ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU...
Transcript of ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN … · ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU...
ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE
SpaŃii vectoriale. Organizarea spaŃiilor economice ca spaŃii vectoriale
DefiniŃie Fie V o mulŃime nevidă de elemente şi K un corp de scalari şi fie:
- o lege de compoziŃie internă (notată aditiv) “+”: VVV →× yxyx +→),(
- o lege de compoziŃie externă (notată multiplicativ) “. “: VVK →× xkxk ⋅→),( Spunem că tripletul (V,+,.) este spaŃiu liniar (sau spaŃiu vectorial peste corpul K) notat V/K dacă:
1. (V,+) formează o structură de grup abelian 2. (V,.) satisface axiomele:
VxxxastfelcacorpulKunitatedinelementulK
xxKVx
xxxKVx
yxyxKVyx
∈∀=⋅∈∃
⋅⋅=⋅⋅⇒∈∈∀
⋅+⋅=⋅+⇒∈∈∀
⋅+⋅=+⇒∈∈∀
)(1)(1)(
)()(,,)(
)(,,)(
)(,,)(
βαβαβαβαβαβα
αααα
ObservaŃii
a) Dacă K este identic cu R sau C, atunci spaŃiul vectorial peste K este real, respectiv complex.
b) Elementele lui V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari.
Exemplu
==∀∈==≤≤≤≤ njmiKaaAKnmM ijnjmiij ,1,,1)(/)();,(
11 cu operaŃiile:
njmiijij
def
baBA≤≤≤≤+=+
11
.
)( unde
njmiij
njmiij
bB
aA
≤≤≤≤
≤≤≤≤
=
=
11
11
)(
)(
njmiij
def
akAk≤≤≤≤⋅=⋅
11)(
Caz particular: pentru m=1 sau n=1 se obŃine spaŃiul matricelor cu o linie sau cu o coloană
Bază şi dimensiune. Reprezentarea unui vector într-o bază
DefiniŃie
a) Fiind daŃi vectorii { }nvv ,...,1 şi scalarii nαα ,...,1 vectorul nnvvvv ααα +++= ...2211 se
numeşte combinaŃie liniară a vectorilor nivi ,1, =
b) Spunem că v este un vector combinaŃie liniară a sistemului de vectori { }IiivS ∈= dacă există
în S vectorii niii vvv ,...,,
21şi scalarii nαα ,...,1 astfel încât
ninii vvvv ααα +++= ...21 21
DefiniŃie
Vectorii nvvv ,...,, 21 se numesc liniar independenŃi dacă pentru orice
Ki ∈α ,∑=
=⇒=n
i
iiiv1
00 αα )(∀ ni ,1=
ObservaŃie: Dacă sistemul de vectori { }nvvS ,...,1= este liniar independent, atunci orice
subsistem al său este tot liniar independent.
DefiniŃie
Vectorii nvvv ,...,, 21 se numesc liniar dependenŃi dacă nu sunt liniar independenŃi, adică există
Ki ∈α , nu toŃi nuli, astfel încât ∑=
=n
i
iiv1
0α .
ObservaŃie
a) Dacă sistemul de vectori { }nvvS ,...,1= este liniar dependent, atunci orice suprasistem al său
este tot liniar dependent.
b) Sistemul de vectori { }vS = este liniar dependent ⇔ 0=v . Orice sistem de vectori care
conŃine vectorul nul este liniar dependent.
PropoziŃie
a) Vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar dependenŃi ⇔ cel puŃin unul este o combinaŃie liniară
a celorlalŃi. b) Dacă vectorii { }nvvv ,...,, 21 sunt liniar independenŃi, iar { }121 ,...,, +nvvv sunt liniar
dependenŃi atunci 1+nv este o combinaŃie liniară a vectorilor { }.,...,, 21 nvvv
DemonstraŃie
a) { }nxxx ,...,, 21 liniar dependenŃi ⇒ )(∃ n scalari ,,...,1 nαα nu toŃi nuli, astfel încât
∑=
=n
i
iix1
.0α Fie nn xxx1
21
211 ...0
αα
αα
α −−−=⇒≠
Reciproc: dacă 0...1... 221221 =−−−⋅⇒++= nnnn xxxxxx αααα unde coeficienŃii
nαα −− ,...,,1 2 nu sunt toŃi nuli );01( ≠
b) { }121 ,...,, +nxxx sunt liniar dependenŃi 1,1,)( +=∃⇒ niiα nu toŃi nuli astfel încât
∑+
=
=1
1
0n
i
iixα
01 ≠+nα altfel nix i
n
i
ip
indlinii ,1)(00
1
.
..=∀=⇒=∑
=
αα şi se obŃine contradicŃie cu ipoteza
Deci: n
n
n
nn
n xxxx1
21
21
1
11 ...
++++ −−−−=
αα
αα
αα
DefiniŃie
Sistemul de vectori { }niigG ,1== se numeşte sistem de generatori pentru V dacă orice vector din
V este o combinaŃie liniară finită de vectori din G, adică
KGggVv nn ∈∈∃∈∀ αα ,...,,,...,)()( 11 astfel încât ∑=
=n
i
iigv1
α
DefiniŃie
Un sistem de vectori { }IiibB ∈= formează o bază a spaŃiului vectorial V dacă:
i) B este sistem de vectori liniar independenŃi ii) B este sistem de generatori pentru V.
DefiniŃie
SpaŃiul vectorial V se numeşte finit dimensional dacă are o bază finită.
PropoziŃie
Într-un spaŃiu vectorial, orice vector se scrie în mod unic ca o combinaŃie liniară de vectori ai
bazei: ∑=
=n
i
iieav1
, unde { }neeE ,...,1= bază.
DemonstraŃie: Fie V spaŃiu vectorial cu baza { } .,,...,1 VveeE n ∈= Rezultă că E este sistem de
generatori pentru V şi ∑=
=n
i
iieav1
, ∑=
=n
i
iiebv1
⇒ ∑=
=−⇒=⋅−n
i
iiindlin
iii baeba1
..,00)( adică
niba ii ,1)(, =∀=
DefiniŃie
naa ,...,1 se numesc coordonatele vectorului v în baza E şi vom nota:
[ ]
==
n
t
nE
a
a
aav
.
.
.
),...,(
1
1
DefiniŃie
Se numeşte dimensiune a unui spaŃiu vectorial finit dimensional X, cardinalul unei baze (numărul de vectori al unei baze).
PropoziŃie
Într-un spaŃiu vectorial de dimensiune n, orice sistem de n vectori liniar independent formează o bază.
DemonstraŃie
nX =dim şi { }nxxM ,...,1= liniar independent. Rămâne de arătat că M este şi sistem de
generatori. Fie ;Xx∈ sistemul de vectori { }xxx n ,,...,1 liniar dependent ⇒ x este o combinaŃie
liniară de vectori .,...,1 nxx
ObservaŃie
Într-un sistem n vectori liniar independenŃi, condiŃia de a fi sistem de generatori este înlocuită de
relaŃia Xn dim= .
Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei
În spaŃiul V considerăm bazele:
{ }niieE ,1== , { }
njjhH,1=
=
şi coordonatele [ ] [ ]EjE hx , cunoscute.
