1

1

6 Analiza Fourier a semnalelor

definite in timp discret

1-Seria Fourier pentru semnale periodice in timp discret

2-Transformata Fourier in timp discret pentru semnale

aperiodice

http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap6.pdf

2

Raspunsul sistemelor discrete, liniare si invariante

in timp SLITD la exponentiala complexa de modul

unitar

j k

k

H h k e

H() 0j ne

0

0

j ne H

Functie proprie pentru

orice SLITD

Valoare proprie

.0000

k k

kjnjknjnjekheekhenhny

0 00

0 0Cu notatia: j nj nj k

k

H h k e y n e H H e

• Demonstratie:

• La iesire se obtine tot o exponentiala complexa, de aceeasi frecventa ca si semnalul de intrare, 0, dar de modul si faza

initiala afectate de |H(0)| si arg{H(0)}.

2

3

Fie un semnal de intrare x[n] ce apare ca o combinatie liniara a unor exponentiale complexe de forma Φk[n]=exp(jkn),

Se observa ca raspunsul este o combinatie liniara a raspunsurilor

partiale, H(Ωk) Φk[n]

Daca semnalul de intrare se poate pune sub forma unei sume de exponentiale discrete, este suficienta cunoasterea functiei H(), pentru

a determina raspunsul y[n]

H() kj n

k

k

a e

kj n

k k

k

a H e

4

Seria Fourier in timp discret pentru

semnale discrete si periodice

Fie un semnal periodic, x[n] de perioada N, pentru care x[n+N]=x[n], n. Intr-o perioada exista N valori {x[0], x[1],

…, x[N-1]}, dupa care ele se repeta: x[0]= x[N], x[N+1]= x[1] ...

etc. Se scrie ca:

x[n]= x[(n)N]

(n)N - reprezentarea lui n in clase de resturi modulo N

(7)8=7 pentru ca 7=08+7

(15)8=7 pentru ca 15=18+7

Pentru n<0, restul (n)N trebuie sa fie pozitiv:

(-15)8=1 pentru ca -15=-28+1

3

5

Spatiul semnalelor discrete si periodice, de perioada N, este N

dimensional, deci bazele sunt N-dimensionale. Un exemplu de baza

ortogonala este

2

0

,2 , 0 1 ; ; ,

0,

jk nN

k k l

N k ln e k k N n n

k lN

Pentru un semnal periodic, x[n], de perioada N, de energie finita, exista

o descompunere unica, cu coeficientii ck unic determinati

Aceasta este o pereche Fourier. Seria Fourier exponentiala: sinteza

semnalului x[n] ca o suma ponderata de N exponentiale complexe

discrete. Secventa de coeficienti Fourier este si ea periodica de aceeasi

perioada N

0 0

1 1

0 0

1N Njk n jk n

k k

k n

x n c e c x n eN

, 0 1.k N kc c k N

6

• In insumare indicii trebuie sa ia valori consecutive, dar

nu neaparat 0,…,N-1. Notatie <N>

• Periodicitatea seriei Fourier se verifica usor:

2 21 12

0 0

212

0

1 1

1Dar 1 si , 0 1.

sau

N Nj k N n jk nj nN N

k N

n n

N jk nj n N

k N k

n

Nk N k k k

c x n e x n e eN N

e c x n e c k NN

c c c c

4

1. Semnalul sinusoidal are perioada N. Folosind

relatia lui Euler:

7

Exemple

n

Nnx

2sin

.

2

1

2

1

2

1

2

12sin

21

222n

NNjn

Njn

Njn

Nj

ej

ej

ej

ej

nN

Prin identificare:

1 1 0 2 2

1 1 , ; in rest coeficientii sunt nuli: ... 0.

2 2N Nc c c c c

j j

Diagrame spectrale de modul si de faze pentru N=6 sin 2 / 6n

8

Relatia lui Euler:

Identificare:

1 sin 2 / 4cos 2 / cos 4 / / 2x n n N n N n N

1

1

2

2 2

2 2

2 22

2 2

1 11

2 2

2 2

1 1

2 2

N

N

N

j n j nN N

j n j nN N

j n j nj jN N

x n e ej j

e e

e e e e

2.

