CURS 9 - Limite de functii. Continuitate -...

CURS 9Limite de functii. Continuitate

A. [email protected]

[email protected]

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

Pagina cursului: https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mathematics_ro.html

04 Decembrie 2017

https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mathematics_ro.html

Structura cursului

1 Limite de functiiLimite de functii. Definitii. ProprietatiLimite iterateLimita dupa o directieLimite laterale

2 Continuitatea functiilor de mai multe variabileContinuitatea functiilor de mai multe variabileProprietati ale functiilor continue pe multimi

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 45

Structura cursului




Limite de functii

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice, fie f : A ⊆ X → Y o functie si x0 un punct deacumulare al multimii A.

Definitie

Spunem ca functia f are limita l ∈ Y ın punctul x0 ∈ A′ daca, ∀ V ∈ V(l), ∃U ∈ V(x0), astfelıncat:

∀x ∈ (U\{x0}) ∩A =⇒ f(x) ∈ V.

Vom nota prin lim

xd1→x0

f(x)d2= l sau, echivalent, prin f(x)

d2→ l, cand xd1→ x0.

Definitie

Spunem ca functia f nu are limita l ∈ Y ın punctul x0 ∈ A′, daca si numai daca: ∃V0 ∈ V(l),astfel ıncat, ∀ U ∈ V(x0), ∃xU ∈ (U \ {x0}) ∩A, cu proprietatea ca f(xU ) /∈ V0.

Vom nota acest lucru prin: f(x) 9 l, cand x→ x0.


Limite de functii

Daca vom considera ın locul sistemelor de vecinatati, multimile sferelor (deschise) din X si,respectiv, din Y , atunci vom putea formula definitiile precedente, astfel:

Definitie

Fie f : A ⊆ (X, d1)→ (Y, d2) si x0 ∈ A′. Spunem ca elementul l ∈ Y este limita functiei f ınpunctul x0 daca: ∀Bd2 (l; ε), ∃Bd1 (x0, δ(ε)) astfel ıncat

∀x ∈(Bd1 (x0, δ(ε)) \ {x0}

)∩A are loc: f(x) ∈ Bd2 (l, ε).

Altfel spus, tinand seama de semnificatia multimilor Bd2 (l; ε) si Bd1 (x0, δ(ε)), avem

Definitie

Spunem ca elementul l ∈ Y este limita limx→x0

f(x) daca:

∀ ε > 0,∃ δ(ε) > 0, asa ıncat, ∀x ∈ A pentru care 0 < d1(x, x0) < δ(ε), rezulta d2(f(x), l) < ε.


Limite de functii

Daca (X, ‖ · ‖X) si (Y, ‖ · ‖Y ) sunt spatii normate, atunci distantele d1 si d2 pot fi definite prinintermediul normelor ‖ · ‖X si ‖ · ‖Y , iar definitia precedenta se poate reformula astfel:

Definitie

Fie f : A ⊆ X → Y , x0 ∈ A′ si l ∈ Y . Spunem ca l = limx→x0

f(x) daca:

∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0, asa ıncat, ∀x ∈ A pentru care 0 < ‖x−x0‖X< δ(ε), rezulta ‖f(x)−l‖Y < ε.

Observatie: Cand X = Rn si Y = Rm (cu n,m ∈ N∗), oricare dintre definitiile prezentate panaacum functioneaza, ın raport cu diverse metrici, d1 pe Rn si d2 pe Rm sau ın raport cu diferitenorme pe Rn si pe Rm.


Limite de functii

Teorema

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice, A ⊆ X, A nevida, x0 ∈ A′ si f : A→ Y .Daca exista, atunci limita functiei f ın punctul x0 este unica.

Demonstratie: Presupunem ca exista l1 ∈ Y si l2 ∈ Y , cu l1 6= l2, asa ıncat l1 = limx→x0

f(x) si

l2 = limx→x0

f(x). Cum l1 6= l2, avem d2(l1, l2) > 0. Atunci, luand ε =d2(l1,l2)

3, rezulta ca exista

δ(ε) > 0, astfel ıncat ∀x ∈ A, cu d1(x, x0) < δ(ε), are loc: d2(f(x), l1) <d2(l1,l2)

3.

Pe de alta parte, ∃δ(ε) > 0, astfel ıncat, ∀x ∈ A, cu d1(x, x0) < δ(ε), are loc:

d2(f(x), l2) <d2(l1, l2)

3.

In consecinta, pentru ε = d2(l1,l2)3

> 0, ∃δ(ε) = min{δ(ε), δ(ε)}, astfel ıncat, ∀x ∈ A, cu

d1(x, x0) < δ(ε), au loc, simultan, relatiile d2(f(x), l1) <d2(l1,l2)

3si d2(f(x), l2) <

d2(l1,l2)3

.