Să se determine coordonatele [ ] .Hx
[ ] nj
c
c
c
h
nj
j
j
Ej ,12
1
=
=M
[ ]
=
n
E
x
x
x
xM
2
1
DefiniŃie
Se numeşte matricea de trecere de la baza E la baza H matricea:
( )njiij
nnnn
n
n
c
ccc
ccc
ccc
C,1,
21
22221
11211
==
=
M
MMMM
M
M
(are drept coloane coordonatele vectorilor h exprimate în
baza E).
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]HEMhhhCnot
EnEE,,...,,
.
21 ==
Notăm [ ] ( )tnH yyx ,...,1= coordonatele vectorului x în baza H pe care trebuie să le determinăm.
Avem: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑= = = = ==
=
===
n
i
n
j
n
j
n
i
i
n
j
jij
n
i
iijjjjii eycecyhyexx1 1 1 1 11
.
Deoarece scrierea într-o bază este unică, rezultă sistemul liniar:
∑=
==n
j
ijij nixyc1
,1, ⇔
=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
xycycyc
xycycyc
xycycyc
...
...
...
2211
22222121
11212111
M
sau scris matriceal:
[ ] [ ] [ ] [ ]EHEH xCxxxC ⋅=⇒=⋅ −1 - reprezintă relaŃia de transformare a coordonatelor
unui vector prin trecerea de la baza canonică a spaŃiului la una oarecare.
În RRn / presupunem ( ) [ ]Et
n xxxx == ,...,1 , E baza canonică şi { } { }niinii gGfF ,1,1 ; == == alte
două baze din .nR Avem: [ ] [ ]EF xCx ⋅= −1 şi [ ] [ ]EG xDx ⋅= −1 cu matricele de trecere notate
),( FEMC = respectiv ),( GEMD = şi se obŃine:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]FGGFE xCDxxDxCx 1−=⇒⋅=⋅=
reprezintă relaŃia de transformare a coordonatelor unui vector prin trecerea de la o bază
oarecare la alta, unde ),(1 FGMCD =− este matricea de trecere la schimbarea bazei.
Metode numerice de rezolvare a sistemelor liniare
Metoda eliminării complete (Gauss – Jordan) permite:
• rezolvarea unui sistem compatibil de “n” ecuaŃii cu „n” necunoscute • determinarea rangului matricei, a matricei inverse • determinarea coordonatelor modificate ale vectorilor odată cu schimbarea bazei.
Sistemul ,bAx = ( ) ,,1, njiijaA
== ( ) ,,...,1
t
nbbb = ( )tnxxx ,...,1= este adus prin transformări
elementare la forma echivalentă: bAIx 1−=
Se aplică sistemului o transformare elementară T, astfel încât în etapa i, matricea ataşată
sistemului să aibă coloana i egală cu cea corespunzătoare din matricea unitate .nI
0)( ≠i
iia se numeşte pivotul transformării
EcuaŃia i se împarte la pivot, iar celelalte (n-1) se înlocuiesc cu ecuaŃia echivalentă, rolul
transformării fiind de a anula coeficienŃii lui ix în aceste ecuaŃii, ceea ce implică următoarele
etape la o iteraŃie:
- linia pivotului se împarte la pivot; - coloana pivotului se completează cu 0; - primele (i-1) coloane rămân neschimbate; - elementele celorlalte coloane se calculează cu regula pivotului (regula dreptunghiului)
Schematic, regula pivotului sau a dreptunghiului este:
xb
ap
L
L ; x devine ( )
pabpx
x−='
p
abxx −='
Pentru linia pivotului 0)( ≠i
iia se fac următoarele operaŃii:
)()()1( / i
ii
i
ik
i
ik aaa =+ nk ,1= , ;ik ≠
)()()1( / i
ii
i
i
i
i abb =+
iar pentru celelalte linii avem:
[ ] )()()()()()1( / i
ii
i
li
i
ik
i
lk
i
ii
i
lk aaaaaa −=+; [ ] )()()()()()1( / i
ii
i
i
i
li
i
l
i
ii
i
l ababab −=+
Operatori liniari pe spaŃii vectoriale
Fie ,K
X K
Y spaŃii vectoriale peste acelaşi corp K.
DefiniŃie
O funcŃie YXT →: se numeşte operator liniar dacă:
1) ( ) )()()(:, yTxTyxTXyx +=+∈∀ (funcŃie aditivă)
2) ( ) )()(:, xTxTXxK ⋅=∈∈∀ ααα (funcŃie omogenă)
ObservaŃie: CondiŃiile 1) şi 2) din definiŃie se pot înlocui cu:
( ) )()()(:,,, yTxTyxTKXyx ⋅+⋅=+∈∈∀ βαβαβα
Exemple:
1. XXT →: xxT =)( operator identitate pe X
2. [ ] [ ]XRXRT nn 1: −→ ')( PPT = operatorul de derivare
3. 23: RRT → ( )321 2,)( xxxxT += pentru ( ) 3321 ,, Rxxxxt ∈=
PropoziŃie Operatorul liniar YXT →: are proprietăŃile:
a) 0)0( =T
b) )()( xTxT −=−
c) ∑ ∑= =
⋅=n
i
n
i
iiii xTxT1 1
)()( αα
Notăm { }iniarToperatorlYXTYXL /:),( →= mulŃimea operatorilor liniari din spaŃiul X în
spaŃiul Y.
Matricea ataşată unui operator
Fie K
X , K
Y spaŃii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K.
{ }niieE ,1== o bază în X, { }
mKKgG ,1== o bază în Y.
Fie niYeTYXLT i ,1,)();,( =∈∈ şi ( )[ ]
=
mi
i
i
Gi
a
a
a
eTM
2
1
DefiniŃie
Matricea ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )KnmMeTeTaAGnG
njmiij ;,,...,1
11 ∈==
≤≤≤≤ se numeşte matricea
operatorului în bazele E şi G. Se va nota cu A sau TA .
[ ] [ ]ETGxAxT ⋅=)( - reprezintă scrierea operatorului T cu ajutorul matricei ataşate TA .
Vectori şi valori proprii.
DefiniŃie Fie V un spaŃiu vectorial n - dimensional peste corpul de scalari K şi VVT →: o
aplicaŃie liniară. Un scalar K∈λ se numeşte valoare proprie pentru aplicaŃia liniară T dacă
există cel puŃin un vector nenul Vv∈ astfel încât :
vTv λ= (1)
Vectorul nenul Vv∈ care verifică relaŃia (1) se numeşte vector propriu pentru aplicaŃia liniară
T asociat valorii proprii .λ .
Determinarea vectorilor şi valorilor proprii pentru o aplicaŃie liniară
Fie ': VVT → o aplicaŃie liniară cu matricea aplicaŃiei TA în baza { }naaB ,...,1= . RelaŃia (1)
se mai scrie:
0=− vTv λ sau: VnT vEA 0)( =− λ (2)
unde:
=
nnn
n
T
aa
aa
A
L
MMM
L
1
111
,
=
10
01
L
MMM
L
nE şi
=
nv
v
v M
1
RelaŃia (2) conduce la sistemul:
=−+++
=++−+
=+++−
0)(...
