TEORIA CUANTICA A RADIATIEI Curs masterat 2010/2011Prof. univ. dr. Adrian Costescu12TEORIA CUANTICA A RADIATIEICap. I.Teoria perturbatiilor dependente de timp1.1.Considerente generale:Fie hamiltonianul de forma:0( , ) ( ) '( , ) Hq t H q H q t +(1.1)cu proprietatea 0( ) ' ,kj kjH H k j >> oricare ar fi baza aleasa in care se calculeaza elementele de matrice ale celor doi operatori. Operatorul0( ) H q poate fi interpretata ca reprezentand operatorul asociat energiei sitemului neperturbat. Se presupun cunoscute valorile proprii si functiile proprii ale operatorului0( ) H q:0( ) ( ) ( )k k kH q u q E u q (1.2)unde starea k poate sa apartina spectrului continuu al valorilor propri ale energiei. Multimea functiilor propri { }ku formeaza un sistem complet de functii dupa care se poate dezvolta orice functie de unda ( , ) q t .Ne intereseaza sa cunoastem solutia ecuatiei Schrdinger dependenta de timp ( , ) q t , deci solutia ecuatiei:( , )( , ) ( , )q tit Hq t q tt (1.3)In primul ordin al teoriei perturbatiilor dependente de timp se obtine pentru solutia ecutatiei Schrdinger generalizate expresia (1)0 1( , ) ( , ) ( , ) ( )m ki iEt Em k kkq t q t q t u q e S C te u + h hsau(1)( , ) ( ( )) ( )kiE tkm k kkq t S C t e u q +h(1.4)undet si( )(1)0( ) ' ( )k miE E tk kmiC t H te dt hh(1.5)cu 33*' ( ) ( ) '( , ) ( )Nkm k mH t dqu qH q t u q (1.6)unde este timpul cat actioneaza perturbatia (figura 1.1)t| ' ( )|kmH tOFig. 1.1Pentru obtinerea rezultatului (1.4) s-a presupus ca pana la momentul de timp0 t sistemul se afla in starea neperturbata de energie mE din spectrul discret al operatorului 0H, nivelul de energie mE fiind presupus nedegenerat. De remarcat ca in aceste conditii se poate vorbi despre energia sistemului atat inainte de aplicarea perturbatiei cat si la orice moment de timpt , cand perturbatia a disparut. In continuare, este de interes sa se determine probabilitatea ca sistemul cuantic sa se afle in starea finala, dupa ce perturbatia a disaprut, intr-o stare de energie jE, din spectrul discret sau continuu al operatorului 0H.a) Cazul in care starea finala apartine spectrului discretSa presupunem ca ne intereseaza probabilitatea ( )m jp t ca sistemul sa se afle in starea de energie jE din spectrul discret, alta decat starea initiala de energie mE.Conform celui de al patrulea principiu al mecanicii cuantice (principiul probabilitatii), din relatia (1.4) rezulta1 2( ) | ( ) | ,m j jp t C t t >(1.7)Desigur, relatia (1.7) descrie totodata si probabilitatea de tranzitii din starea initiala m din spectrul discret in starea finala j tot din spectrul discret.b) Cazul in care starea finala apartine spectrului continuu al energieiDaca starea j apartine spectrului continuu, trebuie considerat ca energia acestei stari este cuprinsa intre valorileEsiE dE + . Totodata trebuie avut in vedere ca starea din continuu, este degenerata , fie parametrul care descrie aceasta degenerare. Se presupune ca parametrul poate sa varieze, de asemenea, continuu, in acest caz trebuie 4presupus ca in starea finala valoarea sa este cuprinsa intre valorile si d +. In aceasta situatie stareafinala j este descrisa de valorile parametrilorE si iar tranzitia considerata este" " " " ( , ; , ) m j EE dE d + +Conformcelui de al patrulea principiu probabilitatea de tranzitie intre starile m si j este 2 (1) 2, ,| ( ) |m E Ed p C t dEd (1.8)daca functiile proprii ale lui 0H sunt normate in scara energiei si a parametrului , adica:3*' ' ' '( , ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' )NE E E Eu u dqu q u q E E (1.9)Daca spectrul continuu al energiei are o extensieE si se doreste cunoasterea probabilitatii de tranzitie , m Edp , la momentul de timp t, indiferent de valoarea energiei finaleE E , dar cu parametrul cuprins intre si d +, conform teoremei de adunare a probabilitatilor, din relatia (1.8) se obtine(1) 2 (1) 2, ,( ) | | | ( , , ) |m E EE Edp t d dEC d dEC E t (1.10)In cele ce urmeaza suntem interesati sa consideram cateva cazuri speciale de perturbatii dependente de timp. Asemanator, daca ne intereseaza probabilitatea , m Edp de tranzitie la momentul de timp t, din starea initiala m in starea finala din continuu de energie E, indiferent de valoarea parametrului care poate avea orice valoare in intervalul , se obtine2(1),( , , )m Edp dE d C E t (1.11)1.2Cazul perturbatiei care are aceeasi valoare in intervalul de timp finit cat dureaza perturbatiaSe considera situatia in care toate elementele de matrice 'jmH ale hamiltonianului de perturbatiisunt constante in intervalul de timp cat se aplica perturbatia (fig. 1.2).5t| ' ( )|jmH t OFig. 1.2 In acest caz relatia (1.5) se poate integra in raport cu timpul si se obtine:( )(1) '1( ) 1j miE E tj jmj mC t H eE E1 1 ]hsau(1)22( ) ' sin 22jmijmj jmjmiC t H e t >h(1.12)unde 1( ),jm j mE E j m hRezulta imediat,(1) 2 22 24| ( ) | | ' | sin2jmj jmjmC t Hh(1.13)deci probabilitatea tranzitiei " " " " m j intre doua stari ale spectrului discret este:' 2 22 24( ) | | sin ,2jmm j jmjmp t H t >h, (1.14)Daca se are in vedere reprezentarea functiei Dirac221 sin( ) limxxx se observa ca in expresia (1.12) se poate considera 62 22 24sin sin2 2( )( / 2) 2jm jmjmjm jm (1.15)daca timpul cat se aplica perturbatia poate fi presupus arbitrar de mare. Deoarece timpul cat dureaza perturbatia este un timp macroscopic, se poate considera intotdeauna ca acest timp este mare in comparatie cu orice timp microscopic caracteristic sistemului cuantic considerat. Din relatia(1.15) rezulta224sin22 ( ) 2 ( )jmjm j mjmE E h(1.16)Introducand expresia (1.16) in expresia (1.12) se obtine:(1) 2 22| ( ) | | ' | ( )mj jm j mC t H E E h(1.17)Conform relatiei (1.13), probabilitatea tranzitiei " " " " m j intre doua stari din spectrul discret este:22( ) | ' | ( )m j jm j mp t H E E h(1.18)deci probabilitatea este proportionala cu intervalul de timp in care se aplica perturbatia. Este convenabil sa se defineasca probabilitatea de tranzitie raportata la unitatea de timp, adica marimea:21 2| ' | ( )m j m j jm j mP p H E Eh (1.19)Daca starea finala apartine spectrului continuu, expresia coeficientului (1),( )EC t tot de relatia (1.12), cu " " " , " j E , deci din ecuatia (1.17) rezulta:(1) 2 2, ;2| ( ) | | ' | ( )E E m mC t H E E h(1.20)Conform ecuatiei (1.8), probabilitatea de tranzitie, in intervalul de timp cat se aplica perturbatia este 2 2, ,2| ' | ( )m E E m md p H E E dEd h7deci probabilitatea de tranzitie in unitatea de timp este:2 2, ,2| ' | ( )m E E m mdP H E E dEd h(1.21)Desigur,intereseaza probabilitatea de tranzitie simplu diferentiata catre o stare , finala in care parametrul este cuprins in intervalul d , indiferent de valoarea energiei Edin spectrul continuu de extensieE .Avandu-se in vedere teorema de adunare a probabilitatilor, din ecuatia (1.21) se obtine2, ,2| ' | ( )m E E m mEdP dE H E E d hdeci2, ,2| ' |m mm E E EdP H d h(1.22)Relatia de mai sus este cunoscuta sub numele de regula de aur a lui Fermi. Trebuie reamintit ca expresia (1.18) a fost stabilita cu presupunerea ca elementele de matrice 3 33 3 *, 1 1 1 1' ....... .... ( ... ) '( ... , ) ( ... )m m mE E N E N N E NH dr dru r r H r r t u r r uruur uruur uruursunt exprimate intr-o baza normata in scara energieiEsi a parametrului :' '( , ) ( ' ) ( ' )E Eu u E E unde3 33 3 *1 1' ' 1 ' '( , ) ... ... ( ... ) ( ... )E E N E N E Nu u dr dr u r r u r r r uur r uurundeNeste numarul de particule care alcatuiesc sistemul..81.3 Sectiunea eficace de imprastiere In orice experiment de imprastiere de particule pe o tinta precizata, asupra tintei considerate se trimite un fascicol de particule presupus perfect colimat si