trImportant ucinntroodduceerree iinn ... · exponentiala , functia logaritmica , functiile...

Clasa a XI-a ANALIZA - 1

Cap. III : Functii Continue

Continuitate

Important iinnttrroodduucceerree iinn ccoonnttiinnuuiittaattee :

Are sens sa punem problema continuitatii sau discontinuitatii unei functii intr-un

punct daca si numai daca acel punct face parte din domeniul de definitie al functiei studiate .

Inainte de a incepe studiul continuitatii vom fixa urmatoarele entitati :

a). O functie reala RDf : , RD ;

b). Domeniul de definitie D fiind reprezentat printr-un interval sau o reuniune de intervale ;

c). Un punct a care apartine lui D .

Ne punem urmatoarea problema : compararea comportarii functiei f in jurul punctului a

cu valoarea af .

Definitia ccoonnttiinnuuiittaattiiii :

- Fie o functie RDf : si un punct a din domeniul de definitie D , Da ;

- Spunem ca functia f este continua in punctul a daca f are limita in a si :

afxfax

lim

Aceasta egalitate se mai scrie : )lim(lim xfxfaxax

Adica “ o functie comuta cu limita “ - proprietate ce va fi extinsa si la alte functii decat cea identica :

contiunitatea functiilor compuse .



Continuitate

Definitia ddiissccoonnttiinnuuiittaattiiii :

- O functie RDf : este discontinua in punctul Da daca nu este continua in acest punct

- Punctul ax se numeste punct de discontinuitate pentru functie .

Observatie :

1) In punctul in care functia nu este definita nu are sens sa se puna problema continuitatii

sau discontinuitatii .

2). Problema continuitatii unei functii se pune numai in punctele domeniului de definitie

al functiei .

Definitia ccoonnttiinnuuiittaattiiii uuttiilliizzaanndd ssiirruurriillee :

- Functia RDf : este continua in punctul Da daca si numai daca pentru orice sir :

axn , Exn avem afxf n .

Definitia ccoonnttiinnuuiittaattiiii ppee uunn iinntteerrvvaall :

- Se spune ca o functie RDf : este continua pe un interval DI daca este continua

in fiecare punct din I .

- Daca functia f este continua pe tot domeniul de definitie , atunci se spune simplu ca f

este continua , fara a mai indica multimea pe care f are aceasta proprietate .

- Find data o functie RDf : , multimea punctelor din D in care f este continua se

numeste domeniul de continuitate al functiei f .

Teorema :

Functiile elementare sunt functii continue .

- Functiile elementare : polinomiale , rationale , functia radical , functia putere , functia

exponentiala , functia logaritmica , functiile trigonometrice directe , functiile trigonometrice inverse

sunt functii continue deoarece limita acestora intr-un punct a din domeniul de definitie se obtine

inlocuind pe x cu a , adica afxfax

lim , ceea ce exprima faptul ca o astfel de functie este

continua intr-un punct arbitrar din domeniul de definitie .



Continuitate

Intoducere iinn ssttuuddiiuull ccoonnttiinnuuiittaattiiii llaatteerraallee :

- Fie o functie RDf : si un punct Da ;

- Daca Da; sau ;aD atunci are sens sa studiem limita la

stanga , respective la dreapta , a functiei f in a .

Definitia ccoonnttiinnuuiittaattiiii llaa ssttaannggaa :

- Spunem ca functia f este continua la stanga in punctul a daca :

xfafaf

axax

s lim0

are sens , exista si afxfafaf

axax

s

lim0 .

Definitia ccoonnttiinnuuiittaattiiii llaa ddrreeaappttaa :

- Spunem ca functia f este continua la dreapta in punctul a daca :

xfafaf

axax

d lim0

are sens , exista si afxfafaf

axax

d

lim0 .

