49588755 Oct Limite de Functii Cazuri de Nedeterminare
5
CALCULUL LIMITELOR DE FUNCŢII Elev:........................................... PROF. STAN ADRIAN CAZUL DE NEDETERMINARE ∞ ∞ Grup Şcolar „ Costin Nenitescu”,Buzău Exerciţii rezolvate: 1. ∞ → x lim 5 3 2 2 + + − x x = ; 2 5 1 ) 3 2 ( lim 2 − = + + − ∞ → x x x x x 2. −∞ → x lim 6 4 5 3 2 + + x x = −∞ → x lim ) 4 6 1 ( 4 5 3 2 2 x x x + + = −∞ → x lim ) 4 6 1 ( 2 ) 5 3 ( 2 2 x x x x + + = 2 3 − ; 3. −∞ → x lim x x x 5 2 8 3 2 + + −∞ → = x lim ; 0 ) 5 2 ( ) 8 3 ( 2 = + + x x x x 4. −∞ → x lim ( ) x x x x 2 3 1 2 3 3 + − + = −∞ → x lim = + − + + + x x x x x x 2 3 1 3 3 2 3 2 3 −∞ → x lim x x x x 2 3 1 3 3 2 2 + + + =1 5. ∞ → x lim ) 2 ln( ) ln( 4 2 x x x x + + = ∞ → x lim ) 2 1 ( ln ) 1 1 ( ln 3 4 2 x x x x + + = ∞ → x lim ) 2 1 ln( ln 4 ) 1 1 ln( ln 2 3 x x x x + + + + = ; 2 1 6. 5 1 3 2 5 3 1 3 2 3 lim 2 3 5 3 2 lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⋅ + ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x ; 7. 3 2 6 9 3 5 2 lim 6 1 9 3 5 2 lim 6 9 3 5 2 lim 2 2 2 2 − = + + ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + + + −∞ → −∞ → −∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x Probleme propuse: 8. ∞ → x lim 1 1 4 2 + + + x x x ; 9. ∞ → x lim ; 3 2 2 5 3 2 3 x x x − + − 10. −∞ → x lim ; 3 1 2 6 3 2 2 5 x x x − + + − 11. ∞ → x lim 8 3 4 3 2 − + − x x ; 12. ∞ → x lim ) 5 ln( ) 4 ln( 2 2 x x x x − − ; 13. ∞ → x lim ) 5 3 ln( ) 5 3 ln( 2 2 x x x x + + ; 14. −∞ → x lim 4 5 2 − + x x ; 15. −∞ → x lim 7 9 6 4 2 − + x x ; 16. ∞ → x lim 3 ) 4 1 ln( 2 + + x x ; 17. ∞ → x lim x x x x 5 5 3 3 4 2 4 3 + + ; Rezolvă singur exerciţiile: .......................... Temă: 1) −∞ → x lim x x x 5 5 6 4 2 + + ; 2) −∞ → x lim 4 2 2 2 3 + + − x x x ; 3) −∞ → x lim 1 4 5 3 7 2 2 − − + − x x x ; 4) ∞ → x lim 2 3 2 3 2 4 + + − x x x x ; 5) ∞ → x lim 6 4 2 11 5 6 2 3 3 − + − + − x x x x ; 6) ∞ → x lim 5 2 3 2 − + − x x ; 7) −∞ → x lim 1 2 − + x x ; 8) ∞ → x lim 1 2 − + x x ; 9) ∞ → x lim 4 2 + x x ; 10) −∞ → x lim 5 9 6 2 + x x ; 11 ) −∞ → x lim 1 4 4 4 6 3 − + − x x x ; 12) −∞ → x lim 1 1 2 2 − + x x ; 13) ∞ → x lim 4 4 3 2 2 + x x 14) −∞ → x lim 7 8 2 2 − + − x x ; 15) ∞ → x lim ) 5 ln( ) 3 ln( 5 3 x x x x − + ; 16) ∞ → x lim ) 1 ln( ) 1 ln( 3 + + x x e e ;
-
Upload
iganescu-liviu -
Category
Documents
-
view
541 -
download
27
description
metode de rezolvare a cazurilor de nedeterminare la limite
Transcript of 49588755 Oct Limite de Functii Cazuri de Nedeterminare
CALCULUL LIMITELOR DE FUNCŢII Elev:........................................... PROF. STAN ADRIAN
CAZUL DE NEDETERMINARE ∞∞ Grup Şcolar „ Costin
Nenitescu”,Buzău Exerciţii rezolvate:
1. ∞→x
lim532
2 +
+−
xx = ;2
51
)32(lim
2
−=+
+−
∞→
xx
xx
x
2. −∞→x
lim64
532 +
+
xx =
−∞→xlim
)4
61(4
53
22
xx
x
+
+ =−∞→x
lim)
461(2
)53(
2
2
xx
xx
+
+=
23− ;
3. −∞→x
limxx
x5283
2 ++
−∞→=
xlim ;0
)52(
)83(
2=
+
+
xx
xx
