ALGeBRA
-
Upload
veronica-dobo -
Category
Documents
-
view
139 -
download
1
description
Transcript of ALGeBRA
Prefaţă ........................................................................................................................... 3 Capitolul I. Recapitulare şi completări ..................................................................... 4 1. Mulţimea numerelor reale ................................................................................... 9
2. Operaţii cu numere reale ................................................................................... 12 Capitolul II. Puteri cu exponent raţional ............................................................... 18
1. Radicali de ordinul n ......................................................................................... 20 2. Puteri cu exponent raţional ............................................................................... 25
Capitolul III. Funcţii ................................................................................................ 31 1. Noţiunea de funcţie ........................................................................................... 36 2. Funcţii numerice ................................................................................................ 42 3. Funcţia de gradul II ........................................................................................... 47 4. Funcţia putere ................................................................................................... 55
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice ........................................................... 58 1. Recapitulare şi completări ................................................................................. 62 2. Împărţirea polinoamelor ................................................................................... 68 3. Divizibilitatea polinoamelor ............................................................................. 71 4. Fracţii algebrice ................................................................................................ 76
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ............................................... 83 1. Ecuaţii de forma ax + b = 0, a ∈ R, b ∈ R ...................................................... 88 2. Ecuaţii de gradul II cu o necunoscută ............................................................... 93 3. Ecuaţii raţionale ................................................................................................ 98 4. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ......................................................................... 102
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii ..................................... 111 1. Inecuaţii de gradul I. Recapitulare şi completări ............................................ 114 2. Inecuaţii de gradul II cu o necunoscută. Metoda intervalelor.......................... 123
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri .......................................................................... 129 Capitolul I ............................................................................................................ 129 Capitolul II .......................................................................................................... 131 Capitolul III ........................................................................................................ 132 Capitolul IV ........................................................................................................ 138 Capitolul V .......................................................................................................... 141 Capitolul VI ........................................................................................................ 149
To my grandchildren, Maria, Anna, Thomas and Sarah Copeland
Cartea de faţă continuă seria de culegeri de exerciţii şi probleme concepute şi publicate de acelaşi autor pentru clasele V, VI, VII, VIII. Conţinutul ei corespunde părţii destinate algebrei de noul manual pentru clasa a 9-a, „Matematică. Manual pentru clasa a IX-a“, Editura Prut Internaţional, 2003: I. Recapitulare şi com-pletări, II. Puteri cu exponent raţional, III. Funcţii, IV. Polinoame şi fracţii algebrice, V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii, VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii.
Cele peste 860 de exerciţii şi probleme sunt distribuite pe trei niveluri şi fiecare paragraf se termină cu evaluări (30 de teste).
Fiecare capitol conţine un rezumat teoretic în care se regăsesc atât elementele teoretice prezentate în manual, cât şi alte rezultate matematice suplimentare sau facultative, marcate ca atare. Exerci-ţiile ce se referă la elementele teoretice suplimentare sau facultati-ve sunt marcate cu semnul „*“.
Cartea se termină cu Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri. În această parte sunt prezentate rezolvările exerciţiilor de nivelul I şi se oferă indicaţii sau sugestii de rezolvare pentru exerciţiile şi pro-blemele de nivelurile II şi III.
Victor Raischi
3 octombrie 2004
3
Înainte de a fi un instrument de lucru, matematica repre-zintă un mod de gândire care ne poate ajuta în orice activi-tate.
Solomon Marcus
C A P I T O L U L I
Recapitulare şi completări
Mulţimea numerelor naturale este N = { 0, 1, 2, 3, ...}. Mulţimea numerelor naturale nenule este N* = {1, 2, 3, ...}. Mulţimea numerelor întregi este Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. Mulţimea numerelor întregi nenule este Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}.
Fracţie. Dacă a ∈ Z şi b ∈ N*, atunci a : b = .ba ,
ba a ∈ Z şi b ∈ N*, este fracţia
cu numărătorul a şi numitorul b. Mulţimea numerelor raţionale. Q = { x | x este un număr ce poate fi scris sub
formă de fracţie} = { x | x este câtul împărţirii unui număr întreg la un număr natural nenul}.
Scrierea unui număr raţional. Un număr raţional poate fi scris în două variante: fracţie (scriere fracţionară); număr zecimal (scriere poziţională în baza 10).
Recunoaşterea numerelor zecimale raţionale. Numerele zecimale cu un număr finit de zecimale (de exemplu, −12,154) sunt numere raţionale. Numerele zecimale periodice (de exemplu, −13,(291) sau −81,35(47)) sunt numere raţionale. Convertirea într-o fracţie a unui număr raţional zecimal se face conform exemplelor:
.9902295
99022315)31(2,5;
9994134)413(,4;
103755,37 =
−+===
Numere zecimale iraţionale. Exemple: −15,0369… (după virgulă sunt scrise, la rând, toate numerele naturale, multipli ai lui 3); rădăcina pătrată a unui număr raţional ce nu este pătrat perfect );1,0,5,3,2( numărul π = 3,141592653589793238… (raportul dintre lungimea unui cerc şi diametrul lui); numărul e = 2,7182818... = 1 +
...,!3
1!2
1++ unde n! = 1⋅2⋅3⋅...⋅n. Un număr zecimal care nu are un număr finit de
zecimale şi care nu este număr zecimal periodic, este un număr iraţional. Pentru reprezentarea pe axă geometrică a numerelor iraţionale ce sunt rădăcini
pătrate ale unor numere naturale ce nu sunt pătrate perfecte se aplică teorema lui Pitagora. De exemplu: 2 este lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ale că-rui catete au lungimile 1; 3 este lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au lungimile 2 şi 1; 5 este lungimea ipotenuzei unui triunghi drept-unghic ale cărui catete au lungimile 2 şi 1 etc.
Mulţimea numerelor reale este reuniunea mulţimii numerelor raţionale cu mulţimea numerelor iraţionale.
Intervale de numere reale. Fie numerele reale diferite a şi b, a < b. 1) Mulţimea {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} = [a, b] este un interval închis. 2) Mulţimea {x ∈ R | a < x < b} =
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 4
(a, b) este un interval deschis. 3) Mul-ţimea {x ∈ R | a < x ≤ b} = (a, b] este un interval deschis la stânga şi închis la dreapta. 4) Mulţimea {x ∈ R | a ≤ x < b} = [a, b) este un interval închis la stânga şi deschis la dreapta. 5) Mulţimea {x ∈ R | x ≤ a} = (−∞, a] este un interval ne-mărginit închis la dreapta. 6) Mulţimea {x ∈ R | x < a} = (−∞, a) este un interval nemărginit deschis la dreapta. 7) Mul-ţimea {x ∈ R | x ≥ a} = [a, ∞) este un interval nemărginit închis la stânga. 8) Mulţimea {x ∈ R | x > a} = (a, ∞) este un interval nemărginit deschis la stânga. (Simbolul „∞“ se citeşte „infinit“.)
Suplimentar. Fracţii continue. Fie
numărul 4,9. Atunci 4,9 = 4 + 109 = 4 +
9101 = 4 +
911
1
+ = [4; 1, 9]. [4; 1, 9] este
scrierea sub formă de fracţie continuă a numărului 4,9. Procedând la fel cu ,3 ob-ţinem:
=−+
+=+
+=−+=)13(2
2131
21)13(13
2131
12
11
11
)13(222
11
11
)13(211
11
2131
11
−+
++
+=
−++
++=
−++
+=−
+
+
)].2,1(;1[...],2,1,2,1;1[
)13(211
12
11
11
3111
12
11
11 ==
−++
++
+=
++
++
+ De-
oarece 1, 2 se repetă de un număr nelimitat de ori, apare între paranteze ca la scrierea perioadei numerelor zecimale periodice.
Numărul de aur 2
15 +=ϕ se scrie ca fracţie continuă [1; (1)].
Scrierea ca fracţie continuă a unui număr real este unică. Numerele reale care sunt rădăcini ale unor polinoame cu coeficienţi întregi se nu-
mesc numere algebrice. Celelalte numere reale se numesc transcendente. În 1767 Lambert a demonstrat că numărul π este un număr iraţional, iar în 1882
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 5
Lindemann a demonstrat că π este un număr transcendent. Numărul transcendent e = 2,7182818... se scrie ca fracţie continuă [2; 1, 2, 1, 1, 4,
1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]. În general, scrierea ca fracţie continuă a unui număr algebric aminteşte de scrierea
zecimală a numerelor raţionale, iar scrierea ca fracţie continuă a unui număr transcen-dent aminteşte de scrierea zecimală a unui număr iraţional. Prin urmare, scrierea ca fracţie continuă a unui număr real permite identificarea numerelor transcendente.
Submulţimi importante ale mulţimii numerelor reale (R). Mulţimea numerelor reale strict pozitive se notează ; mulţimea numerelor reale strict negative se notea-*+Rză ; mulţimea numerelor reale negative (nepozitive) se notează , iar mulţimea *−R −Rnumerelor reale pozitive (nenegative) se notează . Numerele reale pozitive se +Rscriu, în general, fără semn.
Modulul sau valoarea absolută a unui număr real. Modulul sau valoarea abso-lută a unui număr real este distanţa de la punctul de pe axa numerelor, care îi cores-punde numărului, până la origine. Notaţii: | x | este modulul lui x; max {a, b} este cel mai mare dintre numerele a şi b.
Dacă x ∈ R, atunci | x | = ⎩⎨⎧
≥<−
=⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<−
=−.dac,
dac,
dac,
dac,
dac,
},{max0ă0ă
0ă0ă00ă
xxxx
xxxxx
xx
Numere opuse. Numerele care au acelaşi modul se numesc numere opuse. Proprietăţi ale modulului: 1) pentru orice x ∈ R, | x | ∈ (modulul oricărui nu-+R
măr real este un număr real pozitiv); 2) pentru orice x ∈ R*, | x | ∈ (modulul ori-+*Rcărui număr real nenul este un număr real strict pozitiv); 3) | x | = 0 numai pentru x = 0 (singurul număr real cu modulul 0 este 0); 4) pentru orice x ∈ R*, | x | = | −x | (numerele reale opuse au acelaşi modul); 5) pentru x ∈ R, a ∈ R, | x | ≤ a, a > 0 ⇔ x ∈ [− a, a]; 6) pentru x ∈ R, a ∈ , |+*R x | ≥ a ⇔ x ∈ (–', − a] ∪ [a, '); 7) pentru x ∈ R, a ∈ R, | x | = a, a > 0 ⇔ x = a sau x = − a; 8) | a | ≥ a, a ∈ R; 9) | ab | = | a |⋅| b |, a ∈
R, b ∈ R; 10) ,||||
ba
ba
= a ∈ R, b ∈ R*; 11) | a + b | ≤ | a | + | b |, a ∈ R, b ∈ R; 12)
|| a | – | b || ≤ | a + b | ≤ | a | + | b |, a ∈ R, b ∈ R. Adunarea numerelor reale. Adunarea numerelor reale se efectuează, în prin-
cipiu, ca şi adunarea numerelor raţionale. Adunarea numerelor reale are proprietăţile adunării numerelor raţionale.
Scăderea. Diferenţa a două numere reale este suma dintre descăzut şi opusul scă-zătorului.
Desfacerea parantezelor. 1) Dacă în faţa unei paranteze se află semnul „+“, atunci, după desfacerea parantezelor, numerele din paranteze se scriu cu semnele lor: a + (−b + c − d) = a − b + c − d.
2) Dacă în faţa unei paranteze se află semnul „−“, atunci, după desfacerea parante-zelor, expresia se înlocuieşte cu opusa ei: a − (−b + c − d) = a + b − c + d.
Suplimentar. Partea întreagă. Partea neîntreagă. Partea întreagă a numărului
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 6
raţional a este [a] = n, n ∈ Z, dacă n ≤ a < n + 1. Se numeşte parte neîntreagă a numărului real a numărul {a} = a − [a]. Constatăm fără dificultate că 0 ≤ {a} < 1.
Signum. Pentru orice număr real a se defineşte =asgn⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<−
.0dacă,10dacă,00dacă,1
aaa
Proprietăţile înmulţirii numerelor raţionale: 1) asociativitatea: (ab)c = a(bc); 2) 1 este element neutru: 1⋅a = a; 3) comutativitatea: ab = ba; 4) −1⋅a = − a; 5) 0⋅ a = 0; 6) distributivitatea înmulţirii faţă de adunare: a(b + c) = ab + ac; 7) distributivitatea înmulţirii faţă de scădere: a(b − c) = ab − ac;
8) dacă a ∈ R*, atunci există numărul a1
∈ R*, numit inversul numărului a,
astfel încât .11=⋅
aa
Factor comun: ab + ac = a(b + c). Un produs de numere raţionale este un număr strict negativ dacă şi numai dacă are
un număr impar de factori strict negativi. Proprietăţi ale puterilor numerelor reale cu exponent natural: 1) pentru orice n şi p numere naturale, a ∈ R*; ,pnpn aaa +=⋅
2) n şi p sunt numere naturale, n ≥ p, a ∈ R*; ,: pnpn aaa −=
3) pentru orice a ≠ 0; 4) pentru a şi b numere raţionale ,10 =a ,)( nnn abba =⋅
nenule şi n ∈ N; 5) pentru a, b numere raţionale nenule şi n ∈ N; ,):(: nnn baba =
6) pentru a ∈ R, iar n, p numere naturale nenule; ,)( nppn aa =
7) nu are sens. ⎩⎨⎧−
=−.par estedacă,1
impar estedacă,1)1(
nnn 00
Medii. Media aritmetică a numerelor reale a şi b este .arit 2bam +
= Media geome-
trică a numerelor reale strict pozitive a şi b este .ab Media armonică a numerelor
reale a şi b este .arm baabm+
=2 Inegalitatea mediilor: marm ≤ mg ≤ marit.
Formule de calcul prescurtat. 1) Formula pătratului sumei cu doi termeni: 2)( ba + = 1′) .2 22 baba ++ 2)( ba + = a + ab2 + b. 2) Formula diferenţei pă-
tratului: = . 2′) 2)( ba − 2 22 baba +− 2)( ba − = a − ab2 + b. 3) Formula pro-dusului sumei cu diferenţa: (a + b)(a − b) = 3′) .22 ba − ))(( baba −+ = a − b. 4) Pătratul sumei de trei termeni: = + 2ab + 2bc + 2ac. 2)( cba ++ 222 cba ++
5) Cubul sumei cu doi termeni: = 6) Cubul diferenţei: 3)( ba + .33 3223 babbaa +++3)( ba − = 7) = 8) (a − b) + .33 3223 babbaa −+− ))(( 22 bababa +−+ .33 ba + 2(a
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 7
ab + = 9) (Facultativ) Cubul sumei de trei termeni = )2b .33 ba + 3)( cba ++333 cba ++ + 3(a + b)(b + c)(a + c) = + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 333 cba ++
3abc. 10) (Facultativ) = − )...)(( 133221 nnnnnn babbababaaba ++++++− −−−− 1+na.1+nb 11) (Facultativ) = )...)(( 212332222122 nnnnnn babbababaaba +−+++−+ −−−−
12 +na + .12 +nbRelaţia de ordine pe R. Relaţia „≤“ (mai mic sau egal) are proprietăţile: 1) reflexivitatea (a ≤ a pentru orice a ∈ R); 2) antisimetria (a ≤ b şi b ≤ a implică a = b); 3) tranzitivitatea (a ≤ b şi b ≤ c implică b ≤ c, dacă a, b, c sunt numere reale). Relaţia „≤“ şi operaţiile aritmetice (adunarea şi înmulţirea): 1) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c pentru a, b, m ∈ R; 2) a ≤ b şi c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d pentru a, b, c, d ∈ R; 3) a ≤ b şi m > 0 ⇒ am ≤ bm pentru a, b, m ∈ R; 4) a ≤ b şi m < 0 ⇒ am ≥ bm pentru a, b, m ∈ R;
5) a ≤ b şi c ≤ d ⇒ ac ≤ bd şi cb
da
≤ pentru a, b, c, d ∈ . +*R
Rotunjirea numerelor reale. Exemple. 1) Rotunjind la zeci numerele din interva-lul [35, 45) se obţine 40. 2) Rotunjind la zeci numerele din intervalul (–45, –35] se obţine –40. 2) Rotunjind la întregi numerele din intervalul [3,5; 4,5) se obţine 4. 3) Rotunjind la întregi numerele din intervalul (–4,5; –3,5] se obţine –4. 4) Rotunjind la zecimi numerele din intervalul [2,45; 2,55) se obţine 2,5. 5) Rotunjind la zecimi numerele din intervalul (–2,55; –2,45] se obţine –2,5. 6) Rotunjind la sutimi numerele din intervalul [2,355; 2,365) se obţine 2,36. 7) Rotunjind la sutimi numerele din inter-valul (–2,355; –2,365] se obţine –2,36.
Aproximări. Exemple. 1) 2,5 este aproximarea prin lipsă cu 0,1 (0,1-aproximarea prin lipsă) a tuturor numerelor reale din intervalul (2,5; 2,6). 2) 2,6 este aproximarea prin adaos cu 0,1 (0,1-aproximarea prin lipsă) a tuturor numerelor reale din intervalul (2,5; 2,6).
Trunchieri. Trunchierea de ordinul i a unui număr întreg înlocuieşte cu 0 toate cifrele numărului, de ordin mai mic decât i, iar trunchierea de ordinul i a unui număr neîntreg renunţă la toate zecimalele numărului (au ordinele –1, –2, –3, ...), de ordin mai mic decât i. Trunchierea de ordinul –1 a unei rădăcini pătrate este valoarea ei cu o zecimală exactă, trunchierea de ordinul i a unui număr de ordinul –2 a unei rădăcini pătrate este valoarea ei cu două zecimale exacte etc.
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 8
1. M u l ţ i m e a n u m e r e l o r r e a l e
1. Decideţi dacă este raţional sau iraţional numărul: a) –5,0369...; b) –34,563; c) –3,222...; d) –24,151617...; e) 32,103103103...; f) 78,111367.
2. Convertiţi în fracţie numărul: a) −23,5(41); b) –501,(34); c) −28,(362); d) 9,352; e) –26,34(5); f) 75,6(348).
3. Aplicând teorema lui Pitagora, reprezentaţi pe axa numerelor: a) ;2− b) ;3− c) ;5 d) ;6 e) ;7 f) .10
4. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) (–2,2; 5); b) (–2,6; 3,4); c) (–5,2; –1,5); d) (–5,3; 1,4); e) (–7,4; –3,2); f) (–1,7; 2,8).
5. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –5 < x < 17; b) –13 < x < 45; c) –26 < x < 31.
6. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –11 < x ≤ 24; b) –25 < x ≤ 54; c) –19 < x ≤ 67; d) –33 ≤ x < 2,3; e) –21,1 ≤ x < 6,1; f) –2,4 ≤ x < 8,2.
7. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –2,5 ≤ x ≤ 7,1; b) –9,6 ≤ x ≤ 11,3; c) –22,3 ≤ x ≤ 5,1.
8. Scrieţi ca interval mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) x ≤ 15,2; b) x ≤ 24,6; c) x ≤ 44,3; d) x ≤ –31,4; e) x ≥ 3,12; f) x ≥ –5,21; g) x ≥ 26,2; h) x ≥ –2,19.
9. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –2,9 < x < 2,9; b) –7,6 < x < 7,6; c) –11,3 < x < 11,3.
10. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) –13,2 ≤ x ≤ 13,2; b) –37,4 ≤ x ≤ 37,4; c) –55,3 ≤ x ≤ 55,3.
11. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) x < –3,27 sau x > 3,27; b) x < –8,13 sau x > 8,13; c) x < –11,8 sau x > 11,8; d) x < –15,2 sau x > 15,2; e) x < –73,1 sau x > 73,1; f) x < –85,6 sau x > 85,6.
12. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia: a) x ≤ –3,27 sau x ≥ 3,27; b) x ≤ –29,1 sau x ≥ 29,1; c) x ≤ –14,8 sau x ≥ 14,8; d) x ≤ –39,3 sau x ≥ 39,3; e) x ≤ –75,3 sau x ≥ 75,3; f) x ≤ –84,9 sau x ≥ 84,9.
13. Încadraţi între două numere întregi consecutive numărul: a) ;73− b) ;11− c) ;15− d) ;26 e) ;37 f) .52
14. Rotunjiţi la întregi numărul: a) ;55 b) ;12 c) ;13 d) ;14 e) ;15 f) .17
15. Rotunjiţi la zecimi numărul: a) ;33 b) ;31 c) ;34 d) ;30 e) ;29 f) .28
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 9
16. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) ;48 b) ;47 c) ;46 d) ;47 e) ;46 f) .45
17. Rotunjiţi la întregi numărul: a) ;51− b) ;52− c) ;53− d) ;54− e) ;55− f) .56−
18. Rotunjiţi la zecimi numărul: a) ;68− b) ;67− c) ;61− d) ;62− e) ;63− f) .65−
19. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) ;78− b) ;70− c) ;71− d) ;72− e) ;73− f) .74
20. Aflaţi 0,1-aproximarea prin adaos a numărului: a) ;18 b) ;10 c) ;8 d) ;7 e) ;6 f) .5
21. Aflaţi 0,1-aproximarea prin lipsă a numărului: a) ;19 b) ;12 c) ;13 d) ;14 e) ;15 f) .17
22. Aflaţi 0,1-aproximarea prin adaos a numărului: a) ;19− b) ;18− c) ;17− d) ;14− e) ;13− f) .12−
23. Aflaţi 0,1-aproximarea prin lipsă a numărului: a) ;27− b) ;26− c) ;24− d) ;23− e) ;22− f) .21−
24. Aflaţi numerele întregi x pentru care este întreg numărul:
a) ;2
5+x
b) ;10
7+x
c) ;3
11+x
d) ;11
13+x
e) ;17
23+x
f) .23
29+x
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 25. Fără să calculaţi, decideţi în ce număr zecimal se converteşte fracţia:
a) ;127 b) ;
2513 c) ;
3223 d) ;
2017 e) ;
1511 f) .
2419
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
26. Decideţi dacă pentru orice numere întregi x şi y fracţia 2004
174135 yxyx − este re-
ductibilă. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
27. Aflaţi în ce număr zecimal se converteşte suma inverselor a trei numere întregi consecutive.
28. Decideţi dacă valoarea raportului este o fracţie reductibilă:
a) ;)(11
15cbaabc +++
b) .)(2
24dcbaabcd ++++
29. Fie numărul zecimal 0,2468... Aflaţi zecimala de rang 500. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Fie numerele naturale 1, 2, 3, 4, 5, ..., 2005. Micşoraţi 4 termeni ai şirului cu 1.
Procedând în acest mod de un număr suficient de ori, se poate obţine un şir cu toţi
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 10
termenii egali cu 0? Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Fie numărul zecimal 0,1112111123112211213... Decideţi dacă numărul este sau
nu periodic. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32*. Scrieţi sub formă de fracţie continuă numărul .11 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33*. Precizaţi ce tip de număr (raţional, iraţional algebric, transcendent) este numă-
rul ce se scrie sub formă de fracţie continuă: a) [5; 3, 7, 1]; b) [5; 2, (4, 7)]; c) [5; 2, 4, 6, 8, 10, ...].
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Convertiţi în fracţie –5,42. 2. Convertiţi în fracţie:
a) –7,(261); b) –10,4(457).
3. Scrieţi ca interval mulţimea nu-merelor reale x, ce satisfac condiţia:
a) –14 < x ≤ 31; b) x ≤ –16,5.
4. Scrieţi cu ajutorul modulului mulţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia:
a) –5,4 < x < 5,4; b) x ≤ –9,32 sau x ≥ 9,32.
5. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) 7,265; a) –2,213.
6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin lipsă a numărului:
a) –12,428; b) .5
7. Aflaţi numerele întregi m pentru
care fracţia .10
31−x
8. Fie numărul 4,111213... Aflaţi zecimala de rang 350.
9. Fie a = 3,023456..., b = 3,02456... Aflaţi un raţional din inter-valul (a, b).
1. Convertiţi în fracţie –3,26. 2. Convertiţi în fracţie:
a) –8,(162); b) –12,3(375).
3. Scrieţi ca interval mulţimea nume-relor reale x, ce satisfac condiţia:
a) –21 < x ≤ 29; b) x ≤ –15,6.
4. Scrieţi cu ajutorul modulului mul-ţimea numerelor reale x, ce satisfac condiţia:
a) –3,9 < x < 3,9; b) x ≤ –8,23 sau x ≥ 8,23.
5. Rotunjiţi la sutimi numărul: a) 8,356; a) –3,318.
6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin lipsă a numărului:
a) –15,374; b) .6
7. Aflaţi numerele întregi m pentru
care fracţia .15
17−x
8. Fie numărul 4,891011... Aflaţi zecimala de rang 350.
9. Fie a = 2,23456..., b = 3,2456... Aflaţi un raţional din intervalul (a, b).
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 11
2. O p e r a ţ i i c u n u m e r e r e a l e
1. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)52( 2−x b) ;)32( 2x− c) ;)13( 2−x
d) ;)12( 2−x e) ;)14( 2−x f) .)5( 2−x 2. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)53( 2− b) ;)32( 2− c) ;)63( 2−
d) ;)87( 2− e) ;)108( 2− f) .)1110( 2− 3. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) );75(3 − b) );103(5 − c) );37(10 − d) );35(2 − e) );65(7 − f) ).1311(2 −
4. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );1121)(1121( −+ b) );211)(211( −+ c) );311)(311( −+ d) );521)(521( −+ e) );1921)(1921( −+ f) ).1721)(1721( −+
5. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)231( 2+ b) ;)317( 2+ c) ;)215( 2+ d) ;)314( 2+ e) ;)213( 2+ f) .)711( 2+
6. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)341( 2− b) ;)139( 2− c) ;)238( 2− d) ;)237( 2− e) ;)535( 2− f) .)633( 2−
7. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;177175172 +− b) ;1591511157 +− c) ;14614191412 +− d) ;131713451331 +− d) ;11811491127 +− e) .716778751 +−
8. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01: a) ;1513 + b) ;1511 + c) ;1311 + d) ;1411 + e) ;1711 + f) .1413 +
9. Aproximaţi prin adaos cu 0,01: a) ;1129 − b) ;1126 − c) ;1326 − d) ;1522 − e) ;1423 − f) .1523 −
10. Scoateţi factori de sub radical: a) ;680 b) ;725 c) ;980 d) ;824 e) ;768 f) ;864 g) ;344 h) .608
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 12
11. Introduceţi factori de sub radical: a) ;1512 b) ;2311 c) ;2613 d) ;2114 e) ;1115 f) ;1016 g) ;1217 h) .1018
12. Aplicând o formulă de calcul, dezvoltaţi: a) b) c) ;)47( 3+a ;)45( 3+a ;)35( 3+ad) e) f) ;)25( 3+a ;)16( 3+a .)43( 3+a
13. Aplicând o formulă de calcul, dezvoltaţi: a) b) c) ;)67( 3−a ;)15( 3−a ;)25( 3−ad) e) f) ;)35( 3−a ;)45( 3−a .)54( 3−a
14. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) (9x + 8)(81x2 – 72x + 64); b) (3x + 5)(9x2 – 15x + 25); c) (4x + 5)(16x2 – 20x + 25); d) (5x + 2)(25x2 – 10x + 4); e) (7x + 2)(49x2 – 14x + 4); f) (3x + 7)(9x2 – 21x + 49).
15. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) (9x – 7)(81x2 + 63x + 49); b) (9x – 1)(81x2 + 9x + 1); c) (7x – 2)(49x2 + 14x + 4); d) (7x – 3)(49x2 + 21x + 9); e) (7x – 4)(49x2 + 28x + 16); f) (7x – 5)(49x2 + 35x + 25).
16. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 3x – 11 = 16; b) 2x – 9 = 15; c) 4x – 11 = 15; d) 2x – 11 = 17; e) 5x – 11 = 13; f) 5x – 9 = 11.
17. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 7x – 8 = 3x + 6; b) 6x – 7 = 5x + 3; c) 7x – 8 = 3x + 6; d) 5x – 4 = 7x + 9; e) 3x – 9 = 8x + 5; f) 4x – 11 = 7x + 12.
18. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | 4x + 11 | = 25; b) | 2x + 11 | = 8; c) | 5x + 8 | = 12; d) | 6x + 7 | = 15; e) | 8x + 13 | = 13; f) | 3x + 5 | = 9.
19. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 4x | ≤ 13; b) | 5x | ≤ 14; c) | 6x | ≤ 18; d) | 7x | ≤ 16.
20. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x – 9 | ≤ 2; b) | x – 8 | ≤ 4; c) | x – 7 | ≤ 3; d) | x – 6 | ≤ 5; e) | x – 5 | ≤ 7; f) | x – 1 | ≤ 8; g) | x – 2 | ≤ 11; h) | x – 3 | ≤ 14.
21. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 9x | ≥ 28; b) | 8x | ≥ 35; c) | 4x | ≥ 37; d) | 6x | ≤ 95.
22. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x – 9 | ≥ 12; b) | x – 7 | ≥ 13; c) | x – 5 | ≥ 21; d) | x – 6 | ≥ 5; e) | x – 3 | ≥ 15; f) | x – 2 | ≥ 23; g) | x – 8 | ≥ 11; h) | x – 4 | ≥ 16.
23. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 – 15 = 0; b) x2 – 14 = 0; c) x2 – 13 = 0; d) x2 – 12 = 0; e) x2 – 11 = 0; f) x2 – 10 = 0.
24. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 – 34x = 0; b) x2 – 21x = 0; c) x2 – 22x = 0; d) x2 – 23x = 0; e) x2 – 24x = 0; f) x2 – 25x = 0.
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 13
25. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 – 19x – 20 = 0; b) x2 – 20x – 21 = 0; c) x2 – 21x – 22 = 0; d) x2 – 22x – 23 = 0; e) x2 – 23x – 24 = 0; f) x2 – 24x – 25 = 0.
26. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 – 12x + 36 = 0; b) x2 – 20x + 101 = 0; c) x2 – 21x + 442 = 0; d) x2 – 22x + 122 = 0; e) x2 – 23x + 530 = 0; f) x2 – 24x + 577 = 0.
27. Fără să rezolvaţi ecuaţia, aflaţi suma şi produsul soluţiilor ei: a) x2 – 12x + 34 = 0; b) x2 – 20x + 99 = 0; c) x2 – 21x + 442 = 0; d) x2 – 22x + 122 = 0; e) x2 – 23x + 520 = 0; f) x2 – 24x + 540 = 0.
28. Scrieţi ecuaţia redusă cu soluţiile: a) x1 = 5, x2 = –1,5; b) x1 = 2, x2 = –2,4; c) x1 = 3, x2 = –1,6; d) x1 = 8, x2 = –2,5; e) x1 = 7, x2 = –3,2; f) x1 = 6, x2 = –3,5.
29. Scrieţi polinomul cu coeficientul dominant 1, ale cărui rădăcini sunt: a) x1 = –3,1, x2 = 2,4; b) x1 = –2,1, x2 = 4; c) x1 = –2,3, x2 = 2,6; d) x1 = –4,5, x2 = 3,5; e) x1 = –1,4, x2 = 5,6; f) x1 = –6,2, x2 = 3,1.
30. Descompuneţi în factori polinomul: a) X 2 + 11X + 30; b) X 2 + 13X + 42; c) X 2 + 16X + 63; d) X 2 + 12X + 35; e) X 2 + 14X + 45; f) X 2 + 15X + 45.
31. Descompuneţi în produs de factori raţionali: a) x2 – 23; b) x2 – 13; c) x2 – 14; d) x2 – 15.
32. Descompuneţi în produs de factori raţionali: a) x2 – 6x – 112; b) x2 – 6x – 16; c) x2 – 6x – 27; d) x2 – 6x – 40; e) x2 – 6x – 55; f) x2 – 6x – 72.
33. Simplificaţi raportul:
a) ;12111
2
2
−−
xxx b) ;
42
2
2
−−
xxx c) ;
93
2
2
−−
xxx d) ;
164
2
2
−−
xxx
e) ;255
2
2
−+
xxx f) ;
366
2
2
−+
xxx g) ;
497
2
2
−+
xxx h) .
648
2
2
−+
xxx
34. Descompuneţi în factori raţionali: a) x2 + 50x + 625; b) x2 – 30x + 225.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Descompuneţi în factori raţionali:
a) 8x3 + 60x2 + 150x + 125; b) 64x3 – 154x2 + 108x – 27. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Descompuneţi în factori raţionali:
a) 343x9 + 125y3; b) 216x3 – 343y6. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Simplificaţi raportul:
a) ;8126
16823
2
+++++
xxxxx b) .
192727169
23
2
−+−+−
xxxxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 14
37. Simplificaţi raportul:
a) ;644812
6423
3
++++
xxxx b) .
1000300301000
23
3
−+−−
xxxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Simplificaţi raportul:
a) ;51219224
801823
2
+++++
xxxxx b) .
216108186016
23
2
−+−+−
xxxxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Raţionalizaţi numitorul raportului:
a) ;52
3+
b) .53
4−
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) x4 – 5x2 + 6 = 0; b) x4 + 7x2 + 12 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
41. Rezolvaţi în R ecuaţia .0211
=−−
+− x
xx
x
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 42. Rezolvaţi în R ecuaţia .0124 =+−− xx Formulaţi un exerciţiu asemănător.
43. Rezolvaţi în R ecuaţia .010)52(3)52( 22 =−−−− xx Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Rezolvaţi în R ecuaţia x2 + x4 + x6 + ... = 5, | x | < 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 45. Rezolvaţi în R ecuaţia x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + ... = 3, x < 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;0223
323 2
2
2 =++−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− xxx
xxx b) .04
313
13
2
2
2
2
=−−+
⋅++
−xx
xx
xx
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Rezolvaţi în R ecuaţia .44444 22 =+−+++ xxxx Formulaţi un exerciţiu asemănător.
48. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei .10031
20052004...
76
54
32
<⋅⋅⋅⋅
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Cercetaţi dacă există numere întregi care verifică ecuaţia
(2x + 3)4568 + (5x – 1)5316 = 15023661. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 15
50. Aflaţi numărul raţional e pentru care x ⊕ e = x, dacă pentru orice numere raţio-nale x şi y este adevărată relaţia:
a) x ⊕ y = x + y + 11; b) x ⊕ y = x + y − 15. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 51. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = | 3x – 5 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 52. Aflaţi câte numere naturale mai mici sau egale cu 2005 nu se divid cu 2, 5, 7. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 53. Cercetaţi dacă există numere întregi x, y, z pentru care x2 + x – 3y5 – 3y + 4z10 –
4z2 = 2 005. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 54. Fără să executaţi toate calculele, aflaţi coeficientul lui X
8 din forma canonică a polinomului (1 + X)(1 + X
2)(1 + X 3)(1 + X
4)(1 + X 5)(1 + X
6)(1 + X 7)(1 + X
8). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 55. Aflaţi forma canonică a polinomului P(X), dacă P(2 – X) = 3X
2 – 4X – 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
56. Fie P(X) = 7X – 5. Calculaţi = P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(2004). ∑=
2004
1
)(i
iP
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 57. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;30213015630156 +⋅++⋅+−
b) .6627682001
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−++
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 58*. Simplificaţi:
a) ;1
110 −
−zz b) .
131
++
zz
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
59*. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei ∑=
⋅−n
i
i
i1 71)1( ∈ Z.
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
60*. (Numărul de aur) Punctul M ∈ (AB), astfel încât AMAB
MBMA
= (împarte segmen-
tul AB în medie şi extremă raţie). Aflaţi MBMA (numărul de aur);
61*. (Numărul de aur) Scrieţi numărul de aur sub formă de fracţie continuă.
62*. (Numărul de aur) Comparaţi numărul ...111 +++ cu numărul de aur.
63*. Aflaţi numărul n pentru care ...+++ nnn = 1.
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 16
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)72( 2−x
b) .)75( 2−
2. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );73(5 − b) .1112119113 +−
3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)137( 2+ b) ).2129)(2129( −+
4. Dezvoltaţi: a) (2x + 7y)3; b) (3x – 5y)3.
5. Efectuaţi: a) (3x – 8y)(9x2 + 24xy + 64y2); b) (4x + 7y)(16x2 – 28xy + 49y2).
6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin lip-să a numărului:
a) ;1719 + b) .1521 −
7. Rezolvaţi în R: a) | 4x + 35 | = 28; b) | x – 13 | ≤ 19.
8. Rezolvaţi în R ecuaţia
.033
23423
3=+
−⋅+
− xx
xx
9. Fie P(X) = 9X – 4. Calculaţi
∑=
2000
1
)(i
iP = P(1) + P(2) + P(3) + ... +
P(1000).
1. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)94( 2−x
b) .)117( 2−
2. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) );75(6 − b) .138137135 +−
3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)116( 2+ b) ).1723)(1723( −+
4. Dezvoltaţi: a) (4x + 5y)3; b) (5x – 6y)3.
5. Efectuaţi: a) (4x – 7y)(16x2 + 28xy + 49y2); b) (4x + 5y)(16x2 – 20xy + 25y2).
6. Aflaţi 0,01-aproximarea prin lipsă a numărului:
a) ;2115 + b) .1722 −
7. Rezolvaţi în R: a) | 5x + 32 | = 27; b) | x – 12 | ≤ 17.
8. Rezolvaţi în R ecuaţia
.033
32432
2=+
−⋅+
− xx
xx
9. Fie P(X) = 8X – 5. Calculaţi
∑=
2000
1
)(i
iP = P(1) + P(2) + P(3) + ... +
P(1000). Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul 1. Recapitulare şi completări 17
C A P I T O L U L II
Pute r i cu exponent r a ţ i ona l
Rădăcina pătrată a unui număr real nenegativ. Dacă a este un număr real pozi-tiv, atunci numărul pozitiv b este rădăcina pătrată a numărului a sau radicalul de ordi-nul 2 din a, dacă b2 = a. Rădăcina pătrată a numărului a este .a
Proprietăţi ale rădăcinii pătrate: 1) dacă a ∈ R, atunci ;2 || aa = 2) dacă a ∈ R+, atunci ;)( 2 aa = 3) dacă a ∈ , b ∈ , atunci +R +R ;abba =⋅ 2) dacă
ab ∈ , atunci +R ;|||| baab ⋅= 3) dacă a ∈ , b ∈ , atunci +R +*R ;:baba =
4) dacă ab ∈ +R , b ≠ 0, atunci ;||
||
ba
ba= 5) ;sgn 2baaba =
6) =ba 2 .ba || Suplimentar. Formulele radicalilor compuşi. Dacă − b = a ∈ , b ∈ 2a ,2c +R
+R , atunci
ba + = ,22
22 baabaa −−+
−+ iar
ba − = .22
22 baabaa −−−
−+
Radicali de ordinul n. 1) Fie n = 2k, k ∈ N* şi a ∈ R+. Soluţia pozitivă a ecuaţiei xn = a se numeşte radicalul de ordinul n din a şi se notează .n a
2) Fie n = 2k + 1, k ∈ N* şi b ∈ R. Soluţia ecuaţiei xn = b se numeşte radicalul de ordinul n din b şi se notează .n b
Observaţii. 1) Dacă n ∈ N* este număr par, a ∈ R+, atunci n a ≥ 0. Dacă n ∈ N* este număr par şi a < 0, atunci nu există .n a
2) Dacă n = 2k + 1, k ∈ N* şi b ∈ R, atunci .sgnsgn bbn =
Proprietăţi ale radicalilor de ordinul n. 1) ,)( aa nn = dacă n este număr natural
par şi a ∈ R+ sau n este număr natural impar şi a ∈ R. 2) ,|| aan n = dacă n este nu-
măr natural par sau ,aan n = dacă n este număr natural impar şi a ∈ R. 3) Dacă n
este impar şi b ≠ 0, atunci .n
nn
ba
ba= 4) Dacă n este par şi b ≠ 0, atunci .
n
nn
ba
ba
||
||=
5) Dacă n este par şi a ∈ R+, atunci .)( n kkn aa = 6) Dacă n este impar, atunci
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 18
.)( n kkn aa = 7) Dacă a ∈ , atunci +*R .mnn m aa = (Se aplică la înmulţirea radica-
lilor.) 8) Dacă a ∈ , k ∈ , k > 1, atunci +*R +*N .mmk k aa = 9) Dacă a ∈ R+, b ∈ R+, atunci a < b implică .nn ba <
Raţionalizarea numitorilor unor rapoarte. Dacă numitorul unui raport este de forma: 1) ,ba − atunci după amplificarea lui cu ba + se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b; 2) ,ba + atunci după amplificarea lui cu
ba − se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b; 3) ,33 ba +
atunci după amplificarea cu 3 233 2 baba +− se obţine un raport egal cu el, al cărui
numitor este a + b; 4) 3 233 2 baba +− atunci după amplificarea cu 33 ba + se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a + b; 5) ,33 ba − atunci după am-
plificarea cu 3 233 2 baba ++ se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a
– b; 6) ,3 233 2 baba ++ atunci după amplificarea cu ,33 ba − se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a – b; 7) (Facultativ) ,1212 ++ + nn ba atunci după
amplificarea cu 12 212 21212 212 2 ... ++ −++ +−+− n nn nn nn n bbabaa se obţine un raport
egal cu el, al cărui numitor este a + b; 8) (Facultativ) 12 21212 212 2 + −++ +− n nn nn n babaa
12 2... ++− n nb atunci după amplificarea cu ,1212 ++ + nn ba se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a + b; 9) (Facultativ) ,nn ba − atunci după amplificarea cu
n nn nn nn n bbabaa 12321 ... −−−− ++++ se obţine un raport egal cu el, al cărui nu-
mitor este a – b; 10) (Facultativ) n nn nn nn n bbabaa 12321 ... −−−− ++++ atunci după
amplificarea cu ,nn ba − se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a – b. Puteri întregi ale numerelor reale. 1) = 1 pentru orice număr întreg m. 2) m1 m0
= 0 pentru orice m ∈ . 3) = 4) Dacă a ∈ R*, +*Z m)1(−⎩⎨⎧−
par.r num
imparr num
ă este dacă,1ă este dacă,1
mm
k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k⋅a m = a k + m. 5) Dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k : a m = a k – m. În particular, = 1. 6) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci 0a mab)( =
.mmba 7) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci 8) mba ):( = .: mm ba nn a
a−=
1
pentru orice număr întreg n, a ∈ R*. Atenţie! nu are sens. 00Puteri raţionale ale numerelor reale. Pentru orice a ∈ , n ∈ N*, n > 1, m ∈ +*R
Z, .n mnm
aa = nm
a cu exponenţi neîntregi are sens numai pentru a > 0. 0m nu are sens
pentru m ∈ Q– . Pentru ,0>nm .00 =n
m
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 19
1) = 1 pentru orice număr raţional m. 2) = 0 pentru orice m ∈ . 3) Dacă m1 m0 +*Qa ∈ , k ∈ Q şi m ∈ Q, atunci a k⋅a m = a k + m. 4) Dacă a ∈ , k ∈ Q şi m ∈ Q, +*R +*Ratunci a k : a m = a k – m. În particular, = 1. 5) Dacă a ∈ , b ∈ şi m ∈ Q, 0a +*R +*Ratunci . 6) Dacă a ∈ , b ∈ şi m ∈ Q, atunci mab)( = mmba +*R +*R mba ):( = .: mm ba7) Dacă a ∈ , m ∈ Q şi n ∈ Q, atunci +*R .)( mnnm aa =
1. R a d i c a l i d e o r d i n u l n
1. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) ;4 b) ;0 c) ;16 d) ;9 e) ;81 f) .49
2. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) ;83 b) ;273 c) ;643 d) ;1253 e) ;2163 f) .3433
3. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) ;83 − b) ;273 − c) ;643 − d) ;1253 − e) ;2163 − f) .3433 −
4. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) ;164 b) ;814 c) ;2564 d) ;6254 e) ;12964 f) .24014
5. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) ;325 b) ;2435 c) ;10245 d) ;31255 e) ;77765 f) .168075
6. Utilizând descompunerea în factori, calculaţi: a) ;325 − b) ;2435 − c) ;10245 − d) ;31255 − e) ;77765 − f) .168075 −
7. Scrieţi cât mai simplu: a) ;)2( 2− b) ;)3( 2− c) ;)4( 2− d) ;)3( 2− e) ;)7( 2− f) .)8( 2−
8. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;)2(4 4− b) ;)3(4 4− c) ;)4(4 4− d) ;)5(4 4− e) ;)6(4 4− f) .)7(4 4−
9. Aflaţi numerele reale pentru care: a) ;2 aa −= b) ;3 3 aa = c) ;4 4 aa =
d) ;5 5 aa = e) ;6 6 aa −= f) .7 7 aa = 10. Introduceţi factori sub radical:
a) ;534 b) ;32 5 c) ;42 3 d) ;456 e) ;277 f) ;548 g) ;76 9 h) .3810
11. Introduceţi factori sub radical: a) ;75 4− b) ;32 5 −− c) ;433− d) ;47 6− e) ;277− f) ;548− g) ;76 9− h) .3810−
12. Scoateţi factori de sub radical:
a) ;64 11 b) ;25 13 c) ;36 15 d) ;57 25
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 20
e) ;38 39 f) ;49 35 g) ;510 51 h) .611 37 13. Scoateţi factori de sub radical:
a) ;)7(4 14− b) ;)4(5 12− c) ;)3(6 16− d) ;)8(7 22−
e) ;)2(8 20− f) ;)5(9 25− g) ;)6(10 32− h) .)9(11 35− 14. Comparaţi numerele:
a) 5 şi 2; b) 7 şi 3; c) 17 şi 4; d) 11 şi 3; e) 21 şi 4; f) 19 şi 5.
15. Introduceţi factori sub radical: a) ;3)21( 8− b) ;2)32( 4− c) ;5)31( 6− d) ;2)53( 10− e) ;3)65( 12− f) .6)62( 14−
16. Introduceţi factori sub radical: a) ;3)52( 7− b) ;7)52( 5− c) ;8)174( 9− d) ;2)76( 11− e) ;6)93( 13− f) .7)410( 15−
17. Comparaţi numerele: a) 4 15 şi 2; b) 3 3 şi 1; c) 5 33 şi 2; d) 6 65 şi 2; e) 3 120 şi 5; f) 4 82 şi 3.
18. Introduceţi factori sub radical: a) ;3)21( 165− b) ;2)92( 43− c) ;4)283( 63− d) ;5)102( 83− e) ;4)172( 104− f) .6)112( 123−
19. Scoateţi factori sub radical: a) ;)2443(16 185− b) ;)122(4 63− c) ;)654(6 83−
d) ;)1265(8 103− e) ;)833(10 124− f) .)672(12 146− 20. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)7( 53 2 b) ;)3( 54 2 c) ;)2( 65 3 d) ;)5( 76
e) ;)6( 47 3 f) ;)11( 98 3 g) ;)13( 119 2 h) .)17( 911 3 21. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;7 x b) ;3 5 y c) ;4 7 x d) ;17 5 x
e) ;11 8 x f) ;9 8 z g) ;6 10 t h) .5 12 u 22. Simplificaţi radicalul:
a) ;36 4 b) ;28 6 c) ;510 4 d) ;712 9
e) ;1114 4 f) ;1315 10 g) ;1716 6 h) .1920 10 23. Simplificaţi radicalul:
a) ;)2(12 4− b) ;)3(14 10− c) ;)5(6 2− d) ;)2(24 6−
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 21
e) ;)7(20 4− f) ;)9(22 2− g) ;)6(26 2− h) .)4(24 8−
24. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;75 43 ⋅ b) ;26 53 ⋅ c) ;37 54 ⋅ d) ;54 65 ⋅ e) ;29 73 ⋅ f) .210 74 ⋅
25. Raţionalizaţi numitorul raportului:
a) ;23
1−
b) ;35
1+
c) ;37
1−
d) ;710
1−
e) ;311
1−
f) ;1013
1+
g) ;515
1−
h) .317
1−
26. Raţionalizaţi numitorul raportului:
a) ;111
7 2 b) ;
31
9 4 c) ;
51
4 d) ;71
6 4 e) ;
81
5 3 f) .
21
8 5
27. Aflaţi pentru ce valori ale numărului x are sens expresia: a) ;76−x b) ;113 x− c) ;175−x d) ;197−x e) ;1512−x f) .2111−x
28. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)32(5 5−x b) .)23(8 8−x Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Aflaţi numerele reale x pentru care:
a) ;35)35(8 8 −=− xx b) .76)67(10 10 xx −=− Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Introduceţi factori sub radical:
a) ;2)2( 4 −− xx b) .)32()23( 7 2−− xx Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Comparaţi numerele 3 5 şi .155 Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32. Introduceţi factori sub radical:
a) ;3)57( 434 − b) .2)47( 53− Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Scoateţi factori de sub radical:
a) ;)310(11 1347 − b) .)109(6 845 − Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;328328 55 −⋅+ b) .32322322 200420042004 +⋅++⋅+− Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 22
35. Aduceţi la forma cea mai simplă ).12)(12)(12)(12)(12( 161684 +−+++ Formulaţi un exerciţiu asemănător.
36. Aduceţi la forma cea mai simplă .164 4 4 4 4 4 3
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aduceţi la forma cea mai simplă .42222 321684 ⋅⋅⋅⋅ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aduceţi la forma cea mai simplă .42...22 964863 ⋅⋅⋅⋅ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Raţionalizaţi numitorul raportului:
a) ;15
63 +
b) .16
53 −
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Aduceţi la forma cea mai simplă ).23)(23)...(23)(23( 3232323244 −+++ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Construiţi o ecuaţie de grad minim cu coeficienţi raţionali cu una dintre soluţii
.31 3+ Formulaţi un exerciţiu asemănător.
42. Aduceţi la forma cea mai simplă .22...2222 204810241684 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. Raţionalizaţi numitorul raportului
a) ;41449
2333 ++
b) .253549
12333 +−
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
44. Demonstraţi că .141331313313 =−−+ Formulaţi un exerciţiu asemănător.
45. Demonstraţi că .3549549 33 =−++ Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Construiţi o ecuaţie de grad minim cu coeficienţi raţionali cu una dintre soluţii
.32 33 + Formulaţi un exerciţiu asemănător.
47. Calculaţi ,...1111 unde „ ...“ indică faptul că expresia nu se termină. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
48. Calculaţi ,...101010103 3 3 3 unde „ ...“ indică faptul că expresia nu se
termină, iar n ∈ N*. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 23
49. Calculaţi ,...nnnn unde „ ...“ indică faptul că expresia nu se termină, iar
n ∈ N*. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Aduceţi la forma cea mai simplă (radicalii se repetă de 2004 ori)
−++++++++ 347335335...33545
.347335335...33545 −+−+−+−+
51. Eliminaţi radicalii compuşi şi aduceţi la forma cea mai simplă: a) ;549− b) .13313−
52. Aduceţi la forma cea mai simplă:
.99002199
1...1227
1625
1223
1+
+++
++
++
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Calculaţi: a) ;10003 − b) .7296
2. Aflaţi numerele reale pentru care:
a) ;7 7 aa = b) .12 12 aa −= 3. Introduceţi factori sub radical:
a) ;343 b) .434− 4. Scoateţi factori de sub radical:
a) ;)353(3 53−
b) .)524(6 8− 5. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)11( 47 2 b) .)13( 720 3 6. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)53(3 6 2643 −
b) .)11(8 10−
7. a) Aduceţi la forma cea mai sim-plă .4 33 2 xx ⋅
b) Raţionalizaţi numitorul rapor-
1. Calculaţi: a) ;10000003 − b) .2564
2. Aflaţi numerele reale pentru care:
a) ;8 8 aa −= b) .11 11 aa = 3. Introduceţi factori sub radical:
a) ;525 b) .326− 4. Scoateţi factori de sub radical:
a) ;)92(5 73−
b) .)265(4 6− 5. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)10( 411 3 b) .)7( 524 5 6. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)53(5 4 2254 −
b) .)13(10 12−
7. a) Aduceţi la forma cea mai simplă .3 24 5 xx ⋅
b) Raţionalizaţi numitorul rapor-
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 24
tului .711
4−
8. Raţionalizaţi raportul:
a) ;1013
333 −
b) .933121
14333 +−
9. Aduceţi la forma cea mai simplă: )23)(23)(469( 121266333 ++++
).23...( 4848 +
tului .713
6−
.711
4−
8. Raţionalizaţi raportul:
a) .1015
533 −
b) .426169
15333 +−
9. Aduceţi la forma cea mai simplă: )34)(34)(91216( 121266333 ++++
).34...( 9696 + Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
2. P u t e r i c u e x p o n e n t r a ţ i o n a l
1. Scrieţi folosind puteri întregi:
a) ;38x
b) ;517z
c) ;1224y
d) ;2436x
e) ;4131y
f) .5346t
2. Scrieţi cât mai simplu folosind puterile cu exponent întreg: a) x–3y7x15y–17; b) x–27y39x49y–81; c) x–47y57x63y–32; d) x–55y28x81y–17; e) x–47y23x68y–13; f) x–75y64x94y–53.
3. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale: a) ;35 7 b) ;36 9 c) ;57 9 d) ;810 11 e) ;913 11 f) .1217 9
4. Scrieţi 3 fracţii cu numitorii pari, echivalente cu:
a) ;53 b) ;
97 c)
118 d) ;
1311 e) ;
1712 f) .
1913
5. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale: a) ;9212 13 b) ;1614 11 c) ;8216 33 d) ;7320 19 e) ;5424 17 f) .5528 25
6. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:
a) ;)2( 93
−x b) ;)5( 117
+x c) ;)7( 73
−x
d) ;)11( 179
+x e) ;)21( 193
+x f) .)23( 215
−x 7. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:
a) ;)24( 157
−−x b) ;)17( 19
9−
+x c) ;)26( 3511
−−x
d) ;)29( 3517
−+x e) ;)22( 39
11−
−x f) .)22( 2313
−+x
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 25
8. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:
a) ;)46( 2011
−+x b) ;)49( 18
13−
−x c) ;)38( 3241
−+x
d) ;)76( 3433
−−x e) ;)35( 36
35−
+x f) .)77( 4017
−−x
9. Convertiţi în radical:
a) ;13 283
− b) ;17 22
5−
c) ;16 647
−
d) ;15 325
− e) ;12 38
9−
f) .20 4015
−
10. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţionale: a) ;311 9− b) ;721 31− c) ;1225 11− d) ;923 15− e) ;917 5− f) .1429 25−
11. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;842 148
34
73
⋅⋅ b) ;2793 203
152
52
⋅⋅ c) ;125255 1811
127
65
⋅⋅
d) ;216366 187
125
94
⋅⋅ e) ;343497 3611
127
85
⋅⋅ f) .729819 335
227
113
⋅⋅ 12. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;81:9 1211
85
b) ;49:7 2014
1513
c) ;36:6 87
1615
d) ;9:3 3017
2017
e) ;16:4 3516
149
f) .100:10 2623
1317
13. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;9:3 5 7117
b) ;8:4 6 5158
c) ;25:5 39 41311
d) ;36:6 14 573
e) ;81:9 27 897
f) .49:7 18 1565
14. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)5( 95
73
b) ;)3( 82
94
c) ;)7( 1310
1511
d) ;)6( 1712
1813
e) ;)8( 185
199
f) .)9( 139
1211
15. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)53( 187
43
92
⋅ b) ;)53( 354
187
125
⋅ c) ;)87( 307
125
116
⋅
d) ;)911( 225
2011
83
⋅ e) ;)1213( 116
154
1411
⋅ f) .)53( 367
134
119
⋅ 16. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;5 353
xx = b) ;7 373
xx = c) ;9 595
xx =
d) ;11 7117
xx = e) ;13 111311
xx = f) .15 7157
xx = 17. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;0)( 7 3143
2 =+ xx b) ;0)( 11 7227
2 =+ xx c) ;0)( 15 113011
2 =+ xx
d) ;0)( 19 7387
2 =+ xx e) ;0)( 23 5465
2 =+ xx f) .0)( 25 215021
2 =+ xx
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 26
18. Construiţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi raţionali şi cu soluţia reală: a) ;57 b) ;95 c) ;1611 d) ;1113 e) ;2115 f) .3219
19. Construiţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi raţionali şi cu soluţia reală:
a) ;1791
b) ;3191
c) ;29151
d) ;54291
e) ;43231
f) .75391
20. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) );3)(3( 21
21
21
21
yxyx −+ b) );25)(25( 21
21
21
21
−+ xx
c) );7)(7( 21
21
21
21
−+ xx d) );32)(32( 21
21
21
21
−+ xx
e) );6)(6( 21
21
21
21
−+ xx f) ).37)(37( 21
21
21
21
−+ xx 21. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) );1525)(15( 31
32
31
++− xxx b) );42)(2( 31
32
31
++− xxx
c) );93)(3( 31
32
31
++− xxx d) );164)(4( 31
32
31
++− xxx
e) );255)(5( 31
32
31
++− xxx f) ).366)(6( 31
32
31
++− xxx 22. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) );16129)(43( 31
32
31
+−+ xxx b) );41025)(25( 31
32
31
+−+ xxx
c) );964)(32( 31
32
31
+−+ xxx d) );16205)(45( 31
32
31
+−+ xxx
e) );25159)(53( 31
32
31
+−+ xxx f) ).216305)(65( 31
32
31
+−+ xxx
23. Scrieţi ca putere cu exponent raţional: a) ,)1(19 9−x x < 1; b) ,)83(11 5−x x ∈ R. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
24. Stabiliţi dacă sunt raţionale numerele:
a) ;10303013 b) .0011004006004 41
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
25. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;)12()12( 11 11115
−=− xx b) .0)35(])53[( 15 133013
2 =−−− xx Formulaţi un exerciţiu asemănător.
26. Dezvoltaţi:
a) ;)53( 221
21
yx + b) .)67( 221
21
yx − Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 27
27. Aflaţi numerele raţionale a pentru care este număr raţional:
a) ;1,540135 33 ++ a b) .2,654250 31
31
−⋅− a Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
28. Aduceţi la forma cea mai simplă:
).15)(15)(15)...(15)(15)(15( 21
41
81
641
1281
2561
−−−−−− Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
29. Scrieţi cu ajutorul puterilor cu exponent raţional .)512()87(12 85 zxyx +−− Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
30. Aduceţi la forma cea mai simplă ).1)(1( 61
62
63
64
65
61
+++++− xxxxxx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
31. Aduceţi la forma cea mai simplă ).1)(1( 71
72
73
74
75
76
71
+−+−+−+ xxxxxxx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
32. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care:
a) 32113
++
xx ∈ N; b)
41
3307
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
xx ∈ N.
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care:
a) are sens ;5257
++
xx
b) 438
13 +−
xx
are exponentul întreg. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
34. Rezolvaţi în R inecuaţia
[ ] [ ] .75,0256)59(8)85( 41
231
2 ≥+−++−−−
yx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
35. Aduceţi la forma cea mai simplă .... 5121
161
81
41
21
xxxxxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
36. Aduceţi la forma cea mai simplă ...811
271
91
31
⋅⋅⋅⋅⋅ xxxxx Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
37. Fie numerele 6, 28 şi 496. Aflaţi valoarea de adevăr a relaţiei 2222 61
31
21
=⋅⋅ şi construiţi două relaţii asemănătoare.
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 28
38. Dezvoltaţi:
a) ;)2( 331
21
yx + b) .)3( 321
31
yx − Formulaţi un exerciţiu asemănător.
39. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care:
a) 32
2−−
xxx ∈ N; b)
41
2
344⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−x
xx ∈ N.
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Decideţi dacă există numere întregi x pentru care:
a) are sens ;191244 2
++
xxx
b) 1326 2
73 −−
xxx
are exponentul întreg. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
41. Rezolvaţi în R inecuaţia
[ ] [ ] [ ] .164)75(81)113(216)47( 61
441
231
2 ≥+−++−+++−−−
zyx
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aflaţi numerele reale a pentru care este număr raţional:
a) ;2,580)45(405 424 −−++ aa b) .13,8192)37(375 31
231
−⋅−−+ aa
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Aflaţi un număr întreg x pentru care:
a) ;523 2x
xx =+ b) .6543 3333 xxx
x =++
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţio-nale:
a) ;167 3 b) .218 5 2. Aflaţi numerele reale pentru care
are sens:
a) ;)15( 73
−x b) .)9( 115
+x 3. Aflaţi numerele reale pentru care
are sens:
a) ;88 −x b) .)2( 73
−− x
1. Scrieţi cu ajutorul puterilor raţio-nale:
a) ;159 4 b) .2210 3 2. Aflaţi numerele reale pentru care
are sens:
a) ;)34( 119
−x b) .)73( 1511
+x 3. Aflaţi numerele reale pentru care
are sens:
a) ;1212 −x b) .)9( 259
−− x
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 29
4. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;55 214
72
⋅ b) .7:7 2013
54
5. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)5( 653
b) .)11( 85
136
6. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;25 3253
xx =
b) .0)( 15 133013
2 =+ xx 7. Dezvoltaţi:
a) ;)35( 231
−
b) .)57( 331
+ 8. Decideţi dacă există numere în-
tregi x pentru care:
a) are sens ;111565 2
+−
xxx
b) 2319
56 +−
xx
are exponent întreg. 9. Aduceţi la forma cea mai simplă
)...35()35()35()35( 1251
251
51
−−−− xxxx
4. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;66 135
94
⋅ b) .11:11 2711
95
5. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)7( 4116
b) .)15( 1411
157
6. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;17 5175
xx =
b) .0)( 19 153815
2 =+ xx 7. Dezvoltaţi:
a) ;)43( 231
−
b) .)56( 331
+ 8. Decideţi dacă există numere întregi
x pentru care:
a) are sens ;131757 2
+−
xxx
b) 34112
37 +−
xx
are exponent întreg. 9. Aduceţi la forma cea mai simplă
...)27()27()27( 641
161
41
−−− xxx
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul II. Puteri cu exponent raţional 30
C A P I T O L U L III Funcţii
Corespondenţă între mulţimi. Fie mulţimile nevide A şi B. O corespondenţă între mulţimile A şi B este o submulţime (parte) nevidă a produsului cartezian A × B în care apar toate elementele mulţimii A.
Noţiunea de funcţie. Fie mulţimile nevide A şi B. Se numeşte corespondenţă între mulţimile A şi B o submulţime nevidă a produsului cartezian A × B. O funcţie f definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B este o corespondenţă între cele două mulţimi, care asociază fiecărui element al mulţimii A un singur element al mulţimii B. Funcţia f definită pe A cu valori în B se notează f : A → B. Dacă f asociază lui x ∈ A elementul y ∈ B, atunci f(x) = y şi imaginea lui x prin funcţia f este y; x este variabilă independentă, iar y este variabilă dependentă. Elementele unei funcţii sunt: domeniul de definiţie (funcţia f : A → B are domeniul de definiţie A); domeniul valorilor (func-ţia f : A → B are domeniul valorilor B); legea de corespondenţă sau regula de asociere (funcţia f : A → B are legea de corespondenţă f). Mulţimea valorilor funcţiei f este Im f = E(f) = {y ∈ B | y = f(x)}. Graficul funcţiei f este = {(x, y) | y = f(x), x ∈ A} fGsau reprezentarea acestei mulţimi într-un sistem de axe ortogonale. O funcţie numeri-că are domeniul de definiţie şi domeniul valorilor mulţimi de numere.
Moduri de definire a unei funcţii. O funcţie poate fi definită: sintetic (printr-o diagramă, un tabel, un grafic); analitic (o formulă, o regulă etc.).
Funcţii speciale. 1) Funcţia modul f(x) = | x | = 2) Funcţia semn ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<−
.0dacă,0dacă,00dacă,
xxxxx
(signum) f(x) = sgn x = 3) Funcţia parte întreagă f(x) = [x], x ∈ R. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=
<−
.0dacă,10dacă,0
0dacă,1
xx
x
4) Partea neîntreagă sau zecimală f(x) = {x}. Zeroul unei funcţii. Funcţia f are zeroul m, dacă f(m) = 0. Funcţii monotone. Fie funcţia f : A → B. 1) f este crescătoare pe submulţimea C
a mulţimii A, dacă < implică ≤ pentru orice elemente şi 1x 2x )( 1xf ),( 2xf 1x 2xale mulţimii C; 2) f este strict crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă < 1x
2x implică < pentru orice elemente şi ale mulţimii C; 3) f este )( 1xf ),( 2xf 1x 2xdescrescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă 1x < 2x implică )( 1xf ≥ ),( 2xf pentru orice elemente şi ale mulţimii C; 4) f este strict descrescătoare pe sub-1x 2xmulţimea C a mulţimii A, dacă < implică > pentru orice elemen-1x 2x )( 1xf ),( 2xfte şi ale mulţimii C; 5) f este monotonă pe submulţimea C a mulţimii A, dacă 1x 2xeste sau crescătoare sau descrescătoarea pe C; 6) f este monotonă dacă C = A.
Teoremă. Fie funcţia f : A → R şi B ⊆ A. 1) Funcţia f este crescătoare (descrescă-
Capitolul III. Funcţii 31
toare) pe mulţimea C dacă şi numai dacă 0)()(
12
12 ≥−−
xxxfxf
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤
−−
0)()(
12
12
xxxfxf
pentru orice x1 ∈ B, x2 ∈ B, x1 < x2. 2) Funcţia f este strict crescătoare (strict descrescătoare) pe mulţimea C dacă şi
numai dacă 0)()(
12
12 >−−
xxxfxf
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<
−−
0)()(
12
12
xxxfxf
pentru orice x1 ∈ B, x2 ∈ B,
x1 < x2. Funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, se numesc
funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = b, b număr real, sunt funcţii constante. Func-ţiile f : R → R, f(x) = ax, a număr real nenul, sunt funcţii liniare. O relaţie de forma y = ax defineşte proporţionalitatea directă cu coeficientul a. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, a ≠ 0, sunt funcţii ataşate polinoamelor de gradul I şi se numesc funcţii de gradul I. y = ax + b este ecuaţia unei drepte; a se numeşte coefici-entul unghiular al dreptei.
Funcţia de gradul I. Fie funcţia de gradul I f : R → R, f(x) = ax + b. Atunci: 1) f este strict descrescătoare, dacă a < 0; 2) f este strict crescătoare, dacă a > 0. Semnul funcţiei f este înregistrat în tabelul:
a < 0 a > 0
x −∞ ab
− ∞
x −∞ ab
− ∞
f(x) + + + 0 − − − f(x) − − − 0 + + + Graficul funcţiei afine. Fie funcţia afină f : A → R, A ⊆ R, f(x) = ax + b, a şi b
numere reale. Reprezentarea graficului funcţiei f într-un sistem de axe ortogonale este o mulţime de puncte: 1) conţinută de o dreaptă paralelă cu axa Ox, dacă a = 0; 2) con-ţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox în origine dacă a ≠ 0 şi b = 0; 3) conţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox într-un punct diferit de origine dacă a ≠ 0 şi b ≠ 0.
y = ax + b este ecuaţia dreptei de pantă a.
Funcţii f : R* → R, f(x) =
,xk k ∈ R*. Graficul funcţiei f
este o hiperbolă (vezi desenul din dreapta). 1) Pentru k < 0 funcţia f este strict crescă-toare pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). 2) Pentru k > 0 funcţia f este strict descrescătoare
pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). Relaţia y = xk defineşte proporţionalitatea directă cu
coeficientul k. Funcţia radical f : [0, ∞) → R, f(x) = .x Funcţia f este strict crescătoare. Gra-
Capitolul III. Funcţii 32
ficul (vezi desenul din dreapta) funcţiei f este simetric graficului funcţiei g : [0, ∞) → R, g(x) = .2x
Paritatea funcţiilor. Funcţia f este pară, dacă f(x) = f(–x). Funcţia f este impară, dacă f(–x) = –f(x).
Funcţia de gradul II. Funcţia ataşată polinomului de gradul II P(X) = aX2 + bX + c, f(x) = ax2 + bx + c se numeşte funcţie de gradul II.
1) Funcţia de gradul II f(x) = ax2 este pară. a) a < 0.
x –' 0 ' f(x) –' % 0 & –'
crescătoare max descrescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful în origine şi ramurile orientate în jos
(∩).Punctul x = 0 este punctul de maxim al funcţiei f şi fmax = 0. f(x) ∈ (–', 0]. b) a > 0.
x –' 0 ' f(x) ' & 0 % '
descrescătoare min crescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful în origine şi ramurile orientate în sus
(∪). Punctul x = 0 este punctul de minim al funcţiei f şi fmin = 0. f(x) ∈ [0, '). 2) Funcţia de gradul II f(x) = ax2 + bx + c are forma canonică
.42
)(2
aabxaxf ∆−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
a) a < 0, ∆ > 0.
x –' x1 ab
2− x2 '
f(x) –' % 0 % a4
∆− & 0 & –'
crescătoare max descrescătoare
Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful V ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
−−aa
b4
,2
şi ramurile orientate
în jos (∩). Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (x1, 0) şi (x2, 0). Punctul x =
ab
2− este punctul de maxim al funcţiei f şi fmax =
a4∆
− (> 0). E(f) = ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ ∆
−−a4
,' .
b) a < 0, ∆ = 0.
x –' x1 = a
b2
− = x2 '
f(x) –' % 0 & –'
crescătoare max descrescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă tangentă axei Ox în vârful ei, punctul
Capitolul III. Funcţii 33
V ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− 0,
2ab , şi ramurile orientate în jos (∩). Punctul x =
ab
2− este punctul de
maxim al funcţiei f şi fmax = 0. f(x) ∈ (–', 0] sau Im f = E(f) = (–', 0]. c) a < 0, ∆ < 0.
x –' a
b2
− '
f(x) –' % a4
∆− & –'
crescătoare max descrescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă ce nu intersectează axa Ox (situată sub axa Ox),
cu vârful V ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− 0,
2ab şi ramurile orientate în jos (∩). Punctul x =
ab
2− este punctul
de maxim al funcţiei f şi fmax = a4
∆− (< 0). f(x) ∈ ⎥⎦
⎤⎜⎝⎛ ∆
−−a4
,' sau Im f = E(f) =
⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ ∆
−−a4
,' .
d) a > 0, ∆ > 0.
x –' x1 ab
2− x2 '
f(x) ' & 0 & a4
∆− % 0 % '
descrescătoare min crescătoare
Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful în V ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
−−aa
b4
,2
şi ramurile orien-
tate în sus (∪). Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (x1, 0) şi (x2, 0). Punctul
x = a
b2
− este punctul de minim al funcţiei f şi fmin = a4
∆− (< 0). f(x) ∈ ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∆− ',
4a
sau Im f = E(f) = ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ ∆− ',
4a.
e) a > 0, ∆ = 0.
x –' x1 = a
b2
− = x2 '
f(x) ' & 0 % '
descrescătoare min crescătoare Graficul funcţiei f este o parabolă tangentă axei Ox în vârful ei, punctul
V ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− 0,
2ab , şi ramurile orientate în sus (∪). Punctul x =
ab
2− este punctul de
minim al funcţiei f şi fmin = 0. f(x) ∈ [0, ') sau Im f = E(f) = [0, ').
Capitolul III. Funcţii 34
e) a > 0, ∆ < 0.
x –' x1 ab
2− x2 '
f(x) ' & a4
∆− % '
descrescătoare min crescătoare
Graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful V ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
−−aa
b4
,2
şi ramurile orientate
în sus (∪). Graficul lui f nu intersectează axa Ox (se află deasupra axei Ox). Punctul x
= a
b2
− este punctul de minim al funcţiei f şi fmin = a4
∆− (> 0). f(x) ∈ ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∆− ',
4a.
Semnul funcţiei de gradul II. Fie funcţia de gradul II f(x) = ax2 + bx + c. a) ∆ > 0.
x –' x1 x2 ' f(x) semn a 0 semn (–a) 0 semn a
b) ∆ = 0. x –' x1 = x2 '
f(x) semn a 0 semn a c) ∆ < 0.
x –' ' f(x) semn a
Translaţia unei parabole. Prin translaţia de vector (m, n) a parabolei y = ax2 + bx + c se obţine parabola y = a(x – m)2 + b(x – m) + c + n etc.
Funcţia putere. Fie polinomul de gradul III P(X) = aX3 + bX2 + cX + d. Funcţia f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ataşată polinomului de gradul III este funcţia de gradul III. Analog se defineşte funcţia de gradul IV.
a) Funcţia f : R → R, f(x) = x3.
x –' –2 –1 0 1 2 ' f(x) – ' % –8 % –1 % 0 % 1 % 8 % '
Funcţia f este strict crescătoare. Graficul ei intersectează axa Ox în origine. Deoarece f este funcţie impară, graficul ei este simetric faţă de originea sistemului de coordonate.
b) Funcţia f : R → R, f(x) = x4.
x –' –2 –1 0 1 2 ' f(x) – ' & 16 & 1 & 0 % 1 % 16 % '
descrescătoare min crescătoare Funcţia f este strict descrescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). Graficul
ei intersectează axa Ox în origine. Deoarece f este funcţie pară, graficul ei este simetric faţă de axa Oy.
Capitolul III. Funcţii 35
1. N o ţ i u n e a d e f u n c ţ i e
1. Enumeraţi domeniul de definiţie şi mulţimea valorilor funcţiei care asociază fie-cărui număr natural cifra:
a) miilor lui; b) unităţilor lui; c) sutelor lui; d) zecilor de mii; e) sutelor de mii; f) milioanelor lui.
2. Enumeraţi domeniul de definiţie şi mulţimea valorilor funcţiei care asociază fie-cărui număr real cifra:
a) zecimilor lui; b) sutimilor lui; c) miimilor lui; d) zecimilor de miimi; e) sutimilor de miimi; f) milionimilor de miimi.
3. Precizaţi domeniul maxim de definiţie al unei funcţii (polinomiale) de gradul: a) VI; b) I; c) II; d) III; e) IV; f) V.
4. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:
a) f(x) = ;17
5−x
b) f(x) = ;56
9,3+x
c) f(x) = ;18
1,7−x
d) f(x) = ;114
3,8−x
e) f(x) = ;79
6,13+x
f) f(x) = .311
7,21+x
5. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:
a) f(x) = ;156
32 +− xx
b) f(x) = ;1712
52 ++ xx
c) f(x) = ;143
82 +− xx
d) f(x) = ;168
112 +− xx
e) f(x) = ;1710
122 +− xx
f) f(x) = .176
132 +− xx
6. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: a) f(x) = ;757 x− b) f(x) = ;51213 +x c) f(x) = ;13111 −x d) f(x) = ;52117 x− e) f(x) = ;11923 −x f) f(x) = .51425 +x
7. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:
a) f(x) = ;134
9,531 −x
b) f(x) = ;413
3,173 −x
c) f(x) = ;314
5,65 −x
d) f(x) = ;2111
4,189 +x
e) f(x) = ;524
12,511 −x
f) f(x) = .916
2,3513 −x
8. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:
a) f(x) = ;178
351 2 −− xx
b) f(x) = ;1718
123 2 −− xx
c) f(x) = ;1710
511 2 −− xx
d) f(x) = ;1744
321 2 −− xx
e) f(x) = ;1760
4519 2 −− xx
f) f(x) = .1742
317 2 −− xx
9. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: a) f(x) = ;11616 x− b) f(x) = ;3136 −x c) f(x) = ;6198 x− d) f(x) = ;91410 −x e) f(x) = ;23912 x− f) f(x) = .52214 x−
Capitolul III. Funcţii 36
10. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:
a) f(x) = ;1112
1320 x−
b) f(x) = ;215
324 x−
c) f(x) = ;165
546 +x
d) f(x) = ;149
138 x−
e) f(x) = ;326
1310 −x
f) f(x) = .433
1418 −x
11. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu: a) f(x) = ;21712 x− b) f(x) = ;34193 +x c) f(x) = ;46135 +x d) f(x) = ;78139 −x e) f(x) = ;52231 −x f) f(x) = .16524 x−
12. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:
a) f(x) = ;)829( 193
x− b) f(x) = ;)832( 317
−x c) f(x) = ;)3715( 3111
−x
d) f(x) = ;)145( 2915
−x e) f(x) = ;)427( 3331
x− f) f(x) = .)3411( 4137
x− 13. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:
a) f(x) = ;)274( 533
−− x b) f(x) = ;)512( 47
11−
− x c) f(x) = ;)261( 4337
−−x
d) f(x) = ;)391( 7773
−− x e) f(x) = ;)845( 51
21−
− x f) f(x) = .)665( 3529
−− x
14. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu:
a) f(x) = ;])152[( 1311
2 −−x b) f(x) = ;])421[( 27
252 −
− x c) f(x) = ;])537[( 4139
2 −− x
d) f(x) = ;])711[( 5751
2 −−x e) f(x) = ;])519[( 61
532 −
−x f) f(x) = .])329[( 3319
2 −−x
15. Recunoaşteţi care dintre diagrame definesc funcţii.
a) b) c) d) e) f)
abc
139 9 9 9 9 9
abc
abc
abc
abc
abc
13
13
13
13
13
a) b) c) d) e) f)
abc
139 9 9 9 9 9
abc
abc
abc
abc
abc
13
13
13
13
13
16. Examinaţi graficele şi recunoaşteţi care dintre ele definesc funcţii.
a) b) c) d) e) 17. Recunoaşteţi care dintre graficele de mai jos definesc funcţii.
x
y
O O OOx
y
x
y
x
y
O x
y
a) b) c) d) e)
x
y
O O OOx
y
x
y
x
y
O x
y
a) b) c) d) e)
Capitolul III. Funcţii 37
18. Examinaţi desenul şi identificaţi o funcţie: constantă, nemonotonă, monoton descrescătoare, strict crescătoare.
y
x x
y
OO
a) b)
xO
c)
x
y
O
d)
g
h
if
19. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că func-
ţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. x −5 2 9 x −8 2 10
f(x) 8 14 21 g(x) −1 −2 –4
x −10 –2 3 x −9 −5 9 h(x) –4 5 1 i(x) −2 −1 3
x −7 0 1 x −9 −5 9 j(x) 4 2 −1 k(x) −2 −1 3
20. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că func-ţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval.
x −∞ 3 16 x −∞ 6 22 f(x) −∞ −1 25 g(x) −∞ −9 −38
x −∞ 0 56 x −∞ 10 74 h(x) ∞ –2 8 i(x) ∞ −21 11
x −∞ 0 42 x −∞ –5 32 h(x) –∞ 11 –3 i(x) 1 11 '
21. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că func-ţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval.
x −∞ 18 ' x −∞ 3 ' f(x) −∞ 3 ' g(x) −∞ 9 −'
x −∞ 6 ' x −∞ 29 ' h(x) ∞ 32 –' i(x) ∞ −8 –'
x −∞ 1 ' x −∞ 16 ' h(x) –∞ 13 ' i(x) –' 11 –'
22. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile cu axa Ox (zerourile) funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2 – 12x; b) f(x) = 11 – 33x; c) f(x) = 8 – 24x; d) f(x) = 13 – 39x; e) f(x) = 15 – 45x; f) f(x) = 18 – 5x.
23. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile cu axa Ox (zerourile) funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 12x + 20; b) f(x) = x2 – 9x + 20; c) f(x) = x2 – 11x + 28;
Capitolul III. Funcţii 38
d) f(x) = x2 – 11x + 30; e) f(x) = x2 – 13x + 42; f) f(x) = x2 – 13x + 30. 24. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi zerourile funcţiei f, dacă:
a) f(x) = | 6x – 15 |; b) f(x) = | 7x – 14 |; c) f(x) = | 8x – 16 |; d) f(x) = | 9x – 27 |; e) f(x) = | 5x – 35 |; f) f(x) = | 6x – 62 |.
25. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile cu axa Ox (zerourile) funcţiei f, dacă: a) f(x) = | x2 – 14x – 40 |; b) f(x) = | x2 – 14x – 51 |; c) f(x) = | x2 – 14x – 72 |; d) f(x) = | x2 – 14x – 95 |; e) f(x) = | x2 – 14x – 32 |; f) f(x) = | x2 – 14x – 120 |.
26. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţia cu axa Oy a graficului funcţiei f, dacă: a) f(x) = 24 – 12x; b) f(x) = 19 – 57x; c) f(x) = 14 – 42x; d) f(x) = 56 – 28x; e) f(x) = 21 – 63x; f) f(x) = 16 – 48x.
27. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţia cu axa Oy a graficului funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 3x – 70; b) f(x) = x2 – 4x – 96; c) f(x) = x2 – 5x + 84; d) f(x) = x2 – 6x – 55; e) f(x) = x2 – 7x – 42; f) f(x) = x2 – 8x – 33.
28. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 12x + 3; b) f(x) = 15x – 3; c) f(x) = 18x + 3; d) f(x) = 9x – 54; e) f(x) = 4x + 16; f) f(x) = 5x + 25.
29. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x + 27; b) f(x) = –2x – 8; c) f(x) = –4x + 12; d) f(x) = –5x – 20; e) f(x) = –6x + 24; f) f(x) = –7x – 28.
30. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = 8,2x; b) f(x) = 1,3x; c) f(x) = 2,5x; d) f(x) = 7,3x; e) f(x) = 9,3x; f) f(x) = 10,4x.
31. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2,6x; b) f(x) = –5,2x; c) f(x) = –3,7x; d) f(x) = –4,1x; e) f(x) = –6,4x; f) f(x) = –8,5x.
32. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 3x; b) f(x) = 3x2 – 7x; c) f(x) = 4x2 – 9x; d) f(x) = 7x2 – 11x; e) f(x) = 13x2 – 8x; f) f(x) = 15x2 – 13x.
33. Aflaţi panta dreptei de ecuaţia: a) y = 3x – 11; b) y = –13x – 2; c) y = 4x + 17; d) y = –8x – 9; e) y = –19x + 8; f) y = –6x – 15.
34. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei, dacă există, care asociază numărului 152n, n ∈ N, ultima sa cifră.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei, dacă există, care asociază numărului 243n,
n ∈ N, ultima sa cifră. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei, dacă există, care asociază numărului 347n,
n ∈ N, ultima sa cifră. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu:
a) f(x) = (3m – 2)x + 6 este crescătoare;
Capitolul III. Funcţii 39
b) f(x) = (7m – 3)x – 4 este strict descrescătoare. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu:
a) f(x) = (4m2 – 3m – 1)x + 2 este constantă; b) f(x) = (2m – 7)x – 4 este constantă.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aflaţi numărul real m pentru care funcţia f : R → R cu:
a) f(x) = 2x + 3m2 – 2m + 1 are zeroul 1; b) f(x) = 5x + 4m2 – 3m + 6, dacă graficul ei intersectează Oy în (0, 7).
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
40. Aflaţi numărul funcţiilor f : A → B, dacă: a) card A = 3 şi card B = 2; b) card A = 2 şi card B = 3.
41. Examinând rezultatele exerciţiului anterior, aflaţi numărul funcţiilor f : A → B, dacă:
a) card A = 2 şi card B = 5; b) card A = n şi card B = k. 42. Fie funcţia f : N* → N, f(n) este restul împărţirii numărului 232n la 100. Aflaţi
Im f = E(f). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. Fie funcţia f : N* → N, f(n) este restul împărţirii numărului 51763n la 1000.
Aflaţi numărul maxim de elemente al mulţimii Im f = E(f). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Fie funcţia f : Z → N, f(n) este restul împărţirii numărului n la 9. Aflaţi numărul
de elemente al mulţimii Im f = E(f) şi aflaţi f(–378), f(–4629), f(–38932). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 45. Fie corespondenţa între mulţimea R şi ea însăşi, definită de regula f(x) + f(2 − x)
= 2x2 – 1. Decideţi dacă f este o funcţie. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Aflaţi domeniul maxim de defini-ţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .149
42 +− xx
2. Aflaţi domeniul maxim de defini-ţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .1627
7,211 2 −− xx
3. Aflaţi domeniul maxim de defini-ţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .71522 x−
1. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .2411
32 +− xx
2. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .1730
6,113 2 −− xx
3. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .91326 x−
Capitolul III. Funcţii 40
4. Aflaţi domeniul maxim de defini-ţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .)1411( 135
x− 5. Aflaţi domeniul maxim de defini-
ţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .)253( 5319
−− x
6. Aflaţi domeniul maxim de defini-ţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .])512[( 3531
2 −− x
7. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. x –' 2 ' f(x) ' –5 '
8. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu:
a) f(x) = (5m – 9)x + 11 este cres-cătoare;
b) f(x) = (9m – 11)x – 3 este strict descrescătoare.
9. Fie corespondenţa între mulţimea R şi ea însăşi, definită de regula f(x) +
f(3 − x) = 4x2 – 1. Decideţi dacă f este o funcţie.
4. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .)1217( 157
x− 5. Aflaţi domeniul maxim de definiţie
în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .)236( 5521
−− x
6. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f : D → R, cu
f(x) = .])613[( 3733
2 −− x
7. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. x –' 1 ' f(x) –' 11 –'
8. Aflaţi mulţimea numerelor reale ale lui m pentru care funcţia f : R → R cu:
a) f(x) = (8m – 13)x + 9 este crescă-toare;
b) f(x) = (11m – 13)x – 5 este strict descrescătoare.
9. Fie corespondenţa între mulţimea R şi ea însăşi, definită de regula f(x) +
f(5 − x) = 2x2 – 1. Decideţi dacă f este o funcţie.
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
T e s t d e c a p a c i t ă ţ i
1. Reprezentaţi prin diagrame toate funcţiile f : {0, 1, 3} → {4, 8}. 2. Decideţi dacă există funcţii f : R → R, cu proprietatea f(x) + 2f(1− x) = 5x – 2. 3. Fie funcţia f : R → R, f(x) = sgn (3 – 4x). Explicitaţi expresia funcţiei f. 4. Fie funcţia f : N* → N, f(n) este restul împărţirii numărului 62347n la 1000.
Aflaţi numărul maxim de elemente al mulţimii Im f = E(f).
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 2,25 puncte. Timp de lucru efectiv: 45 minute.
Capitolul III. Funcţii 41
2. F u n c ţ i i n u m e r i c e
1. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei: a) f : {2, 4, 6} → R, f(x) = –2; b) f : {1, 4, 7} → R, f(x) = 1; c) f : {–6, –4, –2} → R, f(x) = –3; d) f : {–5, –3, –1} → R, f(x) = –4.
2. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei: a) f : {0, 2, 4} → R, f(x) = 0,5x; b) f : {0, 4, 8} → R, f(x) = –0,25x; c) f : {–5, –3, –1} → R, f(x) = 2x; d) f : {–8, –6, –4} → R, f(x) = 0,5x.
3. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 3x − 2; b) f(x) = 5x – 3; c) f(x) = 3x – 6; d) f(x) = 2x – 4; e) f(x) = 4x – 2; f) f(x) = 2x – 7.
4. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x + 5; b) f(x) = –3x – 9; c) f(x) = –5x + 4; d) f(x) = –5x – 5; e) f(x) = –4x – 6; f) f(x) = –2x – 9.
5. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = 0,4x − 11; b) f(x) = 2,5x – 7; c) f(x) = 3,1x – 8; d) f(x) = 4,6x – 12; e) f(x) = 0,3x – 13; f) f(x) = 0,8x – 13.
6. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –0,2x + 3; b) f(x) = –0,5x – 8; c) f(x) = –2,9x + 5; d) f(x) = –3,4x – 23; e) f(x) = –6,7x + 3,4; f) f(x) = –5,8x + 7,3.
7. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (intersecţiile cu axele, monoto-nia) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = 0,25x + 1; b) f(x) = 0,5x – 2; c) f(x) = 0,2x + 1; d) f(x) = 0,4x – 2; e) f(x) = 0,75x + 3; f) f(x) = 0,8x – 4.
8. Fie funcţia f : (–1, ') → R. Construiţi tabelul de valori (intersecţiile cu axele, monotonia) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = –0,2x + 1; b) f(x) = –0,5x – 1; c) f(x) = –0,4x + 2; d) f(x) = –0,25x – 1; e) f(x) = –0,8x + 4; f) f(x) = –0,75x – 3.
9. Fie funcţia f : (–1, 6] → R. Construiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –x + 1; b) f(x) = x – 2; c) f(x) = –x + 2; d) f(x) = x – 3; e) f(x) = –x + 3; f) f(x) = x – 4.
10. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-struiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = ;2
1−x
b) f(x) = ;1
1−x
c) f(x) = ;1
1+x
d) f(x) = ;2
1+x
e) f(x) = ;3
1−x
f) f(x) = .3
1+x
11. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-struiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = ;3
1−
−x
b) f(x) = ;1
1+
−x
c) f(x) = ;1
1−
−x
Capitolul III. Funcţii 42
d) f(x) = ;2
1+
−x
e) f(x) = ;2
1−
−x
f) f(x) = .3
1+
−x
12. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-struiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = ;3
1|| +x
b) f(x) = ;1
1|| +x
c) f(x) = ;2
1|| +x
d) f(x) = ;1
1|| −x
e) f(x) = ;2
1|| −x
f) f(x) = .3
1|| −x
13. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-struiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = ;3
1|| −
−x
b) f(x) = ;2
1|| −
−x
c) f(x) = ;1
1|| −
−x
d) f(x) = ;3
1|| +
−x
e) f(x) = ;2
1|| +
−x
f) f(x) = .1
1|| +
−x
14. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-struiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = ;3−x b) f(x) = ;1+x c) f(x) = ;2+x d) f(x) = ;3+x e) f(x) = ;2−x f) f(x) = .1−x
15. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-struiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = ;3 x− b) f(x) = ;1 x− c) f(x) = ;2 x− d) f(x) = ;3 x−− e) f(x) = ;2 x−− f) f(x) = .1 x−−
16. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-struiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = ;3 || −x b) f(x) = ;1 || −x c) f(x) = ;2 || −x
d) f(x) = ;3 || +x e) f(x) = ;2 || +x f) f(x) = .1 || +x 17. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a))
şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = | 3x |; b) f(x) = | x |; c) f(x) = | 2x |; d) f(x) = | 0,5x |; e) f(x) = | 0,25x |; f) f(x) = | 0,2x |.
18. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = | x – 3 |; b) f(x) = | x + 1 |; c) f(x) = | x – 1 |; d) f(x) = | x – 2 |; e) f(x) = | x + 3 |; f) f(x) = | x + 2 |.
19. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = – | x + 3 |; b) f(x) = – | x – 1 |; c) f(x) = – | x – 1 |; d) f(x) = – | x + 2 |; e) f(x) = – | x – 3 |; f) f(x) = – | x + 2 |.
20. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
Capitolul III. Funcţii 43
a) f(x) = b) f(x) = ⎩⎨⎧
∈−−∈
);,2(ă,3]2,(ă,1
''
xx
dac
dac
⎩⎨⎧
∈−−∈
);,1(ă,1]1,(ă,3
''
xx
dac
dac
c) f(x) = d) f(x) = ⎩⎨⎧
∈−−∈
);,3(ă,2]3,(ă,1
''
xx
dac
dac
⎩⎨⎧
∈−−∈
);,4(ă,1]4,(ă,2
''
xx
dac
dac
e) f(x) = f) f(x) = ⎩⎨⎧
∈−−∈
);,5(ă,2]5,(ă,4
''
xx
dac
dac
⎩⎨⎧
∈−−∈
).,6(ă,4]6,(ă,1
''
xx
dac
dac
21. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = b) f(x) = ⎩⎨⎧
−∈−−−∈);,1(ă,1
]1,(ă,'
'xxx
dac
dac
⎩⎨⎧
∈−∈
);,1(ă,1]1,(ă,
''
xxx
dac
dac
c) f(x) = d) f(x) = ⎩⎨⎧
−∈−−−∈);,2(ă,2
]2,(ă,'
'xxx
dac
dac
⎩⎨⎧
∈−∈
);,2(ă,2]2,(ă,
''
xxx
dac
dac
e) f(x) = f) f(x) = ⎩⎨⎧
−∈−−−∈);,3(ă,3
]3,(ă,'
'xxx
dac
dac
⎩⎨⎧
−∈−−−∈).,4(ă,4
]4,(ă,'
'xxx
dac
dac
22. Fie funcţia f : R → R. Construiţi tabelul de valori (vezi rezolvarea itemului a)) şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = b) f(x) = ⎩⎨⎧
∈−∈−);,3(ă,3
]3,(ă,2''
xxx
dac
dac
⎩⎨⎧
−∈−−∈−
);,1(ă,2]1,(ă,1
''
xxx
dac
dac
c) f(x) = d) f(x) = ⎩⎨⎧
∈−∈−);,2(ă,1
]2,(ă,3''
xxx
dac
dac
⎩⎨⎧
∈−∈−);,3(ă,1
]3,(ă,4''
xxx
dac
dac
e) f(x) = f) f(x) = ⎩⎨⎧
∈−∈−);,3(ă,2
]3,(ă,5''
xxx
dac
dac
⎩⎨⎧
∈−∈−).,1(ă,5
]1,(ă,6''
xxx
dac
dac
23. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi: a) f(x + 5), dacă f(x) = 3x + 1; b) f(x), f(x – 7) = 2x2 – 1.
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
24. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, ⎩⎨⎧
−∈+−−∈+
=).,1[ă,32)1,(ă,2
)('
'xx
xxxf
dac
dac
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 25. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-
struiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = ;42
1−x
b) f(x) = ;63
1−
−x
c) f(x) = .8
1|4| −x
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 26. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-
struiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă:
Capitolul III. Funcţii 44
a) f(x) = ;42 −x b) f(x) = ;36 x− c) f(x) = .124 || −x Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Fie funcţia f : D → R, D domeniul maxim de definiţie al funcţiei f în R. Con-
struiţi tabelul de valori şi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = | 3x – 6 |; b) f(x) = | –5x – 10 |.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 28. Construiţi funcţia al cărui grafic este:
a) segmentul închis AB cu A(–3, 5) şi B(4, –3); b) (AB] cu A(–4, –3) şi B(7, 5).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Construiţi funcţia al cărui grafic este:
a) [AB cu A(–6, 3) şi B(10, –5); b) (AB cu A(9, 5) şi B(–2, –7).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Construiţi funcţia al cărui grafic este:
a) [AB ∪ (AC cu A(–2, 1), B(–10, 1) şi C(3, 2); b) [AB ∪ (CD cu A(–1, 5), B(–8, 2), C(–1, 2) şi D(4, 5).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → Z:
a) f(x) = sgn (3x − 6); b) f(x) = sgn (–2x + 4). Formulaţi un exerciţiu asemănător.
32. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi: a) f(2x – 3), dacă f(x) = 5x + 2; b) f(x), f(4x – 3) = 3x2 – 2. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
33. Reprezentaţi grafic funcţia f : D → N, (D domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f):
a) f(x) = (−2x + 5)⋅sgn (3x − 9); b) f(x) = .43
34|| x
x−
− f(x) = .32
376 2
|| −−−
xxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi f(x), dacă:
a) f(x) + 2f(3 – x) = 3x + 1; b) f(x) + 3f(1 – x) = 2x2 + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)
= − 8x + 3. 2xFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)
= − 14x + 64. 2xFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul III. Funcţii 45
37. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = x2 − 14x + 64.
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)
= x4 − 26x2 + 98. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x)
= x4 − 28x2 + 200. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = max {8x – 11, 2 – 9x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = min {9x − 5, 7 – 11x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei definită pe R de formula f(x) = | x4 – 8x + 10 |. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Aflaţi numărul real m pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de formula
f(x) = are graficul un unghi. ⎩⎨⎧
∈−−∈−
),2(ă,23]2,(ă,35'
'xxm
xxdac
dac
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de
formula f(x) = are graficul o linie poligonală. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈−−∈−
−−∈−
),1(ă,24]1,3(ă,
]3,(ă,35
'
'
xxxnmx
xx
dac
dac
dac
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Reprezentaţi grafic funcţia f : (−', 2] → R, f(x) = 3x – 6.
2. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = –2x + 6.
3. Reprezentaţi grafic funcţia f : [− 4, 2) → R, f(x) = 0,5x − 3.
4. Reprezentaţi grafic pe domeniul său maxim de definiţie în R funcţia
f(x) = .4
5−x
5. Reprezentaţi grafic pe domeniul său maxim de definiţie în R funcţia:
f(x) = .5−x 6. Reprezentaţi grafic funcţia
f : R → R, f(x) = | 6x |.
1. Reprezentaţi grafic funcţia f : (−', 1] → R, f(x) = 2x – 6.
2. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = –4x + 8.
3. Reprezentaţi grafic funcţia f : (−2, 4] → R, f(x) = 0,5x + 2.
4. Reprezentaţi grafic pe domeniul său maxim de definiţie în R funcţia
f(x) = .5
4−x
5. Reprezentaţi grafic pe domeniul său maxim de definiţie în R funcţia:
f(x) = .6−x 6. Reprezentaţi grafic funcţia
f : R → R, f(x) = | 5x |.
Capitolul III. Funcţii 46
7. Reprezentaţi grafic funcţia f :
R → R, f(x) = ⎩⎨⎧
∈−∈−).,4(ă,2
]4,(ă,6''
xxx
dac
dac
8. Construiţi funcţia al cărui grafic este [AB ∪ (CD cu A(–2, 4), B(–5, 3), C(–2, 1) şi D(3, 1).
9. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de formula
f(x) =
are graficul o linie poligonală.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈−−∈−
−−∈−
),3(ă,5]3,1(ă,
]1,(ă,13
'
'
xxxnmx
xx
dac
dac
dac
7. Reprezentaţi grafic funcţia f : R →
R, f(x) = ⎩⎨⎧
∈−∈−).,5(ă,2
]5,(ă,7''
xxx
dac
dac
8. Construiţi funcţia al cărui grafic este (AB ∪ [CD cu A(–3, 2), B(–6, 1), C(–3, 4) şi D(4, 2).
9. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei f : R → R definită de formula
f(x) = are
graficul o linie poligonală.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈−−∈−
−−∈+
),2(ă,41]2,2(ă,
]2,(ă,12
'
'
xxxnmx
xx
dac
dac
dac
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
3. F u n c ţ i a d e g r a d u l I I
1. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă:
a) f(x) = –3x2; b) f(x) = –7x2; c) f(x) = –8x2; d) f(x) = –6x2; e) f(x) = 10x2; f) f(x) = 12x2; g) f(x) = 15x2; h) f(x) = 12x2.
2. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –9x2; b) f(x) = –13x2; c) f(x) = –17x2; d) f(x) = –19x2; e) f(x) = 23x2; f) f(x) = 25x2; g) f(x) = 26x2; h) f(x) = 31x2.
3. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă:
a) f(x) = –5x2 + 2; b) f(x) = –3x2 + 8; c) f(x) = –6x2 + 11; d) f(x) = –7x2 + 3; e) f(x) = –8x2 + 3; f) f(x) = –10x2 + 7.
4. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = x2 – 9; b) f(x) = x2 – 1; c) f(x) = x2 – 4; d) f(x) = x2 – 16; e) f(x) = x2 – 36; f) f(x) = x2 – 49.
5. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –9x2 + 4; b) f(x) = –4x2 + 1; c) f(x) = –9x2 + 1; d) f(x) = –16x2 + 1; e) f(x) = –x2 + 25; f) f(x) = –25x2 + 1.
6. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă:
a) f(x) = 3x2 + 7; b) f(x) = 8x2 + 5; c) f(x) = 6x2 + 13; d) f(x) = –12x2 – 1; e) f(x) = –14x2 – 1; f) f(x) = –17x2 – 1.
7. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = 3x2 + 5; b) f(x) = 5x2 + 4; c) f(x) = 7x2 + 3;
Capitolul III. Funcţii 47
d) f(x) = 9x2 + 1; e) f(x) = 12x2 + 5; f) f(x) = 13x2 + 2. 8. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate,
dacă: a) f(x) = 5x2 + 4x; b) f(x) = 6x2 + 7x; c) f(x) = 8x2 + 3x; d) f(x) = 9x2 + 5x; e) f(x) = 8x2 + 4x; f) f(x) = 12x2 + 3x.
9. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi intersecţiile graficului lui f cu axele de coordonate, dacă:
a) f(x) = –2x2 + 9x; b) f(x) = –8x2 + 4x; c) f(x) = –5x2 + 15x; d) f(x) = –12x2 + 8x; e) f(x) = –9x2 + 3x; f) f(x) = –7x2 + 14x.
10. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x2; b) f(x) = 2x2; c) f(x) = 3x2; d) f(x) = 5x2; e) f(x) = 0,5x2; f) f(x) = 0,25x2; g) f(x) = 0,2x2; h) f(x) = 0,4x2.
11. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2; b) f(x) = –0,6x2; c) f(x) = –0,8x2; d) f(x) = –0,2x2; e) f(x) = –0,4x2; f) f(x) = –0,16x2; g) f(x) = –2,4x2; h) f(x) = –0,32x2.
12. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = 5x2 – 7x; b) f(x) = 6x2 – 11x; c) f(x) = 8x2 – 3x; d) f(x) = 10x2 – 9x; e) f(x) = 13x2 – 7x; f) f(x) = 14x2 – 5x.
13. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = –21x2 + 5x; b) f(x) = –14x2 – 9x; c) f(x) = –15x2 – 4x; d) f(x) = –3x2 – 10x; e) f(x) = –12x2 – 5x; f) f(x) = –8x2 – 7x.
14. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = 13x2 – 4x; b) f(x) = 11x2 – 2x; c) f(x) = 7x2 – 6x; d) f(x) = 9x2 – 13x; e) f(x) = 4x2 – 3x; f) f(x) = 8x2 – 9x.
15. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi Im f = E(f) şi studiaţi monotonia funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x2 – 8x; b) f(x) = –5x2 – 6x; c) f(x) = –9x2 – 7x; d) f(x) = –8x2 – 3x; e) f(x) = –6x2 – 5x; f) f(x) = –10x2 – 3x.
16. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 6x; b) f(x) = 3x2 – 6x; c) f(x) = 4x2 – 8x; d) f(x) = x2 + 3x; e) f(x) = x2 – 4x; f) f(x) = 2x2 – 3x.
17. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2 + 8x; b) f(x) = –3x2 – 9x; c) f(x) = –5x2 – 10x; d) f(x) = –4x2 + 4x; e) f(x) = –x2 – 4x; f) f(x) = –2x2 – 6x.
18. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x2 – 7x + 1; b) f(x) = 6x2 – 9x + 1; c) f(x) = 8x2 – 5x – 1; d) f(x) = 9x2 – 7x + 1; e) f(x) = 12x2 – 7x + 1; f) f(x) = 14x2 – 5x – 1.
19. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = –6x2 + 5x + 1; b) f(x) = –8x2 – 9x + 1; c) f(x) = –7x2 – 4x + 2; d) f(x) = –3x2 – 9x + 2; e) f(x) = –3x2 – 4x + 1; f) f(x) = –4x2 – 7x + 3.
20. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = 6x2 + 7x + 3; b) f(x) = 8x2 – 9x + 3; c) f(x) = 6x2 – 5x + 2; d) f(x) = 4x2 – 6x + 3; e) f(x) = 5x2 – 4x + 1; f) f(x) = 4x2 – 7x + 5.
21. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi minimul sau maximul unei funcţiei f, dacă: a) f(x) = –6x2 + 5x – 3; b) f(x) = –7x2 + 9x – 3; c) f(x) = –6x2 + 5x – 3;
Capitolul III. Funcţii 48
d) f(x) = –2x2 + 5x – 6; e) f(x) = –5x2 + 3x – 1; f) f(x) = –4x2 + 7x – 5. 22. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă:
a) f(x) = x2 – 7x + 12; b) f(x) = x2 – 7x + 10; c) f(x) = x2 – 5x + 6; d) f(x) = x2 – 6x + 5; e) f(x) = x2 – 8x + 15; f) f(x) = x2 – 9x + 20.
23. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –x2 – 3x + 10; b) f(x) = –x2 – 3x + 18; c) f(x) = –x2 – 2x + 15; d) f(x) = –x2 – 2x + 8; e) f(x) = –x2 – x + 6; f) f(x) = –x2 – 2x + 24.
24. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 3x + 2; b) f(x) = x2 – 3x + 3; c) f(x) = x2 – 2x + 3; d) f(x) = x2 – 2x + 4; e) f(x) = x2 – x + 3; f) f(x) = x2 – 3x + 4.
25. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x2 + 3x – 2; b) f(x) = –x2 + 3x – 4; c) f(x) = –x2 – 2x – 5; d) f(x) = –x2 – 2x – 6; e) f(x) = –x2 + x – 4; f) f(x) = –x2 + 4x – 5.
26. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = x2 – 6x + 4; b) y = x2 – 7x + 5; c) y = x2 – 5x + 3; d) y = x2 – 8x + 5; e) y = x2 – 3x + 5; f) y = x2 – 9x + 21.
27. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = –2x2 + 5x + 1; b) y = –x2 – 7x + 2; c) y = –x2 – 3x + 3; d) y = –x2 – 9x + 2; e) y = –x2 – 3x + 4; f) y = –x2 – 10x + 2.
28. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = 3x2 – 7x + 5; b) y = 2x2 – 6x + 5; c) y = 2x2 – 5x + 4; d) y = 4x2 – 8x + 5; e) y = 5x2 – 3x + 1; f) y = 2x2 – 8x + 9.
29. Aflaţi coordonatele vârfului parabolei: a) y = –3x2 + 6x – 5; b) y = –2x2 + 6x – 5; c) y = 2x2 – 5x + 4; d) y = –5x2 + 8x – 4; e) y = –3x2 + 3x – 1; f) y = –3x2 + 8x – 7.
30. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 5x + 1; b) f(x) = 3x2 – 6x + 1; c) f(x) = 4x2 – 5x + 1; d) f(x) = 3x2 – 7x + 4; e) f(x) = 5x2 – x – 1; f) f(x) = 6x2 – 5x + 1.
31. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2 – 3x + 1; b) f(x) = –2x2 – 5x + 3; c) f(x) = –3x2 – 4x + 1; d) f(x) = –3x2 – 6x + 2; e) f(x) = –5x2 – 4x + 1; f) f(x) = –6x2 – 5x + 1.
32. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x2 – 3x + 2; b) f(x) = 2x2 – 4x + 3; c) f(x) = 3x2 – 4x + 2; d) f(x) = 4x2 – 6x + 3 e) f(x) = 5x2 – 4x + 1; f) f(x) = 3x2 – 5x + 3.
33. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x2 + 3x –3; b) f(x) = –3x2 + 5x – 3; c) f(x) = –3x2 + 4x – 2; d) f(x) = –5x2 – 6x – 2 e) f(x) = –5x2 + 5x – 2; f) f(x) = –4x2 + 5x – 3.
34. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x2 – 12x + 9; b) f(x) = 9x2 – 12x + 4; c) f(x) = 25x2 – 10x + 1; d) f(x) = 4x2 – 20x + 25 e) f(x) = 4x2 – 28x + 49; f) f(x) = 4x2 – 40x + 25.
35. Fie funcţia f : R → R. Stabiliţi semnul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –9x2 + 42x – 49; b) f(x) = –9x2 + 30x – 25; c) f(x) = –25x2 + 30x – 9; d) f(x) = –4x2 + 28x – 49; e) f(x) = –25x2 + 70x – 49; f) f(x) = –25x2 + 60x – 36.
Capitolul III. Funcţii 49
36. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | 5x2 – 8x + 1 |; b) f(x) = | 2x2 – 8x + 1 |; c) f(x) = | 3x2 – 8x + 1 |; d) f(x) = | 4x2 – 8x + 1 |; e) f(x) = | x2 – 7x + 1 |; f) f(x) = | 2x2 – 7x + 1 |.
37. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | –2x2 – 3x + 1 |; b) f(x) = | –2x2 – 4x + 1 |; c) f(x) = | –3x2 – 4x + 1 |; d) f(x) = | –4x2 – 3x + 1 |; e) f(x) = | –3x2 – 5x + 1 |; f) f(x) = | –5x2 – 5x + 1 |.
38. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | 9x2 + 12x + 4 |; b) f(x) = | 4x2 + 12x + 9 |; c) f(x) = | 4x2 + 20x + 25 |; d) f(x) = | 4x2 + 28x + 49 |; e) f(x) = | 25x2 + 20x + 4 |; f) f(x) = | 49x2 + 20x + 4 |.
39. Fie funcţia f : R → R. Explicitaţi: a) f(x) = | –3x2 + 2x – 1 |; b) f(x) = | –4x2 + 5x – 2 |; c) f(x) = | –3x2 + 3x – 2 |; d) f(x) = | –3x2 + 4x – 3 |; e) f(x) = | –5x2 + 6x – 2 |; f) f(x) = | –4x2 + 5x – 3 |.
40. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este pozitivă, dacă: a) f(x) = 3x2 + 8x – m; b) f(x) = 4x2 + 6x + m; c) f(x) = 5x2 + 7x – m; d) f(x) = 3x2 + 6x + m; e) f(x) = 2x2 + 5x – m; f) f(x) = 4x2 + 3x + m.
41. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este strict pozitivă, dacă:
a) f(x) = 4x2 + 8x – m; b) f(x) = 3x2 + 6x + m; c) f(x) = 9x2 + 2x – m; d) f(x) = 5x2 + 6x + m; e) f(x) = 5x2 + 8x – m; f) f(x) = 6x2 + 6x + m.
42. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este negativă, dacă: a) f(x) = –4x2 + 3x – 2m; b) f(x) = –4x2 + 9x + 5m; c) f(x) = –6x2 + 5x – 3m; d) f(x) = –3x2 + 7x + 6m; e) f(x) = –8x2 + 7x – 4m; f) f(x) = –4x2 + 5x + 3m.
43. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este strict negativă, dacă:
a) f(x) = –3x2 + 8x – 5m; b) f(x) = –3x2 + 10x + m; c) f(x) = –6x2 + 8x – 4m; d) f(x) = –5x2 + 10x + m; e) f(x) = –9x2 + 8x – 3m; f) f(x) = –6x2 + 10x + m.
44. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f are semn constant pe R, dacă:
a) f(x) = 3mx2 + 12x – 4; b) f(x) = 2mx2 + 8x + 5; c) f(x) = 2mx2 + 8x – 5; d) f(x) = 5mx2 + 4x + 6; e) f(x) = 4mx2 + 10x – 3; f) f(x) = 8mx2 + 6x + 3.
45. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f nu are acelaşi semn pe R, dacă:
a) f(x) = 11mx2 + 12x – 4; b) f(x) = 3mx2 + 10x + 3; c) f(x) = 3mx2 + 8x – 5; d) f(x) = 7mx2 + 12x + 2; e) f(x) = 5mx2 + 10x – 3; f) f(x) = 9mx2 + 14x + 1.
Capitolul III. Funcţii 50
46. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este situat deasupra axei Ox, dacă:
a) f(x) = 9x2 + 8x – (m – 3); b) f(x) = 5x2 + 10x + m – 2; c) f(x) = 7x2 + 8x – (m – 1); d) f(x) = 5x2 + 12x + m – 3; e) f(x) = 5x2 + 8x – (m – 2); f) f(x) = 3x2 + 10x + m – 1.
47. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul lui f este situat sub axa Ox, dacă:
a) f(x) = –9x2 + 12x – (3m –1); b) f(x) = –5x2 + 4x + 3m – 1; c) f(x) = –2x2 + 8x – (2m – 1); d) f(x) = –5x2 + 6x + 2m – 1; e) f(x) = –3x2 + 6x – (2m – 1); f) f(x) = –3x2 + 2x + 3m – 1.
48. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este tangent axei Ox, dacă:
a) f(x) = 11x2 + 14x – (m – 4); b) f(x) = 3x2 + 4x + m – 2; c) f(x) = 2x2 + 4x – (m – 3); d) f(x) = 7x2 + 4x + m – 3; e) f(x) = 3x2 + 2x – (m – 2); f) f(x) = 9x2 + 2x + m – 4.
49. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este secant axei Ox, dacă:
a) f(x) = 11x2 + 14x – (m – 5); b) f(x) = 8x2 + 6x + m – 4; c) f(x) = 3x2 + 6x – (m – 4); d) f(x) = 6x2 + 4x + m – 3; e) f(x) = 5x2 + 8x – (m – 3); f) f(x) = 4x2 + 2x + m – 2.
50. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful „în jos“ (sau ramurile orientate „în sus“), dacă:
a) f(x) = (3m – 5)x2 + 16x – 9; b) f(x) = (2m – 3)x2 + 13x + 9; c) f(x) = (2m – 1)x2 + 11x – 2; d) f(x) = (3m – 4)x2 + 14x + 11; e) f(x) = (3m – 2)x2 + 28x – 5; f) f(x) = (4m – 5)x2 + 15x + 13.
51. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care graficul funcţiei f este o parabolă cu vârful „în sus“ (sau ramurile orientate „în jos“), dacă:
a) f(x) = (5m – 4)x2 + 74x – 15; b) f(x) = (2m – 5)x2 + 55x + 1; c) f(x) = (4m – 3)x2 + 34x – 21; d) f(x) = (3m – 6)x2 + 27x + 3; e) f(x) = (2m – 5)x2 + 40x – 33; f) f(x) = (4m – 8)x2 + 33x + 6.
52. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care intersecţia graficului funcţiei f cu axa Oy are ordonata nenegativă, dacă:
a) f(x) = 15x2 + 9x – (6m – 5); b) f(x) = 2x2 + 5x + 4m – 5; c) f(x) = 14x2 + 8x – (2m – 7); d) f(x) = 3x2 + 6x + 8m – 3; e) f(x) = 13x2 + 7x – (3m – 8); f) f(x) = 4x2 + 7x + 10m – 7.
53. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care intersecţia graficului funcţiei f cu axa Oy are ordonata nepozitivă, dacă:
a) f(x) = 16x2 + 13x – (16m – 9); b) f(x) = 11x2 + 7x + 8m – 25; c) f(x) = 22x2 + 9x – (2m – 11); d) f(x) = 12x2 + 3x + 4m – 13; e) f(x) = 25x2 + 10x – (3m – 12); f) f(x) = 13x2 + 9x + 2m – 19.
54. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află deasupra axei Ox: a) y = 5x2 + 14x – 9m; b) y = 3x2 + 4x + 3m; c) y = 4x2 + 8x – 3m; d) y = 5x2 + 6x + 4m;
Capitolul III. Funcţii 51
e) y = 9x2 + 4x – 5m; f) y = 6x2 + 2x + 7m. 55. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află sub axa Ox:
a) y = 6x2 + 18x – 7m; b) y = 5x2 + 10x + 6m; c) y = 7x2 + 8x – 4m; d) y = 7x2 + 12x + 3m; e) y = 11x2 + 6x – 6m; f) y = 9x2 + 6x + 5m.
56. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află deasupra axei Ox: a) y = –10x2 + 12x – 5m; b) y = –13x2 + 2x + 5m; c) y = –9x2 + 10x – 2m; d) y = –11x2 + 4x + 6m; e) y = –8x2 + 2x – 3m; f) y = –7x2 + 6x + 8m.
57. Aflaţi numerele reale m pentru care vârful parabolei se află sub axa Ox: a) y = –11x2 + 16x – 9m; b) y = –8x2 + 2x + 11m; c) y = –9x2 + 4x – 8m; d) y = –6x2 + 4x + 10m; e) y = –7x2 + 8x – 2m; f) y = –4x2 + 8x + 9m.
58. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia parabolei: a) y = 4x2 + 3x – 8 de vector (0, –3); b) y = 3x2 + 2x – 1 de vector (0, 4); c) y = 5x2 – 3x + 1 de vector (0, –5); d) y = –6x2 + 2x + 1 de vector (0, 5); e) y = –3x2 + 7x – 2 de vector (0, –9); f) y = 9x2 + 11x – 2 de vector (0, 8).
59. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia parabolei: a) y = 8x2 + 5x – 1 de vector (3, 0); b) y = 2x2 + 5x – 1 de vector (–2, 0); c) y = 2x2 – 6x + 1 de vector (1, 0); d) y = –9x2 + 5x + 1 de vector (–1, 0); e) y = –3x2 + 8x – 1 de vector (2, 0); f) y = 3x2 + 5x – 1 de vector (–3, 0).
60. Rezolvaţi ecuaţia: a) | 9x2 + 12x + 1 | = 3; b) f(x) = | 4x2 + 12x – 1 | = 7; c) | 2x2 + 20x + 3 | = 6; d) f(x) = | 4x2 + 28x + 3 | = 8; e) | 5x2 + 20x – 4 | = 11; f) f(x) = | 9x2 + 10x + 2 | = 3.
61. Aduceţi la forma canonică funcţia f : R → R, dacă: a) f(x) = 2x2 + 3x –3; b) f(x) = –4x2 + 5x + 3; c) f(x) = 5x2 + 4x + 2.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 62. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este strict pozitivă,
dacă: a) f(x) = 4x2 + 2(m – 2)x – 3; b) f(x) = 3x2 + (2m – 1)x + m + 1.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 63. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f este negativă, dacă:
a) f(x) = 4x2 + 2(m + 3)x – 5m; b) f(x) = 3x2 + 2(2m + 1)x + 4m. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 64. Fie funcţia f : R → R. Aflaţi numerele reale m pentru care f are semn constant,
dacă: a) f(x) = 3x2 + 4(m – 4)x – 4m; b) f(x) = –5x2 + 2(3m – 2)x + 3m.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 65. Fie funcţia f : R → R, f(x) = (2m + 1)x2 + 2(m – 3)x + 2m. Aflaţi numerele
reale m pentru care graficul funcţiei f nu are puncte comune cu axa Ox. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul III. Funcţii 52
66. Construiţi funcţia de gradul II al cărui grafic intersectează axele de coordonate în punctele (–18, 0), (–3, 0) şi (0, 6).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 67. Construiţi funcţia de gradul II cu un zerou –2 şi cu graficul o parabolă de vârf
(2, –16). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 68. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = | 4x2 – 12x + 3 | . Formulaţi un exerciţiu asemănător.
69. Construiţi funcţia de gradul II, dacă graficul ei intersectează axa Oy în (0, 6) şi punctul de extrem x = 2,5.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 70. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia parabolei y = 6x2 + 9x – 5 de
vector (2, –3). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 71. Aflaţi ecuaţia parabolei din care se obţine prin translaţia de vector (–3, 2) para-
bola y = 4x2 + 8x – 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 72. Aflaţi ecuaţia parabolei ce se obţine prin translaţia de vector (m, n) a parabolei
y = ax2 + bx + c. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 73. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care y = 2x2 + 9x – 5 este ecuaţia parabolei
ce se obţine prin translaţia de vector (m, n) a parabolei y = 7x2 – 9. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 74. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R, f(x) = | x2 – 8x + 12 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 75. Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 6x + 8 | ≥ 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 76. Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 2x – 15 | ≥ 3 – x. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 77. Fie mulţimea parabolelor (fascicolul de parabole) y = 3(m – 1)x2 + 2(m + 3)x –
1, m ∈ R. Aflaţi m pentru care parabolele fascicolului au ramurile orientate în sus şi au vârfurile situate deasupra dreptei y = –2.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 78. Fie fascicolul de parabole y = 2x2 + 3(m – 1)x + 3m – 1, m ∈ R. Arătaţi că toate
parabolele au un punct comun (punct fix). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 79. Fie fascicolul de parabole y = 3x2 + (m – 2)x + m + 1, m ∈ R. Arătaţi că toate
vârfurile parabolelor fascicolului sunt conţinute de o parabolă. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 80. Fie ecuaţia (m – 1)x2 + 2(m – 3)x – 1 = 0, m ∈ R. Aflaţi valoarea minimă a su-
mei pătratelor soluţiilor ecuaţiei. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 81. Rezolvaţi grafic în R ecuaţia || x2 – x | – 2 | = x + 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul III. Funcţii 53
82. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei f : R → R, f(x) = .122
2
2
++
xxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Studiaţi monotonia funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 5x2; b) f(x) = –2x2. 2. Studiaţi monotonia funcţiei f :
R → R, cu: a) f(x) = 6x2 + 7x; b) f(x) = –9x2 – 23x.
3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 4x2; b) f(x) = –5x2. 4. Studiaţi monotonia funcţiei f :
R → R, cu: a) f(x) = 13x2 – 3x; b) f(x) = –15x2 + 11x.
5. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = x2 – 3x; b) f(x) = –x2 + 4x.
6. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = x2 – 2x – 3; b) f(x) = –x2 + 4x + 3.
7. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = x2 – 2x + 3; b) f(x) = –x2 + 4x – 5.
8. Aflaţi numerele reale m pentru care (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x + 3 este negativă.
9. a) Aflaţi ecuaţia unei parabole cu vârful V(3,5; –2,25) şi unul dintre punctele ei de intersecţie cu axa Ox are abscisa 3.
b) Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 7x + 12 | ≥ 2 – x.
1. Studiaţi monotonia funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 5x2; b) f(x) = –2x2. 2. Studiaţi monotonia funcţiei f : R →
R, cu: a) f(x) = 6x2 + 7x; b) f(x) = –9x2 – 23x.
3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 5x2; b) f(x) = –4x2. 4. Studiaţi monotonia funcţiei f : R →
R, cu: a) f(x) = 15x2 – 4x; b) f(x) = –13x2 + 2x.
5. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = x2 – 2x; b) f(x) = –x2 + 5x.
6. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = x2 – 3x + 2; b) f(x) = –x2 + 3x – 4.
7. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = x2 – 2x + 4; b) f(x) = –x2 + 4x – 6.
8. Aflaţi numerele reale m pentru care (m – 1)x2 – 2(2m + 1)x – 3 este negativă.
9. a) Aflaţi ecuaţia unei parabole cu vârful V(3,5; –0,25) şi unul dintre punctele ei de intersecţie cu axa Ox are abscisa 3.
b) Rezolvaţi grafic în R inecuaţia | x2 – 7x + 10 | ≥ 3 – x.
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul III. Funcţii 54
4. F u n c ţ i a p u t e r e
1. Fie funcţia f : R → R. Ordonaţi valorile funcţiei f, dacă: a) f(x) = –8x3 pentru –6, –5, –1, 0, 1, 5, 6; b) f(x) = –2x3 pentru –10, –2, –1, 0, 1, 2, 10; c) f(x) = –3x3 pentru –100, –4, –1, 0, 1, 4, 100; d) f(x) = –4x3 pentru –7, –3, –1, 0, 1, 3, 7; e) f(x) = –10x3 pentru –10, –5, –1, 0, 1, 5, 10; f) f(x) = –5x3 pentru –10, –2, –1, 0, 1, 2, 10.
2. Fie funcţia f : R → R. Ordonaţi valorile funcţiei f, dacă: a) f(x) = 12x3 pentru –4, –3, –1, 0, 1, 3, 4; b) f(x) = 2x3 pentru –10, –5, –1, 0, 1, 5, 10; c) f(x) = 3x3 pentru –100, –2, –1, 0, 1, 2, 100; d) f(x) = 4x3 pentru –4, –3, –1, 0, 1, 3, 4; e) f(x) = 10x3 pentru –6, –2, –1, 0, 1, 2, 6; f) f(x) = 5x3 pentru –7, –5, –1, 0, 1, 5, 7.
3. Fie funcţia f : R → R. Decideţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = 16x3; b) f(x) = 7x3; c) f(x) = 13x3; d) f(x) = 4x3; e) f(x) = 9x3; f) f(x) = 5x3.
4. Fie funcţia f : R → R. Decideţi paritatea funcţiei f, dacă: a) f(x) = –28x4; b) f(x) = –19x4; c) f(x) = –27x5; d) f(x) = –15x4; e) f(x) = –25x4; f) f(x) = –14x4.
5. Fie funcţia pară f : R → R. Aflaţi fără calcul încă trei valori ale lui f, dacă: a) f(–17) = –56, f(5) = –15, f(–7) = 13; b) f(–25) = 81, f(11) = –31, f(–3) = 10; c) f(31) = –100, f(–15) = 51, f(20) = –75; d) f(–42) = –37, f(35) = –31, f(–13) = 24; e) f(–28) = 76, f(–23) = –27, f(15) = –109; f) f(98) = –65, f(–71) = –48, f(22) = –36.
6. Fie funcţia impară f : R → R. Aflaţi fără calcul încă trei valori ale lui f, dacă: a) f(–82) = 12, f(10) = –37, f(–11) = –6; b) f(–8) = 26, f(5) = –42, f(–2) = –32; c) f(14) = –83, f(–16) = 93, f(28) = –63; d) f(–3) = 55, f(19) = –21, f(–34) = 44; e) f(–38) = 84, f(31) = –69, f(8) = 26; f) f(2) = –28, f(–39) = 123, f(–38) = 49.
7. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x3; b) f(x) = 3x3; c) f(x) = 2x3; d) f(x) = 5x3.
8. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x3 – 3; b) f(x) = 3x3 + 2; c) f(x) = 2x3 – 1; d) f(x) = 4x3 – 3.
9. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x3; b) f(x) = –4x3; c) f(x) = –5x3; d) f(x) = –2x3.
Capitolul III. Funcţii 55
10. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x3 + 1; b) f(x) = –3x3 + 2; c) f(x) = –4x3 – 2; d) f(x) = –5x3 – 1.
11. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 4x4; b) f(x) = 3x4; c) f(x) = 2x4; d) f(x) = 5x4.
12. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = 2x4 – 3; b) f(x) = 3x4 + 2; c) f(x) = 2x4 – 1; d) f(x) = 4x4 – 3.
13. Fie funcţia f : R → R. Construiţi graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –3x4; b) f(x) = –4x4; c) f(x) = –5x4; d) f(x) = –2x4.
14. Fie funcţia f : R → R. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f, dacă: a) f(x) = –2x4 + 1; b) f(x) = –3x4 + 2; c) f(x) = –4x4 – 2; d) f(x) = –5x4 – 1.
15. Fie funcţia f : R → R, f(x) = | 2x3 – 3 |. Reprezentaţi grafic, cât mai simplu, func-ţia f.
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
16. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, ⎩⎨⎧
>−≤−
=.1ă,31ă,13)(
3
xxxxxf
dac
dac
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
17. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, ⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
≤−=
.1ă,3
1ă,2)(
2
3
xx
xxxf
dac
dac
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
18. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, ⎪⎩
⎪⎨⎧
−>−
−≤+=
.1ă,3
1ă,3)(
3
4
xx
xxxf
dac
dac
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 19. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R,
.)( 332
xxxf ⋅= Formulaţi un exerciţiu asemănător.
20. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R,
.23)23()( 332
−⋅−= xxxf Formulaţi un exerciţiu asemănător. 21. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R,
.43])43[()( 331
2 xxxf −⋅−= Formulaţi un exerciţiu asemănător. 22. Rezolvaţi grafic în R inecuaţia x3 – 2 > –x2 + 3x. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 23. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = sgn (x2 – 5x + 6). Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul III. Funcţii 56
24. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−∈+
−∈+
−−∈+
=
).,1(ă,2
]1,1[ă,12
)1,(ă,12
)(2
3
'
'
xx
xx
xx
xf
dac
dac
dac
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Funcţia f : R → R este pară şi f(5) = –5, f(9) = –8, f(–5) = 9. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f.
2. Funcţia f : R → R este impară şi f(–8) = 13, f(4) = –8, f(6) = 16. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f.
3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = 1,5x3.
4. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = –0,2x3.
5. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 0,25x4; b) f(x) = –1,5x4.
6. Construiţi, cât mai simplu, grafi-cul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 0,6x3 – 2; b) f(x) = –0,4x3 + 3.
7. Construiţi, cât mai simplu, grafi-cul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 0,5x4 – 2; b) f(x) = –0,6x4 + 3.
8. Construiţi, cât mai simplu, grafi-cul funcţiei f : R → R,
f(x) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
∈−
−∈−
).,1[ă,3
)1,(ă,24
3
'
'
xx
xx
dac
dac
9. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în
R, a) ;41)14()( 554
xxxf −⋅−=
b) .)2(])2[()( 7 372
2 xxxf −⋅−=
1. Funcţia f : R → R este pară şi f(6) = –8, f(11) = –2, f(–9) = 3. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f.
2. Funcţia f : R → R este impară şi f(–10) = 10, f(2) = –19, f(5) = 21. Aflaţi alte trei valori ale funcţiei f.
3. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = 0,5x3.
4. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = –0,6x3.
5. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 0,2x4; b) f(x) = –0,5x4.
6. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 0,4x3 – 1; b) f(x) = –0,25x3 + 2.
7. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R, cu:
a) f(x) = 0,4x4 – 3; b) f(x) = –0,2x4 + 1.
8. Construiţi, cât mai simplu, graficul funcţiei f : R → R,
f(x) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
∈−
−∈−
).,1[ă,4
)1,(ă,34
3
'
'
xx
xx
dac
dac
9. Construiţi graficul funcţiei f : D → R, D domeniul maxim de definiţie în R,
a) ;51)15()( 998
xxxf −⋅−=
b) .)3(])3[()( 11 3114
2 xxxf −⋅−=
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul III. Funcţii 57
C A P I T O L U L IV
Polinoame şi fracţii algbrice
Expresie algebrică raţională. O expresie algebrică care nu conţine litere (varia-bile) sub radical este o expresie raţională.
Monom. Un monom este o expresie algebrică formată din numere şi variabile între care se execută numai înmulţiri şi/sau ridicări la putere cu exponenţi naturali. Un monom este format din coeficient (un număr) şi parte literală. Variabilele unui monom se numesc nedeterminate. Pentru a distinge un monom de alte expresii alge-brice, nedeterminatele se scriu cu majuscule: X, Y, Z etc.
Forma canonică a unui monom. Un monom cu partea literală formată din nede-terminate diferite (fiecare literă apare o singură dată) este scris în forma canonică.
Gradul unui monom. Exponentul puterii unei nedeterminate a unui monom scris în forma canonică este gradul monomului în raport cu acea nedeterminată. Gradul monomului în raport cu toate nedeterminatele este egal cu suma exponenţilor puteri-lor nedeterminatelor. Numerele se consideră monoame de gradul 0.
Monoame asemenea. Două monoame care au aceeaşi parte literală sunt monoame asemenea.
Polinom. Un polinom este o sumă algebrică de monoame ce nu sunt toate monoa-me asemenea.
Forma canonică (standard) a unui polinom. Considerăm polinoamele într-o singură nedeterminată. Fie un polinom în nedeterminata X cu monoamele scrise în forma canonică. Polinomul este scris în forma canonică dacă monoamele lui sunt scrise în ordinea descrescătoare a gradelor lor. Gradul unui polinom este egal cu exponentul maxim al lui X când polinomul este scris în forma canonică. Gradul polinomului P(X) se notează grad P(X). Forma canonică a unui polinom de gradul I în X este P(X) = aX + b; forma canonică a unui polinom de gradul II în X este P(X) =
;cbXaX ++2 forma canonică a unui polinom de gradul III în X este P(X) = +3aX+2bX cX + d. Coeficienţii polinomului P(X) = aX + b sunt, în ordine, numerele a şi
b, adică coeficienţii monoamelor polinomului. În plus, a este coeficientul termenului de grad maxim (coeficientul dominant); b este termenul liber.
Reducerea monoamelor (termenilor) asemenea. Reducerea monoamelor (terme-nilor) asemenea este operaţia prin care doi sau mai multe monoame asemenea se înlocuiesc cu un singur monom asemenea cu celelalte, a cărui coeficient este egal cu suma algebrică a coeficienţilor celorlalte monoame. Prin reducerea termenilor aseme-nea ai unui polinom se obţine forma canonică a acelui polinom.
Binom, trinom. Un polinom în forma canonică cu doi termeni se numeşte binom, iar unul cu trei termeni se numeşte trinom.
Polinoame în două nedeterminate. Polinoame în X şi Y: P(X, Y) = aX + bY + c, cu a şi b numere reale nenule, este forma generală a unui polinom de gradul I în X şi Y; cu a şi f numere reale nenule, este for-,),( 22 fYeYdcXbXYaXYXP +++++=
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 58
ma generală a unui polinom de gradul II în X şi Y. Valoarea numerică a unui polinom. Fie polinomul P(X) = 6X – 5. Valoarea
polinomului P(X) pentru X = 3 (sau în 2) este P(3) = 6⋅3 – 5 = 13, iar pentru X = 1 (sau în 1) este P(1) = 6 – 5 = 1. Valoarea unui polinom în 1 (când nedeterminata sau nedeterminatele sunt egale cu 1) este egală cu suma coeficienţilor.
Rădăcină a unui polinom. Numărul r este rădăcină a polinomului P(X), dacă P(X) = 0.
Polinom constant. Un polinom care are coeficienţii nedeterminatelor nuli este un polinom constant. Polinomul nul (se notează 0) are toţi coeficienţii egali cu 0.
Polinoame egale (identice). Două polinoame sunt egale dacă au aceeaşi formă canonică. Două polinoame sunt egale dacă au valorile egale pentru aceleaşi valori ale nedeterminatelor lor.
Reducerea monoamelor (termenilor) asemenea. Reducerea monoamelor (terme-nilor) asemenea este operaţia prin care doi sau mai multe monoame asemenea se înlocuiesc cu un singur monom asemenea cu celelalte, a cărui coeficient este egal cu suma algebrică a coeficienţilor celorlalte monoame.
Adunarea polinoamelor. Adunarea polinoamelor are proprietăţile adunării nume-relor întregi: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) polinomul nul (0) este element neutru la adunarea polinoamelor; d) polinomul −P(X) este opusul polinomului P(X).
Scăderea polinoamelor. Scăderea polinoamelor P(X) şi Q(X) constă în adunarea lui P(X) cu opusul lui Q(X), adică P(X) – Q(X) = P(X) + (– Q(X)).
Înmulţirea polinoamelor. Înmulţirea polinoamelor se execută ca înmulţirea ex-presiilor algebrice. Fie polinoamele P(X) şi Q(X) polinoame scrise în forma canonică. Atunci, grad P(X)⋅Q(X) = grad P(X) + grad Q(X). Înmulţirea polinoamelor are propri-etăţile înmulţirii numerelor întregi: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) polinomul 1 (de exemplu, P(X) = 1) este element neutru la înmulţirea polinoamelor (în nede-terminata X); d) înmulţirea polinoamelor este distributivă faţă de adunare şi scădere. Pentru orice polinom P(X) este adevărată relaţia: −P(X) = −1⋅P(X). Forma canonică a produsului a două polinoame se obţine aplicând distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi reducerea termenilor asemenea.
Exemple. 1) (3X – 4)(X2 + 2X – 1) = 3X(X2 + 2X – 1) – 4(X2 + 2X – 1) = 3X3 + 6X2 – 3X – 4X2 – 8X + 4 = 3X3 + 2X2 – 11X + 4.
2) (2X3 – 5X + 4)(2X – 7) = 4X4 – 14X3 – 10X2 + 43X – 28. 2X3 – 5X + 4 × 2X – 7
4X4 – 10X2 + 8X –14X3 + 35X – 28 4X4–14X3 –10X2+43X – 28
Pătratul unui binom. Dezvoltarea unui binom la pătrat se face aplicând una din-tre formulele: .)(,)( 222222 22 YXYXYXYXYXYX +−=−++=+
Cubul unui binom. Dezvoltarea unui binom la pătrat se face aplicând una dintre formulele: .33)(,33)( 3223332233 YXYYXXYXYXYYXXYX −+−=−+++=+
Produsul sumei a două monoame cu diferenţa lor. (X + Y)(X – Y) = X2 – Y2. Alte formule. (X + Y)(X2 – XY + Y2) = X3 + Y3; (X – Y)(X2 + XY + Y2) = X3 – Y3;
(suplimentar) (X + Y + Y)2 = X2 + Y2 + Z2 + 2XY + 2XZ + 2YZ; (X – Y)(Xn–1 + X n–2Y + ... + X Y n–2 + Y n–1) = Xn – Yn; (X + Y)(X2n – X2n–1Y + ... – X Y 2n–1 + Y 2n) = X2n+1 – Y2n+1; (X + Y + Z)3 = X3 + Y3 + Z3 + 3(X + Y)(X + Z)(Y + Z) = X3 + Y3 + Z3 + 3(X + Y
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 59
+ Z)(XY +XZ + YZ) – 3XYZ. Descompunerea unui polinom. Descompunerea unui polinom constă în scrierea
unui polinom ca produs de polinoame de grad cel puţin egal cu 1. Pentru a descompu-ne un polinom, se aplică: – metoda factorului comun general; – metoda grupării termenilor; – formule de calcul prescurtat; – metode combinate şi alte metode bazate pe proprietăţile polinoamelor.
Teorema împărţirii. Fie polinoamele P1 şi P2, P2 ≠ 0. Atunci există o singură pe-reche de polinoame Q şi R, astfel încât P1 = P2Q + R şi grad R < grad Q.
Polinoamele din teorema împărţirii se numesc: deîmpărţit (P1), împărţitor (P2), cât (Q), rest (R); grad P1 = grad P2 + grad Q.
Exemplu. Scrieţi teorema împărţirii pentru polinoamele 4X4 – 14X3 – 10X2 + 45X – 25 şi 2X3 – 5X + 4.
4X4 – 14X3 – 10X2 + 45X – 25 2X3 – 5X + 4 (împărţitorul) –4X4 + 10X2 – 8X 2X – 7 (câtul)
–14X3 + 37X – 25 14X3 – 35X + 28 2X + 3 (restul) Conform teoremei împărţirii, 4X4 – 14X3 – 10X2 + 45X – 25 = (2X3 – 5X + 4)( 2X –
7) + 2X + 3. Suplimentar. Schema lui Horner. Pentru împărţirea unui polinom la X – a. Fie
P(X) = 4X4 – 5X3 + 7X – 3 şi Q(X) = X + 3. Executăm împărţirea P : Q aplicând sche-ma lui Horner. Evident, –3 este rădăcina lui Q (împărţitorul). X4 X3 X2 X1 X0
–3 4 –5 0 7 –3 rădăcina lui Q coeficienţii deîmpărţitului P 4
(de sus) –3⋅4 + (–5)
= –17 –3⋅(–17) +
0 = 51 –3⋅51 + 7 =
–146 –3⋅(–146) + (–3) =
435 coeficienţii câtului restul
Rezultă 4X4 – 5X3 + 7X – 3 = (X + 3)(4X3 – 17X2 + 51X – 146) + 435. Divizibilitatea polinoamelor. Polinomul F se divide cu polinomul G (sau G divi-
de F), dacă există polinomul H, astfel încât F = GH. Se notează G | F. Polinom reductibil. Un polinom care se descompune în produsul a două polinoa-
me de grade cel puţin egale cu 1 se numeşte polinom reductibil. Celelalte polinoame se numesc ireductibile.
Teoremă. Restul împărţirii polinomului P(X) la X – a este P(a). Teoremă. Polinomul P(X) se divide cu X – a dacă şi numai dacă P(a) = 0. Teoremă (Bézout). Numărul r este rădăcină a polinomului P(X) dacă şi numai
dacă P(X) se divide cu X – r. Suplimentar. Teoremă. Rădăcinile întregi ale unui polinom cu coeficienţi întregi
se află printre divizorii întregi ai termenului liber. Suplimentar. Exemplu. Descompuneţi, aplicând teorema lui Bézout, polinomul
P(X) = X3 + 3X2 – 2X – 16. Rezolvare. Rădăcinile întregi ale polinomului se află printre divizorii întregi ai ter-
menului liber. 16 are divizorii întregi: –16, –8, –4, –2, –1, 1, 2, 4, 8, 16. În continuare se poate înlocui direct sau se poate aplica schema lui Horner. Aplicăm a doua metodă.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 60
X3 X2 X1 X0
–1 1 3 –2 –16 divizor al lui 16 coeficienţii polinomului
1
(de sus) –1⋅1 + 3 = 2 –1⋅2 – 2 = –4 –1⋅(–4) + (–16) =
–12 2 coeficienţii câtului restul
1 2⋅1 + 3 = 5 2⋅5 – 2 = 8 2⋅8 + (–16) = 0 2 este o rădăcină a polinomului şi P(X) = (X – 2)(X2 + 5X + 8). Polinomul X2 + 5X
+ 8 este ireductibil în R, deoarece are ∆ = –15. Deci P(X) = (X – 2)(X2 + 5X + 8). Pentru polinoame de grad mai mare se pot continua încercările. Facultativ. Cel mai mare divizor comun a două polinoame. D este cel mai
mare divizor comun al polinoamelor P şi Q, dacă divide P şi Q, iar orice divizor al polinoamelor P şi Q divide D. (P, Q) este c.m.m.d.c. al polinoamelor P şi Q.
Facultativ. Polinoame prime între ele (reciproc prime). Dacă grad (P, Q) = 0, atunci P şi Q sunt polinoame prime între ele.
Facultativ. Algoritmul lui Euclid. Fie polinoamele F şi G, F = GC1 + R1, G = R1C2 + R2, R1 = R2C3 + R3, ..., Rk = Rk+1Ck+2. Atunci (F, G) = Rk+1.
Facultativ. Cel mai mic multiplu comun a două polinoame. M este cel mai mic multiplu comun al polinoamelor P şi Q, dacă se divide cu P şi Q, iar orice multiplu comun al polinoamelor P şi Q se divide cu M. [P, Q] este c.m.m.m.c. al polinoamelor P şi Q.
Facultativ. Teoremă. Dacă P şi Q sunt polinoame, atunci .),(
],[QP
PQQP =
Fracţii algebrice. Raportul polinoamelor P şi Q, Q ≠ 0, este fracţia algebrică .QP
Domeniul valorilor admisibile (DVA). Fie fracţia algebrică .)(
)(
XQXP Fie M una
dintre mulţimile N, Z, Q, R. Atunci {a ∈ M | Q(a) ≠ 0} este domeniului valorilor ad-
misibile (DVA) în M al fracţiei .)(
)(
XQXP
Valoarea unei fracţii algebrice. Valoarea în a ∈ DVA a fracţiei algebrice )()(
XQXP
este .)()(
aQaP
Amplificarea fracţiilor. Amplificarea unei fracţii algebrice constă în înmulţirea numărătorului şi a numitorului unei fracţii cu un polinom de grad cel puţin egal cu 1.
Simplificarea fracţiilor. Simplificarea unei fracţii algebrice constă în împărţirea numărătorului şi a numitorului unei fracţii la un polinom de grad cel puţin egal cu 1, care divide atât numitorul, cât şi numărătorul ei.
Atenţie! Prin amplificarea sau simplificarea unei fracţii algebrice se pot obţine fracţii algebrice cu alt DVA decât cel al fracţiei iniţiale.
Fracţie algebrică ireductibilă. O fracţie algebrică ireductibilă este o fracţie care
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 61
nu se poate simplifica cu un polinom de grad mai mare sau egal cu 1. Adunarea fracţiilor algebrice. Adunarea fracţiilor are proprietăţile adunării nu-
merelor raţionale: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) fracţia nulă (cu numărăto-rul egal cu polinomul nul şi numitorul diferit de polinomul nul) este element neutru la adunarea fracţiilor; d) fracţia −F(X) este opusa fracţiei F(X).
Înmulţirea fracţiilor algebrice. Înmulţirea fracţiilor algebrice se execută ca în-mulţirea fracţiilor; produsul a două fracţii algebrice este fracţia algebrică care are nu-mărătorul egal cu produsul numărătorilor fracţiilor şi numitorul egal cu produsul nu-mitorilor fracţiilor. Înmulţirea fracţiilor algebrice are proprietăţile înmulţirii fracţiilor: a) asociativitatea; b) comutativitatea; c) fracţia 1 (de exemplu, F(X) = 1) este element neutru la înmulţirea fracţiilor (în nedeterminata X); d) pentru orice fracţie algebrică
diferită de fracţia nulă, F = ,QP există inversa ei, F′ = ,
PQ astfel încât FF′ = 1; e) în-
mulţirea fracţiilor este distributivă faţă de adunare şi scădere. 1. R e c a p i t u l a r e ş i c o m p l e t ă r i
1. Fie monoamele: .57,)5(,6,,3 3523171421310911824 ZYXZYXZYXZYX −− Recu-noaşteţi coeficientul şi partea literală a fiecărui monom.
2. Enumeraţi nedeterminatele fiecăruia dintre monoamele: .3,59,1,6,1,4,2,3 2128245153119 ZYZYXZXZYX −−
3. Fie monoamele: .9,4),21(3,11,34,2 553284532122464 ZYXZYXZYX −−− Preci-zaţi gradul fiecărui monom în raport cu fiecare nedeterminată şi în raport cu toate nedeterminatele.
4. Scrieţi în forma canonică monomul: a) –3X
3Z 11X
5Z 8; b) 2,8X
7Z 4X
8X 3Z
2; c) 51,3X 2Y
12Y 11X
22Y 5;
d) 3,1X 26X
7X 13Y
18Y 9; e) 7X
23Z 9X
43X 51Z
31; f) –6Y 49Z
62Y 19Z
5Y 25.
5. Identificaţi monoamele asemenea din lista: .115,3,5,2,4,3,8,13,7,3,)6(,4,21 4747212474 XYXXYXYXXYXX −−
6. Scrieţi în forma canonică polinomul: a) 3X – 2X 3 + 5X 4 – 7X 6 + 11; b) 12 + 4X 2 – 6X – 11X 5 + 9X 3 – 3X 6; c) –15 + 8X 3 – 18X – 9X 4 + 14X 5 – 21X 6; d) –25 + 7X 3 – 23X – 3X 2 + 4X 4 – 32X 5.
7. Scrieţi în forma canonică polinomul: a) 3X 4 + 8X 3 – (7X 4 – 53X 3 – 3); b) 9X 3 – 3X 2 – (5X 3 – 4X 2 – 8); c) –9X 2 + 7X – (13X 2 – 42X – 2); d) 14X 3 + 5X 2 – (12X 3 – 3X 2 – 7); e) –10X 5 + 14X 3 – (9X 5 – 6X 3 – 24); f) 25X 2 – 4X – (9X 2 – 41X – 19).
9. Aflaţi opusul polinomului: a) 15X 4 – 13X 3 – 8X 2 + 3X + 11; b) 34X 4 + 2X 3 – 17X 2 + 4X – 28; c) –16X 4 + 8X 3 – 5X 2 – 9X + 13; d) 24X 4 – 15X 3 – 6X 2 + 9X + 4; e) 28X 4 – 3X 3 + 42X 2 – 21X – 4; f) –7X 4 + 34X 3 – 19X 2 + 3X – 35.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 62
8. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (–3X 12Y 25)(–7X 12Y 14); b) (–2X 4Y 9)(–9X 7Y 17); c) (–5X 6Y 19)(–4X 24Y 25); d) (–8X 18Y 25)(–7X 33Y 28).
10. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (–132X 45Y 72) : (33X 38Y 69); b) (–78X 43Y 67) : (–39X 31Y 52); c) (–72X 52Y 36) : (36X 49Y 31); d) (–98X 35Y 27) : (49X 29Y 23); e) (–156X 78Y 51) : (52X 69Y 34); f) (–204X 49Y 75) : (–51X 33Y 71).
11. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (–4X 29Y 31)5; b) (–3X 11Y 15)4; c) (–2X 13Y 16)6; d) (–5X 14Y 17)3.
12. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) –5X 9Y 5(3X 3 – 4X 2 + 2X – 6); b) –2X 5Y 3(4X 3 – 5X 2 + 9X – 8); c) –4X 7Y 8(5X 3 – 3X 2 + 4X – 2); d) –3X 11Y 2(6X 3 – 8X 2 + 3X – 5); e) –7X 12Y 21(7X 3 – 11X 2 + 4X – 9); f) –9X 13Y 15(9X 3 – 5X 2 + 6X – 7).
13. Reproduceţi şi completaţi egalitatea: a) (2X − 9)(3X − 8) = 2X(…) − 9(…) = … = …; b) (8X − 3)(7X − 2) = 8X(…) − 3(…) = … = …; c) (9X − 11)(4X − 7) = 9X(…) − 11(…) = … = …; d) (12X − 5)(5X − 3) = 12X(…) − 5(…) = … = …; e) (13X − 6)(2X − 5) = 13X(…) − 6(…) = … = …; f) (15X − 4)(8X − 3) = 15X(…) − 4(…) = … = …
14. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (9X + 8Y)(9X − 8Y); b) (3X + 5Y)(3X − 5Y); c) (7X + 5Y)(7X − 5Y); d) (8X + 5Y)(8X − 5Y); e) (7X + 9Y)(7X − 9Y); f) (10X + 9Y)(10X − 9Y).
15. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 5Y)(3X − 5Y)(9X
2 − 25Y 2); b) (2X + 3Y)(2X − 3Y)(4X
2 − 9Y 2);
c) (2X + 5Y)(2X − 5Y)(4X 2 − 25Y
2); d) (4X + 5Y)(4X − 5Y)(16X 2 − 25Y
2); e) (2X + 9Y)(2X − 9Y)(4X
2 − 81Y 2); f) (5X + 7Y)(5X − 7Y)(25X
2 − 49Y 2).
16. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (9X + 8Y)2; b) (9X + 5Y)2; c) (9X + 4Y)2; d) (9X + 2Y)2; e) (9X + 7Y)2; f) (7X + 5Y)2.
17. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (11X − 8Y)2; b) (3X − 7Y)2; c) (3X − 4Y)2; d) (9X − 5Y)2; e) (9X − 4Y)2; f) (8X − 5Y)2.
18. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (9X + 8Y)3; b) (9X + 5Y)3; c) (9X + 4Y)3; d) (9X + 2Y)3; e) (9X + 7Y)3; f) (7X + 5Y)3.
19. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (11X − 8Y)3; b) (3X − 7Y)3; c) (3X − 4Y)3; d) (9X − 5Y)3; e) (9X − 4Y)3; f) (8X − 5Y)3.
20. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 5Y)(9X
2 − 15XY + 25Y 2); b) (2X + 3Y)(4X
2 − 6XY + 9Y 2);
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 63
c) (3X + 2Y)(9X 2 − 6XY + 4Y
2); d) (4X + 3Y)(16X 2 − 12XY + 9Y
2); e) (5X + 2Y)(25X
2 − 10XY + 4Y 2); f) (5X + 3Y)(25X
2 − 15XY + 9Y 2).
21. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (4X − 5Y)(16X
2 + 20XY + 25Y 2); b) (5X − 3Y)(25X
2 + 15XY + 9Y 2);
c) (3X − 5Y)(9X 2 + 15XY + 25Y
2); d) (4X − 7Y)(16X 2 + 28XY + 49Y
2); e) (7X − 2Y)(49X
2 + 14XY + 4Y 2); f) (7X − 3Y)(49X
2 + 21XY + 9Y 2).
22. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (30X 12Y 13Z 14 – 12X 9Y 8Z 11) : (–6X 5Y 9Z 10); b) (24X 19Y 17Z 15 – 18X 11Y 21Z 14) : (–6X 10Y 17Z 14); c) (32X 21Y 23Z 25 – 24X 19Y 22Z 31) : (–8X 19Y 22Z 25); d) (36X 33Y 26Z 21 – 20X 18Y 29Z 19) : (–4X 18Y 26Z 19); e) (48X 29Y 31Z 32 – 12X 22Y 34Z 35) : (–12X 22Y 31Z 32); f) (45X 34Y 26Z 29 – 15X 31Y 28Z 35) : (–15X 31Y 26Z 29).
23. Descompuneţi în factori polinomul: a) 3X
6Y 9 – 4X
4Y 10 + 5X
3Y 11; b) 8X
8Y 12 – 3 X
7Y 14 + 7X
5Y 17;
c) 5X 12Y
14 – 7X 11Y
16 + 3X 10Y
17; d) 7X 15Y
25 – 12X 14Y
26 + 8X 13Y
27; e) 9X
18Y 15 – 8X
16Y 17 + 4X
14Y 19; f) 12X
22Y 24 – 5X
21Y 26 – 3X
20Y 29.
24. Descompuneţi în factori polinomul: a) 2X
2(4X − 7Y) + 5Y 3(4X − 7Y); b) 3X
3(5X − 2Y) + 7Y 4(5X − 2Y);
c) 5X 2(7X − 11Y) + 2Y
3(7X − 11Y); d) 7X(6X − 5Y) + 3Y 4(6X − 5Y).
25. Descompuneţi în factori polinomul: a) 7X(2X − 3Y + 7) + 9Y(2X − 3Y + 7) − 3(2X − 3Y + 7); b) 10X(5X − 7Y + 2) − 13Y(5X − 7Y + 2) + 7(5X − 7Y + 2); c) 3X(9X − 8Y + 5) − 4Y(9X − 8Y + 5) + 8(9X − 8Y + 5); d) 12X(10X − 9Y + 6) − 7Y(10X − 9Y + 6) + 3(10X − 9Y + 6).
26. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: a) 9X
2 – Y 2; b) 4X
2 – Y 2; c) 16X
2 – Y 2; d) 25X
2 – Y 2;
e) 49X 2 – Y
2; f) 64X 2 – Y
2; g) 81X 2 – Y
2; h) 121X 2 – Y
2. 27. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul:
a) 2X 2 – 5Y
2; b) 3X 2 – 5Y
2; c) 7X 2 – 5Y
2; d) 11X 2 – 5Y
2; e) 11X
2 – 3Y 2; f) 11X
2 – 6Y 2; g) 11X
2 – 7Y 2; h) 11X
2 – 13Y 2.
28. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: a) (3X + 7Y)2 – 4; b) (7X + 5Y)2 – 9; c) (9X + 5Y)2 – 16; d) (11X + 2Y)2 – 25; e) (11X + 3Y)2 – 4; f) (11X + 5Y)2 – 9.
29. Aplicând formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori polinomul: a) (7X + 2Y)2 – (3X − 4Y)2; b) (8X + 3Y)2 – (2X − 5Y)2; c) (9X + 5Y)2 – (8X − 3Y)2; d) (10X + 3Y)2 – (6X − 7Y)2; e) (7X + 9Y)2 – (5X − 2Y)2; f) (11X + 5Y)2 – (2X − 5Y)2.
30. Aplicând de două ori formula diferenţei pătratelor, descompuneţi în factori poli-nomul:
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 64
a) 9X 4 – Y
4; b) 4X 4 – Y
4; c) 16X 4 – Y
4; d) 25X 4 – Y
4; e) 49X
4 – Y 4; f) 64X
4 – Y 4; g) 81X
4 – Y 4; h) 121X
4 – Y 4.
31. Reproduceţi şi completaţi: a) 2X
2 + ... + 1 = ,...)2( 2+X 2X 2 – ... + 1 = ;...)2( 2−X
b) 3X 2 + ... + 1 = ,...)3( 2+X 3X
2 – ... + 1 = ;...)3( 2−X
c) 5X 2 + ... + 1 = ,...)5( 2+X 5X
2 – ... + 1 = ;...)5( 2−X
d) 7X 2 + ... + 1 = ,...)7( 2+X 7X
2 – ... + 1 = ....)7( 2−X 32. Descompuneţi prin restrângerea pătratului unui binom:
a) 169X 2 + 26X + 1; b) 81X
2 + 18X + 1; c) 100X 2 + 20X + 1;
d) 64X 2 + 16X + 1; e) 144X
2 + 24X + 1; f) 49X 2 + 14X + 1.
