2-Operatii Cu Matrice

Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu

OPERAOPERAŢŢIIII CU MATRICECU MATRICEÎnainte de a defini adunarea matricelor, considerăm un caz particular de matrice, deja cunoscut.

ExempluExemplu.

Fie un vector din plan. Există numerele reale unice x, y astfel încât unde sunt versorii axelor Ox

şi Oy. Numerele x şi y cu această proprietate se numesc coordonatele vectorului .

Vom folosi notaţia:

v jyixv v

y

xv

Dacă avem doi vectori :

'

'

'

''

'

'',

yy

xx

y

x

y

xvv

y

xv

y

xv

jşii


DefiniDefiniţţiaia adunării matricelor ijijnm bBaAMBA ,;, ,

njmijiji baBA

11atunci

Adunarea se efectuează astfel:

Două matrice se pot aduna numai dacă sunt de acelaşi tip şi “se adună poziţie cu poziţie”.

mnmnmmmm

nn

nn

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bababa

bababa

bababa

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

...

............

...

...

...

............

...

...

...

............

...

...

2211

2222222121

1112121111

21

22221

11211

21

22221

11211

DefiniDefiniţţiaia înmulţirii matricelor cu scalari scalar-C ,;, ijnm aAMA

atunci njmijiaA

11

Deci, înmulţirea unei matrice cu un scalar se efectuează astfel:

mnmm

n

n

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211


Problemă rezolvatăProblemă rezolvată..

Aflaţi numerele complexe x,y dacă:

ii

i

iyx

22

0

11

11

01

SoluSoluţţie.ie. Efectuând înmulţirea cu scalari şi adunarea , relaţia devine:

ii

i

iyxx

yyx

ii

i

iy

yy

xx

x 22

0

022

0

0 de unde: x x = = i , y = i , y = --22.

ProprietăProprietăţţile adunării matricelor ile adunării matricelor şşi i îînmulnmulţţirii cu scalariirii cu scalari

Vom pune în evidenţă unele analogii între proprietăţile operaţiilor cu matrice şi proprietăţile operaţiilor cu numere.ÎÎn muln mulţţimea imea M M m,n m,n ((C), C), considerăm matricea care are considerăm matricea care are toate elementele egale cu zerotoate elementele egale cu zero..

Notăm această matrice cu OOmm,n,n şi o numim matricea nulămatricea nulă cu m linii şi n coloane

1. Adunarea matricelor este asociativăasociativă, adică: (A (A + + B) + C B) + C = = A + (B + A + (B + C) C) ,, pentru orice A, B, C din Mm, n(C).2. Adunarea matricelor este comutativăcomutativă, adică: A +B = B + AA +B = B + A3. în mulţimea Mm,n(C) există element neutruelement neutru faţă de adunare, şi anume: OOm, nm, n, adică A + A + OOmm,n,n = = OOmm,,nn+A+A

4. Pentru orice A eMm,n(.C), există --AA e Mm,n(C) astfel încât: AA + (+ (--AA) = () = (--AA)+)+AA = O= Omm,,nn

5. înmulţirea cu scalari este distributivă fată de adunarea matricelordistributivă fată de adunarea matricelor, adică: αα(A+B) = (A+B) = αα A + A + ααB,B,

6. înmulţirea cu scalari este distributivă fată de adunarea scalarilordistributivă fată de adunarea scalarilor, adică: ((αα + + ββ)A = )A = ααA+A+ββAA,

7.7. αα((ββA) = A) = ββ((ααA) A) == ((αβαβ) A ) A

8.8. 1 1 ∙∙A A ==AA

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

Matricea opusă lui AMatricea opusă lui A

0...00

............

0...00

0...00

,nmO


ObservaObservaţţie.ie.Proprietăţile de mai sus se menţin dacă în locul matricelor din mulţimea Mm,n(C) se consideră matrice din mulţimea MMmm,,nn(R) (R) (respectiv din MMmm,,nn(Q)(Q) sau MMmm nn(Z))(Z)) , iar scalarii sunt din RR (respectiv din QQ sau ZZ).

* ScădereaScăderea matricelormatricelorPentru două matricea, A,B din Mm,n(C), definim, A A --B = A + (B = A + (--B).B).Rezultă:

mnmnmmmm

nn

nn

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bababa

bababa

bababa

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

...

............

...

