ALGEBRĂ -...

38
1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere 1. a) –2xy; b) –0,6x 2 ; c) 33 ; d) 5 3 b ; e) 2 x; f) –0,1xyz; g) a 3 b; h) – 2 2 2 2 ab . 2. a) –5a; b) –3a; c) 19x; d) –b. 3. a) 5x; b) –2,4b; c) 9x; d) 4,2x. 4. a) 19x 2 ; b) –5y 3 ; c) 1,8b 4 ; d) 2x 3 ; 5. a)a 2 b + 9ab 2 ; b) 3x 2 – 3y 2 + 7xy; c) 3,8x 2 y 2 –2,1xy 2 + 3,3x 2 y; d) –9x + 6y + 29. 6. a) 3 2 8 x 2 3 9 y ; b) 8 3 5 3 y ; c) 4 7 15 y x ; d) 0. 7. a) 8x; b) 3a; c) –8y 2 ; d) –9xy. 8. a) N = a + b cu a = 5x 2 , b = 4y; b) N = a + b + c cu a = 5x 2 , b = y, c = 3y; c) N = a b cu a = 5x 2 , b = –4y. 9. a) 1 9 ab ; b) 2y b; c) x y; d) 2a. 10. a) 3 x ; b) 28 2 b; c) 14 7 5 2 ab ; d) 2 12 6 5 3 a . 11. a) 55; b) –1; c) 54; d) 56; e) 137. 12. a) A = 6a 2 + + 2b 2 ; a = 2; b = –4 A = 56; b) a 2 0 a ; b 2 0 b A 0, a, b . 1.2. Înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere 1. a) –26x; b) 15x 2 y; c) –66x 2 ab; d) 2 2 84 5 abx ; e) 9 32 ab . 2. a) –9x; b) 7; c) 2 15 x ; d) 2 3 a ; e) 625 972 . 3. a) 1 5 ; b) –2; c) 3 4 ; d) 3 4 ; e) 2 1 a ; f) 1 33b ; g) 2 2 3ab . 4. a) 3 5 ; b) 4 2 3 ; c) 15 1 3 ; d) 2 21 ; e) 2 3 ; f) a 6 ; g) 3 xy ; h) 3 ab ; i) x 2014 . 5. a) x 9 ; b) b 12 ; c) x 9 ; d) y 19 ; e) 1; f) b 3 ; g) x; h) 1. 6. a) x 42 ; b) b 42 ; c) a 40 ; d) 81x 20 y 16 ; e) 81x 20 y 16 ; f) –8x 15 z 6 ; g) 36 48 60 x y a ; h) 12 18 6 6 64 5 ab x . 7. a) –16a 2 b 3 ; b) 12x 2 y 2 ; c) –6a 2 b; d) –6x 3 y. 8. a) 5x + 4xy – 7x 2 ; b) –a 2 –2b; c) 11 8 2 3 y x ; d) 2b – 16a. 9. a) 2a 2 + 5a – 3; b) –2a 2 + a 2 + 2; c) –a 2 + 6a – 9; d) 2a 2 a – 15; e) 21a 2 – 64a + 35. 10. a) 2a 4 – 17a 3 + 50a 2 – 61a + 26; b) –a 3 – 6a + 7; c) 3a 2 – 5ac + ab – 3bc + c 2 – 5b 2 ; d) –2a 3 – 14a 2 a – 90. 11. a) 2a + 3; b) a 2 + 2a + 1; c) 1; d) 3a + 1. 12. a) 3x 2 ; b) 14y 2 ; c) 27x 2 ; d) 3 3 35 5 3 y x .

Transcript of ALGEBRĂ -...

Page 1: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

1

ALGEBRĂ

CAPITOLUL 1 Calculul algebric

1.1. Adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere

1. a) –2xy; b) –0,6x2; c) 3 3 ; d)5

3b ; e) 2 x; f) –0,1xyz; g) a3b; h) – 2 22

2a b . 2. a) –5a;

b) –3a; c) 19x; d) –b. 3. a) 5x; b) –2,4b; c) 9x; d) 4,2x. 4. a) 19x2; b) –5y3; c) 1,8b4; d) 2x3; 5. a)a2b + 9ab2; b) 3x2 – 3y2 + 7xy; c) 3,8x2y2 –2,1xy2 + 3,3x2y; d) –9x + 6y + 29.

6. a) 3 2 8x 2 3 9y ; b) 8 3 5 3y ; c) 4 7 15y x ; d) 0. 7. a) 8x; b) 3a;

c) –8y2; d) –9xy. 8. a) N = a + b cu a = 5x2, b = 4y; b) N = a + b + c cu a = 5x2, b = y, c = 3y;

c) N = a – b cu a = 5x2, b = –4y. 9. a)1

9ab ; b) 2y – b; c) x – y; d) 2a. 10. a) 3x ; b) 28 2 b;

c) 14 7 5 2ab ; d) 2 12 6 5 3a . 11. a) 55; b) –1; c) 54; d) 56; e) 137. 12. a) A = 6a2 +

+ 2b2; a = 2; b = –4 A = 56; b) a2 0 a ; b2 0 b A 0, a, b .

1.2. Înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere

1. a) –26x; b) 15x2y; c) –66x2ab; d) 2 284

5a b x ; e)

9

32ab . 2. a) –9x; b) 7; c)

2

15x ; d)

2

3a ;

e) –625

972. 3. a)

1

5 ; b) –2; c)

3

4; d)

3

4; e)

2

1

a; f)

1

33b; g)

2

2

3a b. 4. a) 35; b)

42

3

; c) 15

1

3

;

d) 221; e) 23 ; f) a6; g) 3xy ; h) 3

ab ; i) x2014. 5. a) x9; b) b12; c) x9; d) y19; e) 1; f) b3; g) x; h) 1.

6. a) x42; b) b42; c) a40; d) 81x20y16; e) 81x20y16; f) –8x15z6; g) 36 48

60

x y

a; h)

12 18

6 6

64

5

a b

x. 7. a) –16a2b3;

b) 12x2y2; c) –6a2b; d) –6x3y. 8. a) 5x + 4xy – 7x2; b) –a2 –2b; c) 11 8

2 3

y x ; d) 2b – 16a.

9. a) 2a2 + 5a – 3; b) –2a2 + a 2 + 2; c) –a2 + 6a – 9; d) 2a2 – a – 15; e) 21a2 – 64a + 35. 10. a) 2a4 – 17a3 + 50a2 – 61a + 26; b) –a3 – 6a + 7; c) 3a2 – 5ac + ab – 3bc + c2 – 5b2; d) –2a3 – 14a2 – a – 90. 11. a) 2a + 3; b) a2 + 2a + 1; c) 1; d) 3a + 1. 12. a) 3x2; b) 14y2;

c) 27x2; d) 3 33 5 5 3y x .

Page 2: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

2

1.3. Formule de calcul prescurtat

1. a) y2 + 25 + 10y; b) 4x2 + 1 + 4x; c) 4a2 + 25b2 + 20ab; d) 2 1

4x x ; e) 2 1 3

916 2

x x ;

f) 30 + 10 5 ; g) 2 27 4 3b b ; h) 13 + 4 3 ; i) 30 12 6 . 2. a) 16 + x2 – 8x; b) 25 + 4c2 –

– 2ac; c) 25x2 + 9y2 – 30xy; d) 2 1 2

9 3

yy ; e) 4a2 +

1

36 6

a ; f) 7 4 3 ; g) 13 2 42 ;

h) 12 – 4 5 ; i) 8. 3. a) a2 – 9; b) 16 – x2; c) 16x2 – 9y2; d) 2 36

4

a ; e)

24 9

36

x ; f) 1; g) 5; h) 3.

4. a) a2 – 2a + 14; b) 6x2 + 4y2 – 2xy; c) 16a2 + 9b2 – 14ab – 15b; d) 219 7 18

2

a a . 5. a) 622 =

= (60 + 2)2 = 3600 + 4 + 240 = 3844; b) 712 = (70 + 1)2 = 4900 + 1 + 140 = 5041; c) 592 =

= (60 – 1)2 = 3600 + 1 – 120 = 3481; d) (8, 9)2 = 2

19

10

81 +1 9 7921

79, 21100 5 100

;

e) (5,1)2 =2

1 1 1 25015 25 2 5 25,01

10 100 10 100

; f) (3,99)2 =2

14

100

; h) 1992 =

= (200 – 1)2; i) (2,001)2 = 2

12

1000

. 6. a) 31 29 = (30 + 1)(30 – 1) = 900 – 1 = 899;

b) 19 21 = (20 – 1)(20 + 1); c) 26 34 = (30 – 4)(30 + 4); d) 999 1001 = (1000 – 1)(1000 + 1); e) 149 151 = (150 – 1)(150 + 1); g) (40 – 4)(40 + 4); h) (50 – 2)(50 + 2); i) (30 – 5)(30 + 5).

7. a) –4a2 –4a – 84; b) b2 – 9b – 11; c) –15a2 + 8a – 27, d) 5b2 – 24b + 6. 8. 239 4

4x x ;

b)278

7 99

xx ; c)

21121 17 43

36 6 144

x x . 9. a) –8x2 + 13 + 2 2x ; b) 26x2 + 11; c) 7x2 +6x –

– 13; d) 14x2 – 7. 10. a) 16a2 – 39; b) –2b2 – 31; c) 48 – 3 3 ; d) –46; 11. a) 23; b) 110; c) 527. 12. a) 18; b) 76; c) 322.

1.4. Metode de descompunere în factori

1. a) 2014(950 – 949) = 2014; e) x(a – x2 + 2); f) 2(2x + 5y – 7z). 2. a) (y + 1)(a – 2 + 5a) = = (y + 1)(a – 2 + 5a) = (y + 1)(6a – 2) = 2(y + 1)(3a – 1). 3. a) (x + y)2; b) (x – 2y)2; c) (x – 10)

(x + 10); d) 2

6x ; e) 2

5x ; f) 2 5 2 5x x . 4. a) 7 7x x ;

b) 2

32

5a

; c)

2 1 2 1

3 5 3 5

x x

; d) (x + 2yz)2; e) (13x – 1)2; f) (11x + 5a)2. 5. a) (a + b)

(3 + x2); b) (a – 1)(3a2 + 5); c) (x + 1)(x – 2)(x + 2); d) (a + 1)(x – 3)(x + 3); e) (x + 1)(x – 3) (x2 + 3x + 9); f) (11x – 5a)2. 6. a) (x – 4)(x + 2); b) a(a + 4); c) (2b + 1)(2b + 5); d) (x – 1 – y) (x – 1 + y); e) (3x – 1)(7x + 1); f) 4(3x + 2)(x – 1). 7. a) 25x2y2z2(2yz2 – 3x – 4x2y + 1);

b) 3 3 21 2 5 1

3 3 4 2x x x x

; e) 4 2 35 5 4 3 6x x x x ; f) 25xm(1 – 3x + 2x2 – 5x3).

8. a) 8(3x + 5)(x + 2); b) (2x + 3)(4 – x); e) (x – 4)( –x + 8); f) (3x + 2)2(3x + 1). 9. a) (x + 3)(x – 1);

Page 3: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

3

b) (5x + 9)(x + 9); e) (16x2 + y2)(4x – y)(4x + y); f) 3 2 2x x . 11. d) (x2 – y2) – (x + 3)2 =

= (x2 – y – x – 3)(x2 – y + x + 3); e) 2 2 2 2

2 2 2 2x x

= 2 2 2 4 2 2x x x x ; f) 2 2 2 2

2 5 5 2 5 5x x x x

= 25 2 5 10 3 2 5x x x x . 12. a) (x + 2)(x + 3); (x + 3)(x + 4); (x + 2)(x + 5); (x + 4)

(x + 5); b) (x – 3)(x – 2); (x – 3)(x – 4); (x – 2)(x – 5); (x – 4)(x – 5 ); c) (x + 3)(x + 5); (x + 2)(x + 7); (x + 5)(x + 6); (x + 7)(x + 8); d) (x + 1)(x – 11); (x + 1)(x – 13); (x – 1)(x + 14); (x – 1)(x + 7); e) (x + 2)(x – 3); (x – 2)(x + 5); (x – 2)(x + 6); (x – 2)(x + 7); f) (x – 1)(x + 3); (x – 1)(x + 2); (x – 2)(x + 3); (x – 2)(x + 4).

1.5. Probleme pentru olimpiade şi concursuri

1. Avem (x – y)2 = 6xy, (x + y)2 = 10xy, de unde 6 6 15

10 510

xyx y

x y xy

;

x y

x y

= 2

2 10 2 10 2 2 15 6

36 6

x y x y xy xy xy

x y x y xy

. 2. Avem ax = by =

= cz = dt = A + 1. Obţinem prin înmulţire AB = (A + 1)4, iar prin adunare 1 = 4A + 4. Avem A =

= –3

4; B = –

1

192. 3.

1 1 1 1

x y z x y z

(x + y + z)(xy + yz + zx) = xyz (x + y)(xy +

= yz + zx) + z(xy + yz + zx) = xyz (x + y)(xy + yz + zx) + z2(x + y) = 0 (x + y)(y + z)(z + x) =

= 0 x + y = 0 sau y + z = 0 sau z + x = 0. Fie x + y = 0. Atunci, pentru n = 2m + 1, m , avem

1 1 1 1 1n n n n n n nx y z z x y z

. 4. 2

9 18 3 22

a bab a b a b

.

Se arată că a = 2n2, b = 2m2 şi deci n + m = 3. Avem perechile (9, 0), (8, 2), (2, 8), (0, 9). 5. A = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = (ac + bd)2 + (ad – bc)2 sau A = (ac – bd)2 + (ad + bc)2.

6. Deoarece avem 13 + 23 + 33 + … + n3 =2

( 1)

2

n n

, rezultă că orice număr de forma

2( 1)

2

n n

se scrie sub forma cerută cum 441 = 212 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) avem 441 = 13 +

+ 23 + 33 + 43 + 53 + 63. 7. 8p + 1 = (2n + 1)2 2p = n(n + 1) P = 3 8p + 1 = 52. 8. (ac + + bd)2 + (ad – bd)2 = 4(ac +bd)2 (ad – bc)2 = 3(ac + bd)2 ad = bc, ac + bd = 0 etc. 9. Fie

x =11...1n

11. Avem 2

...n

aa a = 11...100...0 11...1n n n

a

= a(x 10n + x) = ax(10n + 1) = ax(9x + 2) =

= 9ax2 + 2ax. Obţinem 9ax2 + 2ax – bx = c2x2, de unde x(c2 – 9a) = 2a – b. Cazul 1: c2 = 9a,

2a = b a = 1, b = 2, c = 3, n 2; Cazul 2: c2 9a x =2

211

9

a b

c a

a = 7, b = 3, c = 8,

n = 2. 10. Fie n + 13 = a3, n – 13 = b3, a, b *. Din a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) = 26 rezul-

tă că a – b 2. Pentru a = b + 2 rezultă a = 3, b = 1, n = 14; Pentru a = b + 1 nu avem soluţie.