33. Descompuneţi prin restrângerea pătratului unui binom: a) 81X
2 – 36X + 4; b) 49X 2 – 28X + 4; c) 121X
2 – 44X + 4; d) 64X
2 – 48X + 9; e) 144X 2 – 120X + 25; f) 81X
2 – 90X + 25. 34. Descompuneţi polinomul de gradul II:
a) X 2 – 12X + 32; b) X
2 – 10X + 9; c) X 2 – 9X + 18;
d) X 2 – 13X + 30; e) X
2 – 14X + 40; f) X 2 – 15X + 50.
35. Decideţi dacă este reductibil (se descompune în factori) polinomul de gradul II: a) 4X
2 – 12X + 11; b) 3X 2 – 10X + 9; c) 2X
2 – 9X + 12; d) 4X
2 – 13X + 11; e) 5X 2 – 12X + 8; f) 6X
2 – 12X + 7. 36. Reproduceţi şi completaţi egalităţile:
a) X 3 + 15X
2 + 75X + 125 = (... + ...)3, X 3 – 15X
2 + 75X – 125 = (... – ...)3; b) X
3 + 9X 2 + 27X + 27 = (... + ...)3, X
3 – 9X 2 + 27X – 27 = (... – ...)3;
c) X 3 + 6X
2 + 12X + 8 = (... + ...)3, X 3 – 6X
2 + 12X – 8 = (... – ...)3; d) X
3 + 12X 2 + 48X + 64 = (... + ...)3, X
3 – 12X 2 + 48X – 64 = (... – ...)3;
e) X 3 + 21X
2 + 147X + 343 = (... + ...)3, X 3 – 21X
2 + 147X – 343 = (... – ...)3; f) X
3 + 18X 2 + 108X + 216 = (... + ...)3, X
3 – 18X 2 + 108X – 216 = (... – ...)3.
37. Aplicând formula cubului binomului, descompuneţi în factori polinomul: a) 125X
3 + 75X 2 + 15X + 1; b) 64X
3 + 48X 2 + 12X + 1;
c) 8X 3 + 12X
2 + 6X + 1; d) 27X 3 + 27X
2 + 9X + 1; e) 343X
3 + 147X 2 + 21X + 1; f) 216X
3 + 108X 2 + 18X + 1.
38. Aplicând formula cubului binomului, descompuneţi în factori polinomul: a) 125X
3 – 300X 2 + 240X – 64; b) 64X
3 – 240X 2 + 300X – 125;
c) 8X 3 – 36X
2 + 54X – 27; d) 27X 3 – 108X
2 + 48X – 64; e) 343X
3 – 294X 2 + 84X – 8; f) 216X
3 – 540X 2 + 450X – 125.
39. Reproduceţi şi completaţi egalităţile: a) X
3 + 125 = (X + 5)(X 2 – ... + 25), X
3 – 125 = (X – 5)(X 2 + ... + ...);
b) X 3 + 27 = (X + 3)(X
2 – ... + 9), X 3 – 27 = (X – 3)(X
2 + ... + ...); c) X
3 + 64 = (X + 4)(X 2 – ... + 16), X
3 – 64 = (X – 4)(X 2 + ... + ...);
d) X 3 + 8 = (X + 2)(X
2 – ... + 4), X 3 – 8 = (X – 2)(X
2 + ... + ...); e) X
3 + 216 = (X + 6)(X 2 – ... + 36), X
3 – 216 = (X – 6)(X 2 + ... + ...);
f) X 3 + 343 = (X + 7)(X
2 – ... + 49), X 3 – 343 = (X – 7)(X
2 + ... + ...).
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 65
40. Reduceţi termenii asemenea 5X 5 + 10X
5 + ... + 2005X 5.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Scrieţi în forma canonică monomul –2XX
3X 5... X
2005. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aduceţi la forma cea mai simplă X
16000 : X 3 : X
6 : ... : X 300.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă:
a) (X + 2Y + 5Z)2; b) (2X – 3Y + 5Z)2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 44. Aduceţi la forma cea mai simplă
a) (X – 1)(X + 1)(X 2 + 1)...(X
1024 + 1); b) (X
5 – 1)(X 5 + 1)(X
10 + 1)...(X 1280 + 1).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 45. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) (2X – 1)(2X + 1)(4X 2 + 1)...(256X
8 + 1); b) (3X
5 – 1)(3X 5 + 1)(9X
10 + 1)...(6561X 40 + 1).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) (X – 1)(X 3 + X
2 + X + 1); b) (X + 1)(X 4 – X
3 + X 2 – X + 1).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Descompuneţi în factori (X + 2)6 – (X – 1)6. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 48. Descompuneţi în factori:
a) (X 4 + 1)2 + 2X
2(X 4 + 1) + X
4; b) (X 4 + 1)2 – 2X
2(X 4 + 1) + X
4. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Descompuneţi în factori (X
6 + X 2)2 – 2(X
2 – 1)(X 6 + X
2) + (X 2 – 1)2.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Descompuneţi în factori polinomul:
a) X 6 + 5X
3 + 6; b) X 6 + 7X
3 – 30. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
51. Fie monomul 3X aX
b. Aflaţi monomul de forma dată, dacă: a) a este egal cu numărul divizorilor naturali ai numărului 315 şi b este egal cu
suma divizorilor naturali ai numărului 56; b) a este egal cu restul împărţirii la 100 a numărului 22553, iar b este restul împăr-
ţirii la 100 a numărului 32773; c) a = ϕ(36) (numărul de numere prime cu 36 care sunt mai mici decât 36), iar b
este cel mai mic număr natural cu 12 divizori. 52. Aplicând o formulă, aduceţi la forma cea mai simplă:
a) (2X + Y + 3Z)3; b) (2X – 3Y + Z)3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 53. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) (X – 1)(X 2 + X + 1)(X
6 + X 3 + 1)(X
18 + X 9 + 1)...(X
1458 + X 729 + 1);
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 66
b) (X + 1)(X 2 – X + 1)(X
6 – X 3 + 1)(X
18 – X 9 + 1)...(X
486 – X 243 + 1);.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 54. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) (X – 1)(X 99 + X
98 + ... + X + 1); b) (X + 1)(X 100 – X
99 + ... – X + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 55. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) (X – 1)(X 3 + X
2 + X + 1)(X 12 + X
8 + X 4 + 1)...(X
768 + X 512 + X
256 + 1); b) (X + 1) (X
4 – X 3 + X
2 – X + 1)(X 20 – X
15 + X 10 – X
5 + 1)... (X 500 – X
375 + X250 – X
125 + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 56. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) (X – 1)(X 99 + X
98 + ... + X + 1); b) (X + 1)(X 100 – X
99 + ... – X + 1). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 57. Aflaţi primii 7 termeni, în ordinea crescătoare a gradelor, ai produsului
(1 + X)(1 + X 2)(1 + X
3)(1 + X 4)(1 + X
5)(1 + X 6)...
58. Descompuneţi în factori (X 16 + X
3)2 – 2(X 3 + 1)(X
16 + X 3) + (X
3 + 1)2. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 59. Transcrieţi şi completaţi egalitatea
a) 1 + X + X 2 + X
3 + ... = (1 + X + X 2)(...);
b) 1 – X + X 2 + X
3 – ... = (1 – X + X 2)(...).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 60. Descompuneţi în factori polinomul X
9 + 2X 6 + 3X
3 + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 61. Descompuneţi în factori polinomul (X + 2Y – 3Z)3 – X
3 – 2Y 3 + 27Z
3. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Aduceţi la forma cea mai simplă: (3X + 2Y)(4X – 5Y).
2. Aplicând o formulă de calcul, aduceţi la forma cea mai simplă
(4X + 7Y)( 4X – 7Y). 3. Aplicând o formulă de calcul, adu-
ceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 7Y)2; b) (5X – 8Y)2.
4. Aplicând o formulă de calcul, adu-ceţi la forma cea mai simplă:
a) (4X + 1)3; c) (5Y – 2)3. 5. Aplicând o formulă de calcul, adu-
ceţi la forma cea mai simplă: a) (3X + 1)(9X
2 – 3X + 1); b) (5X – 1)(25X
2 + 5X + 1). 6. Descompuneţi în factori polino-
1. Aduceţi la forma cea mai simplă: (4X + 3Y)(5X – 2Y).
2. Aplicând o formulă de calcul, adu-ceţi la forma cea mai simplă
(5X + 6Y)( 5X – 6Y). 3. Aplicând o formulă de calcul, adu-
ceţi la forma cea mai simplă: a) (4X + 5Y)2; b) (6X – 7Y)2.
4. Aplicând o formulă de calcul, adu-ceţi la forma cea mai simplă:
a) (5X + 1)3; c) (4Y – 3)3. 5. Aplicând o formulă de calcul, adu-
ceţi la forma cea mai simplă: a) (4X + 1)(16X
2 – 4X + 1); b) (3X – 1)(9X
2 + 3X + 1). 6. Descompuneţi în factori polino-
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 67
mul: a) 9X
5Y 7 – 3X
2Y 9;
b) 3X 4(6X − 5Y) + 4Y
2(6X − 5Y). 7. Descompuneţi în factori polino-
mul: a) 9X
4 – 5Y 2;
b) .31525 2 +− XX 8. Descompuneţi în factori polino-
mul X 4 – 4X
2Y 2 + 4Y
4. 9. Descompuneţi în factori polino-
mul 125X 9 – 150X
6 + 60X 3 – 8.
mul: a) 4X
9Y 8 – 8X
6Y 9;
b) 4X 6(7X − 3Y) + 3Y
6(7X − 3Y). 7. Descompuneţi în factori polino-
mul: a) 10X
2 – 9Y 4;
b) .21427 2 +− XX 8. Descompuneţi în factori polinomul
X 4 – 6X
2Y 2 + 9Y
4. 9. Descompuneţi în factori polinomul
64X 9 – 144X
6 + 36X 3 – 27.
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
2. Î m p ă r ţ i r e a p o l i n o a m e l o r
1. Aflaţi gradul produsului polinoamelor P1 şi P2, dacă: a) grad P1 = 15 şi grad P2 = 13; b) grad P1 = 18 şi grad P2 = 21; c) grad P1 = 21 şi grad P2 = 8; d) grad P1 = 28 şi grad P2 = 10.
2. Aflaţi gradul câtului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă: a) grad P1 = 39 şi grad P2 = 17; b) grad P1 = 54 şi grad P2 = 32; c) grad P1 = 45 şi grad P2 = 26; d) grad P1 = 68 şi grad P2 = 53.
3. Aflaţi gradul maxim al restului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă: a) grad P1 = 6 şi grad P2 = 4; b) grad P1 = 72 şi grad P2 = 70; c) grad P1 = 107 şi grad P2 = 76; d) grad P1 = 91 şi grad P2 = 74; c) grad P1 = 85 şi grad P2 = 54; d) grad P1 = 78 şi grad P2 = 46.
4. Efectuaţi prin descompunere: a) (X
4 – 4) : (X 2 – 2); b) (X
4 – 9) : (X 2 – 3); c) (X
6 – 16) : (X 3 – 4);
d) (X 8 – 9) : (X
4 – 3); e) (X 10 – 36) : (X
2 – 6); f) (X 12 – 49) : (X
6 – 7). 5. Efectuaţi prin descompunere:
a) (4X 2 + 4X + 1) : (2X + 1); b) (X
4 – 4X 2 + 4) : (X
2 – 2); c) (X
6 – 2X 3 + 1) : (X
3 – 1); d) (X 8 – 6X
4 + 9) : (X 4 – 3);
e) (9X 10 – 6X
5 + 1) : (3X 5 – 1); f) (25X
6 – 10X 3 + 1) : (5X
3 – 1). 6. Scrieţi teorema împărţirii pentru:
a) (X 4 – 5) : (X
2 – 2); b) (X 4 – 12) : (X
2 – 3); c) (X 6 – 19) : (X
3 – 4); d) (X
8 – 13) : (X 4 – 3); e) (X
10 – 40) : (X 2 – 6); f) (X
12 – 54) : (X 6 – 7).
7. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (4X
2 + 4X + 5) : (2X + 1); b) (X 4 – 4X
2 + 7) : (X 2 – 2);
c) (X 6 – 2X
3 + 4) : (X 3 – 1); d) (X
8 – 6X 4 + 12) : (X
4 – 3); e) (9X
10 – 6X 5 + 5) : (3X
5 – 1); f) (25X 6 – 10X
3 + 7) : (5X 3 – 1).
8. Efectuaţi prin descompunere şi scrieţi teorema împărţirii: a) (X
6 – 5) : (X 2 – 2); b) (X
3 – 24) : (X – 3); c) (X 6 – 59) : (X
2 – 4); d) (X
9 – 22) : (X 3 – 3); e) (X
12 – 123) : (X 4 – 5); f) (X
15 – 210) : (X 5 – 6).
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 68
9. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) [(2X
2 + 1)3 + 2X + 5] : (2X 2 + 1); b) [(3X
2 – 1)3 + 7X – 1] : (3X 2 – 1);
c) [(4X 3 + 3)3 + 4X – 5] : (4X
3 + 3); d) [(5X 2 + 1)3 + 3X + 4] : (5X
2 + 1); e) [(7X
2 – 3)3 + 8X – 2] : (7X 2 – 3); f) [(2X
2 + 1)3 + 2X + 5] : (2X 2 + 1).
10. Aflaţi câtul şi restul: a) (8X
6 + 12X 4 + 6X
2 + 2X – 5) : (2X 2 + 1);
b) (27X 6 + 27X
4 + 9X 2 + 11X + 9) : (3X
2 + 1); c) (X
9 + 6X 6 + 12X
4 + 7X + 5) : (X 3 + 2);
d) (X 6 + 9X
4 + 27X 2 + 2X – 4) : (X
2 + 3); e) (64X
6 + 48X 4 + 12X
2 – 8X + 10) : (4X 2 + 1);
f) (125X 9 + 75X
6 + 15X 2 + 8X + 3) : (5X
3 + 1). 11. Fără să aflaţi câtul şi restul scrieţi teorema împărţirii pentru:
a) (5X 4 + 4X
3 – 7X 2 + 5X – 6) : (X + 3);
b) (8X 4 + 7X
3 – 10X 2 + 6X – 2) : (X + 4);
c) (9X 4 + 2X
3 – 3X 2 + 4X – 7) : (X + 2);
d) (11X 4 + 9X
3 – 2X 2 + 18X – 3) : (X + 5);
e) (12X 4 + 2X
3 – 9X 2 + 3X – 8) : (X + 6);
f) (7X 4 + 5X
3 – 4X 2 + 12X – 1) : (X + 7).
12. Efectuaţi: a) (7X
4 – 3X 3 – 11X
2 + 8X – 9) : (X – 2); b) (9X
4 – 8X 3 – 7X
2 + 5X – 3) : (X – 3); c) (3X
4 – 5X 3 – 2X
2 + 14X – 2) : (X – 5); d) (2X
4 – 18X 3 – 8X
2 + 5X – 6) : (X – 4); e) (4X
4 – 15X 3 – 9X
2 + 3X – 1) : (X – 6); f) (12X
4 – 9X 3 – 5X
2 + 6X – 7) : (X – 7).
13. Efectuaţi prin descompunere şi scrieţi teorema împărţirii: a) (27X
6 – 4) : (9X 4 + 6X
2 + 4); b) (8X 9 + 22) : (4X
6 – 6X 3 + 9).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 14. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la X – 1, dacă suma coeficienţilor lui
este –14. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 15. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la X – 3, dacă P(3) = 18. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 16. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la 2X – 1, dacă P(0,5) = –7. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
17. Aplicând schema lui Horner, aflaţi câtul şi restul împărţirii (12X 4 – 5X
3 – 3X 2 +
4X – 2) : (X + 5). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 18. Aplicând schema lui Horner, aflaţi câtul şi restul împărţirii (2X
6 – 7X 4 – 9X
2 + 15X – 8) : (X – 7).
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 69
19. Aflaţi restul împărţirii unui polinom P(X) la (X – 5)(X + 2), dacă P(–2) = 8 şi P(5) = –3.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 20. Aflaţi câtul şi restul împărţirii polinomului X
9 + 6X 6 + mX
4 + 7X + n la (X – 2)(X + 3), dacă P(–3) = 5 şi P(2) = –8.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 21. Aflaţi câtul împărţirii:
a) 1 : (1 + X 2); b) 1 : (1 – X
3). Formulaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Aflaţi gradul câtului împărţirii po-linomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 17 şi grad P2 = 8.
2. Aflaţi gradul maxim al restului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 25 şi grad P2 = 19.
3. Efectuaţi prin descompunere: a) (X
16 – 64) : (X 8 – 2);
b) (16X 2 – 8X + 1) : (4X – 1).
4. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (X
20 – 20) : (X 10 – 4);
b) (9X 2 – 12X + 9) : (3X – 2).
5. Fie P(X) : (X + 13). Fără să cu-noaşteţi câtul şi restul, scrieţi teorema împărţirii.
6. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (27X
18 – 8) : (3X 6 – 2);
b) [(2X – 5)3 + 10] : (2X – 5). 7. Efectuaţi:
a) (X 3 – 3X
2 + 7X – 4) : (X + 2); b) (X
4 – 5X 2 + 9X – 2) : (X – 3).
8. Aflaţi restul împărţirii unui po-linom P(X) la X – 9, dacă suma coefi-cienţilor lui este P(3) = 18.
9. Aflaţi restul împărţirii unui po-linom P(X) la (X – 4)(X + 3), dacă P(4) = –9 şi P(–3) = 4.
1. Aflaţi gradul câtului împărţirii po-linomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 14 şi grad P2 = 10.
2. Aflaţi gradul maxim al restului împărţirii polinomului P1 la polinomul P2, dacă grad P1 = 27 şi grad P2 = 25.
3. Efectuaţi prin descompunere: a) (X
14 – 81) : (X 7 – 9);
b) (25X 2 – 10X + 1) : (5X – 1).
4. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (X
18 – 20) : (X 9 – 5);
b) (25X 2 – 30X + 12) : (5X – 3).
5. Fie P(X) : (X + 19). Fără să cu-noaşteţi câtul şi restul, scrieţi teorema împărţirii.
6. Scrieţi teorema împărţirii pentru: a) (8X
21 – 27) : (2X 7 – 3);
b) [(3X – 4)3 + 15] : (3X – 4). 7. Efectuaţi:
a) (X 3 – 4X
2 + 6X – 3) : (X + 2); b) (X
4 – 7X 2 + 8X – 4) : (X – 3).
8. Aflaţi restul împărţirii unui po-linom P(X) la X – 11, dacă suma coefi-cienţilor lui este P(11) = 23.
9. Aflaţi restul împărţirii unui po-linom P(X) la (X – 5)(X + 2), dacă P(5) = –10 şi P(–2) = 3.
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 70
3. D i v i z i b i l i t a t e a p o l i n o a m e l o r
1. Comparaţi restul împărţirii polinomului: a) P(X) = X
2 – 3X – 10 la X – 5 cu P(5); b) P(X) = X
2 – 4X – 21 la X – 7 cu P(7); c) P(X) = X
2 – 6X – 40 la X – 10 cu P(10); d) P(X) = X
2 – 8X – 20 la X – 10 cu P(10); e) P(X) = X
2 – 8X – 33 la X – 11 cu P(11); f) P(X) = X
2 – 7X – 30 la X – 10 cu P(10). 2. Controlaţi dacă polinomul:
a) P(X) = X 2 – 3X + 2 se divide cu X – 2;
b) P(X) = X 2 – 51X + 50 se divide cu X – 50;
c) P(X) = X 2 – 79X + 78 se divide cu X – 78;
d) P(X) = X 2 – 83X + 82 se divide cu X – 82;
e) P(X) = X 2 – 105X + 2 se divide cu X – 104;
f) P(X) = X 2 – 301X + 300 se divide cu X – 300.
3. Controlaţi dacă polinomul: a) P(X) = X
3 – X 2 + 3X – 3 se divide cu X
2 + 3; b) P(X) = X
3 – 2X 2 + 4X – 8 se divide cu X
2 + 4; c) P(X) = X
3 – 3X 2 + 5X – 15 se divide cu X
2 + 5; d) P(X) = X
3 – 4X 2 + 7X – 28 se divide cu X
2 + 7; e) P(X) = X
3 – 5X 2 + 11X – 66 se divide cu X
2 + 11. 4. Decideţi dacă polinomul:
a) X 2 – 5X este reductibil; b) X
2 + 7X este reductibil; c) X
2 – 9X este reductibil; d) X 2 – 11X este reductibil;
e) X 2 + 5X este reductibil; f) X
2 + 12X este reductibil. 5. Decideţi dacă polinomul:
a) X 2 + 5X + 4 este reductibil; b) X
2 + 7X + 12 este reductibil; c) X
2 + 8X + 12 este reductibil; d) X 2 + 6X + 8 este reductibil;
e) X 2 + 9X + 20 este reductibil; f) X
2 + 10X + 16 este reductibil. 6. Decideţi dacă polinomul:
a) X 2 + 54 este reductibil; b) X
2 + 17 este reductibil; c) X
2 + 12 este reductibil; d) X 2 + 8 este reductibil;
e) X 2 + 20 este reductibil; f) X
2 + 16 este reductibil. 7. Decideţi dacă polinomul:
a) X 2 + 5X + 7 este reductibil; b) X
2 + 7X + 13 este reductibil; c) X
2 + 8X + 17 este reductibil; d) X 2 + 6X + 10 este reductibil;
e) X 2 + 9X + 21 este reductibil; f) X
2 + 10X + 26 este reductibil. 8. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul:
a) X 2 + 6X + m – 2 este reductibil; b) X
2 + 14X + m – 1 este reductibil; c) X
2 + 12X + m – 3 este reductibil; d) X 2 + 16X + m – 5 este reductibil;
e) X 2 + 10X + m – 4 este reductibil; f) X
2 + 18X + m – 6 este reductibil.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 71
9. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul: a) X
2 + 20X + m – 6 este ireductibil; b) X 2 + 14X + m – 7 este ireductibil;
c) X 2 + 12X + m – 8 este ireductibil; d) X
2 + 22X + m – 11 este ireductibil; e) X
2 + 10X + m – 9 este ireductibil; f) X 2 + 18X + m – 6 este ireductibil.
10. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul: a) X
2 + 4m – 11 este ireductibil; b) X 2 + 5m – 9 este ireductibil;
c) X 2 + 2m – 13 este ireductibil; d) X
2 + 7m – 3 este ireductibil; e) X
2 + 10m – 7 este ireductibil; f) X 2 + 18m – 13 este ireductibil.
11. Decideţi dacă polinomul: a) X
3 + 6 este ireductibil; b) X 3 + 13 este ireductibil;
c) X 3 + 8 este ireductibil; d) X
3 + 21 este ireductibil; e) X
3 + 14 este ireductibil; f) X 3 + 19 este ireductibil.
12. Decideţi dacă polinomul: a) X
5 + 19 este ireductibil; b) X 5 + 33 este ireductibil;
c) X 5 + 17 este ireductibil; d) X
5 + 56 este ireductibil; e) X
5 + 15 este ireductibil; f) X 5 + 35 este ireductibil.
13. Decideţi dacă polinomul: a) X
2n+1 + 19 este ireductibil; b) X 2n+3 + 33 este ireductibil;
c) X 2n–1 + 17 este ireductibil; d) X
2n–3 + 56 este ireductibil; e) X
2n+5 + 15 este ireductibil; f) X 2n–5 + 35 este ireductibil.
14. Decideţi dacă polinomul: a) X
4 + 6 este ireductibil; b) X 4 + 5 este ireductibil;
c) X 4 + 3 este ireductibil; d) X
4 + 7 este ireductibil; e) X
4 + 2 este ireductibil; f) X 4 + 1 este ireductibil.
15. Decideţi dacă polinomul: a) X
4 + 5X 2 – 11 este reductibil; b) X
4 + 9X 2 – 3 este reductibil;
c) X 4 + 7X
2 – 31 este reductibil; d) X 2 + 6X – 2 este reductibil;
e) X 4 + 11X
2 + 18 este reductibil; f) X 2 + 10X – 6 este reductibil.
16. Decideţi dacă polinomul: a) X
6 + 5X 3 – 5 este reductibil; b) X
6 + 8X 3 – 1 este reductibil;
c) X 6 + 7X
3 – 3 este reductibil; d) X 6 + 4X
3 – 7 este reductibil; e) X
6 + 11X 3 – 2 este reductibil; f) X
6 + 6X 3 – 13 este reductibil.
17. Decideţi dacă polinomul: a) X
8 + 3X 4 – 11 este reductibil; b) X
8 + 2X 4 – 12 este reductibil;
c) X 8 + 5X
4 – 3 este reductibil; d) X 8 + 8X
4 – 7 este reductibil; e) X
8 + 9X 4 – 6 este reductibil; f) X
8 + 4X 4 – 13 este reductibil.
18. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul: a) X
10 + 18X 5 + m – 9 este reductibil;
b) X 10 + 4X
5 + m – 3 este reductibil; c) X
10 + 8X 5 + m – 7 este reductibil;
d) X 10 + 10X
5 + m – 2 este reductibil; e) X
10 + 6X 5 + m – 6 este reductibil;
f) X 10 + 12X
5 + m – 4 este reductibil. 19. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m polinomul:
a) X 12 – 18X
6 + m – 10 este ireductibil;
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 72
b) X 12 – 16X
6 + m – 9 este ireductibil; c) X
12 – 12X 6 + m – 11 este ireductibil;
d) X 12 – 10X
6 + m – 13 este ireductibil; e) X
12 – 8X 6 + m – 15 este ireductibil;
f) X 12 + 12X
6 + m – 7 este ireductibil. 20. Aflaţi restul împărţirii polinomului:
a) 4X 3 – 12X
2 + 8X – 9 la X – 6; b) 2X 3 – 10X
2 + 3X – 11 la X – 3; c) 5X
3 – 4X 2 + 9X – 10 la X – 5; d) 6X
3 – 14X 2 + 7X – 4 la X – 7;
e) 8X 3 – 5X
2 + 3X – 6 la X – 4; f) 7X 3 – 15X
2 + 11X – 2 la X – 8. 21. Aflaţi restul împărţirii polinomului:
a) 2X 3 – 9X
2 + 8X – 11 la X + 6; b) 3X 3 – 9X
2 + 3X – 11 la X + 3; c) 4X
3 – 6X 2 + 9X – 13 la X + 5; d) 5X
3 – 3X 2 + 7X – 4 la X + 7;
e) 8X 3 – 3X
2 + 3X – 12 la X + 4; f) 7X 3 – 6X
2 + 4X – 5 la X + 8. 22. Aflaţi restul împărţirii polinomului:
a) X 3 – X
2 + 8X – 11 la 2X + 1; b) X 3 – X
2 + 3X – 11 la 8X + 3; c) X
3 – X 2 + 9X – 13 la 5X + 1; d) X
3 – X 2 + 7X – 4 la 10X + 5;
e) X 3 – X
2 + 3X – 1 la 4X + 1; f) X 3 – X
2 + 4X – 5 la 4X + 3. 23. Aflaţi numărul real m pentru care polinomul:
a) 9X 3 – 12X
2 + 8mX – 7 se divide cu X – 1; b) 2X
3 – 10X 2 + 3X – 4m se divide cu X – 2;
c) 5X 3 – 4X
2 + 7mX – 6 se divide cu X – 1; d) 6X
3 – 14X 2 + 5X – 3m se divide cu X – 2;
e) 8X 3 – 5X
2 + 5mX – 6 se divide cu X – 1; f) 7X
3 – 15X 2 + 4mX – 2 se divide cu X – 2.
24. Descompuneţi în factori polinomul: a) 125X
3 + 150X 2Y + 60XY
2 + 8Y 3 şi 125X
3 – 150X 2Y + 60XY
2 – 8Y 3;
b) 64X 3 + 144X
2Y + 108XY 2 + 27Y
3 şi 64X 3 – 144X
2Y + 108XY 2 – 27Y
3; c) 125X
3 + 225X 2Y + 135XY
2 + 27Y 3 şi 125X
3 – 225X 2Y + 135XY
2 – 27Y 3;
d) 8X 3 + 36X
2Y + 54XY 2 + 27Y
3 şi 8X 3 – 36X
2Y + 54XY 2 – 27Y
3; e) 27X
3 + 108X 2Y + 144XY
2 + 64Y 3 şi 27X
3 – 108X 2Y + 144XY
2 – 64Y 3;
f) 125X 3 + 300X
2Y + 240XY 2 + 64Y
3 şi 125X 3 – 300X
2Y + 240XY 2 – 64Y
3. 25*. Descompuneţi în factori polinomul:
a) 4X 2 + 9Y
2 + 1 + 12XY + 4X + 6Y şi 4X 2 + 9Y
2 + 1 – 12XY + 4X – 6Y; b) 16X
2 + 9Y 2 + 1 + 24XY + 8X + 6Y şi 16X
2 + 9Y 2 + 1 – 24XY + 8X – 6Y;
c) 9X 2 + 4Y
2 + 1 + 12XY + 6X + 4Y şi 9X 2 + 4Y
2 + 1 + 12XY – 6X – 4Y; d) 16X
2 + 4Y 2 + 1 + 16XY + 8X + 4Y şi 16X
2 + 4Y 2 + 1 + 16XY – 8X – 4Y;
e) 25X 2 + 4Y
2 + 1 + 20XY + 10X + 4Y şi 25X 2 + 4Y
2 + 1 + 20XY – 10X – 4Y; f) 9X
2 + 25Y 2 + 1 + 30XY + 6X + 10Y şi 9X
2 + 25Y 2 + 1 – 30XY – 6X + 10Y.
26. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X 2 + 6(m + 3)X + 5 este
reductibil. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X
2n + 4(m – 5)X n + 11, n ∈ N*, este reductibil.
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 73
28. Aplicând schema lui Horner, aflaţi restul împărţirii polinomului 8X 3 – 13X
2 + 9X – 11 la X – 7.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Aplicând schema lui Horner, aflaţi restul împărţirii polinomului 7X
3 – 3X 2 + 8X
– 13 la 2X + 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Fie polinomul P(X). Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X):
a) la X 2 + 4X – 21, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 3 este 4 şi împărţit la X
+ 7 dă restul –5; b) la X
2 + X – 20, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 4 este 2 şi împărţit la X + 5 dă restul –2.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Decideţi dacă numerele de forma n2 + 2n + 2, n ∈ N, sunt prime. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
32. Aflaţi pentru ce valori reale ale lui m pentru care polinomul X 4 + 4(m – 5)X 2 +
m – 2 se descompune în factori de gradul I. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Fie polinomul P(X). Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X):
a) la X 2 – 5X + 4, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 1 este 4 şi P(8 – X) +
XP(X) împărţit la X – 4 dă restul 5; b) la X
2 – 5X + 6, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 2 este 4 şi P(6 – X) + XP(X) împărţit la X – 3 dă restul 16.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Fie polinomul P(X). Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X):
a) la X 2 + X – 6, dacă restul împărţirii lui P(X) la X + 3 este 1 şi P(4 – X) + (X –
1)P(X) împărţit la X – 2 dă restul 8; b) la X
2 – X – 6, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 3 este 6 şi P(3X + 4) + (X + 3)P(X) împărţit la X + 3 dă restul 6.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Aflaţi restul împărţirii polinomului:
a) P(X) = X 3 – 2mX
2 + 3nX – 4 la X – 2, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 1 este –3 şi P(X) împărţit la X + 2 dă restul 4;
b) P(X) = X 3 – 5mX
2 + 2nX – 4 la X – 2, dacă restul împărţirii lui P(X) la X – 1 este –2 şi P(X) împărţit la X + 2 dă restul –4.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Demonstraţi că:
a) P(X) = P(X + 1) dacă şi numai dacă P(X) este polinom constant; b) P(X) = P(X + 2) dacă şi numai dacă P(X) este polinom constant.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Să se afle toate polinoamele cu coeficienţi reali care satisfac:
a) (X – 1)P(X – 1) = (X – 4)P(X); b) (X – 2)P(X – 2) = (X – 5)P(X).
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 74
38. Aflaţi polinomul de gradul III: a) divizibil cu X
2 – 3X – 4 şi care împărţit la X 2 + X – 12 dă restul 5X – 7;
b) divizibil cu X 2 – 3X – 10 şi care împărţit la X
2 + 2X – 24 dă restul 10X – 3. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Scrieţi X
2 + 2(X + 1)2 – (X + 1) ca diferenţă a două cuburi. 40*. Aflaţi rădăcinile întregi ale polinomului:
a) X 4 + 2X
3 – 13X 2 – 14X + 24; b) X
4 + 2X 3 – 25X
2 – 26X + 120; c) X
4 – 2X 3 – 13X
2 + 14X + 24; d) X 4 – 2X
3 – 25X 2 + 26X + 120.
41*. Descompuneţi în factori polinomul: a) 2X
4 + 3X 3 – 3X – 2; b) 2X
4 + 3X 3 – X
2 + 3X + 2. 42*. Fie polinomul X
2 + 3mX – 5 cu rădăcinile x1, x2. Fără să calculaţi rădăcinile polinomului, aflaţi:
a) b) c) d) e) ;22
21 xx + ;3
231 xx + ;4
241 xx + ;5
251 xx + .6
261 xx +
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X
2 + 8X + m – 3 este reductibil.
2. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X
2 + 12X + m – 7 este ireductibil.
3. Decideţi dacă polinomul X
16 – 3X 8 – 5 este reductibil.
4. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X
24 + 4X 12 + m –
5 este reductibil. 5. Aflaţi restul împărţirii polinomu-
lui: a) 2X 2 + 7X – 3 la X – 4;
b) 7X 3 – 5X
2 + 3X – 8 la X + 3. 6. Aflaţi restul împărţirii polinomu-
lui: a) 3X 2 + 4X – 1 la 2X – 1;
b) 8X 3 – 2X
2 + 7X – 3 la 4X + 1. 7. Aflaţi valorile reale ale lui m
pentru care polinomul 5X 3 – 6X
2 + 4X – 2m se divide cu X – 3.
8. Aflaţi cea mai mică valoare reală a lui m pentru care polinomul X
2 + 4(m –2)X – 7 este reductibil.
9. Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X) la X
2 + 5X + 6, dacă restul împăr-ţirii lui P(X) la X + 2 este 5 şi P(9 – 2X) + XP(X) împărţit la X + 3 dă restul 10.
1. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X
2 + 6X + m – 7 este reductibil.
2. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X
2 + 14X + m – 5 este ireductibil.
3. Decideţi dacă polinomul X
18 – 5X 9 – 3 este reductibil.
4. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care polinomul X
26 + 6X 13 + m –
6 este reductibil. 5. Aflaţi restul împărţirii polinomu-
lui: a) 2X 2 + 9X – 2 la X – 4;
b) 6X 3 – 7X
2 + 2X – 9 la X + 3. 6. Aflaţi restul împărţirii polinomu-
lui: a) 4X 2 + 3X – 1 la 2X – 1;
b) 6X 3 – 3X
2 + 6X – 5 la 4X + 1. 7. Aflaţi valorile reale ale lui m
pentru care polinomul 4X 3 – 9X
2 + 3X – 4m se divide cu X – 2.
8. Aflaţi cea mai mică valoare reală a lui m pentru care polinomul X
2 + 6(m –2)X – 9 este reductibil.
9. Aflaţi restul împărţirii polinomului P(X) la X
2 – 9X + 20, dacă restul împăr-ţirii lui P(X) la X – 4 este 2 şi P(15 – 2X) + XP(X) împărţit la X – 5 dă restul 12.
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 75
4. F r a c ţ i i a l g e b r i c e
1. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;322X
X − b) ;235X
X − c) ;549X
X − d) .837X
X −
2. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;11543
−−
XX b) ;
15492
−−
XX c) ;
17297
−−
XX d) .
194134
−−
XX
3. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;2543
46 XXX−− b) ;
47175
23 XXX−+ c) ;
5294
69 XXX−+ d) .
7356
911 XXX−+
4. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;325
122 −−
−XX
X b) ;142
752 −−
−XX
X c) ;243
232 −−
−XX
X
d) ;387
162 −−
−XX
X e) ;3102
82 −−
−XX
X f) .349
732 −−
−XX
X
5. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;124
132 +−
−XX
X b) ;243
152 +−
−XX
X c) ;342
142 +−
−XX
X
d) ;562
172 +−
−XX
X e) ;463
182 +−
−XX
X f) .265
192 +−
−XX
X
6. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;11025
122
2
+−+
XXX b) ;
14413
2
2
+−+XX
X c) ;169
142
2
+−+XX
X
d) ;1816
342
2
+−+XX
X e) ;11236
32
2
+−+
XXX f) .
114493
2
2
+−+
XXX
7. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;1610
224
2
+−+XX
X b) ;149
324
2
+−+
XXX c) ;
1894
24
2
+−+XX
X
d) ;209
524
2
+−+
XXX e) ;
3010124
2
+−+XX
X f) .2410
724
2
+−+XX
X
8. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;2410
224
2
−−+XX
X b) ;3910
524
2
−−+XX
X c) ;5610
624
2
−−+XX
X
d) ;7510
724
2
−−+XX
X e) ;208
124
2
−−+
XXX f) .
3389
24
2
−−+
XXX
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 76
9. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;2410
936
2
−−+XX
X b) ;109
136
2
−−+
XXX c) ;
2292
36
2
−−+
XXX
d) ;369
336
2
−−+
XXX e) ;
9094
36
2
−−+
XXX f) .
2085
36
2
−−+
XXX
10. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;1511
3
2
−+
XX b) ;
174
3
2
−+
XX c) ;
1113
3
2
−+
XX
d) ;143
3
2
−+
XX e) ;
174
3
2
−+
XX f) .
187
3
2
−+
XX
11. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens valoarea fracţiei (DVA):
a) ;239
3
2
++
XX b) ;
222
3
2
++
XX c) ;
243
3
2
++
XX
d) ;154
3
2
++
XX e) ;
268
3
2
++
XX f) .
117
3
2
++
XX
12. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;19
32
2
−+
XXX b) ;
142
2
2
−+
XXX c) ;
1255
2
2
−+
XXX
d) ;136
62
2
−+
XXX e) ;
1497
2
2
−+
XXX f) .
1819
2
2
−+
XXX
13. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;149
72
2
+++XX
XX b) ;209
52
2
+++XX
XX c) ;189
62
2
+++XX
XX
d) ;89
82
2
+++
XXXX e) ;
1893
2
2
+++XX
XX f) .209
42
2
+++XX
XX
14. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;145
724
3
−++XX
XX b) ;454
524
3
−++XX
XX c) ;505
524
3
−++XX
XX
d) ;665
624
3
−++XX
XX e) ;604
624
3
−++XX
XX f) .703
724
3
−++XX
XX
15. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;772
72
2
+−−
XXX b) ;
2222
2
2
+−−
XXX c) ;
3323
2
2
+−−
XXX
d) ;552
52
2
+−−
XXX e) ;
6626
2
2
+−−
XXX f) .
1111211
2
2
+−−
XXX
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 77
16. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;44
1072
2
+−+−
XXXX b) ;
96127
2
2
+−+−
XXXX c) ;
4423
2
2
+−+−
XXXX
d) ;9634
2
2
+−+−
XXXX e) ;
16845
2
2
+−+−
XXXX f) .
9665
2
2
+−+−
XXXX
17. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;324127
2
2
−++−
XXXX b) ;
214127
2
2
−++−
XXXX c) ;
454107
2
2
−++−
XXXX
d) ;124107
2
2
−++−
XXXX e) ;
454209
2
2
−++−
XXXX f) .
365209
2
2
−++−
XXXX
18. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;8
1073
2
+++
XXX b) ;
25107
3
2
+++
XXX c) ;
27127
3
2
+++
XXX
d) ;64
1273
2
+++
XXX e) ;
123
3
2
+++
XXX f) .
823
3
2
+++
XXX
19. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;125
1073
2
−+−
XXX b) ;
8107
3
2
−+−
XXX c) ;
27127
3
2
−+−
XXX
d) ;64
1273
2
−+−
XXX e) ;
125158
3
2
−+−
XXX f) .
27158
3
2
−+−
XXX
20. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;125
25103
2
−+−
XXX b) ;
844
3
2
−+−
XXX c) ;
2796
3
2
−+−
XXX
d) ;64
1683
2
−+−
XXX e) ;
1252510
3
2
+++
XXX f) .
2796
3
2
+++
XXX
21. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;27
933
2
−++
XXX b) ;
842
3
2
−++
XXX c) ;
11
3
2
−++
XXX
d) ;64
1643
2
−++
XXX e) ;
125255
3
2
−++
XXX f) .
216366
3
2
−++
XXX
22. Simplificaţi fracţia algebrică:
a) ;216
3663
2
++−
XXX b) ;
11
3
2
++−
XXX c) ;
842
3
2
++−
XXX
d) ;27
933
2
++−
XXX e) ;
64164
3
2
++−
XXX f) .
125255
3
2
++−
XXX
23. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;1343333 XXX
−+ b) ;14114444 XXX
−+ c) ;1783555 XXX
−+
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 78
d) ;2187666 XXX
−+ e) ;16128777 XXX
−+ f) .351411101010 XXX
−+
24. Efectuaţi:
a) ;23
21
−−
+− X
XX
b) ;34
31
−−
+− X
XX
c) ;45
41
−−
+− X
XX
d) ;56
51
−−
+− X
XX
e) ;67
61
−−
+− X
XX
f) .78
71
−−
+− X
XX
25. Efectuaţi:
a) ;25
225
3−
−− X
XX
b) ;53
353
4−
−− X
XX
c) ;52
552
6−
−− X
XX
d) ;56
256
3−
−− X
XX
e) ;27
327
4−
−− X
XX
f) .74
274
9−
−− X
XX
26. Aflaţi c.m.m.m.c. al polinoamelor: a) X
2, (X – 1)3, X 2 – 1; b) X
3, (X – 1)2, X 2 – 1; c) X
2, X 3 + 1, X
6 – 1; d) X
5, X 2 + 1, X
4 – 1; e) X 4, X
2 – 1, X 4 – 1; f) X
2, X 3 – 1, X
6 – 1. 27. Aflaţi c.m.m.m.c. al polinoamelor:
a) 2X – 3, 2X + 3, 4X 2 + 12X + 9; b) 3X – 1, 3X + 1, 9X
2 – 6X + 1; c) 5X – 1, 5X + 1, 25X
2 + 10X + 1; d) 7X – 1, 7X + 1, 49X 2 + 14X + 1;
e) 2X – 1, 2X + 1, 4X 2 + 4X + 1; f) 3X – 2, 3X + 2, 9X
2 + 12X + 4. 28. Efectuaţi:
a) ;12
212
3+
+− XX
b) ;2
52
3+
+− XX
c) ;13
513
4+
+− XX
d) ;14
514
2+
+− XX
e) ;3
33
2+
+− XX
f) .4
34
5+
+− XX
29. Efectuaţi:
a) ;469
223
32 ++
+− XXX
b) ;42
42
32 ++
+− XXX
c) ;139
213
52 ++
+− XXX
d) ;124
412
52 ++
+− XXX
e) ;1416
314
52 ++
+− XXX
f) .164
34
22 ++
+− XXX
30. Efectuaţi:
a) ;23
723
4+
−− XX
b) ;3
23
5+
−− XX
c) ;4
34
4+
−− XX
d) ;5
35
5+
−− XX
e) ;7
67
4+
−− XX
f) .8
38
2+
−− XX
31. Efectuaţi:
a) ;25104
752
32 +−
−+ XXX
b) ;255
25
32 +−
−+ XXX
c) ;164
44
32 +−
−+ XXX
d) ;124
412
52 +−
−+ XXX
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 79
e) ;139
313
52 +−
−+ XXX
f) .1525
315
42 +−
−+ XXX
32. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;93
87
−−
⋅++
XX
XX b) ;
94
86
−−
⋅++
XX
XX c) ;
32
79
−−
⋅++
XX
XX d) .
21
67
−−
⋅++
XX
XX
33. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)6()8(
)8()6(
10
8
5
7
−+
⋅+−
XX
XX b) ;
)1()2(
)2()1(
4
7
9
5
−+
⋅+−
XX
XX c) ;
)2()2(
)2()2(
8
4
3
7
−+
⋅+−
XX
XX
d) ;)3()1(
)1()3(
5
6
7
6
−+
⋅+−
XX
XX e) ;
)3()4(
)4()3(
4
6
5
3
−+
⋅+−
XX
XX f) .
)5()3(
)3()5(
8
5
6
9
−+
⋅+−
XX
XX
34. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;143:
7243
−−
+−
XX
XX b) ;
152:
1252
+−
+−
XX
XX c) ;
232:
1332
+−
+−
XX
XX
d) ;372:
1272
+−
+−
XX
XX e) ;
434:
1234
+−
+−
XX
XX f) .
254:
1654
+−
+−
XX
XX
35. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere:
a) ;)56()15(
4
7
6
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
XX b) ;
)15()13(
6
3
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
XX c) ;
)34()32(
7
4
3
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
XX d) .
)23()14(
3
5
5
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
XX
36. Simplificaţi fracţia algebrică .4911264
)53()2(22
22
YXYXYXYX
+−−−−
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi fracţia algebrică ireductibilă egală cu fracţia algebrică:
a) ;64336588243
16564923
2
−+−+−
XXXXX b) .
125225272712527
23
3
−+−−
XXXX
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;2754368
29124
3232 −+−
++− XXXXX
b) .6414410827
76427
1233 +++
−+ XXXX
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
39. Aduceţi la forma cea mai simplă .64481227279
2764
23
23
3
3
−+−−+−
⋅−−
XXXXXX
XX
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Aduceţi la forma cea mai simplă:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−++
−−
+ 411
1228
31
41
2 XXXXX.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 80
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Aduceţi la forma cea mai simplă:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+−
−++−
+8
91249492
322
325:
18128278 2
22
3 XXXX
XXXXX .
42. Se ştie că x
x 1+ = 2004. Calculaţi 2
2 1x
x + şi .13
3
xx +
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
43. Decideţi dacă fracţia 52
3++
nn este reductibilă pentru orice n ∈ Z.
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
44. Stabiliţi dacă fracţia 7532
++
nn este ireductibilă pentru orice n ∈ Z.
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
45. Simplificaţi fracţia algebrică: a) ;1
12004 −−
XX b) .
11
2005 ++
XX
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 46. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)1(
2004...)1(
41
320022 +
+++
++ XXX
b) .)1(
2005)1(
2004...)1(
61
5200120002 −
+−
−+−
−− XXXX
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
47. Reprezentaţi sintetic mulţimea ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∈−−+
∈ ZZ5
5652
24
nnnn .
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 48. Scrieţi cât mai simplu:
a) ...;151
151
151
32 +++ b) ...,11132 +++
xxx | x | > 1.
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
49. Raţionalizaţi numitorul raportului: a) ;1
12004 −x
b) .1
12005 +x
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.
50*. Aduceţi la forma cea mai simplă .)2)((
12004
0∑= +++i iXiX
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 51*. Aflaţi fracţia algebrică ireductibilă egală (pe acelaşi DVA) cu:
a) ;241015
24227424
234
+−−++−−
XXXXXXX b) .
3051053
234
234
−+−+−−+−
XXXXXXXX
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 81
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Simplificaţi fracţia algebrică
.16
862
2
−+−
XXX
2. Simplificaţi fracţia algebrică
.652411
2
2
+−+−
XXXX
3. Simplificaţi fracţia algebrică
.64
4443
2
−+−
XXX
4. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;9
129
3−−
+− X
XX
b) .72
17283
−−
−−−
XX
XX
5. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;13
213
3+
+− XX
b) .23
323
2+
−− XX
6. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)12()9(
)9()12(
9
8
6
8
−−
⋅−−
XX
XX
b) .32
5:2312
−−
−−
XX
XX
7. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;139
313
22 ++
+− XXX
b) .1464
314
12 +−
−+ XXX
8. Decideţi dacă fracţia algebrică
4332
++
XX este ireductibilă.
9. Reprezentaţi sintetic mulţimea
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∈−−+
∈ ZZ3
2432
24
nnnn .
1. Simplificaţi fracţia algebrică
.4
862
2
−+−
XXX
2. Simplificaţi fracţia algebrică
.891610
2
2
+−+−
XXXX
3. Simplificaţi fracţia algebrică
.125
5053
2
−+−
XXX
4. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;8
158
7−−
+− X
XX
b) .52
15263
−−
−−−
XX
XX
5. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;12
312
2+
+− XX
b) .32
232
3+
−− XX
6. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;)13()3(
)3()13(
7
7
5
5
−−
⋅−−
XX
XX
b) .234:
1213
−−
−−
XX
XX
7. Aduceţi la forma cea mai simplă:
a) ;1464
314
22 ++
+− XXX
b) .139
313
12 +−
−+ XXX
8. Decideţi dacă fracţia algebrică
2312
++
XX este ireductibilă.
9. Reprezentaţi sintetic mulţimea
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∈+−−
∈ ZZ3
1432
24
nnnn .
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice 82
C A P I T O L U L V
Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii
Ecuaţie. O ecuaţie este o propoziţie cu variabile (în logica matematică se numeşte predicat). Variabilele unei ecuaţii se numesc necunoscute. Fie expresiile f(x), g(x), x ∈ M (mulţime de numere). Atunci f(x) = g(x), x ∈ M, este o ecuaţie cu necunoscu-ta x. Ecuaţia f(x) = g(x), x ∈ M, are membrul stâng f(x) şi membrul drept g(x). Numă-rul s este soluţie a ecuaţiei f(x) = g(x), x ∈ M, dacă s ∈ M şi f(s) = g(s) este o propo-ziţie adevărată. Mulţimea soluţiilor unei ecuaţii se notează S.
Ecuaţia de gradul I cu o necunoscută. Fie polinomul de gradul I P(X) = aX + b. Ecuaţia ataşată polinomului P(X), ax + b = 0, a ∈ R*, x ∈ R, este o ecuaţie de gradul I cu necunoscuta x. Ecuaţia ax + b = 0 are coeficienţii a şi b. În plus, ei se numesc: a – coeficientul necunoscutei şi b – termenul liber.
Ecuaţii echivalente. Două ecuaţii de gradul I sunt echivalente dacă au aceeaşi ne-cunoscută aparţinând aceleiaşi mulţimi şi se obţin una din cealaltă aplicând proprie-tăţile egalităţii numerelor reale. Ecuaţiile echivalente au aceeaşi mulţime de soluţii.
Tipuri de ecuaţii cu o necunoscută. Fie ecuaţia ax + b = 0, x ∈ R. 1) Dacă a şi b
sunt numere nenule, atunci ecuaţia are o singură soluţie, .ab
− 2) Dacă a = 0 şi b ≠ 0,
atunci ecuaţia nu are soluţii sau S = ∅. 3) Dacă a = 0 şi b = 0, atunci orice număr real este soluţie a ecuaţiei sau S = R.
Ecuaţia de gradul II în R. Fie polinomul de gradul II cu coeficienţi reali +2aX
bX + c. Evident că a ≠ 0. Atunci ecuaţia ataşată acestui polinom, + bx + c = 0, 2axeste o ecuaţie de gradul II. La rezolvarea unei ecuaţii de gradul II se aplică proprietă-ţile egalităţii numerelor reale şi teorema: un produs de numere reale este egal cu 0 dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre factorii produsului este egal cu 0.
