Lista identităților trigonometrice 1

Lista identităților trigonometrice

Toate funcţiile trigonometrice de unghi θ pot fi construite geometric în termeniicercului unitate cu centrul în  O. Multe dintre aceste funcţii nu mai sunt folosite.

Sinusul & Cosinusul în jurul cercului unitate

În matematică, identitațile trigonometricesunt egalități care implică funcțiitrigonometrice și sunt adevărate pentrufiecare unică valoare a variabilei care apare.Geometric, acestea sunt identități careimplică funcții de unul sau mai multeunghiuri. Acestea sunt distincte deidentitățile triunghiurilor, care implică atâtunghiurile cât și laturile triunghiului. Acestarticol acoperă doar indentitățiletrigonometrice.

Aceste identități sunt folositoare acolo undeapar expresii care implică funcțiitrigonometrice, care trebuie să fiesimplificate. O aplicație importantă esteaceea a integralelor care nu conțin funcțiitrigonometrice, dar care implică folosireaacestor funcții prin aplicarea metodeisubstituției variabilelor, iar apoisimplificând integrala rezultantă prinidentitățile trigonometrice.

Notații

Unghiuri

În general, pentru notația unghiurilor sefolosesc literele grecești, precum alpha (α),beta (β), gamma (γ), theta (θ), etc. Sunt largrăspândite câteva modalități de măsurare aunghiurilor care folosesc unități de măsurăprecum radiani, grade sexagesimale și gradecentezimale.

unghiul la centru corespunzător unuicerc întreg  = 360  grade = 2 radiani  =  400 grade centezimale.

Următorul tablou arată conversiile pentru câteva unghiuri uzuale:

Lista identităților trigonometrice 2

grade 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°

Radiani

grade cent 33⅓ grd c 66⅔ grd c 133⅓ grd c 166⅔ grd c 233⅓ grd c 266⅔ grd c 333⅓ grd c 366⅔ grd c

grade 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°

Radiani

grade cent 50 grd c 100 grd c 150 grd c 200 grad 250 grd c 300 grd c 350 grd c 400 grad

Dacă nu se specifică altfel, toate unghiurile din acest articol sunt date în radiani, iar unghiurile care se termină prinsimbolul (°) sunt date în grade sexagesimale.

Funcții trigonometriceFuncțiile trigonometrice primare sunt sinusul și cosinusul unui unghi. Acestea sunt câteodată abreviate sin(θ) șicos(θ), θ fiind unghiul, dar de multe ori parantezele din jurul unghiului sunt omise, scriindu-se sin θ și cos θ.Tangenta, notată tg sau tan, unui unghi este raportul dintre sinus și cosinus:

În final putem defini funcțiile reciproce, respectiv, secanta (sec) pentru cosinus, cosecanta (cosec sau csc) pentrusinus și cotangenta (ctg sau cot) pentru tangentă:

Funcții trigonometrice inverseFuncțiile trigonometrice inverse sunt funcții inverse parțiale ale funcțiilor trigonometrice. De exemplu, inversafuncției sinus, cunoscută ca inverse sine (sin−1) sau arcsine (arcsin or asin), satisface formula:

iar

În acest articol sunt folosite următoarele notații pentru funcțiile trigonometrice inverse:

Funcția sin cos tan sec csc cot

Funcția inversă arcsin arccos arctan arcsec arccsc arccot

Identitatea lui PitagoraRelația de bază dintre sinus și cosinus este identitatea trigonometrică a lui Pitagora:

Aceasta poate fi văzută ca o versiune a teoremei lui Pitagora și se deduce din ecuația x2 + y2 = 1 pentru cerculunitate. Această ecuație poate fi rezolvată fie pentru sinus, fie pentru cosinus:

Lista identităților trigonometrice 3

Identități similareDivizând identitatea Pitagoreană prin cos2 θ sau sin2 θ obținem alte două identități:

Folosind aceste identități împreună cu identitățile de rapoarte, putem exprima orice funcție trigonometrică în funcțiede alte funcții trigonometrice (cu excepția semnului plus sau minus):

Fiecare funcție trigonometrică este dată în funcție de celelalte cinci.[1]

Scurt istoricFuncțiile versin, coversin, haversin și exsecant au fost folosite în navigație. De exemplu formula haversin-ului a fostfolosită pentru a calcula distanța dintre două puncte de pe sferă. În ziua de azi au ieși din uz și sunt foarte rar folosite.