Page 4: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

4

11. Pentru n = 0 avem 36n + 6n + 3 = 5 = 2 + 3. Fie n *. Atunci 36n + 6n + 3 = 2 + p, unde p

este număr prim. Rezultă, pentru 6n = x, ecuaţia x(x + 1) = p – 1 = 2m, m , m 22. Atunci x

= 2, p = 5 (fals). 12. Avem (x3 + y3)2 = (x + y)(x5 + y5) xy(x – y)2(x + y)2 = 0. Luăm cazurile x = 0, y = 0; x = y, x = –y. 13. Avem a – b = b2 – a2 (a – b)(a + b + 1) = 0 şi analog (b – c)(b +

c + 1) = 0, (a – c)(a + c + 1) = 0. Dacă a = b = c rezultă 2a2 = a şi deci a 1

0,2

; Dacă a = b

c nu avem soluţie; Dacă a + b + 1 = a + c + 1 = b + c + 1, din nou nu avem soluţie. 14. x2 + y2 + z2 = 52n -2 (25 – 5 – 1) = 52n-2 (32 + 32 + 1). Fie a = 5n-1. Luăm (x, y, z)

3 ,3 , , 3 , ,3 , ,3 ,3a a a a a a a a a . 15. Fie 0x a şi 32 x = b > 0. Avem 32 = a2 + b2

2ab, de unde ab 16, ab 4. Avem A =1 1 1 1 1 1 2

1 1 1 1a b a b ab ab ab

1 2 25

116 4 16

. 16. Avem A = (a – 2)3 + (a – 1)3 + a3 + (a + 1)3 + (a + 2)3 = 5a3 + 30a. Lu-

ăm a = 5n. 17. Fie s = a + b + c. Din 100 s3 999 s 4, 5, 6, 7, 8, 9. Avem s3 = = 100a + 10b + c = 9(11a + b) + s, de unde (s – 1)s(s + 1) = 9(11a + b). Cum s3 – s 3 4 5; 4 5 6; 5 6 7; 6 7 8; 7 8 9; 8 9 10 şi 9 / s3 – s rezultă că rămân cazurile 7 8 9 şi

8 9 10, de unde s 8, 9. Dacă s = 8 avem 11a + b = 56 şi atunci abc = 512. Pentru s = 9 nu avem soluţie. 18. Deoarece x + y + z = 1 şi x3 + y3 + z3 = 1, rezultă că x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 = = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x), de unde x + y = 0; sin y + z = 0 sin z + x = 0. Dacă (de exemplu) z + x = 0, avem x2n+1 + y2n+1 + z2n+1 = x2n+1 + 12n+1 + (–x)2n+1 = 1. 19. Avem 22n = 2n+2 ± ± 2n+1 + 1 = 22n ± 2n+1(2 – 1) + 1 = 22n ± 2 2n + 1 = (2n ± 1)n, de unde 2n + 1 + 2n – 1 = 2048

2n+1 = 211 n = 10. 20. A =

1 1 1 1 1

a aba b c a ab

ab a bc b ca c ab b ab a

11

1a ab

.

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

I. 1. –6. 2. E(0) = 0; E(–1) = 0. 3. a + b = 6. 4. (x + 3 + y)(x + 3 – y). 5.3 2

2 1

x x

x

şi 2 1

x

x .

II. 1. a) E(x) = (x4 + 2x2 + 1) – 2x(x2 + 1) = (x2 + 1)2 – 2x(x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 + 1 – 2x) =

= (x2 + 1)(x – 1)2; b) E(x) = (x2 + 1)(x – 1)2 0, x , pentru că x2 + 1 > 0 şi (x – 1)2 0.

2. a) a2 + b2 – 2ab = (a – b)2 0, a, b a2 + b2 a2 + b2 2ab; b) 2a2 + 2b2 + 2c2 –

– 2ab – 2bc – 2ca = (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 0, a, b, c 2(a2 + b2 + c2) 2(ab +

+ bc + ca) a2 + b2 + c2 ab + bc + ac. III. 1. a) E(x) = x2 + 7x – 5x – 35 = x(x + 7) – 5(x + 7) = (x – 5)(x + 7); E(x) = 0 x1 = 5 şi x2 = –7; b) E(n) = (n – 5)(n + 7) prim n – 5 = 1 n = 6 E(6) = 13 sau n + 7 = 1 n =

= –6 E(–6) = –11 Ï ; c) E(x) = (x – 5)(x + 7) = 3 x – 5 = 3 x + 7 =3 + 12 =

= 3 E(x) = 9 sau x + 7 = 3 x – 5 = 3 – 12 = 3 E(x) = 9.

Page 5: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

5

Testul 2

I. 1. x2. 2. E(2) = 0. 3. a2 + b2 = 12. 4. (3x – 2)( –x –2). 5. 1

5

x

x

.

II. 1. a) E(x) = x2(x + 4) – (x + 4) = (x + 4)(x2 – 1) = (x + 4)(x – 1)(x + 1); b) E(x) F(x) = (x3 + 4x2 – x – 4)(ax2 + bx – 3) = …; x4 : b + 4a = 6; x3 : –3 + 4b –a = 4 b + 4a = 6 4b –a = 7 4 17b = 34 b = 2 a = 1 2. a) E(x) = x2 + 4x + 5 = x2 + 4x + 4 + 1 (1)

E(x) = (x + a)2 + 1, x (2)

Din (1) şi (2) a = 2.

b) E(x) 1 pentru că E(x) = (x + 2)2 + 1 şi (x + 2)2 0, x . E(x) minimă E(x) = 1

(x + 2)2 = 0 x = –2.

III. 1. a) x y = 4 7 4 7 16 7 3 ; b) (x – y)2 = x2 + y2 – 2xy = 4 – 7 +

+ 4 + 7 – 6 = 2; c) conform b), (x – y)2 = 2 2

2evident

x yx y

x y

2

x y

= –1 –.

Testul 3

I. 1. 2x2 + 2x + 1. 2. 35. 3. 2. 4. (x + 1)(x – 4)(x + 4). 5. 2

3

x

x

.

II. 1. a) E(n) = n2 + 2n – 35 = n2 + 7n – 5n – 35 = n(n + 7) –5(n + 7) = (n – 5)(n + 7) prim

n – 5 = 1 n = 6 E(6) = 13 sau n + 7 = 1 n = –6 E(–6) = –11 Ï n = 6;

b) E(n) = (n – 5)(n + 7), 3 E(n) 3 n – 5 n + 7 = 3+ 12 = 3

3 5

9 ( )3 7

nE n

n

sau 3 n + 7 n – 5 = 3– 12 = 3 E(n) = 9.

2. (x2 – 4x + 4) + (3y2 + 2 3 y + 1) = (x – 2)2 + 2

3 1 0y , x, y .

III. 1. a) p2 = 8 – 2 15 – 2 8 2 15 8 2 15 8 2 15 16 – 2 64 60 = 16 – 4 =

= 12; b) conform a) p2 = 12 2 3, dar 0p p 20012 3 2 3 0p p .

Testul 4

I. 1. 2x2 + 2x + 2. 2. 5 + 3 . 3. 6. 4. (x + 1)(x + 6). 5. x1 = 1, x2 = 2

3, x3 = –

2

3.

II. 1. a) 2x2 – 5xy + 3y2 = 0 : y2 ≠ 0 2

2 5 3 0x x

y y

; x

ty , 2t2 – 5t + 3 = 0

2t2 – 2t – 3t + 3 = 0 2t(t – 1) – 3(t – 1); t1 = 1 nu convine pentru că x ≠ y; t2 = 3 3

2 2

x

y .

Page 6: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

6

b) (x2 + 6x + 9) + (4y2 – 4y + 1) = 0 (x + 3)2 + (2y – 1)2 = 0 x = –3 şi y = 1

2.

2. a = 221 3 1

3 1 1 5 1 5 32 2 4

33 3

4 1 + 1 – 5 = 1 .

III. 1. a) 21 2 2 1 2 2 2 1 – 2 1 ; b) 9n2 + 6n + 1 = (3n + 1)2 ,

n ; c) 2 2( ) 3 (3 1) 9 9 3E x x y pentru x = 3 şi y =1

3 ;

Emin = E1

3, 33

.

CAPITOLUL 2 Ecuaţii şi inecuaţii

2.1. Proprietăţi ale relaţiei de egalitate în mulţimea numerelor reale

1. 9 16 3 4 7 . 2.2015 2015

1 1 5 5 5: : 1

2 3 6 6 6

. 3. 2 2 2 2 4 2 2 .

4. 1 + 2 3 3 1 2 3 3 8 . 5. 2 – 3 3 2 4 . 6. 2 5 3 2 3 1

5 12 2

.

7. a) 2 3 2 3 4 ; b) 5 2 6 5 2 6 8 5 2 6 5 2 6 8 2 ;

c) 222 33 333 2223 3 2 : 3 1 . 8. a) 2

1 2 1 2 4 ; b) 2

3 5 3 5 20 ;

c) 4 2 3 2 16 12 4 2 3 4 . 9. a) a2 + 2a + 1 + a2 – 2a + 1 –2a2 = 2; b) 2a2 + 2 6a +

+ 3 + 2a2 – 2 6a + 3 – 4a2 = 6; c) (a – 1)(a + 1)(a2 + 1)(a4 + 1)(a8 + 1) = (a2 – 1)(a2 + 1)(a4 + + 1)(a8 + 1) = (a4 – 1)(a4 + 1)(a8 + 1) = (a8 – 1)(a8 + 1) = a16 – 1. 10. a) (2x + 3)[(x + 1)2 – – 4(x + 1) + 4] = (2x + 3)(x + 1 – 2)2; b) (3x + 3)[(3x + 1)2 + 4(3x + 1) + 4] = (3x + 3)(3x + 3)2 = = (3x + 3)3; c) (2x + 5)2[(2x + 1)2 + 8(2x + 1) + 16] = (2x + 5)2(2x + 1 + 4)2 = (2x + 5)4. 11. 2x + + 3y = 4; (2x – 3y)(2x + 3y) = 64 2x – 3y = 16 x = 5, y = –2. 12. a) 2x + y = 5 (2x + y)2 = = 25 4x2 + 4xy + y2 = 25 xy = 2; b) (2x –y)2 = 4x2 – 4xy + y2 = 17 – 8 = 9; c) 2x + y = 5;

2x – y = 3 x = 2; y = 1; 2x + y = 5; 2x – y = –3 x =1

2; y = 4. 13. 1 + 2 + 22 + 23 +…+ 22015 =

= S; 2S = 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 22016 2S – S = 22016 – 1 S = 22016 – 1. 14. 4ab = (a + b)2 (a – b)2 = 0 a = b. 15. (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) a2 + 2ab + b2 + c2 + 2ac + 2bc = = 3a2 + 3b2 + 3c2 2a2 – 2ab + 2b2 – 2ac + 2c2 – 2bc = 0 a2 – 2ab + b2 + a2 – 2ac + c2 +

+ b2 – 2bc + c2 = 0 (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 0 a = b = c. 16. –a b a c b c

b a c a c b

– 2( )

6 0a b

ab

2 2( ) ( )0

a c b ca b c

ac bc

.

Page 7: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

7

2.2. Ecuaţii de gradul I cu o necunoscută

1. a) 3 1 + 1 = 2(1 + 3) – 4 3 + 1 = 8 – 4 4 = 4 1 este soluţie a ecuaţiei; b) 3(–2 –2) + + 2(–2 + 5) = 4(–2 –1) + 10 –12 + 6 = –12 + 10 –6 = –2 –2 nu este soluţie a ecuaţiei;

c) –4 + 1– 4 = –1 3 – 4 = –1 –1 = –1 –4 este soluţie a ecuaţiei; d) 2 1 2 1 –

– 3 + 2 2 0 2 2 2 1 3 2 2 0 0 0 2 1 este soluţie a ecuaţiei. 2. a) 3 (–1) + m = 5(–1) + 2 –3 + m = –5 + 2 –3 + m = –3 m = 0; b) 3m + 4(–1) =

= 6 + 5 – 3m 6m = 11 + 4 6m = 15 m = 15

6 m =

5

2; c)

23 0

3 3

mm

= 2 3 3

3

m = 2. 3. a) 6x = 12 x = 2 este soluţie în , , şi ; b) 3x + 7 = 0 x =

= 7

3 este soluţie în şi , dar nu în sau ; c) 3x = –6 x = –2 este soluţie în , şi

dar nu şi în ; d) 2,7x = 5,4 x = 2 este soluţie în , , şi ; e) 1 5 5 2

2 4 4 1x x

5

2x este soluţie în şi , dar nu şi în sau ; f)

1 3 3 86

8 4 4 1x x x

este soluţie în , şi dar nu şi în ; g) 6 3

3 2 3 3 63

x x x este soluţie în ,

, , ; h) 5 15x 3x este soluţie în , dar nu şi în , sau . 4. a) 9x + 5 – x =

= 4x + 4 8x – 4x = 4 – 5 4x = –1 x =1

4 ; b) 6x – 15 + x + 4 = 3x – 1 7x– 3x = –1 +

+ 15 – 4 4x = 10 x =10 5

4 2x ; c) 5 – 6x + 10 + 8x – 13 = 0 2x = 13 – 15 2x =

= –2 x = –1; d) 3 3 3 5 3 0 3 2 3x x x = –2; e) 6 5 62x x

= 62

6 5x

62 6 5 62 6 5

2 6 536 5 31

x x

; f) 10 2x

= 15 3 3 62 5 1 3 5 1

22x x x . 5. a) 3x – 6 – 4x + 4 = –7x –

– 14 6x = –12 x = –2; 7x – 14 – 2x + 8 = –26 –5x 5x + 5x = –26 + 14 – 8 10x = –20

x = –2, deci cele două ecuaţii sunt echivalente; b) 7 3 48 27 7 3 4 3x x

= 3 3 7 3 7 3 1x x ; x2 – 1 + 3 = x2 – x + 7x – 4 –6x = –6 x = 1, deci cele două ecuaţii sunt echivalente; c) 3x – 6 – 5x – 15 = –8x + 40 – 1 –2x + 8x = 39 + 21 6x =

= 60 x = 10; 3 – 3 5 5 2 5 5 5 3 3 5 3 5 1x x x x x , deci cele două ecuaţii nu sunt echivalente. 6. a) 6x + 4x – 6 – 40x – 5 = 43 – 36x 6x = 54 x = 9;

b) 2x – 6 + 6x – 12 = 3 + 5x – 10 3x = 11 x =11

3; c) 6x + 9 = 15x + 30 – 12x – 42 3x =

= –21 x = –7; d) 12x + 9 – 10x = x + 32 x = 23; e) 10x + 30 + 30x – 150 = 15x – 30 + + 6x + 24 19x = 114 x = 6; f) 8x + 28 – 9x + 21 = 24 –x = –25 x = 25;

Page 8: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

8

g) 6 5 3 6 10 3

3 2 3 10 20 4 3 4 3 3 3 30 6 333 3

x x x x x

;

h) 2 4 3 2

2 2 8 2 3 2 2 2 2 2 2 2 6 2 8 2 22 2

x x x x x x

3.

