175

Partea 6

Elemente de fizic cuantic

Elemente de fizic a nucleului atomic i a particulelor elementare.

176

Tema 6.1 Teoria lui Bohr a atomului de hidrogen.

1. Modelele de atom. Spectrul liniar al atomului de hidrogen.

Primele idei despre existena atomilor au aprut nc naintea erei noastre (Democrit,

Epicur, Lucreiu .a.) ns abea n secolul XVIII teoria atomist i ncepe dezvoltarea sa. n a doua

jumtate a secolului XIX a fost demonstrat experimental existena electronului care a ridicat

problema despre structura atomului. n baza datelor experimentale existente Thompson a fcut

prima ncercare de creare a unui model a atomului (1903). Conform acestui model, atomul

constituie o sfer ncrcat continuu cu sarcin pozitiv de raz 1010 m n interiorul creia se afl

electronii care oscileaz n jurul poziiilor lor de echilibru. Sarcina negativ a tuturor electronilor

este egal cu sarcina pozitiv a sferei, din care motiv atomul este neutru din punct de vedere

electric. ns peste civa ani s-a demonstrat c idea despre distribuirea continu a sarcinii positive

n interiorul atomului este greit. Cercetnd mprtierea particulelor n substan, Rutherford a

observat c majoritatea lor sufer o abatere foarte mic, ns exist unele particule care se abat

brusc sub unghiuri destul de mari de circa 1300

-1500. Aceste experiene ale lui Rutherford au

confirmat ideea sa despre existena unui nucleu, ce ocup un volum foarte mic n comparaie cu

volumul atomului i n care este concentrat toat sarcina pozitiv a atomului. n baza acestor

cercetri n anul 1911 Rutherford a propus modelul nuclear (planetar) al atomului. Conform acestui

model, n jurul nucleului pozitiv cu sarcina Ze (Z este numrul de ordine din sistemul periodic al

elementelor) dimensiunea 10-15

10-14 m i masa practice egal cu masa atomului, ntr-o regiune cu

dimensiunile 1010 m pe nite orbite circulare se mic electronii, care formeaz nveliul

electronic al atomului. Sarcina tuturor electronilor este egal cu sarcina nucleului. Dac aplicm

legile clasice pentru micarea electronului pe orbita de raz r avem

Zee mv,

rr

2

2

04 (5.1)

de unde

Zer .

mv

210

2

0

104 m (5.2)

La micarea accelerat a electronilor pe orbite ( v m

sr

222

210 ) ei ar trebui s radieze unde

electromagnetice din care cauz ar pierde energie i pn la urm ar trebui s cad pe nucleu. Aa

dar atomul dup Rutherford este un sistem nestabil.

177

1) Din (5.1) rezult c exist o infinitate de valori pentru r, v i E pentru care este satisfcut

relaia. Adic r, v i E pot varia continuui deci se poate radia orice energie i atunci spectrele

atomilor ar trebui s fie continue, ceea ce contravene rezultatelor experimentale. Cercetnd spectrul

liniar al hidrogenului savantul elveian Balmer a stabilit (1885) c lungimile de und ale liniilor

spectrale din domeniul vizibil al spectrului satisfac formula

R n , , ... ,n

2 2

1 1 13 4 5

2 (5.3)

unde R . 71 1 10 m-1 este constanta lui Rudberg

R ,n

2 2

1 1

2 (5.4)

R R c . 15

3 3 10 s-1. (5.5)

n continuare ( la nceputul sec. XX) n spectrul atomului de hidrogen au mai fost gsite nc cteva

serii. n domeniul ultraviolet:

Seria Lyman

R n , ... .n

2 2

1 12 3

1 (5.6)

n domeniul infrarou:

Seria Paschen

R n , , ... .n

2 2

1 14 5 6

3 (5.7)

Seria Brackett

R n , , ... .n

2 2

1 15 6 7

4 (5.8)

Seria Pfund

R n , , ... .n

2 2

1 16 7 8

5 (5.9)

Seria Humphreys

R n , , ... .n

2 2

1 17 8 9

6 (5.10)

Toate seriile spectrale (5.3) (5.10) pot fi descrise cu o singur relaie numit formula generalizat a

lui Balmer

R .m n

2 2

1 1 (5.11)

n m 1

178

2. Postulatele lui Bohr. Experiena lui Franck i Hertz.

Prima ncercare de a crea o teorie neclasic a atomului i aparine fizicianului danez N. Bohr

(1913). La baza teoriei sale Bohr a pus dou postulate.

1) Postulatul strilor staionare: exist stri staionare ale atomului n care el nu emite energie.

Strilor staionare le corespund orbite anumite de-a lungul crora se mic electronii, care dei

posed acceleraie nu emit unde electromagnetice. Regula lui Bohr de cuantificarea orbitelor:

electronul n starea staionar a atomului se mic pe aa orbite circulare, nct valorile momentului

impulsului su sunt cuantificate i satisfac condiia

e nm vr n n , , ... 1 2 3 (5.12)

2) Postulatul al doilea ( regula frecvenelor) la trecerea atomului dintr-o stare staionar n alta se

emite sau se absoarbe un foton cu energia

mn mn n mh E E . (5.13)

Dac m nE E este emisia fotonului

m nE E este absorbia fotonului

Setul de frecvene

mn n mE E .

h

1

(5.14)

i determin spectrul linear al atomului.

Aceast teorie cuantic a fost ntrit i mai mult prin rezultatele experimentale obinute de ctre

Franck i Hertz n 1914.

1 accelerarea electronilor

2 ciocnirile cu atomii de Hg

3 potenialul de reinere

179

Figura 5.1

3. Spectrul atomului de hidrogen conform teoriei lui Bohr.

Postulatele lui Bohr au permis calcularea spectrului atomului de hidrogen i a atomilor

hidrogenoizi i calcularea constantei Rydberg.

S cercetm micarea electronului ntr-un sistem hidrogenoid.

Rezolvnd sistemul de ecuaii format din (5.1) i (5.12) obinem

ne

r n .Ze m

22 0

2

4 (5.15)

Din (5.15) se vede c razele orbitelor cresc proporional cu ptratele numerelor ntregi. Pentru

atomul de hidrogen Z=1 pentru n=1 obinem

er , m , .

m e

2

1001 2

40 528 10 52 8 pm (5.16)

Deoarece experimental razele orbitelor staionare nu pot fi msurate, pentru verificarea teoriei vom

apela la o mrime msurabil energia emis sau absorbit de atom.

