83358140-FUNCŢII-TRIGONOMETRICE

- PORTOFOLIU MATEMATICĂ -

FUNCŢII TRIGONOMETRICE

Funcţia sinus

Funcţia [ ] ( ) xxff sin,1,1: =−→ℜ este o funcţie periodică, de perioadă principală π20 =T . Acest fapt ne permite să reducem studiul unor proprietăţi la un interval de lungimea unei perioade principale, de exemplu [ )π2,0 . Dacă o proprietate are loc pe intervalul ( ) [ )π2,0, ⊂ba , atunci submulţimea lui ℜ pe care această proprietate este adevărată se obţine adăugând la capetele intervalului ( )ba, multiplu de π2 , adică ( ) Ζ∈++ kkbka ,2,2 ππ .

Graficul funcţiei sinusPentru trasarea graficului funcţiei pe ℜ, vom aplica metoda trasării prin

puncte, pe [ )π2,0 (utilizând tabelul de valori) precum şi periodicitatea funcţiei ( ) ( )( )Ζ∈∀ℜ∈∀=+ kxxfkxf ,,2 π , ceea ce înseamnă că graficul funcţiei îl generăm pe

intervalele [ )ππ 4,2 , [ )λπ6,4 ,… şi respectiv …, [ )ππ 2,4 −− , [ )0,2π− , translatând graficul de pe [ )π2,0 la dreapta şi respectiv la stânga de-a lungul axei Ox.

În tabelul de mai jos, redăm principalele caracteristici ale funcţiei sinus. Recomandăm ca aceste proprietăţi să fie prezentate utilizând graficul funcţiei.

1


2


Funcţia arcsinus

Fie [ ] ( ) xxff sin,1,12

,2

: =−→

− ππ

, funcţie inversabilă.

Notăm funcţia inversă [ ] ( ) xxgg arcsin,2

,2

1,1: =

−→− ππ

. Atunci, ştim de la

proprietăţile generale ale funcţiilor numerice, că graficele lor sunt simetrice în raport cu prima bisectoare a axelor (dreapta de ecuaţie xy = ).

De asemenea, dacă f este strict crescătoare, atunci este la fel şi g. Alte proprietăţi vor fi prezentate în tabelul de mai jos.

Graficul funcţiei arcsinusTrasarea graficului funcţiei g se poate realiza, aşa cum am spus mai sus, prins

simetrie în raport cu y=x sau prin puncte. Îl vom realiza pin aceste tehnici mai jos.

Redăm în continuare principalele proprietăţi ale funcţiei arcsinus.

3


În concluzie avem tabele următoare, care dau funcţie directă şi funcţia inversă.

Probleme rezolvate

1. Determinaţi domeniul maxim de definiţie D pentru funcţia ℜ→Dg : ,

( )1

1arcsin

+=

xxg .

Rezolvare. Se impune condiţia 1,11

11 −≠≤

+≤− xx

. Găsim

( ] [ )∞∪−∞−∈ ,02,x .

2. Să se determine unghiul 4

3arcsin

3

1arcsin + .

Rezolvare. Fie 4

3arcsin,

3

1arcsin == βα . Deci

−∈

2;

2,

ππβα şi 3

1sin =α ,

4

3sin =β . Cum 0sin,sin >βα se poate restrânge intervalul în care se află unghiurile,

adică

∈

2;0,πβα . Prin urmare ( )πβαγ ;0∈+= . Să observăm că din

12

267cossincossinsin

+=+= αββαγ nu putem spune că 12

267arcsin

+=γ , deoarece

nu ştim dacă 2

πβα <+ . Totuşi din 66

sin2

1

3

1sin

παπα <⇒=<= , iar din

33sin

2

3

3

4sin

πβπβ <⇒=<= şi deci 236

πππβα =+<+ . Prin urmare 12

267 +=+ βα

3. Să se calculeze ( )10sinarcsin .

4


Rezolvare. Fie ( )10sinarcsin=α . De aici 10sinsin =α şi

−∈

2;

2

ππα . Se

observă că [ ]ππ 4;310 ∈ . Punctele α şi 10 sunt simetrice faţă de 2

3π. Deci

.2

3

2

310 αππ −=− . De aici 103 −= πα .

Funcţia cosinus

Funcţia [ ]1;1: −→ℜf , ( ) xxf cos= este o funcţie periodică, de perioadă principală π20 =T . Din acest motiv, studiul proprietăţilor acestei funcţii se va reduce la un interval de lungime 0T , de exemplu [ )π2;0 .

Principalele caracteristici ale funcţiei cosinus sunt redate în tabelul de mai jos.