7. a) 3x – 6 – 12 + 2x = –18 5x = 0 x = 0; b) 3x + 6 – 2 + 2x = 4x + 5 5x – 4x = 5 – 4 x = 1; c) 10x – 5 – 12x + 15 = –3x + 11 x = 1; d) 8x – 12 + 5 + 6 – 12x = 7x – 12 –12x + + 6 –4x + 5x = –6 + 1 x = –5. 8. a) 3x – 2 + 2x = 18 5x = 20 x = 4; b) x + 1 – 6 =

= x – 3 – 2 –5 = – 5 x ; c) x + 4 – 3x + 9 = 24 – 2x – 10 –2x + 2x = 14 – 13 0 =

= 1 x ; d) 16x – 2x + 2 = 5x – 15 – 10 9x = – 27 x = –3; e) 6x – 8x + 8 + 9x – 18 – – 8x + 24 = 6x – 30 + 2 –7x = –42 x = 6; f) 6x – 15 = 14 + 8x – 6 + 4x + 25 6x – 12x = = 8 + 15 + 25 –6x = 48 x = –8. 9. a) x2 + 2x + 1 + x2 – 7x + 12 = x2 – 2x + 1 + x2 + 7x + + 12 + 10 –10x = 10 x = –1; b) 9x2 + 6x + 1 + 4x2 – 4x + 1 = 4x2 + 4x + 1 + 9x2 –6x + 1 –

– 4 4x = –4 x = –1; c) x2 – x2 + 4x – 4 = x2 – 2x + 1 – x2 – 4x – 4 10x = 1 x = 1

10;

d) 9 – x2 = x2 + 4x + 4 – 2x2 + 8x + 10 – 5 = 12x x = –5

12; e) 4x2 + 8x + 4 + 5x2 + 5x – 10 =

= 1 – 6x + 9x2 + 12 19x = 19 x = 1; f) 2x + 2 – x2 + 10x – 25 = 3x + 6 – x2 –2x + 4

12x – x = 6 + 23 + 4 11x = 33 x = 3. 10. a) 6x – 4 5 – 6x +3 5 x = 2 5

3 5 6 5x x = 2; b) 2 26 2 6 6 2 6 2 3 2 6 6 1x x x x x

= 1 32 6 1

33x ; c) 2 5 20 5 2 2 2 5 3 5x x x 2 5 6 5x

2 3 5 1020 3 2 5

2 5x x

; d) 4 + 2 3 3 3 1 1 2 3 4 3x x x

3 33 1 3 3 3 3

1 3x x x

; e) 2 2 3 5 3 2 3 3 4x x

4 3 12 2 3 4 3 4 2

2 1 3x x x

; f) 2 3 2 3 3 3 3x x x x

3 3 1 3 3 13 3 3 3 3 2 3 3

3 3 3 3 1x x x x

. 11. a) 12 – 20 +

+ 2 – 6 = 7x – 5 7x = 21 x = 3; 6m – 7m – 14 = 9 – 4 – m = 19 m = –19; b) 15x +

+ 9x – 27 = 60 – 25x + 60 49x = 147 x = 3; 3 3 3

3 5 9 92 3

m mm

– 18 = 30 –

– 6 – 2m 11m = 33 m = 3; c) 6 5 6 5 4 5 6 5 6 5x x x

4 5 2x ; 10 10 20

6 2 4 2 10 2 1022 2

m mm m .

Page 9: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

9

12. a) 1 1 1

3 2 2 42 2 2

x

1

3 4 22

x x ; b) 3x – 12 + 7 – 3x = x – 7

– 5 = x – 7 x = 2 x –2; 2; c) x 3; 2 5 3 1 1

3( 3) 4( 3) 5( 3) 3 120x x x x

80 150 72 120 3 19x x . 13. a) 3

2x ;

3 2 5 3

3 2 2 3

x x

x x

3 + 2x = 3x – 5

x = 8; b) x \ 1

3

; (1 + 3x)2 + 12 = (1 – 3x)2 1 + 6x + 9x2 + 12 = 1 – 6x + 9x2

x = –1; c) x \ ±3; 5x – 15 = x(x – 3) – (x + 1)(x + 3) 5x – 15 = x2 – 3x – x2 – 3x –

– x – 3 12x = 12 x = 1; d) x \ 3; 3x + 1 + (2x + 1)(x – 3) = 2(x2 – 6x + 9) 3x +

+ 1 + 2x2 – 6x + x – 3 = 2x2 – 12x + 18 10x = 20 x = 2. 14. a) 2 5 2 5 2x

3 5 5 2 3 5 2 5 2x x x 5 1 5 1 1x x ;

b) 24 2 8 0 4 2( 4)x x x x x = 4;

c) 3 7 4 2 7 5 7 2 7 3 7 4 7 2 7 2x x x x x x 5 –

7 3 7 4 7 2 3 3 3 1x x x .

2.3. Proprietăţi ale relaţiei de inegalitate dintre numerele reale

1. a 4 –2a –8 3 – 2a –5. 2. a 1 –2a –2 +3 –2a + 3 1. 3. a 3

3a 9 +1 3a + 1 10 : 2 3 1

52

a . 4. –1 a 3 + 5 4 a + 5 8 : 4 1

5

4

a 2.

5. –2 b 2 (–1) –2 –b 2 –1 a 4 –3 a – b 6.

6. a2 = 7 + 2 10 ; b2 = 7 + 2 12

10 12 a2 < b2, a, b > 0 a < b.

7. a = 11 10 ; b = 7 6 ; 11 7, 10 6 11 10 7 6 .a b

8. –1 a 1 –2 2b 2 –3 a + 2b 3 a + 2b + 3 0 a + 2b + 3 = a + 2b + 3; –1 a 1 2 –2 2a 2 –1 b 1 –3 2a + b 3 2a + b + 3 0 şi 2a + b – 3 0 2a + b – 3 = 3 – 2a – b şi

A = a + 2b + 3 + 3 – 2a – b = 6 – a + b = 6 – (a – b) = 1 17

63 3

.

9. 13 5 14 6 13 6 14 5 13 2 78 6 14 2 70 5 19 +

+ 2 78 19 2 70 78 70 . Adevărat. 10. a) x2 + 4x + 8 = x2 + 4x + 4 + 4 = (x + 2)2 + 4,

x ; b) (x + 2)2 0, x (x + 2)2 + 4 4, x x2 + 4x + 8 4, x .

11. a) –x2 + 6x – 5 = – (x2 – 6x + 9 – 4) = –[(x – 3)2 – 4] = 4 – (x – 3)2, x ; b) (x – 3)2 0,

Page 10: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

10

x – (x – 3)2 0, x 4 – (x – 3)2 4, x –x2 + 6x – 5 0, x .

12. N = 2a + 3b + 5 + 2a + 3b – 5 + 3a + 2b + 5 + 3a + 2b – 5; –1 a 1 –2 2a 2 (1);

–1 b 1 –3 3b 3 (2). Din (1) + (2) –5 2a + 3b 5 2 3 5 0

2 3 5 0

a b

a b

2 3 5 2 3 5

2 3 5 5 2 3

a b a b

a b a b

. –1 a 1 –3 3a 3 (3); –1 b 1 –2 2b 2 (4). Din

(3) + (4) –5 3a + 2b 5 3 2 5 3 2 53 2 5 0

3 2 5 0 3 2 5 5 3 2

a b a ba b

a b a b a b

şi N = 2a +

+ 3b + 5 + 5 – 20 – 3b + 3a + 2b + 5 + 5 – 3a – 2b = 20. 13. a) a2 + b2 2ab (a – b)2 0 (A); b) a2 + b2 2ab, b2 + c2 2bc, c2 + a2 2ac şi prin adunare obţinem inegalitatea cerută;

c) a + b 2 ab (a + b)2 4ab (a – b)2 0 (A); d) 2a b

b a a2 + b2 2ab. Egalitatea

are loc pentru a = b;

e) 6 6a b b c c a a b b c c a a b b c

c a b c c a a b b b a c b

6c a

a c

,

din d) avem 2, 2, 2a b b c c a

b a c b a c şi prin adunarea membru cu membru a inegalită-

ţilor se obţine concluzia; f) Presupunem că min(a, b) = a şi max(a, b) = b, deci a b.

a 2ab

a b a2 + ab 2ab a2 – ab 0 a(a – b) 0. Adevărat.

2: 2 4

abab ab ab a b ab

a b

(a + b)2 (a – b)2 0. Adevărat.

22 2 2 2

2 2 4 2

a ba b a b a b (a + b)2 2(a2 + b2) a2 + 2ab + b2 2a2 + 2b2

a2 – 2ab + b2 0 (a – b)2 0. Adevărat.

2 2 2 2

2 ( ) 02 2

a b a bb b a b a b

. Egalitatea în inegalităţile mediilor are loc

dacă şi numai dacă a = b; g) 22 11 2 1

2 0 0xx x

xx x x

. Adevărat.

14. a) Se aplică inegalităţile mediilor: x + y 2 xy , y + z 2 yz , z + x 2 zx .

Prin înmulţirea membru cu membru a inegalităţilor, obţinem: (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz;

b)2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2y y y

x x y x yx x x

; 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2z z z

y y y zy y y

;

2 2 22 2 2

2 2 22 2

x x xz z z x

z z z ; Înmulţim membru cu membru inegalităţile şi obţinem:

2 2 22 2 2

2 2 28

y z xx y z xyz

x y z

; c) Rezultă din b). 15. a) 1 1 1

9x y zx y z

Page 11: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

11

6x y y z x z

y x z y z x . b) Rezultă din a) pentru x = y = z = 1. 16. a) este inegalitatea

mg (a, b) ma(a, b). Egalitatea are loc pentru a = b; b) 2 1 2 1

3 1 2 2

;

6 2 3 1

5 2 3 2

;

12 3 4 1

7 3 4 2

;

20 4 5 1

9 4 5 2

;

30 5 6 1

11 5 6 2

;

42 6 7 1

13 6 7 2

şi prin însumare

rezultă inegalitatea cerută; c) 2 1

3 2 ,

6 1

5 2 …

2014 2015 1

4029 2

(conform inegalităţii

dintre media geometrică şi media aritmetică). Prin adunarea acestor inegalităţi se obţine inega-litatea cerută.

2.4. Inecuaţii de forma ax + b > 0 (<, >, , ), a, b , a 0 şi x

1. a) da; b) nu; c) da; d) da; e) da; f) da. 2. a) S = 0, 1, 2, 3; b) S = 0, 1, 2, 3, 4; c) S = ; d) S = 0, 1, 2, 3; e) S = 0, 1, 2; f) S = 0, 1, 2. 3. a) A S = –3; –2; –1; 0; 1; 2; b) A S = = 1; 2; 3; 4; 5; c) A S = –3; –2; –1; d) A S = –3; –2; –1; 0; 1; e) A S = 0; 1; 2; 3;

4; 5; f) A S = A. 4. a) S = 3, 4, 5, …; b) S = …, –1, 0, 1; c) S = 3, 4, 5,…; d) S = ;

e) S = …, –10, –9, –8; f) S = 7, 8, 9, …. 5. a) S = –2; –1; 0; 1, 2; b) S = 0, 1, 2; c) S = = ; d) S = 2; e) S = ; f) S = –2, –1. 6. a) x –1; b) x 2; c) ; d) x 4; e) x 4; f) x 0.

7. a) S = 2, 3, 4, …; b) S = 2, 3, 4, …; c) S = ; d) x 2; e) S = …, –1; 0; 1; f) x –2.

8. a) x 0; 1; 2; 3; b) x 3; c) x –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; d) x –5; –4; –3; –2; –1; 0; e) x –5; –4; –3; –2; –1; f) x 1; 2; 3. 9. a) x 3; b) x < –5; c) x 10; d) x 14; e) x –18; f) x < 5. 10. a) x 7; b) x 12; c) x 2; d) x 3; e) x 25; f) x 2. 11. a) x –3; –2; –1; 0; 1; 2; b) x –1; 0; c) x –3; –2; –1; 0; 1; 2; 4; d) x –2; –1; 0; 1; 2; e) x 2; 3; f) x 0; 1. 12. a) x 1; b) x –1; c) x –2; d) condiţie de existenţă: x – 2 0

x 2; inecuaţia devine: 3 1 3 1

0 0 2 0 22 2

x xx x

; e) condiţie de

existenţă: 3x – 9 0 x 3; inecuaţia devine 5 2 5 2 4

03 9 3 9x x

0 3x – 9 >

> 0 x > 3.

2.5. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor şi inecuaţiilor

1. 58, 42. 2. 120, 80. 3. 20000, 25000. 4. 190, 230. 5. 45, 25, 35. 6. 4. 7. 12 fete şi 18 băieţi. 8. 80, 48. 9. 240, 180. 10. 300, 250, 80. 11. 200, 164, 276. 12. 120, 160, 170, 190. 13. 20, 7, 15.

