ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU...

42
ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii vectoriale DefiniŃie Fie V o mulŃime nevidă de elemente şi K un corp de scalari şi fie: - o lege de compoziŃie internă (notată aditiv) “+”: V V V × y x y x + ) , ( - o lege de compoziŃie externă (notată multiplicativ) “. “: V V K × x k x k ) , ( Spunem că tripletul (V,+,.) este spaŃiu liniar (sau spaŃiu vectorial peste corpul K) notat V/K dacă: 1. (V,+) formează o structură de grup abelian 2. (V,.) satisface axiomele: V x x x astfelca corpulK unitatedin elementul K x x K V x x x x K V x y x y x K V y x = = + = + + = + ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( β α β α β α β α β α β α α α α α ObservaŃii a) Dacă K este identic cu R sau C, atunci spaŃiul vectorial peste K este real, respectiv complex. b) Elementele lui V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari. Exemplu = = = = n j m i K a a A K n m M ij n j m i ij , 1 , , 1 ) ( / ) ( ) ; , ( 1 1 cu operaŃiile:

Transcript of ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU...

Page 1: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE

SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii vectoriale

DefiniŃie Fie V o mulŃime nevidă de elemente şi K un corp de scalari şi fie:

- o lege de compoziŃie internă (notată aditiv) “+”: VVV →× yxyx +→),(

- o lege de compoziŃie externă (notată multiplicativ) “. “: VVK →× xkxk ⋅→),( Spunem că tripletul (V,+,.) este spaŃiu liniar (sau spaŃiu vectorial peste corpul K) notat V/K dacă:

1. (V,+) formează o structură de grup abelian 2. (V,.) satisface axiomele:

VxxxastfelcacorpulKunitatedinelementulK

xxKVx

xxxKVx

yxyxKVyx

∈∀=⋅∈∃

⋅⋅=⋅⋅⇒∈∈∀

⋅+⋅=⋅+⇒∈∈∀

⋅+⋅=+⇒∈∈∀

)(1)(1)(

)()(,,)(

)(,,)(

)(,,)(

βαβαβαβαβαβα

αααα

ObservaŃii

a) Dacă K este identic cu R sau C, atunci spaŃiul vectorial peste K este real, respectiv complex.

b) Elementele lui V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari.

Exemplu

==∀∈==≤≤≤≤ njmiKaaAKnmM ijnjmiij ,1,,1)(/)();,(

11 cu operaŃiile:

Page 2: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

njmiijij

def

baBA≤≤≤≤+=+

11

.

)( unde

njmiij

njmiij

bB

aA

≤≤≤≤

≤≤≤≤

=

=

11

11

)(

)(

njmiij

def

akAk≤≤≤≤⋅=⋅

11)(

Caz particular: pentru m=1 sau n=1 se obŃine spaŃiul matricelor cu o linie sau cu o coloană

Bază şi dimensiune. Reprezentarea unui vector într-o bază

DefiniŃie

a) Fiind daŃi vectorii { }nvv ,...,1 şi scalarii nαα ,...,1 vectorul nnvvvv ααα +++= ...2211 se

numeşte combinaŃie liniară a vectorilor nivi ,1, =

b) Spunem că v este un vector combinaŃie liniară a sistemului de vectori { }IiivS ∈= dacă există

în S vectorii niii vvv ,...,,

21şi scalarii nαα ,...,1 astfel încât

ninii vvvv ααα +++= ...21 21

DefiniŃie

Vectorii nvvv ,...,, 21 se numesc liniar independenŃi dacă pentru orice

Ki ∈α ,∑=

=⇒=n

i

iiiv1

00 αα )(∀ ni ,1=

ObservaŃie: Dacă sistemul de vectori { }nvvS ,...,1= este liniar independent, atunci orice

subsistem al său este tot liniar independent.

DefiniŃie

Vectorii nvvv ,...,, 21 se numesc liniar dependenŃi dacă nu sunt liniar independenŃi, adică există

Ki ∈α , nu toŃi nuli, astfel încât ∑=

=n

i

iiv1

0α .

ObservaŃie

a) Dacă sistemul de vectori { }nvvS ,...,1= este liniar dependent, atunci orice suprasistem al său

este tot liniar dependent.

Page 3: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

b) Sistemul de vectori { }vS = este liniar dependent ⇔ 0=v . Orice sistem de vectori care

conŃine vectorul nul este liniar dependent.

PropoziŃie

a) Vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar dependenŃi ⇔ cel puŃin unul este o combinaŃie liniară

a celorlalŃi. b) Dacă vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar independenŃi, iar { }121 ,...,, +nvvv sunt liniar

dependenŃi atunci 1+nv este o combinaŃie liniară a vectorilor { }.,...,, 21 nvvv

DemonstraŃie

a) { }nxxx ,...,, 21 liniar dependenŃi ⇒ )(∃ n scalari ,,...,1 nαα nu toŃi nuli, astfel încât

∑=

=n

i

iix1

.0α Fie nn xxx1

21

211 ...0

αα

αα

α −−−=⇒≠

Reciproc: dacă 0...1... 221221 =−−−⋅⇒++= nnnn xxxxxx αααα unde coeficienŃii

nαα −− ,...,,1 2 nu sunt toŃi nuli );01( ≠

b) { }121 ,...,, +nxxx sunt liniar dependenŃi 1,1,)( +=∃⇒ niiα nu toŃi nuli astfel încât

∑+

=

=1

1

0n

i

iixα

01 ≠+nα altfel nix i

n

i

ip

indlinii ,1)(00

1

.

..=∀=⇒=∑

=

αα şi se obŃine contradicŃie cu ipoteza

Deci: n

n

n

nn

n xxxx1

21

21

1

11 ...

++++ −−−−=

αα

αα

αα

Page 4: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

DefiniŃie

Sistemul de vectori { }niigG ,1== se numeşte sistem de generatori pentru V dacă orice vector din

V este o combinaŃie liniară finită de vectori din G, adică

KGggVv nn ∈∈∃∈∀ αα ,...,,,...,)()( 11 astfel încât ∑=

=n

i

iigv1

α

DefiniŃie

Un sistem de vectori { }IiibB ∈= formează o bază a spaŃiului vectorial V dacă:

i) B este sistem de vectori liniar independenŃi ii) B este sistem de generatori pentru V.

DefiniŃie

SpaŃiul vectorial V se numeşte finit dimensional dacă are o bază finită.

PropoziŃie

Într-un spaŃiu vectorial, orice vector se scrie în mod unic ca o combinaŃie liniară de vectori ai

bazei: ∑=

=n

i

iieav1

, unde { }neeE ,...,1= bază.

DemonstraŃie: Fie V spaŃiu vectorial cu baza { } .,,...,1 VveeE n ∈= Rezultă că E este sistem de

generatori pentru V şi ∑=

=n

i

iieav1

, ∑=

=n

i

iiebv1

⇒ ∑=

=−⇒=⋅−n

i

iiindlin

iii baeba1

..,00)( adică

niba ii ,1)(, =∀=

DefiniŃie

naa ,...,1 se numesc coordonatele vectorului v în baza E şi vom nota:

[ ]

==

n

t

nE

a

a

aav

.

.

.

),...,(

1

1

Page 5: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

DefiniŃie

Se numeşte dimensiune a unui spaŃiu vectorial finit dimensional X, cardinalul unei baze (numărul de vectori al unei baze).