0...)(
0...)(
2211
2222112
1221111
nnnnn
nn
nn
vavava
vavava
vavava
λ
λ
λ
L (3)
Deci coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluŃiile sistemului omogen (3). SoluŃiile sistemului omogen (3) nu sunt toate nule, numai dacă determinantul sistemului este nul.
Determinantul sistemului (3) este:
λ
λλ
λ
−
−
−
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
P
L
MMMM
L
L
21
22212
12111
)(
se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaŃiei liniare T. EcuaŃia 0)( =λP se numeşte
ecuaŃie caracteristică a aplicaŃiei T.
Teoremă Fie VVT →: , K∈λ este o valoare proprie a aplicaŃiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaŃiei caracteristice.
ObservaŃii
1. Polinomul caracteristic, deci şi ecuaŃia caracteristică nu depind de baza aleasă. 2. Vectorii proprii asociaŃi aplicaŃiei liniare VVT →: pentru valorile proprii determinate
se obŃin înlocuind valorile proprii în sistemul (3) şi rezolvând sistemul. SoluŃiile sistemului vor fi coordonatele vectorilor proprii asociaŃi aplicaŃiei T în raport cu baza B.
3. Fiecărei valori proprii λ îi corespund o infinitate de vectori proprii. Sistemul omogen (3) este compatibil nedeterminat, deoarece 0)( =λP . MulŃimea soluŃiilor formează un subspaŃiu numit subspaŃiu propriu (spectrul) ataşat valorii proprii respective. Se notează:
{ }vTvVvvE λλ =−∈= },0{/
4. Un vector propriu v poate fi asociat ca vector propriu unei singure valori proprii asociate aplicaŃiei liniare T. ObservaŃia se demonstrează presupunând că pentru v, vector propriu al lui T )(∃ două valori proprii adică: vTv λ= şi vTv β= , Vv 0≠ vv βλ =⇒ sau
( ) ⇒==−⇒=− βλβλβλ ,00v presupunerea este fals
Organizarea spaŃiilor vectoriale ca spaŃii metrice şi spaŃii normate
Fie V spaŃiu vectorial real
DefiniŃie FuncŃia RVV →×:, se numeşte produs scalar pe mulŃimea V dacă:
1) xyyx ,, = Vyx ∈∀ ,)( (simetrie)
2) yxyxyxx ,,, '' +=+ Vyx ∈∀ ,)( (aditivitate în prima variabilă)
3) yxyx ,, ⋅=⋅ αα XxR ∈∈∀ ,)( α (omogenitate în prima variabilă)
4) 0, ≥xx ,)( Xx∈∀ 00, =⇔= xxx
ObservaŃie Produsul scalar , este liniar şi în a doua variabilă, deci este o funcŃională biliniară
pozitiv definită.
DefiniŃie Se numeşte spaŃiu euclidian un spaŃiu pe care s-a definit un produs scalar.
DefiniŃie FuncŃia RV →:. cu xxx ,= se numeşte normă a spaŃiului euclidian.
PropoziŃie Norma are următoarele proprietăŃi:
1) 0>x şi Vxxx ∈∀=⇔= )(,00
2) xx ⋅=⋅ αα , VxR ∈∈∀ ,)( α
3) Vyxyxyx ∈∀+≤+ ,)(, (inegalitatea triunghiului)
DefiniŃie
Vectorii x şi y se numesc ortogonali dacă 0, =yx
PropoziŃie
Un sistem de vectori nenuli { }mxx ,...,1 şi ortogonali doi câte doi este liniar independent.
DefiniŃie
O bază a spaŃiului V se numeşte ortogonală dacă şi numai dacă vectorii ei sunt ortogonali doi câte doi.
PropoziŃie
Într-un spaŃiu finit dimensional V există o bază ortogonală.
Procedeul Gramm – Schmidt de ortogonalizare a unei baze oarecare
Se pleacă de la o bază oarecare a spaŃiului euclidian { }nbbbB ,...,, 21= şi se vor construi vectorii:
11,2211
12122
11
... −−−−−−=
−=
=
nnnnnnn aaaba
aba
ba
λλλ
λ
L
Scalarii ijλ se vor determina punând condiŃia ca oricare doi din vectorii naaa ,...,, 21
să fie ortogonali.
22
233223
11
133113
11
122112
,
,0,
,
,0,
,
,0,
aa
abaa
aa
abaa
aa
abaa
=⇒=
=⇒=
=⇒=
λ
λ
λ
Se obŃine: jj
ji
ijaa
ab
,
,=λ
DefiniŃie O bază a spaŃiului euclidian V se numeşte ortonormală dacă:
- este o bază ortogonală - norma fiecărui vector este 1
Exemplu
În nR baza canonică este ortonormală.
Teoremă
Într-un spaŃiu euclidian finit dimensional există o bază ortonormală.
Fie o bază ortogonală { }naaaA ,...,, 21= construită prin procedeul Gramm-Schmidt. Se va
construi o bază ortonormală din baza A prin împărŃirea fiecărui vector la norma sa.
Se obŃine baza:
n
n
na
ac
a
ac
a
ac === ,...,,
2
22
1
11
DistanŃa, spaŃiu metric
DefiniŃie FuncŃia RVVd →×: , ,),( yxyxd −= Vyx ∈∀ ,)( se numeşte distanŃă în V.
Un spaŃiu vectorial pe care s-a definit o distanŃă se numeşte spaŃiu metric.
PropoziŃie FuncŃia distanŃă are proprietăŃile:
1) 0),( ≥yxd şi yxyxd =⇔= 0),(
2) Vyxxydyxd ∈∀= ,)(),,(),(
3) Vzyxyzdzxdyxd ∈∀+≤ ,,)(),,(),(),(
FUNDAMENTAREA OPTIMĂ A DECIZIILOR PRIN PROGRAMARE LINIARĂ
Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic
Modelarea unei probleme cu conŃinut economic care implică optimizare liniară necesită parcurgerea următoarelor etape:
1. Identificarea variabilelor modelului, a funcŃiei obiectiv (funcŃia de eficienŃă) ce se cere optimizată, a restricŃiilor cărora le sunt supuse variabilele modelului şi eventual întocmirea unui tabel de date;
2. Determinarea modelului matematic asociat problemei de programare liniară (PPL), rezultate;
3. Aducerea PPL la forma standard, cea pentru care este elaborat algoritmul de optimizare a soluŃiei primal admisibile de bază;
4. Determinarea unei baze admisibile; 5. Aplicarea Algoritmului Simplex Primal pentru determinarea programului optim de bază
şi a optimului funcŃiei obiectiv şi verificarea rezultatelor; 6. Interpretarea rezultatelor din punct de vedere economic şi luarea deciziei optime în plan
economic.
Forme fundamentale ale PPL, soluŃii, clasificare, interpretarea economică a PPL
O problemă de programare matematică reprezintă determinarea optimului (maximului sau minimului) unei funcŃii de variabilă vectorială care îndeplineşte anumite condiŃii (restricŃii, legături) de tip inecuaŃii sau ecuaŃii, precum şi condiŃii de nenegativitate ale variabilelor funcŃiei.