Ecuaţii de gradul II forme incomplete. 1) Ecuaţia = 0 are mulţimea soluţii-2axlor S = {0}. 2) Fie ecuaţia + bx = 0. + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0. Ecuaţia are 2ax 2ax
mulţimea soluţiilor S = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
ab,0 . 3) Fie ecuaţia + c = 0. Atunci + c = 0 ⇔ 2ax 2ax
2ax = − c ⇔ = 2x .ac
− a) Dacă ac < 0, atunci ecuaţia are S =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−ac
ac , .
b) Dacă ac > 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale sau S = ∅.
Ecuaţia de gradul II forma completă. Fie ecuaţia + bx + c = 0 cu a, b, c 2axnumere reale nenule. + bx + c = 0 ⇔ + 4abx + 4ac = 0 ⇔ + 4abx 2ax 224 xa 224 xa+ − + 4ac = 0 ⇔ − ) = 0. Numărul ∆ (se citeşte „delta“) = 2b 2b 2)2( bax + 4( 2 acb −
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 83
acb 42 − este discriminantul (realizantul) ecuaţiei. a) Dacă ∆ > 0, atunci = 1x
ab
2∆−− şi = 2x ,
2ab ∆+− iar S =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∆+−∆−−
ab
ab
2,
2. În particular, dacă: b =
2b′, atunci = 1x acbb −′−′− 2 şi = 2x ,2 acbb −′+′− iar S = ,2{ acbb −′−′−
}2 acbb −′−′− ; a = 1, atunci = 1x2
42 cbb −−− şi = 2x ,2
42 cbb −+− iar S =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∆+−∆−−
ab
ab
2,
2. b) Dacă ∆ = 0, atunci = = 1x 2x ,
2ab
− iar S = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
ab
2.
c) Dacă ∆ < 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale, S = ∅. Teoremă. Mulţimea soluţiilor în R ale unei ecuaţii de gradul II: a) are două ele-
mente dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mare decât 0 (∆ > 0); b) un sin-gur element dacă şi numai dacă discriminantul său este egal cu 0 (∆ = 0); c) mulţimea vidă dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mic decât 0 (∆ < 0).
Rădăcinile reale ale polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = 2aX+ bX + c. Numărul r este rădăcină a polinomului P(X), dacă P(r) = 0. a) Dacă ∆ > 0,
atunci polinomul are rădăcinile =1x ab
2∆−− şi =2x .
2ab ∆+− În particular, dacă: b
= 2b′, atunci polinomul are rădăcinile = 1x acbb −′−′− 2 şi = 2x ;2 acbb −′+′−
a = 1, atunci el are = 1x2
42 cbb −−− şi = 2x .2
42 cbb −+− b) Dacă ∆ = 0,
atunci rădăcinile polinomului sunt = = 1x 2x .2ab
− c) Dacă ∆ < 0, atunci polinomul
nu are rădăcini reale. Teoremă. Un polinom de gradul II: a) are două rădăcini reale diferite dacă şi
numai dacă are discriminantul mai mare decât 0 (∆ > 0); b) două rădăcini reale egale dacă şi numai dacă are discriminantul egal cu 0 (∆ = 0); c) nu are rădăcini reale dacă şi numai dacă are discriminantul mai mic decât 0 (∆ < 0).
Descompunerea polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = + bX 2aX+ c. Dacă ∆ > 0, atunci P(X) = ),)(( 21 xXxXa −− unde rădăcinile şi sunt rădă-1x 2xcinile reale ale polinomului.
Teorema lui Viète pentru rădăcinile polinomului de gradul II + bX + c. 2aX
a) Dacă ∆ > 0, atunci polinomul are rădăcinile = 1xa
b2
∆−− şi = 2x .2a
b ∆+−
Suma rădăcinilor este s = = 21 xx + ,ab
− iar produsul rădăcinilor este p = = 21xx .ac
b) Dacă ∆ = 0, atunci rădăcinile polinomului sunt = = 1x 2x .2ab
− Suma rădăcinilor
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 84
este s = = 21 xx + ,ab
− iar produsul rădăcinilor este p = = 21xx .ac
Alte relaţii între coeficienţii şi rădăcinile polinomului de gradul II + bX 2aX+ c. Fie s = 21 xx + şi p = 1) Suma pătratelor rădăcinilor este = = .21xx )2(s 2
221 xx +
221 )( xx + − = − 2p. 2) Suma cuburilor rădăcinilor este = = 212 xx 2s )3(s 3
231 xx +
321 )( xx + − )( 2121 xxxx + = − 3sp. 3) + c = 0 ⇒ 3s 1
21 bxax + 1
21 x
abx + +
ac = 0 ⇒
121 sxx − + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia + p = 0, (2). Înmulţind relaţia 2
22 sxx −
(1) cu obţinem + = 0, (3). Înmulţind relaţia (2) cu obţi-,21−nx 1
11−− nn sxx 2
1−npx ,2
2−nx
nem + = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), obţinem − 122−− nn sxx 2
2−npx )( 21
nn xx +
)( 12
11
−− + nn xxs + = 0, de unde rezultă − + = 0, (5). )( 22
21
−− + nn xxp )(ns )1( −nss )2( −npsPolinom de gradul II cu rădăcinile date şi coeficientul dominant 1. Polinomul
de gradul II în nedeterminanta X cu coeficientul dominant 1 şi rădăcinile m şi n este 2X − sX + p, unde s = m + n şi p = mn. Relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II + bx + c = 0. Dacă 2ax
∆ ≥ 0, atunci ecuaţia are soluţiile = 1xa
b2
∆−− şi = 2x .2a
b ∆+− Suma soluţiilor
este s = = 21 xx + ,ab
− iar produsul soluţiilor este p = = 21xx .ac
Alte relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II + bx + c = 0. 2axFie s = şi p = 1) Suma pătratelor soluţiilor este = = − 2p. 21 xx + .21xx )2(s 2
221 xx + 2s
2) Suma cuburilor rădăcinilor este = = − 3sp. 3) + c = 0 ⇒ )3(s 32
31 xx + 3s 1
21 bxax +
121 x
abx + +
ac = 0 ⇒ + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia + p = 0, 1
21 sxx − 2
22 sxx −
(2). Înmulţind relaţia (1) cu obţinem + = 0, (3). Înmulţind ,21−nx 1
11−− nn sxx 2
1−npx
relaţia (2) cu obţinem + = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), ,22−nx 1
22−− nn sxx 2
2−npx
obţinem − + = 0, de unde rezultă − )( 21nn xx + )( 1
21
1−− + nn xxs )( 2
22
1−− + nn xxp )(ns
)1( −nss + = 0, (5). )2( −npsReciproca teoremei lui Viète. Dacă se dau suma şi diferenţa a două numere,
atunci există o ecuaţie de gradul II care are soluţiile cele două numere. Ecuaţia de gradul II cu soluţiile date. Ecuaţia de gradul II cu soluţiile m şi n este
2x − sx + p, unde s = m + n şi p = mn. Suplimentar. Rezolvarea ecuaţiilor algebrice de grad mai mare decât II.
Ecuaţia ataşată unui polinom de gradul III este o ecuaţie (algebrică) de gradul III. Pentru a rezolva o astfel de ecuaţie se poate aplica teorema lui Bézout şi schema lui Horner.
Exemplu. Rezolvaţi ecuaţia x4 – 8x3 + 25x2 – 38x + 24 = 0.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 85
Rezolvare. Divizorii întregi ai lui 24 sunt: –24, –12, –8, –6, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Prezentăm numai variantele încercările reuşite. X4 X3 X2 X1 X0
3 1 –8 25 –38 24 2 1 3–8 = –5 –15+25 = 10 30–38 = –8 –24+24 = 0 1 2–5 = –3 2(–3)+10 = 4 8–8 = 0
Am obţinut X4 – 8X3 + 25X2 – 38X + 24 = (X – 3)(X – 2)(X2 – 3X + 4). X2 – 3X + 4 este ireductibil în R, deoarece are ∆ = 9 – 16. Prin urmare, ecuaţia x4 – 8x3 + 25x2 – 38x + 24 = 0 are soluţiile reale 2 şi 3.
Suplimentar. Relaţiile lui Viète pentru polinomul de gradul III şi ecuaţia de gradul III. Pentru aceasta este suficient să examinăm egalitatea aX3 + bX2 + cX + d = a(X – x1)(X – x2)(X – x3), unde x1, x2, x3 sunt rădăcinile reale are polinomului aX3 + bX2 + cX + d. Forma canonică a polinomului a(X – x1)(X – x2)(X – x3) este aX3 – a(x1 + x2 + x3)X2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)X – ax1x2x3 şi rezultă b = – a(x1 + x2 + x3), c =
a(x1x2 + x1x3 + x2x3), d = –ax1x2x3, de unde x1 + x2 + x3 = ,ab
− x1x2 + x1x3 + x2x3 =
,ac x1x2x3 = .
ad
− Obţinem: s1 = x1 + x2 + x3, s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3, s3 = x1x2x3.
Suplimentar. Ecuaţia de gradul III cu soluţiile reale date. Ecuaţia de gradul III cu soluţiile reale x1, x2, x3 este (x – x1)(x – x2)(x – x3) = 0 este echivalentă cu x3 – s1x2 + s2x – s3 = 0, unde s1 = x1 + x2 + x3, s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3, s3 = x1x2x3.
Sistem, totalitate. Fie ecuaţiile f(x, y) = 0, g(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ⊆ R × R. Propoziţia cu variabile „ f(x, y) = 0 şi g(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ⊆ R × R“ este un sistem
de două ecuaţii cu două necunoscute şi se notează ⎩⎨⎧
==
.),(
),(
00
yxgyxf
s = ∈ D ),( 00 yx
este soluţie a sistemului, dacă propoziţia „ = 0 şi = 0“ este ),( 00 yxf ),( 00 yxgadevărată. Propoziţia cu variabile „ f(x, y) = 0 sau g(x, y) = 0, (x, y) ∈ D ⊆ R × R“
este o totalitate de două ecuaţii cu două necunoscute şi se notează s = ⎢⎣
⎡==
.),(
),(
00
yxgyxf
),( 00 yx ∈ D este soluţie a totalităţii, dacă propoziţia „ = 0 sau = ),( 00 yxf ),( 00 yxg0“ este adevărată.
Sisteme de ecuaţii echivalente. Două sisteme de ecuaţii sunt echivalente dacă au aceleaşi necunoscute aparţinând aceleiaşi mulţimi şi se obţin unul din celălalt apli-când proprietăţile egalităţii numerelor reale. Sistemele de ecuaţii echivalente au ace-eaşi mulţime de soluţii.
Metode de rezolvare algebrică a sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute. Rezolvarea prin metoda substituţiei: 1) din una dintre ecuaţii se expri-mă o necunoscută în funcţie de cealaltă; 2) se substituie (înlocuieşte) această necunoscută în cealaltă ecuaţie a sistemului; 3) se rezolvă ecuaţia obţinută; 4) se află cealaltă necunoscută a sistemului; 5) se obţine soluţia sistemului sau mulţimea soluţii-lor sistemului.
Rezolvarea prin metoda reducerii: 1) se examinează sistemul şi se constată dacă coeficienţii unei necunoscute sunt egali sau opuşi, după care se alege una dintre vari-
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 86
antele: a) pentru da se trece la pasul 3); b) pentru nu se trece la pasul 2); 2) aplicând proprietăţile egalităţii, se obţine un sistem echivalent cu cel dat, care are proprietatea că una dintre necunoscute are coeficienţii egali sau opuşi în ambele ecuaţii; 3) prin adunarea sau scăderea ecuaţiilor sistemului, se obţine un sistem echivalent cu cel ini-ţial (sau cu precedentul, dacă s-a executat pasul 2)); 4) se află una dintre necunoscute; 5) se află prin substituţie a doua soluţie a sistemului; 6) se scrie soluţia sau mulţimea soluţiilor sistemului.
Introducerea unor necunoscute auxiliare. Exemple:
1) Rezolvaţi în R × R sistemul
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
.1623
2111
yx
yx
Rezolvare. Fie .1y
u = Se obţine sistemul ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
,1632
11
ux
ux care se rezolvă prin substi-
tuţie.
2) Rezolvaţi în R × R sistemul simetric Sistemul este simetric, ⎩⎨⎧
=+
=+
.152
833 yx
yx
deoarece înlocuind necunoscutele între ele se obţine acelaşi sistem. Se înlocuieşte x + y = s şi xy = p. Se ţine cont că x3 + y3 = s3 – 3sp şi se obţine
sistemul ⎩⎨⎧
=−
=
.1523
83 sps
s
⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
=−=
.158
152245128
ps
ps
Soluţiile sistemului se obţin rezolvând ecuaţia t2 –
8t + 15 = 0. Soluţiile ecuaţiei sunt 3 şi 5 iar soluţiile sistemului sunt (3, 5) şi (5, 6).
3) Rezolvaţi în R × R sistemul omogen Sistemul este omogen, de-⎩⎨⎧
=+=+
.1135723
yxyx
oarece polinoamele P(X, Y) = 3X + 2Y şi Q(X, Y) = 5X + 3Y sunt polinoame omogene de gradul I. Fie x = ty. Atunci:
.5,01221352233117
3523
11)35(7)23(
=⇔=⇔+=+⇒=++
⇒⎩⎨⎧
=+=+
tttttt
tyty
y(1,5 + 2) = 7 ⇔ y = 2 ⇒ x = 1. Sistemul are soluţia (1, 2).
4) Rezolvaţi în R × R sistemul omogen Sistemul este omogen, ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
−=−
.72
1322
22
yx
yx
deoarece polinoamele P(X, Y) = 3X2 – Y2 şi Q(X, Y) = –X2 + 2Y2 sunt polinoame omo-gene de gradul II. Fie x = ty. Atunci:
.5,025,0272171
213
7)2(
1)13( 2222
2
22
22
=⇔=⇔−=−⇒−=+−−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
−=−|| tttt
tt
ty
ty
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 87
y2(0,75 –1) = –1 ⇔ y2 = 4. Soluţiile în R × R ale sistemului sunt (–1, –2), (–1, 2), (1, –2), (1, 2).
Totalităţi de ecuaţii. Exemple. 1) Rezolvaţi în R ecuaţia x2 – 14x + 13 = 0.
Rezolvare. Ecuaţia are ∆′ = 49 – 13 = 36. Atunci x2 – 14x + 13 = 0 ⇔ ⇔ ⎢⎣
⎡==
131
xx
S = {1, 13}. 1) Rezolvaţi în R ecuaţia (x2 – 15x + 50)(x2 – 4x – 21) = 0. Rezolvare. Ecuaţia x2 – 15x + 50 = 0 are ∆ = 225 + 200 = 425, x2 – 4x – 21 = 0 are
∆′ = 4 + 21 = 25 Atunci (x2 – 15x + 50)(x2 – 4x – 21) = 0 ⇔ ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
=−−
=+−
0214
050152
2
xx
xx
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−=
==
73
105
xxxx
⇒ S = {–3, 5, 7, 10}.
1. E c u a ţ i i d e f o r m a ax + b = 0, a ∈ R, b ∈ R
1. Stabiliţi care dintre ecuaţiile următoare au soluţii în mulţimea {−2, −1, 0, 2, 3, 4}: a) 5x − 2 = 8; b) 8x + 3 = 11; c) x2 + 2x – 3 = 0; d) x2 + 2x – 3 = 0.
2. Aplicând proprietăţile egalităţii numerelor reale, construiţi trei ecuaţii echivalente cu ecuaţia:
a) 6x − 7 = 8; b) 3x − 4 = 5; c) 6x − 4 = 5; d) 5x − 8 = 7. 3. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) 3x + 14 = 0; b) 5x + 9 = 0; c) 5x + 8 = 0; d) 4x + 19 = 0. 4. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;052
43
=+x b) ;041
53
=+x c) ;032
61
=+x d) .043
85
=+x
5. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4x − 7 = −15; b) 2x − 3 = 4; c) 8x − 16 = 7; d) 5x + 11 = −3.
6. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) ;37334 =−x b) ;211275 =−x c) ;611678 =−x d) ;713744 =−x e) ;1141138 =−x f) .13713145 =−x
7. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 8z + 9 = 3z − 6; b) 3z + 9 = 12z − 4; c) 2z + 5 = 9z − 11; d) 4z + 5 = 3z − 9; e) 11z + 9 = 8z − 13; f) 14z + 8 = 9z − 16.
8. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4(2t + 5) = 9t − 23; b) 2(3t + 4) = 12t − 28; c) 3(2t + 5) = 15t − 18; d) 5(2t + 3) = 16t − 12; e) 4(2t + 1) = 24t − 3; f) 2(11t + 2) = 19t − 25.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 88
9. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 8(7z −9) = 9(8z − 5); b) 2(4z − 3) = 3(2z − 1); c) 3(5z − 2) = 2(4z − 1); d) 5(2z − 1) = 2(2z − 3); e) 2(5z − 2) = 3(4z − 3); f) 4(3z − 2) = 3(3z − 2).
10. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;7326
52
−=− xx b) ;4312
41
−=− xx c) ;8213
53
−=− xx
d) ;11528
43
−=− xx e) ;9415
85
−=− xx d) .16217
83
−=− xx
11. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;5
123
7=
x b) ;4
115
6=
x c) ;5
1283
=x d) ;
115
94
=x e) .
65
119
=x
12. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) ;553 −=x b) ;774 =x c) ;885 −=x d) .15156 =x
13. Aflaţi raţia unei progresiei aritmetice dacă: a) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 72 şi primul termen 2; b) suma a trei termeni consecutivi ai ei este 44 şi primul termen 8; c) suma a patru termeni consecutivi ai ei este 48 şi primul termen 6; d) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 64 şi primul termen 3; e) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 36 şi primul termen 5; f) suma a cinci termeni consecutivi ai ei este 28 şi primul termen 4.
14. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | 3x – 7 | = 9; b) | 2x – 3 | = 4; c) | 4x – 1 | = 12; d) | 2x – 3 | = 5; e) | 3x – 2 | = 7; f) | 2x – 5 | = 4.
15. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 8(x + 7) + 6 = 5(x − 2) + 11; b) 9(x + 4) + 5 = 8(x − 2) + 7; c) 5(x + 2) + 9 = 4(x − 3) + 12; d) 6(x + 5) + 10 = 3(x − 4) + 15; d) 2(x + 3) + 2 = 3(x − 5) + 13; e) 3(x + 6) + 8 = 6(x − 7) + 5.
16. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;13
31195 xx −
= b) ;741
163 xx −
= c) ;851
173 xx −
=
d) ;551
134 xx −
= e) ;551
134 xx −
= f) .241
196 xx −
=
17. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (3x – 2)2 + (5x + 1)2 = (3x + 5)2 + (5x – 2)2; b) (4x – 1)2 + (2x + 3)2 = (4x + 3)2 + (2x – 1)2; c) (5x – 1)2 + (3x + 1)2 = (3x + 2)2 + (5x – 2)2; d) (6x – 1)2 + (3x + 2)2 = (6x + 5)2 + (3x – 1)2; e) (5x – 2)2 + (4x + 3)2 = (5x + 1)2 + (4x – 1)2; f) (6x – 5)2 + (5x + 2)2 = (6x + 1)2 + (5x – 3)2.
18. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (20x – 1)2 + (21x + 2)2 = (29x + 1)2; b) (3x – 2)2 + (4x + 1)2 = (5x + 2)2; c) (5x – 2)2 + (12x + 1)2 = (13x + 3)2; d) (8x – 1)2 + (15x + 2)2 = (17x + 2)2; e) (7x – 1)2 + (24x + 1)2 = (25x + 2)2; f) (9x – 1)2 + (40x + 1)2 = (41x + 3)2.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 89
19. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (4x − 3)(5x + 4) = (2x + 7)(10x − 8) + 11; b) (2x − 5)(3x + 1) = (6x + 1)(x − 6) + 26; c) (2x − 3)(6x + 1) = (3x + 1)(4x − 3) + 15; d) (8x − 1)(3x + 3) = (6x + 5)(4x − 1) + 21; e) (2x − 3)(12x + 1) = (6x + 1)(4x − 5) + 25.
20. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | 2x + 3 | + | 3y − 8 | + | 5z − 14| = 0; b) | 7x + 3 | + | 4y − 6 | + | 5z − 3| = 0; c) | 3x + 4 | + | 5y − 8 | + | 9z − 2| = 0; d) | 8x + 11 | + | 5y − 9 | + | 7z − 2| = 0.
21. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;32
213
5+
=− xx
b) ;32
352
2−
=− xx
c) ;72
123
4−
=− xx
d) ;92
274
3−
=− xx
e) ;72
394
4+
=− xx
f) .112
434
3+
=+ xx
22. Aflaţi parametrul a pentru care: a) –5 este soluţie a ecuaţiei 2x + 11 = 3x + a; b) –2 este soluţie a ecuaţiei 3x + 9 = 4x + a; c) –1 este soluţie a ecuaţiei 5x + 4 = 5x + a; d) 2 este soluţie a ecuaţiei 4x + 3 = 2x + a; e) –3 este soluţie a ecuaţiei 6x + 7 = 8x + a; f) 3 este soluţie a ecuaţiei 5x + 2 = 9x + a.
23. Aflaţi numărul real m pentru care: a) 3X
3 – 6X 2 + 5X – 7m se divide cu X + 3;
b) 2X 3 – 2X
2 + 3X – 9m se divide cu X – 2; c) 2X
3 – 7X 2 + 2X – 6m se divide cu X + 4;
d) 4X 3 – 3X
2 + 8X – 11m se divide cu X – 3; e) 5X
3 – 8X 2 + 4X – 5m se divide cu X – 4;
f) 2X 3 + 2X
2 – 9X – 2m se divide cu X + 5. 24. Aflaţi numărul real m pentru care:
a) restul împărţirii lui 8X 3 – 2X
2 + 9mX – 12 la X + 3 să fie egal cu –17; b) restul împărţirii lui 2X
3 – 3X 2 + 4mX – 19 la X – 2 să fie egal cu 11;
c) restul împărţirii lui 3X 3 – 4X
2 + 8mX – 4 la X + 4 să fie egal cu 15; d) restul împărţirii lui 2X
3 – 5X 2 + 2mX – 5 la X – 3 să fie egal cu 14;
e) restul împărţirii lui 4X 3 + 2X
2 – 7mX – 18 la X + 5 să fie egal cu 13; f) restul împărţirii lui 5X
3 + 3X 2 – 3mX – 11 la X – 5 să fie egal cu 12.
25. Rezolvaţi în Z ecuaţia: a) (2x − 1)(y + 3) = 6; b) (4x − 3)(2y + 1) = 8.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 26. Controlaţi dacă:
a) 28− este soluţie a ecuaţiei x4 – 16x2 + 14 = 0;
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 90
b) 53+ este soluţie a ecuaţiei x4 – 9x2 + 5 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 27. Aflaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi întregi, cu 73− una dintre so-
luţii. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 28. Dacă adunăm, pe rând, unui număr 24, 32, 41, obţinem trei numere a căror sumă
este cu 8 mai mare decât numărul dat. Aflaţi numărul. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 29. Un tren trebuie să parcurgă o anumită distanţă într-un interval de timp. Dacă s-
ar deplasa cu viteza medie de 90 km/h, ar ajunge cu 3 h mai devreme, iar dacă s-ar deplasa cu viteza medie de 60 km/h, ar ajunge cu 2 h mai târziu decât timpul stabilit. Ce distanţă trebuie să parcurgă trenul?
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 30. Dacă pun câte 3 creioane în cutiile pe care le am, atunci îmi rămâne un creion,
iar dacă pun câte 5 creioane în cutiile pe care le am, atunci două cutii rămân goale. Câte cutii şi câte creioane am?
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 31. Pentru suma de bani pe care a depus-o la o bancă pentru un an, dl B primeşte lu-
nar 540 lei. Ce sumă de bani a depus dl B la bancă, dacă dobânda anuală este de 18%? Formulaţi un exerciţiu asemănător. 32. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;52028213646 22 =+−++− yyxx
b) .6502208377127 22 =+−++− yyxx Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Rezolvaţi în R ecuaţia 14x + 15x + 16x + … + 199x + 200x = 9 800. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Ovidiu a citit 33,(3)% din numărul capitolelor unei cărţi. După ce a mai citit un
capitol i-au mai rămas de citit 50% din numărul capitolelor cărţii. Câte capitole are car-tea?
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 35. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real:
a) 3ax − 14 = 0; b) 2ax − 5 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real:
a) (a − 2)x − 17 = 0; b) (a − 4)x − 28 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi numerele reale m şi n pentru care graficul funcţiei definită prin
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈−−∈−
−−∈−=
),3[ă,3)3,2[ă,5
)2,(ă,1)(
'
'
xxnxx
xmxxf
dac
dac
dac
este o linie poligonală deschisă.
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 91
38. Aflaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi întregi, cu una dintre soluţii: a) ;653 − b) .123 3−
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real:
a) 4ax − 17 = 3x + 14; b) 5ax − 6 = 8x − 10; c) 8ax − 25 = 4x − 9. 40. Aflaţi numerele întregi x pentru care
).1()1(8
88
)1(8...24
1616
88
+−=+
−+
−−++
−+
−+ n
nnx
nnxxxx
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia
.110
)510(...15
1010
55
=−−
⋅⋅−
⋅−
⋅nnxxxx
Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Aflaţi raţia unei progresii geometrice cu trei termeni, dacă are primul termen
egal cu 2 şi suma termenilor este 42. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 43. a) Un ogar urmăreşte o vulpe. Aflaţi peste câte sărituri ogarul ajunge vulpea,
dacă vulpea se află la 60 de sărituri (de vulpe) înaintea ogarului, că în timp ce vulpea face 9 sărituri ogarul face 6 sărituri şi că 3 sărituri de ogar măsoară cât 7 sărituri de vulpe.
b) Un ogar urmăreşte o vulpe. Aflaţi peste câte sărituri ogarul ajunge vulpea, dacă vulpea se află la 63 de sărituri (de vulpe) înaintea ogarului, că în timp ce vulpea face 7 sărituri ogarul face 4 sărituri şi că 2 sărituri de ogar măsoară cât 5 sărituri de vulpe.
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4x + 9 = 3; b) .56523 =−x
2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 5z + 6 = 2z – 11; b) 3(2t – 3) = 11t – 7.
3. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;7
45
3 xx=
b) .11117 =x 4. Rezolvaţi în R ecuaţia:
2(4x + 5) = 3(7x + 8). 5. Rezolvaţi în R ecuaţia:
1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 5x + 8 = 5; b) .67643 =−x
2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 4z + 7 = 3z – 10; b) 2(3t – 2) = 10t – 7.
3. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;72
65 xx
=
b) .778 =x 4. Rezolvaţi în R ecuaţia:
4(2x + 3) = 3(5x + 6). 5. Rezolvaţi în R ecuaţia:
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 92
| 5x – 3 | = 9. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;432
52 xx −
=
b) .52
332
2+
=− xx
7. Aflaţi numărul real m pentru care: a) –2 este soluţie a ecuaţiei 4x +
5 = 3x + m; b) polinomul 4X
3 – 3X 2 + 5X –
6m se divide cu X + 2. 8. Aflaţi numerele întregi x pentru
care 373
+−
xx este număr întreg.
9. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real 3ax − 5 = 4x + 9.
| 4x – 5 | = 8. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;523
43 xx −
=
b) .52
272
3−
=+ xx
7. Aflaţi numărul real m pentru care: a) 2 este soluţie a ecuaţiei 5x + 3 =
4x + m; b) polinomul 3X
3 – 4X 2 + 6X – 5m
se divide cu X + 2. 8. Aflaţi numerele întregi x pentru
care 373
−+
xx este număr întreg.
9. Rezolvaţi în R ecuaţia, dacă a este un parametru real 4ax − 6 = 3x + 8.
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
2. E c u a ţ i i d e g r a d u l I I c u o n e c u n o s c u t ă
1. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: a) −3X + 8; b) −5X + 2; c) −11X − 3; d) −9X + 18.
2. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: a) 3X
2 – 11X – 12; b) 4X 2 – 9X – 7; c) 5X
2 – 25X – 4. 3. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) x2 − 18 = 0; b) x2 − 24 = 0; c) x2 − 32 = 0; d) x2 − 48 = 0. 4. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:
a) 4X 2 – 12; b) 9X
2 – 28; c) 4X 2 – 45; d) 16X
2 – 24. 5. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:
a) 6X 2 + 58; b) 8X
2 + 36; c) 5X 2 + 18; d) 6X
2 + 14. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) (x – 3)2 − 7 = 0; b) (x – 6)2 − 5 = 0; c) (x – 7)2 − 13; d) (x – 8)2 − 14. 7. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) 7x2 − 8x = 0; b) 9x2 − 5x = 0; c) 5x2 − 6x = 0; d) 8x2 − 11x = 0. 8. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) 12x2 = 0; b) 14x2 = 0; c) 29x2 = 0; d) 15x2 = 0; e) 57x2 = 0. 9. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului:
a) 4X 2 + 12X + 9; b) 9X
2 + 44X + 49; c) 25X 2 + 20X + 4.
10. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 16x2 – 24x + 9 = 0; b) 16x2 – 56x + 49 = 0; c) 25x2 – 40X + 16.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 93
11. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x2 + 4x + 1 = 0; b) x2 + 7x + 1 = 0; c) x2 + 8x + 1 = 0; d) x2 + 9x + 1 = 0; e) x2 + 12x + 1 = 0; f) x2 + 14x + 1 = 0.
12. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) 4X
2 + 12X – 1; b) 9X 2 + 44X – 1; c) 25X
2 + 20X – 1. 13. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) x2 + 4x + 5 = 0; b) x2 + 7x + 10 = 0; c) x2 + 8x + 17 = 0; d) x2 + 9x + 23 = 0; e) x2 + 12x + 37 = 0; f) x2 + 14x + 50 = 0.
14. Aflaţi m, astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei: a) 5x2 − 12x + m = 0 să fie –3; b) 2x2 − 10x + m = 0 să fie –2; c) 3x2 − 8x + m = 0 să fie –2; d) 3x2 − 12x + m = 0 să fie –3.
15. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul: a) mX
2 − 11X + 2 să nu aibă rădăcini reale; b) mX
2 − 111X + 10 să nu aibă rădăcini reale; c) mX
2 − 1 111X + 100 să nu aibă rădăcini reale; d) mX
2 − 11 111X + 1 000 să nu aibă rădăcini reale; e) mX
2 − 111 111X + 100 000 să nu aibă rădăcini reale; f) mX
2 − 1 111 111X + 1 000 000 să nu aibă rădăcini reale. 16. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul:
a) 3X 2 − 6X + 2m să aibă rădăcini egale;
b) 4X 2 − 8X + 5m să aibă rădăcini egale;
c) 2X 2 − 10X + 4m să aibă rădăcini egale;
d) 5X 2 − 12X + 6m să aibă rădăcini egale;
e) 2X 2 − 14X + 7m să aibă rădăcini egale;
f) 3X 2 − 16X + 8m să aibă rădăcini egale.
17. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) 7mx2 − 18x + 8 = 0 să aibă două elemente; b) 3mx2 − 16x + 2 = 0 să aibă două elemente; c) 2mx2 − 14x + 3 = 0 să aibă două elemente; d) 4mx2 − 10x + 4 = 0 să aibă două elemente; e) 5mx2 − 8x + 3 = 0 să aibă două elemente; f) 6mx2 − 65x + 2 = 0 să aibă două elemente.
18. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) 9mx2 − 12x + 11 = 0 să nu aibă elemente; b) 2mx2 − 8x + 9 = 0 să nu aibă elemente; c) 5mx2 − 16x + 6 = 0 să nu aibă elemente; d) 4mx2 − 10x + 7 = 0 să nu aibă elemente; e) 6mx2 − 6x + 3 = 0 să nu aibă elemente; f) 3mx2 − 8x + 8 = 0 să nu aibă elemente.
19. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x4 − 8x2 + 12 = 0; b) x4 − 15x2 + 14 = 0; c) x4 − 11x2 + 18 = 0; d) x4 − 20x2 + 36 = 0; e) x4 − 15x2 + 26 = 0; f) x4 − 11x2 + 24 = 0.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 94
20. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x6 − 13x3 + 30 = 0; b) x6 − 13x3 + 36 = 0; c) x6 − 9x3 + 20 = 0; d) x6 − 9x3 + 14 = 0; e) x6 − 13x3 + 42 = 0; f) x6 − 13x3 + 40 = 0.
21. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x6 − 30x3 − 64 = 0; b) x6 − x3 − 72 = 0; c) x6 − 10x3 − 39 = 0; d) x6 − 8x3 − 20 = 0; e) x6 − 2x3 − 120 = 0; f) x6 − 13x3 − 48 = 0.
22. Examinaţi desenul! Aplicând teoremele triunghiului dreptunghic completaţi ta-belul:
a b c m n h 64 4 26 6 12 7 152 11 34 8
23. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teo-rema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului:
a) X 2 + 11X + 28; b) X
2 + 12X + 20; c) X 2 + 12X + 24;
d) X 2 + 13X + 30; b) X
2 + 14X + 40; c) X 2 + 15X + 50.
24. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei:
a) x2 − 21x + 5 = 0; b) x2 − 13x + 6 = 0; c) x2 − 15x + 47 = 0; d) x2 − 11x + 19 = 0; b) x2 − 17x + 42 = 0; c) x2 − 19x + 51 = 0.
25. Aflaţi numerele reale cu: a) suma 12 şi produsul 27; b) suma 8 şi produsul 12; c) suma 15 şi produsul 54; d) suma 15 şi produsul 56; b) suma 16 şi produsul 60; c) suma 14 şi produsul 48.
26. Aflaţi polinomul ale căror rădăcini au: a) suma 13 şi produsul 85; b) suma 10 şi produsul 23; c) suma 11 şi produsul 29; d) suma 9 şi produsul 19; b) suma 12 şi produsul 30; c) suma 14 şi produsul 46.
27. Aflaţi numărul real m pentru care una dintre rădăcinile polinomului: a) X
2 + 5mX + 15 este 11; b) X 2 + 7mX + 11 este 4;
c) X 2 + 4mX + 12 este 3; d) X
2 + 12mX + 3 este 2; e) X
2 + 8mX + 19 este –3; f) X 2 + 15mX + 6 este –2.
28. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;7
77
2
−=
− xx
xx b) ;
22
2
2
−=
− xx
xx c) ;
33
3
2
−=
− xx
xx
d) ;4
44
2
−=
− xx
xx e) ;
55
5
2
−=
− xx
xx f) .
66
6
2
−=
− xx
xx
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 95
29. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;8
108162
−=
−+
xx
xx b) ;
25
262
−=
−+
xx
xx c) ;
35
362
−=
−+
xx
xx
d) ;4
74122
−=
−+
xx
xx e) ;
37
3122
−=
−+
xx
xx f) .
29
2142
−=
−+
xx
xx
30. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;59
47
−−
=−−
xx
xx b) ;
14
23
−−
=−−
xx
xx c) ;
25
34
−−
=−−
xx
xx
d) ;35
42
−−
=−−
xx
xx e) ;
56
43
−−
=−−
xx
xx f) .
63
52
−−
=−−
xx
xx
30. Calculaţi rădăcinile reale şi descompuneţi polinomul: a) X
2 + 11X + 28; b) X 2 + 12X + 20; c) X
2 + 12X + 24; d) X
2 + 13X + 30; b) X 2 + 14X + 40; c) X
2 + 15X + 50. 31. Simplificaţi fracţia:
a) ;6075015
2
2
−−+−
XXXX b) ;
128189
2
2
+−+−
XXXX c) ;
1492110
2
2
+−+−
XXXX
d) ;3011209
2
2
+−+−
XXXX e) ;
28112410
2
2
+−+−
XXXX f) .
28113512
2
2
+−+−
XXXX
32. Aflaţi numerele reale m pentru care polinomul X 2 + (m + 3)X + 2m – 1 are rădă-
cini opuse. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 33. Rezolvaţi în R ecuaţia x2 − 13| x | + 42 = 0. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 34. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X
2 + 7X + 5m. Aflaţi în funcţie de m:
a) ;11
21 xx+ b) c) ;2
221 xx + .3
231 xx +
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
35. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X 2 + 3(m – 2)X + 2m. Aflaţi în funcţie de m
. 72
71 xx +
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 36. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X
2 + 5(m – 3)X + 4m. Aflaţi un poli-nom ale cărui rădăcini sunt inversele rădăcinilor polinomului P(X).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X
2 – 3(2m – 3)X + 9m. Aflaţi un poli-nom ale cărui rădăcini sunt opusele rădăcinilor polinomului P(X).
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 38. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X
2 + 3(2m – 1)X + m – 1. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt x1 + 1 şi x2 + 1.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 96
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 39. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X
2 + 2(2m – 3)X + m – 3. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt x1 – 1 şi x2 – 1.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X
2 + 2(2m – 3)X + m – 3. Aflaţi un polinom ale cărui rădăcini sunt 3x1 şi 3x2.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Un dreptunghi are semiperimetrul p. În ce condiţii aria dreptunghiului este
maximă? 42. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei definite pe domeniul maxim de definiţie în R
prin .1
53)( 2
2
++−
=x
xxxf
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (x + 3)2 – 5 = 0; b) 5x2 – 3x = 0.
2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 16x2 – 40x + 25 = 0; b) 3x2 – 5x + 2 = 0.
3. Aflaţi m, astfel încât una dintre so-luţiile ecuaţiei 2x2 − 3x + m = 0 să fie –5.
4. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul:
a) 2X 2 − 5X + 3m să aibă rădăcini
egale; b) 3X
2 − 2X + 5m să aibă rădăcini diferite.
5. Aflaţi suma şi produsul: a) rădăcinilor polinomului 3X
2 − 8X + 2;
b) soluţiilor ecuaţiei 5x2 – 9x + 3 = 0.
6. Aflaţi numerele reale cu suma 15 şi produsul 56.
7. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;13
1313
2
−=
− xx
xx
b) .9
7129 22
2
xx
xx
−−
=−
8. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X
2 + 8X + 7m. Aflaţi în funcţie de m:
1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (x + 2)2 – 6 = 0; b) 4x2 – 5x = 0.
2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 25x2 – 40x + 16 = 0; b) 2x2 – 5x + 3 = 0.
3. Aflaţi m, astfel încât una dintre so-luţiile ecuaţiei 2x2 − 4x + m = 0 să fie –3.
4. Aflaţi numerele reale m, astfel încât polinomul:
a) 3X 2 − 6X + 2m să aibă rădăcini
egale; b) 5X
2 − 4X + 3m să aibă rădăcini diferite.
5. Aflaţi suma şi produsul: a) rădăcinilor polinomului 3X
2 − 10X + 4;
b) soluţiilor ecuaţiei 3x2 – 9x + 5 = 0.
6. Aflaţi numerele reale cu suma 14 şi produsul 44.
7. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;15
1515
2
−=
− xx
xx
b) .16
71216 22
2
xx
xx
−−
=−
8. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului X
2 + 6X + 9m. Aflaţi în funcţie de m:
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 97
a) ;11
21 xx+ b) .3
231 xx +
9. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X
2 + 2mX + m – 1. Aflaţi un po-linom ale cărui rădăcini sunt:
.11,1121 xx
++
a) ;11
21 xx+ b) .3
231 xx +
9. Fie x1 şi x2 rădăcinile polinomului P(X) = X
2 + mX + m – 4. Aflaţi un poli-nom ale cărui rădăcini sunt:
.11,1121 xx
++
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
3. E c u a ţ i i r a ţ i o n a l e
1. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;71
91
4=
−−
− xx b) ;4
312
36
=−
−− xx
c) ;136
36
12=
−−
− xx
d) ;24
54
11=
−−
− xx e) ;3
515
58
=−
−− xx
f) .57
57
16=
−−
− xx
2. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;02
91
4=
−−
− xx b) ;0
37
13
=−
−− xx
c) ;04
122
5=
−−
− xx
d) ;04
63
2=
−−
− xx e) ;0
55
49
=−
−− xx
f) .06
95
15=
−−
− xx
3. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;09
99
=−
−− xxx b) ;0
44
4=
−−
− xxx c) ;0
66
6=
−−
− xxx
d) ;07
77
=−
−− xxx e) ;0
1111
11=
−−
− xxx f) .0
1010
10=
−−
− xxx
4. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;089
=−−xx b) ;05
1=−
−xx c) ;03
2=−
−xx
d) ;063
=−−xx e) ;04
4=−
−xx f) .07
5=−
−xx
5. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;019
2=−
− xx b) ;01
13
=−− xx
c) ;012
4=−
− xx
d) ;013
5=−
− xx e) ;01
46
=−− xx
f) .015
7=−
− xx
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 98
6. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;54
82
+−
=− x
xx
b) ;13
12
+−
=− x
xx
c) ;22
14
+−
=− x
xx
d) ;21
23
+−
=− x
xx
e) ;32
13
+−
=+ x
xx
f) .12
12
−+
=+ x
xx
7. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;118
8=−
− xx b) ;11
12
=−− xx
c) ;111
3=−
+ xx
d) ;212
3=−
− xx e) ;11
32
=−− xx
f) .114
4=−
− xx
8. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;088
8=
−−
− xx
x b) ;0
111
=−
−− x
xx
c) ;022
2=
−−
− xx
x
d) ;033
3=
−−
− xx
x e) ;0
444
=−
−− x
xx
f) .055
5=
−−
− xx
x
9. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;91
89
++
=−−
xx
xx b) ;
31
23
−+
=−+
xx
xx c) ;
43
24
−+
=−+
xx
xx
d) ;21
42
−−
=−+
xx
xx e) ;
51
25
−−
=−+
xx
xx f) .
63
26
−+
=++
xx
xx
10. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;065
87
=−+
−−−
xx
xx b) ;0
23
12
=−+
−−+
xx
xx c) ;0
43
24
=−+
−−+
xx
xx
d) ;034
13
=−+
−−+
xx
xx e) ;0
54
25
=−+
−−+
xx
xx f) .0
43
35
=−+
−−+
xx
xx
11. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;98
89
++
=−+
xx
xx b) ;
17
71
++
=−+
xx
xx c) ;
26
62
++
=−+
xx
xx
d) ;35
53
++
=−+
xx
xx e) ;
43
34
++
=−+
xx
xx f) .
54
45
++
=−+
xx
xx
12. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;52
9952
++
=−+
xx
xx b) ;
128
812
++
=−+
xx
xx c) ;
127
712
−+
=−−
xx
xx
d) ;136
613
−+
=−−
xx
xx e) ;
235
523
−+
=−−
xx
xx f) .
434
443
−+
=−−
xx
xx
13. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;18
1292
=+
−−−
xxx b) ;1
71
81
=+
−−−
xxx c) ;2
61
72
=+
−−−
xxx
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 99
d) ;15
163
=+
−−−
xxx e) ;1
42
52
=+
−−−
xxx f) .2
31
41
=+
−−−
xxx
14. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;38
698
=+
−−−
xxx b) ;2
71
87
=+
−−−
xxx c) ;2
61
76
=+
−−−
xxx
d) ;25
165
=+
−−−
xxx e) ;2
41
54
=+
−−−
xxx f) .2
31
43
=+
−−−
xxx
15. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;49
37
678
2 −=
+−
−−
xxxx b) ;
41
22
21
2 −=
+−
−−
xxxx
c) ;1
21
112
2 −=
+−
−−
xxxx d) ;
92
31
31
2 −=
+−
−−
xxxx
e) ;16
14
241
2 −=
+−
−+
xxxx f) .
251
52
51
2 −=
+−
−+
xxxx
16. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;343
1497
27
132 −
=++
−− xxxx
b) .125
1255
25
132 −
=+−
−+ xxxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 17. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;021
312
12 =+
−−
+− xxx b) .05
24
442
2
=++
−++ x
xxx
x
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
18. Rezolvaţi în R ecuaţia .051
)2(621
=−+−
+−+
xx
xx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
19. Rezolvaţi în R ecuaţia .083
63
=++
−+ x
xx
x
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
20. Rezolvaţi în R ecuaţia .41212
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
xx
xx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
21. Rezolvaţi în R ecuaţia .0161512
2 =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+
xx
xx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 100
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.82
32
6=
+−
+ xx
2. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.03
82
5=
+−
+ xx
3. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.06
66
=+
++ xxx
4. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;035
=++xx
b) .018
3=+
+ xx
5. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;64
56
+−
=+−
xx
xx
b) .046
53
=+−
−+−
xx
xx
6. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;76
67
+−
=++
xx
xx
b) .84
48
+−
=++
xx
xx
7. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;12
272
=+
−−−
xxx
b) .25
15
252
2 −=
+−
−−
xxxx
8. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.0302
)3(732
=−+−
+−+
xx
xx
9. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.012547
54
=++−
−+−
xx
xx
1. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.93
53
7=
+−
+ xx
2. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.02
73
3=
+−
+ xx
3. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.07
77
=+
++ xxx
4. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;054
=++xx
b) .016
4=+
+ xx
5. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;54
65
+−
=+−
xx
xx
b) .035
64
=+−
−+−
xx
xx
6. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;67
76
+−
=++
xx
xx
b) .75
57
+−
=++
xx
xx
7. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ;13
283
=+
−−−
xxx
b) .36
16
265
2 −=
+−
−−
xxxx
8. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.0403
)2(623
=−+−
+−+
xx
xx
9. Rezolvaţi în R ecuaţia:
.010457
45
=++−
−+−
xx
xx
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 101
4. S i s t e m e ş i t o t a l i t ă ţ i d e e c u a ţ i i
1. Rezolvaţi în R × R sistemul:
a) b) c) ⎩⎨⎧
=−=
;2234
yxx
⎩⎨⎧
−=−−=
;16523yx
x
⎩⎨⎧
=−=
;2345
yxx
d) e) f) ⎩⎨⎧
=−−=
;5352yx
x
⎩⎨⎧
=−−=
;1564yx
x
⎩⎨⎧
−=−−=
.1566yx
x
2. Rezolvaţi în R × R sistemul:
a) b) c) ⎩⎨⎧
=−=
;12322
yxyx
⎩⎨⎧
=−=
;8735
yxyx
⎩⎨⎧
−=−=
;18343
yxyx
d) e) f) ⎩⎨⎧
=−=
;9745,2yxyx
⎩⎨⎧
−=+=
;20658,0yxyx
⎩⎨⎧
−=+=
.24325,2yxyx
3. Rezolvaţi în R × R sistemul:
a) b) c) ⎩⎨⎧
=−
=
;124
52 yx
yx
⎩⎨⎧
=−
=
;127
22 yx
yx
⎩⎨⎧
−=−
−=
;14
22 yx
yx
d) e) f) ⎩⎨⎧
=−
−=
;110
32 yx
yx
⎩⎨⎧
=+
=
;110
32 yx
yx
⎩⎨⎧
=+
=
.110
42 yx
yx
4. Rezolvaţi în R × R sistemul:
a) b) c) ⎩⎨⎧
=+=−
;1353752
yxyx
⎩⎨⎧
=+=−
;17351132
yxyx
⎩⎨⎧
=+=−
;1525923
yxyx
d) e) f) ⎩⎨⎧
=+=−
;1525923
yxyx
⎩⎨⎧
=+=−
;1123525
yxyx
⎩⎨⎧
=+=−
.94334
yxyx
5. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric:
a) b) c) ⎩⎨⎧
==+
;127
xyyx
⎩⎨⎧
==+
;2811
xyyx
⎩⎨⎧
==+
;3512
xyyx
d) e) f) ⎩⎨⎧
==+
;128
xyyx
⎩⎨⎧
==+
;209
xyyx
⎩⎨⎧
==+.8
6xy
yx
6. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric:
a) b) c) ⎩⎨⎧
=−=−+
;183133
xyxyyx
⎩⎨⎧
=−=−+
;543272
xyxyyx
⎩⎨⎧
=−=−+
;4043
xyxyyx
d) e) f) ⎩⎨⎧
==++
;453382
xyxyyx
⎩⎨⎧
==++
;644583
xyxyyx
⎩⎨⎧
−=−=++
.755282
xyxyyx
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 102
7. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric:
a) b) c) ⎩⎨⎧
=+=−+;24)(3
1)(2yx
xyyx
⎩⎨⎧
=+−=−+
;21)(363)(2
yxxyyx
⎩⎨⎧
=+=−+
;15)(552)(3
yxxyyx
d) e) f) ⎩⎨⎧
=+=−+
;12)(373)(4
yxxyyx
⎩⎨⎧
=+−=−+
;25)(523)(2
yxxyyx
⎩⎨⎧
=+−=−+
.24)(494)(3
yxxyyx
8. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric:
a) b) c) ⎩⎨⎧
=+=+
;10)(21322
yxyx
⎩⎨⎧
=+=+
;16)(41022
yxyx
⎩⎨⎧
=+=+
;15)(31722
yxyx
d) e) f) ⎩⎨⎧
=+=+
;10)(52022
yxyx
⎩⎨⎧
=+=+
;1)(62522
yxyx
⎩⎨⎧
=+=+
.14)(73422
yxyx
9. Rezolvaţi în R × R sistemul simetric:
a) b) c) ⎩⎨⎧
==+
;18094122
xyyx
⎩⎨⎧
−==+
;4024122
xyyx
⎩⎨⎧
−==+
;3032922
xyyx
d) e) f) ⎩⎨⎧
−==+
;6043422
xyyx
⎩⎨⎧
−==+
;6054022
xyyx
⎩⎨⎧
−==+
.10864522
xyyx
10. Rezolvaţi în R × R sistemul omogen:
a) b) c) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−
;2823
12832
22
yxy
xyyx⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−
;132
14432
22
yxy
xyyx⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
−=−
;162
54332
22
yxy
xyyx
d) e) f) ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+
−=−
;633
42232
22
yxy
xyyx⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+
;82
8232
22
yxy
xyyx⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=+
.42
66332
22
yxy
xyyx
11. Rezolvaţi în R × R sistemul omogen:
a) b) c) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−
;253
113843
322
yxy
xyyx⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+
=−
;423
113243
322
yxy
xyyx⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+
=−
;12
332343
322
yxy
xyyx
d) e) f) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
−=−
;52
2343
322
yxy
xyyx⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
−=+
;66
9243
322
yxy
xyyx⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
.4
3243
322
yxy
xyyx
12. Rezolvaţi în R × R sistemul:
a)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−
=+
;6412
1138
yx
yx b)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+
=−
;24712
2256
yx
yx c)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
−=+
;20712
4518
yx
yx
d)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+
−=+
;5415
2320
yx
yx e)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
;18718
11524
yx
yx f)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+
−=+
.4310
7515
yx
yx
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 103
13. Rezolvaţi în R × R sistemul:
a)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
−=−
;856
134
yx
yx b)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+
=−
;383
549
yx
yx c)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=−
;365
433
yx
yx
d)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
;543
562
yx
yx e)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
;432
256
yx
yx f)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=−
.7152
194
yx
yx
14. Rezolvaţi în R × R sistemul:
a)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
+−
=+
−−
;53
82
9
23
122
15
yx
yx b)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
+−
=+
−−
;52
41
3
22
61
5
yx
yx c)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
−−
−=+
−−
;51
32
8
31
52
4
yx
yx
d)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
+−
=+
−−
;71
81
9
21
41
15
yx
yx e)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
+−
=+
−−
;73
91
8
23
151
6
yx
yx f)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
+−
−=+
−−
.43
84
2
53
44
3
yx
yx
15. Rezolvaţi în R × R sistemul:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
;1023
2
yxxy
yx
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+
;1234
32
yxxy
yx
c) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+
;532
43
yxxy
yx
d) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+
;82
54
yxxy
yx
e) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+
;93
65
yxxy
yx
f) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+
.634
76
yxxy
yx
16. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) x2 + 5x – 3 = 0; b) x2 + 3x – 4 = 0; c) x2 + 4x – 5 = 0; d) x2 + 5x – 2 = 0; e) x2 + 6x – 7 = 0; f) x2 + 5x – 4 = 0.
17. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) (x2 + 7x)(x2 – 6) = 0; b) (x2 + 6x)(x2 – 2) = 0; c) (x2 + 3x)(x2 – 5) = 0; d) (x2 + 4x)(x2 – 7) = 0; e) (x2 + 5x)(x2 – 8) = 0; f) (x2 + 10x)(x2 – 11) = 0.
18. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) b) ⎢ c) ⎢ ⎢⎣
⎡
=−−
=−
;0123
0722 xx
x
⎣
⎡
=−−
=−
;0142
0832 xx
x
⎣
⎡
=−−
=−
;0165
0922 xx
x
d) e) ⎢ f) ⎢ ⎢⎣
⎡
=−−
=−
;0173
01142 xx
x
⎣
⎡
=−−
=−
;0194
01332 xx
x
⎣
⎡
=−−
=−
.01115
01122 xx
x
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 104
19. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) b) c) ⎢⎢⎣
⎡
=−+
=−−
;0123
0542
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
=−+
=+−
;0103
0652
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
=−−
=−−
;0532
08532
2
xx
xx
d) e) f) ⎢⎢⎣
⎡
=+−
=+−
;0145
01342
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
=−−
=−−
;054
07522
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
=−−
=−−
.067
03362
2
xx
xx
20. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) b) c) ⎢⎢⎣
⎡
=−+
=−−
;0123
0542
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
=−+
=+−
;0103
0652
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
=−−
=−−
;0532
08532
2
xx
xx
d) e) f) ⎢⎢⎣
⎡
=+−
=+−
;0145
01342
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
=−−
=−−
;054
07522
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
=−−
=−−
.067
03362
2
xx
xx
21. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
;0123
123
2
2 xxx b)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−
=−
;0132
121
3
2 xxx c)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
;0235
131
1
2 xxx
d) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
;056
241
1
2 xxx e)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
;0527
251
1
2 xxx f)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
.0437
161
4
2 xxx
22. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
+−
;034511
09
13
2
2
2
xxxx b)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
+−
;07512
04
12
3
2
2
xxxx c)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
+−
;07613
01
11
1
2
2
xxxx
d) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
+−
;09514
016
14
1
2
2
xxxx e)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
+−
;08715
025
15
1
2
2
xxxx f)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
+−
.09716
036
16
1
2
2
xxxx
23. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
−−
;07411
216
14
5
2
2
xxxx b)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
−−
;0123
11
11
4
2
2
xxxx c)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
−−
;023
14
12
5
2
2
xxxx
d) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
−−
;0134
19
13
3
2
2
xxxx e)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
−−
;034
116
14
3
2
2
xxxx f)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
−−
.0325
125
15
3
2
2
xxxx
24. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) | 2x – 3 | = 5; b) | 2x – 1 | = 3; c) | 3x – 1 | = 2; d) | x – 2 | = 6; e) | 2x – 5 | = 3; f) | 3x – 2 | = 3.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 105
25. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−
=+
−−
;0145
25
16
4
2 xxxx b)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−
=+
−−
;0124
32
11
2
2 xxxx c)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−
=+
−−
;0123
23
11
3
2 xxxx
d) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−
=+
+−
;0122
31
22
1
2 xxxx e)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−
=+
+−
;0232
11
13
2
2 xxxx f)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−
=+
+−
.0452
13
11
3
2 xxxx
26. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−−
=+
−−
;0)35)(4(
36
15
5
22 xxxxxx b)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−−
=+
−−
;0)22)(3(
22
11
5
22 xxxxxx
c) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−−
=+
−−
;0)13)(2(
13
11
4
22 xxxxxx d)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−−
=+
−−
;0)23)(4(
21
12
3
22 xxxxxx
e) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−−
=+
−−
;0)35)(5(
21
12
2
22 xxxxxx f)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−−
=+
−−
.0)25)(6(
11
22
1
22 xxxxxx
27. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) | x2 – 5x | = 5; b) | x2 – 4x | = 2; c) | x2 – 6x | = 2; d) | x2 – 2x | = 1; e) | x2 – 3x | = 2; f) | x2 – 7x | = 6.
28. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezolvarea în R a ecuaţiei: a) | x2 – 5x – 1 | = 6; b) | x2 – 4x + 3 | = 2; c) | x2 – 6x + 5 | = 2; d) | x2 – 2x – 3 | = 7; e) | x2 – 3x + 2 | = 2; f) | x2 – 7x + 6 | = 7.
29. Aflaţi numerele reale m şi n, astfel încât f să fie definită pe R de: a) f(x) = x2 – 3mx + n – 2, f(–1) = 3 şi f(2) = 8; b) f(x) = x2 – 2mx + n + 1, f(–1) = 2 şi f(1) = 5; c) f(x) = x2 – 3mx + n – 1, f(–1) = 1 şi f(1) = 4; d) f(x) = x2 – 2mx + n + 2, f(–1) = –1 şi f(2) = 0; e) f(x) = x2 – 4mx + n – 1, f(–1) = –2 şi f(1) = 3; f) f(x) = x2 + 2mx – n + 2, f(–1) = –3 şi f(2) = 2.
30. Aflaţi numerele reale m şi n, astfel încât polinomul de gradul II: a) P(X) = 5X
3 – 6X 2 + 5mX – 2n are suma coeficienţilor 11 şi P(–1) = 18;
b) P(X) = 2X 3 – 3X
2 + 2mX – 3n are suma coeficienţilor 15 şi P(–1) = 12; c) P(X) = 3X
3 – 2X 2 + 3mX – 3n are suma coeficienţilor 5 şi P(–1) = 7;
d) P(X) = 2X 3 – 4X
2 + 3mX – n are suma coeficienţilor 8 şi P(–1) = 11; e) P(X) = 4X
3 – 2X 2 + 4mX – 5n are suma coeficienţilor 12 şi P(–1) = 14;
f) P(X) = 3X 3 – 3X
2 + 5mX – 6n are suma coeficienţilor 25 şi P(–1) = 6. 31. Aflaţi numerele reale m şi n, astfel încât polinomul de gradul II:
a) P(X) = 5X 3 – 2X
2 + 5mX – n + 2 se divide cu X – 2 şi X + 1; b) P(X) = 4X
3 – 3X 2 + 5mX – n + 1 se divide cu X – 1 şi X + 1;
c) P(X) = 2X 3 – 2X
2 + 5mX – n + 3 se divide cu X – 2 şi X + 2;
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 106
d) P(X) = 2X 3 – 3X
2 + 4mX – n – 1 se divide cu X – 3 şi X + 1; e) P(X) = 3X
3 – 4X 2 + 3mX – n + 3 se divide cu X – 1 şi X + 3;
f) P(X) = 2X 3 – 2X
2 + 3mX – n + 1 se divide cu X – 1 şi X + 1. 32. Aflaţi două numere reale, dacă:
a) suma lor este 7 şi produsul lor –30; b) suma lor este 9 şi produsul lor 14; c) suma lor este 11 şi produsul lor 24; d) suma lor este 12 şi produsul lor 32; e) suma lor este 13 şi produsul lor 36; b) suma lor este 17 şi produsul lor 72.
33. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul:
a) b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=+
;635
zyzxyx
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
.811
511
711
zy
zx
yx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
34. Rezolvaţi în R × R sistemul
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
.494
338
xyyx
xyyx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
35. Rezolvaţi în R × R sistemul
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=+
.41
203
71
169
yxxy
yxxy
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
36. Rezolvaţi în R × R sistemul
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
.2911
711
22 yx
yx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
37. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
.6
922
33
xyyx
yx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
38. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=++
.3
72
yx
xyyx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 107
39. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul:
a) b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
;201512
yzxzxy
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
.2874
yxzxyzzxy
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 40. Aflaţi două numere, dacă diferenţa lor este –2 şi suma pătratelor lor 74. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 41. Aflaţi două numere, dacă produsul lor este –6 şi suma cuburilor lor este 19. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 42. Un bazin se poate umple prin două robinete: dacă primul robinet este deschis 30
minute şi al doilea 45 minute sau dacă primul robinet este deschis 20 minute şi al doilea 70 minute. În cât timp poate umple bazinul fiecare robinet?
43. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
.7
108
1556
zxxz
zyyz
yxxy
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
44. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
.12967961196
zyxyz
zxxyz
yxxyz
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
45. Aflaţi numerele reale care verifică sistemul ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=+
.64)(55)(39)(
yxzxzyzyx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
46. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
.28
1033
22
yx
yx
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 47. Fie funcţia f : D → R, D domeniul ei maxim de definiţie în R. Aflaţi expresia
funcţiei f, dacă f(x) + 3f(1 – x) = 5x2 + 2x. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 48. Aflaţi polinomul P(X), dacă P(X) – 2P(2 – X) = 2X
2 – X.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 108
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Fie parabola y = ax2 + bx + c. Aflaţi a, b, c, dacă vârful parabolei este punctul
V(2,5; –0,25) şi parabola intersectează axa Oy în punctul (0, 6). Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Rezolvaţi în R, cu ajutorul unui sistem, ecuaţia .4233 22 =−−+− xxxx Formulaţi un exerciţiu asemănător.
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Rezolvaţi în R × R sistemul:
⎩⎨⎧
=−
=
.14
32 yx
yx
2. Rezolvaţi în R × R sistemul:
⎩⎨⎧
=+=−
.835432
yxyx
3. Rezolvaţi în R × R sistemul si-metric:
⎩⎨⎧
==+
.128
xyyx
4. Rezolvaţi în R totalitatea:
⎢⎣
⎡
=−−
=−
.06015
8532 xx
x
5. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor re-zolvarea în R a ecuaţiei:
| 4x – 11 | = 5. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
−=−
;7223
21223
32
xyy
yyx
b) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
=+−−
.57
30)4217)(7( 22
x
xxxx
7. Aflaţi numerele reale m şi n: a) astfel încât f să fie definită pe
R de f(x) = x2 – 5mx + n – 3, f(–2) = 5 şi f(1) = 6;
b) astfel încât polinomul 2X 3 –
3X 2 + 2mX – m + 4 are suma coeficien-
ţilor 15 şi se divide cu X – 2. 8. Aflaţi numerele reale care veri-
1. Rezolvaţi în R × R sistemul:
⎩⎨⎧
=−
=
.12
52 yx
yx
2. Rezolvaţi în R × R sistemul:
⎩⎨⎧
=+=−
.925323
yxyx
3. Rezolvaţi în R × R sistemul sime-tric:
⎩⎨⎧
==+
.158
xyyx
4. Rezolvaţi în R totalitatea:
⎢⎣
⎡
=−−
=−
.05016
9532 xx
x
5. Scrieţi cu ajutorul totalităţilor rezol-varea în R a ecuaţiei:
| 4x – 13 | = 3. Rezolvaţi în R ecuaţia:
a) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−
;4532
51223
32
xyy
yyx
b) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
=+−−
.59
40)7217)(9( 22
x
xxxx
7. Aflaţi numerele reale m şi n: a) astfel încât f să fie definită pe R
de f(x) = x2 – 6mx + n – 2, f(–2) = 5 şi f(1) = 6;
b) astfel încât polinomul 2X 3 – 3X
2 + 4mX – m + 3 are suma coeficienţilor 16 şi se divide cu X – 2.
8. Aflaţi numerele reale care verifică
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 109
fică sistemul:
a)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
;811
711
511
zy
zx
yx
b)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=−
.11131
yxxy
yxxy
9. Aflaţi numerele reale care veri-
fică sistemul
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
.14135445
8135
zyxyz
zxxyz
yxxyz
sistemul:
a)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
;1011
911
711
zy
zx
yx
b)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=−
.13131
yxxy
yxxy
9. Aflaţi numerele reale care verifică
sistemul
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+
.8
1052214
35
zyxyz
zxxyz
yxxyz
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
T e s t d e c a p a c i t ă ţ i
1. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
−=+
.103
15243
34
yyx
xyx
2. Fie parabola y = ax2 + bx + c. Aflaţi a, b, c, dacă vârful parabolei este punctul V(4, –4) şi parabola intersectează axa Oy în punctul (0, 1).
3. Rezolvaţi grafic ecuaţia | x2 – 7x + 10 | = | 2x – 7 |. 4. Fie funcţia f : D → R, D domeniul ei maxim de definiţie în R. Aflaţi expresia
funcţiei f, dacă f(x) – 2f(5 – x) = 2x2 – 3x.
5. Rezolvaţi în R × R sistemul ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
.97
1344
22
yx
yx
6. Rezolvaţi în R utilizând totalităţi ecuaţia |||| x2 – 3x + 4 | – 11 | – 5 | – 2 | = 1. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1,6 puncte. Timp de lucru efectiv: 60 minute.
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 110
C A P I T O L U L VI
Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii
Inecuaţie. O inecuaţie este o propoziţie cu variabile (în logica matematică se nu-
meşte predicat). Variabilele unei inecuaţii se numesc necunoscute. Fie expresiile f(x), g(x), x ∈ M (mulţime de numere). Atunci f(x) < g(x), x ∈ M, este o inecuaţie cu necu-noscuta x. Inecuaţia f(x) < g(x), x ∈ M, are membrul stâng f(x) şi membrul drept g(x). Numărul s este soluţie a inecuaţiei f(x) < g(x), x ∈ M, dacă s ∈ M şi f(s) < g(s) este o propoziţie adevărată. Mulţimea soluţiilor unei inecuaţii se notează S. Analog se defi-nesc inecuaţiile: f(x) > g(x), x ∈ M; f(x) ≤ g(x), x ∈ M; f(x) ≥ g(x), x ∈ M.
Proprietăţile inegalităţii numerelor reale şi operaţii cu numere reale. 1) a < b ⇔ a + c < b + c. 2) a < b ⇔ a − c < b − c. 3) Dacă c > 0, atunci a < b ⇔ a⋅c < b⋅c. 4) Dacă c < 0, atunci a < b ⇔ a⋅c > b⋅c. 5) Dacă c > 0, atunci a > b ⇔ a : c > b : c. 6) Dacă c < 0, atunci a > b ⇔ a : c < b : c.
7) Dacă ab > 0, atunci a < b ⇔ .ba11
>
Proprietăţile 1) – 7) se extind pentru „>“, „≤“ şi „≥“. Inecuaţii de gradul I cu o necunoscută. Rezolvaţi în R inecuaţia ax + b < 0,
a ∈ R*, b ∈ R.
1) Dacă a > 0, atunci ax + b < 0 ⇔ ax < −b ⇔ x <ab
− ⇒ S = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
ab
,' .
2) Dacă a < 0, atunci ax + b < 0 ⇔ ax < −b ⇔ x >ab
− ⇒ S = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− ',
ab .
3) Dacă a = 0 şi b < 0, atunci S = R. 4) Dacă a = 0 şi b ≥ 0, atunci S = ∅. Fie inecuaţia ax + b ≤ 0, a ∈ R, b ∈ R.
1) Dacă a > 0, atunci ax + b ≤ 0 ⇔ ax ≤ −b ⇔ x ≤ ab
− ⇒ S = ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ −−
ab
,' .
2) Dacă a < 0, atunci ax + b ≤ 0 ⇔ ax ≤ −b ⇔ x ≥ab
− ⇒ S = ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡− ',
ab .
3) Dacă a = 0 şi b ≤ 0, atunci S = R. 4) Dacă a = 0 şi b > 0, atunci S = ∅. Inecuaţii echivalente. Două inecuaţii de gradul I sunt echivalente dacă au aceeaşi
necunoscută aparţinând aceleiaşi mulţimi şi se obţin una din cealaltă aplicând proprie-tăţile inegalităţii numerelor reale. Inecuaţiile echivalente au aceeaşi mulţime de so-luţii.
Sisteme de inecuaţii. Un sistem de inecuaţii este format din două sau mai multe inecuaţii. Mulţimea soluţiilor în R a unui sistem de inecuaţii este mulţimea numerelor
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 111
reale ce verifică simultan inecuaţiile sistemului. Mulţimea soluţiilor unui sistem de inecuaţii este intersecţia mulţimilor soluţiilor inecuaţiilor sistemului de inecuaţii.
Exemple. 1) Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎩⎨⎧
>+<−
.211141763
xx
Rezolvare. ⇒ ⎩⎨⎧
><
⇔⎩⎨⎧
><
⇔⎩⎨⎧
−>+<
⇔⎩⎨⎧
>+<−
5,2)6(,7
104233
112146173
211141763
xx
xx
xx
xx
S = {2,5; 7,(6)}. 2) Rezolvaţi în R inecuaţia | 2x – 9 | < 3.
Rezolvare. | 2x – 9 | < 3 ⇔ ⇒ S = (3, 6). ⎩⎨⎧
<>
⇔⎩⎨⎧
+<+−>
⇔⎩⎨⎧
<−−>−
63
932932
392392
xx
xx
xx
Totalitate de inecuaţii. Fie două sau mai multe inecuaţii. Dacă se cere să se afle mulţimea numerelor cu proprietatea că ele sunt soluţii a cel puţin uneia dintre ine-cuaţii, se spune că trebuie să se rezolve o totalitate formată de acele inecuaţii. Mulţi-mea soluţiilor unei totalităţi de inecuaţii este intersecţia mulţimilor soluţiilor acelor inecuaţii.
Exemple. 1) Rezolvaţi în R totalitatea de inecuaţii ⎢⎣
⎡<−<+
.1285513
xx
Rezolvare. ⎢⎣
⎡−∈−∈
⇔⎢⎣
⎡<<
⇔⎢⎣
⎡<<
⇔⎢⎣
⎡+<
−<⇔⎢
⎣
⎡<−<+
)4,()3,1;(
4)3(,1
20543
8125153
1285513
''
xx
xx
xx
xx
xx
⇒ S = (–'; 1,3) ∪ (–', 4) = (–', 4). 2) Rezolvaţi în R inecuaţia | 3x – 5 | ≥ 7.
Rezolvare. | 3x – 5 | ≥ 7 ⇔ ⎢⎣
⎡≥
−≤⇔⎢
⎣
⎡≥
−≤⇔⎢
⎣
⎡+≥
+−≤⇔⎢
⎣
⎡≥−
−≤−4
)6(,0123
23573
573753
753xx
xx
xx
xx
⇔ ⇒ S = (–'; –0,(6)] ∪ [4, '). ⎢⎣
⎡∈
−−∈),4[
)]6(,0;(''
xx
Inecuaţii de gradul II cu o necunoscută. Fie funcţia de gradul II f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c. Inecuaţiile de forma f(x) < 0, f(x) ≤ 0, f(x) > 0, f(x) ≥ 0, unde f este o funcţie de gradul II. Rezolvarea în R sau pe o submulţime a mulţimii R se face apli-când teorema semnului funcţiei de gradul II.
Teorema semnului funcţiei de gradul II. Fie funcţia de gradul II f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c. 1) Dacă ∆ > 0, atunci x1, x2 sunt zerourile funcţiei f şi ea are semnul lui a în afara intervalului rădăcinilor, semn contrar lui a pe intervalul rădăcini-lor. 2) Dacă ∆ = 0, atunci x1 = x2 şi f are semnul lui a pe R \ {x1}. 3) Dacă ∆ < 0, atunci f are semnul lui a pe R.
Exemple. Rezolvaţi în R: 1) 4x2 – 5x + 1 < 0; 2) 25x2 + 10x + 1 ≥ 0;
3) 3x2 – 5x + 3 ≤ 0; 4) ;023
142 <
+−+−xx
x 5) .365
252 ≥
+−−xx
x
Rezolvare. 1) Funcţia f definită pe R de f(x) = 4x2 – 5x + 1 are ∆ = 9 şi zerourile x1 = 0,25, x2 = 1. Deoarece coeficientul lui x2 este „+“, f(x) < 0 pe (0,25; 1). Rezultă S =
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 112
(0,25; 1). 2) Funcţia f definită pe R de f(x) = 25x2 + 10x + 1 are ∆ = 0 şi x1 = x2 = –0,2.
Deoarece coeficientul lui x2 este „+“, f(x) ≥ 0 pe R. Rezultă S = R. 3) Funcţia f definită pe R de f(x) = 3x2 – 5x + 3 are ∆ < 0. Deoarece coeficientul
lui x2 este „+“, f(x) > 0 pe R. Rezultă S = ∅.
4) ;023
142 <
+−+−xx
x Fie .23
14)( 2 +−+−
=xx
xxF Studiind semnul numărătorului şi sem-
nul numitorului lui F, se stabileşte semnul lui F pe domeniul său de definiţie. x –' 0,25 1 2 '
–4x + 1 + 0 – – – x2 – 3x + 2 + + 0 – 0 +
F(x) + 0 – ⏐ + ⏐ – [0,25; 1) ∪ (2, ') S = [0,25; 1) ∪ (2, ').
5) .0652020303
65253
6525
2
2
22 ≥+−+−
⇔≥−+−
−⇔≥
+−−
xxxx
xxx
xxx
Fie .6520203)( 2
2
+−+−
=xxxxxF Studiind semnul numărătorului şi semnul numitorului
lui F, se stabileşte semnul lui F pe domeniul său de definiţie. x –' 1,2... 2 3 5,4... '
3x2 – 20x + 20 + 0 – – – 0 + x2 – 5x + 6 + + 0 – 0 + +
F(x) + 0 – ⏐ + ⏐ – 0 + (–'; 1,2251...] ∪ (2, 3) ∪ [5,4415..., ') S = (–'; 1,2251...] ∪ (2, 3) ∪ [5,4415...; '). Metoda intervalelor. Semnul unei funcţii raţionale (definită de o fracţie algebri-
că) se stabileşte executând algoritmul: 1) se stabileşte domeniul maxim de definiţie în R, al funcţiei; 2) se află zerourile funcţiei; 3) pe fiecare dintre intervalele găsite se stabileşte semnul funcţiei.
Aplicăm metoda intervalelor exerciţiilor 4) şi 5) de mai sus. 4) DF = R \ {1, 2}. Rezultă
0,25 1 2 S = [0,25; 1) ∪ (2, '). 5) DF = R \ {2, 3}. Rezultă
1,2251...
2 3
5,4415... S = (–'; 1,2251...] ∪ (2, 3) ∪ [5,4415...; ').
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 113
1. I n e c u a ţ i i d e g r a d u l I R e c a p i t u l a r e ş i c o m p l e t ă r i
1. Scrieţi sub formă de interval mulţimea soluţiilor inecuaţiei: a) x < 13; b) x > 6,2; c) x > 9,3; d) x > –17,2; e) x > 3,8; f) x < –9,1; g) x > –1,6; h) x > –10,3.
2. Scrieţi sub formă de interval mulţimea soluţiilor inecuaţiei: a) x ≥ –2,8; b) x ≥ 7,5; c) x ≥ –3,8; d) x ≥ –4,5; e) x ≤ –6,2; f) x ≤ 14,1; g) x ≤ –5,3; h) x ≤ –22,3.
3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≤ 4,7; b) | x | ≤ 2,4; c) | x | ≤ 5,5; d) | x | ≤ 11,5; e) | x | ≤ 6,2; f) | x | ≤ 7,6; g) | x | ≤ 9,4; h) | x | ≤ 27,1.
4. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≥ 8,4; b) | x | ≥ 18; c) | x | ≥ 27; d) | x | ≥ 39,1; e) | x | ≥ 3,3; f) | x | ≥ 19; g) | x | ≥ 38; h) | x | ≥ 29,5.
5. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 3x < 7; b) 8x > 13; c) 5x > 26; d) 7x > 36; e) 14x < 9; f) 15x < 7; g) 24x < 5; h) 9x < 16.
6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –8x < 5; b) –7x > 11; c) –12x > 5; d) –3x > 19; a) –9x < 22; b) –4x > 35; c) –5x > 78; d) –6x > 49.
7. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x − 7 < 0; b) 8x − 3 < 0; c) 4x − 9 < 0; d) 2x − 11 < 0; e) 5x − 11 < 0; f) 8x − 13 < 0.
8. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –5x + 13 < 0; b) –5x − 24 < 0; c) –8x − 31 < 0; d) –4x − 25 < 0; e) –2x − 27 < 0; f) –16x − 37 < 0.
9. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x − 3 < 14; b) 8x − 7 < 16; c) 4x − 19 < 28; d) 2x − 9 < 23; e) 5x − 38 < 43; f) 8x − 53 < 46.
10. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –2x + 11 < 9; b) –5x − 19 < 4; c) –8x − 38 < 21; d) –5x − 31 < 14; e) –2x − 51 < 7; f) –4x − 45 < 12.
11. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x + 3) < 15; b) 4(x + 7) < 19; c) 8(x + 9) < 27; a) 5(x + 5) < 4; b) 25(x + 2) < 1; c) 16(x + 3) < 3.
12. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(–x + 7) ≥ 3; b) 5(–x + 7) ≥ 9; c) 4(–x + 6) ≥ 27; d) 5(–x + 2) ≤ 6; b) 8(–x + 11) ≤ 3; c) 2(–x + 5) ≤ 15.
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 114
13. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ;03
3≤
−x b) ;0
24
≥−x
c) ;07
11≤
−x d) .0
117
≥−x
14. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ;013
2<
−x b) ;0
527
>−x
c) ;016
8<
−x d) .0
3510
<−x
15. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 5x + 3 ≤ 7x − 4; b) 8x + 5 ≤ 4x − 9; c) 11x + 6 ≤ 9x − 3; d) 13x − 6 ≥ 6x − 9; e) 16x + 1 ≥ 17x − 2; f) 21x + 8 ≥ 3x − 1.
16. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x − 3) ≤ 10x − 7; b) 3(x − 8) ≤ 11x − 5; c) 7(x − 1) ≤ 16x − 3; d) 4(x − 5) ≥ 8x − 1; e) 5(x − 6) ≥ 19x − 8; f) 6(x + 2) ≥ 23x − 8.
17. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 3(x − 1) ≤ 4(x − 3); b) 3(x − 5) ≤ 8(x − 2); c) 4(x − 6) ≤ 3(x − 7); d) 4(x − 8) ≥ 3(x − 6); e) 5(x − 7) ≥ 9(x − 3); f) 7(x + 8) ≥ 9(x − 11).
18. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 2)2 ≥ (x + 3)(x – 3); b) (x + 4)2 ≥ (x + 2)(x – 2); c) (x + 3)2 ≥ (x + 4)(x – 4); d) (x + 5)2 ≥ (x + 6)(x – 6); e) (x + 6)2 ≥ (x + 7)(x – 7); f) (x + 7)2 ≥ (x + 5)(x – 5).
19. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 3)2 ≤ (x − 2)2; b) (x − 2)2 ≤ (x + 7)2; c) (x + 4)2 ≤ (x − 5)2; d) (x + 6)2 ≤ (x − 1)2; e) (x − 8)2 ≤ (x + 5)2; f) (x + 7)2 ≤ (x − 3)2.
20. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii:
a) b) c) ⎩⎨⎧
>−<+
;1732
xx
⎩⎨⎧
>+<−
;51176
xx
⎩⎨⎧
>+<−
;1431311
xx
d) e) f) ⎩⎨⎧
>+<−
;513812
xx
⎩⎨⎧
>−<+
;718215
xx
⎩⎨⎧
>−<+
.9251321
xx
21. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii:
a) b) c) ⎩⎨⎧
>−<−
;013012
xx
⎩⎨⎧
>+<−
;0115073
xx
⎩⎨⎧
>+<−
;01520134
xx
d) e) f) ⎩⎨⎧
<+>−
;033100118
xx
⎩⎨⎧
>−<+
;02780195
xx
⎩⎨⎧
>+<−
.02950354
xx
22. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii:
a) b) c) ⎩⎨⎧
<+>−
;1154113
xx
⎩⎨⎧
>−<+
;21551374
xx
⎩⎨⎧
>+<−
;5141782
xx
d) e) f) ⎩⎨⎧
>+<−
;16135231910
xx
⎩⎨⎧
<−>+
;151941632
xx
⎩⎨⎧
>−<−
.381245238
xx
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 115
23. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –2 < 3x < 18; b) –7 < 9x < 11; c) –3 < 12x < 14; d) –13 < 5x < 34; e) –22 < 5x < 56; f) –34 < 4x < 42.
24. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –2 < x + 7 < 13; b) –8 < x + 23 < 4; c) –3 < x – 9 < 7; d) –3 < x – 8 < 26; e) –4 < x + 15 < 9; f) –11 < x – 11 < 31.
25. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –5 < 4 – x < 25; b) –1 < 15 – x < 19; c) –7 < 16 – x < 1; d) –12 < 8 – x < 45; e) –32 < 17 – x < 6; f) –54 < 18 – x < 9.
26. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –8 < 9 – 2x < 25; b) –17 < 2 – 5x < 14; c) –9 < 6 – 5x < 7; d) –33 < 21 – 4x < 2; e) –16 < 4 – 5x < 5; f) –17 < 11 – 8x < 15.
27. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 2x | ≤ 5; b) | 4x | ≤ 13; c) | 5x | ≤ 27; d) | 2x | ≤ 15; e) | 3x | ≤ 18; f) | 8x | ≤ 37; g) | 7x | ≤ 28; h) | 9x | ≤ 36.
28. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x + 7 | ≤ 2; b) | x – 8 | ≤ 9; c) | x + 15 | ≤ 7; d) | x – 12 | ≤ 8; e) | x – 12 | ≤ 3; f) | x + 9 | ≤ 15; g) | x + 17 | ≤ 6; h) | x + 21 | ≤ 3.
29. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 5 – x | ≤ 7; b) | 3 – x | ≤ 11; c) | 4 – x | ≤ 13; d) | 11 – x | ≤ 21; e) | 9 – x | ≤ 11; b) | 8 – x | ≤ 17; c) | 1 – x | ≤ 9; d) | 6 – x | ≤ 36.
30. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 2x + 9 | ≤ 5; b) | 4x – 3 | ≤ 11; c) | 5x + 9 | ≤ 12; d) | 4x – 17 | ≤ 25; e) | 8x + 3 | ≤ 9; f) | 5x – 7 | ≤ 67; g) | 2x – 3 | ≤ 34; h) | 4x + 31 | ≤ 19.
31. Reproduceţi şi completaţi:
a) x2 + 5x – 6 = 0, x ∈ R ⇔ b) x⎢⎣
⎡...;... 2 + 7x – 6 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢
⎣
⎡...;...
c) x2 + 7x – 30 = 0, x ∈ R ⇔ d) x⎢⎣
⎡...;... 2 + 5x – 36 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢
⎣
⎡...;...
e) x2 + 9x – 22 = 0, x ∈ R ⇔ f) x⎢⎣
⎡...;... 2 + 10x – 21 = 0, x ∈ R ⇔ ⎢
⎣
⎡......
32. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) b) ⎢ c) ⎢ d) ⎢ ⎢⎣
⎡>+<−
;0204
xx
⎣
⎡>+<−
;013011
xx
⎣
⎡>−<+
;035023
xx
⎣
⎡>+<−
;027021
xx
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 116
e) f) ⎢ g) ⎢ h) ⎢ ⎢⎣
⎡>+<−
;05016
xx
⎣
⎡>−<+
;09014
xx
⎣
⎡>+<−
;051041
xx
⎣
⎡>−<−
.026038
xx
33. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) b) ⎢ c) ⎢ d) ⎢ ⎢⎣
⎡>+<−
;212811
xx
⎣
⎡>−<+
;313172
xx
⎣
⎡>+
<−;1613
261xx
⎣
⎡<−
<−;1119
325xx
e) f) ⎢ g) ⎢ h) ⎢ ⎢⎣
⎡>+
<−;1423
187xx
⎣
⎡>−<−
;233124
xx
⎣
⎡>+<−
;26132111
xx
⎣
⎡>−
<+.423
527xx
34. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) b) ⎢ c) ⎢ d) ⎢ ⎢⎣
⎡>+<−
;2538172
xx
⎣
⎡>−<+
;15121314
xx
⎣
⎡>+<−
;29941235
xx
⎣
⎡<−<−
;7352998
xx
e) f) ⎢ g) ⎢ h) ⎢ ⎢⎣
⎡>+<−
;13538212
xx
⎣
⎡>−
<−;4243
1948xx
⎣
⎡>+<−
;253123275
xx
⎣
⎡>−<+
.38851234
xx
35. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 2x | ≥ 33; b) | 4x | ≥ 11; c) | 5x | ≥ 23; d) | 2x | ≥ 71; e) | 4x | ≥ 41; f) | 5x | ≥ 82; g) | 4x | ≥ 34; h) | 8x | ≥ 39.
36. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x + 3 | ≥ 9; b) | x – 12 | ≥ 13; c) | x + 11 | ≥ 2; d) | x – 31 | ≥ 43; e) | x + 7 | ≥ 8; f) | x – 6 | ≥ 16; g) | x + 17 | ≥ 9; h) | x – 4 | ≥ 35.
37. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 7 – x | ≥ 9; b) | 4 – x | ≥ 13; c) | 5 – x | ≥ 3; d) | 3 – x | ≥ 12; e) | 8 – x | ≥ 2; f) | 6 – x | ≥ 14; g) | 9 – x | ≥ 5; h) | 13 – x | ≥ 6.
38. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 2x – 1 | ≥ 13; b) | 4x + 3 | ≥ 33; c) | 5x + 1 | ≥ 7; d) | 8x + 1 | ≥ 91; e) | 4x – 3 | ≥ 17; f) | 4x + 5 | ≥ 26; g) | 9x + 4 | ≥ 2; h) | 8x + 15 | ≥ 9.
39. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 3 – 2x | ≥ 18; b) | 5 – 4x | ≥ 28; c) | 8 – 5x | ≥ 16; d) | 12 – 5x | ≥ 45; e) | 9 – 2x | ≥ 25; f) | 7 – 4x | ≥ 39; g) | 1 – 8x | ≥ 34; h) | 27 – 2x | ≥ 2.
40. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) 2X2 – 3X – 5m; b) 4X2 – 5X – 2m; c) 5X2 – 4X – 6m; d) 7X2 – 2X – 4m; e) 5X2 – 4X + 3m; f) 9X2 – 5X – 7m.
41. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – 2X + 3m – 1; b) 7X2 – 2X + 2m – 3; c) 2X2 – 4X + 3m – 2; d) 8X2 – 6X + 4m – 3; e) 5X2 – 12X + 2m – 5; f) 9X2 – 8X + 6m – 1.
42. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) 2X2 – 2X – 3m – 4; b) 9X2 – 2X – 6m – 1; c) 4X2 – 6X – 5m – 3; d) 5X2 – 2X – 2m – 3; e) 7X2 – 2X – 8m – 1; f) 5X2 – 10X – 4m – 9.
43. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale polinomul: a) (m – 2)X2 – 2X – 7; b) (m – 4)X2 – 4X – 7; c) (m + 3)X2 – 6X – 5;
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 117
d) (m – 5)X2 – 8X – 3; e) (m – 6)X2 – 4X – 9; f) (m + 4)X2 – 8X – 3. 44. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul:
a) 4X2 – 3X + 2m; b) 5X2 – 7X + 3m; c) 7X2 – 9X + 5m; d) 8X2 – 5X + 3m; e) 2X2 – 9X + 11m; f) 3X2 – 11X + 4m.
45. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – 2X + m – 3; b) 5X2 – 4X + 2m – 3; c) 9X2 – 2X + 3m – 1; d) 7X2 – 4X + m – 1; e) 3X2 – 4X + m – 5; f) 5X2 – 6X + m – 7.
46. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – 2X – 3m – 1; b) 4X2 – 4X – 5m – 1; c) 7X2 – 2X – 4m – 3; d) 9X2 – 6X – 3m – 4; e) 7X2 – 8X – 6m – 5; f) 5X2 – 2X – 7m – 4.
47. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale diferite polino-mul:
a) 3X2 – 6X – 7m – 2; b) 5X2 – 4X – 3m – 4; c) 9X2 – 2X – 6m – 7; d) 7X2 – 8X – 3m – 5; e) 4X2 – 2X – 4m – 3; f) 8X2 – 4X – 2m – 5.
48. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale diferite polino-mul:
a) 3X2 – 10X – 5m + 7; b) 2X2 – 8X – 6m + 1; c) 4X2 – 2X – 7m + 3; d) 8X2 – 2X – 6m + 1; b) 3X2 – 4X – 9m + 2; c) 7X2 – 6X – 9m + 4.
49. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă:
a) ;7−x b) ;9−x c) ;12 x− d) ;4,3 x− e) ;3,11 x− f) ;6,1+x g) ;6,13−x h) .13,2 x−
50. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă:
a) ;92 −x b) ;37 −x c) ;92 x− d) ;413 x− e) ;511 x− f) ;233 +x g) ;135 −x h) .32 x−
51. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă:
a) ;103
1−x
b) ;94
1−x
c) ;75
1−x
d) ;133
4x−
e) ;29
1x−
f) ;511
1x−
g) ;815
1x−
h) .134
1−x
52. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f, dacă f(x) este:
a) ;54 −x b) ;74 x− c) ;8,24 −x d) ;3,74 x−
e) ;7,54 +x f) ;8,64 x− g) ;4,94 +x h) .6,44 x− 53. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f,
dacă f(x) este: a) ;1126 −x b) ;896 x− c) ;8,748 −x d) ;51,810 x−
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 118
e) ;4,538 −x f) ;1,5810 −x g) ;21,14 x− h) .8,346 +x 54. Fie funcţia f : D → R. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R al funcţiei f,
dacă f(x) este:
a) ;4,23
6,48 −
−x
b) ;2,47
14 −x
c) ;68,1
16 x−
d) ;4,56
112 +x
e) ;135
114 x−
f) ;1,97
816 −x
g) ;6,123
114 x−
− h) .8,96,4
312 x−
−
55. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:
a) ;)6,2( 53
x− b) ;)7,4( 74
+x c) ;)9,2( 1311
x− d) ;)4,8( 176
x−
e) ;)3,4( 83
x− f) ;)5,8( 347
−x g) ;)6,11( 358
+x h) .)3,9( 2113
x− 56. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:
a) ;)42,3( 135
−− x b) ;)5,37( 16
3−
+x c) ;)37,5( 193
x− d) ;)114( 2117
−x
e) ;)35( 53
−+x f) ;)23,6( 15
8−
− x g) ;)6,15( 239
−−x h) .)52,8( 26
3−
− x 57. Aflaţi numerele reale pentru care are sens:
a) ;)7,3(
3
137
x−
− b) ;)7,4(
11
1511
+
−
x c) ;
)2,9(
7
1915
x−
− d) ;)6,8(
1
323
+
−
x
e) ;)8,5(
13
519
x−
− f) ;)7(
6,5
253
+
−
x g) ;
)7,11(
9,8
283
−
−
x h) .
)3,5(
7,2
307
x−
−
58. Lungimile în centimetri ale laturilor unui triunghi sunt numere naturale. Aflaţi lungimea laturii a treia dacă două dintre ele au lungimile: a) 1 cm, 7 cm; b) 1 cm, 9 cm.
59. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ;05312
<+−
xx b) ;0
7254
≤+
−x
x c) ;01376
>+−
xx d) .0
51235
≥−−
xx
60. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ;24
1<
−x b) ;3
51
≤−x
c) ;59
1>
−x d) .4
62
≥−x
61. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ;12
17
1−
<− xx
b) ;23
435
3−
≤− xx
c) .72
554
6+
≥− xx
62. Rezolvaţi în R:
a) ;311 ≤<x
b) ;113 −<≤−x
c) .725 ≤≤−x
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 119
63. Rezolvaţi în R:
a) ;531 <≤x
b) ;254 −≤<−x
c) .576 <≤−x
64. Rezolvaţi în R:
a) ;8713 ≤<x
b) ;1615 −<≤−x
c) .9817 ≤<−x
65. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 2)3 – (x + 3)3 + 3x2 ≤ 0; b) (x – 4)3 – (x – 5)3 – 27x2 ≥ 0.
66. Rezolvaţi în R inecuaţia reproducând şi completând:
(x – 2)(3 – x)(x + 4) ≥ 0 ⇔ ⇔ ...
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+≤−≤−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+≥−≤−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+≤−≥−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+≥−≥−
040302
040302
040302
040302
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
67. Procedând ca la ex. 65, rezolvaţi în R inecuaţia (x – 5)(4 – x)(x – 7) ≤ 0. 68. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ;35
2≤
−x b) .5
343
≤− x
69. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:
a) ;34
5523x
x−
−− b) .85
9437 3 xxx−
−+−
70. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:
a) ;)75(7)83( 49
94
xx −−− b) .)115(12)512( 139
74
−−−−− xx
71. Rezolvaţi în R:
a) b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<−≤−
;029043052
xxx
x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≥−−≤−+<−
.223159126184
41175
xxxx
xx
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 120
72. Rezolvaţi în R:
a) b) ⎩⎨⎧
−<−=++
;545301492
xxxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≥++<−
=+−
.2713103772
018112
xxxx
xx
73. Rezolvaţi în R:
a) b) ⎢⎣
⎡
=−−
+≤−
;074
1721372 xx
xx
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+>−+<−
=−+
.231215231874
0532
xxxx
xx
74. Rezolvaţi în R:
a)
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−≤−
<−
≤−
<
;13
15
71
13
x
x b)
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−<−
<−
≤−
<−
.12
15
27
14
x
x
75. Fie numerele reale a, b, c. Comparaţi numerele: a) 25a2 + 9b2 şi 30ab; b) 9a2b2 + c2 şi 6abc.
76. Fie numerele reale pozitive c şi d. Comparaţi numerele: a) 3c + d şi ;32 cd b) 5c + 2d şi .102 cd
77. Fie numerele reale pozitive a, b şi c. Comparaţi numerele: a) 9a2 + 25b2 + 49c2 şi 15ab + 21ac + 35bc; b) 9a2 + 4b2 + 25c2 şi 6ab + 15ac + 10bc.
78. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ;23216
≤+−
xx b) .3
7635
≥−−
xx
79. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | 3x – 9 | ≤ | 4x + 1 | ; b) | 5x – 2 | ≥ | 3x + 1 | .
80. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ;543
22 ≤−
≤x
b) ;152
33 −<−
<−x
c) .515
22 <−
≤−x
81. Rezolvaţi în R:
a) b) ⎩⎨⎧
≤−<−
;7831
||
||
xx
⎩⎨⎧
≤−<−
.6531
|2|
|2|
xx
82. Rezolvaţi în R:
a) b) ⎢ ⎢⎣
⎡≥−
<−;1911
86||
||
xx
⎣
⎡≥−
<−.8213
41||
|3|
xx
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 121
83. Rezolvaţi în R:
a) b) ⎢ ⎢⎣
⎡≥−>−
;178147
||
||
xx
⎣
⎡≥−>−
.125657
||
|3|
xx
84. Demonstraţi că:
.00527
00420032...
1211
109
87
00426
<⋅⋅⋅⋅<
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≤ 23; b) | x | ≥ 31.
2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2x + 37 ≤ 0; b) 3x − 45 ≥ 0.
3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x + 7 < 18; b) 4x − 9 > 25.
4. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x + 1) ≤ 3; b) 5(x − 3) ≥ 4.
5. Rezolvaţi în R inecuaţia: 7x + 9 < 3x + 2.
6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (2x + 3)2 < (2x + 3)(2x – 3); b) (4x − 5)2 ≥ (4x + 5)(4x – 5).
7. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ⎩⎨⎧
≥+<−
;2794873
xx
b) ⎢⎣
⎡≤+>−
.7563125
xx
8. Rezolvaţi în R totalitatea:
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
≤−
≤−
≤−
<
.254
13
432
12
x
x
9. Rezolvaţi în R inecuaţia:
⎢⎣
⎡≥−≤−
.1034752
||
||
xx
1. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x | ≤ 32; b) | x | ≥ 38.
2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2x + 56 ≤ 0; b) 3x − 72 ≥ 0.
3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 4x + 6 < 19; b) 4x − 9 > 29.
4. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 2(x + 2) ≤ 1; b) 5(x − 4) ≥ 3.
5. Rezolvaţi în R inecuaţia: 7x + 10 < 2x + 3.
6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (3x + 2)2 < (3x + 4)(3x – 4); b) (4x − 3)2 ≥ (4x + 6)(4x – 6).
7. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ⎩⎨⎧
≥+<−
;2373594
xx
b) ⎢⎣
⎡≤−>+
.8451536
xx
8. Rezolvaţi în R totalitatea:
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
≤−
≤−
≤−
<
.325
12
423
13
x
x
9. Rezolvaţi în R inecuaţia:
⎢⎣
⎡≥−≤−
.625894
||
||
xx
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 122
2. I n e c u a ţ i i d e g r a d u l I I c u o n e c u n o s c u t ă . M e t o d a i n t e r v a l e l o r
1. Reproduceţi şi completaţi fiecare reprezentare grafică a unei funcţii cu semnul ei.
x
y
OO
OOx
y
x
y
x
y
Ox
y
x
y
OO
OOx
y
x
y
x
y
Ox
y
2. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu:
a) f(x) = x2 + 15x – 2; b) f(x) = 3x2 + 6x – 4; c) f(x) = 4x2 – 7x – 5; d) f(x) = 7x2 + 2x – 2; e) f(x) = 8x2 + 3x – 2; f) f(x) = 5x2 + 2x – 4.
3. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu: a) f(x) = 4x2 + 12x + 9; b) f(x) = 9x2 + 12x + 4; c) f(x) = 25x2 – 30x + 9; d) f(x) = 16x2 + 8x + 1; e) f(x) = 49x2 + 28x + 4; f) f(x) = 36x2 – 60x + 25.
4. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu: a) f(x) = 5x2 + 2x + 1; b) f(x) = 9x2 + 3x + 1; c) f(x) = 5x2 – 6x + 2; d) f(x) = 4x2 + 3x + 1; f) f(x) = 2x2 + 4x + 3; g) f(x) = 3x2 – 6x + 2.
5. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 5x + 6 < 0; b) x2 – 3x + 10 < 0; c) x2 – 7x – 30 < 0; d) 12x2 + 8x + 1 < 0; e) 14x2 – 9x + 1 < 0; f) 18x2 – 11x + 1 < 0.
6. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 18x2 + 11x + 1 ≥ 0; b) 27x2 – 12x + 1 ≥ 0; c) 44x2 – 7x + 1 ≥ 0; d) 22x2 + 9x + 1 ≥ 0; e) 33x2 – 14x + 1 ≥ 0; f) 50x2 – 15x + 1 ≥ 0.
7. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –70x2 + 11x + 1 ≥ 0; b) –55x2 – 6x + 1 ≥ 0; c) –60x2 – 7x + 1 ≥ 0; d) –102x2 + 11x + 1 ≥ 0; e) –50x2 – 5x + 1 ≥ 0; f) –70x2 – 3x + 1 ≥ 0.
8. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 9x2 + 12x + 4 > 0; b) 4x2 – 12x + 9 > 0; c) 9x2 + 12x + 4 > 0; d) 36x2 + 12x + 1 > 0; e) 25x2 – 10x + 1 > 0; c) 49x2 + 14x + 1 > 0.
9. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –9x2 + 6x – 1 > 0; b) –4x2 + 12x – 9 > 0; c) –16x2 + 24x – 9 > 0; d) –25x2 + 10x – 1 > 0; e) –49x2 + 14x – 1 > 0; f) –16x2 + 8x – 1 > 0.
10. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 9x2 + 5x + 4 > 0; b) 4x2 – 11x + 9 > 0; c) 9x2 + 10x + 4 > 0; d) 3x2 + 5x + 3 > 0; e) 4x2 – 6x + 3 > 0; f) 9x2 + 11x + 4 > 0.
11. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –6x2 + 7x – 4 > 0; b) –4x2 + 7x – 9 > 0; c) –8x2 + 9x – 4 > 0; a) –5x2 + 6x – 2 > 0; b) –7x2 + 7x – 2 > 0; c) –8x2 + 5x – 2 > 0.
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 123
12. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) –7x2 + 5x < 0; b) 2x2 + 3x < 0; c) –x2 + 7x < 0; d) –2x2 + 8x < 0; e) –17x2 – 9x < 0; f) 8x2 – 15x < 0.
13. Rezolvaţi în R inecuaţia:
a) ;012
32 ≥
+ xx b) ;0
745
2 <− xx
c) ;098
32 >
− xx d) ;0
534
2 <+ xx
e) ;045
12 <
−x f) ;0
5872 ≥
−x g) ;0
432
2 <+x
h) .092
102 >
+x
14. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia: a) ;152 −x b) ;34 2 −x c) ;35 2 xx − d) ;37 2 xx +
e) ;43 2 +x f) ;76 2 −x g) ;310 2 xx − h) .35 2 +x
15. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:
a) ;1045
16 2 −− xx
b) ;1640
24 2 +−− xx
c) ;1340
18 2 −− xx
d) ;1566
34 2 +−− xx
e) ;1778
46 2 −+ xx
f) .13
54 2 −− xx
16. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:
a) ;)35( 65
2 −+−− xx b) ;)24( 3
52 −
+−− xx c) ;)52( 114
2 −++− xx
d) ;)13( 54
2 −+−− xx e) ;)34( 7
22 −
++− xx f) .)143( 95
2 −++− xx
17. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 − 2x + 1 ≤ 4; b) x2 − 3x + 3 ≤ 5; c) x2 − 5x + 3 ≤ 5; d) x2 − 6x + 2 ≤ 5; e) x2 − 7x + 6 ≤ 1; f) x2 − 8x + 3 ≤ 8.
18. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) (x + 2)2 < 5; b) (x + 4)2 < 15; c) (x + 3)2 < 5; d) (x + 5)2 < 23; e) (x + 6)2 < 33; f) (x + 7)2 < 40.
19. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii:
a) b) c) ⎩⎨⎧
>−<−−
;020132
xxx
⎩⎨⎧
<+−
>−
;025
032 xx
x
⎩⎨⎧
<+−
<+
;0127
042 xx
x
d) e) f) ⎩⎨⎧
<+
<+
;08
032 xx
x
⎩⎨⎧
<+
<+
;07
062 xx
x
⎩⎨⎧
<−
>+
.03
052 xx
x
20. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) –2 < x2 + 4x < 5; b) –3 < x2 + 6x < 4; c) –1 < x2 – 7x < 2; d) –3 < x2 – 8x < 6; e) –5 < x2 – 9x < 8; f) –9 < x2 + 10x < 6.
21. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii:
a) b) c) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
<−
;0
042
2
xx
x⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>−
;06
092
2
xx
xx⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
≤−
;03
0252
2
xx
x
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 124
d) e) f) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
<−
;02
0112
2
xx
x⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>−
;03
0152
2
xx
x⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
≥−
.07
052
2
xx
xx
22. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) | x2 + 2x | ≤ 5; b) | x2 – 3x | ≤ 2; c) | x2 + 4x | ≤ 3; d) | x2 – 7x | ≤ 3; e) | x2 – 8x | ≤ 4; f) | x2 – 11x | ≤ 6.
23. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) | x2 – 7 | ≤ 3; b) | x2 – 9 | ≤ 6; c) | x2 – 12 | ≤ 4; d) | x2 – 15 | ≤ 7; e) | x2 – 18 | ≤ 2; f) | x2 – 26 | ≤ 10.
24. Rezolvaţi în R cu ajutorul unui sistem de inecuaţii: a) | x2 + 10x + 1 | ≤ 8; b) | x2 – 12x + 2 | ≤ 3; c) | x2 + 9x – 1 | ≤ 4; d) | x2 + 15x + 3 | ≤ 6; b) | x2 – 17x + 2 | ≤ 7; c) | x2 + 18x + 2 | ≤ 5.