PropoziŃie

Într-un spaŃiu vectorial de dimensiune n, orice sistem de n vectori liniar independent formează o bază.

DemonstraŃie

nX =dim şi { }nxxM ,...,1= liniar independent. Rămâne de arătat că M este şi sistem de

generatori. Fie ;Xx∈ sistemul de vectori { }xxx n ,,...,1 liniar dependent ⇒ x este o combinaŃie

liniară de vectori .,...,1 nxx

ObservaŃie

Într-un sistem n vectori liniar independenŃi, condiŃia de a fi sistem de generatori este înlocuită de

relaŃia Xn dim= .

Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei

În spaŃiul V considerăm bazele:

{ }niieE ,1== , { }

njjhH,1=

=

şi coordonatele [ ] [ ]EjE hx , cunoscute.

Să se determine coordonatele [ ] .Hx

Page 6: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

[ ] nj

c

c

c

h

nj

j

j

Ej ,12

1

=

=M

[ ]

=

n

E

x

x

x

xM

2

1

DefiniŃie

Se numeşte matricea de trecere de la baza E la baza H matricea:

( )njiij

nnnn

n

n

c

ccc

ccc

ccc

C,1,

21

22221

11211

==

=

M

MMMM

M

M

(are drept coloane coordonatele vectorilor h exprimate în

baza E).

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]HEMhhhCnot

EnEE,,...,,

.

21 ==

Notăm [ ] ( )tnH yyx ,...,1= coordonatele vectorului x în baza H pe care trebuie să le determinăm.

Avem: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑= = = = ==

=

===

n

i

n

j

n

j

n

i

i

n

j

jij

n

i

iijjjjii eycecyhyexx1 1 1 1 11

.

Deoarece scrierea într-o bază este unică, rezultă sistemul liniar:

∑=

==n

j

ijij nixyc1

,1, ⇔

=+++

=+++

=+++

nnnnnn

nn

nn

xycycyc

xycycyc

xycycyc

...

...

...

2211

22222121

11212111

M

sau scris matriceal:

Page 7: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

[ ] [ ] [ ] [ ]EHEH xCxxxC ⋅=⇒=⋅ −1 - reprezintă relaŃia de transformare a coordonatelor

unui vector prin trecerea de la baza canonică a spaŃiului la una oarecare.

În RRn / presupunem ( ) [ ]Et

n xxxx == ,...,1 , E baza canonică şi { } { }niinii gGfF ,1,1 ; == == alte

două baze din .nR Avem: [ ] [ ]EF xCx ⋅= −1 şi [ ] [ ]EG xDx ⋅= −1 cu matricele de trecere notate

),( FEMC = respectiv ),( GEMD = şi se obŃine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]FGGFE xCDxxDxCx 1−=⇒⋅=⋅=

reprezintă relaŃia de transformare a coordonatelor unui vector prin trecerea de la o bază

oarecare la alta, unde ),(1 FGMCD =− este matricea de trecere la schimbarea bazei.

Metode numerice de rezolvare a sistemelor liniare

Metoda eliminării complete (Gauss – Jordan) permite:

• rezolvarea unui sistem compatibil de “n” ecuaŃii cu „n” necunoscute • determinarea rangului matricei, a matricei inverse • determinarea coordonatelor modificate ale vectorilor odată cu schimbarea bazei.

Sistemul ,bAx = ( ) ,,1, njiijaA

== ( ) ,,...,1

t

nbbb = ( )tnxxx ,...,1= este adus prin transformări

elementare la forma echivalentă: bAIx 1−=

Se aplică sistemului o transformare elementară T, astfel încât în etapa i, matricea ataşată

sistemului să aibă coloana i egală cu cea corespunzătoare din matricea unitate .nI

0)( ≠i

iia se numeşte pivotul transformării

EcuaŃia i se împarte la pivot, iar celelalte (n-1) se înlocuiesc cu ecuaŃia echivalentă, rolul

transformării fiind de a anula coeficienŃii lui ix în aceste ecuaŃii, ceea ce implică următoarele

etape la o iteraŃie:

- linia pivotului se împarte la pivot; - coloana pivotului se completează cu 0; - primele (i-1) coloane rămân neschimbate; - elementele celorlalte coloane se calculează cu regula pivotului (regula dreptunghiului)

Page 8: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

Schematic, regula pivotului sau a dreptunghiului este:

xb

ap

L

L ; x devine ( )

pabpx

x−='

p

abxx −='

Pentru linia pivotului 0)( ≠i

iia se fac următoarele operaŃii:

)()()1( / i

ii

i

ik

i

ik aaa =+ nk ,1= , ;ik ≠

)()()1( / i

ii

i

i

i

i abb =+

iar pentru celelalte linii avem:

[ ] )()()()()()1( / i

ii

i

li

i

ik

i

lk

i

ii

i

lk aaaaaa −=+; [ ] )()()()()()1( / i

ii

i

i

i

li

i

l

i

ii

i

l ababab −=+

Operatori liniari pe spaŃii vectoriale

Fie ,K

X K

Y spaŃii vectoriale peste acelaşi corp K.

DefiniŃie

O funcŃie YXT →: se numeşte operator liniar dacă:

1) ( ) )()()(:, yTxTyxTXyx +=+∈∀ (funcŃie aditivă)

2) ( ) )()(:, xTxTXxK ⋅=∈∈∀ ααα (funcŃie omogenă)

ObservaŃie: CondiŃiile 1) şi 2) din definiŃie se pot înlocui cu:

( ) )()()(:,,, yTxTyxTKXyx ⋅+⋅=+∈∈∀ βαβαβα

Exemple:

1. XXT →: xxT =)( operator identitate pe X

2. [ ] [ ]XRXRT nn 1: −→ ')( PPT = operatorul de derivare

Page 9: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

3. 23: RRT → ( )321 2,)( xxxxT += pentru ( ) 3321 ,, Rxxxxt ∈=

PropoziŃie Operatorul liniar YXT →: are proprietăŃile:

a) 0)0( =T

b) )()( xTxT −=−

c) ∑ ∑= =

⋅=n

i

n

i

iiii xTxT1 1

)()( αα

Notăm { }iniarToperatorlYXTYXL /:),( →= mulŃimea operatorilor liniari din spaŃiul X în

spaŃiul Y.

Matricea ataşată unui operator

Fie K

X , K

Y spaŃii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K.

{ }niieE ,1== o bază în X, { }

mKKgG ,1== o bază în Y.

Fie niYeTYXLT i ,1,)();,( =∈∈ şi ( )[ ]

=

mi

i

i

Gi

a

a

a

eTM

2

1

DefiniŃie

Matricea ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )KnmMeTeTaAGnG

njmiij ;,,...,1

11 ∈==

≤≤≤≤ se numeşte matricea

operatorului în bazele E şi G. Se va nota cu A sau TA .

[ ] [ ]ETGxAxT ⋅=)( - reprezintă scrierea operatorului T cu ajutorul matricei ataşate TA .

Page 10: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

Vectori şi valori proprii.