Energia total

e e

c p

e

m v Ze m Ze Ze ZeE E E .

r rm r r

2 2 2 2 2

0 0 0 0

1

2 4 2 4 4 2 4 (5.17)

Lund n consideraie (5.15) obinem

180

e e

n

Ze Ze m Z m eE .

n n h

2 2 2 4

2 2 2 2 2

0 0 0

1

8 4 8 (5.18)

Din (5.18) se vede c strile energetice ale atomului formeaz un ir de nivele energetice. Numrul

n care determin aceste nivele se numete numr cuantic principal. Starea cu n=1 este numit stare

fundamental sau normal. Toate strile cu n 1 sunt numite stri excitate. Din ( 5.18) se mai

vede, c atomul posed energie minim E1i maxim E ( eliminarea electronului din atom sau

ionizare).

Conform postulatului doi avem

en mm e

E E Rh h n m m n

meR .

h

4

3 2 2 2 2 2

0

4

3 2

0

1 1 1 1 1

8

8 (5.19)

181

Tema 6.2 Elemente de mecanic cuantic (I)

1. Dualismul ondular corpuscular al substanei. Undele de Broglie.

n anul 1924, fizicianul francez Louis de Broglie a extins ideea dualitii und- corpuscul de

la cazul radiaiei electromagnetice la particulele materiale. Astfel, de Broglie a emis ipoteza c

relaiile

h

h hp k

2

2

(5.20)

Pentru fotoni sunt universal valabile. Adic micarea oricrei particule ca electron, proton, molecul

etc., este caracterizat de o und asociat, cu lungimea de und

h h

,p mv

(5.21)

sau cu vectorul de und

p

k . (5.22)

Asemenea unde au fost numite unde de Broglie. Dup de Broglie, primul postulat a lui Bohr rezult

din faptul c pot exista numai acele orbite electronice pentru care unda asociat electronului este o

und staionar, adic

h hr n n n ,

p mv 2

(5.23)

de unde

hmvr n n .

2 (5.24)

Valabilitatea ipotezei lui de Broglie a fost confirmat cu o serie de experiene. n anul 1927

Davisson i Germer au efectuat experiene de difracie a electronilor. Msurrile au artat c

intensitatea fascicolului de electroni reflectai de la un monocristal de Ni prezint maxime i minime

cu poziiile dependente de tensiunea de acceleraie. n anul 1928 fizicianul american Thomson a

efectuat experiene de difracie a electronilor pe policristale i a obinut rezultate n total

concordan cu ipoteza de Broglie, iar fizicianul Stern a efectuat experiene de difracie a

fascicolelor de atomi i molecule.

182

2. Relaiile de nedeterminare ale lui Heisenberg.

Datele experimentale au condus la concluzia c electronii i alte particule nu pot fi

considerate puncte materiale, ci reprezint obiecte complexe ce posed proprieti ondulatorii.

Din mecanica clasic se tie c micarea unui corp (p.m.) este caracterizat de urmtoarele

proprieti:

1. Corpul are valori determinate pentru coordonata x i impulsul Px.

2. Corpul se mic dup o traiectorie bine determinat.

3. Dac se cunoate poziia x0 i impulsul p0 la un moment t0, putem determina poziia x

i impulsul px la orice moment de timp ulterior.

Problema localizrii obictelor ondulatorii se deosebete principial de cea referitoare la punctul

material. Orice und, indiferent de natura ei, este caracterizat de o funcie de und. Pentru unda cea

mai simpl, adic pentru unda armonic plan, avem

x,t A cos t x ,

2 sau i t kxx,t Ae . (5.25)

Este clar c o astfel de und umple ntregul spaiu, dar impulsul asociat acestei unde

xh

p ,

(5.26)

este perfect determinat. Adic unda monocromatic plan este caracterizat de relaiile

xx , p . 0 (5.27)

Aceasta nseamn c un obiect ca und plan are un impuls perfect determinat, dar este total

nelocalizat n spaiu. Se poate arta, c la o cretere a determinrii referitoare la localizarea undei

este nsoit de o cretere a nedeterminrii impulsului

xx , p . 0 (5.28)

Aa dar din natura ondulatorie a obiectelor cuantice ca fotonul, electronul .a., rezult c aceste

particule nu pot fi caracterizate concomitent printr-o coordonat determinat x i impuls determinat

xp .

Relaiile dintre nedeterminrile x i xp au fost analizate pentru prima dat de ctre fizicianul

german Heisenberg n anul 1927. Pentru stabilirea poziiei unui electron este necesar ca acesta s fie

iradiat cu un foton i s se nregistreze fotonul difuzat. ntr-un aa experiment, precizia determinrii

poziiei electronului nu poate depi f , adic fx . n procesul de difuzie a fotonului,

electronul primete un recul i impulsul su se schimb cu mrimea xp de ordinul de mrime al

impulsului fotonului fp .

183

Aa dar

x f f

hx p p h,

(5.29)

deci relaiile de nedeterminare ale lui Heisenberg sunt

x

y

z

x p h

y p h

z p h.

(5.30)

Aceste relaii au un caracter fundamental n mecanic i exprim deosebirea cantitativ dintre

particulele cuantice i cele clasice . Ele reprezint o lege general a naturii i au un caracter

universal.

184

Tema 6. 3 Elemente de mecanic cuantic (II)

1. Funcia de und i caracterul ei statistic.

Pentru a intui sensul fizic al funciei de und r,t vom analiza o experien de difracie a

luminii ( microparticulelor). Pe un ecran se obine distribuia intensitii luminoase cu max i min.

