, , , , ,

INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE PRIMA SPEŢĂ Fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie

r(u, v) = ( ) ( ) ( )( ) ( ),u v D∈x u v y u v z u v , o reprezentare parametrică a sa.

Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că x, y, z ∈ ( )1C D . Fie de asemenea, F o funcţie reală definită pe ( )S r D= şi fie 1 2: , , , nD D Dρ K o

partiţie a lui D. Notăm cu ( )iS r D= i şi cu ( ), ,i i i iP x y z un punct oarecare din iS . Definiţia 6.3.1 Se numeşte integrala de suprafaţă de prima speţă a funcţiei

F pe suprafaţa S şi se notează cu ( ), , dS

F x y z σ∫∫ următoarea limită

( )0 1

lim arian

ii

iF Pρ → =

∑ S , dacă această limită există şi e finită.

(Sensul exact al existenţei acestei limite fiind următorul: există L ∈ Ρ astfel încât ∀ ε > 0, ∃ 0εδ > cu proprietatea că oricare ar fi partiţia ρ a lui D cu ερ δ<

şi oricare ar fi punctele iP S∈ i avem ( )1

arian

i ii

L F P S ε=

− <∑ .

Observaţia 6.3.1 Dacă S este o „suprafaţă materială” neomogenă, a cărei

densitate variabilă este descrisă de funcţia :F S +→ , atunci ( )1

arian

i ii

F P S=∑

aproximează masa suprafeţei S, iar ( )0 1

lim arian

i ii

F P Sρ → =

∑ ( )masa S= . Aşadar,

( ), , dS

F x y z σ∫∫ reprezintă masa suprafeţei materiale S a cărei densitate variabilă

este dată de funcţia :F S +→ . Teorema 6.3.1 Fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie

( ),x x u v= , ( ),y y u v= , ( ),z z u v= , ( ),u v D∈ o reprezentare parametrică a sa.

Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că ( )1, ,x y z C D∈ . dacă :F S → este continuă, atunci există integrala de suprafaţă de prima speţă a funcţiei F pe suprafaţa S şi

( ), , dS

F x y z σ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )2, , , , , , d dS

F x u v y u v z u v EG F u v u v= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫ (1)

Demonstraţie.

1

Onl

y fo

r stu

dent

s

Fie 1 2: , , , nD D Dρ K o partiţie oarecare a domeniului D. O astfel de partiţie

determină o partiţie a suprafeţei S (mai exact a suprafeţei lui S) şi anume: unde 1 2, , , nS S SK ( )iS r D= i . Fie ( ), ,i i i iP x y z un punct oarecare din ( )i iS r D= şi

fie ( )1

arian

n ii

iF Pπ=

= ∑ S . Dacă ţinem seama de modul de calcul al ariei unei

suprafeţe (Definiţia 6.2.2), rezultă că ( ) ( )2

1, , , d d

i

n

n i i ii D

F x y z EG F u v u vπ=

= −∑ ∫∫ .

Pe de altă parte, din teorema de medie a integralei duble, rezultă că există ( ),i i iDα β ∈ astfel încât

( ) ( ) (2 2, d d , ariai

i i iD

)EG F u v u v EG F Dα β− = −∫∫ .

Fie, de asemenea ( ),i i iDξ η ∈ cu proprietatea că ( ),i i ix x ξ η= ( ),i i iy y ξ η=, şi ( ),i iz z iξ η= . Cu aceste precizări rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( ) (2

1, , , , , , aria

n

n i i i i i i i ii

)iF x y z EG Fπ ξ η ξ η ξ η α β=

= ⎡ ⎤ −⎣ ⎦∑ D .

Dacă notăm cu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, , , , , ,G u v F x u v y u v z u v EG F u v= −⎡ ⎤⎣ ⎦ , ,

∀ ( ),u v ∈ D , atunci suma Riemann corespunzătoare partiţiei ρ, funcţiei G şi

punctelor intermediare ( ),i i iDξ η ∈ este

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2

1, , , , , , , , aria

n

i i i i i i i i ii

G F x y z EG Fρσ ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η=

= −⎡ ⎤⎣ ⎦∑ )D .

Deoarece G este continuă pe D , deci integrabilă pe D , rezultă că există ( ) ( )

0lim ; , , d d

DG G u vρρ

σ ξ η→

= ∫∫ u v (2)

Cum F este continuă pe ( )S r D= şi S este o mulţime compactă (fiind imaginea mulţimii compacte D prin funcţia continuă r), rezultă că F este mărginită pe S . Fie M > 0 astfel încât ( ), ,F x y z M< , ∀ ( ), ,x y z S∈ .

În continuare avem:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1; , , , aria

n

n i ii

G M EG F EG Fρπ σ ξ η α β ξ η=

− ≤ − − −∑ i i iD .

