SUBIECTE ALGEBRA1.Sa se arate ca pentruR x numerele1 3x, 13+ x,1 3 5 + x sunt termeni consecutivi intr-o progresie aritmetica.2.Sa se determine al 25-lea termen al sirului 1, 7, 13, 19, 3.Fie functia3 8 ) ( , :2 x mx x f R R f , unde m este un numar real nenul. Sa se determine m stiind ca valoarea maxima a functiei f este egala cu 5.4.Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei:3 ) 5 ( log ) 2 ( log2 2 + x x.5.Sa se calculeze probabilitatea ca , alegand un numar din multimea{ }3 3 3100 ,..., 2 , 1 , acesta sa fie numar rational.6.Sa se determine valorile reale pozitive ale numarului x,stiind ca x x lg ,23, lg, sunt3 termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.7.Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei: xx

,_

3132.8.Sa se calculeze 0 2 0 250 cos 130 sin + .9.Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei:36 2 23 ++ x x.10.Sa se compare numerele 3414C C a + si 33231303C C C C b + + + .11.Sa se determine al zecelea termen al unei progresii geometrice, stiind ca ratia este egala cu 31 si primul termen este 27.12 Se considera functia b ax x f R R f + ) ( , :. Sa se determine numerele reale a si b stiind ca 5 3 2 ) ( 3 + + x x f pentruR x .13.Stiind ca2 lg3 a, sa se verifice dacaa 5 25 log 100 log 8 log3 3 3 + .14.Sa se determine solutiile reale ale inecuatiei113 22+ ++x xx.15.Sa se determineR mstiind ca parabola asociata functiei 1 ) ( , :2 + m mx x x f R R feste tangenta axei Ox.16.Sa se arate ca pentru *R a ecuatia0 1 ) 1 2 (2 + + + a x a ax , are doua solutii reale distincte.17.Sa se determine numarul real x, stiind ca 12 3 , 4 , 1 2++ x x xsunt 3 termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.18. Sa se determine numarul natural n,5 nstiind ca 6)! 5 ()! 3 (nn.119.Sa se determine } 1 { R m stiind ca abscisapunctului de minim al graficulului functiei 1 ) 2 ( ) 1 ( ) ( , :2+ + x m x m x f R R f este egala cu 2.20.Se considera functia 3 2 ) ( , : + x x f R R f. Sa se calculeze ) ( ... ) 1 ( ) 0 ( n f f f + + +, pentruN n fixat.21.Sa se calculeze distanta dintre punctele de intersectie ale graficului functiei 8 2 ) ( , :2+ + x x x f R R fcu axa Ox.22.Sa se arate ca1001 ... 5 3 1 + + + + Eeste numar natural.23.Sa se determine coordonatele punctului de intersectie a dreptei de ecuatie y = - 4cu graficul functiei5 6 ) ( , :2+ x x x f R R f .24.Sa se demonstreze ca ecuatia0 1 22 2 + + a x xnu admite solutii reale, oricare ar fi *R a .25.Sa se determine valorile reale ale lui m, stiind ca valoarea minima a functiei 1 ) ( , :2 + m mx x x f R R feste egala cu 41.26.Sa se ordoneze crescator numerele 328 , 64 ,41