Cum d2(l1, l2) ≤ d2(f(x), l1) + d2(f(x), l2), vom gasi d2(l1, l2) <2d2(l1,l2)

3, de unde obtinem

o contradictie.Asadar, elementul l1 = l2, deci limita este unica.


Limite de functii

Teorema

Fie f : A ⊆ (X, d1)→ (Y, d2), x0 ∈ A′ si l ∈ Y . Atunci l = limx→x0

f(x) daca si numai daca

∀ (xn)n≥0 ⊆ A \ {x0}, cu limn→∞

xn = x0 , are loc limn→∞

f(xn) = l.

Demonstratie: “⇒:” Daca l = limx→x0

f(x), atunci, ∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0, astfel ıncat, ∀x ∈ A, cu

0 < d1(x, x0 ) < δ(ε), avem d2(f(x), l) < ε. Cum x0 ∈ A′, atunci, exista cel putin un sir(xn)n≥0, din A \ {x0}, asa ıncat lim

n→∞xn = x0.

Pentru orice sir (xn)n≥0 cu elemente din A \ {x0} si cu limn→∞

xn = x0 , avem: pentru ε = δ(ε),

∃ nε ∈ N∗, astfel ıncat, ∀n ∈ N∗ cu n ≥ nε, are loc d1(xn, x0 ) < ε = δ(ε).Asadar avem d2(f(xn), l) < ε.Prin urmare, cum l = lim

x→x0f(x) si xn −→ x0, atunci pentru (xn)n≥0 ⊆ A \ {x0}, obtinem:

∀ ε > 0,∃nε ∈ N∗ astfel ıncat ∀n ∈ N∗, n ≥ nε ⇒ d2(f(xn), l) < ε.

Asta ınseamna ca limn→∞

f(xn) = l.


Limite de functii

Demonstratie:“⇐:” Presupunem ca, ∀(xn)n≥0 ⊂ A \ {x0}, cu lim

n→∞xn = x0 , avem lim

n→∞f(xn) = l.

Presupunem prin reducere la absurd, ca f(x) 9 l, cand x→ x0 , adica:

∃ε0 > 0, asa ıncat, ∀δ > 0,∃xδ ∈ A \ {x0}, cu d1(xδ , x0 ) < δ si d2(f(xδ), l) ≥ ε0 .

Pentru δ = 1n

, cu n ∈ N∗ arbitrar, exista (xn) ⊂ A\{x0}, asa ıncat

d1(xn, x0 ) < δ si d2(f(xn), l) ≥ ε0 > 0.

Deducem astfel ca exista un sir (xn)n≥0 ⊂ A \ {x0} ıncat xn → x0, pentru n→∞ si totusif(xn) 9 l, cand n→∞, ın contradictie cu ipoteza.

Prin urmare, f(x)d2→ l, cand x

d1→ x0.


Limite de functii

Observatii:

1) Functia f : A ⊆ (X, d1)→ (Y, d2) nu are limita ıntr-un punct x0 ∈ A′ ori de cate ori putempune ın evidenta un sir (xn)n≥0 ⊆ A \ {x0}, cu lim

n→∞xn = x0, pentru care sirul

(f(xn))n≥0 ⊆ Y nu are limita.

2) Atunci cand se pot determina doua siruri, (x′n)n≥0 si (x′′n)n≥0, din A \ {x0}, culimn→∞

x′n = limn→∞

x′′n = x0, pentru care exista limn→∞

f(x′n) = l1 ∈ Y si limn→∞

f(x′′n) = l2 ∈ Y ,

iar l1 6= l2, putem sustine ca f nu are limita ın punctul x0 ∈ A′.Exemplu: Functia f : R2 \ {(0, 0)} → R, definita prin

f(x, y) =xy

x2 + y2,∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)},

nu are limita ın punctul 0R2 = (0, 0), punct care este de acumulare pentru R2 \ {(0, 0)}.


Limite de functii

Propozitie (Criteriul pentru existenta a limitei unei functii ıntr-un punct)

Fie (X, d1) si (Y, d2) spatii metrice, A ⊆ X, A nevida, x0 ∈ A′, f : A→ Y si g : A→ R+.Daca

i) exista l ∈ Y astfel ıncat d2(f(x), l) ≤ g(x), ∀x ∈ A si

ii) limx→x0

g(x) = 0,

atunci limx→x0

f(x) = l.

Demonstratie: Din ii), rezulta ca

∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0, astfel ıncat, ∀x ∈ (Bd1 (x0, δ(ε)) \{x0}) ∩A, avem 0 < g(x) < ε.

Folosind si i), deducem ca ∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0, astfel ıncat, ∀x ∈ A, cu 0 < d1(x, x0) < δ(ε),avem 0 ≤ d2(f(x), l) ≤ g(x) < ε. Asadar, l = lim

x→x0f(x).