Teorema ccoonnttiinnuuiittaattiiii iinnttrr--uunn ppuunncctt ccuu aajjuuttoorruull ccoonnttiinnuuiittaattiiii llaatteerraallee :

- Functia RDf : este continua in punctul Da daca si numai daca f este continua

la stanga si la dreapta in a :

afafaf 00

sau :

afxfxf

axax

axax

limlim



Continuitate

Definitia ccoonnttiinnuuiittaattiiii llaa ccaappeetteellee ddoommeenniiuulluuii ddee ddeeffiinniittiiee :

- Fie functia Rbaf ;: , ba ;

- La capetele domeniului de definitie , respectiv in punctele a si b , continuitatea acesteia

se defineste astfel :

f este continua in a , daca f este continua la dreapta in a , adica :

afxfafaf

axax

d

lim0

f este continua in b , daca f este continua la stanga in b , adica :

bfxfbfbf

bxbx

s

lim0

Introducere iinn nnoottiiuunneeaa ddee ppuunncctt ddee ddiissccoonnttiinnuuiittaattee :

- Daca functia f nu este continua in punctul a ea se numeste discontinua in acel punct .

- Punctele de discontinuitate se impart in doua categorii :

- puncte de discontinuitate de prima speta ;

- puncte de discontinuitate de a doua speta .

Fie o functie RDf : si Da un punct de discontinuitate a lui f :

Definitia ppuunnccttuulluuii ddee ddiissccoonnttiinnuuiittaattee ddee pprriimmaa ssppeettaa :

- Punctul de discontinuitate a se numeste punct de discontinuitate de prima speta daca

functia f are limitele laterale finite in a iar in acest punct avem una din situatiile :

1). 00 afaf ; ( limitele laterale nu sunt egale )

2). afafaf 00 ; ( limitele laterale sunt egale dar diferite de

valoarea functiei in punctul respectiv )

3). afaf 0 sau afaf 0 .



Continuitate

Definitia ppuunnccttuulluuii ddee ddiissccoonnttiinnuuiittaattee ddee ssppeettaa aa ddoouuaa :

- Punctul de discontinuitate a se numeste punct de discontinuitate de speta a doua daca

cel putin una dintre limitele laterale ale lui f in a , daca are sens , nu exista sau este infinita .

Observatie privind ccllaassiiffiiccaarreeaa ppuunncctteelloorr ddee ddiissccoonnttiinnuuiittaattee :

- Punctele de discontinuitate ale functiei , care nu sunt de prima speta se numesc puncte de

discontinuitate de speta a doua .

Definitia pprreelluunnggiirriiii pprriinn ccoonnttiinnuuiittaattee aa ffuunnccttiieeii iinnttrr--uunn ppuunncctt :

- Fie o functie RaDf : , f continua pe D ;

- Fie a un numar real care nu apartine lui D ;

- Exista limita functiei f , cand x tinde la a : lxfax

lim , si este finita;

- Atunci functia :

RaDg : ,

axl

aDxxfxg

,

,

este continua in a si se numeste prelungirea prin continuitate a functiei f in punctul a .

- Vom nota functia fg~

;

- O astfel de prelungire daca exista este unica .

Observatie iimmppoorrttaanntt :

Daca f : - nu are limita in a

sau

- are limita infinita in a

atunci :

f nu poate fi prelungita prin continuitate in a .



Continuitate

- Este clar ca limita unei functii intr-un punct a nu este acelasi lucru cu

continuitatea acesteia in a .

- Din definitiile celor doua notiuni si din teoremele de caracterizare vom

observa ca :

1). Limita se calculeaza in punctele de acumulare ale domeniului , iar continuitatea se

studiaza in punctele din domeniul de definitie .

2). Continuitatea inseamna ca limita functiei este egala cu valoarea acesteia in punctul

respectiv ( pentru cazul in care punctul este de acumulare ) .

3). Pentru limita unei functii toate caracterizarile echivalente exclud punctul a , in timp

ce caracterizarile continuitatii nu exclud punctul a .

