2. Definirea conului de stabilitate Dac exist valori proprii situate n afara conului de stabilitate, ca de exemplu 1 , 2 i 3 , se impune modificarea acelor parametrii ai sistemului dinamic care determin deplasarea acestora n conul de stabilitate (anularea unghiului ).
Anexa 1 Valori proprii i valori singulare Exemplu de calcul numeric
439
Folosind tehnica analizei modale, s se studieze stabilitatea unui sistem dinamic liniar de ordinul doi avnd matricea de stare: 1 3 [ A] = 3 1 Ecuaia caracteristic este: 1 3 = 2 + 2 + 10 = 0 , det ([ A] [ I ]) = 3 1 iar valorile proprii rdcinile ecuaiei caracteristice sunt: 1 = j = 1 j 3 . Modurile de variaie corespunztoare celor dou valori proprii sunt moduri oscilatorii avnd: 3 frecvena de oscilaie f = = = 0.4775 Hz 2 2 ( 1) 1 factorul de amortizare = = = = 0.3162 2 2 2 2 10 + ( 1) + ( 3)Vectorii proprii dreapta [ R1 ] i [ R2 ] corespunztori celor dou valori proprii 1 i 2 se obin rezolvnd succesiv sistemul de ecuaii (A1.8). Astfel, pentru 1 = 1 + j 3 rezult sistemul de ecuaii omogene:3 R11 j 3 3 R11 0 1 1 = = 3 1 1 R21 3 j 3 R21 0 din care se obine o singur ecuaie independent j 3R11 + 3R21 = 0 , avnd soluiile R11 = K i R11 = jK , n care K este o constant arbitrar. Vectorul propriu 1 dreapta [ R1 ] , corespunztor valorii proprii 1 = 1 + j3 , este [ R 1 ] = K . j n mod similar se determin vectorul propriu [ R2 ] , corespunztor valorii 1 proprii 2 = 1 j 3 , ca fiind [ R 2 ] = K j 1 = 0.7071 , astfel nct vectorii proprii s fie Dac se alege K = 2 0.7071 7071 normalizai, rezult matricea modal [ R ] = , respectiv matricea j 7071 j 7071 0.7071 j 0.7071 modal [ L ] = [ R ] 1 = . 0.7071 + j 0.7071
440
Dinamica sistemelor electroenergetice
[ L1 ] = [0.7071 j 0.7071] respectiv [ L2 ] = [0.7071 + j 0.7071] . Se poate verifica cu uurin c [ L1 ][ R1 ] = [ L2 ][ R2 ] = 1 i [ L1 ][ R2 ] = [ L2 ][ R1 ] = 0 .Deci, vectorii proprii dreapta sunt Matricea factorilor de participare ai variabilelor de stare x1 i x2 la cele dou 0.5 0.5 moduri de variaie, calculai cu relaia (A1.29), este [ P ] = . 0.5 0.5 0.5 Dac se consider c iniial sistemul se afl n starea [ x0 ] = , atunci, 0.5 conform relaiilor (A1.26), variaia n timp a celor dou variabile de stare este dat de relaiile: x1 ( t ) = R11C1e1t + R21C2 e 2t n care C1 = [ L1 ][ x0 ] = 0.3536 j 0.3536 , iar C2 = [ L2 ][ x0 ] = 0.3536 + j 0.3536 . n figura A2.3 este prezentat variaia celor dou variabile de stare x1 i x2 n 0.5 timpul tranziiei sistemului dinamic din starea iniial [ x0 ] = ctre starea de 0.5 0 echilibru [ xe ] = . 0 x2 ( t ) = R21C1e1t + R22C2 e 2t
Fig. A2.3. Evoluia temporar a variabilelor de stare x1 i x2A1.3. Valori singulare i vectori singulari
Calculul valorilor singulare i al vectorilor singulari asociai are la baz transformrile ortoganale i joac un rol esenial n evidenierea proprietilor
Anexa 1 Valori proprii i valori singulare
441
structurale legate de conceptul de rang matriceal. n acest context se reamintesc cteva definiii referitoare la matricele ptrate A R nxn : (i) (ii) (iii) (iv) (v) Dac dac [ A] = [ A] atunci matricea este simetric;T
dac [ A][ A] = [ A]T T
T
[ A] , matricea este normal;
dac [ A][ A] = [ I ] , matricea este ortogonal; dac matricea [ A] este ortogonal i normal, atunci ea se numete matrice ortonormal sau unitar; matricele ortogonale conserv normele matriceale l2 i lF . de ordin n, atunci exist dou matrice
[ A] este o matrice ptrat ortonormale [U ] i [V ] astfel nct:T
[ A] = [U ][ ][V ] =
[U ][V ]i i i i =1
n
T
(A1.34)
n care: [ ] este o matrice diagonal ale crei elemente 1 2 ...n 0 sunt valorile singulare ale matricei A; [U i ] coloanele matricei [U ] sunt vectorii singulari stnga
[Vi ]
corespunztori valorilor singulare i i = 1, n ; coloanele matricei
[V ]
sunt
vectorii
singulari
dreapta
corespunztori valorilor singulare i i = 1, n . Relaia (A1.34) definete descompunerea dup valorile singulare a matricei [ A] . Rangul matricei este dat de numrul valorilor singulare nenule. Acestea sunt rdcinile ptrate pozitive ale valorilor proprii ale matricei [ A][ A] care sunt siT
valorile proprii ale matricei [ A] ortonormale satisfac relaiile:
T
[ A] .