5


6


Funcţia arccosinus

Fie [ ] [ ] ( ) xxff cos,1;1;0: =−→π , funcţie inversabilă. Notăm funcţia inversă [ ] [ ]π;01;1: →−g , ( ) xxg arccos= . Graficele acestor funcţii sunt simetrice în raport cu

prima bisectoare ( )xy = .

7


Probleme rezolvate

1. Determinaţi domeniul maxim D de definiţie pentru funcţia ℜ→Dg : , ( ) ( )12arccos −= xxg .

Rezolvare. Funcţia g există dacă 1121 ≤−≤− x . Rezolvând această dublă inecuaţie se obţine [ ]1;0∈x . Deci [ ]1;0∈D .

2. Să se calculeze: 3

1arccos

3

1arcsin + .

Rezolvare. Notăm 3

1arccos,

3

1arcsin == βα . De aici

3

1sin =α şi

∈

2;0πα ,

3

1cos =β şi

∈

2;0πβ . De aici [ ]πβαγ ;0∈+= .

Avem: ( ) 0sinsincoscoscoscos =−=+= βαβαβαγ . De aici 2

πγ = .

3. Să se arate că: [ ]1;1,2

arccosarcsin −∈∀=+ xxxπ

.

Rezolvare. Fie xx arccos,arcsin == βα . De aici xx =

−∈= βππαα cos,

2;

2,sin ,

[ ]πβ ;0∈ . Scriem relaţia de demonstrat sub forma βπα −=2

. Cum unghiurile din cei doi

membrii sunt în

−

2;

2

ππ, adică mulţimea pe care funcţia sinus este injectivă, este

suficient să arătăm că

−= βπα

2sinsin . Avem ( ) xx == arcsinsinsin α şi

( ) xx ===

− arccoscoscos

2sin ββπ

. Deci

−= βπα

2sinsin şi de aici βπα −=

2, adică

egalitatea propusă.

8


Funcţia tangentă

9


Funcţia arctangentă

Fie ( ) tgxxff =ℜ→

− ,

2;

2:

ππ, funcţie inversabilă. Notăm funcţia inversă

( ) arctgxxgg =

−→ℜ ,

2;

2:

ππ. Graficele funcţiilor f şi g sunt simetrice în raport cu prima

bisectoare ( )xy = . Cum f este strict crescătoare, deducem că g are aceeaşi proprietate.

În tabelul de mai jos, prezentăm principalele caracteristici ale funcţiei arctangentă

10


În concluzie, avem mai jos tabelele care dau funcţia directă şi funcţia inversă:

Probleme rezolvate

1. Să se compare numerele 2

1,

3

1arctgarctg .

Rezolvare. Am văzut că funcţia ( ) arctgxxg = este strict crescătoare. Din 2

1

3

1 <

rezultă

<

2

1

3

1gg , adică

2

1

3

1arctgarctg < .

2. Să se exprime 5

1arctg în funcţiile arcsin şi arccos.

Rezolvare. Ni se cere să găsim [ ]1;1−∈x , pentru care xarctg arcsin5

1 = . Fie

5

1arctg=α . Deci

5

1=αtg şi

∈

2;0πα (deoarece 0

5

1 > ). Din xarcsin=α rezultă

11


x=αsin . Pentru a da o formă mai simplă lui x utilizăm formula ααα

21sin

tg

tg

+±= . Cum

∈

2;0πα luăm semnul + în faţa radicalului.

Deci x

arctgtg

arctgtg

xtg

tg ==+

=

+

=+

=26

26

25

11

5

1

5

11

5

1

1sin

22

αα . În final

26

26arcsin

5

1 =arctg . Analog determinăm [ ]1;1−∈y pentru care yarctg arccos5

1 = . Fie

5

1arctg=α . De mai sus

∈=

2;0,

5

1 πααtg . Din yarccos=α rezultă y=αcos . Din

formula αα

21

1cos

tg+= se obţine y==

26

265cos α . Aşadar

26

265arccos

5

1 =arctg .

Funcţia cotangentă

Funcţia { } ( )x

xctgxxfkkf

sin

cos,;: ==ℜ→Ζ∈−ℜ α , este o funcţie periodică, de

perioadă π=0T . Studiul acestei funcţii se realizează pe intervalul de lungime T0. Acest interval este ( )π;0 .

Tabelul de mai jos, conţine principalele caracteristici ale funcţiei cotangentă.

12


13


Funcţia arccotangentă

Fie ( ) ( ) ctgxxff =ℜ→ ,;0: π , funcţie inversabilă. Notăm funcţia inversă ( )π;0: →ℜg , ( ) arcctgxxg = . Graficele funcţiilor f şi g sunt simetrice în raport cu dreapta

de ecuaţie xy = . Din f strict descrescătoare, va rezulta că şi g este strict descrescătoare.

În prezentarea principalelor caracteristici ale funcţiei arccotangentă recomandăm utilizarea graficului.