...

...

............

...

...

...

............

...

...

2211

2222222121

1112121111

21

22221

11211

21

22221

11211

Două matrice se pot scădea numai dacă sunt de acelaşi tip şi “se scad poziţie cu poziţie”.


DefiniDefiniţţia ia îînmulnmulţţirii matriceloririi matricelor

pknjjkpn

njmiijnm bBMBaAMA

,1,1,

,1,1, ;,,

atunci : )();(

,1,1,

pjmiikpm cCCMCAB

şi :

n

jjkijnkinkikiik babababac

12211 ...

ElementulElementul ccik ik ,,situat în matricea produs pe linia ilinia i şşi i coloana kcoloana k se determină îînmulnmulţţindind respectiv elementele liniei ielementele liniei i din prima

matrice cu elementele coloanei kcu elementele coloanei k din a doua matrice şi adunând rezultateleadunând rezultatele..ObservaObservaţţie. ie.

îînmulnmulţţirea a două matriceirea a două matrice A şi Bse poate efectuase poate efectua (în această ordine !)numai dacă numărul numărul coloanelor lui coloanelor lui AA este egal cu este egal cu numărul numărul liniilor lui liniilor lui BB.

Matricea produs are acelaşi număr de linii cu A şi aceleşi număr de coloane cu B.

Problemă rezolvatăProblemă rezolvată..Aflaţi matricea X din M2(R) cu proprietatea

18

01XX

SoluSoluţţie.ie. Fie

1

8)(

0)(

1

2

2

2

2

uyz

uxz

uxy

yzx

uyzuzzx

yuxyyzxXX

uz

yxX

y = 0 ,apoi (x, y, z, u) {(1, 0, - 4, 1), (-1, 0, 4, - 1)}, deci problema are două soluţii:

14

01;

14

0121 XX


Scrierea matricealăScrierea matriceală a unui sistem liniara unui sistem liniarînmulţirea matricelor îşi dovedeşte utilitatea prin faptul că permite scrierea sistemelor liniare de m ecuaţii cu n necunoscute sub o formă concentrată, forma matriceală. Astfel, matricele devin instrumente eficiente de studiu al sistemelor.

Fie sistemul liniar de m ecuaţii cu n necunoscute

)1(;

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Acestui sistem îi asociem:

a) a) matricea coeficienmatricea coeficienţţilor Ailor A

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

b) b) matricea necunoscutelor Xmatricea necunoscutelor X

nx

x

x

X...

2

1

c) c) matricea termenilor liberi Bmatricea termenilor liberi B

mb

b

b

B...

2

1Ecuaţia matricealăeste: AA∙∙X = BX = B, (2).Astfel, sistemul (1) este echivalent cu ecuasistemul (1) este echivalent cu ecuaţţia matriceală ia matriceală (2).(2). Spunem că am scris sistemul sub formă matriceală.


Înmulţirea matricelor nu estenu este comutativă .

ProprietăProprietăţţile ile îînmulnmulţţiriiirii matricelormatricelor

00

01;

10

00

00

10

01

00

BAABB

A

BAAB

contraexemplu:

* înmulţirea matricelor este asociativă, adică

pentru orice matrice A A MMm,nm,n(C), (C), B B MMn,pn,p(C), (C), C C MMp,qp,q(C),(C), are loc egalitatea : A(BC) = (AB)C.A(BC) = (AB)C.• înmulţirea matricelor este distributivă la stânga faţă de adunare, adică :

pentru orice matrice A A MMm,nm,n(C), (C), B B MMn,pn,p(C), (C), C C MMn,pn,p(C),(C), are loc egalitatea: A(B + C) = AB + AC.A(B + C) = AB + AC.• înmulţirea matricelor este distributivă la dreapta faţă de adunare, adică :

pentru orice matrice A MA Mn,pn,p(C), B M(C), B Mm,nm,n(C), C M(C), C Mm,nm,n(C)(C) are loc egalitatea: (B + C)A=BA +CA (B + C)A=BA +CA

Proprietăţile înmulţirii matricelor din MMnn(C).((C).(matrice pătratematrice pătrate))îîn muln mulţţimea Mimea Mnn(C), (C), oricare două matrice se pot aduna sau oricare două matrice se pot aduna sau îînmulnmulţţi, rezultatul fiind o matrice din aceeai, rezultatul fiind o matrice din aceeaşşi muli mulţţime.ime.

