NOI FUNCŢII ÎN TEORIA NUMERELOR

NOI FUNCŢII ÎN TEORIA NUMERELOR

ry ( : ) - o 1 ( 2 ) -2

ry ( J ) -J

1 ( " )

ry ( 5 ) -5

1 ( 6 ) -J

7 (7)

7 ( 8 ) -

7 ( 9 ) - 6

ry ( 1 0 ) ~

ry ( : : ) -:l

'7 ( 15 ) -1

ry ( :S ) - 10

O

o

O

l~ 1 0 l { l i ) - 1 7 O

1 ( :3 ) - 6 13

1 ( : 9 ) -19

1 ( 2 0 ) - 5

o O

O O O

O O

o O O

O

O

Chiş inău - 1999

UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA

CATEDRA DE ALGEBRĂ, LOGICĂ, $I TEORIA NUMERELOR

FLOREIITIH SKARARDACHB

A

NOI FUNCŢII IN TEORIA NUMERELOR

Chişinău - 1999

Prof. Florentin Smarandache University of New Mexico Gallup, NM 87301, USA Fax: (505) 863-7532 (Attn. Or. Smarandache) E-mail: [email protected]

~ U.S.M. - 1999

Secţia poligrafie operativă a U.S.M. 2009, Chişinău, Str. A.Mateevici, 60

CUprins:

Introducere .................................................... 5

1. O NOUĂ FUNCŢIE ÎN TEORIA NUMERELOR

1.1. Definiţia, construcţia, şi proprietăţi ale acestei funcţii ............................................... 14

1.2. O infinitate de probleme nerezolvate referitoare la această funcţie ....................................... 29

1.3. Rezolvând probleme cu ajutorul acestei funcţii ........ 66

1.4. Câteva ecuaţii liniare implicând această funcţie .•.... 73

2. ALTĂ FUNCŢIE ÎN TEORIA NUMERELOR ••••••••••••••••••••••••••• 78

3. FUNCŢII PRIME ÎN TEORIA NUMERELOR •••••••••••••••••••••••••• 83

4. ASUPRA FUNCŢIEI TOTIENT A LUI EULER îN TEORIA NUMERELOR

4.1. O proprietate a unui contraexemplu la conjectura lui Carmichael referitoare la funcţia totient a lui Euler .91

4.2. Altă proprietate a unui contraexemplu la Conjectura lui Carmichael referitoare la funcţia totient a lui Euler .96

4.3. O generalizare a teoremei lui Euler privind congruenţele referitoare la funcţia totient a lui Euler •••..•..•... 99

Referinţe generale (în ordine cronologică) ...••..••.•.•.•••.. 104

Introducere

Teoria Analitică a Numerelor reprezentă pentru mine o pasiune.

Rezultatele expuse mai departe constituie rodul câtorva ani buni de

cercet~ri şi căutări.

Lucrarea de faţă se compune din 9 articole, publicate toate

prin reviste de matematic~ româneşti sau stră.ine, iar unele

prezentate chiar la congrese şi conferinţe naţionale cât şi

internaţionale [vezi "Lista publicaţiilor autorului pe tema

tezei"]. Ea se structurează in patru capitole:

- in primele trei capitole se introduc noi funcţii in teoria

numerelor, se studiază propriet~ţile lor, probleme nerezolvate

legate de ele, implicaţii in lumea ştiinţific! internaţional! (ce

alţi matematicieni au abordat noţiunile acestea), conexi~i cu alte

funcţii bine ştiute, importanţa rezultatelor obţinute:

- in ultimul capi tol se aduc contribuţii la studierea unei- funcţii

cunoscute in teoria numerelor (totient sau phi a lui EUler), in

principal referitoare la conjectura lui carmichael.

[Exist! referinţe particulare dup! fiecare paragraf (articol),

iar referinţe generale in finalul tezei.]

Actualitatea temei din tez! este evident!, din moment ce la

~niversitatea din Craiova, Conf. dr. C. Dumitrescu & Conf. dr. V.

Seleacu organizeaz! <Pr~ Conferinţa Internaţion&l~ dedicatl

Noţiunilor de tip 'Smarandache' in ~eoria BUmere1or>, şi anume:

funcţii (11 şi extinderi ale sale, L, funcţii prime), secvenţe,

operaţii speciale, criterii de divizibilitate, teoreme, etc. de tip

'Smarandache', 1n perioada 21-24 August 1997

[vezi şi anunţul din "Notices of the American Hathematical

society", Oniversity of Providence, RI, SUA, Vol. 42, No. 11,

rubrica "Mathematics Calendar", p. 1366, Noiembrie 1995].

Conferinţa se va desf!şura sub egida UNESCO [240]

[cf. Mircea Ichim, director, şi Lucreţia B!luţ!, secretar!,

Filiala UNESCO din Bucureşti].

in felul acesta se deschid noi drumuri in Teoria Analitic! a

Numerelor, fonnând un domeniu aparte, care a trezit interesul'

diverşilor specialişti.

Un grup de cercetare privind aceste noţiuni, in special

concentrat asupra Funcţiei Smarandache, s-a format la Universitatea

din craiova, România, catedra de Matematic!, condus de c!tre Prof.

dr. A. Dincă (decan), Prof. dr. V. Boju, Conf. dr. V. Seleacu,

Conf. dr. C. Dumitrescu, Conf. dr. r. Bă1ăcenoiu, Conf. dr. şt.

Zanfir, Conf. dr. N. Rădescu, Lect. E. Rădescu, Lect. dr. r. cojocaru, Lect. dr. Paul Popescu, Asist. drd. Marcela Popescu,

Asist. N. Virlan, Asist. drd. Carmen Rocşoreanu, prof. S.

cojocaru, prof. L. Tutescu, prof. E. Burton, prof. Panait Popescu,

cercet. şt. M. Andrei; student Tomiţ! Tiberiu Florin, şi alte cadre

didactice impreun! cu studenţi. Membrii acestui grup se intâlnesc o dat! pe săpt!mâna, in timpul

anului şcolar, şi expun ultimele cercetări asupra funcţiei 11 ,

5

precum şi încercări de generalizare.

în afara grupului de cercetare de la craiova, destui matematicieni şi informaticieni str~ini s-au ocupat de studiului funcţiei fi, cei mai activi fiind: Henry Ibstedt (Suedia), Păl Grczmas (Norvegia), Jim OUncan, John C. McCarthy, John R. Sutton (Anglia), Ken Tauscher (Australia), Th. Martin (SUA), pedro Melendez (Brazilia), H. Costewitz (Franţa), J. Rodriguez (Mexic), etc. [Pentru o imagine mai detaliat~, vezi cele 240 de "Referinţe" de la sfârşit.)

Despre 1nsemn~tatea "Funcţiei Smarandache", cum a fost botezată in revista londoneză <Personal Computer World>, Iulie 1992, p. 420, şi-a dat pentru prima dată seama scientistul englez Hike Hudge, editor al rubricii <Numbers Count> [10). Iar valorile funcţiei, fI(n) = 1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 4, 6, 5, 11, 4, 13, ••• au fost etalate de N. J. A. Sloane & Simon Plouffe în <Encyclopedia of Integer Sequences>, Academic Press, [H045~], 1995, şi denumite "Numerele Smarandache" [140]. Articolele, notele, problemele (rezolvate sau deschise), conjecturile referitoare la această nouă funcţie in teoria numerelor sunt colectate 1ntr-o revistă special~ numi~ "Smarandache Function Journal", publicat~ anual ori bianual, de Dr. R. HUller, Number Theory Publishing Co., Glendale, Arizona, SUA. Hai mult, Ch. Ashbacher (SUA) i-a dedicat ins~şi o monografie: "An introduction to the Smarandache function", Erhus Uni v • Press, Vail, 1995 [194], iar Kenichiro Kashihara (Japonia) are 1n preg~tire o altă carte despre fi [235]. De asemenea, multe reviste şi chiar enciclopedii şi -au deschis paginile inser~rii de lucr~ri ce trateaz~, recenzează, sau citează funcţia fi şi valorile ei

[vezi "Personal Computer World" (Londra), "Humanistic Mathematics Network Journal" (Harvey Hudd College, Claremont, CA, SUA), "Libertas Hathematica" (Texas State University), "octogon" (Braşov, România), "Encyclopedia of Inteqer Sequences" de N. J. A. Sloane & Simon Plouffe (Academic Press: San Diego, New York, Boston, London, Sydney, Tokyo, Toronto: 1995), "Journalof Recreational Mathematics" (SUA), "Foaie Matematică" (Chişinău, Moldova), "The Hathematical Spectrum" (University of Sheffield, Anglia), "Elemente der Hathematik" (Elveţia), "Zentralblatt fur Mathematik" (Berlin, Germania), "The Hathematical Reviews" (Ann Arbor, SUA), "The Fibonacci Quarterly" (SUA), etc.]. Iar la conferinţe naţionale şi internaţionale organizate, de exemplu la New Hexico State University (Las Cruces, SUA) , University of Arizona (TUcson), University of San Antonio (Texas), State University of New York at Farmingdale, University of Victoria (canada), Congres International <Henry Poincare> (Universite de Nancy, Franţa), <26th Annual Iranian Mathematics Conference> (Kerman, Iran), <The Second Asian Mathematics Conference> (Nakhon Ratchasima, Tailanda), <Programul manifestărilor organizate cu prilejul implinirii a 100 ani de la apariţia primului num~r al revistei 'Gazeta MateJnatic!' 1895-1995> (Alba Iulia, România), etc. s-au prezentat articole ştiinţifice despre fi in perioada 1991-5.

6

Arhive care stochează cercetări~e asupra funcţiei ~ (cărţi,

reviste, broşuri, manuscrise pub~icate ori inedite, articole, note,

comentarii, scrisori -- obişnuite ori elec--ronice -- de ~a diverşi

matematicieni şi editori, probleme, aplicaţii, programe de

conferinţe şi simpozioane, etc.), cât şi asupra altor noţiuni din

această teză, se gasesc la: a) Arizona State University, Hayden Library, Colecţia Specială

(online) "The Florentin Smarandache papers", Tempe, AZ 85287, USA;

phone: (602) 965-65~5, e-mai~: [email protected], responsabile:

carol Moore « Mar~yn Wurzburqer; b) Arc:hives of American Mathematics, Center for American History

SRH 2.~09, University of Texas, Colecţia Specială "The Florentin

Smarandache papers", Austin, n 787~:3, USA; phone: (5~2) 495-4~29,

fax: (5~2) 495-4542, director Don carleton;

c) Biblioteca Universităţii din craiova, str. Al.. I. CUza, Nr.

~:3, Secţia de Info:rlZ1are şi DOCUIllentare "F~orentin Smarandache" din

cadrul Seminarului Matematic <Gh. Tiţeica>, director o~ Lohon,

bibliotecară Maria Buz, fax: (05~) 4~~688, România;

d) Arhivele Statului, Filiala Vâlcea, Fondu1 Special "Florentin

Smarandache", responsabil: Ion Soare, Str. General Praporgescu, Nr.

:32B, Rm. Vâ~cea, Jud. Vâlcea, România;

care sunt puse la dispoziţia publicului spre cons~tare.

~.~. in priJnul paragraf al priJn~ui capitol din teză se defineşte,

aşadar, o nouă funcţie:

__________________ ~n~~:~z! ---> N.

n (n) este cel Mai mic intreg m astfel încât m! este

divizibil cu n.

Pentru calcularea lui ~, construim funcţii~e ajutătoare 171" unde p

este nwnăr prim pozitiv, astfel: ~: N* - N* ;a

'Q'n E N* (p)

., Ca ) _ p" , O'p n

) + •••

iar p" -l pentru n > o. De unde obţinem pe ~: -p-~ a, a.

lo, pri:1e, 'rf n - E P, p. cu E -- p( -. . .

-PI • p .

J for i • j, a, ~ ~, i - ~,s , 17 (n) -

17 (: ~) - o.

i-1,5 7

- -- ----Y"'" C~~e J.l!1portant~ deoarecf' caracterizeaz~ numerele prime -- prin urm~toarea proprietate fundamental~:

Fie p un număr intreg> 4, atunci peste prim dacă si numai dacă n (pl .., p.

Deci, punctele fixe ale acestei funcţii sunt numere prilne (la care se adaug~ şi 4). Datorit~ acestei propriet~ţi, funcţia f1 se foloseşte ca o sit~ pentru cemerea numerele prilne. studierea şi descoperirea unor relaţii despre funcţia f1 duce implicit la aprofundarea cunoştinţelor despre numerelor prime, o preocupare in prezent fiind distribuirea lor. [E. Burton incearc~ generalizarea funcţiei f1 in corpul numerelor complexe [169].]

Totodat~, funcţia f1 intr! in conexiune şi cu foarte cunoscuta funcţie n (x), care reprezint! numArul de numere prime mai mici decât sau egale cu x, prin următoarea formulă:

x Pentru x > 4. rr (xl = r !n(k)/kl - 1,

k=2 unde Lbl înseamnă partea intreagă a lui b

. [vezi L. seagull [189]].

Alte proprietăţi:

Dacă (a. b) .., 1, atunci n(ab) = max (nCa), n(bl}. Pentru orice numere pozitive nenule. n(ab) < nea) + n(b). n este o functie general crescătoare. adică: ~€N ;b€N. b = bea), ~€N, c>b, n'c»a.

Funcţia f1 face obiectul multor probleme deschise, care au trezit interesul matematicienilor. De exemplu:

a) Ecuatia nCn) = nCn+l) nu are nici o solutie. Nu a fost inc~ demonstrat~, deşi I. Prod~escu [29, 92] crezuse iniţial c~ i-a g~sit o soluţie. L. Tuţescu (30] i-a dat o extindere acestei conjecturi. b) A. Mullin (239], inspirat de problema anterioar~, conjectureaz! c! ecuatia nCn) = nCn+2) are doar un număr finit de solutii. c) T. Yau [63] a propus determinarea tuturor valorilor pentru care funcţia f1 p~streaz! relaţia de recurenţ~ a lui Fibonacci, adie!:

nCnl + n(n+l1 = n(n+2), neştiindu-se dac! acestea sunt in nwn~r finit ori infinit. El însuşi aflând pe n .., 9, 119. Ch. Ashbacher [182, 207] a investigat relaţia de mai sus cu un program pe calculator până la n = 1000000, descoperind valori adiţionale pentru n = 4900, 26243, 32110, 64008, 368138, 415662, dar nedemonstrând pe cazul general. H. Ibstedt [224] presupune c! exist~ o infinitate de astfel de triplete.

8

d) Renumitul academician, P. Erdos (147J, de la Academia Ungară

de ştiin~e, solicit~ cititorilor revistei engleze <Mathematical

Spectrum> , in care publică o scrisoare, s~ g~seas~ o formul!

asimptotic~ pentru:

r n(n11..c. n < X

n(n»P(n)

unde P(n) reprezint~ cel mai mare factor prim al lui n.

La o conferinţ! internaţional!, W. Sierpinski a afirmat c!

dac! omenirea va dura veşnic, iar problemele nerezolvate ar fi

numerotate, atunci s-ar ajunge cu timpul ca toate aceste probleme

s~ fie rezolvate. in paragraful 1.2 ne-am propus s~ ar~tăm c~ putem avea o infinitate

de probleme f!r! soluţii, astfel incât niciodat! ele s! nu fie

rezolvate toate! .

Fiecare perioad! de timp are problemele ei deschise, c~rora de

obicei li se d! de cap mai târziu, odat! cu progresul ştiinţei.

Şi, totuşi, num~rul noilor probleme nerezolvate, care apar datorit!

cercet~rilor fireşti, creşte exponenţial, in comparaţie cu num~rul

vechilor probleme nerezolvate ce sunt in prezent soluţionate.

-Oare, existen~a problemelor deschise constituie o criz~ matematic!

ori, dimpotriv~, absenţa lor ar insemna mai de grab~ o stagnare

intelectual~? "Funcţia Smarandache" este pus~ in combinaţii şi relaţii cu

alte funcţii ori noţiuni din teoria numerelor şi analiz~, precum:

secvenţe-A, num!rul de divizori, diferen? dintre dou! numere prime

consecutive, serii Dirichlet, funcţii generatoare, funcţia

logaritm, ordin normal, condiţie Lipschitz, funcţii multiplicative

ori aditive, cel mai mare factor, distribuţie uniform~, r!d~cini

necongruente, cardinal, triunghiul lui Pascal, secvenţ! s-aditiv!,

suma p~rţilor alicuante, suma puterilor de ordin k ale p~rţilor

alicuante, suma p~ilor alicuante unitare, mediile aritmetic! şi

geometric~, şiruri recurente, ecuaţii şi inecuaţii diofantice,

num!rul de numere prime, num~rul de numere prime congruente cu a

modulo b, suma divizorilor, suma puterilor de ordin k ale

divizorilor, suma divizorilor unitari, funcţia ci> a lui Euler,

funcţiile gamma şi beta, num~rul de factori primi (cu repetiţie),

num~rul factorilor primi distincţi, partea intreag~, aproximaţii

asimptotice, câmpuri algebrice, funcţia Mobius, funcţiile Cebişev

e şi !, etc. Iar "Numerele Smarandache" sunt asociate şi intrep~trunse

respectiv cu: numerele abundente, aproape perfecte, amicale, amicale m!rite,

numerele Bell, Bemoulli, Catalan, Carmichael, deficiente, Euler,

Fermat, Fibonacci, Genocchi, numerele armonice, k-hiperperfecte,

Kurepa, Mersenne, m-perfecte, numerele norocoase, k-indoite

perfecte, perfecte, poligonale, piramidale, poliedrale, primitive

abundente, primitive pseudoperfecte, pseudoperfecte, pseudoprime,

pitagoreice, reziduri p~tratice, cvasiperfecte, Stirling de ordinul

I şi II, superperfecte, intangibile, numerele sinistre, numerele

Ulam, etc.

9

în paragraful 1.3, se înf~ţişeaz~ o aplicaţie a funcţiei ~ la rezolvarea Problemei 1270, din <Mathematics Magazine>, SUA, 1987, propus~ de Prof. R. B. Eggleton de la Universitatea din Newcastle, Australia, problem~ pe care o generalizăm în felul urm~tor:

Pentru ce valori ale lui a si n intregi nenule. (n+h)! este divizibil cu an ?

în paragraful 1.4, ~ este implicat~ intr-o ecuaţie semirezolvat~ (semi-nerezolvat~!):

n(mx) = x, unde mEZ este un parametru.

iar recurenta ei, ~Cf) = ~o ~o ••• o ~ de i ori, într-o frumoas~ problem~ de existenţ~ şi minim:

binEZ-{O, ±11 5'kEN pili (m) = nilill (m) = n j

să se afle cel mai mic k cu această prop~ietate (rangul). precum si n (n în funcţie de m).

2. în capitolul doi se defineşte alt~ funcţie in teoria analitic~ a numerelor, astfel:

__________ ~L~~:-=Z~ __ -_-_-~>~~~~~_=~ __ ~~=. __ ~ __ ~_=.( __________ ~u~n~d:e~=c.,--~~~=.( ~~~~~~~~~~~~~~~~~~-=m~----

r"me cu-m

care ne ajut~ s~ obţinem generalizări separate parţiale ori totale, ale teoremelor lui Wilson, Gauss, Lagrange, Leibnitz, Moser, şi Sierpinski.

er

ori simultane, Fermat, Euler,

3. in capitolul trei se introduc urm~toarele funcţii, denumite prime:

Pentru kEN!, P!. : N!. ---> {O. 1} ,

O dacă nl~~.~~.~.~.~,~n~k~s~u=n~t ______ _ toa1:e rime'

caz cont a

in continuare se determin~ o condiţie necesar~ şi suficient~ (Teorem~ General~) ca n numere, coprime dou~ câte dou~, s~ fie toate prime (în mod simultan), adic~ Pt (n" ~, ••• , n t ) = o.

________ F~i.::::e_ Pijl

1 ~ i ~ n, 1. ~ j ~ mI' coprime două câte două}

______ ..... s'"'~=_· _f ... i.=e r, , ••• , :: n' a" ••• , an' numere întregi astfel încât al să fie coprim cu r l pentru orice i.

10

Se consider~ urm~toarele conditii: __ --.. c 1 .. · ... ) p, ' ••• , Pim, sunt simultan prime , . .

O (mod =1)' pentru or1ce J.. Ci E

Atunci: Numerele Pijl 1 ~ i ~ n, ~

dac~ si numai dac~ n

dac~ si numai daccI

sunt simultan prime

(RID) ~ (a.c·/r.) • O (]:lod RID), • \ 1 1

~=~

n --.. ____ ~u~n~d~e~ __ ~R~- n =, « iar O este un divizor al lui R.

i=l

Aceast~ teorem~ general~ reuşeşte s~ generalizeze teoremele lui V.

Popa, I. CUcurezeanu, Clement, şi S. Patrizio, etc.

in plus, prin particularizarea ei, se obţin 'caracteriz~ri

interesante pentru numerele prime gemene, numerele prime cvadruple,

etc.

Aplicaţii: _________ P', P2' ••• , Pn sunt simultan prime dac~ si numai daccI:

n (T) ~ [(p,-k,)! (l~i-l) 1

i=l

or1

• n P, E O (mod j-i

n k, (V) ~ ( (p,-k,) ! (ki-~) ! - (-l) )Pj/p,. O (mod Pj>

i=l

ori

n k

(W) ~ (p,-k,)l(ki-~)!-(-~) 'liP, is an integer.

1=1

Iar în cazuri particulare obţinem, aşadar:

Caracterizarea numerelor prime gemene:

Numerele impare p si p+2 sunt prime gemene dac~ si numai

daccI:

(p-1)! + 1J I p + [(p-1)! 2 + 11 I (p+2)

11

Cara~erizarea unui cvadruplu de numere prime

Nu~erele coprime intre ele p, p=2, n+6, 0+8 formează un cvad~~plu de numere or~me, daca si numai dacă:

este nu~ă: intreg.

4. Ultimul capitol abordeaz~ func'ţia totient (phi) a lui Euler:

o(x) reorezintă numă6~1 de numere prime ~~ x si mai mici decât x, sau carcinalul unui sistem redus de reziduri modulo x.

în leg~tur~ cu aceast~ important~ funcţie in teoria numerelor, Carmichael a emis urm~toarea conjectur~:

~€N ecuatia ~(x) = n nu poate avea o singură solutie.

!n paragraful 4.1 se aduc cont=ibuţii asupra conjecturii anterioare, demonstrându-se că:

~€N e~~aţia o(x) = n admite un număr finit de soluţii; iar dacă Xo este soluţia unică. atunci ea are fo~a aenerală: -

in paragraful 4.2 se extinde lema anterioar~, ar~tând c~:

Xo este multiplul unui produs de foarte multe numere orime, to~te elemente ale unei multimi recurente M. care se eonst=uieste in felul u~ător:

(a) elementele 2. 3 ~ Mi (bl daeă elementele distincte 2. 3. g, ..... g ~

M. iar p = 1 • 2-=.3". g, ... g este pri!ll, uflde a € ! O, !.. "" 4 1) şi - Ş € -, O, 1. . •. , 46 l , atunci p € Mj (r > O) i

(e' n~ai elementele obtinute prin aplicarea regulilor (a) sau (b) de un număr :init de

Se observ~ c~ rezolvarea Conjecturii lui carmichael este echivalent~ cu demonst--area c~ m~ţimea recurentA M este infinit~ (adic~ nu exist~ nici un contraexemplu de solu'ţie unic~ a e~~aţiei

12

de mai sus).

in paragraful 4.3 se genera~izeaz~ teorema clasi~ a lui Euler referitoare la congruenţe:

Oacâ" (a I m) = 1 I atunci at1!!l. == 1 (mod·. m) I

unde avem din nou de-a face cu functia ~ a lui Eulerj

sub forma urm~toare:

Fie a, m € z,si m :# O. Atunci: af(lIIs}:s ~~ (mod m) I

unde s si m~ se obtin prin procedeul de mai jos:

(o) e- ad ; (a ,m ) - 1 c c c o m - m d ; d f. 1 c c .10

(1) rO. -d~~ ; ("do'~) - 1

mo .- ~ldl ; .. ~; 1

•••••••••••••••••••••••••••••• •••• a ....... (5-1) r:.-2

l5-2

(5)

_ d 1 d 5-2 5-1

- m d 5-1 5-1

_ d 1 d" 5-1 s

- m d s s

; (d5

:2

,mS

_1

)

; ~ ds

_1

fa 1

- 1

1 ; (d

s_

1,m

s) - 1

; d s 1 5 •

Se construieşte şi un algoritm pentru implementarea pe computer a acestei generalizări:

(1) A:= a, M :- m, i := O.