ntr-adevr, matricele [U ] i [V ] fiind
[U ][U ]T = [U ]T [U ] = [ I ] [V ][V ]T = [V ]T [V ] = [ I ]T T T T
(A1.35)T
Prin urmare, dac [ A] = [U ][ ][V ] , atunci [ A] = [V ][ ] [U ] = [V ][ ][U ] , iar
[ A][ A]T = [U ][ ][V ]T [V ][][U ]T = [U ][]2 [U ]T [ A]T [ A] = [V ][][U ]T [U ][][V ]T = [V ][]2 [V ]T
(A1.36)
442 n concluzie, matricele
Dinamica sistemelor electroenergetice
[U ] i [U ]T sunt matricele modale ale matricei [ A][ A]T , iar matricele [V ] i [V ]T sunt matricele modale ale matricei [ A][ A]T . Se observ c dac matricea [ A] este simetric, atunci valorile proprii i valorilesingulare ale acesteia sunt identice. ntre vectorii singulari i valorile singulare exist urmtoarele relaii: AVi = iU i AtU i = iVi (A1.35)
Dac matricea nu este singular, adic i 0 i = 1, 2,..., n , atunci rangul ei este n, iar inversa se obine cu relaia: A1 = V U T =
i =1
n
1 T i ViU i
(A1.36)
vectorilor singulari asociai [U n ] i [Vn ] . Acest algoritm are la baz metoda iteraiei inverse aplicat matricei [ A][ A] sau [ A]T T
cea mai mic valoare singular n a matricei [ A] , notat min ( A ) , constituie o msur a distanei fa de cel mai apropiat set de matrice singulare de ordinul n, adic de setul matricelor de rang n 1 . Avnd n vedere acest aspect, pentru aplicaiile practice, ca de exemplu evaluarea stabilitii de tensiune a unui sistem electroenergetic, prezint interes algoritmul pentru calculul celei mai mici valori singulare n i a
Matricea devine singular atunci cnd 1 2 ... n 1 > n = 0 . Prin urmare,
[ A]
i cuprinde urmtorii pai:
1. Iniializeaz pasul curent de calcul p = 0 i selecteaz valorile iniiale0 ale vectorului singular dreapta Vn( ) 2. Itereaz T p (p 2.1. rezolv sistemul [ A] U n ) = Vn( )
$ 2.2. estimeaz valoarea minim singular n =k +1 (k 2.3. rezolv sistemul A Vn( ) = U n )
p Vn( )
Un
( p)
2 2
[ ]
(p Un ) ( p +1)2 2
$ 2.4. estimeaz valoarea minim singular n =
Vn
pn cnd este satisfcut testul de convergen, adic pn cnd diferena dintre valorile estimate n doi pai succesivi este mai mic dect o valoare aleas n funcie de precizia de calcul dorit.
Anexa 1 Valori proprii i valori singulare Exemplu de calcul numeric
443
3 . Descompunerea dup valorile 2 singulare a acestei matrice, obinut folosind funcia svd (singular value decomposition) din MATLAB, este dat de: T 0.8507 0.5257 4.2361 0.5257 0.8507 T . [ A] = [U ][][V ] = 0.5257 0.8507 0.2361 0.8507 0.5257 Deci, valorile singulare i vectorii singulari asociai sunt: 0.8507 0.5257 1 ( A ) = 4.2361 respectiv [U1 ] = i [V1 ] = 0.8507 0.5257 Se consider matricea
[ A] = 1
2
0.5257 0.8507 2 ( A ) = 0.2361 respectiv [U 2 ] = i [V2 ] = 0.5257 0.8507 Se poate verifica cu uurin c: [U1 ]T [U1 ] = [U 2 ]T [U 2 ] = 1 i [U1 ]T [U 2 ] = [U 2 ]T [U1 ] = 0 respectiv [V1 ]T [V1 ] = [V2 ]T [V2 ] = 1 i [V1 ]T [V2 ] = [V2 ]T [V1 ] = 0
adic matricele [U ] i [V ] sunt ortonormale.