Un rol important îl are matricea unitatematricea unitate, notată cu IInn

1...00

............

0...10

0...01

nI

îîn muln mulţţimea Mimea Mnn(C) (C) există există element neutruelement neutru fafaţţă de ă de îînmulnmulţţire, ire, şşi anume i anume IInn , , adică: AA∙∙IInn=I=Inn∙∙A=AA=A, pentru orice A din Mn(C).

Se păstrează proprietăţile de mai sus. În plus avem( numai în cazul matricelor pătrate):

ObservaObservaţţie:ie: matricea In comută cu orice matrice pătrată de ordinul n.


Ridicarea la putereRidicarea la putere a unei matrice pătrate a unei matrice pătrate..

Pentru o matrice A din Mn(C), se definesc inductiv inductiv puterile sale naturale, astfel:

AA°°=I=Inn ; A; A11 =A ; A=A ; A22=A=A∙∙A ; AA ; A33=A=A22∙∙A ; ..., AA ; ..., Ap+1p+1 =A=App∙∙A (p N*).A (p N*).

Folosind asociativitatea înmulţirii, se obţin proprietăţile:

AAp+qp+q =A=App∙∙AAq q ; (A; (App))qq=A=Apqpq

Probleme rezolvate.Probleme rezolvate.1. Fie matricele

53

42,

53

102,

00

20,

00

10YXBA Calculaţi: AB, AXAB, AX şşii AY.AY.

00

53,

00

53,2 AYAXOAB

Comentarii:Comentarii:i) Dacă a, b sunt două numere complexe cu proprietatea ab = 0, atunci cel puţin unul dintre numere este nul. Exemplul de mai sus arată că pentru matrice, nu are loc o proprietate asemănătoare, adică din AB = 0m, n nu rezultă în mod necesar că cel puţin una dintre matricele A, B este nulă.

ii) Dacă a, x, y sunt numere complexe aşa încât ax = ay iar a ≠0, rezultă că x = y. Exemplul de mai sus arată că pentru matrice, nu are loc o proprietate asemănătoare, adică din AX=AY unde A este diferită de matricea nulă nu rezultă în mod necesar că X= Y.

Calculând,avem:


2.2.) ) Fie Fie A, B A, B două matrice pătrate de ordinul două matrice pătrate de ordinul n. n.

DemonstraDemonstraţţi căi că:: a)a) ((A + B)A + B)22 = A= A22 + 2AB + B+ 2AB + B22 dacă dacă şşi numai dacă i numai dacă AB=BA;AB=BA;b)b) (A + B)(A (A + B)(A --B)=AB)=A22--BB22 dacă dacă şşi numai dacă i numai dacă AB=BAAB=BA.

SoluSoluţţie.ie. a) Aplicând distributivitatea înmulţirii faţă de adunare, avem: (A+B) = = (A+B)(A+B)=A2+AB+BA + B2. Egalitatea A2 +AB + BA+ B2 =A2 +2AB + B2 are loc dacă şi numai dacă BA = AB.

b) Se demonstrează analog.ObservaObservaţţie.ie. Exemplul de mai sus arată că în general formulele de calcul prescurtat ce au loc pentru numere reale sau complexe nu senu se verifică

pentru matrice.

Prin inducinducţţie matematicăie matematică se poate demonstra că

dacă AB = BA, atunci: kkn

n

k

kn

npqqp BACBAABBA

0

şi binomul lui Newton

200

120

212

;

00

00

00

B

i

i

i

A3.) 3.) Fie Fie A, B A, B două matrice pătratedouă matrice pătrate.

CalculaCalculaţţi Ai Ann şşi Bi Bnn, , pentru pentru n n N, N, n n ≥≥ 2.2.

3234

23

32

100

010

001

IAAAA

AAAA

IAAA

SoluSoluţţieie.

Aşadar:

34kn ,

24kn,

14kn ,

4kn ,

3

3

A

-I

A

I

An

n

nn

nnn

nn

nn

nn

n

nkknn

k

kn

n

n

nnn

DCDCICB

ODşiDDDarDCDIDcuDIB

200

220

2)7(22

...222

...