(2) Calculeazâ" d = (A. M) si M' - M/d. (3) Oacâ" d = 1, atunci S = i si m c M' j sto'C.

3 • •

pacâ" d - 1, atunci A := d, M 1= M'. 1 := 1+1, si mergi la pasul (2).

13

1. O NOUA FUNCŢIE ÎN TEORIA ANALITICA A NUMERELOR

1.1. Definiţie, construcţie, şi proprietăţi ale acestei funcţii

Abstract:

În această lucrare se construieşte o funcţie ~ care

are următoarele proprietăţi:

( 1 ) "i n (Z n-O ( T) ( n) )! - ~1 n •

(2) T)(n) este cel mai mic număr natural care are

proprietatea (1).

Considerăm N - {O, 1, 2, 3, ••• } şi

N* - {l, 2, 3, •.. }.

Lema 1.1.1. "i k, P ( N*, P -1, k este scris in mod

unic sub forma: (1»

k z t 1a + n 1

• .. + unde

= i = 1, e. , n, > n2 > ••• > n t > O şi p-l

(1»

an . = 1

1 < 't.. J

<

i - 1,!, t e N*.

Demonstraţie. (1»

Şirul (an }n .... este format dintr-un număr infinit

(1» (:=)

de numere naturale în ordine crescătoare, şi a~l -1 - P • an '

"i n e N*, p este fix,

- N* -

(1)

a 1 - 1,

(1) (1)

u «(an ' a~l) nN*) nfN*

(p) (1)

unde (an ' a~l) n

~~ (MOS) subjec~ classification (1980): 10A99~

14

deoarece

Fie k fN*, N* = u nfN*

sub forma

Not~m:

(g) (g) - 1 N ( [an ,a"., ) n N*) - =. n, f * :

este scris in mod unic

an (g) + r, (teorema imp~rţirii intregi). ,

(g)

r, < a n 1

Dac~r,-O, (p) •

< k < an 1 ~ - 1 - 1 < t, ~ P Şl. Lema

1.1.1. este demonstrat~ •

... Dac~ r, .. O - :: r, f

(g)

> :', - n, > n2 , r, .. O şi ~ k ~ a-l - 1 < t, < n,.~

< p - 1 deoarece avem (g)

t, < ( a-l - r,) n 1.1.

.( p . 1

Procedeul continu~ in mod similar. Dup~ un num~r finit de paşi

1, ajungem la r = O deoarece k = finit, k f N* 1

15

şi k > =~ > =2 > •.. > =( = O iar intre O şi k există

numai un num!r finit de numere naturale distincte.

Astfel:

k se scrie in mod unic: (:l)

k = ":, an + r" 1 .s. t, k se scrie in mod unic sub forma: + •.. T

+ •.. +

cu n, > n2 > .•• > n( > O; n( > O deoarece nt

f N*, 1 < ": j <

 1.

(1))

Fie k f N*, k = t,ar;

'6

cu (1)

a" : = p-l

--i = 1,e., e. > 1, ni' ti f N*, i = l,e.

1 < t j < P - 1, j = 1, e -1, 1 < t{ < P .

Construim funcţia

astfel:

'v'n f N* (1:1)

17 ( a ) _ pn , 1:1 n

) + ••• -

Nota 1.1.1. Funcţia 17p

este bine definită pentru orice număr

natural.

Demonstraţie:

Lema 1.1.2. 'v' k ~ N* - k se scrie in mod unic

cu condiţiile din Lema 1.1.1.

+ ••• +

17

)-n,

şi t,p

k = - (p) ....an , 1

~ ... ~

Lema 1.1.3. ~ k ! N*, ~ P f N, P = pr:"::1e .. k (gl

= ~.an o ,

(::l - .. a '"'t 1'\ t

(din Lema 1.1.2)

Se ştie c~ b

b € N* unde prin (a] se înţelege partea

1ntreag~ a num~rului a. Ar~t~ că suma exponenţilor

naturali ai puterilor lui p din compunerea factorialului

este ~ k:

+ n,-l t,p •

p

n, n, n,-n t

+

t,p l'

nt i +

p

• •• + = t~p ...... .. +

'8

.. ". - ... ~tP

n, p

n, n, 1:,P

1 -j Z.

n~ p

Adunând obţinem că factorialul

n t

[9 " + = -.... -~ . . . .... oJ ,-n,

p

n,-l sumei puterilor este ~ t, (p + ••• + pa) + .•. +

nt-l + tt (p + •.• + pa) = t,a~) ,

Teorema 1.1.1. Funcţia n p ' P = prim, definită anterior,

are următoarele proprietaţi:

( 1) •

( 1)

(2 )

le "Ii k ( N*, (np (k) )! - Mp •

~ (~ este cel mai mic număr cu proprietatea p

Demonstraţie:

(1) rezultă din Lema 1.1.3.

(2 ) (P)

'i k E: N*, P a 2 - k - t,an ,

(vezi Lema 1.1.2) este scris in mod unic, unde:

19

(p)

a n . 1

=

rl· 1

P -1 E N*,

P-l

i = 1, e. I 1 < t j < P - 1 I j = 1 I e. -1 I 1 < tt < p.

n, t,p + ••• + I note:

n, z - t,p +

Să demonstrăm că z este cel mai mic număr natural cu proprietatea

(1). Presupunem prin metoda reducerii la absurd ca

-= Y f N, Y < ,

Y < , - y ~ , - 1 - (z - 1)! _ ~lpk.

, - 1 n,

= t,p

n j € N, j = 1, e :

,-1 [ -1

p'

n,-l = t,p + ••• +

1 ; n, > ~ > ••• > nt ~ 1 şi

= - 1

deoarece P ~ 2 ,

20

z-l

z-l

z-l

nz , z-l . tzP 1-1 ~ pO r

= .. 1 --, l l n,. P

Deoarece O < tzp

~ ...

• ... n,

P

nz

. - ,

cu P ~ 2, ne > 1 ,

n t _,-nt -1 + tt_,P

n -n-1 t -, t deoarece

n t + tlp -1

t~pO = .

n t nz + ... + ttP -1 < (p-1) P +

21

- 1

=

. .. ~

- l ~ (p-l).

r.Z~l

~ (p-l) = p - 1

z-l

n,+l p

n, O < t 1p

p-l

... ••• +

n, p

n, n t

= O

= r _t_iP ___ + ___ +_t_t_P __ -_l_

+

l n,-l p

n,+l - 1 < P

i=n . tel

= O deoarece:

n,+l

- 1 < P

conform unui raţionament similar cu cel anterior.

- 1 <

Adunând, rezultă că suma exponenţilor puterilor naturale ale lui

p care constituie factori ai produsului (z-l)! este:

n,-l t~ (p + .•• + pOl _ ••• ~ ..

.... t- 1

nt-l + tt (p + ••• + pO) - l' n t = k - n( < k - 1 < k deoarece

22

n t > 1 - (z-l)

făcută.

• Mpl, care contrazice presupunerea

~ ~~(k) este cel mai mic număr natural cu proprietatea

(~;l(k»! ,. jApl.

Construim o nouă funcţie ~: z\{O} - N definită după cum

urmează:

~ (± 1) = O,

a, P, cu

P; • Pj I cu i .. j, ai 2. 1,

: max {~

Pi i-l,5

i ,. 1,5 , ~(n) =

Nota 1.1.2. ~ este bine definită şi peste tot definită.

Demonstraţie:

(a) ~ n f Z , n .. O , n .. ± 1, n este scris in mod

unic, abstracţie de ordinea factorilor, sub forma

cu

> 1 (descompunere în factori primi în inelul Z).

- :! ~ (n) - max cu s finit şi

1,5

23

• p., J

el· > 1

şi ~ax

i=l,s

(b) n = = 1 - :: T)(n) = O.

Teorema 1.1.2. Funcţia T) definită anterior are următoarele

proprietăţi:

( 1 ) ( T) ( n) ) - ~1 n , "i n E Z \ { O }

(2) T)(n) este cel mai mic număr natural cu această

proprietate.

Demonstraţie:

a, as ( a ) T) (n) = max ( T) p. ( ai) }, n = E • P 1 P s

I

i=l,s

(n .. - 1),

(T) o:

'4 1 (0:,) )! = '''P1 '

P1

Presupunând că

:lax

i=l, s

24

- (1'7 ;:l • , -o

a· J = :,:p

J j .. 1,5

(T7 p . (ai »! o

Fie

17 PiO

, -o

(~) n = - 1 - 1'7 (n) ~ O: O! = 1, 1 = ~,1 f • 1 = ~,:n.

(2 )

max

i=l,s

(al ) o

Y

(a) n .. a,

- 1 - n .. E P,

( 1'7 p . (ai) } = 1'7 p (a. ) 1 1 o

i o

, 1 < i

este cel mai mic num!r natural

- T7(n) - max

i=1,5

< 5 . I

cu proprietatea:

al = M Pi 00 - "r/ Y E N , Y < 17p (ai J -

i o

Y .. M E • = ~1 n

este cel mai mic num!r natural cu proprietatea:

(b) n - = 1 - 17(n) .. O şi este cel mai mic num!r natural

=> O este cel mai mic num!r natural cu proprietatea:

O! = M (= 1).

25

Nota 1.1.3. Funcţiile r'/ sunt crescătoare, neinjective, p

şi pe ~* - {P~ I k = 1, 2, ... } sunt surjective.

Funcţia ~ este crescătoare, neinjectivă, şi surjectivă pe

z \ {O} N \ {l}.

Consecinţa 1.1.1. Fie n f N*, n > 4. Atunci

n = pri~ ~ ~(n) = n.

Demonstraţie:

" .;"

" " n = prim Ş1' 5 ( n ~ - ~ n) - r'/n(l) = n. ~

Fie ~ (n) = n şi să presupunem prin absurd că n - prim ..

a, (a) ori n = P,

r'/(n) = max

i=l,s

as Ps cu s ~ 2, ai f N*, i = l,s

(a. ) < 1 o a. la p. < n

'o

contrazice asumptia anterioară: ori I

(b) a,

n = P, a,

cu a, > 2 - r'/(n) ~ r'/p,(a,) < p,·a, < P, = n

deoarece a, > 2 şi n > 4 care contrazice ipoteza.

Aplicaţii:

1.1.1. Să se găsească cel ma l' m1'c număr natural cu proprietatea:

26

Soluţie:

r](::' 23~ - 3 27 - 7 13 ) = :lax {nz(Jl), 173(27), r]7(:'3)}.

eZ) S~ calcul~m T'/z (31) ; form~m şirul (an ) n , "'- =

= 1, 3, 7, 15, 31, 63, •••

S~ calcul~m T'/3(27)j form~m şirul

= 1, 4, 13, 40, •• • J. 27 - 2-13 + 1 - 17 C21> - r]3(2-13 - 1·1) = . 3

= 2-r]3(13) + 1.173 (1) = 2-33 + 1-:3 1 - 54 + 3 = 57.

form~m şirul

= 1, 8, 57, ••• ;13 = 1-8 + 5-1 - 177(13) = l-T'/7(8) + 5-r]7(l) = = 1-72 + 5·7' = 49 + 35 .. 84 - 17(= 231_321_713) - max {32, 57,

84} .. 84 - 84! .. M(= 2 31 _3 21 _7'3) şi 84 este cel mai mic num~r

cu aceast~ proprietate_

1.2.3. Care sunt numerele ale căror factoriale se termină in

1000 de zerouri ?

Soluţie:

n = 1 O '000, ( 17 ( n) )! = M 10 1 000 şi este cel mai mic num~r

cu aceast~ proprietate.

r](lO~OOO) ,. r](2~cOO - 5~ooo) = :nax' {T'/z (1000), T'/5 (1000)} =

27

- 2.53 ~ 1.57 = 4005, 4005 este cel mai mic număr cu această

proprietate. 4006, 4007, 4008, 4009 verifică proprietatea

dar 4010 nu, deoarece 4010! = 4009! 4010 are 1001 zerouri.

[Publicată in "An. Univ. Ti:işoara ",seria Şt. Mate~atice,

Vol. XVIII, fasc. 1, pp. 79-88, 1980; vezi Mathematical

Reviews: 83c : 10008.]

28

1.2. O infinitate de probleme nerezolvate referitoare la această

funcţie

& 1.2.1. Abstract:

w. Sierpinski a afirmat la un congres internaţional că

dacă omenirea va dura la infinit, atunci toate aceste probleme

nerezolvate vor fi cândva rezolvate.

Scopul acestei lucrări este de a produce o infinitate

de probleme deschise pentru a arăta că supoziţia sa nu-i

adevărată. Mai mult, autorul consideră că problemele deschise

propuse in această lucrare nu vor fi niciodată rezolvate toate!

Orice perioadă de timp are problemele ei nerezolvate,

care apar odată cu progresul ştiinţific. Numărul de probleme

noi nerezolvate creşte exponenţial, in comparaţie cu cele vechi

rezolvate până in prezent. Cercetări asupra unei probleme

nerezolvate pot duce la alte probleme nerezolvate interesante.

Cititorul este invitat să-şi exprime opiniile despre aserţiunile

care urmează.

& 1.2.2. Introducere.

Am construit o funcţie ~ care asociază fiecărui intreg

nenul n cel mai mic număr pozitiv m astfel incât m! este multiplu al lui n. Astfel, dacă n are forma standard:

29

a, n = ! p, cu toţi Pi numere prime distincte,

toţi ai ! N'*, şi ! = .- 1,atunci17(n) =

ry (:: 1) = O.

Acum, să definim funcţiile 17: fie p un număr prim şi a ! N*; p

atunci 17 (a) este cel mai mic intreg b astfel încât b! e p a

multiplu al lui p. Construim şirul:

= , k = 1, 2, ... p-l

avem că 17p

(a:Pl) = pK, pentru orice p şi orice k = 1, 2,

Deoarece orice a f N'* se scrie in mod unic sub forma

+ .•• -+ unde n, > n2 > ••• > ne > O,

şi 1 ~ t j < p - 1) CU j - O, 1, ... , e - 1, şi 1 ~ te < p I

cu toţi n ,t din N, am demonstrat că i i

.e ) = !:

i=l

& 1.2.3. Câteva proprietăţi ale funcţiei 17

în mod clar funcţia 17 este pară:

n ! Z'*. Dacă n f N* atunci:

30

17(- n) = 17(n) I

-1 1(n) < < 1 ,

(l"'.-1) ~ n

1(r.) şi este maxim dacă şi numai dacă n este prim sau n = 4 ;

n

17(n) este minim dacă şi numai dacă k! n = . n

În mod clar ~ nu este periodică. Dacă p este prim, funcţiile ~ p

sunt crescătoare, neinjective, dar pe

N* - {pK I k = 1, 2, ... } ele sunt surjective. Din (1) deducem că

17 = o ( n' .'), E > O, Ş 1 17 =- O ( n) •

Funcţia ~ este general crescătoare pe N*, adică:

(''i) n E N*, (=) Ino f N*, lno - ~ (n), astfel încât pentru orice

m ~ Ino avem 17 (m) ~ 17 (n) (şi general descrescătoare pe z*

Z~); nu este injectivă, dar este surjectivă pe

Z\{O} - N\{l}.

Numărul n este numit barieră pentru funcţia teoretică

numericăf(m) dacă pentru orice m < n, m + f(m) <= n (P.

E::-:loS şi J. L. Sel!ridge). Are E 17 (m) un număr infinit

de bariere, unde O < E ~ l? [Nu, fiindcă există un lnc E N

astfel incât pentru orice n - 1 ~ ~ avem 17 (n -1) ~

2 > - (~ este general crescătoare), de unde n - 1 + e 17 (n - 1) >

f

> n - 1.J

l: 1/17 (n) este divergent, fiindcă 1/17 (n) a lin . n~2

31

n

2 n

2

2 2 Demonstraţie: Fie

n

k ori k-l ori 2

(2) a~ = 2m

- 1, unde m = 2

atunci T7 (

= 2 + 2 m •

k-2 ori

(2) = TJ 2 (1 ) + 17 z ( am

& 1.2.4. Glosar de simboluri şi notaţii

A- secvenţă:

Ordin Mediu:

d(x) :

o secvenţă întreagă 1 ~ a, < az < •••

astfel încât nici un a nu este egal cu suma i

unor termeni distincţi ai secvenţei diferiţi

de a (R. K. Guy) i

dacă f(n) este o funcţie aritmetică şi gen)

este orice funcţie de n astfel încât

fel) + ••• + f(n) - gel) + ••• + gen)

spunem că f(n) este de acelaşi ordin mediu

ca gen);

numărul divizorilor pozitivi ai lui x;

=

d : diferenţa dintre două numere prime consecutive: X

ce

Serii Dirichlet: o serie de forma F (s) = ~ , s n=l nS

poate fi real sau complex;

32

Funcţie Generatoare:

Log x :

Ordin Normal:

Condiţie Lipschitz:

Funcţie multiplicativă:

p(x):

ce

orice funcţie F(s) = ~ an Un(s) n=l

este

considerată ca o funcţie generatoare pentru a . n'

forma cea mai uzuală a lui un(s) este

-A ·5 Un(S) = e n unde An este o secvenţă de

numere pozitive care creşte in mod strict către infinit;

Logaritm Napierian de x în baza e;

f(n) are ordinul normal F(n), dacă f(n) este

aproximativ egală cu F(n) pentru aproape toate

valorile lui n, adică (2), (~) ( > O, (1 - e) .

• F(n) < f(n) < (1 + (). pentru aproape toate valorile lui n; "aproape

toate" valorile lui n înseamnă că numerele mai

mici decât n care nu posedă proprietatea (2)

sunt o(x);

o funcţie f verifică condiţia Lipschitz de

ordin a ( (O, 1) dacă

(=) k> O: \f(X)-f(y)\ ~ k Ix-yl« ;

dacă a s l,f este numită funcţie k Lipschitzi

dacă k < 1, f este numită funcţie contractantă;

o funcţie f: N* - C cu fel) s 1,

şi f (1':1 • n) - f (m) • f (n) unde ( m , n)

cel mai mare factor prim al lui Xi

33

Uniform Distribuită:

Rădăcini Incongruente:

Secvenţă

s-aditivă:

5 (n) :

5* (n) :

rl; (n) :

1f(X):

1f(X: a, b):

CJ(n):

a* (n) :

o mulţime de puncte in (a, b) este uniform

distribuită dacă fiecare sub-interval al lui

(a, b) conţine propria sa cotă de puncte;

doi întregi x, y care satisfac congruenţa !(x) ~ !(y) • O (~od ~)

şi astfel încât x ~ y (:nod :1) ;

o secvenţă de forma

= l şi a".,., = a"., -+

Queneau)i

a, = o o o = as - .

000 -+ a n f N* (R "., , o o

suma părţilor alicote (divizori ai lui n

diferiţi de n); a(n) - ni

s(n) iterat de k orii

suma părţilor alicote unitare ale lui ni

cel mai mic număr de numere nedepăşind n,

care conţine o progresie aritmetică de k

termenii

numărul de numere prime nedepăşind pe Xi

numărul de numere prime nedepăşind pe X

şi congruente cu a modulo bi

suma divizorilor lui ni a,(n):

suma puterilor de ordin k ai divizorilor lui ni

a(n) iterat de k orii

suma divizorilor unitary ai lui ni

34

cp(n):

'fi ~ ( .., \ • "f' •• J •

o (n) :

n (n) :

w (n) :

L aJ :

(m, n):

(m, n]:

I ! I :

f(x) - g(x):

!(x) -o (g(x»:

funcţia totient a lui Euler; numărul de numere prime nedepăşind n şi prime cu n:

~(n) iterat de k orii

unde produsul este calculat

după toţi divizorii primi ai lui n;

numărul de factori primi ai lui n, considerând

şi repetiţiile;

numărul de factori primi distincţi ai lui n:

partea întreagă inferioară a unui număr: cel

mai mare întreg, mai mic decât a:

c.m.m.d.c. (cel mai mare divizor comun) al lui

m şi n;

c.m.m.m.c. (cel mai mic multiplu comun) al lui

m şi n:

modulul sau valoarea absolută a lui fi

f(x)/g(X) - 1 când x -~; f este asimptotic

cu g;

f ( x) / g ( x) - O când x - ~:

!(x) = Q(g(X»} f(x) «g(x) ; există a constantă c astfel încât If(x) I <

cq(x) , pentru orice x;

r (x) : funcţia lui Euler de ordinul Întii (funcţia

gamma) . r . R* -CIO , . R, r (X) I e· t .,oI- ! • a .. O

dt. Deci r (x+l) -X r (X) • Dacă XE.

€ N* r (X) a (X 1) ! , -

35

;:(x):

p.(x):

e (x) :

! (x) :

funcţia lui Euler de ordinul doi (funcţia

beta) fj : R*. x R*. - R,

1

{3 (u, v) = r Cu) r (v)/r (u - v) =} O

. (1 - t) v·, d":.;

funcţia lui Mobius p. N - N p.(1) = 1:

p. (n) = (- 1)' dacă n este produsul a

k > 1 prime distincte; ţJ. (n) c ° în

celelalte cazuri:

funcţia e a lui Cebîşev; e R. - R,

e (x) = !: log p

unde însumarea se face după toate numerele prime p

care nu depăşesc pe x:

funcţia ! a lui Cebîşev ! (x) =

- !: A (n), cu n~x

log p, dac! n este o putere întreagă A (n) = { a lui p (cu p prim);

0, în celelalte cazuri.

Acest glosar poate fi continuat cu ALTE FUNCŢII (ARITMETICE).

& 1.2.5. Probleme generale nerezolvate referitoare la această

funcţie

(1) Se poate reprezenta ~(n) ca o expresie numai de n?

(2) Există o reprezentare asimptotic! pentru ~(n)?

(Dacă da, să se determine.)

36

(3) Fie m un număr intreg nenul. În ce condiţii ry(n)

divide pe n-m? (Caz particulat când m = 1.) Desigur, pentru m

= O este trivial: luăm n = k!, sau n liber de pătrate, etc.

(4) Este ~ o funcţie algebrică? (Dacă nu, exist!

max Card {n f z* I (=) P f R (x, y], p polinom nenul,

cu p(n, 17(n» a O pentru toţi n}? ) Mai general, -

introducem noţiunea: g este o funcţie f dacă t(x, g(x» = O pentru

orice x, şi f f -R (x, y], f nenulă. Este ry o f funcţie ?

(Dac! nu, exist! max Card {n € z* I (3) f € R (x, y], f nenul!,

f(n, 17(n» = O pentru toţi aceşti n)?)