- Daca o functie este discontinua la dreapta ( stanga ) in a , atunci functia

este discontinua in a .

- Functiile elementare sunt functii continue .

- Fie RI , I un interval , RIf : ;

- Atunci functia f este continua daca si numai daca graficul lui f este

neintrerupt ( adica se poate trasa neridicand creionul de pe hartie ) .



Continuitate

Exercitiul nr. 1 :

Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate :

a). RRf : , 3 , ,

,

33

32

3

axf

xx

xx ;

b). RRf : , 4 ,

,

,

48

44

162

axf

x

xx

x ;

c). RRf : , 0 ,

,

, sin

01

0

ax

x

xf

x

x .

Exercitiul nr. 2 :


a). RRf : , 2 , ,

, -

25

2152

axf

x

xxx ;

b). RRf : , 1 ,

1 , 3

1 , 1

12

a

x-x

xxf x

x ;

c). RRf : ,

1 ,

1 , 1-

1 , 1

1sin

a

x

xx

x

xf ;

d). RRf : ,

2 , ,

,

20

222

1

axf

x

xe x

;

e). RRf : , xxf2

, 3a .

f). RRf : , 1 , 1 , 2

1 , 2 2

a

xx

xxxxf .



Continuitate

Exercitiul nr. 3 :


a). Rf 1;1: ,

0 ,

0;1 , 2

1;0 , sin4 3

a

xxx

xxxxf ;

b). Rf 32;2: ,

3,2,0 ,

3 , 6

2;0 , 15

0;2 , 1

32

2

aaa

x

xx

xx

x

xf ;

c). RRf : , 2 ,

2 , 3

2 , 2

1

a

x

xxxf ;

d). RRf : , 0 ,

0 , 1

0 , sin

a

x

xx

x

xf ;

e). RRf : , 0 ,

0 , 1

0 , 1

sin

a

x

xx

xxf ;

f). RRf : , 1 , 1 ,

1 ,

1

1

12

axx

xexf

x

x

;

g). RRf : , 2 , 2 , 0

2 , 31 2

1

ax

xxf

x ;

h). RRf : , 1 , 1 ,

1 , 1

1

1

axx

xxexf

x

x

;

i). Rf ;1: ,

1 ,

1 , 2

1

1 , 2

1

1;1 , 1

1sin

2

a

xx

x

xx

x

xf .



Continuitate

Exercitiul nr. 4 : (Ganga)

Determinati parametrul real m , astfel incat functia f sa fie continua in punctul a unde :

a).

1 , 2;1 , 33

1;0 , 1

a

xmx

xxxf ;

b). 2 , 2 ,

2 , 2

a

xmx

xmxxf ;

c). 0 ,

0 ,

, sin *x

1

a

xm

Rxexxfx

;

d). 1 , 1 ,

1 , 2 33

2

a

xmx

xmxxxf ;

e). 0 , 0 ,

, *2

a

xm

Rxxxf ;

f). 1 , 1 , 3

1 , 1x

1-

2

axmx

xexf ;

g). 0 ,

0 ,

0 , 1

a

xm

xx

xxf ;

h). 1 , 1 , 3

1 , 12 2

a

xmxmx

xmxxf ;

i).

3 ,

3 , 2

3 , 3

9

2

a

xmx

xx

xm

xf ;

j). 2 , 2 , 2

2 , 13 2

a

xmxx

xmmxxf ;

k).

5 ,

5 , 13-

5 , 5

25

2

a

xmx

xx

xm

xf ;

l). 1 , 1 , 32

1 , 1 2

a

xmx

xmxxf ;



Continuitate

m).

1 ,

1 , 12

1 , 34

1sin

2

a

xmx

xxx

xm

xf ;

n). 0 ,

0 ,

0 , 1 1

a

xex

xmxxf

x

.


