CAP. I. BAZELE EXPERIMENTALE ALE FIZICII CUANTICE I. 1. Radiaia termic

Radiaia termic este o radiaie electromagnetic datorat micrii de agitaie termic a particulelor constituente ale unui corp aflat la o anumit temperatur. Radiaia termic de echilibru apare cnd energia emis de corp n unitatea de timp este egal cu cea absorbit. Exemplu: un corp nclzit introdus ntr-o incint cu perei perfect reflecttori emite radiaie de echilibru cnd temperatura corpului este egal cu cea a incintei. Mrimi fizice caracteristice a) Fluxul energetic radiant reprezint energia emis de corp n unitatea de timp:

dt

dW= (unitatea de msur: watt) (I.1) b) Puterea de emisie (radiana integral) este energia emis n unitatea de timp prin unitatea de suprafa, n toate direciile, pentru toate frecvenele:

dAdt

WddAdR

2=== (se msoar n W/m2) (I.2)

c) Puterea de emisie spectral (radiana spectral) este puterea de emisie pe unitatea de interval de frecven:

d

dT =, (se msoar n J/m2) (I.3)

Radiana integral este deci: (I.4) ==0

, dR Td) Puterea de absorbie (coeficientul de absorbie):

inc

absT d

dA

=, (I.5) Pentru corpul negru acest coeficient este 1: 1,, =NTA (I.6) Exemplu de corp negru: o incint izoterm sferic prevzut cu un mic orificiu (Fig. I.1a); n acest sistem radiaia termic este absorbit integral datorit reflexiilor succesive pe perei (din orice punct al incintei orificiul se vede sub un unghi mai mic de 0,01 rad). Intensitatea radiaiei emise este direct proporional cu densitatea de energie din cavitate.

Legile lui Kirchhoff 1. Radiaia termic de echilibru este omogen (independent de punctul din cavitate), izotrop (independent de direcie) i nepolarizat. 2. Pentru un interval de frecvene [ ] d+, dat, la o temperatur dat, raportul dintre puterea de emisie spectral i puterea de absorbie este o funcie universal (adic nu depinde de natura corpului), dependent de frecven i temperatur, reprezentnd puterea de emisie spectral a corpului negru.

( ) TNT

T TfA ,,,

, , == (I.7)

Suprafaa corpului negru este deci o suprafa emitoare - etalon.

a) b)

Fig. I. 1. a) Exemplu de corp negru; b) Unghiul solid (necesar n definirea strlucirii energetice). Alte mrimi caracteristice:

e) Densitatea volumic de energie radiant: dVdWw = (se msoar n J/m3) (I.8)

f) Densitatea volumic spectral de energie radiant:

dVdWd

ddw

T

2

, == (se msoar n J.s/m3) (I.9)

Atunci: (I.10) =0

, dw T g) Strlucirea energetic reprezint energia emis n unitatea de timp prin unitatea de suprafa, n unitatea de unghi solid, deci ntr-o anumit direcie (), pentru toate frecvenele:

= ddtdAWdB cos

3 (I.11)

- 2 -

unde dA este elementul de suprafa n jurul punctului P (Fig. I.1b), d este elementul de unghi solid;

2,0 ; [ ] 2,0 n planul suprafeei dA.

Exist relaiile: BR == i wcR4

== (I.12; 13)

din care: c

Bw 4= (I.14) Strlucirea energetic se msoar experimental, iar densitatea volumic de energie radiant se determin prin calcul. Legile empirice ale radiaiei termice de echilibru pentru corpul negru 1 Legea Stefan - Boltzmann Radiana integral a corpului negru este direct proporional cu puterea a patra a temperaturii absolute.

4TRN = , (I.15)

unde 5,6710 - 8 W/(m2K4) este constanta Stefan Boltzmann (vezi lucrarea de laborator Verificarea legii Stefan-Boltzmann). 2 Legea lui Wien Densitatea volumic spectral de energie este direct proporional cu puterea a treia a frecvenei i cu o funcie care depinde de raportul dintre frecven i temperatura absolut.