,_

.27.Sa se determineR m stiind ca solutiile x1 , x2 ale ecuatiei0 3 ) 1 2 (2 + + m x m xverifica relatia: 112 1 2 1 + + x x x x.28.Sa se determine probabilitatea ca alegand un numar natural de 3 cifre, acesta sa fie cub perfect.29.Sa se determine elementele multimii { } 1 | 1 2 | / x N x A.30.Sa se determine cea mai mica valoare a functiei 1 3 ) ( , ] 1 , 2 [ : + x x f R f.31.Sa se calculeze probabilitatea ca alegand unul dintre numerele 2524,C C si 34C , acesta sa fie divizibil cu 3.32.Sa se rezolve sistemul: ' + y x xy x7 23 22 , unde R y x ,.33.Sa se determine numerele reale m si n pentru care punctele A(3, -1) si B(1,1) se afla pe dreapta de ecuatie 0 + + n my x.34.Sa se calculeze numarul 62425+ A C.35.Sa se calculeze suma 10 3 22 ... 2 2 2 1 + + + + + .36.Sa se arate ca ( x-1)(x-2) > x-3, oricare ar fiR x .237.Se considera progresia aritmetica1) ( n na in care 11 a si 135 a. Sa se calculeze 2010a.38.Se considera functia. 1 ) 1 ( ) ( , :2+ + m x m x f R R f Sa se arate ca 41) ( x f, oricare ar fi. R m39.Se considera functia3 ) ( , : + x x f R R f Sa se calculeze) 2 ( ... ) 2 ( ) 2 (11 2f f f + + +.40.Sa se rezolve in R ecuatia1 1 + x x .41.Sa se determine ratia unei progresii aritmetice 1) ( n na, stiind ca 162 10 a a.42.Sa se rezolve in multimea numerelor reale inecuatia9 ) 1 2 (2 x .43.Dupa 2 scumpiri succesive cu 10%, respectiv cu 20%, pretul unui produs este 660 RON. Sa se determine pretul initial al produsului.44.Sa se demonstreze ca parabola asociata functiei 1 2 ) ( , :2 2+ + m mx x x f R R feste situata deasupra axei Ox,R m .45.Se considera progresia geometrica1) ( n nb in care b1=2 si b2=6. Sa se calculeze b10.46.Sa se rezolve sistemul de ecuatii ' + +0 20 22y x xy x unde R y x ,.47.Sase rezolve in R ecuatia: 1 ) 9 ( log25 x.48. Sase rezolve in R ecuatia:0 3 3 4 9 + x x.49.Sa se determine numarul real x, stiind ca sirul 1, 2x+1, 9, 13,. este o progresie aritmetica.50.Sa se determine numarul submultimilor cu 2 elemente ale unei multimi care are 6 elemente.51.Ecuatia 02 + m x xare solutiile x1 si x2. Sa se determine numarul real m pentru care: .4311112 1 +++ x x52.Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia:0 2 42 + x x .53.Sa se determine numerele reale m pentru care punctul A(m, -1) apartine graficului functiei . 1 3 ) ( , :2+ x x x f R R f54.Sa se calculeze suma: 1+11+21+31++1111.55.Sa se determine elementele multimii { }. 1 4 2 3 | + x x N x A56.Sa se determine functia de gradul 2 al carei grafic contine punctele A(1,3), B(0,5) si C(-1,11).57.Dupa o reducere a pretului cu 10%, un produs costa 999 de lei. Sa se determine pretul produsului inainte de reducere.58.Sa se determine valorile reale ale numarului m pentru care x=5 este solutie a ecuatiei . 3 2 ) 1 (2m x x m + 359.Sa se determine coordonatele punctului de intersectie al dreptelor de ecuatii 0 4 2 +y x si. 0 3 +y x60.Sa se rezolve ecuatia. 2 3 6 42+ + + x x x61. Sa se verifice ca: . 1109lg ...32lg21lg + + +62.Sa se determine m real incat 0 3 ) 3 (2> + m x m x , pentru orice x real.63.Sa se determine valorile reale ale parametrului m stiind ca solutiile x1 si x2 ale ecuatiei 0 3 ) 1 (2 + + x m x verifica egalitatea x1 = 3x2.64.Sa se rezolve in R ecuatia. 3 ) 10 3 ( log22 + x x65.Sa se arate ca solutiile x1 si x2 ale ecuatiei 0 12 x xverifica relatia . 22 12221+ + + x x x x66.Sa se determine valorile reale ale numarului x stiind ca numerele , 5 x x+7 si3x+11 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.67.Sa se calculeze 120092200922010C C C .68.Sa se arate ca numarul urmator este natural : .! 7 ! 2! 9! 5 ! 3! 869.Sa se determine suma primilor trei termini ai unei progresii geometrice stiind ca suma primilor 2 termeni este 8 iar diferenta dintre al doilea termen si primul termen este egala cu 4.70.Sa se determine cat la suta din a+b reprezinta numarul a stiind ca a este egal cu 25% din b.71.Sa se rezolve in R ecuatiax x 2 4 3 + .72.Sa se arate ca solutiile x1 si x2 ale ecuatiei 0 1 22 2 + m mx xverifica relatia 0 2 ) (2 1 2 1 + + x x x xpentru orice m real.73.Sa se arate ca multimea{ } 0 ) 1 2 ( |2 2 + + + m m x m x R xare doua elemente, oricare ar fi. R m74.Sa se rezolve in R ecuatia: ). 2 1 lg( ) 3 2 lg( ) 4 lg( x x x + + +75.Sa se formeze o ecuatie de gradul doi ale carei solutii x1 si x2 verifica relatiile 112 1 +x x si 3011 1 12 1 +x x .76.Sa se determine numarul real a, stiind ca numerele a a4 1 , 2 +si 22+ a sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.77.Se considera functiile 6 ) ( , : , , + x x f R R h g f, 2 2 ) ( + x x g, 3 3 ) ( + x x h. Sa se determine numarul real a incat R x x g x h x f a + ), ( )) ( ) ( (. 478.Sa se rezolve in R ecuatia 8421xx .79.Sa se rezolve in R ecuatia ). 1 ( log 1 ) 1 3 ( log5 5 + + x x80. Sa se rezolve in R inecuatia x x x + 11 ) 1 )( 1 2 (.81.Ecuatia0 12 a ax xcu a din R, are solutiile x1 si x2 . Sa se arate ca expresia 2 1 2 1x x x x + nu depinde de a. 82.Sa se compare numerele2 asi 2 31+ b.83.Sa se rezolve in R ecuatia: 2) 2 1 ( ) 2 2 3 ( + +x.84.Sa se determineR m astfel incat ecuatia02 + m x xsa admita solutii de semne contrare.85. Sa se rezolve in R ecuatia1 ) 4 2 ( log ) 2 ( log222 x x x .86.Sa se rezolve in R ecuatia0 2 lg 3 lg2 + x x .87.Sa se arate ca produsul solutiilor reale ale ecuatiei0 20102 m x mxeste constant, oricare ar fi m din R*.88.Sa se rezolve in R ecuatia108 2 31 + x x.89.Sa se determine multimea{ } 0 2 |2< + x x Z x A .90.Sa se determine numarul elementelor multimii { } 40 ,..., 7 , 4 , 1 A.91.Se considera functiaxx f R R f 2 ) ( , : . Sa se calculeze ) 3 ( ) 2 ( ... ) 2 ( ) 3 ( f f f f .92.Se considera functiile1 4 4 ) ( , : ,2+ x x x f R R g f , 1 2 ) ( x x g. Sa se rezolve in R ecuatia 1 ) ( 2 ) ( + x g x f.93.Sa se rezolve ecuatia , 5)! 1 ()! 2 (2 12+ ++++nnnCn pentru n natural.94.Sa se determine functia b ax x f R R f + ) ( , :, cu R b a ,, pentru care b a f f f 2 6 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( + + + si 8 ) 4 ( f.95.Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie cu axele de coordonate a graficului functiei . 2 2 ) ( , :3 + xx f R R f 96.Pretul unui produs este de 5400 lei. Cu ce procent trebuie ieftinit pretul produsului pentru ca acesta sa coste 4860 lei?597.Se considera functia. log 2 ) ( , ) , 0 ( :3 x x f R fx+ Sa se calculeze ). 3 ( ) 1 ( f f +98.Se considera functiile b ax x f R R g f + ) ( , : ,, a bx x g + ) (, unde R b a ,. Sa se arate ca daca ) 1 ( ) 1 ( g f atunci f = g.99.Sa se determine m real incat solutiile reale ale ecuatiei0 32 + m x xsa fie inverse una alteia.100.Sa se determine numarul natural nenul n incat numarul submultimilor cu doua elemente ale unei multimi cu n elemente sa fie egal cu 6.101.Se considera determinantul 2 1 31 3 23 2 1x x xx x xx x xd unde 3 2 1, , x x x sunt solutiile ecuatiei 0 2 33 + x x .a)Sa se arate ca 6333231 + + x x xb)Sa se calculeze valoarea lui d.102.Pe multimea R definim operatia 12 4 4 + + + y x xy y x a)Sa se calculeze ) 4 ( x , unde x real. b)Stiind ca operatia" " este asociativa , sa se calculeze: . 2010 2009 ... ) 2009 ( ) 2010 ( 103.Se considera determinantul a c bb a cc b ad , unde a,b,c . R a)Sa se arate ca [ ]2 2 2) ( ) ( ) (2a c c b b ac b ad + + + +b)Sa se rezolve in R ecuatiax x xx x xx x x2 5 33 2 55 3 2= 0.104.Pe R definim operatia 21 6 6 2 + y x xy y x a)Sa se arate ca3 3 3 x x , pentru orice x realb)Stiind ca operatia" " este asociativa , sa se calculeze 2010 ... 3 2 1 .105.Se considera polinoamele cu coeficienti reali:96 282 3 4+ + + bx x ax x fsi ). 4 )( 24 2 (2 2 + x x x ga)Sa se determine R b a , incat polinoamele f si g sa fie egale.b)Sa se rezolve in R ecuatia 0 96 2 8 4 28 8 2 16 + +x x x x.106.Pe multimea ) (2R M se considera matricele

,_

3 26 4A si. ) (2A a I a X + a)Sa se verificedaca ), ( ) ( ) ( ab b a X b X a X + + . , R b a b)Sa se calculeze suma ) 2010 ( ... ) 2 ( ) 1 ( X X X + + +.107. Se considera inelul (Z6, +, ), unde Z6={ } 5, 4, 3, 2, 1, 0.6a ) Sa se rezolve in Z6 ecuatia152 + xsi sistemul ' + +5242y xy xb ) Sa se calculeze in Z6 determinantul 213132321 d108. Se consider matricea A =

,_

3 11 3xx, x R.a) Sa se arate caA2 ( 2x 6) A -( x2 -6x +8 )2, unde I2 =

,_

1 00 1. b) S se determine x real, pentru care A2 = 2A.109. Se considera multimea{ } Z x A Gx |unde

,_

1 00 1 00 0 1xAx , x Z.a) Stiind ca (G, ) este grup ( - inmultirea matricelor ), sa se determine elementul neutru al grupului. b) Sa se arate ca functia f : Z G, f(x) = Ax este morfism intre grupurile (Z, +) si (G, ).110. Se considera matricele A =