Determinati parametrii reali ba, , astfel incat functia f sa fie continua in punctele indicate :

a). RRf : , 2

1 ,

2

1 , 3

2

1 ,

2

1 , 13

0

x

xx

xb

xax

xf ;

b). RRf : ,

0 ,

0 ,

0 , 2

0 , 21ln

0

2

x

xbaxx

x

xax

x

xf .


Sa se precizeze punctele de discontinuitate si felul lor pentru functiile :

a). RRf : ,

0 , 1

0 , 0

0 , 1

x

x

x

xf ; ( functia signum (semn))

b). RRf : ,

0 , 0

0 , 1

sin

x

xxxf ;

c). Rf ;0: , xxf ; ( functia parte intreaga )

d). RRf : ,

0 , 0

0 , 1

x

xxxf .



Continuitate


Sa se precizeze punctele de discontinuitate si felul lor pentru functiile :

a). RRf : ,

1 , 3

1 , 5 2

x

xxxf ;

b). RRf : ,

0 , 0

0 , 1

sin1

x

xxxxf ;

c). RRf : ,

2 , 1

2 , 3

x

x-xxf ;

d). RRf : ,

0 , 0

0 , 1

os

x

xx

cxf ;

e). Rf 1;0: , xxf 3 ;

f). RRf : ,

QRx

Qxxf

, 0

, 1 .


Sa se studieze continuitatea laterala pentru functiile si punctele indicate :

a). RRf : , 1 , 1 , 13

1 , 3 2

a

xx

xxxxf ;

b). RRf : , xxf 3 , 2

1a ;

c). RRf : , 1 , 1 , 1

1 , 1

1

ax

xexfx

;

d). RRf : , 1 , 1 , 13-

1 , 53 2

a

xx

xxxxf ;

e). RRf : , 0 , 0 , 12

0 , 1 2

a

xx-

xxxxf



Continuitate

f). RRf : ,

2 ,

2 , 2

2sin1

2 , 2

2 , 2

1

a

xx

x

x

xe

xf

x

;

g). Rf 3;1: , 2 , 2 axxf ;

h). RRf : ,

1 ,

1 , 1ln

1 , 1

12

1

a

xx

xxxf

x

.


Sa se studieze daca functiile urmatoare pot fi prelungite prin continuitate in punctele

indicate :

a). RRf 1: ,

1 , 1

1

a

x

xtgxf ;

b). RRf *: , 0 , 1 2

1

axxf x ;

c). RRf 2: ,

2 , 2

12

ax

xf ;

d). RRf 1: , 1 , 1

1sin1

2

a

xxxf ;

e). RRf *: , x

xxf1

cos , 0a ;

f). RRf *: , 0 , 1

a

xxxf ;

g). RRf 1: , 1 , 1

1cos

a

xxf ;

h). Rf 0;1: , 0 , 11

axxf x ;

i). Rf ;0: , 0 , ln

axx

xxf ;

j). RRf *: , 0 , 1

1sin2

ax

xx

xf .



Continuitate

Urmatoarea teorema da o ccaarraacctteerriizzaarree ppuunnccttuuaallaa a operatiilor uzuale cu functii continue :

Teorema ccoonnttiinnuuiittaatteeaa iinnttrr--uunn ppuunncctt :

- Fie RDgf :, doua functii continue in a ;

- Atunci :

1). R , , functia gf este continua in a ;

2). gf este continua in a ;

3). g

f este continua in a , cu conditia : 0ag ;

4). f este continua in a ;

5). gf ,max , gf ,min sunt continue in a .

In mod similar ne vom referi si la ccoonnttiinnuuiittaatteeaa ppee oo mmuullttiimmee :

Teorema ccoonnttiinnuuiittaatteeaa ppee oo mmuullttiimmee :

- Fie RDgf :, doua functii continue pe multimea DA ;

- Atunci :

1). R , , functia gf este continua pe A ;

2). gf este continua pe A ;

3). g

f este continua pe A , cu conditia : Axxg ,0 ;

4). f este continua pe A ;

5). gf ,max , gf ,min sunt continue pe A .



