NOŢIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREATFormule de calcul

aa(a+b) (a-b) a

Funcţia de gradul IDefiniţie:f:R R,f(x)=ax+b,a , a,b , se numeşte funcţia de gradul IProprietăţi:Dacă a>0 f este strict crescătoare Dacă a<0 f este strict descrescătoareA

Funcţia de gradul IIDefiniţie:f:R R,f(x)=ax ,a,b,c se numeşte funcţia de gradul IIMaximul sau minimul funcţiei de gradul II

Dacă a<0 atunci f pentru x =

Dacă a >0 atunci f pentru x = ;Vârful parabolei V( ,

Ecuaţia de gradul II:ax ;x

Relaţiile lui Viete:x

Dacă ecuaţia are rădăcini reale şi diferite.Dacă ecuaţia are rădăcini reale şi egale.Dacă ecuaţia nu are rădăcini reale.Dacă ecuaţia are rădăcini reale.Intervale de monotonie :a<0x

f(x)

a>0x

f(x)

Semnul funcţiei de gradul II

1

x - x x f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

x - x f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

x - f(x) semnul lui a

Imaginea funcţiei de gr.II

a<0,Imf=(

a>0, Imf=[

FuncţiiDefiniţii:Fie f:A B I. 1)Funcţia f se numeşte injectivă,dacă cu f(x 2)Funcţia f este injectivă dacă cu x 3)Funcţia f este injectivă, dacă orice paralelă la axa 0x,dusă printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct. 4)Funcţia f nu este injectivă dacă II.1)Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ∀ y B, există cel puţin un punct x A, a.î. ƒ(x)=y. 2) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ƒ(A) =B.3) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct.III.1) Funcţia ƒeste bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă.2) Funcţia ƒ este bijectivă dacă pentru orice y B există un singur x A a.î. ƒ(x) =y (ecuaţia ƒ(x)=y,are o singură soluţie,pentru orice y din B)3) Funcţia ƒ este bijectivă dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei într-un singur punct .IV.Compunerea a două funcţiiFie f:A→B,g:B→C

V. prin 1 , .(aplicaţia identică a lui A)Definiţie:Funcţia ƒ: A→B este inversabilă , dacă există o funcţie g:B→A astfel încât

şi , funcţia g este inversa funcţiei ƒ şi se notează cu ƒ .Teoremă: ƒ este bijectivă <=> ƒ este inversabilă.

Funcţii pare,funcţii impare,funcţii periodice.Definiţii:

2

f:R→R se numeşte funcţie pară dacă f(-x) = f(x), ∀ xf:R→R se numeşte funcţie impară dacă f(-x) = -f(x), ∀ xf:A→R(A se numeşte periodică de perioadă T avem x+T şi f(x+T)=f(x).Cea mai mică perioadă strict pozitivă se numeşte perioada principală.Numărul funcţiilor f:A→B este [n(B)] ,n(A) reprezentâd numărul de elemente al mulţimii A.Numărul funcţiilor bijective f:A→A este egal cu n!,n fiind numărul de elemente al mulţimii A.Numărul funcţiilor injective f:A→B este A ,unde n reprezintă numărul de elemente al mulţimii B, iar k al mulţimii A(kFuncţia exponenţialăDefiniţie f: R→ (0,∞), f(x)= a ,a>0,a se numeşte funcţie exponenţială.Proprietăţi:1)Dacă a>1 ⇒ f strict crescătoare2)Dacă a f strict descrescătoare3)Funcţia exponenţială este bijectivăFuncţia logaritmicăDefiniţie: f:(0,∞) →R, f(x)= log x , a>0, a ≠ 1 se numeşte funcţie logaritmică.Proprietăţi:1)Dacă a >1 ⇒ f strict crescătoare2)Dacă a f strict descrescătoare3)Funcţia logaritmică este bijectivă4)log 5)log ,m

6)log 7)a

Schimbarea bazei:log ,log

Progresii aritmeticeDefiniţie: Se numeşte progresie aritmetică un şir de numere reale a în care diferenţa oricăror doi termeni consecutivi este un număr

constant r, numit raţia progresiei aritmetice:aSe spune că numerele a sunt în progresie aritmetică dacă ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Teoremă:şirul este progresie aritmetică

Termenul general al unei progresii aritmetice:a

Prop.:Numerele a,b,c sunt în progresie aritmetică

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:S

Trei numere x , x , x se scriu în progresie aritmetică de forma :

x 1 = u – r, x = u, x = u + r ; u,r .

