JJJAAANNNIIINNNAAA MMMIIIHHHAAAEEELLLAAA MMMIIIHHHĂĂĂIIILLLĂĂĂ GGGRRRAAAŢŢŢ IIIEEELLLAAA GGGHHHIIICCC

AAALLLGGGEEEBBBRRRĂĂĂ LLLIIINNNIIIAAARRRĂĂĂ ŞŞŞIII

GGGEEEOOOMMMEEETTTRRRIIIEEE AAANNNAAALLLIIITTTIIICCCĂĂĂ

Bucureşti, 2008

2

Editura Ars Academica Str. Hiramului nr. 11, sector 3, Bucureşti Telefon: 0314 251 945, fax: 0314 251 652 e-mail: office@arsacademica.ro www.arsacademica.ro © Copyright Editura Ars Academica

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

MIHĂILĂ, JANINA MIHAELA Algebră liniară şi geometrie analitică / Janina Mihaela Mihăilă, Graţiela Ghic. - Bucureşti: Ars Academica, 2008 Bibliogr. ISBN: 978-973-88932-0-7

I. Ghic, Graţiela 512.64

3

Prefaţă

DDDeeedddiiicccăăămmm aaaccceeesssttt mmmaaannnuuuaaalll tttuuutttuuurrrooorrr dddaaassscccăăă lll iii lllooorrr nnnoooşşştttrrriii ,,, cccaaarrreee nnneee---aaauuu fffooorrrmmmaaattt cccaaa mmmaaattteeemmmaaatttiiiccciiieeennniii

şşş iii cccaaarrreee,,, îîînnntttrrr---uuunnn fffeeelll sssaaauuu aaallltttuuulll ,,, aaauuu fffăăăcccuuuttt pppooosssiiibbbiiilllăăă rrreeedddaaaccctttaaarrreeeaaa aaaccceeesssttteeeiii llluuucccrrrăăărrriii ...

Lucrarea propusă a fost concepută ca un ghid de pregătire teoretică şi practică, oferind posibilitatea unei pregătiri serioase şi aprofundate într-un domeniu consacrat, dar modern prin aplicaţiile practice din multe alte domeni ştiinţifice şi practice de mare actualitate. În acelaşi timp, reprezintă un instrument complet şi obiectiv de autoevaluare a cunoştinţelor teoretice şi a deprinderilor practice dobândite de către studenţii anului I în timpul primului semestru, fiind întocmită în conformitate cu programa disciplinei “ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE ANALITICĂ“ pe care aceştia o studiază. În consecinţă, lucrarea se doreşte a fi un instrument util de lucru individual pentru toţi aceia ce doresc să continue studiul matematicii şi doresc să se verifice în vederea susţinerii primului examen din facultate. Prezenta lucrare conţine principalele noţiuni de bază şi un breviar de formule utile şi de strictă necesitate în studiul şi aprofundarea altor discipline de specialitate din domeniul tehnic, ingineresc, economic: fizică, economie, mecanică, cercetări operaţionale, modelare matematica, econometrie, etc. La sfârşitul fiecărui capitol s-au introdus exemple şi exerciţii împreună cu soluţiile corespunzătoare, pentru ca fiecare utilizator să poată verifica nivelul de asimilare a noţiunilor şi gradul dobândirii deprinderilor şi abilităţilor practice. Toate aceste caracteristici conferă utilizatorului un mare grad de libertate şi autonomie.

Lucrarea este elaborată într-un limbaj simplu, concis şi în special complet pentru a putea fi accesibilă oricărui utilizator, indiferent de pregătirea sa în domeniu. Materialul a fost exemplificat şi prin ilustrare grafică concretă ce conţine grafice şi tabele. Cu dorinţa că vom reuşi să contribuim la perfecţionarea pregătirii dumneavoastră, vă dorim succes în parcurgerea materialului şi în rezolvarea exerciţiilor, spor în activitatea de pregătire studenţească şi profesională., şi, bineînţeles, la… examene.

AUTOARELE

4

CUPRINS

Prefaţă................................................................................................... 3 Capitolul I. Elemente de algebră liniară ....................................... 1.1. Spaţii vectoriale. Subspaţii vectoriale......................................... 1.2. Dependenţă şi independenţă liniară. Sistem de generatori. Bază 1.3. Schimbarea bazei. Lema substituţiei. Metoda pivotului.............. 1.4. Aplicaţii ale metodei pivotului în calculul matriceal................... 1.5. Funcţionale pe spaţii vectoriale...................................................

