ELEMENTE DE ALGEBRA  LINIARA

Transpusa unei matrice   cu   linii si   coloane este o matrice

notata   cu   linii si   coloane, unde  ,  .

Determinantul matrice de ordinul 2  ,este

Determinantul matrice de ordinul 3  ,este   , unde:

.

Regula minorilor(dezvoltarea determinantului dupa o linie sau coloana)

Alegem o linie sau o coloana si inmultim fiecare element   al acestei linii sau coloane cu

determinantul de ordin inferior obtinut prin eliminarea liniei   si a coloanei   si cu  ; adunam produsele astfel obtinute si obtinem valoarea determinantului.

Proprietati ale determinantilor:

1)     Determinantul unei matrice patratice este egal cu determinantul matricei transpuse

2)     O matrice care are o linie (sau o coloana) cu toate elementele  , are determinantul 

3)     Daca inmultim toate elementele unei linii (sau unei coloane) dintr-o matrice cu un numar, valoarea determinantului matricei se inmulteste cu acel numar.

4)     Daca intr-o matrice adunam toate elementele unei linii (sau unei coloane) cu elementele corespunzatoare unei alte linii (sau unei alte coloane), inmultit cu un numar, valoarea determinantului nu se schimba.

5)     Daca o matrice are doua linii (respectiv doua coloane) proportionale, atunci determinantul este nul.

6)     Daca schimbam intre ele doua linii (sau doua coloane) dintr-o matrice patratica atunci valoarea determinantului se inmulteste cu  .

7)     Daca matricele   si   difera printr-o singura linie  , atunci determinantul matricei care are pe linia   suma celor doua linii   din matricele   si   este egal cu suma  .(acelasi enunt respectiv pentru coloane)

8)     Determinantul produsului a doua matrice patratice de acelasi ordin este egal cu produsul determinantilor celor doua matrice.

9)     Daca o linie (respectiv coloana) a determinantului unei matrice este o combinatie liniara a celorlalte linii (respectiv coloane) ale aceluiasi determinant, atunci determinantul este nul.

Valoarea   a determinantului matricei asociate unui sistem determina compatibilitatea sistemului (existenta solutiilor): daca  ,sistemul este compatibil determinat (sistemul are o solutie unica); daca  , atunci sistemul poate fi  incompatibil (nu are solutii) sau compatibil nedeterminat(are o infinitate de solutii).

Metoda lui Cramer

Fie § u sistem liniar cu necunoscutele   si   determinantul sau. Presupunem ca 

.Notam cu   determinantul obtinut prin inlocuirea coloanei corespunzatoare necunoscutei    cu coloana termenilor liberi.

Solutia sistemului liniar  , este  si  .

Solutia sistemului liniar , este

 ,. si  .

Solutia sistemului liniar , este

 ,. ,  si   .

Un sistem liniar omogen are toti determinantii   nuli, deci admite intotdeauna cel putin

solutia nula  . Acest sistem admite si solutii nenule daca  .

Fie   o matrice patratica de ordin   cu coeficienti in  .

Matricea   este inversabila daca si numai daca  .

Matricea inversa a matricei   este  , unde   se obtine inlocuind fiecare element al matricei transpuse   cu complementul sau

algebric  , unde   este minorul elementului   din  . (determinantul obtinut din   prin eliminarea liniei   si coloanei  ).

Ecuatii matriceale

Sistemul liniar poate fi exprimat matriceal astfel: , unde   este matricea coeficientilor necunoscutelor,   este matricea necunoscutelor

(matrice coloana) si   este matricea termenilor liberi (matrice coloana).Daca matricea   este inversabila avem:  .

Daca matricea   nu este nula, exista un numar natural  , astfel incat cel putin un minor de ordinul   (format la intersectia a   linii  si   coloane din matrice) este nenul, iar toti determinantii de ordin mai mare decat  (daca exista) sunt nuli.

Acest numar   se numeste rangul matricei.

Rangul unei matrice ramane neschimbat daca :

- Multiplul unei linii (coloane) se aduna la o alta linie (coloana);

- Liniile (coloanele) se schimba intre ele.

TEOREMA KRONECHER-CAPELLI

Un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, formata din matricea sistemului la care se adauga coloana termenilor liberi.

TEOREMA LUI ROUCHE

Un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca toti determinantii caracteristici sunt nuli. Determinantii caracteristici se3 obtin adaugand o linie si o coloana din matricea extinsa unui minor cu determinantul nenul.