14. fiica = 6 ani, mama = 30 ani, tata = 36 ani. 15. 1500 lei; 16. 1000 lei; 17. I: 1

4x + 10

rest 3

104

x ; II: 3

410

x rest =

96

20

x ; III:

318

20

x rest =

3 324 24 60

10 10

x x

3

84 3 840 28010

xx x km. 18. 100; 50; 12; 19.

3 4 99 8

2 3 8

a aa b b

b ;

Page 12: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

12

1 9 1 1723 40 17 16, 18

2 8 2 8

a aa a b

. 20. 24 lei, 20 lei.

2.6. Probleme pentru olimpiade şi concursuri

1. Avem 1 3 6x y z

x y z

1 3 618 : 3 6

x y z . Atunci

1 1, , 1

6 2x y z şi x + y –

– 2z = 1 1 4

26 2 3 . 2. Avem 100 abc = (x – 2)(x – 1) 999, deci 12 x 33. Suma este

1 1 1 1 1 1 1 1 1 23... ... .

10 11 11 12 32 33 10 11 11 2 32 33 330

3. Din

2 4

3 1 6 2

x y

x y

rezultă x = 2y. Din 2

3 1 7

x x z

x z

rezultă

2 2 2

3 1 2 7 7 14 2

x x z x z x z

x x z x z x x

= 2 2 2 2

,14 2 1 13 3

x z x z

x x x

de unde z =

213 3 103 10

1 1

x xx

x x

x ±10; ±5; ±1

etc. 4. Pentru c = 2015 avem a + b = 0 şi deci avem soluţia (0, 0, 2015). Pentru c = 2014 avem a + b = 1 şi deci avem soluţiile (0, 1, 2014), (1, 0, 2014). În total avem 1 + 2 + 3 +…+ 2016 =

= 1008 2017 soluţii. 5. Fie 1 4 3 3

x y z y xa

z z

. Avem z = 3a, y = 3a2 + 4a, x =

= 3a2 + a, y = x + z. a) Evident că dacă 2 din numerele x, y, z sunt întregi, cum y = x + z, atunci

şi al treilea număr este întreg; b) Dacă 2

x zy

avem 2y = y şi y = 0 (fals). Dacă x + y = 2z

avem soluţia (2, 4, 2). Dacă z + y = 2x avem y = 3x, x = 2z etc. 6. Sn = 2 1 3 2

+ ... + 21 1 1 ,n n n n m m . 7.

1 1 1

( 1) 1

n n

k m k m

k k

k k k k

=

1 1 7

301m n

=

1 1 1 1

3 10 9 100 m = 9; n = 99 B =

2

19;99

n nn

n n

.

8. 3 = 2 3 2 3x y x x y x . Avem cazurile: a) x = 2, y – 6 = 3 (x, y) (2, 9);

(2, 3) ; b) 2 1, 3 2 ,x y x x y 1,5 ; 1,1 ; 3,11 ; 3,7 ; c) 2 2x , 3y x

= 1 ,x y 0,1 ; 0, 1 ; 4,11 ; 4,13 ; d) 2 3x , 3 0 , 1, 3 ; 5,15y x x y .

9. (x2 – 3)(y2 – 3) = 22 avem cazurile: a) x2 – 3 = 22, y2 – 3 = 1 (x, y) (5, 2); (5, –2); (–5, –2); (–5, 2); b) x2 – 3 = 1, y2 – 3 = 22 (x, y) (2, 5); (–2, 5); (–2, –5); (2, –5);

c) x2 – 3 = – 1 x Ï ; d) x2 – 3 = –22 x Ï . 10. 1 + 2 2 2m a na , a, m, n

2a = 1, m = na n = 2m. Din n2 + m2 = 5m2 45 m 3 cardC = 7; 11. Notăm

x – 2014 = a. Avem 1 12013 2010

a a

1 1 1 12007 7 10 13

a a a a

, de

unde rezultă a = 0 şi deci x = 2014. 12. Pentru m = 2p, n =2p + 1, p avem a = 23 16p

= 4 3p . 13. a) 143; b) abcd 1694; 9614. 14. a) (1, 6), (6, 1); b) Observăm că x, y, z * –

Page 13: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

13

– 1. Presupunem 2 x y z şi deci 1 1 1 3 1 1 1

1 3.xx y z x x y z Dacă x = 2

rezultă yz = 2y + 2z (y – 2)(z – 2) = 4 soluţiile (2, 4, 4), (2, 3, 6), (2, 6, 3). Dacă x = 3 rezultă (2y – 3)(2z – 3) = 9 şi avem soluţiile (3, 6, 2), (3, 2, 6), (3, 3, 3) etc.; c) (2, 3, 6) şi per-mutările; d) Presupunem 0 x y z. Avem soluţiile (0, 0, 2), (0, 1, 1), (1, 1, 1) şi permutările acestora. Presupunem x 2. Avem xyz + 2 – x – y – z = x(yz – 1) + 2 –y – z 2(yz – – 1) + 2 – y – z = 2yz – y – z = y(2z – 1) – z 2(2z – 1) – z = 3z – 2 > 0 şi nu mai avem soluţii. e) Deoarece 2 x2 + x – 32 rezultă 2 y. Cum x2 + x = x(x + 1) 32, rezultă x 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Obţinem soluţiile (1, 10), (4, 4); f) Cum 2x y

y x şi

1 12

x y , obţinem x = y = 1;

g) (x – 1)2 + (y – 2)2 + z = 2 z 0, 1, 2 soluţiile (1, 2, 2), (2, 2, 1), (0, 2, 1), (1, 1, 1),

(1, 3, 1), (2, 3, 0), (2, 1, 0), (0, 3, 0), (0, 1, 0); h) n(n + 1) = 2 20;62 ,abc n abc

4,100 , 5, 225 , 6, 441 ; 15. a) (2x – 1)(y – 2) = 0 x , y = 2; b) xy(x – y)(x + y) =

= 2(x – y); Dacă x y avem xy(x + y) = 2 şi atunci avem soluţiile (1, 1), (1, –2), (–2, 1), (–1, –1); c) x2y2 – (x – 3)2 = 0 (xy – x + 3)(xy + x – 3) = 0. Mulţimea de soluţii este (1, –2), (–1, 4), (3, 0), (–3, 2), (1, 2), (–1, –4); d) Avem (x2y2 + 1) + (x2 + y2) 2xy + 2xy = 4xy 4xy. Avem „=” pentru x = y –1, 1; e) Orice pătrat perfect este de forma 4 sau 4 + 1. Deci –x2 + y2

este de forma 4, 4 + 1 sau 4 + 3. Cum 2014 = 4 + 2, ecuaţia nu are soluţie.

16. a) (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x + 6) = 24 (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) = 0 (x2 – 5x)(x2 – 5x + 10) = = 0 x 0; 5; b) (x2 – 9)(x2 – 1) = 105 x4 – 10x2 = 96 (x2 – 5)2 = 121 (x2 – 16)

(x2 + 6) = 0 x ±4. 17. Avem 12 = (x + y) + 2 2y y x x y yx x

xyy x x y

= 4 3 9xy xy . Avem max(xy) = 9 pentru x = y = 3. 18. a) x y x y x y

> 2x y xy x y (adunarea); b) S =60 60

1 1

(2 1)(2 1) 1 1

(2 1)(2 1) 2 1 2 1k k

k k

k k k k

> 60

1

1 1 12

2 1 2 1 121k k k

. 19. Pentru n 1, 2, 3 avem nn = n4 + 3n2 – 3n3. Pentru n 4

avem n4 + 3n2 – 3n3 = n4 – 3n2(n – 1) < n4 n. 20. Avem S = 2

1 1 14 4 4 4

a

aa b ca b c

+ 2 24 4

b c

b c

. Cum

2

1

4 4

a

a

şi analoagele avem S

3.

4 Avem „=” dacă şi numai dacă

a = b = c = 2 (fals).

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

I. 1. 16

3. 2. S = 3 3, 3 3 . 3. –2. 4. S = –2; –1. 5. S = 0, 1, 2. 6. –4.

II. 1. a) 10x + 10x – 35 – 6x – 2 = 50 – 5x – 30 19x = 57 x = 3; b) 2x 2 3 3 1x

Page 14: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

14

2 8 2 3 1 4 2 3 3 1 2 6 2 3 3 3x x x 2 3 3 2x .

2. 190 – 60x – 14x + 14 35x – 98x + 168 –11x –36 36...,1, 2, 3

11x x . 3. x =

= numărul răspunsurilor greşite. (20 – x) 3 –2x = 35 60 – 5x = 35 25 = 5x x = 5.

Testul 2

I. 1. 4; 2. S = 0, 1, 2, 3. 3. –1. 4. –4, –3, –2, –1. 5. 2 1 . 6. 6. II. 1. 3x + 18 – 4x2 – 4x – 1 – 13 < x2 – 4x + 4 – 10x – 5x2 x < 0 x …, –3, –2, –1.

2. a) 3x + 4 – 2x + 2 = 4x – 12 + 18 – 3x 0 x = 0 S = ; b) mx – 2mx – x = 1 – 2 – m

( 1) 1

1x m m

mS

. 3. 32 2

53 5 3 5

a ka ba b k

b k

2 245 15 45 32

62

10520 8 20

2

a b k kk

ak kb

a b k k

Testul 3

I. 1. 2

3 . 2. 2. 3. p =

4

7; 4. 1,85. 5. 0; 1. 6. 4.

II. 1. a) 3 – 6x + 3x2 – 4x2 + 16x – 16 + 5x2 – 30x + 45 = 4x2 – 12x + 9 + 4 – x –7x = –19

x =19

7; b) (2x + 3)(x + 4) + (x + 2)(x – 4) = 2(x2 – 16) + x(x – 3) 9x + 4 = –3x – 32 x =

= –3. 2. 12 15 2 8 2 7 2 12 8 2 2 2 12 3 2 9 2 12 15 2x x x x x

24 3 2 3 3 2 4 6 3 2 4x x > 2 x 3, 4, 5,…. 3. x – preţul iniţial;

4 30 4 26 780 25780 780 30 25 750

5 100 5 25 26

x x xx x x

lei.

CAPITOLUL 3 Elemente de organizare a datelor

3.3. Probabilitatea realizării unor evenimente

1. 3 1

6 2 . 2. a)

2

5; b)

3

5; c) 1; d) 0. 3. a)

4

5; b)

5

9. 4. a)

99

100; b)

1

100. 5. a)

1

10; b)

1

25; c)

3

25;

d) 9

100. 6.

5

18. 7. a)

2

5; b)

3

5; c)

13

20. 8.

7

36. 9.

1

3. 10.

27

100. 11.

1

6. 12. sunt 33 de numere

divizibile cu 3, 25 de numere divizibile cu 4 şi 8 numere divizibile cu 12, deci sunt în total

33 + 25 – 8 = 50 numere divizibile cu 3 sau 4 deci 50 1

100 2p . 13. sunt 51 de numere divizi-

bile cu 2; 34 numere divizibile cu 3 şi 17 numere divizibile cu 6, deci în total sunt

Page 15: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

15

51 + 34 – 17 = 68 numere divizibile cu 2 sau 3, deci P =68

101. 14. P =

2012 1006 503

2016 1008 504 .

15. sunt 9 numere cu ambele cifre egale deci 90 – 9 = 81 numere au cifrele distincte de unde

rezultă p =81 9

90 10 . 16. numere de patru cifre sunt de forma abcd ; pentru că produsul cifrelor

să fie impar este necesar ca toate cifrele numărului să fie impare deci a, b, c, d 1, 3, 5, 7, 9

deci 54 cazuri favorabile din 9000 de cazuri posibile deci p = 45

9000. 17. a + r + v = 45;

115

45 3

aa ;

412

45 15

rr ;

218

45 5

vv . 18. numărul 51 este de forma 4k + 3

şi nu există pătrate perfecte de această formă, deci p = 0. 19. dacă a = este cifră atunci u(a3) =

= u(a) a 0, 1, 4, 5, 6, 9, deci sunt 9 6 = 54 cazuri favorabile de unde p =3

5. 20. m şi n

trebuie să fie divizibile cu 6, deci m, n 6; 12; 18; 24; 30; 36 deci numărul cazurilor fa-

vorabile este 6 6 = 36 în timp ce numărul cazurilor posibile este 402, deci p = 22

2

6 3

40 20

=9

400. 21. Numerele de 5 cifre sunt de forma abcde cu a, b, c, d, e, cifre, unde a 1, 2, 3, 4,

6, 7, 8, 9, b, c, d, e 0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9 deci 8 94 numere de 5 cifre nu conţin cifra 5,

deci p = 4

6

8 9 1

10

. 22. 7n este de forma 4k + 1 pentru n par şi respectiv de forma 4k + 3 pentru

n impar, iar u(74k+1) = 7; u(74k+3) = 3, de unde obţinem u(74k+1 + 2) = 9 şi respectiv u(74k+3) = 5,

deci p =500 1

1000 2 ; 23. a + b + c = 13 de unde se obţin 21 de cazuri favorabile în timp ce numă-

rul cazurilor posibile este 216, deci 21 7

216 72p . 24. a) negre + albastre = 30; albe +

+ albastre = 42; albe + negre = 54 deci în urmă sunt 63 de bile: 33 albe; 21 negre şi 9 albastre;

b) palb = 11

21; pnegru =

1

3; palbastru =

1

7; c) p =

9 21 1 21 3

63 62 7 62 62 .

Page 16: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

16

GEOMETRIE

CAPITOLUL 4 Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic

4.2. Teorema înălţimii

1. AD2 = BD DC 81 = 3 DC DC = 27 cm şi BC = BD + DC BC = 3 + 27 BC = = 30 cm. 2. DC = BC – BD DC = 8 cm; AD2 = BD DC AD2 = 2 8 AD = 4 cm.

3. AD2 =BD DC 144 = BD 8 BD = 18 cm şi BC = 26 cm. 4. AD2 = 25 49

4 9AD

= 5 7

2 3 AD =

35

6cm AD = 5,8(3) cm. 5. CD = 3BD BC = 4BD, 15 cm = 4BD

BD = 15

4cm CD =

45

4cm, AD =

45 15 15 3

4 4 4CD BD cm. 6.

1,5 0,(6)

CD BDk

3

2CD k , BD =

2

3k ; AD2 = CD BD k = 12 CD = 18 dm şi BD = 8 dm BC = 26 dm.

7. 3BD + 3CD = 60 dm; 4BD – 3CD = 3 dm, deci 7BD = 63 dm BD = 9 dm, CD = 11 dm,

AD = BD DC AD = 3 11 dm. 8. Fie CE AB, E AB. AE = DC = 36 cm EB = 16 cm.