DefiniŃie Fie V un spaŃiu vectorial n - dimensional peste corpul de scalari K şi VVT →: o

aplicaŃie liniară. Un scalar K∈λ se numeşte valoare proprie pentru aplicaŃia liniară T dacă

există cel puŃin un vector nenul Vv∈ astfel încât :

vTv λ= (1)

Vectorul nenul Vv∈ care verifică relaŃia (1) se numeşte vector propriu pentru aplicaŃia liniară

T asociat valorii proprii .λ .

Determinarea vectorilor şi valorilor proprii pentru o aplicaŃie liniară

Fie ': VVT → o aplicaŃie liniară cu matricea aplicaŃiei TA în baza { }naaB ,...,1= . RelaŃia (1)

se mai scrie:

0=− vTv λ sau: VnT vEA 0)( =− λ (2)

unde:

=

nnn

n

T

aa

aa

A

L

MMM

L

1

111

,

=

10

01

L

MMM

L

nE şi

=

nv

v

v M

1

RelaŃia (2) conduce la sistemul:

=−+++

=++−+

=+++−

0)(...

0...)(

0...)(

2211

2222112

1221111

nnnnn

nn

nn

vavava

vavava

vavava

λ

λ

λ

L (3)

Deci coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluŃiile sistemului omogen (3). SoluŃiile sistemului omogen (3) nu sunt toate nule, numai dacă determinantul sistemului este nul.

Determinantul sistemului (3) este:

Page 11: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

λ

λλ

λ

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

P

L

MMMM

L

L

21

22212

12111

)(

se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaŃiei liniare T. EcuaŃia 0)( =λP se numeşte

ecuaŃie caracteristică a aplicaŃiei T.

Teoremă Fie VVT →: , K∈λ este o valoare proprie a aplicaŃiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaŃiei caracteristice.

ObservaŃii

1. Polinomul caracteristic, deci şi ecuaŃia caracteristică nu depind de baza aleasă. 2. Vectorii proprii asociaŃi aplicaŃiei liniare VVT →: pentru valorile proprii determinate

se obŃin înlocuind valorile proprii în sistemul (3) şi rezolvând sistemul. SoluŃiile sistemului vor fi coordonatele vectorilor proprii asociaŃi aplicaŃiei T în raport cu baza B.

3. Fiecărei valori proprii λ îi corespund o infinitate de vectori proprii. Sistemul omogen (3) este compatibil nedeterminat, deoarece 0)( =λP . MulŃimea soluŃiilor formează un subspaŃiu numit subspaŃiu propriu (spectrul) ataşat valorii proprii respective. Se notează:

{ }vTvVvvE λλ =−∈= },0{/

4. Un vector propriu v poate fi asociat ca vector propriu unei singure valori proprii asociate aplicaŃiei liniare T. ObservaŃia se demonstrează presupunând că pentru v, vector propriu al lui T )(∃ două valori proprii adică: vTv λ= şi vTv β= , Vv 0≠ vv βλ =⇒ sau

( ) ⇒==−⇒=− βλβλβλ ,00v presupunerea este fals

Organizarea spaŃiilor vectoriale ca spaŃii metrice şi spaŃii normate

Fie V spaŃiu vectorial real

Page 12: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

DefiniŃie FuncŃia RVV →×:, se numeşte produs scalar pe mulŃimea V dacă:

1) xyyx ,, = Vyx ∈∀ ,)( (simetrie)

2) yxyxyxx ,,, '' +=+ Vyx ∈∀ ,)( (aditivitate în prima variabilă)

3) yxyx ,, ⋅=⋅ αα XxR ∈∈∀ ,)( α (omogenitate în prima variabilă)

4) 0, ≥xx ,)( Xx∈∀ 00, =⇔= xxx

ObservaŃie Produsul scalar , este liniar şi în a doua variabilă, deci este o funcŃională biliniară

pozitiv definită.

DefiniŃie Se numeşte spaŃiu euclidian un spaŃiu pe care s-a definit un produs scalar.

DefiniŃie FuncŃia RV →:. cu xxx ,= se numeşte normă a spaŃiului euclidian.

PropoziŃie Norma are următoarele proprietăŃi:

1) 0>x şi Vxxx ∈∀=⇔= )(,00

2) xx ⋅=⋅ αα , VxR ∈∈∀ ,)( α

3) Vyxyxyx ∈∀+≤+ ,)(, (inegalitatea triunghiului)

DefiniŃie

Vectorii x şi y se numesc ortogonali dacă 0, =yx

PropoziŃie

Un sistem de vectori nenuli { }mxx ,...,1 şi ortogonali doi câte doi este liniar independent.

DefiniŃie

Page 13: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

O bază a spaŃiului V se numeşte ortogonală dacă şi numai dacă vectorii ei sunt ortogonali doi câte doi.

PropoziŃie

Într-un spaŃiu finit dimensional V există o bază ortogonală.

Procedeul Gramm – Schmidt de ortogonalizare a unei baze oarecare

Se pleacă de la o bază oarecare a spaŃiului euclidian { }nbbbB ,...,, 21= şi se vor construi vectorii:

11,2211

12122

11

... −−−−−−=

−=

=

nnnnnnn aaaba

aba

ba

λλλ

λ

L

Scalarii ijλ se vor determina punând condiŃia ca oricare doi din vectorii naaa ,...,, 21

să fie ortogonali.

22

233223

11

133113

11

122112

,

,0,

,

,0,

,

,0,

aa

abaa

aa

abaa

aa

abaa

=⇒=

=⇒=

=⇒=

λ

λ

λ

Se obŃine: jj

ji

ijaa

ab

,

,=λ

DefiniŃie O bază a spaŃiului euclidian V se numeşte ortonormală dacă:

- este o bază ortogonală - norma fiecărui vector este 1

Exemplu

Page 14: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

În nR baza canonică este ortonormală.

Teoremă

Într-un spaŃiu euclidian finit dimensional există o bază ortonormală.

Fie o bază ortogonală { }naaaA ,...,, 21= construită prin procedeul Gramm-Schmidt. Se va

construi o bază ortonormală din baza A prin împărŃirea fiecărui vector la norma sa.

Se obŃine baza:

n

n

na

ac

a

ac

a

ac === ,...,,

2

22

1

11

DistanŃa, spaŃiu metric

DefiniŃie FuncŃia RVVd →×: , ,),( yxyxd −= Vyx ∈∀ ,)( se numeşte distanŃă în V.

Un spaŃiu vectorial pe care s-a definit o distanŃă se numeşte spaŃiu metric.

PropoziŃie FuncŃia distanŃă are proprietăŃile:

1) 0),( ≥yxd şi yxyxd =⇔= 0),(

2) Vyxxydyxd ∈∀= ,)(),,(),(

3) Vzyxyzdzxdyxd ∈∀+≤ ,,)(),,(),(),(

FUNDAMENTAREA OPTIMĂ A DECIZIILOR PRIN PROGRAMARE LINIARĂ

Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic

Modelarea unei probleme cu conŃinut economic care implică optimizare liniară necesită parcurgerea următoarelor etape:

Page 15: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

1. Identificarea variabilelor modelului, a funcŃiei obiectiv (funcŃia de eficienŃă) ce se cere optimizată, a restricŃiilor cărora le sunt supuse variabilele modelului şi eventual întocmirea unui tabel de date;

2. Determinarea modelului matematic asociat problemei de programare liniară (PPL), rezultate;

3. Aducerea PPL la forma standard, cea pentru care este elaborat algoritmul de optimizare a soluŃiei primal admisibile de bază;

4. Determinarea unei baze admisibile; 5. Aplicarea Algoritmului Simplex Primal pentru determinarea programului optim de bază

şi a optimului funcŃiei obiectiv şi verificarea rezultatelor; 6. Interpretarea rezultatelor din punct de vedere economic şi luarea deciziei optime în plan

economic.