0 1 2 2 1

1 11; 2 ; ; 2

2 2 2 2N N

j jc c c c c

j j

5

9

3. Semnalul dreptunghiular, de perioada N. Intr-o perioada sunt

2N1+1 valori succesive egale cu 1.

Pentru k=0:

1 11

1

22 2 2

0

1 1; 0 1

nN Njk n jk N jk

N N Nk

n N n

c e e e k NN N

10

2 1Nc

N

11

2 12sin sin 2 1

1 12 2

2sin sin

22

k

Nk N

Nc

N Nk

Nk

N

1 1k N

10

•Semnale in timp continuu: trunchierea seriei duce la aparitia unor

oscilatii la trecerea brusca a semnalului de la o valoare la alta.

Mariind numarul de termeni din serie, amplitudinea oscilatiilor nu

se modifica, dar ele devin mai rapide (fenomenul Gibbs)

•Semnale in timp discret: trunchierea nu duce la aparitia unui

fenomen de tip Gibbs. Se face o aproximare a semnalului; cu cat

numarul de termeni e mai mare, cu atat aceasta este mai buna. Cand

se insumeaza toti cei N termeni, semnalul este chiar x[n], fara nici o

eroare.

•Fie N = 9 si 2N1+1 = 5 . Coeficientii Fourier sunt:

c0 = 0,556 ,

c1 = c8 =0,32 ,

c2 = c7 = -0,059 ,

c3 = c6 = -0,111,

c4 = c5 = 0,073.

6

11

Semnalul trunchiat cu 2M+1 termeni din seria sa Fourier:

Pentru M=1, 2, 3 si 4 avem aproximarile:

29

M jk n

M kn M

x n c e

1

2

3

4

20.556 0.64cos

9

2 40.556 0.64cos 0.118cos

9 9

2 4 60.556 0.64cos 0.118cos 0.222cos

9 9 9

2 4 6 80.556 0.64cos 0.118cos 0.222cos 0.146cos

9 9 9 9

nx n

n nx n

n n nx n

n n n nx n

12

Trunchierea seriei de reconstructie pentru semnalul

dreptunghiular.

Nu apare o comportare asemanatoare fenomenului Gibbs:

x4[n]=x[n]

7

13

Proprietatile seriei Fourier in timp discret

1. Liniaritatea. x[n], y[n] periodice de aceeasi perioada

Tema: demonstratia

yxk k

ax n by n ac bc

2. Deplasarea (translatarea) in timp

02

0

jk nN

kx n n e c

Spectrul de modul nu este afectat, in schimb este afectat cel de

faza.

Operatii duale: deplasarea si modulatia (inmultirea cu o

exponentiala complexa)

14

3. Conjugarea complexa

k k Nx n c c

* *

Reflectarea este auto-duala.

4. Reflectarea semnalului

N

k kx n c c

8

15

5. Modificarea scarii timpului

Semnal cu derulare de m ori mai lenta:

Semnalul x[n] periodic de perioada N => Se obtine semnalul

x(m)[n] periodic cu perioada N’=mN.

/ ; daca divisibil cu 1

, perioada 0 ; altfel

'm k

x n m n m n mx n c N mN

m

2 21 1

0 0

21

0

1 1

1 1

mN Njk jk mpmN mN

m mkn p

N jk pN

kp

nc x n e x pm e

mN mN

x p e cmN m

'

16

6. Modularea semnalului

Modularea realizeaza deplasarea cu k0 a spectrului de modul si faza.

0

0 0

2

N

jkN

k k k k

ne x n c c

7. Produsul a doua semnale (teorema produsului)

1

0 N

Nyx x x

m k kk mm

x n y n c c c c

Pentru x[n], y[n] periodice de aceeasi perioada

Seria Fourier este convolutia periodica sau circulara a secventelor

discrete formate din ckx si ck

y

9

17

8. Convolutia periodica (teorema convolutiei)

1

0

N

Nk

z n x n y n x k y n k

1

0

1

0

N

m

N

Nm

x n y n x m y n m

x m y n m

z n z n N

yxk k

x n y n Nc c

x[n] si y[n] periodice de perioada N, cu seriile Fourier ckx si ck

y

Convolutia lor circulara este z[n], de asemenea periodica cu N:

18

9. Diferentierea discreta a semnalului discret

Echivalenta diferentierii in timp continuu

Tema: demonstratie.

