ALGEBRA II

Disciplin obligatorie; Anul I, Sem. 2, ore sptmnal, nvmnt de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.

I. CONINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI

Spaii vectoriale. Aplicaii liniare. Subspaii vectoriale. Subspaiu vectorial factor. Teorema de izomorfism. (D. Ion, S. Barz, L. Tufan Lecii de algebr II, Ed. Fundaiei Romania de Maine, Bucureti, 2004, pag 9-38)

Baze intr-un spaiu vectorial. Dimensiunea unui spaiu vectorial. Transformarea coordonatelor la schimbarea bazelor. (D. Ion, S. Barz, L. Tufan Lecii de algebr II, Ed. Fundaiei Romania de Maine, Bucureti, 2004, pag 9-38)

Aplicaii multiliniare alternate: determinani. Matrici inversabile. Regula lui Cramer. Rangul unei matrice. Sisteme de ecuaii liniare. (D. Ion, S. Barz, L. Tufan Lecii de algebr II, Ed. Fundaiei Romania de Maine, Bucureti, 2004, pag 39-91)

Teorema mpririi cu rest n Z i K[X]. Polinoame ireductibile. Descompunerea unui polinom n produs de polinoame ireductibile. (D. Ion, S. Barz, L. Tufan Lecii de algebr II, Ed. Fundaiei Romania de Maine, Bucureti, 2004, pag 92-105)

Algebra endomorfismelor unui spaiu vectorial finit dimensional. Vectori i valori proprii. Polinomul caracteristic i polinomul minimal. (D. Ion, S. Barz, L. Tufan Lecii de algebr II, Ed. Fundaiei Romania de Maine, Bucureti, 2004, pag 115-130)

Teoremele Hamilton-Cayley i Frobenius. Matrice asemenea. Forma canonic Jordan. (D. Ion, S. Barz, L. Tufan Lecii de algebr II, Ed. Fundaiei Romania de Maine, Bucureti, 2004, pag 115-130)

II. BIBLIOGRAFIE MINIMAL OBLIGATORIE

D. Ion, S. Barz, L. Tufan Lecii de algebr II, Ed. Fundaiei Romania de Maine, Bucureti, 2004

L. Tufan Algebr. Culegere de probleme, Ed. Fundaiei Romania de Maine, Bucureti, 2000 L. Tufan Module. Teoria corpurilor., Ed. Fundaiei Romania de Mine, Bucureti, 2002

Test de autoevaluare

1) Fie vectorii v1, v2, v R3. ( )1 1, 2, 3v = i ( )2 0, 1, 1v = S se scrie vectorul ( )1, 2, 4v =

ca o combinaie liniar a vectorilor v1 i v2.

Rezolvare Conform definiiei trebuie s aflm scalarii 1 i 2 astfel nct v = 1v1 + 2 v2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 1 2

1, 2, 4 1, 2, 3 0, 1, 11, 2, 4 1, 2, 3 + 0, 1, 11, 2, 4 , 2 + , 3 +

= +

=

=

sau altfel scris obinem urmtorul sistem cu necunoscutele 1, 2. 1 1

1 2 2

1 2 2

1 12 2 43 4 7

= =

+ = = + = =

sistem incompatibil sau putem afirma c vectorul v nu se

poate scrie ca o combinaie liniar a vectorilor v1 i v2.

2) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 30, 2, 1 ; 1, , 1 ; , 0, 1 ; Rv v m v m m= = = Determinai parametrul m R astfel nct vectorii v1, v2, v3 s fie liniar independeni.

Rezolvare Aplicnd definiia trebuie s punem condiia ca toi scalarii 1, 2, 3 R s fie nuli n egalitatea: 1v1 + 2v2 + 3v3 =0, sau transformnd aceast egalitate ntr-un sistem de ecuaii liniare omogene cu solutie nula unica, atunci obligatoriu trebuie s punem conditia ca determinantul matricii format din vectorii v1, v2, v3 s fie nenul:

det A 0 0 12 01 1 1

m

m

0 0 + 0 2m m2 0 2 0

m2 + 2m + 2 0 (m+1)2 + 1 0 () m R Aadar vectorii sunt liniar independeni pentru () m R

3) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 2 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1v v v= = = , v1, v2, v3 R3 Vectorii v1, v2, v3 formeaz o baz a spatiului vectorial R3 ?

Rezolvare Pentru a demonstra c sistemul format din trei vectori v1, v2, v3 (numarul vectorilor din baza trebuie sa fie egal cu dimensiunea spatiului in care se lucreaza) formeaz baza este suficient s demonstrm c este un sistem liniar independent

112211111

0 Vectorii v1, v2, v3 formeaz o baz a spatiului vectorial R3

4) Exprimati vectorul ( )3, 1, 2v = n baza unitar.

Rezolvare n spaiul R3 vectorii unitari sunt ( ) ( ) ( )1 2 31, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1e e e= = = i atunci putem scrie v = -3e1 + 1 e2 + 2 e3. 5) Aplicaia T : R2 R3 unde T(x1, x2) = (x1 + x2, x2, x1x2) este o aplicaie liniar ? Rezolvare Vom arta c:

T(x + y) = T(x) + T(y) () , R, x, y R2 T(x1 + y1, x2+ y2) = T(x1, x2) + T(y1, y2) (x1 + y1 + x2 + y2, x2 y2, x1 y1 x2 y2) = = (x1 + x2, x2, x1 x2) + (y1 + y2, y2, y1 y2) (A).