Pe de altă parte, funcţia 2EG F− fiind continuă pe mulţimea compactă D , este uniform continuă, deci ∀ ε > 0, ∃ 0εδ > cu proprietatea că oricare ar fi

2

Onl

y fo

r stu

dent

s

)punctele ( ) şi ( din ,u v′ ′ ,u v′′ ′′ D astfel încât u v εδ′ ′− < , u v εδ′′ ′′− < , rezultă că

( ) ( ) ( )2 2, ,

ariaEG F u v EG F u v

M Dε

′ ′ ′′ ′′− − − <⋅

(3)

Dacă presupunem acum că ερ δ< , atunci ( )diami i iD εα ξ δ− ≤ < ,

( )diami i iD εβ η δ− ≤ < , deci

( ) ( ) ( )1

; , ariaaria

n

n ii

G M DM Dρ

επ σ ξ η

=− < ∑ ε= (4)

Din (2) şi (4) rezultă că există

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 0

lim lim ; , , , , , , , d dnD

G F x u v y u v z u v EG F u v u vρρ ρπ σ ξ η

→ →= = −⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫ .

Exemplul 6.3.1 Să se calculeze ( )d

Sx y z σ+ +∫∫ unde 2 2 2:S x y z a2+ + = ,

z > 0. Suprafaţa S reprezintă emisfera superioară a sferei cu centrul în origine şi de rază a. O reprezentare parametrică a acestei suprafeţe este: sin cosx a u v= ,

, , sin siny a u v= cosz a u= ( ) (, 0, 0,2

u v Dπ )2π⎛ ⎞∈ = ×⎜ ⎟

⎝ ⎠ (Vezi Exemplul 6.1.1).

Ţinând seama că 2 4 2sinEG F a u− = , din Teorema 6.3.1 rezultă: ( )d

Sx y z σ+ + =∫∫ ( ) 2sin cos sin sin cos sin d d

Da u v a u v a u a u u v+ + =∫∫

( )2 23 2 20 0

d sin cos sin sin sin cos da u u v u v u u vπ π

= + +∫ ∫ =

2 2 223 2 20 0 0 0

sin sin sin cos sin cos da u v u v v u uπ π ππ⎛ ⎞⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ u =

223 3

0

sin2

2u

a aπ

π π= = .

Corolarul 6.3.1 Fie ( ): ,S z f x y= , ( ),x y D∈ o suprafaţă netedă explicită,

unde D este un domeniu mărginit care are arie, iar ( )1f C D∈ . Dacă :F S →

este continuă, atunci:

( ), , dS

F x y z σ =∫∫ ( ) ( )2 2, , , 1 , d dD

F x y f x y p q x y x y+ +⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫ (5)

Afirmaţia rezultă din Teorema 6.3.1 şi din observaţia că o reprezentare parametrică a suprafeţei S este: x = x, y = y, z = ( ),f x y , ( ),x y D∈ .

3

Onl

y fo

r stu

dent

s

Exemplul 6.3.2 Să se calculeze ( )d

Sxy yz zx σ+ +∫∫ , unde S este porţiunea

din conul 2z x y= + 2 , decupată de cilindrul 2 2 2x y y+ = . Observăm că proiecţia supra-

feţei S în planul xOy este domeniul 2 2: 2D x y y 0+ − ≤ . Aşadar,

2 2:S z x y= + , ( ),x y D∈ .

În continuare avem z

px

∂= =

∂

2 2

x

x y=

+,

2

z yq

y 2x y

∂= =

∂ + şi

2 21 p q 2+ + = . Din corolarul 6.3.1

rezultă că: I = ( )dS

xy yz zx σ+ +∫∫ ( ) 2 2 2 d dD

xy y x x y x y⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ .

Fig. 1 Fig. 2

Trecând la coordonate polare: cosx ρ θ= , siny ρ θ= , [ ]0,θ π∈ , 0 2sinρ θ≤ ≤ , obţinem:

2I = ( )2sin 2 2 20 0

d sin cos sin cos dπ θ

θ ρ θ θ ρ θ ρ θ ρ ρ+ + =∫ ∫

( )2sin4

00

2 sin cos sin cos d4

θπ ρ

θ θ θ θ θ= + +∫ =

( )5 5 40

4 2 sin cos sin sin cos dπ

θ θ θ θ θ θ= + + =∫ 50

4 2 sin dπ

θ θ =∫

( )220

64 24 2 1 cos sin d

15π

θ θ θ= − =∫ .

Observaţia 6.3.2 Dacă suprafaţa S este netedă pe porţiuni, adică este o

reuniune finită de suprafeţe simple netede, 1

ii

Sρ

==US cu proprietăţile: este

simplă şi netedă ∀

iS

1,i ρ= , două câte două nu au puncte interioare comune ( dacă i ≠ j) şi pentru orice i şi j i jS S = ∅I ij i jS SΓ = I este o curbă netedă pe porţiuni (în cazul când este nevidă), atunci

aria şi 1aria i

iS S

ρ

== ∑ ( ) ( )

1, , d , , d

iS SF x y z F x y z

ρσ σ

== ∑∫∫ ∫∫ .

4

Onl

y fo

r stu

dent

s