2

1 1j kN

kx n x n e c

10. Insumarea in domeniul (timpului) n

Suma esantioanelor unui semnal x [n] de perioada N , fara componenta

continua ( ) are aceeasi perioada N

Demonstratie.

02, 0

1

nk

j km N

cy n x m c

e

0 0c

2

1 1j k y xN

k k ky n y n x n e cc c

10

19

11. Proprietati specifice semnalelor reale

Daca x[n] este real,

12. Seria Fourier a componentei pare si impare

Nk k k

x n x n c c c

; Arg Arg Arg

Re Re ; Im Im Im

N N

N

k k k kk k

k k k k k

c c c c c c

c c c c c

1 1Re

2 2 2

1 1Im

2 2 2

p k k k

i k k k

x n x nx n c c c

x n x nx n c c j c

20

13 Relatia lui Parseval

Patratul normelor in l2.

Puterea P a semnalului discret periodic calculabila

-in timp: ca medie a patratelor esantioanelor temporale,

-in frecventa: ca suma a patratelor modulelor coeficientilor seriei

Fourier atasate semnalului.

1 1 22 2

20 0

N N

kn k

x n x n N c

1 1 22

0 0

1 N N

kn k

P x n cN

11

21

Transformarea Fourier in timp discret,

pentru semnale discrete Introducem notiunea de transformata Fourier, pornind de la seria Fourier a unui semnal periodic, a carui perioada tinde la infinit N

Semnalul de durata finita este:

Pentru semnalul periodic avem:

Seria Fourier se poate rescrie:

k

x n x n kN

2

jk nN

kk N

x n c e

2

1 jk nN

kk N

c x n eN

2

1 jk nN

kn

c x n eN

22

Se defineste anvelopa produsului Nck prin:

Coeficientii semnalului periodizat devin :

Pentru semnalul considerat

0 0

1 2,

kc X k

N N

j n

n

X x n e

1sin 2 1

2

sin2

N

X

12

23

2N1+1=5

Spectrul semnalului neperiodic

x[n] este anvelopa sau

infasuratoarea X(Ω).

24

Relatia de recuperare a semnalului este:

La limita N (Ω0 0) , obtinem semnalul neperiodic:

Transformata Fourier in timp discret

Transformata Fourier inversa in timp

discret

2

1

2

j nx n X e d

j n

n

X x n e

0 0

1 2, kc X k

N N

0 00 0 0

1 1

2

jk n jk n

k N k N

x n X k e X k eN

2

1lim

2N

j nx n x n X e d

13

25

Proprietati.

• Pentru semnale absolut sumabile, x[n] l1 , transformata converge

• Functia X( ) este continua. X(Ω) – spectrul unui semnal discret

este continuu

• Spectrul unui semnal discret este o functie periodica dupa , cu

perioada 2 . Este deci suficienta reprezentarea pe intervalul [0,2π)

sau [-π, π)

1

nxnxenxenxXnn

jn

n

jn

22

2

j n j n

n

X x n e e X

X X

njnjnjnj eeee 22

26

Semnale de energie finita (semnale de patrat sumabil)

Convergenta in medie patratica

Trunchierea seriei duce la aparitia fenomenului Gibbs (ca si

in timp continuu)

Probleme de convergenta apar doar la semnalele cu suport

infinit

Semnalele cu suport finit sunt din l1

l.i.mN

Nj n

n N

X x n e

2

lim 0N

Nj n

n N

X x n e

2x n l

14

27

Exemple

1.