Dacă toate funcŃiile care intervin în formularea problemei de programare matematică sunt liniare atunci problema se numeşte problemă de programare liniară (PPL). În caz contrar se numeşte problemă de programare neliniară.
1) Forma standard – este cea care conŃine restricŃii de tip ecuaŃii ( )nn xcxcxcoptimz +++=− ...2211
- restricŃii de tip egalitate
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
dxaxaxa
dxaxaxa
dxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
L
- condiŃii de nenegativitate 0,...,0,0 21 ≥≥≥ nxxx
Matricial, forma standard poate fi exprimată astfel:
≥
=
0X
DAX
XoptimC T
unde
( )( )( )( )Tm
T
n
T
n
nmij
dddD
cccC
xxxX
aA
,...,,
,...,,
,...,,
21
21
21
=
=
=
=×
ObservaŃii
Se poate ca restricŃiile de tip inegalitate să fie aduse la forma unor restricŃii de tip egalitate (adică cele cerute de forma standard) prin adunarea sau scăderea unui termen numit variabilă ecart sau variabilă de compensare.
∑=
==n
j
T
jj XCxcxz1
)( - se numeşte funcŃie obiectiv (funcŃia economică)
- spaŃiul nR al vectorului X, respectiv C – se numeşte spaŃiul activităŃilor
- vectorul mRD∈ se numeşte vectorul resurselor
- spaŃiul mR se numeşte spaŃiul resurselor
2) Forme canonice
≥
≥
0
min
X
DAX
XC T
sau
≥
≤
0
max
X
DAX
XCT
O problemă este în formă canonică dacă toate restricŃiile sunt concordante şi toate variabilele sunt nenegative.
Pentru problema de minim, concordante sunt inegalităŃile cu semnul "."≥
Pentru problema de maxim, concordante sunt inegalităŃile cu semnul "."≤
Algoritmul Simplex Primal
Pentru rezolvarea problemelor de programare liniară s-a impus algoritmul simplex datorat lui G.B. Dantzig (1951).Metoda permite explorarea sistematică a mulŃimii programelor prin trecerea de la un program de bază la alt program de bază “vecin” care este „cel puŃin la fel de bun” ca programul precedent. Metoda furnizează criterii pentru punerea în evidenŃă a faptului că problema are optim infinit, precum şi a cazului în care mulŃimea programelor este vidă.
Fie sistemul de m ecuaŃii liniare cu n necunoscute:
(1) bAx = unde .,, nm
nm RxRbMA ∈∈∈ ×
Presupunem rang(A)= .nm ≤ Dacă m=n sistemul (1) are soluŃia unică ,1bAx −= iar dacă nm <
sistemul are o infinitate de soluŃii.
Fie B o matrice pătratică formată cu m coloane liniar-independente ale matricii A, numită bază:
( ).,...,1 mjj aaB =
Notăm: B={ }mjj ,...,1 şi { }.,...,1
_
mjj
B
xxx =
Matricea formată cu coloanele lui A care nu sunt în B va fi notată cu R, iar R { }−= n,...,1 B.
Notăm cu Rx vectorul format cu componentele lui x care nu se află în .Bx
Componentele lui Bx se numesc variabile de bază, iar componentele lui Rx se numesc variabile secundare.
Sistemul (1) devine: bRxBx RB =+ de unde se obŃine forma explicită
(2) RB RxBbBx 11 −− −=
O soluŃie nRx∈ a sistemului (1) se numeşte soluŃie de bază, dacă pentru componentele sale
diferite de zero corespund coloane liniar independente ale lui A. Deoarece nmArang <=)( , cel
mult m componente ale unei soluŃii de bază pot fi nenule. Dacă soluŃia de bază are exact m componente nenule , ea se numeşte nedegenerată, în caz contrar – degenerată.
O soluŃie de bază se poate obŃine din (2) dacă anulăm variabilele secundare:
(3)
=
= −
0
1
R
B
x
bBx
Această soluŃie de bază corespunde bazei B formată cu m coloane liniar independente ale lui A.
Se asociază în acest mod la fiecare bază o soluŃie de bază.
Fie ( ).,...,1 mjj aaB = o bază. Consideră forma explicită a sistemului bAx = :
(4) RB RxBbBx 11 −− −= .
unde R este matricea formată cu coloanele lui A care nu sunt în B.
Fie B={ }mjj ,...,1 şi R { }−= n,...,1 B.
Dacă notăm BxbB =−1 şi ,1,1 njyaB B
j
j ≤≤=⋅− (4) devine:
(5) ∑∈
−=Rj
j
B
j
BB xyxx , iar pe componente:
(6) ∑∈
∈−=Rj
j
B
ij
B
i
B
i Bixyxx .,
SoluŃia de bază corespunzătoare bazei B este dată de:
(7)
=
=
0R
BB
x
xx
Această soluŃie de bază este program dacă:
(8) .01 ≥− bB
O bază B care verifică relaŃia (8) se numeşte bază primal admisibilă.
FuncŃia obiectiv se poate scrie Ńinând seamă de relaŃia (2):
( ) RT
R
T
B
T
B
RT
R
BT
B xcRBcbBcxcxcz −−=+= −− 11
unde Bc şi Rc sunt vectori coloană având componentele Bici ∈, şi respectiv ., Rici ∈
Notăm cu: .1,, njyczxcz B
j
T
B
B
j
BT
B
B ≤≤==
Observăm că Bz reprezintă valoarea funcŃiei obiectiv pentru soluŃia de bază
.0, == RBB xxx
Cu notaŃiile de mai sus funcŃia z devine:
(9) ( )∑∈
−−=Rj
jj
B
j
B xczzz
La fiecare bază utilizată B corespunde un tabel simplex care are în prima coloană variabilele de
bază (vectorul Bx ), în a doua coloană valorile variabilelor de bază (vectorul B
x_
), iar în
următoarele n coloane, vectorii .1, njy Bj ≤≤ Pe o linie suplimentară se trec funcŃia obiectiv
xcz T= , valoarea sa în baza B (adică B
z_
), precum şi cantităŃile njcz j
B
j ≤≤− 1, , necesare în
aplicarea algoritmului simplex.
Este util să scriem alături de coloana Bx vectorul Bc , iar alături de lista variabilelor
,1, njx j ≤≤ coeficienŃii ,1, njc j ≤≤ din funcŃia obiectiv.
1c jc
nc
V.B. V.V.B. 1x … jx …
nx
Bc Bx bBx ⋅= −1 By1 … jB
j aBy ⋅= −1 … B
ny
z BT
B xcz = 11 cz B − … j
B
j
T
Bj
B
j cyccz −=− … n
B
n cz −
Fie problema de minim sub forma standard:
(10)
≥
=
0
)min(
x
bAx
xcT
Teoremă Fie B o bază primal admisibilă. Dacă
(11) ,)(,0 Rjcz j
B
j ∈∀≤− atunci programul de bază (7) este o soluŃie optimă a problemei de
programare liniară (10).
RelaŃia (11) reprezintă testul de optimalitate.