(5) Fie A o mulţime de numere intregi consecutive din N*. Să se

calculeze max Card A pentru care ry este monoton. De exemplu, Card

A ~ 5, deoarece pentru A = {l, 2, 3, 4, 5} 17 este respectiv

O, 2, 3, 4, 5.

(6) Un număr este numit ry-algebric de ordin n€ N* dacă este o

r!dăcină a polinomului:

(p) P1l(X}:' 17(n) .x!' + 17(n - 1) x!'-' + ••• + 17(1) x' = o.

Un ry-algebric câmp M este totalitatea tuturor numerelor

A (u) R1I (u) a-

S(u)

unde u este un număr ry-algebric dat, iar A(u), S(1.l) sunt

polinoame in 1.l de forma (p) cu S(1.l) • o. Să se studieze M.

(7) Există puncte Pn = 17 (n) In uniform distribuite in

intervalul (O, 1):

(8) Numărul 0,0234537465114 ••• , unde şirul zecimalelor este

este raţional ori iraţional?

37

* Este posibil să se reprezente orice număr întreg n sub forma:

( 9) az

n = + r'J ( a, ) .. r'J -a3 a,

(az) z. .. Z r'J (a.) unde

întregii k, a, , ... , ak

, şi semnele sunt convenabil

alese?

(10) Dar sub forma r'J (a,)

n = .. a, +

(11) Dar sub forma .,

* Să se găsească cel mai mic k pentru care: (~) n f N* cel puţin unul

dintre numerele r'J (n), r'J (n + 1), ... , r'J (n + k - 1) este:

(12) Pătrat perfect.

(13) Divizor al lui k".

(14) Multiplu al unui număr intreg nenul fixat p.

(15) Factorialul unui intreg pozitiv.

* (16) Să se găsească forma generală a fracţiei continue

extinse ~(n)/n, pentru orice n >= 2.

(17) Există numere întregi m, n, p, q, unde m • n sau

? • q I pentru care r'J (m) + r'J (m ... 1) + ••• + r'J (m + p) = r'J (n) ...

... r'J (n ... 1) • ••• ... 17 (n ... q)?

(18) Există numere intregi m, n, p, k, cu m • n şi p > O,

astfel încât:

(19) Câte numere prime au forma:

38

ry(n) ry(n-l) ... ry(~ - k) ,

pentru k intreg, fixat? de exemplu:

ry(2) ry(J) = 23, ry(5) ry(6) = 53 sunt prime.

(20) Să se arate că ry(xl'l) + 17(y") = 17(ZI'I) are o infinitate de soluţii intregi, pentru n ~ 1. De pildă, soluţia

(5, 7, 2048) când n = 3. (Asupra ultimei teoreme a lui Fermat.) În general, ecuaţia diofantică k s m t

~ 17 (x.) = !: 17 (y.) "" 1 • J i=l J=l

are un număr infinit de soluţii.

(21) Există întregi pozitivi nenuli m, n, k, • n, pentru care 17(m. n} =- mX • 17(n}?

Desigur, ~ nu este homogen de ordinul k.

(22) Se pot găsi două numere distincte k, n

cu m • 1

pentru care log 17(nX) să fie un intreg? (Baza este ry(kl'l).) 17 (kl'l)

(23) Fie congruenţa: C x"Cn) + n

• x,,(1) • O (mod m). Câte soluţii ne congruente are h7J'

considerând că n, C" ••• , Cn sunt constante intregi date?

(24) Se ştie că

c:c

c:c eA =- !: xn In! . Să se calculeze n .. O

!: x:7C n ) In!, n=l

!: xl'l I 17(n)! n=l

şi eventual să se determine unele

proprietăţi ale acestor serii.

(25) Să se găsească ordinul mediu al lui ~(n).

(26) Să se găsească Un(S) pentru care F(S) este o funcţie generatoare a lui ~(n), şi F(s) are o formă căt mai simplă.

39

În caz particular, să se calculeze seria Oirichlet

CX)

F(s) = r T'](~)/~S,

n=l

cu S ! R (o =Î s ! C) o

(27) Are ~(n) un ordin normal?

(28) Se cunoaşte constanta lui Euler:

y = Iim n~

1 1 + - + ... +

:2

1 \ n - log n}

n Is li:n [ 1 + !: 1/17 (k) - log 17 (n)] este constantă? Dacă da,

n~ k=:2

să se calculeze.

(29) Există un m pentru care 17°'(m) - {a" az' ••. , a~}

astfel încât numerele a" a z, ••• , a să constituie o PQ

matrice de p linii şi q coloane cu suma elementelor pe fiecare

linie şi fiecare coloană constantă? (Caz particular când

matricea este pătratică.)

* (S)

(30) Fie {Xn }~, o secvenţă s-aditivă.

Este posibil ca (S) (S) (S) (s)

17 (x" ) = xm '. n .. m? Dar x,,(n) = 17(X" )?

(31) Verifică ~ o condiţie Lipschitz?

(32) Verifică ~ o condiţie k-Lipschitz?

(33) Este ~ o funcţie contractantă?

40

(34) Se poate construi o A-secvenţă; a" •.. , an

astfel încât ~(a,), ... , ~(an) să fie de asemenea o A-secvenţă?

Da, de exemplu 2, 3, 7, 31, •••• Să se determine o altă A-secvenţă

infinită. '* Să se determine cel mai mare n astfel încât: dacă a" •.. , an

constituie o p-secvenţă, atunci şi 17 (a,) , ... , 17 (an) să

constituie o p-secvenţă; unde p-secvenţă înseamnă:

(35) progresie aritmetică.

(36) Progresie geometrică.

(37) Un sistem complet de reziduri modulo n.

Observaţie: fie p un număr prim, şi p, p2, ••• , p~

o progresie geometrică, atunci 17(pi) - ip, i ! {l, 2, ... ,

p}, constituie o progresie aritmetică de lungime p. în

acest caz n - =. (38) Fie secvenţa an - 11 (n), n ~ 1. Există

o relaţie de recurenţă de forma an = f (an_" a n- Z ' ••• ) pentru

orice n?

(39) Există grupuri de numere consecutive compuse

m + 1, ... , m + n astfel încât şi 17(m + 1), •.• , 11(m + n)

să fie numere compuse? Să se găsească cel mai mare n.

(40) Să se găsească numărul de partiţii ale lui n ca

sumă de ~ (::t), 2 < m ~ n_

ALTE PROBLEME GENERALE DESCHISE REFERITOARE LA FUNCŢIA 11

41

& 1.2.6. Probleme nerezolvate referitoare la funcţia ~ în relaţii cu secvenţe numerice

41-2065) Exist~ numere întregi nenule şi neprime a"

a z, ... , a~ în relaţia P, astfel încât ~(a,), ~(az)' ... ,

~(a~) s~ fie în relaţia R? s~ se g~seasc~ cel mai mare n cu aceast~

proprietate. (Desigur, toţi a sunt distincţi.) Unde P şi R pot fi i

reprezentate de oricare din urm~toarele secvenţe de numere:

el) Numere abundente; a ( N este abundent dac~ a (a) > 2 a.

(2) Numere aproape perfecte; a ( N, a(a) = 2a - 1.

(3) Numere amicale; în acest caz lu~m n = 2; a, b sunt

numite amicale dac~ a .. b şi a (a) - a (b) =- a + b.

(4) Numere amicale m~rite; în acest caz n = 2; a,

b sunt numite amicale m~rite dac~ a(a) = a(b) = a + b - 1

(Walter E. Beck şi Rudolph M. Najar).

(5) Numere BeII: n

b~ - 1: S (n, k) I unde S (n, k) sunt k=l

numere Stirling de ordinul doi.

(6) Numere Bernoulli (Jacques I): Bnl coeficienţii dezvolt~rii

urm~toarei serii infinite:

t t B, - 1 - - + -t2 t 2n ... • •• I

2 2! 4! (2n) !

pentru O < Iti < 2 ~; (aici consider~m L 1/ BJ ) .

42

(i) Numere Catalan: 1 2n-2\

= n-l; pentru ·n

n ~ 2.

(8) Numere Carmichael: un număr compus impar a, care este

pseudoprim in baza b pentru orice b relativ prim cu a, se numeşte

număr Carmichael

(9) Numere congruente: fie n = 3, şi numerele a,b, Ci

trebuie să avem a. b (mod c).

(10) Numere CUllen: Cn = n • 2n + 1, n ~ O.

(11) C -secvenţă de intregi; autorul introduce o secvenţă 1

astfel incât:

('i) i ~ N*, (=) j, k ~ N*, j .. i .. k .. j, : ai" a (mod aJ.

(12) C -secvenţă de intregi; autorul introduce o secvenţă 2

a" az, .•. astfel incât:

("i) i ~ N*, (=) j, k ~ N*, i .. j .. k .. i, : a j • a

k (!nod ai) •

(13) Numere deficiente: a ~ N*, a(a) < 2a.

(14) Numere Euler: coeficienţii E in dezvoltarea

seriei: sec x - 1: En x"/nl: n~O

n aici luăm

(15) Numere Fermat: Fn -2 2 n + 1, n ~ O.

(16) Numere Fibonacci: !, =- !z -1, f = f n., .-

n

n > J.

Numere Genocchi: 2n

(17) G =- 2 (2 - 1) Bn' unde n

numere Bernoulli; intotdeauna Gn ~ z.

43

~

"'n-2 '

Bn sunt

(18) Medie harmonică; în acest caz orice termen al secvenţei

este medie harmonică a termenilor precedenţi.

(19) Numere harmonice: un num!r n se numeşte harmonic dacă medic

harmonică a tuturor divizorilor săi este un intreg (C.

Pomerance) .

(20) Numere heteromeice: h n - n (n + 1) I n € N"'.

a -

(21) Numere k-hiperperfecte: a este k-hiperperfect dacă

1 + ~ d., unde insumarea se face după toţi divizorii I

proprii, 1 < d j < a, orik a(a) - (k + 1) a + k - 1 (Daniel

Minoli şi Robert Bear).

(22) Numere Kurepa:

+ (n - 1)!

(23) Numere Lucas:

n ~ 3.

!n = O! + l! + 2! + ••• +

T "'n-Z'

(24) Numere norocoase: din mulţimea numerelor naturale se elimină

cele pare, lăsând pe cele impare: in afară de 1, pr1mul rămas este

3: acum se elimină fiecare al treilea număr din noua secvenţă;

următorul număr rămas este 7: din nou se elimină de data aceasta

fiecare al şaptelea număr din secvenţa rezultată; următorul rămas

este 9; etc. (v. Gardiner, R. Lazarus, N. Metropolis, S.

trIam) .

(25) Numere Mersenne:

(26) Numere m-perfecte; a este m-perfect dacăam(a) = 2a

(o. Bode).

(27) Numere perfecte k-îndoite: a este perfect k-îndoit dacă

a(a) = k a.

44

(28) Numere perfecte; a este perfect dacă a(a) = 2a.

(29) Numere poligonale (reprezentate pe perimetrul unui

POligon): It

Pn - k (n - l).

(30) Numere poligonale (reprezentate pe suprafaţa unui

It (k-2) (k-4) n poligon):

Pn - ----------------------2

(31) Numere abundente primitive; a este abundent primitiv

dacă este abundent, şi nici unul dintre divizori săi proprii

nu este abundent.

(32) Numere pseudoperfecte primitive; a este pseudoperfect

primitiv dacă este pseudoperfect, şi nici unul dintre divizorii

săi proprii nu este pseudoperfect.

(33) Numere pseudoperfecte; a este pseudoperfect dacă este

egal cu suma unora dintre divizori săi proprii (W.

Sierpinski).

(34) Numere pseudoprime in baza b; a este pseudoprim in

baza b dacă a este un număr compus impar pentru care b·-' • 1

(~od a) (C. Pomerance, 3. L. Selfridge, S. Wagstaff).

(35) Numere piramidale:

n f N*.

1 1l" n = - n (n + l) (n + 2),

6

(36) Numere pitagoreice; fie n = 3 şi a, b, c întregii

atunci avem relaţia: a 2 = b 2 + c 2 •

45

(37) Reziduri p~tratice modulo p: numerele

nenule r pentru care congruenţa r ~ x2 (~od p)

are soluţii.

(38) Numere cvasi-perfecte: a este cvasi-perfetc dac~

a(a) = 2 a + 1.

(39) Numere amicale reduse: consider~m n = 2: doi

intregi a, b pentru care a (a) - a (b) a a + b + 1 sunt numiţi

numere amicale reduse (Wal ter E. Beck si Rudolph M. ,

Naj ar) •

(40) Numere stirling de ordinul intâi: s(O, O) - 1, şi

s(n, k) este coeficientul lui xk din dezvoltarea

x (x - 1) ••• (x - n + 1).

(41) Numere stirling de ordinul doi: S(O, O) = 1,

şi S(n, k) este coeficientul polinomului

X(Ic) = X (x - l) (x - k + l), 1 ~ k ~ n, din

dezvoltarea (care se scrie in mod unic):

n ~ S (n k) x ek) • 4. ,

k=l

(42) Numere super-perfecte; a este super-perfetc dac~

a 2 (a) ~ 2 a (O. Suryanarayana).

(43) Numere de neatins: a este de neatins dac~ sex) = 1 nu are

soluţii (Jack Alanen).

(44) U-numere: pornind de la numerele arbitrare u şi u 1 2

continu~m cu acele numere care se pot exprim~ numai într-un fel

46

ca suma a doi termeni distincţi anteriori ai secvenţei (S. M.

Ulam) •

(45) Numere sinistre; a este numit sinistru dacă este abundent

dar nu pseudoperfect (S. J. Benkovski).

ALTE SECVENŢE NUMERICE

*

Problema nerezolvată Nr. 41 se obţine luând P = (1) şi R = (1).

Problema nerezolvată Nr. 42 se obţine luând P = (1) şi R = (2).

Problema nerezolvată Nr. 2065 se obţine luând P = (45) şi R =

(45) •

ALTE PROBLEME NEREZOLVATE REFERITOARE LA FUNCŢIA ~ ÎN RELAŢII CU

SECVENŢE NUMERICE

* & 1.2.7. Ecuaţii diofantice nerezolvate referitoare la

funcţia ~

2066) Fie O < k ~ 1 un număr raţional. Ecuaţia diofantică

~(n)/n - k are intotdeauna soluţii? Să se afle toate valorile

lui k pentru care această ecuaţie are un număr infinit de

soluţii. (De exemplu, dacă k = l/r, r f N*, atunci n =

h = 1, 2, ... , cu toţi p~~ primi, şi a este un index ales astfel

încât P > r ) a.' .

47

2 O 6 i) Fie {a } ,., n!O

o secvenţă, ao = 1., a, = 2, şi

Există o infinitate de cupluri (m, n),

::: • n, pentru care am = an? (De exemplu

2068) Conjectură: ecuaţia

soluţie.

*

~(x) = ~(x - 1) nu are nici o

Fie m, n numere întregi fixe. Să se rezolve ecuaţiile diofantice

următoare:

2069) ~(m x + n) - x.

2070) ~(m x + n) = m + n x.

2071) ~ (m x + n) = xi

2072) ~ (X''lI) = x!'.

207:3) 17(X)1II - 17 (x!') •

20.74) 17 (m x + n) - 17 (x) Y.

2075) 17 (x) + Y = x + 17 (y) , x şi y nu sunt prime.

2076) 17 (x) + ~ (y) - 17(X + y), x şi y nu prime

gemene. (În mod general ~ nu este aditivă.)

2077) 17(X + y) - 17(X). 17(Y). (în mod general ~ nu este

exponenţială.)

2078) 17(XY) - 17(X)17(Y)· (în mod general ~ nu este'

mUltiplicativă.)

2079) 17(m x + n) - xY•

2080) ~(x) Y = x ~(y), x şi y nu sunt prime.

2081) ~(x)/y - X/17(Y), x şi y nu sunt prime.

(În caz particular când y = 2k , k f N, i.e., ~(X)/2k este un număr

raţional diadic.)

48

; 2062) 17 (X) = X'(Y) I X şi y nu sunt prime.

2083) 17 (x)"(Y) = 17 (xY) •

2084) 11 (xY ) - 11 (z·) = 1, cu Y ti 1 ti w. (Asupra problemei

lui catalan.)

2085) 17 (xY) - m, y ~ 2.

2086) T7(~) - yY. (O soluţie trivială: x-y=2.)

2087) 17 (xY) -~. (O soluţie trivială: x=y=2.)

2088) T7(X) - y! (Un exemplu:

2089) 11{m x) =- m 11(X) , m ~ 2.

x - 9, Y - J.)

2090) m"(X) + 11{X)" _ m".

2091) 11(x2)/m • T7(yZ)/n - 1.

y, 2092) 17 (x, +

y,. + x,. ) -

y, 11 (x,) + ••• ~ 17 (X,.)

2 09 J) 11 ( x,! + + X,.!) =- 11 (X,)! + ••• + 11 (X,.) !

y,.

2094) (x, y) - (11{X), 11(Y», x şi y nu sunt prime.

2095) (x, y] - [11(X), 11(Y)], x şi y nu sunţ prime.

------------------------------~---------------------------

ALTE ECUAŢII DIOFANTICE NEREZOLVATE REFERITOARE NUMAI

LA FUNCŢIA "

* & 1.2.8. Ecuaţii diofantice nerezolvate referitoare la funcţia"

in corelaţie cu alte funcţii

Fie m, n numere intregi fixate. Să se rezolve următoarele

ecuaţii diofantice:

2096-2102) 11(X) - d(m X + n)

11(X)· - d(x")

11(X) + y = X + d(y)

49

17(X) • Y = x • d(y)

17(X)/y = d(y)/x

Ti ( x) Y = x::( y)

2103-2221) Aceleaşi ecuaţii de mai înainte, dar substituim

funcţia d(x) respectiv cudx' p(x), s(x), slt(X), 5*(X), rk(x),

1T(X) , 1T(X: %:1, n), alt(x), ak(x), a*(x}, ,(x), cplt(x) , i(x},

n(x), ~(x) re5pectively.

2222) f7(s(x, y» = 5(17(X), f7(Y»·

2223) f7(S(x, y» - S(f7(x), f7(Y»·

2224) f7(lxJ) =lr(x)J.

?225) f7(lX - yJ) - l~(X, y)J.

2226) ~(f7(lxJ), y) - ~(x, f7(lyJ»·

2227) f7(lP(X, y)J) - lP(f7(lxJ), f7<lyJ»J·

2228) ,u.(f7(x» - ,u.(cp (x» •

2229) f7 (x) - l8(x)J.

2230) f7 (x) - l.(X)J. n

x(x - 1) (x - n + 1). 2231) f7 (m x + n) - Ax = ... 2232) 17 (m x + n)

In

- Ax·

= ( ~ ) x!

2233) 17(mx+n) -n! (x-n) !

2234) 17 (.::1 X + n) -( ~ ) 2235) 17 (m x + n) ., px -al x-lea prim.

2236) f7 (m x + n) - ll/BJ •

2237) 17 (m x + n) = GA •

50

2238) 17(::4 X .. n)

2239) 17(= X + n) '!I = k x •

2240) 17(m x + n) = 5(:1, X) •

224l) 17(m X + n) - sex, n) •

2242) 17(m X + n) = S(:1, x) •

2243) 17(m X + n) - Sex, n) .

2244) 17(m X + n) - 7f l'.

2245) 17 (m X + n) .- b l' •

2246) 17(m X + n) - I El' I 2247) 17(m X + n) - ! X

2248) 17 (x) • 17(Y) (mod m) •

2249) 17(XY) • X (mod y) •

2250) 17 (x) (x + m) + 17(Y) (y + m) - 17(%) (% + m) •

2251) 17 (m X + n) - fx·

2252) 17(m X + n) - Fx·

2253) 17 (m X + n) - Mx •

2254) 17 (m X + n) - c x •

2255) 17 (m X + n) - Cx·

2256) 17 (m X + n) -h x •

2257) 17 (m X + n) - Lx· Alte ecuaţii diofantice nerezolvate referitoare la funcţia 17 în

corelaţie cu alte funcţii.

*

51

& 1.2.9. Ecuaţii diofantice nerezolvate referitoare la funcţia ry

compusă cu alte funcţii

2258) ry (d (x)) = d(ry(x)), x nu este prim.

2259-2275) Ecuaţia de mai înainte, dar in care substituim

funcţia d(x) respectiv cu dA' p(x), ••• , w(x),

Alte ecuaţii diofantice nerezolvate referitoare la funcţia ry

compusă cu alte funcţii. (De exemplu:

ry(1T(4(X») - qI(ry(1T(X»), etc.)

*

& 1.2.10. Inecuaţii diofantice nerezolvate referitoare la

funcţia fJ

Fie m, n numere întregi fixate. Să se rezolve următoarele

inecuaţii diofantice:

2276) ry(x) 2. 17(Y).

2277) Inegalitatea o < (x/ry(X)} < {fJ(X)/X} are loc pentru

o infinitate de valori ale lui x? unde {a} reprezintă partea

fracţională a lui a.

2278) 17 (m x + n) < d(x) •

2279-2300) Aceleaşi inecuaţii de mai inainte (or similare), dar

substituim funcţia d(x) respectiv cu dXI p(x), •.. , w(x),

r(x), ţ3(x, x), J.L(x), e(x), !(x).

Alte inecuaţii diofantice nerezolvate referitoare la funcţia fJ

în corelaţie (or compoziţie) cu alte funcţii. (De exemplu:

e (17 (LxJ» < 17 (Le (X)J), etc.)

*

52

& 1.2.11. Funcţii aritmetice construite cu ajutorul

funcţiei fl

I.

PROBLEME NEREZOLVATE REFERITOARE LA ACESTE

FUNCŢII NOI

Funcţiile S" : N* - N, S,,(x) - I: 17(n). O<ns.x

2::30l) I: S" (X)" este o serie convergentă? x2,2

2302) S~ se g~seasc~ cel mai mic k pentru care

(S ••••• 5,,) (t:t) 2. n, unde m, n sunt numere intregi fixate. . " ,

k times

2303-4602) Să se studieze S. Aceleaşi întrebări (ori I

" similare) pentru S" ca pentru fl.

II. 1

Funcţia N* - Q, C,,(X) - (17(l) + 17(2) + x

+ ••• + 17 (x) ) (suma Cesaro referitoare la funcţia

460::3) I: C" (X)" este o serie convergentă? x2,l

4604) S~ se g~seasc~ cel mai mic k pentru care

~c"c ... CC",> (m) 2. n, unde m, n sunt numere intregi fixate.

k ori

4605-6904) Să se studieze C", Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru C" ca pentru fl.

53

~-..;...

k~ Funcţia -, N* - N, _~ (x) = ~. 17(i.) (x), unde

17 n 1 = 17 şi 17(kl = 170 ••• 017

k=l

de k ori, şi k este cel O

. t ..,:k.1l (x) _ ..,(k) (x). mai mlC întreg k pen ru care '1 '1

6905) !: EI) (X)" este o serie convergentă? x~2

6906) Să se afle cel mai mic x pentru care EI) (x) > m,

unde m este un întreg fixat.

6907-9206) Să se studieze EI)' Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru SI) ca pentru n·

IV. Funcţia

9207)

FI) : N\ { O, l}:- N , FI) (x) - !: T'/~ (X). O<p~x

p p=im

!: :1) (X)·' este o serie convergentă? x~2

9208-11507) Să se studieze F. Aceleaşi întrebări (ori 1)

similare) pentru F" ca pentru n.

v.