Forme fundamentale ale PPL, soluŃii, clasificare, interpretarea economică a PPL

O problemă de programare matematică reprezintă determinarea optimului (maximului sau minimului) unei funcŃii de variabilă vectorială care îndeplineşte anumite condiŃii (restricŃii, legături) de tip inecuaŃii sau ecuaŃii, precum şi condiŃii de nenegativitate ale variabilelor funcŃiei.

Dacă toate funcŃiile care intervin în formularea problemei de programare matematică sunt liniare atunci problema se numeşte problemă de programare liniară (PPL). În caz contrar se numeşte problemă de programare neliniară.

1) Forma standard – este cea care conŃine restricŃii de tip ecuaŃii ( )nn xcxcxcoptimz +++=− ...2211

- restricŃii de tip egalitate

=+++

=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

dxaxaxa

dxaxaxa

dxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

L

- condiŃii de nenegativitate 0,...,0,0 21 ≥≥≥ nxxx

Matricial, forma standard poate fi exprimată astfel:

Page 16: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

=

0X

DAX

XoptimC T

unde

( )( )( )( )Tm

T

n

T

n

nmij

dddD

cccC

xxxX

aA

,...,,

,...,,

,...,,

21

21

21

=

=

=

ObservaŃii

Se poate ca restricŃiile de tip inegalitate să fie aduse la forma unor restricŃii de tip egalitate (adică cele cerute de forma standard) prin adunarea sau scăderea unui termen numit variabilă ecart sau variabilă de compensare.

∑=

==n

j

T

jj XCxcxz1

)( - se numeşte funcŃie obiectiv (funcŃia economică)

- spaŃiul nR al vectorului X, respectiv C – se numeşte spaŃiul activităŃilor

- vectorul mRD∈ se numeşte vectorul resurselor

- spaŃiul mR se numeşte spaŃiul resurselor

2) Forme canonice

0

min

X

DAX

XC T

sau

0

max

X

DAX

XCT

O problemă este în formă canonică dacă toate restricŃiile sunt concordante şi toate variabilele sunt nenegative.

Pentru problema de minim, concordante sunt inegalităŃile cu semnul "."≥

Pentru problema de maxim, concordante sunt inegalităŃile cu semnul "."≤

Algoritmul Simplex Primal

Page 17: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

Pentru rezolvarea problemelor de programare liniară s-a impus algoritmul simplex datorat lui G.B. Dantzig (1951).Metoda permite explorarea sistematică a mulŃimii programelor prin trecerea de la un program de bază la alt program de bază “vecin” care este „cel puŃin la fel de bun” ca programul precedent. Metoda furnizează criterii pentru punerea în evidenŃă a faptului că problema are optim infinit, precum şi a cazului în care mulŃimea programelor este vidă.

Fie sistemul de m ecuaŃii liniare cu n necunoscute:

(1) bAx = unde .,, nm

nm RxRbMA ∈∈∈ ×

Presupunem rang(A)= .nm ≤ Dacă m=n sistemul (1) are soluŃia unică ,1bAx −= iar dacă nm <

sistemul are o infinitate de soluŃii.

Fie B o matrice pătratică formată cu m coloane liniar-independente ale matricii A, numită bază:

( ).,...,1 mjj aaB =

Notăm: B={ }mjj ,...,1 şi { }.,...,1

_

mjj

B

xxx =

Matricea formată cu coloanele lui A care nu sunt în B va fi notată cu R, iar R { }−= n,...,1 B.

Notăm cu Rx vectorul format cu componentele lui x care nu se află în .Bx

Componentele lui Bx se numesc variabile de bază, iar componentele lui Rx se numesc variabile secundare.

Sistemul (1) devine: bRxBx RB =+ de unde se obŃine forma explicită

(2) RB RxBbBx 11 −− −=

O soluŃie nRx∈ a sistemului (1) se numeşte soluŃie de bază, dacă pentru componentele sale

diferite de zero corespund coloane liniar independente ale lui A. Deoarece nmArang <=)( , cel

mult m componente ale unei soluŃii de bază pot fi nenule. Dacă soluŃia de bază are exact m componente nenule , ea se numeşte nedegenerată, în caz contrar – degenerată.

O soluŃie de bază se poate obŃine din (2) dacă anulăm variabilele secundare:

Page 18: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

(3)

=

= −

0

1

R

B

x

bBx

Această soluŃie de bază corespunde bazei B formată cu m coloane liniar independente ale lui A.

Se asociază în acest mod la fiecare bază o soluŃie de bază.

Fie ( ).,...,1 mjj aaB = o bază. Consideră forma explicită a sistemului bAx = :

(4) RB RxBbBx 11 −− −= .

unde R este matricea formată cu coloanele lui A care nu sunt în B.

Fie B={ }mjj ,...,1 şi R { }−= n,...,1 B.

Dacă notăm BxbB =−1 şi ,1,1 njyaB B

j

j ≤≤=⋅− (4) devine:

(5) ∑∈

−=Rj

j

B

j

BB xyxx , iar pe componente:

(6) ∑∈

∈−=Rj

j

B

ij

B

i

B

i Bixyxx .,

SoluŃia de bază corespunzătoare bazei B este dată de:

(7)

=

=

0R

BB

x

xx

Această soluŃie de bază este program dacă:

(8) .01 ≥− bB

O bază B care verifică relaŃia (8) se numeşte bază primal admisibilă.

FuncŃia obiectiv se poate scrie Ńinând seamă de relaŃia (2):

( ) RT

R

T

B

T

B

RT

R

BT

B xcRBcbBcxcxcz −−=+= −− 11

Page 19: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

unde Bc şi Rc sunt vectori coloană având componentele Bici ∈, şi respectiv ., Rici ∈

Notăm cu: .1,, njyczxcz B

j

T

B

B

j

BT

B

B ≤≤==

Observăm că Bz reprezintă valoarea funcŃiei obiectiv pentru soluŃia de bază

.0, == RBB xxx

Cu notaŃiile de mai sus funcŃia z devine:

(9) ( )∑∈

−−=Rj

jj

B

j

B xczzz

La fiecare bază utilizată B corespunde un tabel simplex care are în prima coloană variabilele de

bază (vectorul Bx ), în a doua coloană valorile variabilelor de bază (vectorul B

x_

), iar în

următoarele n coloane, vectorii .1, njy Bj ≤≤ Pe o linie suplimentară se trec funcŃia obiectiv

xcz T= , valoarea sa în baza B (adică B

z_

), precum şi cantităŃile njcz j

B

j ≤≤− 1, , necesare în

aplicarea algoritmului simplex.

Este util să scriem alături de coloana Bx vectorul Bc , iar alături de lista variabilelor

,1, njx j ≤≤ coeficienŃii ,1, njc j ≤≤ din funcŃia obiectiv.