3

Patru numere x , x , x , x se scriu în progresie aritmetică astfel:

x 1 = u – 3r, x = u – r , x = u + r , x = u + 3r, u,r .Progresii geometrice

Definiţie : Se numeşte progresie geometrică un şir de numere reale b în care raportul oricăror doi termeni consecutivi este un număr

constant q, numit raţia progresiei geometrice: ,q

Se spune că numerele b sunt în progresie geometrică dacă ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.Teoremă:şirul este progresie geometrică

Termenul general al unei progresii geometrice:bProp.:Numerele a,b,c sunt în progresie geometrică

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S ,q

sau S q = 1Trei numere x se scriu în progresie geometrică de forma :

x

Patru numere x , x , x , x se scriu în progresie geometrică de forma:

x =

Formule utile:

1+2+3+

1

1

Modulul numerelor reale Proprietăţi:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. Partea întreagă1.x = [x]+{x}, , [x] şi {x}2. [x] x< [x]+1, [x] = a < a+13. [x+k]=[x]+k, 4. {x+k}={x},

Numere complexe1. Numere complexe sub formă algebrică

z =a+bi, a,b , i2

= −1, a=Re z , b=Im zC- mulţimea numerelor complexe;C={a+bi/a,b }

4

Conjugatul unui număr complex:Proprietăţi:1.2.3.

4.

5.z6.zModulul unui număr complex:Proprietăţi:1. 2. 3.

4. 5. 6.

Numere complexe sub formă trigonometricăForma trigonometrică a numerelor complexe:

z = r(cos t + i sin t ) ,r = ;r-raza polară;t-argument redus,t

M(a,b)-reprezintă imaginea geometrică a numărului complex z = a+biOperaţii:zz ],

Combinatoricăn!=1 ,n , P ,n

A ,0 C , 0

Proprietăţi:1. C ,0 2. C <n;k,n

Binomul lui Newton:(a+b)

Termenul general:T

Proprietăţi:C (numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2 ).

5

C

Geometrie vectorialăDefiniţie:Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie,acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare:

Definiţie:Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul sau dacă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direcţie. În caz contrar se numesc necoliniari.Teoremă: Fie doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul , există astfel încât

-modulul vectorului

vectorului

Mijlocul segmentului AB:x

Centrul de greutate al triunghiului ABC:x

Adunarea vectorilor se poate face după regula paralelogramului sau triunghiului

Teoremă:Vectorii şi sunt coliniari ⇔ a.i. = ⋅ .Punctele A, B, C sunt coliniare a.i. = AB CD a.i. = Produsul scalar a doi vectori .

),cos( vuvuvu

, ,

Daca ,atunci

Ecuaţiile dreptei în planEcuaţia carteziană generală a dreptei:ax+by+c=0 (d)Punctul M(x ,y ) ⇔a +

6

Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte:A( ,B(x

AB: =0

Ecuaţia dreptei determinată de un punct A(x şi panta m : y-y

Dreptele d ,d sunt paralele

Dreptele d ,d sunt perpendiculare = -1

Distanţa dintre punctele A(x ,B(x y :AB=

Distanţa de la punctul A(x la dreapta h:ax+by+c=0:

d(A,h)=

Punctele A,B,C sunt coliniare

PermutăriDefiniţie:Se numeşte permutare de gradul n a mulţimii orice funcţie bijectivă

se numeşte permutarea identică de gradul n.

reprezintă mulţimea permutărilor de gradul n.Produsul(compunerea) a două permutări:Fie

Proprietăţi:1)2)3) , se numeşte inversa permutării

Puterile unei permutări:

Prop.:Inversiunile unei permutări:Definiţie: şi i,j , .Perechea (i,j) se numeşte inversiune a permutării dacă .Numărul inversiunilor permutării se notează cu m( ).Definiţii:Se numeşte semnul permutării ,numărul Permutarea se numeşte permutare pară dacă Permutarea se numeşte permutare impară dacă Propoziţie:

7

Permutarea se numeşte transpoziţie.

