Introducere in teoria diferentiala a functiilor

Diferentiala si derivatele partiale ale unei functii de mai multe variabile reprezinta generalizare derivatei din liceu, care se realiza pentru o functie de o singura variabila. Reamintim mai intai notiunile din liceu. In anexa aveti tabelul cu formulele de la derivate si integrale.

Derivata unei functii de o singura variabila

Definitii (functie derivabila; derivata) Fie un interval, , si o functie. Spunem ca f este derivabila in punctul a daca exista si este finita limita:

In aceste conditii, notam si spunem ca aceasta este derivata lui f in punctul

a.

Obs. Efectuand schimbarea de variabila , obtinem , ceea

ce ofera un indiciu privind derivata unei functii de mai multe variabile.

Interpretare geometrica. Faptul ca o functie este derivabila intr-un punct inseamna ca exista tangenta la grafic in acel punct, iar , unde este unghiul pe care il face tangenta la grafic functiei f in punctul cu axa Ox.

Exemple practice. In fizica, viteza este derivata traiectoriei, iar densitatea este derivata masei.

Derivatele partiale ale unei functii de mai multe variabile

Definitie. O mutime se numeste deschisa, daca impreuna cu orice punct al ei contine o intreaga bila in jurul sau..Obs. Multimile deschise sunt generalizarea intervalelor deschise din R.

Definitii. Fie A o multime deschisa, , si . Spunem ca f este derivabila a pe directia u daca exista si este finita limita:

In aceste conditii, notam limita cu si o numim derivata lui f in punctul a pe directia u.

Obs. In particular, daca si (adica versorii axelor), notam:

(derivata lui f in raport cu x)

si

(derivata lui f in raport cu y )

In aceste conditii, derivata functiei f este matricea derivatelor partiale

Obs. Se mai noteaza ( iacobianul lui f , de la matematicianul Jacobi)

Obs. (cum citim derivatele partiale)

se citeste “d rond f la d x” sau “d f la d x”

Obs. (cum calculam derivatele partiale)Mai exact:

adica derivata in raport cu x se calculeaza considerand y constant.

adica derivata in raport cu y se calculeaza considerand x constant.

Obs. (notatii alternative)

Uneori, in loc de , notam sau , respectiv, in loc , sau .

Obs. (derivatele partiale ale functiilor de mai multe variabile)Similar, se definesc derivatele partiale si pentru functii de mai multe variabile. Atunci cand calculam derivata in raport cu o variabila, presupunem ca celelalte sunt constante.

Obs. (reguli de derivare)Se poate arata ca regulile de calcul ale derivatelor raman valabile, adica:

( ) ( ) ( )0

0 0 00 0

0

, ,, lim

x x

f x y f x yf x yx x x®

-¶=

¶ -

( ) ( ) ( )0

0 0 00 0

0

, ,, lim

y y

f x y f x yf x yy y y®

-¶=

¶ -

Exemple.Exemplul 1. Consideram functia . Calculati

, .

Solutie:

Explicit: (derivarea lui ca in liceu)

(y se comporta ca o constanta si iese

in fata, iar x se deriveaza ca in liceu)

(derivata in raport cu x a unei expresii care nu contine x este 0,

deoarece consideram y constant).

se calculeaza, inlocuind x=1 si y=0 in expresia lui :

Pentru derivarea in raport cu y procedam la fel. De aceasta data, x este privit ca o constanta:

( )f g f gx x x¶ ¶ ¶

+ = +¶ ¶ ¶

( ) f gfg g fx x x¶ ¶ ¶= × + ׶ ¶ ¶

( ) ffx x

a a¶ ¶=

¶ ¶

2

f gg ff x xx g g

¶ ¶-æ ö¶ ¶ ¶=ç ÷¶ è ø

( )( ) ( )( ) ( ) , u n d e :gfo g a f g a a f I Rx x¶ ¶

= × ®¶ ¶

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2y yf x y x e x y x e x yx x x x x

¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + + = + + = +¶ ¶ ¶ ¶ ¶

( ) 21, 0 2 1 2 0 2 0 2fx

¶ = × + × = + =¶

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 0 2 2 4y y y yf x y x e x y x e x y e x y ey y y y y

¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + + = + + = + × + = +

¶ ¶ ¶ ¶ ¶

Asadar, (matrice cu o linie si doua coloane)

Exemplul 2. Fie . Calculati si .

Solutie:

Calculam derivatele partial cu ajutorul derivatei raportului a doua functii , care se

aplica exact ca in liceu, numai ca aici avem derivate partiale.

Asadar,

Obs. In acest caz, din simetria problemei, puteam obtine inlocuind pe x cu y in .

Exemplul 3. Fie . Calculati .

Solutie. Cum f este data printr-un produs, aplicam regula de derivare a unui produs , numai ca aici avem de-a face cu derivate partiale.

Obs. (o putere se

calculeaza folosind formula si derivarea functiilor compuse)

unde

Generalizarea Iacobianului. Fie , , unde sunt functii derivabile. Atunci, prin definitie, este derivabila si iacobianul sau este o matrice , avand pe linia i derivatele partiale (iacobianul ) functiei :

sau, altfel spus,

Exemplu. Avem , unde si .

Derivarea functiilor compuse Este generalizarea formulei din liceu. In acest caz, avand mai multe variabile, apar mai multe componente care se aduna. Avem functii, . Consideram functia compusa

sau, mai simplu, si dorim sa calculam si .

