1

Seria Fourier. Analiza spectrala a semnalelor periodice

Raspunsul sistemelor continue liniaresi invariante in timp la exponentiala

complexa de modul unitar

Sinteza unui semnal prin convolutie cu impulsul unitar –descompunere

Descompunere in baza de functii trigonometrice

Leonard Euler Daniel Bernoulli Joseph-Louis Lagrange Jean Baptiste Joseph Fourier

Gaspard Monge Pierre-Simon Laplace

2

Raspunsul sistemelor continue liniare si invariante in timp la

exponentiala complexa de modulunitar

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

0

0 0 0

00

0

0 0

,

,

.

j t

j t j t j

jj

j tj t

x t e R t R

y t h e d e h e d

H h e d H e

y t e H H e

ω

∞ ∞ω −τ ω − ω τ

−∞ −∞

∞Φ ω− ωτ

−∞

ω +Φ ωω

= ω ∈ ∈

= τ τ = τ τ

ω = τ τ = ω

= ω = ω

∫ ∫

∫

{ } ( )( )

( ) { } { }( ) ( ) .eHaty

,eSaeaSty

,eatx

,eHeS

k

tjkk

k

tjk

k

tjk

k

tjk

tjtj

k

kk

k

∑

∑∑

∑

ω

ωω

ω

ωω

ω=

==

=

ω= 000

3

Transformari ortogonale( )( )( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ;txlimtx

,tx,txdlimLtxtx

.dttxtxtx,txd,Ltx

tx,txdtx

tx

nn

nn

pn

pp

nnp

n

n

a.p.t

0 dacain la converge Sirul

,aproximare de eroare - aproximare

aproximat, de semnal -

1

∞→

∞→

∞

∞−

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=∈

−

∫

( )[ ] ( ) ( )

( )

( ) ( )txtxl.i.m

x,xd,p

.dttxtx,txd

nn

n

pp

p

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==

∞→

∞

∞−∫

:patratica mediein aConvergentdiferenta. de semnalului energia - 2

0

2

1

4

Spatiul Hilbert

x,xxxx

.y,xy,x

.xx,xxx,x,Cy,xy,xy,xy,x

,z,xy,xzy,x

,x,yy,x

.y,xyx

n

k

m

llk

*lk

n

k

m

lllkk

*

*

=

βα=βα

=⇔=≠∀>

∈λ∀λ=λλ=λ

+=+

=

∑ ∑∑ ∑= == =

2

1 11 1

, lui norma -

v)

: rezulta iv)-i)Din 0 0 si 0 , 0 iv)

; iii)

ii)

i)

:scalar produsului ileProprietat complexa valoareaeste si r vectoriloalscalar Produsul

scalar.produsun -printrdefinitanormacu torialspatiu vecUn

David Hilbert (23 ianuarie, 1862, Königsberg, – 14 februarie, 1943, Göttingen, Germania) a fost un matematician german, recunoscut ca unul dintre cei mai universali si influenticercetatori din secolele 19 si 20. El a inventatsau dezvoltat multe idei fundamentale, in teoria invariantilor, in axiomatizareageometriei si notiunea de spatiu Hilbert, unuldintre conceptele fundamentale ale analizeifunctionale. El a adoptat si a aparat cu inversunare teoria multimilor adoptata de Cantor si numerele transfinite. Un exemplufaimos al suprematiei sale in matematica esteprezentarea unei colectii de probleme care au stat la baza mecanicii cuantice si a teorieirelativitatii generale pe care a facut-o el in anul 1900. El este de asemenea cunoscut ca unul dintre fondatorii teoriei demonstratiei, si a logicii matematice.