000

000

100

,.2)2(B şi

000

100

210

:,2

1

31

222113

0

332

03

n3


Raaa

aaA

;cossin

sincos4.)4.) Fie matriceaCalculaţi An

aaaa

aaaa

aa

aa

aa

aaAAA

22

222

sincoscossin2

cossin2sincos

cossin

sincos

cossin

sincos

Arătăm prin inducţie că: P(n)P(n+1) ,unde P(n):” “

nana

nanaAn

cossin

sincos

Verificarea ,n=1,n=2,s-a efectuat mai sus.

))1cos(())1sin((

))1sin(())1cos((

sin)sin(cos)cos(sin)cos(cos)sin(

cos)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(

cossin

sincos

cossin

sincos1

anan

anan

anaanaanaana

anaanaanaana

aa

aa

nana

nanaAAA nn

Conform principiului inducţiei matematice, propoziţia este adevărată pentru orice n N*.

este formula lui Moivreformula lui Moivre pentru matriceObservaObservaţţie.ie. Formula demonstrată,

nana

nana

aa

aan

cossin

sincos

cossin

sincos

11

11;

2

1

2

32

3

2

1

BA

5.)5.) Fie matricele A,B. Calculaţi A100 , B100

SoluSoluţţieie.

SoluSoluţţieie.

2

1

2

32

3

2

1

3

100cos

3

100sin

3

100sin

3

100cos

3cos

3sin

3sin

3cos

100

AA

Analog:

50

5050100

20

02

4

100cos

4

100sin

4

100sin

4

100cos

2

4cos

4sin

4sin

4cos

2

BB


EXERCIEXERCIŢŢII DE INIII DE INIŢŢIEREIERE

1.)1.) Se dau matricele Calculaţi: A+B, A-B, 2A-3B

135

531,

502

020BA

2.)2.) Se dau matricele

40

21

13

,405

011YX

Calculaţi:a)A2-(B-C) şi B2-(C-A); b)(A+B-C)2 şi(A-B-C)2;c)AB+BC+CA; d)A2+B2 + C2 şi (A+B)(B + C)(C+A).

3.)3.)Un magazin se aprovizionează cu pâine de două ori pe zi (dimineaţa şi după amiaza), achiziţionând trei sortimente de pâine (albă, neagră, graham). Numărul pâinilor din fiecare fel este trecut în tabelul 1, iar preţul unei pâini din fiecare fel este conform tabelului 2

1 Pâini albe Pâini negre Pâini graham

Dimineaţa 300 200 200

După amiaza 200 300 100

2 Preţ

Pâine albă 0,8

Pâine neagră 0,7

Pâine graham 0,5

Scrieţi matricele A şi B asociate celor două tabele; precizaţi tipul lor. Calculaţi produsul matricelor A şi B. Care este semnificaţia concretă a elementelor matricei AB ?

4.)4.) Se consideră matricele

22

11,

03

40,

10

21CBA

a) verificaţi: (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + AC; (A+B)C = AC + BC. b) Stabiliţi dacă sunt egale matricele: AB şi BA; ABA şi A2B ; BAB şi AB2 ; (B + C)A şi AB + AC.

CABCBA şi ) )

) ;)222

2222

CBAdCABCABc

CBAşiCBAbACşiBCBAa

5.)5.) se consideră matricele:

11

22,

11

10,

23

11CBA

Calculaţi


6.)6.) Fie matricele:

03

21;

32

13BA Stabiliţi în fiecare caz dacă există astfel încât:R ,

222

22 c) ;) ;) OBAIBAbOBAa

7.)7.) Alcătuiţi sistemul liniar a cărui formă matriceală este AX = B unde matricea coeficienţilor este:

123

355

321

Amatricea necunoscutelor este:

z

y

x

X iar matricea termenilor liberi este:

12

12

4

B

8.)8.) Fie matricea

42

21X

a) Calculaţi X2.b) Verificaţi egalitatea X2 = 5X.

c) Arătaţi că X3 =52X.d) Prin inducţie matematică demonstraţi că Xn = 5n-1X

9.)9.) Se consideră matricele :

jiji

jijib

jiji

jijiacubBaA ijijjiijjiij ;

;,

;

; :;

3,1,3,1,Calculaţi:

a)A+B + I3 ; b) A2, B2 şi A2+2AB-B2; c) (A+B-I3)2

10.)10.) Ridicaţi la puterea n, (n e N*) matricele:

032

001

000

şi 10

21BA


PROBLEME ♦ PROBLEME ♦ PROBLEME

1.1. Fie matricele

12

73

01

;

21

02

11

BA a) Determinaţi matricele A+B şi B-A.b) Dacă f(X)=X+A, calculaţi: f(A), f(B), f(A+B), f(B-A).