=T

gNT 3,, . (I.16)

Aceast lege este valabil la frecvene mari (domeniul ultraviolet). 3 Legea deplasrii Wien Densitatea volumic spectral de energie are un maxim pentru o anumit frecven M (respectiv lungime de und M) astfel nct raportul dintre aceast frecven i temperatura absolut este constant (produsul dintre aceast lungime de und i temperatura absolut este constant; Fig. I. 2).

.constTM = sau bconstTM == . (I.17)

unde b 2,910 - 3 mK este constanta Wien. 4 Legea Rayleigh - Jeans Densitatea volumic spectral de energie este direct proporional cu puterea a doua a frecvenei i cu temperatura absolut.

32

,,8

ckT

NT = . (I.18)

Aceast lege este valabil la frecvene mici (domeniul infrarou).

- 3 -

Fig. I. 2. Legea deplasrii Wien (valabil pentru radiaia termic de echilibru a corpului negru). Teoria lui Planck pentru radiaia termic Teoria fotonic elaborat de Planck afirm c emisia i absorbia energiei are loc sub forma unor cuante (porii) de energie numite fotoni. Proprietile fotonului a) energia este direct proporional cu frecvena: h= (I.19) unde h = 6,610 - 34 Js este constanta lui Planck; se mai folosete: ( )= 2/hh ; b) viteza fotonului, n vid, este c = 310 8 m/s; c) impulsul fotonului este invers proporional cu lungimea de und:

hp = (I.20) d) masa de repaus este nul, iar cea de micare este direct proporional cu frecvena:

2chm f= (I.21)

Pe baza teoriei fotonilor se obine formula Planck a radiaiei termice prin calculul energiei medii de oscilaie. Energia unui oscilator nu poate avea, conform teoriei fotonice, orice valoare, ci numai valori de forma:

nhEn = cu: n = 0, 1, 2, .... (I.22) Energia medie este:

1=

kTh

e

hE (I.23)

Conform teoriei M. Born densitatea volumic spectral de energie radiant pentru corpul negru este direct proporional cu ptratul frecvenei ( 2) i cu energia medie a de oscilaie ( E ):

- 4 -

EcNT 3

2

,,8 = (I.24)

Din ultimele dou relaii rezult formula Planck a radiaiei termice:

1

183

3

,,

=

kThNT

ech

(I.25)

I. 2. Efectul fotoelectric extern const n eliberarea de electroni dintr-un corp sub aciunea radiaiei electromagnetice dac frecvena acesteia depete valoarea de prag. Pentru stabilirea legilor efectului fotoelectric se folosete dispozitivul experimental prezentat n Fig. I.3. ntr-o incint vidat se gsesc doi electrozi, catodul K i anodul A, electrodul K (confecionat, de obicei, dintr-un metal alcalin) fiind iradiat cu un fascicul luminos (celul fotoelectric). Frecvena i fluxul luminos al radiaiei incidente pe K pot fi variate. ntre catodul iradiat i anod se aplic o diferen de potenial U. Se studiaz dependena intensitii curentului fotoelectric I (format de electronii eliberai din catodul iradiat) de tensiunea U i de frecvena luminii folosite. Aplicnd ntre anod i catod un cmp electric de frnare a electronilor emii de catod, cmp descris prin tensiunea de frnare 0

Fig. I. 4. a) Caracteristica curent-tensiune ( )UfI = pentru dou valori ale fluxului luminos incident pe catod; b) Dependena liniar a tensiunii de stopare de frecvena SU a luminii. Legile efectului fotoelectric extern 1 Intensitatea curentului fotoelectric de saturaie este direct proporional cu fluxul luminos incident pe catod.

satI

2 Tensiunea de stopare crete liniar cu frecvena SU a radiaiei incidente pe catod, fiind independent de fluxul luminos. 3 Pentru o anumit valoare a frecvenei radiaiei incidente pe catod, numit frecven de prag, tensiunea de stopare este nul (Fig. I.4b), adic pentru efectul fotoelectric nu se mai produce. Frecvena de prag

pp

Frecvena de prag reprezint frecvena minim pe care trebuie s o aib un

foton pentru a putea extrage un electron (E cin = 0): p

pextr hL = (I.28)