5

Exemple de spatiu Hilbert

( ) ( )

( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .dttxtxdttytxty,txLy,x

xx

,yx

y...

yy

x,...,x,xyxy,x

,y,...,y,yy,x,...,x,xx

b

a

*b

ab,a

n

kk

n

k

*kk

*n

*

*

n*T

Tn

Tn

222

1

22

1

2

1

21

2121

; ;

2

1

∫∫

∑

∑

==∈

=

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

==

=

=

Ortogonalitatea( )

α=

+=+=

=⊥

→→→→

→→→→→→

cosyxy,x

yjyiyxjxix

y,xyxyx

2121 ;

a.p.t. 0 daca ortogonalisunt si Vectorii

( ) ( ) ( )

04

414

204

2

221

2 ; 0 pe definite ;

00

00

00

0

00

00000

00000

0

00

=ω

π−=

ωω−

=ωω

=

=ω=ωω=ωω

ωπ

=ω=ω=

∫∫

cosTcoscostcos

tdtsindttsintcostsin,tcos

TT,tsintytcostx

T

TT

6

{ }

{ }.T

e

k,j,i

HU

.uax,Hx.UxHxxx,u

.U,HxHH

uU

Zk

tjk

Iiii

n

Ikk

0 perioada de periodice semnalelepentru

ladimensionainfinit baza o formeaza Multimea

ional. tridimensspatiulin baza o formeaza Versorii

. lui a baza o estecomplet sistem Orice

si daca ,0 0

din vectorii totipe ortogonal alt vectorun nici existanu daca in complet este Hilbert

spatiu un -dintr doi cate doi ortogonali vectoride , sistemUn

0∈

ω

→→→

∈

∈

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∀

∉∈=⇔=

∈

=

∑

Relatia intre distanta si produsulscalar. Teorema lui Pitagora

( )( )

( ) ( )( ) { }

( ) Pitagora. lui teorema

: si 0 atunci Daca

2

:sidintredistanteipatratuldefineste Se

222

222

222

2

22

,yxy,xd

y,xyx

.y,xReyxy,xd

;y,xy,xyxy,xd

,y,xx,y

,y,yx,yy,xx,xyx,yxy,xd

.yxy,xd

yx.Hy,x

*

*

+=

=⊥

−+=

+−+=

=

+−−=−−=

−=

∈

7

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ).tcos,tcosdtsin,tcosd

.TTTTtcos,tcosd

.Tdttcostcos,tcos

tcostytcostx

.TTTtsin,tcosd

Tty

Tdttcostdtcostx

TT,tsintytcostx

T

TT

0000

0000

002

0

00

200

00

000

002

02

0

0

0

00

22

00000

Deci

22

222

2

; si :acum lua Vom22

2 si

2221

2 ; 0 pe definite ;

0

00

ω−ω<ωω

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=ω−ω

−=ω−=ω−ω

ω−=ω=

=+=ωω

=

=ω+

=ω=

ωπ

=ω=ω=

∫

∫∫

Inegalitatea lui Schwartz( ) ( )

( )( )

( ) .y,xey,xey

xd

;y

y,xey,xea

,y,xey,xeyada

,y,xey,xeayaxd

,eak

k.Ck,y,xky,xkykxkyx,kyxky,xd

*jjmin

*jj

*jj

*jj

j

**

2

222

2

22

2222

2222

4

12

02

? vectoridoi cei dintre distanta aminimizeaz lui a valoareCe 0

ϕϕ−

ϕϕ−

ϕϕ−

ϕϕ−

ϕ

+−=

+=

=+−=∂∂

+−+=

⋅=

∈∀≥+−+=−−=

8

Augustin Louis Cauchy Victor Yakovlevich Bunyakovsky Hermann Schwarz

( )

( )

( ) ( )( )

( )

Schwartz. lui eainegalitat -

0

:este si dintre distanta aminimizeaz care lui Valoarea2

02

4

4

1

2

222

2

222

222

22

22

222

2

222

yxy,x

.y

y,xxky,xd,

y

y,xk

kyxk

.y

y,x

y

b

y

beebeea

.

