Geometria poligoanelor. AriiCUPRINSINTRODUCERE CAPITOLUL I. SUPRAFEE POLIGONALEI.1. Poligoane. Suprafee poligonale convexe I.2. Descompunerea suprafeelor poligonale I.3. Echivalena pe mulimea suprafeelor poligonale CAPITOLUL II. ARIA SUPRAFEELOR POLIGONALE II.1. Aria suprafeelor poligonale II.2. Calculul ariilor suprafeelor poligonale II.3. Suprafee msurabile. Aria discului II.4. Compararea ariilorCAPITOLUL III. ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA GEOMETRIEI III.1. Aspecte psiho-pedagogice ale predrii geometriei III.2. Aspecte metodice privind predarea noiunii de arie n gimnaziu III.3. Probleme cu arii BIBLIOGRAFIE ANEXE366122030304145516060657179812Geometria poligoanelor. AriiINTRODUCERECa tiin, geometria i are originile n antichitate. Primele cercetri de geometrie, consemnate ndocumente, dateaz de patrumii de ani i erau destinatemsurtorilor deteren, construciilor i calculelor astronomice. De aici i cuvntul geometrie msurarea pmntului.Una dinprimele cri de geometrie, rmas dinacea perioad este semnat de matematicianul Ahmes, carte ce trateaz despre dreptunghiuri, triunghiuri isoscelei unghiuri i careprezinti oprimrelaiecepermite calculul arieicercului i anume aria unui cerc de raz R poate fi aproximat prin aria unui ptrat de latur916R(ceea ce conduce la oaproximare a numrului egalcu3,160). Smai amintimi faptul cvechii egipteni cunoteau c un triunghi cu laturile 3, 4, 5, uniti este dreptunghic i foloseau acest triunghi pentru construcia dreptelor perpendiculare i n particular pentru fixarea direciei Est-Vest.Preocupri ndezvoltareamatematicii, ngeneral, i ageometriei, n moddeosebit, auavut Thales dinMilet (640-548.e.n.), Pitagora(580-500 .e.n.), Aristotel (384-322 .e.n.), Arhimede ( 287-212 .e.n.), Euclid (300 .e.n.) i foarte muli alii.Reinemaportul deosebit celaavut Euclidnstudiul geometriei prin lucrarea sa Elemente, care cuprinde 13 cri ce conin rezultate de geometrie i, dei nu n totalitate sau sub aceeai form, unele din axiomele sau postulatele formulate de el (celebrul postulat V) se regsesc printre axiomele geometriei de azi pentru c la el apare prima dat formularea postulatului al V-lea, postulat ce st la baza geometriei studiate n coal; aceasta poart numele geometrieeuclidian. Printreproblemelestudiatenprimacartegsimi 3Geometria poligoanelor. Ariicteva legate de teoria ariilor, egalitatea lor. Scopul lucrrii este de a ordona i demonstra teoremele descoperite depredecesorii si. Aici afost iniiat i tradiia de a indica sfritul unei demonstraii prin cuvinteleQuad erat demonstrandum (ceea ce trebuia demonstrat ).Dup cum am spus, lui Arhimede i se datoreaz numeroase rezultate, dar nu numai n geometrie. O proprietate a mulimii numerelor reale, cunoscut sub numele de axioma lui Arhimede st la baza teoriei msurrii n particular, teoria ariilor. Iat forma sub care apare ea azi: pentru orice numr real x exist un numr ntreg n unic, astfel nct n x 1 ) de puncte este convex.Exemplul 2. Orice dreapt, semidreapt, segment sunt mulimi convexe.Exemplul 3. Un plan, semiplan sunt mulimi convexe.n figura 1.1 deosebim dou tipuri de mulimi:6Geometria poligoanelor. AriiFigura 1.1.Discul cu centrul nOi raza R( ex. a ) este mulime convex; exemplele b) i c) nu sunt mulimi convexe. Deducem, deci, c pentru a arta c o mulime este convex este suficient s punem n eviden dou puncte S, T ale acestei mulimi pentru care (ST) este inclus n mulime.Teorema 1.1.1Interseciaadoumulimi convexeesteomulime convex.Demonstraie:FieM1iM2dou mulimi convexe i S, T M1 M2. Atunci S, T M1 i S, T M2 . Cum M1 i M2 sunt mulimi convexe, avem (ST)M1i (ST)M2. De aici deducem (ST)M1M2, ceea ce ne arat c i M1 M2 este mulime convex.Generalizare.Orice intersecie de mulimi convexe este omulime convex.nbazaacestei teoreme, interiorul unui unghi, interiorul unui triunghi sunt mulimi convexe.Observaia 1.Exempleledin figura 1.1 b), c) ne arat c reuniunea a dou (sau mai multe) mulimi convexe nu este n general o mulime convex.7Geometria poligoanelor. AriiDefiniia 1.1.2. Fie P1, P2, , Pn, Pn+1 n+1 puncte situate ntr-un plan. Se numete linie poligonal (de la P1 la Pn+1) mulimea punctelor L = [P1P2] U U [PnPn+1]. Punctele P1, P2, , Pn, Pn+1se numesc vrfurileliniei poligonale L, iar segmentele [P1P2], [P2P3], , [PnPn+1] se numesc laturile liniei L.Dou vrfuri Pk, Pk+1 se numesc vrfuri vecine (consecutive, alturate), iar laturile [Pk-1Pk], [PkPk+1] laturi vecine ( consecutive, alturate ).Definiia 1.1.3Olinie poligonal se numetesimpldac oricare dou laturi vecine sunt disjuncte.Exemple de linii poligonale: a)b) c) d) e)Figura 1.2Exemplele din figura 1.2. c); d); e);reprezint linii poligonale simple.8Geometria poligoanelor. AriiDefiniia 1.1.4. O linie poligonal P=P1P2 . . . Pn Pn +1 se numete poligon (cu n laturi) dac : i. Pn+1 = P1 (adic P este o linie poligonal nchis)ii. este simpliii. oricare dou laturi nu aparin aceleai drepte(laturivecine).Notm un poligon P cu vrfurile P1,P2,. . . , Pn+1 cu P=P1 P2. . .Pn sau mai simplu P.Exemplele din figura 1.2. e),d) reprezint un poligon cu 4 laturi (vrfuri) respectiv 5 laturi (vrfuri). De astfel, etimologia cuvntului poligon este greceasc, polys =numeros,gonia, gonos =unghi, unghiuri.In concordant cu acestea este i utilizarea prescurtriin-gon pentru un poligon cu n vrfuri (pentagon, hexagon, octogon etc.). Fac excepie poligoanele cu trei unghiuri (triunghiuri)sau cu patru unghiuri (patrulater). Definiia 1.1.5.Numim frontiera poligonului P mulimea Fr P alctuit din vrfuri i din punctele interioare laturilor poligonului P, adic ceea ce apare cnd desenm poligonul P.Definiia 1. 