( ,... o -~

Funcţia

~(n) = { o,

1,

x N* - N, al) (x) = !:

n=l

dacă n(n) este par:

dacă n(n) este impar.

~ (n) , unde

11S08} Fie n ! N*. Să se găsească cel mai mic k pentru care

oa,,) (n) = o.

k ori

11509-13808) Să se studieze al)' Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru a ca pentru n. "

54

~.-

" - o

FUncţia

fixaţi, şi

13809)

m" : N* - N, ~" (j) - a j , 1 ~ j < r., întregi

In .. (n + 1) = ~in. ! 17(a .... a .)1 e-:.=. ., lIn' ,

t =" (x) -, este o serie convergentă? x~l

13810-16109) Să se studieze m~. Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru m" ca pentru ~.

VII. Funcţia M" : N* - N o O secvenţă pozitivă finită

întreagă a" ••• , an dată este extinsă in mod succesiv

prin:

M" (1) =

16110)

a. , J

1 ~ j ~ n. -1

jl" ( x) este o serie convergentă?

16111-18410) Să se studieze M". Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru " ca pentru ~. "'"

VIII. Funcţia N\{l} - N, ., ,

17tllin

(x) - min {17- (x)},

unde 17-' (x) - {a f N I 17 (a) - x}. De exemplu

17 0

' (6) _ {24 , 24 • 3, 24 • 3 2 , 3 2 , 32 • 2, :)2 • 2 2,

., 32 • 23 }, de unde 17.in (6) - 9.

18411) Să se găsească cel mai mic k pentru care

( ., ..... ry_:!I_in_O ____ O_ry..,:·I!I::.:.;' i.:.:.~) (m) >= n, unde m, n sunt intregi fixa"ţi

k ori . , 18412-20711) Să se studieze 17.i " o Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru ry" ca pentru 77. 1111"

55

:x. Funcţia . ,

T7 car::

·1 N - N, T7 car:: (x) = Ca==- {Tfl (x)} I

unde Card înseamnă numărul de elemente al mulţimii A.


. , ., T7 carc O ••• O , T7 care. )

( ::) > n, unde m, n sunt intregi fixaţi.

k ori

20713-23012) Să se studieze T7::rd

• Aceleaşi întrebări (ori .,

similare) pentru T7Card

ca pentru TI.

x. Funcţia

F . (It·') ~e d

!!

unde (1)

d"

d!!: N* - N, d!! (x) =- 1T7(X + 1) - T7(x)l.

(x) - Id!!(It) (x + 1) - d!!(It) (x) I, pentru toţi k ! N*,

(x) - d!! (x).

(k> • k 23013) Conjectură: d!! (1) - 1 orI O, pentru toţi ~ 2.

(Aceasta ne aminteşte de conjectura lui Gillreath asupra

numerelor prime.) De exemplu:

56

17 ( 1) = O 2

1 (2) = 2 1 1 1

17(3) = 3 O 1 1 O O

17 ( 4 ) = . O 1 1 .. 1 1 1 O

17 ( 5 ) = 5 1 O 1 O 2 1 O O 1

17 ( 6 ) =- 3 2 O 1 1 O 4 1 1 1 1 1

17(7) = 7 1 1 O 2 1 O 3 O 1 3 2 1 1

17(8) = 4 1 O 3 O O 1 O 2 O 4 3 2 O 1 1

17(9) = 6 1 4 O 2 O O 1 1 1 4 4 1 2 O 2 O 1

17(10)" 5 5 O 1 O O 2 1 O 1 6 4 3 1 2 2 1 O O O

17(11)=11 1 3 O 2 2 1 1 O 1 7 1 3 3 O 1 O O 1

17(12)= 4 2 O 3 2 1 1 1 1 9 1 O 1 1 O 1 1

17(13)=13 3 O 2 1 1 O O 6 1 2 O O O 1

17(14)=- 7 4 2 2 1 1 1 2 3 4 1 1 1

17(15)" 5 1 6 1 O O 1 9 5 1 1

17(16)" 6 10 1 2 1 11 10 7 2

17(17)=17 O 8 O 11 2 7

17(18)= 6 2 1 13 1

17(19)=19 1 14

17(20)- 5

23014-25313) Sii se studieze d:k

) • Aceleaşi întrebiiri (ori (k)

similare) pentru d" ca pentru 71.

XI. Funcţia (0)" : N* - N, (0)" (x) este numărul de m-uri,

cu O < m < x, astfel încât 1"/ (m) divide x. Deci (0)11 (xl ~

~ (o) (x) , iar egalitate avem dac! x = 1 sau x este prim.

57

(,w~ o ••• ew'l.~ (X) = O, unde x este un întreg fixat.

k ori

25315-27614) Să se studieze Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru w~ ca pentru ry.

x::. Funcţia M~ : N* - N, M~ (x) este numarul de m-uri,

cu O < m ~ ~, astfel încât ~(m) este multiplu de m. De

exemplu M~ (3) = Ca=d {l, 3, 6, 9, 12, 2i} = 6. Dacă p

este prim, M" (p) - Ca=d {l, a 2 , ••• , ar}' atunci toţi ai'

2 ~ i ~ r, sunt multipli de p.

27615) Fie m, n numere întregi. Să se găsească cel mai mic k

pentru care (M" o oM,,) (m) .a !'l. ' .... _------,

k ori

27616-29915) Să se studieze M". Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru M" ca pentru ry.

X:II. Funcţia a : N* - N " ' a" (x) - !: ~(d).

dlx d>O

De exemplu a~(18) = ~(l) + ~(2) + ~(3) + ~(6) + 1'](9)+

+ 1'](18) - 20, a~(9) = 9.

29916) Există o infinitate de numere neprime n astfel încât

~,,(n) .. n ?

29917-32216) Să se studieze a~. Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru c~ ca pentru ry.

58

X"'~r _ v • Funcţia ':r : N - N, 7r (x) este numărul de n-uri , " cu proprietatea că ry(~) ~ x.Dacă P, < P2 < ••• < Pk ~ n <

<: P\:., este şirul numerelor prime, pentru ~ = al a j -:

= 1, 2, ... , k avem că Pj divide pe n! dar Pj nu divide

pe n!, atunci:

11'" (n) .. (a, + 1) ••• (al.: + 1).

32217-34516) Să se studieze 11'~ • Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru 1f' ~ ca pentru 77.

xv . Funcţia ~~ : N* - N, ~~ (x) este numarul de m-uri,

cu O < m < x, având proprietatea că (17 (m), x) = l.

34517) Este întotdeauna adevărată inegalitatea~" (X) < ~ (X)~

34518) Să se găsească x astfel încât ,~ (X) ~ ,(x).


(~" o o IP,,) (x) = 1, unde x este un întreg fixat. .... ' -------"

k ori

34520-36819) Să se studieze ~~. Aceleaşi întrebări (ori

similare) pentru CP" ca pentru ,.,.

------------------------------------------------------------Alte probleme nerezolvate referitoare la aceste 15 funcţii.

------------------------------------------------------------

Alte funcţii în teoria numerelor construite cu ajutorul funcţiei

77, şi noi probleme nerezolvate corelate cu ele.

------------------------------------------------------------

59

36020 -:. Putem continua aceste secvenţe recursive şi

probleme deschise implicându-Ie la infinit. Astfel

construim o infinitate de noi funcţii: folosind funcţiile s~, C~, ... , ~~ construim funcţiile

... , :'n 1 (prin diverse combinaţii intre S", C", ... , ~,,; ( i ) de exemplu: (x) - ~ S" pentru X! N*,

O<n~x ( i )

S" : N * - N : pentru i = O, 1 , 2, ..., (O) unde S" = S". Sau:

1 . X

SC" (x) = ~ S" (n), se" : N* - Q, SC" fiind o combinaţie x n=l

intre s" şi C,,; etc.); in mod analog cu ajutorul funcţiilor f 11' : 1, ' f construim funcţiile

1n 1

.. . , f 2n , Metoda de obţinere a unor noi funcţii etc.

continuă la infinit. Pentru fiecare funcţie avem cel puţin 2300 probleme nerezolvate, iar numărul acestor funcţiilor este infinit. Metoda se poate reprezenta in următorul fel:

produce TJ S" I C", ~ ~ oF ... ,

!P" "", ·'2' ... , "1n 1

f, 1 I f 1, I f 1n oF ~ f 2n · .. , ",1 I "22' ... , 1 ,

oF oF ~ ~ ~ ~ -21 ' -" '

· .. , -':"1, ""31 I ".3,' ... , ""3n 3

------------------------------------------------· .. , ~

••• , -1·1:"\. . ,-, ------------------------------------------------

*

60

Alte metode recurente de obţinere a noi probleme deschise.

& 1.2.12. Concluzie:

în această lucrare autorul vrea să demonstreze că se pot

construi o infinitate de probleme deschise, in special in

teoria numerelor: se combină şi transformă numerele până se

obţin relaţii interesante. Unele probleme deschise s-ar putea să

afecteze dezvoltări ulterioare in ştiinţă.

Lumea este in criză generală. Oare problemele nerezolvate

constituie o criză matematică sau, dimpotrivă, absenţa lor ar

duce la o stagnare intelectuală? Omenirea va avea intotdeauna

probleme de rezolvat, chiar nevoită fiind să rezolve din nou

(pe alte căi, şi privind din alt unghi soluţiile) probleme

deja rezolvate!

De exemplu, această lucrare arată că oamenii vor fi din ce in ce

mai mult copleşiţi de probleme fără răspuns. [E mai usor să I

intrebi, decât să răspunzi.]

Aici sunt expuse probleme (ne)rezolvate care s-ajungă pentru

totdeauna!! Să presupunem că s-a rezolvat o infinitate de

probleme, tot va mai rămâne o altă infinitate. Nu le

descondideraţi ca fiind triviale ori neimportante, ele sunt

foarte substanţiale.

61

Referinţe (cărţi şi articole care l-au inspirat pe autor):

Par:"s, 1906.

Blanc~ard, A., ln:"~:"a~ion a la ~heorie analy~:"~~e des

no~res pre~iers, Dunod, Paris, 1969.

Borevi~::h, Z. l. and Shafarevi::h, l. R., Nu=.ber Thecry,

Academic Press, New York, 1966.

Bouvier, Alain et George Michel (sous la direc~ion de

Fran90is Le Lionnais), Di::~ionnaire des Ma~he~a~:"~ues,

Presses Universitaires de France, Paris, 1979.

Ca~ichael, R. O., Theory of Nu:bers, Mathe~atical

Monographs, No. 13, New York, Wiley, 1914.

Chandrasekharan, K., lntroduc~ion to Anal~ic Nu:ber T~e=ry,

Springer-Verlag, 1968.

Davenport, H., Higher Arithmetic, London, Hutchinson, 1952.

Dickscn, L. E., lntroduction to the Theory of Numbers,

chicago Univ. Press, 1929.

Es~e~ann, T., lntroduction te Mcdern Prime Nu=.ber T~e=ry,

Car~r:"dge Trac~s in Mathe:atics, Ne. 41, 1952.

Erdos, P., Preblems and Results in Combinatorial Nu==er

T~ecri, Bcrdeaux, 1974.

Fourrey, E., Recrea~ions Ar:"~hme~igues, Troisieme Ed:"~ie~,

Vuibert et Nony, Paris, 1904.

ttGa::u~a" .Jour:lal, Unsolved Preblems Corner, Brasov, 1985.

62

Nor~~-F.olland ?ublishi~g Co=.pany, 1964.

Gross~ald, ~=il and Hagis, Peter, Arit~~etic Progressions

Consisting Only of Pri~es, Math. Cc=put. 33, l343-1352,

1979.

Guy, Ric~ard K., U~solved Problems in Nu:ber Theo~,

Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1981.

Halberstam, H. and Roth, K. F., Sequences, Oxford U.P.,

1966.

Hardy, G. H. and Wright, E. M., An Intreducticn te the

Thec~ of Nu~ers, Clarendcn Press, Oxford, Fifth

Editicn, 1984.

Hasse, H., Nu:ber Theory, Akademie-Verlag, Berlin, 1977.

Landau, Edmund, Elementary Number Theory, with Exercises by

Paul T. Bateman and Eugene E. Kohlbecker, Chelsea, New

York, 1958.

Mordell, L. J., Diophantine Equations, Academic Press,

London, 1969.

Nagell, T., Introduction to Number Theory, New York, Wiley,

1951.

Niven, I., Irraticnal Nu=bers, Ca~~s Math. Monographs, Ne.

11, Math. Assoc. of ~erica, 1956.

Math., Oxford Univ. Press, New York, 1962.

63

Shanks, Daniel~ Sclved and Unsolved Proble=s in ~~=~e=

T~ecry, Spar~an, Washing~on, D. C., 1962.

Sierpinski, W., On 50me Unsolved P~oble=s of Ari~~=e~ics,

Scripta Mat~ematica, Vol. 25, 1960.

Smarandache, Florentin, A Func~ion in the Nu~e= Thecry *,

in Analele Univ. Timisoara, Vol. XVII!, Fasc. 1, pp.

79-88, 1980; M. R. 8Jc: 10008.

Soarandache, F1orentin, Problemes Avec et Sans ...

Probleoes!, Socipress, Fes, Morocco, 1983; M.R. 8~k:

00003.

Ulam, S., A Collection of Mathematical Problecs,

Interscience, New York, 1960.

Vinogradov, !. M., An Introduc~ion to the Theory of N~~e=s,

Translated by Helen Popova, pergamon Press, London and

New York, 1955.

[Prezentat la Cea de-a 14-a Convenţie Anuală a Academiei Româno

Americane, care s-a desfăşurat la University of Southern

California, Les Angeles, SUA, intre 20-22 Aprilie 1989.

Un abstract al acestui articol a fost publicat de Prof.

64

Or. Constantin Corduneanu, Oepartment of Mathematics, University

of Texas, Arlington, în "Libertas Mathematica", tomus IX, p. 175,

The Grid, Arlington, Texas.

Alt abstract a fost publicat in Proceedings of the International

Congress of Mathematicians, Berkeley, California, 1986.]

65

1.3. Rezolvând probleme cu ajutorul acestei funcţii

Fie n ~ 1, h ~ 1, şi a ~ 2 numere întregi. Pentru ce

valori ale lui a şi n, expresia (n+h)! este multiplu de a" ?

(O Generalizare a Problemei nr. 1270, Mathematics

~agazine, VoI. 60, No. 3, June 1987, p. 179, propusă de

Roger B. Eggleton, The University of Newcastle, Australia.)

Soluţie:

(Pentru h = 1 se obţine Problema 1270.)

& 1.3.1. Introducere

Am construit o funcţie ~ (vezi [1]) având următoarele

proprietăţi:

(a) Pentru fiecare intreg nenul n, ~(n)! este multiplu

de n;

(b) ~(n) este cel mai mic număr natural cu proprietatea (a).

Este uşor de demonstrat că:

Lema 1.3.1. (~) k, P e N*, P.· 1, k se scrie in

mod unic sub forma:

66

(P) k = t. a ~

, n 1

unde (:=) ni

/ i 1, t, an. = (p - 1) (p - 1) , = 2, ... ,

1

n, > n2 > > nt

> O şi 1 < t. O, 11 p

N*, astfel:

= pn, şi

Desigur:

Lema 1.3.2.

(a) ('7) k f N*, 11:= (k) ! =- r,1 pl.

(b) 11:= (k)este cel mai mic număr cu proprietatea

Ca). Acum construim altă funcţie:

11 Z\{O} - N definită cupă cum urmează:

67

, -,

2,

N* -

T7(= 1) = O,

P; .. Pj pentru i .. j I toţi ai f N* I TI (n) _

= max { T7 ~ ( al) } • l~i~s

Nu e dificil s! demonstr!m c! ry are propriet!ţile cerute

în & 1.3.1.

& 1.3.2. Fie a,

a - P, cu toţi a; f N* şi toţi

P; prime distincte. Din teorema anterioar! rezult! c!:

T7(a) - max l~i~s

Deci 17(a) -17 (plI) I

;:f.e ştie c!:

n, n t ( 0:, P +. •• + tt p )

PUnem:

( n~i (al) } - 17 ~

17 (plI)

t .. Mp ,

n t

- Mpll.

Il, P -1

• p-1

n, t, P + ••• + tt p - n + h

68

(a) (prin notaţie).

p-1

şi t. I

De unde

1

a

sau

n~ p -1

p-1

n, p -1

p-1 + •••

p-l

= a n.

n, ~ t, P

(1) a (p - 1) h ~ (a p - a-l) n,

[t, P

n, n t tn aceasta condiţie, luam. no - t, P .;- .•. .;- tt p - h

{ no' ne > o; (vezi Lema 1.3.1), deci n =- 1, ne ~ O •

Considerând ca a - 2 este dat, avem un numar finit de n-uri.

Exista un numar infinit de n-uri daca şi numai daca a p - a-l = ,. O, sau a = 1 şi P - 2, sau a - 2.

& 1.3.3. Caz particular

Daca h = 1 şi a • 2, deoarece

69

r-~ n t r- t ':,? +. .. ... ~t P > P > 1

şi rezultă din (1) că:

(1') (a p - a) > (a p - a-l) • 1 • 1 = a p - a,

care-i imposibil. Dacă h = 1 şi a = 1 atunci a = 1,

sau

( 1" ) 1 > t, • ... + te. '

'O = 2 . ,

... • ·t

deci n,

t = 1, t, = 1 de unde n = t:, P + ••• ~ te.? - h =

n, = 2 - 1, n, f N* (soluţia Problemei 1270).

Exemplul 1.3.1. Fie h = 16 şi a = 34 • 52 • Să se găsească n

astfel încât

(n + 16) = M 2025".

Soluţie

TI (2025) = max (TI) (4), Tl s (2)} = ::ax {9, lO} = 10 =

= Tl s (2) = TI (5 2). De unde a = 2, ? = 5. Din (1) rezultă:

ne. n, 128 > i [t,5 ~ ••• + te. 5 J + t, + ."" + -""t"

Deoarece 5- > 128 şi n, ne.

i (t~ 5 +. .. ~ te. 5 ) < 128 rezultă că

" = , ~ -,

70

n, 12 a > 7 t~ 5 + t, ,

de unde n 1 ~ 1, sau n, - 1, şi t, - 1, :2, :3. Atunci n:: =

= t, 5 - 16 < O, deci luăm n = 1.

Exemplul 1.3.2.

(n + 7) ! = tA Jn când n s 1, 2, J, 4, 5.

(n + 7) ! la M 51"1 când n := 1.

(n + 7) ! = M 7 n când n -1.

Dar (n + 7) ! ; ~1 pl"l, pentru p prim > 7, ('7) n f N*.

(n + 7) ! a M 2n când

n, nt no = t, 2 + ... + tt 2 - 7,

t, , . . . , tt·, -1,

1 ~ tt ~ 2, t, + ... + tt ~ 7

şi no > o;

et=.

Exerciţii pentru cititori:

Dacă n f N*, a f N*\{l}, să se găsească valorile lui a şi n

astfel încât:

(n + 7)! să fie multiplu de alt.

71

câteva probleme deschise (vezi [2])

Să se rezolve/studieze următoarele ecuaţii diofantice:

(1) ry (x) • ry (y) :a ry (x -+- y) •

(2) ry (x) =- y! (O soluţie: X :a 9, y - 3).

(3) Conjectură: ecuaţia ry (x) - ry (x + 1)

are nici o soluţie.

Referinţe:

nu

[1] Flcrentin SI:larandache, "A Function in t..~e Nw:ber Theory,"

Analele Univ. Timisoara, Fase. 1, Vol. XVIII, pp. 79-68,

1980, MR: 83e: 10006.

[2] Idem, Un Infinity of Unsolved PrcbleI:ls Concer~i~g a

Funetion in Nw::.ber Theory, International. Congress of

M~thematieians, Univ. of Berkeley, CA, August 3-11, 1986.

[Un comentariu dspre această generalizare a fost publicat în

"Mathematies Magazine", Vol. 61, No. 3, June 1988, p. 202:

"Smarandache a considerat problema generală de găsire a unor

întregi pozitivi n, a, şi k, astfel încât (n + k)! să fie

multiplu de an. De asemenea, pentru întregi pozitivi p şi k,

cu p prim, el a găsit o formulă de calculare a celui mai mic

întreg f (k) cu proprietatea că (f (k) )! este multiplu de plt." 1

72

1.4. Câteva ecuaţii liniare implicând această funcţie

Am construit o funcţie ~ care asociază fiecărui întreg nenul m

cel mai mic număr pozitiv n astfel încât n! este multiplu de m.

(a) Să se rezolve ecuaţia (x) - n, unde n f N.

*(b) Să se rezolve ecuaţia (mx) - x, unde m f Z.

Discuţie.

(e) Fie ~CI) = ry o ry o ••• o ry de i ori. Să se arate

că există un k pentru care

**Să se găsească nil şi cel mai mic k cu această proprietate.

Soluţie

(a) Cazurile n = O, 1 sunt triviale.

Notăm secvenţa crescătoare de numere prime mai mici sau egale

cu n prin P" PZ' ••• , Pkl şi

II t [ ni P t ] , t =- 1, 2, ••. , k: h~1

unde (y] este cel mai mare intreg mai mic sau egal cu y.

73

Fie a:

n = p. ' I 1

ai Pi s, unde toţi Pi. sunt numere prime

S )

distincte şi toţi a: i. sunt din N. J

Desigur avem că n < X ~ n!

0', ai( Astfel x = P

l p~ unde O ~ 0': ~ ~t pentru toţi

t = 1, 2, •.• , k şi există cel puţin un

j e {1, 2, ... , s} pentru care

-l 0'.

1 {j.

I , ••• , {j i. - ai. + 1} . J J

în mod clar n! este multiplu de x, şi este cel mai mic.

(b) Vezi de asemenea [1]. Considerămm e N*.

Lema 1.4.1. ,., (m) ~ m, şi ,., (m) :It m dacă şi numai dacă

~ = 4 sau m este prim.

Desigur m! este multiplu al lui m.

Dacă m -4 şi m nu este prim, lema este echivalentă cu:

există m" ~ astfel incât, ::l = m, • ~ cu 1 < m, ~ :12

şi (2 mz < m or :2 ::l, < m). De unde,., (m) < 2 ~ < In,

respec-=iv ,., (m) < max {::lz, 2:} < m.

Lema 1.4.2. Fie p prim > 5. Atunci,., (p x) = x dacă

şi numai dacă x este prim > p, ori x = 2p.

Demonstraţie. ,., (p) a p. Deci x > p.

în mod analog: x nu este prim şi x - 2p - x = x~ X2 '

1 < x, ~ X 2 şi (2 X z < x, I x2 • P11 şi 2 x, < 'X) - ry (p x) ~

74

< ~ax {P, 2 xzl < x respec~iv " ( p x) < max t p, 2 x~, Xz ,1

< x.

Observaţii:

" (2 x) a X - X ~ 4 sau x este număr prim impar.

" (3 x) ~ 6 9 sau x este număr prim> 3. "t I I

Lema 1.4.3. Dacă (m, x) = 1 atunci x este prim " (::1) •

Desigur I " (mx) - max {" (m) I " (x) } -" (x) - x.

Şi x • " (m) I deoarece dacă x - " (m) atunci m • T7 (m) divide

" (m) ! adică m divide pe (" (m) - 1) ! de unde" (m) ~ " (m) -- 1.

Lema 1.4.4. Dacx t· CI x nu es e prl.m atunci T7 (m) < X ~ 2 " (m)

şi x - 2 " (m) dacă şi numai daci T7 (m) este prim.