Din punct de vedere ondulatoriu intensitatea luminoas este proporional cu ptratul amplitudinii

I A .2

(5.31)

Din punct de vedere corpuscular intensitatea luminoas este proporional cu numrul fotonilor ce

ajung n unitate de timp pe unitate de suprafa pe ecran

I n . (5.32)

Din (5.31) i (5.32) avem

n A .2

(5.33)

Deci cu ct n este mai mare, cu att I luminii este mai mare. Pe de alt parte n punctele unde I este

mai mare nimeresc un numr mai mare de microparticule. Cu alte cuvinte difracia

microparticulelor are un caracter probabilistic adic statistic. Poate fi oare considerat unda de

Broglie ca o und de probabilitate? Dac ar fi aa, atunci probabilitatea de a gsi o microparticul

ntr-un punct dat ar putea fi i negativ, ceea ce nu are sens fizic. Pentru nlturarea acestei greuti la

interpretarea descrierii difraciei fizicianul german M.Born a presupus c dup o legitate ondular se

modific nu probabilitatea ci o mrime numit amplitudinea probabilitii i care coincide cu

r,t numit funcie de und. Probabilitatea de a gsi microparticula n locul dat este

proporional cu amplitudinea probabilitii la ptrat

W r,t .2

(5.34)

Probabilitatea de a gsi particula ntr-un element de volum dV este

dW r,t dV,2

(5.35)

de unde

dWr,t .

dV

2

(5.36)

i are semnificaie de densitate a probabilitii. Aa dar sens fizic are nu funcia dar ptratul

modulului ei.

Din (5.36) avem

185

V V

W dW r,t dV 2

(5.37)

(5.37) este probabilitatea de a gsi microparticula n volumul dV. Dac extindem dV la volumul

ntrgului spaiu atunci avem

1. r,t dV .

2

1 (5.38)

(5.38) este numit condiie de normare a funciei de und.

n ncheiere vom meniona c funcia r,t fiind caracteristica principal a strii microparticulei,

permite calculul valorilor medii ale mrimilor fizice. De exemplu distana medie a electronului fa

de nucleu poate fi calculat cu relaia

r r r,t dV.

2

(5.39)

2. Funcia trebuie s fie finit continu i univoc.

3. Derivatele t, , ,

x y z t

trebuie s fie continue.

2. Ecuaia general a lui Schrodinger.Ecuaia lui Schrodinger pentru strile

staionare.

n anul 1926, fizicianul austriac Erwin Schrodinger a artat c funcia de und r,t

pentru o particul aflat ntr-un cmp de fore caracterizat de energia potenial pE x,y,z,t se

afl prin rezolvarea ecuaiei

pE x,y,z,t i ,m t

2

02 (5.40)

unde

,x y z

2 2 2

2 2 2

(5.41)

m0 este masa de repaos a particulei.

La aceast ecuaie, Schrodinger a ajuns pe baza unor raionamente care nu pot fi considerate ca

deduceri riguroase. Din acest motiv ecuaia Schrodinger reprezint un postulat fundamental al

mecanicii clasice. (5.40) este ecuaia fundamental a lui Schrodinger, care mai este numit i

temporal. Pentru multe fenomene fizice, ecuaia (5.40) poate fi simplificat prin eliminarea

186

dependenei de timp a funciei de und , adic se obine ecuaia Schrodinger pentru strile

staionare stri cu valori exacte ale energiei. Acest lucru este posibil dac cmpul de fore nu

depinde de timp, adic p pE E x,y,z . n acest caz soluia ecuaiei (5.40) poate fi reprezentat

n forma

iEt

i tx,y,z,t x,y,z e x,y,z e ,

(5.42)

unde E este energia total a particulei. nlocuind (5.42) n (5.40) obinem

Ei tE Ei t i t E

e U e i i e ,m

2

02

sau

pE E ,m

2

0

02

(5.43)

Formula (5.43) este numit ecuaia Schrodinger pentru strile staionare. S cercetm acum

micarea unei particule libere. Pentru ea pE x,y,t 0 i (5.43) are forma

md

E .dx

2

0

2 2

20 (5.44)

Soluia ecuaiei (5.44) poate fi scris sub forma

ikxx Ae ,

(5.45)

unde k este constanta creia i corespunde energia

kE .

m

2 2

2 (5.46)

Aa dar funcia de und dependent de timp are forma

xiEt p x

i t ikx hx,t Ae Ae

(5.47)

i reprezint o und de Broglie monocromatic plan.

187

Tema 5.4 Elemente de mecanic cuantic (III)

1. Particula n groapa potenial unidimensional.

S cercetm micarea unei particule ntr-o groap unidimensional de potenial. Cu alte

cuvinte energia potenial a acestei particule se descrie cu relaia

Figura 5.2

p

, x

E U x , x l .

, x l

0

0 0 (5.48)

Ecuaia Schrodinger din tema precedent are forma :

pd m

E E .dx

2

2 2

20 (5.49)

Deoarece pereii gropii poteniale sunt infinit de nali atunci probabilitatea de a gsi particula n

afara gropii este egal cu zero. La marginile gropii x , x l 0 funcia de und trebuie i ea

s fie egal cu zero, adic condiiile de limit sunt

e . 0 0 (5.50)

n interiorul gropii x l 0 ecuaia (5.49) capt forma

d mE ,

dx

2

2 2

20

sau

d

k ,dx

22

20 (5.51)

unde

188

mEk .2

2

2

(5.52)

Soluia general a ecuaiei (5.51) are forma

x Asin kx Bcos kx . (5.53)

Folosind condiiile de limit (5.50) determinm unul din coeficienii A i B.

Asin k Bcos k B 0 0 0 0 0 0

(5.54)

Din a doua condiie avem

l A sin kl kl n n , ... 0 1 2

(5.55)

Aa dar

h

k .l

(5.56)

Din (5.51) i (5.56) avem:

nn

E n , ... ,ml

2 2 2

21 2

2

(5.57)

adic energia particulei n groapa de potenial nu poate lua orice valori, ci numai un ir de valori

proprii discrete En, cu alte cuvinte energia particulei devine cuantificat. S cercetm influena

numrului n la amplasarea nivelelor energetice ale particulei. Pentru aceasta vom determina raportul

n

EE .

Din (5.57) avem

n nE E E n ,

ml

2 2

1 22 1

2 (5.58)

aa dar

n

E n n.

E n n n

2 2

2 1 2 2

(5.59)

Cu alte cuvinte are loc apropierea relativ a nivelelor energetice. Probabilitatea de a gsi particula

ntr-un punct oarecare al gropii este n n nx x x .

2

Pentru aceasta gsim A din

condiia de normare

ln

A sin xdx ,l

2 2

0

1

(5.60)

de unde

Al

2

i nn

x sin x.l l

2

(5.61)

189

Figura 5.3

2. Efectul tunel.

S cercetm acum o barier potenial de form dreptunghiular n calea micrii unei

particule. O asemenea barier poate fi descris de potenialul

, x

U x U, x l .