1.6. Segmentul [Pi Pj ]care nu sunt laturi se numesc diagonale.Definiia 1. 1. 7. Un poligon P este convex dac oricare ar fi [ Pk Pk+1] o latur a sa exist un semiplan delimitatde dreapta Pk Pk+1care conine toate vrfurile sale cu excepia vrfurilor Pk i Pk+1.a)b)9Geometria poligoanelor. Arii EMBED PBrush c)Figura 1.3 Exemplele a) i b) din figura 1.3 reprezint poligoane convexe ; poligonul c) nu este convex.Definiia1. 1. 8.FiePunpoligonconvex. Sedefineteinteriorulpoligonuluiconvexcafiindinterseciasemiplanelordelimitatedesuporturile laturilor poligonului i care coninvrfurile nesituate pe laturile respective (figura 1.4). EMBED PBrushFigura 1.4Teorema 1. 1. 2. Un poligon convex nu este o mulime convex, dar interiorul unui poligon convex este o mulime convex.Demonstraia este imediat, dac inem seama de definiia 1.1.2. i 1.1.4. i observaia 1 (n cazul poligonului) i pentru interiorul poligonului de definiia 1.1.8. i teorema 1.1.1. Reamintim n continuare cteva clase de poligoane des utilizate n practic.10Geometria poligoanelor. AriiDefiniia 1.1.9 1. Patrulaterul cu dou laturi paralele se numete trapez;2. Patrulaterul cu laturile paralele dou cte dou se numete paralelogram;3. Paralelogramul cu dou laturi vecine perpendiculare se numete dreptunghi;4. Paralelogramul cu laturile congruente se numete romb;5. Un romb care este dreptunghi se numete ptrat. Figura 1.5Definiia1.1.10.Unpoligonconvexsenumeteregulatdactoate laturile i unghiurile sunt congruente.11Geometria poligoanelor. AriiDintre toate poligoanele regulate cu denumiri consacrate amintim triunghiul echilateral i ptratul.Pentru n laturi( n > 4)se va folosi terminologia: pentagon regulat etc.Observaia2.Oricepoligonregulat esteconvexi inscriptibil ntr-un cerc i se poate circumscrie unui cerc. Definiia 1.1.11. Pentru orice poligon regulat, definim apotemaca fiind distana de la centru cercului circumscris la laturi ( sau raza cercului nscris). Definiia1.1.12.Senumetesuprafapoligonal[P]. reuniuneaunui poligon convex P cu interiorul sau Int (P), adic [P]=def P Int P. Poligonul P seziceclimiteazpe[P] (sauestefrontieralui [P] ), iar Int (P) semai numete interiorul lui[P].Osuprafa poligonal cu trei laturi se numete suprafa trilateral (triunghiular), cu patru laturi suprafa patrulater, etc.Definiia 1.1.13. Se numete suprafa poligonalo mulime de puncte din plan, care este reuniunea unui numr finit de suprafee poligonale convexe, acestea avnd dou cte dou interioarele disjuncte.I.2. DescompunereasuprafeelorpoligonaleDefiniiatriunghiurilor congruente(sau, ngeneral, apoligoanelor congruente) s-aintrodus pornind de la axiomele de congruen. Intuitivdou poligoanesunt congruente dacprin suprapunereelecoincid exact, ntoate prilelor (laturi, unghiuri). In acest caz elementele lor congruente se numesc omoloage.12Geometria poligoanelor. AriiIntuiianearatcvatrebui sdeterminmocorespondenbijectiv ntre elementele omoloage ale celor dou poligoane pentru a preciza congruena lor. Figura 1.6De exemplu, n figura 1.6. poligoanele ABCDsi EFGHsunt congruente dar nu n aceast ordine. Corespondena ntre elementeleomoloage este F A ;G B ;H C i E D i respectiv,) ( ) ( FG AB ,) ( ) ( GH BC , ) ( ) ( HE CD , ) ( ) ( EF AD .Prin urmare, conformacestei corespondene si innd seama de elementeleomoloage corespondenase mai scrie ABCD FGHE. Se pune problema cum putem stabili congruena suprafeelor poligonale (sau, mai general, asemnarea lor). Fie deci M i M doumulimi de puncte din plan. Definiia1.2.1.MulimileM iM'sunt congruente si vomnota M M ' dacexisto aplicaief : M M astfel ca pentru orice pereche depuncte P , Q Msavem ( P Q ) ( f ( P) f (Q ) ). Funcia f cu aceastproprietate se numete izometrie. ( fig.1.7).13Geometria poligoanelor. AriiFigura 1.7Definiia1.2.2.MulimileM iMsuntasemeneai vomnota M ~Mdac exist un numr k > 0 i o funcie bijectiv f:M M astfel ca pentru orice pereche de puncte P, Q Msavem : PQ= kf ( P ) f ( Q ).Funcia f cu aceastproprietate se numete asemnare, iar numrul k se numete raport de asemnare. S facemobservaia c pentru k=1avem congruena. ( fig.1.8. ) EMBED PBrushFigura 1.8Teorema1.2.1.Dac triunghiurile ABCi ABC sunt congruente, atunci [ ABC ] [ ABC]. Demonstraie. Fie ABC i ABC ifie E, F Int ( ABC), (fig. 1.9).14Geometria poligoanelor. AriiFigura 1.9Construimaplicaiaf : [ABC][ABC] definitastfel: E =f ( E), F=f(F) iBAE BAE, CAP CAP , (AE) (AE), (AF) (AF), (nbazaaxiomei deconstrucieaunghiurilor i segmentelor esteasigurat unicitatea acestei corespondente). Avem astfel definit o bijecie.Din construcie i din ipotezdeducem c AEF i AEF de unde (EF) = (f(E)f(F)). Deci [ABC][ABC].Definitia 