8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

1/11

I. NUMERE NATURALE

Multimea numerelor naturale ={0,1,2,3,4,5,...} si . ={1,2,3,4,5,...}

Operatii cu numere naturale

1. Adunarea. Daca a,b , atunci a+b=c

Proprietatile adunarii omutati!itatea" a+b=b+a, a,b #sociati!itatea" $a+b%+c=a+$b+c%, a,b,c &lementul neutru" a+0=0+a=a, a

2. Scaderea. a'b=c, daca si numai daca a=b+c

3. Inmultirea. Daca a,b atunci a ( b =c Proprietatile inmultirii

omutati!itatea" a ( b = b ( a, a,b #sociati!itatea" $a ( b% ( c = a ( $b ( c%, a,b,c )umarul 1 este element neutru *ata de inmultire" a ( 1 = 1 ( a = a, a Distributi!itatea inmultirii *ata de adunare si scadere" a ( $b c% = a ( b a ( c, a,b,c

Puteri, operatii cu puteriDe*inim" a n = aaa ......a

n factori

1. a 0 =1, a;2. a ma n= a m+ n ,m , n , a;

3. am

a n= a m n ,m , n , a , m n

4. (a m)n= a mn ,m , n , a;5. (ab)m= a mb m ,m , n , a ,b;

. (ab

)m

= am

b m ,m , a , b ;

4. Impartirea. a"b=c, a=b-c

Proprietati ale relatiei de di!i ibilitate in aa pentru orice a / re*le(i!itatea daca ab si ba atunci a=b / antisimetrie orice numar natural este di!i ibil cu 1 scriem a1,a ero este di!i ibil cu orice numar natural scriem 0a , a; daca ab si cb atunci (a c)b ,c daca ab atunci (ac)b ,c;

daca ab si ac , unde b si c sunt prime intre ele, atunci a(bc )

Proprietate

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

2/11

$a,b%- a,b =a-b

Multimea numerelor intre i ={...., 'n, .,'3,'2,'1,0,1,2,3,....,n,....} - = {0}

Numarul divizorilor naturali ai unui numar natural

)= a 1 p1a 2

p2...a n

pn , unde a 1, a 2,. .. , a n sunt numere prime, este dat de *ormula"m = ( p1 + 1)( p2+ 1)...( pn + 1)

Ob ervatie " numarul di!i orilor intre i ai numarului intre " )=, a 1

p1a 2

p2...a n

pn unde a 1, a 2,. .. , a n sunt numere prime, este dat de *ormula"m = 2( p1+ 1 )( p2+ 1 )...( pn+ 1 )

Modulul unui numar intre!

a={ a , dacaa > 00 , dacaa = 0 a , dacaa < 0 sau a={ a , daca a 0 a , dacaa < 0Proprietati

a0,a ab=ab ,a , b a=a ,a aba + ba+b ,a , b Z

ab=ab , a , b

x=a x= a , (a > 0) xa a x a , (a > 0 ) xa x a saux a , (a > 0)

Proprietatile adunarii asociati!itatea" $a+b%+c=a+$b+c% comutati!itatea" a+b=b+a element neutru" a+0=0+a=a

Proprietatile inmultirii asociati!itatea" a-$b-c%=$a-b%-c comutati!itatea" a-b=b-a distributi!itatea inmultirii *ata de adunare si scadere" a(b c)= ab ac element neutru" a-1=1-a=a a-$'1%='a $'a%-$'1%='$'a%=a

"e#initia #ractiei. 6 perec7e de numere naturale a si b, in care b 0 , scrisa sub *orma ab

se

numeste *ractie.

6rice *ractie repre inta un numar, numit numar #ractionar . )umarul care este deasupra liniei de *ractie

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

3/11

se numeste numarator , iar numarul care este sub linia de *ractie se numeste numitor .

Ob ervatie " orice numar natural se poate scrie sub *orma de *ractie la care numaratorul se di!ide cu

numitorul. &("44

= 1 ;3

= 2 ; 1005

= 20

Nota " linia de *ractie semni*ica operatia de impartire a numaratorului la numitor.

Dacaab

8 1 *ractia se numeste supraunitara si a!em a8b

Dacaab

= 1 *ractia se numeste ec7iunitara si a!em a=b

Dacaab

9 1 *ractia se numeste subunitara si a!em a9b

6 *ractie a

b pentru care $a,b%=1 se numeste ireductibila.