2. Semnalul treapta unitate

3. Semnalul cauzal

Functie complexa, modul si faza

1

1 1

sin 2 12

1

sin2

N

x n n N n N X

0 1

1

j n

n

x n n X n e e

n

, 1nx n a n a

2

1 sin;

cos 11 2 cos

aX arctg

aa a

28

2

1 ;

11 2

a sinX Arg X arctg

acosacos a

15

29

Transformarea Fourier in timp discret,

pentru semnale discrete si periodice

• Poate fi introdusa numai in sens distributional

22 , unde

Nll l N

l

X c l c cN

Un semnal discret periodic, poate fi descompus in seria

Exponentiala complexa cu frecventa kΩ0 de modul unitar are

transformarea in timp discret:

,1

0

0

N

k

njkkecnx

00

22

jk ne k

30

Folosind liniaritatea avem

1

0

02

2N

k

k

x n c k

Transformarea exponentialei complexe de modul unitar

0 00

22 2 2

j n

k

n e X k

16

31

Tinand seama de definitia distributiei Dirac periodice:

Fie l = k+mN .

Tinand cont de periodicitatea seriei Fourier putem scrie cl = ck

Am obtinut transformarea Fourier in timp discret pentru un semnal

periodic discret.

1

0

02

2N

k

k

x n c k

0

1 1

0 0

22 2 2 2

N N

k km mk k

X c k m c k mN

22 , where

Nll l N

l

X c l c cN

32

Exemplu: Distributia Dirac periodica

seria Fourier

1N k

k

n n kN cN

2

2 l

l

X c lN

00 0

2 2 2; N

k

n kN N N

17

33

Spectrul X() unui semnal discret periodic este format din

distributii Dirac plasate la Spectrul este periodic de perioada 2

2 /k k N

34

Proprietati

1. Liniaritatea

ax n by n aX bY .

00

j nx n n e X .

2. Deplasarea in timp a semnalului

3. Modularea in domeniul timp

00

j ne x n X .

4. Scalarea variabilei timp

kx n X k .

18

35

5. Conjugarea complexa a semnalului

* *x n X .

6. Reflectarea in timp a semnalului

x n X .

7. Diferentierea numerica a semnalului discret

1 1 jx n x n e X .

8. Convolutia semnalelor (teorema convolutiei)

x n y n X Y .

36

9. Insumarea in domeniul timpului

201

n

jk

Xx k X .

e

10. Produsul semnalelor discrete

2

1 1

2 2x n y n X u Y u du X Y .

11. Derivarea in domeniul spectrului

dX

nx n j .d

19

37

12. Spectrele semnalelor reale

;

;

; Im X

* *

p i

x n x n X X .

x n Re X x n j Im X .

X X Arg X Arg X ;

Re X Re X Im X .

13. Relatia lui Parseval

2 2

2 2

222

2

22

2

1 ;

2

2

X 2

,

,

n -

L l

L l

x n l , x n X d

X x n .

x n , y n l , ,Y x n ,y n

38

Densitatea spectrala de energie

2

2

1

2

X

X

S X ;

W S d .

Se noteaza cu SX(Ω).

Energia se obtine prin integrarea densitatii spectrale de energie

20

39

Raspunsul in frecventa al SLITD

h n H . Raspunsul la impulsul unitar: h[n]

Transformata sa Fourier este raspunsul sistemului in frecventa H(). Cunoscand H() se poate afla iesirea pentru

orice intrare.

i)Se determina spectrul semnalului de intrare x[n], X(),

ii)Se determina spectrul semnalului de iesire y[n], Y(),

iii) Se descompune Y() intr-o suma de fractii simple si se

aplica transformarea Fourier inversa. Pentru aceasta, se

folosesc de obicei tabelele de transformate!

40

Raspunsul unui SLITD la un semnal de

intrare discret si periodic

In cazul particular semnal de intrare armonic:

0 00 0

1 1

0 0

2 ;

N Njk n jk n

k kk k

x n c e y n c H k eN

0 0 0 00

2cos cosx n A n y n A H n

N

21

41

Coeficientii Fourier:

0 0

2 2

0

2cos

2

j jN NA

x n A n e eN

0 01 1 1;

2 2

j j

N

A Ac e c c e

0 0 00 0 0 0

2;

2 2

n nj j j jA Ay n e H e e H e

N

fiindca H H h n

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

2 2

2cos ;

j n j nA Ay n H e H e

y n A H nN

Demonstratie!