,eejy

bd

,eeeey

bxd

,eby,x

,y,xey,xey

xd

min

jjjj

jjmin

jjjjmin

j

*jjmin

⋅≤

≥−==

==+

=

ψ=ϕ

=−−=ϕ∂∂

+−=

⋅=

+−=

ψ−ψψψ−

ψ−ϕ−ψ−ϕ

ψ−ϕψϕ−

ψ

ϕϕ−

9

( ) ( )

.TTT

tcostcosTT

tcos,tcos

-ktcostytcostx.tsinktcosk

TTTtsintcostsin,tcos

.kxy

yxy,x

222 si

22 :adevar-Intr

egal. semnul apare Schwartz lui eainegalitatin si1 atunci si insa Daca

incat astfel existaNu

;222

; 0

:anterior exemplulPentru daca loc are Egalitatea

Schwartz. lui eainegalitat -

00000

0000

00

00

0000000

==ω−⋅ω=−=ω−ω

=ω−=ω=ω=ω

==ω⋅ω=ωω

=

⋅≤

Aproximarea optimala in spatiulHilbert

{ }

{ }

.u,xau

U

.Hxn,k,u

u,xa

,uau,uau,x

uaxlk,,lk,uu,u.u,u,uU

.U

x

kkk

k

kk

ii

n

kikki

n

kkk

llkn

==

∈∀∈=

==

=⎪⎩

⎪⎨⎧

≠===

∑

∑

=

=

si 1 unitara, normaau

compun o care vectoriiatunci aortonormal este baza Daca

, ..., 2, 1

0

...,

l.dimensionafinit Hilbert spatiu unui cazul Consideram ortogonale baze uneir elementelo a

liniara combinatie o ca unica exprimare o are vector oricecomplet esteHilbert spatiul Deoarece

2

2

2

1

1

2

21

10

{ }1

1 21

. Daca se doreste aproximarea semnalului folosind doar o parte a

elementelor bazei , , ,..., cu , , se pune intrebarea

cum trebuie alesi noii coeficienti astfel inca

n

k kk

m

m k kk

x a u x

U u u u m n x u

=

=

=

< = λ

∑

∑%

( ) ( )2 2 22 2

1 1

2 * *

1 1 1 1

t sa se obtina cea mai buna aproximare. Eroarea de aproximare este data de distanta dintre si .

; , ; , ,

, ,

m m

k k i ik i

m m m m

k k i i k ik i k i

x x

e x x d x x x x e d x x e x u x u

x u x x u

= =

= = = =

= − = − = = = − λ − λ =

= − λ − λ + λ λ

∑ ∑

∑ ∑∑

%

% % % %

( )2

2 2 * 2*

1 1

, ,

, , ,

k i

m m

k k k k k kk k

u u

e x x u x u u= =

ε = = − λ + λ + λ

∑

∑ ∑

( )

{ }

{ } { }( )

22 2 * 2

2

*

1 1

2 2 2arg arg*

Anuland toate derivatele partiale ale lui in raport cu se obtine:,

, 1 2 , ,

Demonstratie

, , ,

k k

k

kk

m m

k k k k k kk k

j jk k k k

k

k

k

x uλ a k , , ...,

e x x u x u u

x e

m m n

a

u

u e a u

= =

λ − λ

ε = = − λ + λ + λ

ε = − λ ⋅

ε λ

=

⋅ + ⋅ ⋅ + λ

= ∈ <

∑ ∑

{ }{ }{ }{ }

{ }{ } { }( )

{ } { } { } { } { } { }p p

2 2

1 1

2 2arg *

arg arg*

arg arg 2 arg 2 arg**

2arg*

2

,

Re,

arg arg

Deci c.

2

c.t

Re 2 0

0arg

p

p

p

p

p

p

m m

k kk k

jp p p p

p

j jp p p

p

j j j j app p

p

jp p

p

p

p p

p p p p

u

e a u u

j e a j e a

ae a e a e e

a

a e u

u

a

a a

= =

λ

λ −

λ

λ

λ

− λ λ

∂ε= − ⋅ ⋅ + λ ⋅ = ⇔

∂ λ

∂ε= − λ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇔

∂ λ

⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = = ⇔

⋅ ⋅λ =

λ =

λ = λ =

∑ ∑

( )2 2

2 2 2 2 2min 2

1 1 1

,.