1.2.3.Numim transversalantr-untriunghi oricesegment ce unete un vrf cu un punct situat pe latura opus.In figura 1.10. AM este transversala n ABC.A B MCFigura 1.10Observaia 3. Fie P un poligon simplu i fie A, B P.O linie poligonal care leag punctele Ai Bsituat in interiorul poligonului Pdetermin poligoanele P1 si P2 ale cror suprafee poligonale sunt disjuncte (figura 1.11).15Geometria poligoanelor. AriiFigura 1.11Vom spune c suprafaa poligonal [P] a fost descompus prin suprafee poligonale [P1] si [P2]. Avem deci [P] = [P1] U [P2]. Convenie. Pentru simplificarea scrierilor, n cele ce urmeaz vom mai folosi si notaia (pentru descompunere). n baza observaiei de mai sus, din definiia 1.2.3. rezult c : [ABC] = [AMB] + [AMC]Se poate deduce imediat c putemrepeta de mai multe ori acest procedeu; operaia se va numidescompunere transversala suprafeei poligonale trilaterale (a triunghiului).Figura 1.12[ABC] = [T1] + [T2] + [T3] + [T4]16Geometria poligoanelor. Ariisau[ABC] =41 iTiPutemastfel generaliza operaia de descompunere transversal i s considermodescompuneretransversalasuprafeei triunghiulare[ABC]n familia {[Ti]} i = 1,,n, astfel se poate scrie [ABC]=41 iTi.Observaia 4.Modul de a considera o descompunere transversal a unui triunghi nu este unic. In figura 1.12. am considerat transversala AM.Putemns s considermtransversala BNi s obinem descompunerea transversal n {[ Tk]}k=1,,mi s scriem[ABC]= [T K ].Adic, pentruaceleai triunghiuri ABC putem determina mai multe descompuneri transversale ale suprafeei [ABC].Firesc, ne punemproblema posibilitii descompuneri unei suprafee poligonaleoarecarei mai alesformasuprafeelor poligonalecareofercea mai avantajoas descompunere. Forma este cea triunghiular, observaie intuitiv. Deci amputea descompune o suprafa poligonal n suprafee triunghiulare ?Definiia 1.2.4.Se numetedescompunere triunghiulara suprafeei poligonale[P] , ofamiliefinitdesuprafeetriunghiulare{[Ti]}i=1,,n.care verific urmtoarele condiii:17Geometria poligoanelor. Ariii. [P] = UniiT1] [ ( sau [P] =41] [iiT )ii. interioarele a oricror dou triunghiuri oarecare sunt disjuncte: Int (Ti) Int (Tj) = ; ijiii. fiecare punct interior unui triunghi Tieste interior lui P, i = 1, , n.iv. fiecare punct interior lui P este interior sau pe un triunghi Ti, i = 1, , n. Astfel, [P] se exprim ca reuniune de suprafee triunghiulare cu interioareledisjuncte . Definiie 1.2.5. Fie [P] o suprafa poligonal i fie {[ Ti]}i=1,,no descompunere triunghiular. Dac fiecare triunghi Tipermite o descompunere transversal nsuprafee triunghiulare[Ti ,k]se obineo altdescompunere triunghiular a lui [P]. Spunem c descompunerea {[Ti,k]}i,k este mai fin dect descompunerea {[Ti]} i considerat. (figura 1.13.).Figura 1.13Putemrealiza odescompunere, imediat, triunghiular a unui poligon convex dac ducemdiagonalele dintr-unul din vrfuri, n acelai timp s observm cdescompunerea nu este unic ( figura 1.14 )18Geometria poligoanelor. AriiFigura 1.14n ambele cazuri observmc descompunerea este realizat din triunghiuri ale cror vrfuri sunt vrfuri ale poligonului P .Aceasta ne permite s enunm: Teorema 1.2.2.Fiecare suprafa poligonal [ P ] se poate descompune n suprafee triunghiulare [ Ti ], astfel nct fiecare vrf al fiecrui triunghi Ti s fie un vrf al poligonului P . Teorema 1.2.3. O suprafapoligonal convex cu n laturi ( n > 3) se poate descompune n n-2 suprafee triunghiulare. Demonstraie. Artm mai nti ca o suprafapoligonal convex cu n laturi sedescompunentr-osuprafatriunghiulari osuprafapoligonal convex cu n-1 laturi.Figura 1.15Se consider poligonul convex P = P1P2Pn i dreapta P1 P3 (fig.1.15.).Odreaptcarenuestesuportul unei laturi alui Parecel mult dou puncte cu P, prin urmare dreapta P1 P3 intersecteaz poligonul P numai n P1 si 19Geometria poligoanelor. AriiP3. Rezult c punctele P4,P5,,Pnsunt de aceeai parte a lui P1P3,ceea ce nseamn c P1P3P4 Pn este un poligon convex.Deoarece P3 se afl n interiorul unghiului P2 P1 Pn rezult c si P2 si Pn se afl deoparte si de alta a dreptei P1 P3 , adic interiorul triunghiului P1 P2P3si poligonul P1 P 3P 4 Pn se afl n semiplane opuse avnd astfel intersecia vid.Pe de alt parte este evident c: [P]=[P1P2P3 ] + [P1P3P4Pn]Aplicndsuccesivacest rezultat suprafeelor poligonale[ P1P3P4Pn] etc., care au cte o latur mai puin dect precedenta se obine teorema.Consecin. Orice suprafa poligonal poate fi descompus n suprafee triunghiulare. (fig.1.16.). EMBED PBrushFigura 1.16I.3.Echivalene pemulimeasuprafeelor poligonaleDefinitia 1.3.1. Dousuprafee ( P ) i ( P) sunt echivalente aditiv dac pot fi descompusentr-unnumr finit desuprafeetriunghiularecongruente doucte dou .Vom nota aceastrelaie [P] ~ [P] . 20Geometria poligoanelor. AriiIat cteva suprafee poligonale aditiv echivalente (figura 1.17).' ' ' D A B ABD