2.2. Fie matricele

0213

1121

0021

;

0011

3121

1000

;

2100

21312

0111

BBA

Determinaţi matricele: A+B-C, A-B + C, -A +B - C şi A +B + C.

3.3. Se consideră matricele

103

21B şi

001

11

i

iiA Calculaţi matricele: A +B, A-Bşi2A-3B.

4.4. Se consideră în plan punctele M(1, 3), N(O, 4) şi P(4, - 8) şi vectorii: OPwONvOMu ,,

a) Scrieţi vectorii sub formă matriceală si calculaţi: wvuvuvu 2 ; ;

b) Aflaţi scalarii α şi β astfel încât: wvu 5.5. Aflaţi Rdcba ,,, ştiind că:

dc

ba

2

43

2

12

10

13

01

22

6.6. Se consideră funcţia f:M3(C) M3(C), unde f(X) = 2X+l3 si fie matricele:

100

001

010

,

311

012

101

BA

a) Calculaţi: f(A), f(B), f(A+B). b) Arătaţi că f este injectivă. c) Este f surjectivă ?

7.7. Fie matricele

42

20,

32

11,

610

82CBA Stabiliţi dacă există α,β,γ R* astfel încât: αA+βB + γC=02

8.8. Aflaţi matricele X şi Y ştiind că:

720

464 şi

55

86b)2

1

0

1

32 şi

3

2

1

) YXYXYXYXa


9. Se consideră matricele ).,min(),,max(;,),(,33333 jibjiabBaAZMBA ijijxijxij BABA ,Aflaţi:

10. Dacă

10

123,2 :.*,,110

,k

kkkk

k

kk AScalcNkiii

ACMA

11. Dacă

2

14

532

şi )(3

zy

xAARMA t, aflaţi: a) numerele reale x,y, z; b) urma matricei A.

12. Considerăm matricele

30

11

22

,110

321YX Calculaţi XY si YX.

13. Fie

65

43

21

,654

111BA . Calculaţi : AB, BA, I2A, AI3, BI2, I3B.

14. Fie

30

12,

032

111BA Calculaţi BA, B2, tA∙A şi A∙tA

15. Găsiţi toate matricele Xe M2(R) de forma

.

y

yxX

0 cu proprietatea X2 = I2

16. Rezolvaţi în mulţimea M2(R) ecuaţiile:

100

010

001

100

110

111

) 40

19) 2

XbXa

10

31Acu

53comută

baX

17. Aflaţi a, b e R ştiind că matricea


18.18. Completaţi: a) O matrice care are două linii şi 4 coloane se înmulţeşte cu o matrice având ... linii si 5 coloane. Rezultatul înmulţirii este o matrice cu ... linii şi... coloane.

b) O matrice pătrată de ordinul ... se înmulţeşte cu o matrice coloană si se obţine o matrice cu 3 linii si... coloane.c) Dacă A • tA este o matrice pătrată de ordinul 4 iar tA • A este o matrice pătrată de ordinul 6, atunci A are ... linii şi... coloane.

1919. Determinaţi numerele naturale m, n, numerele reale x, y şimatricea X din Mm,n(R) astfel încât

65y

x129

654

321b)X

6

411

5

65

43

21

)

y

x

Xa

20.20. Găsiţi matricea X si numărul real a astfel încât

a

X 14

6

65

43

21

21.21. Ridicaţi la puterea n (n e N*) matricele:

300

010

0a1

101

000

101

11

11

10

1

a

a

22.22. Ridicaţi la puterea n (n e N*) matricele:

101

011

001

,

100

110

211

,

100

110

011

23.23. Ridicaţi la puterea n (n eN*) matricele:

001

100

010

, 0

0,

0

0

a

a

a

a

24.24. Fie bcadcudc

baACMA

:,),(2 a) Demonstraţi că A2 = t∙A unde t este urma matricei A.

b) Calculaţii An, n e N*.