4. −∞→x
lim ( )xxxx
2312
33
+−+ =
−∞→xlim =
+−+++
xxxxxx
23133
2
323
−∞→xlim
xxxx23
1332
2
+++ =1
5. ∞→x
lim)2ln(
)ln(4
2
xxxx
++ =
∞→xlim
)21(ln
)11(ln
34
2
xx
xx
+
+=
∞→xlim
)21ln(ln4
)11ln(ln2
3xx
xx
++
++= ;
21
6. 51
3253
1323
lim235
32lim =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=−⋅+
∞→∞→ xx
xx
xxx
xx
x;
7. 3
2693
52lim
6193
52lim
69352lim
222
2 −=
++⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=++
+−∞→−∞→−∞→
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xxx
Probleme propuse:
8. ∞→x
lim11
4
2
+
++
xxx ;
9. ∞→x
lim ;32
253 23
xxx
−+−
10. −∞→x
lim ;31
2632
25
xxx
−++−
11. ∞→x
lim8343
2 −+−
xx ;
12. ∞→x
lim)5ln()4ln(
2
2
xxxx
−− ;
13. ∞→x
lim)53ln()53ln( 22
xx
xx
++ ;
14. −∞→x
lim452
−+
xx ;
15. −∞→x
lim79
642 −
+
xx ;
16. ∞→x
lim3
)41ln( 2
++
x
x
;
17. ∞→x
lim xx
xx
55
33
4243
++ ;
Rezolvă singur exerciţiile: .......................... Temă:
1) −∞→x
limxx
x5564
2 ++ ; 2)
−∞→xlim
42 2
23
++−
xxx ; 3)
−∞→xlim
14537
2
2
−−+−
xxx ; 4)
∞→xlim
232
3
24
++−xxxx ;
5) ∞→x
lim642
115623
3
−+−+−
xxxx ; 6)
∞→xlim
523
2 −+−
xx ; 7)
−∞→xlim
12
−+
xx ; 8)
∞→xlim
12
−+
xx ;
9) ∞→x
lim42 +x
x ; 10)
−∞→xlim
596
2 +xx ; 11 )
−∞→xlim
1444
6
3
−
+−
xxx ; 12)
−∞→xlim
11
2
2
−
+
xx ;
13) ∞→x
lim44
32
2
+x
x 14) −∞→x
lim782
2 −
+−
xx ; 15)
∞→xlim
)5ln()3ln(
5
3
xxxx
−+ ; 16)
∞→xlim
)1ln()1ln( 3
++
x
x
ee ;
Dobre
Text Box
Revista MateInfo.Ro ISSN 2065 - 6432 octombrie 2009
Răspunsuri: 1. 0; 2. ∞ ; 3. ;47−
4. ; 5. -3; 6. 0; 7. -1; 8. 1; 9. 1; 10. -2; 11. -4; 12. ∞ ∞ ; 13. ; 14. 2; 15. ∞ ;53
16. 3.
CALCULUL LIMITELOR DE FUNCŢII Elev:................................. PROF. STAN ADRIAN CAZUL DE NEDETERMINARE ∞−∞ Grup Şcolar „ Costin Nenitescu”,Buzău Exerciţii rezolvate:
1. ∞→x
lim ( )xx 214 2 −+ =∞→x
limxx
xx214
4142
22
++
−+=
∞→xlim
)1411(2x
1
2 ++x
=0;
2. x∞−→x
lim ( )xx 359 2 ++ = ∞→x
lim ( )xxx 359 2 −+− =
= ∞→x
lim ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
−+⋅−
xxxxx359
9592
22
= ∞→x
lim
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−
19
513
5
2xx
x=
35−
;
3. ∞→x
lim ( )3 33 3 24 +−+ xxx =
=∞→x
lim3 233 333 23
33
)2()2()4()4(24
+++⋅+++
+−+
xxxxxxxxx
=
=∞→x
lim
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++⋅++++
+
342
322
342
3 441)21()41(1681
24
xxxxxxx
x=0;
4. =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
⟩→ )3(
23
5lim3
3 xxxx
xx
33
lim⟩→
xx
;)3(
25 2
∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
xxx
Probleme propuse:
5. x
∞→xlim ( )xx −+ 42
6. ∞−→x
lim ( )xxx ++ 22
7. ∞→x
lim ( )33 22 −−+ xxx
8. ∞→x
lim ( )142 2 ++−+ xxx
9. ∞−→x
lim ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+x
xx 2
422
3
10. 2
2lim⟩→
xx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
− 41
23
2xxx
11. ∞→x
lim ( )( ))12(ln23ln −−+ xx
12.∞→x
lim ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−−+
−−−
33245232
22
22
xxxxxxx
Rezolvă singur exerciţiile: .................... Temă: 1.