Proprietăţi:1) 2) 3) 4)

Matrice

A= -matrice cu m linii şi

n coloane;,unde -reprezintă mulţimea matricelor cu m linii şi n

coloane cu elemente din C.-reprezintă transpusa lui A şi se obţine din A prin

schimbarea liniilor în coloane(sau a coloanelor în linii).Dacă m = n atunci matricea se numeşte pătratică de ordinul n şi are forma

A= -

Tr(A)= -reprezintă urma matricei ASistemul ordonat de elemente se numeşte diagonala principală a matricei A,iar sistemul ordonat de elemente se numeşte diagonala secundară a matricei A.

= -matricea unitate de ordinul n ;

= -matricea nulă

Proprietăţi ale operaţiilor cu matrice.:1)A+B=B+A , (comutativitate)2)(A+B)+C = A+(B+C) , (asociativitate)3)A+ = +A = A , 4) a.î. A+(-A) = (-A)+A= ,5)(AB)C = A(BC) , (asociativitate)6)a)A(B+C) = AB+AC , (distributivitatea înmulţirii faţă de adunare) b)(B+C)A = BA+CA, 7)8)a(bA) = (ab)A,9)(a+b)A=aA+bA, 10)a(A+B)=aA+aB, 11)aA = sau A=12)

8

Puterile unei matrice:Fie Definim

Relaţia Hamilton-Cayley: ,unde

Determinanţi.

(determinantul de ordinul doi)

Determinantul de ordinul trei(regula lui Sarrus)

Proprietăţi:1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse;2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul;3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii(sau coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale.4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atunci determinantul său este nul;5. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un element a, obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu a înmulţit cu determinantulmatricei iniţiale.6. Dacă elementele a două linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale atunci determinantul matricei este nul;7. Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinaţie liniară de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul.8. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi element se obţine o matrice al cărei determinant este egal cudeterminantul matricei iniţiale;

9)

10)det(A , A,B

Definiţie:Fie .Se numeşte minor asociat elementului

determinantul matricei obţinute din A prin eliminarea liniei i şi a coloanei j.Se notează acest minor cu .

9

Numărul se numeşte complementul algebric al elementului .

Matrice inversabileInversa unei matrice :A se numeşte inversabilă dacă există o matrice notată A a.i. ATeoremă:A

A ,A adjuncta matricei A. A se obţine din înlocuind fiecare

element cu complementul său algebric.Dacă A,B sunt inversabile,atunci au loc relaţiile: a)(A 1 ) = A b)(AB)

Rangul unei matriceFie A , Definiţie: Se numeşte minor de ordinul r al matricei A,determinantul format cu elementele matricei A situate la intersecţia celor r linii şi r coloane.Definiţie: Fie A O o matrice . Numărul natural r este rangul matricei A ⇔ există un minor de ordinul r al lui A,nenul, iar toţi minorii de ordin mai mare decât r (dacă există)sunt nuli.Teoremă: Matricea A are rangul r există un minor de ordin r al lui A, nenul , iar toţi minorii de ordin r+1(dacă există)obtinuţi prin bordarea(adaugarea unei linii şi a unei coloane)minorului de ordin r cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile şi uneia dintre coloanele rămase sunt zero.

Sisteme de ecuaţii liniareForma generală a unui sistem de m ecuaţii cu n necunoscute:

a -coeficienţii necunoscutelor, x - necunoscute, b -termenii liberi

A= -matricea

sistemului, =

-matricea extinsă

B= matricea coloană a termenilor liberi,X=

.matricea necunoscutelor.