CE2 = AE EB CE = 36 16 24 cm AD = 24 cm, AABCD = 1056 cm2. 9. Fie F = prBCO. [OF] linie mijlocie în BED OF = 6 cm; prBC[BO] = [BF]. În BOC, OF2 = BF FC 36 = 9 FC FC = 4 cm BC = 13 cm. 10. AB + CD = 96 cm şi AB – CD = 24 cm AB = 60 cm şi CD = 36 cm. Fie DE AB, E AB. Avem AE = 12 cm şi EB = 48 cm. DE2 =

= AE EB deci DE = 12 48 = 24 cm. AABCD = 60 36 24

11522

cm2. 11. 351 =

18

2

BC

BC = 39 cm. Fie AD BC, D BC. 9 4

BD DCk BD = 9k, DC = 4k, 13k = 39 k =

= 3 BD = 27 cm, DC = 12 cm, BD DC = AD2 27 12 = 182 324 = 324 m(BAC) =

= 90. 12.9

16 9 16

BE BE DEk

DE BE = 9k, DE = 16k. CE2 = BE DE 482 = 9 16k2

k = 4 BE = 36 cm, DE = 64 cm BD = 100 cm. AABCD = 2ABCD = BD CE = 4800 cm2. 13. AC = 2DC m(CAD) = m(ABC) = 30 (1); m(CAB) = 60 m(ACB) = 90 (2). Din

(1), (2) AB = 32 cm. Fie CE AB, E AB; CE2 = AB EB CE = 8 24 CE =

= 8 3 cm; AABCD = 32 8 8 3

160 32

cm2. 14. 64

2 2

AD BD DC AD AD4 = 44

AD = 4 cm. AABC = 2

BC AD AABC = 24 cm2. 15. DE =

3

2 4 4

AD BD BDBE ; AE =

= AB AD

BD

32 3AE

BD . Conform teoremei înălţimii avem AE2 = BE DE; AE2 =

23

16

BD

Page 17: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

17

2

32 3

BD

23

16

BD 3BD4 =24 210 3 BD4 = 214 BD2 = 27 BD = 8 2 DE =

= 8 2

2 24

.

4.3. Teorema catetei

1. DC = 9 cm; AB2 = BD BC AB = 20 cm; AC2 = CD BC AC = 15 cm; AD2 = BD DC

AD = 12 cm. 2. BD =2

3 3AB

BDBC

cm. DC = 9 3 cm; AC2 = CD CB AC = 18 cm;

AD2 = BD DC AD = 9 cm. 3. BC = BD + DC BC = 64 cm; AD = BD DC AD =

= 16 3 cm; AABC = 2

BC AD AABC =

64 16 3512 3

2

cm2; AB = BD DC AB =

= 32 cm; AC = 48 64 32 3 cm; PABC = 32 3 3 cm. 4. ND = 24 cm; MN =2DN

NE MN =

= 36 cm; PMNP = MN + NP + MP = 120 cm. ME = 20 cm; DE = ME EN 8 5DE cm.

AMDN = 2

MN DE AMDN =

36 8 5144 5

2

cm2 AMNP = 288 5 cm2. 5. AD2 = AE

AB AB = 80 cm; PABCD = 2(AB + AD) = 2(80 + 40) = 240 cm. BE = 60 cm; DE2 = AE EB

DE = 20 60 = 20 3 cm; AABCD = AB DE AABCD = 80 20 3 = 1600 3 cm2. 6. AE2 =

= DE DB AD = 2 13 cm; AB2 = BE BD AB = 3 13 cm; PABCD = 10 13 cm. 7. Fie

CE AD, E AD; CD2 = AD DE DE = 18; AE = 14; AC = 8 7 ; P = 70 + 6 7 . 8. BD =

= 28 cm; CD = 12 cm; AB = 4 70 cm; 4 30AC cm; AD = 4 21 cm. 9. Fie OM AD; 9

5DM cm

16

5AM cm AO = 4 cm AC = 8 cm AABCD = 24 cm2. 10. PABCD =

= 4 5 2 2 6 cm; AABCD = 80 2 cm2.

4.4. Teorema lui Pitagora

1. BC = 10 cm, b = 4,8 cm; prBCAB = 3,6 cm, prBCAC = 6,4 cm. 2. 6 cm. 3. 15 cm. 4. 25 cm.

5. 12 cm. 6. 4 3 cm. 7. 72 cm. 8.10 2 cm. 9. 80 cm. 10. a) da; b) da; c) da; d) da; e) da; f) nu.

11.10 3 cm şi 10 cm. 12. 24 3 1 cm. 13. a) AD = 20 cm; b) BE = 24 cm; CE = 18 cm.

14. a) AC = 15 cm; b) 7,2 cm. 15. a) AB = 6 5 cm; AC =12 5 cm; BC = 30 cm; b) AD = 12

cm. 16. a) AB = 12 cm; AC = 16 cm; BC =20 cm; b) AD = 9,6 cm. 17. AB = 4 13 cm;

AC = 6 13 cm; BC = 26 cm. 18. a) AC =12 2 cm; b) MNPQ este pătrat, PMNPQ = 16 5 cm.

19. a) AB = 18 cm; b) 6 10 cm. 20. b = 12 cm, d = 3 41 cm. 21. a) PABCD = 120 cm; AC =

= 24 3 cm; b) se aplică reciproca teoremei lui Pitagora; c) 576 3 cm2. 22. PABCD =

= 6 7 3 cm; AC = 6 7 cm; BD =12 3 cm. 23. = 13 cm; h = 120

13cm. 24. AB = 24 cm;

Page 18: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

18

AC = 24 cm. 25. a) A = 900 cm2; PABCD = 12 26 5 cm; b) d = 30 2 cm; c) A = 1620 cm2.

26. a) 276 cm2; b) AC = 3 65 cm, d(B, AC) =24 65

13cm. 27. a) PABCD = 90 cm; AC =

= 18 3 cm; b) AABCD = 243 3 cm2; c) d(O, AD) = 6 3 cm; d(O, BC) = 3 3 cm. 28. a) AB =

= 30 cm; b) d(D, AB) = 14,4 cm; c) AC = 6 73 cm. 29. a) PABCD = 2 19 61 cm; b) AC =

= 4 13 cm; BD = 6 13 cm; c) se exprimă aria triunghiului ABC în două moduri: d(A, BC) =

= 108 61

61cm. 30. a) BD = 12 cm; b) AB = 6 3 cm; AD = 6 cm; m(AC, BD) = 60, PABCD =

= 12 3 1 cm; AABCD = 36 3 cm2; c) CM = 3 7 cm. 31. Fie AD BC. Notăm BD = x

CD = 14 – x. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice ADB, respectiv ADC şi obţinem AD2 = 169 – x2 şi respectiv AD2 = 152 – (14 – x) 169 – x2 = 225 – 196 + + 28x – x2 x = 5 AD = 12 cm. 32. Da, m(BAC) = 90. 33. a) PABCD =

= 7 7 5 3 10 cm; AABCD = 42 5 3 cm2; b) trapez, deoarece AM BD, CN BD

AM CN, AM = 12 7

5cm; CN =

10 21

7cm, AM CN AMCN este trapez;

AAMCN = 504 300 3

175

cm2.

34. Fie DD AB, D (AB). Notăm AB = a; AD = b; AD = x DB = a – x.

În DDB cu m(DDB) = 90T. Pitagora

DB2 = b2 + (a – x)2 (1).

În ADD cu m(ADD) = 90T. Pitagora

b2 = h2 – x2 (2). Din (1) şi (2) DB2 = a2 + b2 – 2ax (3).

Fie AA CD AD = x AC = a – x. În AAC cu m(AAC) = 90T. Pitagora

AC2 = AA2 + + AC2 AC2 = (a + x)2 + h2 AC2 = a2 + 20x + x2 + b2 – x2 AC2 = a2 + b2 + 2ax (4). Din (3) şi (4) BD2 + AC2 = 2(a2 + b2).

4.5. Probleme pentru olimpiade şi concursuri

1. a) AB2 DC = AC2 DB (AD2 + BD2) DC = = (AD2 + CD2) BD AD2(DC – DB) + BD DC(BD – DC) = 0 (AD2 – BD DC)(DC – DB) = 0. Dar AB AC DC DB. Rămâne AD2 = BD DC m(A) = 90;

b) 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

AD AB AC AD AD BD AD DC

4 2 2AD BD CD 2AD BD CD m(A) = 90; c) În ADE avem AE AC = AD2. Cum AE AC = BD CD sau AD2 = BD CD.

2. Avem aha = bhb = chc. Atunci 2 2 22 2 2

1 1 1

a b c

a b ch h h

. 3. Fie AD BC, D BC. Fie

DF = FC = a. Avem FB2 – FCD2 = AB2 (BD + x)2 – x2 = AD2 + BD2 BD DC = AB2

A D

b h

x

A D

O

B

C

a – x

A

D

B

C E

Page 19: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

19

m(A) = 90. 4. Fie OM AB, M BC. Avem GEB ~ GOM, deci ,AB EB BC GB

GH PE EF GE .

Atunci avem: BE2 + BG2 = PE2 AB BC.

5. Fie MF AC, MF AC. Avem ,AB BC AC BC

ME MC AE MB , de unde AB MC = BC ME,

MC MB = BC AE. Atunci (AB MC)2 + (AC MB)2 = BC2 MA2 BC2 ME2 + BC2 AE2 = = BC2 MA2 ME2 + AE2 = AM2 m(FAC) = 90. 6. a) Fie m(C) < 90. Avem AB2 – BD2 = = AD2 = AC2 – DC2 AB2 = AC2 + BD2 – CD2 = AC2 + (BD + CD)(BD – CD) = AC2 + BC(BC – – 2DC) = AC2 + BC2 – CB CD; b) Înlocuim BD – CD = BC, BD + CD = BC + 2CD.

7. Luăm cazul de la 6 a). Avem AD2 = AC2 – CD2 = b2 – 2 2 2 2

2

( )

4

a b c

a

= 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

(2 ) ( ) 12 2

4 4

ab a b cab a b c ab a b c

a a

= 2

1( )( )( ).

4a b c a b c c a b c a b

a Cum a + b – c = (2p – c) – c = 2(p – c) şi ana-

loagele, avem: AD =2

( )( )( )p p a p b p ca

. 8. Fie AC BC, DF BC, E BC, F BC.

AC2 + BD2 = (AB2 + BC2 – 2BC BE) + BC2 + CD2 + 2BC CF = AB2 + BC2 + AD2 + CD2.

A

B E C F

D

A

O

D B C

A

B D C

Problema 8 Problema 9 Problema 10

A B F

M E

C A

B C D

Problema 5 Problema 6

A

B C

E

F D A

H

E B

C

G

F D

M O

Problema 3 Problema 4

Page 20: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

20

9. Fie OD BC. Luăm cazul D (AB). OA2 = AB2 + OB2 – 2AB DB BC (1); OC2 = OB2 + + BC2 + 2BC DB AB (2). Din (1), (2) OA2 BC + OC2 AB = AB2 BC + OB2(BC + AB) + + BC2 AB = AB BC(BC + AB) + OB2 AC OA2 BC – OB2 AC + DC2 AB = AB BC CA.

10. AB2 MC – AM2 BC + AC2 BM = BM MC BC c2 2

2

am a 2

2 2 2

a a ab a

4ma2 = 2(b2 + c2) – a2. 11. Avem AB2 CD – AD2 BC + AC2 BD = BD CD BC

2 22 2

2 22 2

2( )

( )a a a

bc b c ac ab b ac ab ac aal l l bcp p a

b c b c b c b cb c

.

12. a) ma mb 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 2 2a bm m b c a b c b b a b a ;

b) 2 2 2 22 2

4 ( ) 4 ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )a b

bcp p a acp p bl l b b c a a c a a c b b c

b c a c

a b ;

c) 2 2 2 2 24 2 3am b c a a .

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

I. 1. 4 3 cm. 2. 3 6 cm. 3. 3 5 cm. 4. 12 cm. 5. 4 3 cm. 6. 4 cm.

II 1. a) 12 3 cm şi 12 cm; b) 144 3 cm2; 2. a) AB = 12 cm; b) PABC = 12 3 3 cm.

III 1. a) P = 54 cm; b) AC = 6 13 cm; c) d(O, AB) = 12 3

7cm; d(O, CD) =

9 3

7cm.

Testul 2

I. 1. 9 cm. 2. 18 cm. 3. 3 5 cm. 4. 6 2 cm. 5. 4 3 cm. 6. 8 2 cm.

II. 1. a) AB = 6 3 cm; b) 60. 2. a) 24 cm; b) 24 3 1 cm.

III 1. a) AABCD =108 3 cm2; b) AC =12 3 cm; c) MAB este echilateral. AMAB = 144 3 cm2.

Testul 3

I. 1. 6 cm. 2. 2 3 cm. 3. 8 3 cm. 4. 36 cm. 5. 2 3 cm. 6. 25 cm.

II. 1. a) 24 cm; b) 18 3 cm. 2. a) AC = 16 cm; PABC = 48 cm; b) h = 1 2

p

c c

c

12 169,6

20

cm.

III. a) BC = 4 7 cm; b) AC = 4 10 cm; BD = 4 15 cm; c) COD ~ AOB T.F.A.

CO OD

OA OB

= 2 2 2 8 10

4 103 5 5 5

CD COCO

AB AC cm AO =

8 104 10

5

12 10

5cm;

2 2 2 8 154 15

3 5 5 5

OD ODOD

OB BD cm OB =

12 15

5cm; ACOB = 1 2

2

c c

Page 21: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

21

=48

8 10 12 1596 150 965 5

2 2 50

OC OB

10

5 6

50

5

48 6

5

cm2;

ABOC =

24 482d( , ) 48 6 4 7 d( , )

d( , )24 5 2

BC O BC O BCO BC

624 65

4 7 5 7 =

=24 42

35

cm. Sau d(O, BC) =

241 2

8 10 12 15 96 150965 5 25

4 7 4 7p

c c OC OB

c BC

5

5 6

25

4 7

=

24 6

5 7

24 42

35cm.

