Marius PERIANUCdtilin srANtcADaniela STANICA

ESENTIAL)

Matematiciclasa a VI-a

il

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

CupnrNSRLCEBRA Capitolul 1. Rapoarte gi proporfii

RapoarteProcente.......Propor[ii....... .........................

Proportii derivateTeste de evaluare ..................

Fi5a pentru portofoliul individual (A1 ) ...............

Test - model pentru Evaluarea Na[ionalo..Mdrimi direct proporlionaleMdrimi invers propor!ionaleRegula de trei simplS 39

Reprezentarea datelor prin grafice 43

Probabilitdti 48Teste de evaluare .................. 52

Figa pentru portofoliulindividual(A2) 53

Test * model pentru Evaluarea Nalionald.. 55'l .10. Probleme cu caracter practic 57

ALGEBRA Capitolu! 2. Numere intregi2.1. Numere intregi 61

2.2. Compararea gi ordonarea numerelor intregi ............... 65

2.3. Adunarea numerelorintregi ............... 672.4. Scdderea numerelor intregi ............... 71

Teste de eva1uare................... 74

FiSd pentru portofoliul individual (A3)

7

11

16

2226272931

351.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

2.5. inmul[irea numerelor intregi2.6. lmpirlirea numerelorintregi ..............

2J. Puterea unui numdr intreg .

2.8. Ordinea efectuirii operatiilorTeste d e eval ua re......................

75

7781

848790

Fitd pentru portofoliul individual(A4) ............... 91

2.9. Rezolvarea unor ecua[ii in Z ............. 932.10. Rezolvarea unor inecuatii in Z .............. 962.1 1. Probleme care se rezolvi cu ajutorul ecualiilor sau inecualiilor ............ 99

Teste de evaluare .................. 101

FiSa pentru portofoliul individual (A5) ........r..... 103

Test - model pentru Evaluarea Nalionala.. 105

GEOMETRIE Capitolul3.3.1. Drepteperpendiculare

Perpendicularitate gi paralelism

109

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

115

117

123126130

131

133

136

139

141

143145154155

Congruenla triunghiurilor dreptunghice ..

MediatoareaSimetria fafd de o dreaptdBisectoareaTeste de evaluoreFigd pentru portofoliul individual (G1)

3.6. indllimiletriunghiului3.7. Medianeletriunghiului

Teste de evaluoreFi5a pentru portofoliul individual (G2)

Test - model pentru Evaluarea Nalionala3.8. Unghiurideterminate de doud drepte cu o secant5. Drepte paralele .....

Teste de evaluareFi5a pentru portofoliul individual (G3)

Test - model pentru Evaluarea NaEionala 157

GEOMETRIE Capitolul 4. Proprietitiletriunghiurilor4.1. Suma mdsurilor unghiurilor unui triunghi 161

4.2. ProprietSlile triunghiului isoscel 165Teste de evaluare .................. 172

Fi$d pentru portofoliulindividuol(G4) 1734.3. ProprietS[ile triunghiului echilateral 175

Teste de evaluare .................. 178Fi5d pentru portofoliulindividual(Gl) 179

4.4. ProprietSfile triunghiului dreptunghic 181

Teste de evoluore .................. 186

Figd pentru portofoliulindividual(G6) 187

Teste - model pentru Evaluarea Nalionald 189

SINTEZE Capitolul 5. Variante de subiecte pentru te2i.............. 195

solUTil 201

CAPITOLUL IRapoarte ti proporlii

1.1. Rapoarte

1.2. Procente

1.3. Proporpii

1.4. Proporlii derivate

Teste de evaluareFiSd pentru portofoliul individual (.AL)

T est-mo del pentru Evaluarea N ayionald

1.5. M5rimi direct proporlionale

1.6, Mirimi invers proporfionale

1.7. Regula de trei simpli1.8. Reprezentarea datelor prin grafice

1.9. ProbabiliteliTeste de evaluareFiSd pentru portofolial individual (A2)Test-model pentru Evaluarea Nalionald

1.10. Probleme cu caracter practic

CAPITOLUL 1

oarteTema 1.1.Rapoarte

Raport. P'ajln raportul numerelor ralionale pozitive a Si b, crt b+ 0, se inlelege

num5rul ra[ional a:b,noat ff.