42

SLITD descrise de ecuatii cu diferente

finite liniare cu coeficienti constanti

Forma generala a ecuatiei este

Se aplica transformarea Fourier :

0

0 0

, 0N M

k kk k

a y n k b x n k a

Rezulta raspunsul in frecventa al sistemului

22

43

Exemple

i)

Raspunsul in frecventa

2 1

1 2 12 4

y n y n y n x n x n

2 1 2

41,2

1 1

2 1 1 11

2 4

2 11

4 2

j j

j jj j

j

e eH

e ee e

j e

Se face descompunerea in fractii simple:

1 21,2

1 2

1 2 2 1;

2 21 1j j

A AH A j

e e

44

Luand transformarea inversa se obtine raspunsul la impuls al

sistemului

1 1 2 2

4 41 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2

1 cos 2 2 1 sin

2 4 4

2 1 cos 2sin

2 4 4

n n

jn jn

n

n

n

h n A A n

j e j e n

n n n

nn n

23

45

ii) Determinam raspunsul la impuls al sistemului din raspunsul

in frecventa:

Descompunere in fractii simple:

Transformarea Fourier inversa :

4 1

1 11 1

2 8

j jH

e e

3

1 11 1

2 8

j j

H

e e

3

1 14

2 2n n

h n n

46

iii) Obtinem raspunsul la impuls h[n] si raspunsul la treapta

unitara (functia indiciala) s[n] pentru sistemul descris de ecuatia

Se identifica coeficientii si avem:

Transformarea Fourier a semnalului treapta unitara σ[n] este:

Raspunsul la treapta unitara, s[n], are transformarea:

1 , 1y n ay n x n a

0 2

1

1j

Xe

1

raspunsul la impuls 1

n

jH h n a n

ae

0 2

1

11 1j j

S H Xaae e

24

47

Descompunere in fractii simple:

Se aplica transformarea Fourier inversa si rezulta functia indiciala

s[n]

2

2

1 1 1

1 1 11 1

1 1 1

1 11 1

j j

j j

aS

a a aae e

aS

a aae e

11 1

1 1 1

nna a

s n a n n na a a

48

SLITD de ordinul intai si doi

Raspunsul in frecventa a unui SLITD este o functie

rationala. Numitorul si numaratorul pot fi scrise ca si produs

de factori cu coeficienti reali de gradul unu si doi.

Implementarea : sisteme de ordinul unu sau doi

conectate in serie realizate in forma directa II

(Produsul in domeniul frecventa inseamna convolutie in

timp)

22

1 20 1 1

220

1 21 1

1 1

1 1

P M Pj j j

k k kk kQ N Q

j j jk k k

k k

e e eb

Ha

e e e

25

49

Pentru M=N, descompunerea in fractii simple

Implementarea : sisteme de ordinul unu sau doi

conectate in paralel realizate in forma directa II

2

0 12

1 11 21 1

jQ N QN k k k

j j jk kN k k k

e AbH

a e e e

22

1 20 1 1

220

1 21 1

1 1

1 1

P M Pj j j

k k kk kQ N Q

j j jk k k

k k

e e eb

Ha

e e e

50

• Un polinom de ordinul intai sistem de ordin intai

• Un polinom de ordinul doi sistem de ordin doi.

Cunoscand comportamentul in frecventa al sistemelor de

ordinul intai si doi, putem deduce comportamentul in

frecventa oricarui sistem SLITD.

Rezulta importanta sistemelor de ordinul unu si doi.

26

51

Sisteme discrete de ordinul intai

1

11 , 1 . ;

1

1 .

1

j

nn

y n ay n x n a Hae

ah n a n s n n .

a

Pentru 0<a<1 raspunsul la impuls precum si raspunsul indicial nu

prezinta oscilatii

52

1

11 , 1 . ;

1

1 .