Testul 4

I. 1. 15 cm. 2. 6 3 cm. 3. 4 3 cm. 4. 10 cm. 5. 2 3 cm. 6. 15 cm.

II. 1. a) AC = 12 cm; BD =12 3 cm; b) d(O, AB) = 3 3 cm. 2. a) 18 3 1 cm; b) 9 cm;

III. a) AABCD = 90 3 cm2; b) AC = 6 7 cm; BD =12 3 cm; c) MAB este triunghi dreptunghic cu

m(AMB) = 30; AB = 18 cm MB = 36 cm AM = 18 3 cm PAMB = 18 3 3 cm.

CAPITOLUL 5 Noţiuni de trigonometrie. Arii

5.1. Noţiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic; sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta unui unghi ascuţit

1. a) BC = 13 cm; sin B =5

13; cos B =

12

13; tg B =

5

12; ctg B =

12

5; sin C =

12

13; cos C =

5

13;

tg C =12

5; ctg C =

5

12; b) AC = 24 cm; cos B =

5

13; tg B =

12

5; ctg C =

12

5; c) AB = 12 cm;

cos B =3

5; cos C =

4

5; sin B =

4

5; sin C =

3

5; tg B =

4

3; ctg B =

3

4; tg C =

3

4; ctgC =

4

3;

d) BC = 10 cm; AC = 6 cm; cosB =4

5; tg C =

4

3; ctg B =

4

3; e) AB = 24 cm, BC = 30 cm;

sin B =3

5; cos C =

3

5; cos B =

4

5; sin C =

4

5; f) BC = 25 cm; AC = 24 cm; sin B =

24

25;

sin C =7

25; cos C =

24

25; tg B =

24

7; ctg C =

24

7. 2. BC = 8 3 cm; AB = 4 3 cm; sin C =

1

2;

cos B =1

2, ctg C =

3

3. 3. BC =16 3 cm şi B – b = 8 3 cm. 4. a)

6 2

4

; b)

6 2

4

;

Page 22: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

22

c) 2 6

4

; d)

6 2

4

; e)

2 6

4

; f)

6 2

4

; g)

3

2; h)

2

2; i) 0; j) 1; k)

3

3;

l) 2 1 ; m) 2 – 3 ; n) 1

2; o) –

1

2. 5. BC = 32 cm; m(B) = 60; m(C) = 30. 6. AB = 24

cm; m(ABC) = 60, m(BAD) = 120. 7. AB = 24 cm; sin(BAC) = 5

13; tg(ACD) =

12

5;

cos(ACB) = 5

13; ctg(ACD) =

12

5; sin2(BAC) + cos2(BAC) =

2 25 12

113 13

;

sin(BAC) = cos(ACB) =5

13. 8. Se construieşte AD BC; AD = 16 cm; sin B =

4

5; cos C =

3

5.

9. AC = 18 cm, BC =12 3 cm; AD = 9 cm; BD = 3 3 cm; CD = 9 3 cm. 10. AC = 4 3 cm;

BC = 8 3 cm; AD = 6 cm; CD = 2 3 cm; BD = 6 3 cm. 11. AB = 24 cm; AC = 10 cm;

PABC = 60 cm; AABC = 120 cm2. 12. AB = 10 3 cm; AC = 24 3 cm; AD = 120 3

13cm; BD =

= 50 3

13cm; CD =

288 3

13cm; cos B =

5

13; cos C =

12

13; sin C =

5

13; tg C =

12

5 =

= ctg B; ctg C = 5

12. 13. a) BC =12 2 cm; BD =12 2 cm; PABCD = 12 4 2 cm; AABCD =

= 216 cm2; b) m(BDC) = m(BCD) = 45 m(DBC) = 90 BD BC. 14. AB = 12 cm;

BC = 6 + 6 3 cm; AC = 6 6 cm; PABCD = 6 3 3 6 cm; AABC = 18 3 3 1 cm2.

15. lăţimea = 24 cm; lungimea = 32 cm; diagonala = 40 cm; sin(CAB) =3

5; sin(ACD) =

3

5;

cos(CAD) = 3

5; ctg(BAC) =

4

3; tg(CAD) =

4

3. 16. tg(C) =

AD

DC(unde AD BC, D

(BC)) AD = 4k; CD = 3k k = 3 7 AD =12 7 cm; DC = 9 7 cm cos(C) =3

5;

sin(C) =4

5. 17. a) 20 2 2 cm; AABCD = 200 cm2; b) AC = BD =10 5 cm; sin(CAB) =

= 20 2 5

510 5 ; tg (CAB) =

10 1

20 2 . 18. m(ABC) = 60; m(BAD) = 120; AC = 24 cm;

BD = 24 3 cm, d(O, AB) = 6 3 cm. 19. Fie AD BC, D (BC). Notăm BD = x CD = 14 – x. Din aplicarea teoremei lui Pitagora în dreptunghice ADB, respectiv ADC 169 – x2 =

= 225 – (14 – x)2 x = 5 BD = 5 cm CD = 9 cm AD = 12 cm, sin B = 12

13; cos B =

= 5

13; tg B =

12

5; ctg B =

5

12; sin C =

4

5; cos C =

3

5; tg C =

4

3; ctg C =

3

4.

Page 23: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

23

20. Fie triunghiul ABC cu m(B) = 90, m(C) = 30; AB = a AC = 3a BC = 2a şi (CD, D (AB) bisectoarea unghiului ACB.

Din teorema bisectoarei AD AB

DB BC

AD

a AD

3

2 3 32

aAD a AD AD

a 3 2 3a . În CAD cu m(CAD) =

= 90T. Pitagora

CD2 = AC2 + AD2 CD2 = 3a2 + 223 2 3a = 3a2 1 4 4 3 3

= 23 8 4 3a 212 2 3 2 3 6 2a CD a . În CAD cu m(CAD) = 90 şi

m(ACD) = 15 a) sin 15 = 3aAD

CD

2 3

3a

6 2

2 3 6 2

4

= 2 6 2 2 3 2 6 6 2

4 4

; b) cos 15 =

AC

CD

3a

3a 6 2

46 2

;

c) tg15 = 2

6 2sin15 6 22 3

cos15 46 2

; d) ctg 15 =

12 3

15tg ; e) sin 75 =

= cos(90 – 75) = cos15 =6 2

4

; f) cos 75 = sin (90 – 75) = sin 15 =

6 2

4

;

g) tg 75 = ctg (90 – 75) = ctg 15 = 2 + 3 ; h) ctg 75 = tg(90 – 75) = tg 15 = 2 – 3 . 21. a) Fie M mijlocul lui BC . Se aplică teorema cosinusului.

a) În AMB T. cos.

AB2 = AM2 + BM2 – 2 AM BM;

cos(AMB) c2 = ma2 +

2

4

a2 cos( )

2a

am AMB

2

2 2 cos4a a

ac m a m AMB (1)

În AMC T. cos.

AC2 = AM2 + CM2 + 2 AM MC cos(180 –

– AMC) b2 ma2 +

2

4

a+ 2 ma cos(AMB) (2).

Din (1) şi (2) b2 + c2 = 2ma2 +

2 2 2 22 2( )

2 4a

a b c am

.

Analog mb2 =

2 2 22( )

4

c a b ; mc

2 =2 2 22( )

4

a b c ;

b) ma2 + mb

2 + mc2 =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22( ) 2( ) 2( ) 3( )

4 4

b c a c a b a b c a b c ;

c) Din b) obţinem 2 2 2 R.T.Pitagora

2 2 2 2 23( ) 3

4 2

a b cb c a b c

m(BAC) = 90;

B

D

A

a 2a

C a 3

15 15

30

A

B

P

M C

N

G

ma

mbmc

Page 24: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

24

d) ma2 =

2(144 64) 10079 79

4 am

cm; mb2 =

2(100 64) 14446 46

4 bm

cm;

mc2 =

2(100 144) 64106 106

4 cm

cm. 22. Fie x = m(B) în ABC, unde m(A) = 90.

a) 2 2 2

22 2 2

sin sin cos 11 tg 1

cos cos cos

x x xx

x x x

; c) Fie t = tg x. Avem

42

22

11

tt

tt

;

d)

111 1 1

011 1 11

t t ttt t t

t

.

23. a) Fie (BD bisectoarea unghiului B. AvemAD AB

DC DC

AD =

2 2 2 22

2

sin2

bcbc B AD AD a c

a c BD AB AD b cc

a c

2 2 2

2 22 2

1

2 2 ( ) 2 2

cb b a c a c a

a b ac b a a c aa c b

1 cos

2

B;

b) Analog 1 cos

cos2 2 2

B AB a c B

AD a

; c)

1 cosg :

2 2

B Bt

1 cos 1 cos

2 1 cos

B B

B

.

24. a) 2 2 2 2

2 4tg tg

b c b c c bbc S

B C bc c ; b)

sin cos

sin cos

B C

C B

2tg

2

bba c C

c ca

;

c) 2 2

2 2

a a

b c

2 2 2 2

2 2

( )a b c a

b c bc

; d)

2

2 2

( )( )1 1

b c a b a c a ab ac bc

a a a a

= 22 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

a b ca b c ab ac bc p

a a a

.

5.2. Rezolvarea triunghiului dreptunghic

1. BD = 18 cm; CD = 32 cm; BC = 50 cm; AC = 40 cm; sin B = cos C =4

5. 2. BC = 50 cm;

AD = 24 cm; AB = 30 cm; AC = 40 cm; sin B = cos C =4

5; tg B =

4

3; ctg B =

3

4; tg B ctg B =

= 4 3

13 4 . 3. a) PABC = 12 3 3 cm; b) h = 6 3 cm: c) sin B = cos C =

3

2; cos B = sin C =

A B

C

a

c

b D

x

Page 25: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

25

= 1

2. 4. CD =16 3 cm; BC = 25 3 ; AB = 15 3 cm; AC = 20 3 cm; sin B =

4

5; sin C =

3

5.

5. BC = 60 cm; BD = 38,4 cm; AD = 28,8 cm; AB = 48 cm; sin B =3

5; tg C =

4

3. 6. BC = 26 cm;

AC = 10 cm; AD = 120

13cm; BD =

288

13cm; CD =

50

13cm; sin B = cos C =

5

13. 7. AC = 36 3 cm;

AB = 36 cm; BC = 72 cm; DB = 18 cm; DC = 54 cm. Fie M mijlocul lui (AC) BM =

= 18 7 cm. 8. AB = 18 3 cm; AD = 27 cm; DC = 27 3 cm; BC = 36 3 cm; AC = 54 cm.

9. AC = 24 3 cm; BC = 48 3 cm; AB = 72 cm; AD = 36 cm; BD = 36 3 cm. 10. AB = 12 cm;

AC = 12 3 cm; AD = 24 cm; BD = 12 cm; CD = 32 cm; tg C = tg 30 =3

3. 11. AB = 30 cm;

AC = 40 cm; AD = 6 3 cm; BD = 6 cm; CD = 18 cm; sin B =4

5. 12. PABCD = 12 3 1 cm şi

d(B, AC) = 3 3 cm. 13. Notăm BD = x 256 = x(x + 7,2) x2 + 7,2x – 256 = 0 (x + 3,6)2 – – 16,42 = 0 (x + 20)(x – 12,8) = 0 x = 12,8 cm BD = 12,8 cm BC = 20 cm AC =

= 12 cm; sin B = cos C = 3

5; tg B = tg C =

3

4. 14. a) AB = 6 3 cm; AC = 3 6 cm; BC =

= 3 3 3 cm; b) BE = 3 3 2 6

2

cm; c) În ABE cu m(AEB) = 90 şi m(EBA) = 15;

cos 15 =

3 3 2 6

3 2 6 3 6 3 2 6 224 3 46 3 4 3

BE

AB

. Pentru că ACE este un

triunghi dreptunghic isoscel AE = BE – AC = 3 3 2 6 9 2 3 6 6 6

3 62 2

= 3 3 2 69 2 3 6

2 2

şi sin 15 =

3 3 2 6

3 2 6 3 6 3 224 36 3 4 3

AE

AB

= 6 2

4

. 15. a)

48 34 cm; 10

20 14 cm 2

B b B B bb

B b b

cm. AD = BC =10 2 cm

PABCD = 4 5 2 12 cu AABCD = 240 cm2; b) AC = BD = 26 cm; c) Fie AE BC

AEB este triunghi dreptunghic isoscel şi avem sin B = sin 45 =AF

AB

2

2 34

AE AE =

17 2 cm d(A, BC) =17 2 cm.

5.3. Aria triunghiului

1. a) 18 cm2; b) 24 cm2: c) 54 cm2; d) 6 3 cm2. 2. a) 36 3 cm2; b) 30 cm2; c) 32 cm2. 3. a) 8 cm;

b)12 2 cm; c) 20 cm; d)12 3 cm. 4. AABC = 96 cm2, PABC = 48 cm. 5. PABC = 112 cm,

Page 26: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

26

AABC = 336 cm2. 6. PABC = 18 3 1 cm; AABC = 54 3 cm2. 7. AADB = 160 cm2 ABDC =

= 160 cm2 d(D, BC) = 8 cm. 8. PABC = 6 3 3 5 cm; AABC = 108 cm2. 9. a) AB =

= 4 13 cm; AC = 6 13 cm; BC = 26 cm; PABC = 2 13 5 13 cm; b) AD = 12 cm.

10. PABC = 12 3 3 1 cm; AABC = 72 3 cm2. 11. a) AABC = 36 3 cm2; PABC =

= 12 2 3 cm; b) CE = 6 3 . 12. BC2 = AB2 + AC2 AB2 + AC2 = 2500; AABC =

= 2

AB AC AB AC = 1200 2 AB AC = 2400 (AB + AC)2 = 4900 AB + AC =

= 70 cm PABC = AB + AC + BC = 70 + 50 = 120 cm. 13. a) PABC = 4 3 3 6 cm;

AABC = 8 3 1 3 cm2; b) Fie BE AC. Se exprimă în două moduri AABC BE =

= 2 6 2 cm; c) m(ABE) = 15; cos(ABE) = 6 2

4

BE

AB

; AE = 2 6 2 cm;

sin(ABE) =6 2

4

; tg(ABE) = 2 3

AE

AB ; ctg(ABE) = 2 3 .

14. a) ABC este dreptunghic în A conform reciprocei teoremei lui

Pitagora AABC = 120 cm2; b) 10 24 120

26 13

AB ACAD

BC

cm;

Conform teoremei bisectoarei:24

26

AE AC AE

EB BC EB

24 24 24

26 10 50 5

AE AEAE

AB cm = 4,8 cm.