Scrierea 1 este raportul,iar a Sib sunttermenii raportului'b

Valoarea unui raport fr estenumdrul c care se obline din relatia c = a'. b-

Exemplu. lntr-o clasd sunt 12 fete gi 16 bdiefi. Spunem cdraportul dintre numdrul fetelor qi

cel al bdiefilor este egal "u -9

.Valoarea raportului este 12 :16 =0,75 -

16

Observatii'l . La scrierea raportului a doud mirimi, de aceeaqi nabtrd, acestea trebuie exprimate

in aceeagi unitate de mdsur6. De exemplu, dacl 151imea unui dreptunghi este egalS

cu 120 cm, iar lungimea este egalS cu 3,6 m, pentru a afla raportul dintre lfl1ime 9ilungime, intdi transformdm:

L =3,6m= 360cm qi apoi urr.-, | - 120cm - 1 -Z '360cm 3'

2. Se pot forma rapoarte gi cu cantiti,ti de tipuri diferite. De exemplu, dacd unui om ii

trebuie 3 ore pentru a parcurge lzkrn,se formeazd raportul

=+

= 4 fun/h .

Formarea raportului duce la un nou concept, de vitezd, cu unitatea de mdsurd km,/h.

3. Valoarea unui raport nu se schirnbi dac[ inmullim sau implrlim ambii termeni ai

s6i cu acelaqi numdr real, nenul:

a a.m---.m+u slb b.m

aa:n^_=_- n +tJ.b b:n'

=I

toI(!(E

(E

oszq,lt'lul

I

=u,l

=7

Exemple de rapoarte utilizate in practici

1. Raportul procentual este un raport de forma ffi care se noteazd pVo.

Exemplu. 1e%=# .

2, Scara unei hdrli este raportul dintre distanlapehartd gi distanla pe teren.

Exemptu. Pe o hartd, unui segment ce are lungimea de I cm ii corespunde o distan!5 in teren

egald cu 2 km. Deoarece 2lcrr:200 000 cm, scara h5r,tii este 1 : 200 000.

3. Concentralia unei solulii este raportul dintre masa substanlei care se dizolvd qi

masa solu{iei.

Exemplu. in 190 g de api se dizolvi l0 g sare. Concentra{ia solu{iei este egall cu:

10 =fg-=J-=sN.190+10 200 100

4. Titlul unui aliaj este raportul dintre masa metalului prefios gi masa aliajului.Exemplu. Un aliaj con{ine 240 g aur 9i 960 g cupru. Titlul aliajului este egal cu:

240 240 I 200240+960 1200 5 1000

b) 12luniin365 de zile;d) 48 de culegeri in 4 rafturi;fl 50 de flori in l0 buchete.

? atl; "t*' 0Z

TJ

=r(U!(!

.g(oo

IzUI

=,(!)(oU3zsEutc)'=(E

8

cuNoA$TERE $t EXERSARE

1. Scriefi sub forrnd de raport urmitoarele enunfuri:a) 4 &xnnici in 30 de zile;c) 20 de elevi in l0 bdnci;e) 20 de creioane la 5 copii;

2. Determinali valoarea urm[toarelor rapoarte:

oT' u*; c)

3 . Dimensiunile unui dreptunghi sunt de 9 dm gi 3 0 cm. Dacd aprecie zi cd propozi ,tiaeste adevirat5, incercuiegte litera A. in caz contrar incercuiegte litera F.

4. intr-o clasl sunt 12 fete qi 18 bdiefi.a) Scrie,ti raportul dintre numdrul fetelor gi numdrul elevilor din clasd.D) Scriefi raportul dintre numdrul fetelor qi num[ru] biiefilor din clas5.c,) Scrieli raportul dintre num[ru] b6ie{ilor gi numdrul elevilor din clasd.

5. Rapornrl numerelor a gi b este egd "u ].)

a/ Scrieli raportul numerelor 2a Si 3b.D/ Scrieli raportul numerelor 5a Si7b.c/ Scrie{i raportul numerelor 6 qi a.

d) Scneli raportul numerelor a2 gi b2.e) Determinali valoarea raportului dn1rc a qi b.