1c jc

nc

V.B. V.V.B. 1x … jx …

nx

Bc Bx bBx ⋅= −1 By1 … jB

j aBy ⋅= −1 … B

ny

z BT

B xcz = 11 cz B − … j

B

j

T

Bj

B

j cyccz −=− … n

B

n cz −

Fie problema de minim sub forma standard:

Page 20: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

(10)

=

0

)min(

x

bAx

xcT

Teoremă Fie B o bază primal admisibilă. Dacă

(11) ,)(,0 Rjcz j

B

j ∈∀≤− atunci programul de bază (7) este o soluŃie optimă a problemei de

programare liniară (10).

RelaŃia (11) reprezintă testul de optimalitate.

Teoremă Fie B o bază primal admisibilă. Dacă există Rk ∈ astfel încât să avem:

0>− k

B

k cz

şi ,0≤B

ky atunci problema (10) are optim infinit.

Teoremă Fie B o bază primal admisibilă. Dacă există Rk ∈ astfel încât să avem:

0>− k

B

k cz

şi B

ky >0 şi dacă Br∈ se determină din condiŃia:

(12) ,min0/ B

rk

B

r

B

ik

B

i

yi y

x

y

xBik

=

>atunci matricea B

~ obŃinută din B prin înlocuirea coloanei ra cu

coloana ka este o bază primal admisibilă, iar programul Bx~

este cel puŃin la fel de bun ca

programul Bx adică .~

BB zz ≤

RelaŃia (12) reprezintă criteriul de ieşire din bază.

Page 21: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

Algoritmul simplex

Pasul 1 Se determină o bază primal admisibilă B, se calculează njczyzx j

B

j

B

j

BB ≤≤− 1,,,, şi

se trece la pasul 2.

Pasul 2 Dacă 0≤− j

B

j cz pentru orice Rj∈ , STOP: 0, == RBB xxx este program optim.

Dacă există Rj∈ pentru care ,0>− j

B

j cz se determină mulŃimea

{ }0/ >−∈=+ j

B

j czRjR şi se trece la pasul 3.

Pasul 3 Dacă există +∈ Rj astfel încât să avem ,0≤B

jy STOP: problema are optim infinit.

Dacă pentru orice +∈ Rj avem ,0>B

jy determinăm +∈ Rk folosind criteriul de intrare în

bază: (13) { } k

B

kj

B

jRj

czcz −=−+∈

max şi apoi indicele Br∈ cu criteriul de ieşire din bază (12) şi

se trece la pasul 4.

Pasul 4 Se consideră baza B~

obŃinută din B prin înlocuirea coloanei ra cu coloana ka , se

calculează njczyzx j

B

j

B

j

BB ≤≤− 1,,,,~~~~

şi se trece la pasul 2 înlocuind B cu .~B

ObservaŃie

În cazul unei probleme de maximizare, numai paşii 2 şi 3 ai algoritmului trebuie modificaŃi:

Pasul '2 Dacă 0≥− j

B

j cz pentru orice Rj∈ (criteriul de optimalitate pentru problema de

maxim), STOP: 0, == RBB xxx este program optim. Altfel, se determină mulŃimea

{ }0/ <−∈=− j

B

j czRjR şi se trece la pasul '3 .

Pasul '3 Dacă există −∈ Rj astfel încât ,0≤B

jy STOP: problema are optim infinit. Altfel se

determină −∈ Rk folosind criteriul de intrare în bază (14) { } k

B

kj

B

jRj

czcz −=−−∈

min şi −∈ Rr

folosind criteriul de ieşire din bază (12) şi se trece la pasul 4.

Page 22: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

Formulele de schimbare a bazei

Calculul elementelor njczyzx j

B

j

B

j

BB ≤≤− 1,,,,~~~~

de la pasul 3 al algoritmului simplex,

corespunzător bazei B~

obŃinută prin înlocuirea coloanei ra cu coloana ka , se face cu elementele tabelului simplex corespunzător bazei B prin aplicarea unor formule.

Pentru obŃinerea acestor formule, presupunem fără a restrânge generalitatea că baza B este formată din primele m coloane ale matricei A. Tabelul simplex corespunzător bazei B este următorul:

1c - ic -

rc - mc -

jc - kc -

nc

Bc Bx Bx 1x - ix -

rx - mx -

jx - kx -

nx

1c 1x Bx1 1 - 0 - 0 - 0 - B

jy1 - B

ky1 - B

ny1

M M M M M M M M M M M M M M M M

ic ix B

ix 0 - 1 - 0 - 0 - B

ijy - B

iky - B

iny

M M M M M M M M M M M M M M M M

rc rx B

rx 0 - 0 - 1 - 0 - B

rjy - B

rky - B

rny

M M M M M M M M M M M M M M M M

mc mx B

mx 0 - 0 - 0 - 1 - B

mjy - B

mky - B

mny

z Bz 0 - 0 - 0 - 0 - j

B

j cz − - k

B

k cz − - n

B

n cz −

Elementul B

rky se numeşte pivot. Linia r a tabelului simplex este numită linia pivotului, iar

coloana k, coloana pivotului.

Avem următoarele formule:

Page 23: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

.1,,~~

njy

yy

y

xx

B

rk

B

rjB

kjB

rk

B

rB

k ≤≤==

{ }kBiy

yyyy

y

yxxx

B

rk

B

ik

B

rjB

ij

B

ijB

rk

B

ik

B

rB

i

B

i \~

,;~~

∈−=−= .

( )

( ) ( ).1,

~

~

njy

yczczcz

y

xczzz

B

rk

B

rjk

B

k

j

B

jj

B

j

B

rk

B

rk

B

kBB

≤≤−

−−=−

−−=

Formulele de mai sus se numesc formulele de schimbare a bazei şi sunt echivalente cu următoarele reguli de transformare a tabelului simplex:

a) elementele situate pe linia pivotului se împart la pivot b) elementele situate pe coloana pivotului devin zero, cu excepŃia pivotului care devine 1 c) celelalte elemente ale tabelului simplex se transformă după regula dreptunghiului: dacă

ne imaginăm dreptunghiul a cărui diagonală este determinată de elementul B

ijy care

trebuie transformat şi pivotul B

rky , atunci noua valoare B

ijy~

se obŃine împărŃind la pivot

diferenŃa dintre produsul B

rk

B

ij yy ⋅ al elementelor de pe diagonala considerată mai sus şi

produsul B

ik

B

rj yy ⋅ al elementelor situate pe cealaltă diagonală a dreptunghiului.

Pentru ultima linie a tabelului se poate aplica aceeaşi regulă a dreptunghiului sau formulele iniŃiale.

Forma duală a PPL. Teorema de dualitate şi conŃinutul economic al variabilelor duale

Fie modelele de programare liniară (PL):

Page 24: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

( )

=≥

=≥

=

=

=

_

1

_

1

,1,0

,1;

min

nkx

mibxa

xcf

k

n

k

ik

i

k

n

k

kk

(1) ⇔

( )

=

0

min

X

bAX

Xcf T

( )

=≥

=≤

=

=

=

_

1

_

1

,1,0

,1;

max

miy

nkcya

ybg

i

m

i

ki

k

i

m

i

ii

)2( ⇔

( )

=

0

max

Y

cAY

bYg

TT

T

DefiniŃie

Modelele (1) şi (2) sunt modele de programare liniară (P.L.) aflate în relaŃia de dualitate simetrică (modelul (1) este dualul modelului (2) şi invers).