.d

m m nk

k k k kk k k mk

x ux x a u a u

u= = = +

ε = − = − =∑ ∑ ∑

11

Teorema proiectiei

.Hx~xe

;Hxx~x

HxHx~

HxHH

s

s

s

s

s

subspatiulpe ortogonala este comisa eroarea

din element orice la la dedistanta mica mai cea este la la de distanta -

:ileproprietat are caredin elementecu lui a aproximare buna

mai cea reprezinta caredin un vector exista din vectorulfiar Oricare acestuia. al inchis

Hilbertsubspatiu un siHilbert spatiu un Fie

−=−

{ } { }Hilbert.spatiu doilea al de cel pe lui proiectia , vectorulde data este

ortogonala baza degenerat Hilbert spatiuldin elementecu ortogonala bazadegenerat Hilbert spatiuldin i vectorulua aproximare buna mai Cea

2121

xx~u,...,u,uu,...,u,u

x

mn

.xx~

xe

;uauauax~xe

uax,xxuax~,x~x~

x~m

x~xuaxuu,x

x

min

n

mkkkk

m

kkk

n

kkminmin

k

n

kkk

m

kk

m

kkk

m

kk

kmin

2

2

2

2

1

2222

1

22

1

222

22

1

222

1

2

2

222

1

22

1 2

22

1

:relativa minima Eroarea

; ;

scade. si creste dedat termenul lui crestereaCu

−=

=−=−==ε

====

ε

−=−=−=ε

∑∑∑

∑∑

∑∑

+===

==

==

Eroarea medie patratica a aproximarii optime

12

Cazul spatiilor de dimensiuneinfinita

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ){ }

2,

2

2

Se considera un spatiu infinit dimensional, de exemplu .

,, , , , , .

, , - completa si ortogonala intr-un spatiu finit dimension

a b

kk k l k k l l l k

k k k

N k

L

x t u tx t a u t x t u t a u t u t a u t a k Z

u t

U u t k N N

∞ ∞

=−∞ =−∞

= = = = ∈

= = −

∑ ∑

( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )2,

2 1

222 1

2 1 2 12

al,

subspatiu al spatiului Hilbert generat de . Fie cea mai buna aproximare a lui cu elemente din subspatiu.

,; , ,..., , 0.

a b

N

bN k

N k k k NLk ak

U x t x t

x ux t u t k N N e x t x t dt

u

+

∞+

+ +=−∞

= λ λ = = − ε = = − ≥

ε =

∑ ∫

%

%% %

22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1, , , , , ;N N N N N N Nx x x x x x x x x x x x x x+ + + + + + +− = − − = − − +% % % % % % %

22 1 2 1 2 1 2 1 2 1, , , , ;N N N N Nx x x x x x x x x x+ + + + +ε = − = − − +% % % % %

2 *

2 2 2*

, , ,

; Relatia lui Parseval.

2 2* *, ; , , 2 1 2 1

2 2 22 1

2 2 2 * *2 1

k k k kk k

k k k k kk k

x x x x a u a x u

a a u a u

N Nx x a u x x a uN k k k N k k kk N k N

Nx uN k kk N

Nx x a a aN k k k k k kk N

∞ ∞

=−∞ =−∞

∞ ∞

=−∞ =−∞

= = = =

= =

= λ = λ∑ ∑+ += − = −

= λ∑+ = −⎛ ⎞

ε = − = + λ − λ − λ∑ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= −

∑ ∑

∑ ∑

% %

%

%

( ) ( )

( ) ( )( )

2 2

2 2 2* * * * cu

2* * ,

u ak kk NN

a a a a u a ak k k k k k k k k k kk N k N k NN

a a uk k k k kk N

+ =∑>

= + λ λ − λ − λ + = ε λ +∑ ∑ ∑= − > >

ε λ = − λ − λ∑= −

13

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2* *2 1

min 2 1

2 22 2 2 2 2

min 2 1

22 2 2

2 1

22 1

2,

=0 daca , ;

2 .