Demonstraţie: Dacă x > 2 T7 (m) există x, I Xz cu 1 < x, ~

~ x, I X - x, Xz .Pentru x, < T7 (m) avem ci (x - 1)! este

multiplu de mx. Demonstraţie similari pentru celelalte cazuri.

Fie x - 2 " (m): daci q(m) nu este prim, atunci

x = 2 a 0, 1 < a ~ O, dar produsul ('7 (m) + 1) (" (m) +

...... ..,) (.., () 1) se divide la x. ,... ~ ..• ~" m -

Dacă T7(m) este prim, q(m) divide pe mi de unde m • 2 l7C=)

se divide cu '7 (m) 2 I rezultă că ,,(m· 2 " (:1» 2. 2 •

. " ( m) I dar ( " ( m ) + 1 ) ( T7 (m) + 2) (2 T7 (m» este

multiplu de 2 " (m) I adiel ,,(m· 2 " (m» - 2 " (:1).

75

pe

Concluzie

orice număr prim x > 1'/ (m), este soluţie.

Dacă 1'/ (m) este prim, atunci x = 2 1'/ (~) este o soluţie.

*Dacă x nu e prim, 1'/ (=) < x < 2 1'/ (=), şi x nu

divide pe (x-1)!jm atunci x este o soluţie (chestiune semi

deschisă). Dacă m = 3 se adaugă şi x = 9. (Nu mai există nici o

altă soluţie.)

( e)

Lema 1. 4. 5. 1'/ (a b) ~ 1'/ (a) + 1'/ (b).

Desigur, 1'/ (a) = a' şi 1'/ (b) - b' implică (a I ..

+ b')! = b ' ! (b ' + l) (b I + a'). Fie a I ~ b 1. Atunci

,<ab) ~ al + b ' , deoarece produsul unor a' întregi consecutivi

este multiplu de a'!

Evident, dacă m este prim, atunci k = 1 şi nm = m.

Dacă m nu este prim, atunci 1'/ (m) < m, de unde rezultă că

există k pentru care 1'/'k) (m) - 1'/,lt.l) (m).

Dacă m '" 1 atunci 2 < n < m. - .-Lema 1.4.6. n - 4 ori n este prim. m m

(**) Această chestiune rămâne deschisă.

Referinţă:

[l) F. Scarandac~e, A Fune~icn in the Nu:ber T~ec~I, An.

Oniv. Ti:isoara, seria st. mat., Vel. XVIII, fasc. l,

76

pp. 79-aa, 19aO; Mat~ematical Reviews: a3c: 1000a.

[Publicat în revista "Gamma", Braşov, 1987.]

n

2. ALTĂ FUNCŢIE ÎN TEORIA NUMERELOR

în această lucrare definim o ftmqie L care ne va permite să geDeraliz~m (separa:

sau SllllUltan) câreva teore:ne din Teoria Nmnerelor obţinute de \\'ilso11. Fmnat. Eulex-.

Gauss. Lagrange. L:ibnirz, ~ioser şi Sierpinski.

& 2.1. Fie:\ muir.nlea {m.;ZI m = ±pl>. ± 2 p~. p - prinl impar. ~ E ]\* sau ru = ± 21:.,

a. = 0, 1.2 sau m = O}.

Fie m = ~ p fl ... p~r ,cu Z = ± 1, CI.: ~ ~"', Pl .... ' Pr num~re prime pozitive distincte.

Considerăm funcţia L: Z2 -+ Z,

Llx. m) = Lx. - c11.. ... (x ~ C",ml)' unde c!, ... , C""m l sunt toate restricţiiie modulo m,

relativ prime cu m ~i {ţi este funcţia Euler.

Dacă toate numerele prime distincte ce divid x Şl m simultan ~\mt

L(x. mi == =i= 1 (mod p~~l ... p:~r ) . când m .: A. respectiv !Il -= :\ şi

( /( ai, a;)) a.ii ~i. LI". :nI == O mod m tl; •... p, r . Penm.I d = u\· ... p;'

•. \ 'f • I '1 ~l ffi' = :n I d

găsim

Lix. mi == + 1 + k?d == k~ m' (mod mi. .. -

unde ki. kg constituie o soluţie particulară întreagă a ecuaţÎei diofantice

k: m' . k: d = + 1 (semnele sunt alese după apartenenţa lui m la :\).

Acest rezul"ît generalizem teorema Gauss

c: ... c~IT.J == + 1 (mod mI. când m -= A. respecti'< ffi;: A (vezi [1]'1.

care la riindul ei generaiizeazâ teorema Wiison p - prim:=> {p - n ~ z - 1 (m"J FI

Demonstratie:

78

Lema 2.1. DacJ C, •...• ~lmt ~oare r~snuiie mo .. luiu p~' • <"

r~la!:'.' pr:m~ ,."u r

d . . ,,"7. o k z .. · A - ..... : * k p~ - - k pP - -un ~ p ~ste mtr~g ~l a. ~ !~ • anmCl penml -.;: .;-1 f-' ':: -~ ~'.....'''' , Ct' . 9P !

SUnt deasemt.'llea roate resmrile modulo pa, relariv prun cu pa. Este suficienr să demonsO<lm cel penrru :s i :s <p(pa I avem k p13 - c: rdariv prime cu pa, ceea ce este eyidenr.

Lama 2.2. Dacă c: , "0 , c~ml stmt roate resruriie modulo m. relativ prime cu !Il ~i

p~ divide m şi p~i +1 nu divide m. arunci .:~ , '" , c~ml constituie 'P{m: p~i ) sisteme

(L' reduse de resturi mooulo p: 1 •

Lema 2.3. Dacă r, ..... C.J ' sunt resturile modulo q relan\' primt" cu b si (b, .ll -.' . "'!qJ . "1.

arunci b + c! , .... b +c~'l) conţint" un reprezentan: al clasei O modulo q.

Desigur, deoarece Ib. q - b) - 1 va exista ciCl = q - b, deci b + c 10 = ~1q . De aici avem:

Teorema 2.1. Dacă

Lema 2.4. Deoarece c! ... c'Rm)= ~ 1 (mod m) rezultă că c: ... CCAmi :: ~ 1 (mod p~~ ),

V i, cand m -= A. respectiv m .; A.

Lema 2. 5. Dacă Pi divide x şi m simultan. arunci IX + c: ) .. .( XT- C"'m t) = ~ 1 (mod P~: ),

:n ~ A .. Te!'pec:i .. : m : :\. De!'igur. din lemele 2 şi 1, re~ecriv 4 iwem:

-1 d a; IX - c~ I. .. IX - c",ml) = .:! ... CCArr.t =+ (mo p:·).

Din lema 2.5 obţinem:

79

Teorema 2.2. Dacă p;! ... Pir SlL"l' :oat~ :l1unereie prime ;:~ di\"i~i x ~i m si:nul:an.

Din reorenlt':e 1 şi 2 rezuită L ix, m}

Deoarece Id. m') - 1. ecuar.n diofanrică kl m' - k; d - ~ 1 admite solutii intregi

I uecwlIjscuteie fiind k:. k~ l. Astfel k: = m' • -k ~ şi k;! = Jt - k ~, cu t .,; Z şi k ~ , k ~ o

soiu~ie intrea=ă paniculară a t:cua;i~i. Astfe!:

U:c mI == + 1 - m' dt ~ k ~ d == + 1 - k i d {mod mi

sau

& 2.2. Aplicaţii

1. Lagrange a extins teorema lui Wilson astfei:

II dacă p este prim, atunci xP-~- 1 = (x""'" 1) (x + 2) ... (x oi- p-1) (mod p)".

V om extinde acest rezultat astfel:

Oricare ar fi m:: O . ± 4 avem pentru x~ + s~:: O şi dacă m e prim atunci (x, m):I= mi

K op(ms)+s _xs ~ (x + lXx + 2L.( K+\ml- 1) (mod ro) , lUlde m s ~i s sunt obţinute din

iilgorimml:

(xo.m(l) - 1 do ;: 1

1. ~-1\ {d~_~ = d;-l di - 1: (d~_~ .ms-t) - 1 m s-2 = ms-l d s- 1; d s - 1 = 1

(d!_l ,ms) - 1 d s = 1

(vezi [3] sau [4)). Pentru m poziti\' prim. avem lIls = m. s = O şi cp(m) = m - 1. adid

Lagrange.

80

,

. p -'- 1 I ~L ~" • n"l . F . e!'t: prJIl anmCl a ...... \.P' ). il -1., care n:\me!'c ~eoremele n 1 son ŞI crmat m una

singura.

FW1qia L şi aigorimIUl Jin §2 ne vor ajuta să le gener<llizăm asrfel: " dad a şi nI

sunt intreg!. m = O ~i C!. __ . c'I'IrT:J sunt toat~ resruril~ modulo m. relativ prime cu m. atunc::

- • • ~"ms I·~ L· () ~ - 'f ~: ... ~"'n:1 a ' ( . nll a -.Y :11.

respecm'

LI O a ~ nl.. I·S... - :i - 'f m - , m J , . "C! ... elAm) a -.\ .

sau mai mult:

c:1 lTls +5 L . S '1 (x - CL) ... (x - C~rn))a' J - IX, mI a - : ..... ro.

respec+..i ....

LI 1 .." nls' +S ( I I . S ~1 - X. ma' t- x ~ c: ... x - C~rr.!' a ,... m.

care reunesc Fermat. Euler. Wilson. Lagrange şi M.oser (.respectiv Sierpinskil.

3. Amonll a mai ob~lmu o ge:lernlizare il rezultatelor lui Moser şi Sierpinski (vezi [6J.

problema 7.140, pag 173-1i4) astfel:" dacă m este intreg pozitiv. m = 0, 4 şi a intreg:

arunci lan: , a) (nI ' 1 J: = ~bn " reunind teoremele WilsOD şi Fennat in alt mod.

4. Leibnitz il e:ltm;'lt c:1 "dac:1 peSte ;trim anmci (p - .2)! ~ 1 (mod p' "; noi consider.'lm

" " c Imod m·) " da->t .' "-' d~ O ." -' /·m O.,." -' "m '}' c - c' Im·d ml' e:....... ~'"!"'!. \ _ \.(1 \.,; :.. ~ .... \,. ~+~, un ~ ~ \.,; . ....... :~ ...:.: ~ ~~i ........ ~, ~ i = ~ u ~

c:_: == c':_: (mod lUI: se vede uşor că Ja..:l c:. ~ .... C~n:l sWlt resrurile modulu Ul. relativ

prime cu m (c: < C:-l (mod mI, ~ i, m = O, anmci C~ c~ '" c<nrr.I-: ~ = 1 (mod ml, ciind

m -= A. respectiv m ~ A. deoarece- c~n:j == -1 (mod m).

Referinţe:

Leje\me'Dirichl~t. "v orlesWlgen ub~r Zahle:ltheorie". 4te .~ut1ag~, Bra\IDSchweig:

1894, §38 .

.., Si~inski. Wac1aw ... Ce- ~tim ŞI ce nu ştim despre nwuC'Tele prime", Ed. Ştiinţifică.

Bucureşti. 1966.

81

SmJr:mJ,.<h.:ne. ttt)remin .

.::ungru~llţe". Bule!. C ui\·. Br;.l.."w. ~eria .::. \" ul. LXIII. pp. '7-12. i y~ 1: VcZ!

~tath~maticai R~vi~ws: ~.;l j: 10()OI'l.

4 Sm<lr.lIld.îcbe, Floremm. "Generalismions et Generalites. " Ed. )iou\'elle. Fes. Ylorocco.

?p. 9-13. 198-+.

) Smarandache, Florentin.. "..,\ funcrion in ilie nwnber theory," An. 13niv. Timişoara, seria

şt. mat .. V u1. XVIII. fase. 1 pp. 79-88. 1980: .... ezi ~{.R.: 83c: 10008.

t> Smarandach~. Florentm. "Problemes avec et sans ... problemes!", Sumipr~ss, Fes.

~{orocco, 1983~ vezi ~LR...: 84k: 00003.

82

3. FUNCŢII PRIME ÎN TEORIA NUMERELOR

& 3.1. Vom construi o clasă de funcţii, definite astfel:

= {O, dacă n este prim; P1 : N --::> {O, 1}, P: (n)

1, in caz contrar.

De exemplu P 1 (2) = P: (3) pe când p! ( ° ) = P l ( 1 )

În general, pentru un intreg P~ : N~ - -::> {O, 1},

= P: (5) = = O, = P1 (4) = = 1. dat k ~ 1, se poate defini:

{

O ,dacă n 1 , n l , ••• , nk sunt toate prime;

1,in caz contrar. Mai departe, să studiem in ce condiţii Pk (np n l , ••• , n,,) = O, sau să determinăm condiţii necesare şi suficiente astfel incât n intregi, primi între ei doi câte doi, să fie simultan primi.

Aceasta generalizează teoremele lui V. Popa [3], l. CUcurezeanu ([1], p. 165), Clement, S. patricio [2], etc.

În mod particular această Teoremă Generală oferă diferite caracterizări pentru numerele prime gemene, cuadruple,

e~c.

& 3.2. Introducere. Este evidentă următoarea

Lema 3.1. Fie A, B întregi nenuli. Atunci:

AB = O (mod pB) - A - O (~od p) - A/p este număr intreg.

Lema 3.2. Fie (p,q) - 1, (a,p) - 1, (b,q) - 1.

Atunci:

A = O (I:lod p) şi B = O (mod q) - aAq + bBp = O (mod

pq) - aA + bBp/q = O (mod p) - aA/p+bB/q este număr intreg.

Demonstraţie:

Prima echivalenţă:

Avem A = K,p şi B = Kzq, cu K" !ezEZ, deci

aAq + bBp = (aK, + bKz) pq.

83

Reciproc: aAq + bBp = Kpq, cu K€Z, rezultă

că aAq == O (::lod p) şi bBp == O (mod q) I dar din presupunerea

anterioară obţinem A == O (mod p) şi B == O (mod q) .

A doua şi a treia echivalenţă rezultă din lema

3.1.

Prin inducţie extindem această lemă la

Lema 3.3. Fie P P coprime două câte două, , , ••• , n

şi fie a" ... , an numere întregi astfel încât

(a j , Pj) - 1 pentru orice i. Atunci:

A, - O (mod p,), ... , An lE O (mod Pn) -

unde

- (P/D) •

il p. - O (mod P, ..• Pn) -• • J J .~

n 1:

i=l (a.A./p.) =

1 1 I O (!nod P /D) I

P = P, ... Pn şi D este un divizor al lui p

n 1: ajA/Pj este număr intreg.

i=l

& 3.3. Din această lemă putem să deducem imediat o

TEOREMĂ GENERALĂ:

Fie P 1 · l' numere întregi coprime .. , ~ ~ ~ n, ~ J < mI·' I J

două câte două, şi fie r, I ••• , r n, a" ... , an numere intregi

astfel încât a, să fie coprim cu r j pentru orice i.

84

Se consider~ urm~toarele condiţii:

( i)

Pl·' I ••• , 'O. • It'l'l, sunt simultan prime dac~ şi numai

dac~ Ci = O (mod r), pentru orice i.

Atunci:

Numerele P i j , 1 ~ i ~ n, 1 < j < In i' sunt

simultan prime dac~ şi numai dac~

n ( .. ) (RID) !: (a.c·/r.) - O (mod RID),

• I I I

~=l

n unde R = IT

i=l r i şi D este un divizor al lui R.

Observaţie:

Adesea in condiţiile (i) modulul r i este egal cu

o .. , ori cu un divizor al acestuia, şi în acest caz • I J

relaţia Teoremei Generale devine:

(P/D) n mi !: (aic i / IT Pi) = O (mod P/D),

i=l j=l

unde

n,m. IT

1

P = Pij si D este un divizor al lui P. i, j=l

85

Corolarii:

Obţinem uşor că ultima relaţie este echivalentă

cu:

şi

e~c.

n !:

i=l a·c.

I I

!n. (PI nI

j=l p .. ) - O (mod P) I

I J

n mi .!: ( ai c;l n P; j ) este număr întreg, ~=l j=l

Restricţiile impuse pentru numerele p.. din 1 J

Teorema Generală sunt foarte largi, deoarece dacă ar fi

două numere distincte necoprime, atunci cel puţin unul dintre

acestea n-ar fi prim, deci cele m, + ••• + mn numere

n-ar mai putea fi prime toate (simultan).

Teorema Generală are multe variante, în concordanţă

cu valorile atribuite parametrilor a" ... , an'

şi r" ... , r ml precum şi parametrului O, dar şi în concordanţă

cu congruenţele c" •.. , cn care caracterizează

fie numai un număr prim fie mai multe in acelaşi timp.

Putem porni de la teoreme (condiţii c. ) 1 , care

caracterizează un singur număr prim [vezi Wilson, Leibniz,

Smarandache [4], sau Simionov (p este prim dacă şi numai dacă

86

(p-k)! (k-1) l-(-l)k = o (mod p), când p a k a 1: aici, este preferabil s! lu!m k = L (P+1)/2J, unde LxJ reprezint!

cel mai mare întreg ~ x, pentru ca num!rul (p-k) ! (k-l)! s! fie cât mai mic posibil] pentru a obţine, cu

ajutorul Teoremei Generale, condiţiile C. , J

care

caracterizeaz! mai multe numere prime în mod simultan. Dup! aceea, din condiţiile Ci' c j ' folosind Teorema

• General! din nou, obţinem condiţii noi care

caracterizeaz! numerele prime în mod simultan. Şi

aceast! metod! poate fi continuat! în mod analog.

Observaţii

Fie mi = 1 iar Ci reprezint! teorema lui Simionov pentru orice i.

(a) Dac! D = 1 rezult! teorema lui V. Popa, care generalizeaz! teorema lui Cucurezeanu, şi care la rândul ei generalizeaz! teorema lui Clement.

(b) Dac! Dep /Pz şi alegând în mod convenient parametrii ai' k

f pentru i = 1, 2, 3, rezult! teorema lui

S. patricio.

Câteva exemple:

3.1. Fie P" P2' •.. , Pn numere întregi pozitive> 1, coprime dou! câte dou!, şi 1 < k. < p. pentru orice i. - 1- I

Atunci:

87

dacă:

( T)

(1::' )

P" P2' ... , Pnsunt în mod simultanpri~e dacă şi numai

n !:: [(pi-k i )! (k i -1) !

i=l

ori

n

i: . (-1) lJ

k i ( !:: i=l

[ (p.-k.)!(k.-1)!-(-1) ] 1 1 1

orI

n k j

IT P i - O (mod j-i

. IT . P j ) / (p S.' ... P n) -J-~

(V) !:: [(Pi-ki)! (k i-1) !-(-1) ]P/Pi == O (mod Pj) i=l

n k (W) !:: [(pi-k j )! (k i-1) !-(-1) i]/Pi este un număr intreg.

i=l

3.2. Alt exmplu, folosind altă relaţie (prima teoremă

din [4]): p este un număr prim pozitiv dacă şi numai

dacă (p-3)!-(p-l)/2 == O (mod p).

n !:: [(Pj-3) !-(P j -l)/2]p'/Pj == O (mod p,).

i=l

88

3.3. Numerele impare p şi p + 2 sunt prime gemene dacă

şi numai dacă:

(p-l)! (3p+2) + 2p + 2 = (mod p(p+2»

sau

(p-l)! (p-2)-2 - O (:od p(p+2»

sau

[(p-l)! + 1] / p + [(p-l)! 2 + 1] / (p+2) este un număr

intreg.

Aceste caracterizări de numere prime gemene diferă de

cea a lui Clement: «p-l)!4 + p + 4 = O (mod p(p+2»).

3.4. Fie (p,p+k) - 1, atunci p şi p + k sunt prime in

mod simultan dacă şi numai dacă (p-1) !(p+k) + (p+k-1)! p +

2p + k = O (mod p(p+k», relaţie care diferă de cea

a lui CUcurezeanu ([1], p. 165): k.k! [(p-l) !+1] +

[k!-(-l)k] p ~ O (mod p(p+k»).

3.5. Iată o caracterizare de numere prime

cuadruple p, p + 2, P + 6, P + 8: [(p-1)!+1]/p + [(p-

1) !2!+11/(p+2} + [(p-1) !6!+1]/(p+6) + [(p-1)!8!+11/(p+8)

este un întreg.

3.6. Pentru p - 2, p, P + 4 numere intregi coprime

două câte două găsim relaţia: (p-1) !+p[(p-3) !+1]/

89

J(p-2)+p(p+3) !-ljJ(p+~) = -1 (~od p), care diferă

de cea a lui patricio (8(p+3) !J(P+~») + 4[(p-3) !J(p-2») = == - 11 (~od p».

Referinţe:

[1] Cucurezeanu, I.--Probleme de aritmetică şi teoria

numerelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1966.

[2] Patrizio, Serafino--Generalizzazione del teorena di

Wilson alle terne prime, Enseignement Math., Vol.

22(2), nr. 3-4, pp. 175-184, 1976.

[3] Popa, Valeriu--Asupra unor generalizări ale teoremei

lui Clement, Studii şi cercetari matematice, vol. 24,

nr. 9, pp. 1435-1440, 1972.

[4] Smarandache, Florentin--Criterii ca un număr natural

să fie prim, Gazeta Matematică, nr. 2, pp. 49-52;

1981; see Mathematical Reviews (USA): 83a: 10007.

[Prezentat la Cea de-a 15-a Convenţie Anuală a Academiei Româno

Americane, care a avut loc în Montreal, Quebec, Canada, între 14-, . ,

18 iunie, 1990, la Ecole Polytechn1que de Montreal.]

90

4. ASUPRA FUNCŢIEI TOTIENT A LUI EULER ÎN TEORIA NUMERELOR

Funcţia totient (ori phi-) a lui Euler este definită astfel: pentru orice întreg x, ~(x) este numărul de întregi primi cu x şi mai mici decât x; sau numărul claselor reduse de resturi modulo x. În continuare vom studia o conjectură referitoare la această funcţie.

4.1. O proprietate a unui contraexemplu al conjecturei lui

Carmichael referitoare la funcţia totient a lui Euler

Conjectura lui Carmichael este următoarea: "Ecuaţia ~(x) = n

nu poate avea o soluţie unică, (~) nfN:

unde tp este funcţia lui Euler". R. K. Guy a expus in [1]

câteva rezultate asupra acesteia: Carmichael insuşi a demonstrat

ca dacă n o nu verifică conjectura, atunci n o > 1037

; V. L. Klee [2 J

a 1mbunătăţit rezultatul la n > 10400 o ' şi Masai & A. Vale~~e

l-a mărit la 10'0000, C. Po:ne::-ance [~]scris despre aceasta de

asemenea.

In lucrarea de faţă vom demonstra că ecuaţia ~(x) = n admite

un număr finit de soluţii, vom determina forma generală a acestor

soluţii, şi vom demonstra că dacă Xo este soluţie unică a

ecuaţiei de mai sus (pentru un n fixat), atunci Xo este multiplu

de 22'32'72'432 şi din [3] xo > 10'0000.

& 4.1.1. Fie Xo o soluţie a ecuaţiei ~(x) = n.

Se consideră n fixat. Încercăm să construim altă soluţie Yo • x~ . ...

Prima metodă:

Descompunem pe Xc = a· b , cu a, b întregi, astfel încât

(a, b) - 1: căutăm un a • a astfel încât IP ( a') =

~ (a) şi (a', b) - ,. -, rezultă că yo = a'·b.