,_

3 24 3 si B =

,_

1 12 1.a) Sa se arate ca A-1 =

,_

3 24 3.b) Daca notam cu C matricea C = B2 +A-1, sa se arate ca C4 = 64 I2.111. Se considera in inelul Z5 [x] poninoamele :f =12 3+ + + x ax x si3+ x g .a) Sa se determine a Z5 incat f sa fie divizibil cu g.b) Pentru 1 asa se arate ca( )( ) 112+ + x x f si sa se rezolve in Z5 ecuatia :( ) 0 x f .112. Se considera matricele :

,_

321x si

,_

321y. Definim matricele :A = x yt si B(a)= aA + I3.a) Sa se arate ca

,_

9 6 36 4 23 2 1A si sa se calculeze det A.b) Sa se arate ca B(a) este inversabila, )' 41\ R a.113. Se considera poninoamele f, g Z5[x], unde :7( ) b a x x b a f 322 332+ + + + sib a x x g 23222+ + + a) Sa se determine a, b Z5 astfel incat cele 2 polinoame sa fie egale.b) Pentru a = b = 2 sa se calculeze in Z5 suma( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 43210f f f f f + + + +si sa se rezolve ecuatia :( ) 0 x f .114. In M2 (Z) se considera matricea

,_

d cb aA.a) Sa se calculeze determinantul matricei B = A At.b) Sa se arate ca, daca A + At = 2I2, atunci determinantul matricei A At este un numar divizil cu 4. 115. Se considera matricea

,_

3 16 2A.a) Sa se arate ca A2 + A3 = 0.b) Sa se calculeze suma A + 2A2 + 3A3 + + 10A10.116. Se considera polinoamele f, g R[x], unde f = ( x - 1 )10 + ( x 2 )10si g = x2 -3x + 2.a) Sa se arate ca f nu este divizibil cu g.b) Sa se determine restul impartirii lui f la g. 117. Pe R se considera legea de compozitie 33 31 + y x y x .a) Sa se arate ca : ( ) . , 1 R x x x b) Sa se arate ca legea " " este asociativa si sa se calculeze : ( ) ( ) . 4 3 ...... 3 4 118. Se considera matricele :

,_

1 0 01 1 01 1 1A si

,_

0 0 01 0 01 1 1B.a) Sa se verifice ca A = I3 + B si sa se calculeze A2 + B2.b) Sa se calculeze inversa matricei A2.119. Pe R se defineste legea de compozitie ( ) 42 7 + + + y x xy y x .a) Sa se verifice ca : ( )( ) . , , 7 7 7 R y x y x y x + + b) Stiind ca legea " " este asociativa sa se rezolve in R ecuatia : . x x x x 120. Se considera determinantul : ( )219 3 11 1 1a aa D , unde a R.a) Sa se calculeze D(9) si sa se rezolve in R ecuatia D(a) = 0.b) Sa se rezolve in R ecuatia D(3x) = 0.121. Fie R k M ) , [, k R si operatia( ) . , ,2R y x k k y x k xy y x + + + a) Se cere k R astfel incat 2 3 2 si pentru k = 2 sa se rezolve in M ecuatia. 6 x xb) Sa se arate ca pentru M y x , rezulta . M y x 122. Se considera matricea : ( ).1 00 52R M A

,_

a) Sa se calculeze An pentru n 2 si sa se rezolve ecuatia( ) 125 5 2 det n nA .b) Sa se afle transpusa matricei B = A + A2 + ..+ A2010.123. Se considera polinomul,2 4n mx x f + + unde m, n R. a) Sa se determine m R incat radacinile x1, x2, x3, x4 ale polinomului sa verifice relatia :224232221 + + + x x x xb) Pentru m = n = 1 sa se descompuna f in produs de factori ireductibili in R[x].8124. Se considera polinomul cu coeficientii rationali :. 6 52 3 4+ + + x bx ax x fa) Pentru a = -3 si b = 1 sa se descompuna f in produs de factori ireductibili in Q[x].b) Sa se rezolve in R ecuatia. 0 3 6 5 3 3 31 2 3 + + + x x x x125. Se considera sistemul : ( )R m u n d ez y x mz y xm z y m x' + + + + + +,2 3 2 12 2 532.a) Sa se determine m R incat 123 2 11 2 51 1 +mm b) Pentru m = -1 sa se rezolve sistemul de ecuatii. 126. Se considera polinomul9 92 3+ x x x f , cu radacinile x1, x2, x3 R.a) Sa se determine catul si restul impartirii lui f la x2 1 si sa se rezolve in R ecuatia( ) . 0 3 xfb) Sa se arate ca( ) . 18 9232221333231 + + + + x x x x x x127. Se considera multimea( ))'

,_

R aa aa aa A M00 0 00.a) Sa se arate ca ( ) ( ) ( ) ab A b A a A 2 , . , R b a b) Sa se arate ca,_

21A este element neutru pentru inmultirea matricelor din M si sa se determine simetricul elementului A(1) M.128. Se considera polinomul cu coeficienti rationali :14 52 3+ + x ax x fsi suma *3 2 1, N n x x x Sn n nn + + , unde 3 2 1, , x x xsunt radacinile lui f.a) Sa se determine a Q incat f sa admita radacina 21 x.b) Pentru a = -4sa se rezolve ecuatia f(x) = 0 si sa se arate ca 1 2 35 4 42 S S S + +.129. Se considera f, g R[x], 12 3 4+ + + + x x x x f si 12 x x g.a) Sa se arate ca daca a este radacina a luig atunci a3 = 2a +1.b) Sa se arate ca daca a este radacina a luig atunci f(a) Q.130. Se considera f,g Z5[x], 43333 5+ + + x x x f si 32332 3+ + + x x x g.a) Sa se reolve in Z5 ecuatia f(x)= 0.b) Sa se determine catul impartirii lui f la g. 131. Se considera matricele

,_

3 0 01 3 01 1 3A si

,_

0 0 03 0 04 3 0B si functia f : M3(R) M3(R), 13 3 ) (2+ x x x f .a) Sa se arate ca f (A)= I3+B si sa se calculeze det (f(A)).b) Sa se arate ca (f(A))3 = I3+3B+3B2.132. Pe Z se definesc legile de compozitie : 3 + y x y x si ( )( ) 3 3 3 + y x y x .9a) Sa se determine a Z incat . , 3 Z x a x b) Sa se rezolve in Z ecuatiax x x x si sistemul : ( )( ). , ,5 14 1Z y x u n d ey xy x' 133. Se considera multimea( ) Z M b a Z b aa bb aG22 21 3 , ,3)'

,_

.a) Sa se arate ca I2 G si ca AB = BA, A,B G.b) Sa se arate ca A G, A-1 G.134. Se considera polinomul]. [ 7 112 3x R m z x mx f + + + a) Sa se determine m Q incat ( ) Q f 2.b) Pentru m = -9 sa se calculeze suma patratelor radacinilor lui f.135. Se considera sistemulR m u n d ea z y m xz y xz y x' + + + + ,44 23 3 2.a) Sa se determine m R incat ( 2, 1, -1 ) sa fie o solutie a sistemului. b) Sa se rezolve ecuatia R m m mm , 34 11 1 23 2 12si pentru m = -5 sa se rezolve sistemul de ecuatii.136. Se considera sistemul de ecuatii ' + + + + + +1 41 212z a y xa z y xz y x si ( )