- inegalitatea lui Bessel.

lim l

N

N k k k k kk N

N

k k N k kk N

N N

N k k k kk N k N

N

N k kk N

NN

x x a a u akk N

a x t a u t

x x u x u

x a u x

x x

+=−

+=−

+=− =−

+=−

+→∞

ε = − = −λ −λ + ∑>

ε λ = ε λ λ = =

ε = + − λ = − λ

= ≤

− =

∑

∑

∑ ∑

∑

%

%

%

%

% ( ) ( )

( ) ( )

22 1

2 1

im 0 converge in medie patratica la .

. . .

k NN k N

N N

a x t x t

l i m x t x t

+→∞>

→∞ +

=

=

∑ %

%

Friedrich Wilhelm Bessel (22 iulie 1784 – 17 martie1846) a fost un matematician german, astronom sisistematizator al functiilor Bessel (care au fostdescoperite de catre Daniel Bernoulli). S-a nascut la Minden in Westfalia si a murit la Königsberg (acumKaliningrad, in Rusia). La varsta de 26 de ani a fostnumit director al Observatorului Astronomic din Königsberg de catre Frederick William al III-lea al Prusiei. Desi nu a beneficiat de o educatieuniversitara, Bessel a fost o figura majora in astronomie. A fost ales membru al Societatii Regale de Astronomie si cel mai mare crater din regiunea de pe luna numita Mare Serenitatis ii poarta numele. A castigat medalia de aur a Societatii Regale de Astronomie in anul 1841. Asteroidul 1552 Bessel a fost numit in memoria sa.

14

Reprezentarea semnalelor periodice

( ) ( )

energiei. aRayleigh teoremasi numeste mai se Parseval lui Relatiamedie. puterea eechivalent forme douaprin Exprima

Parseval. lui relatia11 22

10

2

00

201

1

−== ∑∫=

+tua

Tdttx

TTe

k

n

kk

Tt

t

Seria Fourier trigonometrica( ) ( ){ }

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) .dttksintxTtksin

tksin,txb

,dttkcostxTtkcos

tkcos,txa

,dttxT

,txa

tksinbtkcosaatx

Tdttksintksin

Tdttkcostkcos;Tdt

tk,tkcos, UL

Tk

Tk

T

T

kkk

T

T

T

T

T

T

NkT,T

00

20

0

00

20

0

2

20

20

1000

02

2

022

0

02

2

022

00

2

2

22

002

22

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

2

2

continua. componenta 1

1

1

1

;2

;2

11

.ortogonala baza sin 1

ω=ω

ω=

ω=ω

ω=

==

ω+ω+⋅=

=ω=ω

=ω=ω==

ωω=

∫

∫

∫

∑

∫

∫∫

−

∞

=

−

−−

∈⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

15

( )( ) ( )

( )I. speta de itatidiscontinu definit numar un si precum minime de si

maxime definit numar un perioada o-intr aiba sa trebuie Functia 2.

.2

:punct acelin laterale salelimitelor a aritmetica media la

punct oricein converge trica trigonomeseria - portiuni pe monotona 1.:Dirichletluialeaconvergent de Conditiile

tx

txtxttx

+− +

Particularitati ale serieitrigonometrice

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )0

0

1 0 1 0 01

1

1

1

2 222

01 0

componenta continua a semnalului .