91

A doua metodă:

fie I3 r ca cu toţi f3 i € N * , şi q"

.•. , qr sunt numere prime distincte două câte două; căutăm un întreg q astfel încât (q, xo) -1 şi cp (q) divide

pe xoI (q, ••• qr); atunci Yo = "cqjcp (q) • Observăm imediat că putem lua pe q prim. Autorul

conjecturează că pentru orice întreg Xo ~ 2 este posibil să găsim, cu ajutorul uneia dintre aceste metode, un Yo - X o astfel încât cp(Yo) = cp(Xo}·

Lema 4.1.1. Ecuaţia 2. Fie < .•• <p <n+1 s -

secvenţa numerelor prime. Dacă Xo este o soluţie a ecuaţiei anterioare, atunci Xo

a, as are forma X o = P, ••• Ps cu toţi Q:i ! N. Fiecare ai este limitat, deoarece:

( "v") i € {l, 2, •.• , s}, ( 2 ) ai e N

De unde O < a. < a· + 1, - 1- I pentru orice i. Astfel, găsim o limită extinsă pentru numărul de soluţii:

92

s il (ai + 2).

i=l

Lema 4.1.2. Orice soluţie a acestei ecuaţii este de forma

(1) sau (2):

e:,

X o = n • f Z, o -1 • s -

unde, pentru 1 < i < s, avem r O dac llC al" = O, eri fI" = 1 .. i = a.

dacă a" • O. 1

Desigur , n = cp (xo) = X o ( \

0-1 ._' ) P,

de unde rezultă a doua formă a lui xo'

Din (2) găsim altă limită pentru numărul de

soluţii: 2' - 1, deoarece fiecare fiare două valori

numai, şi cel puţin una nu este egală cu zero.

& 4.1.3. Presupunem că Xo este o soluţie unică a acestei

ecuaţii.

Lema 4.1.3. Xo este multiplu de 22.3 2.,2.432 •

Demonstraţie:

Aplicăm a doua metodă. Deoarece cp (O) = cp (3) şi If ( 1 ) = cp ( 2 )

luăm X o ~ 4.

93

Dacă 2 f Xo atunci există Yo = 2Xo - Xo astfel încât ~(Yo) =

= cp (xo)' deci 2 I Xo :dacă4 1" Xo atunci putem lua Yo = xo/2.

Dacă 3 l' Xo atunci Yo = 3X0/2,:deci 3 I xo :dacă9 -r Xo atunci

Yo = 2Xo/3, deci 9 I xo; de unde 4·9 I xo·

Dacă 7 1" Xo atunci Yo = 7xol6, deci 7 I X o ;dac4 49 1" Xo

atunciYo = 6x0/7, deci 49

Dacă 43 1" Xo atunci Yo = 4 3x0/42, deci .( 3 I Xo : dacă 4 32 1" Xo

atunci Yo = 42X0/43, deci 43 2 I xo; de unde 22.3 2 .7243 2 i Xo. 'Y, 'Y 2 'Y3 'Y,

Astfel Xo = 2 • 3 ·7 ·43 • t, cu toţi 'Y i ~ 2 şi

(t, 2·3· i . 43) - 1, şi Xo > 10'0000 deoarece no > 10'0000.

& 4.3. Fie 'Y, ~ 3. Dacă 5 f Xo atunci 5xo/4 = Yo' deci

5/xo :dacă251" Xo atunci Yo = 4xo/S,de unde2Slxo.

Construim mulţimea recurentă M de numere prime:

(a) elementele 2, 3, 5 ~ M;

(b) dacă elementele distincte impare e" ... , e n ~ M şi

bm = 1 + 2m·e, ... e n este prim, cu m = 1 sau m = 2, atunci

b lll f M;

(c) orice element aparţinând lui M este obţinut prin

folosirea (de un număr finit de ori) numai a regulilor (a)

sau (b).

Autorul conjecturează că M este infinit, ceea ce rezolvă acest

caz, deoarece rezultă că există un număr infinit de numere prime

care divid pe xo· Care-i absurd. De exemplu: 2,

94

3,5,7,11, l3, 23,29, 3l, -'3, -'7, 53, 6l, •.• aparţin lui

*

Metoda din & 4.3. poate fi continuată ca un graf arbore (pentru

'rz ~ 3, apoi 'r3 > 3 etc.),

foarte multe ••.•

Referinţe:

dar ramificaţiile sale sunt

[lJ R. K. Guy, Mont~ly unselved probl~~s 1969-l983, A~er.

Math. Monthly, VeI. 90, Ne. lO/l983, p. 68-'.

[2J V. L. Klee, &~er. Math. Menthly 76/(969), p. 288.

[3] P. Masai & A. Valette, A lower bound fer a counter

example te Ca~ichael's conjecture, BolI. Uniene Mat.

ItaI. (6)A, (l982), p? 3l3-3l6.

[4] c. Pe~erance, Math. Reviews: 49:49l7.

95

4.2. Altă proprietate a unui contraexemplu la conjectura lui

Carmichael referitoare la funcţia totient a lui Euler

Carmichael a conjecturat că:

('t) n (N, (~) m! N, cu m "n,pentru carelp(n) =

Ip (m) I unde Ip este funcţia totient a lui Euler.

Există multe lucrări asupra acesteia, dar autorul citează numai

pe cele care l-au influenţat, în special cea a lui Klee.

Fie n un număr care contrazice conjectura lui Carmichael.

Grosswald a arătat că n este un multiplu de 32, Donnelly a

împins rezultatul mai departe arătând că n este multiplu de

2" şi Klee că este multiplu de 2-'2. 3«,1 Smarandache a I ,

demonstrat că este multiplu de 22.3 2.72.432•

Masai şi Valette au limitat pe n > 10'0000.

în această notă vom extinde aceste rezultate la: n este

multiplu al unui produs de foarte multe numere prime.

Construim următoarea mulţime re curentă M:

(a) elementele 2, 3 ! M;

(b) dacă elementele distincte 2, 3, g" ••• , gr f M,

şi p = 1 + 2-· 3b• q, ••. qr este prim, unde a f {O, 1, 2, ... , 41)

şi b ! {O, 1 I 2, .•• , 46}, atunci P f M; r ~ O;

(c) orice element aparţinând lui M este obţinut numai prin

folosirea (de un număr finit de ori) a regulilor (a) şi (b).

Desigur toate elementele din M sunt prime.

Fie n un multiplu de 242.3 47 ;

96

Dac! 5 -t n atunci exist! m - 5nj4 - n astfel încât ~(n) = cp (::1); deci 5 I n; de unde 5 f M;

Dac! 52 1 atunci exist! m = 4nj5 • n cu proprietatea

cerut!; deci

În mod analog, dac! 7 f n putem s! luăm m = 7nj6 - n, deci 7 I n ;dac! 72 1" n putem s! luăm m = 6nj7 • n; lence de unde 7 f M

şi 7 2 I n; etc.

Metoda continuă până nu se mai poate adăuga nici un alt

număr prim la M, prin construcţia anterioară. De exemplu,

din cele 168 numere prime mai mici decât 1000, numai 17

nu aparţin lui M (şi anume: 101, 151, 197, 251, 401, 491, 503,601, 607,677,701,727,751,809,883,907,983);

toate celelalte 151 de numere prime aparţin lui M.

Not!: dac! M = {2, 3, P" P2' ..• , Ps' •.. }, atunci n este

mult · l d 42 ... 47 2 2 2 ~p U e 2 • .,) ·P,P2·· .ps ... Din acest exemplu, M conţine cel puţin 151 de elemente, deci s ~ 149.

Dacă M este infinit, atunci nu exist! nici un contraexemplu n, deci conjectura lui Carmichael este rezolvat!. (Autorul

conjecturează c! M este infinit.) CU ajutorul unui computer se poate găsi un număr foarte mare de prime care divid n --folosind metoda de construcţie a lui M, şi testând fiecare

prim p dacă p - 1 este un produs de prime numai din M.

97

Referinţe:

[1] R. D. ca~ic~ael, No~e on Euler's ~ func~ion, Bull.

&~er. Ma~h. Soc. 28 (1922) 109-110.

[2J H. Donne11y (~bp), On a proble~ concerning Eu1er ' s

phi-func~ion, Aner. Ma~h. Mon~~ly 80 (1973) 1029-

1031.

[3] E. Grosswa1d, Con~ribution to the ~~eory of Euler's

function ~(x), Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973) 337-

3~ 1.

[4] R. K. Guy, Monthly research problems 1969-73, Amer.

Ma~h. Men~hly 80 (1973) 1120-1128.

[5J R. K. Guy, Men~hly unsolved proble~s 1969-1983, k~er.

Math. Mon~hly 90 (1983) 683-690.

[6J R. K. Guy, Unsolved proble~s in number theory,

Springer-Verlag, 1981, problem B39, 53.

[7] V. L. Klee, On a conjecture of Ca=mic~ael, Bull.

Amer. Ma~h. Soc. 53 (1947) 1183-1186.

[8] V. L. Klee, !s there an n for which ~(x) = n has a

unigue solu~ion?, Amer. Math. Monthly 76 (1969) 288-

289.

[9J P. Masai & A. Va1et~e, A lower bound for a

coun~erexample te Ca~ichae1ls conjecture, Bo11.

Unione Mat. !~al. (6) Al (1982) 313-316.

[10] F. S~arandache, On Ca~ichael's conjecture, Ga==-a,

Brasov, XXIV, Anul V!!!, 1986.

98

4.3. O generalizare a teoremei lui Euler referitoare la congruenţe implicând funcţia totient a lui Euler

în acest paragraf demonstr~m un rezultat care inlocuieşte teorema lui Euler referitoare la congruenţe:

"Dac~ (a, m) = 1, atunci aCt(m) == 1 (mod m)", în cazul când a şi m nu mai sunt coprime.

& 4.3.1. Noţiuni introductive. Presupunem m > O. Aceast~ supoziţie nu micşoreaz~ generalitatea

fiindc~ funcţia totient a lui ~uler este par~: ~lm) = .(-m) (vez1 [1])

iar congruenţele au următoarea proprietate" a == b (mod m) - a == b (mod -m) (vezi [1], pp. 12-3).

De asemenea, congruenţele modulo zero sunt de fapt relaţii de egalitate.· Se notează (a, b) cel mai mare divizor comun al intregilor a şi b, şi se alege (a, b) > O.

Lema 4.3.1. Fie a şi m numere intregi, m > O. Există do' lIlo din N astfel încât a = aodo' m = lIlodo şi ( an , D1n) = 1.

Demonstraţie: este suficient să alegemdo = (a, m).Datorit~ definiţiei cmmdc, câturile şi sunt coprime (vezi [3], pp.25-6).

Lema 4.3.2. Cu notaţiile din lema 4.3.1., dacă-do p 1 şi

1 1 do = do d1 ' mo = m1d1 ' (do ,mI) = 1 şi d

1 ;. 1,

atunci dn > d, şi lIlo > m" şi dacă do = d, de paşi i obţinem do > d i+, = (di , mi)'

atunci după un număr finit

Demonstraţie.

(o) (a. .. aodo ; (a. ,m ) = 1 o o

m = m d d ; 1 o o o

(1) {do = d~dl (d~,m1) = 1 m = e d d

1 ~ 1 o 1 1 r

Din (O) şi (1) se găseşte c~ a. = a d = deci d) ci şi d 1 1 1 o o

o 1 o'" Din d :n o = :n1 1 se obţine

deci

do = d, atunci m = m d Deci o 1 o

mI = k ~z-l • .. • ..... 0 ' d2 = (~,e ) = (d k d Z- 1 )

-~ 1 o' • • . o aJunge la d.. = (d k) < d

~·I o' o'

Dup~ i = z paşi se

99

se Lema 4.3.3. Pentru orice întreg a şi orice număr natural m > O poate construi următoarea secvenţă de relaţii:

; (a. ,:: ) .. 1 o o c. fa 1 ,0

; Cc.; '=1) .. 1

~; 1

(o)

(1)

. J

;

......................................... ' , (C.S : 2 '=5-1) .. 1 t ~ d - d

; (s-l) 5-2 5-2 5-1

::l -::l .. e. .. ; ds

_1

fa 1 5-2 5-~ 5-':'

e. 1 e. 1

ţ - ; (e. 1'::) .. 1 (5) 5-1 5-1 5 s- 5

::l - ::l ti ; d =1 5-1 s s 5

Demonstraţie: Această secvenţă se poate construi datorită lemei 4.3.1. Secvenţa este limitată conform lemei 4.3.2, deoarece după r , paşi se obţine do > d

r1 şi mo "> m

r1 ' iar după r z paşi se obţine:

şi e-tc· 7

iar numerele lIli sunt naturale. Se ajunge la d s =1 deoarece dacă d ... 1 atunci construim din nou un număr limitat de relaţii

s ( 5+1), ••• ,(s+r), cu e. < d •

5+r s

T 4 1 · . . ""(1:1 ) +5 s ( ) eorema .3. • Fl.e a, m € Z Şl. m ... o. Atuncl. a.' s -: a. mod m unde s şi ms sunt aceiaşi ca in lemele anterioare.

Demonstraţie: Putem presupune că m > O, fără a restrânge generalitatea teoremei. Din secvenţa de relaţii a lemei 4.3.3 se obţine:

(o) (1) 1 (2) , 1 (3) (s) a. .. a. C. = a. c. d = a. d ... .,: d... a. d1d1 d 1 d

o o o o 1 o 0-1 2 ••• = o o 1··· 5-1 5

( o) (1) ( 2) (3) ( 5) şi m .. m d ":l d d - m d d d •••• : m d d ••• d d

o o 1 1 o 2 2 1 o 5 s 5-1 1 o şi m d d 1 ••• d1d = d d ••• d d m

s s 5- o o 1 5-1 5 5

Din (Ol avem că do = (a, m), iar din (i) avem orice i € {1, 2, ... , s}.

, , , d _ d"'d"'c,- 1

o o ~ 2············ d ~ - 5-1 5

d~ = c,1..:1 ..: 1 d .J. , "'2· ••••••••••• ~

- 5-1 5

d = 5-1

d 5

................... d 1 d

5-1 s

100

d 5

d; .. (d. 1,m. 1)' pentru ... ~- ~-

Deci ci ci ci a el = (d1)lfd1)2'd.1 ,3 (ci 1 )s(d. )S~l o 1 2 .•. ~-l s o \ 1 \ 2) ••• s-l s

= (ci 10

) le d; ) 2 ( d 12

) 3 ••• (d 1 .. ) S deoarece d = l. ~ S-J. S

, __ (,:l)1( .1)2(,:1)3 (d 1)5 . d ' Decl. ... - -o CI '~2 ••• 5-1 .ins ' ecl. ms I :r.

(d",,:::S)(;) (1,.::: ) = 1 şi Cd 1 ... 0 )(~)l - s S-J.· S

( s -li( ~ l ) : ) 1 =- c. 2'::: , = (e. ,m d deci s- s-~ 5-2 s:; (e. 1 ,rr. ) = 1

5-2 s , 15-2) (.: 1 ) (. 1 ':) - = .... 3 ,::: 2 :: C ... ,::: 1 - 1 = s- 5- 5-':) s-_ s- (e 13,m d ci ~) ,

:;- S 5 S-J.

deci (el 1",' m ) = 1 5-j S

(d~,rn~ ,d i "'-2) = (c..~,m ... "le., 3d , 2) 1. _~ __ . l. J..+,j:L+ 1.+

= (cl~,m d d l.'.e., 2) deci (d~,m ) = 1 , l. S S s- ~ ~ l. S

pentru orice i din {O, 1, 2, •.. , s-2}.

::.. ••• =

( O) 1 =- (a, m ) = (a ,:i .•. e. l d m ) deci (a, r:l ) = 1 . o o o 1 s- z sos

Xcum, folosind teorema lui Euler privind congruenţele, obţinem:

1 cp(=: )

(c..l.')' s _ 1 (mod ms) pentru o' 'd' rl.ce 1. 1.n { O , 1 , ... , s}. ~(::l )

a' 5 o

cp(m ) dar 5 a

deci C'.f'em ) 2. 5

-

=

-

1 (mod m ) S

<f(m) 1 cr(m) 1 <f' (m ) 1 ~ (m ) a S (el) S (d

l) S ••• (d 1) 5

o o s-

1 ...... 1 (mod m ) - s 5+1 ori

t,o(m) , ( ) a r; =. mod m... • .., ~(m )

s (e1)5-1(.1)5-2(d1)S-3 (d 1 )1 s a. c • o cI 2 • • . 5-2 • do _

101

s - a. (:-::oc. m) , pentru

Observaţii:

4.3.1. Dacă (a, m) = teoremei 4.3.1 avem:

1 atunci C. =1 • Deci s = O, şi conform

Cf(=:l ) ... 0 O o - a a. =

Dar m = m c. o o = :n .1 o

o <:pC:!! ) ... 0

(mod m) adică a o =- 1 (moc. :::). Deci ~m)

a = 1 (moc. m) , şi astfel obţinem, ca un caz particular, teorema lui Euler.

4.3.2. Fie a şi m doi intregi, m ~ O şi (a m) = d ~ 1, şi m = moda· Dacă (do, ma) = 1, atunci c;p(lil )+1' o

a o = a (mod m). Într-adevăr, din teorema 4.3.1 rezultX C X s = R 1 ţ . a a 1 şi m, =

e a la aceasta arată ca teorema lui Fermat: 'f\p) +1

a = a. (mo~?).

IIlo·

& 4 • 3 • 2 • Prezentăm mai departe un algori tm de congruenţelor, şi o schemă logică de calculare a lui din teorema 4.3.1:

rezolvare a

INTRARE: IEŞIRE:

-METODĂ:

doi intregi a şi m, m ~ O. s şi m astfel incât

s 'P(::: )·s aS,; a.s ( )

(1) A:= a, M := m, i := O.

mod. m •

M) şi M' = M/d.

s şi m s

(2) (3)

Calculează d = (A, Dacă d = 1, atunci Dacă d fi 1, atunci

S = i şi m = M'; stop. s . . A := d, M := M', 1 := 1+1,

şi mergi la pasul (2).

Corectitudinea algoritmului rezultă din lema 4.3.2 şi din teorema 4.3.1. Vezi schema logică de mai jos. În această schema logică, PROCEDURA CMMDC calculează D = (A, M) şi alege D > O.

& 4.3.3. Aplicaţii la rezolvarea unor probleme cu ajutorul teoremei şi algoritmului de mai inainte pentru calcularea lui s şi

ms'

Exemplul 4.3.1. ~56~::? (m::)c' 105T6:;) . Nu se pot folosi nici teorema lui Fermat şi nici a lui Euler deoarece (6,105765) -=.3 1: l. Atunci aplicăm algoritmul de mai sus pentru a afla pe s şi ms' şi pe urmă teorema: do = (6,105i65) ... .3 ma = 105765/3 = 35255

i = O ; 3 1= 1 deci i = O + 1 = 1 '~l = (3,35255) = 1 - - ":;2:::;/'1 - 35"C::: h'"'l - - J J ~ - -.1.,,1 •

102

Deci ~(3 5255) -1 1 o = 6 (:r.cc. 105765) deci

25604 4 6 :: 6 (~, 0-7'-) !!l~_ ~ ::; :-, •

Schemă Logică:

Referinţe:

(START) ., /?.EAll Al, :111 7

,\,

[îI!.- ti.!. \ 1

II : = O 1

PROCEDURĂ CMMDC "'" (A,M,D)

Da ~s = II

j, \~lS = M!

-L

(1) Popovici, C~nstz.."ltin P. - "Teoria. nu.~ere1o-=,",C-.... :-s,Buc:'.:-E:s~, Ec.itU:-3 di~~ctic~ si pe~~--osica, 1973.

(2) Popovici, Const:l."ltin P. - "LogiCe. si teoria n'l:JIler.:1o:-" ,E.:it~a ~lc.actic! si pc~ago5ică, Buca.rczt, 1970.

(3) Crea:..g~ I, C<'..::~cu C, l·1i::'-.:.t ?, ~a.it Gh, Raisc::'e:- Co:-in<'. -"Intrc~.u:::E::-e in te~:-i:!. !l'Ur.lc!"e1o:-" ,E~ tu:-~ c.i::'~tica si ,ed~ogica, 3uc~cst, 1565.

(4) ?'.lSU E. - "A:-=- t!::ne"tica si tco:-i,- nurne:-c1or" ,E::'i t-.:.:-~ ::':'d.:!.c"tică si ~ed~ogica, E~tia. a 2-~, Buc~cst, 1963.

103

REFERINŢE GENERALE (în ordine crono1oqicK):

[1] Constantin Corduneanu, abstract despre această funcţie în <Libertas Mathematica> , Texas state University, Arlington, Vol.9, 1989, 175;

[2] "Smarandache Function Journal", Number Theory Publishing Co., R. Muller Editor, Phoenix, New York, Lyon, Vol.1, NO.1, 1990, ISSN 1053-4792; Prof. Dr. V. Seleacu & Lect. Dr. C. Dumitrescu, Catedra de Matematică, Universitatea din Craiova, Romania, editori ai numerelor următoare;

înregistrată de Library of Congress (Washington, D. C., USA) la cota: QA .246 .563;

recenzat de <Ulrich' s International Periodicals Directory> (R. R. Bowker, New Providence, NJ), 1993-94, p. 3437, şi 1994-95, p.3787;

aşi <The International Directory of Little Magazines şi Small Presses> (Paradise, CA), ediţia 27, 1991, 533; menţionat de Dr. Şerban Andronescu in <New York

Spectator>, No. 39-40, Martie 1991, 51; revista a fost recenzată de <Mathematical Reviews>, Ann

Arbor, MI, 94c, Martie 1994, XXI; şi de <Zentralblatt fur Mathematik>, Berlin, 1995; şi <CUrrent Mathematical Publications>, Providence, RI,

USA, No. 5, Aprilie 1994; recenzată de Constantin Corduneanu in <Libertas

Mathematica>, tomus XI, 1991, 202; menţionată in lista de periodice de la <Zentralblatt

fur Mathematik> (Berlin), VoI. 730, Iunie 1992, 620; şi recenzată de L. T6th (Cluj-Napoca, Romania) in

<Zentralblatt fur Mathematik>, VoI. 745 (11004-11007), 1992; menţionată in <Mathematics Magazine>, Washington, D.

C., VoI. 66, No. 4, octombrie 1993, 280; "Smarandache function", ca o noţiune separată, este

citată in "Library of congress Subject Headings" , pregătit de Cataloging Policy şi Support Office, Washington, D. C., 16th Edition, VoI. IV (Q-Z), 1993, 4456;

[3] R. MUller, "A Conjecture about the Smarandache Function", Joint Mathematics Meetings, New Mexico State University, Las Cruces, NM, Aprilie 5, 1991; şi Canadian Mathematical Society, Winter Meeting, Decembrie 9th, 1991, University of Victoria, BC; şi The SouthWest Section of the Mathematical Association of America / The Arizona Mathematics Consortium, University of Arizona, Tucson, Aprilie 3, 1992;

[4] Sybil P. Parker, editor, <McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms> , New York, Scrisoare către R. Muller, Iulie 10, 1991;

[5] Willia. H. Buje, editor, <CRC Standard Mathematical Tables

104

and Formulae>, The University of Akron, OH, Scrisoare către R. Muller, 1991;

[6] Prof. Dr. M. Hazewinkel, Stichting Mathematisch Centrum / Centrum voor Wiskunde en Informatica, Amsterdam, Netherlands, Scrisoare către R. Muller, 29 Noiembrie 1991;

[7] Anna Hodson, Senior Editor, Cambridge University Press, England, Scrisoare către R. Muller, 28 Ianuarie 1992;

[8] R. Muller, "Smarandache Function journal", notă in , Paradise, CA, Februarie 1992, VoI. 24, No. 2, p. 5; şi Martie 1993, VoI. 25, No. 3, p. 6;

[9] Pilar Caravaca, editor, <Vocabulario Cientifico y Tecnico>, Madrid, Spain, Scrisoare către R. Muller, Martie 16, 1992;

[10 Mike Mudge, "The Smarandache Function" in <Personal Computer World>, London, England, No. 112, Iulie 1992, 420;

[11] Constantin M. Popa, Conferinţă la lansarea cărţii "America, Paradisul Diavolului / jurnal de emigrant" (Ed. Aius, dire prof. Nicolae Marinescu, editor Ileana Petrescu, lector Florea Miu, copertă de Traian Rădulescu, postfaţă de Constantin M. Popa) de Florentin Smarandache (vezi p. 162), Biblioteca Judeţeană <Theodor Aman> , Craiova, 3 Iulie 1992;

[12] Florea Miu, "Interviul nostru", in <cuvântul Libertăţii>, Craiova, Romania, Anul III, Nr. 668, 14 Iulie 1992, 1 & 3;

[13] Mircea Moisa, "Mişcarea Literară Paradoxistă", notă editorială in <CUvântul Libertăţii>, Craiova, Nr. 710, 1992;

[14] John McCarthy, Mansfield, Notts, U. R., "Routines for calculating S(n)" şi Scrisoare către Mike Mudge, August 12, 1992; .