AF pl. Raportul dinhe lungimea gi 151imea dreptunghiului este egal cu9

30

AF p2. Raportul dintre lungimea qi lSlimea dreprunghiului este egal ." #.AF p3. Valoarea raportului dintre lungimea gi ldlimea dreptunghiului este

egalS cu 3.

AF p4. Valoarea raportului dintre lungimea gi ldlimea dreptunghiului esteegald cu 0,(3).

IIACUMULARE Sr CONSOLTDARE

6. Fie raoortut !. U + O.' b'a) D acd valoarea raportului este 5 gi b = l, 2 atunci determinali v aloarea lui a.

b) Dacd valoarea raportului este 2 qi a = 25, atunci determinali valoarea lui b.

7,a)Deternina{irapoarteledeforma t,U*0, gtiind cd a,beN qi a+b=6.

b)Determinalirapoarteledeforma t,U*0, gtiind cd a,beN 9i a.b=6.

S.Raportul lungimilor segmentelor lABl Si [CD] este l. f*"t"t" P,QelAAl6

qi r elCOl astfel inc6t AP = PQ = PB Si CT = TD.

a) Determinali valoarea raportului dintre lungimile segmentelor lAPl SilTDl.b) Determinali valoarea raportului dintre lungimile segmentelor lABl S|ICD).c,) Determinali valoarea raportului dintre lungimile segmentelor lPBl qilTD).d) Determnali valoarea raportului dintre lungimile segmentelor lAQl SilCDl.

9. c,) Raportul lungimile laturilor a doui pdtrate este egal ", I . O"t"r-inali raportul"4perimetrelor qi raportul ariilor celor doud pdtrate.

D,) Raportul perimetrelor a doud pdtrate este

laturilor qi raportul ariilor celor doud pdtrate.

c) Raportul ariilor a doudpdtrate este egal cu * .Determinagi raportul laturilor giz)

raportul perimetrelor celor doud p5trate.

d) Raportul lungimilor a doud dreptunghiuri este egal ", l, iurraportul ldlimilor

este egal cu +. Determinafi raportul ariilor celor doul dreptunghiuri."910. a) Scara unei hir{i este I :500000. Determina{i distan{a dintre doui localitdli qtiind

cd pe hartd distanla dintre ele este de 6 cm.b) Distan\a dintre doud localitdli este de 20 km. Determinali scara h54ii pe caredistanla dintre cele doui localitlf este de 4 cm.c) Pe o hartd, distanla dintre doui localit5li este de 8 cm. DacE scara hdrtii estel:900000, determinali distanla dintre cele doud localit[li.

I l. a) Determinali concentralia unei solulii oblinutd din 300 g api 9i 20 g sare.

b) It 400 g de apd se toarn[ 40 g zahdr. Determinafi concentralia soluliei.c) Determinali concentralia unei solulii oblinute din 200 ml apd qi 50 ml miere.

egal cu J. o"t"rrnira,ti raporhrl

=I

(gf(o(,(o

U

szEItaulr(rJ

=ut

=

IIIAPROFUNDARE $t DEZVOLTARE

12. Fie cifrele nenule a, b, c, nu neapirat distincte. Determinaf; valorile rapoartelor:

^, ot+tc+ca. L, oO"+t*+roO .o)n;D)37i

.lt(aOc+tca+canl .. oO+0"+* . i+n+ae/----------::----. qt:. e,

3llab+bc+ca) qc+cb+ba a2+b4+c5

Rezolvare. ", 'ry n: E- lOa + lOD + lOc + I I - ,.' a2+b4+c5 10a+100+10c+ll

13. a/ $tiind cd, +=3, determinalivaloarearaportului 2a+1b .b a+b

D) $tiind "U t=4, determinali valoarea raportului +#

c) $tiind "U t=5, determina{i valoarea raportului #

Rezotvare.a) I=I=a:b=3=a=3b. Au" 2o*?b =a!+z! =J=z,zs.'b - a+b 3b+b 4

1 4. a) Dacd t = 1 r, 1 = +, atunci determina(i raporhrl numerelor a gi c.

b) Dacd t=* ,i ;=#, atunci determinafi raportul numerelor a gi c.,<Iz(a(Epc(oo

Izta.s)G)(1J

\J

lzsOEl!4)'=(!

, 10