FuncŃii reale de mai multe variabile reale

Modelarea activităŃilor economice este realizată prin funcŃii de producŃie, de ofertă, de cost, de consum, de cerere, de venit care sunt exprimate prin funcŃii de mai multe variabile reale.

Fie o mulŃime nRA ⊆ . O funcŃie RAf →: definită prin Ryxxfxf n ∈== ),...,()( 1 se

numeşte funcŃie reală de variabilă vectorială sau funcŃie reală de mai multe variabile reale.

Exemplu

Page 25: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

FuncŃiile de producŃie exprimă legătura dintre rezultatul unei activităŃi de producŃie P (produs

global, venit naŃional) şi factorii care determină producŃia respectivă nxxx ,...,, 21 - materii prime,

mijloace fixe, investiŃii, forŃa de muncă etc.

Deci ),...,,( 21 nxxxfP = , RRIf n →⊆:

DefiniŃie Fie RRAf n →⊆: şi ),...,( 1 naaa = un punct de acumulare al mulŃimii de

definiŃie A. Se spune că Rl∈ este limita funcŃiei f în punctul a dacă pentru orice 0>ε , există

0)( >εN astfel încât pentru orice ax ≠ şi )(εNax <− avem: ε<− lxxf n ),...,( 1 .

DefiniŃie Fie RRAf n →⊆: şi Aaaa n ∈= ),...,( 1 . FuncŃia f este continuă în punctul a dacă

există şi este finită limita funcŃiei ),...,( 1 nxxf şi pentru ax → avem:

),...,(),...,(lim 11 nnax

aafxxf =→

DefiniŃie Fie RRAf n →⊆: şi .Aa∈ FuncŃia ),...,( 1 nxxf este derivabilă parŃial în raport

cu variabila kx dacă există şi este finită limita:

kk

nnkkk

ax ax

aafaaxaaf

kk −

−+−

),...,(),...,,,,...,(lim 1111

Această limită se notează ),...,( 1'

nx aafk

sau kx

af

∂∂ )(

şi se va numi derivata parŃială a funcŃiei f

în raport cu componenta kx .

ObservaŃii

1. Din definiŃie rezultă că, atunci când calculăm derivata în raport cu una din variabile, ix ,

toate celelalte variabile sunt considerate constante. 2. FuncŃia de n variabile reale ),...,( 1 nxxf are n derivate parŃiale de ordinul întâi:

)(),...,(),( '''

21xfxfxf

nxxx .

Page 26: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

3. Regulile de derivare cunoscute de la funcŃii de o variabilă rămân valabile. Dacă derivatele

parŃiale de ordinul întâi sunt la rândul lor derivabile parŃial, vom avea 2n derivate parŃiale de ordinul doi ce formează o matrice, care se numeşte matricea hessiană.

=

)()()(

.........

)()...()(

)(''''''

''''''

21

12111

xfxfxf

xfxfxf

xH

nnnn

n

xxxxxx

xxxxxx

ObservaŃie

Pentru derivatele de ordinul doi folosim notaŃiile:

∂∂

∂∂

),( yxx

f

x se notează ),()2(

2 yxfx

sau ),(2

2

yxx

f

∂∂

∂∂

),( yxy

f

y se notează ),()2(

2 yxfy

sau ),(2

2

yxy

f

∂∂

∂∂

),( yxx

f

y se notează ),()2( yxf xy sau ),(

2

yxxy

f

∂∂∂

∂∂

∂∂

),( yxy

f

x se notează ),()2( yxf yx sau ),(

2

yxyx

f

∂∂∂

Proprietate

FuncŃiile reale de mai multe variabile reale care admit derivate parŃiale de ordinul doi continue în

.Aa∈ au derivatele parŃiale mixte egale. Deci: )()( '''' afafijji xxxx = , ji ≠

DiferenŃiala unei funcŃii ),...,()( 1 nxxfxf = în punctul ),...,( 1 naaa = se va calcula astfel:

nnxnxn dxxxfdxxxfxxdfn

),...,(...),...,(),...,( 1'

11'

1 1++=

Page 27: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

DiferenŃiala de ordinul n a funcŃiei f este:

n

n

nn

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

dyy

fCdydx

yx

fC

dydxyx

fCdx

x

ffdy

ydx

xfd

)()(

...)()(

11

1

11

1

)(

∂+

∂∂

∂+

+∂∂

∂+

∂=

∂∂

+∂∂

=

−−

−−

Interpretarea economică a derivatelor parŃiale

Derivata parŃială a unei funcŃii ),...,( 1 nxxf arată variaŃia funcŃiei la o creştere ix∆ a variabilei

ix .

Pentru funcŃiile de producŃie ),...,,( 21 nxxxfP = unde nxxx ,...,, 21 sunt factorii care determină

producŃia respectivă, derivatele parŃiale determină eficienŃa utilizării unei unităŃi suplimentare a

factorului ix , atunci când ceilalŃi factori rămân neschimbaŃi şi se numesc randamente

marginale.

Dacă notăm cu Y-venitul naŃional sau producŃia în unităŃi fizice sau produsul social total

L-forŃa de muncă utilizată sau fondul de salarii sau numărul de muncitori

K-capitalul utilizat sau fondurile fixe se poate scrie funcŃia

C.Cobb – P.Douglas prin: ba KLAY ⋅⋅= unde:

A- constantă pozitivă, factor de proporŃionalitate, iar a,b sunt coeficienŃii de elasticitate

Să calculăm pentru ba KLAY ⋅⋅= randamentele marginale:

1'

1'

),(

),(−

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=ba

K

ba

L

KLbAKLY

KLaAKLY

Page 28: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

DiferenŃiala funcŃiei de producŃie exprimă efectul modificărilor variabilelor.

DiferenŃiala de ordinul întâi a funcŃiei de producŃie este:

YdKK

bYdL

L

adKYdLYdY KL +=+= '' - exprimă variaŃia absolută a producŃiei

VariaŃia relativă Y

dY exprimată prin:

K

dKb

L

dLa

Y

dY⋅+⋅= este o combinaŃie liniară a variaŃiilor relative ale forŃei de muncă şi ale

capitalului.

Dacă ⇒= 0dL L este constant şi din dY se poate obŃine coeficientul:

K

dK

Y

dYb := ca raport între variaŃia relativă a producŃiei şi variaŃia relativă a capitalului

Analog dacă 0=dK se obŃine L

dL

Y

dYa :=

Extremele funcŃiilor de mai multe variabile

Fie RRAf n →⊆: şi ( ) Aaaa n ∈= ,...,1

DefiniŃie Punctul a este un punct de maxim local dacă )()( afxf ≤ pentru orice x ce aparŃine

unei vecinătăŃi a lui a, ., AVVx aa ∈∈

Punctul a este un punct de minim local dacă )()( afxf ≥ pentru orice x ce aparŃine unei

vecinătăŃi a lui a, ., AVVx aa ∈∈

Page 29: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

ObservaŃie La fel ca pentru funcŃiile de o variabilă, dacă există puncte de extrem, atunci derivatele parŃiale de ordinul întâi în aceste puncte sunt nule, adică

0)(,...,0)(,0)( '''

21=== afafaf

nxxx

DefiniŃie Un punct a pentru care derivatele parŃiale se anulează se numeşte punct staŃionar.

ObservaŃie Nu orice punct staŃionar este şi punct de extrem pentru funcŃie.