AX=B -forma matriceală a sistemuluiDefiniţie:- Un sistem se numeşte incompatibil dacă nu are soluţie;

10

- Un sistem se numeşte compatibil dacă are cel puţin o soluţie;- Un sistem se numeşte compatibil determinat dacă are o singură soluţie;- Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat dacă are mai mult de o soluţie.Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:Un sistem de ecuaţii liniare este de tip Cramer dacă numărul de ecuaţii este egal cu numărul de necunoscute şi determinantul matricei sistemului este nenul.Teorema lui Cramer: Dacă det A notat , atunci sistemul AX=B

are o soluţie unică x = ,unde se obţine înlocuind coloana i cu

coloana termenilor liberi.Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil ⇔ rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil ⇔ toţi minorii caracteristici sunt nuli.

Elemente de geometrie şi trigonometrieFormule trigonometrice.Proprietăţi. sin -1 -1 sin(x+2k , cos(x+2k

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosb cos(a-b)=cosacosb+sinasinbsin2x=2sinxcosx, cos2x=cos

sin cos

sina+sinb=2sin cosa+cosb=2cos

sina-sinb=2sin

cosa-cosb= -2sin

tgx= ctgx=

tg(x+k ctg(x+k

tg ctg

11

tg(a+b)= tg(a-b)=

tg2x=

sinx = cosx =

Valori principale ale funcţiilor trigonometricex 0

sinx 02

1 1 0 -1 0

cosx 12

1 0 -1 0 1

tgx 0 1 - 0 - 0

ctgx - 1 0 - 0 -

Semnele funcţiilor trig.sin:+,+,-,- tg.,ctg.:+,-,+,-cos:+,-,-,+sin(-x)= -sinx (impară) cos(-x)=cosx(pară)tg(-x)= -tgx ctg(-x)= -ctgx

Funcţii trigonometrice inverse

arcsin:[-1,1]→ arcsin(-x)= -

arcsinx

arcsin(sinx)=x, sin(arcsinx)=x,x

arccos:[-1,1] arccos(-x)=

arccos(cosx)=x, cos(arccosx)=x,

arcsinx+arccosx=

arctg:R arctg(-x)= -arctgx

12

arctg(tgx)=x, tg(arctgx)=x,

arcctg:R arcctg(-x)=

arcctg(ctgx)=x, ctg(arcctgx)=x,

arctgx+arcctgx=

Ecuaţii trigonometricesinx = a,acosx = b,btgx = c,cctgx = d,dsinax = sinbxcosax = cosbxtgax = tgbxctgax = ctgbx

Teorema sinusurilor: =2R,unde R este raza cercului

circumscris triunghiului.Teorema cosinusului:aAria unui triunghi:

A A A ,p=

A A A

Raza cercului circumscris unui triunghi:R= ,unde S este aria

triunghiului

Raza cercului înscris într-un triunghi: r= ,unde S este aria

triunghiului iar p=

GrupuriDefiniţie:Fie lege de compozitie pe M.O submultime nevidă H a lui M ,se numeşte parte stabilă a lui M în raport cu legea “”dacă .Proprietăţile legilor de compoziţie

13

Fie lege de compoziţie pe M.Legea “  “ se numeşte asociativă dacă (x

Legea “  “ se numeşte comutativă dacă xLegea “  “ admite element neutru dacă exista e a.i

Definiţie:Cuplul (M, formează un monoid dacă are proprietăţile:1)(x2) există e a.iDacă în plus x atunci monoidul se numeşte comutativ.Notaţie:U(M)={x este simetrizabil}Definiţie:Cuplul (G, formează un grup dacă are proprietăţile:1)(x2) există e a.i3) a.i. xDacă în plus x atunci grupul se numeşte abelian sau comutativ.Definiţie:Un grup G se numeşte finit dacă mulţimea G este finită şi grup infinit ,în caz contrar.Se numeşte ordinul grupului G ,cardinalul mulţimii G(numărul de elemente din G).Ordinul unui elementDefinţie:Fie (G, un grup şi x .Cel mai mic număr natural nenul n cu proprietatea x se numeşte ordinul elementului x în grupul G.(ordx = n)