∞→xlim ( )xx 212 −+ ; 2. 2x
∞→xlim ( )xx −+ 32 ; 3.
∞−→xlim ( )xxx ++ 32 ;
4. ∞→x
lim ( )112 22 −+−−+ xxxx ; 5. ∞→x
lim ( )3 233 23 11 +−−++ xxxx ;
6. ∞→x
lim ( )3221 +++−+ xxx ; 7. ∞−→x
lim ( )xxx ++− 12 ;
8. ∞→x
lim( )
xxxx 532 2 +−−
; 9. ∞→x
lim ( )563 2 +−−− xxx ; 10. ∞−→x
lim ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+x
xx 5
152
3
;
11. 1
1lim⟩→
xx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
− 15
12
2xxx
; 12. 2
limπ
→x⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
xx 2sin1
cos1
; 13. 2
lim→x ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−
− 231
21
22 xxxx;
14. ; 15.
∞→xlim ( )( ))34(ln54ln +−− xx
∞→xlim ( )( ))23(ln62ln 23 +−− xx ;
Răspunsuri: 1. ; 2. 6; 3. ∞−23
− ; 4. 21
; 5. 32
; 6. 0; 7. 21
; 8. 1- 2 ; 9. 0; 10. 0; 11. ; 12. ; 13. ∞− ∞− ∞ ; 14. 0;
15. ∞ .
CALCULUL LIMITELOR DE FUNCŢII Elev:................................. PROF. STAN ADRIAN
CAZUL DE NEDETERMINARE 1 Grup Şcolar „ Costin Nenitescu”,Buzău
∞
Exerciţii rezolvate:
1. 0
lim→x
( )xx3
51 + =0
lim→x
( ) 15
15
51
51 exxx
x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ + ;
2. 3
3lim⟩→
xx
( ) 31
27 −− xx =3
3lim⟩→
xx
( ) 223
)3(2lim326
261 1261
eeex x
xx
x
x ===⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+ −−
−−−−
− ;
3. ∞→x
limx
x
8
411 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − =
∞→xlim 2
24
84 1
411
ee
x
xx
x
==⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ −
−−
;
4.∞→x
lim12
2
22
132112 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++− x
x
xxxx
=∞→x
lim)12)(132(
)124(
124132
2
2
2
2
1321241
−−+
+−
+−−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−++−
+xxx
xx
xxx
xxx
=e
e 11 =−
5. ∞→x
lim4
2
22
11
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−++
x
xxxx =
∞→xlim
142
21
2
2
2
2
121
+−
++−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−+
xxxx
xxx
xxx =
1
412lim2
22
+−
+∞→
xxx
xe x = ; 2e
Exerciţii propuse:
6. 0
lim→x
( ) xx 25
31 + ;
7. 2
2lim⟩→
xx
( ) 631
715 −− xx ;
8. ∞→x
lim1
32 2
311
++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
xx
x;
9. 0
lim→x
( ) xx 61
2sin1 + ;
10. 0
lim→x
( ) xtgxx 21
2 421 ++ ;
11. ∞→x
limx
x
xx 2
32
3242
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ ;
12.0
lim→x
xxx
xx sin
sin
sin −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ;
13. 0
lim→x
xxx1
284
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ + ;
14. 0
0lim⟩→
xx
( ) xxtg 31
21 + ;
15. 0
lim→x
x
xx
1
sin1sin1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
;
Rezolvă singur exerciţiile: ....................
Temă:
1. 0
lim→x
( ) xx 32
61 + ;2.3
lim→x
( ) 31
413 −− xx ; 3. ∞→x
lim3
29
3611
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
x
x; 4.
0lim→x
( ) xx 31
3sin1 + ;
5. 2
limπ
→x ( ) π−xx 2
1sin ; 6.
∞→xlim
32
1313
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
x
xx
; 7. ∞−→x
lim2
11
2
2 x
xxxx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−++
;8. ∞→x
limx
xxxx
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
;
9. 0
lim→x
xxx1
294
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +; 10.