Teoremă Fie B o bază primal admisibilă. Dacă există Rk ∈ astfel încât să avem:
0>− k
B
k cz
şi ,0≤B
ky atunci problema (10) are optim infinit.
Teoremă Fie B o bază primal admisibilă. Dacă există Rk ∈ astfel încât să avem:
0>− k
B
k cz
şi B
ky >0 şi dacă Br∈ se determină din condiŃia:
(12) ,min0/ B
rk
B
r
B
ik
B
i
yi y
x
y
xBik
=
>atunci matricea B
~ obŃinută din B prin înlocuirea coloanei ra cu
coloana ka este o bază primal admisibilă, iar programul Bx~
este cel puŃin la fel de bun ca
programul Bx adică .~
BB zz ≤
RelaŃia (12) reprezintă criteriul de ieşire din bază.
Algoritmul simplex
Pasul 1 Se determină o bază primal admisibilă B, se calculează njczyzx j
B
j
B
j
BB ≤≤− 1,,,, şi
se trece la pasul 2.
Pasul 2 Dacă 0≤− j
B
j cz pentru orice Rj∈ , STOP: 0, == RBB xxx este program optim.
Dacă există Rj∈ pentru care ,0>− j
B
j cz se determină mulŃimea
{ }0/ >−∈=+ j
B
j czRjR şi se trece la pasul 3.
Pasul 3 Dacă există +∈ Rj astfel încât să avem ,0≤B
jy STOP: problema are optim infinit.
Dacă pentru orice +∈ Rj avem ,0>B
jy determinăm +∈ Rk folosind criteriul de intrare în
bază: (13) { } k
B
kj
B
jRj
czcz −=−+∈
max şi apoi indicele Br∈ cu criteriul de ieşire din bază (12) şi
se trece la pasul 4.
Pasul 4 Se consideră baza B~
obŃinută din B prin înlocuirea coloanei ra cu coloana ka , se
calculează njczyzx j
B
j
B
j
BB ≤≤− 1,,,,~~~~
şi se trece la pasul 2 înlocuind B cu .~B
ObservaŃie
În cazul unei probleme de maximizare, numai paşii 2 şi 3 ai algoritmului trebuie modificaŃi:
Pasul '2 Dacă 0≥− j
B
j cz pentru orice Rj∈ (criteriul de optimalitate pentru problema de
maxim), STOP: 0, == RBB xxx este program optim. Altfel, se determină mulŃimea
{ }0/ <−∈=− j
B
j czRjR şi se trece la pasul '3 .
Pasul '3 Dacă există −∈ Rj astfel încât ,0≤B
jy STOP: problema are optim infinit. Altfel se
determină −∈ Rk folosind criteriul de intrare în bază (14) { } k
B
kj
B
jRj
czcz −=−−∈
min şi −∈ Rr
folosind criteriul de ieşire din bază (12) şi se trece la pasul 4.
Formulele de schimbare a bazei
Calculul elementelor njczyzx j
B
j
B
j
BB ≤≤− 1,,,,~~~~
de la pasul 3 al algoritmului simplex,
corespunzător bazei B~
obŃinută prin înlocuirea coloanei ra cu coloana ka , se face cu elementele tabelului simplex corespunzător bazei B prin aplicarea unor formule.
Pentru obŃinerea acestor formule, presupunem fără a restrânge generalitatea că baza B este formată din primele m coloane ale matricei A. Tabelul simplex corespunzător bazei B este următorul:
1c - ic -
rc - mc -
jc - kc -
nc
Bc Bx Bx 1x - ix -
rx - mx -
jx - kx -
nx
1c 1x Bx1 1 - 0 - 0 - 0 - B
jy1 - B
ky1 - B
ny1
M M M M M M M M M M M M M M M M
ic ix B
ix 0 - 1 - 0 - 0 - B
ijy - B
iky - B
iny
M M M M M M M M M M M M M M M M
rc rx B
rx 0 - 0 - 1 - 0 - B
rjy - B
rky - B
rny
M M M M M M M M M M M M M M M M
mc mx B
mx 0 - 0 - 0 - 1 - B
mjy - B
mky - B
mny
z Bz 0 - 0 - 0 - 0 - j
B
j cz − - k
B
k cz − - n
B
n cz −
Elementul B
rky se numeşte pivot. Linia r a tabelului simplex este numită linia pivotului, iar
coloana k, coloana pivotului.
Avem următoarele formule:
.1,,~~
njy
yy
y
xx
B
rk
B
rjB
kjB
rk
B
rB
k ≤≤==
{ }kBiy
yyyy
y
yxxx
B
rk
B
ik
B
rjB
ij
B
ijB
rk
B
ik
B
rB
i
B
i \~
,;~~
∈−=−= .
( )
( ) ( ).1,
~
~
njy
yczczcz
y
xczzz
B
rk
B
rjk
B
k
j
B
jj
B
j
B
rk
B
rk
B
kBB
≤≤−
−−=−
−−=
Formulele de mai sus se numesc formulele de schimbare a bazei şi sunt echivalente cu următoarele reguli de transformare a tabelului simplex:
a) elementele situate pe linia pivotului se împart la pivot b) elementele situate pe coloana pivotului devin zero, cu excepŃia pivotului care devine 1 c) celelalte elemente ale tabelului simplex se transformă după regula dreptunghiului: dacă
ne imaginăm dreptunghiul a cărui diagonală este determinată de elementul B
ijy care
trebuie transformat şi pivotul B
rky , atunci noua valoare B
ijy~
se obŃine împărŃind la pivot
diferenŃa dintre produsul B
rk
B
ij yy ⋅ al elementelor de pe diagonala considerată mai sus şi
produsul B
ik
B
rj yy ⋅ al elementelor situate pe cealaltă diagonală a dreptunghiului.
Pentru ultima linie a tabelului se poate aplica aceeaşi regulă a dreptunghiului sau formulele iniŃiale.
Forma duală a PPL. Teorema de dualitate şi conŃinutul economic al variabilelor duale
Fie modelele de programare liniară (PL):
( )
=≥
=≥
=
∑
∑
=
=
_
1
_
1
,1,0
,1;
min
nkx
mibxa
xcf
k
n
k
ik
i
k
n
k
kk
(1) ⇔
( )
≥
≥
=
0
min
X
bAX
Xcf T
( )
=≥
=≤
=
∑
∑
=
=
_
1
_
1
,1,0
,1;
max
miy
nkcya
ybg
i
m
i
ki
k
i
m
i
ii
)2( ⇔
( )
≥
≤
=
0
max
Y
cAY
bYg
TT
T
DefiniŃie
Modelele (1) şi (2) sunt modele de programare liniară (P.L.) aflate în relaŃia de dualitate simetrică (modelul (1) este dualul modelului (2) şi invers).
FuncŃii reale de mai multe variabile reale
Modelarea activităŃilor economice este realizată prin funcŃii de producŃie, de ofertă, de cost, de consum, de cerere, de venit care sunt exprimate prin funcŃii de mai multe variabile reale.
Fie o mulŃime nRA ⊆ . O funcŃie RAf →: definită prin Ryxxfxf n ∈== ),...,()( 1 se
numeşte funcŃie reală de variabilă vectorială sau funcŃie reală de mai multe variabile reale.