Se poate arata ca:

Unde si sunt notatii mai simple pentru si .

Obs. In general se poate arata ca , atunci (inmultire de matrice)

Exemplul 1. , , , .

Avem , , , .

Asadar:

Obs. Puteam proceda si altfel: Calculam g

Si acum calculam si

Derivate de ordin superior Definitie. Fie o functie care admite derivate partiale. Daca derivatele partiale sunt la randul lor derivabile, notam:

Acestea sunt derivatele partiale de ordinul 2 ale functiei f.

Obs. (cum citim derivatele partiale de ordinul 2):

“d 2 f la d x 2 ”

“d 2 f la d x d y ”

Matricea formata din derivatele partiale de ordinul al doilea ale lui f se numeste hessianul lui f (sau derivata de ordinul al doilea a lui f) si se noteaza .

Obs. In acelasi mod putem defini derivate de ordin mai mare. De exemplu

Notatii alternative. Se mai noteaza si .

Teorema. (Criteriul lui Schwarz)

Daca f are derivate partiale de ordinul 2 continue, atunci (adica derivatele

partiale comuta). In particular, acest lucru se intampla pentru functiile elementare, care sunt indefinit derivabile.

Exemplu. Fie . Calculati derivatele partiale de ordinul 2 ale lui f si .Solutie .

Derivatele partiale de ordinul intai sunt: si

Derivatele partiale de ordinul doi sunt:

(f este functie elementare, deci derivatele partiale

comuta; acest lucru se putea verifica si prin calcul direct)

Aplicatie a derivatelor partiale. Punctele de extrem local ale unei functii.

Introducere. Ne reamintim teorema lui Fermat din liceu: Daca este o functie derivabila, I interval deschis, atunci punctele de extrem local ale lui f au proprietatea ca . In plus, daca f este de doua ori derivabila cu derivata continua, atunci, daca

, x e punct de minim, iar daca , x e punct de maxim. Pentru functii de mai multe variabile avem si , iar teorema se generalizeaza in mod natural.

Teorema. Fie o multime deschisa si o functie de doua ori derivabila, cu derivatele partiale de ordinul 2 continue. Daca este punct de extrem local, atunci (matricea

nula, adica toate derivatele partiale de ordinul 1 se anuleaza). In plus, fie minorii principali ai lui :

1) Daca , atunci x este punct de minim local (in acest caz este o matrice pozitiv definita)

2) Daca atunci x este punct de maxim local. (matrice negativ definita)

3) Daca x nu este punct de minim sau de maxim, atunci este punct sa.

Exemplu. Determinati punctele de extrem local ale functiei

Solutie: si , deci

Daca (x,y) este punct de extrem local, atunci

Asadar singurul punct critic al lui f (punct in care derivtele partiale se anuleaza), dar inca nu avem garantia ca este punct de extrem local. Trebuie sa studiem matricea hessiana.

, si , deci

Avem

Asadar, matricea hesiana este pozitiv definita, deci punctul este punct de minim local.

Diferentiala unei functii Introducere. Presupunem ca avem o functie derivabila . Notam , care se scrie

formal sau .

Definitie. O functie este diferentiabila in punctul daca exista o aplicatie liniara si continua si o functie continua in 0, astfel incat:

unde este o norma oarecare pe .Aplicatia T se noteaza cu si se numeste diferentiala lui f in punctul a.

Notatii. Fie proiectiile pe componente, adica si . Notam mai simplu si . In plus, aceste notatii sunt justificate si de faptul ca dx este diferentiala lui x si dy este diferentiala lui y.

Teorema. (cum arata diferentiala unei functii)

Daca f e diferentiabila in a , atunci f are derivate partiale in a si

Obs. Sau scriem mai simplu

Teorema. (criteriu de diferentiabilitate) Daca f admite derivate partiale de ordinul intai, iar acestea sunt continue in punctul a, atunci f este diferentiabila in a.

Exemplu. Fie . Aratati ca f este diferentiabila in orice punct si calculati , si .

Solutie. Functia f este elementara, deci diferentiabila.

Avem si .

Diferentiala este .

De aici: Obs. Nu inlocuim x=1 si in dx !!! Diferentiala unei funtii constante este 0.

Obs. dx(1,2)=1 si dy(1,2)=2 ( proiectiile pe componente).

Relatia dintre diferentiala si derivata. Derivata (sau iacobianul) este matricea asociata diferentialei. (pentru orice a vector coloana)

Aplicatie a diferentialei. Calculul erorilor.

Daca , atunci eroarea de masurare a lui f este , unde

si sunt eroarile de masurare ale lui x si y, iar si sunt modulele.

Exemplu. Aflati eroarea de masurare a densitatii unui cub omogen cu latura de aproximativ 1m si greutatea de aproximativ un kg, stiind ca eroare de masurare a lungimii este de 1mm, iar eroarea de masurare cantarului este de 1g.

Asadar

Dar si . Transform totul in g si .

Asadar .

Diferentiale de ordin superior. Notam Sa vedem cine ar fi diferentiala de ordinul al doilea. Calculam formal:

Definitie. Diferentiala de ordinul al doilea se defineste astfel:

Diferentiala de ordinul a functiei f se defineste folosind binomul lui Newton:

unde .

Exemplu. Fie . Calculati si .Solutie.

Am calculat deja , . Avem:

Deci

Analog,

....

unde , etc....