' ' ' D C B BDC Figura 1.17. [ABCD]~[ABCD]Teorema 1.3.1. Dac dou poligoane convexe sunt congruente, atunci suprafeele poligonale respective sunt aditiv echivalente.Demonstraie . Fie poligoanele P = P1P2Pn si P = P1P2Pn cu PP.Desigur putem considera pentru fiecare poligon mai multe descompuneri.Fie descompunerea obinut ducnd diagonalele din vrfurile omoloage P1 si P1. n P1P2P3 si n P1P2P3 avem ( P1 P2 ) (P1P2), (P2P3) (P'2 P3) : P1 P2 P3 P1 P2 P321Geometria poligoanelor. AriiDeci, de aici rezult congruenta celor dou triunghiuri, P1 P2 P3 P1 P2P3 . Analog pentru celelalte triunghiuri, n baza teoremei 1. 2. 1. vom putea scrie[ P1 P2 P3 ] [ P1 P2 P3] i de aici va rezulta [P] [P].Observaia5.Inbazaacestei teoreme, definiie1. 3. 1. semai poate formula teorema i astfel : Dou suprafee poligonale [P] i [P] sunt aditiv echivalente dac se pot descompune n suprafee poligonale congruente dou cte dou . Definiia 1.3.2. Dou suprafee poligonale [ P ] i [ Q ]sunt echivalente prin complementdac exist suprafee poligonale :{[ Pi ]} i=1,nsi {[ Qi ]} i=1,n, Pi Qi , i=1,ni [ P ] +ni 1[Pi ] ~[ Q ] +ni 1[ Qi ] . Vom nota aceast relaie [ P ] ~ [ Q ]nainte de a trece la enunul ctorva din proprietile acestor relaii, s vedem cteva exemple.Exemplul 1.Dou paralelograme cu baze i nlimi respectiv egale sunt echivalente prin complement sau aditiv echivalente .Demonstraie.FieparalelogrameleABCDi ABEFcubazaABi aceeai nlime h. Deosebim dou cazuri:Cazul 1.E( DC). Avem atunci [ABCD] = [ ABED] + [BCE] [ ABEF] = [ABED] + [ADF]BCE ADFDin aceste rezultate, conform definiiei 1. 3. 1. avem [ABCD] [ABEF]. 22Geometria poligoanelor. AriiCazul 2.E, F ( CD)Avem relaiile [ABCD]+[EDH ] = [ABCEH ][ABEF] + [ EDH ] = [ABHDF] (1)Pe de alt parteavem:[ABHDF] = [ABH] + [ ADF ][ABCEH]=[ABH ]+[BCE ](2) BCE ADFDin relaiile ( 1 ) si ( 2 ) rezult deci [ ABHDF ] [ABCEH ] i de aici n baza definiiei 1. 3. 2. avem [ABCD] [ ABEF ] .Consecin.Orice paralelogram este aditiv echivalent sau echivalent prin complementcu un dreptunghiavnd dimensiunile egale cu baza i nlimea paralelogramului .Exemplu2.Oricetriunghi esteaditivechivalent cuunparalelogram avnd aceeai baz i nlimea jumtate din nlimea triunghiului dat .Demonstraie. Fie ABCcu nlimea AD . Fie M mijlocul lui AD. Ducem prin M o paralel la BC si considerm punctele H, F de intersecie a acestei paralele cu laturile (AB) i (AC).Alegem EHF n aa fel nct F(HE) i (HE) (BC). n baza construciei avem: CEF AMF[BCEH ] = [ BCFH] + [CEF ][ ABC ] = [ BCFH ] + [AHF]De aici putem scrie23Geometria poligoanelor. Arii [ABC] ~ [ BCEH]Consecin.Oricesuprafatriunghiularesteaditivechivalentcuo suprafadreptunghiularavnddimensiunileegalecubazai jumtatedin nlimea triunghiului.Exemplu 3.Fie patrulatereleP=ABCD , QABCD , i R=ABCD astfel ca DB AB , ADAB , ( AB )(AB) , (AD)(DB),(AB) 2(AD) , (AB)2(AD) si ADAB.n aceste condiii [ P]~ [Q] i [Q] ~ [R].Atunci [P]~ [R].[P]~[Q] pentru ca [P] = [ABD] +[DBC] [Q] = [ABC]+[ACD] ABCABC,BDC BDC[Q]~[R] pentru ca [Q]=[ANM] + [AMD] + [NMB] + [NCB][R]=[BCM] + [NBM] + [ANM] + [ABM]AMDNBM ; ANM BCM,MNB ANM; BCMADM.inndseamadeceledoudescompuneri aleaceluiai poligon[Q], suprapuse, obinemo nou descompunere a suprafeei poligonale [Q] n suprafeele triunghiulare [AON], [BSC], [ADM] [AMO], [OMS], [ SMC] i patrulaterul [ONBS] i fig .1.1824Geometria poligoanelor. AriiEfectund aceeai descompunere (suplimentar) i n suprafeele poligonale [P] i [R] obinem descompunerea din figura 1. 19. si figura 1. 20.Avem [ P ] = [AON] + [BSD] + [BMQ] + [O1MS1] + [S1MC] + [ONBS]Cu congruentele AONAON BMO1AMO BSD BSC O1MS1OMS (3) BDM ADM S1MC SMCONBSONBS[ R ] = [BO1C] + [ SMD] + [BQ1M] + [BMN] + [AOS] + + [ SDA] + [ONMS]Cu congruenele BO1C ANO BO1MAOM SMD SBC AOS OMS (4) BMN ADM SDA SMC ONMS ONDSComparnd descompunerile (3) i (4) putem afirma c [P] i [R] au fost descompuse n poligoane congruente dou cte dou, deci [ P ] ~ [ R ].Dinacestecazuri particulare(ex.3)aparefirescntrebareadacputem generalizarezultateleobinutesaunu. naintedeadateoremacegrupeaz proprietile relaiilor de echivalent, dmfr demonstraie urmtoarea teorem: 25Geometria poligoanelor. AriiTeorema 1.3.2. Punctele interioare comune a dou poligoane P i Q (dacexistformeaz mulimeatuturorpunctelor interioarealeuneimulimi finite de poligoane din care nu exista dou s aib puncte interioare comune (figura 1.21.).Figura 1.21.Teorema 1.3.3. Relaiile~i~ sunt relaii de echivalent.Demonstraie.Din definiiile celor dou relaii rezult imediat proprietile de reflexivitate i simetrie. Pentru tranzitivitate vom lucra separat pentru cele dou relaii.a.) Ne propunem s demonstrm c dac [P] , [Q] , [R] sunt trei suprafee poligonale astfelnct [P] ~ [Q] si[Q] ~ [R] atunci [P] ~[R].Din[P] ~[Q] rezultcexistmulimiledepoligoane{[Pi]}i=1,ni {[Qi]}i=1,n dou cte dou congruente (Pi Qi , i=1,,n) astfel nct :[ P ] = [ Pi ] si [ Q ] =[ Qi ] ( 5 )Analog, din[Q] ~[R] avemmulimiledepoligoane{[Qj]}j=1,m i {[Rj]}j=1,m dou cte dou congruente (Qj Rj ) , j=1,m astfel nct :[ Q ] = [Qj ]si [ R ] = [ R j ]( 6 )Familiiledemulimi Qi, i=1,n iQj, j=1,m realizeazpentrusuprafaa poligonal [Q] dou descompuneri care, suprapuse, formeaz o alt descompunere a lui [Q] n suprafee poligonale pe care le vom nota {[Qi Qj ]}i=1,n; j=1,m; ( vezi ex.3 ) 26Geometria poligoanelor. AriiConform teoremei 1.3.2. mulimea punctelor comune interioare poligoanelor Qisi Qjcoincidecumulimeapunctelor interioarealeunei mulimi formatdin poligoanele Qi Qj cu interioarele