1

j

nn

y n ay n x n a Hae

ah n a n s n n .

a

Pentru -1<a<0 raspunsurile au caracter oscilant!

27

53

Sisteme discrete de ordinul doi

Ecuatia cu doi parametri:

Raspunsul in frecventa:

Raspunsul la impuls:

Raspunsul indicial:

54

2

22 2 2 2

2 2

0

1 1 .

1

1 1 1 1

1 1 11 1 11

11

11 1

n

j

j jj

n n

.

H h n n n

e

S .e ee

s n n n .

Sistem de ordinul doi: =0

1.

28

55

2

2 2

1

1

1 ,

11

11 1

j

n

n n

.

H .

e

h n n n

s n n n .

2. Sistem de ordinul doi: =

56

Sistem de ordin doi. Raspunsul la impuls pentru =/2, =0, =

Sistem critic amortizat

Sistemul prezinta oscilatii

29

57

22 2 2 2 2 2

2

1

4 4 1 1 4

2

1 2 2

H .

cos cos cos cos

r sin a r cosarctg .

r cos cos r cos

Raspunsul in frecventa

Functia de corelatie. Densitatea spectrala de

putere si de energie a semnalelor discrete

0

0

0 0

0

0

12

000

0

1 12

0

0 0

1

2 1

Daca x[n] este de perioada

2

Functia este periodica de perioada

Teorema W

N

xN

n N

Njm k

x m

n

x

N Njm k

x x mNn n

R k lim x* n x n k .N

N :

R k c e ,N

R k N

R k R k N x* n x n k c e ,

periodic

2

iener-Hincin: are coeficientii seriei Fourier exponentiale

x

x m

R

R k c58

30

0 12

0

0

0

P - puterea medie pe o perioada a semnalului x[n]

Se defineste x[n]

ca transformata Fourier in timp discret a semnalului

N

x m x

n

x x

R P c ; R k P

N

R k R k

densitatea spectrala de putere a semnalului

0 1

20

0

periodic:

2

o alta forma a teoremei Wiener-Hincin.

N

x x m

n

R k S c k

59

60

Pentru un

, densitatea spectrala de putere este

transformata Fourier a functiei de corelatie:

periodica, perioada 2 , nenegat

x x

x

S R k

S

semnal de energie infinita, dar putere medie

finita, neperiodic

2

iva, para.

10

2x xP R S d

31

Functia de intercorelatie

pentru semnale discrete de energie infinita

dar de putere medie finita

0

0

0

1

0 0

1

2 1

In cazul a doua semnale periodice de aceasi perioada

Functia de intercorelatie a semnalelor discrete, periodice,

aceeasi perioada:

1

N

xyN

n N

xy xy

N

xy

n

R k lim x* n y n k .N

N :

R k N R k .

R k x* n y n k .N

61

Proprietati

2

0 0

puterile semnalelor discrete x[n], y[n]

Pentru functia de intercorelatie

devine functia de corelatie sau autocorelatie.

*xy yx

xy x y x y

x y

xy xx x

R k R k .

R k R R P P .

P ,P

x y R R R

62

32

Functia de corelatie

pentru semnale discrete de energie finita

Masoara gradul de asemanare a celor doua semnale.

- densitate interspectrala de energie,

functia de autocorelatie

xy

n

xy XY

x

n

R k x* n y n k

x* k y k x* k y k .

R k X * Y S

x n y n ,

R k x* n x n k x k x k .

63

Proprietati ale functiei de

autocorelatie a semnalelor discrete

de energie finita

2

2

2

Teorema Wiener-Hincin

10

2

Functia este para si isi atinge maximul in origine.

x x

x x

x

R k X S .

W R X d .

R k

64

33

65

Relatia intre densitatile spectrale de putere

si de energie ale semnalelor ce trec prin

sisteme discrete, linare si invariante in timp

2

sau densitate spectrala de putere

(pentru semnalele de putere medie finita)

sau densitate spectrala de energie

(pentru semnalele de energie finita).

Y X

X Y

y x h

y n x n h n .

S H S .

S

R n R n R n

corelatoare 66