Name(s) Abbreviation(s) Value [2]

versed sine, versin

versed cosine, vercosin

coversed sine, coversin

coversed cosine, covercosin

haversed sine, haversin

haversed cosine, havercosin

hacoversed sine, hacoversincohaversine

hacoversed cosine,hacovercosincohavercosine

exterior secant, exsecant

exterior cosecant, excosecant

coardă

Lista identităților trigonometrice 4

Simetrie, deplasare și periodicitatePrin examinarea cercului unitate, se pot stabili următoarele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice.

SimetriaDeoarece funcțiile trigonometrice sunt ciclice pentru unghiuri, rezultatul este adesea o altă funcție trigonometrică.Acest lucru conduce la următoarele identități:

Ciclic în [3]

Ciclic în

(identitate co-funcție)[4]

Ciclic în

Deplasare și periodicitateDeplasând funcția cu un anumit unghi, adesea este posibil să obținem o funcție trigonometrică diferită care exprimărezultatul mult mai simplu. Sunt arătate câteva exemple de funcții deplasate cu π/2, π și 2π radiani. Deoareceperioada acestor funcții este π sau 2π, sunt cazuri în care noua funcție este exact aceeași ca cea veche, dar fărădeplasare.

Deplasare π/2 Deplasare πPeriodică pentru tan și cot

[5]Deplasare 2π

Periodică pentru sin, cos, csc și sec[6]

Identități ale sumei și diferenței unghiurilorEle au fost stabilite pentru prima dată în secolul al 10-lea de matematicianul persan Abū al-Wafā' Būzjānī. O metodăde a demonstra aceste identități este aceea de a aplica formula lui Euler.

Lista identităților trigonometrice 5

Sinus [7][8]

Cosinus [8][9]

Tangentă[8][10]

Arcsinus [11]

Arccosinus [12]

Arctangentă[13]

Forma matricialăFormulele sumei și diferenței pentru sinus și cosinus pot fi scrise sub formă matricială:

Suma Sinusului și a Cosinusului pentru o infinitate de unghiuri

În aceste două identități apare o asimetrie care nu apare în cazul sumării unui număr finit de unghiuri. În fiecareprodus, există numai factori sinus finiți și factori cosinus cofiniți.

Lista identităților trigonometrice 6

Tangenta sumei mai multor unghiuriFie ek (pentru k ∈ {0, ..., n}) polinomul simetric elementar de grad k în variabilele:

pentru i ∈ {0, ..., n}, adică:

Atunci

numărul de termeni depinzând de n.De exemplu:

și așa mai departe. Cazul general poate fi demonstrat prin inducție matematică.

Secanta sumei mai multor unghiuri

în care ek este polinomul simetric elementar de grad k de n variabile xi = tan θi, i = 1, ..., n, iar numărul de termeni ainumitorului depind de  n.De exemplu,

Lista identităților trigonometrice 7

Formula unghiurilor multiple

Tn

este polinomul Cebîșev de grad n   [14]

Sn

este polinomul de dispersie de grad n

Formula lui Moivre, este unitatea imaginară     [15]

Această funcție de x fiind nucleul lui Dirichlet.