, x l

0 0

0

0

(5.62)

n aceeai situaie o particul descris n mod clasic, care posed o energie E sau va trece

nestingherit peste barier E U sau se va reflecta i se va mica n partea opus E U .

n cazul mecanicii cuantice ambele cazuri exist probabiliti ale evenimentelor corespunztoare

diferite de zero.

Ecuaia lui Schrodinger pentru regiunile 1,2 i 3 are forma

,

,

d mEk ; k

dx

2

2 21 3

1 32 2

20 (5.63)

i

m E Udq ; q .

dx

22 22

22 2

20 (5.64)

Soluiile generale ale ecuaiilor (5.63) i (5.64) au forma

190

ikx ikx

iqx iqx

ikx ikx

x A e B e I

x A e B e II

x A e B e III ,

1 1 1

2 2 2

3 3 3

(5.65)

Aa dar pentru (I) avem

E i ii t Et p x Et p x

x,y,z,t x e A e B e .1 1

1 1 1 1 (5.66)

Deoarece n regiunea (III) nu exist reflexie avem

i Et p xx,t A e .

3

3 3 (5.67)

O situaie deosebit are loc n regiunea (II) unde

x xx A e B e q i ,3 2 2 (5.68)

n care

m U E.

2

(5.69)

Figura 5.4

Comportarea calitativ a funciilor 1 2 3 este artat n figur. Aa dar avem o situaie

specific unui fenomen cuantic care a cptat denumirea de efect tunel, n rezultatul cruia particula

191

poate trece printr-o barier potenial. Pentru descrierea acestui efect se folosete noiunea de

transparen D a barierei poteniale ce se determin cu raportul densitii fluxului de particule ce a

trecut prin bariera de potenial ctre densitatea fluxului de particule incident, adic

AD .

A

2

3

2

1 (5.70)

Pentru determinarea raportului A A2

3

1

este necesar s folosim condiiile de continuitate a funciilor

i derivatelor lor la pereii barierei adic pentru x , x l 0

;.

l l ; l l

1 2 1 2

2 3 2 3

0 0 0 0

(5.71)

Pentru cazul unei bariere de form dreptunghiular dup rezolvarea sistemului de ecuaii (5.71) se

obine

D D exp m U E l .0 2 2

(5.72)

n cazul unei bariere de form arbitrar se obine

x

x

D D exp m U E dx ,

2

1

0

22

(5.73)

unde

U U x .

(5.74)

3. Oscilatorul liniar armonic n mecanica cuantic.

Oscilatorul liniar armonic este un sistem, care efectueaz o micare unidimensional sub

aciunea unei fore cuazielastice, adic este un model care deseori este utilizat n problemele

mecanicii clasice i cuantice. Drept exemple pot servi pendulele elastic, fizic i matematic care sunt

oscilatori armonici clasici. Energia potenial a unui oscilator armonic este

m xkxU .

2 22

0

2 2 (5.75)

Dependena (5.75) este o parabol, adic groapa potenial n acest caz este parabolic.

Oscilatorul armonic n mecanica cuantic ( oscilatorul cuantic) se descrie cu ecuaia Schrodinger

care pentru energia potenial (5.75) are forma

md mE ,

dx

22

0

2 2

20

2 (5.76)

192

unde E este energia total a oscilatorului. n teoria ecuaiilor difereniale se demonstreaz ca (5.76)

are soluii numai valorile proprii ale energiei

nE n .

0

1

2 (5.77)

Din (5.77) rezult c energia unui oscilator cuantic poate avea doar valori discrete adic este o

mrime cuantificat. Energia este limitat de jos cu valoarea minim E 0 01

2 numit energie

zero a oscilatorului, adic particula nu se poate afla pe fundul gropii cuantice.

193

Tema 5.5 Structura i proprietile principale ale nucleelor (I)

1. Sarcina, dimensiunile i componena nucleului atomic. Numrul de mas i

numrul de sarcin.

Se numete nucleu partea central a atomului n care e concentrat practic toat masa

atomului i sarcina electric pozitiv a lui. Din experienele lui Rezerford s-a artat c dimensiunile

nucleului sunt 14 1510 10 m. El const din protoni i neutroni. Protonul are sarcina egal cu

e i masa pm .

271 6726 10 kg 1836mc, iar neutronul este o particul neutr cu masa de

repaos nm .

271 6749 10 kg 1839mc. Protonii i neutronii constituie nucleonii din nucleu.

Numrul total de nucleoni n nucleu se numete numr de mas A N Z. Sarcina nucleului este

Ze unde e sarcina protonului, Z numrul de sarcin ( numrul de protoni, numrul de ordine

din tabelul elementelor chimice). Nucleele cu acelai Z, dar cu A diferit sunt numite izobari.

Nucleul elementului chimic x se noteaz AZX. Pentru determinarea razei nucleului se folosete o

formul empiric

R R A , 0

13 (5.78)

unde

R . . . 150 1 3 1 7 10 m (5.79)

2. Energia de legtur i masa nucleului.

Cercetrile efectuate au demonstrat, c nucleele atomice sunt nite formaiuni stabile.

Msurrile pentru determinarea masei nucleului au artat, c masa nucleului este ntotdeauna mai

mic dect suma maselor componentelor lui (protonilor i neutronilor). Aceast diferen este

numit defect de mas i este egal

p n nm Zm A Z m M . (5.80)

Din legea interdependenei masei i energiei rezult, c pentru a descompune nucleul n nucleoni

aparte este nevoie de o energie egal cu energia de legtur a acestor nucleoni. Deci

leg. p n nE m c Zm A Z m M c .

2 2 (5.81)

n tabele de obicei este dat masa atomului corespunztor dar nu a nucleului. Deaceea n locul

(5.81) se folosete

194

a

leg p n n e e

M

n aH

E Zm A Z m M Zm Zm c

Zm A Z m M c .

11

2

2

(5.82)

Deseori n locul energiei de legtur se folosete energia de legtur specific a nucleului

legE egal cu energia de legtur ce revine la un nucleon.

Figura 5.5

leg eleg

E M VE .

A nucleon8

(5.83)

3. Forele nucleare. Modele nucleare.

Datele experimentale referitoare la stabilitatea nucleelor i energiei de legtur au condus la

concluzia existenei unor fore de tip special numite fore nucleare i caracterizate prin urmtoarele

proprieti:

1) Sunt fore cu raz mic de aciune . m 151 5 10 .