,_

24 12 11 1 1aa a A.a) Sa se determine a R pentru care A(a) este inversabila.b) Pentru a R\{1,2} sa se rezolve sistemul. 137. Fie polinomul ] [ 42 3x R ax ax x f + .a) Sa se determine a R astfel incat f sa se divida cu x2 2.b) Sa se determine a Z pentru care f are o radacina rationala pozitiva.138. Se considera polinomul Z a unde x ax x f + , 13 4a) Petnru a = 1 sa se determine radacinile reale ale lui f. b) Sa se arate ca f(x) 0, oricare ar fi x Q\Z.10139. Se considera matricele

,_

1 11 1A si

,_

1 11 1B.a) Sa se arate ca AB = 2B.B) Sa se arate ca daca X M2(R) si AXB = 0, atunci suma elementelor matricei X este egala cu zero.140. Fie f, g Z2[x], 12+ x f si 1+ x g si fie multimea H ={a + bx + cx2 | a, b, c Z2}.a) Sa se determine catul si restul impartirii lui f + g la f.b) Sa se determine numarul elementelor lui H.141. Sa se arate ca pentru oricare A M2(R)si oricare m R are loc relatia (mA)t= mAt. Sa se determine A M2(R)pentru care A + At = O2.142. Se considera sistemulR c b a u n d ec z c c y xb z b b y xa z a a y x' + + + + + +, , ,222 si sunt distincte 2 cate 2.a) Sa se verifice ca detA = (a-b)(b-c)(c-a), unde A este matricea asociata sistemului. b) Sa se arate ca solutia sistemului nu depinde de numerele reale a, b, c. 143. Pe R se defineste legea de compozitie R m unde m y x y x + + ,.a) Sa se determine m R incat elementul neutru al legii " " sa fie -6.b) Sa se determine m R incat( ) ( ) 2 3 3 2 3 m .144. Se considera polinomul ( ) R a unde a x x f + , 1 22 2. Sa se determine a R incat f sa aiba toate radacinile reale. 145. Se considera multimea )'

,_

*, , , | R d c b ad bc aM.Sa se arate ca pentru Md bc aX

,_

cu( ) 0 det tX Xare loc relatia.dcba146. Se considera ecuatia0 13 4 + ax ax x . Sa se determine a Z pentru care ecuatia are cel putin o radacina intreaga.147. In multimea M3 (Z) se considera matricele

,_

1 0 00 1 01 0 1F si

,_

1 01 01dcb aA.a) Sa se arate ca pentru a = c = 0 si b = -1 avem F-1 = A.b) Sa se rezolve ecuatia

,_

9 8 76 5 43 2 1X F, unde X M3 (Z).11148. Se considera sistemul :. , ,4 45 22 3R b a u n d ez y xa z y xb z y x' + + + + +.a) Sa se rezolve sistemul pentru a = -1 si b = 2.b) Sa se determine b R incat (x0, y0, z0) sa fie o solutie a sistemului si x0 + y0 + z0 = 4.149. Se considera polinoamele35 122+ x x fsi( ) 6 62010 + x x g . Polinomul g are forma algebrica. .....0 12009200920102010a x a x a x a g + + + + a) Sa se calculeze f(7) + g(7) si sa se arate ca 0 .....2010 1 0> + + + a a a.b) Sa se determine restul impartirii lui g la f. 150. Se considera multimea )'

,_

R c b ac bb aM , , |.Sa se arate ca M B A , avem ( ) 0 det BA AB.151. Pe R se defineste legea de compozitie 2 2 2 + + y x xy y x.a) Sa se determine a R incat R x a x a a x ,.b) Stiind ca legea de compozitie este asociativa sa se calculeze : 20104020......2010220101 152. Pe Z se considera legile de compozitie 1 + + y x y x si 1 + by ax y x cu a, b Z si fie functia f : Z Z , f(x) = x + 2.a) Sa se determine a, b Z incat legea sa fie asociativa. b) Daca a = b = 1 sa se arate ca f este morfism intre grupurile ( ) , Z si ( ) , Z.153. Se considera polinomul] [ 8 22 3x R ax x x f + .a) Pentru a = 4 sa se determine catul si restul impartirii lui f la. 4 22+ x xb) Sa se arate ca daca ( ) , 2 a atunci f nu are toate radacinile reale.154. Se considera matricea

,_

1 11 1A .a) Sa se determine x R incat det ( A xI2 ) = 0.b) Sa se arate ca ( ) R M X2 avem A4X = X A4.155. Se considera multimea { } 1 2 , , | 22 2 + b a Z b a b a G.a) Sa se arate ca G y x , rezulta ca xy G.b) Sa se arate caG x are invers in G in raport cu inmultirea numerelor reale. 156. Se considera matricea ) (2R Md cb aA

,_

.12Sa se arate ca daca suma elementelor matricei A At este egala cu zero atunci det A = 0.157. Se considera polinomul]. [ 22 3 4x R c bx ax x x f + + + + Stiind ca radacinile polinomului f sunt in progresie aritmetica sa se arate ca b = a 1.158. Se considera polinomulb ax x x f + + 2 32cu radacinile x1, x2 si x3. Stiind ca( )( )( )232221x x x x x x f sa se determine a, b R.159. Se considera matricea

,_

2 41 2A si multimea ( ) { } ( ) R M R y x yA xI y x M G2 2, | , + .a) Sa se determine inversa matricei M ( 1, 1 ).b) Sa se determine matricele inversabile din G. 160. Se considera polinomul12 3+ + px x fcu radacinile x1, x2, x3 si p R.Sa se calculeze suma 434241x x x + +in functie de p. 161. Se considera matricea

,_

1 0 00 1 00 0 2A.a) Sa se arate ca A3 = 4A2 5A+2I2.b) Sa se determine m, n, p R incat A-1 = mA2 + nA + pI3.162. Se considera x1, x2, x3 R incat ' + + + + + +21 1 1 1223 2 13 2 3 1 2 13 2 1x x xx x x x x xx x xa) Sa se determine a, b, c R stiind ca ecuatia02 3 + + + c bx ax xare radacinile x1, x2, x3.b) Sa se descompuna polinomul4 2 22 3+ x x x fin factori ireductibili in R[x].163. Pe R se defineste legea de compozitie y xy x+2 .a) Sa se rezolve in R ecuatia642 x x .b) Sa se arate ca daca( )zz y x+12 atunci x = -y.164. Pe R se defineste legea de compozitie 3 3 3y x y x + .Stiind ca x0 Q si *1 0, N n x x xn n sa se arate ca x3 Q.165. Sa se determine numarul elementelor multimii :{ }. | ] [23b ax x f x Z f M + + 166. Se considera matricele ( ) . 0 ,0 00 1 00 ln 1>

,_

a undeaaa H a) Sa se arate ca H(a) H(b) = H(ab), a, b > 0.b) Sa se calculeze determinantul matricei H(1) + H(2) + H(3) + ....+ H(2010).167. Sa se arate ca toate elementele multimii( ) , 2 Gsunt simetrizabile in raport cu legea :13( ) 6 2 + + y x xy y x .168. Se considera sistemul. ,1 44 23 3 2R m u n d ez y m xz y xz y x' + + + + a) Sa se determineR mpentru care sistemul are solutie unica. b) Sa se rezolve sistemul pentru. 3 m169. Se considera matricea