microenergetic (fig. 1.3). Zdp| |p p u 21cm0E0 0 0| |p p n Fig. 1.3In aceasta situatie starea initiala este considerata ca o stare de impuls 0puur perfect determinat energia 20 0 0/ 2 E p m fiind, de asemenea perfect determinata. Desigur, descrierea starii initiale printr-o stare de impuls perfect determinat este o idealizare, functiile propri ale operatorului impuls nefiind integrabile in modul patrat.Prin idealizarea considerata functia de unda a particulei incidente este descrisa de o unda plana, monocromatica, adica de o unda de Broglie( )0 00 00( )3/ 21( , ) ( , )(2 )ip r Etipr E tipr t r t e Ne uuur rhuurrhuurr rh(1.23)Pentru descrierea procesului de impastriere se defineste sectiunea eficace (dublu diferentiala) de imprastiere, notata 2d ,92Probabilitatea deimprastiereinunghiul solid ,inunitatea de timp=Probabilitatea deincidenta aunei particule prinunitatea de suprafata normata, in unitatea detimpNumarul de particuleimprastiateinunghiul solid d , i=d = nunitatea detimpNumarul de particuleincidente prinunitatea de suprafata, inunitatea detimp(1.24)Cap. II. Interactia sistemelor atomice cu radiatia electromagnetica2.1 IntroducereNu se poate arata modul in care particulele elementare dau nastere campului electromagnetic. Se admite ca sarcinile in miscare genereaza un camp electromagnetic. Daca se neglijeazaposibilitatea generarii campului elctromagnetic de catre particule in timpul miscarii, starile descrise sunt stari stationare, atat clasic cat si cuantic. Acest fapt se explica clasic prin integrala prima a energiei, iar cuantic probabilitatea de a gasi energiaEla orice moment de timp, in ipoteza ca sistemul se afla intr-o stare de energie perfect determinata descrisa de functia de unda ( , ) ( )iEtErt u re hr r, este 2( ) 1iEtEp t e hStarea de energie perfect determinata ce trebuie sa existe un timp arbitrar de mare. Aceastaeste in contradictie cu faptele experimentale. Se stie ca atomul aflat intr-o stare excitata, de energie perfect determinata, revine in mod spontan la o stare de echilibru de energie mai joasa, de regula la starea fundamentala. Contradictia cu datele experimentale se datoreaza faptului ca, desi marimile mecanice care descriu starea atomului sunt cuantificate, marimile ce caracterizeaza campul electromagnetic nusunt cuantificate. Astfel, potentialele electrodinamice( ) , Artr rsi( ) , rt r sunt operatori triviali, multiplicativi, simple functii de coordonate si timp. In consecinta, campul electromagnetic, descris cu vectorii E si B, de asemenea operatori triviali, are energia si impulsul necuantificate.Fara a cuantifica si campul electromagnetic nu se poate explica emisia spontana a atomilor aflati in stari excitate. Din acest motiv nu se poate explica nici intensitatea liniilor spectrale ale atomilor, nici timpii de viata ai starilor excitate(de exemplu, deci starile de tip ns(cu0 l ) au timpii de viata mai mari decat starile de tip np sau nd). Vom arata mai intai ca, totusi, mecanica cuantica obisnuita poate explica absortia si emisia radiatiei in prezenta campului electromagnetic, deci poate explica emisia fortata a radiatiei.2.2. Emisia fortata a radiatiei electromagnetice de catre atomi2.2.1. Calculul probabilitatii de tranzitie10Pentrusimplitate sa consideram un atom hidrogenoid in aproximatia nerelativista.Presupunem ca nucleul este fix, situat in originea axelor de coordonate, deci miscarea electronului se facein campul coulumbian al nucleului. In absenta campului electromagnetic extern, hamiltonianul sistemului coincide cu operatorul asociat energiei,20 00( )2rH H Vrm +rh r (2.1)Asupra acestui sistem cade o radiatie electromagnetica descrisade potentialele ( , ) A rtr r si ( , ) rt r. Operatorul hamiltonian al electronului aflat in campul electromagnetic este:220 20 0 02 2rie ie e eH H A divA A e BSm m m m + + + + +rr r rh h(2.2)Daca sursele campului de radiatie nu se afla la distanta finita, pentru potentialele electrodinamice se poate utiliza etalonarea Coulomb0 div A si 0 De asemenea, densitatile de sarcina si de curent sunt 0 in toate punctele spatiului, la orice moment de timp0 si0 j r, deci potentialul vector Ar satisface ecuatia omogena a undelor,( , ) 0 A rt r rW (2.3)Hamiltonianul electronului aflat intr-un camp electromagnetic cu surse la infinit este dat de relatia2200 0 0( , ) ( )2rie e eHrt H r A A BSm m m + + +rr r r rh r r(2.4)Pentru campurile de radiatie obisnuite, campul electromagnetic poate fi considerat ca avand doar un efect perturbator mic. In prima aproximatie, pentru campuri magnetice nu prea intense, se poate neglija termenul patratic 2Ar precum si termenul de spin. Se poate scrie0( , ) ( ) '( , ) Hrt H r H rt +r r r(2.5)unde operatorul care descrie interactia cu campul electromagnetic extern este 110'( , )rieH rt Am rrh r, (2.6)si descrie o perturbatie dependenta de timp.Se presupune ca la inceput sistemul atomicliber se afla in starea de energie perfect determinata mE; Radiatia electromagnetica incidenta actioneaza asupra atomului numai un timp finit . Datorita interactiei cu campul electromagnetic extern sistemul va trece din starea initiala de energie mE intr-o alta stare de energie kE. Ne intereseaza probabilitatea de tranzitie din starea m catre diferite stari finale k, tot din spectru. Pentru aceasta se poate aplica teoria perturbatiilor dependente de timp, probabilitatea de tranzitie intre doua stari din spectrul discutat este:(1) 2( ) | ( ) |m k kp t C tpentrut unde coeficientul( )kC teste dat de ecuatia (1.6), deci| | (1)101( ) ' ( )kmi tk kmC t H te dtih pentru 1t (2.7)Elementul de matrice ' ( )kmH t al hamiltonianului de perturbatie este 3* 30' ( ) ( ) ( , ) ( )km k r mieH t u r A rt u r drm rrh r r r(2.8)Desigur, am presupus ca perturbatia actioneaza numai pe o durata finita, potentialul vector Aral campului de radiatie este diferit de zero, in vecinatatea sistemului atomic, doar in intervalul de timp . In aceste conditii:(1) '01( )kmi tk kmC H te dtih(2.9)deci coeficientul nu depinde de momentul de timp 1[ , ) t +.Presupunem ca sistemul atomic interactioneaza cu un camp electromagnetic constituit din unde plane, nanocromatice, carese propaga dupa o directie caracterizata de vectorul de unda k kn rr. Daca trenul de unde plane soseste doar intr-un interval de timp , lungimea trenului de unde esteL c (fig. 2.1).12Fig. 2.1Deoarece propagarea undelor electromagnetice are loc in vid, fenomenul de dispersie nu se poate produce, trenul de unde emis de sursele de la infinit este nedistorsionat.Solutia ecuatiei undelor care descrie un tren de unde plane este de forma( ) ( )rnA A t Ac rrr r r (2.10)unde

rntc rr(2.11)Este extrem de important de remarcat ca dependenta de timp (2.11) a solutiei ecuatiei undelor este consecinta vitezei finite de propagare a undei electromagnetice. Din acest motiv, valorile campului electromagnetic intr-un punct situat la distanta rr de surse, la un moment de timp t, sunt date de valorile surselor la momentul de timp anterior 'rt tc r, timp necesar semnalului electromagnetic ca sa se propage de la surse pana in punctul considerat. Pentru a calcula integrala dupa timp (2.7) care furnizeaza coeficientul (1)kCal carui modul patrat este probabilitatea de tranzitie dorita, se foloseste transformata Fourier a potentialului vector( ) A r. Intr-adevar, din relatiile (2.9) si (2.8) rezulta:33(1) * 303 *0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kmkmi tk k r mi tk r meC e u r A u r dr dtmedru r dtA e u rm++ 1 1 1 ] _ , rrrr rrr(2.12)13sau3(1) 3 *0( ) ( ) ( )kmkmrnii tck k r meC dru re d A e u rm + _ , rrrrr rUltima expresie este cunsecinta schimbarii de variabila rntc rr, care are avantajul ca pune in evidenta transformata Fourier( )0A r a potentialului vector( ) A r al undei plane. Intr-adevar, daca avem in vedere dezvoltarea functiei in integrala Fourier,01( ) ( )2iA A e d + (2.13)se observa ca in membrul drept al ec. (2.12) avem transormata 0( ) Aa potentialului vector ( ) A al undei plane,01( ) ( )2iA A e d + (2.14)Din relatiile (2.12) si (2.14) rezulta, ( )3(1) 3 *00( ) ( )km rnick km k r meC A dru re u rm rrrrr r (2.15)Deoarece potentialul vector( ) A r este o functie reala, transformata sa Fourier indeplineste conditia cunoscuta, *0 0( ) ( ) A A r r. Totodata, conditia de etalonare 0 div A implica 0( ) 0 n A. Intr-adevar, 0 001 1( ) ( ) ( ) 02 21( ) 02i iidiv A d A grade d A i esauidiv A d n A ec + + + deci 0( ) 0 n A , avandu-se in vedere liniar independenta functiilor ie . Totodata, din relatia (2.14) rezulta:01( ) ( ) 0 ( ) 02in A n A e d deci n A + 14conditie care exprimatransversalitatea undelor electromagnetice.Intr-adevar, deoareceA AE grad si B rot At t rezulta ( ( )) 0 ( ) ( ) 0 n E n A si nB n A n n At (2.16)deci si vectorii E si B se afla in planul perpendicular pe vectorul de unda k.1s2sn0Fig. 2.2Fie doi versori 1s si 2s perpendiculari intre ei, aflati in planul perpendicular pe k (fig. 2.2). Orice vector din acest plan poate fi descompus in mod unic dupa baza constituita din vectorii 1sr si 2sr. Astfel, se poate scrie:0 1 01 2 02( ) ( ) ( ) A s A s A +sau020 01 1 2 0101( )( ) ( ) , 0( )AA A s s AA _ + ,(2.17)Numarul complex 02 01/ A Ase scrie sub forma standard ( ) 02 0201 01( ) | ( ) |( ) | ( ) |iA AeA A deci( ) 020 01 1 201| ( ) |( ) ( )( )| ( ) |iAA A s e sA +(2.18)15Este preferabil de exprimat transformata Fourier 0( ) A a potentialului vector cu ajutorul unui vector complex ( ) s r de modul unitate. Deoarece modulul vectorului complex care apare in paranteza din membrul drept al ecuatiei (2.18) este 202201| ( ) |1| ( ) |AA+, se defineste un vector de modul unitate prin relatia:( ) 021 220102201| | 1( )| || |1| |iAs s e sAAA _ + ,+(2.19)Vectorul ( ) s , numit vectorul complex al polarizatiei undei electromagnetice plane, indeplineste conditia ceruta, *( ) ( ) 1 s s r r. Se observa ca 020 A corespunde polarizatiei liniare a undei, 02 01| | | | A A si( )2 corespunde polarizarii circulare, in celelalte cazuri unda fiind polarizata eliptic.Relatia (2.17) conduce la expresia:0 0( ) ( ) ( ) A A s (2.20)unde, evident 2 20 01 02 01( ) ( ) 1 | | / | | A A A A + .Conditia de transversalitate implica:( ) 0 ns (2.21)Din relatiile (2.15) si (2.20) rezulta( )( )( ) ( )( ) ( )( )331 3 *00222 2(1) 3 *0 202220 202 ( ) ( ) ( )2 ( ) ( )2kmi r kck km k r mikrk km k r mikrkmkmeC A dru re s u rmsaueC A dru re s u rmeA e sm rrrrrrr rr rr (2.22)

unde /kmk n c este vectorul de unda al radiatiei, iar16( )3* 3( ) ( ) ( )i kr i k rk mkme s u r e s u r dr _ ,r r r r(2.23)este elementul de matrice al operatorului ( )i kre s intre starile initiala si finala ale atomului.Este preferabil sa se introduca transformata Fourier a intensitatii campului electric ( ) E rdeoarece aceasta se poate exprima prin marimi fizice accesibile determinarilor experimentale. Pentru aceasta se observa ca:0 01 ( ) 1( ) ( ) ( )2 2i iAE E e d i A et + + deci 00 0( ) ( ) ( ) ( ) E i A i A s (2.24)Avand in vedere ca 2| ( ) | 1 s, din relatiile (2.22) si (2.24) rezulta probabilitatea de tranzitie la momentul de timp t intre cele doua stari din spectrul discret,

222 0(1) 22 20( )| | 2 ( ( ))kmt i krm k k kmkmEep C e sm (2.25)Vom arata in continuare ca intre modulul patrat al transformatei Fourier 20( ) E a intensitatii campului si densitatea spectrala ( ) a energiei radiatiei electromagnetice exista relatia2002( ) ( ) E r(2.26)unde este timpul cat dureaza interactia.Din relatiile (2.25) si (2.26) se obtine pentru probabilitatea de tranzitie din starea initiala m apartinand spectrului discret al atomului catre starea finala k tot din spectrul discret. ( )322(1) 2 * 32 20 01| | (| |) ( ) ( )i krm k k km k kmkmep t C u re s u r drm (2.27)17Probabilitatea de tranzitie este proportionala cu durata perturbatiei. Se intelege ca acest rezultat este consecinta faptului ca am presupus ca radiatia electromagnetica are un caracter stationar.Probabilitatea de tranzitie in unitatea de timp, de la starea initiala de energie mE la starea finala de energie kE, este( ) ( )1m k m kP t p t , deci ( )322* 32 20 01(| |) ( ) ( )i krm k km k mkmeP t u re s u r drm (2.28)Conform ultimei relatii, pentru ca tranzitia de la starea m la starea k sa poata avea loc trebuie ca( )0km , adica in spectrul radiatiei incidente trebuie sa existe frecventa km. Pentru ca legea conservarii energiei sa fie respectata trebuie sa existe relatia:km k mE E h(2.29)Trebuie observat ca pentru m kE E > are loc emisia fortata a radiatiei, iar pentru m kE E < are loc absortia radiatiei. Aparitia exponentialei ikre rr in expresia probabilitatii de tranzitie este consecinta propagatrii undei electromagnetice cu viteza finita c, din care motiv situatia campului intr-un punct dat, la un moment de timp fixat t, este data de situatia campului in punctul vecin situat la distanta rr la momentul de timp anterior rtc . Se spune ca aparitia exponentialei ikre rreste consecinta retardarii undei electromagnetice.2.2.2 Densitatea spectrala a energiei radiatiei electromagnetice In general, valoarea medie in timp a densitatii de energie w a campului electromagnetic se defineste ca media in timp a acesteia pe un interval macroscopic de timpt , presupus mic, 0 01 1 1( ) ( ') '; ( ) ( )t ttt Wt dt t dt Wt dtt + (2.30)Desigur, valoarea medie( ) t depinde de momentul de timp ales pentru mediere, in acest caz se spune ca suntemp in cazul campului electromagnetic nestationar.18Fig. 2.3 Regim nestationar Fig. 2.4 Regim stationarDaca valoarea medie este constanta in timp pe durata interactiei dintre atom si campul electromagnetic, campul de radiatie are un caracter stationar. Aceasta se intampla daca amplitudinile campului sunt constante in timp (fig. 2.4). In acest caz se poate defini valoarea medie a densitatii de energie pe durata a perturbatiei: 01( ) Wt dt(2.31)In cele ce urmeaza se va considera cazul regimului stationar. Deoarece pentru unda plana 2 2001E B r r, din relatia (2.31) rezulta2 20 001 1( ) ( ) E dt E dt + r runde am mai avut in vedere ca 0 E doar pentru [0, ] t . Considerand media temporala intr-un punct fixatal spatiului, se poate scrie201( ) E d + r (2.32)In continuare, pentru a pune in evidenta transformata Fourier 0( ) E r care apare in probabilitatea de tranzitie, se foloseste relatia de inchidere a lui Parseval220( ) ( ) E d E d + r runde 0( ) E este transformata Fourier a lui ( ) E . 19Deoarece *0 0( ) ( ) E E , are loc egalitatea* *2 20 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | | ( ) | E E E E sau E E ,deci modulul patrat al transformatei Fourier este o functie para de variabila . Aceasta proprietate de simetrie permite ca relatia lui Parseval sa fie scrisa ca o integrala numai peste valori pozitive ale variabilei , care capata astfel semnificatie de pulsatie a undei electromagnetice. Prin urmare, relatia lui Parseval se poate scrie:2 200( ) 2 | ( ) | E E d + deci valoarea medie a densitatii de energie este20 002| ( ) | E d (2.33)In fizica experimentala se folosesc filtre care lasa sa treaca numai radiatia cu energia cuprinsa in intervalul spectrald . Intr-o asemenea situatie, densitatea de energie a radiatiei este( )d unde( ) se numeste densitate spectralaa energiei campului electromagnetic. Evident, densitatea de energie a radiatiei se poate scrie, in general,0( )d (2.34)care este relatia de definitie pentru densitatea spectrala a energiei.Prin simpla comparare a relatiilor (2.33) si (2.34), rezulta relatia (2.26):2 002( ) | ( ) | E 202.3. Teoria lui Einstein a emisiei fortate si spontane si a absorbtiei radiatieiRelatia| | | |km k mE E h arata ca, in decursul tranzitiei fortate" " " " m k , energia variaza discontinuudeoarece nivelele de energie ale atomilor sunt cuantificate. Deoarece energia totala a sistemului atom+camp electromagnetic trebuie sa ramana constanta, rezulta ca si energia radiatiei electromagnetice trebuie sa varieze discontinuu. Conform electrodinamicii clasice, energia campului electromagnetic variza continuu. Contradictia poate fi inlaturata daca se admite ca, de fapt, campul de radiatie nu are o structura continua, ci este constituit din corpusculi care poseda energie, impuls si moment cinetic, corpusculi care au fost numiti fotoni.In conceptia lui Enstein, tranzitia " " " " m k a sistemului atomic este insotita de emisia sau absortia unui foton cu energia | |km > h, impulsp n kc rr rhsi polarizatiesr. Tranzitiile sunt induse de campul de radiatie extern dar dezexcitarea unui atom este presupusa ca poate fi si spontana.Pentru a obtine informatii cantitative pentru aceste tranzitii, Einsteina admis existenta fenomenelor de emisie spontana si absorbtie fortata a radiatiei.2.3.1. Ipotezele lui Einstein pentru tranzitiile fortateEinstein a considerat situatia reala cand tranzitia" " " " m k este acompaniata de emisia unui foton de energie | |km h a carui directie poate fi arbitrara , la fel ca si polarizatia lui. Astfel, impulsul fotonuluip ncr r este continut intr-un unghi solid ndr oarecare (nn d rr). Polarizatia este arbitrara, vectorul de polarizatiesr indeplineste conditia de transversalitate0 sn rr. Vectorulsr este o functie de versorulnr al directiei de propagare.21nndr01s2s Fig. 2.5Din punct de vedere clasic,polarizatia unei radiatii care se propaga dupa directia nr este caracterizata de doua directii perpendiculare intre ele (cu versorii 1sr si 2sr) si pe directia de propagare. Cuantic, polarizatia este caracterizata, de asemenea, cu ajutorul a doua directii perpendiculare intre ele si perpendiculare pe directia de propagare a radiatiei. Suplimentar trebuie insa sa se indice si numarul fotonilor care au polarizatia 1sr si a celor care au polarizatia 2sr. Totodata, trebuie definita si o densitate spectrala macroscopica ( , , ) ns r r analizata dupa pulsatia , directia de propagarenr si polarizatia sr. Prin definitie,( , , )nns d d rr r (2.35) reprezinta densitatea de energie observabila cand pulsatia se afla in intervalul ,d + , directia de propagare este in unghiul solid ndr iar polarizatia radiatiei este sr.Densitatea spectrala totala ( ) se obtine prin sumarea peste polarizatiasr si integrarea dupa directiile de propagare,( ) ( , , )nsd ns rrr r(2.36)22Daca radiatia are polarizatiasrsi directia de deplasarenr perfect determinate, atunci'( , ', ') ( ) ( ' )ssn s n n r rrr r r(2.37)Se pot formula acum ipotezele lui Einstein pentru cazul tranzitiilor fortate ipoteze care sunt independente de natura campului de radiatie.a) Probabilitatea de tranzitie in unitatea de timp de la starea m la starea finala k cu emisia fortata a unui foton cu caracteristicile | |km h, np n dc rr r si polarizatiasr, este( ),,.| |, ,nsn semf m k km ndP b ns d r rr rrr r(2.38)unde m kb este coeficientul lui Einstein pentru emisia fortata.b) Probabilitatea de tranzitie in unitatea de timp de la starea k la starea m cu absortia unui foton cu caracteristicile | |km h, np n dc rr r si polarizatiesr, este,(| |, , )n sabs k m kmndP b nsd r r(2.39)Einstein a demonstrat ca cei doi coeficienti , n sm kb si , n sk mb sunt egali:, , n s n sm k k mb b (2.40)Pentru cazul emisiei spontanein tranzitia " " " " m k , probabilitatea de emisie a unui foton cu energia mk h, directia impulsului prcontinuta in unghiul solid ndr si polarizatiesr este,.n sem sp m kndP a d (2.41)23unde , n sm ka se numeste coeficientul lui Einstein pentru emisia spontana.Totodata, exista relatia, ,3| | 1| |n s n s kmm k m kkma bc _ ,hintre coeficientul de emisie spontana si cel de emisie fortata, sau3, ,3 3| |8n s n s kmm k m ka bc h(2.42)Mecanica cuantica furnizeaza probabilitatea de emisie fortata (ec 1.33) in cazul in care fotonul emis are o directie de miscare perfect determinata. Aceasta permite obtinerea coeficientului , nsm kbr r al lui Einstein pentru emisia fortata si apoi a coeficientului , n sm kar r pentru emisia spontana.Astfel probabilitatea de tranzitie totala( ),. ., ,n semf emf m k kmn ns sP d dP d b ns r rsau( ),.n semf km m kP b (2.43)Din simpla comparare a ec. (1.33) si (2.43) rezulta32, * 3 22 20 01| ( ) ( ) |n s i krm k k mkmeb u r e s u drm (2.44)Din relatia (2.42) se poate obtine si coeficientul de emisie spontana,322, 32 2 30 0| |( ) ( )8n s i kr kmm k k mea u r e s u drm c h r(2.45)242.3.2. Aproximatia dipolaraUn caz particular important este cazul in care lungimea de unda a radiatiei este mult mai mare decat dimensiunile liniare ale atomului cu care interactioneaza. In acest caz, cunoscut sub numele de aproximatie dipolara, forma coeficientilor lui Einstein se simplifica apreciabil.Dupa cum se stie, 2( )mu rr este densitatea de probabilitate de localizare a electronului aflat in starea de energie mE. Probabilitatea de localizare a electronului este, in mod semnificativ, diferita de zeronumai la distante de nucleu de ordinul razei Bohr 00, 53 a A &.Se definiste o sfera de raza 0a, centrata pe nucleu, in interiorul careia probabilitatea de localizare a electronului este mare. Aceasta zona, care reprezinta interiorul atomului , este cea care contribuie in mod esential la integrala din relatiile (2.44) si (2.45). In aceasta regiune a spatiului | | r a r, deci| | 2 1kmkmak r kr ka ac < >(3.21)Vectorii proprii ai operatorului Hamiltonian (3.18) sunt produse de astfel de stari, adica,| ... ( )... | ( )ii ir r ik rn k n k > >Operatorul asociat numarului total de particule este, prin definitie:393 32 23 31 1( ) ( ) ( )r r rr rN dk N k dk a k a k + (3.22)Reprezentarea (3.22) in care starile cuantice sunt descrise prin numerele de ocupare ( )rn kse numeste reprezentarea numerelor de ocupare, iar valoarea proprie a operatorului radH este chiar energia sistemului de oscilatori,1( )2k rrkE n k _ + ,h(3.23)Se observa ca in cazul campului fara surse operatorul hamiltonian coincide cu operatorul asociat energiei.Interpretarea acestor ecuatii este simpla: este generalizarea cazului unui oscilator liniar armonic la cazul suprapunerii unei infinitati numarabile (nenumarabile) de oscilatori independenti, cate unul pentru fiecare mod normal de oscilatie al campului de radiatie descris de perechea( , ) krr.Din teoria oscilatorului liniar armonic cunoasterem actiunea operatorilor( )ra krsi ( )ra k+ r asupra vectorilor proprii ai operatorului radH in reprezentarea numerelor de ocupare( )rn kr:( ) | ..., ( ),... ( ) | ..., ( ) 1,... ,( ) | ..., ( ),... ( ) 1 | ..., ( ) 1,...r r r rr r r ra k n k n k n ka k n k n k n k +> >> + + >(3.24)Prin actiunea operatorului ( )ra k, energia (3.23) este micsorata cu | |kc k h h iar impulsul sistemului scade cu kh. Se poate interpreta operatorul ( )ra k ca operator de anihilare (sau de absorbtie sau de distrugere) a unui foton din modul normal ( , ) kr, adica cu energia k h, impulsul kh si vector de polarizare liniara rs. Analog, operatorul ( )ra k+ se interpreteaza ca un operator de creare a unui astfel de foton. In aceasta interpretare operatorul( ) rN kr devine operatorul numar de fotoni de vector de unda kr si vector de polarizatie rsr.Starea de energie minima a campului de radiatie este starea de vid | 0 >in care toate numerele de ocupare ( )rn k sunt zero. Conform ecuatiei (3.23) starea fara niciun foton are energia 12krkh, care este o constanta infinita, fara semnificatie fizica, care 40poate fi eliminata prin deplasarea originii scalei energiei astfel incat starii de vid | 0 > sa- i corespunda valoarea zero a energiei. Cu aceasta conventie, operatorul atasat energiei este de forma 3231( ) ( ) ( )rad r rrH dk k a k a k +h(3.25.a)respectiv21( ) ( ) ( )rad r rrkH k a k a k + h (3.25.b)In ceea ce priveste operatorul impuls, termenul constant suplimentar dispare oricum deoarece sumarea dupa toate directiile posibile ale vectorului de unda kr este zero3231( ) ( )r rrP k a k a kdk +h(3.26.a)respectiv21( ) ( )r rrkP k a k a kdk + h (3.26.b)Este foarte convenabil si de mare importanta practica pentru calculul diferitelor tranzitii ale sistemelor atomice, sa se foloseasca reprezentarea numerelor de ocupare pentru descrierea starilor initiala si finala. Motivul este evident: starile initiala si finala contin un numar bine definit de fotoni cu caracteristici (energie, impuls , polarizatie) bine definite. Desigur, astfel de idei se aplica nu numai in cazul fotonilor dar si, in general, oricaror particule ale unui camp cuantic. Trebuie insa avut in vedere ca numai pentru bozoni numerele de ocupare pot avea orice valori 0,1,2; pentru fermioni numerele de ocupare au numai valorile 0 sau 1. In toate cazurile operatorii de creare si anihilare actioneaza in spatiul Fock care contine vectorii de stare ai starilor descrise prin numerele de ocupare( )rn kr.In concluzie, campul electromagnetic a fost cunatificat prin inlocuirea amplitudinilor clasice (a transformatelor Fourier ) ra si *raprin operatorii ra si ra+, astfel incat potentialul vector A precum si campurile E si B au devenit operatori dependenti de timp. Operatorul dependent de timp ( , ) Art poate fi scris ca o suma de doi operatori:( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) Art A rt A rt+ +(3.27)unde operatorul4131/ 2( )23 ( )3/ 2101( , ) ( )(2 )2 ( )i kr trrrA rt dk s a kek + _ ,h(3.28)care contine numai operatorii de anihilare, este numit partea de frecvente pozitive a operatorului A, iar operatorul:31/ 2( )23 ( )3/ 2101( , ) ( )(2 )2 ( )i kr tr rrA rt dk s a kek + _ ,h(3.29)care contine numai operatorii de creare de fotoni este numit partea de frecvente negative a operatorului ( , ) Art.3.2 Interactia atomilor cu campul electromagnetic cuantificatEste logic de presupus ca hamiltonianul unui sistem de sarcini in miscare (cum sunt electronii unui atom) aflate intr-un camp electromagnetic trebuie sa fie constituit din trei parti: o parte care se refera la sarcinile din interiorul atomului, o parte care se refera la campul electromagnetic, si, o parte care descrie interactia dintre sarcini si camp. Pentru un atom cuZelectroni, operatorul hamiltonian nerelativist este21 210( , ,..., )2Zatom coul ZrH V r r rm +h(3.30)unde2 2, 1 10 01 14 4| |Z Zcoule ZeVrr r Campului electromagnetic liber ii corespunde operatorul Hamilton3 32 23 31 1( ) ( ) ( ) ( )rad r r rr rH dk N k dk k a ka k + h h(3.31)Deoarece operatorul ( ) ( ) ( )r r rN k a ka k + comuta cu hamiltonianul radH al campuluide radiatie (fara interactie cu sarcinile), numerele de ocupare( )rn kr sunt constante de miscare pentru campul liber. Pentru ca ceva sa se intample, adica pentru 42ca fotonii sa poata fi absorbiti, emisi sau imprastiati, trebuie sa existe interactia campului cu sarcinile si cu curentii.Operatorul care descrie interactia dintre electronii atomului si campul de radiatie este22 2int10 0( ( , ) ( , ) )2ZLe eH A r t P A r t Im m + (3.32) unde, evident, operatorul P si operatorul unitate2LI actioneaza in spatiul Hilbert ( )2 3ZL al starilor atomului, iar operatorul( , ) A r tr r actioneaza in spatiul Hilbert FH al starilor fotonilor, in care vectorii de stare sunt descrisi cu ajutorul numerelor de ocupare. Operatorul intH actioneaza in spatiul produsului direct al celor doua spatii Hilbert.Desigur, hamiltonianul total al sistemului atom+camp electromagnetic, cu considerarea interactiei este dat de expresia2int atom F radLH H I I H H + +(3.33)unde FI este operatorul unitate care actioneaza in spatiul Hilbert FH al starilor fotonului.Termenul care descrie interactia este considerat, de obicei, ca o perturbatie * care provoaca tranzitii intre starile hamiltonianului 0H care nu contine interactia,20cmatom H radLH H I I H + (3.34)Vectorii proprii ai operatorului atomH si radH sunt presupusi cunoscuti :| |atom AH A E A > >(3.35)respectiv3231| ( ) ( ) ( ) | ( ) ,| ... ( )... ( ( ) ( )) | ... ( )...rad r r r rrad r r rrH n k n k k n kH n k dk n k k n k > >> >hh(3.36)Rezulta ca vectorii proprii ai operatorului 0H sunt vectori de forma| | ... ( )... | ;... ( )...r rA n k A n k > > >(3.37)iar ecuatia cu valori proprii pentru hamiltonianul care descrie sistemul neperturbat este4332301| ;..., ( ),... ( ) ( ) | ;..., ( ),..r A r rrH A n k E dk n k k A n k _> + > ,h(3.38)Acest formalism specific electrodinamicii cuantice se poate aplica in cazul absorbtiei si emisiei radiatiei de catre atomi. In procesele de emisie sau absorbtie a unui singur foton, atomul efectueaza o tranzitie de la o stare initiala | i >la o stare finala |f > si numarul de ocupare a unei anumite stari fotonice se modifica de la o stare ( )rn k la o stare ( ) 1rn kt. Starile initiala si finala a sistemului atom+camp electromagnetic sunt| ; ( ) | | ( )| ; ( ) 1 | | ( ) 1r rr ri n k i n kf n k f n k > > >t > > t >(3.39)unde nu am mai specificat numerele de ocupare ale starilor fotonice care raman aceleasi.* In cazul surselor laser de mare intensitate aceasta presupunere nu este adevarata, nu se mai poate aplica teoria perturbatiilor. 3.3 Tranzitii atomice cu emisia unui fotonSa consideram cazul emisiei unui foton de energie ( ) k h, impuls kh si vector de polarizare rs, atomul efectuand tranzitia | | i f > > in care in starea finala exista un foton mai mult decat in starea initiala. Elementul de matrice al operatorului de perturbatie, intre starile finala si initiala a sistemului atom +camp este1/ 2( )30 2011; ( ) 1| | ; ( )2 ( )(2 )| | ( ) 1| ( ) | ( )i k tr int rZi k rr r r ref n k H i n k emkf s e P i n k a k n k + _ < + > , < > < + >h(3.40)unde am avut in vedere ca din dezvoltarea(3.27) operatorului ( , ) Art nu ramane decat un singur termen. De asemenea, se observa ca elementul de matrice al operatorului 2Ar, intre stari care difera printr-un singur foton este zero.Se obtine pentru elementul de matrice care furnizeaza probabilitatea de tranzitie in unitatea de timp:441/ 2( )int 3/ 21001; ( ) 1| | , ( ) ( ) 1(2 )2 ( )Zi k ri k tr r r ref n k H i n k n k e f s e P imk _ < + > + < > ,h (3.41)Probabilitatea de realizare a unei tranzitii atomice | | i f > >, in unitatea de timp, este emisia unui foton cu vectorul de unda in intervalul ; kk d k + si polarizarea precizata de vectorul rs, este:3 2 2int2| ; ( ) 1| | ; ( ) | ( )emisiei f r r f ikdP f n k H i n k kdkd E E < + > + hh(3.42)Daca se integreaza dupa modulul vectorului de unda si se introduce in ecuatia (3.41) expresia (3.42) a elementului de matrice a hamiltonianului de interactie, se obtine probabilitatea de tranzitie | | i f > > (in unitatea de timp) a sistemului atomic, cu emisia unui foton cu enrgia | |fi i fE E h, cu directia de miscare cuprinsa in unghiul solid: kd si cu polarizarea liniara data de vectorul rs:22| | 2 210| |( ( ) 1) | |2fiZi k r fii f r rkdP n k s f e P i dm c + < > sau (3.43) 22 22 2 210 0| |( 1)| |8Zi k r firi f rr ke ndP f e s c dm c + < > h

| | | |fi f iE E hAparitia in ecuatiile de mai sus a factorului ( ( ) 1)rn k+ este esentiala: chiar si in absenta campului electromagnetic, cand ( ) 0rn k, elementul de matrice 1| ( ) | 0ra k+< > al operatorului de creare, luat intre starea de vid a campului si starea cu un foton, nu se anuleaza. Asadar, electrodinamica cuantica prevede existenta emisiei spontane si permite calculul precis al probabilitatii de realizare a procesului.Se observa ca pentru un atom hidrogenoid care emite spontan un foton (( ) 0rn k ), din relatiile (3.43) se obtine coeficientul de emisie spontana al lui Einstein dat de relatia (2.11). Aceasta concordanta ilustreaza forta si eficienta rationamentelor lui Einstein, care au suplinit dificultatile iremediabile ale teoriei semiclasice a radiatiei. Totusi, Einstein a fost nevoit sa considere emisia spontana si emisia fortata (stimulata) a luminii ca doua 45procese distincte si sa presupunaexistenta emisiei spontane bazandu-se pe pe informatiile de natura fenomenologica. Teoria cuantica a campului prevedeexistenta emisiei spontane. Evident, termenul din ecuatia (3.43) proportional cu numarul de fotoni ( )rn k existenti in starea initiala reprezintacontributia campului de radiatie, aceasta contributie la procesul de emisie are o explicatie clasica evidenta: sub actiunea campului extern, electronii atomici executa emisia fortata. Din acest motiv mecanica cuantica poate explica fenomenul de emisie fortata fara a mai fi nevoie si de cuantificarea campului electromagnetic. Emisia spontana nu are un corespondent clasic si nu poate fi explicata fara cuantificarea campului electromagnetic. De remarcat ca prin cuantificarea campului electromagnetic se realizeaza o tratare unitara a proceselor de emisiea radiatiei si totodata se poate intelege de ce starile excitate ale atomilor nu sunt stari stationare.Daca numarul de fotoni din starea initiala este foarte mare, teoria semiclasica a radiatiei aproximeaza foarte bine realitatea deoarece, practic nu exista o diferenta notabila intre numerele de fotoni (( ) 1rn k+) si (( )rn k). Daca numarul de fotoni( )rn k este mic, ponderea emisiei spontane este importanta iar pentru ( ) 0rn kemisia spontana devine unicul mecanism de emisie. Considerentele de mai sus pot fi intelese si din analizarea structurii hamiltonianului de interactie dintre campul de radiatie si sistemul atomic.Deoarece, in absenta campului, potentialul vector Ar este zero, rezulta ca si termenul 0 AP r r, deci daca potentialul vectorAr nu este cuantificat este imposibil de prezis existenta emisiei spontane. In cadrul teoriei cuantice a campului elecromagnetic efectul devine posibil deoarece elementul de matrice *0 | | 1 1| | 0 A A < >< > al operatorului A, luat intre starea de vid si starea cu un foton, nu se anuleaza.In general, in teoria clasica a campului potentialul vector( , ) Art nu este modificat de sarcinile electrice asupra carora actioneaza campul. Cand un atom efectueaza o tranzitie, potentialul vectorArnu este influentat. Aceasta imagine este corecta chiar si in cadrul teoriei cuantice cu singura conditie ca numarul de ocupare sa fie atat de mare incat campul electromagnetic sa poata fi considerat ca o sursa inepuizabila de fotoni. Pentru campuri intense, disparitia sau crearea unui foton practic numodificamarimile fizice care caracterizeazacampul. Pe de alta parte, pentru campuri slabe sau inexistente in starea initiala, modificarile produse campului de radiatie de interactiunea cu sarcinile electrice la absortia sau emisia unui singur foton nu mai pot fi neglijate.3.4Tranzitii atomice cu absorbtia unui foton In cazul absorbtiei unui singur foton, elementul de matrice al operatorului intH care descrie procesul este de forma int; ( ) 1| | ; ( )r rf n k H i n k < > unde, pentru simplitatea 46scrierii s-a indicat explicit numai numarul ( )rn k de fotoni cu aceleasi caracteristici cu cele ale fotonului absorbit de atom.Probabilitatea de tranzitie a atomului, in unitatea de timp, din starea initiala | i > in starea finala |f >, cu absortia unui foton cu energia fi f iE E h, cu directia de propagare continuta in unghiul solid kd si vector de polarizare r s, este:2 2 2int022 2int 2 32| ; ( ) 1| | ; ( ) | ( )2| ; ( ) 1| | ; ( ) |fiabsi f r r f ikfi absi f r rkdP dk k f n k H i n k E E dsaudP f n k H i n k dc 1 < > 1 ] < > hhhEvident, din dezvoltarea (3.8b) a operatorului ( , ) Art care intervine in intH nu contribuie decat un singur termen, cel care contine operatorul de anihilare( )ra kr al unui foton cu caracteristicile fotonului absorbit.Singura deosebire dintre elementul de matrice int; ( ) 1| | ; ( )r rf n k H i n k < + >care apare in cazul emisiei si elementul de matrice int; ( ) 1| | ; ( )r rf n k H i n k < > din cazul absorbtiei consta in faptul ca in produsul scalar, in locul vectorului ( ) | ( ) 1 | ( ) 1i kr i krr r r re a k n n k e n k + > + + > apare vectorul ( ) ( ) ( ) | ( ) 1i k r i krr r r re a kn k n ke n k > >. Prin urmare, in locul ecuatiei (3.43) se obtine:2 22 210( ) | | | | |2fiZi k r fi absi f r rkdP n k s f e P i dm c < > (3.44)Conform electrodinamicii cunatice, probabilitatea de absorbtie este proportionala cu numarul de fotoni ( )rn k din starea initiala, deci cu intensitatea radiatiei , intocmai ca si teoria semiclasica a radiatiei , deoarece elementul de matricepentru absorbtie este liniar in ( )rn k, rezultatul cuantic este bine redat de rezultatul prezis de teoria semiclasica chiar si pentru valori mici ale numarului de fotoni sau pentru radiatie de mica intensitate.In general pentru oricaredoua procese electromagnetice care se deosebesc numai prin aceea ca, intr-un caz, o anumita particula se afla in starea finala cu energia f, impulsul fp si polarizarea fs, respectiv in starea initiala cu enrgia i, impulsul ip si polarizarea is in celalat caz , elementul de matrice al unuia dinre procese se obtine din 47elementul de matrice al celuilat proces efectuand schimbarile , ,i f i f i fp p s s . Aceasta proprietate generala, cunoscuta sub numele de simetrie de crossing (crossing simmetry) este consecinta faptului ca electrodinamica cuantica este o teorie invarianta la inversia temporala(time reversal). Simetria de crossing apare in orice teorie cuantica care este invarianta fata de inversia temporala.Deoarece operatorul i k re s P r , care apare in elementul de matrice corespunzator absorbtiei unui foton, are drept adjunct operatorul i k re sP r, intre elementele de matrice ale celor doi operatori exista relatia *| | | |i k r i k rs f e P i s i e P f < > < >r r(3.45)Probabilitatea in unitatae de timp pentru absorbtie data de ecuatia (3.44) se poate transcrie: 2 22 210( ) | | | |2Zi k r fi absi f r rkdP n k s i e P f dm c < > (3.46)Din simpla comparare a relatiilor (3.41) si (3.46) rezulta22( )( ) 1absremisiern k dPdPn k+(3.47)si2 2 abs emisiefortatadP dP (3.48)Ultima relatie confirma egalitatea dintre coeficientii de emisie fortata si de absorbtie, egalitate demonstrata de Einstein. Dupa cum se va vedea in paragraful urmator relatia (3.47) permite demonstrarea celebrei legi a radiatiei corpului negru a lui Planck folosind electrodinamica cuantica.3.5 Legea radiatiei corpului negru a lui PlanckPentru a demonstra legea lui Planck cu ajutorul electrodinamicii cuantice sa presupunem ca atomii schimba energie cu un camp de radiatie prin procesul reversibilA B + care implica absortia sau emisia unui singur foton. Se admite ca in urma schimbului de energie sistemul format din atomi si campul electromagnetic ajunge intr-o stare de echilibru termic la o temperatura termodinamicaT .Daca se noteaza cu ( ) NA si ( ) NB numarul de atomi cu energia mai mare AE, respectiv numarul de atomi de pe nivelele cu energie mai mica BE, conditia de echilibru local sescrie482 2( ) ( )abs emisieNB dP NA dP (3.49)unde 2 absdPsi 2 emisiedPsunt probabilitatile de tranzitie pentru procesul B A + si, respectiv, pentru procesul A B +, fotonul absorbit, respectiv emis avand aceleasi caracteristici. Asadar, avandu-se in vedere ecuatia (3.47) se obtine22( ) ( )( )( ) 1absremisiern k NA dPNB dPn k +(3.50)Pe de alta parte, din conditia de echilibru termic, se obtine///( )( )ABE kTkTE kTNA eeNB e h(3.51)Fig. 3.1 Din ultimele doua relatii rezulta/( )( ) 1kT rrn ken k+hsau// /1( )1 1kTr kT kTen ke e hh h(3.52)Din relatia de mai sus se constata ca, in conditiile echilibrului termic, numarul de fotoni cu energie hprecizata nu depinde nici de directia impulsului si nici de polarizare.Sa presupunem campul de radiatie incojurat de pereti negri perfect absorbanti, alcatuiti din diferiti atomi capabili sa absoarba si sa reemita fotoni cu orice energie h . Densitatea de energie a campului de radiatie, in intervalul cu pulsatia cuprinsa intre si d + , este:323 3 /1 8 1( ) 2 ( ) 4(2 ) 2 1r kTd n k kdk dc e _ ,hhh49unde ( ) este densitatea spectrala de energie.Se obtine imediat expresia densitatii spectrale,32 3 /1( )1kTc e hh(3.53)care reprezinta expresia matematica a legii lui Planck pentruradiatia corpului negru.De obicei, se foloseste densitatea spectrala ( ) dupa frecventa si nu dupa pulsatia .Din relatia de definitie( ) ( ) d d (3.54)rezulta imediat33 /8 1( ) 2 ( )1h kTc e h(3.55)care este forma cea mai uzitata de scriere a legii lui Planck.Este instructiv de comparat demonstratia legii lui Planck conform electrodinamicii cuantice cu demonstratia lui Einstein. Ambele demonstratii se bazeaza pe ipoteza realizarii echilibrului termic intre atomi si campul de radiatie. In demonstratia lui Einstein trebuie insa invocat explicit principiul echilibrului local (the principle of detailed balance) pentru a putea scrie relatia (3.50). In demonstratia bazata pe cuantificarea campului electromagnetic, relatia (3.50) este o consecinta imediata a faptului ca hamiltonianul de interactie este un operator autoadjunct. De asemenea, in teoria cuantica a campului electromagnetic nu mai este necesar sa se faca distinctie intre emisia fortata (stimulata) si emisia spontana.3.6. Reguli de selectie in procese de tranzitie cu un fotonElementul de matrice | |fir f r i < > al razei vectoare a electronului este diferit de zero numai daca sunt respectate regulile de selectie cunoscute,1 l tsi 0, 1lm t. Desigur, regulile de selectie pentru valorile proprii ale operatorilor 2Lrsi ZLpot fi demonstrate prin calculul direct al elementului de matrice firr. Avandu-se insa in vedere conditiile generale de conservare a momentului cinetic total si de invarianta a teoriei fata de inversia spatiala (space reversal) se pot obtine regulile generale de selectie, inclusiv cele din aproximatia dipolara, fara a fi necesar de efectuat calcule explicite pentru evaluarea elementelor de matrice ale hamiltonianului de interactie.Deoarece unicul foton emis sau absorbit are spinul 1, legea conservarii momentului cinetic total al sistemului atom+camp electromagnetic cere ca numarul cunaticJal patratului momentului cinetic total al atomului sa satisfaca regulile de 50selectie 0, 1 J t, dar tranzitia0 0 J J nu este permisa (deoarece fotonul are helicitatea doar1 tsi nu si0 ).Invarianta teoriei fata de inversia spatiala cere ca elementele de matrice | | f r i< > ale razei vectoare sa nuschimbe de semn la transformarea ( ) r r . Pentru orice camp central de forte, paritatae starii este data de paritatea( 1)la functiei sferice ( , )llmY l care apare in expresia vectorului de stare. Rezulta imediat in cazul aproximatiei dipolare, regula de selectie1 l tdeoarece starile initiala si finala trebuie sa aiba paritati diferite.Chiar daca regulile de selectie interzic tranzitia | | i f > > in aproximatia dipolara, aceasta poate totusi sa apara deoarece, in general, termenii de ordin superiori din dezvoltarea in serie a exponentialei1 ...i k re i k r +mm(3.56)dau contributii nenule la elementele de matrice care apar in probabilitatile de tranzitie (3.43) si (3.44).Astfel, introducand pe cel de-al doilea termen din dezvoltarea in serie a exponentialei in elementul de matrice din expresiile (3.43) sau (3.44), se obtine:( ) ( ) ( )1 1| ( ( ) ) | | |Z Zrr j l l js f i k r P i is k f x P i < > < > m m(3.57)Prin adunarea si scaderea termenului ( ) ( )1Zj lx P expresia de mai sus se poate scrie ca suma unui tensor antisimetric si a unui tensor simetric de rang 2:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1( ) ( ) ( ) ( )11| | | ( ) |2| ( ) |Z Zl j l j j lZl j j lf x P i f x P x P if x P x P i < > < > +'+ < + >; (3.58)Primul termen contine operatorul momentului cinetic orbital ( ) ( ) ( )n ljn l jL x P al electronului si corespunde interactiei dipolare magnetice deorece prin inmultirea cu 02em conduce la operatorul momentului magnetic orbital al elctronului atomic. Totodata se observa ca prin inmultirea cu ( ) rj ls k si sumarea dupa indicii j si l se obtine:51( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( )1 1| ( | | |2 21 1( ) | | | ( ) |2 2Zr rj l l j j l ljn j l nr ns k f x P x P i s k f Lk s f Li f k s Li < > < < > < >(3.59)unde ( )1ZL L reprezinta momentul cinetic orbital al atomului.Tranzitia radiativa datorita acestui termen este numita tranzitie dipolar magnetica, notata conventional 1M. Tranzitia dipolara electrica se noteaza 1E.Din relatia (3.42) rezulta contributia tranzitiei dipolar magnetica (1M):1( ) 2 22 20 0| |1| | ( ) | |8 2fi Mi f rkedP f k s Li dc m < > h(3.60)sau1( ) 2 22 20| || | ( ) | |8fi Mi f rkdP f k s Mi dc < > h(3.61)unde02eM Lm este operatorul asociat momentului magnetic dipolar .Trebuie remarcat ca termenul ( )rk s este termenul dominant din dezvoltarea in unde plane a inductiei magnetice B (vezi ecuatia (3.11). Asadar , in ecuatia (3.62) apare elemntul de matrice | | f B Mi < >, ceea ce justifica afirmatia ca termenul 1( ) 2 Mi fdP reprezinta contributia dipolara magnetica la tranzitia considerata. Mai trebuie observat ca termenul dominant al interactiei magnetice de spin cu campul magnetic este 0 0( ) ( )2r re eS k s k sm m hcare este de acelasi ordin de marime cu termenul B M . In principiu contributia spinului electronului trebuie si ea considerata. Pe de alta parte corectiile datorate spinului sunt de ordinul de marime al corectiilor relativiste care deocamdata sunt neglijate. La inversia spatiala operatorul ( )rk s L nu isi schimba semnul, deci intr-o tranzitie1M paritatea starilor atomice nu se schimba. Pe de alta parte, din conservarea 52momentului cinetic total al sistemului atom+camp electromagnetic, rezulta ca numarul cuantic J al patratului momentului cinetic total al atomului trebuie sa satisfaca conditia 0, 1 J t , dar tranzitia0 0 J J nu este posibila, exact ca in cazul tranzitiei 1E. Rezulta ca regula de selectie pentru numarul cuantic orbital" " leste0 l .Cel de-al doilea termen din relatia (3.58) poate fi transcris convenabil daca se au in vedere identitatile2[ , ] 2 1, 2, 3j jx P i P j hde unde rezulta2 2 2[ , ] [ , ] [ , ] 2 ( )j n j n j n j n j nP x x P x x x P x i P x x P + + hsau 2 20 000, [ , ]2j n j n j n j nim imx P P x P x x H x xm 1+ 1 ]hh h(3.62)Inlocuind in expresia (3.58) tensorul simetric de rang 2, conform ecuatiei (3.62) , vor apare explicit elementele de matrice ale tensorului ( ) ( )1'Zjn j nT x x care intervin in expresia momentului electric