Exemplu
FuncŃiile de producŃie exprimă legătura dintre rezultatul unei activităŃi de producŃie P (produs
global, venit naŃional) şi factorii care determină producŃia respectivă nxxx ,...,, 21 - materii prime,
mijloace fixe, investiŃii, forŃa de muncă etc.
Deci ),...,,( 21 nxxxfP = , RRIf n →⊆:
DefiniŃie Fie RRAf n →⊆: şi ),...,( 1 naaa = un punct de acumulare al mulŃimii de
definiŃie A. Se spune că Rl∈ este limita funcŃiei f în punctul a dacă pentru orice 0>ε , există
0)( >εN astfel încât pentru orice ax ≠ şi )(εNax <− avem: ε<− lxxf n ),...,( 1 .
DefiniŃie Fie RRAf n →⊆: şi Aaaa n ∈= ),...,( 1 . FuncŃia f este continuă în punctul a dacă
există şi este finită limita funcŃiei ),...,( 1 nxxf şi pentru ax → avem:
),...,(),...,(lim 11 nnax
aafxxf =→
DefiniŃie Fie RRAf n →⊆: şi .Aa∈ FuncŃia ),...,( 1 nxxf este derivabilă parŃial în raport
cu variabila kx dacă există şi este finită limita:
kk
nnkkk
ax ax
aafaaxaaf
kk −
−+−
→
),...,(),...,,,,...,(lim 1111
Această limită se notează ),...,( 1'
nx aafk
sau kx
af
∂∂ )(
şi se va numi derivata parŃială a funcŃiei f
în raport cu componenta kx .
ObservaŃii
1. Din definiŃie rezultă că, atunci când calculăm derivata în raport cu una din variabile, ix ,
toate celelalte variabile sunt considerate constante. 2. FuncŃia de n variabile reale ),...,( 1 nxxf are n derivate parŃiale de ordinul întâi:
)(),...,(),( '''
21xfxfxf
nxxx .
3. Regulile de derivare cunoscute de la funcŃii de o variabilă rămân valabile. Dacă derivatele
parŃiale de ordinul întâi sunt la rândul lor derivabile parŃial, vom avea 2n derivate parŃiale de ordinul doi ce formează o matrice, care se numeşte matricea hessiană.
=
)()()(
.........
)()...()(
)(''''''
''''''
21
12111
xfxfxf
xfxfxf
xH
nnnn
n
xxxxxx
xxxxxx
ObservaŃie
Pentru derivatele de ordinul doi folosim notaŃiile:
∂∂
∂∂
),( yxx
f
x se notează ),()2(
2 yxfx
sau ),(2
2
yxx
f
∂
∂
∂∂
∂∂
),( yxy
f
y se notează ),()2(
2 yxfy
sau ),(2
2
yxy
f
∂
∂
∂∂
∂∂
),( yxx
f
y se notează ),()2( yxf xy sau ),(
2
yxxy
f
∂∂∂
∂∂
∂∂
),( yxy
f
x se notează ),()2( yxf yx sau ),(
2
yxyx
f
∂∂∂
Proprietate
FuncŃiile reale de mai multe variabile reale care admit derivate parŃiale de ordinul doi continue în
.Aa∈ au derivatele parŃiale mixte egale. Deci: )()( '''' afafijji xxxx = , ji ≠
DiferenŃiala unei funcŃii ),...,()( 1 nxxfxf = în punctul ),...,( 1 naaa = se va calcula astfel:
nnxnxn dxxxfdxxxfxxdfn
),...,(...),...,(),...,( 1'
11'
1 1++=
DiferenŃiala de ordinul n a funcŃiei f este:
n
n
nn
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
dyy
fCdydx
yx
fC
dydxyx
fCdx
x
ffdy
ydx
xfd
)()(
...)()(
11
1
11
1
)(
∂
∂+
∂∂
∂+
+∂∂
∂+
∂
∂=
∂∂
+∂∂
=
−−
−
−−
Interpretarea economică a derivatelor parŃiale
Derivata parŃială a unei funcŃii ),...,( 1 nxxf arată variaŃia funcŃiei la o creştere ix∆ a variabilei
ix .
Pentru funcŃiile de producŃie ),...,,( 21 nxxxfP = unde nxxx ,...,, 21 sunt factorii care determină
producŃia respectivă, derivatele parŃiale determină eficienŃa utilizării unei unităŃi suplimentare a
factorului ix , atunci când ceilalŃi factori rămân neschimbaŃi şi se numesc randamente
marginale.
Dacă notăm cu Y-venitul naŃional sau producŃia în unităŃi fizice sau produsul social total
L-forŃa de muncă utilizată sau fondul de salarii sau numărul de muncitori
K-capitalul utilizat sau fondurile fixe se poate scrie funcŃia
C.Cobb – P.Douglas prin: ba KLAY ⋅⋅= unde:
A- constantă pozitivă, factor de proporŃionalitate, iar a,b sunt coeficienŃii de elasticitate
Să calculăm pentru ba KLAY ⋅⋅= randamentele marginale:
1'
1'
),(
),(−
−
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=ba
K
ba
L
KLbAKLY
KLaAKLY
DiferenŃiala funcŃiei de producŃie exprimă efectul modificărilor variabilelor.
DiferenŃiala de ordinul întâi a funcŃiei de producŃie este:
YdKK
bYdL
L
adKYdLYdY KL +=+= '' - exprimă variaŃia absolută a producŃiei
VariaŃia relativă Y
dY exprimată prin:
K
dKb
L
dLa
Y
dY⋅+⋅= este o combinaŃie liniară a variaŃiilor relative ale forŃei de muncă şi ale
capitalului.
Dacă ⇒= 0dL L este constant şi din dY se poate obŃine coeficientul:
K
dK
Y
dYb := ca raport între variaŃia relativă a producŃiei şi variaŃia relativă a capitalului
Analog dacă 0=dK se obŃine L
dL
Y
dYa :=
Extremele funcŃiilor de mai multe variabile
Fie RRAf n →⊆: şi ( ) Aaaa n ∈= ,...,1
DefiniŃie Punctul a este un punct de maxim local dacă )()( afxf ≤ pentru orice x ce aparŃine
unei vecinătăŃi a lui a, ., AVVx aa ∈∈
Punctul a este un punct de minim local dacă )()( afxf ≥ pentru orice x ce aparŃine unei
vecinătăŃi a lui a, ., AVVx aa ∈∈
ObservaŃie La fel ca pentru funcŃiile de o variabilă, dacă există puncte de extrem, atunci derivatele parŃiale de ordinul întâi în aceste puncte sunt nule, adică
0)(,...,0)(,0)( '''
21=== afafaf
nxxx
DefiniŃie Un punct a pentru care derivatele parŃiale se anulează se numeşte punct staŃionar.
ObservaŃie Nu orice punct staŃionar este şi punct de extrem pentru funcŃie.