,_

3 26 4A.Stiind ca An = A pentru orice n N* sa se calculeze suma A + 2A2 + 3A3 + ....+nAn.170.Fie ] [ 12 3x R mx x x f + + + cu radacinile x1, x2, x3.Se noteaza n n nnx x x S3 2 1+ + pentru n N*a) Sa se arate ca 0 31 2 3 + + + mS S S.b) Sa se arate ca pentru orice numar par m Z polinomul f nu are solutii rationale. 171. Fie f, g R[x], 12 3 4+ + + + x x x x f si 12 3+ + + x x x g.a) Sa se determine radacinile reale ale lui g.b) Sa se calculeze f(a) stiind ca a este o radacina a lui g. 172. In M2[R] se considera matricele ( )

,_

+x xx xx A4 1 102 5 1.a) Sa se arate ca( ) ( ) ( ) ( ) R x x A x A + , 1 12 2.b) Sa se determine inversa lui A(1).173. Se considera sistemul. ,21 30 4 5 2Z a u n d ea z xz y xz y x' + + + Sa se determine cea mai mica valoare a numarului natural a pentru care solutia sistemului este formata din trei numere naturale. 174. Pe R se considera legea de compozitie 1 + + y x y x si multimea : { } 6 | 2 *,2 1 0+ n C C C n N n An n n .Sa se determine numarul elementelor lui A. 175. Fie] [2 3x R r qx px x f + cu radacinile x1, x2, x3 R.a)Sa se calculeze( )( )( )3 2 11 1 1 x x x in functie de p, q si r. b) Sa se arate ca polinomul32 3 + + x x x g nu are toate radacinile reale.176. Se considera matricea

,_

1 41 4A si multimea ( ) ( ) { } aA I a X si R a a X G + 2|.a) Sa se arate ca( ) ( ) ( ) R b a ab b a X b X a X + + , , 5 .14b) Sa se arate ca pentru 51 a , inversa matricei ( ) a X este,_

+aaX5 1.177. Sa se determine numarul radacinilor din Z5 ale polinomului :] [ 234352 3x Z x x x f + + + .178. Se considera polinoamele1 3 32 3+ + + x x x fsi1 22+ x x gdin R[X]. Sa se calculeze produsul f(y1) f(y2), unde y1 si y2 sunt radacinile lui g. 179. Se considera matricele

,_

9 3 36 2 23 1 1A si B = A I3.a) Sa se calculeze det (A).b) Sa se arate ca B-1 = 391I A .180. Sa se calculeze suma 44434241x x x x + + +daca 4 3 2 1, , , x x x xsunt radacinile polinomului 1 22 4+ x x f.181. Se considera inelul ( ) + , ,8Z.a) Sa se calculeze in Z8 suma7654321+ + + + + +si produsul tuturor elementelor inversabile ale inelului. b) Sa se rezolve in Z8 sistemul ' + +523252y xy x.182. Se considera matricele

,_

0 12 1A si

,_

t zy xB. Stiind ca AB = I2 sa se calculeze S = (B-1 A)2183. Sa se rezolve in Z ecuatia 1 .....6 ori dex x x, unde 11 + + y x y x .184. Pe R se considera legea de compozitie ( ) 6 2 + + y x xy y x .a) Sa se arate ca R x x , 2 2 .b) Stiind ca legea este asociativa sa se calculeze valoarea expresiei : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2010 2009 .... 2 1 1 ..... 2009 2010 185. Sa se rezolve ecuatia matriceala :

,_

,_

412 31 2X.186. Pe multimea G = ( -1, 1) se considera operatia xyy xy x++1. Fie ( ) ( ) , 0 1 , 1 : f,( )xxx f+11. 15Sa se arate ca f este morfism de grupuri intre grupurile ( ) ( ) ( ) , , 0 , s i G .187. Pe R se definesc legile de compozitie 6 2 2 + y x xy y x si ( ) 12 3 + + y x xy y x .Fie f : R R, f(x) = ax + 1, unde a R.Sa se determine a astfel incat f sa fie morfism de grupuri intre grupurile ( ) , R si ( ) , R.188. Se considera polinoamele62 3+ + + nx mx x fsi22 x x g din R[X].a) Sa se determine m, n R incat f sa se divida cu g.b) Pentru m = - 4 si n = 1 sa se calculeze ( ) ( ) ( ) ( ) 2010 .... 2 1 0 f f f f.189. Se considera matricea

,_

0 01 0A.a)Sa se arate ca daca X M2(R)si XA = AX atunci exista a, b R incat

,_

ab aX0.b)Sa se arate ca ecuatia X2 = A nu are solutii in M2(R). 190. Sa se calculeze probabilitatea ca alegand un element din inelul ( ) + , ,6Z, acesta sa fie solutie a ecuatiei03 x .191. Se considera matricea

,_

4 27 4A.a) Sa se arate ca( )212I A I A +.b) Sa se rezolve ecuatia det(x2A) =x2 det A.192. Pe R se defineste operatia 12 4 4 + + + y x xy y x .a) Sa se arate ca ( ) R y x y x , , 4 4 .b) Sa se calculeze ( ) ( ) 4 2011 2010 4 2009 2008 .193. Sa se rezolve ecuatia matriceala

,_

,_

1 34 52 11 2X in M2(R).194. Sa se rezolve in R ecuatia 41 11 11 1 aaa.195. Fie matricele( )

,_

k kk kx xx x k A22221 1 1, unde k { 0, 1, 2 }, x0 = 1 si x1, x2 sunt solutiile ecuatiei 0 22 + x xcu x1 < x2.a) Sa se determine detA(0) si A(1) + A(2).16b) Sa se determine suma elementelor matricei A(k) pentru fiecare k { 0, 1, 2 }.196. Se considera determinantul ( ) R x b a undeax bbx aab xx b a D , , ,111, ,.a) Sa se arate ca D(a,a,x) nu depinde de x. b) Sa se rezolve ecuatia D(a,b,x) = 0 , unde a, b >0.197. Se considera polinoamele f, g R[x], a x x f + 33 si 2 32+ x x g, unde a R.a) Sa se determine radacinile lui f stiind ca f are o radacina dubla pozitiva.b) Pentru a = 2 sa se rezolve ecuatia ef(x) =

,_

25 3g.198. Fie f : R M3(R), ( )

,_

+1 0 04 1 02 2 12xx x xx f.a) Sa se calculeze f(0) + f(1) si f(1) f(-1).b) Sa se arate ca f (x + y ) = f(x) f(y), oricare ar fi x, y R.199. Fie inelul ( Z6, +, ).a) Sa se calculeze determinantul 213132321 in Z6.b) Sa se rezolve in Z6 ecuatia152 + xsi sistemul ' + +5242y xy x200. Pe R se considera operatia 2 + y x xy y x .a) Sa se arate ca ( )( ) R y x y x y x + , , 1 1 1 .b) Sa se calculeze 22010.....232221 .201. Pe R se defineste legea de compozitie 42 6 6 + y x xy y x .a) Sa se rezolve in R ecuatia x x x x x .b) Sa se arate ca ( )( ) R y x y x y x + , , 6 6 6 si apoi sa se calculeze :2010 2009 ..... 3 2 1 202. Se considera polinomul R c b a unde c bx ax x f + + + , , ,3 4.Sa se arate ca nu exista R c b a , , incat f sa se divida cu polinomulx x g 3.203. Se considera matricea