[ 15] R. R. Bowker, Inc., Biography of <Florentin Smarandache>, in "American Men & Womem of Science", New Providence, NJ, ediţia 18, VoI. 6 (Q-S), 1992-3, 872;

[16] Jim Duncan, Liverpool, England, "PCW Numbers Count Jully 1992 - The Smarandache Function", manuscris trimis către Mike Mudge, August 29, 1992;

[17] J. Thompson, Number Theory Association, Tucson, An open problem sol ved (concerning the Smarandache Function) (nepublicat), Septembrie 1992;

[ 18 ] Thomas Martin, Proposed Problem concern ing the Smarandache Function (nepublicat), Phoenix, Septembrie 1992;

[19] Steven Moll, editor, Grolier Inc., Danbury, CN, Scrisoare către R. Muller, 1 Octombrie 1992;

[20] Mike Mudge, "Review, Iulie 1992 / The Smarandache Function: a first visit?" in <Personal Computer World>, London, No. 117, Decembrie 1992, 412;

[21] J. Thompson, Number Theory Association, "A Property of the Smarandache Function", contributed paper, American Mathematical Society, Meeting 878, University of San Antonio, Texas, Ianuarie 15, 1993;

105

şi The SouthWest section of the Mathematical Association of America, New Mexico Tech., Socorro, NM, Aprilie 16, 1993: vezi"Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical society", Providence, RI, Issue 85, VoI. 14, No. 1, 41, Ianuarie 1993:

[22] Mike Mudge, "Mike Mudge pays a return visit to the Florentin Smarandache Function" in <Personal Computer World>, London, No. 118, Februarie 1993, 403:

[23] David W. Sharpe, editor, <Mathematical Spectrum>, Sheffield, U.K., Scrisoare către Th. Martin, 12 Februarie 1993:

[24] Nigel Backhouse, Helsby, Cheshire, U. K., "Does Samma (= the Smarandache function used instead of Gamma function for sommation) exist?", Scrisoare către Mike Mudge, Februarie 18, 1993:

[25] Dr. J. R. Sutton, Mumbles, Swansea, U. K., "A BASIC PROCedure to calculate S(n) for alI powers of a prime number" şi Scrisoare către Mike Mudge, Primăvara 1993:

[26] Pedro Melendez, Belo Horizonte, Brasil, Two proposed problems concern ing the Smarandache Function (nepublicat), Mai 1993:

[27] Thomas Martin, Elementary Problem B-740 (folosind inversa funcţiei Smarandache), in <The Fibonacci Quarterly>, Editor: Dr. Stanley Rabinowitz, Westford, MA, VoI. 31, No. 2, p. 181, Mai 1993:

[28] Thomas Martin, Aufgabe 1075 (folosind inversa funcţiei Smarandache), in <Elemente der Mathematik>, Editors: Dr. Peter Gallin & Dr. Hans Walser, CH-8494 Bauma & CH-8500 Frauenfeld, Switzerland, VoI. 48, No. 3, 1993:

[29] I. Prodănescu, Problemă Propusă privind Funcţia Smarandache (nepublicat), Lahovari college, Rm. Vâlcea, România, Mai 1993:

[30] Lucian Tuţescu, O generalizare a Problemei propuse de I. Prodănescu (nepublicat), Lic. No. 3, Craiova, Mai 1993;

[31] T. Pedreira, Bluffton College, Ohio, "Quelques Equations Diophantiennes avec la Fonction Smarandache", abstract pentru <Theorie des Nombres et Automates>, CIRM, Marseille, France, Mai 24-8, 1993;

[32] Prof. Dr. Bernd Wegner, editor şef, <Zentralblatt fOr Mathematik / Mathematics Abstracts>, Berlin, Scrisori către R. Muller, 10 Iulie 1991, 7 Iunie 1993;

[33] Anne Lemarchand, editoare, <Larousse>, Paris, France, Scrisoare către R. Muller, 14 Iunie 1993:

[34] Debra Austin, "Smarandache Function featured" in <Honeywell Pride>, Phoenix, Arizona, Iunie 22, 1993, 8:

[35] R. Muller, "Unsolved Problems related to the Smarandache Function", Number Theory Publishing CO., Phoenix, New York, Lyon, 1993:

[36] David Dillard, inginer de software, Honeywell, Inc., Phoenix, "A question about the Smarandache Function", email către <SIGACT> , Iulie 14, 1993;

[37] lan Parberry, Editor of <SIGACT News> , Denton, Texas, Scrisoare către R. Muller (aupra calculării funcţiei

106

Smarandache), Iulie 19, 1993; [38] G. Fernandez, Paradise Valley Community College,

"Smarandache Function as a Screen for the Prime Numbers", abstract pentru Conferinţa <Cryptography and Computational Number Theory> , North Dakota State University, Fargo, ND, Iulie 26-30, 1993;

[39] T. Yau, "Teaching the Smarandache Function to the American Competition Students", abstract pentru <Mathematica seminar>, 1993; şi conferinţa de la American Mathematical Society, Cincinnati, Ohio, Ianuarie 14, 1994;

[40] J. Rodriguez, Sonora, Mexico, Two open problems conceming the Smarandache Function (nepublicat), August 1993;

[41] J. Thompson, Number Theory Association, "Some Limits involving the Smarandache Function", abstract, 1993;

[42] J. T. Yau, "Is there a Good Asymptotic Expression for the Smarandache Function", abstract, 1993;

[43] Dan Brown, Account Executive, Wolfram Research, Inc., Champaign, IL, Scrisoare c!tre T. Yau (despre implementarea funcţiei Smarandache pe computer folosind pachetul de programe software Mathematicae ), August 17, 1993:

[44] Constantin Dumitrescu, "A Brief History of the Smarandache Function" (versiune preliminar!), abstract pentru <Nineteenth International Congress of the History of Science>, Zaragoza, Spain, August 21-9, 1993: publicat sub titlul "The Smarandache Function" in <Mathematical Spectrum>, Sheffield, UK, VoI. 26, No. 2, 39-40, 1993, Editor D. W. Sharpe: de asemenea publicat in "Octogon", Braşov, VoI. 2, No. 1, Aprilie 1994, 15-6, editor M. Bencze:

[45] Florin Vasiliu, "Florentin Smarandache, le poete du point sur le in, etude introductive au volume tri1ingue des poemes haiku-s <Clopotul T!cerii / La Cloche du Silence / Silence's BeII>, de Florentin Smarandache, Editura Haiku, Bucureşti, translator Rodica Ştef!nescu, Toamna 1993, 7-8 & 121 & 150;

[46] M. Marinescu, "Nume românesc in matematic!", in <Universul>, Anul IX, Nr. 199, 5, Editor Aristide Buhoiu, North Hollywood, CA, August 1993; şi "Literatura paradoxist! in-creat! de Smarandache", in <Jurnalul de Dolj>, Director Sebastian Domozin!, Craiova, No. 38, 1-7 Noiembrie, 1993:

[47] G. Vasile, "Apocalipsul ca form! de guvernare", in <Baricada>, Nr.37 (192), 24, Bucharest, 14 septembrie, 1993:

[48] Mike Mudge, "Review of Numbers Count - 118 - Februarie 1993: a revisit to The Florentin Smarandache Function", in <Personal Computer World>, London, No. 124, August 1993, 495:

[49] PăI Gr0năs, Norway, Theoretical results on both problems (O) & (V) from [13], c!tre Mike Mudge, Vara 1993:

[50] Henry Ibstedt, Broby, Sweden, Work on the problems (O) to

107

(V), from [ 13 ]; câştigând premiul revistei <Personal Computer World> (concerning some open problems related to the Smarandache Function) din August 1993;

[51] Dumitru Acu, Universitatea din Sibiu, Catedra de Matematică, România, Scrisoare din 29.08.1993;

[52] Francisco Bellot Rosado, Valladolid, spain, Scrisoare din 02.09.1993;

[53] Dr. Petre Dini, universite de Montreal, Quebec, e-mail către 23-Sep-1993;

[54] Ken Tauscher, Sydney, Australia, Solved problem: To find the best bond for the Smarandache Function (nepublicat), septembrie, 1993;

[55] A. Stuparu, Vâlcea, problem of Number Theory (nepublicat), octombrie 1993;

[56] M. Costewitz, Bordeaux, France, Generalisation du probleme 1075 de 1'<Elemente der Mathematik> (nepublicat), octombrie 1993;

[57] G. Dincu (Drăgăşani, România), "Aritmogrif în Aritmetică" / puzzle, <Abracadabra>, Anul 2, Nr. 13, 14-5, Salinas, CA, Editor Ion Bledea, Noiembrie 1993;

[58] T. Yau, student, pima Community College, "Alphanumerics and Solutions" (nepublicat), octombrie 1993;

[59] Dan Fornade, "Români din Arizona", in <Luceafărul Românesc>, Anul III, Nr. 35, 14, Montreal, Canada, Noiembrie 1993;

[60] F. P. Micşan, "Români pe Mapamond" , in <Europa>, Anul IV, Nr. 150, 15, 2-9 Noiembrie 1993;

[61] Valentin Verzeanu, "Florentin Smarandache", in <Clipa> Anaheim, CA, No. 117, 42, Noiembrie 12, 1993;

[62] 1. Rotaru, "Cine este F.S. ?", prefaţă la jurnalul de lagăr din Turcia "Fugit ••• ", Ed. Tempus (director Gheorghe stroe), Bucureşti, 1993;

[63] T. Yau, student, pima· Comunity College, Two proposed problems: one solved, another unsolved (nepublicat), Noiembrie 1993;

[64] G. Vasile, "America, America ••• ", in <Acuz>, Bucharest, Anul 1, No. 1, 12, 8-14 Noiembrie, 1993;

[65] Arizona State University, The "Florentin Smarandache Papers" Special Collection [1979 - ], procesată de Carol Moore & Marilyn Wurzburger (librarian specialists), Volume: 20 linear feet, CaII t: MS SC SM-15, Locn: HAYDEN SPEC, Collections Disk 13 :A: \SMARDCHE\FLRN SMA, Tempe, AZ 85287, USA (online din Noiembrie 1993); e-mail: [email protected], phone: (602) 965-6515;

[66] G. Fernandez, Paradise Valley Community College, "An Inequation concern ing the Smarandache Function", abstract pentru Conferinţa <Mathematical Breakthroughs in the 20th century>, State University of New York at Farmingdale, Aprilie 8-9, 1994;

[67] F. Vasiliu, "Paradoxism's Main Roots" (vezi "Introduction", 4), Xiquan Publ. House, Phoenix, Chicago, 1994;

[68] P. Melendez, Belo Horizonte, BraziI, respectiv T. Martin, Phoenix, Arizona, USA, "Problem 26.5 " [chestiunile (a),

108

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

respectiv (b) şi (c)], in <Mathematical Spectrum>, Sheffield, UK, VoI. 26, No. 2, 56, 1993; Jim Duncan, "Algorithm in Lattice C to generate S(n)", <Smarandache Function Journal>, VoI. 2-3, No. 1, pp. 11-2, Decembrie 1993;

Jim Duncan, "Monotonie Increasing and Decreasing Sequences of S (n) ", <Smarandache Function Journal> , VoI. 2-3, No. 1, pp. 13-6, Decembrie 1993; Jim Duncan, "an the Conjecture Ds(k) (1) = 1 or o for k>=2", <Smarandache Function Journal>, VoI. 2-3, No. 1, pp. 17-8, Decembrie 1993; John C. McCarthy, "A Simple Algorithm to Calculate S (n) " , <Smarandache Function Journal>, VoI. 2-3, No. 1, pp. 19-31, Decembrie 1993; păI Grezmăs, "A Note on S (nr ) ", <Smarandache Function Journal>, VoI. 2-3, No. 1, p. 33, Decembrie 1993; PăI Grezmăs, "A Proof of the Non existence of ' Samma ' " , <Smarandache Function Journal>, VoI. 2-3, No. 1, pp. 34-5, Decembrie 1993; John Sutton, "A BASIC PROCedure to calculate S(pAi)", <Smarandache Function Journal>, VoI. 2-3, No. 1, pp. 36-7, Decembrie 1993; Henry Ibstedt, "The Florentin Smarandache Function S(n) -

programs, tables, graphs, comments", <Smarandache Function Journal>, VoI. 2-3, No. 1, pp. 38-71, Decembrie 1993; Veronica Balaj, Interviu la Radio Timişoara, Noiembrie 1993; published in <Abracadabra>, Salinas, CA, Anul II, Nr. 15, 6-7, Ianuarie 1994; Gheorghe Stroe, Post face for <Fugit ••• / jurnal de lagăr> (pe coperta a IV-a), Ed. Tempus, Bucharest, 1994; Peter Lucaci, "Un membru de valoare în Arizona", in <America>, Cleveland, Ohio, Anul 88, VoI. 88, No. 1, p. 6, Ianuarie 20, 1994; Debra Austin, "New Smarandache j ournal issued" , in

<Honeywell Pride>, Phoenix, Year 7, No. 1, p. 4, Ianuarie 26, 1994; Ion Pachia Tatomirescu, "Jurnalul unui emigrant in

<paradisul diavolului>" , in <Jurnalul de Timiş> , Timişoara, Nr. 49, p.2, 31 ianuarie - 6 februarie 1994;

Dr. Nicolae Rădescu, Department of Mathematics, University of Craiova, "Teoria Numerelor", 1994; Mihail 1. Vlad, "Diaspora românească / Un român se afirmă ca matematician şi scriitor în S.U.A.", in <Jurnalul de Târgovişte>, Nr. 68, 21-27 februarie 1994, p.7; Th. Marcarov, "Fugit ••• / jurnal de lagăr", in <România liberă>, Bucureşti, Martie Il, 1994; Charles Ashbacher, "Review of the Smarandache Function Journal", Cedar Rapids, IA, USA, publicat in <Journal of Recreational Mathematics>, 1994; J. Rodriguez & T. Yau, "The Smarandache Function" [problem 1, şi problem II, III ("Alphanumerics and sOlutions") respectiv], in <Mathematical Spectrum>, Sheffield, United Kingdom, 1993/4, VoI. 26, No. 3, 84-5;

109

[87] J. Rodriguez, problem 26.8, in <Mathematical Spectrum>, Sheffield, United Kingdom, 1993/4, VoI. 26, No. 3, 91;

[88] Ion Soare, "Valori spirituale vâlcene peste hotare", in <Riviera Vâlceană>, Rm. Vâlcea, Anul III, Nr. 2 (33), Februarie 1994;

[89] Ştefan Smărăndoiu, "Miscellanea", in <Pan Matematica>, Rm. Vâlcea, VoI. 1, Nr. 1, 31;

[90] Thomas Martin, Problem L14, in <Pan Matematica>, Rm. Vâlcea, VoI. 1, Nr. 1, 22;

[91] Thomas Martin, Problems PP 20 & 21, in <Octogon>, VoI. 2, No. 1, 31;

[92] Ion Prodanescu, Problem PP 22, in <Octogon>, VoI. 2, No. 1, 31;

[93] J. Thompson, Problems PP 23, in <octogon>, VoI. 2, No. 1, 31:

[94] Pedro Melendez, Problems PP 24 & 25, in <Octogon>, VoI. 2, No. 1, 31;

[ 95] Dr. C. Dumi trescu , "La Fonction de Smarandache - une nouvelle dans la theorie des nombres", Congres International <Henry-Poincare>, Universite de Nancy 2, France, 14 - 18 Mai, 1994:

[96] C. Dumitrescu, "La Fonction de Smarandache - une nouvelle fonction dans la theorie des nombres" , Congres International <Henry-Poincare>, Universite de Nancy 2, France, 14 - 18 Mai, 1994;

[97] C. Dumitrescu, "A brief history of the <Smarandache Function>", republicat in <New Wave> , 34, 7-8, Vara 1994, Bluffton College, Ohio; Editor Teresinka pereira;

[98] C. Dumitrescu, "A brief history of the <Smarandache FUnction> " , republicat in <octogon>, Braşov, VoI. 2, No. 1, 15-6, Aprilie 1994: Editor Mihaly Bencze:

[99] Magda Iancu, "Se intoarce acasă americanul / Florentin Smarandache", in <CUrierul de Vâlcea>, Rm. Vâlcea, Iunie 4, 1994:

[100] l. M. Radu, Bucharest, Unsolved problem (nepublicat); [101] W. A. Rose, University of Cambridge, (şi Gregory

Economides, Uni versi ty of Newcastle upon Tyne Medical SChool, England), Solutions to Problem 26.5 [(a), (b), (c)], in <Mathematical Spectrum>, U. K., VoI. 26, No. 4, 124-5;

[102] David E. Zitarelli, recenzie la "A brief history of the <Smarandache Function>II , in <HISTORIA MATHEMATICA> , Academic Press, Inc., Harcourt Brace & Co., San Diego, New York, Boston, London, Sydney, Tokyo: VoI. 21, No. 1, Februarie 1994, 102; #21.1.42; şi in <HISTORIA MATHEMATlCA>, VoI. 21, No. 2, Mai 1994, 229: #21.2.28, #21.2.29;

[103] Carol Moore, Arizona State University Library, Scrisoare către C. Dumitrescu şi V. Seleacu asupra Arhivelor Noţiunilor Smarandache, Aprilie 20, 1994:

[104] T. Yau, "Teaching the Smarandache Function to the American Competition Students", abstract, Department of Mathematics, University of Oregon, 1994; Scrisoare de la Richard M. Koch, 6/14/94;

110

[105] George Femandez, Paradise Valley Community College, "An inequation concerning the Smarandache Function", abstract, International Congress of Mathematicians ( ICM 94 ), Zdrich, 3-11 August 1994;

[106] George Miţin Vărieşescu, Sydney, Australia, abstract in "Orizonturi Albastre / Poeţi Români în Exil", Cogi to Publishing House, Oradea, 1993, 89-90;

[107] Paula Shanks, <Mathematical Reviews>, Scrisoare către R. Muller, Decembrie 6, 1993;

[108] Harold W. Billings, Director of General Libraries, The University of Texas at Austin, "The Florentin Smarandche Papers (1978-1994)" Special Collection, Archives of American Mathematics, Center for American History, SRH 2.109, TX 78713, tel. (512) 495-4129, 10 linearfeet;

[109] M. Andrei, I. B!Iăcenoiu, C. OUmitrescu, E. Rădescu, N. R~descu, şi V. Seleacu, "A linear combination with the Smarandache Function to obtain the identity", <Proceedings of the 26th Annual Iranian Mathematics Conference>, pp. 437-9, Kerman, Iran, Martie 28-31, 1995;

[110] I. Rotaru, "Cine este Florentin Smarandache ?", preface for "Fugit... jurnal de lagăr", p. 5, Ed. Tempus, Bucharest, 1994;

[111] Geo Stroe, postfaţă la "Fugit... jurnal de lagar", coperta IV, Ed. Tempus, Bucharest, 1994;

[112] Henry Ibstedt, "Smarandache Function Graph / The prominence of Prime Numbers", <Smarandache Function Journal>, VoI. 4-5, No. 1, coperta I, Septembrie 1994;

[113] Ion BăIăcenoiu, "Smarandache Numerical Functions", <Smarandache Function Joumal>, VoI. 4-5, No. 1, pp. 6-13, Septembrie 1994;

[114] păI Gr0năs, "The Solution of the diophantine equation a,,(n) = n (O)", <Smarandache Function Joumal>, VoI. 4-5, No. 1, pp. 14-6, Septembrie 1994;

[115] J. R. Sutton, "Calculating the Smarandache Function for powers of a prime (Pascal program)", <Smarandache Function Journal>, VoI. 4-5, No. 1, pp. 24-26, Septembrie 1994;

[116] J. R. Sutton, "Calculating the Smarandache Function wi thout factorising" , <Smarandache Function Joumal> , VoI. 4-5, No. 1, pp. 27-31, Septembrie 1994;

[117] Henry Ibstedt, "An Illustration of the Distribution of the Smarandache Function" , <Smarandache Function Journal>, VoI. 4-5, No. 1, 34-5, Septembrie 1994;

[118] Peter Bundschuh, Koln, "Auswertung der eingesandten Lesungen", in <Elemente der Mathematik>, Switzerland, VoI. 49, No. 3, 1994, 127-8; şi Harald Fripertinger (Graz, Austria), Walther Janous

(Innsbruck, Austria), Hans Irminger (Wetzikon, CH), Joachim Klose (Bonn), Hansjurg Ladrach (Aarwangen, CH), Pieter Moree (Princeton, USA) , Andreas Muller (Altendorf, CH), Werner Raffke (Vechta, Germany), Hans Schneider (Freiburg i. Br.), H.-J. Seiffert (Berlin), Michael Vowe (Therwill, CH) au rezolvat de asemenea această problemă;

[119] Gh. Tomozei, "Funcţia Smarandache", prefaţă la <Exist

111

împotriva mea>, poeme pre-paradoxiste de F. Smarandache, Ed. Macarie, Târgovişte, 1994, pp. 5-9; şi in <Literatorul>, Bucureşti, Nr. 42 (159), 14-21 octombrie 1994, p.6;

[120] Khalid Khan, London School of Economics, "Scrisoare către the Editor / The Smarandache function", in <Mathematical Spectrum>, VoI. 27, No. 1, 1994/5, 20-1;

[121] Pal Gr<zmas, stj ordal, Norway, "Scrisoare către the Editor / The Smarandache function", in <Mathematical Spectrum>, VoI. 27, No. 1, 1994/5, 21;

[122] Khalid Khan, London School of Economics, Solution to problem 26.8, in <Mathematical Spectrum>, VoI. 27, No. 1, 1994/5, 22; rezolvată şi de David Johansen şi Polly Show, Dame Allan's Girls' School, Newcastle upon Tyne, U. K.;

[123] Jane Friedman, "Smarandache in Reverse" / solution to problem B-740, in <The Fibonacci Quarterly>, USA, Noiembrie 1994, pp. 468-9;

[124] A. Stuparu, Problem H-490, in <The Fibonacci Quarterly>, VoI. 32, No. 5, Noiembrie 1994, p.473i

[125] Dumitru IChim, Cronică in <CUvântul Românesc>, Hamilton, Ontario, Canada, Anul 20, Nr. 221, Noiembrie 1994, p.12;