SubgrupDefiniţie:Fie (G, un grup.O submulţime nevidă H a lui G se numeşte subgrup al grupului (G, dacă îndeplineşte condiţiile:1) .2)Grupul claselor de resturi modulo n,

grup abelian -monoid comutativ ,în care

Morfisme şi izomorfisme de grupuriDefiniţie:Fie (G, şi (G două grupuri.O funcţie f:G se numeşte morfism de grupuri dacă are loc conditia f(Dacă în plus f este bijectivă atunci f se numeşte izomorfism de grupuri.Prop. Fie (G, şi (G două grupuri.Dacă f:G este morfism de grupuri atunci:1)f(e)=e unde e,e sunt elementele neutre din cele două grupuri.2)f(x

14

Inele şi corpuriDefiniţie:Un triplet (A, , unde A este o multime nevidă iar ,, ” şi ,,” sunt două legi de compozitie pe A,este inel dacă: 1) (A, )este grup abelian 2) (A, )este monoid 3)Legea ,,”este distributivă fata de legea ,, ”:x (y z)=(xy) (xz),(y Inelul (A, , este fără divizori ai lui 0,dacă e element neutru de la legea ,, ”)Un inel (A, , se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma: xUn inel (A, , comutativ,cu cel putin 2 elemente şi fără divizori ai lui 0, se numeşte,domeniu de integritate .Definiţie :Un inel (K, cu e se numeşte corp dacă a.i.

fiind elementele neutre )Un corp (K, , se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma: xObs.:Corpurile nu au divizori ai lui zero.Morfisme şi izomorfisme de inele şi corpuri.Definiţie :Fie (A, două inele.O funcţie f:A se numeşte morfism de inele dacă :1)f(1)f(3)f(e )= (e , fiind elementele neutre corespunzătoare legilor )Dacă în plus f este bijectivă atunci f se numeşte izomorfism de inele.Definiţie:Fiind date corpurile K, ,orice morfism(izomorfism) de inele de la K la

,se numeşte morfism(izomorfism)de corpuri.Inele de polinoame

Forma algebrică a unui polinom:f = ,un inel comutativ.

Definiţie:a se numeşte rădăcină a polinomului f dacă f(a)=0.Teorema împărţirii cu rest:Fie K un corp comutativ,iar f şi g,cu g

din K[X].Atunci există polinoamele q şi r din K[X] ,unic determinate,astfel încât f=gq+r cu gradr<gradg.Dacă r = 0,adică f = gq ,atunci spunem că polinomul g divide polinomul f.Teorema restului: Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] şi a un element din K restul împărţirii lui f la X-a este f(a).Consecinţă:a este radăcină a lui f X-a divide f.Definiţie:Elementul a este rădăcină de ordinul p pentru polinomul f dacă (X-a) divide pe f iar (X-a) nu divide pe f.Teoremă: Elementul a este rădăcină de ordinul p pentru polinomul f şi ,unde f este fucţia polinomială asociată polinomului f.Polinoame cu coeficienţi reali

15

Teoremă:Fie f ,f .Dacă z = a+ib,b este o rădăcină complexă a lui f,atunci:1) = a-ib este de asemenea o rădăcină complexă a lui f1)z şi au acelaşi ordin de multiplicitate.Obs. :Polinoame cu coeficienţi raţionaliTeoremă :Fie f , f .Dacă x este o rădăcină a lui f,unde a,b ,atunci1) este de asemenea o rădăcină a lui f 2)x , au acelaşi ordin de multiplicitate.Obs. :Polinoame cu coeficienţi întregiTeoremă :fie f= ;f