Continuitate

Proprietatea 1 TTeeoorreemmaa :

Teorema urmatoare exprima proprietatea functiilor continue de a comuta cu limitele :

- Se considera FEf : , GFg : ;

- Fie a un punct de acumulare al lui E ( un neaparat din E ) ;

- Daca :

1). Fbxfax

lim

2). g este continua in b ,

atunci :

xfgxfgaxax

limlim

Proprietatea 2 TTeeoorreemmaa ddee ccoonnttiinnuuiittaattee aa ff--ttiiiilloorr ccoommppuussee :

1). Fie : - FEf : o functie continua in Ea si HGg : .

- GEf ;

- g continua in baf .

Atunci functia :

HEfg : este continua in a .

2). Daca : - functia f este continua pe E

- iar g este continua pe Ef ,

atunci :

fg este continua pe E .

Proprietatea 3 TTeeoorreemmaa ddee mmaarrggiinniirree llooccaallaa aa uunneeii ff--ttiiii ccoonnttiinnuuee :

- Daca REf : este o functie continua intr-un punct Ea

atunci :

exista o vecinatate a punctului pe care f este marginita .



Continuitate

Proprietatea 4 TTeeoorreemmaa ppeennttrruu sseemmnnuull uunneeii ffuunnccttiiii ccoonnttiinnuuee ,, nneennuullee ,, iinnttrr--uunn ppuunncctt :

- Daca REf : este continua in a si 0af

atunci :

exista o vecinatate a lui a pe care f nu-si schimba semnul .

Proprietatea 5 aa vvaalloorriilloorr iinntteerrmmeeddiiaarree (( aa lluuii DDAARRBBOOUUXX)) :

- Functiile continue au proprietatea remarcabila de a transforma un interval oarecare tot intr-

un interval .

- Aceasta proprietate este cunoscuta sub numele de proprietatea lui Darboux .

- Nu este caracteristica numai functiilor continue .

Definitia pprroopprriieettaattiiii lluuii DDAARRBBOOUUXX :

- Fie E un interval ;

- Se spune ca functia REf : are proprietatea lui Darboux pe intervalul E

daca :

- pentru orice puncte ba din E

- si oricare numar real situat intre af si bf

exista

cel putin un punct x din intervalul ba; astfel incat : xf .

Observatii rreeffeerriittooaarree llaa pprroopprriieettaatteeaa lluuii DDAARRBBOOUUXX :

1). O functie care are proprietatea lui Darboux pe un interval , nu poate sari de la o valoare la

alta fara sa treaca prin toate valorile intermediare , adica daca ia doua valori distincte , atunci ia toate

valorile cuprinse intre ele .

2). Proprietatea lui Darboux o au si functiile care un sunt continue .

3). Trebuie observat ca daca este o valoare intermediara intre af si bf ,

atunci bax ; si nu baIx ; , adica x este un punct situat intre a si b si nu oricum

din I .



Continuitate

4). Proprietatea formulata altfel : pentru valoare intermediara intre af si bf ,

ecuatia xf , are cel putin o solutie x in intervalul ba; .

Teorema :

- Daca RIf : are proprietatea lui Darboux ,

- Si daca exista una din limitele laterale intr-un punct Ix 0

Atunci

aceasta limita este egala cu xf 0 .

Corolar :

1). Daca RIf : are proprietatea lui Darboux , atunci ea nu are nici un punct de

discontinuitate de prima speta .

2). Daca RIf : are un punct de discontinuitate de prima speta , atunci f nu are

proprietatea lui Darboux .

Teorema :

Orice functie continua definita pe un interval , are proprietatea lui Darboux .

Teorema lluuii CCaauucchhyy:

Orice functie continua Rbaf ;: , bfaf ,are proprietatea lui Darboux pe ba; .

Corolar :

- Fie EI un interval si REf : o functie continua .

atunci :

- Multimea If este un interval .