[126] Mihaly Bencze, Open Question: QQ 6, in <Octogon>, Braşov, VoI. 2, No. 1, Aprilie 1994, p.34;

[127] Pr. R. Halleux, redactor şef, <Archives Internationales d'Histoire des Sciences>, Universite de Liege, Belgique, Scrisoare către R. Muller, 14 Noiembrie 1994;

[128] Marian Mirescu, "Catedrala Funcţiei Smarandache" (desen), in <Abracadabra>, Salinas, CA, Decembrie 1994, p. 20;

[129] A. D. Rachieru, " 'Avalanşa' Smarandache", in <Banatul>, Timişoara, Nr. 4, 1994;

[130] Gh. Suciu, "Spre America - Via Istambul", in <Minerva>, Bistriţa-Năsăud, Anul V, No. 39-40, p.10, Octombrie -Noiembrie 1994;

[131] Ion Radu Zăgreanu, " 'Exist împotriva mea' ", in <Minerva>, Bistriţa-Năsăud, Anul V, No. 39-40, p.10, Octombrie - Noiembrie 1994;

[132] R. Muller, editor of "Unsolved Problems related to Smarandache Function", Number Theory Publ. Co., Phoenix, 1993; recenzat in <Mathematical Reviews>, Ann Arbor, 94m: 11005, 11-06;

[133] Gh. Stroe, "Smarandache Function", in <Tempus>, Bucharest, Anul III. Nr. 2(5), Noiembrie 1994, p.4;

[134] Dr. Dumitru Acu, University of Sibiu, "Funcţia Smarandache ... ", in <Abracadabra>, Salinas, CA, Ianuarie 1995, No. 27, Anul III, p.20;

[ 135] Lucian TUţescu, " .•• funcţia Smarandache .•• " , in <Abracadabra>, Salinas, CA, Ianuarie 1995, No. 27, Anul III, p.20;

[ 136] Constantin M. Popa, "Funcţia ... " , in <Abracadabra> , Salinas, CA, Ianuarie 1995, No. 27, Anul III, p.20;

[137] Prof. M. N. Gopalan, Editor, <Bulletin of Pure & Applied

112

Sciences>, Bombay, India, Scrisoare către M. Andrei, Decembrie 26, 1994;

[138] Dr. Peter L. Renz, Academic Press, Cambridge, Massachusetts, Scrisoare către R. Muller, Ianuarie 11, 1995;

[139] Charles Ashbacher, recenzie la "Smarandache function Journal", in <Journal of Recreational Mathematics>, USA, VoI. 26(2), pp. 138-9, 1994;

[140] N. J. A. SIoane, S. Plouffe, B. Salvy, "The Encyclopaedia of Integer Sequences", Academic Press, San Diego, New York, Boston, London, Sydney, Tokyo, Toronto, 1995, M0453 N0167; şi onl ine : SUPERSEEKER@RESEARCH. ATT • COM (de N. J. A. SIoane, S. Plouffe, B. Salvy, AT&T BeII Laboratories, Murray Hill, New Jersey 07974, USA) prezentate ca:

şi

"NUMERELE SKARANDACHE": S (n), pentru n = 1, 2, 3, ••• , [M0453], (valorile Funcţiei Smarandache),

"CÂTURlLE SKARANDACHE" : pentru n > O, să se găsească cel mai mic k astfel incât nk să fie un factorial, adică S(n)/n, pentru n = 1, 2, 3, ••• ;

şi in ultima versiune electronică a enciclopediei mai există alte 12 noţiuni:

"DUBLII FACTORI ALI SKARANDACHE" , "BAZA PĂTRATĂ SKARANDACHE", "BAZA CUBICĂ SKARANDACHE", "BAZA PRIMĂ SKARANDACHE" , "SECVENŢA SIMETRICĂ SKARANDACHE", "SECVENŢA CONSECUTIVĂ SKARANDACHE" , "SECVENŢA DECONSTRUCTIVĂ SKARANDACHE", "SECVENŢA OGLINDĂ SMARANDACHE", "SECVENTA PERMUTAŢIONALA SKARANDACHE", "SECVENŢA INVERSĂ SKARANDACHE", "CIURUL CONSECUTIV SKARANDACHE", "FUNCŢIA PSEUDOSKARANDACHE" :

[141] Editorii de la <Mathematical Reviews>, recenzia cărţii "Unsol ved Problems related to Smarandache Function" de F. Smarandache, editată de R. Muller, 94m:ll005;

[142] Jean-Marie De Koninck, Quebec, recenzia articolului "A function in the number theory" de F. Smarandache, in <Mathematical Reviews>, 94m:11007, p.6940i

[143] Jean-Marie De Koninck, Quebec, recenzia articolului "Some linear equations involving a function in the number theory" de F. Smarandache, in <Mathematical Reviews>, 94m:11008, p.6940;

[144] ArmeI Mercier, recenzia articolului "An infinity of unsol ved problems conceming a function in the number theory" de F. Smarandache, in <Mathematical Reviews>, 94m:ll010, p.6940;

[145] ArmeI Mercier, recenzia articolului "Solving problems by using a function in the mnumber theory" de F . Smarandache, in <Mathematical Reviews> , 94m:11011, p.6941;

[146] I. M. Radu, Bucharest, Scrisoare către the Editor ("The Smarandache function"), in <Mathematical Spectrum>, Sheffield University, UK, VoI. 27, No. 2, p. 43, 1994/5:

113

[147] Paul Erdos, Hungarian Academy of sciences, Scrisoare către Editor ("The Smarandache function inter alia"), in <Mathematical Spectrum>, VoI. 27, No. 2, pp. 43-4, 1994/5;

[148] Ion Soare, "Un scriitor al paradoxurilor: Florentin Smarandache", 114 pages, Ed. Almarom, RIn. Vâlcea, Romania, p.67, 1994;

[149] Or. C. Oumitrescu, "Funcţia Smarandache", in <Foaie Matematică>, Chişinău, Moldova, No. 3, p. 43, 1995;

[150] O. W. Sharpe, A. Stuparu, problem 1, in <Foaie Matematică>, Chişinău, Moldova, No. 3, p.43, 1995;

[151] Pedro Melendez, Problem 2, in <Foaie Matematică>, Chişinău, Moldova, No. 3, p.43, 1995;

[152] Ken Tauscher, Problem 3, in <Foaie Matematică>, Chişinău, Moldova, No. 3, p.43, 1995;

[153] Thomas Yau, Problem 4, in <Foaie Matematică>, Chişinău, Moldova, No. 3, p.43, 1995;

[154] Lohon, O., Buz, Maria, Biblioteca Universităţii din Craiova, Scrisoarea Nr. 499, Iulie 07, 1995.

[155] Growney, JoAnne, Bloomsburg University, PA, "The most Humanistic Mathematician: Florentin Smarandache" şi Larry seagull, "Poem in Arithmetic Space", in <Humanistic Mathematics Network>, Harvey Mudd College, Claremont, CA, octombrie 1995, * 12, p. 38 şi respectiv pp. 38-40;

[156] Le, Charles T., "The most paradoxist mathematician of the world", in <Bulletin of Number Theory>, Martie 1995, VoI. 3, No. 1;

[157] Seagull, Larry, Glendale Community College, "Poem in Arithmetic Space", in <Abracadabra>, Salinas, CA, August 1995, Anul III, No. 34, pp.20-1;

[158] Moore, Carol (Library Specialist), Wurzburger, Marilyn (Head of Specila Collections), Abstract, "The Florentin Smarandache papers" special collection, CaII * SM SC SM-15, at Arizona state University, Tempe, AZ 85287-1006, Box 871006, Tel. (602) 965-6515, E-mail: [email protected] , USA;

[159] Zitarelli, David, recenzie asupra articolului "A brief history of the ' Smarandache FUnction'", de C. numi trescu, in <Historia Mathematica>, Academic Press, USA, Mai 1995, VoI. 22, No. 2, p. 213, *22.2.22;

[160] Alkire, Leland G., Jr., Editor, <periodical Title Abbreviations>, Kennedy Library, Eastern Washington University, Cheney, Washington, Scrisoare către R. Muller, Aprilie 1995;

[161] Summary of R. Muller.s "Unsolved problems related to Smarandache Function" book, in <Zentralblatt fur Mathematik>, Berlin, 1995, 804-43, 11006;

[162] Oumitrescu, C., "Funcţia Smarandache", in <Caiet de informare matematică>, 'Nicolae Grigorescu' College, Câmpina, Mai 1995, Anul XVII, No. 33, p. 976;

[163] Melendez, Pedro, Bello Horizonte, BraziI, Problemă Propusă 1, in <Caiet de informare matematică>, 'Nicolae Grigorescu' College, Câmpina, Mai 1995, Anul XVII, No.

114

33, p. 976: [164] Sharpe, D. W., Stuparu, A., Problemă Propusă 2, in

<Caiet de informare matematică>, 'Nicolae Grigorescu' College, Câmpina, Mai 1995, Anul XVII, No. 33, pp. 976-7:

[165] Rodriguez, J., Sonora, Mexico, Problemă Propusă 3, in <Caiet de informare matematică>, 'Nicolae Grigorescu' College, Câmpina, Mai 1995, Anul XVII, No. 33, p. 977:

[166] Tauscher, Ken, Sydney, Australia, Problemă Propusă 4, in <Caiet de informare matematică>, 'Nicolae Grigorescu' College, Câmpina, Mai 1995, Anul XVII, No. 33, p. 977:

[167] Index of <Mathematical Spectrum>, University of Sheffield, England, Vara 1995, VoI. 25-7, p. 71:

[168] Abstract privind <Smarandache Function Journal>, in <Ulrich's International Periodicals Directory>, USA, 1994-5, Mathematics 3783:

[169] Burton, Emil, <Tudor Arghezi> College, Craiova, Scrisoare din Mai 18, 1995:

[170] Fons Libris, Pretoria, South Africa, Scrisoare către Editor, Mai 1995;

[171] Sakharova, V., <Referativnyi Zhurnal>, Moscow, Russia, Scrisoare către R. Muller, Iulie 20, 1995, No. 64-645/11:

[172] Dumitrescu, C., Seleacu, V., editori, "Some notions şi questions in the number theory", Erhus Uni v • Press, Glendale, Arizona, 1994:

[173] Erdos, Paul, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, Scrisoare către T. Yau, Iunie 18, 1995:

[174] Lungu, Al., Bonn, Germany, Scrisoare din Aprilie 04, 1995:

[175] Vlad, Mihail I., "Nota Editorului", in <Emigrant la Infinit>, Ed. Macarie, Târgovişte, Romania, 1995:

[176] Henry Ibstedt, "Smarandache's Function Sen) Distribution for n up to 100", <5marandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, coperta I, Iunie 1995:

[177] Marcela Popescu, Paul Popescu, Vasile Seleacu, "On some numerical functions", <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, pp. 3-5, Iunie 1995:

[178] I. BăIăcenoiu, V. Seleacu, "Properties of the numerical functions Fs"' <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, pp. 6-10, Iunie 1995:

[179] V. Seleacu, Narcisa Virlan, nOn a limit of a sequence of a numerical function", <Smarandache Function Journal> , VoI. 5-6, No. 1, pp. 11-2, Iunie 1995;

[180] Emil Burton, nOn some series involving the Smarandache Function", <Smarandache Function Journal> , Vo1. 5-6, No. 1, pp. 13-5, Iunie 1995;

[181] I. BăIăcenoiu, V. Seleacu, "Some properties of the Smarandache Function of the type I", <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, pp. 16-20, Iunie 1995;

[182] Charles AShbacher, "Some problems on Smarandache Function", <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, pp. 21-36, Iunie 1995;

[183] I. BăIăcenoiu, M. Popescu, V. Seleacu, "Aboui t the

115

Smarandache Square's Complementary Function", <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, pp. 37-43, Iunie 1995;

[184] Tomiţă Tiberiu Florin, "Some remarks concern ing the distribution of the Smarandache function", <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, pp. 44-9, Iunie 1995:

[185] E. Rădescu, N. Rădescu, C. Dumitrescu, "Some elementary algebraic considerations inspired by the Smarandache Function", <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, pp. 50-4, Iunie 1995;

[186] I. BăIăcenoiu, C. Dumitrescu, "Smarandache Functions of the Second Kind", <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, pp. 55-8, Iunie 1995:

[187] M. Popescu, P. Popescu, "The problem of Lipschitz condition", <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, pp. 59-63, Iunie 1995:

[188] L. Seagull, "A generalization of a problem of Stuparu", <Smarandache Function Joumal>, VoI. 5-6, No. 1, p. 71, Iunie 1995:

[189] L. Seagull, "An important formula to calculate the number of primes less than x", <Smarandache Function Journal>, VoI. 5-6, No. 1, p. 72, Iunie 1995;

[190] Tomikawa, Hisaya, Magalog project Group, Tokyo, Japan, abstract despre <Smarandache Notions> j oumal , August 1995:

[191] Erdos, Paul, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, Scrisoare către T. Yau, August 7, 1995:

[192] Hazewinkel, M. , stichting Mathematisch Centrum, Amsterdam, Scrisoare către I. BăIăcenoiu, Iulie 4, 1995;

[193] SIoane, N. J. A., AT&T BeII Labs, Murray Hill, New Jersey, USA, [email protected], E-mails to R. Muller, Februarie - August 1995;

[194] Ashbacher, Charles, Decisionmark, Cedar Rapids, Iowa, "An Introduction to the Smarandache Function", 60 pp., Erhus University Press, VaiI, Az, USA, 1995;

[195] Ecker, Michael W., Editor of <Recreational & Educational Computing>, Clarks Summit, PA, E-mail of 22-SEP-1995:

[196] Ecker, Michael W., Editor of <Recreational & Educational Computing> , Clarks Summit, PA, Două E-mail_uri din 26-SEP-1995;

[197] Andrei, M., Dumitrescu, C., Seleacu, V., Tutescu, L., Zanfir, st., "Some remarks on the Smarandache function", in <Bulletin of Pure and Applied Sciences>, Editor Prof. M. N. Gopalan, Bombay, India, VoI. 14E, No. 1, 35-40, 1995;

[198] Mudge, Michael Richard, Scrisoare către S. Abbott, The Editor of <The Mathematical Gazette>, U. K., Octombrie 7, 1995;

[199] Mudge, Michael Richard, Scrisoare către David Wells, The Author of the <penguin Dictionary of Interesting and Curious Numbers>, U. K., octombrie 8, 1995;

[200] Mudge, Michael Richard, "A paradoxal mathematician, his function, paradoxist geometry, and class of paradoxes",

116

manuscris, Octombrie 7, 1995; [201] Mudge, Michael Richard, "A paradoxal mathematician, his

function, paradoxist geometry, and class of paradoxes", manuscris, octombrie 7, 1995;

[202] Ashbacher, Charles, Problem A, in <Personal Computer World>, London, Octombrie 1995;

[203] Radu, I. M., Problem B, in <Personal Computer World>, London, octombrie 1995;

[204] Mudge, Mike, "The Smarandache Function revisited, plus a reader's miscellany", in <Personal Computer World>, London, Octombrie 1995;

[205] Ashbacher, Charles, "The Smarandache Scrisoare către the Editor, in <The Spectrum>, editor D. W. Sharpe, University VoI. 28, No. 1, 20, 1995/6;

function-1", Mathematical

of Sheffield,

[206] Seagull, L., "The Smarandache function-2", Scrisoare către Editor, in <The Mathematical Spectrum>, editor D. W. Sharpe, University of Sheffield, VoI. 28, No. 1, 20, 1995/6;

[207] Ashbacher, Charles, "The Smarandache function and the Fibonacci relationship", Scrisoare către the Editor, in <The Mathematical Spectrum>, editor D. W. Sharpe, University of Sheffield, VoI. 28, No. 1, 20, 1995/6;

[208] Ashbacher, Charles, Scrisoare către R. Muller, Octombrie 26, 1995;

[209] Muller, R., Scrisoare către Elias Toubassi, University of Arizona, Tucson, Octombrie 30, 1995:

[210] Dumitrescu, Constantin, "Solved and Unsolved Problems related to the Smarandache Function", The Second Asian Mathematics Conference (AMC '95), Nakhon Ratchasima, Thailand, octombrie 17-20, 1995:

[211] Sandor, Jozsef, Forteni, Harghita, nOn certa in inequalities involving the Smarandache function", articol nepublicat:

[212] Zitarelli, David E., Scrisoare către Mario Hernandez, Noiembrie 1995:

[213] Bruckman, Paul S., Solution to problem H-490, in <The Fibonacci Quarterly>, VoI. 33, No. 5, Noiembrie 1995, pp. 476-7: şi de asemenea M. Ballieu, A. Dujella, N. Jensen, H.-J. Seiffert, A. Stuparu:

[214] 'First International Conference on Smarandache Type Notions in Number Theory', August 21-24, 1997,

organizatori: C. Dumitrescu & V. Seleacu, Dept. of Math., Univ. of Craiova, Romania [vezi <Notices of the American Mathematical Society>, VoI. 42, No. 11, Noiembrie 1995, p. 1366]: conferinţa se desfăşoară sub auspiciile UNESCO:

[215] Radu, I.M., Problem PP60, in <Octogon>, Braşov, VoI. 3, Noo 1, Aprilie 1995, po 50:

[216] Yau, To, Problems PP66 & PP67, in <Octogon>, Braşov, VoI. 3, No. 1, Aprilie 1995, p. 51;

[217] Andrei, Mo, Dumitrescu, C., Seleacu, V., Tuţescu, Lo, Zanf ir, şt o, II Some Remarks on the Smarandache Function",

117

in <Octogon>, Braşov, VoI. 3, No. 1, Aprilie 1995, pp. 23-7;

[218] Abbott, Steve, Farlingaye High Scool, England, Review of "The Smarandache Function Joumal 4-5 (1)", in <The Mathematical Gazette>, London, Vol. 79, No. 4-86, Noiembrie 1995, p. 608;

[219] Mudge, Michael R., Dyfed, U.K., "Introducing the Smarandache-Kurepa and Smarandache-Wagstaff Functions", manuscript, 11-19-1995;

[220] Mudge, Michael R., Dyfed, U.K., "The Smarandache NearTo-Primorial Function", manuscris, 11-19-1995;

[221] Mudge, Michael R., Dyfed, U.K., Scrisoare c~tre R. Muller, 11-19-1995;

[222] Suggett, Gareth, U .K., "Primes between consecutive Smarandache numbers", lucrare nepublicat~, Noiembrie 1995;

[223] B~l~cenoiu, Ion & Seleacu, Vasile, "Some properties of the Smarandache Functions of the Type I", in <Octogon>, Braşov, Vol. 3, No. 2, Octombrie 1995, pp. 27-30;

[224] Ibstedt, Henry, "Base Solution (The Smarandache Function)", Broby, Sweden, Noiembrie 30, 1995, manuscris;

[225] Faure, H., Centre de Mathematique et d'Informatique, Universite de Provence, Marseille, France, Scrisoare c~tre C. Dumitrescu, Septembrie 19, 1995.

[226] Policarp, Gane & Stadler, Mihail, "Istoria Matematicii / Anivers~rile din anul 1995", in <caiet de Informare Matematic~>, Câmpina, Anul XVII, No. 34, Decembrie 1995, p. 1013;

[227] Popescu, Titu, Karlsfeld, Germany, şi Larry Seagull, "Poem in Arithmetic Space", pp. 134-7 in cartea <Estetica Paradoxismului> (143 pages), Editura Societ~ţii Tempus, Bucharest, 1995;

[228] ROdriguez, J., Sonora, Mexico, Problema 5, <Foaie Matematic~>, Chişin~u, Rubrica de <Probleme cu Funcţia Smarandache> editata de V. Suceveanu, No. 4, p. 37, 1995;

[229] Melendez, P., Belo Horizonte, Brazil, Problema 6, <Foaie Matematic~>, Chişin~u, Rubrica de <Probleme cu Funcţia Smarandache> editat~ de V. Suceveanu, No. 4, p. 37, 1995;

[230] Yau, T., pima Community College, Tucson, Az, Problema 7, <Foaie Matematic!>, Chişin~u, Rubrica de <Probleme cu Funcţia Smarandache> editata de V. Suceveanu, No. 4, p. 37, 1995;

[231] Seagull, L., Glendale Community College, USA, Problema 9, <Foaie Matematic~>, Chişinau, Rubrica de <Probleme cu Funcţia Smarandache> editat~ de V. Suceveanu, No. 6, p. 40, 1995;

[232] Stuparu, A., Vâlcea, Romania, Problema 10, <Foaie Matematic!>, Chişin!u, Rubrica de <Probleme cu Funcţia Smarandache> editat! de V. Suceveanu, No. 6, p. 40, 1995;

[ 233] Crudu, Dumitru, "FI orentin Smarandache sau înc~p~ ţânarea unui exilat", in <Vatra>, Tg. Mureş, Anul XXV, Nr. 295, p.92, Octombrie 1995;

[234] B~rbulescu, Radu, "Florentin Smarandache: 'Exist împotriva mea''', <Observator>, Munchen, Germania, Anul

118

VIII, No. 2-4 (27-9), p. 72, Martie-Decembrie 1995; [235] Kashihara, Kenichiro, Tokyo, Japonia, E-mail_uri către

R. Muller, Decembrie 1995 - Ianuarie 1996; [236] Strazzabosco, Barbara, secretară Prof. B. Wegner,

editor, <Zentralblatt fur Mathematik>, Berlin, Scrisoare către R. Muller, octombrie 13, 1995;

[237] Kiser, Lisa A., Lock Haven University, PA, Scrisoare către Ch. Ashbacker, Cedar Rapids, IA, Decembrie 4, 1995;

[238] Tuţescu, Lucian, "Funcţia lui Smarandache -- o nouă funcţie in teoria funcţiilor", Societatea de ştiinţe Matematice din România, <Programul manifestărilor organizate cu prilejul împlinirii a 100 ani de la apariţia primului număr al revistei 'Gazeta Matematică', 1895-1995>, Inspectoratul Şcolar al Judeţului Alba, Sala de Şedinţe a Liceului Militar 'Mihai Viteazul', Alba IUlia, Simposion, 18-20 Februarie 1995;

[239] A. Mullin, Huntsville, AL, USA, "On the Smarandache Function and the Fixed-Point Theory of Numbers", manuscris nepublicat, 1995;

[240] Corduneanu, Constantin, "Personalia", in <Libertas Mathematica>, Texas State University, Arlington, USA, VoI. XV, p. 241, 1995.

119

FUNCŢII PRIME !N TEORIA NUMERELOR

Vom construi o clas~ de funcţii, definite astfel:

a dac! n este prim ; P, (n i • ( 1'. ? , , N - , (a. 1}.

In caz contrar .

? , ( 51. • a. :=: P I ( ~ ) ... 1.

De exemplu Pl

( 2 ) =- ?~ (3)

pe când PI (O) = PI (1) In general, pentru un intreg

? , N" - -, {a. 1}. dat k a 1. se poate defini:

J O .dac! :1,. n 1 •

p. ( nI! n l • "'1 ~ l ~ 1 1. 1n caz contrar.

o, . sunt toat.e prime ;

Mai departe, să stud i em 1n ce cond i ţii p. (n:. n: .... . ". l =- O, sau sa determin~m condiţii necesare şi sut'iciente astfel incat n intreg i , primi intre ei do i câte doi , sa fie simultan pri mi.

25 Lei

NOI FUNCŢII ÎN TEORIA NUMERELOR

Documents

Transcript of NOI FUNCŢII ÎN TEORIA NUMERELOR