Adunarea #ractiilor

Daca *ractiile au acelasi numitor, a!em" ab

+ cb

= (a + c )b

Daca *ractiile nu au acelasi numitor, a!em" ab

+ cd

= (ad + cb)(bd )Propretaile adunarii

comutati!itatea" ab

+ cd

= cd

+ ab

asociati!itatea" ( ab

+ cd

)+ e f

= ab

+ ( cd

+ e f

)

numarul rational 0 este element neutru pentru adunare" ab

+ 0= 0+ ab

= ab

, ab

Scaderea #ractiilorab

cd

= ab

+ ( cd

)

Inmultirea #ractiilorPentru a inmulti doua sau mai multe *ractii inmultim numaratorii intre ei si numitorii intre ei si

scriem" ( ab

)(cd

)= (ac)(bd )

Proprietatile inmultirii

comutati!itatea" ( ab

)(cd

)= (ac)(d b) asociati!itatea" [(a

b)(c

d )](e

f )= a

b[(c

d )(e

f )]

numarul rational 1 este element neutru pentru inmultire" ab1= 1(a

b)= a

b , a

b

inmultirea este distributi!a *ata de adunare si scadere" ab(c

d e

f )=( a

b)(c

d )( a

b)(e

f )

Inver ul unui numar nenul:punem ca in!ersul unui numar a nenum este numarul b, daca si numai daca a-b=1

;n!ersul unui numar a se notea a cu1a

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

4/11

Impartirea #ractiilorab

" cd

=( ab

)(d c

)= (ad )(bc)

Puterea unei #ractii

( ab

)n= a nb n

Intervale de numere reale 0 a = b 2

1. a 2=a , a2. ab= a b , a , b 0

3. ab = a b , a 0, b> 04. a b= a 2b ,a ,b 05. b a

= b aa

, a 0

. c(a b)

= c(a b)

(a 2 b) , b a 2

. m

( a b)= m(

a b)

(a b) , a b

>. max (a , b )={a ,dacaa bb ,dacaa < b , min (a , b )={a , dacaa bb , dacaa > b?. max (a , b )= (a + b+a b)

2, min (a ,b )= (a + ba b)

2

Modulul unui numar real

x={ x , daca x[0,+ ] x , dacaa [ ,0 ]1. x0, x2. x=0 daca si numai daca (=03. x= x x

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

5/11

4. x y= x y , x , y

5. x y= x y

, x , y

. x+ y x+ y , x , y

. xa x[a , a ]cua 0>. xa x[ , a ][a ,+ ] , cu a 0

Media aritmetica a n numere reale a 1, a 2,. .. , a n este"

M a =(a 1+ a 2 + ...+ a n)

n

Media aritmetica ponderata a n numere reale a 1, a 2,. .. , a n cu ponderile p1, p 2,. .. , pn este"

M ap =(a 1 p1+ a 2 p2+ ...+ a n pn)

( p1+ p2+ ... + pn)

Media !eometrica $proportionala% a doua numere reale po iti!e este" M g = abMedia armonica a doua numere reale nenule este"

M h= 2

( 1a

+ 1b

)= 2ab

(a + b)

Ine!alitatea mediilor

6ricare ar *i a80, b80 =8 2ab(a + b ) ab (a + b)

2 ,adicaM h M g M a

Dintr'o proportie putem obtine noi proportii, numite proportii derivate "

1. sc7imband me inii intre ei"ab

= cd a

c= b

d

2. sc7imband e(tremii intre ei"ab

= cd d

b= c

a

3. in!ersand ambele rapoarte" ab

= cd b

a= d

c

4. sc7imband ordinea rapoartelor" ab

= cd c

d = a

b5. ampli*icand $sau simpli*icand% unul din rapoarte

. inmultind $sau impartind% ambii numaratori $sau ambii numitori% cu un numar nenul

. adunand sau sca and la numaratori numitorii" ab

= cd

(a b )b

= (c d )d

>. adunand sau sca and la numitori numaratorii"ab

= cd

a(a b )

= c(c d )

?. ab

= cd a

b= (a c )(b d )

#*larea unui termen necunoscut al unei proportii

Dinab =

cd ad = bc a!em"

a = (bc)d

; d = (bc)a

;b= (ad )c

; c= (ad )b

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

6/11

Daca numerele (,@, ,... sunt direct proportionale cu numerele a,b,c,... scriem" xa

= yb

= z c

= .... = ( x+ y+ z + ... )(a + b+ c+ ... )

Daca numerele (,@, ,... sunt in!ers proportionale cu numerele a,b,c,.. scriem" x1a

= y1b

= z 1c

= ...= x+ y+ z + ...1a

+ 1b

+ 1c

+ ...sau (-a=@-b= -c=...

Produsul unui numar cu o suma al ebrica($a+b+c'd+...%=(a+(b+(c'(d+...

Produsul dintre doua sume"$(+@' %$a'b+c%=(a'(b+(c+@a'@b+@c' a+ b' c

&ormule de calcul pre curtat(a + b)(a b)= a 2 b 2

(a + b)2= a 2+ 2ab + b2 $patratul binomului suma%(a b)2= a 2 2ab b 2 $patratul binomului di*erenta%(a + b+ c)2= a 2+ b 2+ c 2+ 2ab+ 2ac+ 2bc

Alte #ormule de calcul pre curtat'1. (a b)(a 2+ ab + b 2)= a 3 b 3

2. (a + b)(a 2 ab + b 2)= a 3+ b 3

3. (a + b)3

= a3

+ 3a2

b+ 3ab2

+ b3

4. (a b)3 = a 3 3a 2b+ 3ab2 b3

5. a 2+ b2 2ab a , b. a + b 2 ab a ,b (inegalitatea mediilor m a m g )

. a+ 1a

2 for all a(0,+ )

>. a 2+ b2+ c 2 ab+ ac+ bca ,b ,c

Proportia a-(+b=0, a , b , x , a 0 se numeaste ecuatia de radul ; cu o necunoscuta.