Enuntul de mai sus spune ca o functie continua “ duce “ un interval tot intr-un interval

.sau altfel spus :

O functie RIf : , unde I interval , are proprietatea lui Darboux daca si numai daca

imaginea oricarui interval IJ este tot un interval .



Continuitate

Observatii rreeffeerriittooaarree llaa ccoonnttiinnuuiittaattee ppee uunn iinntteerrvvaall :

- O functie Rbaf ;: se spune ca este continua pe intervalul inchis ba; daca :

1). f este continua in toate punctele intervalului deschis ba;

si

2). f este continua la dreapta in ax si este continua la stanga in bx .

Functiile continue pe un interval inchis poseda proprietati remarcabile pe care

le vom studia in continuare :

Teorema WWeeiieerrssttrraassss :

- Fie Rbaf ;: o functie continua . Atunci f este marginita si mai mult isi atinge

marginile pe acest interval .

Corolar 11 :

- Fie Rbaf ;: o functie continua pentru care 0 bfaf . Atunci exista cel putin

un punct bac ; astfel incat 0cf .

Observatii pprriivviittooaarree llaa CCoorroollaarruull 11 :

1 ). Concluzia din corolar se poate reformula spunand ca ecuatia 0xf are cel putin o

solutie in intervalul ba; .

2 ). Daca 0 bfaf atunci exista cel putin un element bac ; astfel incat 0cf .

3 ). Daca f este strict monotona , atunci solutia este unica ( deoarece f este injectiva ) .

Corolar 2 ccrriitteerriiuu ccaa oo ffuunnccttiiee ccoonnttiinnuuaa ssaa aaiibbaa uunn ppuunncctt ffiixx :

- Fie babaf ;;: o functie continua . Atunci ecuatia 0 xfx are cel putin o

solutie in ba; . O astfel de solutie se numeste punct fix pentru f .



Continuitate

Corolar 33 sseemmnnuull uunneeii ffuunnccttiiii :

- Fie RIf : , I un interval , f o functie continua , care un se anuleaza pe I . Atunci f

are acelasi semn pe tot intervalul .

Corolar 44 :

- Fie RRf : o functie continua pentru care :

xfxlim si

xfxlim

atunci functia se anuleaza cel putin o data pe R .



Continuitate

Exercitiul nr. 1 :

Sa se precizeze care din functiile RRf : de mai jos are proprietatea lui Darboux pe

domeniul de definitie :

a).

0 , 1

0 , 0

0 , 1

x

x

x

xf ;

b).

1 , 0

1 , 1 22

x

xxxf ;

c). xxf ;

d).

0 , 1

0 , sin

x

xx

x

xf ;

e).

QRx

x

Qxx

xf ,

2

, 3

;

f). xexf xsin ;

g). 12 xxf ;

h).

0 , 1

0 , 2

xx

xxf

x

;

i).

1 , 2

1 , 32

xx

xxxf ;

j).

2 , 3

2 , 4

1

2 , 2

1

2

x

xx

xx

xf .



Continuitate

Exercitiul nr. 2 :

Sa se arate ca ecuatiile de mai jos admit cel putin o radacina in intervalul indicat :

a). 1;1- , 0125 xx

b). 1;0 , 01 xexx

c). ;0 , 0cos2sin xx

d). 0 , 057313 xxx

e). 1;0 , 2

3

7

4

7

3

xx

f). 1;0 , sincos1 xxx

g).

2;0 , 0ln

xxx

h). 1;0 , 012 xxx

i). Nnxxxn * ,

2;0 , 01sin

j). 3;4 , 22

xx

k). 2;2 , 42 x

l). 0;1 , 12 xx

m). 2;0 , 1x .

trImportant ucinntroodduceerree iinn ... · exponentiala , functia logaritmica , functiile...

Documents

Transcript of trImportant ucinntroodduceerree iinn ... · exponentiala , functia logaritmica , functiile...