dou cte dou disjuncte.In plus, fiecare punct interior lui Qieste interior lui [Q], deci este sau interior sau pe un anumit Qj , deci sau interior sau pe anumii Qi Qj , pentru orice i=1,n;j=1,,m (def.1.2.4.). Conform aceleiai definiii avem ca {[QiQj]}i,jrealizeazodescompunerentriunghiuri (saupoligoane)alui [Qi]si deci [Qi]= [QiQj] , i=1,n. Din ( 5 ) vom avea atunci [ Pi] =[QiQj],i=1,ni deci i [P] poate fi mprit n poligoane congruente cu mulimea {QiQj} i,j (n ex.3. familia { Qi Qj } i , j este formatdinpoligoanele QiQj cu interioarele dou cte dou disjuncte.n plus, fiecare punct interior lui Qieste interior lui [Q],deci este sau interior sau pe un anumit Qj, deci sau interior sau pe anumii QiQj. Conform aceleiai definiii, avem c {[QiQj]},i,j realizeaz o descompunere n triunghiuri (sau poligoane) a lui [Qi] i deci [Qi]=jQiQj ] ' [, i=1,,n.Din (5) vom avea atunci [Pi]=[QiQj], i=1,, n. i deci i Ppoate fi mprit n poligoane congruente cu mulimea {QiQj}i,j(n ex.3, familia {QiQj}i,jeste format din poligoanele AON,BSC,ADM,AMO,OMS,SMC, ONBS).Analog raionamentul pentru [R]. rezult n final c [P]c~[R].b) Ne propunem s demonstrm c dac[P]c~[Q] i[Q]c~[R] atunci[P]c~[R].Dac[P]c~[Q] atunci exist poligonul S1, astfel ca [P]+ [S1]c~[Q]+ [S1]. (7)Iar dac[Q]c~[R] atunci exist poligonul S2 astfel nct:[Q]+ [S2]a~[R]+ [S2]. (8)27Geometria poligoanelor. AriiNotm cu [S] mulimea punctelor comune lui S1 i S2 si [S1], respectiv [S2] mulimea punctelor [S1] care nu sunt interioare lui [S2] (respectiv din [S2] care nu sunt interioare lui [S1]). Avem deci [S1]=[S]+[S1] i [S2]=[S]+[S2].Dac nlocuim n (7) i (8) avem:] P]+[S]+[S1] a~[Q] +[S]+[S1[[Q]+[S]+[S2] a~[R] +[S]+[S2]de unde, adugnd convenabil [S2] respectiv [S1] avem:[P]+[S]+[S1]+[S2] a~[Q] +[S]+[S1]+[S2] [Q]+[S]+[S2] +[S1]a~[R] +[S]+[S2]+[S1]Aplicnd acum tranzitivitatea relaiei i innd seama de definiia 1.3.2. avem [P]c~[R] (adic teorema este demonstrat). Din aceste teoreme i rezultate se poate imediat demonstra. Teorema 1.3.4.Dou triunghiuri de baze i nlimi egale sunt echivalente.Problem.Fie M un punct pe diagonala AC a paralelogramului ABCD. Ducem prin M paralele la AB i AD i notm intersecia acestor paralele cu laturile (AD),(BC) respectiv cu E,F,G,H(vezi figura 1.22). n acest caz paralelogramele EMHD i FBGM sunt echivalente.Figura 1.22.Soluie:28Geometria poligoanelor. AriiDucemprinHi GparaleleladiagonalaAc. Senoteazpunctelede intersecie cu laturile AD, respectiv AB prin L i O. Din construcie MGC MHC, deci nlimile celor dou triunghiuri considernd aceeai baz MC, sunt egale. Deci HH GG.Pe de alt parte, paralelogramele EMHD i AMHD sunt echivalente prin complement, avnd aceeai baz MH i nlimi egale (deoarece FH // AD).Analog MFBGAMGO (aceeai baz MG i nlimi egale).n paralelogramele AMGO i AMHD sunt echivalente prin complement (aceeai baz AM i nlimi egale HH i GG).Avem deci, conform teoremei 1.3.3. echivalena prin complementntre paralelogramele EMHD i MFBG.n ncheierea acestui capitol, din exemplele i teoremele date i demonstrate se desprinde ca o concluzie faptul c noiunile de aditiv echivalen i echivalen prin complement se pot reuni ntr-o noiune general de echivalen.Definiia1.3.3.Dousuprafeepoligonale[P] i [P]sunt echivalente dac sunt aditiv echivalente sau echivalente prin complement.Vom folosi n acest scop notaia [P][P].CAPITOLUL II. ARIA SUPRAFEELOR PLANEII.1.Aria suprafeelor poligonale29Geometria poligoanelor. AriiDup cum tim, aflarea ariei unei mulimi de puncte este o operaie de msurare.Este astfel necesar introducerea unei uniti de msur. Intuitiv s-a folosit ca unitate ca unitate de arie o suprafa ptratic de latur 1.Se poate msura direct o suprafaa poligonala P,dac P se descompune ntr-un numr finit de uniti de suprafa. (figura 2.1)Figura 2.1.Pentru alte mulimi (suprafee poligonale) procesul direct de msurare nu se poate aplica (figura 2. 2.).Figura 2.2.i aceasta pentruc nu permite descompunerea exact nuniti de suprafa(uniti ptraticedearie). Iatdeceestenevoiedereconsiderarea formei poligonale care s stea la baza determinrii ariei oricrui poligon, suprafee poligonale. nainte ns este necesar s definim funcia arie. Vomfolosi ca notaieSmulimea suprafeelor poligonale n planul euclidian.30Geometria poligoanelor. AriiDefiniia2.1. 1.0funcie :S+senumetefuncieariedac verific urmtoarele axiome:A1. Dac suprafeele poligonale [P,] si [P2] sunt congruente, atunci (P1)= (P2).A2.Dac suprafeele poligonale [P1] i [P2] sunt disjuncte sau se intersecteazdoar nvrfuri saupelaturi, atunci (P1UP2)= (P1)+ (P2); respectivconveniei fcutncapitolul precedent (P1+P2)= (P1)+ (P2), vezi figura 2.3.Figura 2.3.A3. Dac [ABCD] este o suprafa ptrata de latur unitate (adic [ABCD] este o unitate de suprafa), atunci (ABCD)= 1 . Observaia1. nainte deaxioma A3, sobservamc, dac funcia : +satisface axiomele A]si A2, atunci i funcia obinut prin nmulirea funciei definit mai sus cu un numr real pozitiv , satisface de asemenea proprietile A1i A2. Cel puin din acest motiv suntem n faa unei infiniti de funcii "arie" i, deci, o dificultate suplimentar n alegerea aceleia potrivite. Aceast problem se rezolv prin introducerea axiomei A3care fixeaz o anumit funcie din cele de mai sus cu rolul de arie a unei suprafee plane.31Geometria poligoanelor. AriiAacumamamintit mai susenevoiesstabilimomodalitatedea calcula aria oricrei suprafee poligonale. n baza teoremelor 1.2.2. i 1.2.3. n baza crora orice suprafa poligonal se poate descompune nsuprafee triunghiulare, deducemc pentruacalcula aria suprafeelor poligonale [P] (oarecare), e necesar s stabilim o formul pentru aria suprafeei triunghiulare.Teorema2.1.1.norice triunghi, produsul unei laturi cunlimea corespunztoare este acelai oricare ar fi latura aleas.DemonstraieFie ABCD n care considerm c ADBC, BEAC,CFAB. Vrems demonstrmc avem relaiile BCAD=ACBE=AB CF.Deoarece ACD BCE i ADC BEC rezulta cADC BEC i deci putemscrie raportul laturilor (de asemnare).AD AC DCBE BC EC ,de unde avem AD BC = AC BE.AnalogpentrutriunghiurileACFiABE. Cuaceastateoremaeste demonstrat.Definiia 2.1.2.Numim caracteristic a triunghiului acest numr.Definiia 2.1.3.Definimaria unei suprafee triunghiulare [ABC], caracteristica triunghiului ABC, nmulit cu un numr dat k, fixat o dat pentru totdeauna i acelai pentru orice triunghi.32Geometria poligoanelor. AriiRezult c, dac n ABC avem ADBC, atunci (ABC)=k BC AD. Ne propunemn continuare s artamc astfel definit aria unei suprafee triunghiulare, sunt verificate axiomele ariei (A1-A3) i, de asemenea, s determinm valoarea constantei k.Prima axiom este verificat imediat. Fiind date dou triunghiuri congruente ABC i A'B'C'(am vzut n capitolul precedent c, n acest caz i suprafeele triunghiulare [ABC] i [A'B'C] sunt congruente - teorema 1.2.1.1, i fiindconsideratenlimileAD, respectivA'D' (ADBC, A'B'B'C') din congruena ADB A'D'B avem AD=A'D'. Atunci (ABC)= k BC AD = k AD BC i deci axioma A1este verificat.S ncercm s verificm axioma A2.Teorema 2.1.2. Dac un triunghi este mprit prin transversala AM n triunghiurile T1i T2, atunci aria suprafeei triunghiulare [ABC] este egal cu suma ariilor suprafeelor triunghiulare [T,] si [T2].Demonstraie. Fie [T1]=[ABM] i [T2] = [AMC]. Din definiia ariei unei suprafee triunghiulare, considernd ADBC avem:33Geometria poligoanelor. Arii (ABM)+ (AMC)=k BM AD+k MC AD==k AD (BM+MC)=k AD BC= (ABC)Teorema2.1.3.Dacuntriunghi oarecareABCestemprit ntr-un mod oarecare prin drepte ntr-un numr oarecare,dar finit,de triunghiuriTk, aria suprafeei triunghiulare [ABC] este totdeauna egal cu suma ariilor suprafeelor tuturor triunghiurilor Tk.Demonstraie.Sartammai nti c, efectundnumai descompuneri transversalentriunghiuri Tk, ariasuprafeei triunghiulare[ABC] estesuma ariilor tuturor suprafeelor triunghiulare [Tk]k=1,,n adic, dac:[ABC]=1[ ]nkkTatunci (ABC)= (Tk).ntr-adevr, s presupunem adevrat teorema pentru o descompunere transversal nfamilia detriunghiuri {Tk}k=1,,n i s artm c este adevrat i pentru o descompunere n n+1 triunghiuri.Pentru a obine o descompunere transversal a triunghiului ABC n n+1 triunghiuri, e suficient s efectum, n familia {Tk}k=1,,no descompunere transversal a triunghiului Tn, obinnd triunghiurile Tn i Tn+1 cu proprietatea [Tn]= [Tn]+[Tn+1] i Int (Tn)Int(Tn+1)=i pentru care, aplicnd teorema 2.1.2. avem:(Tn)= (Tn)+(Tn+1 )(2)Notnd acum: Tk='+ +1. n k , 'n. k , 'n. k , '1pentru Tpentru Tpentru Tnnk(3)Am construit o nou familie de triunghiuri {Tk}k=1,,n+1.n plus, folosind rezultatele (1) , (2 ) , (3 ) vom avea 34Geometria poligoanelor. Arii(ABC)=nk 1(Tk).Sartamacumcariasuprafeei triunghiulare[ABC] nudepindede descompunerea folosita. Fie pentru aceasta o descompunere oarecare n triunghiuri {Tk}i s considermsegmentele determinate de vrfurile triunghiurilor T, situate ninteriorul triunghiului ABCsau pe (BC) i de punctul A.Se obine astfel o descompunere transversal a lui ABC n triunghiurile {Ti}i=1,..,n, adic (ABC)=ni 1(Ti).Suprapunnd cele dou descompuneri, se obine o mulime de triunghiuri i patrulatere. La rndul lor construind o diagonal n fiecare patrulater se obine n final o descompunere n triunghiuri {Tik}a suprafeei triunghiulare [ABC].Vrfurile fiecrui triunghi Tikse vor gsi numai pe dou laturi ale unui triunghi Ti,respectiv ale unui triunghi Tk, fapt ce rezult imediat din construcie. Aceastanearatcfamilia{[Tik]}i,krealizeazodescompunere transversal att pentru un triunghi Tk, ct i pentru un triunghi Ti. Vom avea atunci:(Ti)=ni 1 (Tik) i deci (ABC)=ni 1 (Ti) =ni 1 (Tik).Pe de alt parte, (Tk)=ni 1 (ik) i nsumnd ariile tuturor triunghiurilor Tk, vom avea (Tk) =ni 1(Tik).35Geometria poligoanelor. AriiComparndultimelerezultatevomavea (ABC)=ni 1 (Tk), rezultat care ne arata c aria triunghiului ABC nu depinde de descompunerea fcut. Cu aceasta, teorema este demonstrat.Observaia3.Teorema2.1.3. enunatmai sus, estenacelai timpi verificarea celei de-a doua axiome a ariei.Deci formula pentru calculul ariei unui triunghi dat prin definiia 2.1.3. verific cele dou axiome ale ariei.Problema. S se demonstreze c distanele de la un punct al medianei AAatriunghiului ABCpnlalaturileABi ACsunt nraport inverscu aceste laturi.Rezolvare. ConsidermBC=a i fie M(AA'), BA'=A'C=a/2. Ducem MPAB (PAB), MNAC(NAC), ADBC, MD'BC, D,D'BC.UnindpeMcuBi Cseformeaz: ABA;AAC;MAB;MAC; MBA; MCA' . Vom avea (ABA )=k BA AD=1/2 k a AD (ACA)=k AD AC=1/2 ka AD.De aici deducem (ABA )= (ACA )(4)De asemenea (MAB)=k MD BA=1/2 k a MD (MAC)=k AC MD=1/2 k a MDDe unde deducem (MAB)= (MAC)(5)Comparndrezultatele(4)i(5)avem (AMB)= (AMC). Deunde vom putea scrie:k AB MP= (AMB)= (AMC)=k AC MN de unde obinem AB MP=AC MN sau raportul cerut MP ACMN AB. S ncercm acum s definim 36Geometria poligoanelor. Ariiaria unui poligon (a unei suprafee poligonale). Fie [P] o suprafa poligonal, n baza teoremelor 1.2.2.i 1.2.3.din capitolul precedent exist o familie de suprafee triunghiulare {[Ti]}icare permite descompunerea triunghiular a suprafeei [P]. Urmeaz firesc definiia. Definiia 2.1.4. Fie [P] o suprafaa poligonal. Definim aria suprafeei poligonale [P] ca fiind suma ariilor suprafeelor triunghiulare ce realizeaz o descompunere a suprafee [P].Teorema 2.1.4.Aria unei suprafee poligonale [P] este independent de descompunerea aleas. Demonstraie.Pentru suprafaa poligonal [P] presupunem dou descompuneri triunghiulare {[Ti]}i i{[Tk]}k (n figura 2.4.). Este prezentat un heptagon oarecare cruia i s-au pus n evidenta dou descompuneri triunghiulare).Figura 2.4.Suprapunnd cele dou descompuneri, un triunghi al unei descompuneri determinpecealaltfamiliededescompuneretriunghiular, triunghiuri sau poligoane ce, la rndul lor, pot fi descompuse n triunghiuri. Fie aceast familie notat{[Tik]}i,k.n baza teoremei 2.1.3. aria fiecrui triunghi Tieste suma ariilor triunghiurilor componenteTik. nsumndariiletuturortriunghiurilor Tiavem astfel:37Geometria poligoanelor. Arii (Ti)= (Tik)In mod analog gsim (Tk)= (Tik)De unde deducem (Ti) = (Tk)i astfel teorema este demonstrata.Observaia 4.Astfel definit aria unei suprafee poligonale [P], aceasta verific att axiomaA1, ct i axiomaA2dindefiniiaariei unei suprafee poligonale ( definiia 2.1.1.).Observaia5.Pn aici amputut lucra att cu aria unei suprafee triunghiulare oarecare, fr s fim obligai s fixm valoarea constantei k. Este i acesta un exemplu la observaia 1 din acest paragraf.Verificarea celei de-a treia axiome a ariei duce de fapt la determinarea valorii lui k.Fie deci [ABCD] o suprafa ptrat de latur 1. Conform celor artate mai sus, putem descompune suprafaa n suprafeele triunghiulare [ABC] i [ACD] i vomavea: (ABC) = (ABC)+ (ACD).n baza axiomei A1verificat i a definiiei 2. 1. 3, avem: (ABC) = (ACD) = k.ConsiderndsuprafaaABCDounitatedesuprafa, avnddeci aria egal cu 1, vom avea 2k=1, de unde obinem valoarea constantei k, i anume k=1/2. Amobinutastfelrelaia care permite calcululariei oricreisuprafee triunghiulare.Teorema 2.1.5.Aria oricrei suprafee triunghiulare este egala cu jumtate din produsul unei laturi cu nlimea corespunztoare.38Geometria poligoanelor. AriiProblem.S se calculeze aria unei suprafee triunghiulare avnd baza i nlimea respectiv egale cu 42 i 20(uniti de lungime).Rezolvare.Fie [ABC] suprafaa triunghiular. Dac notm o latur cu b (baza) i nlimea cu h, conform teoremei 2.1.5. vom avea: (ABC)=2b h (6)nlocuind cu valorile date obinem (ABC)=420 (uniti de arie).Problem. S se calculeze aria unui triunghi, tiind c nlimea sa este 36, iar cele dou laturi care pleac din vrf sunt de 85 i 60. Rezolvare.n ABC considerm AB=85, AC=60, AD=36, ADBC.Pentru a calcula lungimea bazei BC se aplic teorema lui Pitagora n ABD i gsim BD=77, iar din ADC gsim DC=48.Avem astfel BC=125 i de aici, folosind (6) gsim (ABC)=1125 (uniti de arie).Problem. Lungimile laturilor unui patrulater ABCD sunt (n uniti de msur) AB=18, BC=10, CD=10, AD= 15 i diagonala BD=15. S se calculeze aria suprafeei patrulatere. Rezolvare.n patrulaterul dat ABCD, diagonala BD realizeaz o descompunere triunghiular; avem deci (ABCD)= (ABD)+ (BCD).Dar triunghiurile ABD i BCD sunt isoscele avnd bazele ABi respectiv BDi, n urma 39Geometria poligoanelor. Ariicalculelor vom avea (ABD)=108 (uniti de arie) (BCD)=75 74 i deci aria (ABCD)=108+75 74 (uniti de arie.).Problem.S se arate c, folosind calculul ariilor suprafeelor poligonale i axiomele ariei ca suma distanelor unui punct variabil M, situat n interiorul unui triunghi echilateral, la laturile triunghiului este constant. S se determine aceast constant.Rezolvare. Fie triunghiul echilateral ABC de latur a. Considerm N,P,Q picioarele perpendicularelor dusedinMpelaturile BC, ACrespectivABaletriunghiului . Vom avea imediat (ABC)=234a. Aplicnd axioma A2 vom avea: (ABC) = (AMB)+ (MBC)+ (AMC). Calculnd ariile celor trei triunghiuri AMB, MBC, AMC vom avea:a MN+a MP+a MQ= (ABC)=232a, de unde obinem relaia:MN+MP+MQ= (ABC)=32a. II.2. Calculul ariilor suprafeelor poligonale40Geometria poligoanelor. AriiDin definiiile ariei unei suprafee triunghiulare i a unei suprafee poligonale datenparagraful precedent, vomreinecteva reguli decalcul pentru ariile diferitelor suprafee poligonale particulare.Teorema 2.2.1.DacABC este un triunghi dreptunghic cu catetele c1 i c2, vom avea: (ABC)=1 22c c . Aplicaie. Ssedeterminenlimeaunui triunghi dreptunghicavnd catetele 30 i 40 (uniti de lungime) folosind calculul ariilor.Rezolvare. Secalculeaz aria n dou moduri. Notmcua ipotenuza triunghiului i h nlimea corespunztoare, vom obine din calculul ariei h=1 2c ca.Ca aplicaie numerica se obine h=12 .Teorema 2.2.2.Dac [ABCD] este o suprafa ptratic cu 2 latura a, aria va fi: (ABCD)= a2.Demonstraie. Vom scrie [ABCD]= [ABC]+[ACD].Aplicnd teorema precedent triunghiurilor dreptunghice ABC i ACD vom avea: (ABCD)= (ABC)+ (ACD)=22a+22a=2aTeorema 2.2.3.Dac [ABCD] este o suprafa dreptunghiular cu dimensiunile a i b, atunci (ABCD)= a b.Demonstraia acestei teoreme se poate face n mai multe moduri. Iat n continuare dou dintre ele.41Geometria poligoanelor. AriiDemonstraia 1.Descompunem suprafaa dreptunghiular astfel:[ABCD]=[ABC]+[ACD]. Aplicampentru aceste triunghiuri rezultatul teoremei 2. 