CondiŃiile suficiente ca un punct staŃionar să fie punct de extrem local sunt date de următoarea teoremă:

Teoremă Fie RRAf n →⊆: şi Aa∈ un punct staŃionar. Punctul a este un punct de minim

local al funcŃiei dacă matricea hessiană, simetrică este pozitiv definită adică:

=

)()()(

)()()(

)()()(

)(

"""

"""

"""

21

22212

12111

afafaf

afafaf

afafaf

aH

nnnn

n

n

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

L

LLLL

L

L

are minorii:

L

0)()(

)()(

0)(

""

""

2

"1

2212

2111

11

>=∆

>=∆

afaf

afaf

af

xxxx

xxxx

xx

0

)()(

)()(

""

""

1

111

>=∆

afaf

afaf

nnn

n

xxxx

xxxx

n

L

LLL

L

Page 30: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

deci toŃi minorii hessiani sunt pozitivi în punctul a.

Punctul a va fi un punct de maxim local dacă:

0)1(,...,0,0,0 321 >−∆<∆>∆<∆ n

n

ObservaŃie Dacă 02 =∆ , nu putem preciza natura punctului staŃionar a prin această metodă.

Este necesar să se determine semnul formei pătratice a diferenŃialei de ordinul doi a funcŃiei în

punctul a, ).(2 afd

Extremele funcŃiilor de mai multe variabile condiŃionate

Dacă se cere să se determine extremele funcŃiei ),...,,( 21 pxxxfy = în care variabilele

pxxx ,...,, 21 sunt supuse unor legături de forma:

,...,0),...,,( 211 =pxxxϕ 0),...,,( 21 =pq xxxϕ , pq <

Se construieşte funcŃia lui Lagrange:

),...,,(...),...,,(),...,,(),...,,( 2121112121 pqqppp xxxxxxxxxfxxxL ϕλϕλ +++= unde

qλλλ ,...,, 21 sunt multiplicatorii lui Lagrange.

Se formează apoi sistemul de qp + ecuaŃii:

0),...,,(

0),...,,(

0),...,,;,...,,(

21

211

2121

=

=

=

pq

p

qp

xxx

xxx

xxxdL

ϕ

ϕ

λλλ

Mcu qp + necunoscute qpxxx λλλ ,...,,,,...,, 2121

O condiŃie suficientă de extrem este ca: ),...,,( 212

pxxxLd să păstreze semn constant.

Dacă Ld 2 este pozitiv definită, atunci funcŃia f are un punct de minim, iar dacă Ld 2 este negativ definită, funcŃia f are un punct de maxim condiŃionat.

Page 31: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

Integrale duble

NoŃiunea de integrală Riemann a unei funcŃii de o variabilă reală se poate generaliza pentru funcŃii de două sau mai multe variabile.

Fie un domeniu D închis şi mărginit, deci domeniu ce poate fi mărginit de un interval

bidimensional [ ] [ ]dcbaI ,, ×= care poate fi împărŃit la rândul său în nm ⋅ intervale

[ ] [ ]jjiiij yyxx ,, 11 −− ×=∆ cu ni ,...,1= şi mj ,...,1= .

Definim norma diviziunii astfel: ( ){ }11;max −− −−=∆ jjii yyxx

DefiniŃie O funcŃie RRDf →⊂ 2: mărginită pe D este funcŃie integrabilă Riemann pe

domeniul D dacă există un număr real I cu proprietatea 0)( >∀ ε , există 0)( >εN astfel încât

pentru orice diviziune ∆ a domeniului D cu )(εN<∆ să avem εσ <−∆ If )( pentru orice

punct ijijijij yxM ∆∈),( şi sumă Riemann ∑∑= =

∆ =n

i

m

j

ijij yxf1 1

),(σ

Numărul I se numeşte integrala funcŃiei f pe domeniul D, care se notează ∫∫=D

dxdyyxfI ),(

ObservaŃie Calculul integralei duble se reduce la calculul unei inegrale simple.

a) Dacă 2RD ⊂ este un domeniu simplu în raport cu axa Ox şi cu axa Oy, deci un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate, bxa ≤≤ şi dyc ≤≤ atunci:

dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf

d

c

b

aD

b

a

d

c

∫ ∫∫∫ ∫ ∫

=

= ),(),(),(

b) Dacă 2RD ⊂ este un domeniu simplu în raport cu una din axe, de exemplu cu axa Oy; adică există [ ] Rbaxyxy →,:)(),( 21 continue pe [ ]ba, şi )()( 21 xyxy ≤ atunci

( ) [ ]{ })()(,/, 212 xyyxybaxRyxD ≤≤∈∈= şi:

Page 32: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

dxdyyxfdxdyyxf

b

a

xy

xyD

∫ ∫∫∫

=

)(

)(

2

1

),(),(

c) Dacă f este funcŃie continuă pe xoyD ⊂ şi dacă există două funcŃii ),(1 vufx = şi

),(2 vufy = care admit derivate parŃiale de ordinul întâi continue cu determinantul funcŃional:

0),(

),(

22

11

∂∂

=

v

f

u

fv

f

u

f

vuD

yxD pentru ( ) 1, Dvu ∈ atunci:

∫∫∫∫ =1

),(

),()).,(),,((),( 21

DD

dudvvuD

yxDvufvuffdxdyyxf

Acest caz presupune schimbarea de variabile.

Integrale improprii (generalizate)

NoŃiunea de integrală Riemann ∫b

a

dxxf )( s-a studiat pe un interval [ ]ba, compact, adică a,b sunt

finite, iar funcŃia )(xf este mărginită pe acest interval.

Există probleme care conduc la extinderea noŃiunii de integrală definită la integrală în care unul sau ambele numere a,b sunt infinite.

∫∫∫∞

∞−∞−

dxxfdxxfdxxf

bb

a

)(,)(,)(

Fie o funcŃie Raf →∞),[: , integrabilă pe [ ]ba, pentru orice ab > . Dacă există şi este finită

limita integralei pe [ ]ba, , atunci integrala pe ),[ ∞a este convergentă şi este egală cu această

limită. Adică: ∫∫∞

∞→=a

b

ab

dxxfdxxf )()(lim

Page 33: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

Dacă limita nu există sau nu este finită, spunem că integrala este divergentă.

Analog:

∫∫∞−

−∞→=

bb

aa

dxxfdxxf )()(lim şi

∫∫+∞

∞−∞→−∞→

= dxxfdxxf

b

aba

)()(lim

Integrale euleriene

DefiniŃie Se numeşte funcŃie Gama, integrala:

dxexp xp∫∞

−−=Γ0

1)(

Această integrală este convergentă pentru orice parametru .0>p

ProprietăŃi:

1) 0),()1( >Γ⋅=+Γ pppp - reprezintă relaŃia de recurenŃă a funcŃiei Γ

2) Nnnn ∈=+Γ ,!)1(

3) 1)1( =Γ

4) π=

Γ2

1

DefiniŃie Se numeşte funcŃie Beta, integrala:

Page 34: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

0,0,)1(),(1

0

11 >>−= ∫ −− qpdxxxqp qpβ

Integrala beta este convergentă pentru orice parametri p şi q strict pozitivi.