CondiŃiile suficiente ca un punct staŃionar să fie punct de extrem local sunt date de următoarea teoremă:
Teoremă Fie RRAf n →⊆: şi Aa∈ un punct staŃionar. Punctul a este un punct de minim
local al funcŃiei dacă matricea hessiană, simetrică este pozitiv definită adică:
=
)()()(
)()()(
)()()(
)(
"""
"""
"""
21
22212
12111
afafaf
afafaf
afafaf
aH
nnnn
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
L
LLLL
L
L
are minorii:
L
0)()(
)()(
0)(
""
""
2
"1
2212
2111
11
>=∆
>=∆
afaf
afaf
af
xxxx
xxxx
xx
0
)()(
)()(
""
""
1
111
>=∆
afaf
afaf
nnn
n
xxxx
xxxx
n
L
LLL
L
deci toŃi minorii hessiani sunt pozitivi în punctul a.
Punctul a va fi un punct de maxim local dacă:
0)1(,...,0,0,0 321 >−∆<∆>∆<∆ n
n
ObservaŃie Dacă 02 =∆ , nu putem preciza natura punctului staŃionar a prin această metodă.
Este necesar să se determine semnul formei pătratice a diferenŃialei de ordinul doi a funcŃiei în
punctul a, ).(2 afd
Extremele funcŃiilor de mai multe variabile condiŃionate
Dacă se cere să se determine extremele funcŃiei ),...,,( 21 pxxxfy = în care variabilele
pxxx ,...,, 21 sunt supuse unor legături de forma:
,...,0),...,,( 211 =pxxxϕ 0),...,,( 21 =pq xxxϕ , pq <
Se construieşte funcŃia lui Lagrange:
),...,,(...),...,,(),...,,(),...,,( 2121112121 pqqppp xxxxxxxxxfxxxL ϕλϕλ +++= unde
qλλλ ,...,, 21 sunt multiplicatorii lui Lagrange.
Se formează apoi sistemul de qp + ecuaŃii:
0),...,,(
0),...,,(
0),...,,;,...,,(
21
211
2121
=
=
=
pq
p
qp
xxx
xxx
xxxdL
ϕ
ϕ
λλλ
Mcu qp + necunoscute qpxxx λλλ ,...,,,,...,, 2121
O condiŃie suficientă de extrem este ca: ),...,,( 212
pxxxLd să păstreze semn constant.
Dacă Ld 2 este pozitiv definită, atunci funcŃia f are un punct de minim, iar dacă Ld 2 este negativ definită, funcŃia f are un punct de maxim condiŃionat.
Integrale duble
NoŃiunea de integrală Riemann a unei funcŃii de o variabilă reală se poate generaliza pentru funcŃii de două sau mai multe variabile.
Fie un domeniu D închis şi mărginit, deci domeniu ce poate fi mărginit de un interval
bidimensional [ ] [ ]dcbaI ,, ×= care poate fi împărŃit la rândul său în nm ⋅ intervale
[ ] [ ]jjiiij yyxx ,, 11 −− ×=∆ cu ni ,...,1= şi mj ,...,1= .
Definim norma diviziunii astfel: ( ){ }11;max −− −−=∆ jjii yyxx
DefiniŃie O funcŃie RRDf →⊂ 2: mărginită pe D este funcŃie integrabilă Riemann pe
domeniul D dacă există un număr real I cu proprietatea 0)( >∀ ε , există 0)( >εN astfel încât
pentru orice diviziune ∆ a domeniului D cu )(εN<∆ să avem εσ <−∆ If )( pentru orice
punct ijijijij yxM ∆∈),( şi sumă Riemann ∑∑= =
∆ =n
i
m
j
ijij yxf1 1
),(σ
Numărul I se numeşte integrala funcŃiei f pe domeniul D, care se notează ∫∫=D
dxdyyxfI ),(
ObservaŃie Calculul integralei duble se reduce la calculul unei inegrale simple.
a) Dacă 2RD ⊂ este un domeniu simplu în raport cu axa Ox şi cu axa Oy, deci un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate, bxa ≤≤ şi dyc ≤≤ atunci:
dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf
d
c
b
aD
b
a
d
c
∫ ∫∫∫ ∫ ∫
=
= ),(),(),(
b) Dacă 2RD ⊂ este un domeniu simplu în raport cu una din axe, de exemplu cu axa Oy; adică există [ ] Rbaxyxy →,:)(),( 21 continue pe [ ]ba, şi )()( 21 xyxy ≤ atunci
( ) [ ]{ })()(,/, 212 xyyxybaxRyxD ≤≤∈∈= şi:
dxdyyxfdxdyyxf
b
a
xy
xyD
∫ ∫∫∫
=
)(
)(
2
1
),(),(
c) Dacă f este funcŃie continuă pe xoyD ⊂ şi dacă există două funcŃii ),(1 vufx = şi
),(2 vufy = care admit derivate parŃiale de ordinul întâi continue cu determinantul funcŃional:
0),(
),(
22
11
≠
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
v
f
u
fv
f
u
f
vuD
yxD pentru ( ) 1, Dvu ∈ atunci:
∫∫∫∫ =1
),(
),()).,(),,((),( 21
DD
dudvvuD
yxDvufvuffdxdyyxf
Acest caz presupune schimbarea de variabile.
Integrale improprii (generalizate)
NoŃiunea de integrală Riemann ∫b
a
dxxf )( s-a studiat pe un interval [ ]ba, compact, adică a,b sunt
finite, iar funcŃia )(xf este mărginită pe acest interval.
Există probleme care conduc la extinderea noŃiunii de integrală definită la integrală în care unul sau ambele numere a,b sunt infinite.
∫∫∫∞
∞−∞−
dxxfdxxfdxxf
bb
a
)(,)(,)(
Fie o funcŃie Raf →∞),[: , integrabilă pe [ ]ba, pentru orice ab > . Dacă există şi este finită
limita integralei pe [ ]ba, , atunci integrala pe ),[ ∞a este convergentă şi este egală cu această
limită. Adică: ∫∫∞
∞→=a
b
ab
dxxfdxxf )()(lim
Dacă limita nu există sau nu este finită, spunem că integrala este divergentă.
Analog:
∫∫∞−
−∞→=
bb
aa
dxxfdxxf )()(lim şi
∫∫+∞
∞−∞→−∞→
= dxxfdxxf
b
aba
)()(lim
Integrale euleriene
DefiniŃie Se numeşte funcŃie Gama, integrala:
dxexp xp∫∞
−−=Γ0
1)(
Această integrală este convergentă pentru orice parametru .0>p
ProprietăŃi:
1) 0),()1( >Γ⋅=+Γ pppp - reprezintă relaŃia de recurenŃă a funcŃiei Γ
2) Nnnn ∈=+Γ ,!)1(
3) 1)1( =Γ
4) π=
Γ2
1
DefiniŃie Se numeşte funcŃie Beta, integrala:
0,0,)1(),(1
0
11 >>−= ∫ −− qpdxxxqp qpβ
Integrala beta este convergentă pentru orice parametri p şi q strict pozitivi.