2) Sunt independente de sarcina electric, adic au aceeai valoare indiferent de natura

nucleonilor ntre care acionaz.

3) Sunt fore de atracie.

4) Sunt fore de saturaie, adic fiecare nucleon interacioneaz numai cu un numr limitat de

nucleoni nvecinai.

5) Nu sunt fore centrale, ci depind de orientare momentelor cinetice ale nucleonilor care

interacioneaz i de distana dintre nucleoni.

Interaciunile care au loc prin intermediul forelor nucleare se numesc interacii tari.

195

n ceea ce privete modelele nucleare trebuie s subliniem de la nceput, c nc nu exist o teorie

complet ce ar explica toate proprietile nucleelor atomice. Modelele cunoscute n prezent explic,

fiecare n parte anumite aspecte legate de proprietile nucleelor.

Modelul pictur: nucleul este presupus o pictur sferic de lichid nuclear incompresibil i ncrcat

cu sarcin electric. Acest model d o reprezentare aproximativ corect despre masa, energia de

legtur i ali parametri ai nucleului, dar exist un cerc larg de probleme pe care modelul pictur

nu le poate explica.

Periodicitatea unor proprieti ale nucleelor similar cu proprietile atomilor, a condus la ideea c

i nucleul atomic are o structur de pturi. Modelul corespunztor al nucleului se numete modelul

pturilor nucleare.

4. Radiaia radioactiv i tipurile ei. Legea dezintegrrii radioactive. Regula

deplasrii.

Prin radioactivitate nelegem transformarea izotopilor nestabili ai unui element chimic n

izotopii unui alt element nsoit de emisia unor particule. Deosebim radiaie radioactiv natural

i artificial. Radioactivitatea natural este radioactivitatea ce se observ la izotopii nestabili

existeni n natur, iar cea artificial este la izotopii obinui n urma reaciilor nucleare. Exist

radiaie radioactiv de 3 tipuri: , , . Pentru dezintegrrile radioactive i sunt cunoscute

regulile de deplasare ale lui Soddy

A A A A

Z Z Z Z: X Y He ; : X Y e

4 4 0

2 2 1 1 (5.84)

Teoria dezintegrrii radioactive se construiete n baza presupunerii c procesul de dezintegrare este

un proces spontan care se supune legilor statistice. Numrul de nuclee dN care se dezintegreaz n

intervalul de timp dt este proporional cu dt i cu numrul N de nuclee care nc nu s-au

dezintegrat la momentul de timp t. Adic

dN Ndt (5.85)

Unde este o constant pentru substana radioactiv dat numit constanta dezintegrrii

radioactive. Semnul - arat c numrul de nuclee radioactive se micoreaz. Din (5.85) avem

dNdt ;

N sau

N t

N

dNdt.

N0 0

Sau

N

ln t,N

0

de unde tN N e .0 (5.86)

196

Unde N0 este numrul iniial de nuclee nedezintegrate (5.86) reprezint legea dezintegrrii

radioactive. Perioada de njumtire este timpul n care numrul de nuclee radioactive se

micoreaz de 2 ori. Din (5.86)

TyN lnN e Ty .

20

0 2

2

2 (5.87)

Timpul mediu de via

t tNtdt N te dt te dt .N N

0

0 00 0 0

1 1 1

(5.88)

Activitatea nucleonului a

dN

a N.dt (5.89)

197

Tema 5.6

1. Reacii nucleare i tipurile de baz ale lor.

Reacia nuclear este acel proces prin care dou particule sau sisteme de particule

interacioneaz prin fore nucleare i ansamblul se desface n mai multe particule sau sisteme de

particule sau nuclee. Particulele sau nucleele din starea final se numesc produi de reacie

a x y b

sau x a,b y;

1) unde a este particula sau nucleul proiectil care de obicei este accelerat pentru a produce

reacia;

2) x este nucleul int, de obicei n repaos;

3) y este nucleul rezidual;

4) b este particula sau nucleul mai uor, rezultat din reacie.

n orice reacie nuclear se ndeplinesc legile conservrii sarcinilor electrice i a numerelor de mas,

precum i legile conservrii energiei i impulsului.

Spre deosebire de dezintegrarea radioactiv care are loc ntotdeauna cu eliminarea de energie

reaciile nucleare pot fi atit endoenergetice ( adic cu absorbie de energie ) ct i exoenergetice (

adic cu degajare de energie).

Reaciile nucleare se clasific dup :

1) Tipul particulei incidente (ncrcat electric, neutr, foton...)

2) Energia particulei incidente: reacii la energii mici keV,medii civa MeV, i

nalte pn la sute i mii de MeV.

3) Numrul de mas al nucleului ciocnit: reacii cu nuclee uoare A , 50 medii

A 50 100 i grele A . 100

4) Caracterul transformrilor nucleare ce au loc: cu emiterea de particule ncrcate, de

captare

Rezerford:

N He Fe O p.14 4 18 17 1

7 2 9 8 1 (5.90)

La nceputul anilor 40 s-a demonstrat c la captura unui neutron lent, un nucleu de uran se rupe n

dou nuclee de mas intermediar i doi sau trei neutroni rapizi

n U U Ba Kr n. 1 235 236 144 89 10 92 92 56 36 03 (5.91)

198

Acest rezultat a pus baza unui nou tip de reacii nucleare numite fisiune nuclear stimulat sau

reacie de dezintegrare a nucleului. Energia de reacie a acestui proces exoenergetic este

200MeV.

Dac neutronii rezultai din procesul de fisiune vor fi utilizai ca iniiatori a altui proces de fisiune

nou atunci se va obine o reacie numit n lan.

2. Noiuni de energie nuclear. Reacia de sintez a nucleelor atomice.

Problema dirijrii reaciilor termonucleare. ( sinestttor)

199

Tema 5.7 Elemente de fizic a particulelor elementare.

1. Radiaia cosmic. Mionii, mezonii i proprietile lor.

Dezvoltarea fizicii particulelor elementare este strns legat de cercetrile radiaiei cosmice.

S-a demonstrat prin msurri c intensitatea acestei radiaii crete repede odat cu nlimea are o

valoare maxim dup care se micoreaz i ncepnd cu h 50 km rmne constant.