ProprietăŃi:

1) ),(),( pqqp ββ =

2) )(

)()(),(

qp

qpqp

+ΓΓ⋅Γ

3) Π=

2

1,

2

4) ),())(1(

)1,1( qpqpqp

pqqp ββ ⋅

+++=++

5) Dacă 10,1 <<−= ppq avem: )sin(

)1()(Π⋅

Π=−Γ⋅Γ

ppp (formula complementelor)

ObservaŃie:

Aceste integrale ne ajută să calculăm convergenŃa multor integrale improprii.

Cu ajutorul lor se definesc o serie de variabile aleatoare din teoria probabilităŃilor.

Tipuri principale de ecuaŃii diferenŃiale cu aplicaŃii în economie

Multe modele matematice din economie, mecanică, fizică exprimate cu ajutorul funcŃiilor şi al derivatelor au condus la necesitatea studierii ecuaŃiilor diferenŃiale. Modele ale economiei de piaŃă sunt exprimate prin ecuaŃii diferenŃiale, adică necesită determinarea unei funcŃii care se găseşte într-o ecuaŃie ce conŃine şi derivate ale funcŃiei.

Page 35: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

Fie F o funcŃie definită pe un domeniu D, din ,2+nR cu valori reale, continuă în acest domeniu.

DefiniŃie O relaŃie de forma

0),...,,,( )(' =nyyyxF (1)

se numeşte ecuaŃie diferenŃială de ordinul n.

Fie ( ) Rba →,:ϕ o funcŃie derivabilă de n ori în orice punct al intervalului ( )ba, , unde a poate

fi ∞− , iar b poate fi ∞+

DefiniŃie Se spune că funcŃia ϕ este soluŃie a ecuaŃiei diferenŃiale (1), dacă înlocuind în ecuaŃia

diferenŃială (1), funcŃia y cu )(xϕ , se obŃine o identitate, oricare ar fi ( ),,bax∈ adică

0))(),...,(),(,( )(' =xxxxF nϕϕϕ

Dacă în sistemul de coordonate xOy se reprezintă grafic funcŃia ϕ , se obŃine o curbă de ecuaŃie

)(xy ϕ= numită şi curbă integrală a ecuaŃiei (1).

În unele cazuri, în locul soluŃiilor )(xy ϕ= se găsesc soluŃii de forma 0),( =yxG care definesc

soluŃii implicite cu y depinzând de x , iar curbele pe care se definesc se numesc curbe integrale.

Dacă funcŃia F, ce intră în definiŃia ecuaŃiei diferenŃiale (1) , îndeplineşte condiŃii suficiente

pentru a putea scoate din ecuaŃia 0),...,,,( )(' =nyyyxF pe )(ny ca funcŃie de celelalte variabile,

adică

),...,,,( )1(')( −= nn yyyxfy (2)

unde RRDf n →⊆ +1: este o funcŃie de 1+n variabile, definită pe domeniul D, cu valori reale

şi continuă în acest domeniu.

Page 36: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

EcuaŃia se numeşte tot ecuaŃie diferenŃială de ordinul n , dar are o formă particulară faŃă de

ecuaŃia (1), deoarece conŃine pe )(ny , explicitat în raport cu )1(' ,...,,, −nyyyx .

Problema lui Cauchy pentru ecuaŃia diferenŃială de ordinul n, de forma (2), constă în determinarea soluŃiei ecuaŃiei, care satisface condiŃiile iniŃiale:

100

)1('00

'00 )(,...,)(,)( −− === nn yxyyxyyxy , unde 1)1(' ),...,,,( +− ⊆∈ nn RDyyyx este un

punct constant.

DefiniŃie Prin soluŃie generală a ecuaŃiei difernŃiale (2) se înŃelege o soluŃie

),...,,,( 21 ncccxy ϕ= a ei ce depinde şi de n constante nccc ,...,, 21 , considerate ca parametri

reali şi cu ajutorul căreia se poate rezolva o problemă Cauchy pentru orice punct din domeniul D.

În cele ce urmează prezentăm câteva tipuri de ecuaŃii diferenŃiale de ordinul întâi integrabile prin metode elementare

EcuaŃii diferenŃiale cu variabile separabile

Aceste ecuaŃii sunt de forma:

)()(' ygxfy ⋅= cu 0)( ≠yg

Dacă vom scrie derivata dx

dyy =' , atunci ecuaŃia se va putea scrie separând variabila x de y:

dxxfyg

dyygxf

dx

dy)(

)()()( =⇒⋅=

SoluŃia generală a ecuaŃiei se obŃine integrând membru cu membru ecuaŃia:

∫ ∫ += Cdxxfyg

dy)(

)(

EcuaŃii omogene

Page 37: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

Sunt ecuaŃii de forma:

),( yxfdx

dy= (3)

unde f este o funcŃie omogenă de gradul zero, adică satisface condiŃia:

),(),( yxftytxf = ,oricare ar fi t, astfel încât ( )tytx, să fie în domeniul de definiŃie al funcŃiei f.

Punând x

t1

= , se obŃine

=

=x

y

x

yfyxf ϕ,1),( de unde rezultă că ecuaŃia diferenŃială (3)

este de forma:

=x

y

dx

dyϕ (4)

Cu schimbarea de funcŃie x

yu = sau uxy = , derivând se obŃine:

dx

duxu

dx

dy+= şi deci ecuaŃia

(4) se transformă în )(udx

duxu ϕ=+ , ecuaŃie cu variabile separabile

EcuaŃii liniare de ordinul întâi

Forma generală a acestor ecuaŃii este

0)()()( ' =++ xCyxByxA (5)

Presupunem că funcŃiile A,B,C sunt definite şi continue pe un interval ( )ba, şi că 0)( ≠xA în

orice punct al acestui interval. Dacă împărŃim ecuaŃia (5) prin )(xA obŃinem:

)()(' xQyxPy =+ (6)

Page 38: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

unde )(

)()(

xA

xBxP = şi

)(

)()(

xA

xCxQ −=

EcuaŃia 0)(' =+ yxPy (7)

se numeşte ecuaŃie liniară omogenă

ObservaŃie

Omogenitatea ecuaŃiei (7) se referă la absenŃa termenului )(xQ din membrul stâng al ecuaŃiei (6).

EcuaŃia (7) este o ecuaŃie cu variabile separabile deci: yxPdx

dy)(−= sau dxxP

y

dy)(−=

Integrând fiecare membru avem: ∫−=+ dxxPcy )(lnln 1 sau ∫−= dxxPcy )(ln 1

Notăm cc

=±1

1şi soluŃia generală este: ∫=

− dxxPcey

)( (8)

Pentru ecuaŃia (6), se caută o soluŃie de forma (8), unde c este considerată o funcŃie de x. Această metodă este cunoscută sub numele de metoda variaŃiei constantei.

Derivând relaŃia (8), obŃinem:

∫+∫−=−− dxxPdxxPexcexPxcy

)(')(' )()()( şi înlocuind în (6), rezultă

)()()()()()()()(')(

xQexPxcexcexPxcdxxPdxxPdxxP

=∫+∫+∫−−−−

de unde

Page 39: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii

∫ +

∫=⇒∫= 1

)()()()()( cdxexQxcexQ

dx

dc dxxPdxxP

SoluŃia generală a ecuaŃiei (6) este:

∫+∫= ∫

−dxexQcey

dxxPdxxP )(

1

)()(

Page 40: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii
Page 41: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii
Page 42: ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii