2-Operatii Cu Matrice

download 2-Operatii Cu Matrice

of 20

  • date post

    24-Apr-2015
  • Category

    Documents

  • view

    38
  • download

    6

Embed Size (px)

description

2-Operatii Cu Matrice

Transcript of 2-Operatii Cu Matrice

Prof:Ciocoti Prof:Ciocoti an Radu an RaduOPERA OPERA II II CU MATRICE CU MATRICEnainte de a defini adunarea matricelor, considerm un caz particular de matrice, deja cunoscut.Exemplu Exemplu.Fie un vector din plan. Exist numerele reale unice x, y astfel nct unde sunt versorii axelor Oxi Oy. Numerele x i y cu aceast proprietate se numesc coordonatele vectorului .Vom folosi notaia: v j y i x v + =v||.|

\|=yxvDac avem doi vectori :||.|

\|++=||.|

\|+||.|

\|= + ||.|

\|=||.|

\|='''''''' ,y y x xyxyxv vyxvyxv j i iProf:Ciocoti Prof:Ciocoti an Radu an RaduDefini Defini ia ia adunrii matricelor( ) ( )ij ij n m b B a A M B A = = e , ; ,, ( ) n j m ij i j i b a B As s s s+ = +11atunciAdunarea se efectueaz astfel:Dou matrice se pot aduna numai dac sunt de acelai tip i se adun poziie cu poziie.|||||.|

\|+ + ++ + + + + +=|||||.|

\|+|||||.|

\|= +mn mn m m m mn nn nmn m mnnmn m mnnb a b a b ab a b a b a b a b a b ab b bb b b b b ba a aa a a a a aB A...... ... ... ............... ... ... ............... ... ... .........2 2 1 12 2 22 22 21 211 1 12 12 11 112 12 22 211 12 112 12 22 211 12 11Defini Defini ia ia nmulirii matricelor cu scalari ( ) scalar - C , ;, e = e ij n m a A M Aatunci ( ) n j m ij ia As s s s=11 Deci, nmulirea unei matrice cu un scalar se efectueaz astfel:|||||.|

\|=|||||.|

\| =mn m mnnmn m mnna a aa a a a a aa a aa a a a a aA ...... ... ... ............... ... ... .........2 12 22 211 12 112 12 22 211 12 11Prof:Ciocoti Prof:Ciocoti an Radu an RaduProblem rezolvat Problem rezolvat. .Aflai numerele complexe x,y dac: ||.|

\| + =||.|

\|+||.|

\|i i iiy x2 201 11 10 1Solu Solu ie. ie. Efectund nmulirea cu scalari i adunarea , relaia devine:||.|

\| + =||.|

\|+ + + +||.|

\| + =||.|

\|+||.|

\|i i iiy x x y y xi i iiyy yx xx 2 200 2 200de unde: x x = = i , y = i , y = - -2 2.Propriet Propriet ile adunrii matricelor ile adunrii matricelor i i nmul nmul irii cu scalari irii cu scalariVom pune n eviden unele analogii ntre proprietile operaiilor cu matrice i proprietile operaiilor cu numere. n mul n mul imea imea M M m,n m,n ( (C), C), considerm matricea care are considerm matricea care are toate elementele egale cu zero toate elementele egale cu zero. .Notm aceast matrice cu O Om m,n ,ni o numim matricea nul matricea nul cu m linii i n coloane1. Adunarea matricelor este asociativ asociativ, adic: (A (A + + B) + C B) + C = = A + (B + A + (B + C) C) , , pentru orice A, B, C din Mm,n(C).2. Adunarea matricelor este comutativ comutativ, adic: A +B = B + A A +B = B + A3. n mulimea Mm,n(C) exist element neutru element neutru fa de adunare, i anume: O Om, n m, n, adic A + A + O Om m,n ,n= = O Om m, ,n n+A +A4. Pentru orice A eMm,n(.C), exist - -A Ae Mm,n(C) astfel nct: A A + ( + (- -A A) = ( ) = (- -A A)+ )+A A = O = Om m, ,n n5. nmulirea cu scalari este distributiv fat de adunarea matricelor distributiv fat de adunarea matricelor, adic: (A+B) = (A+B) = A + A + B, B,6. nmulirea cu scalari este distributiv fat de adunarea scalarilor distributiv fat de adunarea scalarilor, adic: ( ( + + )A = )A = A+ A+ A A, 7. 7. ( ( A) = A) = ( ( A) A) = = ( ( ) A ) A 8. 8. 1 1 A A = =A A|||||.|

\|=mn m mnna a aa a a a a aA...... ... ... .........2 12 22 211 12 11|||||.|

\| = mn m mnna a aa a a a a aA...... ... ... .........2 12 22 211 12 11Matricea opus lui A Matricea opus lui A|||||.|

\|=0 ... 0 0... ... ... ...0 ... 0 00 ... 0 0,n mOProf:Ciocoti Prof:Ciocoti an Radu an RaduObserva Observa ie. ie.Proprietile de mai sus se menin dac n locul matricelor din mulimea Mm,n(C) se consider matrice din mulimea M Mm m, ,n n(R) (R) (respectiv din M Mm m, ,n n(Q) (Q) sau M Mm m n n(Z)) (Z)) , iar scalarii sunt din R R (respectiv din Q Q sau Z Z).* Scderea Scderea matricelor matricelorPentru dou matricea, A,B din Mm,n(C), definim, A A - -B = A + ( B = A + (- -B). B).Rezult:|||||.|

\| =|||||.|

\||||||.|

\|= mn mn m m m mn nn nmn m mnnmn m mnnb a b a b ab a b a b a b a b a b ab b bb b b b b ba a aa a a a a aB A...... ... ... ............... ... ... ............... ... ... .........2 2 1 12 2 22 22 21 211 1 12 12 11 112 12 22 211 12 112 12 22 211 12 11Dou matrice se pot scdea numai dac sunt de acelai tip i se scad poziie cu poziie.Prof:Ciocoti Prof:Ciocoti an Radu an RaduDefini Defini ia ia nmul nmul irii matricelor irii matricelor( ) ( ) p k n jjk p nn j m iij n m b B M B a A M A, 1, 1,, 1, 1,; , ,==== = e = eatunci : ) ( ); (, 1, 1,p j m iik p m c C C M C AB=== e =i : = = + + + = nj jk ij nk in k i k i ik b a b a b a b a c12 2 1 1...Elementul Elementul c cik ik , ,situat n matricea produs pe linia i linia i i i coloana k coloana k se determin nmul nmul ind ind respectiv elementele liniei i elementele liniei i din prima matrice cu elementele coloanei k cu elementele coloanei k din a doua matrice i adunnd rezultatele adunnd rezultatele. .Observa Observa ie. ie. nmul nmul irea a dou matrice irea a dou matrice A i Bse poate efectua se poate efectua (n aceast ordine !)numai dac numrul numrul coloanelor lui coloanelor lui A A este egal cu este egal cu numrul numrul liniilor lui liniilor lui B B.Matricea produs are acelai numr de linii cu A i acelei numr de coloane cu B.Problem rezolvat Problem rezolvat. .Aflai matricea X din M2(R) cu proprietatea ||.|

\|= 1 80 1X XSolu Solu ie. ie. Fie= + = + = + = +||.|

\|+ + + += ||.|

\|=18 ) (0 ) (12222u yz u x z u x y yz xu yz uz zx yu xy yz xX Xu z y xXy = 0 ,apoi (x, y, z, u) {(1, 0, - 4, 1), (-1, 0, 4, - 1)}, deci problema are dou soluii:e||.|

\|=||.|

\|=1 40 1;1 40 12 1 X XProf:Ciocoti Prof:Ciocoti an Radu an RaduScrierea matriceal Scrierea matriceal a unui sistem liniar a unui sistem liniarnmulirea matricelor i dovedete utilitatea prin faptul c permite scrierea sistemelor liniare de m ecuaii cu n necunoscute sub o form concentrat, forma matriceal. Astfel, matricele devin instrumente eficiente de studiu al sistemelor.Fie sistemul liniar de m ecuaii cu n necunoscute) 1 ( ;............2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11= + + += + + + = + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x a b x a x a x aAcestui sistem i asociem:a) a) matricea coeficien matricea coeficien ilor A ilor A|||||.|

\|=mn m mnna a aa a a a a aA...... ... ... .........2 12 22 211 12 11b) b) matricea necunoscutelor X matricea necunoscutelor X|||||.|

\|=nxxxX...21c) c) matricea termenilor liberi B matricea termenilor liberi B|||||.|

\|=mbbbB...21Ecuaia matricealeste: A A X = B X = B, (2).Astfel, sistemul (1) este echivalent cu ecua sistemul (1) este echivalent cu ecua ia matriceal ia matriceal (2). (2). Spunem c am scris sistemul sub form matriceal.Prof:Ciocoti Prof:Ciocoti an Radu an Radunmulirea matricelor nu este nu este comutativ .Propriet Propriet ile ile nmul nmul irii irii matricelor matricelor||.|

\|=||.|

\|= ||.|

\|=||.|

\|=0 00 1;1 00 00 01 00 10 0BA AB BABA AB =contraexemplu:* nmulirea matricelor este asociativ, adicpentru orice matrice A A M Mm,n m,n(C), (C), B B M Mn,p n,p(C), (C), C C M Mp,q p,q(C), (C), are loc egalitatea : A(BC) = (AB)C. A(BC) = (AB)C. nmulirea matricelor este distributiv la stnga fa de adunare, adic :pentru orice matrice A A M Mm,n m,n(C), (C), B B M Mn,p n,p(C), (C), C C M Mn,p n,p(C), (C), are loc egalitatea: A(B + C) = AB + AC. A(B + C) = AB + AC. nmulirea matricelor este distributiv la dreapta fa de adunare, adic :pentru orice matrice A M A Mn,p n,p(C), B M (C), B Mm,n m,n(C), C M (C), C Mm,n m,n(C) (C) are loc egalitatea: (B + C)A=BA +CA (B + C)A=BA +CA e e ee e ee e eProprietile nmulirii matricelor din M Mn n(C).( (C).(matrice ptrate matrice ptrate) ) n mul n mul imea M imea Mn n(C), (C), oricare dou matrice se pot aduna sau oricare dou matrice se pot aduna sau nmul nmul i, rezultatul fiind o matrice din aceea i, rezultatul fiind o matrice din aceea i mul i mul ime. ime.Un rol important l are matricea unitate matricea unitate, notat cu I In n|||||.|

\|=1 ... 0 0... ... ... ...0 ... 1 00 ... 0 1nI n mul n mul imea M imea Mn n(C) (C) exist exist element neutru element neutru fa fa de de nmul nmul ire, ire, i anume i anume I In n, , adic: A A I In n=I =In n A=A A=A, pentru orice A din Mn(C).Se pstreaz proprietile de mai sus. n plus avem( numai n cazul matricelor ptrate): Observa Observa ie: ie: matricea In comut cu orice matrice ptrat de ordinul n.Prof:Ciocoti Prof:Ciocoti an Radu an RaduRidicarea la putere Ridicarea la putere a unei matrice ptrate a unei matrice ptrate. .Pentru o matrice A din Mn(C), se definesc inductiv inductiv puterile sale naturale, astfel:A A =I =In n; A ; A1 1=A ; A =A ; A2 2=A =A A ; A A ; A3 3=A =A2 2 A ; ..., A A ; ..., Ap+1 p+1=A =Ap p A (p N*). A (p N*).Folosind asociativitatea nmulirii, se obin proprietile:eA Ap+q p+q=A =Ap p A Aq q ; (A ; (Ap p) )q q=A =Apq pqProbleme rezolvate. Probleme rezolvate.1. Fie matricele ||.|

\|=||.|

\|=||.|

\|=||.|

\|=5 34 2,5 310 2,0 02 0,0 01 0Y X B ACalculai: AB, AX AB, AX i i AY. AY.||.|

\|=||.|

\|= =0 05 3,0 05 3,2 AY AX O ABComentarii: Comentarii:i) Dac a, b sunt dou numere complexe cu proprietatea ab = 0, atunci cel puin unul dintre numere este nul. Exemplul de mai sus arat c pentru matrice, nu are loc o proprietate asemntoare, adic din AB = 0m, nnu rezult n mod necesar c cel puin una dintre matricele A, B este nul.ii) Dac a, x, y sunt numere complexe aa nct ax = ay iar a 0, rezult c x = y. Exemplul de mai sus arat c pentru matric