Se deosebesc radiaiile cosmice primar i secundar. Radiaia care vine direct din spaiul cosmic

este numit radiaie cosmic primar. La apropierea de pmnt ca rezultat al interaciunii radiaiei

primare cu nucleele atomilor atmosferei apare radiaia secundar.

n 1935 fizicianul nipon Yukawa a naintat ipoteza despre existena unor particule cu masa de

em .200 300 Aceste particule n viziunea lui Yukawa trebuie s ndeplineasc funcia de purttori

ai interaciunii nucleare, tot aa cum fotonii sunt purttori ai interaciunii electromagnetice. Un an

mai trziu cu ajutorul camerei Wilson ntr-un cmp magnetic a fost observat o particul cu masa

em207 care mai trziu a fost numit mion. Experienele ulterioare au artat c mionii nu

interacioneaz sau interacioneaz foarte slab cu nucleele atomilor adic sunt particule nuclear-

neactive.

n 1947 n radiaia cosmic au fost observate particule nuclear active numite mezoni

sau pioni. n acela an pionii au fost cptai n condiii de laborator. Exist mezonii (pozitiv)

( negativ) i 0 ( neutru), Masa mezonilor i este aceeai egal cu e, m273 1 iar a mezonului

0 este e, m .264 1 Toi pionii sunt nestabili.

2. Tipuri de interaciuni ale particulelor elementare.

Exist patru tipuri de interacii fundamentale :

1) Interaciuni nucleare sau tari;

2) Interaciuni electromagnetice;

3) Interaciuni slabe

4) Interaciuni gravitaionale.

Interaciunile tari se exercit ntre nucleoni, mezoni,pioni .a. Particulele care interacioneaz tare se

mai numesc hadroni. Timpul mediu de via al sistemelor care se dezintegreaz prin interaciuni tari

este de ordinul 23 2210 10 s. Interaciunile electromagnetice se exercit ntre toate particulele

ncrcate. Timpul mediu de via al sistemului care se dezintegreaz electromagnetic este de

200

20 1610 10 s. Interaciunile slabe sunt interaciunile n care intervin leptonii ( leptos - uor) ( cum

este dezintegrarea ). Timpul mediu de via al sistemelor care se dezintegreaz prin intermediul

interaciunilor slabe este 1010 s. Interaciunile gravitaionale sunt interaciunile dintre orice

particule ns sunt foarte mici din cauza maselor mici.

Particule i antiparticule

Pentru prima dat ipoteza despre antiparticule a fost naintat n 1928 de ctre P. Dirac cu privire la

existena pozitronului, care a fost observat 4 ani mai trziu n componena radiaiei cosmice. Din

teoria cuantic relativist rezult c pentru fiecare particul exist i antiparticul.

201

Tema 5.8 Atomul de hidrogen i sistemul hidrogenoid n mecanica

cuantic.

1. Modelul cuantic al atomului de hidrogen. Numere cuantice.

Sistemul hidrogenoid este constituit din nucleul cu sarcina Ze i un electron ce se mic n

jurul nucleului (de pild ionii de He ,Li .a.). Fie un electron ce se mic n cmpul

couloumbian al nucleului cu sarcina Ze . Energia lui potenial este

pZe

E U r .r

2

04 (5.92)

Starea lui este descris de funcia de und care satisface ecuaia staionar a lui Schrodinger

mE U .

2

20 (5.93)

Aa cum cmpul de for n care se mic electronul are simetrie central pentru rezolvarea acestei

ecuaii se folosesc coordonatele sferice

x r sin cos

y r sin sin

z r cos

r sin U Em r r r r sin r sin

2 22

2 2 2 2 2

1 1 1

2

r, , R r

(5.94)

n urma rezolvrii acestei ecuaii s-au obinut rezultate importante pe care le vom analiza n cele ce

urmeaz.

Cnd electronul este legat n atom, micarea lui trebuie s fie periodic, iar valorile energiei totale

E trebuie s fie cuantificat.

en

r

Z m eE ,

n l

2 4

2 2 2

0

1

81 (5.95)

unde rn este numrul cuantic radial, iar l un numr ntreg semnificaia cruia rezult tot din

rezolvarea ecuaiei (5.93). Notnd

rn n l . 1

Obinem

202

en

Z e mE .

h n

2 4

2 2 2

08 (5.96)

Aa dar rezolvarea ecuaiei (5.93) duce la apariia nivelelor energetice discrete. Nivelul E1este

nivelul cu energie minim numit fundamental iar celelalte n , ... 2 3 nivele exitate. Pentru

E 0 electronul este ntr-o groap potenial hiperbolic. Pentru E 0 micarea electronului

este liber, iar energia corespunde atomului ionizat. Pentru hidrogen ea este

ei

m eE E . eV.

h

4

1 2 2

0

13 558

(5.97)

Un alt rezultat important ce decurge din soluia ecuaiei (5.93) este existena numerelor cuantice.

Ecuaia (5.93) este satisfcut pentru funciile proprii enemr, , determinat cu numerele

cuantice en,l,m . Numrul cuantic principal n determin conform (5.96) nivelele energetice ale

electronului n atom i poate lua orice valori ntregi ncepnd cu 1, adic

n , , ... 1 2 3 (5.98)

Din soluia ecuaiei (5.93) rezult c momentul impulsului electronului este o mrime cuantificat,

adic poate lua numai anumite valori determinate cu relaia

Be

eL l l l l l l

m 1 1 1

2 B

J.

T

249 274 10

m

e

eP L L,

m

2 (5.99)

unde l este un numr ntreg numit numr cuantic orbital. Din rezult c maxl n , 1 deci

l , , ... n . 0 1 2 1

(5.100)

Tot din soluia ecuaiei (5.93) rezult c orientarea spaial a momentului impulsului este tot o

mrime cuantificat

Z eL m ,

(5.101)

unde em este un numr ntreg numit numr cuantic magnetic i poate lua urmtoarele valori

em , , ... l. 0 1 2

(5.102)

Aa dar numrul cuantic magnetic determin proiecia momentului impulsului electronului pe

direcia dat i vectorul momentului impulsului poate avea l 2 1 orientri. Experienele efectuate

de Stern i Gerlach au confirmat cuantificarea spaial a momentului cinetic. Existena numrului

cuantic magnetic em trebuie s conduc la degenerarea nivelului cu numrul n n cmp magnetic n

subnivele. ntradevr cercetnd spectrele atomilor n cmp magnetic exterior, Zeeman a observat n

203

1896 degenerarea nivelelor energetice. Acest fenomen a fost numit efectul Zeeman. Degenerarea

nivelelor energetice n cmp electric exterior poart numele de efectul Stark. Multiplicitatea

degenerrii:

n

l o

b n .