1)Dacă x numere prime între ele) este o rădăcină raţională a lui

f,atuncia)p divide termenul liber ab)q divide pe a2)Dacă x este o rădăcină întreagă a lui f,atunci p este un divizor al lui a .Polinoame ireductibileDefiniţie:Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 se numeşte reductibil peste K dacă există g,q din K[X] cu gradg<gradf,gradq<gradf astfel încât f=gq.Dacă f nu este reductibil peste K atunci se spune că f este ireductibil peste K.Prop.:Polinoamele de grad 2 sau 3 din K[X] sunt ireductibile peste K nu au rădăcini în K.Relaţiile lui Viete: Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X], f = .Dacă sunt n rădăcini ale lui f în K atunci f = şi

.......................................................x

Dacă f =

16

f=a

Ecuaţii reciproceDefiniţie:O ecuaţie de forma pentru care se numeşte ecuaţie reciprocă de gradul n.Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcina -1.Ecuaţia reciprocă de gradul IV are forma:a

Se împarte prin şi devine a ;notez x şi

obţinem o ecuaţie de gradul II. Şiruri de numere reale

Şir monoton (crescător sau descrescător)Fie un şir de numere reale.Şirul este crescător dacă: .Şirul este strict crescător dacă: .Şirul este descrescător dacă: .Şirul este strict descrescător dacă: . Şir mărginitFie un şir de numere reale.Şirul este mărginit dacă:Definiţie Un şir care are limita finită se numeşte convergent. Un şir care nu are limită sau care are limita infinită se numeşte divergentTeoremă :Orice şir convergent este mărginit.Consecinţă :Dacă un şir este nemărginit atunci el este divergent.Teoremă Dacă un şir are limită, atunci orice subşir al său are aceeaşi limită. Consecintă: dacă un şir conţine două subşiruri cu limite diferite, atunci şirul nu are limită.▪Teorema lui WeierstrassOrice şir monoton şi mărginit este convergent.▪Teorema cleştelui

Dacă si atunci .

▪ Criteriul raportului

17

Fie un şir cu termeni strict pozitivi. Dacă

atunci . Daca sau atunci

.

Lema lui Stolz-CezaroFie şi două şiruri de numere reale.

Dacă (finit sau infinit) şi este strict monoton şi nemărginit ,

atunci

▪ Criteriul radicalului

Fie un şir cu termeni strict pozitivi.Dacă atunci .

Şiruri remarcabile

,unde

; este constanta lui Euler

generalizare: dacă ; dacă

dacă , dacă ,

dacă , dacă ,

Limite de functiiTeoremă:O funcţie are limită într-un punct finit de acumulare dacă şi numai dacă are limite laterale egale în acel punct.

f are limită în x

Obs.:Funcţia f :D nu are limită în punctul de acumulare x în una din situaţiile :a)există un şir x cu limita x astfel încât şirul nu are limităb)există şirurile astfel încât şirurile au limite diferite.

18

Teoremă:Fie f :D ,o funcţie elementară şi x un punct de acumulare al lui D

Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor finite)

Fie f,g:D şi x un punct de acumulare al lui D.Dacă şi există a.î.

V vecinătate a lui x şi dacă

Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor infinite)Fie f,g:D , x un punct de acumulare al lui D şi ,V vecinătate a lui x .

a)Dacă

b)Dacă

Teoremă(Criteriul cleştelui) Fie f,g,h:D , x un punct de acumulare al lui D şi

, V vecinătate a lui x .

Dacă

Limite uzuale.Limite remarcabile.

19

unde

Operaţii fără sens:

Funcţii continueDefiniţie Fie şi punct de acumulare pentru D

este continuă în dacă

Dacă f nu este continuă în ,ea se numeşte discontinuă în ,iar se numeşte punct de discontinuitate.Definiţii:Un punct de discontinuitate este punct de discontinuitate de prima speţă pentru f ,dacă limitele laterale ale funcţiei f în punctul există şi sunt finite.Un punct de discontinuitate este punct de discontinuitate de speţa a doua dacă nu este de prima speţă.(cel puţin una din limitele laterale ale funcţiei f în punctul nu este finită sau nu există)Teoremă: Fie şi punct de acumulare pentru D f continuă în

= f(Teoremă:Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiţie.Operaţii cu funcţii continue

Teoremă:Fie f,g:D continue pe D f+g, sunt

funcţii continue pe D.Compunerea a două funcţii continue este o funcţie continuă.Teoremă: Fie f:[a,b] R o funcţie continuă a.î. f(a)f(b)<0 pentru care f(c)=0.