25.25. Folosind eventual procedeul ce rezultă din problema precedentă,

ridicaţi la puterea n (n eN*) matricele:

1cos

sin22sin,

86

43 ,

x

xx

ba

ba


26.26. Ridicaţi la puterea n (n N*) matricele:

1

1,

sincos

cossin,

31

13 ,

01

10

tga

tga

aa

aa

27.27. Fie

2

3

2

12

1

2

3

A Aflaţi valorile lui n N* cu proprietatea A A n n = = II22

28.28. Fie A, B Mn(C), astfel încât A +B = In . Demonstraţi că AB = BA

2929. Considerăm matricele

33

22Bşi

23

23A

Demonstraţi că: a) AB = BA;a) AB = BA; b) (A + xB)b) (A + xB)nn = A + x= A + xnnBB pentru orice x R

30.30. Se consideră matricele A = (aij) B = (bij) , i,j {1, 2, 3}, definite prin :

ji j),min(i,

ji ,0,

ji j),max(i,

ji ,0ijij ba

a) Calculaa) Calculaţţi: Ai: A22, B, B22, A, ABB--BA. BA. b b) A) Arătarătaţţi că i că : : tt(AB) = BA(AB) = BA.

31.31. Se consideră matricele A, B, C unde A = BCA = BC,

cbaC

c

b

a

B

;

a) Demonstraţi că există o constantă a astfel încât: AA2 2 = aA= aA.

b) Calculaţi AA20062006

32.32. Fie matricele

ARA

101

3 Xcu )(MXşi

100

010

101a) Demonstraţi că AX = XA.AX = XA.

b) Demonstraţi că matricea X este de forma:

c) Calculaţi Xn.d) Determinaţi matricea X.

a

b

ca

X

00

00

0


♦ REZUMATUL CAPITOLULUIREZUMATUL CAPITOLULUI ♦

ÎÎnmulnmulţţirea matricelorirea matricelor

A MA Mm,nm,n(C),(C), B MB Mn,pn,p(C)(C)

A = (aA = (aijij) ,B = (b) ,B = (bjkjk).).Produsul matricelor A şi B este matricea

A A •• B = CB = C, unde C MC Mm,pm,p(C),(C), C=(cC=(cikik))

(îînmulnmulţţirea se face irea se face linie x coloanălinie x coloană)

ÎÎnmulnmulţţirea cu scalari irea cu scalari

Dacă A=(aij) şi λ C este un scalar

Produsul dintre scalarul λ şi matricea A este

matricea: C=(cij) , cij = λaij

(fiecare element al matricei fiecare element al matricei A A se se îînmulnmulţţeeşşte cu scalarul te cu scalarul λλ)

AdunareaAdunarea

A,B Mm,n(C) ,A=(aij) şi B=(bij)

Suma matricelorSuma matricelor A şi B este matricea

C Mm,n(C) C=(cij) , cij = aij+bij(adunarea se face pe componenteadunarea se face pe componente)Matricea

se numeşte matricea nulămatricea nulă. Omn este element neutru faţă de adunară matricelor.

Diagonalele Diagonalele şşi urma unei i urma unei matrice pătratematrice pătrate

Fie A M n(C) o matrice pătrată,

sistemul ordonat : ( a( a1111,a,a2222,,……,a,ann nn ) ) reprezintă diagonala principalădiagonala principală a matricei A,

iar ( a( a1n1n,a,a2,n2,n--11,,……,a,an1 n1 ) ) diagonala diagonala secundarăsecundară a matricei A.

Numărul Tr(A)Tr(A)==aa1111 +a+a2222+ ...+a+ ...+annnn

(suma elementelor de pe diagonala suma elementelor de pe diagonala principalăprincipală) se numeşte urma matriceiurma matricei A.

Transpusa unei matriceTranspusa unei matrice

Notăm : transpusa matricei A Mm,n(C)cu tA

Se observă că: tA Mn,m(C)

NoNoţţiunea de matriceiunea de matrice

O funcţie A : {1,2,…,m}x{1,2,,,,,n}C

Se numeşte matrice de tip (m,n)

cu m-linii şi n-coloane.

Sau

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

njmiijaA

11

mnnn

m

m

t

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22212

12111

0...00

............

0...00

0...00

,nmO

n

jjkij

nkinkikiik

ba

bababac

1

2211 ...

2-Operatii Cu Matrice

Documents

Transcript of 2-Operatii Cu Matrice