,_

1 12 2A.a) Sa se arate ca A2 = A si sa se calculeze det ( A3 2A2 + A).b) Sa se demostreze ca oricare ar fi x M2(R) cu X2 = X verifica relatia ( 2X I2 )2 = I2.204. Pe Z se considera legile de compozitie2 + + y px y x cu p Z, 2 + y x y x si functia17f : Z Z, f(x) = 3x + q, unde q Z.a) Pentru p = 1 sa se rezolve in Z ecuatia( ) ( ) 22+ x x x x x .b) Pentru p = 1 sa se determine q Z incat f sa fie morfism intre grupurile ( ) , Z si ( ) , Z.205. Sa se rezolve ecuatia matriceala35 0 00 3 00 0 1I X

,_

in M3(R).206. Pe Z se defineste operatia 4 7 7 3 + + + y x xy y x.a) Sa se determine elementul neutru al legii .b) Sa se rezolve in Z inecuatia x x -1.207. Se considera polinomul] [3 4x R c bx ax x f + + + .a) Sa se determine a, b, c R incat f(0) + f(1) = -2 si una din radacinile lui f este x = 2. b) Pentru a = c = -2 si b = 1 sa se determine radacinile reale ale lui f. 208. Se considera polinomul 2009 1004 2) 1 ( x x x f + + + , cu forma algebrica :2009200922 1 0... x a x a x a a f + + + + .a) Sa se arate ca 2009 2 1 0... a a a a + + + + este un numar intreg par. b) Sa se determine restu impartirii lui f la x2 1.209. Se considera polinomul( ) ] [ 41263x Z a x a x f + + + + .a) Sa se arate ca a3 = a, a Z6.b) Sa se determine a Z6 incat( ) 02 f .c) Pentru2 a sa se rezolve in Z6 ecuatia( ) 0 x f .210. Sa se determine a, b Z3 incat polinomul] [32x Z b ax x f + + sa aiba radacinile1si2.211. Sa se arate ca daca( ) ] [ 12232 3x Z ax x a a f + + + atunci() 121+ a f .212. Se considera matricea

,_

0 0 00 0 10 1 1A. Sa se arate ca A3 + A2 + A = O3.213. Pe R se considera operatia 36 8 8 2 + y x xy y x .a)Sa se arate ca ( )( ) R y x y x y x + , , 4 4 4 2 .b)Sa se calculeze2010 ..... 3 2 1 .214. Se considera matricea

,_

0 1 00 0 11 0 0X si multimea{ } { } 3 , 2 , 1 | n X Gn.a) Sa se arate ca X3 = I3 si sa se calculeze det ( I3 + X + X2 ).b) Sa se arate ca daca X G atunci X-1 G.18215. Se considera matricele

,_

2 1 11 2 11 1 2A si

,_

1 1 11 1 11 1 1B.a) Sa se calculeze AB si sa se arate ca ( A + B )2 =( A - B )2 = A2 + B2.b) Sa se inverseze matricea ( A - B )2.216. Se considera matricele