Limite de functii

Teorema lui Cauchy-Bolzano

Fie (X, d1) un spatiu metric, (Y, d2) un spatiu metric complet, A ⊆ X, A nevida, x0 ∈ A′ sif : A→ Y .Functia f are limita ın punctul x0 daca si numai daca ∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0, astfel ıncat

∀x′, x′′ ∈ A \ {x0}, cu d1(x′, x0) < δ(ε) si d1(x

′′, x0) < δ(ε), avem d2(f(x′), f(x′′)) < ε.

Demonstratie: “⇒:” Daca f are limita ın x0, atunci exista l ∈ Y astfel ıncat l = limx→x0

f(x):

∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0 asa ıncat ∀x ∈ A, cu 0 < d1(x, x0) < δ(ε) =⇒ d2(f(x), l) <ε

2.

De aici, luand x′ si x′′ din A \ {x0}, asa ıncat d1(x′, x0) < δ(ε) si d1(x′′, x0) < δ(ε), obtinem:

d2(f(x′), f(x′′)) ≤ d2(f(x′), l) + d2(f(x

′′), l) <ε

2+ε

2= ε.


Limite de functii

Demonstratie:

“⇐:” Daca are loc caracterizarea din enunt, deducem ca ∀(xn)n≥1 ⊆ A \ {x0} convergent lax0, avem: ∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0 si ∃nε = n (δ(ε)) ∈ N∗, asa ıncat, ∀n ∈ N∗, cu n ≥ nε si∀m ∈ N∗ cu m ≥ nε, au loc:

d1(xn, x0) < δ(ε) si d1(xm, x0) < δ(ε), de unde d2(f(xn), f(xm)) < ε.

Asadar daca(xn)n≥1 ⊆ A \ {x0} este un sir convergent la x0, atunci (f(xn))n≥1 este un sirCauchy ın Y . Cum (Y, d) este spatiu metric complet, rezulta ca (f(xn))n≥1 este convergent.Fie l = lim

n→∞f(xn) ∈ Y . Tot conditia Cauchy din enunt ne asigura ca l este limita sirului

(f(xn))n≥1, pentru orice sir (xn)n≥1 ⊆ A \ {x0} care este convergent la x0.

Intr-adevar, daca, prin absurd, ar exista (x′n)n≥1 si (x′′n)n≥1 din A \ {x0}, siruri convergente (ınX) la x0, astfel ıncat lim

n→∞f(x′n) = l1 6= l2 = lim

n→∞f(x′′n), atunci ar rezulta: 0 ≤ d2(l1, l2) < ε,

∀ ε > 0. Deci l1 = l2.


Limite de functii

Propozitie

Fie (X, d) un spatiu metric, (Y, ‖ · ‖) un R-spatiu normat, ∅ 6= A ⊆ X, x0 ∈ A′ si f : A→ Y .

(i) Daca exista limx→x0

f(x) = l ∈ Y , atunci exista si limx→x0

‖f(x)‖ = ‖l‖.

(ii) Daca limx→x0

‖f(x)‖ = 0, atunci limx→x0

f(x) = 0Y .

(iii) Daca limx→x0

f(x) = l 6= 0Y , atunci ∃V0 ∈ V(x0) asa ıncat f(x) 6= 0Y ,∀, x ∈ (A ∩ V0)\{x0}.

Demonstratie: (i): Faptul ca exista limx→x0

f(x) = l implica, ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, astfel ıncat

∀x ∈ A, cu 0 < d(x, x0) < δ(ε), avem ‖f(x)− l‖ < ε. Dar cum |‖f(x)‖ − ‖l‖| ≤ ‖f(x)− l‖,deducem ca

∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0 asa ıncat ∀x ∈ A \ {x0}, cu d(x, x0) < δ(ε), avem |‖f(x)‖ − ‖l‖| < ε.

Deci exista limx→x0

‖f(x)‖ = ‖l‖.

(ii): Cum ‖f(x)− 0Y ‖ = ‖f(x)‖, ∀x ∈ A si limx→x0

‖f(x)‖ = 0, rezulta ca ∃ limx→x0

f(x) = 0Y .

(iii): Cum l = limx→x0

f(x) 6= 0Y , atunci ‖l‖ > 0. Pentru ε = ‖l‖, ∃δ(ε) > 0, a.ı.

∀x ∈ (Bd(x0, δ(ε)) ∩A) \ {x0}, avem ‖f(x)− l‖ < ‖l‖, de unde: ‖f(x)‖ ≤ ‖f(x)− l‖ < 2‖l‖.Asadar, exista V0 = Bd(x0, δ(‖l‖)), astfel ıncat f este marginita pe (V0 ∩A) \ {x0} si diferita de0Y , ıntrucat, ın conformitate cu i), avem lim

x→x0‖f(x)‖ = ‖l‖ 6= 0.


Limite de functii

Propozitie

Fie f : A ⊆ (X, d1)→ (Y, d2), A 6= ∅ si x0 ∈ A′. Daca f are limita ın punctul x0, atunci∃V0 ∈ V(x0) astfel ıncat restrictia functiei f la (A ∩ V0) \ {x0} este marginita.

Propozitie

Fie (X, d) un spatiu metric, (Y, ‖ · ‖) un spatiu normat peste R, A ⊆ X, A nevida, si x0 ∈ A′.

(i) Daca f, g : A→ Y sunt astfel ıncat exista l1 = limx→x0

f(x) si l2 = limx→x0

g(x), atunci, pentru

orice α, β ∈ R, functia αf + βg are limita ın punctul x0, iar

limx→x0

(αf + βg) = αl1 + βl2.

(ii) Daca f : A→ Y si ϕ : A→ R sunt astfel ıncat exista l = limx→x0

f(x) si α = limx→x0

ϕ(x),

atunci functia ϕ · f : A→ Y are limita ın punctul x0 iar limx→x0

(ϕ · f)(x) = α · l.


Limite de functii

Observatie: Toate propozitiile si teoremele prezentate pana acum se aplica si cazului functiilorreale, ın care, ın particular, X = Rk si Y = Rm, aceste spatii fiind, dupa caz, privite ca nistespatii metrice sau normate ın mod corespunzator.Un rezultat specific functiilor reale cu valori ın Rn este urmatorul.

Teorema

Fie A ⊆ Rk, A 6= ∅, x0 ∈ A′ si f = (f1, f2, . . . , fm) : A→ Rm, unde fi : A→ R, ∀ i = 1,m.Atunci f are limita l = (l1, l2, . . . , lm) ∈ Rm ın punctul x0 daca si numai daca exista simultan

limx→x0

fi(x) = li,∀ i = 1,m.


Limite de functii

Teorema (Principiul substitutiei)

Fie (X, d1), (Y, d2), (Z, d3) spatii metrice, A ⊆ X, B ⊆ Y , A si B nevide, x0 ∈ A′, y0 ∈ B′,f : A→ B si g : B → Z.Daca:

j) y0 = limx→x0

f(x),

jj) f(x) 6= y0, ∀x ∈ A \ {x0} si

jjj) limy→y0

g(y) = l ∈ Z,

atunci functia compusa g ◦ f : A→ Z are limita ın punctul x0 si

limx→x0

(g ◦ f)(x) = limx→x0

g(f(x)) = l.

Demonstratie:Cum lim

y→y0g(y) = l, rezulta ca ∀W ∈ V(l), ∃V din V(y0) asa ıncat ∀ y ∈ (V \ {y0}) ∩B, avem

g(y) ∈W . In acelasi timp, deoarece limx→x0

f(x) = y0 si f ia valori ın B \ {y0}, ınseamna ca,

pentru V , exista U ∈ V(x0) astfel ıncat, ∀x ∈ (U \ {x0}) ∩A, sa avem f(x) ∈ (V \ {y0}) ∩B.Prin urmare, ∀W ∈ V(l), ∃U ∈ V(x0) asa ıncat, ∀x ∈ (U \ {x0}) ∩A sa aiba imaginea sa pring ◦ f ın W .Deci lim

x→x0g(f(x)) = l.


Structura cursului




Limite iterate

Pentru functia vectoriala de p variabile rale (p ≥ 2) f : A ⊆ Rp → Rq , fie functiile sale partiale

f[k] : xk 7→ f(x1, x2, . . . , xk−1, xk, xk+1, . . . , xp), ∀ k = 1, p

care sunt definite pe A[k] = {xk ∈ R | (x1, x2, . . . , xp) ∈ A} si cu valori ın Rq , ∀ k = 1, p.

In cazul ın care x0k este un punct de acumulare al multimii A[k] (k ∈ 1, p), se poate vorbi despreexistenta limitei lim

xk→x0kf[k](xk) care ar fi sa fie un element din Rq ce depinde parametric de

celelalte variabile x1, x2, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xp. S-ar putea apoi considera limita

limxj→x0j

(lim

xk→x0kf(x1, . . . , xj , . . . , xk, . . . , xp)

), k, j ∈ 1, p

Aceasta va depinde de celelalte p− 2 variabile (i = 1, p) diferite de xj si xk.Daca se considera limitele dupa toate variabilele xi (i = 1, p), luate pe rand, atunci

(∗) limxi1→x

0i1

limxi2→x

0i2

. . . limxip→x

0ip

f(x1, x2, . . . , xp) . . .

, cu {i1, i2, . . . , ip} = 1, p,

va reprezenta un element din Rq care nu mai depinde de nici una dintre variabilele x1, x2, . . . , xp.


Limite iterate

Definitie

Vom spune ca limita

limxi1→x

0i1

limxi2→x

0i2

. . . limxip→x

0ip

f(x1, x2, . . . , xp) . . .

, cu {i1, i2, . . . , ip} = {1, 2, . . . , p},

se numeste limita iterata a functiei f : A ⊆ Rp → Rq , ın punctul x0 = (x01, x02, . . . , x

0p) ∈ A′, ın

ordinea (i1, i2, . . . , ip).

Observatie:Pentru o functie f : A ⊆ Rp → Rq , se poate vorbi despre p! limite iterate, ıntr-un punct x0 ∈ A′.De exemplu, pentru cazul p = 3, limitele iterate ın cauza sunt urmatoarele:

l123 = limx1→x01

(lim

x2→x02

(lim

x3→x03f(x1, x2, x3)

))l132 = lim

x1→x01

(lim

x3→x03

(lim

x2→x02f(x1, x2, x3)

))

l213 = limx2→x02

(lim

x1→x01

(lim

x3→x03f(x1, x2, x3)

))l231 = lim

x2→x02

(lim

x3→x03

(lim

x1→x01f(x1, x2, x3)

))

l312 = limx3→x03

(lim

x1→x01

(lim

x2→x02f(x1, x2, x3)

))l321 = lim

x3→x03

(lim

x2→x02

(lim

x1→x01f(x1, x2, x3)

))


Limite iterate

Propozitie

Fie f : A ⊆ Rp → Rq , si fie x0 = (x01, x02, . . . , x

0p) ∈ A′. Daca pentru functia f exista atat o

limita iterata ın x0, li1,i2,...,ip = limxi1→x

0i1

limxi2→x

0i2

. . . limxip→x

0ip

f(x1, x2, . . . , xp) . . .

, cat

si limita globala limx→x0

f(x) = l , atunci l = li1,i2,...,ip .

Observatii:a) Daca functia f : A ⊆ Rp → Rq are doua limite iterate diferite ıntr-un acelasi punct x0 ∈ A′,

atunci f nu are limita globala ın punctul respectiv.b) Daca exista numai o parte dintre limitele iterate ale unei functii f : A ⊆ Rp → Rq ıntr-un

punct x0 ∈ A′, nu ınseamna ca exista si celelalte limite iterate. Cu atat mai putin ca existalimita globala a lui f ın x0.

c) Chiar daca toate limitele iterate exista si sunt egale, nu se poate afirma ca exista limitaglobala.Exemplu: Functia f : A ⊆ R2 → R, unde A = R2\{(0, 0)}, definita prin

f(x1, x2) =x21x

22

x21x22 + (x1 − x2)2

, are limitele iterate l12 = 0 = l21, dar nu si limita globala.

d) Pentru o functie f : A ⊆ Rp → Rq , este posibil sa nu existe limitele iterate ıntr-un punctx0 ∈ A′ si totusi sa existe limita globala, a lui f, ın acel punct.Exemplu: Fie multimea A = {(x1, x2) ∈ R2 | x1 6= 0 si x2 6= 0} ⊆ R2, si functia f : A→ R,definita prin f(x1, x2) = (x1 + x2) sin

1x1

sin 1x2

, ∀ (x1, x2) ∈ A.


Structura cursului




Limita dupa o directie

Definitie

Fie A ⊆ Rp, o multime nevida, f : A→ Rq si x0 ∈ A′.a) Spunem ca functia f are limita ın x0, dupa directia u ∈ Rp daca functia

t 7→ f(x0 + tu), cu t ∈ {t ≥ 0 | x0 + tu ∈ A} 6= ∅,

are limita ın t = 0, adica daca exista l0u ∈ Rq astfel ıncat:

l0u = limt↘0

f(x0 + tu).

b) Cand u = ek = (0, . . . , 0,k1, 0, . . . , 0), k ∈ {1, 2, . . . , p}, atunci l0ek se numeste limita

partiala a functiei f ın punctul x0.

Observatie: Nu pentru orice functie se poate defini limita ıntr-un punct dupa o directie u sau ek.

Este posibil ca multimea {t ∈ R+ | x0 + tu ∈ A} = ∅, sau{t ∈ R+ | x0 + tek ∈ A} = ∅, sau 0ar putea sa nu fie punct de acumulare pentru asemenea multimi, ori, pur si simplu, sa nu existelimita ın cauza.



Propozitie

Fie f : A ⊆ Rp → Rq , A nevida, x0 ∈ A′ si u ∈ Rp, asa ıncat x0 sa fie punct de acumulare sipentru multimea A ∩ {x0 + tu | t ≥ 0} 6= ∅.Daca exista lim

x→x0f(x) = l ∈ Rq , atunci exista si lim

t↘0f(x0 + tu) = lu si avem lu = l.

In particular, pentru u = ek, propozitia precedenta se refera la raportul dintre limita globala a luif ın x0 si limita partiala, de rang k, a lui f ın x0:

Daca exista l = limx→x0

f(x), atunci exista si lk = limt↘0

f(x0 + tek) si l = lk.



Observatie: Existenta limitei dupa una sau mai multe directii (chiar si dupa toate directiileposibile) nu garanteaza existenta limitei globale a unei functii ıntr-un punct.

Exemplu: Functia f : R2 \ {(0, 0)} → R, definita prin f(x1, x2) =x1x2

x21 + x22nu are limita globala

ın punctul (0, 0), dar are limita dupa orice directie u 6= 0R2 , caci:

limt↘0

f(0 + tu1, 0 + tu2) = limt↘0

t2u1u2

t2(u21 + u22)=

u1u2

u21 + u22.

Cand u = e1 = (1, 0) sau u = e2 = (0, 1), limitele partiale ale acestei functii ın punctul 0R2 suntegale cu 0.


Structura cursului




Limite laterale

Pentru functii reale de argument scalar f : A ⊆ R→ Rq se poate vorbi si despre notiunea delimita laterala ıntr-un punct x0 ∈ A′.

Daca x0 este un punct de acumulare la stanga pentru A, adica, prin definitie, punct deacumulare al multimii As = {x ∈ A | x < x0}, atunci spunem ca f are limita la stanga ınx0 (notata cu ls, sau cu f(x−0 ), ori f(x0 − 0)) daca f|As

are limita globala ın x0.

Daca x0 este un punct de acumulare la dreapta pentru A, adica punct de acumulare almultimii Ad = {x ∈ A | x > x0}, atunci se spune ca f are limita la dreapta ın x0 (notata culd, sau cu f(x+0 ) ori f(x0 + 0)) daca f|Ad

are limita globala ın x0.


Limite laterale

Propozitie

Spunem ca ls ∈ Rq este limita la stanga a unei functii f : A ⊆ R→ Rq ıntr-un punct x0 deacumulare la stanga lui A daca si numai daca, pentru orice sir strict crescator (xn)n∈N∗ ⊆ A, cu

xn → x0, are loc f(xn)Rq

−−−−→n→∞

ls.

Propozitie

Spunem ca ld ∈ Rq este limita la dreapta a unei functii f : A ⊆ R→ Rq ıntr-un punct x0 deacumulare la dreapta lui A daca si numai daca, pentru orice sir strict descrescator (xn)n∈N∗ ⊆ A,

cu xn → x0, are loc f(xn)Rq

−−−−→n→∞

ld.

Propozitie

Spunem ca o functie f : A ⊆ R→ Rq are limita (globala) ın x0 ∈ A′ daca si numai daca existaatat limita la dreapta, cat si limita la stanga a lui f ın x0 si cele doua limite laterale sunt egale.


Limite fundamentale

In general, din punct de vedere practic, pentru functiile reale scalar-scalare sau scalar-vectoriale(luate pe componente), calculul limitei ıntr-un punct se realizeaza, mai ales ın cazuri denedeterminare, prin folosirea unor limite remarcabile (fundamentale), cum sunt urmatoarele:

1) limt→0

(1 + t)1t = e; 5) lim

t→0

ln (1 + t)

t= 1;

2) limt→±∞

(1 +

1

t

)t= e; 6) lim

t→0

et − 1

t= 1;

3) limt→0

loga (1 + t)

t=

1

ln a, a > 0, a 6= 1; 7) lim

t→0

sin t

t= 1;

4) limt→0

at − 1

t= ln a, a > 0, a 6= 1; 8) lim

t→0

arcsin t

t= 1;

5) limt→0

(1 + t)r − 1

t= r, r ∈ R; 9) lim

t→0

arctg t

t= 1.


Structura cursului




Continuitatea functiilor de mai multe variabile

Definitie

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice, A ⊆ X, A nevida, f : A→ Y , x0 ∈ A, ∅ 6= A ⊆ A.

i) Functia f se numeste continua ın x0 daca exista limita (globala) a lui f ın x0 si valoareaacestei limite este egala cu f(x0), sau daca x0 este punct izolat al lui A.

ii) Functia f se spune ca este continua pe multimea A daca f este continua ın orice punct allui A.

Vom nota C(X;Y ) = {f : X → Y | f continua }.

Definitie

O functie f : A ⊆ (X, d1)→ (Y, d2) care nu este continua ıntr-un punct x0 ∈ A se numestefunctie discontinua ın x0, iar punctul x0 se numeste punct de discontinuitate al lui f .



Tinand seama de definitiile notiunii de limita a unei functii ıntr-un punct, se pot da diversecaracterizari notiunii de continuitate a lui f ın x0 ∈ A, prin ınlocuirea lui l cu f(x0).

Definitie

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice, A ⊆ X, A nevida, f : A→ Y , x0 ∈ A.

i) Spunem ca functia f este continua ın x0 ∈ A daca

∀V ∈ V(f(x0)), ∃U ∈ V(x0), astfel ıncat ∀x ∈ U ∩A sa avem f(x) ∈ V.

ii) Spunem ca functia f este continua ın x0 ∈ A daca

∀V ∈ V(f(x0)), ∃U ∈ V(x0), astfel ıncat f(U ∩A) ⊂ V.



Propozitie (Caracterizarea ε− δ a continuitatii)

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice, A ⊆ X, A nevida, f : A→ Y , x0 ∈ A. Atunci f estecontinua ın x0 ∈ A daca si numai daca

∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 astfel ıncat d1(x, x0) < δ(ε), ∀x ∈ A sa avem d2(f(x), f(x0)) < ε.

Propozitie (Caracterizarea continuitatii cu siruri)

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice, A ⊆ X, A nevida, f : A→ Y , x0 ∈ A. Atunci f estecontinua ın x0 ∈ A daca si numai daca pentru orice (xn)n∈N∗ ⊆ A astfel ıncat lim

n→∞xn = x0,

avem limn→∞

f(xn) = f(x0).



Teorema de caracterizare a continuitatii unei functii pe un spatiu metric

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice, iar f : X → Y o functie. Atunci sunt echivalenteurmatoarele afirmatii:

1) f este continua pe X;

2) ∀D ∈ τd2 ⇒ f−1(D) ∈ τd1 ;

3) ∀F ⊆ Y , cu Y \ F ∈ τd2 ⇒ X \ f−1(F ) ∈ τd1 ;

4) f(A) ⊆ f(A), ∀A ∈ P(X),

unde τd1 si τd2 sunt topologiile induse de metricile d1, si, respectiv d2.



Definitie (Prelungirea prin continuitate a unei functii)

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice, A ⊆ X, A 6= ∅ si x0 ∈ A ∩A′. De asemenea, fief : A \ {x0} → Y , pentru care exista l = lim

x→x0f(x) ∈ Y .

Atunci functia f : A→ Y , definita prin

f(x) =

f(x), daca x ∈ A \ {x0}

l, daca x = x0

,

se numeste prelungire a lui f la A, prin continuitate ın punctul x0.

Faptul ca f este continua ın x0, reiese imediat utilizand ca limx→x0x 6=x0

f(x) = limx→x0x 6=x0

f(x) = l = f(x0).



Definitie

Fie (X, d1) si (Y, d2) doua spatii metrice.

a) Spunem ca o aplicatie f : X → Y se numeste homeomorfism daca f este bijectie, iar f sif−1 sunt continue pe X si respectiv Y (altfel spus, f este o bijectie bicontinua).

b) Doua spatii metrice (X, d1) si (Y, d2) se numesc homeomorfe daca exista un homeomorfismf : X → Y .

Definitie

Fie A ⊆ Rp, A nevida, si fie f : A→ Rq .Spunem ca functia f se numeste uniform continua pe o multime A ⊆ A daca:

∀ ε > 0, ∃ δε > 0, astfel ıncat ∀ x′, x′′ ∈ A, cu ‖x′−x′′‖Rp < δε, are loc: ‖f(x′)−f(x′′)‖Rq < ε.



Functie uniform continua



Functie ce nu este uniform continua



Propozitie

O functie f : A ⊆ Rp → Rq uniform continua pe o multime A ⊆ A este, ın mod necesar,continua pe A si deci continua ın fiecare punct din A.

Observatii:

a) Reciproca Propozitiei nu este adevarata, ıntrucat exista functii continue (pe o multime) carenu sunt uniform continue (pe respectiva multime).

b) Daca o functie reala, cu valori vectoriale este uniform continua pe o multime, atunci sifunctiile ei componente sunt uniform continue pe acea multime. Nu si reciproc.



Definitie

a) O functie f : A ⊆ Rp → Rq se numeste lipschitziana daca exista L ∈ R∗+ astfel ıncat

‖f(x′)− f(x′′)‖Rq ≤ L‖x′ − x′′‖Rp ,∀x′, x′′ ∈ A.

b) O functie f : A ⊆ Rp → Rq se numeste holderiana, de ordin α ∈ (0, 1], daca exista M ∈ R∗+asa ıncat

‖f(x′)− f(x′′)‖Rq ≤M‖x′ − x′′‖αRp , ∀x′, x′′ ∈ A.

Observatie: Orice functie lipschitziana este o functie holderiana de ordin α = 1.

Teorema

Orice functie holderiana f : A ⊆ Rp → Rq este uniform continua pe A.

Demonstratie: Fie f o functie holderiana. Atunci, deducem ca, ∀ ε > 0, ∃δ ε =( ε

M

)1/α> 0,

astfel ıncat, ∀x′, x′′ ∈ A, cu ‖x′ − x′′‖Rp < δε, are loc relatia:

‖f(x′)− f(x′′)‖Rq ≤M‖x′ − x′′‖αRp < Mδαε = ε, ∀x′, x′′ ∈ A.