25. Rezolvaţi în R totalitatea:
a) b) c) ⎢⎢⎣
⎡
<−
≤−
;06
042
2
x
xx
⎢⎢⎣
⎡
≤−
<+
;011
092
2
x
xx
⎢⎢⎣
⎡
≤−
<−
;08
0252
2
xx
x
d) e) f) ⎢⎢⎣
⎡
<+
≤−
;03
0362
2
xx
x
⎢⎢⎣
⎡
≤+
<−
;05
0492
2
xx
x
⎢⎢⎣
⎡
≤−
≤−
.081
072
2
x
xx
26. Rezolvaţi în R cu ajutorul unei totalităţi de inecuaţii: a) | x2 – 7 | ≥ 5; b) | x2 – 3 | ≥ 1; c) | x2 – 4 | ≥ 2; d) | x2 – 9 | ≥ 7; e) | x2 – 11 | ≥ 2; b) | x2 – 13 | ≥ 9; c) | x2 – 15 | ≥ 6; d) | x2 – 18 | ≥ 10.
27. Rezolvaţi în R cu ajutorul unei totalităţi de inecuaţii: a) | x2 – 10x | ≥ 5; b) | x2 – 11x | ≥ 3; c) | x2 – 12x | ≥ 4; d) | x2 – 13x | ≥ 6; e) | x2 – 15x | ≥ 11; b) | x2 – 16x | ≥ 10; c) | x2 – 18x | ≥ 12; d) | x2 – 20x | ≥ 14.
28. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: a) (x2 + 5x)(x2 – 8x) < 0; b) (x2 + 7x)(x2 – 10x) < 0; c) (x2 – 17x)(x2 – 12x) < 0; d) (x2 – 23x)(x2 – 16x) < 0; e) (x2 + 21x)(x2 – 18x) < 0; f) (x2 + 4x)(x2 – 9x) < 0.
29. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: a) (x2 – 1)(x2 – 3) < 0; b) (x2 – 7)(x2 – 9) < 0; c) (x2 – 7)(x2 – 11) < 0; d) (x2 – 12)(x2 – 15) < 0; e) (x2 – 25)(x2 – 16) < 0; b) (x2 – 36)(x2 – 31) < 0.
30. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor: a) (x2 – 2x + 1)(x2 – 3x + 2) ≤ 0; b) (x2 – 4x + 4)(x2 – 5x + 6) ≤ 0; c) (x2 – 6x + 9)(x2 – 7x + 12) ≤ 0; d) (x2 – 8x + 16)(x2 – 5x + 4) ≤ 0; e) (x2 – 10x + 25)(x2 – 8x + 15) ≤ 0; f) (x2 – 12x + 36)(x2 – 8x + 12) ≤ 0.
31. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor:
a) ;07332
<+−
xx b) ;0
3473
<+−
xx c) ;0
5625
<−+
xx d) ;0
11547
<+−
xx
e) ;05694
<+−
xx f) ;0
8958
<+−
xx g) ;0
85310
<−−
xx h) .0
18134
<−−
xx
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 125
32. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor:
a) ;065
232 ≥
−−−xx
x b) ;0187
852 ≥
−+−xx
x c) ;0338
542 ≥
−+−xx
x
d) ;06011
922 ≥
−+−xx
x e) ;08011
982 ≥
−+−xx
x f) .010211
11102 ≥
−+−xx
x
33. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor:
a) ;0369
352
2
<−−
−xx
xx b) ;08016
472
2
<−−
−xx
xx c) ;010516
382
2
<−−
−xx
xx
d) ;06016
9102
2
<+−
−xx
xx e) ;04813
5122
2
<−−
−xx
xx f) .5015
562
2
+−+xx
xx
34. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care nu are rădăcini reale polinomul: a) 3X2 – (m – 2)X + 4; b) X2 – (2m – 3)X + 5; c) 3X2 – (3m – 1)X + 5; d) 2X2 – (m – 1)X + 6; e) 2X2 – (m – 5)X + 6; f) 5X2 – (m – 7)X + 2.
35. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care are rădăcini reale diferite polino-mul:
a) 3X2 – (7m – 2)X – 3; b) 5X2 – (3m – 4)X – 4; c) 2X2 – (6m – 7)X – 9; d) 7X2 – (3m – 5)X – 6; e) 4X2 – (4m – 3)X – 3; f) 3X2 – (2m – 5)X – 2.
36. Alcătuiţi o inecuaţie de gradul II cu mulţimea soluţiilor: a) (0, 5); b) [–3, 7]; c) (–5, 5); d) R \{–2, 5}.
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:
.)1640(1514 97
28 2 −−−−+− xxxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
38. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥+−−
<−−
.0703
06042
2
xx
xx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
39. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−−
<−−
.02611
4792
2
xx
xx ||
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
40. Rezolvaţi în R totalitatea ⎢⎢⎣
⎡
≥−−
<−−
.04512
36102
2
xx
xx ||
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
41. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor .1774723
2
2
≤−−+−
xxxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 126
42. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor .01
332
1≥
+−
− xx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
43. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤+−
<+−
.459
11582
2
||
||
xx
xx
44. Rezolvaţi în R totalitatea ⎢⎢⎣
⎡
≤+−
<+−
.5210
2472
2
||
||
xx
xx
45. Rezolvaţi în R, .24213
751 2 <−−
−≤
xxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
46. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor .113
132
2≤
−−
− xx
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
47. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor .110211
532 <
−−−xx
x
Formulaţi un exerciţiu asemănător.
48. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor .57510
541 2 <−−
−<
xxx
Formulaţi un exerciţiu asemănător. 49. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care polinomul 5X2 – (m – 3)X + m –
1 are suma rădăcinilor strict pozitivă şi produsul strict negativ. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 50. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care polinomul 2X2 – (m – 1)X + 3m
are rădăcinile mai mari decât 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 51. Aflaţi mulţimea numerelor reale m pentru care polinomul 3X2 – (m – 2)X + 4m
are o rădăcină mai mare decât 1 şi cealaltă mai mică decât 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 52. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 + 3x + 2 | ≤ 5. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 53. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 + 5x + 4 | ≤ x – 1. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 54. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 + 7x + 12 | ≤ | x – 3 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător. 55. Rezolvaţi grafic, în R, inegalitatea | x2 – 8x + 12 | ≤ | x2 + 9x + 18 |. Formulaţi un exerciţiu asemănător.
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 127
E v a l u a r e f o r m a t i v ă
1. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu:
a) f(x) = x2 + 7x – 3; b) f(x) = x2 + 6x + 2.
2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 3x ≤ 0; b) x2 – 0,25 ≥ 0.
3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 13x – 30 ≤ 0; b) x2 + 21x – 46 ≥ 0.
4. Rezolvaţi în R sistemul
⎩⎨⎧
<+
>−
.03
042 xx
x
5. Rezolvaţi în R totalitatea
⎢⎢⎣
⎡
≤−
<−
.06
052
2
x
xx
6. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:
a) ;114284 2 −− xx
b) .)8016( 73
2 −−− xx
7. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x2 – 13 | ≤ 7; b) | x2 – 19 | ≥ 6.
8. Rezolvaţi în R aplicând metoda intervalelor:
.311020
322
2
≥−−
−xx
x
9. Rezolvaţi în R totalitatea
⎢⎢⎣
⎡
≤+−
<+−
.2612
34112
2
||
||
xx
xx
1. Studiaţi semnul funcţiei f : R → R cu:
a) f(x) = x2 + 6x – 4; b) f(x) = x2 + 8x + 3.
2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 5x ≤ 0; b) x2 – 0,16 ≥ 0.
3. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x2 + 12x – 45 ≤ 0; b) x2 + 19x – 42 ≥ 0.
4. Rezolvaţi în R sistemul
⎩⎨⎧
<+
>−
.04
052 xx
x
5. Rezolvaţi în R totalitatea
⎢⎢⎣
⎡
≤−
<−
.08
072
2
x
xx
6. Aflaţi mulţimea numerelor reale pentru care are sens expresia:
a) ;113306 2 −− xx
b) .)7515( 74
2 −−− xx
7. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) | x2 – 16 | ≤ 6; b) | x2 – 18 | ≥ 7.
8. Rezolvaţi în R aplicând metoda in-tervalelor:
.21927
232
2
≥−−
−xx
x
9. Rezolvaţi în R totalitatea
⎢⎢⎣
⎡
≤+−
<+−
.3411
45122
2
||
||
xx
xx
Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 60 minute.
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii 128
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri Cap. I. Recapitulare şi completări. 1. Mulţimea numerelor reale (9–11)
1. a) Zecimalele numărului –5,0369... sunt formate din toţi multiplii naturali ai lui 3. Răspuns: –5,0369... este număr
iraţional. 2. a) 495268
990536
9905541
==− implică −23,5(41) =
.49526823− 3. Examinaţi desenul! 4. a) –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.
5. a) (–5, 17). 6. a) ( –11, 24]. 7. a) [–2,5; 7,1]. 8. a) (–'; 15,2]. 9. a) | x | < 2,9. 10. a) | x | ≤ 13,2. 11. a) | x | > 3,27. 12. a) | x | ≥ 3,27. 13. a) .8739 −<−<− 14. a) 55 ≈ 7,4. Răspuns: 7. 15. a) 33 ≈ 5,74. Răspuns: 5,7. 16. a) 48 ≈ 6,28. Răspuns: 6,3. 17. a) 51− ≈ –7,1. Răspuns: –7. 18. a) 68− ≈ –8,24. Răspuns: –8,2. 19. a) 78− ≈ –8,831. Răspuns: –8,83. 20. a) 18 ≈ 4,24. Răspuns: 4,3. 21. a) 19 ≈ 4,24. Răspuns: 4,2. 22. a) 19− ≈ –4,35. Răspuns: –4,3.
23. a) 27− ≈ –5,19. Răspuns: –5,2. 24. a) 2
5+x
∈ Z ⇔ x + 2 ∈ {–5, –1, 1, 5} ⇔ x
+ 2 ∈ {–7, –3, –1, 3}. 25. a) Divizorii naturali primi ai lui 12 sunt: 2, 3. Deoarece 2 se
află printre divizorii lui 12, rezultă că 127 se converteşte într-un număr zecimal
periodic compus. 26. Deoarece termenii numărătorului au aceeaşi paritate, numărătorul
este număr par. Fracţia 2004
174135 yxyx − este reductibilă. 27. Număr zecimal periodic
compus. 28. a) )(11 cbaabc +++ = 111a + 21b + 12c se divide cu 3, deci
)(1115
cbaabc +++ este fracţie ireductibilă.
29. Zecimalele numărului se obţin din termenii şirului 2, 4, 6, 8, ... Calculăm câte numere pare nenule de o cifră există, câte numere pare de două cifre există etc. 30. Suma tuturor numerelor este 1002⋅2005 = 2007005. Deoarece 2007005 – 4k ≈ 0 pentru orice k ∈ N*, nu se poate obţine un şir cu toţi termenii egali cu 0. 31. Nu este periodic. 32. Examinaţi exemplul de la p. 5. 33. a) [5; 3, 7, 1] este un număr raţional. 2. Operaţii cu numere reale (12–16) 1. a) 2)52( −x = | 2x – 5 |. 2. a) .35)53( 2 −=− 3. a) )75(3 − = 15 – .21 4. a) 10. 5. a) 431431 ++ = .31435 + 6. a) 941641 +− = .41650 − 7. a) .174 8. a) 3,605 < 13 < 3,606, 3,872 < 15 < 3,873 implică 7,477 <
1513 + < 7,479. Răspuns: 7,47. 9. a) 5,385 < 29 < 5,386, 3,316 < 11 < 3,317, 2,06 < 1129 − < 2,07. Răspuns: 2,07. 10. a) .1702 11. a) .2160 12. a) 343a3 + 588a2 + 336a + 64. 13. a) 343a3 – 882a2 + 756a – 216. 14. a) 729x3 + 512. 15. a) 729x3
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 129
– 343. 16. a) 3x – 11 = 16 ⇔ 3x = 27 ⇔ x = 9 ⇒ S = {9}. 17. a) 7x – 8 = 3x + 6 ⇔ 7x – 3x = 8 + 6 ⇔ 4x = 14 ⇒ S = {3,5}. 18. a) | 4x + 11 | = 25 ⇔ 4x + 11 = 25 sau 4x + 11 = –25 ⇔ 4x = 14 sau 4x = –36 ⇔ 4x = 14 sau 4x = –36 ⇔ x = 3,5 sau x = –9 ⇒ S = {–9; 3,5}. 19. a) | 4x | ≤ 13 ⇔ –13 ≤ 4x ≤ 13 ⇔ –3,25 ≤ x ≤ 3,25 ⇒ S = [–3,25; 3,25]. 20. a) | x – 9 | ≤ 2 ⇔ –2 ≤ x – 9 ≤ 2 ⇔ 7 ≤ x – 9 ≤ 11 ⇒ S = [7; 11]. 21. a) | 9x | ≥ 28 ⇔ 9x ≥ 28 sau 9x ≤ –28 ⇔ x ≥ 3,(1) sau x ≤ –3,(1) ⇒ S = (–'; –3,(1)] ∪ [3,(1); '). 22. a) | x – 9 | ≥ 12 ⇔ x – 9 ≥ 12 sau x – 9 ≤ –12 ⇔ x ≥ 21 sau x ≤ –3 ⇒ S = (–'; –3] ∪ [21, '). 23. a) S = }.15,15{− 24. a) S = {0, 34}. 25. a) S = {–1, 20}. 26. a) S = {6}. 27. a) S = 12, P = 34. 28. a) x2
– 3,5x –7,5 = 0. 29. a) X2 – (–3,1 + 2,4)X + (–3,1⋅2,4) etc. 30. a) X 2 + 11X + 30 are rădăcinile –6 şi –5. X 2 + 11X + 30 = (X + 5)(X + 6). 31. a) x2 – 23 =
).23)(23( −+ xx 32. a) x2 – 6x – 112 = (x – 14)(x + 8). 33. a) .
11+xx 34. a) (x + 25)2.
34. a) (2x + 5)3. 39. a) .52 − 40. a) }.3,2,2,3{ −−=S 41. Fie y = .1 x
x−
Se
rezolvă mai întâi ecuaţia y2 – 2y + 1 = 0 etc. 42. Fie y2 = x – 2 etc. 43. Fie y = 2x – 5
etc. 44. x2 + x4 + x6 + ... = 2
2
1 xx−
etc. 45. Fie S = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + ... Atunci S – xS
= x + x2 + x3 + x4 + ... = x
x−1
etc. 46. a) y = 23
32 +− xx
x etc. 47. Rezolvaţi în R
ecuaţia | x + 2 | + | x – 2 | = 4 etc. S = [–2, 2]. 48. a = ,20052004...
76
54
32
⋅⋅⋅⋅ a <
20062005...
87
65
43
⋅⋅⋅⋅ etc. 49. Se află ultima cifră a sumei din membrul stâng şi se compară
cu ultima cifră a numărului din dreapta. Ecuaţia nu are soluţii întregi. 50. a) e se află din ecuaţia x + e + 11 = x. 51. Graficul funcţiei este unghiul ABC cu A(0, 5), B(1,(6); 0), C(2, 1). 52. Aflaţi câte numere naturale se divid cu 2, 5, 7 şi apoi câte mai rămân. 53. Ţineţi cont că produsul a două numere întregi consecutive se divide cu 2 şi că suma a două sau mai multe numere întregi pare este un număr par. 54. Deoarece 2 = 0 + 2, 3 = 0 + 3 = 1 + 2, 4 = 4 + 0 = 1 + 3 etc., X
2 are coeficientul 1, X 3 are coeficientul 2, X
4 are coeficientul 2 etc. 55. Se înlocuieşte 2 – X cu X şi X cu 2 – X etc. 56. P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(2004) =7(1 + 2 + ... + 2004) – 5⋅20004 etc. 57. a)
3015630156 ++⋅+− = 3021− etc. 58. a) 1...
189 +++ zz
etc. 59. Pro-
poziţia este falsă. 60. Se află x din ecuaţia x
x−1
= x1 şi apoi valoarea comună ϕ a
rapoartelor (numărul de aur). ϕ = 2
51+ = 1,618033... 61. [1; (1)].
62. ...111 +++ = ϕ. 63. n = 0. Cap. II. Puteri cu exponent raţional. 1. Radicali de ordinul n (20–25)
1. a) .224 2 == 2. a) .228 3 33 == 3. a) .228 3 33 ==− 4. a) .2216 4 44 ==
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 130
5. a) .2232 5 55 == 6. a) .2)2(32 5 55 −=−=− 7. a) .2)2( 2 =− 8. a) 2. 9. a) a ∈ (–',
0]. 10. a) 405. 11. a) –4375. 12. a) 11 = 4⋅2 + 3 implică .6366 4 34 11 = 13. a) 14 = 4⋅3
+ 2 implică .49343)7( 44 14 =− 14. a) 2 < .5 15. a) =− 8 3)21( .)12(38 8−−
16. a) .)52(33)52( 7 77 −=− 17. a) 4 15 şi 2 = 4 16 implică 4 15 < 2. 18. a)
.)12(33)21( 16 165165 −−=− 19. a) .)3244()3244()2443( 16 259516 185 −−=−
20. a) .7343)7( 353 2 = 21. a) .147 xx = 22. a) .33 3 26 4 = 23. a) .2)2( 312 4 =−
24. a) .7575 12 3443 ⋅=⋅ 25. a) .2323
1+=
− 26. a) .
1111
111 7 5
7 2= 27. a) x ∈
{8, 9, 10, …}. 28. a) 2x – 3. 29. a) [0,6; '). 30. a) .)2(4 5−− x 31. 153 31255 = şi 5 15
.337515= 32. a) Aflaţi semnul numărului .57 34 − 34. a) 2. 35. 1.
36. 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 3 816 = etc. 37. 16 4416 81632 22,22,24 === etc.
39. a) .152515
6 333 +−=
+ 40. 1. 41. Fie x = .31 3+ (x – 1)3 = 3 etc.
42. 2048 10245122 22...22 ⋅⋅⋅⋅ etc. 43. a) .11
)47(241449
2 33
333
−=
++ 44. Se ridică
egalitatea la pătrat etc. 45. Se ridică egalitatea la cub. 46. Fie x = .32 33 +
3)2( 33 =−x etc. 47. x = ...1111 implică x2 = x etc. 50. 2. 52. Restrângeţi pătra-tele de la numitori şi raţionalizaţi numitorii rapoartelor. 2. Puteri cu exponent raţional (25–30)
1. a) 3x–8. 2. a) x12y–10. 3. a) .33 57
5 7 = 4. a) .3018
2012
106
53
=== 5. a) .9292 1213
12 13 =
6. a) x ∈ [2, '). 7. a) x ∈ (24, '). 8. a) x ∈ (24, '). 9. a) .1328 3− 10. a) .3119
− 11. a) ⋅73
2
.2284 21101
712
38
73
148
34
==⋅++
12. a) .9981:9 2429
611
85
1211
85
−−== 13. a) 5 711
7
9:3 = :3117
.333 55119
514
117
514
−−== 14. a) .5)5( 63
1595
73
= 15. a) .53 247
817
⋅ 16. a) S = {0}. 17. a) S = (–', 0]. 18. a) x7
– 5 = 0. 19. a) x9 – 17 = 0. 20. a) 9x – y. 21. a) 125x – 1. 22. a) 3x + 64.
23. a) .1,)1( 199
<−− xx 24. a) 101. 25. a) S = [0; 0,5). 26. a) .5159 21
21
yyxx ++ 27. a)
.1,552531,540135 3333 ++=++ aa Răspuns: a) a = –1,5. 28. .15
4
15
15
2561
2561
+
=
+
−
29. .512)78( 32
125
|| +− xxy 30. x – 1. 31. x + 1. 32. a) x ∈ {–1}. 33. a) Aflaţi numerele
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 131
întregi x pentru care 257
++
xx este număr natural mai mare sau egal cu 2.
34. [ ] 5,08)85(max 31
2 =+−−
x şi [ ] 41
2 256)59(max−
+−y = 0,25 etc. 35. Aplicaţi formula sumei termenilor unei progresii cu un număr finit de termeni. 43. a) Rezolvarea grafică conduce la unicitatea soluţiei 4. Cap. III. Funcţii. Noţiunea de funcţie (36–41) 1. a) Domeniul de definiţie este N \ {0, 1, 2, …, 999}, mulţimea valorilor este {0, 1, 2, …, 9}. 2. a) Domeniul de definiţie este R, mulţimea valorilor este {0, 1, 2, …, 9}. 3. a)
R. 4. a) R \ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
71 . 5. a) f nu este definită când se anulează numitorul raportului. R \
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
2
1,31 . 6. a) R. 7. a) R \ {3,25}. 8. a) f nu este definită când se anulează numitorul
raportului. R \ {–0,125; 1}. 9. a) ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛−
116,' . 10. a) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
1112,' . 11. a) 12 – 7x trebuie să
fie un număr natural cel puţin egal cu 2. Răspuns: {…, –1, 0, 1}. 12. a) ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛−
829,' .
13. a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
274,' . 14. a) R \ {7,5}. 15. a) Defineşte o funcţie. 16. a) Nu defineşte o
funcţie. 17. a) Defineşte o funcţie. 18. a) f este o funcţie nemonotonă. 19. x −5 2 9
f(x) 8 & 14 % 21
20. x −∞ 3 16 f(x) −∞ % −1 % 25
21. x −∞ 18 '
f(x) −∞ % 3 % '
22. a) .61 23. a) 2 şi 10. 24. a) 2,5. 25. a) .897,897 +− 26. a) Obţinem punctul
(0, 24). 27. a) (0, –70). 28. a) f(x) < 0 pe intervalul (–'; –0,25) şi f(x) > 0 pe intervalul (–0,25; '). 29. a) f(x) > 0 pe intervalul (–', 9) şi f(x) < 0 pe intervalul (–9, '). 30. a) f(–x) = 8,2x = –f(x). f este o funcţie impară. 31. a) f este o funcţie impară. 32. a) f nu este nici pară, nici impară. 33. a) y = 3x – 11 are panta 3. 34. {1, 2, 4, 8, 6}. 35. {1, 3, 7, 9}. 36. {1, 3, 7, 9}. 37. a) f(x) = (3m – 2)x + 6 este crescătoare pentru 3m – 2 > 0 ⇔ m > 0,(6). 38. a) f(x) = (4m2 – 3m – 1)x + 2 este constantă pentru 4m2 – 3m – 1 = 0 ⇔ m = –0,25 sau m = 1. 39. a) f(1) = 0. 40. a) 23 = 8. 41. a) 32. 42. Se cercetează cazurile: m = 4k + r, r ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. 43. Se cercetează cazurile: m = 4k + r, r ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. 44. f(–378) = 0, f(–4629) = 7 etc. 45. f nu este o funcţie. x
yO
2. Funcţii numerice (42–46) 1. a) x 2 4 6
f(x) −2 −2 –2
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 132
x
y
O
2. a) x 0 2 4 f(x) 0 1 2
3. a) x −∞ 1,5 ∞ f(x) − − − 0 + + +
4. a) x −∞ 2,5 ∞
f(x) + + + 0 − − − 5. a) x −∞ 27,5 ∞
f(x) % 0 %
6. a) x −∞ 15 ∞ f(x) & 0 &
x
y
O
7. a) x −∞ –4 0 ∞ f(x) % 0 % 1 %
O
( x
y8. a) x −1 0 5 ∞
f(x) (1,2 & 1 & 0 &
O
]
(x
y 9. a) x −1 6
f(x) (2 & & & –5]
Ox
y
Ox
y
10. a) D = R. x −∞ 1 2 3 ∞f(x) 0 & –1 & −∞║∞ & 1 & 0
11. a) x −∞ 2 3 4 ∞
f(x) 0 % 1 % ∞║–∞ % –1 % 0 D = R \ {3}.
O x
y
12. a) x −∞ –4 –3 –2 ∞ f(x) 0 % 1 % ∞║∞ & 1 & 0 D = R \ {–3}.
O xy
Ox
y
13. a) x −∞ 2 3 4 ∞ f(x) 0 & –1 & –∞║–∞ % –1 % 0 D = R \ {3}.
14. a) x 3 4 7 ∞ f(x) 0 % 1 % 2 % ∞ D = [3, ').
x
y
O
15. a) x −∞ –1 2 3 f(x) ∞ & 2 & 1 & 0 D = (–', 3].
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 133
16. a) x −∞ –1 2 3 4 7 ∞ f(x) ∞ & 2 & 1 & 0 % 1 % 2 % ∞
x
y
O
D = R.
x
y
O
17. a) x −∞ –1 0 1 ∞ f(x) ∞ & 3 & 0 % 3 % ∞
x
y
O
x −∞ 2 3 4 ∞ f(x) ∞ & 3 & 0 % 3 % ∞
18. a)
x
y
Ox −∞ 2 3 4 ∞ f(x) –∞ % –3 % 0 & –3 & –∞
19. a)
x
y ]
O
(
x −∞ 2 ∞ f(x) 1 1](–3 –3
20. a)
x
yO21. a) x −∞ –2 –1 ∞
f(x) −∞ % –2 % –1 –1
x
y
O
]
(
22. a) x −∞ 0 3 ∞ f(x) ∞ & 2 & 1](3 3
23. a) f(x + 5) = 3(x + 5) + 1. 24. Procedaţi ca mai sus. Graficul funcţiei este un unghi. 25. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 10–13. 26. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 14–16. 27. a) a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 17–19. 28. a) Proce-daţi ca la rezolvarea exerciţiului 9. 29. a) Procedaţi ca la rezolvarea exerciţiului 8.
31. a) f(x) = sgn (3x − 6) = etc. 33. a) f(x) = (−2x + 5)⋅sgn (3x −
9) = etc. 34. a) Se află f(x) din sistemul de ecuaţii f(x) + 2f(3
– x) = 3x + 1 şi f(3 – x) + 2f(x) = 3(3 – x) + 1. 35. Domeniul maxim de definiţie în R este R şi mulţimea valorilor funcţiei f se află examinând f(x) = (x – 4)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈=
−∈−
),2(ă,12ă,0
)2,(ă,1
'
'
xxx
dac
dac
dac
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈−=
−∈−
),2(ă,253ă,0
)3,(ă,52
'
'
xxx
xx
dac
dac
dac
2 – 13. 36. V. rez.
ex. 35. 40. 8x – 11 – 2 + 9x > 0 ⇔ 17x > 13 ⇔ x > .1713 f(x) = max {8x – 11, 2 – 9x} =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎢⎣⎡∈−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∈−
'
'
,1713ă,118
1713,ă,92
xx
xx
dac
dac etc. 41. V. ex. 40. 43. f(2) = 10 – 3 = 3m – 4 etc.
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 134
44. Procedând ca la ex. 41 obţineţi un sistem în m şi n. 3. Funcţia de gradul II (47–54) 1. a) Graficul lui f intersectează axele de coordonate în (0, 0). 2. a) Im f = E(f) = (–', 0]. f este crescătoare pe (–', 0) şi este descrescătoare pe (0, '). 3. a) Zerourile funcţiei
f sunt .52,
52
− Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 0,
52 , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛0,
52
şi axa Oy în (0, 2). 4. a) Im f = E(f) = [–9, '). f este descrescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). 5. a) ) Im f = E(f) = (–'; 0,(6)]. f este crescătoare pe (–', 0) şi este crescătoare pe (0, '). 6. a) Graficul lui f nu intersectează axa Ox, dar intersectează axa Oy în (0, 7). 7. a) Im f = E(f) = [5, '). f este descrescătoare pe (–', 0) şi este cres-cătoare pe (0, '). 8. a) Zerourile funcţiei f sunt –0,8 şi 0. Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (–0,8; 0), (0, 0) şi axa Oy în (0, 0). 9. a) Zerourile funcţiei f sunt 0 şi 4,5. Graficul lui f intersectează axa Ox în punctele (0, 0), (4,5; 0) şi axa Oy în (0, 0). 10. a) x −∞ –1 0 1 ∞
f(x) ∞ & 1 & 0 % 1 % ' x
y
O
11. a) x −∞ –1 0 1 ∞ f(x) −∞ % –2 % 0 & –2 & –'
12. a) Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr pozitiv, deci fmin =
.2049
− 13. a) Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr negativ, deci fmax = .8449
x
yO
14. a) Im f = E(f) = ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ −−
134,' . f este descrescătoare pe ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
134,' şi este crescătoa-
re pe ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− ',
134 . 15. a) Im f = E(f) = ⎥⎦
⎤⎜⎝⎛ −−
332,' . f este crescătoare pe (–'; –1,(3)) şi
este descrescătoare pe (–1,(3); '). x
yO
16. a) x −∞ 0 1,5 3 ∞ f(x) ∞ & 0 & –4,5 % 0 % '
x
y
O
x −∞ 0 2 4 ∞ f(x) −∞ % 0 % 8 & 0 & –'
17. a)
18. a) Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr pozitiv, deci fmin = .3613
4−=
∆−
a 19. a)
Funcţia f are coeficientul lui x2 un număr negativ, deci fmax = .2449
4=
∆−
a 20. a) Func-
ţia f are coeficientul lui x2 un număr pozitiv, deci fmin = .2423
4=
∆−
a 21. a) Funcţia f are
coeficientul lui x2 un număr negativ, deci fmax = .247
4=
∆−
a
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 135
22. a) x −∞ 3 3,5 4 ∞ f(x) ∞ & 0 & –0,25 % 0 % '
x
y
O 23. a) x −∞ 2 3,5 5 ∞
f(x) −∞ % 0 % 12,25 & 0 & –' x
y
O
24. a) x −∞ 0 0,75 1,5 ∞ f(x) ∞ & 2 & 1,75 % 2 % '
x
y
O
25. a) x −∞ 0 0,5 1 ∞
f(x) −∞ % –2 % –2,5 & –2 & –'
x
y
O 26. a) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
−−aa
bV4
,2
= V(3, –5). 27. a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
−−aa
bV4
,2
= V(1,5; 4,125).
28. a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
−−aa
bV4
,2
= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1211,
67V . 29. a) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
−−aa
bV4
,2
= V(1, –2).
30. a) ∆ > 0, x −∞
4175 −
4175 + ∞
f(x) + + + 0 – – – 0 + + +
a > 0.
x −∞ 4
175 −− 4
175 − ∞
f(x) – – – – 0 + + + + 0 – – –
31. a) ∆ > 0, a < 0.
32. a) ∆ < 0, x −∞ ∞
f(x) + + + + + + + + a > 0.
33. a) ∆ < 0, x −∞ ∞ f(x) – – – – – – – – – – a < 0.
34. a) ∆ = 0, x −∞ 1,5 ∞ f(x) + + + + 0 + + + + a > 0.
x −∞ 1,5 ∞ f(x) – – – – 0 – – – – –
35. a) ∆ = 0, a < 0. 36. a) ∆ < 0 şi a > 0 implică f(x) = | 5x2 – 8x + 1 | = 5x2 – 8x + 1.
37. a) ∆ > 0, x1 = ,4
173 −− x2 = .4
173 +− Prin urmare f(x) = | –2x2 – 3x + 1 | =
38. a) ∆ = 0 implică f(x) = | 9x⎪⎩
⎪⎨⎧
∈+−−
−∈−+
].,[ă,132
),(),(ă,132
212
212
xxxxx
xxxxx
dac
dac '' U 2 + 12x + 4 | =
9x2 + 12x + 4. 39. a) ∆ < 0, a < 0 implică f(x) = | –3x2 + 2x – 1 | = 3x2 – 2x + 1. 40. a) Deoarece a = 3 > 0, f este pozitivă, dacă 16 – 3m ≤ 0. Rezultă m ∈ [5,(3); '). 41. a) Deoarece a = 4 > 0, f este strict pozitivă, dacă 16 + 4m < 0. Rezultă m ∈ (–', –4).
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 136
42. a) Deoarece a = –4 > 0, f este negativă, dacă 9 – 32m ≤ 0. Rezultă m ∈ ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ ',329 .
43. a) Deoarece a = –3 > 0, f este strict negativă, dacă 16 – 15m < 0. Rezultă m ∈ (1,0(6); '). 44. a) f are semn constant pe R, dacă şi numai dacă ∆ < 0. 36 + 12m < 0 ⇒ m ∈ (–', –3). 45. a) f nu are acelaşi semn pe R, dacă şi numai dacă ∆ > 0. 36 + 44m >
0 ⇒ m ∈ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− ',
119 . 46. a) Graficul funcţiei f este situat deasupra axei Ox, dacă a > 0
şi ∆ < 0. 16 – 9(m – 3) < 0 ⇒ m ∈ (4,(7); '). 47. a) Graficul funcţiei f este situat sub axa Ox, dacă a < 0 şi ∆ < 0. 36 – 9(3m – 1) < 0 ⇒ m ∈ (1,(6); '). 48. a) Graficul func-ţiei f este tangent axei Ox dacă şi numai dacă ∆ = 0. Rezultă 49 + 11(m – 4) = 0 ⇔ m = –2,2. 49. a) Graficul funcţiei f este secant axei Ox dacă şi numai dacă 49 + 11(m – 5) = 0 ⇔
.116
=m 50. a) Condiţia este satisfăcută dacă şi numai dacă a > 0. 3m – 5 > 0 ⇔ m >
1,(6). m ∈ (1,(6); '). 51. a) Condiţia este satisfăcută dacă şi numai dacă a < 0. 5m – 4 < 0 ⇔ m < 0,8. m ∈ (–'; 0,8). 52. a) f(0) = – (6m – 5) ≥ 0 ⇒ m ≤ 0,8(3). Rezultă m ∈ (–'; 0,8(3)]. 53. a) f(0) = – (16m – 9) ≥ 0 ⇒ m ≤ 0,5625. Rezultă m ∈ (–'; 0,5625].
54. a) a > 0 şi ∆ < 0. 49 + 45m < 0 ⇔ 4549
−<m ⇒ m ∈ ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ −−
4549,' . 55. a) 0
4<
∆−
a
⇒ – (81 + 42m) < 0 ⇔ 42m > –81 ⇒ m ∈ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− ',
4281 . 56. a) 0
4>
∆−
a ⇒ – (36 –
50m) > 0 ⇔ 50m > 36 ⇒ m ∈ (0,72; '). 57. a) 04
<∆
−a
⇒ 64 – 99m < 0 ⇔ 99m > 64
⇒ m ∈ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ',
9964 . 58. a) y = 4x2 + 3x – 11. 59. a) y = 8(x – 3)2 + 5(x – 3) – 1 ⇒ y = 8x2
– 43x + 56. 60. a) 9x2 + 12x + 1 = 3 sau 9x2 + 12x + 1 = –3 ⇔ 9x2 + 12x – 2 = 0 sau
9x2 + 12x + 4 = 0 etc. 61. a) Înlocuiţi în .42
)(2
aabxaxf ∆−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 62. a) ∆ < 0 nu are
soluţii. Nu există m pentru care f satisface condiţia cerută. 65. ∆ < 0. 67. Fie f(x) = ax2 + bx + c. Atunci 4a – 2b + c = 0, b = – 4a, b2 – 4ac = 64a etc. 70. y = 6(x – 2)2 + 9(x – 2) – 8 etc. 75. Se intersectează graficul lui f cu dreapta y = 5 şi se aleg valorile lui x pentru care valorile lui f sunt cel puţin egale cu 5. 76. Se intersectează graficul lui f cu dreapta y = 3 – x şi se aleg valorile lui x pentru care punctele graficului lui f aparţin
dreptei sau sunt situate deasupra dreptei. 77. 3(m – 1) > 0 şi 24
−>∆
−a
etc.
78. y = 2x2 + 3(m – 1)x + 3m – 1 ⇔ y = 2x2 – 3x – 1+ 3m(x + 1). Pentru x = –1, y nu depinde de m, deci punctul (–1, 4) este fix. 79. Coordonatele vârfului parabolei sunt x = 0,1(6)(2 – m), y = 0,08(3)(–m2 + 16m + 8). Din prima relaţie m = 2 – 6x. Se înlocuieşte m în a doua relaţie. 82. Fie f(x) = m. Se obţine 2x2 + 2x = m(x2 + 1) ⇔ (2 – m)x2 + 2x – m = 0. Mulţimea valorilor lui f este mulţimea soluţiilor inecuaţiei ∆ ≥ 0.
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 137
4. Funcţia putere (55–57) 1. a) f(6) < f(5) < f(1) < f(0) < f(–1) < f(–5) < f(–6). 2. a) f(–4) < f(–3) < f(–1) < f(0) < f(1) < f(3) < f(4). 3. a) f(–x) = –16x3 = –f(x). f este funcţie impară. 4. a) f(–x) = –28x4 = f(x). f este funcţie pară. 5. a) f(–17) = –56, f(5) = –15, f(–7) = 13 implică f(17) = –56, f(–5) = –15, f(7) = 13. 6. a) f(–82) = 12, f(10) = –37, f(–11) = –6 implică f(82) = –12, f(–10) = 37, f(11) = 6.
x
y
Ox −∞ –1 0 1 ∞
f(x) −∞ % –4 % 0 % 4 % –' 7. a)
x
y
Ox −∞ –1 0 1 ∞ f(x) −∞ % –5 % –3 % –1 % –'
8. a) 9. Procedaţi ca la rezolvarea ex. 7. 10. Procedaţi ca la rezolvarea ex. 8.
x
y
Ox −∞ –1 0 1 ∞
f(x) −∞ % 4 % 0 % 4 % –' 11. a) 12. a) Aplicaţi o translaţie. 14. a) Aplicaţi o translaţie. 15. Aplicaţi o simetrie faţă de Ox. 19. D = [0, '). Graficul funcţiei este o semidreaptă închisă. 20. D = [0,(6); '). Graficul funcţiei este o semidreaptă închisă. 21. D = R. Graficul este o dreaptă. 22. Se construiesc în acelaşi sistem de axe ortogonale xOy graficele a două funcţii: o funcţie de gradul III şi o funcţie de gradul II. Se aleg valorile lui x pentru care este verificată inecuaţia x3 – 2 > –x2 + 3x. Cap. IV. Polinoame şi fracţii algebrice. 1. Recapitulare şi completări (62–68) 1. are coeficientul –3 şi partea literală 2. are nedetermi-natele X şi Y. 3.
8243 ZYX− .824 ZYX YX 92,324642 ZYX are gradul: 4 în raport cu X; 6 în raport cu Y; 24 în raport cu
Z; 34 în raport cu toate nedeterminatele. 4. a) –3X 8Z
19. 5. ,2,4,7,3,21 444 XXX −
.115 4X 6. a) – 7X 6 + 5X 4 – 2X 3 + 3X + 11. 7. a) 3X 4 + 8X 3
– 7X 4 + 53X 3 + 3 = –4X 4 + 61X 3 + 3. 9. a) –(15X 4 – 13X 3 – 8X 2 + 3X + 11) = –15X 4 + 13X 3 + 8X 2 – 3X – 11. 8. a) 21X 24Y 39. 10. a) –4X 7Y 3. 11. a) –1024X 145Y 155. 12. a) –15X 12Y 5 + 20X 11Y 5 – 10X10Y 5 + 30Y 5. 13. a) (2X − 9)(3X − 8) = 2X(3X − 8) − 9(3X − 8) = 6X 2 − 16X − 27X + 72 = 6X 2 − 43X + 72. 14. a) 81X 2 − 64Y 2. 15. a) 81X
4 − 625Y 4. 16. a) 81X
2 + 144XY + 64Y
2. 17. a) 121X 2 − 176XY + 64Y
2. 18. a) 729X 3 + 1944X
2Y + 1728XY 2 + 512Y
2.19. a) 1331X
3 − 2904X 2Y + 2112XY
2 − 512Y 3. 20. a) 27X
3 + 125Y 3. 21. a) 64X
3 – 125Y
3. 22. a) –5X 7Y 5Z 4 + 2X 7Y 4Z. 23. a) X 3Y
9(3X 3 – 4XY + 5Y
2). 24. a) (4X − 7Y)(2X2 + 5Y
3). 25. a) (2X − 3Y + 7)(7X + 9Y − 3). 26. a) (3X + Y)(3X – Y). 27. a) ).52)(52( YXYX −+ 28. a) (3X + 7Y + 2)(3X + 7Y – 2). 29. a) (7X + 2Y + 3X − 4Y)(7X + 2Y – 3X + 4Y) = (10X − 2Y)(4X + 6Y) = 4(5X − Y)(2X + 3Y). 30. a) (3X
2 + Y 2)(3X
2 – Y 2) = ).3)(3)(3( 22 YXYXYX −++ 31. a) 2X
2 + X22 + 1 = ,)12( 2+X 2X
2 – X22 + 1 = .)12( 2−X 32. a) (13X + 1)2. 33. a) (9X – 2)2. 34. a) X
2 – 12X + 32 = (X – 4)(X – 8), deoarece are rădăcinile 4 şi 8. 35. a) 4X 2 – 12X
+ 11 este ireductibil deoarece nu are rădăcinii reale (are ∆ < 0). 36. a) X 3 + 15X
2 + 75X + 125 = (X + 5)3, X
3 – 15X 2 + 75X – 125 = (X – 5)3. 37. a) (5X + 1)3. 38. a) (5X – 4)3.
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 138
39. a) X 3 + 125 = (X + 5)(X
2 – 5X + 25), X 3 – 125 = (X – 5)(X
2 + 5X + 25). 40. 5X 5(1
+ 2 + ... + 401) etc. 41. –2X 1+3+5+...+2005 etc. 42. X
16000 : X 3+6+...+300 etc. 43. a) X
2 + 4Y 4 +
25Z 2 + 4XY + 10XZ + 20YZ. 44. a) X
2048 – 1. 45. a) (2X – 1)(2X + 1)(4X 2 + 1)(16X
4 + 1)(256X
8 + 1) = 2562X 16 – 1. 46. a) X
4 – 1. 47. (X + 2)6 – (X – 1)6 = [(X + 2)3 + (X – 1)3][(X + 2)3 – (X – 1)3] = [(X + 2) + (X – 1)][(X + 2)2 – (X + 2)(X – 1) + (X – 1)2] [(X + 2) – (X – 1)][(X + 2)2 + (X + 2)(X – 1) + (X – 1)2] etc. 48. a) (X
4 + X 2 + 1)2 = [(X
2 + 1)2 – X
2]2 etc. 49. (X 6 + X
2 – X 2 + 1)2 = (X
6 + 1)2 etc. 50. a) X 6 + 5X
3 + 6 = (X 3 + 2)(
X 3 + 3) etc. 51. a) 315 are 12 divizori naturali şi suma divizorilor naturali ai numărului
56 este 1 + 2 + 4 + 8 + 7 + 14 + 28 + 56 etc. 55. a) (X – 1)(X 3 + X
2 + X + 1)(X 12 + X
8 + X
4 + 1)...(X 768 + X
512 + X 256 + 1) = (X
4 – 1)(X 12 + X
8 + X 4 + 1)...(X
768 + X 512 + X
256 + 1) etc. 57. 1 + X + X
2 + 2X 3 + etc. 59. a) 1 + X + X
2 + X 3 + ... = (1 + X + X
2)(1 + X 3 + X
6 + ...). 60. X 9 + 2X
6 + 3X 3 + 1 = (X
3 + 1)3 – X 3 etc.
2. Împărţirea polinoamelor (68–70) 1. a) 28. 2. a) 22. 3. a) 2. 4. a) (X
2 + 4)(X 2 – 4) : (X
2 – 2) = X 2 + 4. 5. a) (4X
2 + 4X + 1) : (2X + 1) = (2X + 1)2 : (2X + 1) = 2X + 1. 6. a) X
4 – 5 = (X 2 – 2)(X
2 + 2) – 1. 7. a) 4X
2 + 4X + 5 = (2X + 1)2 + 1. 8. a) X 6 – 5 = X
6 – 8 + 3 = (X 2 – 2)(X
4 + 2X 2 + 4)
+ 3. 9. a) (2X 2 + 1)3 + 2X + 5 = (2X
2 + 1)(2X 2 + 1)2 + 2X + 5. 10. a) 8X
6 + 12X 4 +
6X 2 + 2X – 5 = 8X
6 + 12X 4 + 6X
2 + 1 + 2X – 6 = (2X 2 + 1)3 + 2X – 6 = (2X
2 + 1)(2X 2
+ 1)2 + 2X – 6. 11. a) (5X 4 + 4X
3 – 7X 2 + 5X – 6) : (X + 3); 5X
4 + 4X 3 – 7X
2 + 5X – 6 = 5X
3(X + 3) – 11X 3 – 33X
2 + 26X 2 + 78X – 73X – 219 + 213 = 5X
3(X + 3) – 11X 2(X
+ 3) + 26X(X + 3) – 73(X + 3) + 213. 5X 4 + 4X
3 – 7X 2 + 5X – 6 = (X + 3)( 5X
3 – 11X 2
+ 26X – 73) + 213. 12. a) 7X 4 – 3X
3 – 11X 2 + 8X – 9 = 7X
3(X – 2) + 11X 3 – 22X
2 + 11X
2 – 22X + 30X – 60 + 51 = 7X 3(X – 2) + 11X
2(X – 2) + 11X(X – 2) + 30(X – 2) + 51 = (X – 2)(7X
3 + 11X 2 + 11X + 30) + 51. 13. a) 27X
6 – 4 = 27X 6 – 8 + 4 = (9X
4 + 6X 2 + 4)(3X – 2) + 4. 14. P(X) = (X – 1)C(X) + R implică P(1) = R = –14. 16. P(X) = (2X – 1)C(X) + R implică R = P(0,5) = –7.
X4 X3 X2 X1 X0
–5 12 –5 –3 4 –2 12 –65 322 –1606 8028
17.
Câtul 12X
3 – 65X 2 + 322X – 1606 şi restul 8028. 19. P(X) = (X – 5)(X + 2)C(X) + (aX
+ b), P(–2) = 8 şi P(5) = –3 implică –2a + b = 8 şi 5a + b = –3 etc. 21. 1 = 1 + X 2 – X
2 – X 4 + X
4 + X 6 – ... = (1 + X
2)(1 – X 2 + X
4 – ...) etc. 3. Divizibilitatea polinoamelor (71–75) 1. a) P(X) = X
2 – 3X – 10 = (X – 5)C(X) + R implică P(5) = R. 2. a) Deoarece P(2) = 0, P(X) = X
2 – 3X + 2 se divide cu X – 2. 3. a) Înlocuind în P(X) pe X 2 cu –3, se obţine –
3X + 3 + 3X – 3 = 0. Deci P(X) se divide cu X 2 + 3. 4. a) X
2 – 5X este reductibil, de-oarece are rădăcinile 0 şi 5. 5. a) X
2 + 5X + 4 este reductibil deoarece are rădăcini reale (∆ = 9 > 0). 6. a) X
2 + 54 este ireductibil, deoarece nu are rădăcini reale. 7. a) X 2 + 5X
+ 7 are ∆ = 25 – 28 < 0, deci este ireductibil. 8. a) X 2 + 6X + m – 2 este reductibil dacă
şi numai dacă are ∆ ≥ 0. 9 – (m – 2) ≥ 0 ⇔ m ≤ 11. m ∈ (–', 11]. 9. a) X
2 + 20X + m – 6 este ireductibil dacă şi numai dacă are ∆ ≤ 0. 100 – (m – 6) ≤ 0 ⇔ m ≥ 106. m ∈ [106, '). 10. a) X
2 + 4m – 11 este ireductibil dacă şi numai dacă are ∆ ≥ 0. 4m2 + 11 ≥ 0 ⇒ m ∈ R. 11. a) X
3 + 6 este reductibil, deoarece are rădăcina reală – ,63 deci se divide cu X + .63 12. a) X
5 + 19 este reductibil, deoarece are rădăcina reală .195− 13. a) X
2n+1 + 19 este reductibil, deoarece are rădăcina reală .1912 +− n 14. a) X
4 + 6 este ireductibil, deoarece nu are rădăcini reale. 15. a) f(x) = x2 + 5x – 11
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 139
f(0) = –11, adică 0 se află între zerourile lui f. Prin urmare X 4 + 5X
2 – 11 este reducti-bil, deoarece are rădăcini reale. 16. a) X
6 + 5X 3 – 5 este reductibil, deoarece ecuaţia y2
+ 5y – 5 = 0 are soluţii reale. 17. a) X 8 + 3X
4 – 11 este reductibil, deoarece f(x) = x2 + 3x – 11 f(0) = –11, adică 0 se află între zerourile lui f. Prin urmare X
8 + 3X 4 – 11 are
rădăcini reale. 18. a) X 10 + 18X
5 + m – 9 este reductibil dacă şi numai dacă x2 + 18x + m – 9 = 0 are ∆ > 0. 81 – m + 9 ≥ 0 ⇔ m ≤ 90, m ∈ (–', 90]. 19. a) X
12 – 18X 6 + m –
10 este ireductibil dacă şi numai dacă x2 – 18x + m – 10 = 0 are ∆ < 0. 81 – m + 10 < 0 ⇔ m > 91, m ∈ (90, '). 20. a) Restul împărţirii lui P(X) = 4X
3 – 12X 2 + 8X – 9 la X –
6 este P(6) = 471. 21. a) P(–6) = –815. 22. a) P(–0,5) = 15,375. 23. a) P(1) = 0 ⇒ 8m – 10 = 0 ⇔ m = 1,25. 24. a) 125X
3 + 150X 2Y + 60XY
2 + 8Y 3 = (5X + 2Y)3 şi 125X
3 – 150X
2Y + 60XY 2 – 8Y
3 = (5X – 2Y)3. 25. a) 4X 2 + 9Y
2 + 1 + 12XY + 4X + 6Y = (2X + 3Y + 1)2 şi 4X
2 + 9Y 2 + 1 – 12XY + 4X – 6Y = (2X – 3Y + 1)2. 26. ∆ ≥ 0. 9(m + 3)2 –
20 ≥ 0 ⇔ 9m2 + 54m + 61 ≥ 0 etc. 27. 4(m – 5)2 – 11 ≥ 0 etc. 30. a) X 2 + 4X – 21 = (X
– 3)(X + 7), P(X) = (X – 3)(X + 7)C(X) + aX + b etc. 31. Există numere compuse de această formă. 32. 0 trebuie să se afle situat între zerourile funcţiei f, f(x) = x2 + 4(m – 5)x + m – 2, adică f(0) < 0 etc. 33. a) Se ţine cont că P(1) = 3 şi P(4) + 4P(4) = 5 ⇒ P(4) = 1 etc. 35. a) Aflaţi m şi n, apoi P(2). 36. a) Fie grad P(X) = n ∈ N*. P(X) = P(X + 1) ⇒ P(0) = P(1) = P(2) = ... = P(n) = P(n + 1) = ... ⇒ P(X) – P(0) se divide cu un polinom de grad mai mare decât n, ceea ce este imposibil. Prin urmare, grad P(X) = 0. Evident, P(X) = c satisface condiţia din enunţ. 37. a) (X – 1)P(X – 1) = (X – 4)P(X) im-plică P(1) = 0 = P(2) = P(3). Rezultă P(X) = (X – 1)(X – 2)(X – 3)Q(X). Înlocuind în re-laţia din enunţ, se obţine Q(X – 1) = Q(X). Conform exerciţiului anterior ultima relaţie implică Q(X) = c, deci P(X) = c(X – 1)(X – 2)(X – 3). 39. Se adună şi se scade X3 şi se descompune o diferenţă de cuburi. 40. a) Ţineţi cont că rădăcinile întregi se află printre divizorii întregi ai termenului liber şi aplicaţi schema lui Horner. 42. a) S = –3m, P = –5, = S2
221 xx + 2 – 2P etc.