Formulele unghiurilor duble, triple și pe jumătateAceastea pot fi obținute fie din identitățile sumei și diferenției, sau din formulelor unghiurilor multiple:

Formula unghiului dublu[16][17]

Formula unghiului triplu[14][18]

Formula unghiului pe jumătate[19][20]

Faptul că formula unghiului triplu pentru sinus și cosinus implică puterile aceleiași funcții permite să se facă legăturadintre trisecția unghiului cu rigla și compasul cu rezolvarea ecuației cubice, arătând că acest lucru este în generalimposibil.Există o formulă de calcul a identității trigonometrice pentru unghiul triplu, dar acesta cere găsirea rădăcinilor pentruecuația cubică , în care x este valoarea necunoscută a funcției sinus a unghiului, iar d este

valoarea cunoscută a funcției sinus pentru unghiul triplu. Oricum, discriminantul acestei ecuații este negativ, deciecuația are trei rădăni reale din care numai una este soluța căutată, dar niciuna din soluții nu este reductibilă la oexpresie algebrică reală, astfel că, se folosesc numere complexe intermediare ale rădăcinii cubice, care se potexprima numai prin termenii reali ai funcțiilor, folosind funcții hiperbolice.

Lista identităților trigonometrice 8

Sinus, cosinus și tangenta unghiurilor multiplePentru unghiuri multiple specifice, acestea rezultă din formulele specifice de adunare a unghiurilor, în timp ceformula generală a fost găsita de matematicianul francez Vieta.

tan nθ poate fi scrisă în funcție de tan θ folosind relația de recurență:

iar cot nθ poate fi scrisă în funcție de cot θ folosind relația de recurență:

Metoda CebîșevMetoda Cebîșev este un algoritm recursiv pentru a afla formula unghiului multiplu nth cunoscând formulelepentru(n − 1)th și (n − 2)th.[21]

Cosinusul pentru nx poate fi calculat din cosinusul pentru (n − 1) și (n − 2) după cum urmează:

Similar sin(nx) poate fi calculat din sinusul pentru (n − 1)x și (n − 2)x:

Pentru tangentă, avem:

Tangenta mediei

Setând α sau β cu 0 găsim formula uzuală a tangentei unghiului pe jumătate.

Produsul infinit al lui Viète

Formulele puterilorSe obțin rezolvând versiunile a doua și a treia a formulelor cosinusului unghiului dublu.

Lista identităților trigonometrice 9

Sinus Cosinus Altele

iar termenii generali al puterilor funcțiilor sin θ sau cos θ sunt (pot fi deduși din formula lui Moivre, formula luiEuler sau binomul lui Newton).

Cosinus Sinus

Identitățile produselor prin sumă și al sumelor prin produseIndentitățile produsului prin sumă pot fi demonstrate prin aplicarea formulelor de adunare și scădere a unghiurilor.

Produsul prin sumă[22]

Suma prin produs[23]

Lista identităților trigonometrice 10

Alte identități similareDacă x, y și z sunt cele trei unhiuri ale oricărui triunghi, sau cu alte cuvinte:

Dacă oricare unghi x, y sau z este un unghi de 90°, ambele părți ale egalului sunt infinite, dar nu sunt nici +∞ nici -∞.Pentru scopul actual are sens doar adăugarea punctului de la infinit de pe axa reală, abordată de tan(θ) drept tan(θ),fie prin valori pozitiv crescătoare, fie prin valori negativ descescătoare. Aceasta este compactificarea topologică aaxei reale.

Identitatea cotangentă a lui HermiteCharles Hermite a demonstrat următoarea identitate.[24] Presupunând că a1, ..., an sunt numere complexe, fară cadouă din ele să difere printr-un multiplu întreg al lui  π. Fie

(în particular, A1,1, fiind un produs vid este 1). Atunci

Cel mai simplu și netrivial exemplu este cazul  n = 2:

Teorema lui Ptolemu

A patra identitate este teorema lui Ptolemeu adaptată limbajului trigonometric.

