8/11/2019 2Integrala Fourier

1/4

Integrala Fourier

Fie f(t) o functie reala sau complexa definita pe toata axa reala. Daca f(t) esteneperiodica atunci nu mai poate fi dezvoltata in serie Fourier, in schimb, in anumite

conditii, care vor fi precizate mai jos, ea poate fi reprezentata printr-o integrala dubla

improprie care prezinta o oarecare analogie cu seria Fourier.Pornind de la forma complexa a seriei Fourierse poate demonstra urmatorul

rezultat central din acest capitol numit teorema de reprezentare a unei functii prin

integrala Fourier.

Fie ( )f R R C . Presupunem ca- fsatisface conditiile lui Dirichlet in orice interval de lungime finita!

- in ficare punct cde discontinuitate valoarea functiei este egala cu media

aritmetica a limitelor laterale in acel punct,( ") ( ")

( )#

f c f cf c

+ += !

- feste absolut integrabila pe R , adica ( )f t dt

converge.$tunci are loc urmatoarea reprezentare pentru f

( )%( ) ( )#

iu t

f t f e d du

=

numita si formula lui Fourier iar membrul drept al acesteia se numesteintegrala lui

Fourier.

Forma reala a integralei Fourier

Folosind faptul ca( ) ( ) ( )cos sin

iu t

e u t i u t

= + formula lui Fourier devine

( ) ( )%

( ) ( )cos ( )sin# #

if t f u t d du f u t d du

= +

.&a observam ca functiile

( )( , ) ( )cosg u t f u t d

= ,

( )( , ) ( )sinh u t f u t d

= au proprietatile ( , ) ( , )g u t g u t = si ( , ) ( , )h u t h u t = . 'ezulta

"( , ) # ( , )g u t du g u t du

= si ( , ) "h u t du

= .

Prin urmare, obtinem reprezentarea

( )"

%( ) ( )cosf t f u t d du

=

,

numita forma reala a integralei Fourier.

http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk108.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk201.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk201.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk201.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk201.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk201.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk108.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk201.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk201.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk201.doc

8/11/2019 2Integrala Fourier

2/4

Analogia cu seria Fourier

Pornind de la forma reala a integralei Fourier sa dezvoltam pe ( )cos u t

( )cos cos cos sin sinu t ut u ut u = + .btinem

" "

% %( ) cos ( ) cos sin ( )sinf t ut f u d du ut f u d du

= +

.

Daca notam

( ) ( )cos

( ) ( )sin

A u f u d

B u f u d

=

=

,

rezulta

[ ]"

%( ) ( )cos ( )sinf t A u ut B u ut du

= + .Pe aceasta forma de reprezentare se vede analogia cu seria Fourier.

Reprezentari in cazul functiilor pare si impare

Folosind ultima reprezentare observam ca

- daca feste para, atunci"

( ) # ( ) cos

( ) "

A u f u d

B u

=

=

si prin urmare

" "

#( ) cos ( )cosf t ut f u d

=

!

- daca feste impara, atunci"

( ) # ( )sin

( ) "

B u f u d

A u

=

=

si rezulta

" "

#( ) sin ( )sinf t ut f u d

=

.

Transformata Fourier

n conditiile teoremei de reprezentare a unei functii prin integrala Fourier, in

formula( )%

( ) ( )#

iu t

f t f e d du

=

,

sa notam cu

% %( ) ( ) ( )

# #

iu iut g u f e d f t e dt

= = .'ezulta

8/11/2019 2Integrala Fourier

3/4

%( ) ( )

#

iutf t g u e du

= .Functiile

%( ) ( )

#

iutg u f t e dt

= si%

( ) ( )

#

iutf t g u e du

= se numesc una transformata Fourier a celeilalte.

&a observam ca

( ) ( )% %( ) ( ) ( )

# #

iu t iu t

f t f e d du f e d du

= =

,

prin urmare

%( ) ( )

#

iutg u f t e dt

= si%

( ) ( )#

iutf t g u e du

= sunt una transformata Fourier a celeilalte.

Transformatele Fourier prin sinus si prin cosinus

$m remarcat mai inainte ca daca feste para atunci

" "

#( ) cos ( )cosf t ut f u d du

=

si notand cu" "

# #( ) ( )cos ( )cosg u f u d f t utdt

= = rezulta

"

#( ) ( )cosf t g u utdu

= .

Functiile"

#( ) ( )cosg u f t utdt

= si"

#( ) ( )cosf t g u utdu

= se numesc una transformata Fourier prin cosinusa celeilalte.

$nalog, daca feste impara," "

#( ) sin ( )sinf t ut f u d du

=

si notand cu

"

#( ) ( )sing u f t utdt

= , rezulta"

#( ) ( )sinf t g u utdu

= .

Functiile"

#( ) ( )sing u f t utdt

=

si

"

#( ) ( )sinf t g u utdu

=

se numesc una trnsformata Fourier prin sinus a celeilalte.Fiind data functia ( )f t , transformata ei Fourier prin cosinus(daca exista) se

noteaza, de obicei, cu"

#( ), ( ) ( ) cos

c cg u g u f t utdt

= , iar legatura dintre functie si

http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk202.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk202.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk202.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk202.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk202.doc

8/11/2019 2Integrala Fourier

4/4

transformata ei Fourier prin cosinus, adica"

#( ) ( )cos

cf t g u utdu

= , se numesteteorema de inversiune.

$nalog, pentru transformata Fourier prin sinus, notata"

#( ) ( )sin

sg u f t utdt

=

,

teorema de inversiune se scrie"

#( ) ( )sin

sf t g u utdu

= .*ste de remarcat faptul ca relatia care defineste teorema de inversiune

"

#( ) ( )cosf t g u utdu

= , daca ( )f t este dat, poate fi interpretata ca o ecuatie integralacu ( )g u functia necunoscuta iar transformata Fourier prin cosinus a functiei ( )f t , adica

( ) ( )c

g u g u= este chiar solutiaacesteia. $nalog pentru ecuatia integrala indusa deteorema de inversiune relativ la transformata Fourier prin sinus.

http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk203.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk204.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk203.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk203.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk203.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk204.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk203.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/lnk203.doc