,_

2 02 2A si

,_

6 0y xB, cu x, y R.a) Sa se determine x R incat AB = BA si sa se arate ca A2 = 4(A I2).b) Sa se determine a R incat A3 aA2 + 4A = O2.217. Pe R se definiesc legile de compozitie 3 + + y x y x si( ) 12 3 + + y x xy y x.a)Sa se rezolve in R ecuatia( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 + + + x x x x .b)Sa se rezolve in R sistemul : ( )( ) ( )'+ + 1 10 1y x y xy x SUBIECTE ANALIZA1. Se considera functia , a) Sa se calculeze .b) Sa se calculeze volumul corpului de rotatie obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului functiei.2. Se considera functia ,. Sa se calculeze , unde, 3. Se considera functia , a)Sa se calculeze aria suprafetei plane determinate de graficul lui,axa Ox si dreptele x=0 si x=1b)Sa se arate ca , .4. Se considera functia , a) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei , b) Sa se calculeze .5. Se considera functia , 19a) Sa se calculeze .b) Sa se determine numarul real a>1 incat .c) Sa se calculeze.6. Se considera functia , a) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui in punctual A(1,0).b) Sa se arate ca este convexa pe.7. Folosind faptul ca ,sa se arate ca 8.Se considera functia , a) Sa se calculeze b)Sa se demonstreze ca, 9. Se considera functia , a) Sa se calculeze .b) Sa se arate ca .10. Se considera functia , a) Sa se calculeze b) Sa se arate ca orice primitive a lui f este crescatoare pe c) Sa se determine numarul real incat aria suprafetei plane, determinate de graficul functiei, axa Ox, dreptele de ecuatie x = a si sa fie egala cu.11. Se considera functia , a) Sa se calculeze b) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale catre +la graficul functiei.12. Se considera functiile, si a) Sa se arate ca b) Folosind ca, sa se arate ca.13. Se considera functia ,, unde .Sa se determine incat 2014. Se considera , pentru a) Folosind, eventual, ca , sa se arate ca b) Sa se arate ca, pentru orice.15. Se considera functia , a) Sa se calculeze b) Sa se arate ca este concava pe (-,1] .16. Se considera functiile, si a) Sa se calculeze .b) Sa se arate ca 17. Se considera functia, ,+. Sa se calculeze .18. Se considera functia, .a) Sa se arate ca b) Sa se arate ca sirul ,unde este o progresie aritmetica cu ratia 1.19.Se considera functia , . Sa se arate ca ,, .20.Se considera functiile,, unde .Sa se determine incat 21. Pentru se considera .Folosind faptul ca sa se arate ca, .22. Se considera functia , .a) Sa se arate ca 21b) Sa se demonstreze ca,.23. Se considera functiile, si, . Sa se calculeze .24. Se considera functia, .Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei ,, axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 si x = 1.25.Se considera functia , , unde.a)Sa se determine incat sa fie continua pe.b) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul lui in punctual .26. Se considera,.a) Sa se calculeze I0 si I1b) Sa se arate ca, pentru.27. Se considera functia , .a) Sa se arate ca este descrescatoare pe (0,2].b)Sa se arate ca 28. Se considera functia, . Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei,.29.Sa se determine functia, a) Sa se calculeze b) Sa se arate ca 30. Se considera functia , . Sa se arate ca,.31. Se considera functia,. Sa se verifice ca 32. Se considera functia, . Sa se arate ca, .2233. Se considera functiile, si.a) Sa se arate ca functia, este concava pe.b) Sa se calculeze.34. Se considera functia, .a) Sa se determine ecuatia asimptotei oblice catre la grafic. b) Sa se arate ca ,.35. Se considera functia,.a) Sa se calculeze b) Sa se arate ca orice primitiva F a functieieste concava pe si convexa pe .36. Se considera functia, a) Sa se calculeze b) Sa se determine intervalele de monotonie ale lui.37. Se considera functia,. Sa se determine a>2 incat aria suprafetei plane, marginite de graficul lui, axa Ox si dreptele de ecuatii x=2 si x=a sa fie ln3.38. Se considera functia,.a) Sa se determine punctele de extreme ale lui .b) Sa se calculeze.39. Se considera functiile, si.a) Sa se arate ca F este o primitiva a lui ;b) Sa se arate ca .40. Fie, pentru.a) Sa se calculeze I0 si I1b) Sa se arate ca, .41.Se considera functia,, unde.a) Sa se determine incat si 23b) Sa se calculeze .42. Se considera functia,.a) Sa se determine intervalele de monotonie ale lui.b) Sa se arate ca pentru.43. Se considera functiile, si a) Sa se arate ca g este o primitiva a lui.b) Sa se calculeze.44. Se considera functia,. Sa se calculeze .45. Se considera functia, .a) Sa se verifice ca .b) Sa se arate ca 46. Se considera integralele si.a) Sa se arate ca b) Folosind, eventual, ca sa se arate ca.c) Sa se arate ca.47. Se considera functia,.a) Sa se calculeze b) Sa se rezolve in ecuatia 48. Pentru se considera a) Folosind ca, si sa se arate ca b) Folosind, eventual, ca ,si sa se arate ca 49. Se considera functia, a) Sa se calculeze b) Aratati ca, 2450. Se considera functia,.a) Sa se calculeze b) Sa se calculeze 51. Se considera functia, .Sa se arate ca.52.Se considera functia, a) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale la la graficul lui .b) Sa se arate ca ,.53. Se considera, pentru orice.a) Sa se arate ca,.b) Folosind, eventual, ca, si, sa se demonstreze ca : .54.Se considera functia, .Sa se arate ca 55.Se considera functiile, ,.a) Sa se calculeze b) Sa se arate ca 56. Se considera functia,.a) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale spre la graficul lui.b) Sa se arate ca tangenta la graficul lui in punctul este paralela cu axa Ox.57. Se considera functia, . Sa se determine ecuatia asimptotei catre la graficul functiei, . 58. Se considera functiile, a)Sa se demonstreze ca 25b) Sa se calculeze 59. Se considera functia, si,. Sa se calculeze .60. Se considera, pentru orice a) Sa se arate ca,.b) Sa se arate, pentru 61. Se considera functia, a) Sa se determine incat :b) Sa se calculeze 62. Se considera functiile,, a) Sa se calculeze si b) Sa se calculeze 63.Se considera functiile,, a) Folosind ca, sa se calculeze b) Folosind ca , sa se arate ca .64. Se considera functia,. Sa se demonstreze ca volumele corpurilor obtinute prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiilor, si sunt egale.65. Se considera functia,.Sa se arate ca daca este o primitive a lui atunci 66. Se considera functiile,, .a) Sa se calculeze b) Sa se determine numarul incat 2667. Se considera functia, a) Sa se studieze continuitatea lui b) Sa se arate ca, pentru orice 68. Se considera functiile, si .a) Sa se arate ca si ca b) Sa se arate ca exista incat 69. Se considera, pentru orice .a) Sa se calculeze I0 si I1b) Sa se arate ca, .70. Se considera functia,a) Sa se arate ca, b) Sa se calculeze 71. Se considera, unde .a) Sa se verifice ca b) Sa se arate ca, ,.72. Se considera functiile, si.a) Sa se calculeze b) Sa se arate ca 73. Se considera functiile,,. Sa se verifice ca .74. Se considera functia, a) Sa se studieze continuitatea lui in b) Sa se calculeze 2775. Se considera functia, , unde .a) Sa se determine parametrul a incat sa fie continua.b) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul functiei in punctul A(9,3) .76. Se considera functiile , si a) Sa se arate ca b) Sa se clculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului functiei ,, .77. Se considera functia , . Sa se arate ca .78. Se considera functia,. Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei, ,axa Ox si dreptele x=1 si x=2.79. Se considera functiile, si.a) Sa se verifice ca b) Sa se arate ca, 80. Se considera functiile , si numerele, pentru a) Sa se calculeze si sa se arate ca b) Sa se arate ca ,,.81. Sa se determine incat .82. Se considera functiile , , pentru . Sa se calculeze aria suprafetei plane determinate de graficul functiei, axa Ox si dreptele x=1 si x=2.83. Se considera functia,. Sa se arate ca daca atunci .84. Se considera functia,28a) Sa se studieze monotonia lui b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui in A(1,e).85. Se considera functia,. Sa searate ca pentru aria suprafetei plane determinate de graficul lui,axa Ox si dreptele x=m si x=m+1 este cel putin .86. Se considera functia, .a) Sa se arate ca b) Sa se determine numarul real pozitiv a incat aria suprafetei plane determinate de graficul lui,axa Ox si dreptele x=0 si x=a sa fie egala cu 87. Se considera functia,. Sa se determine numarul real p incat volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului functiei , , pentru, sa fie minim.88. Se considera functia, .Sa se arate ca .89. Se considera functia,si numerele reale positive a, b si c. Sa se arate ca daca numerele,,sunt termini consecutive ai unei progresii aritmetice , atunci numerele a,b,c sunt termini consecutive ai unei progresii geometrice.90. Sa se arate ca,.91. Se considera functia,. Sa se determine incat aria suprafetei plane determinate de graficul lui, axa Ox si dreptele x=1 si x=e sa fie egala cu .92. Se considera functia,. Sa se calculeze .93. Se considera functia,.Sa se determine coordonatele punctului de pe graficul lui, in care tangenta la grafic are panta .94. Se considera functiile ,,.29a) Sa se determine ecuatia asimptotei catre la graficul lui b) Sa se arate ca, .95. Se considera functia, . Sa se arate ca.96. Se