Combinații liniareDin anumite puncte de vedere este important să știm că orice combinație liniară a undelor sinusoidale cu aceeașiperioadă sau frevență, dar defazată, este de asemenea o undă sinusoidală cu aceeași perioadă sau frecvență, dar cu altdefazaj. În cazul unei combinații liniare de unde sinus și cosinus[25] (cosinus care este de fapt tot sinus dar defazat cuπ/2), avem:

în care:

sau echivalent

Lista identităților trigonometrice 11

Mai general, pentru un defazaj arbitrar, avem

în care:

iar

Alte sume ale funcțiilor trigonometriceSuma sinusurilor și a cosinusurilor cu argumente în progresie aritmetica [26]:

Pentru orice a și b:

în care atan2(y, x) este generalizarea funcției arctan(y/x) care acoperă întreaga circumferință a cercului.

Această identitate este convenabilă uneori când ne gândim la gudermannian, care leagă funcțiile trigonometrice decele hiperbolice fără a recurge la numerele complexe.Dacă x, y și z sunt trei unghiuri ale oricărui triunghi, adică x + y + z = π, atunci

Câteva transformări de funcții raționale liniareDacă ƒ(x) este o funcție rațională liniară

și similar

atunci

Mai concis, dacă pentru toți α avem ƒα ceea ce numim funcța ƒ de mai sus, atunci:

Dacă x este panta unei drepte, atunci ƒ(x) este panta rotației ei printr-un unghi −α.

Lista identităților trigonometrice 12

Funcțiile trigonometrice inverse

Structura funcțiilor trigonometrice și a inverselor lor

Legătura cu funcția exponentială complexă[27] (formula lui Euler),

(identitatea lui Euler),

[28]

[29]

și prin urmare corolarul:

în care .

Formula produsului infinitCu aplicații la funcții speciale, sunt folositoare următoarele produse infinite pentru funcțiile trigonometrice:[30][31]

Lista identităților trigonometrice 13

Identități care nu au variabileIdentități curioase

este un caz special al unei identități care conține o variabilă:

O identitate similară este:

precum și:

Similar:

Următoarea probabil că nu este cu adevărat o generalizare a unei identități care să conțină o variabilă (vezi explicațiade mai jos):

Dacă se consideră următoarea identitate, cu unghiurile măsurate în radiani și având valoarea 21 la numitor, obținem:

Factorii 1, 2, 4 ,5 8 și 10 sunt intregi mai mici decât 21/2 și nu au factori comuni cu numarul 21.

Calculul lui πO cale eficientă de a calcula pe π se bazează pe următoarea identitate fără variabile, datorată lui John Machin:

sau, alternativ, folosind identitatea lui Leonhard Euler:

Lista identităților trigonometrice 14

Un mnemonic folositor pentru câteva valori ale sinusului și cosinusuluiPentru câteva unghiuri simple, sinusul și cosinusul iau forma pentru 0 ≤ n ≤ 4, care sunt ușor de memorat.

ColecțieRaportul de aur φ:

Vezi și constante trigonometrice exacte.

CalculÎn calculul diferențial relațiile de mai jos cer ca unghiurile să fie măsurate în radiani. Dacă funcțiile trigonometricesunt definite în termeni geometrici, derivatele lor pot fi găsite prin verificarea a doua limite. Prima este:

Verificabilă prin folosirea circului unitate. De asemenea se poate aplica regula lui L'Hopital: derivata sin x este cos x,iar derivata lui x este 1, deci găsim ușor limita știind că cos 0 = 1. A doua limită este:

Verificabilă folosind tot regula lui L'Hopital. Dacă sinus și cosinus sunt definite prin seriile lor Taylor, atunciderivatele pot fi găsite prin diferențierea termen cu termen a seriilor de puteri.

Restul funcțiilor trigonometrice pot fi diferențiate folosind identitatea de mai sus și regulile de derivare:[32][33][34]

Lista identităților trigonometrice 15

Identitățile integrale pot fi găsite în "Lista integralelor funcțiilor trigonometrice". Câteva forme generice sunt listatemai jos:

ImplicațiiFaptul că diferențierea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus rezultă din combinații liniare ale acelorași douăfuncții este de importanță fundamentală în multe domenii ale matematicii, precum ecuațiile diferențiale șitransformata Fourier.