; cos sin ;

- componenta oscilanta.

par 0;

impar 0;

12 2

Relatia lui Parseval.

k kk

k

k

k k

Tk

a x t

x t x t a x t a k t b k t

x t

x t b

x t a

a bP a x t dt

T

∞

=

∞

=

−

= − = ω + ω

− ⇒ =

− ⇒ =

⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑ ∫

16

Seria Fourier armonica

( )

( ) ( )∑∞

=ϕ+ω=

ωϕ

ω+=

−=ϕϕ+ω+=ω+ω

00

0

022

022

00

frecventa de icomponente a initiala faza - ; frecventa de icomponente eaamplitudin -

kkk

k

kkk

k

kkkkkkk

tkcosAtx

.kkbaA

.ab

tg;tkcosbatksinbtkcosa

( )0

2 2 222 2

0 01 10

12 2 2

Relatia lui Parseval.

k k kT

k k

a b AP a x t dt A

T

∞ ∞

= =

⎛ ⎞= + + = = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫

Seria Fourier exponentiala

( )

( )

( )

( )( )

.cargac;kcargk carg

;kcckbac

.ecececatx

ccRtx

;dtetxT

jbac

;dtetxT

jbac

;ejbaejbaatx

;jeetksineetkcos

kkkk

kkkkk

k

tjkk

k

tjkk

k

tjkk

*kk

tjk

T

kkk

tjk

T

kkk

tjk

k

kktjk

k

kk

tjktjktjktjk

0 ; 1 , ; 1 ,

1 , ; 1 ,

12

12

22

2 ;

2

000

22

110

0

0

110

00

000

0

0

0

0

00

0000

==

−≤ϕ−=≥ϕ=

−≤=≥+=

=++=

⇒=⇒∈

=+

=

=−

=

++

−+=

−=ω

+=ω

−

−

∞

−∞=

ω∞

=

ω−−

∞

=

ω

−

ω−

ω−

ω−∞

=

ω∞

=

ω−ωω−ω

∑∑∑

∫

∫

∑∑

17

Diagrame spectrale

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

0

0

0

0

0

1 01

1 0

2

0 0 0 1 00 00 0

200

0 00 0 0 00 0 2

0 0

2, 0 ; .

0, 2

1 1 2 1 ; . - impar

0 pentru 0.

cos2 2 4sin 2sin

0, p1 cos4 2 1 1

TT

k

TT

k T

k

t t Tx t t

t t T

a x t dt dt A a x t x t aT T

a k

k tb x t k tdt k tdt

T T T k

kkT k k

≤ <⎧= =⎨ ≤ <⎩

= = = = = − ⇒

⇒ = ≠

ω= ω = ω = =

ω

−− π ⎡ ⎤= = − − =⎣ ⎦ω π

∫ ∫

∫ ∫

( )

( ) ( ) ( )

2 1

00

ar4, 0.4 2 1, -impar

41 sin 2 12 1

k

k

b kkk

k

x t k tk

+

∞

=

⎧⎪ = ≥⎨

+ π⎪ π⎩

= + + ω+ π∑

18

( ) ( )

( )

( )

0 00 0

0

0

0

20

0 0 0 00 0

2

00 00 0

2 22 1 2 1

0

1 11 1 22 , 0

1 1 2 1

2 2 2, 0 , , 12 1 2 1 2 1

2 , , 1.2 1

kT jk tjk t jk t

k T

TT

j j

k k

k

ec x t e dt e dt kT T T jk jk

c x t dt dtT T

c j e k c e kk k k

c k Z ck

− ω− ω − ω

π π−

+ +

− −= = = = ≠

ω π

= = =

= − = ≥ = ≤ −+ π + π + π

= ∈ =+ π

∫ ∫

∫ ∫

Observatii

i) Diagrama spectrala de modul este para iar ceade faze este impara.

ii) Diagrama spectrala de modul poate fi determinata experimental folosind un voltmetru selectiv.

19

Forme ale relatiei lui Parseval

Diagrame spectrale de putere

Banda efectiva de frecvente a semnalului.

In intervalul (0,9ω0) se gaseste 96,5% din putereasemnalului x(t).