4. Fracţii algebrice (76–81)
1. a) R*. 2. a) R \ {2,2}. 3. a) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−32,
32\R . 4. a) Rădăcinile numitorului sunt – 0,6
şi 1. Răspuns: R \ {– 0,6; 1}. 5. a) Numitorul nu are rădăcini reale. Răspuns: R. 6. a) R \ {0,2}. 7. a) Deoarece x2 –10x + 16 = 0 are soluţiile 2 şi 8, numitorul are rădăcinile
,22− ,2− ,2 .22 Răspuns: R \ }.22,2,2,22{ −− 8. a) R \ }.32,32{− 9. a) R \ }.12,2{ 33− 10. a) R \ }.15{3 11. a) R \ }.23{ 3−
12. a) .13)13)(13(
)13(19
32
2
−=
−++
=−
+XX
XXXX
XXX 13. a) .
7)7()7(
2 +=
++
XX
XXX
14. a) .2)2)(7(
)7(222
2
−=
−++
XX
XXXX 15. a) .
77
)7()7)(7(
2 −+
=−
−+XX
XXX
16. a) .25
)2()5)(2(
2 −−
=−
−−XX
XXX 17. a) .
83
)4)(8()4)(3(
+−
=−+−−
XX
XXXX
18. a) .42
5)42)(2(
)5)(2(22 +−
+=
+−+++
XXX
XXXXX 19. a) .
2552
)255)(5()5)(2(
22 ++−
=++−
−−XX
XXXX
XX
20. a) .255
5)255)(5(
)5(22
2
++−
=++−
−XX
XXXX
X 21. a) .3
1)93)(3(
932
2
−=
++−++
XXXXXX
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 140
22. a) .6
1)366)(6(
3662
2
+=
+−++−
XXXXXX 23. a) .6
3X− 24. a) .1
22
=−−
XX 25. a) .
2523−
−X
X
26. a) [X 2, (X – 1)3, X
2 – 1] = X 2(X + 1)(X – 1)3. 27. a) [2X – 3, 2X + 3, (2X + 3)2] =
(2X – 3)(2X + 3)2. 28. a) .14110
14)12(2)12(3
22 −+
=−
−++XX
XXX
29. a) .827
82427827
46)469(33
2
3
2
−++
=−
−+++X
XXX
XXX 30. a) 49
14218122 −
+−+X
XX =
.49229
2 −+−
XX
31. a) .1258
4044121258
35147530123
2
3
2
++−
=+
−−+−X
XXX
XXX 32. a) .72214
2
2
−−−+
XXXX
33. a) .)6()8(
2
3
−+
XX 34. a) .
721
431
7243
+−
=−−
⋅+−
XX
XX
XX 35. a) .
)56()15(
28
24
+−
XX
36. 2)74()532)(532(
YXYXYXYXYX
−+−−−+− etc. 37. a) 3
2
)47()47(
−−
XX etc.
38. a) 3)32(2)32(3
−+−
XX etc. 40.
45
122843
2 −−
⋅−+
+−−−XX
XXXX etc. 42. 211 2
22 −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+
xx
xx
etc. 43. Fracţia este ireductibilă. 46. a) Aduceţi la forma cea mai simplă 3a + 4a2 + 5a3 + ... + 2004a2002. 46. Se aplică teorema împărţirii polinoamelor şi se obţine n2 + 10 –
56
2 −n etc. 47. a) .
11...;
11 20042004 20022004 2003
2004 −++++
− xxxx
x
50. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−+
=+++ ∑∑∑
===
2004
0
2004
0
2004
0 211
21
)2)((1
iii iXiXiXiX. 51. a) Descompuneţi aplicând
teorema rădăcinilor întregi şi schema lui Horner. Cap. V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii 1. Ecuaţii (87–92) 1. a) Are soluţia 2. 2. a) 6x − 7 = 8 ⇔ 6x = 7 + 8 ⇔ 6x = 15 ⇔ x = 2,5. 3. a) 3x + 14 =
0 ⇔ 3x = –14 ⇔ x = –4,(6) ⇒ S = {–4,(6)}. 4. a) 052
43
=+x ⇔ 52
43
−=x ⇔ 158
−=x
⇒ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−=
158S . 5. a) 4x − 7 = −15 ⇔ 4x = 7 – 15 ⇔ 4x = –8 ⇔ x = –2 ⇒ S = {–2}. 6.
a) }.35,2{35,2310437334 =⇒=⇔=⇔=− Sxxx 7. a) 8z + 9 = 3z − 6 ⇔ 8z – 3z = –9 − 6 ⇔ 5z = –15 ⇔ z = –3 ⇒ S = {–3}. 8. a) 4(2t + 5) = 9t − 23 ⇔ 8t + 20 = 9t − 23 ⇔ –t = –43 ⇔ t = 43 ⇒ S = {43}. 9. a) 8(7z −9) = 9(8z − 5) ⇔ 56z – 72 = 72z − 45 ⇔ –16z = 27 ⇔ z = –1,6875 ⇒ S = {–1,6875}.
10. a) 7326
52
−=− xx ⇔ 7632
52
−=− xx ⇔ 1154
−=x ⇔ x = –3,75 ⇒ S = {–3,75}.
11. a) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=⇒=⇔=
3536
3536
512
37 Sxx . 12. a) 3
33 25
5555 −=⇔−=⇔−= xxx ⇒
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
3536S . 13. a) Fie x raţia progresiei aritmetice. 2 + 2 + x + 2 + 2x + 2 + 3x + 2 + 4x
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 141
= 72 ⇔10x + 10 = 72 ⇔ 10x = 62 ⇔ x = 6,2 ⇒ S = {6,2}. 14. a) | 3x – 7 | = 9 ⇔ 3x – 7 = 9 sau 3x – 7 = –9 ⇔ 3x = 16 sau 3x = –2 ⇔ x = 5,(3) sau x = – 0,(6) ⇒ S = {– 0,(6); 5,(3)}. 15. a) 8(x + 7) + 6 = 5(x − 2) + 11 ⇔ 8x + 56 + 6 = 5x – 14 + 11 ⇔ 8x – 5x = –
65 ⇔ x = –21,(6) ⇒ S = {–21,(6)}. 16. a) 1912257196513
31195
=⇔−=⇔−
= xxxxx
⇔ 12219
=x ⇒ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=12219S . 17. a) (3x – 2)2 + (5x + 1)2 = (3x + 5)2 + (5x – 2)2 ⇔ 9x2 –
12x + 4 + 25x2 + 10x + 1 = 9x2 + 30x + 25 + 25x2 – 20x + 4 ⇔ –12x + 1 = 25 ⇔ –12x = 24 ⇔ x = –2 ⇒ S = {–2}. 18. a) (20x – 1)2 + (21x + 2)2 = (29x + 1)2 ⇔ 400x2 – 40x + 1 + 441x2 + 84x + 4 = 841x2 + 58x + 1 ⇔ – 40x + 84x + 4 = 58x ⇔ –14x = – 4 ⇔ 7x =
2 ⇒ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
72S . 19. a) (4x − 3)(5x + 4) = (2x + 7)(10x − 8) + 11 ⇔ 20x2 – 15x + 16x –
12 = 20x2 – 16x + 70x – 56 ⇔ –15x + 16x + 16x – 70x = –56 + 12 ⇔ –53x = –44 ⇔
53x = 44 ⇒ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
5344S . 20. a) | 2x + 3 | + | 3y − 8 | + | 5z − 14| = 0 ⇔ 2x + 3 = 0, 3y − 8 =
0, 5z − 14 = 0 ⇔ x = –1,5, y = 2,(6), z = 2,8. 21. a) x ≠ 0,(3), x ≠ –1,5. 32
213
5+
=− xx
⇔ 10x + 15 = 6x – 2 ⇔ 4x = –17 ⇔ x = –4,25 ⇒ S = {–4,25}. 22. a) –10 + 11 = –15 + a ⇔ a = 16. 23. a) 3X
3 – 6X 2 + 5X – 7m se divide cu X + 3 ⇔
–81 – 54 – 15 – 7m = 0 ⇔ 7m = 150 ⇔ m = 7
150 ⇒ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
7150S . 24. a) –216 – 18 –
27m – 12 = –17 ⇔ 216 + 18 + 27m + 12 = 17 ⇔ 27m = –229 ⇔ m = 27229
− ⇒
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−=
27229S . 25. a) Se ţine cont că 6 = (–1)(–6) = (–6)(–1) = (–2)(–3) = (–3)(–2) = 1⋅6
= 6⋅1 etc. 28. Fie x numărul căutat. x + 24 + x + 32 + x + 41 = x + 8 etc. 29. Fie x intervalul de timp în care trebuia parcursă distanţa. 90(x – 3) = 60(x + 2) etc. 32. a) 52028213646 22 =+−++− yyxx ⇔ 9)26( 2 +−x +
54)42( 2 =+−y etc. 35. a) 1) Dacă a = 0, S = ∅. 2) Dacă a ≠ 0, ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
aS
314 .
37. –2m – 1 = 7 şi 3n – 3 = 2 etc. 38. a) x = 3 65 − ⇒ x3 = 25 − etc. 39. a) 4ax − 17 = 3x + 14 ⇔ (4a – 3)x = 41 etc. 40. –8. 41. –5. 42. Fie x raţia progresiei. 2(1 + x + x2) = 42 etc. 43. a) 72 de salturi. 2. Ecuaţii de gradul II cu o necunoscută (93–97) 1. a) −3x + 8 = 0. 2. a) 3x2 – 11x – 12 = 0. 3. a) x2 − 18 = 0 are }.23,23{−=S 4. a) 4X
2 – 12 are rădăcinile .3,3− 5. a) 6X 2 + 58 nu are rădăcini reale. 6. a) (x –
3)2 − 7 = 0 ⇔ | x – 3 | = 7 ⇔ x – 3 = 7 sau x – 3 = –7 ⇔ x = 10 sau x = –4 ⇒ S = {–4,
10}. 7. a) 7x2 − 8x = 0 are ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
78,0S . 8. a) 12x2 = 0 are S = {0}. 9. a) 4X
2 + 12X + 9 =
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 142
(2X + 3)2 are rădăcinile – 0,75. 10. a) 16x2 – 24x + 9 = 0 are S = {0,75}. 11. a) x2 + 4x +
1 = 0 are }32,32{ +−−−=S . 12. a) 4X 2 + 12X – 1 are rădăcinile
2103 −− şi
.2
103 +− 13. a) x2 + 4x + 5 = 0 are S = ∅. 14. a) 45 + 36 + m = 0 ⇔ m = –81.
15. a) 121 – 8m < 0 ⇔ m > 15,125 ⇒ m ∈ (15,125; '). 16. a) 9 – 24m = 0 ⇔ m = 0,375. 17. a) 81 – 56m > 0 etc. 18. a) 36 – 99m < 0 etc. 19. a) Fie y = x2. y2 – 8y + 12 = 0 are soluţiile 2 şi 6. x4 − 8x2 + 12 = 0 are }.6,2,2,6{ −−=S 20. a) Fie y = x3. y2 – 13y + 30 = 0 are soluţiile 3 şi 10. x6 − 13x3 + 30 = 0 are }.10,3{ 33=S 21. a) Fie y = x3. y2 – 30y – 64 = 0 are soluţiile 32 şi –2. x6 − 30x3 − 64 = 0 are }.32,2{ 33−=S 22. c2 = am = a(a – n) sau c2 = a2 – an şi b2 = an = a(a – m) sau c2 = a2 – am.
a b c m n h
12 64 34 4 8 24
23. a) X 2 + 11X + 28 are
abS −=
acP = = –11, = 28. 24. a) x2 − 21x + 5 = 0 are
abS −= = 21,
acP = = 5. 25. a) Numerele căutate sunt soluţiile ecuaţiei x2 – Sx + P =
0. x2 – 12x + 27 = 0 are soluţiile 3 şi 9. 26. a) Polinomul cu coeficientul dominant 1 P(X) = X 2 – SX + P. P(X) = X 2 – 13X + 85. Condiţia cerută este satisfăcută de toate polinoamele cX 2 – 13cX + 85c, c o constantă. 27. a) X
2 + 5mX + 15 este 11; 121 +
55m + 15 = 0 ⇔ m = .55
136− 28. a)
77
7
2
−=
− xx
xx ⇔ x2 = 7x, x ≠ 7 ⇔ x(x – 7) = 0, x ≠
7 ⇒ S = {0}. 29. a) 8
108162
−=
−+
xx
xx ⇔ x2 + 16 = 10x, x ≠ 8 ⇔ x2 – 10x + 16 = 0, x ≠ 8
⇒ S = {2}. 30. a) 59
47
−−
=−−
xx
xx ⇔ x2 + 16 = 10x, x ≠ 4, x ≠ 5 ⇔ x2 + 12x + 35 = x2 +
13x + 36, x ≠ 4, x ≠ 5 ⇔ 12x + 35 = 13x + 36, x ≠ 4, x ≠ 5 ⇒ S = {–1}. 30. a) X 2 + 11X
+ 28 are rădăcinile –7 şi – 4, X 2 + 11X + 28 = (X + 7)( X + 4).
31. a) .1210
)12)(5()10)(5(
6075015
2
2
+−
=+−−−
=+−+−
XX
XXXX
XXXX 32. m se află din condiţiile: ∆ > 0 şi
S = 0 etc. 33. Fie y = | x | ≥ 0. Rezolvaţi în R+ ecuaţia y2 − 13y + 42 = 0 etc.
34. a) 21
11xx
+ = 21
21
xxxx + etc. 35. Se ţine cont că şi
⇒ ⇒ ) + 3(m – 2) ⇒ etc.
0
00
2)2(3 121 =+−+ mxmx
02)2(3 222 =+−+ mxmx 4))(2(3)( 21
22
21 =++−++ mxxmxx ( 3
231 xx +
0)(2)( 2122
21 =+++ xxmxx )(2))(2(3)( 2
221
32
31
42
41 =+++−++ xxmxxmxx
36. Ecuaţia ataşată lui P(X) este x2 + 5(m – 3)x + 4m = 0. Ecuaţia ataşată noului
polinom se obţine înlocuind x cu x1 în ecuaţia anterioară. Rezultă 1 + 5(m – 3)x + 4mx2
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 143
= 0 etc. 41. Dimensiunile dreptunghiului sunt x şi p – x. Aria dreptunghiului este o funcţie de gradul II ce are valoare maximă etc. 3. Ecuaţii raţionale (98–100)
1. a) 71
91
4=
−−
− xx ⇔ –5 = 7x – 7, x ≠ 1 ⇒ 7x = 2. Ecuaţia iniţială are soluţia .
72
2. a) 02
91
4=
−−
− xx ⇔
29
14
−=
− xx ⇔ 4x – 8 = 9x – 9, x ≠ 1, x ≠ 2 ⇒ 5x = 1.
Ecuaţia iniţială are soluţia 0,2. 3. a) 09
99
=−
−− xxx ⇔ 0
99
=−−
xx ⇒ S = ∅.
4. a) 089
=−−xx ⇔ x – 8x + 72 = 0, x ≠ 9 ⇒ 7x = 72. Ecuaţia dată are soluţia .
772
5. a) 019
2=−
− xx ⇔
xx1
92
=−
⇔ 2x = x – 9, x ≠ 0, x ≠ 9 ⇔ x = –9, x ≠ 0, x ≠ 9.
Ecuaţia iniţială are soluţia –9. 6. a) 54
82
+−
=− x
xx
⇔ 2x + 10 = x2 – 12x + 32, x ≠ –5, x
≠ 8 ⇔ x2 – 14x + 22 = 0, x ≠ –5, x ≠ 8. Ecuaţia dată are }.377,377{ +−=S
7. a) 118
8=−
− xx ⇔
xx11
88
+=−
⇔ x
xx
18
8 +=
− ⇔ 8x = x2 – 7x – 8, x ≠ 0, x ≠ 8 ⇒
x2 – 15x – 8 = 0, x ≠ 0, x ≠ 8. Ecuaţia dată are ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +−
=2
25515,2
25515S .
8. a) 088
8=
−−
− xx
x ⇔ 0
88
=−−
xx ⇒ S = ∅. 9. a)
91
89
++
=−−
xx
xx ⇔ x2 – 81 = x2 – 7x –
8, x ≠ 8, x ≠ –9 ⇒ 7x = 73. Ecuaţia dată are ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
773S . 10. a) 0
65
87
=−+
−−−
xx
xx ⇔
65
87
−+
=−−
xx
xx ⇔ x2 – 13x + 42 = x2 – 3x – 40, x ≠ 8, x ≠ 6 ⇒ 10x = 82. Ecuaţia dată are
S = {8,2}. 11. a) 98
89
++
=−+
xx
xx ⇔ x2 + 18x + 81 = x2 – 64, x ≠ 8, x ≠ –9 ⇒ 18x = –145.
Ecuaţia dată are S = {–8,0(5)}. 12. a) 52
9952
++
=−+
xx
xx ⇔ 4x2 + 20x + 25 = x2 – 81, x ≠
9, x ≠ –2,5 ⇔ 3x2 + 20x + 106 = 0, x ≠ 9, x ≠ –2,5 ⇒ Ecuaţia dată nu are soluţii.
13. a) 18
1292
=+
−−−
xxx ⇔ 1
812
92
++
=−−
xxx ⇔
820
92
++
=−−
xx
xx ⇔ x2 + 6x – 16 = x2 +
11x – 180, x ≠ 9, x ≠ –8 ⇔ 5x = 164, x ≠ 9, x ≠ –8. Ecuaţia dată are S = {32,8}.
14. a) 38
698
=+
−−−
xxx ⇔
863
98
++=
−−
xxx ⇔
8303
98
++
=−−
xx
xx ⇔ x2 – 64 = 3x2 + 3x,
x ≠ 9, x ≠ –8 ⇔ 3x = –64, x ≠ 9, x ≠ –8. Ecuaţia dată are S = {–21,(3)}.
15. a) 49
37
678
2 −=
+−
−−
xxxx ⇔
493
4942656
22
2
−=
−+−−−
xxxxx ⇔ x2 – 7x – 14 = 3,
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 144
x ≠ –7, x ≠ 7 ⇔ x2 – 7x – 17 = 0, x ≠ –7, x ≠ 7. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +−
=21177,
21177S .
16. a) 343
1497
27
132 −
=++
−− xxxx
⇔ x2 + 7x + 49 – 2x + 14 = 1, x ≠ 7 etc. 17. a) y
= ,1
1−x
y2 – 3y + 2 = 0 are soluţiile 1 şi 2. Rezultă x – 1 = 1 sau x – 1 = 0,5 etc.
18.21
−+
=xxy etc. 20.
xxy 1
+= ⇒ .21 22
2 −=+ yx
x Se obţine ecuaţia y2 + 2y – 6 = 0
etc. 21. x
xy 1−= ⇒ .21 2
22 +=+ y
xx Se obţine ecuaţia y2 – 5y – 14 = 0 etc.
4. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii (102–109)
1. a) ⇒ S = {(4, 5)}. 2. a) ⇔
⇒ S = {(24, 12)}. 3. a) ⇔ ⇔
⇔ ⇒ S = {(–0,2; –0,04), (5, 1)}. 4. a) ⇔
⇔ ⇔ ⇒ S = {(4; 0,2)}. 5. a) Soluţiile sistemu-
lui sunt soluţiile ecuaţiei t
⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
=−=
⇔⎩⎨⎧
=−=
54
22124
2234
yx
yx
yxx
⎩⎨⎧
=−=
12322
yxyx
⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
=−=
1224
12342
yx
yyyx
⎩⎨⎧
=−
=
124
52 yx
yx
⎩⎨⎧
=−
=
12425
52 yy
yx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎢⎣
⎡=
−=
=
104,0
5
yy
yx
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
−=−=
15
04,02,0
yx
yx
⎩⎨⎧
=+=−
1353752
yxyx
⎩⎨⎧
=+=
1353205yx
x
⎩⎨⎧
=+=
135124
yx
⎩⎨⎧
==
2,04
yx
2 – 7t + 12 = 0. Ecuaţia are soluţiile 3 şi 4. S = {(3, 4), (4, 3)}.
6. a) x + y = S şi xy = P implică ⇔ Soluţiile sistemului sunt
soluţiile ecuaţiei t⎩⎨⎧
=−=−
183133
PPS
⎩⎨⎧
==
.65
PS
2 – 5t + 6 = 0. Ecuaţia are soluţiile 2 şi 3. S = {(2, 3), (3, 2)}. 7. a) x +
y = S şi xy = P implică ⇔ Soluţiile sistemului sunt soluţiile ecu-
aţiei t⎩⎨⎧
==−
24312
SPS
⎩⎨⎧
==
.158
PS
2 – 8t + 15 = 0. Ecuaţia are soluţiile 3 şi 5. S = {(3, 5), (5, 3)}. 8. a) x + y = S şi xy
= P implică x2 + y2 = S2 – 2P. ⇔ Soluţiile sistemului sunt
soluţiile ecuaţiei t⎩⎨⎧
==−
1021322
SPS
⎩⎨⎧
==
.65
PS
2 – 5t + 6 = 0. Ecuaţia are soluţiile 2 şi 3. S = {(2, 3), (3, 2)}.
9. a) x + y = S şi xy = P implică x⎩⎨⎧
==+
;18094122
xyyx 2 + y2 = S2 – 2P. ⇔
⇔ Soluţiile sistemului sunt soluţiile ecuaţiei t
⎩⎨⎧
==−
18094122
PPS
⎩⎨⎧
==20812
PS
⎩⎨⎧
==20
9PS || 2 – 9t + 20 = 0 sau
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 145
ale ecuaţiei t2 + 9t + 20 = 0. Prima ecuaţie are soluţiile 4 şi 5; a doua ecuaţie are soluţiile –4, –5. S = {(–5, –4), (–4, –5), (4, 5), (5, 4)}.
10. a) Aplicăm substituţia x = ty. Rezultă ⇒ ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−
2823
12833
332
yty
tyyt73
)23()8(
3
23
=+−
tytty ⇒ 56t2
– 7t = 9t + 6 ⇔ 56t2 – 16t – 6 = 0 cu soluţiile 0,5 şi .143
− sau ⎩⎨⎧
=+
=
2825,1
5,033 yy
yx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−
−=
282149
143
33 yy
yx ⇔ sau
⎩⎨⎧
==
21
yx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
.492749
3
3
y
x 11. a) x = ty. Atunci
⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−
253
113844
442
yty
tyyt
211
)53()38(
4
24
=+−
tytty ⇒ 16t2 – 6t = 33t + 55 ⇔ 16t2 – 39t – 55 = 0 cu soluţiile –1 şi
.1655 sau
⎩⎨⎧
=+−
−=
253 44 yy
yx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
216245
1655
4y
yx ⇔ sau
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎢⎣
⎡−=
=
=
11
1
yy
x
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
=
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
=
.24532
24532
24532
1655
24532
1655
4
4
4
4
y
y
x
x
12. a) t =
x1 implică ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ S = {(1, 1)}.
⎩⎨⎧
=−=+
4261138
ytyt
⎩⎨⎧
=−=+
1261822616
ytyt
⎩⎨⎧
==
11
yt
⎩⎨⎧
==
11
yx
13. a) ,1x
u = y
v 1= ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ S = {(2,
1)}. 14. a) x ≠ 2, y ≠ –3.
⎩⎨⎧
=+−=−856
134vuvu
⎩⎨⎧
=+−=−241518
51520vuvu
⎩⎨⎧
==
15,0
vu
,2
1−
=x
u 3
1+
=y
v ⇒ ⇔ ⎩⎨⎧
=+=−589
21215vu
vu
⎩⎨⎧
=+=−
15242742430
vuvu
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
4131
v
u ⇒ S = {(3, 4)}. 15. a) x ≠ 0, y ≠ 0. .
yxt = 21
=+t
t ⇒ t2 –
2t + 1 = 0 ⇒ t = 1. ⇔ ⇒ S = {(2, 2)}. 16. a) x⎩⎨⎧
==
105yyx
⎩⎨⎧
==
2yyx 2 + 5x – 3 = 0 ⇔
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−=
−−=
.2
3752
375
x
x 17. a) (x2 + 7x)(x2 – 6) = 0 ⇔ ⇔
⎢⎢⎣
⎡
=−
=+
06
072
2
x
xx
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−=
−==
.66
70
xxxx
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 146
18. a) ⇔ ⎢⎣
⎡
=−−
=−
0123
0722 xx
x
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
=
=
.31
127
x
x
x
19. a) ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
=−+
=−−
0123
0542
2
xx
xx
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−=
=−=
).3(,01
51
xxxx
20. a) ⇔ 21. a) x ≠ 1,5. ⎢⎢⎣
⎡
=−+
=−−
0123
0542
2
xx
xx
⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
−=
).3(,05
1
xxx
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
0123
123
2
2 xxx ⇔
⇔ ⇒ S = {–0,(3); 1; 1,5}. 22. a) x ≠ –3, x ≠ 3.
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−==
=−
)3(,01
223
xx
x
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−===
)3(,01
5,1
xxx
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
+−
034511
09
13
2
2
2
xxxx ⇔
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
=−
=−
1117
29
13
22
x
xxx
⇔
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−=
−=
21117
5,2
x
x
x
⇒ S = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −− 2;
1117;5,2 . 23. a) x ≠ –4, x ≠ 4.
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−−
=−
−−
07411
216
14
5
2
2
xxxx ⇔
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
=−
=−−
227
5,016
124
52
x
xxx
⇔
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
=−
=−−
227
5,016
14213
2
x
xxx
x
⇔
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−=
=+−
5,0227
05252 2
x
x
xx
⇔
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−=
==
.5,0227
5,64
x
x
xx
24. a) | 2x – 3 | = 5 ⇔ ⇔ ⇒ S = {–1, 4}. ⎢⎣
⎡=−
−=−532
532xx
⎢⎣
⎡=
−=4
1xx
25. a) ⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−
=+
−−
0145
25
16
4
2 xxxx ⇔ 2
51
64
++
=− xx
⇔ 57
64
++
=− x
xx
⇔ 0)5)(6(
6232
=+−
−−xx
xx
⇒ S = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +−
22573,
22573 . 26. a)
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=+−−
=+
−−
0)35)(4(
36
15
5
22 xxxxxx ⇔
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
−=
=
++
=−
2135
2135
0
36
15
5
x
x
xxx
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 147
⇔
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
−=
=++
=−
2135
2135
06193
55
x
x
xxx
x
etc. 27. a) | x2 – 5x | = 5 ⇔ ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
−=−
=−
55
552
2
xx
xx
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
−=
+=
−=
.2
5352
5352
552
55
x
x
x
x
29. a) ⇔ ⇔ ⇔ ⎩⎨⎧
=−+−=−++
82643231
nmxnmx
⎩⎨⎧
=+−=+
6643
nmnm
⎩⎨⎧
−==+29
43m
nm
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=+−
32
432
m
n ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
.32
324
m
n 30. a) Suma coeficienţilor este P(1). ⇔
⇔ ⇔ ⇔ etc. 31. a) Re-
zolvaţi sistemul ⇔ etc. 32. a) Se rezolvă sis-
temul simetric 33. a) Se adună ecuaţiile! ⇔ ⇔
b) După substituţiile
⎩⎨⎧
=−−−=−+−
182565112565
nmnm
⎩⎨⎧
=−−=−
19251225
nmnm
⎩⎨⎧
=−−=−
19251225
nmnm
⎩⎨⎧
=+−−=
193155,15
mn
⎩⎨⎧
=−=
255,15
mn
⎩⎨⎧
=+−−−−=+−+−
025250210840
nmnm
⎩⎨⎧
=−−−=−553410
nmnm
⎩⎨⎧
==+
.367
xyyx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=+
635
zyzxyx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+
=++
63
7
zyzx
zyx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
.241
zyx
,1x
u = v = ,1y
t = z1 se continuă ca la punctul a).
34.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
494
338
xyyx
xyyx
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
494
338
xy
xy etc. 35.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=+
41
203
71
169
yxxy
yxxy
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=+
4203
7169
xyyx
xyyx
etc.
36. Fie .1,1 vy
ux
== Rezultă sistemul simetric etc. 37. Sistemul este
simetric omogen. Fie x + y = S şi xy = P etc. ⎩⎨⎧
=+
=+
29
722 vu
vu
38. x ∈ R+, y ∈ R+. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=++
3
72
yx
xyyx ⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=+
3
7
yx
yx etc.
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 148
39. a) ⇒ etc. 40. Rezolvaţi sistemul 42. Un
robinet umple bazinul în x minute, iar al doilea – în y minute. Rezolvaţi sistemul
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
201512
yzxzxy
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
2015
3600222
yzxz
zyx
⎩⎨⎧
=+
−=−
.74
222 yx
yx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
.17020
14530
yx
yx 43. Se ţine cont că 56
=+ yxxy ⇒
65
=+xy
yx ⇒ 6511
=+xy
etc. 46. Siste-
mul este simetric. 47. Înlocuind x cu 1 – x, 1 – x se înlocuieşte cu x şi se obţine f(1 – x) + 3f(x) = 5(1 – x)2 + 2(1 – x) etc. f(x) se află eliminând f(1 – x) din relaţia iniţială şi cea obţinută anterior. 48. Se înlocuieşte X cu 2 – X, de unde 2 – X se înlocuieşte cu X. Se
continuă ca la ex. 47. 49. 5,22
=−a
b ⇒ b = –5a; 25,04
42
−=−
−a
acb ⇒ b2 – 4ac = a; c
= 6 etc. 50. Fie x2 – 3x – 2 = t2. Atunci x2 – 3x = t2 + 2 etc. Cap VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii (114–122) 1. a) (–', 13). 2. a) [–2,8; '). 3. a) S = [–4,7; 4,7]. 4. a) S = (–'; 8,4] ∪ [8,4; '). 5. a) S = (–'; 2,(3)). 6. a) –8x < 5 ⇔ x > – 0,625 ⇒ S = (– 0,625; '). 7. a) 4x − 7 < 0 ⇔ 4x < 7 ⇔ x < 1,75 ⇒ S = (–'; 1,75). 8. a) –5x + 13 < 0 ⇔ 5x > 13 ⇔ x > 2,6 ⇒ S = (2,6; '). 9. a) 4x − 3 < 14 ⇔ 4x < 17 ⇔ x < 4,25 ⇒ S = (–'; 4,25). 10. a) –2x + 11 < 9 ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 1 ⇒ S = (1, '). 11. a) 2(x + 3) < 15 ⇔ 2x + 6 < 15 ⇔ 2x < 9 ⇔ x < 4,5 ⇒ S = (4,5; '). 12. a) 2(–x + 7) ≥ 3 ⇔ –2x + 14 ≥ 3 ⇔ x ≤ 5,5 ⇒ S = (–'; 5,5].
13. a) 03
3≤
−x ⇔ x – 3 < 0 ⇔ x < 3 ⇒ S = (–', 3). 14. a) 0
132
<−x
⇔ 3x – 1 < 0 ⇔
3x < 1 ⇒ S = (–'; 0,(3)). 15. a) 5x + 3 ≤ 7x − 4 ⇔ –4x ≤ –7 ⇔ 4x ≥ 7 ⇔ x ≥ 1,75 ⇒ S = [1,75; '). 16. a) 2(x − 3) ≤ 10x − 7 ⇔ 2x – 6 ≤ 10x –7 ⇔ 8x ≥ 1 ⇔ x ≥ 0,125 ⇒ S = [0,125; '). 17. a) 3(x − 1) ≤ 4(x − 3) ⇔ 3x – 3 ≤ 4x –12 ⇔ x ≥ 9 ⇒ S = [9, '). 18. a) (x + 2)2 ≥ (x + 3)(x – 3) ⇔ x2 + 4x + 4 ≥ x2 – 9 ⇔ 4x ≥ –13 ⇔ x ≥ –3,25 ⇒ S = [–3,25; '). 19. a) (x + 3)2 ≤ (x − 2)2 ⇔ x2 + 6x + 9 ≤ x2 – 4x + 4 ⇔ 10x ≤ –5 ⇔ x ≤ –2 ⇒ S =
(–', –2]. 20. a) ⇔ ⇒ S = ∅. 21. a) ⇔ ⇒ S =
(0,(3); 0,5). 22. a) ⇔ ⇒ S = (0,(6); 1,5). 23. a) –2 < 3x < 18
⇔ ⇔ ⇒ S = (–
⎩⎨⎧
>−<+
1732
xx
⎩⎨⎧
><
81
xx
⎩⎨⎧
>−<−
013012
xx
⎩⎨⎧
><
)3(,05,0
xx
⎩⎨⎧
<+>−
1154113
xx
⎩⎨⎧
<>
5,1)6(,0
xx
⎩⎨⎧
<−>8,1323
xx
⎩⎨⎧
<−>
6,0)6(,0
xx
0,(6); 1,6). 24. a) –2 < x + 7 < 13 ⇔
⇔ ⇒ S = (–⎩⎨⎧
<+−>+137
27xx
⎩⎨⎧
<−>6
9xx
9, 6). 25. a) –5 < 4 – x < 25 ⇔ ⇔
⇒ S = (–21, 9). 26. a) –8 < 9 – 2x < 25 ⇔ ⇔ ⇒ S =
⎩⎨⎧
<−−>−254
54xx
⎩⎨⎧
−><
219
xx
⎩⎨⎧
<−−>−2529
829xx
⎩⎨⎧
−><
85,8
xx
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 149
(–8; 8,5). 27. a) | 2x | ≤ 5 ⇔ ⇔ ⇒ S = [–2,5; 2,5]. 28. a) | x + 7 | ≤
2 ⇔ ⇔ ⇒ S = [–9, –5]. 29. a) | 5 – x | ≤ 7 ⇔ | x – 5 | ≤ 7 ⇔
⇔ ⇒ S = [–2, 12]. 30. a) | 2x + 9 | ≤ 5 ⇔ ⇔
⇒ S = [–7, –2]. 31. a) x
⎩⎨⎧
≤−≥52
52xx
⎩⎨⎧
≤−≥
5,25,2
xx
⎩⎨⎧
≤+−≥+27
27xx
⎩⎨⎧
−≤−≥
59
xx
⎩⎨⎧
≤−−≥−75
75xx
⎩⎨⎧
≤−≥12
2xx
⎩⎨⎧
≤+−≥+592
592xx
⎩⎨⎧
−≤−≥
27
xx 2 + 5x – 6 = 0, x ∈ R ⇔ 32. a) ⇔
⇔ ⇒ S = (–', 4) ∪ (–2, ') = R. 33. a) ⇔
⇔ ⇒ S = (–', 19) ∪ (–10, ') = R. 34. a) ⇔
⇔ ⇒ S = (–'; 12,5) ∪ (–1, ') = R. 35. a) | 2x | ≥ 33 ⇔
⇔ ⇒ S = (–', –33) ∪ (33, '). 36. a) | x + 3 | ≥ 9 ⇔
⇔ ⇔ ⇒ S = (–', –12) ∪ (6, '). 37. a) | 7 – x |
≥ 99 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ S = (–', –92) ∪ (106, ').
⎢⎣
⎡=
−=.16
xx
⎢⎣
⎡>+<−
0204
xx
⎢⎣
⎡−>
<2
4xx
⎢⎣
⎡−∈−∈
),2()4,(
''
xx
⎢⎣
⎡>+<−
212811
xx
⎢⎣
⎡−>
<10
19xx
⎢⎣
⎡−∈−∈
),10()19,(
''
xx
⎢⎣
⎡>+<−2538172
xx
⎢⎣
⎡−>
<1
5,12xx
⎢⎣
⎡−∈−∈
),1()5,12;(
''
xx
⎢⎣
⎡>
−<332
332xx
⎢⎣
⎡∈
−−∈),33(
)33,('
'xx
⎢⎣
⎡>+
−<+93
93xx
⎢⎣
⎡>
−<6
12xx
⎢⎣
⎡∈
−−∈),6(
)12,(''
xx
⎢⎣
⎡>−
−<−997
997xx
⎢⎣
⎡>
−<106
92xx
⎢⎣
⎡∈
−−∈),106(
)92,('
'xx
38. a) | 2x – 1 | ≥ 13 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ S = (–', –6) ∪
(7, '). 39. a) | 3 – 2x | ≥ 18 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ S =
(–'; –7,5) ∪ (10,5; '). 40. a) 2X
⎢⎣
⎡>−
−<−1312
1312xx
⎢⎣
⎡>
−<7
6xx
⎢⎣
⎡∈
−−∈),7(
)6,('
'xx
⎢⎣
⎡>−
−<−1832
1832xx
⎢⎣
⎡>
−<5,105,7
xx
⎢⎣
⎡∈
−−∈),5,10(
)5,7,('
'xx
2 – 3X – 5m trebuie să aibă ∆ ≥ 0. 9 + 40m ≥ 0 ⇔ m ≥ 4,(4). m ∈ [4,(4); '). 41. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 1 – 9m + 3 ≥ 0 ⇔ m ≤ 0,(4). m ∈ (–'; 0,(4)]. 42. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 1 + 6m + 8 ≥ 0 ⇔ m ≥ –1,5. m ∈ [–1,5; '). 43. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 1 + 7m – 14 ≥ 0 ⇔
m ≥ .7
13 44. a) ∆ ≥ 0 ⇒ 9 + 32m ≥ 0 ⇔ m ≥ –0,28125. m ∈ [–0,28125; ').
45. a) ∆ ≤ 0 ⇒ 1 – 3m + 9 ≤ 0 ⇔ m ≥ 3,(3). m ∈ [3,(3); '). 46. a) ∆ ≤ 0 ⇒ 1 + 9m + 3 ≤ 0 ⇔ m
≤ –0,(4). m ∈ [–0,(4); '). 47. a) ∆ > 0 ⇒ 9 + 21m + 6 > 0 ⇔ m > .75
−
48. a) ∆ > 0 ⇒ 25 + 15m – 21 > 0 ⇔ m > .154
− 49. a) x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7. D = [7; ').
50. a) 2x – 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4,5. D = [4,5; '). 51. a) 3x – 10 > 0 ⇔ x > 3,(3) ⇒ D = (3,(3); ').
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 150
52. a) x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 ⇒ D = [5, '). 53. a) 2x – 11 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5,5 ⇒ D = [5,5; '). 54. a) 3x – 2,4 > 0 ⇔ x > 0,8 ⇒ D = (0,8; '). 55. a) x – 2,6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2,6. x ∈ [2,6; '). 56. a) 3,2 – 4x > 0 ⇔ x < 0,8. x ∈ (–'; 0,8). 57. a) 3,7 – x > 0 ⇔ x < 3,7. x ∈ (–'; 3,7). 58. a) 7 cm. 59. a)
05312
<+−
xx ⇔ (2x – 1)(3x + 5) < 0 ⇒ S = (–1,(6); 0,5).
60. a) 24
1<
−x ⇔ 02
41
<−−x
⇔ 04
92<
−+−
xx etc. 61. a)
121
71
−<
− xx ⇔
)12)(7(7
)12)(7(12
−−−
<−−
−xx
xxx
x ⇔ 0)12)(7(
712<
−−+−−
xxxx ⇔ 0
)12)(7(6
<−−
+xx
x ⇔
etc. 62. a)
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎩⎨⎧
>−−<+
⎩⎨⎧
<−−>+
0)12)(7(06
0)12)(7(06
xxx
xxx
311 ≤<x
⇔ 0,(3) < x < 1 etc. 66. (x – 2)(3 – x)(x + 4) ≥ 0 ⇔
⇔ etc. 68. a)
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎩⎨⎧
≤−≤−+
⎩⎨⎧
≥−≥−+
03082
03082
2
2
xxx
xxx
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎩⎨⎧
−∈−∈
⎩⎨⎧
−∈−−∈
),3[]2,4[
]3,(),2[]4,(
'
'''
xx
xx U
35
2≤
−x ⇔ | x – 5 | ≥ 0,(6) etc.
69. a) etc. 71. a) ⇔ etc. ⎩⎨⎧
>−≥−
034052
xx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<−≤−
029043052
xxx
x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥>≤
075,05,2
xxx
74. a)
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−≤−
<−
≤−
<
13
15
71
13
x
x ⇔
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−<−≤−
<−≤
5131
311
71
x
x etc. 75. a) 25a2 + 9b2 ≥ 30ab. 76. a) 3c + d ≥
.32 cd 77. a) 9a2 + 25b2 + 49c2 ≥ 15ab + 21ac + 35bc. 78. a) 23216
≤+−
xx ⇔
232162 ≤
+−
≤−xx
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥+
++−
≤+
−−−
032
6216
032
6216
xxx
xxx
etc. 79. a) | 3x – 9 | ≤ | 4x + 1 | ⇔
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨⎧
+≤−
≤≤−
⎩⎨⎧
+≤−>
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−≤−
−≤
1439
341
14933
143941
xx
x
xxx
xx
x
etc. 81. a) ⇔ etc. ⎩⎨⎧
≤−<−
7831
||
||
xx
⎩⎨⎧
≤−≤−<−<−
787313
xx
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 151
82. a) ⇔ etc. ⎢⎣
⎡≥−
<−1911
86||
||
xx
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−≤−≥−
<−<−
xxx
11191911
868
84. a = ,00420032...
1211
109
87
⋅⋅⋅⋅ a < ,00520042...
1312
1110
98
⋅⋅⋅⋅ a > 00320022...
1110
98
76
⋅⋅⋅⋅ etc.
2. Inecuaţii de gradul II. Metoda intervalelor (123–127) 1. Rezolvarea este ilustrată în stânga.
2. a) f are zerourile 2
233151
−−=x şi .
223315
2+−
=x f(x) < 0 pe
intervalul (x1, x2) şi f(x) > 0 pe (–', x1) ∪ (x2, '). 3. a) f are zeroul –1,5, f(x) = (2x + 3)2 ≥ 0. 4. a) f nu are zerouri f(x) = 5x2 + 2x + 1 > 0.
5. a) S = (–3, –2). 6. a) S = (–', –1] ∪ [0,(2); '). 7. a) S = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−140
30111,140
30111 .
x
y
O
8. a) 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2 > 0. S = R \ {0,(6)}. 9. a) S = ∅. 10. a) S = R.11. a) S =
∅. 12. a) S = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− '' ,
75)0,( U . 13. a) 0
123
2 ≥+ xx
⇔ x2 + 12x > 0. S = (–', –12) ∪
(0, '). 14. a) x ∈ ).,15[]15,( '' U−− 15. a) Expresia are sens pentru x2 – 5x – 104 > 0. x ∈ (–', –8) ∪ (13, '). 16. a) Expresia are sens pentru –x2 – 5x + 3 > 0. x ∈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−−−2
375,2
375 . 17. a) x2 − 2x + 1 ≤ 4 ⇔ x2 − 2x – 3 ≤ 0. S = [–1, 3]. 18. a) (x +
2)2 < 5 ⇔ | x + 2 | < 5 ⇔ – 5 < x + 2 < 5 ⇔ –2 – 5 < x < –2 + 5 ⇒ S = (–2
– ,5 –2 + 5 ). 19. a) ⇔ ⎩⎨⎧
>−<−−
020132
xxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−∈
),2(2
133,2
133
'x
x ⇒
S = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
2
133,2 . 20. a) –2 < x2 + 4x < 5 ⇔ ⇔ ⇒ S
=
⎪⎩
⎪⎨⎧
<+
−>+
54
242
2
xx
xx⎪⎩
⎪⎨⎧
<−+
>++
054
0242
2
xx
xx
),22()22,( '' +−−−− U ∩ (–5, 1) = ).1,22()22,5( +−−−− U
21. a) ⇒ S = (–2, 2) ∩ ((–', 0] ∪ [1, ')) = (–2, 0] ∪ [1, 2). ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
<−
0
042
2
xx
x
22. a) | x2 + 2x | ≤ 5 ⇔ –5 ≤ x2 + 2x ≤ 5 ⇔ ⇔ ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧
−≥+
<+
52
522
2
xx
xx⎪⎩
⎪⎨⎧
≥++
<−+
052
0522
2
xx
xx
⎩⎨⎧
∈+−∈
Rxx )61,61(
⇒ S = ).61,61( +− 23. a) | x2 – 7 | ≤ 3 ⇔ –3 ≤ x2 – 7 ≤ 3 ⇔
⇔ ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧
−≥−
≤−
37
372
2
x
x⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
≤−
04
0102
2
x
x
⎩⎨⎧
−∈−∈
]2,2[]10,10[
xx
⇒ S = [–2, 2]. 24. a) | x2 + 10x +
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 152
1 | ≤ 8 ⇔ –8 ≤ x2 + 10x + 1 ≤ 8 ⇔ ⇔ ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧
−≥++
≤++
8110
81102
2
xx
xx⎪⎩
⎪⎨⎧
≥++
≤−+
0910
07102
2
xx
xx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−∈
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−−∈
),1()9,(2
245,2
245
'' Ux
x ⇒ S = ⎥
⎦
⎤⎜⎜⎝
⎛ +−−
2245,1 . 25. a) S = ).3,0[ 26. a) | x2
– 7 | ≥ 5 ⇔ ⇔ ⇔ ⎢⎢⎣
⎡
−≤−
≥−
57
572
2
x
x
⎢⎢⎣
⎡
≤−
≥−
02
0122
2
x
x
⎢⎢⎣
⎡
−∈
−−∈
]2,2[),32[]32,(
xx '' U
⇒
S = ),32[]2,2[]32,( '' UU −−− . 27. a) | x2 – 10x | ≥ 5 ⇔ ⇔
⇔
⎢⎢⎣
⎡
−≤−
≥−
510
5102
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
≤+−
≥−−
0510
05102
2
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
+−∈
+−−∈
]525,525[),305[]305,(
xx '' U
⇒
S = U]305,( −−' ),305[]525,525[ '++− U . 28. a) Fie f(x) = (x2 + 5x)(x2 – 8x). Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului
x –' –5 0 8 ' f(x) + 0 – 0 – 0 +
S = (–5, 8) \ {0}. 29. a) Fie f(x) = (x2 – 1)(x2 – 3). Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului
x –' –1 3− 1 3 ' f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 +
S = (–1, 3− ) ∪ (1, 3 ). 30. a) Fie f(x) = (x2 – 2x + 1)(x2 – 3x + 2). Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului
x –' 1 2 ' f(x) + 0 – 0 +
S = [1, 2]. 31. a) Fie f(x) = .7332
+−
xx Mulţimea soluţiilor se identifică conform tabelului
x –' –2,(3) 1,5 ' f(x) + || – 0 +
S = (–2,(3); 1,5). 32. a) Fie f(x) = .65
232 −−
−xx
x Mulţimea soluţiilor se identifică conform
tabelului x –' –1 1,5 6 '
f(x) – || + 0 – || +
S = (–1; 1,5]∪(6, '). 33. a) Fie f(x) = .369
352
2
−−−xx
xx Mulţimea soluţiilor se identifică con-
form tabelului x –' –3 0,6 12 '
f(x) + || – 0 + || –
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 153
S = (–3; 0,6)∪(12, '). 34. a) Rezolvaţi inegalitatea ∆ < 0. (m – 2)2 – 48 < 0 ⇔ | m – 2 | < 34 etc. 35. a) R. 36. a) x2 – 5x < 0.
37. Rezolvaţi sistemul 39. ⇔
etc. 40. ⇔ etc. 41.
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−−
≥+−
.01640
015142
2
xx
xx⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−−
<−−
02611
4792
2
xx
xx ||
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−−
⎪⎩
⎪⎨⎧
−>−−
<−−
02611
479
479
2
2
2
xx
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
≥−−
<−−
04512
36102
2
xx
xx ||
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
≥−−
⎪⎩
⎪⎨⎧
−>−−
<−−
04512
3610
3610
2
2
2
xx
xx
xx|
1774723
2
2
≤−−+−
xxxx ⇔
0774
7747232
22
≤−−
++−+−xx
xxxx etc. 42. 01
332
1≥
+−
− xx ⇔ 0
32961
≥−
+−+x
xx etc.
43. ⇔ etc. 44. ⇔
etc. 45.
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤+−
<+−
459
11582
2
||
||
xx
xx
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥+−
≤+−
⎪⎩
⎪⎨⎧
−>+−
<+−
459
459
1158
1158
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
⎢⎢⎣
⎡
≤+−
<+−
5210
2472
2
||
||
xx
xx
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎩
⎪⎨⎧
−≥+−
≤+−
⎪⎩
⎪⎨⎧
−>+−
<+−
5210
5210
247
247
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
24213
751 2 <−−
−≤
xxx ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−−
−
<−−
−
24213
75
24213
75
2
2
xxx
xxx
etc.
46. 113
132
2≤
−−
− xx ⇔ 01
131
322
≤−−
−− xx
⇔ 013
13132
2≤
−+−
−− x
xx
etc.
47. 110211
532 <
−−−xx
x ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−>−−
−
<−−
−
110211
53
110211
53
2
2
xxx
xxx
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−−
−−+−
<−−
++−−
010211
1021153
010211
1021153
2
2
2
2
xxxxx
xxxxx
etc.
48. 57510
541 2 <−−
−<
xxx ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−−
−
<−−
−
17510
54
57510
54
2
2
xxx
xxx
etc.
49. Rezolvaţi sistemul de inecuaţii ⇒ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<>
0>∆
00
PS
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<−
>−−−
>−
05
10)1(20)3(
05
3
2
mmm
m
etc.
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 154
50. Rezolvaţi sistemul de inecuaţii unde f este funcţia ataşată polinomului,
f(x) = 2x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>>
0≥∆
,0)1(2
fS
2 – (m – 1)x + 3m. Rezultă
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+−−
>−
>−−
03)1(2
02
1024)1( 2
mm
mmm
etc.
51. Rezolvaţi sistemul de inecuaţii unde f este funcţia ataşată polinomului,
f(x) = 3x
⎩⎨⎧
<0>∆
,0)1(f
2 – (m – 2)x + 4m. Rezultă
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<+−−
>−
>−−
04)2(3
03
2048)2( 2
mm
mmm
etc.
52. Examinaţi reprezentarea grafică!
xx 2x 1 xx 2 x3x1
53. Ţineţi cont de sugestia oferită de reprezentarea grafică!
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 155
Prefaţă ........................................................................................................................... 3 Capitolul I. Recapitulare şi completări ..................................................................... 4 1. Mulţimea numerelor reale ................................................................................... 9
2. Operaţii cu numere reale ................................................................................... 12 Capitolul II. Puteri cu exponent raţional ............................................................... 18
1. Radicali de ordinul n ......................................................................................... 20 2. Puteri cu exponent raţional ............................................................................... 25
Capitolul III. Funcţii ................................................................................................ 31 1. Noţiunea de funcţie ........................................................................................... 36 2. Funcţii numerice ................................................................................................ 42 3. Funcţia de gradul II ........................................................................................... 47 4. Funcţia putere ................................................................................................... 55
Capitolul IV. Polinoame şi fracţii algebrice ........................................................... 58 1. Recapitulare şi completări ................................................................................. 62 2. Împărţirea polinoamelor ................................................................................... 68 3. Divizibilitatea polinoamelor ............................................................................. 71 4. Fracţii algebrice ................................................................................................ 76
Capitolul V. Ecuaţii. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ............................................... 83 1. Ecuaţii de forma ax + b = 0, a ∈ R, b ∈ R ...................................................... 88 2. Ecuaţii de gradul II cu o necunoscută ............................................................... 93 3. Ecuaţii raţionale ................................................................................................ 98 4. Sisteme şi totalităţi de ecuaţii ......................................................................... 102
Capitolul VI. Inecuaţii. Sisteme şi totalităţi de inecuaţii ..................................... 111 1. Inecuaţii de gradul I. Recapitulare şi completări ............................................ 114 2. Inecuaţii de gradul II cu o necunoscută. Metoda intervalelor.......................... 123
Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri .......................................................................... 129 Capitolul I ............................................................................................................ 129 Capitolul II .......................................................................................................... 131 Capitolul III ........................................................................................................ 132 Capitolul IV ........................................................................................................ 138 Capitolul V .......................................................................................................... 141 Capitolul VI ........................................................................................................ 149