Definire prin exponențială

FuncțieInversa funcției

[35]

Lista identităților trigonometrice 16

Diverse

Nucleul lui DirichletNucleul lui Dirichlet Dn(x) este funcția care apare în ambele părți ale următoarei identități:

Convoluția oricărei funcții integrable de perioadă 2π cu nucleul lui Dirichlet coincide cu funcția de gradul n dinaproximarea Fourier. Același lucru este valabil pentru orice funcție generalizată.

Extensii ale formulei unghiului pe jumătateDacă facem schimbarea de variabilă:

atunci[36]

în care Aceste substituții sunt folositoare la transformarea funcțiilor sinus și cosinus în funcții raționale de t, pentru a găsiprimitivele integralelor.

Vezi și•• Trigonometrie•• Formula unghiului pe jumătate•• Teorema cosinusului•• Teorema sinusului•• Teorema tangentei•• Teorema lui Pitagora•• Constante trigonometrice exacte•• Versin and haversin•• Exsecant

Lista identităților trigonometrice 17

Note[1][1] Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45[2][2] Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147[3] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15[4] The Elementary Identities (http:/ / jwbales. home. mindspring. com/ precal/ part5/ part5. 1. html)[5][5] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9[6] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8[7][7] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16[8] Eric W. Weisstein, Trigonometric Addition Formulas (http:/ / mathworld. wolfram. com/ TrigonometricAdditionFormulas. html) la

MathWorld.[9][9] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17[10][10] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18[11][11] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42[12][12] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43[13][13] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36[14] Eric W. Weisstein, Multiple-Angle Formulas (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Multiple-AngleFormulas. html) la MathWorld.[15][15] Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48[16] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26[17] Eric W. Weisstein, Double-Angle Formulas (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Double-AngleFormulas. html) la MathWorld.[18] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28[19] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22[20] Eric W. Weisstein, Half-Angle Formulas (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Half-AngleFormulas. html) la MathWorld.[21] Ken Ward's Mathematics Pages, http:/ / www. trans4mind. com/ personal_development/ mathematics/ trigonometry/

multipleAnglesRecursiveFormula. htm[22] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33[23] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39[24] Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages

311–327[25] Proof at http:/ / pages. pacificcoast. net/ ~cazelais/ 252/ lc-trig. pdf[26] Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression (http:/ / evergreen. loyola. edu/ mpknapp/ www/ papers/

knapp-sv. pdf)[27][27] Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47[28][28] Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2[29][29] Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1[30] Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90[31] Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69[32] Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110[33] Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57[34] Finney, Ross (2003). Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic. Glenview, Illinois: Prentice Hall. pp. 159–161. ISBN 0-13-063131-0[35] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31[36][36] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23

Referințe• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs,

and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0

Legături externe• Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝° (http:/ / www. jdawiseman.

com/ papers/ easymath/ surds_sin_cos. html), and for the same angles Csc and Sec (http:/ / www. jdawiseman.com/ papers/ easymath/ surds_csc_sec. html) and Tan (http:/ / www. jdawiseman. com/ papers/ easymath/surds_tan. html).

Sursele și contribuitorii articolelor 18

Sursele și contribuitorii articolelorLista identităților trigonometrice  Sursă: http://ro.wikipedia.org/w/index.php?oldid=7478977  Contribuitori: FisHBoNe19, GÜT, MrNyRolf, SValentin, Solt, 2 {{PLURAL:$1|modificareanonimă|modificări anonime|de modificări anonime}}

Sursele, licențele și contribuitorii imaginilorFișier:Circle-trig6.svg  Sursă: http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Fișier:Circle-trig6.svg  Licență: GNU Free Documentation License  Contribuitori: This is a vector graphic version ofImage:Circle-trig6.png by user:Tttrung which was licensed under the GNU Free Documentation LicenseGFDL. Based on en:Image:Circle-trig6.png, which was donated to Wikipedia underGFDL by Steven G. Johnson.Fișier:Unit circle angles.svg  Sursă: http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Fișier:Unit_circle_angles.svg  Licență: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuitori:User:Gustavb

LicențăCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/