de cuadrupol:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01 1'0| ( ) | ( ) | || | | |Z Zj j f i j nfi jnimf x P x P i E E f x x iim f T i < + > < > < > h(3.63)Relatia de transversalitate ( )0rs k justifica inlocuirea tensorului 'jnT prin tensorul de urma nula2( ) ( ) ( )113Zjn j n jnT x x r _ ,r(3.64)Conform relatiei (3.42) contributia tranzitiei cuadrupolare electrice (notata 2E), la posibilitatea de tranzitie in unitatea de timp este232( ) 2 ( ) 22 20| || | | |32fi E ri f j r jnedP f s k T ic < >h(3.65)3.7. Fluctuatiile campului electromagnetic si valabilitatea descrierii clasice. Stari coerente53Trebuie observat de la bun inceput ca nici operatorul ( )rN k asociat numarului de fotoni cu vector de unda ksi vector de polarizare ( ) rs perfect determinati si nici operatorul asociat numarului total de fotoni, definit ca3231( )rrN dk N k unde ( ) ( ) ( )r r rN k a ka k + nu comuta cu operatoriide camp A, E si B atasati potentialului vector, intensitatii campului electric si inductiei magnetice. Inseamna ca pentru stari cuantice in care numarul de fotoni este perfect determinat, abaterea patratica medie trebuie sa fie infinita pentru toate marimile campului electromagnetic. O asemenea comportare trebuie sa apara chiar si in cazul starii de vacuumdeoarece numarul de fotoni este bine precizat: zero. Desi valoarea medie a campului electric este nula pentru orice stare ce numar de fotoni perfect determinat, inclusiv in cazul vidului campului electromagnetic 0 | | 0 0 E< >, abaterea medie patratica este inifinita: 2 2( ) 0 | . | 0 E EE < > (3.66)Trebuie observat ca valoarea medie a intensitatii campului electric este zero pe orice stare in care numarul de fotoni este perfect determinat. Acest fapt este in contradictie cu comportarea campului electromagnetic clasic pentru care vectorii E si B nu pot fi nuli. De asemenea chiar daca numarul de fotoni este arbitrar de mare, o stare cu numar bine precizat de fotoni nu pote descrie un camp clasic deoarece fluctuatia vectorilor E si B este infinita.Daca se doreste ca fluctuatiile campului sa fie finite si chiar sa se anuleze cand numarul de fotoni tinde la infinit, trebuie considerat ca starea campului nu mai este caracterizata printr-un numar bine definit de fotoni.Este posibil de format stari cuantice 0| a > numite stari coerente pentru care fluctuatia relativa2 2 20 0 0 00 0 0 0 0( ) | | | | | || | | | | | | |E a E a E aa Ea a E a < > < >< > < >(3.67)sa fie finita si sa tinda la zero cand numarul de fotoni ( )rn k tinde la infinit. Starea coerenta 0| a > este un vector propriual operatorului de anihilare(anexa B), dat de relatia (B.8).54

( )( )/ 2( )( )/ 20( ) 0( )| | ( )( )!rr n kr rrn kin k rn krn krn ka e e n kn k > >r (3.68)unde 0a este o valoare proprie a operatorului de anihilare ( )ra kdata de relatia (B.3),0( ) ( )nrira n ke k (3.69)iar ( )rn k este numarul mediu de fotoni de vectori unda ksi vector de polarizare ( ) rsr existenti in campul de radiatie.Deoarece elementele de matrice ale operatorilor de anihilare si creare de fotoni sunt 0 0 0| ( ) |ra a k a a< > si ( )( )*0 0 0| ( ) | ( )r n krin kr ra a k a a n ke +< > r(3.70)se obtine, pentru media pe starea 0| a > a intensitatii campului electric, expresia( )1/ 20 0 3 ( )0( )| | 2 ( ) sin ( )2 (2 )rrrn kka Ea n k s k r kt _ _ < > + , ,rh r(3.71)Pentru a calcula elementul de matrice 20 0| | a E a< > este necesar sa cunoastem elementele de matrice ( )( )2 20 0 020 0 00 0 0 0| ( ) | ( ) ,| ( ) | ( ) | | | ( ),| ( ) | ( ) | | | | ( ) 1,r n krin kr rr r rr r r r ra a k a a n kea a k a k a a n ka a k a k a a aa I a n k + + + +< > < > < >< + > +r (3.72)si

2 22 ( )*0 0 0| ( ) | ( )nri kr ra a k a a n ke +< > (3.73)Ultima relatie se demonstreaza avandu-se in vedere ec. (B.10),20 0| ( ) | ( 1)r r ra N k a n n< > +55Membrul stang al relatiei de mai sus poate fi scris sub forma,2 20 0 0 0 0 0| ( ) | | | | ( ) |r r r r r r r r ra N k a a aa aa a a a aa I a a+ + + +< >< >< + >,adica22 2 20 0 0 0 0 0| ( ) | | ( ) | | |ra N k a a a k a a +< >< > +,de unde rezulta220 0( ) | ( ) | ( )( ( ) 1) ( )nrir r r r rn ke a a k a n k n k n k +< > + sau2( )( )0 0| ( ) | ( )r n krin kr ra a k a n ke +< rSe poate acum calcula elementul de matrice, folosind relatiile (3.72)22 ( ) 2 2 ( ) 20 0 0 0 300 0 0 0( )| | | ( ( ) ( ) | )2(2 )| ( ) ( ) | | ( ) | |rr ri kr t i kr tn nrn n nr nrka E a a e a k e a k aa a ka k a a a a k a + + +

< > < + >

1 < > < >1]hsau20 0 3 ( )0( )| | ( ) 2cos 2 2 2 2 12(2 )rrn kka E a n k k r t 1 _< > + ' ; 1 , ] rrhdeci220 0 30( )| | 4 ( ) sin 12(2 )rrnka E a n k k r t 1 _< > + + 1 , ]h(3.74)Din relatiile (3.70) si (3.73) rezulta expresia corecta pentru fluctuatia relativa data de relatia (3.67).56ANEXA A.Echivalenta dintre campul elctromagnetic liber si un sistem de oscilatori armonici liniari cuanticiDensitatea de energie a campului electromagnetic este2 2 2 22 0001 1( , ) ( ) ( )2 2wrt E B E c B + +(A.1)iar operatorul asociat energiei campului electromagnetic este33( , )radH drwrt(A.2)unde operatorii de camp sunt31/ 223 ( ) ( )3/ 210( ) ( )(2 ) 2i kr t i kr tr r rrA iE dk s a ke a ket + _ 1 1 ] ,h(A.3)Operatorii,r ra a+ sunt adimensionali5731/223 ( ) ( )3/ 210( ) ( ) ( )(2 ) 2i k r t i kr tr r rriB rot A dk n s a ke a kec + _ 1 1 ] ,h(A.4)undenr este versorul directiei vectorului de unda, | |knkSe calculeaza mai intai contributia campului electric la operatorul asociat energiei, adica termenul 3 3 3 323 3 3 3 [( ' ) ( ' ) ] 0' ' 3'[( ' ) ( ' ) ] [( ' ) ( ' ) ]' ' '1' ' '( ') ( ) { ( ) ( ')2 4 (2 )( ) ( ') ( ) ( ') ( ) ( ')i k k r tr r r rr ri k k r t i k k r tr r r r r rdr E dk dk s k s k dra ka k ea ka k e a ka k e a ka k e + + + + + + + + ++ h[( ' ) ( ' ) ]}i k k r t (A.5)Deoarece,3 33 333 [( ' ) ( ' ) ] 3 2 3 [...] 233 [( ') ( ' ) ] 3 3 [...](2 ) ( ' ) ; (2 ) ( ' ) ,(2 ) ( ' ); (2 ) ( ' )i k k r t i t i i ti k k r idr e k ke dr e k kedr e k k dr e k k + + + + + (A.6)Rezulta3 323 3 02 2' ''( ) ( ) ( ) ( )2 4 4( ( ) ( ))[ ( ) ( ) ( ) ( )r r r rri t i tr r r r r rr rhdr E dk a ka k a ka ks k s k a ka ke a ka k e + + + + 1 +' 1 ] + ; h(A.7)Contributia campului magnetic la operatorul hamiltonian al campului electromagnetic in vid este data de o relatie asemanatoare relatiei (A.5) cu singura deosebire ca in locul produsului scalar '( ') ( )r rs k s k r apare produsul mixt ( ) ( ) ( ) ( )' '' r rn s k n s k r rr r r r58( )( ) ( ) ( ) ( )3 3 3323 2 3 3 ' ' 0' 3'3 [( ') ( ' ) ] [( ' ) ( ' ) ]' '[( ' ) ( ' ) ]'1, ' '2 4 (2 )( ) ( ') ( ) ( ')( ) ( ') (r rr ri k k r t i k k r tr r r ri k k r tr r rcdrB rt dk dk n s k n s kdr a ka k e a ka k ea ka k e a k + + + + + + + +

r r rh r r r r r r[( ' ) ( ' ) ]') ( ')i k k r tra k e + + + _

,(A.8)Integrala tripla dupa coordonate introduce functiile Dirac ( ' ) k k si ( ' ) k k +, exact ca in cazul campului electric. Produsele mixte se scriu ''''( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' )( ) ( ' )( ' ) ( ) ( ) ( ' )r rrrrrrrk k s k s k k k k kn s n sk k s k s k k k '+ +(A.9)deoarece' ' ' '( ( ))( ( )) [( ( )) ] ( ) ( ) ( )r r r r r r rrn s k n s k n s k n s k s k s k (A.10)' ' '( ( ))( ' ( )) [( ( )) ] ( ) ( ) ( )r r r r r rn s k n s k n s k n s k s k s k (A.11)Semnul (-) apare in relatia (A.11) deoarece ' n n , din acest motiv termenul introdus de functia Dirac ( ' ) k k + are semnul contrar termenului introdus de aceeasi functie Dirac in expresia (A.7) care da contributia campului electric.Se obtine pentru operatorul asociat energiei campului de radiatie expresia( )33' '1( ) ( ) ( ) ( )2r r r rrH dk k a ka k a ka k + + _ + ,rhsau1( ) ( ) ( ) ( )2r r r rr kH a ka k a ka k + + _ + , r h(A.12)59