)umarul ba se numeste solutie a ecuatiei date si scriem := {

ba }

&cuatia de radul ;; cu o necunoscutaProportia a x2+ b x+ c= 0, c u a , b , c , x , a 0 se numeste ecuatie de radul al ;;'lea cu

necunoscuta (.

&tapele re ol!arii ecuatiei de radul ;; cu o necunoscuta1. D = b 2 4ac2. daca D90 radicalul nu are sens si ecuatia nu are solutii reale.

3. daca D>=

0 ecuatia are solutiile x1,2= b D

2aPropo itiile de *orma" a-(+b90 a x+ b 0 a-(+b80 a x+ b 0 cu a ,b , x si a 0 senumesc inecuatii de gradul I cu necunoscuta x .

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

7/11

ax + b 01. x[b

a ,+ ] , daca a > 0

2. x[ , ba

] , dacaa < 0

ax + b 03. x[b

a ,+ ] , daca a > 0

4. x[ba

, + ] , daca a < 0

Doua ecuatii de radul ; cu douoa necunoscute *ormea a un sistem de ecuatii de gradul I cu douanecunoscute "

x={ x ,d a c a x[0 ,+] x ,d a c aa[ ,0]Multimea tuturor perec7ilor de numere de *orma ( x , f ( x))cu x A si f ( x) B se numeste ra*icul*unctiei f si se notea a cu G f deci"

Ara*icul unei *unctii" f "R R , f $(%=a(+b

1. a80

x

y

(-b/a,0)

(0,b)

2. a90

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

8/11

x

y

(-b/a,0)

(0,b)

:emnul unei *unctii liniare( b

a +

a(+b semn contrar semnuluilui a

0 semnul lui a

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

9/11

II. MULTIMI

"e#initia (.( $ antor%" Prin multime intele em o colectie de obiecte bine determinate si distincte.6biectele din care este constituita multimea se numesc elementele multimii. Doua multimi sunt e aledaca ele sunt *ormate din e(act acelea,si elemente.

Notatia (.) Daca ( este un obiect si # este o multime, !om nota"

( # daca ( este element al lui # ( # daca ( nu este element al lui #.

Ob ervatia (.* Doua multimi # si B sunt e ale daca ,si numai daca are loc ec7i!alenta"

$( # , ( B%

Moduri de a defini o multime "

sintetic, prin enumerarea elementelor multimii, e. . # = {0, 1} analitic, cu aCutorul unei proprietati care caracteri ea a elementele multimii"

# = {( ( are proprietatea P}e. . # = {( ( ), ( 9 2} = {( E (F = (}.

Multimi importante

Multimea numerelor naturale" N N = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }N' = {1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }

Multimea numerelor intre i" + + = {. . . , 'n / 1, 'n, . . . , '2, '1, 0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . . }

Multimea numerelor rationale" = {aGb a, b H, b I $aGb=pGJaJ=bp%}

Multimea numerelor reale" R Multimea numerelor comple(e" - = {( + i@ (, @ R } Multimea !ida = {( ( I (}

Incluziunea multimilor"e#initia (. Daca # si B sunt multimi, spunem ca # este submultime a multimii B daca toate elementelelui # sunt si elemente ale lui B.

Notatia (./ )otam # B *aptul ca # este o submultime a multimii B.

Ob ervatia (.0 Krmatoarele a*irmatii sunt ade!arate, oicare ar *i multimile #, B si .

1. # B $ ( #, ( B% $( # =8 ( B% 2. # = B $# B si B #% $antisimetria% 3. # B si B =8 # 4. # #5. #

Operatii cu multimi

intersectia" # L B = {( ( # si ( B}

reuniunea" # B = {( ( # sau ( B}

di*erenta" # B = {( ( # si ( B} complementara" Daca # &, atunci e$#% = & #

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

10/11

Propozitia (.1 Krmatoarele a*irmatii sunt ade!arate pentru orice multimi #, B, si &.

$as% # L $B L % = $# L B% L # $B % = $# B% $ asociati!itatea operatiilor " si %

$com% # L B = B L # # B = B # $ comutati!itatea operatiilor " si % $dis% # L $B % = $# L B% $# L % # $B L % = $# B% L $# % $ distributi!itatea

operatiei " fata de , respecti! a operatiei fata de "

% $abs% # L $# B% = # # $# L B% = # $ absortia % $dM% e$# L B% = e# eB e$# B% = e# L eB $ formulele lui de Morgan %

8/12/2019 78607028-Formule-clasa-5-8

11/11

2EOMETRIE