14


În concluzie, dăm mai jos tabelele care oferă informaţii despre funcţia directă şi funcţia inversă.

Probleme rezolvate

1. Să se exprime 3arcctg în funcţie de arcsin, arccos, arct.Rezolvare. Trebuie să determinăm [ ]1;1−∈x pentru care xarcctg arcsin3 = .

Dacă 3arctg=α , atunci 3=αctg şi

∈

2;0πα . Din xarcsin=α rezultă x=αsin . Se

exprimă αsin în funcţie de αctg . Avem: αα

21

1sin

ctg+±= . Cum

∈

2;0πα rezultă

0sin >α şi deci în faţa radicalului luăm semnul +. Deci

10

10

10

1

91

1

1

1sin

2==

+=

+=

αα

ctg. Aşadar

10

10=x şi 10

10arcsin3 =arcctg . Să găsim

acum [ ]1;1−∈y pentru care yarcctg arccos3 = . Ca mai sus

∈=

2;0,3πααctg , iar din

yarccos=α avem y=αcos , 0cos >α . Exprimăm αcos în funcţie de αctg şi avem:

10

103

10

3

1cos

2==

+==

αααctg

ctgy . Aşadar

10

103arccos3 =arcctg . Să determinăm ℜ∈z

pentru care arctgzarcctg =3 . Ca mai sus

∈=

2;0,3πααctg , iar din ztg =α avem

3

11 ===α

αctg

tgz . Deci 3

13 arctgarcctg = .

2. Să se arate că ( ) ℜ∈∀=+ xarcctgxarctgc ,2

π.

15


Rezolvare. Scriem egalitatea sub forma arcctgarctgx −=2

π şi notăm

arcctgxarctgx == βα , . De aici

−∈

2;

2

ππα şi ( )πβα ;0, ∈= xtg şi .xctg =β Membrul

drept este unghiul

−∈−

2;

22

ππβπ. Deci cei doi membri sunt unghiuri în intervalul

−

2;

2

ππ. Arătăm că

−= βπα

2tgtg . De aici (funcţia tg este injectivă), va rezulta relaţia

de demonstrat. Avem ( ) xarctgxtgtg ==α şi ( ) xarcctgxctgctgtg ===

− ββπ

2.

16


ECUAŢII TRIGONOMETRICE

Definiţie. Se numeşte ecuaţie trigonometrică o ecuaţie în care necunoscuta figurează ca argument al uneia sau mai multor funcţii trigonometrice.

Exemple.

1.2

1sin =x ;

2. 032cos2sin4 =−+ xx ;

3. 012

sin =−+ xtgx .

Definiţie. Un număr ℜ∈0x se numeşte soluţie a ecuaţiei trigonometrice dacă înlocuind x cu x0 în ecuaţie se obţine o egalitate.

Exemple.

1.6

π=x este soluţia ecuaţiei 2

1sin =x deoarece

2

1

6sin =π

.

2.6

π=x este soluţie a ecuaţiei 032cos2sin4 =−+ xx , deoarece

031232

12

2

143

3cos2

6sin4 =−+=−⋅+⋅=−+ ππ

.

A rezolva o ecuaţie trigonometrică înseamnă a-i determina toate soluţiile. În cele ce urmează vom rezolva cele mai simple ecuaţii trigonometrice, indicând pentru fiecare tip de ecuaţie şi metoda de rezolvare.

Ecuaţii trigonometrice fundamentale

Ecuaţiile cuprinse sub această titulatură sunt:ax =sin bx =cos ctgx = dctgx = , ℜ∈dcba ,,,

1. Ecuaţia ax =sin . Arcsinus. Are loc următoarea.Teoremă. Mulţimea S de soluţii a ecuaţiei ax =sin este:

Φ=S , dacă 1>a ; ( ){ }Ζ∈+−= kkaS k πarcsin1 , dacă 1≤a .

Are loc următoarea proprietate imediată:

Exemple.

17


1. 00arcsin = , deoarece

−∈

2;

20

ππ şi 00sin = .

2.2

1arcsinπ= , deoarece

−∈

2;

22

πππ şi 1

2sin =π

.

Problemă rezolvatăSă se rezolve ecuaţiile:

a)2

2sin =x ;

Rezolvare. Mulţimea de soluţii a ecuaţiei este

( ) ( )

Ζ∈+−=

Ζ∈+−= kkkkS kk πππ4

12

2arcsin1 .

b)2

1sin −=x ;

Rezolvare. Soluţiile ecuaţiei sunt: ( ) .2

1arcsin1

Ζ∈+

−−= ππkS k

Dar

62

1arcsin

2

1arcsin

π−=−=

− şi deci S se mai poate scrie ( )

Ζ∈+−= + kkS k ππ

61 1

.

c)3

1sin =x .