0lim→x
( ) xxex 2cos11
21 −+ ; 11. 3
3lim⟩→
xx
31
)2( −− xx ; 12. 0
lim→x
( ) xctgx2
21+ ;
13*.0
lim→x
21
2coscos x
xx⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 14*. nxn
x 0lim→
xxx1
2 )...1ln( ++++ ; 15*. xx
xe cos1
12
0)(lim −
→x
2
+ ;
Răspunsuri: 1. 2. ;4e ;14
4
ee =− 3. ;2
1
ee = 4. 5. ;e ;21πe 6. ;3 43
4
ee = 7. ;∞ 8. 9. 6; 10. ;∞ ;21
ee =
11. e 12. e. 13. 14. ;2en1
; 15. ;4e
CALCULUL LIMITELOR DE FUNCŢII
Elev:................................. PROF. STAN ADRIAN
CAZUL DE NEDETERMINARE 00
Grup Şcolar „ Costin Nenitescu”,Buzău
Exerciţii rezolvate:
1. 1
lim−→x 23
12
2
++−xx
x =1
lim−→x )2)(1(
)1)(1(+++−
xxxx =
1lim
−→x )2()1(
+−
xx = -2;
2. 0
lim→x x
x412sin =
0lim→x
3312
12sin=⋅
xx ;
3. 0
lim→x x
xxsin
3sin5sin − =0
lim→x
2353sin3
3sin5sin5
5sin=−=⋅⋅−⋅⋅
xx
xx
xx
xx ;
4. 0
lim→x 1
15
3
−−
x
x
ee =
0lim→x 5
353
15
31
5
3
=⋅−
⋅−
x
x
ex
xe ;
5. 0
lim→x x
x3sin
)arcsin1(ln + =0
lim→x 3
131
3sin3arcsin
arcsin)arcsin1(ln
=⋅⋅⋅+
xx
xx
xx
6. 5
lim→x 5
621−
−−−x
xx=
5lim→x )621()5(
621−+−⋅−
+−−xxx
xx =
5
lim→x 4
1)621()5(
5 −=
−+−⋅−+−
xxxx ;
7. 0
lim→x xx
x4
282
3
+−+
=0
lim→x 48
1)482)8()(4(
8833 2
=+++++
−+
xxxx
x ;
8.
=−−
→ axax nn
axlim
n nn n
nn
ax axax
−
−→
lim =naa
aaxaxx
n
n nn nn nn nax ⋅=
+⋅++⋅+ −−−−→ 1221 ...
1lim
Exerciţii propuse:
9. 3
lim→x 65
92
2
+−−xx
x ;
10. 2
lim→x 8
43
2
−−
xx ;
11. 0
lim→x x
x6sin5sin ;
12.2
lim→x )65(sin
)86(sin2
2
+−+−
xxxx ;
13. 3
lim→x 27
13
3
−−−
xe x
;
14. xx
xxxx
x 345678lim
0 −−−+
→
15. 0
lim→x x
xtg4
)31ln( + ;
16. 4
lim→x 15
35−−
−+
xx
;
17. 0
lim→x xx
xx6sin5sin4sin3sin
++
18. 1
lim→x xx
x
−−+
2
2 273 ;
19. 2
lim→x 2
22
2
−−−xxxx
;
20. 0
lim→x x
xtg
3019 15 − ;
Rezolvă singur exerciţiile: ....................
Temă:
1. 0
lim→x 3
35
xxx + ; 2.
0lim→x xx
xx48
3
4
−+ ;3.
0lim→x 2
2
84sin
xx ;4.
0lim→x xtg
xtg36 ; 5.
0lim→x 22
)4sin2(sinx
xx ;
6. 1
lim→x 122
3423
2
−+−+−
xxxxx ; 7.
0lim→x 1
18
5
−−
x
x
ee ; 8.
0lim→x x
e x
613sin − ; 9.
2lim→x 23
2552 +−
−xx
x
;10. 1
lim→x 310
22−−
−x
x
11. 0
lim→x )6sin1(ln
)12sin1(lnxx
++
; 12. 0
lim→x x
x 3273 −+; 13.
3lim→x 34
32
3
+−−
xxxx
; 14. 3
sin
0lim
xee xtgx
x
−→
;
15. 1
lim→x 1
.......2
−−+++
xnxxx n
; 16. 1
lim→x 2
7
)1(1)1(7
−−−−
xxx ; 17. 20
cos1limx
xx
−→
;
Răspunsuri: 1. 1; 2. -2; 3. 2; 4. 21
; 5. 4; 6. – 3; 7. 85
; 8. 21
; 9. 25ln5; 10. -12;11. 2; 12. 271
; 13. 9-27ln3; 14. 21
;
15. 2
)1( nn − ;16. 21; 17. 21
;