considera functia, .a) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului lui b) Sa se calculeze .97. Se considera functia, a) Sa se determine a astfel incat sa fie continua in b) Sa se determine a incat panta tangentei la grafic in punctul sa fie egala cu 1.98. Sa se arate ca .99. Se considera functia,. Sa se arate ca , , .100. Se considera functia,.a) Sa se determine primitive a luiincat b) Sa se calculeze .101. Pentru fiecare se considera functia , .a) Sa se determine primitive G a functiei, pentru care ;b) Sa se calculeze , unde,.102. Se considera functia,.a) Sa se arate ca b) Sa se arate ca nu are asimptota spre .103. Se considera functiile , si.Sa se calculeze .104. Se considera functia , . Sa se arate ca.30105. Se considera functiile, si.a) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul lui g,axa Ox si dreptele x=e si x=1.b) Sa se calculeze .106. Se considera functia , +.a) Sa se determine asimptota catre la graficul lui ;b) Sa se arate ca este convexa pe .107. Se considera functiile ,, pentru fiecare.a) Sa se calculeze ;b) Sa se arate ca 108. Se considera functia,.a) Sa se determine ecuatia asimptotei catre la graficul lui ;b) Sa se arate ca, .109. Se considera functiile , a) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei, axa Ox si dreptele x=e si x=1.b) Sa se arate ca,.110. Se considera functia,.a) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui in A(1,-1) b) Sa se arate ca, pentru .111. Se considera functia ,,.a) Sa se determine incat functia, sa fie o primitive a lui .b) Sa se demonstreze ca,pentru .112. Sa se arate ca pentru.113. Se considera functiile ,, pentru fiecare.a) Sa se calculeze b) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului lui functiei , .31114. Se considera functia , -.a) Sa se calculeze .b) Sa se arate ca este crescatoare pe .115.Sa se calculeze .116.Sa se arate ca, pentru.117. Folosind, eventual, ca pentru sa se arate ca .118. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei, in punctul .119. Sa se arate ca, pentru.120. Folosind, eventual, ca , sa se arate ca .121. Se considera functia , . Sa se arate ca .122. Se considera functia,.a) Sa se arate ca orice primitive a lui este convexa pe b) Sa se calculeze .123. Sa se arate ca , pentru .124. Se considera functiile, si. Sa se arate ca .125. Sa se arate ca, pentru.126. Se considera functiile ,, pentru. Sa se arate capentru.32127. Se considera functiile ,, pentru. Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei .128. Se considera functia, .a) Sa se determine asimptota vertical la graficul lui.b) Sa se arate capentru.129. Se considera functia ,.a) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul lui in O(0,0).b) Sa se determine ecuatia asimptotei catre la graficul lui.130. Se considera functiile ,. Sa se arate caaria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei, axa Ox si dreptele x=e si x=1 este mai mica sau egala cu 2.131. Sa se calculeze .132. Se considera functia ,. Sa se arate ca .133. Sa se arate ca.134. Se considera functiile ,, unde.a) Sa se calculeze ;b) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei , .135. Sa se arate ca, pentru.136. Se considera functia,. Folosind ca, pentru sa se arate ca volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului lui , este un numar in intervalul .137. Se considera functiile ,, unde.a) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul lui, axa Ox si dreptele x=e si x=1 .b) Sa se arate ca .33SUBIECTEINFORMATICA1.Se considera algoritmul alaturat, descris in pseudocod, unde s-a notat cu [a] partea intreaga a numarului real a si cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y.citeste n (numar natural) r 0 repeta r (r*10 + n%10)*10 n [n/100] pana cand nb atunci cb; ba ; ac cat timp a=a executa bb-a kk+1 scrie b,k Daca se citeste valoarea 9 atunci valorile afisate in urma executarii algoritmului sunt:a) 1 si 6 b)5 si 5 c) 1 si 5 d) 5 si 618. Un program genereaza in ordine crescatoare toate numere naturale de 5 cifre distincte, acre se pot forma cu cifrele 5,6,7,8 si 9. Atunci numarul generat imediat inaintea si numarul generat imediat dupa secventa urmatoare: 67589,67598,67859 sunt:a) 65978 si 67895 b)65987 si 67895c)65987 si 67958 d)65978 si 6795819. Un program genereaza in ordine crescatoare, numere naturale de exact 5 cifre din multimea {1,2,3,4,5}. Fiecare din numerele generate are cifrele distincte doua cate doua.Primele 3 numere astfel generate sunt: 12345,12354,12435.Care este numarul generat imediat dupa 12543?a) 12534b) 13254c) 13542 d)132453720.Daca numarul natural memorat de variabila x, de tip intreg, are exact doua cifre nenule, care din urmatoarele expresii este adevarata?(s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)a) x/100=0 b) ( x/100=0) si ( x%10=0) c) x/10=0 d) (x/100=0) si ( x/10=0)21. Daca numarul natural nenul memorat in variabila x, de tip intreg, este divizibil cu 100 atunci care din urmatoarele expresii este adevarata? (s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)a)x%10+(x/10)%10=0b)x/100=0c)x%10+x/10=0d)x%10+(x/10)/10=022.Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod : citeste n,m (numere naturale) cat timp nmexecuta nn+1 mm-1 cat timp mb atunci ta; ab ; bt cat timp a=100 pp*10 nn-100a) 4 b) 6c)2d) 829. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod; citeste x,y (numere naturale) daca x=y executa scrie A xx-y scrie BDaca se citesc valorile 2,9 in aceasta ordine, atunci succesiunea de caractere pe care le va afisa algoritmul este:a) ABABABb)ABc)BABd) BABA30. Fie urmatoarea secventa de program descrisa in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y. y0;39 executaxx/10yy+1 cat timp (x%100=0)Care este cea mai mica valoare pe care sa o aiba initial variabila x daca la sfarsitul executarii secventei de program de mai sus, variabila intreaga y are valoarea 2?a) 300 b) 5000c)1000 d)0 31. Care din urmatoarele instructiuni, descrise in pseudocod, determina eliminarea cifrei din mijloc a unui numar natural, cu exact 5 cifre, memorat in variabila intreaga x?(s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)a) x(x/1000)*100+x%100b) x(x%1000)*100+x/100c) x(x/1000)*100+x%100d) xx/1000+x%10032. Se considera algoritmul alaturat descris in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y si cu ab interschimbarea valorilor retinute de variabilele a si b. citeste x,y (numere naturale) daca x>y atunciyx daca x%2=0 atuncixx+1 cat timp xx%y+1c)x-2*y=0d)x2*y34. Se considera algoritmul alaturat descrise in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y. citeste a,n (numere naturale) pentru i1,n executadaca i%2=0 atunciaa-i*ialtfelaa+i*i scrie aDaca se citesc valorile 25 si 6 in aceasta ordine atunci valoarea care se va afisa este:a)4b)5c) 6 d) 735.Care din urmatoarele instructiuni, descris in pseudocod, determina inserarea cifrei 7 in fata ultimei cifre a unui numar natural cu cel putin 2 cifre, numar memorat in variabila intreaga x?(s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y).a) x((x/10)*10+7)*10+x%10b) xx/10+7+x%10c) x((x%10)*10+7)*10+x/1040d) x(x/10+7)*10+x%1036. Se considera algoritmul alaturat, descris in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y. citeste n (numar natural nenul) pentru i1,n-1 executadaca i%2=0 atunciscrie #pentru ji+1,n executascrie *Daca se citeste valoarea 4 atunci caracterele ce se vor afisa in urma executarii algoritmului sunt:a) * # *b)* * * # * * * c) * * # d)# * *37.Pentru care din perechiile de valori de mai jos, expresia ((a%100=b%100) si (a>99) sau (b>99) este adevarata?( s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)a)a=1003 si b=3 b)a=35 si b=35 c) a=1100 si b=10d)a=1234 si b=1238.Variabilele x si y de tip intreg memoreaza valorile 8 si respectiv 6.Care din expresiile de mai jos este falsa? ( s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)a)3*x-4*y=0 b) (x+y)/2>x%y+1c)x/2+2yd) x-y+3039.Care din urmatoarele expresii, descrise in pseudocod, este adevarata daca variabilele intregi x si y memoreaza doua numere naturale pare consecutive? ( s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y)a) (x-y = 2) si (y-x = 2)b) (x=2) si (y=4)c) x-y = 2d) ((x-y=2) sau (y-x=2)) si (x%2=0)40.Se considera algoritmul alaturat, descris in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y si cu [a] partea intreaga a numarului real a. citeste n (numar natural) s10 cat timp n>0 executa daca n%102) si (x0 executa daca n%10>s atunci sn%10 altfel s 11 n[n/10] scrie sDaca se citeste valoarea 9321 atunci valoarea pe care o afiseaza algoritmul este:a)7b) 8 c)9d) 1044. Fie x o variabila reala care memoreaza un numar real din intervalul (-2, 2). Care din urmatoarele expresii descrise in pseudocod este falsa?a)x*x-40c) (2>x) si (x>-2) d) (x-2)*(x+2)>045.Se considera algoritmul alaturat, descris in pseudocod, unde s-a notat cu x%y restul impartirii numarului intreg x la numarul intreg nenul y. citeste z,x (numere naturale nenule) cat timp x>0 executa citeste y (numar natural) daca z0 executa cn%10; n [n/10] daca c%3=0 atunci zz+p*(9-c) pp*10scrie zDaca se citeste numarul 103456 atunci algoritmul va afisa valoarea:a) 962 b) 963 c)964 d) 96543