6 6 13 19 21 29

Capitolul II. Elemente de programare liniară .............................. 2.1.Formularea unei probleme de programare liniară şi modelul său matematic............................................................................................ 2.2. Formularea matriceală a modelului unei (PPL).......................... 2.3. Mulţimi şi funcţii convexe.......................................................... 2.4. Soluţiile unei probleme de programare liniară........................... 2.5. Metoda grafică de rezolvare a (PPL)........................................ 2.6. Algoritmul simplex................................................................... 2.6.1.Algoritmul simplex primal....................................................... 2.6.2.Determinarea unei soluţii de bază iniţiale................................ 2.7. Dualitatea în programarea liniară............................................ 2.7.1.Formularea PPL - duale. Teorema fundamentală a dualităţii... 2.7.2.Interpretări economice ale dualităţii......................................... 2.7.3.Algoritmul simplex dual (ASD)............................................... 2.8. Reoptimizarea şi parametrizarea în programarea liniară.......... 2.8.1.Reoptimizări în programarea liniară......................................... 2.8.2.Parametrizarea în programarea liniară...................................... 2.9. Problema de transport............................................................... 2.9.1.Modelul matematic al problemei de transport.......................... 2.9.2.Algoritmul de rezolvare............................................................ 2.9.3.Degenerarea în problemele de transport.................................. 2.9.4.Problema de transport cu funcţia obiectiv de maxim............... 2.9.5.Problema de transport cu imposibilitatea folosirii unor rute ......... 2.9.6.Problema de transport cu centre intermediare de distribuţie (Problema de transfer).............................................................. 2.9.7.Probleme de transport cu centre legate..................................... 2.9.8.Probleme de repartiţie. Alocarea forţei de muncă.................... 2.9.9.Modele liniare de repartizare şi transfer de fonduri.................

42 42 46 49 51 54 61 66 68 79 79 84 89 93 93 110 114 115 119 125 128 128 129 130 132 133

5

Capitolul III. Elemente de geometrie analitică.............................. 3.1. Introducere............................................................................... 3.2. Geometrie analitică pe dreaptă (unidimensională)................... 3.3. Geometrie analitică în plan (bidimensională)........................... 3.3.1. Sisteme de coordonate în plan.................................................. 3.3.2. Sisteme cartezian de coordonate în plan.................................. 3.3.3 Orientarea planului.................................................................. 3.3.4. Punctul în plan.......................................................................... 3.3.5. Operaţii cu vectori................................................................... 3.3.6. Dreapta în plan......................................................................... 3.3.7. Translaţia în plan..................................................................... 3.3.8. Rotaţia în plan......................................................................... 3.3.8. Ecuaţia cercului în plan........................................................... 3.4. Geometrie analitică în spaţiu (tridimensională)....................... 3.4.1. Sisteme de coordonate în spaţiu............................................... 3.4.2. Punctul în spaţiu....................................................................... 3.4.3. Operaţii cu vectori în spaţiu.................................................... 3.4.4. Planul în spaţiu......................................................................... 3.4.5. Dreapta în spaţiu...................................................................... 3.4.6. Coordonate cilindrice............................................................... 3.4.7. Coordonate sferice................................................................... 3.5. Aplicaţii rezolvate..................................................................... Bibliografie .......................................................................................

141 141 141 142 142 142 143 144 145 146 148 148 148 149 149 151 151 152 154 155 156 156 159

6

CCCaaapppiiitttooollluuulll III... EEEllleeemmmeeennnttteee dddeee aaalllgggeeebbbrrrăăă llliiinnniiiaaarrrăăă

111...111... SSSpppaaaţţţ iii iii vvveeeccctttooorrriiiaaallleee... SSSuuubbbssspppaaaţţţ iii iii vvveeeccctttooorrriiiaaallleee ... Spaţiile vectoriale au fost definite în forma actuală de G.Peano1 (1888), deşi K.Gauss2 (1799) folosise implicit noţiunea de plan vectorial. Fondatorul teoriei spaţiilor vectoriale rămâne însă H.Grassmann3 (1844). Definiţia 1. Fie (K, +, ) câmp şi V o mulţime nevidă. V se numeşte spaţiu vectorial peste K dacă există o lege de compoziţie internă VV V şi o lege de compoziţie externă 4 KV V astfel încât: - V este grup abelian în raport cu legea de compoziţie internă (cu elementul neutru 0 şi –x elementul opus lui xV); - legea de compoziţie externă satisface cerinţele:

1. (x =xx, K xV; 2. xyxyK x,yV; 3. xx K xV; 4. 1x≠0xV, x≠0.