AACE =24 4,8

24 2,4 57,62 2

AC AE cm2. Conform teoremei lui Pitagora se obţine:

CE = 24

265

cm. Fie AM CE, M CE. Exprimăm aria ACE în două moduri şi obţinem:

57,6 =

2426576 5

2 10 2

AMCE AM AM =

24

26

24 26 12 26

26 13 cm.

15. a) Fie AD BC şi GE BC AD GE T. F. A.

MGE ~ MAD MG GE ME

MA AD MD , dar

1 1 1

3 3 3

MG GEGE AD

MA AD .

ABGC =1 1

2 3 2 3

BC GE BC AD AABC;

b) Aplicăm formula lui Heron şi obţinem: ABGC = 336 cm2 AABC = 1008 cm2.

A C

B

E M 10

24

26

A

B C

N

GP

D E M

Page 27: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

27

5.4. Aria patrulaterelor

1. a) 144 cm2; b) 27 cm2; c) 240 cm2; d) 140 cm2; e) 40 cm2. 2. a) 64 cm2; b) 24 cm2;

c) 25 3 cm2; 3. a) 8 cm2: b) 120 cm2; 4. a) 48 cm2; b) 168 cm2; c) 246 cm2; d) 984 cm2.

5. a) 36 2 cm2; b) 36 cm2. 6. 52 cm. 7. 44 cm. 8. 63 3

2cm2. 9. a) AABCD = 540 cm2; b) PABCD =

= 12 34 3 cm; d(AB, CD) = 45 34

17; c) d(AB, CD) = 22,5 cm. 10. a) A = 3456 cm2;

b) d(O, AB) = 28,8 cm. 11. a) 200 3 cm2; b) 60. 12. a) 288 cm2; b)48 5

5cm. 13. AABCD =

= 1512 cm2; d(AB, CD) = 33,6 cm; d(AD, BC) =504

13cm. 14. a) P = 16 1 3 cm; b) A =

= 64 3 cm2. 15. a) AABCD = 200 cm2; b) PABCD = 10 + 25 + 10 2 + 15 = 50 + 10 2 =

= 10 5 2 cm; AC = 5 13 cm; BD = 5 29 ; c) AMDC = 36% AMAB. 16. PABCD = 90 cm;

AABCD = 300 cm2. 17. Fie DM AB; CN AB, M, N (AB). Notăm AM = x; BN = y. Avem relaţiile x + y = 60 – 32 x + y = 28. Aplicăm teorema lui Pitagora în AMD şi în BNC şi obţinem: 262 – x2 = 302 – y2 (y – x)(y + x) = 4 56 y – x = 8 şi y + x = 28 y = 18; x = 10 h = 24 cm

AABCD = 60 32 24

11042

cm2. 18. PABCD = 60 cm; AABCD=108 3 cm2.

19. Fie N mijlocul lui BC şi CQ MN, BP MN;

AMBC = AMNB + AMNC = 2 2

MN BP MN CQ

= 1

2 2

MN h AABCD = 240 cm2.

20. a) m(BAD) = 45 ADB este triunghi dreptunghic isoscel AD = DB = x şi AB =

= x 2 . În ADO cu m(ADO) = 90 AO2 = AD2 + DO2 22

23 54

xx 9 5 =

= 25

4

x x2 = 36 x = 6 cm AD = DB = 6 cm AB = 6 2 cm; b) AABCD = AD = DB =

= 6 cm AB = 6 2 cm; b) AABCD = AD DB = 36 cm2; c) Fie OM AB OMB este tri-

unghi dreptunghic isoscel OM 2 = BO OM =3 2

2cm.

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

I. 1. AC = 16 cm. 2. AB = 8 3 cm. 3. P = 30 cm. 4. A = 6 cm2. 5. A = 27 3 cm2. 6. cos C =

A B

C D

M N y

30 26

x

A B

C D

M N P Q

Page 28: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

28

= 3 10

10.

II. 1. a) P = 72 cm; A = 162 3 cm2; b) d(A, CD) = 9 3 cm. 2. a) L = 32 cm; l = 24 cm;

b) sin (AOD) = 24

25.

III. a) P = 66 cm; A = 234 cm2 ; b) AC = 3 41 cm; BD = 12 5 cm; c) d(D, BC) = 12 cm.

Testul 2

I. 1. 50 cm2. 2. 12 cm. 3. 48 cm2. 4. 16 2 cm. 5. A = 36 3 cm2. 6. 144 cm2.

II. 1. a) A =160 5 cm2; b) sin(BAE) =4 5

9. 2. A = 100 3 cm2; P = 60 cm.

III. a) AMQ BNM CPN DQP (C.C.) [MQ] [MN] [PN] [QP] MNPQ romb şi m(AMQ) + m(BMN) = 90 m(NMQ) = 90 MNPQ pătrat; b) PMNPQ =

= 32 10 cm; AMNPQ = 640 cm2; c) 576 cm2.

Testul 3

I. 1. BC = 25 cm. 2. A = 216 cm2. 3. 336 cm2. 4. 48 2 cm. 5. 100 cm2. 6. A.

II. 1. a) 432 cm2; b)24

25. 2. 3600 cm2.

III. a) BC = 24 cm; b) CE = 8 3 cm; c) 12 cm.

Testul 4

I. 1. 81 cm2. 2. 756 cm2. 3. 16 2 2 cm. 4. 60. 5. d = 6 13 cm. 6. A.

II. 1. 2. 2. a) 432 cm2; b)24

25.

III. a) P = 60 cm; A =108 3 cm2; b) AC =12 3 cm; c) AAOB = 48 3 cm2; ACOD =

= 12 3 cm2.

CAPITOLUL 6 Cercul

6.1. Cercul

3. a) 60; b) 90: c) 120; d) 180. 4. a) 10; b)10 2 ; c) 20; d)10 3 . 5. a) 4 3 ; b) 4 2 ; c) 0.

6. a) 12; b) 6 2 ; c) 4 3 . 7. R = 6 cm; AB = 6 3 . 8. a) 120 sau 60; b) 90; c) 30 sau 150. 9. 12 cm. 10. A = 162 3 cm2; PN = 27 cm. 11. a) A = 75 3 cm2; P = 50 cm; b) A = 50 3 cm2;

P = 10 3 3 cm. 12. 75 cm2. 13. a) 5 6 2 ; b) 25 cm2. 14. A = 128 cm2; P = 32 2 cm.

6.2. Unghi înscris în cerc

1. a) 90; 130; 90; 50; b) 30; 60; 20; 70. 2. 60; 65; 55. 3. 100; 160; 100. 4. a) 24 cm;

Page 29: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

29

b) 16 cm2. 5. 130; 125; 105. 6. 200; 60; 100. 7. a) P = 56 cm; A = 192 cm2; b) 9,6 cm;

c) 138 cm2. 8. a) m(BAD) + m(BCD) = 360 : 2 = 180; b) m(BDC) = m(BAC) = m ( )BC : 2.

11. a) P = 60 cm; A = 108 3 cm2; b) 8 3 2 3 cm. 12. a) 60; b) 110. 13. 40. 14. 45.

16. a) BCEF inscriptibil; b) AEHF inscriptibil.

6.3. Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un cerc

1. a) a ext. cercului; b) secantă; c) tangentă; d) secantă. 2. AB = 9 3 cm. 3. a) concentrice; d) secante; f) exterioare. 4. a) MOA MOB; b) MQ mediatoarea lui [AB]. 5. a) 28 cm; b) 48 cm2.

6. P = 40 cm; A = 20 21 cm2. 7. 1 cm. 8. 8 cm. 9. 20 cm; 1714 cm. 10. a) BH AC;

CH AB; b) HA BC = N, N – mijlocul lui [BC]. 11. a) ABC ABD; b) 6 6 cm. 12. P = 11 cm. 13. m(BAC) = 50. 14. R = 7,5 cm. 15. R = 6,25 cm. 16. r = 1,5 cm. 17. r = = 7,2 cm.

6.4. Probleme pentru olimpiade şi concursuri

1. MAD ~ MCB MA MD

MC MB MA MB = MC MD q = MA MB = ME MF =

= (OE – OM)(OF + OM) = (R – d)(R + d) = R2 – d2 = d. 2. MAD ~ MCB MA MD

MC MB

MA MB = MC MD q = MA MB = ME MF = (MO – OE)(MO + OF) = (d – R)(d + R) = = d2 – R2 = MT2. 3. Conform puterii punctului C faţă de cerc, avem CT2 = CB CA

CT = 3R .

4. Fie O2B O1T1, TA T1T2, TA = d, O1T1 = Y1,

O2T2 = Y2, O2T AT = C. Din 2

1 1 2

TOCT

O B O O

2 2

1 2 1 2 1 2

2 1 1d Y Y

Y Y Y Y d Y Y

.

5. În cazul I avem CAD = ADF – ACE = ABF – ABE = EBE. Analog avem în cazul II. În cazul al III-lea unghiurile CAD şi EBF sunt suplementare.

A

D M

E C B

F

O

C

E

C

B

O

T A

M

A

T

B

O

C

Problema 1 Problema 2 Problema 3

B

T1

O1

A T2

O2 T

C

Page 30: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

30

6. AB BC m(ADB) = m(BEA) = m(BEC) = m(BCA). Patrulaterele DENP, ACDE sunt inscriptibile şi rezultă m(ACE) = m(ADE) = m(NDE) = m(NPE) NP AC. 7. Avem m(BAD) + m(BCD) = 180. Fie (AE şi (CE bisectoarele unghiurilor BAD şi MCD. Avem

m(MCE) = 1

2(180 – m(BCD)) =

1

2m(BAD) = m(BAE) ABCE inscriptibil. 8. Fie BT

tangentă comună. Avem FAB ABE CBT. Cum BCD şi CTB sunt complementare, rezultă că EAC şi ACE sunt complementare şi deci CE d. Cum CB BD ABDE in-scriptibil.

9. Avem ADP ABM ANM. Punctele A, D, N, P sunt conciclice (pe un cerc C). Din ANP = ACM = PEC E Γ. 11. Din ADE ~ DBE şi ACE ~ BDE

;AD DE AC AE

BC BE BD BE relaţia dată.

12. Avem BDF BAD DAC AEF = ADF = ADB – BDF =

= C +2 2

A AC EF BC.

Cum BAD CAD DE = DF.

13. Din asemănarea triunghiurilor ACB şi BAD rezultă BC AC AB

AD AB BD şi .

BC AC AB

AE EC AC

Problema 6

A E

P

N

B

C D

B

T C

D

E A d

A

B

C

M E

D

Problema 7 Problema 8

A

D

E

C

F B

Cazul

ADE

C

F

B

Cazul II

C F

A D E

B

Cazul I

A M

C N

D

B

E

P

Problema 9

Page 31: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

31

Atunci 1BC BC AC AB

AD AE AB AC BC2 = AD AE;

2 3AC DB AB DB AB

EC AB AC EC AC

.

14. Din patrulaterele inscriptibile MNAP şi MNBR avem MPN = MAN = MBR = MNR,

MNP MAP MBA MRN MNP ~ MRN MN MP

MR MN MN2 = MP MR.

15. AD =2 2b c

a

.

TESTE DE EVALUARE

Testul 1 1. MO AB: NO AB M, O, N coliniare. 2. m(A) = 75; m(B) = 90; m(C) = 105;

m(D) = 90. 3. AABC = 216 cm2; PABC = 72 cm. 4. AB = 18 2 3 1 cm.

Testul 2

1. 3 cm. 2. A = 80 21 cm2. 3. P = 10 3 34 cm; A = 375 cm2. 4. R = 35 6

24cm; r =

= 2 6

3cm.

A

F E

C D B

A

B C

E

D A N B

R

M

P

Problema 12 Problema 13 Problema 14

Page 32: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

32

VARIANTE DE LUCRĂRI SEMESTRIALE Semestrul al II-lea

Varianta 1

I. 1. a) 2; b) 8. 2. a) 5; b) 34. 3. a) 25 cm; b) 64 3 cm. II. 1. 8. 2. x 1. 3. 400 km III. 1. a) P = 80 cm; b) 9,6 cm; c) MNPQ este paralelogram cu laturile paralele cu diagonalele rombului.

Varianta 2

I. 1. a) 3; b) 1

5. 2. a) 1; b) 2 2 1 . 3. a) 32 cm; b) 34 cm.

II. 1. 0. 2. a) 18, respectiv 12; b) 60%.

III. 1. a) A = 256 3 cm2; b) AC = BD = 8 19 cm; c) d(O, AB) = 5 3 cm; d(O, CD) =

= 3 3 cm.

Varianta 3

I. 1. a) –8x; b) 3. 2. a) –36; b)2

5. 3. a) P = 40 cm; b) 4 13 cm.

II. 4. a) 21; b) (x – 2)(x + 2)(y – 2)(y + 2). 5. a) 78 3 cm2; b) 8 3 cm.

Varianta 4

I. 1. 2 3 . 2. (9x – 5)(9x + 5). 3. x –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4. 4. 26 . 5. 0. 6. 14 cm. II. 1. a) (3x – 2)(x2 – x + 4) – (x + 1)(3x2 – 2x + 6) = 3x3 – 3x2 + 12x – 2x2 + 2x – 8 – 3x3 + 2x2 – – 6x – 3x2 + 2x – 6 = –6x2 + 10x – 14.

2. Notăm BD = x CD = 2x T.înălţimii

2x2 = 64 2 x = 8 BD = 8;

CD = 16 cm; BC = 8 + 16 = 24 cm AB = 8 3 cm;

256 128 384 8 6AC cm;

PABC = 24 + 8 3 8 6 8 3 3 6 cm.

Varianta 5

I. 1. x2 – 5x + 8. 2. 25

8. 3. 7 . 4. b) (–1; –1). 5. 2

5 ; 25 . 6. 324 3 cm2.

II. 1. 10 + 20 – x – 2015 = –5 x – 2015 = 35 x – 2015 = 35 sau x – 2015 = –35 x = = 2050 sau x = 1980; S = 1980; 2050. 2. Fie BE AC, E AC, AF AC, F AC; AC2 AC = 25;

BC2 = EC AC EC = 225

25 = 9 cm EF = 7 cm.

A B

C D

A B

D E

C

F

Page 33: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

33

TESTE FINALE

TESTUL 1 I. 1. 25. 2. 120. 3. 4. 4. 9 cm. 5. 1. 6. 14. II. 2. (3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4; (2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1; 5x2 + 16x + 3. 3. A + b = 14; a – b = 4

2a = 18 a = 9; b = 5. 4. 2 23 2 3 2 2 3; 3 3 3 3 3 3 .