Rezolvare. Avem mulţimea de soluţii ( )

Ζ∈+−= kkS k π

3

1arcsin1 . În acest caz

3

1arcsin se poate calcula utilizând tabele trigonometrice sau calculatorul de buzunar.

Când unghiul 1,arcsin ≤aa , nu-l putem indica, rezultatul îl lăsăm sub forma aarcsin .

2. Ecuaţia bx =cos . Arccosinus. Soluţiile ecuaţiei sunt date de următoarea:Teoremă. Mulţimea S de soluţii a ecuaţiei bx =cos este egală cu:

a) Φ=S , dacă 1≥b ;b) { }Ζ∈+±= kkbS π2arccos , dacă 1≤b .

Exemple.

1.2

0arccosπ= , deoarece [ ]ππ

;02

∈ şi 02

cos =π;

18


2.32

1arccos

π= , deoarece [ ]ππ;0

3∈ şi

2

1

3cos =π

;

3.3

2

32

1arccos

2

1arccos

ππππ =−=−=

− .

Problemă rezolvatăSă se rezolve ecuaţiile:a) 0cos =x ;Rezolvare. Ecuaţia are soluţii deoarece [ ]1;10 −∈ şi mulţimea cestora este

{ }

Ζ∈+±=Ζ∈+±= kkkkS πππ 2

220arccos .

b) 6cos =x ;Rezolvare. Ecuaţia nu are soluţii deoarece [ ]1;16 −∉ . Deci Φ=S .

c)5

1cos =x .

Rezolvare. Cum [ ]1;15

1 −∈ , ecuaţia are soluţiile

Ζ∈+±= kkS π2

5

1arccos .

3. Ecuaţia ctgx = . Arctangentă. Dacă ℜ∈c , atunci ecuaţia ctgx = are soluţii date de:

Teoremă. Soluţiile ecuaţiei ℜ∈= cctgx , sunt date de mulţimea { }Ζ∈+= kkarctgcS π .

Exemple:

1) 00 =arctg , deoarece

−∈

2;

20

ππ şi 00 =tg ;

2)4

1π=arctg pentru că

−∈

2;

24

πππ şi 1

4=π

tg ;

3) ( )4

11π−=−=− arctgarctg .

Analog se introduce arccotangenta. Pentru un nr. real d. numărul arcctgdx = este definit de două condiţii: π<< x0 şi dctgx = .

19


Problemă rezolvatăSă se rezolve ecuaţiile:a) 1=tgx ;

Rezolvare. { }

Ζ∈+=Ζ∈+= kkkkarctgS πππ

41 ;

b) 3−=tgx ;Rezolvare. ( ){ } { }Ζ∈+−=Ζ∈+−= kkarctgkkarctgS ππ 33 ;c) 0=ctgx ;

Rezolvare. { }

Ζ∈+=Ζ∈+= kkkkarcctgS πππ

20 ;

d) 3−=ctgx .

Rezolvare. ( ){ } { }

Ζ∈+=Ζ∈+−=Ζ∈+−= kkkkarcctgkkarcctgS ππππ

6

533 .

Tipuri de ecuaţii trigonometrice

20


21


22


23


24


25


26


BIBLIOGRAFIE

Manual de matematică pentru clasa a X-a de Mircea Ganga, editura Mathpress.

27


CUPRINS

FUNCŢII TRIGONOMETRICESinusul……………………………………………………………………………………...1Arcsinusul...………………………………………………………………………………...3Cosinusul…………………………………………………………………………………...5Arccosinusul………………………………………………………………………………..7Tangenta……………………………………………………………………………………9Arctangenta………………………………………………………………………………..10Cotangenta………………………………………………………………………………...12Arccotangenta……………………………………………………………………………..14

ECUAŢII TRIGONOMETRICEArcsinusul…………………………………………………………………………………17Arccosinusul………………………………………………………………………………18Arctangenta………………………………………………………………………………..19Arccotangenta……………………………………………………………………………..19Ecuaţii care conţin funcţii de acelaşi nume……………………………………………….20Ecuaţii care se reduc la ecuaţii algebrice………………………………………………….21Ecuaţii omogene de gradul 2 în xsin şi xcos…………………………………………….22Ecuaţia liniară în xsin şi xcos ……………………………………………………………22Ecuaţia simetrică în xsin şi xcos …………………………………………………………25Ecuaţii care conţin sume de sinusuri sau cosinusuri………………………………………26Alte tipuri de ecuaţii………………………………………………………………………26

Bibliografie………………………………………………………………………………..27Cuprins…………………………………………………………………………………….28

28

83358140-FUNCŢII-TRIGONOMETRICE

Documents

Transcript of 83358140-FUNCŢII-TRIGONOMETRICE