2. 1. (fiind dreptunghice) i vom avea: (ABCD)= (ABC)+ (ACD)=2a b +2a b =a b Demonstraia 2.Construim ptratul cu latura a+b vom avea:[MNPD]=[AMEB]+[ENQB1+[BQPC]+[ABCD]ENQB i ABCD sunt dreptunghiuri, deci (ENQB)= (ABCD).AMEBeste unptrat cu laturaai deci (AMEB)=a2.BQPC este un ptrat cu latura b i deci (BQPC)=b2.MNPD este un ptrat cu laturaa+bi deci (MNPD)=(a+b)2.Cu aceasta, vom avea aadar:(a+b)2=a2+b2+2 (ABCD) de unde dup calculele efectuate ajungem la relaia cutat pentru calculul ariei suprafeei dreptunghiularei [ABCD].Problema.Laturileunui dreptunghi sunt de54, respectiv6(uniti de lungime). Sa se afle latura unei suprafee ptratice a crei arie este egal cu aria suprafeei dreptunghiulare. Rezolvare.Se calculeaz aria suprafeei dreptunghiulare i avem =324 (uniti dearie). Dinformulapentruariasuprafeei ptraticeseobinea=18 (uniti de lungime).42Geometria poligoanelor. AriiTeorema 2.2.4. Fie ABCD un paralelogram avnd baza AB=a i DE=h. Aria suprafeei [ABCD] poate fi calculat astfel: (ABCD)=a h. (adic produsul unei baze cu nlimea).Demonstraie. Putem descompune suprafaa paralelogramului n [ABCD]=[ABD]+[DBC], undeABC CDB i deci (ABD)= (CDB)=2a h , de unde obinem: (ABCD ) = 2a h +2a h =a h .Teorema2.2.5.Aria rombului este jumtate dinprodusul lungimilor diagonalelor sale.Demonstraie. Notmcud1=ACi d2=BD. innd seama de proprietile rombului, vom avea:[ABCD]=[ABD]+[BCD] i d1d2.De aici vom avea: (ABD)= (BCD )=1 2 1 22 2 4d d d d . Problema.S se calculeze aria unui romb avnd latura de 8i o diagonal de 14.Teorema 2.2.6.Aria trapezului este jumtate din produsul dintre nlime i suma bazelor.Demonstraie. 43Geometria poligoanelor. AriiFieABCDuntrapezcubazeleBCi AD. NotmBC=b1; AD=b2i AE=h; AEBC.Avem [ABCD]=[ABC]+[ADC]CumtriunghiurileABC i ADCauaceeai nlime(distana dintre bazele trapezului) vom avea: (ABCD)= (ABC)+ (ACD) =12b h +22b h =1 2( )2h b b +Consecin. BC+AD este dublul liniei mijlocii, prin urmare aria suprafeei ABCD se mai poate reine i sub forma: aria este egal cu produsul dintre nlimea trapezului i linia mijlocie.Teorema 2.2.7.Fie A1,A2,,An un poligon convex regulat, avnd latura egal cu l i apotema ap. Aria suprafeei poligonale [P] va fi (P)=2pn l a , unde am notat P=A1A2...An.Demonstraie. (A1A2...An)= (A1A2O)+ (OA2A3)++ (OA1An)=n (OA1A2)=2pa ln.Observaia6.innd seama de faptul cn lreprezint perimetrul poligonului; reinemariacafiindjumtatedinprodusul dintreperimetrul i apotema poligonului. 44Geometria poligoanelor. AriiObservaia 7. Dac numrul laturilor poligonului este par, aria sa este egal cu jumtatea razei cercului circumscris, nmulit cu perimetrul poligonului obinut unind vrfurile din dou n dou.Justificarea acestei afirmaii este imediat.Fie n=2 k numrul laturilor poligonului P=A1A2...An. Atunci poligonul P'=A1A3A5 ...An-1 va avea k laturi, iar lungimea unei laturi l1=A1A3=A2An. Pentru dou triunghiuri alturate OA1A2i A1AnOale poligonului P avem congruena OA1A2 OA1An, de unde OA1A2An.n acest caz ariile vor fi (OA1A2) (OA1An)=1 1 2 1 22 2 2 2n nAO MA AO A A AO A M R l + De aici rezulta imediat rezultatul din observaia 7.Teorema2.2.8.Ariaunui poligonconvexcircumscris unui cerceste egal cu jumtate din produsul dintre perimetrul su i raza cercului nscris.II. 3. Suprafee msurabile. Aria disculuiDei cercul nuesteofigurapoligonal, iardiscul nuesteosuprafa poligonal, totui considerm s introducem aici i deducerea formulei pentru calculul ariei discului, avndnvederefaptul cateoria sebazeaz pearia suprafeei poligonale.Definiia 2.3.1.Omulimesenumetesuprafamsurabildac exist un numr unic notat () mai mare sau egal cu aria oricrei suprafee 45Geometria poligoanelor. Ariipoligonale incluse ni mai mic sauegal dect aria oricrei suprafee poligonale care include pe . Definiia2.3.2.Senumetedisccucentrul nOi razRmulimea: [ (O,R)]= (O,R) Int (O,R).Definiia2.3.2.Senumetesectordecercdeterminat dearculABal cercului (O,R), reuniunea segmentelor [OM], unde MAB.Teorema 2.3.1. i) irul format din ariile poligoanelor regulate convexe nscrisencerc, alcrornumrdelaturi creteprindublare,estecresctori mrginit superior;ii) irul format dinariilepoligoanelor regulate convexe circumscrise corespunztoare este descresctor i mrginit inferior.Demonstraie:i) FieP=A1A2...An. i P=B1B2...Bndoupoligoane convexe nscrise, acestadinurmfiindobinut prinunireafiecrui vrf al poligonului Pcu jumtile arcurilor alturate.Vrem sa artam c (P)