Energia cinetic a fotoelectronilor se exprim folosind tensiunea de stopare:

Scin eUmvE ==

2

2 (I.29)

Mrimile m, v i e sunt, respectiv, masa, viteza i sarcina electric a fotoelectronului. Ecuaia (I.26) devine: Sp eUhh += (I.30) I. 3. Efectul Compton const n creterea lungimii de und a unei radiaii X care este difuzat (mprtiat) de electronii slab legai ai unei substane. Fasciculul de radiaii X difuzat conine att radiaii cu lungimea de und iniial, ct i radiaii cu lungime de und mai mare. Dispozitivul experimental (Fig. I.5) este format din surs de radiaii X, sistem de colimare cu plci de plumb (Pb), prob de material difuzant (P) i detector (D) de radiaii X care poate fi rotit. Msurnd creterea lungimii de und a radiaiilor X difuzate se constat c ea nu depinde de natura materialului difuzant, dar depinde de unghiul de difuzie (). Desigur, materialul difuzant trebuie s conin electroni slab legai ( exemple: grafit, parafin). Efectul Compton este interpretat ca o ciocnire ntre un foton i un electron aflat n repaus, fotonul cednd electronului o parte din energia sa. n acest proces se conserv att energia sistemului, ct i impulsul acestuia.

Fig. I. 5. Schema dispozitivului experimental utilizat la studiul efectului Compton. Deoarece energia cinetic primit de electron este, n general, mult mai mare dect energia sa de repaus ( ) fenomenul trebuie tratat folosind teoria 20' cmEcin >>

- 7 -

relativitii restrnse. Pentru foton sunt valabile formulele: chh == i

hp = , iar pentru electron:

2

20

1cv

mm

= (I.31)

(masa de micare m crete cu viteza v; m0 este masa de repaus)

2

20

1cv

vmmvp

== (I.32)

(energia total n micare) (energia de repaus) (I.33) 2mcE = 200 cmE = (energia cinetic) (I.34) ( 020 mmcEEEcin == ) (I.35) 20

222 EcpE += Legea conservrii energiei: (I.36) 2200 mchcmh +=+ Legea conservrii impulsului: eff ppp

rrr +=+ 00, (I.37) unde 0,fp

r este impulsul iniial al fotonului, fpr este impulsul final al fotonului, iar ep

r este impulsul final al electronului. Proiectm relaia vectorial (I.37) pe dou axe perpendiculare (alegem direcia iniial a fotonului ca ax Ox; Fig. I. 6). Rezult:

pe Ox: += coscos0 ephh (I.38)

pe Oy: += sinsin0 eph (I.39)

Relaiile finale de interes sunt: ( == cos10

0 cmh ) (I.40)

i:

=cos1

sin

0

tg (I.41)

- 8 -

unde: =cm

h

0= 0,024 (1 = m) este lungimea de und Compton, este

unghiul sub care este difuzat fotonul (fa de direcia lui iniial), iar

1010

este unghiul sub care pleac electronul (numit electron de recul).

Fig. I. 6. Legea conservrii impulsului la efectul Compton. I. 4. Modelul atomic Bohr Postulatele lui Bohr 1 Atomii se afl n stri specifice n care nu emit i nu absorb energie, numite stri staionare. Valorile energiei corespunztoare strilor staionare formeaz un ir discret i caracterizeaz fiecare atom. Aceste stri sunt definite prin condiia de cuantificare pentru momentul cinetic orbital:

== 2hnrvmL , unde n = 1, 2, 3.... (I.42)

2 Atomii pot emite sau absorbi energie numai prin trecerea dintr-o stare staionar de energie n alt stare staionar, de energie . Frecvena radiaiei emise (n cazul