Notăm V/K, adică V este spaţiu vectorial peste câmpul K. Observaţii 1. Elementele lui V se vor numi vectori şi vor fi notate cu litere latine mici, iar elementele lui K se vor numi scalari şi vor fi notate cu litere greceşti. 2. Un spaţiu vectorial peste se numeşte spaţiu vectorial real; un spaţiu vectorial peste C se numeşte spaţiu vectorial complex. Propoziţie (reguli de calcul). Fie V/K. Atunci:

a) x-yx-yK x,yV; b) (-x =x-x, K xV; c) 0x=0, xV; d) 00, K;

1 Peano Giuseppe (1858-1932), matematician, logician si lingvist italian, întemeietorul aritmeticii axiomatice,etc. 2 Gauss Karl Friedrich (1777-1855), matematician si astronom german, a conceput metoda celor mai mici pătrate, a demonstrat teoreme fundamentala a algebrei, a întemeiat calculul cu numerele complexe,etc. 3 Grassmann Hermann Gunther (1809-1877), matematician si filolog german, a exprimat si dezvoltat noţiunea de spaţiu cu n dimensiuni, etc. 4 Folosim doar in definitie notatii distincte pentru legile din V si K pentru a nu genera confuzii

7

e) 1x=x, xV; f) -1x-x, xV; g) x00 sau x0, K xV.

Demonstraţie: a) fie K şi x,yV. Atunci x=x-y+y(x-y)+y şi adunând -y (care există deoarece xV iar (V,+) este grup) în ambii membri rezultă x-y x-y. c) 0x=(-)x=x-x=0, xV d) avem 0=(x-x)= x-x=0, K e) din axioma 4 din definiţie rezultă că 1x=0 implică x=0. Fie deci 1(x-1x)=1x-(1·1)x=1x-1x=0 deci x-1x=0 adică 1x=x, xV g) fie K şi xV astfel încât x0. Dacă 0 demonstraţia este încheiată. Fie deci ≠0. 00111 xK iar pe de altă

parte xxxx 1)( 11 deci x=0. Exemple. 1. /n este spaţiu vectorial numit spaţiul vectorial numeric real, unde

n,1i,x/x,...x...i

T

n1ori n

n , legea de compoziţie

internă fiind adunarea vectorilor, iar legea de compoziţie externă fiind înmulţirea cu scalar a acestora. Generalizare. K/Kn este spaţiu vectorial, unde

n,1i,Kx/x,...xK...KKKi

T

n1ori n

n .

2. K/KM

n,m este spaţiu vectorial al matricelor având m linii şi n coloane cu coeficienţi din K, unde K= sau K = C, legea de compoziţie internă fiind adunarea matricelor, iar legea de compoziţie externă fiind înmulţirea cu scalar a acestora. Definiţia 2. Fie V/K şi WV, W Spunem că W este subspaţiu vectorial al spaţiului V, dacă W este spaţiu vectorial în raport cu legile de compoziţie internă şi externă induse pe W de legile corespunzătoare din V. Notăm WV.

8

Teorema 15. Fie V/K, WV, W Atunci WV K x,yW, xyW. Demonstraţie. Fie x,yW şi K. Cum WV x , yW xyW. Dacă WV şi are proprietatea că K x,yW, xyW atunci pentru 1, x,yW xyW, iar pentru 0 obţinem K xW, xW. Propoziţie. Intersecţia unui număr oarecare de subspaţii vectoriale este un subspaţiu vectorial. Demonstraţie (pentru două subspaţii). Fie V/K, U,WV. Pentru a arăta că UWV folosim implicaţia inversă a teoremei de mai sus K x,y UW, xy UW xyU şi xyW. Dar x,y UW x,y U şi x,yW. Din K şi x,y U iar UV xyU. Din K şi x,y W iar WV xyW. Deci xy UW.

AAApppllliiicccaaaţţţ iiiiii

1. Spaţiul n = {x=(x1 ,.....,x n )

t, x i , i= n,1 } este spaţiu vectorial

real faţă de adunarea vectorilor şi înmulţirea cu scalari. Soluţie: V=n, K=

: n n n

(x,y)xy

Fie x n , y n x=

nx

x

1

, y=

ny

y

1

cu x i , y i , i = n,1

xy=

nn yx

yx

11

n

5 gr. theorema examinare, cercetare, denumirea a fost folosita iniţial de Aristotel (sec.4 i. e.n.)

9

: n n n

(,x)x

Pentru şi x n definim x=

nx

x

1

n

Verificăm axiomele din definiţia spaţiului vectorial.

i) (n ,) grup abelian

a) x,y n xy

n

Vectorul xy=

nn yx

yx

11

n

pentru că are n componente reale

(adunând două numere reale obţinem un număr real)

b) xy=yx , x,yn

nn yx

yx

11

=

nn xy

xy

11

x i +y i = y i +x i , i= n,1 (adunarea numerelor reale este comutativă)

c) (xy)z=x(yz) , x,y,z n

(xy)z=

nn yx

yx

11

nz

z

1

=

nnn zyx

zyx

)(

)( 111

x(yz)=

n

1

x

x

nn

11

zy

zy

=

)(

)( 111

nnn zyx

zyx

Cei doi vectori sunt egali pentru că au componentele respectiv egale

(adunarea numerelor reale este asociativă).

d) en astfel încât xn ex=xe = x