ProprietăŃi:
1) ),(),( pqqp ββ =
2) )(
)()(),(
qp
qpqp
+ΓΓ⋅Γ
=β
3) Π=
2
1,
2
1β
4) ),())(1(
)1,1( qpqpqp
pqqp ββ ⋅
+++=++
5) Dacă 10,1 <<−= ppq avem: )sin(
)1()(Π⋅
Π=−Γ⋅Γ
ppp (formula complementelor)
ObservaŃie:
Aceste integrale ne ajută să calculăm convergenŃa multor integrale improprii.
Cu ajutorul lor se definesc o serie de variabile aleatoare din teoria probabilităŃilor.
Tipuri principale de ecuaŃii diferenŃiale cu aplicaŃii în economie
Multe modele matematice din economie, mecanică, fizică exprimate cu ajutorul funcŃiilor şi al derivatelor au condus la necesitatea studierii ecuaŃiilor diferenŃiale. Modele ale economiei de piaŃă sunt exprimate prin ecuaŃii diferenŃiale, adică necesită determinarea unei funcŃii care se găseşte într-o ecuaŃie ce conŃine şi derivate ale funcŃiei.
Fie F o funcŃie definită pe un domeniu D, din ,2+nR cu valori reale, continuă în acest domeniu.
DefiniŃie O relaŃie de forma
0),...,,,( )(' =nyyyxF (1)
se numeşte ecuaŃie diferenŃială de ordinul n.
Fie ( ) Rba →,:ϕ o funcŃie derivabilă de n ori în orice punct al intervalului ( )ba, , unde a poate
fi ∞− , iar b poate fi ∞+
DefiniŃie Se spune că funcŃia ϕ este soluŃie a ecuaŃiei diferenŃiale (1), dacă înlocuind în ecuaŃia
diferenŃială (1), funcŃia y cu )(xϕ , se obŃine o identitate, oricare ar fi ( ),,bax∈ adică
0))(),...,(),(,( )(' =xxxxF nϕϕϕ
Dacă în sistemul de coordonate xOy se reprezintă grafic funcŃia ϕ , se obŃine o curbă de ecuaŃie
)(xy ϕ= numită şi curbă integrală a ecuaŃiei (1).
În unele cazuri, în locul soluŃiilor )(xy ϕ= se găsesc soluŃii de forma 0),( =yxG care definesc
soluŃii implicite cu y depinzând de x , iar curbele pe care se definesc se numesc curbe integrale.
Dacă funcŃia F, ce intră în definiŃia ecuaŃiei diferenŃiale (1) , îndeplineşte condiŃii suficiente
pentru a putea scoate din ecuaŃia 0),...,,,( )(' =nyyyxF pe )(ny ca funcŃie de celelalte variabile,
adică
),...,,,( )1(')( −= nn yyyxfy (2)
unde RRDf n →⊆ +1: este o funcŃie de 1+n variabile, definită pe domeniul D, cu valori reale
şi continuă în acest domeniu.
EcuaŃia se numeşte tot ecuaŃie diferenŃială de ordinul n , dar are o formă particulară faŃă de
ecuaŃia (1), deoarece conŃine pe )(ny , explicitat în raport cu )1(' ,...,,, −nyyyx .
Problema lui Cauchy pentru ecuaŃia diferenŃială de ordinul n, de forma (2), constă în determinarea soluŃiei ecuaŃiei, care satisface condiŃiile iniŃiale:
100
)1('00
'00 )(,...,)(,)( −− === nn yxyyxyyxy , unde 1)1(' ),...,,,( +− ⊆∈ nn RDyyyx este un
punct constant.
DefiniŃie Prin soluŃie generală a ecuaŃiei difernŃiale (2) se înŃelege o soluŃie
),...,,,( 21 ncccxy ϕ= a ei ce depinde şi de n constante nccc ,...,, 21 , considerate ca parametri
reali şi cu ajutorul căreia se poate rezolva o problemă Cauchy pentru orice punct din domeniul D.
În cele ce urmează prezentăm câteva tipuri de ecuaŃii diferenŃiale de ordinul întâi integrabile prin metode elementare
EcuaŃii diferenŃiale cu variabile separabile
Aceste ecuaŃii sunt de forma:
)()(' ygxfy ⋅= cu 0)( ≠yg
Dacă vom scrie derivata dx
dyy =' , atunci ecuaŃia se va putea scrie separând variabila x de y:
dxxfyg
dyygxf
dx
dy)(
)()()( =⇒⋅=
SoluŃia generală a ecuaŃiei se obŃine integrând membru cu membru ecuaŃia:
∫ ∫ += Cdxxfyg
dy)(
)(
EcuaŃii omogene
Sunt ecuaŃii de forma:
),( yxfdx
dy= (3)
unde f este o funcŃie omogenă de gradul zero, adică satisface condiŃia:
),(),( yxftytxf = ,oricare ar fi t, astfel încât ( )tytx, să fie în domeniul de definiŃie al funcŃiei f.
Punând x
t1
= , se obŃine
=
=x
y
x
yfyxf ϕ,1),( de unde rezultă că ecuaŃia diferenŃială (3)
este de forma:
=x
y
dx
dyϕ (4)
Cu schimbarea de funcŃie x
yu = sau uxy = , derivând se obŃine:
dx
duxu
dx
dy+= şi deci ecuaŃia
(4) se transformă în )(udx
duxu ϕ=+ , ecuaŃie cu variabile separabile
EcuaŃii liniare de ordinul întâi
Forma generală a acestor ecuaŃii este
0)()()( ' =++ xCyxByxA (5)
Presupunem că funcŃiile A,B,C sunt definite şi continue pe un interval ( )ba, şi că 0)( ≠xA în
orice punct al acestui interval. Dacă împărŃim ecuaŃia (5) prin )(xA obŃinem:
)()(' xQyxPy =+ (6)
unde )(
)()(
xA
xBxP = şi
)(
)()(
xA
xCxQ −=
EcuaŃia 0)(' =+ yxPy (7)
se numeşte ecuaŃie liniară omogenă
ObservaŃie
Omogenitatea ecuaŃiei (7) se referă la absenŃa termenului )(xQ din membrul stâng al ecuaŃiei (6).
EcuaŃia (7) este o ecuaŃie cu variabile separabile deci: yxPdx
dy)(−= sau dxxP
y
dy)(−=
Integrând fiecare membru avem: ∫−=+ dxxPcy )(lnln 1 sau ∫−= dxxPcy )(ln 1
Notăm cc
=±1
1şi soluŃia generală este: ∫=
− dxxPcey
)( (8)
Pentru ecuaŃia (6), se caută o soluŃie de forma (8), unde c este considerată o funcŃie de x. Această metodă este cunoscută sub numele de metoda variaŃiei constantei.
Derivând relaŃia (8), obŃinem:
∫+∫−=−− dxxPdxxPexcexPxcy
)(')(' )()()( şi înlocuind în (6), rezultă
)()()()()()()()(')(
xQexPxcexcexPxcdxxPdxxPdxxP
=∫+∫+∫−−−−
de unde
∫ +
∫=⇒∫= 1
)()()()()( cdxexQxcexQ
dx
dc dxxPdxxP
SoluŃia generală a ecuaŃiei (6) este:
∫+∫= ∫
−dxexQcey
dxxPdxxP )(
1
)()(