20

Fenomenul GibbsAlbert Michelson, 1898

Josiah Willard Gibbs (11 februarie 1839 –28 Aprilie 1903) a fost un matematician-ingineramerican celebru, fizician teoretic si chimist, recunoscut pentru faimosul sau articol, aparut in 1876, On the Equilibrium of Heterogeneous Substances, o analizagrafica a sistemelor chimice multi-faza, care reprezinta baza unei parti importante a stiintei moderne. El si-a petrecut intreagaactivitate la Universitatea Yale, care i-a decernat prima diploma de doctorat din America in inginerie in anul 1863. In anul1880, pentru cercetarile sale in domeniulcaldurii, Gibbs a primit medalia Rumford din partea Academiei Americane de Arte siStiinte.

21

( ) ( )[ ]

ττ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τπ⋅

π≅

=ττω−++τω+τωπω

=

∫

∫

τπ≅

τπ⇒<<<τ<

dT

nsin

dncos...coscosty~

tTTsinTt

t

0

0

220

0000

0

222

1234

000

uT

n =πτ

⋅0

22

22

( ) dtt

tsinzSiz∫=0

23

( ) ( )22 2

2 2

1 1 1T T

jk tTk T

T Tc t e dt t dt

T T T

π−

− −

= δ = δ =∫ ∫

( ) ( ).Tk

t t kT∞

=−∞

δ = δ −∑

( ) ( ) 01 .jk t

Tk k

t t kT eT

∞ ∞ω

=−∞ =−∞

δ = δ − =∑ ∑

24

Proprietatile seriei Fourier exponentiale

( ) { } ( ) ( ) ∑∫∞

−∞=

ωω− ==↔k

tjkxkT

tjkxk

xk

Fectxdtetx

Tcctx a.p.t 1 00

1. Aditivitatea si omogenitatea

( ) { } ( ) { }

( ) ( ) { }

, x yk k

x yk k

x t c y t c

ax t by t ac bc

↔ ↔

+ ↔ +

2. Deplasarea in timp

( ) { }xk

tjk cettx 00 0ω−↔−

25

3. Conjugarea complexa

( ) { }xk

* ctx −↔

4. Reflectarea semnalului

( ) ( ) { }xkctxtx −↔−= (

26

5. Scalarea variabilei

( ) { }xkcatx ↔

6. Modularea semnalului

( ) { } . 0

00 xkk

tjk cetx −ω ↔

27

7. Produsul a doua semnale

8. Convolutia periodica a semnalelor

( ) ( ) ( )T

z t x y t d= τ − τ τ∫

( ) ( ) { } .x yk kx t y t Tc c⊗ ↔

Convolutia circulara a doua unde rectangulare. Se observa efectul de “circularitate”

28

Dualitatea timp-frecventaDaca aplicam o operatie in domeniul timp (de exemplu inmultirea cu o exponentiala complexa) efectul va fi o operatie corespunzatoare in domeniul frecventa (de exemplu translatia). Acest exemplu corespundecelei de a sasea proprietati. Daca aplicam cea de a doua operatie in domeniul timp (translatie in timp) efectul va fi aplicarea primei operatii in domeniul frecventa (inmultirea cu o exponentiala complexa). Se obtineastfel proprietatea 2. Acest comportament se numeste dualitate.

Ca o consecinta a proprietatii 4 putem afirma ca reflectarea este o operatieautoduala.

Si dupa derivare, un semnal ramane periodic de aceeasi perioada, dar componenta continua dispare.

9. Derivarea semnalului

( ) { }xkcjk

dttdx

0 ω↔

29

10. Integrarea semnalului

( ) 0 00

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω↔ττ∫

∞−

xt x

k cjkc

dx

11. Cazul semnalelor reale

Seriile componentelor para si impara

( ) ( ) ( ) { }{ }( ) ( ) ( ) { }{ }

Re2

Im 2

xp k

xi k

x t x tx t c

x t x tx t j c

+ −= ↔

− −= ↔