) sau absorbite (n cazul iE

f

fE

i EE > fi EE < ) verific relaia:

fi EEh = . (I.43) Teoria lui Bohr pentru atomul de hidrogen Atomul de hidrogen este format dintr-un proton (presupus fix) i un electron care se rotete n jurul acestuia. Pe orbita staionar, considerat circular, fora coulombian

20

2

4 reFe = reprezentnd atracia exercitat de proton asupra electronului acioneaz

ca for centripet r

mvFcp2

= . Deci:

rvm

re 2

20

2

4= (I.44)

- 9 -

Din relaiile (I.42) i (I.44) rezult raza orbitei staionare numerotate cu n i viteza electronului pe aceast orbit:

12

20

22

rnem

hnrn ==

(I.45)

nv

nhevn

1

0

2

2== (I.46)

unde 22

01 em

hr

= = 0,53 este raza primei orbite Bohr, iar h

ev0

2

1 2= este viteza electronului pe prima orbit Bohr.

Energia sistemului este suma dintre energia cinetic: 2

2mvEcin = (I.47)

i energia potenial coulombian: r

eE pot0

2

4= (I.48) Se observ c: cinpot EE 2= , deci:

cinpot

potcin EE

EEE ==+=2

(I.49)

Din relaiile (I.49), (I.48) i (I.45) sau din relaiile (I.49), (I.47) i (I.46) rezult expresia energiei atomului de hidrogen n starea staionar numerotat n:

21

220

4

8 nE

hnemEn == (I.50)

unde: 20

4

1 8 hemE = = - 13,6 eV (I.51)

este energia atomului de hidrogen n starea staionar n = 1 (1 eV = 1,6 J). Starea cuantic de energie minim se numete stare fundamental. Pentru atomul de hidrogen aceasta este starea n = 1, de energie E 1.

1910

Observaii: 1 Conform formulei (I.50) energia atomului de hidrogen este cuantificat (valorile ei formeaz un ir discret) prin numrul natural n = 1, 2, 3... care se numete numr cuantic principal. 2 Valorile energiei atomului de hidrogen sunt negative ceea ce indic faptul c ele corespund unor stri legate.

- 10 -

3 Se numete stare staionar fundamental starea de energie minim. Pentru atomul de hidrogen aceasta este starea de energie E1, deci corespunztoare valorii n = 1. Strile staionare cu energie se numesc stri excitate, deci pentru atomul de hidrogen ele corespund la .

minEE >1>n

4 Se numete energie de ionizare a atomului de hidrogen energia necesar separrii electronului de proton, din starea fundamental, i ndeprtrii electronului la distan suficient de mare pentru ca interaciunea proton - electron s fie neglijabil. Deci: = 13,6 eV (I.51') 1EEioniz = Confirmri experimentale ale teoriei Bohr a) seriile spectrale ale atomului de hidrogen Dac atomul de hidrogen emite un foton a crui frecven nk EE > nk se obine din relaiile (I.47) i (I.54):

== 22111

knEEEh nknk (I.52)

Folosind relaia c= obinem:

=

= 2222111111

knR

knhcE

Hnk (I.53)

unde i: nk >

hcE

hcE

R ionizH == 1 1,0910 7 m - 1 (I.54)

este constanta Rydberg pentru atomul de hidrogen . Experimental, emisia luminii (deci a fotonilor) se materializeaz (se observ) sub forma unor linii spectrale grupate n serii spectrale. Pentru atomul de hidrogen formula (I.53) arat lungimile de und ale acestor linii. Liniile spectrale a cror stare staionar final este aceeai (n = constant) formeaz o serie spectral. Acestea sunt:

- seria Lyman (n = 1; k > 1):

= 21

111k

RHk (I.55)

- seria Balmer (n = 2; k > 2)

= 22

1411

kRH

k (I.56) Urmeaz: seria Paschen (n = 3; k > 3), seria Brackett (n = 4; k > 4),seria Pfundt (n = 5; k > 5).

- 11 -

Liniile spectrale ale seriei Lyman sunt situate n domeniul ultraviolet (UV), cele ale seriei Balmer n domeniul vizibil (VIZ), de aceea au fost observate i studiate primele (cronologic vorbind), iar pentru celelalte trei serii acestea sunt, respectiv, n domeniul infrarou (IR), infrarou ndeprtat i microunde. Pentru seria Balmer, vezi lucrarea de laborator Determinarea constantei Rydberg pentru atomul de hidrogen.

Schema din Fig. I. 7 prezint tranziiile n urma crora se obin seriile spectrale ale atomului de hidrogen.

Fig. I. 7. Schema tranziiilor corespunztoare seriilor spectrale ale atomului de hidrogen. b) experiena Franck - Hertz Dispozitivul experimental este prezentat n Fig. I. 8a. Electronii emii de filamentul F sunt accelerai ntre filament i grila G; ei sufer ciocniri cu atomii de mercur aflai n stare fundamental, n acest spaiu. Anodul A are potenialul electric cu 0,5 V mai mic dect al grilei. Cretem tensiunea dintre gril i filament, UG , i observm c intensitatea curentului anodic IA are scderi brute la valorile UG = 4,9 V; 2 4,9 V = 9,8 V; 3 4,9V = 14,7 V (Fig. I. 8b).

a) b)

Fig. I. 8. a) Schema dispozitivului pentru experimentul Franck-Hertz; b) Graficul intensitii curentului anodic n funcie de tensiunea aplicat ntre gril i filament.

- 12 -

Explicaia const n faptul c electronii accelerai sufer, ntre filament i gril, una, dou sau trei ciocniri inelastice cu cte un atom de mercur. Acesta absoarbe (primete) numai energia de valoare 4,9 eV. Grila capteaz electronii care au pierdut complet energia, adic pe cei care, nainte de ciocnirea cu atomul de mercur, aveau 4,9 eV sau multipli ai acestei valori. Ceilali electroni ajung la anod.

Concluzia: Energia atomului de mercur este cuantificat, valoarea ei n starea fundamental fiind 4,9 eV.

Deficienele modelului Bohr: nu explic spectrele altor atomi, mai compleci dect cel de hidrogen; nu explic structura fin i hiperfin a liniilor spectrale; nu ofer o metod de calcul pentru intensitatea liniilor spectrale; nu explic existena momentului magnetic propriu al electronului. I. 5. Dualismul corpuscul - und (unda de Broglie). Experienele Davisson - Germer

Pornind de la faptul c radiaia electromagnetic prezint att proprieti ondulatorii ct i proprieti de corpuscul (foton) fizicianul L. de Broglie a emis ipoteza c i particulele microscopice (electron, proton, atom, molecul) aflate n micare au proprieti ondulatorii. Astfel, fiecrei particule microscopice i se asociaz o und numit und de Broglie (lungime de und B , mai simplu, ). Pentru o particul liber (care nu este sub aciunea nici unui cmp de fore), aflat n micare, acest dualism corpuscul - und este reflectat prin relaiile referitoare la impuls (p) i energie (E):

hp = (I.57)

2mchchE === (I.58)

i prin funcia de und: ( ) ( )[ ]rktiAtr rrr = exp, (I.59)

unde pulsaia este: hE

hE === 22 (I.60)

iar vectorul de und este: kpph

pkr

hrh ==== ;22

(I.61)

Relaia (I.59) devine: ( ) (

= rptEiAtr rrhr exp, ) (I.62)

Sensul fizic al undei de Broglie este, conform interpretrii lui M. Born, urmtorul: ptratul amplitudinii (A 2) undei asociate microparticulei, ntr-un anumit punct din spaiu, reprezint densitatea probabilitii de localizare a microparticulei n acel punct.

- 13 -

Confirmarea experimental a ipotezei de Broglie o constituie experienele de difracie a microparticulelor (electroni, neutroni) pe cristale (Fig. I. 9). Davisson i Germer au artat c difracia electronilor pe un monocristal de nichel are aceleai caracteristici ca i difracia luminii pe o reea optic. Electronii accelerai sub tensiunea U , al cror impuls este:

eUmp 2= , (I.63)

cad pe suprafaa monocristalului sub unghiul fa de aceasta. Analiznd fasciculul difractat sub acelai unghi fa de planele atomice, astfel nct unghiul dintre cele dou fascicule este ( ) = o902 , se constat c intensitatea acestuia prezint maxime: a) pentru anumite valori ale unghiului , dac U = const. sau b) pentru anumite valori ale tensiunii de accelerare U, dac = const. (Fig. I. 10).

Fig. I. 9. Dispozitivul experimental pentru studiul difraciei electronilor pe monocristale.

Fig. I. 10. La unghi constant n raport cu suprafaa monocristalului se obin maxime ale intensitii n detectorul de electroni reflectai pentru anumite valori ale tensiunii de accelerare (de ex. 54 V).

Explicaia este urmtoarea: fasciculul de electroni este reflectat pe diferitele plane atomice paralele ale cristalului i undele asociate interfer. Conform Fig. I. 11 diferena de drum optic dintre fasciculele 1 i 2 este: sin221 d= , (I.64) unde d este distana dintre planele atomice.

- 14 -

Fig. I. 11. Reflexia fasciculului de electroni pe planele atomice ale unui monocristal. Condiia de obinere a maximelor de interferen n= conduce la relaia Bragg: nd =sin2 , cu n = 1, 2, 3, .... (I.65) Din relaiile (I.57) i (I.63) rezult:

eUmh

ph

2== , (I.66)

apoi, din ultimele dou relaii obinem:

eUmdhn

22sin = . (I.67)

Experimente similare au fost realizate pe substane policristaline (vezi lucrarea

de laborator Experienele Debye-Scherrer).

I. 6. Relaiile de incertitudine Heisenberg

Presupunem c un electron avnd impulsul iniial zi pp = (dirijat pe axa Oz), bine determinat, trece printr-o fant de lime b (b este de-a lungul axei Ox) i lungime (pe axa Oy) mult mai mare dect limea (Fig.I.12). Dup trecerea prin fant coordonata x a electronului este cunoscut cu imprecizia maxim bx = , iar componenta pe axa Ox a impulsului electronului, , este cunoscut cu imprecizia maxim xp

sinppp xx == . Deoarece n punctul M se produce primul minim de difracie este valabil relaia:

b =sin

hpx x =

(vezi paragraful "Difracia pe o fant dreptunghiular" din

Cap. III. Teoria general a undelor). Din aceste relaii i din relaia (I.55) rezult: .

- 15 -

Fig. I. 12. Difracia unui electron printr-o fant dreptunghiular.

De fapt, relaia corect este una de evaluare i se folosete sub forma: h~xpx (I.68)

Relaia de tip (I.68) este valabil pentru orice direcie de micare: ; .

h~ypy h~zpz

O alt relaie de aceast form se refer la E (imprecizia n determinarea energiei unei stri) i la timpul de via al sistemului n starea respectiv (imprecizia duratei) t = : h~tE (I.69) Relaiile (I.68) i (I.69) se numesc relaii de incertitudine Heisenberg. Ele au urmtoarea interpretare: a) dac reuim s msurm coordonata x a unei microparticule cu foarte mare precizie ( ) imprecizia determinrii componentei a impulsului microparticulei devine foarte mare ( ). Reciproc, dac dorim ca s fie cunoscut cu mare precizie, imprecizia determinrii coordonatei (deci imprecizia localizrii) este foarte mare.

0x xp xp xp

b) dac energia E a unei stri este determinat cu foarte mare precizie ( ) timpul de via al acesteia ar fi foarte lung (

0Et ). Reciproc, pentru un timp de via foarte

scurt, imprecizia E a energiei este foarte mare. Concluzie: Mrimile fizice legate printr-o relaie de incertitudine Heisenberg

nu pot fi msurate simultan, cu aceeai precizie.

- 16 -