1

22 1

Figura 5.6

Numerele cuantice n, l, me obinute la rezolvarea (5.93) permit o descriere complet a spectrelor

de emisie ( absorbie). n mecanica cuantic se introduc aa numitele reguli de selecie a tranziiilor

posibile. Se demonstreaz teoretic i se verific experimental c se pot realiza numai aa tranziii

pentru care

el ; m , . 1 0 1

(5.103)

Pstrnd notaiile primite n fizica atomic pentru strile electronului

l s

l p

l d

l f

l g

0

1

2

3

4

Pentru liniile spectrale ale atomului de hidrogen avem

n ncheierea acestui paragraf vom obine funcia de und a electronuluin starea

s r1001

204

ra

e

ce , a .m e

2

0100 2

4

(5.104)

Din condiia de normare avem

radV c e r dr c .

a

22 2 2

30 0

11 4

(5.105)

Aa dar

rar e .

a

100

3

1

(5.106)

205

Tema 5.10 Spinul electronului.

1. Cuantificarea momentului cinetic al electronului. Numrul cuantic de spin.

Dup cum rezult din relaia pentru momentul impulsului

lL l l , 1 1 (5.107)

n cazul electronului n starea

ll ;L . 0 0

(5.108)

ns din experienele lui Stern i Gerlach se vedea clar c chiar i n acest caz exist un moment al

impulsului Ll cuantificat. Mai mult ca att Einstein i de Haas au descoperit experimental o valoare

anomal a raportului magneto- mecanic n cazul fieromagneilor. Aceste rezultate au condus la

presupunerea naintat de Gaudsmit i Uhlenbeck n anul 1925, c electronii posed nu numai

moment orbital al impulsului Ll i moment magnetic pm ci i moment mecanic propriu al impulsului

Ls numit spin al electronului i moment magnetic propriu pms. Spinul particulei se consider ca o

proprietate deosebit a particulei, tot aa cum particula are mas tot aa ele posed i spin. Mai

trziu a fost demonstrat existena spinului de ctre Dirac. Dac atribuim electronului momentul

propriu al impulsului Ls atunci cu el este legat momentul magnetic propriu pms al electronului. Dup

cum se poate demonstra momentul propriu al impulsului este o mrime cuantificat i se determin

cu relaia

sL s s , 1 (5.109)

unde s este un numr cuantic numit de spin. Vectorul Ls poate avea 2s+1 orientri diferite. Din

experienele lui Stern i Gerlach rezult c exist numai 2 orientri ale spinului, adic

s s .

12 1 2

2 (5.110)

Analogic cu cuantificarea momentului orbital Ll i a proieciei lui pe o ax oarecare, exist i

cuantificarea proieciei momentului propriu al impulsului

sz sL m ,

(5.111)

unde ms poate lua numai dou valori i este numit numr cuantic de spin.

sm .1

2 (5.112)

206

2. Principiul lui Pauli. Distribuia electronilor pe nivelele electronice.

n 1925 Pauli a stabilit o lege a mecanicii cuantice care i poart numele su principiul de

excluziune. n orice atom nu pot exista doi electroni care se afl n stri staionare identice,

determinate de cele 4 numere cuantice n, l, m, i ms. Matematic aceasta se descrie cu relaia

sZ n,l,m,m sau .1 0 1 (5.113)

Numrul maxim de electroni care se afl n stri determinate de 3 numere cuantice

Z n, l,m

Z n, l l

Z n n

2

3

2

4

2

2 2 1

2 (5.114)

a) Numrul de ordine al elementului chimic este egal cu numrul total de electroni din atomul

elementului dat.

b) Starea electronilor n atom e determinat de numerele cuantice n, l, m, i ms. Distribuia

electronilor dup strile energetice trebuie s satisfac principiul minimului energiei

poteniale, adic la creterea numrului de electroni fiecare electron trebuie s ocupe starea

energetic posibil cu energie minim.

c) Completarea strilor energetice cu electroni trebuie s se realizeze conform principiului lui Pauli

n K

n L

n M l n

n N

n O

1 2

2 8

3 18 1

4 32

5 50 (5.115)

Straturi electronice , pturi (nveliuri) electronice.

207

Tema 5.11 Elemente de statistici cuantice.

1. Principiul identitii microparticulelor . Fermioni i bozoni. Noiune

general despre statisticile cuantice.

n cazul cercetrii sistemelor multielectronice se contureaz particulariti deosebite, care

lipsesc n fizica clasic. Fie un sistem cuantic compus din particule identice de exemplu electroni,

care au proprieti fizice identice. Asemenea particule sunt numite identice. n legtur cu

comportarea acestor sisteme de particule identice n mecanica cuantic se formuleaz principiul

indiscernabilitii particulelor identice, care const n faptul c este imposibil s se deosebeasc

experimental particulele identice. Adic n mecanica cuantic particulele identice i pierd

individualitatea i devin indiscernabile. Matematic acest principiu poate fi scris n modul urmtor

x x x x ,

2 2

1 2 2 1

unde x1 i x2 sunt caracteristicile spaiale i de spin ale particulelor. Din relaia de mai sus avem:

x x x x . 1 2 2 1 (5.116)

Adic acest principiu conduce la o anumit proprietate de simetrie a funciei de und. Dac la

schimbarea particulelor cu locul, funcia nu-i schimb semnul, ea este numit simetric, iar dac

i schimb semnul este numit antisimetric. S-a demonstrat, c simetria sau antisimetria funciilor

de und se determin cu spinul particulei. n dependen de caracterul simetriei toate particulele

elementare se mpart n 2 clase. Particulele cu spinul semi ntreg ( electroni, protoni, neutroni) se

descriu cu funcii de und antisimetrice i se supun statisticii Fermi- Dirac. Ele sunt numite

fermioni. Particulele cu spinul zero sau ntreg ( fotoni -mezonii .a. ) se descriu cu funcii de und

simetrice i se supun statisticii Bose- Einstein. (bozoni). Problema fundamental a fizicii statistice

cuantice const n determinarea funciei de distribuie a particulelor sistemului dup un anumit

parametru ( coordonate, impulsuri, energii .a.) ct i n calcularea valorii medii a acestui parametru.