Asimptote1.Asimptote verticaleDefiniţie:Fie f :E punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este

asimptotă verticală la stanga pentru f,dacă sau

.

Definiţie:Fie f :E punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este

asimptotă verticală la dreapta pentru f,dacă sau

.

Definiţie : Fie f :E punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este asimptotă verticală pentru f dacă ea este asimptotă verticală atât la stânga cât şi la dreapta sau numai lateral.2.Asimptote oblice

20

Teorema : Fie f :E unde E conţine un interval de forma(a,Dreapta y=mx+n,m este asimptotă oblică spre + la graficul lui f dacă şi numai dacă

m,n sunt numere reale finite,unde m= .Analog la - .

3.Asimptote orizontale

Dacă număr finit atunci y = l este asimptotă orizontală spre + la graficul

lui f.Analog la -Obs :O funcţie nu poate admite atât asimptotă orizontala cât şi oblică spre + (- )

Funcţii derivabileDefiniţie:Fie f:D ,x punct de acumulare pentru D

Derivata într-un punct:f = .

f este derivabilă în x dacă limita precedentă există şi este finită.▪Dacă f este derivabilă în , graficul funcţiei are în punctul tangentă a

cărei pantă este .Ecuaţia tangentei este: .

Teoremă:Fie f:DR , x punct de acumulare pentru D f este derivabilă în punctul

de acumulare = .

.

Teoremă . Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.Puncte de întoarcere.Puncte unghiulare.Definiţii:Fie f:DR , x punct de acumulare pentru D.Punctul x se numeşte punct de întoarcere al funcţiei f, dacă f este continuă în x şi are derivate laterale infinite şi diferite în acest punct. Punctul x se numeşte punct unghiular al funcţiei f dacă f este continuă în x ,are derivate laterale diferite în x şi cel puţin o derivată laterală este finită.

Derivatele funcţiilor elementareFunctia Derivata

c 0x 1

21

Operaţii cu funcţii derivabile

Teoremă:Fie f,g:D derivabile pe D f+g ,fg, (g )sunt funcţii derivabile pe D.

Compunerea a două funcţii derivabile este o funcţie derivabilă.Reguli de derivare

; ; ;

Proprietăţile funcţiilor derivabileDefiniţie:Fie f:DR.Un punct x se numeşte punct de maxim local(respectiv de minim local)al lui f dacă există o vecinătate U a punctului x astfel încât f(x) f(x )(respectiv f(x) f(x ) ) pentru orice x .Dacă f(x) f(x )(respectiv f(x) f(x ) ) pentru orice x atunci x se numeşte punct de maxim absolut(respectiv minim absolut)Teoremă . ( Fermat) Fie I un interval deschis şi x I un punct de extrem al unei funcţii ƒ: IR. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x atunci ƒ’(x )=0.Definiţie:O funcţie ƒ: [a, b] R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] şi derivabilă pe intervalul deschis (a, b). Teorema lui RolleFie ƒ: [a, b] R, a< b o funcţie Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puţin un punct c (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.Teorema(teorema lui J. Lagrange). Fie ƒ o funcţie Rolle pe un interval compact [a, b]. Atunci c (a, b) astfel încât ƒ(b)- ƒ(a)= (b- a)ƒ’(c)Consecinţe:

22

1.Dacă o funcţie derivabilă are derivata nulă pe un interval atunci ea este constantă pe acel interval.2.Dacă două funcţii derivabile au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă printr-o constantă pe acel interval.Rolul primei derivate3. Fie f o funcţie derivabilă pe un interval I. Dacă , atunci f este strict crescătoare( crescătoare) pe I.Dacă , atunci f este strict descrescătoare(descrescătoare) pe I.4.Fie f:D ,D interval şi x .Dacă1)f este continuă în 2)f este derivabilă pe D-