Deci f este uniform continua pe A.


Structura cursului




Proprietati ale functiilor continue pe multimi

Teorema (Compunerea functiilor continue)

Fie A ⊂ Rm, B ⊂ Rn si C ⊂ Rp, cu m,n, p ≥ 1 si fie functiile f : A→ B, g : B → C.

1. Daca f este continua ın x0 ∈ A, iar g este continua ın f(x0), atunci g ◦ f este continua ınx0.

2. Daca f este continua pe A, iar g este continua pe B, atunci g ◦ f este continua pe A.

Definitie

Fie (X, d) un spatiu metric. Spunem ca multimea A ⊂ X este compacta daca din orice sir(xn)n∈N∗ se poate extrage un subsir convergent la un punct din A.

Observatii:

1 Orice interval de forma [a, b] ⊂ R este o multime compacta. (Orice sir convergent cu termenidin acest interval are limita tot ın [a, b]).

2 Intervalele (a, b], [a, b) si intervalul deschis (a, b) nu sunt compacte deoarece nu sunt ınchise.Exista siruri care converg la fiecare din extremitatile intervalelor.

3 In Rn o multime este compacta daca si numai daca este marginita si ınchisa.



Teorema

O functie continua f : A ⊆ Rp → Rq transforma orice submultime compacta A ⊆ A ıntr-omultime f(A) compacta.

Teorema lui Weierstrass

Fie f : A ⊆ Rp → R continua, unde A este o multime compacta (ın raport cu toplogia uzuala peRp). Atunci functia f este marginita si ısi atinge efectiv marginile.

Demonstratie: Cum multimea A este compacta, rezulta ca f(A) este o multime compacta ın R.Deci f(A) este marginita si ınchisa.Fie m = inf

x∈Af(x) si M = sup

x∈Af(x). Cum f(A) este ınchisa, reiese ca m si M apartin lui

f(A) ⊆ R si exista xm, xM ∈ A astfel ıncat f(xm) = m si f(xM ) =M.



Teorema lui Cantor

Daca o functie f : A ⊆ Rp → Rq este continua pe o multime compacta A ⊆ A, atunci ea esteuniform continua pe A.

Demonstratie: Prin reducere la absurd, presupunem ca f nu este uniform continua pe A, adica:

∃ ε0 > 0, asa ıncat ∀ δ > 0, ∃ x′δ, x′′δ ∈ A, cu ‖x′δ − x

′′δ ‖Rp < δ si ‖f(x′δ)− f(x

′′δ )‖Rq ≥ ε0,

unde ‖ · ‖Rp si ‖ · ‖Rq sunt normele euclidiene uzuale.

Atunci, pentru δ =1

n, n ∈ N∗, ∃ x′n, x′′n ∈ A, cu ‖x′n − x′′n‖Rp < 1

nsi ‖f(x′n)− f(x′′n)‖Rq ≥ ε0.

Cum A este compacta ın Rp, sirul (x′n)n∈N∗ ⊆ A contine un subsir convergent la un element

x ∈ A. Din relatia ‖x′nk− x′′nk

‖Rp <1

nk, ∀ k ∈ N∗, deducem ca sirul (x′′n)n∈N∗ ⊆ A este

convergent si el la x ∈ A. Astfel, ın virtutea continuitatii lui f , obtinemlimk→∞

f(x′nk) = f(x0) = lim

k→∞f(x′′nk

), ceea ce este ın contradictie cu relatia

‖f(x′nk)− f(x′′nk

)‖Rq ≥ ε0 > 0.Prin urmare, presupunerea initiala este falsa, ceea ce ınseamna ca, de fapt, f este uniformcontinua pe multimea compacta A.



Propozitie

Daca f : Rp → Rq este o aplicatie liniara, atunci f este continua.

Demonstratie: Cum f este liniara de la Rp la Rq , considerand raportarea la bazele canonice dinRp si Rq , se poate spune ca exista o matrice A ∈Mq×p(R) asa ıncat f(x) = Ax, ∀ x ∈ Rp. Deaici, prin utilizarea normelor euclidiene pe Rp si Rq , deducem ca avem ‖f(x)‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖,

∀ x ∈ Rp, unde ‖A‖ =

∥∥∥∥∥(aij)1≤i≤q1≤j≤p

∥∥∥∥∥ =

p,q∑i,j=1

a2ij

1/2

. In consecinta, are loc relatia

‖f(x)− f(y)‖ ≤ ‖A‖ ‖x− y‖, ∀ x, y ∈ Rp,

ın virtutea careia rezulta ca f este continua (chiar uniform continua) pe Rp.


CURS 9 - Limite de functii. Continuitate -...

Documents

Transcript of CURS 9 - Limite de functii. Continuitate -...