Aceste probleme se rezolv n acelai mod n cazul sistemelor de fermioni i bozoni, dar cu

deosebirea c bozonii nu se supun principiului lui Pauli. n legtur cu aceasta se deosebesc dou

statistici cuantice Fermi- Dirac i Bose Einstein. Pentru a descrie starea sistemului de particule se

introduce un spaiu cu 6 dimensiuni numit spaiul fazelor: x, y, z, px, py, pz. Starea particulei n acest

spaiu printr-un punct iar cea a sistemului prin distribuia n acest spaiu a punctelor ce reprezint

particulele sistemului. Din natura dual a particulelor rezult c particula ntotdeauna ocup n

spaiul fazelor un volum oarecare

208

x y zx y z p p p h . 3

(5.117)

Atunci numrul de stri cuantice din volumul d va fi

d p dpdg dg p ; dg v ;dg

h h

2

3 3

4

(5.118)

Numrul mediu de particule ntr-o stare sau densitatea medie de populaie a strilor de energie

poart numele de funcie de distribuie

dnf .

dg

(5.119)

Potenialul chimic se determin din condiia c numrul total de particule este n, adic

dg

f d n.d

0 (5.120)

n fizica statistic se demonstreaz, c aceast funcie este

f ,

e

1

1 (5.121)

unde + corespunde statisticii Fermi Dirac pentru fermioni i pentru statistica Bose- Einstein

(bozoni), unde

kT

1 1

(5.122)

( este temperatura statistic), este potenialul chimic i prezint variaia ntr-un proces izocor

izoentropic ( V,S- const.),iar este energia strii cuantice. Gazul cuantic este numit degenerat dac

proprietile lui se deosebesc de cele ale gazului ideal. Pentru a caracteriza gradul de degenerare se

introduce parametrul de degenerare A

kTA e . (5.123)

Dac A 1

atunci

kTe

A

1 (5.124)

i (5.121) trece n funcia de distribuie M.B:

kTf Ae .

(5.125)

S determinm numrul modurilor de vibraie dN din intervalul de frecvene i +d , care

reprezint numrul de unde staionare. Fie un parallelepiped drept cu laturile a, b, c. Condiia de

apariie a undei staionare de-a lungul axei x este

209

x

x

a m m k m .k a

1 1 1

2 (5.126)

Dac vectorul de und are o direcie arbitrar atunci trebuie s se ndeplineasc simultan condiiile

x y zk m ; k m ; k m .

a b c

1 2 3

(5.127)

n acest caz o und staionar cu un k dat reprezint o superpoziie a opt unde progresive de

aceeai lungime de und, pentru care proieciile vectorului de und sunt:

1) x y zk ,k ,k ; 2) x y zk ,k ,k ; 3) x y zk , k ,k ; 4) x y zk ,k , k ; 5) x y zk , k ,k ; 6) x y zk ,k , k ; 7)

x y zk , k , k ; 8) x y zk , k , k .

Vectorii ce corespund celor 8 combinaii ale numerelor xk , yk , zk sunt situai n octani diferii.

Figura 5.7

Densitatea punctelor din spaiul k este

abc.

abc

3 3

1

(5.128)

Numrul de unde kdN pentru care modulul vectorului de und se afl n limitele k i k+dk va fie

gal cu numrul de puncte din 1

8 a volumului stratului sferic de grosime d k

k

abc k dkdN k dk V .

22

3 2

14

8 2 (5.129)

Deoarece

k ,v (5.130)

210

V ddN .

v

2

2 32 (5.131)

Aa dar densitatea de moduri

dN VD .

d v

2

2 3

3

2 (5.132)

n modelul Debye numrul oscilaiilor normale este egal cu numrul gradelor de libertate ale reelei

cristaline adic 3N. Deaceea frecvenele oscilaiilor vor fi cuprinse ntre 0 i max , care se

determin din condiia

max max

maxV d VdN N .v v

2 3

2 3 2 3

0 0

33

2 2 (5.133)

De unde

max

Nv .

V

2

36

(5.134)

Atomii i ionii din nodurile reelei cristaline ale corpului solid, efectuaz micri de vibraie. Un

mol de substan solid are energia

AU N kT RT. 3 3 (5.135)

Cldura molar la volum constant este

V

U JC R . .

T mol K

3 24 942 (5.136)

Care este n concordan cu valoarea experimental gsit de Dulong i Petit.

Energia medie a unui oscilator

kT

,

e

0

1 (5.137)

unde

02

este energia de zero a oscilatorului . n modelul lui Einstein fiecare atom reprezint

3 oscilatori independeni. Atunci pentru un mol

E

Emo

T

RU U ,

e

3

1 (5.138)

unde

mo A EU R N ;k

3 3

2 2 (5.139)

211

este temperatura Einstein.

E

E

E T

V

T

R eU T

C .T

e

2

2

3

1

(5.140)

T- mari E

T

1

E E

V

E

RT T

C R.

T

2

3 1

3

1 1 (5.141)

T mici E

E TeT

1 1

E

E TVC R e .

T

2

3

(5.142)

Cnd VT C 0 0 mai ncet dect scderea obinut theoretic:

Modelul Debye reeaua cristalin reprezint un ntreg n care se propag undele proprii de vibraii

denumite moduri normale. Fiecare mod propriu este independent de celelalte moduri normale de

vibraie. Numrul modurilor independente este 3N, unde N este numrul atomilor solidului. Undele

de vibraie ce corespund unor oscilatori cuantici independeni posed o energie termic care se

cuantific. Cuanta de energie ce corespunde undelor de vibraie a fost numit fonon.

max max

V N ddN D d d N

V

2 3 2 2

2 3 3

3 69

2 (5.143)

max max

maxkT

dU dN N

e

2

3

0 0

19

21

Dmax max T

max x

max max DkT

N d T x dxN d N NkT

ee

33 3

3

3 3

0 0 0

9 1 9 99

2 8 11

DT

x

D

T x dxU U NkT

e

33

0

0

91

(5.144)

212

maxD

D

max

max

D

k

xT

Td dx

D

D

DT

V A xTD

U T x dx TC N N RT e e

3

3

0

9 41 1

(5.145)

Pentru

DDT ,T

x

x dx,

e

3 4

01 15

(5.146)

V D

D D

T TC R R T .

3 34 43

5

129 4

15 5 (5.147)

Aproximaia T3 a lui Debye.