III. 1. AD CN 1

15 3

CN MC CN

AD MD CN = 5 cm BN = 20 cm; BC PD

1 15

3

MC BC

MD PD PD PD = 45 cm AP = 60 cm.

2. a) Fie MN linie mijlocie a trapezului ABCD

32 10

2 2

B bMN MN

= 21 cm;

[BE] [BG] şi [CF] [CG] BC = 16 + 5 = 21 cm. În AC'C, m(C') = 90 avem 2 2 2 2AC AC CC AC

= 2221 8 5 AC = 31 cm; BD = 31 cm;

b) AABCD = ( ) (32 10) 8 5

168 52 2

B b h cm2;

PABCD = 32 + 10 + 21 2 = 84 cm.

TESTUL 2

I. 1. 9

16. 2.

3 2 4 3

2

. 3. 3. 4. 24. 5. 12. 6. 7,57.

II. 2. a) –4; b) 8

45. 3. p =

1

2; p =

7

36. 4. (x + 1).

III. 1. Fie T (BC), ET FQ, FQ linie mijlocie în BET [BQ] [QT]; ET linie mijlocie în

CQA [QT] [TC] 1

3BQ BC . 2. R = 8 cm; l = 8 2 cm; A = 128 cm2.

TESTUL 3

I. 1. 1. 2. 1. 3. 1. 4. 1. 5. 3

8. 6. 7,32. 7. 12. 8. 5 2 . 9. 36. 10. 300.

II. 1. a) 25 4

36 5 100 24; 9 64 25 6; 1236 100 ga b m ab ;

b) 2 22 3 2 2 3 2 3 3 5 27 5 12 4 6 2 12 4 6 2 27 5

= 6; c) 12(2x + 3) – 10(x + 5) = 20(x + 2) – 15(3x + 1) 14x – 14 = –25x + 25 x = 1.

2. a) AO = 12 AC = 24 cm AABCD = AD AC = 384 cm2; b) BD = 40 cm; c) 8 13AB ;

PABCD = 32 + 16 3 ; 32 + 16 3 < 28 + 32 16 3 < 28 768 < 78.

A

F C

E B

G

O1

D

C'

Page 34: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

34

TESTUL 4

I. 1. –2. 2. 3

2. 3. 9. 4. 10. 5.

3

50. 6. 7. 7. 36. 8. 3. 9.

4

5. 10. 12.

II. 1. a) 3x – 1 – 3 = ±2; 1 3x – 1 = 1 3x – 1 = ±1 x = 2

3 sau x = 0; 2 3x – 1 = 5

3x – 1 = ±5 x = 2 sau x = 4

3 ; b) 2

3 2 2 4 3 2 2 4 = 22 – 8 + 4 = 18; c) a =

= 3 – 5 ; b = 3 + 5 ; ma = 3; mg = 2. 2. a) AC = 192 64 = 16 m; b) PABCD =

= 2 8 3 8 16 3 16; 16 3 16 44 16 3 28 768 < 784; c) 4 3BE ; EC = 4;

6 3; 10 3FE < 18.

TESTUL 5

I. 1. 14

9. 2. 1. 3. –4. 4. 16k2. 5. 53. 6. x = 2; y = 3. 7. 15 3 . 8. 10 10 . 9. 9. 10. 15.

II. 1. a) 6; b) 0; c) x = 1. 2. a) Fie trapezul ABCD, AB CD, AB = AD = BC. Dacă [MN] este linia mijlocie a trapezului şi [PQ] este segmentul determinat pe linia mijlocie a trapezului de

către diagonalele acestuia, avem 1 1 1

( ); ; ( )2 3 2

PQ DC AB PQ MN MN DC AB

4AB = 2DC AB = 10 cm şi PABCD = 50 cm. Înălţimea trapezului este 5 3 cm AABCD =

= 75 3 cm2; b) Fie BE DC, E DC. În BEC, m(E) = 90, BC = 10 cm, EC = 5 cm m(EBC) = 30 m(ABC) = 120. Aşadar m(DAB) = m(BAC) = 120, m(ADC) = = m(BCD) = 60; c) ABC este isoscel cu m(ABC) = 120 m(BAC) = m(BCA) = 30, apoi m(ACD) = 30 [CA este bisectoarea unghiului BCD. Analog [DB este bisectoarea unghiului ADC. În ADC m(DAC) = 90 CA AD. Analog DB BC.

TESTUL 6

I. 1. 0. 2. 1. 3. 0, 1, 2, 3. 4. x = 19

2; x = 11. 5. –1. 6. x 11 3 1 9

, 3, , 1, 0, , 2,2 2 2 2

.

7. 20 3 . 8. 30 3 . 9. 40 2 . 10. 3

5.

II. 1. a) 30 3 13

130100 10 10

a b b a b b b 100; a = 30; b) a2 + b2 – 2ab = (a – b)2

0, a, b a2 + b2 2ab, a, b ; c) Conform b) avem x2 + y2 2xy; x2 + z2 2xz;

y2 + z2 2yz. Adunând obţinem 2x2 + 2y2 + 2z2 2xy + 2xz + 2yz : 2 x2 + y2 + z2 xy + + xz + yz, x, y, z . 2. a) Din m(A) + m(B) = 180 şi m(B) = 2m(A) m(A) =

= m(C) = 60; m(B) = m(D) = 120; b) ABD este dreptunghic în B. Din m(A) = 60 şi AB = 12 cm AD = BC = 24 cm, deci PABCD = 72 cm; c) Din ABD, m(B) = 90 BD =

= 12 3 şi AABCD = 144 3 cm2.

Page 35: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

35

TESTUL 7

I. 1. 2

3. 2. 0 şi 2 5 . 3. –12. 4. 8. 5. 20. 6. 48.

II. 1. a + b = 110; 80 20 4

78 78 4 385 4100 100 5 5

a ba b a b b a 385;

a + 4a – 385 = 110 5a = 495 a = 99; b = 11. 2. 2 3 6 18 2

3 62 18

x x x x

122 2 6 3 2 6 2 18 2 6 2 12 2

6 2x x x x x x x .

3. x = (a2 – 3a)(a2 – 3a + 8) + 16 x = (a2 – 3a + 4)2 este pătrat perfect. 4. a) În OMA, m(OMA) = 90, avem 2 2 2 2OM OA MA OM 402 – 322 OM = 24 cm;

b) OMA ONA AAMON = 2AOMA = 2 2

OM MA = 24 32 = 768 cm2; c) MN OA

MN = 2MP, unde P = AO MN, deoarece în AMN isoscel, AP este înălţime şi mediană;

MP = 24 32 96

40 5

MO MA

OA

cm MN =

192

5 = 38,4 cm.

TESTUL 8

I. 1. –40. 2. 1. 3. 11. 4. 12. 5. 12. 6. 8. II. 1. a) 4x2 – 4x + 1 – 2x – 8 = 4x2 + 4x + 1 + 3x + 6 – 1 –13x = 13 x = –1;

b) 1 3 2 3 2 3 3 2 3 1 3 3 3 1x x x . 2. 1

1 1 3

4 4 4E

1 2 2 1 2

5 2 2 5 5; : 1 2; : : 2

4 5 5 4 8E E E E E E

. 4. a) AE DC şi AD CE

AECD paralelogram; b) Fie DM AB, M AB; AAECD = AE DM 60 = AE DM

60 = 6 DM DM = 10 cm; c) ACEB = d( , ) 3 3 6

;2 2 2

BE C BE AEEB

= 9 cm; ACEB =

= 9 10

2

= 45 cm2.

TESTUL 9

I. 1. 26. 2. 11. 3. 12 2 . 4. 300. 5. 2

15. 6. 40.

II. 2. a) x = lungimea drumului; I zi: 2

105

x ; II zi:

3 2 312 10

50 5 50

x x x + 12 + 140

x = 300 (km). 3. a) a = numărul apartamentelor cu 2 camere; b = numărul apartamentelor cu

3 camere; a + b = 50 şi 2a + 3b = 130 a = 20; b = 30; b) 100

p 50 = 20 p% = 40%.

4. 2 1 3 2 4 3

2x

2 1 3 2 4 3 5

2 2x x

x – 2 D5 x – 2 –5, –1, 1, 5 A = 3; 1; 3; 7; 2x – 1 3, x 2x – 1 –3,

–2, –1, 0, 1, 2, 3 2x –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 x –1, 0, 1, 2 B = –1; 0; 1; 2;

Page 36: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

36

A B = 1. 5. Notăm n2 + n = a (a – 4)(a – 2) + 1 = a2 – 6a + 9 = (a – 3)2 E(n) = (n2 + + n – 3)2 este p.p.

III. 1. a) ACMN = 100 2

MN BC = 100 MN BC = 200 3MN BC = 600 AB BC =

= 600 AABCD = 600 (cm2); b) MN 20 = 200 MN = 10 AB = 30 (cm); 10 13AC cm;

c) DQC ~ NQA. Fie QE DC, E (DC) şi QF AB, F (AB) 3

2

DC QE QE

AN QF QF

3 3

5 20 5

QE QEQE

QE QF

= 12 (cm); ADQC =

30 12

2 2

DC QE = 180 (cm2).

2. a) Lcerc = 2R = 12 (cm); b) m( )AB = 90 m(AOB) = 90 AAOB = 2

AO OB = 18 cm2;

c) A = 2

4

R – AAOB = 9 – 18 = 9( – 2) (cm).

TESTUL 10

I. 1. 30. 2. 360. 3. 18 2 . 4. 27. 5. 3. 6. 7,56.

II. 2. 2 5 31 5 1 2 3

3 3 5 14 4 4 5 3 4

N

; N = 6 . 3. 4x – 3 – 2(2x + 3) =

= 5(x – 1) + 5 4x – 3 – 4x – 6 = 5x – 5 + 5 9

5x . 4. a) a, b, c d.p. 12, 13, 15 şi

a + b + c = 120 a = 12k; b = 13k; c = 15k 12k + 13k + 15k = 120 k = 3 elevii au

rezolvat 36, 39, respectiv 45 de probleme; b) 100

p 45 = 36 p% = 80%. 5. E(x) = x2 – 2x +

+ 1 + x2 – 4 + 9 – 6x + x2 – (4x2 – 12x + 9) + 2x + 10; E(x) = –x2 + 6x + 7. III. 1. a) Fie CE AB, E (AB) CE = AD = 4 cm; EB = AB – AE = 10 – 6 = 4 cm. În

CEB, m(E) = 90 T.P.

CB = 4 2 cm; PABCD = 20 + 4 2 cm; b) Fie MN AD, N (AD)

MN linie mijlocie în trapez MN = 8 cm AMAD =2

AD MN= 16 (cm2); c) Fie DF BC,

F (BC) FCD CBA (corespondente); CEB dreptunghic isoscel m(ABC) = 45

m(DCF) = 45 DFC dreptunghic isoscel 3 2DF (cm). 2. a) Lcerc = 2R = 24 (cm);

b) m( ) m( )AB BC = 180 AC diametru ABC dreptunghic în B, m(C) = 30 AB =

= 12 cm şi AC = 12 3 cm; AABC = 72 3 cm2; c) ABCD dreptunghi.

Page 37: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

37

Cuprins

ALGEBRĂ CAPITOLUL 1. CALCULUL ALGEBRIC ....................................................................... 1

1.1. Adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere ..................................... 1 1.2. Înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere ............................................................................................................................. 1 1.3. Formule de calcul prescurtat ........................................................................................ 2 1.4. Metode de descompunere în factori ............................................................................. 2 1.5. Probleme pentru olimpiade şi concursuri ..................................................................... 3 TESTE DE EVALUARE ...................................................................................................... 4

CAPITOLUL 2. ECUAŢII ŞI INECUAŢII ....................................................................... 6

2.1. Proprietăţi ale relaţiei de egalitate în mulţimea numerelor reale .................................. 6 2.2. Ecuaţii de gradul I cu o necunoscută ............................................................................ 7 2.3. Proprietăţi ale relaţiei de inegalitate dintre numerele reale .......................................... 9 2.4. Inecuaţii de forma ax + b > 0 (<, >, , ), a, b , a 0 şi x ........................... 11 2.5. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor şi inecuaţiilor ................................... 11 2.6. Probleme pentru olimpiade şi concursuri ................................................................... 12 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 13

CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR ........................................ 14

3.1 Produsul cartezian a două mulţimi nevide. Reprezentarea punctelor în plan. Distanţa dintre două puncte din plan .................................. Error! Bookmark not defined. 3.2. Reprezentarea şi interpretarea unor dependenţe funcţionale prin tabele, diagrame şi grafice ................................................................................ Error! Bookmark not defined. 3.3. Probabilitatea realizării unor evenimente ................................................................... 14

GEOMETRIE

CAPITOLUL 4. RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC .......................... 16 4.2. Teorema înălţimii ....................................................................................................... 16 4.3. Teorema catetei .......................................................................................................... 17 4.4. Teorema lui Pitagora .................................................................................................. 17 4.5. Probleme pentru olimpiade şi concursuri ................................................................... 18 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 20

CAPITOLUL 5. NOŢIUNI DE TRIGONOMETRIE. ARII ................................................ 21

5.1. Noţiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic; sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta unui unghi ascuţit .......................................................................... 21 5.2. Rezolvarea triunghiului dreptunghic .......................................................................... 24 5.3. Aria triunghiului ......................................................................................................... 25 5.4. Aria patrulaterelor ...................................................................................................... 27 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 27

Page 38: ALGEBRĂ - librarianominatrix.rolibrarianominatrix.ro/wp-content/uploads/2016/01/Ora-de-mate_Nachila2... · 1 ALGEBRĂ CAPITOLUL 1 Calculul algebric 1.1. Adunarea şi scăderea numerelor

38

CAPITOLUL 6. CERCUL .......................................................................................... 28 6.1. Cercul ......................................................................................................................... 28 6.2. Unghi înscris în cerc................................................................................................... 28 6.3. Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un cerc ......................................................... 29 6.4. Probleme pentru olimpiade şi concursuri ................................................................... 29 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 31

VARIANTE DE LUCRĂRI SEMESTRIALE – SEMESTRUL AL II-LEA ...................... 32

TESTE FINALE .......................................................................................................... 33