3)există

atunci f are derivată în şi f .Dacă atunci f este derivabilă în .Observaţie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale unei funcţii derivabile şi se determină punctele de extrem local.Rolul derivatei a douaTeoremă: Fie f o funcţie de două ori derivabilă pe I. Dacă , atunci f este convexă pe I. Dacă , atunci f este concavă pe I.Definiţie: Fie f o funcţie continuă pe I si punct interior intervalului. Spunem că este punct de inflexiune al graficului funcţiei dacă f este convexă pe o vecinătate stânga a lui şi concavă pe o vecinătate dreapta a lui sau invers.Observaţie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate şi concavitate şi se determină punctele de inflexiune.

Noţiunea de primitivăDefiniţie: Fie I R interval, f : I R. Se numeşte primitivă a funcţiei f pe I, orice funcţie F : I R derivabilă pe I cu proprietatea F '(x) = f (x), x I.Teoremă.Orice funcţie continuă f : I R posedă primitive pe I.Teoremă:Fie f : I R,I interval ,o funcţie care admite primitive pe I.Atunci f are proprietatea lui Darboux.Consecinţe:1.Dacă g : I R nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admite primitive pe I.2.Fie g : I R.Dacă g(I)= nu este interval atunci g nu admite primitive pe I.3.Dacă g : I R are discontinuităţi de prima speţă atunci g nu admite primitive pe I.Tabel de integrale nedefinite

,n ,x

,a ,x

sau x

23

sau x sau x

sau x

Integrala definităTeoremă.Funcţiile continue pe un interval sunt integrabile pe .Teoremă.Funcţiile monotone pe un interval sunt integrabile pe .Proprietăţile funcţiilor integrabile.a)(Proprietatea de linearitate)Dacă f,g sunt integrabile şi

1)

2)

b)Dacă şi este integrabilă pe , atunci .

c)Dacă pentru orice şi dacă f şi g sunt integrabile pe , atunci

d)(Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul)Funcţia f : [a, b] R este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă, c (a, b) funcţiile

sunt integrabile şi are loc formula:

24

e)Dacă funcţia f este integrabilă pe , atunci şi este integrabilă pe şi

.

Teoremă (Formula Leibniz - Newton)Dacă f : [a, b] R este o funcţie integrabilă şi f admite primitive pe [a, b] atunci pentru orice primitivă F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:

.

Teorema de medie Dacă f : [a, b] R este o funcţie continuă, atunci există c[a, b] a.i.

.

Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continueDacă g : [a, b] R este o funcţie continuă,atunci funcţia G: [a, b]R,

are proprietăţile:

1)G este continuă pe [a, b] şi G(a) = 02)G este derivabilă pe [a, b] şi

Reţinem:

Teoremă (Formula de integrare prin părţi)Fie f , g : [a, b] R cu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de

integrare prin părţi: .

Teoremă:Fie f:[-a,a] R, o funcţie continuă.Atunci

1) dacă f este funcţie pară.

2) ,dacă f este funcţie impară.

Teoremă:Fie f:R R o funcţie continuă de perioadă T

Aria unui domeniu din plan1. Aria mulţimii din plan D R2 mărginită de dreptele x = a, x = b, y = 0 şi graficul

funcţiei f : [a, b] R pozitivă şi continuă se calculează prin formula: .

2. În cazul f : [a, b] R continuă şi de semn oarecare, avem: .

3. Aria mulţimii din plan mărginită de dreptele x = a, x = b şi graficele funcţiilor

f , g : [a, b] R continue este calculată prin formula: .

25

Volumul unui corp de rotaţie Fie f : [a, b] R o funcţie continuă, atunci corpul C din spaţiu obţinut prin rotirea graficului lui f , Gf, în jurul axei Ox, are volumul calculat prin

formula: .V(C )=

26