6) Fie aplicaia liniar T : R2 R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, x2, x1 x2) S se determine matricea asociat aplicaiei liniare T n raport cu perechea de baze: B = {a1, a2} i B = {b1, b2, b3}, unde

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2 3

1, 1 , -1, 3 ; 1, 1, 1 , 1, 3, 4 , 5, -1, 0a a

b b b= =

= = =

Rezolvare T(a1) = T(1, 1) = (2, 1, 2) T(a2) = T(1, 3) = (2, 3, 2). Coordonatele acestor doi vectori n baza B sunt: (10/4, 9/8, 1/8) i respectiv (5/2, 1/8, 7/8). Deci

( )

=

87

81

81

89

25

410

TM'B,B

7) Fie aplicaia liniar T : R2 R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, x2, x1 x2) S se determine matricea asociat aplicaiei liniare T n raport cu bazele canonice.

Rezolvare Bazele canonice sunt B = {e1, e2}, ( ) ( )1 21, 0 , 0, 1e e= = i

{ } ( ) ( ) ( )' ' '1 2 3 1 2 3' , , , 1, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1B e e e e e e= = = =' ' ' T(e1) = T(1, 0) = (1, 0, 1) T(e2) = T(0, 1) = (1, 1, 1). Coordonatele acestor doi vectori n baza B sunt (1, 0, 1) i respectiv (1, 1, 1) i deci

( )

=

1110 1 1

TM'B,B

8) Fie T : R3 R3 o aplicaie liniar a crei matrice asociat n raport cu baza canonic este:

=

130310004

AT

S se afle valorile proprii asociate acestui operator.

Rezolvare

Polinomul caracteristic ( ) ( )34 0 0

det A 0 1 30 3 1

P E

= =

i atunci ecuaia

caracteristic va fi: (-4)2 (+2)= 0 Valorile proprii sunt soluiile acestei ecuaii: 1 = 2 = 4 i 3 = 2.

9) Fie T : R3 R3 o aplicaie liniar a crei matrice asociat n raport cu baza canonic este:

=

130310004

AT

S se afle vectorii proprii asociai acestui operator.

Rezolvare

Vectorii proprii asociai valorii proprii se afl rezolvnd ecuaia: T(v) = v

Polinomul caracteristic ( ) ( )34 0 0

det E A 0 1 30 3 1

P

= =

i atunci ecuaia

caracteristic va fi: (-4)2 (+2)= 0 Valorile proprii sunt soluiile acestei ecuaii: 1 = 2 = 4 i 3 = 2. Aadar, fie 1 = 2 = 4, atunci vom rezolva ecuaia T(v) = 4v, v R3

=

=

=

=+

=+

=

RvvRv

vv

vv

v4vv3v4v3v

v4v4

32

1

23

11

332

232

11

Deci v = (k, h, h), unde k, h R i nu sunt simultan nuli, este vectorul propriu cutat asociat valorii = 4.

Fie 3 = 2 atunci vom rezolva ecuaia T(v) = -2v, v R3

=

=

=+

=+

=

Rvv0v

v2vv3v2v3v

v2v4

32

1

332

232

11

Deci v = (0, p, p), unde p R nenul, este vectorul propriu asociat valorii = 2. 10) Cu ajutorul transformarilor elementare calculati detA, pentru matricea urmatoare

( )42 1 2 12 6 4 5

,

4 8 4 20 10 4 3

A A M

=

.

Vom efectua o serie de transformari elementare de tip I sau II aplicate liniilor lui A, reducand-o la forma superior triunghiulara T, ceea ce ne permite sa calculam det detA T= .

2 1 2 12 6 4 54 8 4 20 10 4 3

A

=

2 2 1

3 3 1

,

2L L LL L L

+

2 1 2 10 5 2 40 10 0 40 10 4 3

B

=

.

In continuare, pentru a avea numai 0 si sub cel de al doilea numar dupa diagonala lui B, efectuam transformarile elementare urmatoare

2 1 2 10 5 2 40 10 0 40 10 4 3

B

=

3 3 3

4 4 2

22

L L LL L L

+

2 1 2 10 5 2 40 0 4 120 0 8 5

C

=

.

Transformam in 0 si coeficientul lui C de sub cel de al treilea numar al diagonalei sale 2 1 2 10 5 2 40 0 4 120 0 8 5

C

=

4 4 32L L L +

2 1 2 10 5 2 40 0 4 120 0 0 19

T

=

.

Am efectuat numai transformari elementare de tip I si obtinem ( )( )det det 2 5 4 19 760A T= = = .

11) Stabiliti daca matricile urmatoare sunt matrici elementare si de ce tip

Matricile ( ) ( ) ( ), ,ij ij i nT P M M de forma

1 5 0 13 0, , ,

0 1 1 00 1

1 0 3 0 0 1 5 0 00 1 0 , 0 1 0 , 0 1 00 0 1 1 0 0 0 0 1

A B C

D F G

= = =

= = =

( )

1... 1 ... ... ...

1

1

ij

iT

j

=

1... 0 ... 1 ... ...

1 0 ... ...

1

ij

iP j

i j

=

( )

11

... ... ... ...

1

iM i

i

=

Se numesc matrice elementare de tip I, II, respectiv III. Matricea ( )ijT coincide cu nI mai putin pozitia ( ), ,i j i j , unde are drept coeficient numarul . Matricea ( )iM coincide cu nI mai putin pozitia ( ),i i unde avem numarul 0 . Matricea ijP care se obtine din permutand linia i cu linia j. Asadar, observam ca matricile date A, B, C, D, F, G sunt matrice elementare, respectiv

( ) ( ) ( ) ( )12 1 12 12 13 15 , 3 , , 3 , , 5A T B M C P D T F P G M= = = = = = .